2013‐01‐23

1

Biocybernetyczne modelowanie systemu zawierającego elementy biologiczne i elementy techniczne

Wykład nr 11 z kursu Biocybernetyki dla Inżynierii Biomedycznej 

prowadzonego przez Prof. Ryszarda Tadeusiewicza

Przykładowym systemem rozważanym na tym wykładzie będzie sztuczna nerka

Budowany model będzie modelem kompartmentowym 

Modele kompartmentowe(kompartmentalne, ang. compartmental) 

Model kompartmentowy jest to system złożony ze skończonej liczby jednorodnych podsystemów, połączonych ze sobą lub otoczeniem, w celu 

przepływu materiału.

Kompartmenty reprezentują więc zmianę przestrzenną substancji albo, jeśli rozważamy dwie (i więcej) substancji, przemianę jednej w drugą.

Ogólny wzór opisujący zmianę koncentracji substancji xiw i‐tym kompartmencie:

fij oznacza przepływ miedzy kompartmentem i‐tym (źródłowym) oraz j‐tym (docelowym),

indeks 0 symbolizuje otoczenie

Jeśli rozpatrujemy modele liniowe o stałych współczynnikach, gdzie przepływ jest proporcjonalny do ilości substancji w kompartmencie źródłowym,

wówczas można zapisać równanie  

gdzie: 

kij , kji są stałymi współczynnikami przepływu; 

ui(t) jest zewnętrznym wymuszeniem na kompartment i‐ty.

2013‐01‐23

2

W modelu kompartmentowym można uwzględniać różne dodatkowe zjawiska

Jako przykład warto wskazać wydzielanie wykazujące nasycenie, znane jako kinetyka Michaelisa‐Menten, gdzie współczynnik wypływu z kompartmentu i − tego opisany jest następująco:

gdzie: 

Vm ‐maksymalny przepływ [czas−1]; 

Km ‐ stała Michaelisa, przy której przepływ ma wartość Vm/2 (wymiar taki jak xi(t)).

Przykład: Schemat modelu Bermana metabolizmu jodu

Schemat modelu metabolizmu hormonów tarczycy (T3 i T4)

Schemat modelu kinetyki jodu po podaniu doustnym

Schemat ogólny wersji modelu kompartmentowego kinetyki jodu. 

Podanie doustne

Schemat ogólny wersji modelu kompartmentalnego kinetyki jodu. 

Podanie dożylne

2013‐01‐23

3

Wracamy do sztucznej nerki

Konieczność oczyszczania organizmu pacjentów z częściową lub całkowitą niewydolnością nerek była znana już w średniowieczu, 

ale stosowane metody były mało wygodne dla pacjentów

Przykłady współczesnych sztucznych nerek, których na rynku jest kilkadziesiąt modeli, a wiodącymi wytwórcami są firmy: Fresenius, Gambro, Braun, Bellco, Asahi.

Fresenius Gambro Braun

Sztuczna nerka zawiera błonę dializacyjną. 

Roztwór soli (dializat) jest pompowany wzdłuż jednej strony błony. 

Krew znajduje się po przeciwnej stronie. 

Zbędne produkty przemiany materii i nadmiar wody przemieszczają się z krwi przez błonę do dializatu, który zastępuje się świeżym dializatem.

Dializator kontroluje przepływ krwi i dializatu, dlatego zabieg ten jest 

bezpieczny.

2013‐01‐23

4

Centralnym elementem 

sztucznej nerki jest dializator

Schematyczny obraz dializatora kapilarnego

Q – strumień przepływu, B ‐ krwi (ang. blood), D ‐ dializatu (ang. dialysate), i – na wejściu (ang. inlet), o – na wyjściu (ang. outlet)

Klirens dializatora Kd powinien być opisany wzorami uwzględniającymi wielkość strumienia ultrafiltracji (Qf), różnice stężeń i wielkości przepływów od strony krwi (w tym przypadku otrzymujemy klirensu KdB) lub 

od strony dializatu (otrzymując klirens KdD)

Bi

Bof

Bi

BBoBi

c

cQ

cQcc

dBK )(

Bi

Dof

Bi

DiDiDoc

cQ

cQcc

dDK )(

W dializatorzemieści się około 50 ml krwi, która przepływa tam przez 11 

tysięcy kapilar (cienkich rurek o średnicy 200‐300 mikrometrów) 

zamkniętych w pojemniku, w którym znajduje się płyn dializacyjny o odpowiednim pH i stężeniu 

elektrolitów, co pozwala na wymycie z krwi niepożądanych substancji, nie 

zmieniając przy tym zawartości ważnych dla życia białek ani jonów. 

Polisulfonowe dializatory kapilarne  Schemat budowy dializatora

2013‐01‐23

5

Podczas hemodializy dializator, nazywany 

również sztuczną nerką, wypompowuje krew 

z krwioobiegu. 

Obszarkrwi

Obszardializatu

Następnie przepływa ona przez 

sztuczną nerkę i wraca z powrotem do 

organizmu. 

Podstawowy schemat obszaru krwi

Podstawowy schemat obszaru dializatu

zbiornik z koncentratami lub system wkładów ze sproszkowanym substratem

grzałkasystem pomiaru temperatury

mieszalnik dializatu

zbiornik z koncentratami lub system wkładów ze sproszkowanym substratem

układ wagowo‐proporcjonujący 

dializatu

system degazyfikacjidializatumanometr ciśnienia 

dializatu przed dializatorem

manometr ciśnienia dializatu za dializatorem

układ by‐pass

cela konduktometru do pomiaru przewodnictwadetektor przecieku krwi

moduł pomiaru objętości ultrafiltracji

DIALIZATOR

Elementy sztucznej nerki (od lewej): dializator, pompa rolkowa, panel 

sterujący

Zintegrowany system uzdatniania wody do hemodializy 

RO (reverse osmosis)  kolumny osmozerów generator UV

Skład dializatu do hemodializy wodorowęglanowej.

Składnik Zakres stężeń Stężenie typowe w dializacie

Elektrolity (w mmol/l)Sód

PotasWapń

MagnezChlorki

125-1550-4

0-2,00,5-1,087-124

136-1382,01,25

0,6-0,8105

Bufor alkalizującyOctan (mmol/l)

Wodorowęglan (mmol/l)pH

pCO2 (mm Hg)Glukoza (mmol/l)

2-420-40

7,2-7,340-100

3-5

320-35

7,2-7,3nie oznacza się

4,0-5,0

2013‐01‐23

6

Przykład kaniul dializacyjnych (igieł) do nakłuwania przetok oraz dwukanałowego cewnika tzw. ostrego, 

umożliwiającego zamknięcie obwodu pozaustrojowego na jednym wkłuciu do dużej żyły obwodowej

Stanowisko dializacyjne

W przyszłości być może popularne staną się 

sztuczne nerki, które pacjent będzie mógł nosić z sobą.

Schemat przenośnej sztucznej nerki

Charakterystyka technik hemodializacyjnychparametr Konwencjonalna HD high efficiency HD

(HED)high-flux HD

(HFD)współczynnik KoA

(ml/min)zwykle w granicach

300-600 700 – 800 800 – 1000

współczynnik KUFR

(ml/godz/mmHg)3-6 zwykle 10-12 >15

materiał błony celuloza (kuprofan, hemofan, octan celulozy)

PS, PMA, PMMA

modyfikowana celulza, błony syntetyczne

syntetyczne (PS, PMA, PMMA)

powierzchnia błony(m2)

0,4 - 1,5 1,6 – 2,0 1,6 – 2,0

przepływy krwi(ml/min)

50 – 275 300 – 500 400 – 500

uzyskiwane klirensy(ml/min)

50 – 230 >200 >200

usuwanie fosforanów słabe średnie dość dobre – ale uwarunkowane wielokompartmentowądystrybucją fosforu

usuwanie -2mikroglobuliny

nieskuteczne nieskuteczne dobre

Uwagi wymagana ultraczystawoda

2013‐01‐23

7

Schemat tygodniowego przebiegu stężenia C(t) toksyny (np. mocznika) we krwi

Tworząc model procesu dializy 

musimy  uwzględnić 

składniki będące częściami ciała pacjenta oraz 

składniki będące częściami 

rozważanej aparatury

Schemat jednoprzedziałowego modelu hemodializy, gdzie: V – objętość wody w której rozpuszczony jest 

mocznik, C – stężenie mocznika, K – klirens czyli tempo wydalania mocznika

Równanie określające prędkość (tempo) zmian stężenia toksyny

K ‐ wartrośćklirensuwyznaczona z tabel

V ‐ wartość obszaru dystrybucji toksyny, najczęściej wyznaczana na podstawie danych antropometrycznych.

V = 0,55 masy ciała u kobietV = 0,58 masy ciała u mężczyznV = 0,60 masy ciała u dzieci

V

tK

eCtC

)0()(

VtCKtC /)()( daje rozwiązanie pokazujące zmiany stężenia toksyny w czasie

Przekształcając równanie opisujące „opróżnianie” badanego kompartymentu z toksyny otrzymujemy:

V

tK

eCtC

)0()( V

tK

C

tC

)0(

)(ln

Zależność ta jest wykorzystywane do wyznaczania wymaganego czasu trwania zabiegu hemodializy T:

)(

)0(ln

TC

C

K

VT

W modelowych uproszczeniach przyjmuje się, że mocznik w wyniku oksydacji aminokwasów jest ze stałą prędkością produkowany w wątrobie (proces enzymatyczny) a generacja G

reprezentuje ilość mocznika wytworzoną w jednostce czasu, 

zwyczajowo podawaną w mg/min.

Równanie zachowania masy mówiące o tym, że kumulacja (zmiana stężeń w czasie) jest równa różnicy pomiędzy tworzeniem i wydalaniem przybiera postać 

)()()( tCKGtCtV

Zakładając, że objętość V będzie wartością stałą podczas dializy otrzymamy  następujące rozwiązanie 

V

tK

V

tK

eK

GeCtC 1)0()(

2013‐01‐23

8

Schemat modelu jednoprzedziałowegouzupełniony o generowania toksyny Gi uwzględniający przepływ wody Q

zmniejszający objętość V

Całkowitą wodę ustroju można podzielić na dwie frakcje: bezpośrednio dostępną podczas hemodializy 

i dostępną w sposób pośredni. 

Całkowitą wodę ustroju można podzielić na dwie frakcje: bezpośrednio dostępną podczas hemodializy 

i dostępną w sposób pośredni. 

Tę pierwszą często nazywamy wodą zewnątrzkomórkową i charakteryzujemy parametrem 

Ve (ang. external), będącym jej objętością oraz zmiennym w czasie stężeniem Ce(t) toksyny w tej 

przestrzeni. 

Całkowitą wodę ustroju można podzielić na dwie frakcje: bezpośrednio dostępną podczas hemodializy 

i dostępną w sposób pośredni. 

Tę pierwszą często nazywamy wodą zewnątrzkomórkową i charakteryzujemy parametrem 

Ve (ang. external), będącym jej objętością oraz zmiennym w czasie stężeniem Ce(t) toksyny w tej 

przestrzeni. 

Drugą frakcją jest woda dostępna w sposób pośredni i nazywana wodą wewnątrzkomórkową a 

charakteryzowana objętością Vi (ang. internal) i funkcją  czasu Ci(t), będącą stężeniem zawartej w nim toksyny.

Wprowadzając dodatkowo  parametrKc ‐ współczynnik przepływów 

międzyprzedziałowych mamy model: 

Model ten opisują równania

)()()(

)()()()(

tCetCiVi

KctiC

tCeVe

KtCetCi

Ve

KcteC

Ich rozwiązanie ma postać:

taataa eaeaCetCe )(3

)(3

2121 )1()1()0(5,0)(

2013‐01‐23

9

Przebiegi stężeń w pojedynczym cyklu dializacyjnym zamodelowane za pomocą modelu jedno‐ i dwuprzedziałowego. 

Powiększony fragment przebiegów z poprzedniego slajdu ilustrujący efekt 

odbicia występujący po zakończeniu dializy

Zmiany stężenia mocznika we krwi podczas hemodializy, według modelu jednoprzedziałowego (C bez indeksu) i dwuprzedziałowego (Ce oraz Ci)