binÔmio de newton
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Binômio de Newton ITA-IMETRANSCRIPT
7/17/2019 BINÔMIO DE NEWTON
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APOSTILA - TURMA ITA-IME
1
BINÔMIO DE NEWTON & EXPANSÃO MULTINOMIALProfessor Marcelo Renato M. Baptista
1. NÚMEROS BINOMIAIS:
pn!pn!p
!npn
, sendo INpeINn .
n numerador e p denominador.
2. NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES:
qn
pnnqponde
qne
pn
Exemplos:
3
5e
2
5;
5
8e
3
8, etc. (a soma dos denominadores é igual ao numerador).
2.1. IGUALDADE DE BINOMIAIS:
Respeitadas as condições de existência, teremos, sempre, que analisar dois casos. Vejamos:
b
n
a
n
nba:2caso
ou
ba:1caso
3
5
2
5
2
5
2
5
Exemplos
3. TRIÂNGULO DE PASCAL (Relações importantes)
Somando-se dois elementos consecutivos de umamesma linha, obtém-se o elemento situado abaixo dosegundo elemento somado.
Somando-se todos os elementos deuma mesma linha, obtém-se comoresultado o valor da potência de base 2
cujo expoente “n” corresponde ao numerador dos respectivos números binomiais.
4. TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON (“x” + a )n ..................... (Parte 2)
pnp1p "x"ap
nT
Onde “x” é o termo em x de maior expoente e “a” é o termo em x de menor expoente.
Ex.1:
2
38
2
3
xa
x2"x"
x
1x2 Ex.2:
1
25
2
x32
a
x"x"
x32
x
5. SOMA DOS COEFICIENTES DO BINÔMIO DE NEWTON ( x + a )n
Basta que façamos cada “letra” igual a “1”.
Exemplo: A soma dos (n + 1) coeficientes reais do binômio de Newton n25 y5x3 é igual a 64.
Calcule n.
Sendo “SC” a soma dos respectivos coeficientes, 6421.51.364SC nn25 6n .
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6. POLINÔMIO DE LEIBNITZ
p321 a
pa3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a
!nxxxx
Onde naaaa p321
Exemplo: (ITA-SP 2006) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x2)9.
Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:
c2ba92 xx1!c!b!a
!9xx1
c2b92 x
!c!b!a
!9xx1
Sabemos que, no universo dos números naturais:
2c0c24c24b4c2b9cba
a b c5 4 06 2 17 0 2
Assim, o coeficiente de4
x será obtido na operação !2!0!7
!9
!1!2!6
!9
!0!4!5
!9
.
3625212649749729
121
89
112
789
11234
6789
!2!0!7
!9
!1!2!6
!9
!0!4!5
!9414 .
Resposta: 414.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) (UP 2013) O conjunto solução da equação
8x
26
x5
26 é:
a) 3;2 . b) 5;2 . c) 2 . d) 5 . e) 3 .
2) (UP 2013) O valor de
5
13
8
12
3
12 é igual a:
a)
6
13 b)
6
14 c)
9
14 d)
9
15 e) 2
13
.
3) (UP 2013) O valor de x para que
1x2
14
2x
142 é:
a) – 1 ou 3. b) – 3 ou 1. c) – 1 ou 1. d) – 1. e) 3.
4) (UFOP-MG) A condição para que o binomial
k
n seja o dobro do binomial
1k
n é:
a) k2n b) k3n c) 1k3n d) 1k3n
5) (FCMSC-SP) Se )2n(.n54
n
3
n
, então n é igual a:
a) 11. b) 10. c) 9. d) 8. e) 7.
6) (UP 2013) No desenvolvimento do binômio
n
)1x(
, segundo as potências decrescentes de x, ocoeficiente do 3º termo é o triplo do coeficiente do 2º termo. O valor de “n” é:
a) 8. b) 10. c) 9. d) 7. e) 6.
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7) (FMSC-SP adaptada) Se a soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de n2 )yx3( ,
onde *INn , é igual a 64, determine o valor de
5
0pp
1n2 .
a) 1023. b) 1024. c) 2043. d) 2048. e) 4096.
8) (PUC-SP) No desenvolvimento de 82 )1x(x o coeficiente de 7x é igual a:
a) 1. b) 7. c) 14. d) 28. e) 56.
9) (UP 2013) Os três primeiros coeficientes do desenvolvimento den
2
x21
x
, segundo as
potências decrescentes de x, estão em progressão aritmética. O valor de n é:
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.
10) (Cesgranrio-RJ) O valor de p8
0p
5p8
é:
a) 85 . b) 86 . c) 58 . d) 68 . e) 65 .
DISCURSIVAS
1) (Mackenzie–SP adaptada) A condição que o número natural n deve satisfazer para que o
desenvolvimento den
²x1
x
tenha um termo independente de x é ser:
Resolução: pnp21p xxp
nT
pnp2
1p xxpn
T p3n1p xp
nT
p3n0p3n , como I Np n é múltiplo de 3.
2) (UP 2013) Determine a posição do termo independente de x, no desenvolvimento do binômio15
2x
1x2
segundo as potências decrescentes de x.
Resolução:
TERMOS16
15
2 ︳︳︳︳︳ ︳︳︳︳︳ ︳︳︳︳︳x
1x2
152
15
2 xx2
x
1x2 p15p2
1p ︶x2 ︵ ︶x ︵p15
T
p152p15p
1pp15p152p
1p xx ︶2 ︵ ︶1 ︵p15
Tx ︶2 ︵x ︶1 ︵p15
T
︶1 ︵..................x ︶2 ︵ ︶1 ︵p15
T p315p15p1p
Em ( 1 ): ︶1 ︵5p0p315 0515515 x ︶2 ︵ ︶1 ︵5
15T
010
6 x ︶2 ︵ ︶1 ︵5
15
T
5
15
0241T6 .
Resposta: o termo independente de x ocupa a 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x.
15 – 3p = 0
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3) (UERJ) Na potência
n
5x
1x
, n é um número natural menor do que 100. Determine o maior valor de n,
de modo que o desenvolvimento dessa potência tenha um termo independente de x.
Resolução:
pnp5
1p xxpn
T
pnp51p xxp
nT
p6n1p xp
nT
p6n0p6n , como 16p67,16p100p6|I Np6100n|I Nn max
Para 166n16p 96n .
Resposta: 96.
4) (UP 2013) Seja n o número de pontos distintos sobre uma circunferência.
Sabendo que2
nn6
1n5
1n 2
:
a) Calcule o valor de n;b) Quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?
Resolução:
a)
2nn
61n
51n
2
...................... ( 1 )
Pela Relação se Stifel:
6
n
6
1n
5
1n...................... (2)
Sabemos também que:
2
n
2
nn
)!2n.(2
)!2n)(1n(n
2
nn 22
................ (3)
Assim, substituindo (2) e (3) em (1):
2
n
6
n.
Verificando-se as condições de igualdade de números binomiais, neste caso: n26 8n
b) Sendo N o número de polígonos convexos que podem ser inscritos numa circunferência com 8 pontosdistintos, ou seja, triângulos, retângulos, pentágonos ... octógonos:
2
8
1
8
0
8
8
8
2
8
1
8
0
8N
8
8
7
8
6
8
5
8
4
8
3
8N
)28()8()1()2(N 8 219N
Respostas: a) 8n b) 219 polígonos convexos.
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5) (ESPM–SP adaptada) O Desenvolvimento do binômio 123 xx apresenta n termos com radical.
Calcule o valor de
1n
1ppnA .
Resolução:
Cada um dos 13 termos do desenvolvimento do binômio 123
xx será:
p123/1p2/1
1p )x.()x.(p
12
T
Assim, 6
p4
1px.
p
12T
Como }12p0|INp{ , os únicos valores de p que são múltiplos de 6
são 0, 6 e 12, ou seja, temos 10 valores de p que proporcionam termos comradical.
Assim, 10n .
Calculando
1n
1pp
n A , para n = 10:
9
10
3
10
2
10
1
10 A
p
10 A
9
1p
Sabemos que: 10210
10
9
10
3
10
2
10
1
10
0
10
Assim: 20241A22A112A1010
010
2A21010
︶A ︵010 10101010
Resposta: 0221 A
6) (IBMEC–SP adaptada) Seja n um número natural não nulo, tal que
0964n1n2
1n1n2
21n2
11n2
01n2
. Determine o valor de n.
Sabemos que:
0
1n2
1
1n2
2
1n2 . . .
1n
1n2
n
1n2
BinomiaisComplementares
1n2
1n2
n2
1n2
1n2
1n2 . . .
2n
1n2
1n
1n2
Como números binomiais complementares são iguais:
1n2
1n2
n2
1n2
1n2
1n2
2n
1n2
1n
1n2
n
1n2
1n
1n2
2
1n2
1
1n2
0
1n2
Sabemos também que:
Consequentemente, 0964n1n2
1n1n2
21n2
11n2
01n2
Assim,
12n2n2
1n2
2209642096422
6n . Resposta: n = 6.
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6
7) (UP 2013) Se os números binomiais
11n,0
ne
22n
, nesta ordem, estão em progressão
aritmética, determine os possíveis valores que n pode assumir.
Resolução:
10n
1n11n
2 ︶1n ︵ ︶2n ︵
!n!2
! ︶2n ︵!]2 ︶2n ︵[!2
! ︶2n ︵2
2n
Propriedade da cab2 ︶c,b,a ︵PA
︶2 ︶1n ︵ ︶2n ︵,1n,1 ︵PA
1nou0n0nn2n3n24n4
︶1n ︵ ︶2n ︵2 ︶1n ︵42
︶1n ︵ ︶2n ︵1 ︶1n ︵2
22
Resposta: n = 0 ou n = 1.
8) (UP 2013) No desenvolvimento de8
x2x
1
, calcule:
a) o termo independente de x.b) o termo médio.c) o termo em x2.
Resolução: p8p1
1p
ARRUMANDO
88
)x2()x(p
8T
x
1x2x2
x
1
p8p8p
1p x)2(xp
8
T
p8pp8
1p xx)2(p
8
T
p28p81p x)2(
p
8T
......................... ( 1 )
a) em (1), o termo independente de x ocorre para )1(4p0p28
1201T)16()70(Tx)2(
4
8T 514
0414
b) o termo médio no desenvolvimento do binômio8
x2x
1
é o termo que ocupa a posição
21)termosdeºn( , ou seja, 514 TTposiçãoª5
21)termos9(
.
Como o 5º termo já foi calculado no item (a) anterior, o termo médio é igual a 1120.
c) o termo em x2 será encontrado em ( 1 ) fazendo-se )1(3p2p28
2
4
2
13
23
13x448Tx)8()56(Tx)2(
3
8T
Respostas: a) 1 120. b) 1 120. c) – 448 x².
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9) (UFES adaptada) Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de66
x
1x
x
1x
.
Resolução:6
2
266666
x
1x
x1
xx1
xx1
xx1
xx1
xx1
x
Analisando o binômio6
2
2
x
1x
, o qual possui 7 termos, e cujo termo geral é:
2
2pnp1p
x"x"
xa
6n
︶x ︵ ︶a ︵pn
T
p212p2p
1p
p62p2
1pxx)1(
p
6T)x()x(
p
6T
)1(........x)1(p
6T p412p
1p
Em (1): 20Tx)1(
3
6T 4
0313
. Resposta: – 20.
10) (UFMG adaptada) Sabendo que números binomiais complementares são iguais, utilize a identidade
abaixo.
p1n
pn
1pn
conhecida como Relação de Sti fel, onde I N ︶1p ︵,n e pn , para calcular o número inteiro “ m” que
satisfaz a equação
2009m2
2011
m22010
2010
1m2
2010
Resolução:
2009m22011
m220102010
1m22010
............................................. ( 1 )
Sabemos que o número binomial complementar de
m220102010
é calculado efetuando a operação abaixo:
x2010
m220102010
onde m2x2010x ︶m22010 ︵
Assim, o complementar de
m220102010
é
m22010
;
Como
m2
2010
m22010
2010, reescrevendo a equação ( 1 ), teremos:
2009m22011
m22010
1m22010
.............. ( 2 )
Aplicando, agora, a Relação de Stifel na equação ( 2 ):
2009m22011
m22010
1m22010
0051m20112009m2m2 ︶i mpossí vel ︵2009m2m2
2009m22011
m22011
Resposta: m = 1 005.
12 – 4p = 0
)1(3p
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11) (UP 2013) Apresente algebricamente uma aproximação com duas casas decimais para a potência40 ︶001,1 ︵ .
Resolução:
Utilizando-se dos conhecimentos do desenvolvimento do binômio de Newton n)ax( , onde cada um dos
seus (n+1) termos é formado conforme expressão do termo geral abaixo:
40p|INp,)1(1000
1
p
40TT p40
p
11p
4040 ︶001,01 ︵ ︶001,1 ︵
41432140 TTTTT ︶001,01 ︵
1T ︶1 ︵
1000
10
40TT 1
0400
110
04,0T ︶1 ︵10001
140
TT 2140
1
211
001,0T00078,0T ︶1 ︵10001
240
TT 33240
2
312
0T100,1T ︶1 ︵10001
4040
TT 41120
414040
40
41140
Analisando sob o critério de aproximação com precisão de duas casas decimais podemos afirmar que:
041,1 ︶001,01 ︵
001,004,01 ︶001,01 ︵
TTT ︶001,01 ︵
TTTTT ︶001,01 ︵
40
40321
40LDESPREZÍ VE
41432140
Com o conhecimento do dígito da casa dos milésimos, podemos afirmar que: 04,1 ︶001,1 ︵ 40 .
Resposta: aproximadamente 1,04.
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12) (IME–RJ) Calcule o valor de 10)02,1( , com dois algarismos significativos, empregando a expansão do
binômio de Newton .
Resolução:
1101010 ︶02,01 ︵ ︶02,01 ︵ ︶02,1 ︵
1101010210211010100 ︶1 ︵ ︶02,0 ︵10
10 ︶1 ︵ ︶02,0 ︵2
10 ︶1 ︵ ︶02,0 ︵1
10 ︶1 ︵ ︶02,0 ︵0
10
1 ︶000008 ︵120 ︶0004,0 ︵45 ︶02,0 ︵101
100096,10018,02,01
820,0...21896,1
1...21896,1 1
Resposta: aproximadamente 0,82.
13) (UFCE modificada) Determine o coeficiente de3
x no polinômio . ︶3x ︵ ︶1x ︵ ︶x ︵P 5
Resolução:
Analisando os 6 termos do binômio 5 ︶3x ︵ :
︶1 ︵.........x3p5
T p5p1p
Sabemos que existe um termo em 2x e um termo em 3x , assim, o termo em 3x do polinômio P(x) será
obtido através do produto de )1x( por )...xbx.a(... 32 :
Fazendo )1(em3p 35313 x335T 270ax270T 24
Fazendo )1(em2p
252
12 x325
T 90bx90T 33
O termo em 3x será: 33 bxax . 3x ︶ba ︵ .
Assim, o coeficiente de 3x vale 90270)ba( 180 .
Resposta: 180.
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14) (Unicamp-SP) Considere o enunciado a seguir:
O símbolo p,nC é definido por!)pn(!p
!n
para pn com 1!0 . Estes números p,nC são inteiros e
aparecem como coeficientes no desenvolvimento de n)ba( .
a) Mostre que p,1np,n1p,n CCC .
b) Seja n,n2,n1,n0,n CCCCS . Calcule Slog2 .
Resolução:
a) Trata-se da demonstração da RELAÇÃO DE STIFEL:
!)p1n(!)1p(
!n
!])1p(n[!)1p(
!nC 1p,n ]!)pn(!)1p([)p1n(
!n
........ ( 1 )
!)pn(!p
!nC p,n ]!)pn(!)1p([p
!n
........ ( 2 )
Fazendo ( 1 ) + ( 2 ): p,n1p,n CC
]!)pn(!)1p([)p1n(
!n
]!)pn(!)1p([p!n
mmc:
!)pn(!)1p([)p1n(p
Efetuando-se o mmc:!)pn(!)1p([)p1n(p
)!n()1pn()!n(pCC p,n1p,n
Colocando !n em evidência no numerador:!)pn(!)1p([)p1n(p
])1pn(p[)!n(CC p,n1p,n
!)pn()p1n(!)1p(p!n)1n(CC p,n1p,n
Arrumando o denominador:!]p)1n([!p
!)1n(CC p,n1p,n
........ ( 3 )
Sabemos que:
!]p)1n([!p
!)1n(C p,1n
........ ( 4 )
Conclusão: ( 3 ) = ( 4 ) p,1np,n1p,n
CCC c.q.d.
b) Trata-se de uma propriedade específica da linha “n” do Triângulo de Pascal, onde sabemos que:
nn,n2,n1,n0,n 2CCCCS
Podendo se escrita na forma: n2n
n
2
n
1
n
0
nS
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11
A demonstração dessa propriedade, utilizando o desenvolvimento de n)ba( é apresentado abaixo:
Sabendo-se que cada um dos (n + 1) termos de n)ba( é representado pela fórmula do termo geral a
seguir:
pnp1p ︶b ︵ ︶a ︵p
nT
nnn2n21n10n0n ︶b ︵ ︶a ︵n
n ︶b ︵ ︶a ︵2
n ︶b ︵ ︶a ︵1
n ︶b ︵ ︶a ︵0
n ︶ba ︵
Fazendo-se
1ba :
nnnn2n21n10n0 ︶11 ︵ ︶1 ︵ ︶1 ︵n
n ︶1 ︵ ︶1 ︵2
n ︶1 ︵ ︶1 ︵1
n ︶1 ︵ ︶1 ︵0
n
Assim:n2n
n2n
1n
0n
c.q.d.
Resolvendo o item “b” desta questão: n2S
Portanto, 2l ognSl og2l ogSl og 22n
22 nSl og 2
15) (UNIRIO-RJ) Calcule o valor de
n
n
1n
n
3
n
2
n
1
n
0
n, sendo “n” ímpar, e justifique
sua resposta.
Resolução:
Como “n” é ímpar, na linha “n” do triângulo de Pascal, teremos uma quantidade par de fatores, ou seja:
Como, na expressão dada, os números binomiais complementares apresentam sinais contrários, porterem módulos iguais anular-se-ão mutuamente.
Assim: 0nn
1nn
3n
2n
1n
0n
Resposta: Zero.
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12
16) (UERJ-2006) Em uma barraca de frutas, as laranjas são arrumadas em camadas retangulares,
obedecendo à seguinte disposição: uma camada de duas laranjas encaixa-se sobre uma camada deseis; essa camada de seis encaixa-se sobre outra de doze; e assim por diante, conforme a ilustração aseguir.
Sabe-se que a soma dos elementos de uma coluna do Triângulo de Pascal pode ser calculada pelafórmula
1p
1n
p
n
p
2p
p
1p
p
p , na qual n e p não números naturais, pn e
p
ncorresponde
ao número de combinações simples de n elementos tomados p a p. Com base nessas informações,calcule:
a) a soma
2
18
2
4
2
3
2
2 ;
b) o número total de laranjas que compõem 15 camadas.
Resolução:
a)
9692
18
2
4
2
3
2
2
1.2.3
17.18.19
2
18
2
4
2
3
2
2
)!16(1.2.3
)!16.(17.18.19
2
18
2
4
2
3
2
2
!16!3
!19
2
18
2
4
2
3
2
2
319
218
24
23
22
12118
218
222
212
22
b)Sendo “S” a soma das laranjas presentes nas 15 camadas:
1615433221S
Dividindo-se ambos os membros por 2 ...
!14!3
!17
2S
317
2
S
216
24
23
22
2S
2
1615
2
43
2
32
2
21
2
S2
1615433221
2S
3601S680
2
S laranjas.
Respostas: a) 969. b) 1.360 laranjas.
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17) Qual o coeficiente de x3 na expansão multinomial de
102
3 x
x
11
?
Resolução: 10321023 xx1xx1
p10p321p 1xx
p
10T p32
1p xx
p
10T
kp2k31k
p32 xxkp
Txx kp2k31p xx
kp
p10
T
kp2k3
1p xxkp
p10
T k5p21p x
kp
p10
T
Sabemos que 10pk : 3k5p22
3k5p
35
314 x840Tx1
44
10T4p1k
310
319 x840Tx3
99
10T9p3k
O coeficiente de 3x será obtido da operação 333105 x1680x840x840TT
Outra maneira muito mais rápida será utilizando o Polinômio de Leibniz:
p321 a
pa3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a
!nxxxx
Onde naaaa p321
c2b3a1023 xx1!c!b!a
!10xx1 c2b3a xx1
!c!b!a
!10
b3c2a10
2
3 x1
!c!b!a
!10x
x
11
Sabemos que:
3b3c210cba
No universo dos números naturais:
1a6c3b6a3c1b
Assim, o coeficiente de 3x será obtido na operação
!61231
!6789102
!6!3!1
!102
!6!3!1
!10
!3!1!6
!10;
3
78910
!6!3!1
!10
!3!1!6
!10 1680
!6!3!1
!10
!3!1!6
!10
Resposta: 1680.
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18) (ITA–SP adaptada) Qual é o coeficiente de 17x no desenvolvimento de 2075 xx1 ?
Resolução utilizando o Polinômio de Leibniz:
p321 a
pa3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a
!nxxxx
c7b5a2075 xx1!c!b!a
!20xx1
c7b52075 x
!c!b!a
!20xx1
Sabemos que, no universo dos números naturais:7
17c0c717
5
c717b17c7b5
20cba
.
Assim: 1c2b17a
Consequentemente, o coeficiente de17x no desenvolvimento de 2075 xx1 será:
!1!2!17
!20
;
Logo,
2
181920
!1!2!17
!203420
!1!2!17
!20
Resposta: 3420.
19) Determine o termo independente de x em3
x
2x1
?
Utilizando o Polinômio de Leibniz:
p321 ap
a3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a
!nxxxx
c1ba313
x2x1!c!b!a
!3x2x1
x
2x1
cbc3
x2!c!b!a
!3
x2
x1
Sabemos que: c23acb0cb
3cba
No universo dos números naturais: 0c0b3a 1c1b1a
Assim, o termo independente de x em3
x2
x1
será:
13112x2!0!0!3
!3x2
!1!1!1
!3 000111
.
Resposta: 13.
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20) Qual é o coeficiente de 532 wyx no desenvolvimento de 10uwzyx ?
Resolução:
Utilizando o Polinômio de Leibniz:
p321 a
pa3
a2
a1
p321
np321 xxxx
!a!a!a!a!nxxxx
O coeficiente do termo com 05032532 uwzyxwyx será:
!0!5!0!3!2
!10
Assim: 25207491012312678910
!0!5!0!3!2
!10
.
Resposta: 2520.
GABARITO – EXERCÍCIOS BÁSICOS
01 A 02 C 03 E 04 D 05 A
06 D 07 B 08 E 09 C 10 B
RESPOSTAS – DISCURSIVAS
1) n é múltiplo de 3.2) 6ª posição, segundo as potências decrescentes de x. 3) 96.4) a) n = 8. 4) b) 219 polígonos convexos. 5) A = 1022.6) n = 6.7) n = 0 ou n = 1. 8) a) 1 120. 8) b) 1 120. 8) c) – 448 x².9) – 20. 10) m = 1 005. 11) aproximadamente 1,04. 12) aproximadamente 0,82.
13) 180.14) a) vide resolução. 14) b) nSl og 2 .
15) Zero.16) a) 969. 16) b) 1.360 laranjas. 17) 1680.18) 3420.19) 13.20) 2520.
PROFESSOR MARCELO RENATO M. BAPTISTA