binomio de newton
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BINOMIO DE NEWTON
Aplicar las combinaciones de factorial y combinatorio.
Expandir o desarrollar polinomicamente (X+a)n paran∈N n∈Q
Calcular cualquier término de la expansión de (X+a)n
INTRODUCCIÓN
El teorema del binomio fue descubierto por Abu Bakr ibn Muhan Mad ibn al-
Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Newton utilizó los conceptos de
exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinomica se
transformaba en una serie infinita aplicando los métodos de interpolación y
extrapolación de Wallis. Debido a esto pudo demostrar que un gran número de
series existentes eran casos particulares, fuera por diferenciación o por
integración. A partir de este descubrimiento, newton intuyó que se podía operar
con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinomicas
finitas.
El desarrollo del binomio de Newton que abordamos desempeña un papel
importante en los capítulos siguientes de algebra y en especial en el análisis
matemático que se estudia en los primeros ciclos en todas las carreras de
ingeniería y ciencias. Por ello, mostraremos algunas de sus aplicaciones, por
ejemplo, en la desigualdad de Bernoulli.
(1+x )n≥1+nx ;∀ x ≥−1 ;n∈N
Asimismo para demostrar ❑n→∞
lim ¿(1+1n )
n
=e , dondee=2,718281¿
También se observa la gran aplicación en la teoría de ecuaciones,
desigualdades, funciones y fundamentalmente en la teoría de sucesiones y
series, que son temas centrales en el análisis matemático real y complejo; por
ello, citamos un ejemplo de una serie:
(1+x )n≥1+nx ;∀ x≥−1 ;n∈ N
lim ¿n→∞ (1+ 1
n )n
=e ;donde e=2,718281¿
1+X+X r2+X3+..=(1−X )−1 ;∀ X∈(−1 ;1), el cual se comprueba así
seaS=1+X+X2+X3+X 4+…
→s=1+x(1+x+x2+x3+..)
→ s=1+x.s → s-x.s=1
→ (1-x) s=1,∀ x∈(−1 ;1)
→ s=1+x+x2+x3+ ..= 11−x
Luego: 11+x+x2+x3+..=(1−x )−1
DEFINICIONES PREVIAS
FACTORIAL DE UN NUMERO NATURAL
Sea n∈N 0 su factorial , denotado por n !on ´ , se define como
n!={ 1 , si n=0v n=1
1 x2 x3. . n , si n∈Nn≥2 }Ejemplos:
1. 5! =1x2x3x4x5=120
2. 4!-3!=1.2.3.4-1.2.3=24-6=18
3. Resuelva la siguiente ecuación:
Resolución
De la definición
Si (2x -7)! = 1→ 2x – 7 = 0 v 2x – 7 = 1;
De donde x=72v x=4
Por lo tanto, existen dos soluciones 72; 4
Propiedades del factorial
1. n !=n (n−1 )!∀n∈N
2. a !=b !→a=b ,a ;b∈N
3. (n + 1)! – n.n!=n!
4. n!-(n-1)! = (n-1).(n-1)!
Ejemplos
1. Simplificamos S
S= 3√ 25 !25 !+26 !+27 !
Resolución:
seaS= 3√ 25 !25!+26.25 !+27.26 .25 !
→S=3√ 25 !25! (1+26+27.26)
=3√ 127+27.26
→S=3√ 127(1+26)
=3√ 127.27
→S= 13√27 . 3√27
= 13.3
=19
2. ¿Cuál es el valor de x que verifica la ecuación?
x !+ (x−1 )!( x−1)
=2010
Resolución
Recordando que x!=x(x-1)!
x ( x−1 ) !+( x−1 ) !( x−1 ) !
=2010
( x−1 )! (x−1 )!(x−1)
=2010
∴ x=2009
3. Resuelva la siguiente ecuación
x!+x.x!+(x+1).(x+1)!=720
Resolución
Como x!+x.x!=x!(1+x)=(x+1)!
En la ecuación
x !+x . x !+( x+1 ) . ( x+1 )!=720
→ ( x+1 ) !+ (x+1 ) ( x+1 )!
→ ( x+1 ) ! (1+x+1 )=( x+2 ) !=720
Pero 720 = 6!
→ ( x+2 )!=6 !→x+2=6
∴ x=4
NUMERO COMBINATORIO
El numero combinatorio denotado por Cnk
representa el número total de combinaciones
que se pueden realizar con n elementos tomados de K en K.
En una combinación un grupo se diferencia de otro cuando por lo menos difieren en un
elemento.
Se calcular del modo siguiente:
Cnk= n!k ! (n−k ) !
; n , k∈Nn≥k
Ejemplos.
1. C106
= 10 !6 ! (10−6 )!
;10.9 .8 .7 .6 !
6 ! 4 !=210
2. Simplifique M
M=Cxx−1
Cxx−2
Resolución
Aplicando la definición de número combinatorio
M=
x !( x−1 )! (x− (x−1 ) )!
x !(x−2 )! (x−1 ( x−2 )) !
=
x ( x−1 )!( x−1 )! .1
x ( x−1 ) (x−2 )!( x−2 ) !2 !
→M= xx (x−1)
2
= 2x−1
3. Determine el valor de n que verifica la ecuación
3C2n3
=44Cn2
Resolución
Aplicamos la definición del número combinatorio
3.(2n )!
3 ! (2n−3 )!=44
n !2 ! (n−2 )!
3.(2n)(2n−1)(2n−2)(2n−3)6. (2n−3 )!
=44.n(n−1)(n−2)!
2. (n−2 ) !
n . (2n−1 ) . (n−1 )=22n (n−1)
(2n−1 )=11→n=6
Propiedades del número combinatorio
Cnn=1 ;C
n0=1 ;C
n1=n;C n
2=n(n−1)
2
Ejemplos:
1. C70=1
2. C2x1
=2 x
3. C23x−1=
(3 x−1)(3 x−2)2
Combinatorio
C kn=Cn−k
n ∀n ;k∈N n≥ K
Ejemplos
1. C3537=C2
37 37.362
2. Resuelve la ecuación C x2
8 =C2x8
Resolución
De acuerdo a la propiedad
I. x2 = 2x → x=0 v x=2
Ambas resoluciones, ya que se tiene
C08=C8
8 vC48=C4
8
II. x2+2x=8 → x2+2x-8=0
x 4x −2
(x+4)(x-2) = 0→ x=-4 v x=2
Aquí la solución es solamente 2, puesto que C2(−4 )8 no está definida
Por lo tanto, existen dos soluciones: 0; 2.
3. Halla la suma de los mayores valores de m y n si se verifica la igualdad.
Cm−9m+1 =Cn
29
Resolución
Se presentan diversos casos:
a. m-9=0 ^n=0 → m=9 ^n=0
b. m+1=29
{ m−9=nv
m−9+n=29
m=28{ 28−9=n
v28−9+n=29
m=28{n=19
vn=10
Luego los mayores valores son m=28, n=19
∴m+n=47
Suma de números combinatorios
C kn+Ck +1
n =C k+1n+1 ;n>k
Ejemplos
1. C47+C5
7 v5=C58
2. Reduzca lo siguiente:
C745+2C37
45+C3645
Resolución
Por combinatorios complementarios
C3745=C8
45;C3645=C9
45;2C845=C36
45+C845
En lo pedido
C745+C8
45+C945
C745+C8
45+C845+C9
45
C846+C9
46=C947
DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CUANDO n ES UN NUMERO
NATURAL
Analizamos el desarrollo del binomio (x+a)n para n ∈ N, mediante los siguientes
ejemplos:
(x+a)n=x2+2 xa+a2
(x+a)3=x3+3 x2a+3x a2+a3
(x+a)4=x4+4 x3a+6x2a2+4 xa3+a4
La idea es averiguar como es el desarrollo de (x+a)2; n∈N
MÉTODO DEDUCTIVO
Partiremos de los productos notables
( x+a ) ( x+b )=x2+(a+b ) x+ab
( x+a ) ( x+b ) ( x+c )=x3+(a+b+c ) x2+(ab+ac+bc ) x+ab c
⋮
( x+a ) ( x+b ) ( x+c )…( x+h )=xn+S1xn−1+S2x
n−2+S3xn−3+…+Sn
Donde
S1=a+b+c+..+h
S2=ab+ac+ad+..+ah+bc+ . .
S2=abc+abd+ ..+abh+¿bcd+..
⋮
Sn=a .b . c ..h
En caso de que a=b=c=d=…=h
S1 ¿nvecesa+ a+..+ a=na=C1
na