binarna aritmetika

Visoka tehniVisoka tehniččka ka šškola Nikola Nišš

Osnovi raOsnovi raččunarske tehnikeunarske tehnike(2)(2)

Binarna aritmetikaBinarna aritmetika

dr Zoran Velidr Zoran Veliččkovikovićć, dipl. in, dipl. inžž..

Februar, 2012.Februar, 2012.

Studijski programi: KOT i SRTStudijski programi: KOT i SRT

Binarna aritmetikaBinarna aritmetika

Slično kao i kod aritmetike na papiruaritmetike na papiru, i decimalni i binarni brojevi mogu biti bilo koje veličine, ograničenja su samo u veliveliččini papiraini papira i dugotrajnosti olovkedugotrajnosti olovke!

U manipulaciji podataka u računaru se koriste fizifiziččke ke logičke kapije

i

vezeveze, tako da je njima

određena šširina podatakairina podataka.

Tako je maksimalna vrednostmaksimalna vrednost broja reprezentovanog u računaru odeđena brojem brojem bitovabitova koji predstavljaju neki broj.

NeoznaNeoznaččen binarni brojen binarni broj

NeoznaNeoznaččenieni (engl. unsigned) binarni brojevi mogu se koristiti za prikazivanje samo pozitivnihpozitivnih vrednosti.

Na sledećem slajdu prikazan je opseg brojevaopseg brojeva koji se mogu reprezentovati sa 8 bitova8 bitova.

’’’’xx’’’’ ili

’’’’**’’’’ karakter označava jedan bitjedan bit (bilo 00 bilo 11)

Na krajnjoj desnoj stranidesnoj strani se nalazi bit najmanje tebit najmanje težžineine (engl. least significant bit -LSBLSB), indeksira se kao

bit 0bit 0.

Na levoj stranilevoj strani se nalazi najtenajtežži biti bit (engl. most significant bit -

MSBMSB), indeksira se kao bit 7bit 7.

SvakiSvaki individualni bit može uzeti vrednost 11 ili 00, tako da grupa od 8 bitova8 bitova može predstaviti 2288 jedinstvenih jedinstvenih kombinacijakombinacija 0 i 1.

U decimalnoj notacijidecimalnoj notaciji to se predstavlja 00 1010 do +255+255 1010

NeoznaNeoznaččen binarni broj (2)en binarni broj (2)

Binarno sabiranje (1)Binarno sabiranje (1)

Dva binarna brojabinarna broja se sabiraju na slisliččanan način kao i kod decimalnedecimalne notacije.

Prvo se sabirajuPrvo se sabiraju dva najmanje znadva najmanje značčajnaajna LSB LSB bitabita i ako je potrebno formiraju prenosprenos za sabiranje sabiranje u sledeu sledeććem korakuem koraku.

Piostupak se ponavljaponavlja sve dok se ne dođe do MSB bitaMSB bita.

Pogledajmo primerprimer na sledećem slajdu:

Binarno sabiranje (2)Binarno sabiranje (2)PrviPrvi binarni binarni

brojbroj

DrugiDrugi binarni brojbinarni broj

1 2

3 4

5 6

7 8

Binarno oduzimanjeBinarno oduzimanje

Binarno oduzimanjeBinarno oduzimanje se može obaviti slisliččnono kao kod decimalne notacije.

Međutim, kod računara se koristi takozvana komplementarna komplementarna tehnikatehnika.

Da bi se ova tehnika realizovala kod decimalne notacijedecimalne notacije treba formirati desetidesetiččnini (engl. tenstens)) i devetidevetiččnini (engl. ninesnines)) komplementkomplement.

Kod binarnog oduzimanjabinarnog oduzimanja ekvivalenti su dvojidvojiččnini i jedinijediniččnini komplementkomplement.

Pogledajmo prvo decimalnidecimalni, a zatim primer u binarnojbinarnoj notaciji:

Tehnika Tehnika ““devetidevetiččnognog””

komplementakomplementa

Formiranje Formiranje ““devetidevetiččnognog””

komplementakomplementaMaksimalni 3Maksimalni 3--cifreni cifreni

decimalni brojdecimalni broj

1 2

Standardno oduzimanjeStandardno oduzimanje

PrenosPrenos

KonaKonaččan zbir, an zbir, odnosno odnosno razlikarazlika

Oduzimanje 9Oduzimanje 9--titiččnim komplementomnim komplementom

Tehnika Tehnika ““desetidesetiččnognog””


Formiranje Formiranje ““desetidesetiččnognog””

komplementakomplementa Dodavanje Dodavanje

““desetidesetiččnognog””


Standardno oduzimanjeStandardno oduzimanje Oduzimanje 10Oduzimanje 10--titiččnim komplementomnim komplementom

Odbacivanje Odbacivanje prenosaprenosa

JediniJediniččni komplementni komplement22

25+24+23+20=

32+16+8+1=

=57

2244+2+233+2+222+2+211==

16+8+4+2=16+8+4+2=

==3030

2244+2+233+2+211+2+200==

16+8+2+1=16+8+2+1=

==2727

Formiranje Formiranje jedinijediniččnog nog


Prenos se Prenos se dodajedodaje u u

zadnjoj fazizadnjoj fazi


JediniJediniččni komplementni komplement

Dodavanje jediniDodavanje jediniččnog nog komplementakomplementa

Oduzimanje jediniOduzimanje jediniččnim komplementomnim komplementom

DvojiDvojiččni komplementni komplement22

Formiranje Formiranje dvoidvoiččnognog komplementa komplementa --

jedan od najedan od naččinaina


Oduzimanje dvojiOduzimanje dvojiččnim komplementomnim komplementom

Formiranje Formiranje dvoidvoiččnog nog


Prenos se Prenos se odbacujeodbacuje u u zadnjoj fazizadnjoj fazi

IskopirajIskopiraj sve od LSBsve od LSB--

a do prve jedinice a do prve jedinice (uklju(uključčujiuujiućći i nju)i i nju)

InvertujInvertuj preostale preostale bitovebitove

Dodavanje Dodavanje dvoidvoiččnog nog komplementakomplementa

OznaOznaččeni binarni brojevi (1)eni binarni brojevi (1)

OznaOznaččeni brojevieni brojevi (engl. signed) se koriste za predstavljanje pozitivnihpozitivnih i negativnihnegativnih veličina.

Kod decimalne notacijedecimalne notacije se koristi znakznak--magnitudamagnituda (engl. sign-magnitude)

način za predstavu negativnih brojevanegativnih brojeva.

Primer: +27+27 i --2727.

Iz razloga efikasnosti u rau raččunarimaunarima se ne koristine koristi ovaj pristup!

Naime, u računarima se koristi znakznak--bitbit (engl. sign-bit) način predstave negativnih brojevanegativnih brojeva.

Vrednost MSBMSB bita određuje znakznak binarnog brojabinarnog broja.

Pogledajte sledeću tabelu u kojoj je predstavljeno korikoriššććenje enje bitabita za označavanje znakaznaka (engl. sign bit).

OznaOznaččeni binarni brojevi (2)eni binarni brojevi (2)+ =

Vrednost

Oduzimanje i oznaOduzimanje i označčeni brojevieni brojeviDecimalno:Decimalno:

signedsigned--magnitudemagnitudeBinarno:Binarno:

signedsigned--binarnobinarno

Negativni brojeviNegativni brojevi

--227+7+2255+2+233+2+200==

--128+32+8+1=128+32+8+1=

==--8787

--227+7+2266+2+255+2+211==

--128+64+32+2=128+64+32+2=

==--3030

Prednosti signedPrednosti signed--binary predstave binary predstave

Brojevi mogu biti uvek dodati direktnodirektno bez obzira da li oni predstavljaju pozitivnepozitivne ili negativnenegativne brojeve.

Pogledajmo sledeće aritmetiaritmetiččkaka operacijeoperacije

a + b;a + b; a + (a + (––b);b); ((––a) + b;a) + b; i ((––a) + (a) + (––b)b)

se obavljaju uvek na isti nauvek na isti naččinin, jednostavno sabiranjemsabiranjem ovih dveju veličina.

Ovo ubrzavaubrzava rad računara i može se realizovati sa manjim manjim brojembrojem logičkih kapija.

Dakle, računari ne zahtevajune zahtevaju različite blokove za sabiranjesabiranje i oduzimanjeoduzimanje, već

samo zahtevaju sabirasabiračč

i dvojidvojiččni ni

komplementatorkomplementator (koji se realizuje sa par logičkih kola).

Realizaciju Realizaciju operacija binarnog oduzimanjaoduzimanja i binarnog sabiranjasabiranja učićemo kasnije.

Binarno mnoBinarno množženje enje

Jedan od načina realizacije mnomnožženja enja je prevođenje u viviššestruko sabiranjeestruko sabiranje:

6 6 ××

4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Iako je to jednostavno za rajednostavno za raččunareunare, u slučaju dugih nizova brojevadugih nizova brojeva to može biti vremenski vremenski zahtevanzahtevan proces.

Još

jedan način za realizaciju mnorealizaciju množženjaenja je tehnika “pomeri i saberipomeri i saberi”

(engl. shift-and-add).

Pogledajmo sledeći primerprimer ove tehnike:

Tehnika Tehnika ““pomeri i saberipomeri i saberi””

Parcijalni Parcijalni proizvodiproizvodi

Decimalni Decimalni ekvivalentekvivalentMnoMnožženikenik MnoMnožžilacilac

2211+11+2288+2+277+2+266+2+255+2+211==

2048+256+128+64+32+22048+256+128+64+32+2

=25302530.

2*102*1033+5*10+5*1022+3*10+3*1011==

2000+500+30=2000+500+30=

=25302530.

binarna aritmetika

Documents