bildungsstandards für mathematik am ende der 8....

Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe

Version 3.0 Oktober 2004

BMBWK, Sektion I in Zusammenarbeit mit den Mitgliedern des Workshops, der sich aus Vertreter/innen der

Pilotschulen und weiteren Expert/innen zusammensetzt

Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe – Version 3.0 3

Vorbemerkung und Dank

Die vorliegende Version 3.0 der „Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe“ dokumentiert den Entwicklungsstand eines kontinuierlichen Optimierungs-prozesses unter Einbeziehung von Erfahrungen und Evaluationsergebnissen der Pilot-phase I sowie die Auseinandersetzung mit Vorversionen. In diesem Prozess war und ist zu beachten:

• Die Standards sollten im Schulalltag verständlich sein. Dem dient die gewählte Dar-stellung der Aufgaben. Sie werden nach dem Kompetenzmodell klassifiziert und mit weiteren Einschätzungen und Erfahrungen aus der Praxis beschrieben. An den Auf-gaben soll beispielhaft klargemacht werden, welche Kompetenzen die Schü-ler/innen am Ende der 8. Schulstufe nachhaltig entwickelt haben sollen.

• Eine so langfristige und komplexe Absicht war bzw. ist in systemverträgliche Schrit-te zu bringen, die – solange es keine neuen Normen gibt – einen expliziten Zusam-menhang zu den geltenden Normen, insbesondere den Lehrplänen herstellen müs-sen. Daher ist der Lehrplanbezug immer wieder dargestellt.

• Etliche Professionen mit unterschiedlichen Kommunikationsstilen waren und sind an einen Tisch zu bringen und zur Zusammenarbeit zu bewegen: Lehrer/innen, Fachdidaktiker/innen, Empiriker/innen, Bildungsmanagement.

• Die Interessen verschiedener Gruppen unterschiedlicher Betroffenheit und Positio-nierung sind zu beachten.

Geeignete Projektstrukturen für derartige Entwicklungsprojekte bzw. parallel laufende Teilprojekte zu etablieren war und ist nicht leicht. In der Koordination wurde versucht, eine offene, elastische und vertrauensvolle Struktur des Prozesses sicherzustellen, um letztlich hohe Akzeptanz zu erzielen. Ein beträchtliches Maß an Arbeitsfähigkeit und wechselseitigem Nutzen konnte erreicht werden. Eine für die Pilotphase II erweiterte Zahl von Pilotschulen ist nun – unterstützt durch das bundesweit installierte Projektmanagement – eingeladen, die vorliegenden Ergebnisse einer Einschätzung, Erprobung und differenzierten Rückmeldung zu unterziehen, um ver-schiedene Facetten dieser international vorangetriebenen Entwicklung zur Qualitätssi-cherung der Bildung auf ihre Umsetzbarkeit und Praxistauglichkeit im österreichischen Bildungssystem weiter zu durchleuchten. Zur Entwicklung der vorliegenden Fassung haben viele Personen beigetragen, denen wir an dieser Stelle herzlich danken möchten: Mitglieder des Workshops der Pilotschulvertreter/innen, die – organisiert in drei Arbeits-gruppen – periodisch arbeiteten: Handlungs- und Inhaltsdimension (allgemeine und inhaltliche Kompetenzen): Koordination: Sonja Machala, Hans Christian Neureiter, Christa Preis

Mitglieder: Christine Färberböck, Gertraud Frerichs, Monika Haas, Ewald Hodics, Beate Kröpfl, Charlotte Macsemniuc, Günter Maresch, Franz Schlöglhofer

4 Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe – Version 3.0

Überfachliche Kompetenzen: Koordination: Christine Fischer, Heiner Juen

Mitglieder: Elfriede Alber, Manfred Blümel, Wolfgang Matuschek, Rudolf Muckenhuber, Eva Sattlberger, Wolfgang Zach

MatKomp (Qualitätssicherung): Koordination: Helma Ochnitzberger, Anna Schwendinger Mitglieder: Elisabeth Langwallner, Angela Mortsch, Dietmar Stadlbauer Unterstützt wurde das Projekt durch eine Projektleitung für die M8-Standards: Johannes Baumühlner (Projektkoordination), Helga Ebenberger (AHS-Aspekte), Ferdinand Eder (Empirie), Helmut Heugl und Werner Peschek (Kompetenzmodell), Richard Stockhammer (HS-Aspekte und Gesamtkoordination), Manfred Wimmer (regionales Bildungsmanagement) Besonderer Dank gilt weiteren Vertretern der Fachdidaktik Emmerich Boxhofer, Stefan Götz und Karl-Josef Parisot für wiederholt konstruktiv-kritische Kommentare sowie Inge Fritz für das Endlektorat und das Layout dieser aufwändig gestalteten Broschüre. MinRat Mag. Richard Stockhammer ORat Johannes Baumühlner BMBWK Abt. I/5

MinRat DI Mag.DDr. Helga Ebenberger BMBWK Abt. I/2

Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe – Version 3. 0 5

Inhalt

1 Bildungsstandards....................................................................................................................7 2 Mathematikstandards für die Praxis ............................................................................... 13 3 Ein Modell für mathematische Kompetenzen .............................................................. 19 4 Mathematische Standards für die Sekundarstufe I ..................................................... 25 5 Beiträge mathematischer Bildung zu überfachlichen Kompetenzen

und Standards......................................................................................................................... 36 6 Aufgabenpool.......................................................................................................................... 43

Aufgabenpool – Teil 1: Handlungsdimension und inhaltliche Dimension................................................................................................................................ 45 Aufgabenpool – Teil 2: Handlungsdimension und inhaltliche Dimension unter Beachtung überfachlicher Kompetenzen....................................104

Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe – Version 3. 0 7

1 Bildungsstandards

1.1 Einleitung

Die Autonomiebewegung hat seit den 90er-Jahren in Österreich eine Stärkung der Selbst-verantwortlichkeit von Lehrpersonen, Lehrerteams und Schulen in der methodisch-didaktischen Arbeit gebracht. Die im internationalen Trend liegenden Vergleiche von Entwicklungen auf der regionalen, nationalen und europäischen Ebene (vgl. PISA1, TIMSS2 oder DESI3) verlangen eine komplementäre Strategie bei der Planung von Unterricht und schulbezogenen Entwicklungen. Ihr entspricht die Erstellung von Standards für Grundkompetenzen, mit denen eine zeit-gemäße Grundbildung definiert, ihre Umsetzung gefördert und ein prüfender Blick dar-auf ermöglicht werden soll. Er wird zeigen, inwieweit Schulen ihre Kernaufgabe der Ver-mittlung von allgemein als notwendig angesehenen Kompetenzen erfüllen. Die Bildungs-standards wollen der Autonomie einen Rahmen geben und durch Setzen von Maßstäben die Verantwortlichkeit stärken. Den Lehrpersonen werden Standards helfen, mit der zu-nehmenden Rechtfertigungserwartung professionell umzugehen.

1.2 Funktion von Bildungsstandards

Standards sollen Lehrerinnen und Lehrern bessere Orientierung und mehr Sicherheit in ihrer unterrichtlichen Arbeit geben. Generell versteht man unter „Standard“ einen Maßstab, einen Anker, eine Norm, ein Kri-terium oder eine bestimmte – vorab festgelegte – Leistung.4 Es ist in der Diskussion wichtig zu unterscheiden zwischen den Standards, die für den Un-terricht eine Norm setzen und Orientierungscharakter haben, und einer Standardüber-prüfung (Test), die an den Schnittstellen der 4. und 8. Schulstufe stattfindet und den er-reichten Leistungsstand misst. Die Merkmale und Ansprüche von Standards lassen sich am besten anhand einiger Bei-spiele erläutern, was sie nicht sind, bzw. was wir in Österreich darunter verstehen.

Was Bildungsstandards nicht sind

Bildungsstandards legen nicht fest, was guter Unterricht ist. Sie beeinflussen den Unter-richt indirekt durch einen pädagogischen Orientierungsrahmen und den Blick auf Lerner-gebnisse (Outcome).5

1 http://www.pisa.oecd.org 2 http://www.iea.nl/iea/hq/ - TIMSS ist eine international vergleichende Schulleistungsuntersuchung, die von der International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA) durchgeführt wurde und steht in einer fast vierzigjährigen Tradition internationaler Schulleistungsvergleiche, die in weltweiten Forschungskooperationen durchgeführt wurden. 3 http://www.dipf.de/desi/ - DESI (Deutsch-Englisch Schülerleistungen International) 2003/04 4 vgl. Ostermeier & Prenzel, 2002 5 vgl. Klieme et al, 2003


Bildungsstandards reglementieren nicht das Lehren und Lernen und damit auch nicht den Prozess der schulischen Bildung. Die Erweiterungsbereiche bleiben in der Sekundarstufe I (der Lehrplan unterscheidet auf der 8. Schulstufe zwischen Kern- und Erweiterungsbereich) von den Bildungsstandards ausgenommen und sichern weiterhin die individuelle Planungsmöglichkeit durch die Leh-rerinnen und Lehrer. Die Methodenfreiheit der Lehrerinnen und Lehrer bleibt voll ge-wahrt. Die autonomen Entwicklungsmöglichkeiten (Schwerpunktbildung, Schulprofil etc.) der Einzelschule bleiben ebenfalls erhalten. Bildungsstandards können und dürfen die päda-gogische Verantwortung für Lehren und Fördern, Fordern und Bewerten nicht aufheben;6 sie stehen in direktem Zusammenhang mit Schulentwicklung und sind ein nützliches In-strument zur Qualitätssicherung. Bildungsstandards liefern keine erschöpfende Beschrei-bung von Bildungszielen, sondern definieren Grundkompetenzen. Bildungsstandards sind kein Instrument für ein Qualitätsranking, sondern ein Hilfsmittel für die Selbstbewertung und Orientierung von Schulen und Lehrpersonen. Bildungsstandards sind kein Ersatz für die Leistungsbeurteilung oder die Einstufung in Leistungsgruppen.

Was Bildungsstandards in Österreich sind

Bildungsstandards sind als Regelstandards konzipiert und legen fest, welche Kompeten-zen Schülerinnen und Schüler bis zu einer bestimmten Schulstufe an wesentlichen Inhal-ten nachhaltig erworben haben sollen. Sie konzentrieren sich dabei auf die Kernbereiche eines Unterrichtsfaches und beschreiben die erwarteten Lernergebnisse, wobei fachliche Basisqualifikationen definiert werden, die für die weitere schulische Bildung bzw. berufli-che Ausbildung von Bedeutung sind. Bildungsstandards verdeutlichen eine normative Erwartung, auf die Schule hinarbeiten soll.

1.3 Bildungsstandards und Qualitätsentwicklung

Dadurch, dass Bildungsstandards und Aufgabenbeispiele nicht nur Normen vorgeben, sondern auch überprüft werden, wollen sie Lehrerinnen und Lehrern, Schülerinnen und Schülern und Eltern zur Orientierung dienen sowie die Qualität des Unterrichts sicherstel-len. Sie sind außerdem für Lehrerinnen und Lehrer ein Angebot für die Selbstevaluation und sichern so die Qualität des Unterrichts. Sie sind auch Hilfestellung für Diagnosen und schaffen eine wichtige Grundlage für pädagogisches Handeln der Lehrerinnen und Leh-rer. Bildungsstandards können in vielerlei Hinsicht beim Aufbau qualitätsfördernder Maß-nahmen nützlich sein, z. B.:

• Allgemein: o Instrument der Qualitätssicherung auf System-, Schul- und Klassenebene o Erhöhung der Transparenz und Objektivität

6 vgl. Klieme et al, 2003


o Vergewisserung über gemeinsame Lernziele, Beurteilungskriterien und Be-wertungsmaßstäbe

o Orientierungshilfe für Lehrkräfte, Schülerinnen, Schüler und Eltern

• Für Lehrerinnen und Lehrer: o Rückmeldung über Bewertungsmaßstäbe und erreichte Lernergebnisse

(Stärken/Schwächen, Anstoß für Schul- und Personalentwicklung) o Vergleichsmöglichkeit von Schulergebnissen mit nationalen Ergebnissen o Anstoß zur Sicherung von verbindlichen Niveaus durch gezielte Förderung o Impuls für verbesserte Diagnostik bzw. für verstärkte Qualifizierung auf

diesem Gebiet o Lernen aus Erfahrung und Rückmeldung o Bezugspunkte für pädagogische Beratung von Eltern, Schülerinnen und

Schülern

• Für Schülerinnen und Schüler: o Hilfsmittel zur besseren Selbsteinschätzung o Möglichkeit zu einer zusätzlichen Leistungsstandmessung

1.4 Strategie und Stand der Entwicklung

Zur Entwicklung und Implementierung von Bildungsstandards wurde vom bm:bwk eine Projektleitung eingerichtet, die von einer Steuergruppe, bestehend aus Vertretern des Ministeriums, der Schulaufsicht (APS und AHS), Schulpraktiker/innen, der Wissenschaft sowie des Zentrums für Schulentwicklung, unterstützt wird.

Meilensteine

Im Sommer 2002 wurden erste Arbeitsentwürfe vorgelegt und von Expertinnen und Ex-perten einer kritischen Sicht unterzogen. Die danach überarbeiteten Entwürfe standen seit Herbst 2003 an 18 Pilotschulen der 8. Schulstufe, im Sommersemester 2004 auch an mehr als 30 Volksschulen, in einer sog. Pilotphase I (bis Juni 2004) am Prüfstand. Evaluiert wurde diese Phase vom Zentrum für Schulentwicklung in Graz. Die Bildungsstandards werden in einer mehrjährigen Pilotphase II (beginnend mit dem Schuljahr 2004/05) an über 100 ausgewählten Schulen in allen Bundesländern erprobt. Zielvorstellungen und Strategie werden in allen Bundesländern für Schulaufsicht, Schul-leitungen, Lehrerschaft und Öffentlichkeit kommuniziert. Einen besonderen Schwerpunkt stellt in diesem Zusammenhang die Lehrer/innenaus- und -fortbildung dar. Die Pädagogischen Institute werden informiert und eingeladen, dif-ferenzierte Fortbildungsmaßnahmen für die Lehrerinnen und Lehrer vorzubereiten und ersucht, ihre Ausbildungsprogramme auf diese Entwicklung hin abzustimmen. In der Pilotphase II soll am Pädagogischen Institut in Linz auch ein internet-basiertes Sys-tem für jene Lehrerinnen und Lehrer aufgebaut werden, die auf Grund der Zufallsziehung nicht mit ihren Klassen getestet wurden, jedoch freiwillig eine Selbstevaluation durch-führen wollen. Nach der Auswertung der Pilotphase II und der Rückmeldungen werden die notwendigen gesetzlichen Regelungen für die Überprüfung von Bildungsstandards auf der vierten und achten Schulstufe kundgemacht.


Danach werden jährlich Standardüberprüfungen für einen zufällig ausgewählten Teil der Schülerinnen und Schüler der 4. und 8. Schulstufe durchgeführt (betroffen davon sind 30 Prozent der Schulklassen auf der 4. und 8. Schulstufe, davon auf der 4. Schulstufe je 15 Prozent in Deutsch oder Mathematik und auf der 8. Schulstufe je 10 Prozent in den Fä-chern Deutsch, Englisch oder Mathematik. Pro Schule wird jeweils ein Fach getestet).

1.5 Systematik der vorliegenden Standards

Aufbau der Bildungsstandards

Einleitende Hinweise skizzieren den Beitrag des jeweiligen Faches zur Bildung und erläu-tern die fachspezifischen Besonderheiten der Standards. Die Kompetenzbereiche des jeweiligen Faches werden in einem Kompetenzmodell be-schrieben und davon ausgehend die Standards formuliert. Die Standards werden durch Aufgabenbeispiele unterschiedlicher Komplexität veranschaulicht. Dabei muss der Bezug zu im Lehrplan vorgesehenen Leistungsanforderungen erkennbar werden.

Kompetenzen

Kompetenzen werden für Schülerinnen, Schüler und Lehrkräfte so konkret beschrieben, dass sie in Aufgabenstellungen umgesetzt und prinzipiell mit Hilfe von Testverfahren er-fasst werden können. Grundlage für die Formulierung von Kompetenzen ist ein Kompe-tenzmodell, das den Ausgangsrahmen darstellt und die Übersetzung abstrakter Bildungs-ziele in konkrete Aufgabenstellungen ermöglicht und unterstützt. Die Entwicklung der Bildungsstandards ist als „work in progress“ zu sehen: Derzeit liegen erste Kompetenzmodelle und eine kleinere Anzahl von Aufgabenbeispielen zur Illustrati-on der Standards vor.

Es zeichnen sich folgende Kompetenzbereiche ab:

• Mathematik

A Allgemeine mathematische Kompetenzen A1: Darstellen, Modellbilden A2: Operieren, Rechnen A3: Interpretieren und Dokumentieren A4: Argumentieren und Begründen

B Inhaltliche mathematische Kompetenzen B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen B2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten B3: Arbeiten mit Figuren und Körpern B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

• Deutsch

o Lesen o Schreiben bzw. Verfassen von Texten o Sprechen o Sprachbetrachtung o Rechtschreibung


• Englisch

o Hören o Lesen o Interaktives Sprechen o Monologisches Sprechen o Schreiben

Funktion der Aufgabenbeispiele

Die Aufgabenbeispiele veranschaulichen die fachlichen Standards. Sie machen deutlich, welche fachliche Leistung jeweils erbracht werden muss, um die Standards zu erfüllen, und bieten eine Grundlage für die Feststellung des Lernstandes am Ende der 4. bzw. 8. Schulstufe. Sie geben außerdem an, welcher Komplexitätsstufe sie zugeordnet sind. Die Aufgabenbeispiele illustrieren eine für das jeweilige Fach charakteristische Band-breite von Aufgaben zur Überprüfung von Kompetenzen bzw. Standards. Die Aufgaben-beispiele gehen von einem mittleren Leistungs- und Anforderungsniveau aus, wie es aus dem Lehrplan und dem Kompetenzmodell abgeleitet werden kann; sie spiegeln eine Bandbreite von drei Komplexitätsstufen auf der 8. und zwei auf der 4. Schulstufe wider. Die Aufgabenbeispiele sind nicht als Testformate für Abschlussprüfungen oder Berechti-gungen gedacht, sondern dienen zur Unterstützung der konkreten, praktischen Unter-richtsarbeit der Lehrerinnen und Lehrer.

Überprüfung der Standards

Die Überprüfung der Standards erfolgt durch ein Testverfahren und wird vom Pädagogi-schen Institut in Linz (EDV) in Zusammenarbeit mit den Pädagogischen Instituten in den Bundesländern und den Testschulen durchgeführt. Im Jahr 2005 wird eine Expert/innen-gruppe mit der Normierung der notwendigen Testinstrumente beginnen und die Tests zusammenstellen.

• Testdauer 4. Schulstufe: maximal je 60 Minuten an zwei aufeinander folgenden Tagen 8. Schulstufe: maximal je 90 Minuten an zwei aufeinander folgenden Tagen

• Im Lauf der Pilotphase II sollen an den Pilotschulen Probetestungen in den oben beschriebenen Schulstufen und Fächern durchgeführt und optimiert werden.

• Erste bundesweite Testung: nach Abschluss der Pilotphase II

Datenverwaltung und Datenweitergabe

Die Testadministration erfolgt durch speziell ausgebildete Lehrerinnen und Lehrer, wobei deren Belastung durch entsprechende administrative Maßnahmen möglichst gering gehalten wird. Die Auswertung der Tests führen speziell geschulte Lehrerinnen und Leh-rer an den Pädagogischen Instituten durch. Das Pädagogische Institut in Linz wird mit der elektronischen Datenverarbeitung beauftragt. Die im Testverfahren gewonnenen Daten werden den Schülerinnen und Schülern (individuell), Lehrerinnen und Lehrern sowie der Schulleitung (für ihre Klassen) zur Verfügung gestellt. Der Schulverwaltung werden die Daten verschlüsselt und anonymisiert weitergeleitet. Das Ergebnis einer Standardüber-


prüfung mündet nicht in ein nationales oder regionales Ranking der Schulen, sondern dient als Grundlage für pädagogisches Handeln (Schulentwicklung).

1.6 Ausblick

Mit der Beschreibung einer umfassenden Grundbildung wird der Lern- und Leistungsbe-griff präzisiert. Gerade deshalb wird abschließend darauf hingewiesen, dass sich die Standards nicht nur auf Fachleistungen beziehen sollen, sondern auch auf Bildungsleis-tungen der Schule im weiteren Sinne. Der Erwerb dynamischer Fähigkeiten wie Selbstver-trauen und Sozialkompetenz, Lernbereitschaft, Bereitschaft zu demokratischer Mitwir-kung im Gemeinwesen und mitmenschlicher Verantwortung sind ebenso wichtige Ziele der Schule wie fachspezifisches Wissen.

1.7 Weiterführende Literatur

HELMKE, Andreas: Unterrichtsqualität erfassen, bewerten, verbessern. Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung 2003. KLIEME, Eckhard et al: Zur Entwicklung nationaler Bildungsstandards. Eine Expertise. Hrsg. BMBF, Berlin 2003. [= Bildungsreform. Band 1] Erziehung & Unterricht, 7-8/2004 Internet:

• Deutsche Kultusministerkonferenz: http://www.kultusministerkonferenz.de/schul/home.htm?pub

• PISA (Programme for International Student Assessment) international: http://www.pisa.oecd.org/

• TIMSS (Trends in Mathematics and Science Study) international: http://www.iea.nl/iea/hq/

• DESI (Deutsch Englisch Schülerleistungen International): http://www.dipf.de/desi/

• Gemeinsam lernen: http://www.gemeinsamlernen.at

• IMST (Innovations in Mathematics, Science and Technology Teaching): http://imst.uni-klu.ac.at/


2 Mathematikstandards für die Praxis

2.1 Die Standards werden an Aufgaben deutlich

Standards setzen Maßstäbe, an denen man sich orientieren und messen kann. Wie diese einfach klingende, aber höchst komplexe Herausforderung – bezogen auf Standards für Kompetenzen in Mathematik am Ende der 8. Schulstufe – in der nun vorge-legten Version 3.0 abgearbeitet ist, zeigt das „Schema der Beschreibung jeder Beispiel-aufgabe“. Mit den „Aufgaben“ wird beispielhaft verdeutlicht, wie Standards erreicht werden kön-nen. Beispiele dienen vor allem dazu, für die unmittelbare Unterrichtsarbeit die Stan-dards nutzbar zu machen.

Die Pfeile der Grafik stilisieren, dass es theoretisch / systematische und praktisch / refle-xive Überlegungen sind, nach denen jede Aufgabe im Pool beschrieben wird. Dort wo Theoretisches und Praktisches bzw. Systematisches und Reflexives sich angemessen ver-bindet, können normative Erwartungen umschrieben werden, die gute Voraussetzungen haben, verstanden und akzeptiert zu werden (die Setzung der Norm im rechtlichen Sinn wäre ein weiterer Schritt). Die theoretisch / systematischen Klassifizierungen erfolgen entsprechend dem Kompe-tenzmodell (siehe entsprechenden Abschnitt), und zwar wird jedenfalls nach zutreffen-


den Handlungsdimensionen (A1 – A4) und den betroffenen inhaltlichen Dimensionen (B1 bis B4) sowie allenfalls nach den entsprechenden überfachlichen Kompetenzen (C1 bis C4) klassifiziert. Außerdem wird eine Komplexität laut Kompetenzmodell ausgewiesen (nicht zu verwech-seln mit Erwartungen an Leistungsniveaus/-gruppen, siehe weiter unten). Die praktisch / reflexive Beschreibung hat den Anspruch, Ziele, exemplarische Lösungs-wege, Erfahrungen bzw. Kommentare, Einschätzungen und Hinweise, wie sie in der Un-terrichtspraxis von Interesse sind und aus der Praxis kommen, verdichtet festzuhalten. In der Grafik sind die Ziele eher der theoretisch / systematischen Seite zugeordnet, auch das ist sinnvoll, je nachdem aus welchem Zusammenhang man Ziele einer Aufgabe begrün-det. Kompetenzen für das Leben sind letztlich praktisch begründet (man braucht sie in vielen Lebenssituationen), was selbstverständlich auch theoretisch ausgedrückt werden kann. Lösungserwartungen im Hinblick auf Leistungsniveaus bzw. Leistungsgruppen im Sinne der gesetzlichen Regelungen zu AHS und Hauptschule auszuweisen, diese Expertenein-schätzung wurde vor allem von den Hauptschulen gewünscht. An Hauptschulen sind die-se Einschätzungen tagtäglich zu treffen, viele Folgen sind vor allem an der Schnittstelle zur Sekundarstufe II mit der Zuordnung zu Leistungsniveaus bzw. Leistungsgruppen ver-bunden.

2.2 Die Standards interpretieren den Lehrplan

Einen ähnlichen Anspruch wie Standards, nämlich eine normative Erwartung, auf die Schule hinarbeiten soll, erheben Lehrpläne. Daher ist es nahe liegend, Lehrpläne und Standards miteinander in Beziehung zu setzen. Die vorliegenden Bildungsstandards ge-hen – vor allem vor dem Hintergrund fachdidaktischer und qualitätsorientierter Erkennt-nisse sowie schulpraktischer Erfahrungen – vom Lehrplan aus, interpretieren und präzi-sieren ihn im Hinblick auf Bildungsergebnisse bzw. Kompetenzen, die den Schüler/innen nachhaltig zur Verfügung stehen sollen. Die vorliegenden Bildungsstandards sind im Vergleich zum Lehrplan vor allem durch die exemplarische Verdeutlichung über Aufgaben besonders konkret, durch den Bezug auf das Kompetenzmodell anders und deutlicher systematisiert, durch den Bezug auf Ein-schätzungen und Erfahrungen von Expert/innen aus Praxis und Wissenschaft stellen sie vermutlich jetzt schon – ohne dass sie formell Norm sind - eine bedeutsame Bezugsgröße dar.

2.3 Hinweise zur Benutzung der Standards, Mathematik am Ende der 8. Schulstufe

Standards sind ein Instrument zur Sicherung und Weiterentwicklung der Qualität des Unterrichts und der Schule. Die vorliegenden Standards beschreiben Kompetenzen, die Schüler/innen bis zum Ende der 8. Jahrgangsstufe entwickeln sollen. Diese Kompetenzen sollen ihnen nachhaltig, d.h. über die Schule hinaus, zur Verfügung stehen. Während der traditionelle Unterricht, ins-


besondere Prüfungen und Schularbeiten, sich häufig vorrangig an kurzfristig verfügbaren Kompetenzen orientiert, zielen Standards auf langfristig verfügbare Kompetenzen ab. Die folgenden Hinweise beziehen sich darauf, wie einzelne Lehrer/innen die Standards als ein Instrument zur Planung, zur Evaluation und zur inneren Differenzierung des Unter-richts nutzen können.

2.4 Standards als Instrument zur Planung, Durchführung und Reflexion des Unterrichts

Standards können Hilfe und Unterstützung bei den folgenden Aufgaben von Lehrer/in-nen leisten:

Bei der langfristigen Planung des Unterrichts

Die Sekundarstufe I ist ein zusammenhängender Bildungszeitraum, an dessen Ende be-stimmte Kompetenzen erreicht sein sollen. Die Standards unterstützen die Lehrer/innen dabei, ihre Jahresplanungen sinnvoll auf diese Grundkompetenzen auszurichten.

Bei der konkreten Planung einzelner Einheiten

Die Standards bieten Grundlagen, einzelne Unterrichtseinheiten oder eine Reihe von Un-terrichtseinheiten systematisch auf die Vermittlung definierter Kompetenzen auszu-richten. Die beigefügten Beispiele können in vielen Fällen als exemplarische Unterrichts-themen verwendet werden.

Bei der Sicherung des Unterrichtsertrags

Die Standards bieten Grundlagen, Maßnahmen zur Sicherung des Unterrichtsertrages (Übungen im Unterricht, Hausübungen) konkreter und gezielter auf den Kompetenzer-werb bei den Schüler/innen auszurichten. Darüber hinaus sind Standards ein Hilfsmittel zur Reflexion des eigenen Anspruchs-niveaus sowie der Rahmenbedingungen der eigenen Unterrichtsarbeit. Die Auseinander-setzung mit den vorliegenden Standards kann Lehrer/innen und Schulen Hilfestellung z.B. bei folgenden Fragen bieten:

• Wie liegen wir derzeit mit unseren Zielen und inhaltlichen Schwerpunktsetzungen relativ zu den vorgegebenen Standards?

• Haben wir manche Standardvorgaben bisher weniger oder gar nicht beachtet, an-dere stärker berücksichtigt, hatten wir andere Standards?

• Welche Maßnahmen sind erforderlich, um die vorgelegten Standards im eigenen Unterricht zu realisieren? Welche dieser erforderlichen Maßnahmen können wir selbst setzen, für welche Maßnahmen wären Unterstützungen (welche?) erforder-lich?

Dabei kann sich durchaus ergeben, dass nicht alle Standards erreichbar sind, oder dass bestimmte Voraussetzungen bzw. Maßnahmen erforderlich wären, um diese Standards


im eigenen Unterricht realisieren zu können. Informationen über solche Erfahrungen sind für die Weiterentwicklung der Standards wichtig.

2.5 Standards als Mittel zur Evaluation der Lernergebnisse von Schü-ler/innen und Klassen

Standards sollen nicht nur zur Unterrichtsplanung und Unterrichtsgestaltung, sondern auch zur Evaluation des Unterrichtsertrages verwendet werden. Mögliche Zielsetzungen dabei sind:

• Welche Leistungen, die meine (unsere) Schüler/innen bei Schularbeiten oder Prü-fungen erbringen mussten, sind als langfristige Kompetenzen verfügbar?

• In welchen Teilbereichen des Kompetenzmodells, das den Standards zu Grunde liegt, haben meine (unsere) Schüler/innen besondere Stärken, in welchen Berei-chen haben sie besondere Schwächen?

• Welche Standards werden von meinen Schüler/innen sicher erreicht, welche Stan-dards werden derzeit nicht erreicht?

• Sind meine (unsere) Klassen hinsichtlich der erreichten bzw. nicht erreichten Stan-dards eher homogen oder gibt es zwischen den Klassen große Unterschiede?

Zur Beantwortung solcher Fragen können die vorliegenden Standards in mehrfacher Hin-sicht genutzt werden:

• Die Standards bieten einen theoretischen und praktischen Bezugsrahmen für die Zusammenstellung von Aufgaben, mit denen die Verfügbarkeit von Kompetenzen überprüft werden kann.

• Die angefügten exemplarischen Aufgaben können auch als „Muster“ für die Er-stellung von Überprüfungsaufgaben genutzt werden.

• Die Angaben zur Komplexität der Aufgaben erlauben eine systematische Abstim-mung selbst formulierter Überprüfungsaufgaben hinsichtlich ihres mathemati-schen Anspruchs.

Lehrer/innen können also auf der Basis des mathematischen Kompetenzmodells und der „Ich kann“-Formulierungen gezielt Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen ent-wickeln. Bei der Durchführung solcher Überprüfungen ist grundsätzlich zu beachten:

• Grundkompetenzen werden eher in der beständigen Lösung von Aufgaben mit niedriger oder mittlerer Komplexität sichtbar als in der Lösung von wenigen, aber hochkomplexen Beispielen. Bei einer Überprüfung sollte also eine größere Anzahl von Aufgaben mit niedriger und mittlerer Komplexität vorgegeben werden.

• Die Überprüfung sollte ohne Zeitdruck und in einer ermutigenden Atmosphäre er-folgen. Dafür wäre besonders wichtig, dass die Aufgaben nach ihrer vermuteten Schwierigkeit aufsteigend angeordnet werden.

• Die Überprüfung sollte klar von Schularbeiten und sonstigen Formen der notenbe-zogenen Leistungsfeststellung abgegrenzt werden.


2.6 Wie können Standards den Unterricht verbessern?

Die Standards reglementieren nicht das Lehren und Lernen, aber sie sollen Unterricht in-direkt beeinflussen:

• Sie erleichtern die Ausrichtung auf das Wesentliche („Grundkompetenzen“) • Sie begreifen Lernen als kumulativen Prozess • Sie fördern diagnostische und förderbezogene Kompetenzen von Lehrer/innen • Sie lenken den Blick auf die schwächeren Schüler/innen

Standards zielen generell darauf ab, eine Unterrichtskultur zu schaffen, in der möglichst alle Schülerinnen und Schüler die angestrebten Ziele erreichen, wobei Diagnose von Schülerleistungen, Rückmeldung und gezielte Förderung eine stärkere Rolle spielen als bisher. Als Grundlage dafür kann das Modell des zielerreichenden Lernens herangezogen wer-den. Ein Unterricht, der sich daran ausrichtet, könnte folgende Ablaufstruktur haben:

Kernpunkt des Modells ist die standardmäßig vorgesehene Überprüfung der Lernleistun-gen am Ende einer Unterrichtsphase. Auf Basis dieser Diagnose kann entschieden wer-den, ob die ganze Klasse oder einzelne Schüler/innen zusätzlichen Unterricht oder zusätz-liche Förderung benötigen, oder ob neue Unterrichtsziele (Erweiterungsaufgaben, Aufga-ben höherer Komplexität) in Angriff genommen werden können. Die Ergebnisse formeller und informeller Überprüfungen können und sollen also dafür genutzt werden, um in den einzelnen Klassen Schülergruppen mit unterschiedlichen Lernbedürfnissen zu identifizieren und sie differenziert zu fördern. Die Nachhaltigkeit von Kompetenzen resultiert primär aus einem guten, im oben be-schriebenen Sinne differenziert fördernden Unterricht. Das allein reicht jedoch in der Re-gel nicht aus. Grundkompetenzen müssen regelmäßig geübt und angewendet werden, damit sie erhalten bleiben. Dazu tragen neben gezielten Wiederholungen auch zu länger zurückliegenden Themen vor allem komplexe Aufgaben bei, zu deren Bearbeitung auch früher erworbene Kompetenzen herangezogen werden müssen.

2.7 Standards als Instrument der Qualitätssicherung auf Ebene der einzel-nen Schule

Innerhalb der einzelnen Schule bilden Standards eine gute Basis, auf der verschiedene Lehrer/innen ihren Unterricht besser aufeinander ausrichten und abstimmen können.

Planung (auf Basis von

Standards)

Unter-richt

Über- prüfung

Diffe-ren-

zierung

Erweiterung /höhere

Komplexität

Zusätzliche Förderung


Dies führt zu einer Vereinheitlichung der Anforderungen innerhalb der gleichen Schule und schafft damit eine Grundlage für die faire Beurteilung der Schülerleistungen. In diesem Sinne bieten Standards eine gute theoretische und praktische Grundlage, um klassenübergreifende Überprüfungen durchzuführen und damit auch innerschulische Qualitätsvergleiche im weitesten Sinn zu ermöglichen. Dabei erscheint es sinnvoll, bei der Entwicklung, Durchführung und Auswertung solcher Überprüfungen möglichst intensiv mit Kolleginnen und Kollegen zusammenzuarbeiten und die Ergebnisse gemeinsam zu interpretieren. Für solche Überprüfungen können auch extern entwickelte Überprüfungsverfahren ver-wendet werden, z.B. MATKOMP I, ein Verfahren zur Erfassung mathematischer Kompe-tenzen am Ende der Sekundarstufe I.7 Die Überprüfung der Standards kann keinesfalls die Leistungsbeurteilung ersetzen, da diese viel komplexer zu sehen ist und wichtige andere Elemente schulischer Anforderun-gen mit einbeziehen muss (mündliche Leistungen, Leistungen des Schülers / der Schüle-rin in anderen Bereichen des Unterrichts). Die Standards sind kein Ausleseinstrument im Hinblick auf die Leistungsgruppen. Die Kommentierung der Beispielaufgaben nach der Lösungserwartung soll vielmehr einen Orientierungsrahmen über erwartete Schüler/innenleistungen geben. Auch für die 2. und 3. Leistungsgruppe sind Kompetenzen auf komplexerem Niveau anzustreben.

2.8 Und nicht zuletzt: Die Schülerinnen und Schüler

Die Schülerinnen und Schüler haben aufgrund ihrer Erfahrungen mit der Schule eine be-stimmte Vorstellung, um was es in Mathematik geht. Wenn sich der Unterricht an Stan-dards orientiert, müssen auch sie ihre bisherigen Vorstellungen von Unterricht und Ler-nen verändern. Dazu brauchen sie Informationen von Seiten ihrer Lehrer/innen, die vor allem Folgendes signalisieren:

• Im Vordergrund steht das Können, nicht das kurzfristige Bestehen von Prüfungen • Zum „Rechnen Können“ kommen noch andere Kompetenzen dazu, die einen

gleich großen Stellenwert haben, nämlich das mathematische Denken und Argu-mentieren im weitesten Sinn

• „Lernen“ bedeutet weniger das Einpauken von Übungsbeispielen, sondern das grundlegende Verstehen mathematischer Sachverhalte.

Schüler/innen lernen daraus, dass es andere Erwartungen an sie gibt und können sich darauf einstellen.

7 MATKOMP I wurde im Auftrag des BMBWK auf Basis der Mathematik-Aufgaben aus der 1994 durchge-führten TIMS-Studie entwickelt. Genauere Informationen dazu bei [email protected].


3 Ein Modell für mathematische Kompetenzen

3.1 Beitrag des Faches Mathematik zur Bildung

Unterrichtsgegenstände können heute nicht mehr nur dadurch gerechtfertigt werden, dass sie traditionell schon immer Bestandteil des Fächerkanons waren. Jedes Fach hat nachzuweisen, welchen Beitrag es zur Bildung der jungen Menschen liefert. Man findet solche Bildungsaufträge auch im Lehrplan. Wir haben für die Beschreibung der Funktion der Mathematik für die Allgemeinheit und somit für die Bildung drei wichtige Rollen dieses Faches ausgewählt:

• Mathematik als Technik des Problemlösens durch Schließen Wichtige Phasen des mathematischen Problemlösens sind: Modellbilden – Operie-ren – Interpretieren.

• Mathematik als Sprache Schülerinnen und Schüler sollen neben anderen Sprachen auch jene der Mathema-tik lernen.

• Mathematik als Denktechnologie Im Mittelpunkt dieses Bildes von Mathematik steht nicht ein ganz bestimmtes ma-thematisches Kapitel, sondern jene heuristischen Strategien, jene Denktechnolo-gie, die beim Betreiben von Mathematik erworben werden und die in vielen Berei-chen des Lebens anwendbar sind.

Schülerinnen und Schüler sollen durch die Beschäftigung mit Mathematik auch personale und soziale Kompetenzen erwerben, indem sie zum Beispiel lernen

• Verantwortung für das eigene Lernen zu übernehmen und bewusst Lernstrategien einzusetzen,

• gemeinsam mit anderen mathematisches Wissen zu entwickeln und Probleme zu lösen.

Mathematische Grundbildung umfasst die Fähigkeit, die Rolle zu erkennen, die Mathe-matik in der Welt spielt, mathematisches Wissen funktional, flexibel und mit Einsicht zur Bearbeitung vielfältiger kontextbezogener Probleme einzusetzen und unter Zuhilfenah-me von Mathematik begründete Urteile abzugeben. Der Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) sieht die zentrale Aufgabe der Schule in der Vermittlung fundierten Wissens. Die Schülerinnen und Schüler sollen entsprechende Sachkompetenz erwerben sowie – in Erweiterung und Ergänzung der Sachkompetenz – Selbstkompetenz und Sozialkompetenz entwickeln. Im Folgenden wird ein Modell mathematischer Sachkompetenz beschrieben, das den ma-thematischen Standards für die Sekundarstufe I zugrunde gelegt ist. Die Darlegung überfachlicher Kompetenzen und Standards erfolgt in Abschnitt 5.


3.2 Mathematische Kompetenzen

Unter Kompetenzen werden hier kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten verstanden, die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben. Kompetenzen haben eine Handlungsdimension (auf welche Art von Tätigkeiten sie sich beziehen, also was getan wird) und eine inhaltliche Dimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit etwas getan wird) sowie eine „konative“/volitionale Dimensi-on. Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten sowie auf mathematische Inhalte.

3.3 Die Handlungsdimension (A)

Die Ausdifferenzierung und Konkretisierung der Handlungsdimension orientiert sich an dem im Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) dargelegten Beitrag des Mathe-matikunterrichts zu den Aufgabenbereichen der Schule. Demnach soll ein allgemein bil-dender Mathematikunterricht den Schülerinnen und Schülern folgende, vielfältig mitein-ander verknüpfte fachbezogene Grunderfahrungen ermöglichen:

• Erscheinungen und Vorgänge aus Natur und Gesellschaft mit Hilfe der Mathema-tik in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,

• die Bedeutung der Mathematik mit ihrer Sprache, ihren Bildern, Symbolen und Formeln für die Beschreibung und Bearbeitung von Aufgaben und Problemen in-ner- und außerhalb der Mathematik zu erkennen und zu verstehen,

• in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten zu erwerben, die auch über die Mathematik hinaus von Bedeutung sind.

Ausgehend von diesen Grunderfahrungen lassen sich für die Handlungsdimension ma-thematischer Kompetenzen folgende wichtige Ausprägungen identifizieren:

Ausprägungen der Handlungsdimension:

A1: Darstellen, Modellbilden A2: Operieren, Rechnen A3: Interpretieren und Dokumentieren A4: Argumentieren und Begründen

Diese Ausprägungen umfassen:


Darstellen, Modellbilden

Umfasst die Fähigkeit, ein Problem aus einer bestimmten Situation in die Sprache der Mathematik zu übertragen. Dazu ist erforderlich, den mathematischen Gehalt eines Problems zu erkennen, die benö-tigten Daten aufzufinden und auszuwählen und sich für einen Lö-sungsweg zu entscheiden und diesen zu planen. Bei dieser Tätigkeit sollen auch die Möglichkeiten technischer Hilfsmittel genutzt wer-den.

Operieren, Rechnen

Umfasst die Fähigkeit, Verfahren, Rechenmethoden, Techniken oder Konstruktionsverfahren, die für das mathematische Problem eine Lösung ergeben, auf richtige, effiziente und sinnvolle Weise anzu-wenden. Damit reicht diese Kompetenz über die reine Rechen-fertigkeit hinaus. Eine Lösung kann beispielsweise auch durch Visua-lisierung oder durch Verwendung von Tabellen gefunden werden. Je nach Verfügbarkeit sollen dazu auch elektronische Werkzeuge ge-nutzt werden.

Interpretieren und Dokumentieren

Umfasst die Fähigkeit, mathematische Ergebnisse zu verbalisieren, wie etwa: • die Analyse der Brauchbarkeit des Modells; • das innermathematische Überprüfen der Korrektheit der Lösung; • das Untersuchen der Brauchbarkeit der mathematischen Lösung

für das praktische Problem; • die Dokumentation des Lösungsweges und des Ergebnisses; • das Interpretieren von Ergebnissen verwendeter technischer

Hilfsmittel.

Argumentieren und Begründen

Umfasst die Fähigkeit, mathematische Probleme unter Verwendung der Fachsprache argumentativ zu behandeln. Umfasst alle Aktivi-täten, die mit Argumentieren, mit Begründen und mit Beweisen zu tun haben. Dies inkludiert auch ein Argumentieren betreffend die Entscheidung für ein bestimmtes Modell oder für einen bestimmten Algorithmus, eine gerade bei Verwendung elektronischer Werkzeu-ge wichtige Tätigkeit.

3.4 Die inhaltliche Dimension (B)

Die inhaltliche Dimension umfasst themenbezogene Fähigkeiten im Gegenstandsbereich der Mathematik, die für das schulische Lernen in der Sekundarstufe I besonders relevant sind. Grundlage für die im Folgenden angeführten und beschriebenen Ausprägungen der inhaltlichen Dimension ist der im Lehrplan (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) ange-führte Kernbereich des Faches.

Ausprägungen der inhaltlichen Dimension:

B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen B2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten B3: Arbeiten mit Figuren und Körpern B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen



Arbeiten mit Zahlen und Maßen

Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen, Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen, Potenzschreibweise; Re-chenregeln; Anteile, Prozente, Zinsen; Maße und deren Um-wandlungen; Zahlen und Maße in lebenspraktischen Anwen-dungen

Arbeiten mit Variablen und funktionalen Ab-hängigkeiten

Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: Variable, Terme; Gleichungen und Gleichungssysteme (mit zwei Variablen), einfache Ungleichungen. Funktionale Abhängigkeiten und deren tabellarische, grafische bzw. symbolische Darstellung; Wachstums- und Abnahmepro-zesse. Nutzen von Funktionsdarstellungen verfügbarer elektro-nischer Werkzeuge.

Arbeiten mit Figuren und Körpern

Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit; einfache Figuren und Kör-per (Dreieck, Viereck, Kreis bzw. Quader, Prisma, Pyramide, Drehzylinder, Drehkegel, Kugel), Umfangs- und Flächen- bzw. Volumsformeln, Satz des Pythagoras.

Arbeiten mit statisti-schen Kenngrößen und Darstellungen

Umfasst Fähigkeiten in den Bereichen: relative Häufigkeit, arithmetisches Mittel, Median, Quartile; Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Piktogramm, Liniendiagramm, Streudiagramm

3.5 Die Verknüpfung der beiden Dimensionen

Mathematische Kompetenzen zeigen sich in einer sinnvollen Verknüpfung von Ausprä-gungen der Handlungsdimension mit Ausprägungen der inhaltlichen Dimension. Das be-deutet, dass Schülerinnen und Schüler dann über eine entsprechende Kompetenz verfü-gen, wenn sie in der Lage und bereit sind, in wechselnden Situationen eine oder mehrere Ausprägungen der Handlungsdimension zu aktivieren und mit situationsrelevanten Aus-prägungen der inhaltlichen Dimension angemessen zu verbinden. Diese Verknüpfung der Handlungsdimension mit der inhaltlichen Dimension zu mathe-matischen Kompetenzen wird in folgender Matrix schematisch dargestellt. In den Feldern der Matrix werden beispielhaft solche Kompetenzbereiche dargestellt:


HANDLUNGSDIMENSION

Darstellen, Modellbilden

A1

Operieren, Rechnen

A2

Interpretieren, Dokumentieren

A3

Argumentieren, Begründen

A4

Zahlen und Maße

B1 Kompetenzen im Bereich (A3/B1)

Variable und funk-tionale Abhängig-

keiten B2

Kompetenzen im Bereich (A4/B2)

Figuren und Kör-

per B3

Kompetenzen im Bereich

(A1/B3)

INH

ALT

LIC

HE

DIM

ENSI

ON

Statistische Kenn-größen und Dar-

stellungen B4

Kompetenzen im Bereich

(A2/B4)

Beispiele für Kompetenzen aus den in der Matrix benannten Bereichen:

(1) Modellieren im Inhaltsbereich Figuren und Körper (A1/B3): Schülerinnen und Schüler

entscheiden sich für Formeln zur Lösung geometrischer Probleme. (2) Operieren im Inhaltsbereich Statistische Kenngrößen und Darstellungen (A2/B4):

Schülerinnen und Schüler ermitteln relative Häufigkeiten und/oder stellen diese in einem Stabdiagramm dar.

(3) Interpretieren im Inhaltsbereich Zahlen und Maße (A3/B1): Schülerinnen und Schüler

interpretieren Zahlenergebnisse, zum Beispiel in Hinblick auf sinnvolle Genauigkeit oder auf Brauchbarkeit für das praktische Problem.

(4) Argumentieren im Inhaltsbereich Variable und funktionale Abhängigkeiten (A4/B2):

Schülerinnen und Schüler begründen algebraische Umformungen mit Hilfe von Rechengesetzen.


3.6 Die Komplexitätsdimension

Die Komplexitätsdimension bezieht sich auf die Anzahl und Verknüpfung der Denkschrit-te, die zur Bearbeitung einer Aufgabe erforderlich sind. Für die Sekundarstufe I erscheinen drei Abstufungen sinnvoll:

Geringe Komplexität

Es geht hier um Aufgaben, bei denen lediglich das Abarbeiten eines in der Aufgabe selbst angesprochenen, einfachen Algorithmus er-forderlich ist, bzw. um einschrittige Modellierungen, bei denen die Übersetzung in ein Modell aus einem bekannten, eng begrenzten mathematischen Gebiet erforderlich ist. In der Regel sind lediglich reproduktives Wissen und elementare Fer-tigkeiten zur Lösung der Aufgabe erforderlich.

Mittlere Komplexität

Die Modellierung greift nicht mehr nur auf ein einziges Standard-modell zurück, aus verschiedenem Bekannten soll eine geeignete Auswahl getroffen werden. Die damit verbundenen Begründungen erfordern eine geeignete Zusammensetzung mehrerer Schritte. Beim Operieren sind mehrere Operationen miteinander in geeigne-ter Weise zu verbinden.

Höhere Komplexität

Aus verschiedenem Bekannten soll eine neue Strategie entwickelt werden, wobei Wissen aus mehreren Zusammenhängen oder Gebie-ten einzubringen ist. Es handelt sich um Aufgaben, bei denen eine Verallgemeinerung der Situation, das Entwerfen einer umfassenden Strategie, die Einbettung einer gegebenen Situation in einen allge-meinen mathematischen Zusammenhang erforderlich ist. Gegebe-nenfalls muss zuerst das Problem erkannt und formuliert werden, um überhaupt mit der Suche nach einer Strategie beginnen zu kön-nen.

Von der Komplexität zu unterscheiden ist der Begriff der Schwierigkeit. Häufig wird Schwierigkeit individuumsbezogen gesehen. Ob etwas als schwierig empfunden wird, hängt sehr wesentlich von den Vorkenntnissen und Vorerfahrungen des einzelnen Schü-lers bzw. der einzelnen Schülerin ab.


4 Mathematische Standards für die Sekundarstufe I

Standards beschreiben Ausprägungen von Kompetenzen, über die Schülerinnen und Schüler einer bestimmten Schüler/innenpopulation verfügen sollten. Mathematische Standards sind entsprechende Ausprägungen mathematischer Kompe-tenzen. Die hier dargelegten mathematischen Standards sind als Regelstandards für Schülerin-nen und Schüler der Sekundarstufe I zu verstehen, d. h., sie beschreiben Ausprägungen von mathematischen Kompetenzen, welche die Schülerinnen und Schüler bis zur 8. Schul-stufe entwickelt haben sollen. Über die bei einer Schularbeit vorwiegend überprüften Kompetenzen hinaus beschreiben Standards langfristige Kompetenzen, die bis zum Ende der Sekundarstufe I erworben werden sollen. Die allgemeine Beschreibung der Standards folgt den Ausprägungen der Handlungsdi-mension bzw. der inhaltlichen Dimension mathematischer Kompetenzen. Die Ausdiffe-renzierung und Konkretisierung erfolgt operationalisiert in Form von „Ich kann …“-Statements, um zu verdeutlichen, dass Standards auf jene Fähigkeiten abzielen, die von den Schülerinnen und Schülern tatsächlich und nachhaltig gefordert werden. In der folgenden allgemeinen Beschreibung wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf eine Verknüpfung der „Ich kann …“-Statements der Handlungsdimension mit jenen der inhaltlichen Dimension verzichtet. Derartige Verknüpfungen – und damit Standards – werden jedoch in den für die einzelnen Kompetenzbereiche angeführten Aufgabenbei-spielen (Abschnitt 4.3) sichtbar.

4.1 „Ich kann …“-Statements zur Handlungsdimension

A1 Darstellen, Modellbilden

• Ich kann einen gegebenen Sachverhalt erfassen und mathematische Beziehungen darin erkennen.

• Ich kann Sachverhalte in verbaler, tabellarischer, grafischer und symbolischer Form darstellen.

• Ich kann die für eine Problembearbeitung günstigste Darstellungsform auswählen und zwischen Darstellungsformen wechseln.

• Ich kann für ein Problem verschiedene mathematische Modelle bzw. Lösungswege finden.

• Ich kann mich für ein geeignetes (arithmetisches, algebraisches, tabellarisches, grafisches, geometrisches) Modell bzw. für einen geeigneten Lösungsweg zur Be-arbeitung eines Problems entscheiden und Lösungsabläufe planen.


Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Erstellen […] von mathematischen Modellen außermathematischer Sachverhalte. Das Bilden mathematischer Modelle und das Erkennen ihrer Grenzen soll zu einem ver-antwortungsvollen Umgang mit Aussagen führen, die mittels mathematischer Methoden entstanden sind; […] präzises Beschreiben von Sachverhalten […]; Konzentrieren von Sachverhalten in mathematische Formeln; […] Verbales, formales oder grafisches Darstel-len von Sachverhalten; Darstellen […] als mathematische Grundtätigkeit durchführen […]; Entwickeln verschiedener Lösungswege zu mathematischen Fragestellungen; Nutzen heuristischer Strategien.

A2 Operieren, Rechnen

• Ich kann einfache Rechnungen im Kopf durchführen. • Ich kann Berechnungen mit konkreten Zahlen (auch Bruch- und Dezimalzahlen,

Potenzen, Wurzeln) durchführen und dabei elektronische Rechenhilfsmittel zweckmäßig einsetzen.

• Ich kann zwischen verschiedenen Darstellungen für Zahlen und Maße (z. B. Brüche und Dezimalzahlen, m2 und ha, m3 und Liter) wechseln.

• Ich kann Ergebnisse abschätzen oder auch überprüfen, mit Näherungswerten rechnen und sinnvoll runden.

• Ich kann Lösungen auch durch systematisches Probieren wie auch mit Hilfe von Tabellen oder grafischen Darstellungen finden.

• Ich kann Terme und Gleichungen (Formeln) umformen, in Terme und Gleichungen (Formeln) richtig einsetzen und Werte berechnen.

• Ich kann geometrische Konstruktionen durchführen. Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] mit rationalen Zahlen rechnen, Rechenergebnisse abschätzen, elektronische Hilfsmit-tel benutzen können, Gesetzmäßigkeiten des Rechnens kennen und anwenden können; algebraische Ausdrücke und Formeln bzw. Gleichungen umformen können.

A3 Interpretieren und Dokumentieren

• Ich kann mathematische Begriffe und mathematische Darstellungen eines Sach-verhalts im jeweiligen Kontext interpretieren.

• Ich kann (Rechen-)Ergebnisse im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren.

• Ich kann die Angemessenheit und Brauchbarkeit eines mathematischen Modells oder einer mathematischen Darstellung im Hinblick auf die vorgegebene Problem-stellung beurteilen.

• Ich kann die Korrektheit mathematischer Darstellungen und Lösungswege ein-schätzen bzw. Fehler erkennen.

• Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschreiben. • Ich kann eine zur Problemstellung und zum verwendeten Lösungsmodell passende

Antwort formulieren.


Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] Interpretieren als mathematische Grundtätigkeit durchführen; […] Interpretieren gra-phischer Darstellungen; […] Interpretieren von mathematischen Modellen außermathe-matischer Sachverhalte; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer Modelle; Er-kennen von Mängeln in Darstellungen […]; Beschreiben von […] Prozessen.

A4 Argumentieren und Begründen

• Ich kenne die mathematische Fachsprache und kann sie korrekt verwenden. • Ich kenne mathematische Begriffe, Zusammenhänge (Sätze, Formeln) und Verfah-

ren und kann sie erklären. • Ich kann meine Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten mathemati-

schen Modells bzw. eines bestimmten Lösungsweges, für eine bestimmte Darstel-lung oder auch für die Auswahl einer bestimmten Lösung begründen.

• Ich kann einzelne Rechenschritte begründen wie auch begründen, warum ein Re-chenschritt bzw. eine bestimmte mathematische Argumentation falsch ist.

• Ich kann mathematische Zusammenhänge plausibel begründen, herleiten oder auch beweisen.

• Ich kann Annahmen und Voraussetzungen, die meiner Argumentation zugrunde liegen, benennen, erklären und begründen.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Argumentieren […] als mathematische Grundtätigkeit durchführen; Argumentieren […], insbesondere: präzises Beschreiben von Sachverhalten, Eigenschaften und Begriffen (Definieren); Begründen (Beweisen); Arbeiten mit logischen Schlussweisen; Rechtfertigen von Entscheidungen (etwa der Wahl eines Lösungsweges oder einer Dar-stellungsform). […] Verwenden einer Fachsprache mit spezifischen grammatikalischen Strukturen; Präzi-sion der Sprachverwendung.

4.2 „Ich kann …“-Statements zur inhaltlichen Dimension

B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen

• Ich kann zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen unter-scheiden, kann gegebene Zahlen den jeweiligen Zahlenmengen zuordnen und ty-pische Verwendungssituationen angeben.

• Ich kenne die Darstellung von Zahlen als Dezimalzahlen, Bruchzahlen, Potenzen und Wurzeln und kann mit Zahlen in diesen Darstellungen arbeiten.

• Ich kenne verschiedene Maßeinheiten und kann damit umgehen. • Ich kenne die Bedeutung von Klammern sowie wichtiger Rechengesetze und -re-

geln und kann damit arbeiten. • Ich kenne die Begriffe „Prozent“ und „Zinsen“ und kann damit verständig umge-

hen.


Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] Umgang mit natürlichen Zahlen […]; die Regeln über die Reihenfolge von Rechenope-rationen, einschließlich der Klammerregeln, anwenden können. […] Darstellung in Dezi-mal- und Bruchschreibweise […]; Rechnen mit Brüchen […]; die Regeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen wissen und bei Rechenbeispielen (mit einfachen Zahlen) mit Sicherheit anwenden können; Potenzschreibweise kennen und anwenden können; Maße verwenden und Umwandlungen durchführen können; Rechnen mit Prozenten in vielfältigen Zusammenhängen.

B2: Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten

• Ich kann Variable, Terme, Gleichungen und Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen sinnvoll einsetzen und mit ihnen arbeiten.

• Ich kenne den Begriff der Funktion und kann diesen angemessen verwenden. • Ich kenne verschiedene Darstellungen von Funktionen, kann diese angemessen

einsetzen und mit ihnen arbeiten. Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] mit Variablen allgemeine Sachverhalte beschreiben können; Gleichungen und For-meln aufstellen, insbesondere in Sachsituationen; […] Sicherheit beim Arbeiten mit Variablen, Termen, Formeln und Gleichungen steigern; Lineare Gleichungen mit zwei Variablen grafisch darstellen und Lösungen angeben kön-nen; Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (zwei Gleichungen mit zwei Vari-ablen) nutzen können; durch das Arbeiten mit funktionalen Abhängigkeiten einen intuitiven Funktionsbegriff erarbeiten.

B3: Arbeiten mit Figuren und Körpern

• Ich kann einfache ebene Figuren (Dreieck, Viereck, Kreis) und einfache Körper (Quader, Prisma, Pyramide, Drehzylinder, Drehkegel, Kugel) erkennen, mit Hilfe von grundlegenden geometrischen Begriffen wie Punkt, Strecke, Kante, Ecke, Dia-gonale, Winkel, Parallelität etc. beschreiben und kann deren Eigenschaften ange-ben.

• Ich kann für einfache ebene Figuren bzw. einfache Körper Skizzen oder Zeichnun-gen erstellen (eventuell unter Verwendung von Grafikprogrammen).

• Ich kann die Begriffe Symmetrie, Kongruenz und Ähnlichkeit erklären, diese Eigen-schaften erkennen und zur Beschreibung sowie Bearbeitung geometrischer Sach-verhalte verwenden.

• Ich kenne den pythagoreischen Lehrsatz und kann ihn anwenden. • Ich kann den Flächeninhalt und den Umfang einfacher ebener Figuren ermitteln. • Ich kann Oberflächeninhalte und Volumina einfacher Körper ermitteln.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung und Abstraktion geometri-sche Figuren und Körper sowie ihre Eigenschaften erkennen und beschreiben können;


Skizzen […] anfertigen können; […] zeichnerische Darstellungen von ebenen und räumli-chen Gebilden anfertigen können; […] Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken […] von Kreisen wissen und anwenden können; […] Einfache symmetrische Fi-guren […], kongruente Figuren […], ähnliche Figuren erkennen und beschreiben; […] Ober-fläche, Volumen und Gewicht von Gegenständen, die die Gestalt eines Prismas, einer Py-ramide […] eines Drehzylinders und Drehkegels sowie einer Kugel haben, berechnen kön-nen; […] den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren und in Körpern nutzen können.

B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

• Ich kenne wichtige statistische Darstellungsformen (Tabellen, Piktogramm, Stab-, Kreis-, Linien- und Streudiagramm) und kann damit verständig und angemessen arbeiten.

• Ich kann mit absoluten und relativen Häufigkeiten sowie mit tabellarischen oder grafisch dargestellten Häufigkeitsverteilungen verständig und angemessen um-gehen.

• Ich kenne das arithmetische Mittel, den Median und Quartile und kann mit diesen Kennzahlen angemessen arbeiten.

• Ich kann (eventuell mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms) statistische Tabellen und Grafiken erstellen sowie statistische Kennzahlen ermitteln.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Tabellen und grafische Darstellungen zum Erfassen von Datenmengen verwenden kön-nen. […] Untersuchen und Darstellen von Datenmengen unter Verwendung statistischer Kennzahlen (zB Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm); […] ent-sprechende grafische Darstellungen lesen, anfertigen und kritisch betrachten können; Manipulationsmöglichkeiten erkennen. Die hier beschriebenen Standards werden hier undifferenziert für alle Schularten der Se-kundarstufe I formuliert, das heißt für Schülerinnen und Schüler von der 3. Leistungs-gruppe der Hauptschule bis zur AHS. Jeder Standard kann jedoch (auf jeder Komplexitäts-stufe) durch unterschiedliche Aufgaben angesprochen werden, deren Schwierigkeit von verschiedenen Schülerinnen und Schülern unterschiedlich wahrgenommen wird. Die in Kapitel 6 beispielhaft angeführten Aufgaben weisen eine gewisse Bandbreite an Schwie-rigkeiten auf, die diesbezüglichen Einschätzungen der Aufgabenersteller/innen werden in der Klassifikation angegeben. (Die Ergebnisse der Pilotphase sollen zeigen, in welcher Weise bei den Aufgaben schultypenspezifische Differenzierungen so vorgenommen wer-den können, dass die unterschiedlichen Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Schüle-rinnen und Schüler angemessen berücksichtigt und allen Chancen auf zufriedenstellende Ergebnisse eingeräumt werden.)

4.3 Prototypische Aufgabenbeispiele für mathematische Standards

Im Folgenden wird anhand einiger prototypischer Beispiele gezeigt, wie in konkreten Aufgaben „Ich kann“-Statements der beiden Kompetenzdimensionen zu Standards ver-knüpft werden:


Beispiel 1: „Popkonzert“

Bei einem Popkonzert werden insgesamt x Karten für Stehplätze zum Preis von jeweils a Euro sowie y Karten für Sitzplätze zum Preis von jeweils b Euro verkauft. Gib eine Formel für die aus dem Verkauf der Steh- und der Sitzplatzkarten erzielten Ge-samteinnahmen G an!

Angesprochener Standard In dieser Aufgabe wird ein außermathematischer Sachverhalt verbal (unter Verwendung von Variablen) beschrieben. Für die Bearbeitung der Aufgabe ist es zunächst erforderlich, den Sachverhalt und die Aufgabenstellung angemessen zu erfassen. In der Aufgabenstellung selbst geht es vorrangig darum, die für die Lösung der Aufgabe relevanten mathematischen Beziehungen zu identifizieren und in symbolischer Form (Formel) darzustellen, also: A1 Darstellen, Modellbilden: „Ich kann Sachverhalte in … symbolischer Form darstellen.“ Inhaltlich geht es in dieser Aufgabenstellung darum, Variable, Terme bzw. Gleichungen zur Beschreibung von Sachverhalten zu verwenden: B2 Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten: „Ich kann Variable, Terme, Gleichungen … sinnvoll einsetzen und mit ihnen arbeiten.“ Der in dieser Aufgabenstellung angesprochene Standard ergibt sich aus der Verknüpfung der beiden angeführten „Ich kann“-Statements und umfasst die mathematische Kompe-tenz, die in einem verbal gegebenen Sachverhalt enthaltenen mathematischen Bezie-hungen mit Hilfe von Variablen, Termen bzw. Gleichungen in symbolischer Form darzu-stellen. Anmerkung: Eine Variante dieser Aufgabe findet sich im Aufgabenpool.

Beispiel 2: „Rabatt“

Andrea freut sich: „Heute habe ich beim Einkauf 20% Rabatt bekommen und mir da-durch € 50,- erspart. Um einen derartigen Betrag an Zinsen zu bekommen, müsste ich € 1.250,- ein Jahr lang auf meinem Sparkonto liegen haben.“ Wie viel hätte Andrea ursprünglich bezahlen müssen? Mit welchem (Jahres-)Zinssatz wird Andreas Sparkonto verzinst?

Angesprochener Standard In der Aufgabenstellung geht es um die Ermittlung eines Grundwerts bei gegebenem Prozentsatz und Prozentwert bzw. um die Ermittlung eines Zinssatzes aus Anfangswert und Zinsen.


Die Lösung der Aufgabe erfordert einfache Berechnungen mit Bruch- und/oder Dezimal-zahlen (unter Verwendung eines Taschenrechners), also: A2 Operieren, Rechnen: „Ich kann Berechnungen mit konkreten Zahlen (auch Bruch- und Dezimalzahlen, …) durchführen und dabei elektronische Rechenhilfsmittel zweckmäßig ein-setzen.“ Inhaltlich geht es in dieser Aufgabe um einen verständigen Umgang mit Prozenten bzw. Zinsen, somit: B1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen: „Ich kenne die Begriffe ‚Prozent’ und ‚Zinsen’ und kann damit verständig umgehen.“ Der in der Aufgabe angesprochene Standard ergibt sich aus der Verknüpfung der beiden angeführten „Ich kann“-Statements und umfasst die mathematische Kompetenz, aus entsprechenden Angaben Grundwerte/Anfangswerte, Endwerte, Prozentwerte/Zinsen bzw. Prozentsätze/Zinssätze zu ermitteln.

Beispiel 3: „Konstruktion eines rechtwinkeligen Dreiecks“

Von einem rechtwinkeligen Dreieck ist die längste Seite c = 6 cm sowie der Winkel α = 60° gegeben. Beschreibe, wie du vorgehst, wenn du dieses Dreieck zeichnest!

Angesprochener Standard In dieser Aufgabe geht es um die Beschreibung einer elementaren geometrischen Kon-struktion (rechtwinkeliges Dreieck, von dem die Hypotenuse und ein Winkel bekannt sind), also um: A3 Interpretieren und Dokumentieren: „Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschrei-ben.“ B3 Arbeiten mit Figuren und Körpern: „Ich kann für einfache ebene Figuren … Zeichnungen erstellen ….“ Der durch die Aufgabenstellung angesprochene Standard ergibt sich aus der Verknüp-fung der beiden angeführten „Ich kann“-Statements und umfasst die mathematische Kompetenz, die Konstruktion rechtwinkeliger Dreiecke verbal zu beschreiben.


Beispiel 4: „Durchschnittliche Körpergröße“

Für eine Schulstatistik sollst du die durchschnittliche Körpergröße der Schülerinnen und Schüler deiner Klasse ermitteln. Für welches Durchschnittsmaß (arithmetisches Mittel, Median, …) würdest du dich ent-scheiden? Begründe!

Angesprochener Standard Es geht in dieser Aufgabe darum, die Entscheidung für eine bestimmte Modellierung ei-nes statistischen Durchschnitts zu begründen, also um: A4 Argumentieren und Begründen: „Ich kann meine Entscheidung für die Verwendung ei-nes bestimmten mathematischen Modells … begründen.“ B4 Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen: „Ich kenne das arithmetische Mittel, den Median … und kann mit diesen Kennzahlen angemessen arbeiten.“ Der durch die Aufgabenstellung angesprochene Standard ergibt sich aus der Verknüp-fung der beiden angeführten „Ich kann“-Statements und umfasst die mathematische Kompetenz, die Entscheidung für die Auswahl und Verwendung eines im jeweiligen Kon-text sinnvollen Zentralmaßes zu begründen. Die hier angeführten Beispiele 1 – 4 waren von besonders einfacher Art und sollten ledig-lich prototypisch die Verknüpfung eines „Ich kann“-Statements der Handlungsdimension mit einem „Ich kann“-Statement der inhaltlichen Dimension zu einem entsprechenden Standard demonstrieren. Im Unterricht wird man in vielen Fällen umfassendere Aufgaben stellen, in denen mehre-re „Ich kann“-Statements (allenfalls unterschiedlicher Ausprägungen) der Handlungsdi-mension mit mehreren „Ich kann“-Statements (allenfalls unterschiedlicher Ausprägun-gen) der inhaltlichen Dimension verknüpft sind, und so in einer Aufgabe mehrere Stan-dards gleichzeitig ansprechen:


Beispiel 5: „Wettrennen“

Susi und Karl haben an einem Wettlauf teilgenommen. Folgende grafische Darstellung zeigt den Rennverlauf:

Ergänze mit Hilfe der grafischen Darstellung die fehlenden Textstellen:

Unmittelbar nach dem Start des Wettrennens war Susi in Führung.

Nach 600 m waren beide auf gleicher Höhe.

Dann war Karl …….. Minuten lang in Führung.

Nach …… Metern waren Karl und Susi wieder auf gleicher Höhe.

Letztlich gewann aber …………… das Wettrennen, er/sie hat die

…… Meter lange Strecke in …… Minuten bewältigt, was einer

durchschnittlichen Geschwindigkeit von …… km/h entspricht.

Hingegen erreichte ………… erst …… Minuten später das Ziel.

Angesprochene Standards Es geht in dieser Aufgabe insbesondere darum, aus der grafischen Darstellung einer Zeit-Weg-Funktion Argumentwerte und Funktionswerte abzulesen. Am Ende des Textes ist


mit Hilfe von Werten, die der Grafik entnommen wurden, eine durchschnittliche Laufge-schwindigkeit zu berechnen, wobei m/min in km/h umzurechnen ist. Somit: A2 Operieren, Rechnen: „Ich kann Berechnungen mit konkreten Zahlen (…) durchführen ….“; „Ich kann zwischen verschiedenen Darstellungen für Zahlen und Maße (…) wechseln.“ A3 Interpretieren und Dokumentieren: „Ich kann … mathematische Darstellungen eines Sachverhalts im jeweiligen Kontext interpretieren.“ Inhaltlich wird in dieser Aufgabe vor allem die grafische Darstellung von Funktionen an-gesprochen, aber auch verschiedene Maßeinheiten für Geschwindigkeiten werden benö-tigt. Daher: B1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen: „Ich kenne verschiedene Maßeinheiten und kann damit umgehen.“ B2 Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten: „Ich kenne verschiedene Dar-stellungen von Funktionen, kann diese angemessen einsetzen und mit ihnen arbeiten.“ Die durch die Aufgabenstellung angesprochenen Standards ergeben sich aus der Ver-knüpfung der unter A2 und B1 bzw. unter A3 und B2 angeführten „Ich kann“-Statements und umfasst die mathematischen Kompetenzen, Maßzahlen auszurechnen und umzu-wandeln bzw. Funktionsgraphen in Bezug auf einen vorgegebenen Kontext qualitativ wie auch quantitativ zu interpretieren. Anmerkung: Eine Variante dieser Aufgabe findet sich im Aufgabenpool.

Beispiel 6: „Holzbrettertransport“

Die Ladefläche eines Kleinlastwagens ist 4,2 m lang und 2,2 m breit, das höchstzulässi-ge Ladegewicht beträgt 1,3 Tonnen. Mit diesem Kleinlastwagen sollen 330 Holzbretter transportiert werden, die 400 cm lang, 10 cm breit und 2 cm dick sind. Ein dm3 dieser Holzart hat eine Masse von 0,5 kg. Was meinst du dazu?

Angesprochene Standards Es geht in dieser etwas komplexeren Aufgabe zunächst vor allem darum, den gegebenen Sachverhalt und die sehr offene Frage sowie die für die Fragestellung relevanten Daten und Beziehungen zu erfassen. Man kann rasch erkennen, dass die Länge und Breite der Ladefläche ausreichen, um diese Bretter zu transportieren. Ob die 330 Bretter das zulässi-ge Ladegewicht überschreiten (also mehrere Fahrten erforderlich werden) oder nicht, ist aus den angegebenen Daten nicht unmittelbar erkennbar. Dazu ist eine Volumsberech-nung (Quader) und die Berechnung der Masse aller Bretter erforderlich, wobei zwischen verschiedenen Maßeinheiten gewechselt werden muss. Vorrangig angesprochen werden mit dieser Aufgabe somit:


A1 Darstellen, Modellbilden: „Ich kann einen gegebenen Sachverhalt erfassen und mathe-matische Beziehungen darin erkennen.“; „Ich kann mich … für einen geeigneten Lösungsweg zur Bearbeitung eines Problems entscheiden und Lösungsabläufe planen.“ A2 Operieren, Rechnen: „Ich kann zwischen verschiedenen Darstellungen für Zahlen und Maße (…) wechseln.“; „Ich kann Berechnungen mit konkreten Zahlen (…) durchführen ...“ A3 Interpretieren und Dokumentieren: „Ich kann eine zur Problemstellung … passende Ant-wort formulieren.“ Inhaltlich wird für die Lösung dieser Aufgabe vor allem ein sicherer Umgang mit ver-schiedenen Maßeinheiten sowie die Fähigkeit zur Berechnung des Volumens eines Qua-ders erforderlich sein, also: B1 Arbeiten mit Zahlen und Maßen: „Ich kenne verschiedene Maßeinheiten und kann damit umgehen.“ B3 Arbeiten mit Figuren und Körpern: „Ich kann … einfache Körper (Quader, Prisma, ….) er-kennen ...“; „Ich kann … Volumina einfacher Körper ermitteln.“ Die durch die Aufgabenstellung angesprochenen Standards ergeben sich aus der Ver-knüpfung von „Ich kann“-Statements der Handlungsdimension mit solchen der inhaltli-chen Dimension. Es ergeben sich daraus mehrere entsprechende mathematische Kompe-tenzen, auf deren verbale Charakterisierung hier verzichtet wird. Anmerkung: Eine Variante dieser Aufgabe findet sich im Aufgabenpool.


5 Beiträge mathematischer Bildung zu überfachlichen Kompetenzen und Standards

5.1 Einleitung

Die planmäßige Förderung überfachlicher Kompetenzen ist ein relativ neues Element im Schulunterricht. Deswegen gibt es für die Vermittlung und Überprüfung dieser Kompe-tenzen noch nicht jenen umfangreichen Erfahrungsschatz, der für den fachlichen Unter-richt zur Verfügung steht. Nach der allgemeinen Beschreibung der jeweiligen Kompetenz und der Darstellung des Lehrplanbezugs werden in Analogie zu den fachlichen Standards ebenfalls „Ich kann“-Statements formuliert, die insgesamt Hinweise geben, aus welchen Teilkompetenzen (Standards) sich die überfachlichen Kompetenzen zusammensetzen. Bei den Aufgaben werden auch Unterrichtsstrategien angeführt, die im Fachunterricht eingesetzt werden können, um die Entwicklung dieser überfachlichen Kompetenzen zu fördern. Diese Strategien betreffen nicht das Ergebnis, sondern die Gestaltung und den Verlauf des Unterrichtsprozesses. Dazu werden vereinzelt auch didaktische Anregungen angeführt, wie die Umsetzung die-ser Unterrichtsstrategien gestaltet werden könnte. Diese Unterrichtsstrategien sind in den meisten Fällen nicht direkt einzelnen Standards zuordenbar, sondern sprechen meh-rere Standards, auch aus anderen Kompetenzbereichen, an.

5.2 Ausprägungen der überfachlichen Kompetenzen (C)

C1: Autonomes Lernen C2: Arbeitstechniken, Methodenkompetenzen C3: Kooperatives Handeln C4: Kritisches Denken und Reflektieren


Autonomes Lernen

Fähigkeiten und Einstellungen, um den Prozess des Wissenserwerbs zu planen und aufrechtzuerhalten, dessen Erfolg selbstständig zu überprüfen und entsprechend steuernd zu wirken. Dazu gehören neben effizienten Lernstrategien auch Motivation, Kontrollüberzeu-gung und eine Wertschätzung des Lernens an sich.

Arbeitstechniken, Methodenkompe-tenzen

Fähigkeiten und Einstellungen, sich Informationen zu beschaffen, zu vergleichen, auszuwählen, aufzubereiten und so zu verarbeiten, dass eine Weitergabe möglich wird.


Kooperatives Handeln

Fähigkeiten und Einstellungen, um bei der Bearbeitung von Aufga-benstellungen mit anderen zusammenzuarbeiten und dabei Konflik-te konstruktiv auszutragen.

Kritisches Denken und Reflektieren

Fähigkeiten und Einstellungen zum eigenständigen Hinterfragen und Bewerten von Aussagen und Situationen und zum Vermeiden von Fehlschlüssen aufgrund unzureichender Informationen als Bei-trag zur Manipulationsresistenz.

5.3 „Ich kann …“ – Statements zu den überfachlichen Kompetenzen

Die Formulierungen der überfachlichen Kompetenzen werden so gewählt, dass sie einer-seits Kompetenzen beschreiben, welche der/die Schüler/in im Verlauf der Sekundarstufe I nachhaltig erwerben sollen und andererseits diese Kompetenzen Haltungen beschreiben, die für ein lebenslanges Lernen, Teamfähigkeit und Kommunikationsfähigkeit notwendig sind. Die Standards werden in der Sprache der Schüler und Schülerinnen formuliert, wobei bei manchen Standards eine höhere Sprachkompetenz vorausgesetzt werden muss, damit der Inhalt nicht verloren geht.

C1: Autonomes Lernen

• Ich bin in der Lage, regelmäßig zu wiederholen und mitzulernen. • Ich versuche, den Lernstoff zu verstehen und nicht nur auswendig zu lernen. • Ich überlege mir, wie der neue Stoff mit dem zusammenhängt, was ich bereits

weiß.

• Ich teile meine Arbeiten ein, lege eine Reihenfolge und einen Zeitplan fest. • Ich kann kleine Stoffinhalte selbstständig mit meinem Lehrbuch erarbeiten. • Ich gebe beim Lernen und bei der Hausübung so lange nicht auf, bis ich den Stoff

verstanden oder mir zumindest überlegt habe, was ich fragen muss, damit ich mich auskenne.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Zur Vermittlung fundierten Wissens als zentraler Aufgabe der Schule sollen die Schülerin-nen und Schüler im Sinne eines lebensbegleitenden Lernens zur selbstständigen, aktiven Aneignung, aber auch zu einer kritisch-prüfenden Auseinandersetzung mit dem verfüg-baren Wissen befähigt und ermutigt werden. Die Vermittlung von Lerntechniken ist eine unabdingbare Voraussetzung für selbsttätiges Erarbeiten von Kenntnissen und Fertigkeiten, dient aber auch dem Zweck, eine Basis für den lebensbegleitenden selbstständigen Bildungserwerb zu legen.

C2: Arbeitstechniken, Methodenkompetenzen

• Ich kann mir gezielt Informationen aus Büchern, Zeitschriften, Lexika und sonsti-gen schriftlichen Unterlagen beschaffen.

• Ich kann mir gezielt Informationen aus Bibliotheken und dem Internet beschaffen.


• Ich kann aus dem gefundenen Informationsmaterial das für mich Wichtige aus-wählen und strukturieren.

• Ich kann die ausgewählten Informationen mit eigenen Worten zusammenfassen. • Ich kann mit Hilfe einer Textverarbeitung eine schriftliche Zusammenfassung er-

stellen.

• Ich kann eine Folie oder ein Plakat gestalten. • Ich kann die Ergebnisse meiner Arbeit vor anderen präsentieren. • Ich kann bei Referaten frei sprechen.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Grundsätzlich sind […] Einsatzmöglichkeiten zur planmäßigen Nutzung von elektroni-schen Hilfen beim Bearbeiten von Fragestellungen der Mathematik und als informations-technische Hilfe (in Form von elektronischen Lexika, Statistiken, Fahrplänen, Datenban-ken, …) gegeben. […] Bei der Gestaltung des Unterrichts ist darauf zu achten, dass für die Präsentation individuellen Wissens Möglichkeiten geboten werden.

C3: Kooperatives Handeln

• Ich übernehme Aufgaben in einer Gruppe. • Ich bin bereit, in einer Gruppe Verantwortung und Pflichten zu übernehmen. • Ich helfe anderen Gruppenmitgliedern. • Ich spreche auftretende Schwierigkeiten in der Gruppe an. • Ich vertrete meine Meinung in der Gruppe in angemessener Weise. • Ich gehe sachlich mit Meinungsverschiedenheiten um. • Ich bin bereit, Mehrheitsentscheidungen gegen meine Meinung zu akzeptieren,

wenn dadurch nicht Rechte von Minderheiten eingeschränkt werden. Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) Fähigkeit und Bereitschaft, Verantwortung zu übernehmen, mit anderen zu kooperieren, Initiative zu entwickeln und an der Gestaltung des sozialen Lebens innerhalb und außer-halb der Schule mitzuwirken; […] Einzelarbeit, Partnerarbeit, Gruppenarbeit und projekt-orientierter Unterricht sollen die bestimmenden Unterrichtsformen des Mathematik-unterrichts sein.

C4: Kritisches Denken und Reflektieren

• Ich hole Informationen ein, bevor ich mir eine Meinung bilde. • Ich höre mir die Argumente anderer an. • Ich unterscheide zwischen Meinungen und Fakten. • Ich unterscheide zwischen verstandesmäßigen und gefühlsmäßigen Begründungen. • Ich treffe Entscheidungen auf der Basis von Fakten und Argumenten. • Ich nehme Widersprüche zu meiner Meinung ernst und denke darüber nach. • Ich überprüfe Ergebnisse auf ihre Sinnhaftigkeit.


• Ich versuche alle Schritte genau nachzuvollziehen, wenn Überlegungen und Ar-gumentationen vorgebracht werden.

• Ich überprüfe prinzipiell bestimmte (z. B. statistische) Angaben und Aussagen kri-tisch.

Lehrplanbezug (BGBl. II Nr. 133/2000 und 134/2000) […] Dabei ist die Bereitschaft zum selbstständigen Denken und zur kritischen Reflexion besonders zu fördern. […] Kritisches Denken, insbesondere: Überprüfen von Vermutun-gen; Überprüfen von Ergebnissen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer Modelle; Erkennen von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen; Überlegen von Bedeutungen mathematischer Methoden und Denkweisen; Überlegen der Bedeutung des Mathematikunterrichts für die eigene Person. Mensch und Gesellschaft: […] kritischer Umgang mit empirischem Datenmaterial

5.4 Prototypische Aufgabenbeispiele für überfachliche Standards

Diese Beispiele kommen in der Aufgabensammlung noch einmal vor. Dort werden Hilfs-mittel, Lösungen und methodische Hinweise ausführlich behandelt. Hier wird eine Erklä-rung gegeben, warum dieses Beispiel als Prototyp für eine bestimmte Kompetenz ange-sehen werden kann.

Aufgabe „Prozentewettbewerb“

Diese „Aufgabe“ beinhaltet einfache Prozentaufgaben und ein Lernarrangement und kann als Prototyp für autonomes Lernen gesehen werden: Die Schüler/innen sollen dabei selbst Arbeiten ein- und aufteilen. Sie erleben, dass sie Schwierigkeiten von Aufgaben einzuschätzen haben und entscheiden, welche Teilaufga-ben sie sich zutrauen. Sie sollten Sicherheit beim Prozentrechnen zeigen und festigen, da viele Bereiche der Prozentrechnung vorkommen. Es soll einsichtig werden, dass ein gutes Gruppenergebnis nur dann möglich wird, wenn jedes Gruppenmitglied selbstständig und autonom arbeitet. AUFGABENSTELLUNG Die Gruppe erhält einen Stapel von Karten, auf denen jeweils eine Aufgabe steht. Ver-sucht nun in der Gruppe möglichst viele Punkte durch richtiges Lösen der Aufgaben auf den Kärtchen zu sammeln. Es gibt 1-Punkt (gelbe Karten), 2-Punkte (grüne Karten) und 3-Punkte (rosa Karten) Auf-gaben. Kärtchen, die von der Lehrerin/dem Lehrer vorzubereiten sind (pro Gruppe „1 Paket“, hier gekürzt): 1-Punkt-Beispiele (auf gelben Karten):

• Gib den Bruch ¼ in Prozent an! • Ein Buch kostet ohne Mehrwertsteuer 28 €. Wie viel kostet es inklusive 10% Mehr-

wertsteuer? • In einer Klasse sind 45% Mädchen und 55% Knaben. Stelle in einem 10 cm langen

und 1 cm breiten Prozentstreifen dar! • …


2-Punkte-Beispiele (auf grünen Karten): • Peter spart 25 € seines Taschengeldes. Er bekommt 200 €. Wie viel Prozent spart

Peter? • Von den 160 Schülerinnen und Schülern einer Schule sind 120 Mädchen. Wie viel

Prozent sind das? • …

3-Punkte-Beispiele (auf rosa Karten):

• 66 2/3 % sind 36 €. Berechne den Grundwert! • Eine Rechnung lautet inklusive 10% Mehrwertsteuer auf 55 €. Berechne den Preis

ohne Mehrwertsteuer! • …

KLASSIFIKATION

Allgemeine mathematische Kompetenz A2: Operieren, Rechnen Inhaltliche mathematische Kompetenz B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen Überfachliche Kompetenz C1: Autonomes Lernen Geringe Komplexität

Aufgabe „Kinobesuch“

Die Arbeitsanweisungen an die Schüler/innen in dieser „Aufgabe“ machen sie zu einem Prototypen für Arbeitstechniken, Methodenkompetenzen: Die Schüler/innen sollen dabei selbstständig Informationen im Internet suchen, eine Auswahl der relevanten Informationen treffen, diese in Hinblick auf die Fragestellung verarbeiten und eine adäquate Präsentation vorbereiten. AUFGABENSTELLUNG Markus will mit seiner Freundin Verena in Innsbruck ins Kino gehen. Verena wohnt in Schwaz und Markus wohnt in Telfs. Für beide besteht die Möglichkeit mit dem Zug oder mit dem Bus nach Innsbruck zu fahren. Das Kino ist vom Hauptbahnhof in ca. 10 Minuten zu Fuß erreichbar. Der Film beginnt um 17:15 Uhr und dauert 105 Minuten.

• Sucht im Internet nach den Fahrplanzeiten • Wann müssen Verena und. Markus von ihrem jeweiligen Heimatort losfahren, um

rechtzeitig beim Kino zu sein? • Wann haben beide wieder eine Verbindung nach Hause? • Wie groß ist der geringste Zeitaufwand jedes Einzelnen für diesen Kinobesuch? • Bereitet eine Präsentation eurer Ergebnisse vor!

KLASSIFIKATION

Allgemeine mathematische Kompetenz A3: Interpretieren und Dokumentieren Inhaltliche mathematische Kompetenz B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen Überfachliche Kompetenz C2: Arbeitstechniken, Methodenkompetenzen Mittlere Komplexität


Aufgabe „Was trinkst du morgens zum Frühstück?“

Diese „Aufgabe“ beinhaltet statistische Darstellungen und ein methodisches Arrange-ment und steht als Prototyp für kooperatives Handeln: In einer Expertengruppe erarbeiten sich Schüler/innen bestimmte Fähigkeiten, sie spre-chen sich im Team ab und einigen sich über die Informationsweitergabe. In einer Misch-gruppe sind sie einerseits Tutoren andererseits aktiv Lernende und aktive Zuhörer/innen. AUFGABENSTELLUNG Schüler und Schülerinnen einer Schule wurden nach ihren bevorzugten Frühstücksge-tränken befragt. Es war nur eine der angeführten Antworten anzukreuzen. Sonstiges ٱ Saft ٱ Tee ٱ Milch ٱ Kakao Kaffee ٱ Die Auswertung dieser unter 500 Schüler/innen durchgeführten Umfrage führte zu fol-gender Häufigkeitstabelle:

Kakao Milch Saft Kaffee Tee Sonstiges 124 160 62 46 72 36

Die Daten werden auf vier verschiedene Arten dargestellt. Phase 1: Arbeitsauftrag an die Mitglieder der Expertengruppe:

• Zunächst macht sich jeder in Einzelarbeit mit der vorgelegten Darstellungsform vertraut.

• Tauscht eure Erkenntnisse aus. Was soll im Heft über diese Darstellungsform fest-gehalten werden? Bereitet für die Phase 2 eine Erklärung vor.

Phase 2: Arbeitsauftrag an die Mixgruppen:

• Jede/r Schüler/in stellt seine/ihre Darstellungsform vor und sagt, was davon im Heft festgehalten werden soll.

• Erstellt ein Plakat, welches die Merkmale der verschiedenen Darstellungsformen beschreibt.

Phase 3: Präsentation der Plakate KLASSIFIKATION

Allgemeine mathematische Kompetenz A1: Darstellen, Modellbilden, A3: Interpretie-ren und Dokumentieren

Inhaltliche mathematische Kompetenz B4: Arbeiten mit statistischen Kenngrößen und Darstellungen

Überfachliche Kompetenz C3: Kooperatives Handeln Mittlere Komplexität


Aufgabe „Parkplatz“

Die Diskussion unterschiedlicher Lösungsvorschläge macht diese „Aufgabe“ zum Proto-typen für kritisches Denken und Reflektieren: Es geht darum, Argumente und Begründungen zu suchen, über unterschiedliche Meinun-gen nachzudenken und Ergebnisse auf ihre Sinnhaftigkeit zu überprüfen. Schritte, die zu falschen Lösungsansätzen führen, sind genau nachzuvollziehen. Begründungen können dann gegeben werden, wenn Wide

bildungsstandards für mathematik am ende der 8....

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