biến đổi các biểu thức chứa căn1 biến đổi các biểu thức chứa căn chứng...
TRANSCRIPT
1
Biến đổi các biểu thức chứa căn
Chứng minh các đẳng thức có chứa biểu thức chứa căn
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau :
A = 1
3 1-
1
3 1 B = 10 2 21 - 10 2 21
C = 4 8 . 2 2 2 . 2 2 3 D = 2 3 5 13 48
E = 2 8 12
18 48
-
5 27
30 162
F = ( 6 + 2 )( 3 -2) 3 2
M = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 15 N = 3 5 .(3+ 5 )( 10 - 2 )
H = 1
3+
1
3 2+
1
3
5 1
12 6 K =
2 3 3 13 48
6 2
S = 0,25 961 2 10 15 6
Hướng dẫn giải
A = 1
B = 2( 7 3) - 2( 7 3) = 7 3 - ( 7 3) = -2 3
C = 2(2 2) . 4 (2 2) = 2(2 2)(2 2) = 2
D = 2 23 5 (2 3 1) = 2 23 ( 3 1) = 2 4 2 3 = 6 2
F = ( 3 +1)( 3 -2) 2 3 4 = ( 3 +1)( 3 -2)2( 3 1) =( 3 +1)2( 3 -2)
= 2( 3 +2)( 3 -2) = - 2
Tương tự như câu F, ta dễ dàng biến đổi được :
M = 2N = 8
H = 1 1 5 2 6
363 3 2
=
2 3 2 3 2
6
=
3
2
K = 1 ;
2S = 31 8 10 4 15 4 6 =2( 3 2 2 2 5) = 3 2 2 2 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tính giá trị các biểu thức sau :
A = 6 24 12 8 4 2 3
B = 10 60 24 40 5 2 6
2
C = 15 4 12
6 1 6 2 3 6
( 6 + 11).
D = 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
GỢI Ý – ĐÁP SỐ
A = 1;
B = 5 3 2 ( 3 2) = 5
C = - 115
Nhận xét D > 0. Tính ;
D2 = 8 2 10 2 5 + 8 2 10 2 5 + 2 64 4(10 2 5)
= 16 + 2 24 8 5 = 16 + 4( 5 - 1)= 12 + 4 5 = ( 210 2) . Vậy D = 10 2
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau :
A = 3 5
2 3 5
+
3 5
2 3 5
B =
31
2
31 1
2
+
31
2
31 1
2
C = 6 2 8 2 9 - 7 2 .
Hướng dẫn giải
a) A = 6 2 5
2(2 6 2 5 )
+
6 2 5
2(2 6 2 5 )
=
2
2(3 5)
2(2 (1 5) )
+
2
2(3 5)
2(2 ( 5 1) )
=2(3 5)
3 5
+
2(3 5)
3 5
= 2 2
b) Ta có :
31
2
31 1
2
=4 2 3
4 2 4 2 3
=
2( 3 1)
4 2( 3 1)
=
2( 3 1)
2 3( 3 1)
=
3 1
2 3
Tương tự ta có :
31
2
31 1
2
= 3 1
2 3
. Do đó: B = 1
3
c) Ta có : 6 2 8 2 9 = 7 - 2 + 2 - 1 + 2 (7 2)( 2 1)
= 2
7 2 2 1 6 2 8 2 9 = 7 2 2 1
Vậy : 6 2 8 2 9 - 7 2 = 7 2 2 1 - 7 2 = 2 1
Phương pháp : Biến đổi biểu thức dưới căn là một bình phương của tổng hoặc của hiệu. Ta chọn 2 số a, b
thỏa mãn :
a2 + b2 = 6 và ab = 8 2 9 nghĩa là : a2b2 = 8 2 9
Rõ ràng a2 ; b2 là nghiệm của phưong trình :
x2 – 6x + 8 2 9 = 0 có ' = 9 – (8 2 9 ) = 2(4 2)
x = a2 = 3 + 4 2 = 7 - 2 a = 7 2
x = b2 = 3 – 4 + 2 = 2 - 1 b = 2 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tính giá trị các biểu thức sau :
A = 7 2 17 2 2 2 - 3 2 1
B = 20 8 3 20 8 3 4 3 4 3
5 2 3 5 2 3 4 3 4 3
C = 5 6 10 15 16 4 15
2
D = 2 3 4 2 3 21 12 3
E = 4 7 4 7
3 2 4 7 3 2 4 7
F = 34 13 7
2 7 5
-
15 6 7
7 2
GỢI Ý – ĐÁP SỐ
a) Áp dụng phương pháp ở câu c)
b) B = 2( 5 2 3 5 2 3)
5 2 3 5 2 3
2( 4 3 4 3 )
4 3 (4 3)
=22( 5 2 3 5 2 3 )
5 2 3 (5 2 3)
2( 4 3 4 3 )
4 3 (4 3)
=
2(10 2 13)
4 3
(8 2 13)
2 3
=
5 13 4 13
3
=
3
3
c) C = 1
4
d) D = 22 3 4 2 3 (2 3 3) = 2 3 7 4 3 = 22 3 (2 3) = 4 = 2
e) E = 8 2 7 8 2 7
2(6 8 2 7 ) 2(6 8 2 7 )
=
2 2
2 2
( 7 1) ( 7 1)
2(6 ( 7 1) ) 2(6 ( 7 1) )
=
2 2
1 ( 7 1) ( 7 1)
2 7 7 7 7
= 1
7 1 7 114
= 2 7
14= 2
f) F = - 2
Bài 3. Tính 2 2
5 35 2 3 3 5 2 3 3 5
2 2A
B =3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
.
(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3C
2 2
21 2 3 3 5 6 2 3 3 5 15 15D
Hướng dẫn giải
a) 2 25 1
4 2 3 6 2 5 5 4 2 3 6 2 5 32 2
A
= 2 25 1
3 1 5 1 5 3 1 5 1 32 2
=15 5
2 2 =10
b) B = (3 3 4)(2 3 1) ( 3 4)(5 2 3)
12 1 25 12
=
11(2 3) 13(2 3)
11 13
= 4 2 3 4 2 3
2 2
=
3 1 3 1 2 36
2 2
c) (7 4 3)(26 15 3) (7 4 3)(26 15 3)C = 2 3 - 2 3 = …..= 2
d) Làm tương tự bài a)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tính:
a) A = 1 1 1
19 19 4 23 18 141 1 1 1 1 1
23 37 19 37 19 23
5
b) B = 24 3 8 15 2 1 240 14399
.... ....1 3 3 5 1 1 119 121
n n
n n
c) C = 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 ....... 1
2 3 3 4 2015 2016
d) D = 2 3 2 3 3 2 3
2 (24 8 6)3 2 4 2 2 3 2 3 2 3
GỢI Ý – ĐÁP SỐ
a) A = 1
b) Xét phân thức dạng tổng quát : 22 1
1 1
n n
n n
=
1 ( 1)( 1) 1
1 1
n n n n
n n
= ( 1 1)( 1 ( 1)( 1) 1)
( 1 1)( 1 1)
n n n n n n
n n n n
= 3 31
( 1) ( 1)2
n n
Gán cho n lần lượt các giá trị : 2; 4; 6;….; 120
Ta có : B = 3 3 3 3 3 313 1 5 3 .... 121 119
2 = 665
c) Xét phân thức dạng tổng quát :
1+2 2
1 1
( 1)n n
=
21
1n
-
2( 1) 1.
1
n
n n
+
2
1
( 1)n =
21 1
11n n
Suy ra : 2 2
1 1
1)1
(n n
=
21 1
11n n
=
1 11
1n n
(vì
1 1
1n n
)
Gán cho n lần lượt các giá trị : 2; 3;….; 2015
Ta tính được: C = 2014263
504.
d) D = -5
Bài 4.
a) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :x + y + z + xyz = 4.
Chứng minh rằng : (4 )(4 )x y z + (4 )(4 )y x z + (4 )(4 )z y x = 8 + xyz
b) Cho x 0, y x 0 thoả mãn : x x + y y - 6(x + y) + 13( x + y ) = 20 .
Chứng minh rằng: x x + y y + 12 xy + 487( x + y ) = 2012
c) Cho hai số a, b thoả mãn: 5 2 3a b và 7 4 1 6a b .
Tính giá trị của biểu thức : M = a – 4b + 2016.
6
Hướng dẫn giải
a) Ta có : x + y + z + xyz = 4 4x + 4 xyz = 16 – 4(y + z)
(4 )(4 )x y z = x(16 – 4(y + z) + yz) = x(4x + 4 xyz + yz)
= 4x2 + 4x xyz + xyz = (2x + xyz )2
Suy ra : (4 )(4 )x y z = 2(2x )xyz = 2x + xyz (1)
Lí luận tương tự có : (4 )(4 )y x z = 2y + xyz (2);
(4 )(4 )z y x = 2z + xyz (3)
Từ : (1), (2), (3) cho :
(4 )(4 )x y z + (4 )(4 )y x z + (4 )(4 )z y x
= 2(x + y + z) + 3 xyz = 2(8 - xyz ) + 3 xyz = 8 + xyz
b) Đặt : S = x + y , P = xy ( S, P 0)
Ta có : x x + y y = S3 – 3SP và x + y = S2 – 2P
Do đó : S3 – 3SP – 6(S2 – 2P) + 13S – 20 = 0
(S3 – 4S2) – (2S2 – 8S) – (3SP – 12P) + 5S – 20 = 0 (S – 4)(S2 – 2S – 3P + 5) = 0
Lại có : S2 – S – 3P + 5 = ( x + y )2 -2( x + y ) - 3 xy + 5 = x - xy + y - 2 x - 2 y + 5
= 1
2( x - y )2 +
1
2( x - 2)2 +
1
2( y - 2)2 + 1 > 0. Do đó: S = 4
Vậy : x x + y y + 12 xy + 487( x + y )
= S3 – 3SP + 12P + 487.S = S3 + 487.S = 64 + 487.4 = 2012
c) Ta có : 2( 5 2a b ) + 7 4 1a b = 0
2( 5 2 1a b ) + ( 7 2 2)a b = 0
2( 5 4 4)
5 2 1
a b
a b
+
7 4 8
7 2 2
a b
a b
= 0 a – 4b + 1 = 0 M = 2015
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
a) Chứng minh rằng : x = ( )( )( )ab cd bc da ca bd là số hữu tỉ trong đó a, b, c, d là các số hữu tỉ thỏa
mãn điều kiện a + b + c + d = 0
b) Cho x, y là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn : x3 + y3 = 2x2y2
Chứng minh rằng : 1
1xy
là số hữu tỉ
c) Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a – ab – 6b = 0.
7
Tính giá trị của biểu thức : P = a b
a ab b
d) Cho a, b thỏa mãn (a – 1)(a – 3) + 2 ( 2) 1a b b b .
Tính giá trị của biểu thức a – b.
e) Chứng minh rằng số : x0 = 2 2 3 - 6 3 2 3 là một nghiệm của phương trình: x4 – 16x2
+ 32 = 0
GỢI Ý – ĐÁP ÁN
a) Vì : a + b + c + d = 0 a + b + c = - d. Do đó :
bc – ad = bc + a(a + b + c) = bc + a(a + b) + ac = (a + b)(a + c)
Lí luận tương tự : ca – bd = (b + c)(b + a) và ab – cd = (c + a)(c + b)
Vậy : (ab – cd)( bc – ad)( ca – bd) = 2
( )( )( )a b b c c a (ĐPCM)
b) Ta có : x3 + y3 = 2x2y2 (x3 + y3)2 = 4x4y4
3 3 4 4 3 3
4 4 4 4
1 1 4 ( 1) 4 41
4 4
xy x y xy x y x y
xy xy x y x y
=
2
3 3 3 3
4 4
4
4
x yx
x y
y =
2
4
3 3
4
-
4
x
x y
y
1
1xy
= 2 2
1
2
x yQ
y x
c) a – ab – 6b = 0 ( 3 )( 2 )a b a b = 0 3a b (a, b >0)
Do đó : P = 9
9 3
b b
b b b
=
10
13
d) 2
0 2 2 3 6 3 2 3 2 (2 2 3)(6 3 2 3)x = 8 - 2 2 3 - 2 6 3 3
Vậy : 2 2 3 + 2 6 3 3 = 8 - 2
0x
4(2 + 3 ) + 4(6 - 3 3 ) + 8 3 = 64 - 162
0x + 4
0x 4
0x - 162
0x + 32 = 0.
Vậy x0 là nghiệm phương trình x4 – 16x2 + 32 = 0
Bài 5.
a) Không dùng máy tính so sánh :
1 1 1 13.4 4.5 5.6 .... 100.101
5 6 7 102 và 5096
b) Cho x = 1
3( 1 2) +
1
5( 2 3) +
1
7( 3 4) + . . . +
1
49( 24 25).
Chứng minh rằng : x < 2
5.
8
Hướng dẫn giải
a) Ta có : 1
3.45
< 1
3.44
= 2 1 13 2.3.
4 2 = 21
(3 )2
= 1
32
Tương tự : 1
4.56
< 4 + 1
2;
15.6
7 <
15
2 ; . . . . ;
1100.101
102 <
1100
2
Suy ra : VT < (3 + 4 + 5 + . . . + 100) +
98
1 1 1.......
2 2 2soáhaïng
= (3 100).98 1
.98 5047 49 50962 2
số số
hạng
b) Với n ; 1N n có :
1
( 1 )( 1)n n n n =
1
1
n n
n n
1
2 ( 1)
n n
n n
=
1 1 1
2 1n n
(*)
(do n + 1 > n nên dấu “=” không xảy ra)
Trong (*) thay n =1; 2; …; 24 ta được : x < 1 1 1 1 1 1
1 .....2 2 2 3 24 25
=
1 11
2 5
=
2
5
Bài 6.
a) Tìm các số hữu tỉ x để A = 6
1
x
x
nhận giá trị nguyên
b) Cho biểu thức : 2 3 2
2
x xA
x
; với x 0 và x 4
+ Rút gọn A rồi tìm các giá trị x để giá trị của A 5.
+ Tìm các giá trị của x để 2
Anhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải
a) A = 1 + 5
1x , để A nhận giá trị nguyên thì
5
1x phải có giá trị nguyên.
Đặt 5
1x = n Z , ta được n x + n = 5 x =
5 n
n
(do n 0)
Ta có : 5 n
n
0 0 < n 5, do n Z nên n 1;2;3;4;5
9
n 1 2 3 4 5
x 4 3
2
2
3
1
4
0
x 16 9
4
4
9
1
16
0
A 2 3 4 5 6
Vậy : x9 4 1
16; ; ; ;04 9 16
là các giá trị cần tìm.
Cách khác : A = 1 + 5
1x
Ta có : 1x 1 0<5
1x 51 < A 6, do A nhận giá trị nguyên nên A 2;3;4;5;6
A 2 3 4 5 6
x 16 9
4
4
9
1
16
0
b) Với x 0 và x 4.
Ta có : 2 4 2
2
x x xA
x
( 2)(2 1)
2
x x
x
= 2 1x
Ta có : A 5 khi 2 1x 5 2 x 4 x 2 x 4.
Kết hợp với ĐK : x 0 và x 4 ta được : 0 x < 4.
+ Ta có : 2 1x 1 0 <1
2 1x 1 0 <
2
A 2, do
2
AZ
Suy ra : giá trị của 2
A 1;2
Nếu : 2
A = 1 thì 2 1x = 2 x =
1
2 x =
1
4
Nếu : 2
A = 2 thì 2 1x = 1 x = 0 x = 0. Vậy x
10;
4
thì 2
AZ.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
a) Tìm các số x sao cho : B = 3 3
x
x x x nhận giá trị nguyên
b) Rút gọn biểu thức : 4 2 1 1
:42 2
x x xA
xx x x x
. (với x > 0; x 4)
Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
10
c) Cho biểu thức : A = 3
3
1 3 3 6 4 33
1 3 3 2 3 43 3 8
x x xx
x x xx
; với x 0 ; x
4
3
+ Rút gọn biểu thức A.
+ Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
GỢI Ý – ĐÁP SỐ
a) ĐK : x 0
+ Với x = 0 thì B = 0 là số nguyên
+ Với x > 0: chia cả tử và mẫu của biểu thức B cho x , ta được :
B = 1
33x
x
. Áp dụng BĐT Côsi: x + 3
x= x +
3
2 x+
3
2 x3 3
9.4
xx
=3 39
4 > 3,9
Do đó : 3
3xx
> 0,9. Ta có B > 0 0 < B < 2. Vì B nhận giá trị nguyên nên B = 1.
Từ đó suy ra : x x - 4 x + 3 = 0 ( x - 1)(x + x + 3) = 0
1
1 13
2
x
x
1
7 13
2
x
x
b) Với x>0; x 4 , ta có : 4 2 1 1
:42 2
x x xA
xx x x x
=( 2) ( 4) 2 1 ( 2)
:( 2)( 2) ( 2)
x x x x x
x x x x
=2( 2) 1
:( 2)( 2) ( 2)
x x
x x x x
= 2( 2)
( 2)( 2)
x
x x
.
( 2)
1
x x
x
=2
1
x
x
=
2( 1) 2
1
x
x
= 2 +
2
1x
Với x Z thì x là vô tỉ (khi x không chính phương) khi ấy A không nhận giá trị nguyên hay x là
số nguyên (khi x chính phương) ( x +1) Z
A nhận giá trị nguyên khi 2
1x Z khi ( x +1)Ư(2),
mà x + 1 > 1 (x > 0) nên x + 1 = 2 x = 1 x = 1
11
Bài 7.
a) Rút gọn biểu thức : P = 2
1 1 [(1 ) 1 (1 ) 1 ]
(2 1 )
x x x x x
x x
b) Cho a > 0 và 4a2 + a 2 – 2 = 0. Chứng minh rằng: 4 2
1
1
a
a a a
= 2 .
c) Cho 100 số tự nhiên a1, a2... a100 thỏa mãn điều kiện : 1 2 100
1 1 1...
a a a = 19
Chứng minh rằng trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại hai số bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) P =
2 3 3
2
1 1 ( 1 ) ( 1 )
(2 1 )
x x x
x x
= 2
2
1 1 ( 1 1 )(1 1 1 1 )
(2 1 )
x x x x x x x
x x
= 2 2
2
1 1 ( 1 1 )(2 1 )
(2 1 )
x x x x
x x
=
1 2 (1 )(1 ) 1( 1 1 )
2
x x x xx x
x
=
21( 1 1 ) ( 1 1 )
2x x x x
x
=
1( 1 1 )( 1 1 )
2x x x x
x
=
1( 1 1 )( 1 1 )
2x x x x
x
=
1 1(1 1 ) (2 )
2 2 2
x x x
x x
b) Từ 4a2 + a 2 – 2 = 0, ta có
a2 = 1
2 2
a và a4 =
21
2 2
a
= 21 2
8
a a
Do đó 4 2
1
1
a
a a a
=
4 2
4 4
( 1)( 1
1
a a a a
a a a
= 4 1a a + a2
= 21 2
18
a aa
+
1
2 2
a=
3 1
2 2 2 2
a a = 2
c) Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho không có hai số nào bằng nhau.
Ta có 1 2
1 1
a a + ... +
100
1
a <
1 1
1 2 + ... +
1
100
12
= 1 + 21 1
(2 2 3 3
+ ... + 1
100 100)
< 1 + 21 1 1
...2 1 3 2 100 99
= 1 + 2( 2 – 1 + 3 – 2 + ... + 100 – 99 )
= 1 + 2(– 1 + 100 ) = 1 + 2(–1 + 10) = 19
Mâu thuẫn giả thiết . Điều giả sử trên sai. Vậy tồn tại hai số bằng nhau.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
a) Cho a là một nghiệm dương của phương trình : 4x2 + 2 x – 2 = 0
Tính giá trị của biểu thức : A = 4 2
1
1
a
a a a
b) Rút gọn các biểu thức sau : Q = 2 1 2 1
2 1 2 1
x x x x
x x x x
, trong đó x 2.
c) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức
A = 10
10 1 10 10
yx z
xy x yz y xz x
GỢI Ý – ĐÁP SỐ
a) Do a là nghiệm dương của phương trình 4x2 + 2x – 2 = 0 4a2 + 2a – 2 = 0
a2 = 1
2 2
a ; a4 =
21 2
8
a a
Ta có A = 4 2
1
1
a
a a a
= 4 1a a + a2 =
21 2 8 8
8
a a a +
1
2 2
a
= 3 1
2 2 2 2
a a = 2
b) Q = 2 1 2 1
2 1 2 1
x x x x
x x x x
=
1 2 1 1 1 2 1 1
1 1[(2 1) 2 2 1 1] [(2 1) 2 2 1 1]
2 2
x x x x
x x x x
= 2 2
2 2
( 1 1) ( 1 1)
1 1( 2 1 1) ( 2 1 1)
2 2
x x
x x
= 1 1 1 1
1( 2 1 1 2 1 1
2
x x
x x
= 1 1 1 1
1( 2 1 1 2 1 1)
2
x x
x x
= 2( 1)x (Vì x 2 nên 1x 1 và 2 1x 1)
13
c) Ta có xyz = 10
A = 10
x
xy x +
xy
xyz xy x +
10
10
z
xz z xyz
= 10
x
xy x +
10
xy
xy x +
10
( 10 )
z
z x xy
= 10
10 10 10
xyx
xy x xy x x xy
= 1
Thực hiện : - Nhà giáo : NGUYỄN ĐỨC TẤN
- Nhà giáo : NGUYỄN ANH HOÀNG
- Nhà giáo : NGUYỄN ĐOÀN VŨ