Biologische Physik 1 (Physik für Biologen)EINFÜHRUNG – Was ist Physik, wozu Physik, Messgrößen und Messfehler

MECHANIK – Bewegungen, Kraft, Masse, Arbeit, Energie, Impuls, Drehbewegung, Reibungskräfte

Zwischen Belebtem und Unbelebtem„Immer wieder haben sich Physik und Biologie in der Vergangenheit getroffen, aber auch wieder voneinander entfernt.

Gerade in den letzten Jahrzehnten sind sie sich zunehmend näher gekommen, so dass eine enge und fruchtbare Zusammenarbeit entstanden ist“.

„Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Materie. Doch führen physikalische Entdeckungen immer wieder zu Entwicklungsschüben in der Biologie und Medizin, den Wissenschaften vom Leben“.

(aus „Welt der Physik“, DPG)

LotuseffektMikro- und Nanostrukturierte hydrophobe Oberflächen sind selbstreinigend !

Die Ursache des Effekts liegt in der besonderen Oberflächenstruktur der Pflanzen.

Durch die Oberflächenstruktur der Pflanzen werden gegenüber Wasser riesige Kontaktwinkel erreicht (Superhydrophobie) -nur etwa 2 bis 3 % der Tropfenoberfläche haben Kontakt mit der Oberfläche der Pflanze, so dass das Wasser leicht abperlen kann. Aufliegende Schmutzpartikel werden dadurch mitgerissen und weggespült.

Wassertropfen haben wie alle Flüssigkeiten die Tendenz zur Minimierung ihrer Oberfläche → Oberflächenspannung.

Heute werden mittels Nanotechnologiesuperhydrophobe Beschichtungen etwa für Hochhäuser verwendet.

Aus Protein erzeugt – elastischer „Biostahl“- Spinnennetz

Fadenstärke – ca. 1 – 3 Mikrometer

Besitzen größere Festigkeit uns sind elastischer als vergleichbare Objekte aus Edelstahl

Druckfestigkeit von Eichenholz – ca. 50N / mm2

Zugfestigkeit von Spinnenseide – ca. 150N / mm2

Hier wirken Kräfte !

Horizontaler Wurf

Als Schleuderfrüchte werden Früchte bezeichnet, die durch Schleudereinrichtungen ihre Samen in einem weiten Umkreis um dieMutterpflanze verbreiten. Die Samen werden von der reifen Fruchtfortgeschleudert. Der Sumpf-Storchschnabel liegt bei einer Wurfweite von rund 2,50 m. Gegen das Ende der Messlatte liegen Lupine (7,00 m), Stachelbärenklau (9,50 m), Zaubernuss (15,00 m).

-10-9

-8-7

-6-5

-4-3

-2-1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Wurfweite (m)

Höh

e (m

)

Die ersten Mikro- und Nanomotoren wurden von der Natur „gebaut“ - FlagellumRotationsgeschwindigkeiten –einige Hundert bis Tausend Umdrehungen / Minute

„Reise“-Geschwindigkeiten –etwa 20 Mikrometer / Sekunde

Flagellum Rotor: Access Research Network (Art Battson)

Weibel, D.B. et al. (2005): Microoxen: microorganisms to move microscaleloads. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102: 11963–11967

Physik und ihre AufgabePhysik ist die Wissenschaft von den Naturdingen (gr. - φυσικα), also eine Naturwissenschaft.

Physik beschäftigt sich mit der Beobachtung der unbelebten Natur, obwohl viele Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten auch in der belebten Natur Anwendungen finden.

Physik führt Konzepte wie etwa Länge, Masse, Zeit oder Temperatur ein und definiert diese über bestimmte Messvorschriften. Diese so genannten Grund- oder Basisgrößen sind von unseren Erfahrungen inspiriert.

Physik ist eine Erfahrungswissenschaft. Sie bezieht ihre Erkenntnisse aus Beobachtungen und einer Interaktion: Experiment – Modell – Simulation – Theorie.

Physik ist eine quantitative Wissenschaft – die Merkmale der beobachteten Vorgänge werden Größen genannt.

Gründer der klassischen Physik

Galileo Galilei (1564- 1642)

Professor für Mathematik, Physiker

Fall-, Wurf- und Pandelgesetze, Zeitmessung

Astronomische Beobachtungen

Folgerung über die Bewegung der Erde

Isaac Newton (1642-1727)

Professor für Mathematik und Physik, Cambridge

Mechanik (Axiome)

Gravitationsgesetze

Optik

Infinitesimalrechnung

PhysikPhysik Beobachtung / Erforschung der Natur

Beobachtung / Erforschung der Natur

Sprache der Physik: Mathematische Formulierungen

• Newtonsche (klassische) Mechanik

↔ Differential / IntegralrechnungLineare Algebra

Differential / IntegralrechnungLineare Algebra

↔• EinsteinscheRelativitätstheorie DifferentialgeometrieDifferentialgeometrie

↔ FunktionalanalysisFunktionalanalysis• Quantenmechanik

GruppentheorieTopologie

GruppentheorieTopologie↔• Quantenfeldtheorie

Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage

Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage

Täuschung – Messung ⇔ Objektive AussageKonzentriere Dich auf das Kreuz in der Mitte. Was passiert mit den rosa Punkten ?

Täuschung - Messung ⇔ Objektive Aussage

Täuschung-Messung ⇔ Objektive Aussage

MondgrößeDer Mond (Sonne) scheint knapp über dem Horizont wesentlich größer zu sein als im Zenit.

Wesentlich für die korrekte Größen-wahrnehmung eines Gegenstandes ist die ebenso korrekte Information über dessen tatsächliche Entfernung zum Beobachter

Da zwischen Mond am Horizont und Betrachter viel mehr Gegenstände (Bäume, Häuser, etc.) liegen („Tiefeninformation“) als zwischen Mond oben am Himmel und Betrachter, wird die Entfernung fälschlicherweise als größer eingeschätzt, bei größerer Entfernung und gleich großer Abbildung auf der Netzhaut müsste der Gegenstand aber größer sein, und somit wird der Mond oder auch die Sonne am Horizont auch größer wahrgenommen (Größentäuschung).

Masse → 2 kg; Länge → 7 mMessgrößen

Physikalische Größe → Zahl und (Maß)-Einheit

natürlich: Wellenlänge von Spektrallinien, ... gegeben durch Naturgesetze

Einheit

willkürlich: Armlänge, Äquatorlänge,... gegeben durch Normale

Maßsystem → Menge von Grundgrößen mit Einheiten

Reduzible Größen (Zurückführbar auf Basisgrößen)Grundgrößen

Basisgrößen (Definition willkürlich / natürlich)

GRUNDGRÖSSEN (7 + 2)

RadiantDer Radiant (rad) - ebener Winkel zwischen zwei Radien eines Kreises, die aus dem Kreisumfang einen Bogen der Länge des Radius ausschneiden.SteradiantDer Steradiant (sr) - räumlicher Winkel, dessen Scheitelpunkt im Mittelpunkt einer Kugel liegt und der aus der Kugeloberfläche eine Fläche gleich der eines Quadrats von der Seitenlänge des Kugelradius ausschneidet.

Grundgrößen

Si-EinheitGröße Zeiche

n Name Definition

Zeit s Sekunde

1 s ist die Zeit für 9192631770 Perioden einer bestimmten Schwingung des Isotops von Cs-133

Länge m Meter1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit von 1/299792458 s zurücklegt

Masse kg Kilo-gramm

Ur-Kilogramm, aufbewahrt imBureau International des Poids et Mesures in Paris Sèvres

Grundgrößen

Si-EinheitGröße Zeiche

n Name Definition

Strom-stärke A Ampere

Die Stromstärke in zwei parallelen Leitern im Abstand von 1m beträgt 1 A, wenn die Ströme, bezogen auf die Länge 1m, die Kraft 2 .10-7 N aufeinander ausüben

Licht-stärke cd Candela

Lichtstärke, die mono-chrom. Strahlung mit der Frequenz 540 · 1012 Hz mit einer Leistung von 1/683 Watt pro Steradiantaussendet.

Grundgrößen

Si-EinheitGröße Zeiche

n Name Definition

Tem-peratur K Kelvin

Zwischen dem Nullpunkt der thermodynamischen Temperaturskala (absoluter Nullpunkt) und dem Tripelpunkt des Wassers liegen 273,15 K

Stoff-menge mol Mol

1 mol eines Stoffes enthält so viele Teilchen, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoff C-12 enthalten sind.

NA = 6,022x1023

Die 11. Generalkonferenz für Maß und Gewicht hat zwei ergänzende SI-Einheiten festgelegt:

Bogenmaß: φ [ rad] = s / r1 rad = 1 Radiant

Gradmaß: 1 Grad = 1° = (2π /360) rad1 Minute = 1' = 1° /601 Sekunde = 1'' = 1' /60

φ

r

rs∝ r

Kreisumfang = 2π r ⇒ Vollkreis hat 2π rad bzw. 360°Kugelfläche

r

A∝ r2Ω

Raumwinkel: Ω [Sterad] = A/r2

1 sr = 1 Steradiant

Kugelfläche = 4π r2 ⇒ Vollkugel hat 4π sr

Abgeleitete Größen⇓

mathematische Kombination von Grundgrößen

Dimension: Maßeinheit der abgeleiteten Größe

Beispiel: Geschwindigkeit v = d ( Länge ) / d ( Zeit ) = dx / dt

Dimension: [ ] [ ][ ] sm

sm

ZeitDistanzv 1−===

⇒ Konsistenztests von Gleichungen:

Haben alle Summanden die gleiche Dimension ?

Haben beide Seiten der Gleichung die gleiche Dimension ?

⇒ Konsistenztests von Gleichungen:

Haben alle Summanden die gleiche Dimension ?

Haben beide Seiten der Gleichung die gleiche Dimension ?

Weitere Beispiele:

Aus Einheiten können Vielfache der Einheiten durch Multiplikation mit Faktoren gewonnen werden.

0.01 m = 10 cm = 10 mm = 10000 µm

0.000000001 m = 1 nm, oder 1 pm = 1.10-12m

Messgenauigkeit und Messfehler (Genaueres wird vor dem Praktikum angeboten)

Eine Messung beruht auf einem quantitativen Vergleich der Messgröße mit einem Standard (Normal).

Dadurch erhält man einen Informationsgewinn über den Istwert eines Messobjekts.

Jede Messung ist mit einem Fehler behaftet.Beispiel: In einer Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen soll die Anzahl pro cm3 bestimmt werden. Dies kann z.B. durch Betrachtung eines kleinen Volumens (Mikroskop) und Auszählung bestimmt werden. Inhalt desVolumens ist 0.0025mm3, oder 2.5 x10-6 cm-3. Die Flüssigkeit enthalte im Mittel 1000000 cm-3.

Im Messvolumen gibt es im Mittel 1000000 x 2.5 x10-6 = 2.5 Teilchen.

Messung A: 2 Teilchen, daraus folgt: 2 Teilchen / Messvolumen = 800000 cm-3

Messung B: 3 Teilchen, daraus folgt: 3 Teilchen /Messvolumen = 1200000 cm-3

Geringe Anzahl von Teilchen → große statistische Schwankung:

AnzahlAnzahlErgebnis ±⇒

Messgenauigkeit und MessfehlerA: (800000 ± 560000) cm-3, oder 800000 cm-3 ± 70%

B: (1200000 ± 680000) cm-3, oder 1200000 cm-3 ± 57%

Bemerkung: 1. Schlechte Messgenauigkeit, weil zu wenige Teilchen; 2. Ergebnisse annehmbar, weil sich die Fehlerbereiche überschneiden.

Messung = Messwert x ± Fehler σMessung = Messwert x ± Fehler σ

• Übliche Wahl: Fehler = Standardabweichung σ

• : Vertrauensbereich[ ]xx σx,σx +−

Beispiel:Gaußfehler: 68,3% der Messungen innerhalb ±σ31,7% liegen außerhalb!!!

• Fehlertypen: statistisch / systematisch

Statistische ( bzw. zufällige ) Fehler:

→ Auflösung der Apparatur / Skala

→ Statistische Fluktuation ( z.B. Zerfallsrate )

→ Rauschen ...

Messungen: x1 , x2 , ... , xn jeweils mit Fehler ±σ

Mittelwert: ⇒∑=

=n

1kkx

n1x

nσσ x =

Statistische Fehler sind durch Wiederholung der Messung beliebig reduzierbar

Statistische Fehler sind durch Wiederholung der Messung beliebig reduzierbar

Beispiele für systematische Fehler:

→ Falscher Nullpunkt der Apparatur

→ Fehlkalibration der Skala

→ Unsicherheiten in Korrektur von Störeffekten

Systematische Fehler sind i.a. nicht durch Wiederholung der Messung reduzierbar

Systematische Fehler sind i.a. nicht durch Wiederholung der Messung reduzierbar

Skalare Größen (Skalare)• Sie sind durch Zahlenwert und Einheit vollständig definiert. Skalaresind z. B. Zeit (t = 0.8 s), Masse (m = 55 kg), Temperatur (T = 303 K).

• Zahlenwerte sind reelle Zahlen, Temperaturangaben in Kelvin sind Immer positiv

Vektorielle Größen (Vektoren – physikalische Größen mit Richtungssinn)• Sie sind durch Zahlenwert, Einheit und Richtung vollständig definiert. Vektoren sind z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft

• Variablen, die für Vektoren stehen, werden häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet

rr

222 zyxr ++=r ist der Betrag (Länge) eines Vektors

BezugssystemeGalilei formulierte die umstrittenen Frage, ob sich eine Kugel an Bord eines fahrenden Schiffes in Bewegung oder in Ruhe befinde. Seine Analyse lautete, dass die Beantwortung der Frage von der Position des jeweiligen Beobachters abhängt: ein Beobachter, der sich ebenfalls an Bord des Schiffes befindet, sieht die Kugel in Ruhe, während ein Beobachter am Ufer die Kugel sich zusammen mit dem Schiff bewegen sieht. Die Eigenschaft, in Bewegung zu sein, ist demnach keine, die der Kugel alleine zukommt, sondern hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.

Für die Betrachtungen im Rahmen dieser Vorlesung werden wir meistens Erde als Bezugsystem benutzten und annehmen, dass die Erde ruht. Dies ist zwar nicht richtig, für die meisten Überlegungen hier ist es jedoch eine akzeptable Annahme.

3 D Kartesisches Koordinatensystem

Geschwindigkeit

A.Gleichförmige geradlinige BewegungDiese Bewegung ist gegeben wenn in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden.

t = 0 s

t = 1 s

t = 2 s

X

Y

Z

)2( srr

)0( srr

1sr

∆

2sr∆)1( srr

ts

tttrtrv

∆∆

=−−

=rrr

r

12

12 )()(

[ ] [ ]1−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= sm

smvr

Weg-Zeit-Diagramm

tsv

∆∆

=r

r

Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm

Umrechnung zwischen den gebräuchlichen Geschwindigkeitseinheitenm/s und km/h :

1 km/h = 1000m : 3600s = (1 : 3,6) m/s = 0,277 m/s

Graphische Darstellung der Bewegung im Weg – Zeit – Diagramm

s [m]

t [s]

1

2

3

Fall 2: Gleichförmige Bewegung

Fall 1 und 3: Ungleichförmige Bewegung

A B

C

∆s

∆t

Mittlere Geschwindigkeit:

ABBC

tsvM =

∆∆

=r

r

α

Wir erkennen, dass wir die Geschw. bei ungleichförmiger Bewegung um so genauer angeben können je kleiner Zeiten und Wege gewählt werden. Mit

00 →∆→∆ tundsP

Erhalten wir im Punkt PMomentangeschwindigkeit:

dtsdvr

r=

Vergleich der mittleren Geschwindigkeiten (Näherung)Objekt GeschwindigkeitSchnecke 0,0008 m/s ≈ 0,003 km/hMaulwurf (Graben) 0,002 m/s ≈ 0,008 km/hMaulwurf (Laufen)1,1 m/s ≈ 4 km/hFußgänger 1,5 m/s = 5,4 km/hBiene 6,5 m/s ≈ 23 km/hBrieftaube 20 m/s = 72 km/hSchwalben 60 m/s ≈ 220 km/hErde (Umlaufbahn) 29.800 m/s ≈ 107.000 km/hLicht (Vakuum) 299.792.458 m/s ≈ 1.080.000.000 km/h

BeschleunigungÄndert sich die Geschwindigkeit, so wirkt eine Beschleunigung (bzw. Abbremsung). Wenn z.B. ein Skispringer startet ist seine Anfangsgeschw. v1=0 m/s. Am Schanzentisch ist seine Geschwindigkeit v2=28 m/s. Wie groß war seine Beschleunigung ?

tv

tttvtva

∆∆

=−−

=rrr

r

22

12 )()(

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

−

2

1

sm

ssma

dtvd

dtva t

rrr

=∆

= →∆ 0lim

Momentanbeschleunigung

Geschw.-Zeit:Diagramm t

v

t1 t2 t3

a>0a<0

Freier Fall Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Hier wird ein frei fallender Körper immer schneller. Warum ?

Experimente: Fallschnüre, div. Objekte im Vakuum

gatav rrrr=⋅= ;

g =

002

0 00

00

2

2

21)( stvatdtvatvdts

vatadtvadtdv

dtsd

dtdva

dtdsv

t t

t

++=+==

+==⇒=

===

∫ ∫

∫

g

Fundamentalgleichungen der Kinematik

Freier Fall: 2

2tgsgtv ==

Fallschnüre zur Bestimmung des Fallgesetzes

h1h1

h2h2

h4 h3h3

Kugelnin

gleichemAbstand1:2:3:4

Kugelnjeweils

imAbstand

12:22:32:42

Ergebnis:Ergebnis:Die KugelnSchlagen in

gleichen Zeit-intervallen auf !

2

212

h t

h gt

⇒ ∝

⇒ =

Zusammensetzung von BewegungenFührt ein Körper mehrere Bewegungen aus, so ergibt sich die Gesamtbewegung durch die Addition der Einzelbewegungen und der Gesamtweg durch die vektorielle Addition der einzelnen Wege, die Gesamtgeschwindigkeit durch die Addition der einzelnen Geschwindigkeiten.

A

B

C = A + B

vB

vF

vB

vFResultierende Geschwindigkeit

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/index.htmlhttp://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/index.htm

Addition und Zerlegung der KräfteTreten mehrere Kräfte auf so muss die Summe der Kräfte durch dievektorielle Addition gebildet werden. Ist die Summe aller in einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null, so herrscht ein Gleichgewicht.

Beispiel:

A

B C

RCPPBA

CBArrrrrr

rrr

=+=+

=++ ?

P

R

Horizontaler Wurfhorizontal:

tvx 0=0vxt =⇒

vertikal:

2

2tgy = 2

0

2

2 vxg

=

y=1.5m, v0=3m/s: x=1.6m

22 1081.9sm

smg ≈=

Senkrechter Wurf

20 2

1 gttvs −=

00 =−= gtvdtdsmaximale Höhe:

gvt 0

max =

gvs2

20

max =

Schräger Wurfαcos0vvx =αsin0vvy =

tvx ⋅= αcos02

0 21sin gttvy −⋅= α

αα 22

2

cos2tan

ovxgxy −⋅=

Wurfhöhe: gvyH 2

sin220 α

=

Wurfweite: gvxW

α2sin20=

α

gvv

gv

vtvx

gvvtvy

yxW

yH

ααα

α

sin2cos2cos2

sin

000max

00max

⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=

KRAFT und MASSEKonzept einer Kraft:

Kraft ist eine Fähigkeit, etwas zu bewirken. Als physikalischer Begriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung, Beschleunigung, Abbremsung) oder auch einen Körper zu verformen.

Es gibt viele Arten von Kräften z.B: elastische Kraft, Reibungskraft, Federkraft, elektrische Kraft, Schwerkraft (Gravitation), .....

Auf G. Galilei Erkenntnissen basieren formulierte I. Newton 1668 in „PrincipiaMathematica“ das Trägheitsprinzip (1. Axiom):

Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.

Eine Änderung dieses Zustandes ist nur durch eine Kraft (Reibung, Gravitation, ..) möglich.

Einige Beispiele und Überlegungen:

Eishockeypuck erreicht Geschwindigkeiten von über 45 m/s. Reibungsfreie Eisfläche würde eine nie endende Fortbewegung mit sich bringen.

Ein Körper der keiner Wechselwirkung wie Reibung (oder Gravitation) unterliegt, ist etwa im Weltraum vorstellbar - einmal in Bewegung, setzt ein Körper diese geradlinig, mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Eine Kraft könnte in solchen Fall die Objekt-geschwindigkeit beeinflussen, z.B. beschleunigen.

Es zeigt sich aber, dass auch wenn externe Einflüsse (z.B. Reibung) fehlten, eine Initiierung der Bewegung eines Körpers von einer internen Eigenschaft des Körpers, von seiner Trägheit, abhängt. Bei großer Trägheit ist diese Initiierung der Bewegung schwieriger, so aber auch die Abbremsung.

Sichtlich ist Trägheit eines Körpers proportional zur Masse.

Kraft FKraft ist also die Ursache einer Beschleunigung, sie ist auch proportional zu der Beschleunigung. Wieder auf G. Galilei Experimenten aufbauend formulierte I. Newton sein 2. Axiom – das Aktionsprinzip:

Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

[ ] )(11

;;

2 NewtonNsmkgF

gmFamFaF G

=⋅=

⋅=⋅=∝r

rrrrrr

Es gibt eine große Zahl von div. Kräften, sie lassen sich aber in 2 Gruppen einteilen: Kontaktkräfte mit Reichweite von etwa 10-10m (Reibungs-, Stoßkräfte,..) und Fernwirkung (Gravitations-, elektrische und magn. Kräfte)

Die Beobachtung, dass Kräfte immer bei Wechselwirkungen auftreten, bedeutet auch dass zu jeder Kraft eine Gegenkraft existieren muss. Die hat Sir Isaac Newton folgendermaßen formuliert:

Das ReaktionsprinzipKräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).

ABBA FF →→ −=rr

Beobachtung von G. Galilei:Eisen- und Holzkugel mit dem gleichen Durchmesser geworfen von Turm in Pisa erreichen den Boden gleichzeitig. Warum ?

Schwerkraft• Bekannteste Kraft auf unserem Planeten

• Frei fallender Körper führt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus mit der konstanten Beschleunigung g=9.81 m/s2.

• Die Beschleunigung ist durch die Schwerkraft hervorgerufen.

• Die Schwerkraft steht normal auf die Erdoberfläche

• Eine Masse von 1 kg wird von der Erde mit der Kraft von 9.81 N angezogen.

• Diese Kraft wird auch Gewicht genannt.

gmFGrr

⋅=

50 m

Newton‘sche Erklärung:Schwerere Gegenstände haben auch größere Trägheit. Die Eisenkugel wird von der Erde mit etwa 10-facher Kraft im Vergleich zu der Holzkugel angezogen, aber ihre Trägheit ist auch 10 mal so groß.Also Trägheit und Gewicht sind beide proportional zu Masse. Wodurch unterscheiden sich dann diese beiden Eigenschaften der Masse ?

Die Trägheit ist eine inhärente Eigenschaft der Masse, das Gewicht ist von der Gravitationskraft (Schwerkraft) abhängig. Ein Mensch mit 100 kg (Erde) würde auf dem Mond nur etwa 17 kg wiegen.

17 kg !!100 kg ??

GRAVITATIONSGESETZ

Das newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass sich die Gravitationskraft F, mit der sich zwei Massen m und M anziehen, proportional zu den Massen beider Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r der Massenschwerpunkte verhält:

Die Gravitationskonstante, meist durch das Formelzeichen G dargestellt, ist eine von Isaac Newton eingeführte Universalkonstante, die beibekanntem Abstand zweier, massiver Objekte deren gegenseitigeMassenanziehungskraft bestimmt.

Danach ist die Gravitationskraft eine Wechselwirkung - nach dem dritten newtonschen Axiom wirkt die Kraft sowohl auf die erste als auch auf die zweite Masse, aber jeweils in der entgegengesetzter Richtung.

2rMmGF ⋅

⋅=

2

3111067.6

skgmG

⋅⋅≈ −

↓↑⇒ Fr

Gravitationskonstante G - Streuung der Messwerte

Die Gravitationskonstante G führt über das Gravitationsgesetz zurMasse M und zur mittleren Dichte ρ des jeweiligen Körpers (z. B. derErde), sofern der mittlere Radius und die Oberflächenbeschleunigungg bekannt sind:

RE

E

E

RGg

VMmg

RMmG

⋅⋅=

==

πρ

ρ

43

;2

33105.5

mkg

E ⋅≈ρ

Kräftezerlegung auf der schiefen Ebene

FDFG

FT

fz

ff

Eine schiefe Ebene ist eine ebeneFläche, die gegen die Horizontalegeneigt ist. Sie wird z.B. verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern.Die Gewichtskraft FG einer Masse, die sich auf einer Schiefen Ebene befindet, wird in zwei Komponenten zerlegt, die FTparallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die FD normal zur Oberfläche. Da die Normalkraft bereits von der schiefen Ebene selbst getragen wird, muss, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, lediglich die treibende Kraft FTausgeglichen werden.

αα

cossin

⋅=⋅=

GD

GT

FFFF

α

ARBEIT, ENERGIE UND LEISTUNG

Begriff „Arbeit“ ist im allgemeinen für körperliche oder Geistige Aktivität benutzt. Wir sehen uns zunächst den einfachsten Fall der mechanischen Arbeit.

Mechanische Arbeit W wird verrichtet wenn ein Körper entgegengesetzt zu einer wirkenden Kraft bewegt wird.

Also in diesem Fall gilt:

).(...

cos

hundFzwWinkel

hFhFWrr

rrrr

α

α⋅⋅=⋅=ARBEIT = KRAFT * WEG

[ ] [ ] [ ] [ ]JmNmsmkgW 112 =⋅=⋅⋅⋅= −

Welche Fähigkeit hat nun ein auf die Höhe h gehobener Körper ?

gmFG ⋅=

gmFG ⋅=

FFG =

h

m

m

[ ] JouleJ 11 ⇒

hgmhFE Gpot ⋅⋅=⋅=

Der Körper hat nun das Potenzial Arbeit zu verrichten, er besitzt eine potenzielle Energie:

Da in Ruhe keine Arbeit geleistet werden kann, kann der Körper beim Runterfallen von der Höhe h die aufgewendete Arbeit abgeben. Jetzt wird aber die potenzielle Energie in Bewegungsenergie, kinetische Energie, umgewandelt:

tgvweiltggmW

tgshundhgmhFW G

⋅=⋅⋅⋅=

⋅==⋅⋅=⋅=

2

2

)(21

2

2

21 vmEkin ⋅=

Die kinetische Energie wird beim Auftreffen wieder Umgewandelt in andere Energieformen, z.B. Wärme, Deformation. Die Einheit [J] bleibt gleich.

Die Arbeit kann in einem Kraft – Weg Diagrammdargestellt werden. Sie ergibt die Fläche eines Rechtecks mit den Seiten: mg und h.

Zur Überwindung der Höhe h kann auch eine schiefe Ebene verwendet werden. Die Hubarbeit ist nun entlang eines längeren Weges s=h / cosϕzu leisten. Weg [m]

F [N]

W = F • h

Arbeit = Skalarprodukt des Kraftvektors mit dem Vektor der Verschiebung

α

ϕ

s

h

FG

FF

S=F •cos ϕ

sFsFW rr⋅=⋅⋅= ϕcos

Fr

sr

Beispiel:Heben einer Masse von 10 kg um 3 m erfordert eine Arbeit von 10 kg⋅10 m/s2 ⋅3 m = 300 J.

Verschieben einer Masse von 10 kg um 3 m auf der schiefen Ebene mit einer Neigung von 30° erfordert eine Arbeit von mg⋅s⋅cos60° = 150 J.

Höhengewinn = 3m⋅ cos60° = 1.5 m

∫∫ ⋅==⋅=hh

hFdsFdsFW00

Beispiel:

Arbeit zur Beschleunigung eines Wales von 100 t von Ruhe auf 8 m / s:

kJJsmkgmvW 320032000002

81000002

2222

==⋅

==−

Täglich vom Menschen aufgenommene Energie (Nahrung) ~ 10000 kJ. Bei einem Wirkungsgrad von 32% (d.h. 32% der Nahrungsenergie stehen für diese Arbeit zur Verfügung) könnte der Wal einmal pro Tag auf 8 m / s beschleunigt werden.

Bei Körperlicher Tätigkeit merkt man, dass bei gleicher Arbeit die Ermüdung umso schneller eintritt, je kürzer die Zeit in der die Arbeit verrichtet wurde. Man hat unterschiedliche Leistungen vollbracht.

Dies hilft uns die Leistung zu definieren:Zeit

ArbeiteverrichtetLeistung =

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

sJP

tWP 1;

MJJsWkWh 6,3106,3360010001 6 =⋅=⋅=

Aus dieser Definition kann der bekannte Begriff der Kilowattstunde (kWh) ermittelt werden. Leistung mal Zeit = Energie.

ERHALTUNGSSÄTZEUnter einer Erhaltungsgröße versteht man eine Größe, die für die an einer Wechselwirkung beteiligten Teilchen vor und nach der Reaktion gleich ist (also erhalten bleibt). Eine der bekanntesten Erhaltungsgrößen der Physik ist die Energie. Zu jeder Erhaltungsgröße gehört ein Erhaltungssatz, in dem formuliert wird, welche Größe unter welchen Bedingungen erhalten bleibt.

Beispiel:

Fadenpendel – periodische Umwandlung von potenzieller in kinetische Energie und umgekehrt, bei gleichzeitiger Erhaltung der Gesamtenergie

kinges EE =

potges EE =h

1 3

2 ..

2

:32

:2

:1

EndzusttAnfangszus

potges

kinges

potges

WW

mghWW

mvWW

mghWW

=

==

==

==

v

Für viele physikalische Größen gelten Erhaltungssätze. Ein Erhaltungssatz für eine Größe X bezieht sich stets auf ein System, welches für diese Größe nach außen abgeschlossen ist. Für eine andere Größe kann das System offen sein.

x

y

IMPULS (Physik)

Bewegt sich ein Körper der Masse m mit einer Geschwindigkeit v, so kann dies durch eine Größe, den Impuls, beschrieben werden. Jeder bewegte Körper trägt einen Impuls, den er bei Stößen oder durch Kraftwirkungen ganz oder teilweise auf andere Körper übertragen kann.

Der Impuls ist definiert als Produkt der Masse m eines Körpers und dessen Geschwindigkeit. Impuls und Geschwindigkeit sind Vektoren:

In der Umgangssprache bedeutet der Impuls einen Antrieb etwas zu tun, in Angriff zu nehmen oder zu unternehmen.

IMPULS

tavamFdtsdmvmp ⋅=⋅=⋅=⋅=

rrrr

rr

tmFtav

1

111 == t

mFtav

2

222 ==

[ ]

0:

1

2121

21

2211

1

=+−=−=

⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= −

ppoderppFFgiltes

tFvmundtFvmsmkgpvmp

rrrr

rr

rr

rrr

Impuls, Kraft und Geschwindigkeit sind Vektoren und weisen in die gleiche Richtung.Impulserhaltungssatz:

Für jedes abgeschlossene System bleibt der Gesamtimpuls konstant

?

?*

2

*1

=

=

v

v

Zweidimensionaler Stoß gleicher Massen

2''

12''

1

2''

12

2'2'

12

1

'2

'11

2

2'2

1

2'1

1

21'

2'

11

21

0

:)()()(2)()(

)(

)(222

paufsenkrechtppp

mußgeltenbundadamitbppppp

quadrierenppp

am

pm

pmpEEE

mmm

rrrr

rr

rrr

⇒=⋅

⋅++=

→+=

+==+=

==

θ

θ …Streuwinkel

ϕ

Warum ist (θ +ϕ )=90° ?

Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorischmit der Geschwindigkeit v bewegt, so beschreibt man den Impuls als:

vmp rr⋅= Einheit: 1N · s oder 1kg · m · s-1

Durch eine Umformulierung des II. Newton´schen Axioms erhalten wir:

tp

tvm

tvmamF

dd

d)(d

dd rrr

rr=

⋅=⋅=⋅=

Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderungpro Zeiteinheit.

Die Größe: wird als Kraftstoß bezeichnet.pddtF rr=⋅

Energieumsatz im menschlichen KörperUm den Energieumsatz für ein ganzes Lebewesen zu analysieren, also die Energie, die z. B. ein Mensch oder ein Tier benötigt, müssen einzelnen Individuen einer Population bezüglich ihres Energiebedarfs je nach Alter, Geschlecht, Gesundheitszustand, körperlicher Leistung oder umgebendem Klima bewertet werden.

Biologische Organismen sind keine geschlossenen Systeme. Es findet ständiger Stoff und Energieaustausch mit der Umgebung statt. Es stellt sich dabei ein sog. Fließgleichgewicht ein. Dieses Gleichgewicht ist nur bei ausreichender Energiezufuhr von Außen, je nach abgegebener Arbeit, oder Leistung möglich.

Im Mittel nimmt der Mensch 9630 kJ /Tag = 2300 kcal /Tag auf. Das entspricht einer Leistung von 110 W. Die Energie wird als potenzielle Energie auf der molekularen Ebene zur Verfügung gestellt.

Bei der Umsetzung der Energie können bis etwa 30% als mechanische Arbeit freigesetzt werden.

Nahrung Energie kJ / g Kohlehydrate 19

Fett 42Alkohol 34

Fr

Fr

−

DREHBEWEGUNG

Fr

Fr

−Keine Drehung Drehung gegen Uhrzeigersinn

Fr

rr Das DrehmomentDrehung wird stärker mit zunehmender Kraft F.

Drehung wird stärker wenn der Hebelarm rvergrößert wird.

Wir definieren: Drehmoment M = Hebelarm r • Kraft F

1Fr

rr

2Fr

Fr

α

α

Die wirkende Kraft F kann in 2 Komponenten zerlegt werden. Nur die F1 Komponente erzeugt ein Drehmoment M !!

αsin1 ⋅⋅=⋅= FrFrMHebelarm r und Kraft F sind offenbar Vektoren. Auch das Drehmoment M ist ein Vektor. M hängt nicht nur vom Betrag , sondern auch von der Richtung der Kraft F ab. So müssen r und F als Vektorprodukt ausgedrückt werden !!!

[ ] )!(1 JoulenichtNmMFrM =×=rrr

VEKTORPRODUKT:* Das Ergebnis ist ein Vektor, mit Richtung senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren * Der Betrag des Ergebnis-Vektors entspricht der von den Ausgangsvektoren aufgespannten Fläche

* Betrag: „Produkt der Beträge beider Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen den Vektoren“

Fr

rr

Mr

α

Hebelgesetz2211 FrFr ⋅=⋅

Obiges gilt nur, wenn die Kräfte im Winkel von 90° angreifen. Ist der Winkel verschieden von 90°, so müssen die Kräfte in die einzelnen Komponenten zerlegt werden, und nur die Komponente, die rechtwinklig vom jeweiligen Arm wegzeigt, geht in die Rechnung ein.

Ein Hebel ist einer der wichtigsten Kraftwandler. Er dient, wie alle mechanischen Maschinen dazu, Arbeit zu erleichtern, nicht zu sparen. Denn die zu leistende Arbeit bleibt nach der Formel: Arbeit = Kraft . Weg

Das heißt, eingesparte Kraft geht auf Kosten des Weges, die zu leistendeArbeit wird keineswegs weniger.

22 Fr ⋅11 Fr ⋅ =

Beispiel:Mit welcher Kraft muss der Muskel ziehen um eine Masse von 2 kg halten zu können ? L1=3 cm und L2=30 cm.

Ann.1.: Muskelkraft normal auf d. Unterarm.

Ann.2.:Muskelkraft unter 60° auf d. Unterarm

Die Masse m erzeugt ein Drehmoment:

Nmskg 20102 2 =⋅ −

Nm

NmF

NmmNM

23160sin03.0

663.020

1 =°⋅

=

=⋅=

Nm

NmF

NmmNM

20003.0

663.020

1 ==

=⋅=1

2

ωUnter der Winkelgeschwindigkeit versteht man die zeitliche Änderung des Drehwinkels bei einer Rotation:

Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, wie schnell etwas rotiert. Winkelgeschwindigkeit ist unabhängig von der Entfernung von der Drehachse.

Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist rad/s bzw. 1/s.

dtdtfür

tϕωϕω =→∆

∆∆

= 0

ϕTvr

ϕ

b=∆s=r. ∆ϕ

b vT

ωϕ⋅=

∆∆

⋅=∆∆

= rt

rtsvT

Drehung um eine Achse – Winkelgeschwindigkeit

KreisbewegungBei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für Zeitintervalle ∆t: t∆⋅=∆ ωϕ

T sei die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h. Vektor r durchläuft einen Winkel 360o (bzw. 2π im Bogenmaß), dann gilt: T

t∆=

∆πϕ

2

[ ]12 −= sTπωDamit ergibt sich für die Winkelgeschwindigeit:

Winkelgeschwindigkeit ω auch als Kreisfrequenz bezeichnet: νπω ⋅= 2

Ändert sich ω in der Zeiteinheit ∆t (ungleichförmige Rotationsbewegung) Winkelbeschleunigung α = ∆ω /∆t [rad.s-2]

Beispiel:

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Rotation von 3000 Upm ?

110060

23000 −=⋅

= ss

ππω

Eine Schiebe mit dem Durchmesser von 23 cm rotiert mit 7000 Upm. Wie groß ist die Tangentialgeschwindigkeit am Rande ?

11

1

3,84733115.0

73360

27000

−−

−

=⋅=

⋅=

=⋅

=

mssmvrv

ss

ω

πω v =?

Beispiel: Gleichförmige Rotationsbewegung

Winkelgeschwindigkeit der Erde um ihre Achse. Periode T = 24 h

Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Äquator ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit am Nordpol ?

Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit in Wien ?

Beschleunigung bei Drehbewegungen

v1

v0vx

Bewegung auf einer Kreisbahn, auch mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ist eine beschleunigte Bewegung. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber ihre Richtung ändert sich. Jede Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors ist mit einer Beschleunigung verbunden.

∆ϕ

v0

v1∆v∆ϕ

P

Richtung der Bahngeschwindigkeit v ist in jedem Punkt P tangential zum Kreis.

tr

tr

tsv

tt ∆∆

⋅=∆∆⋅

=∆∆

=→∆→∆→∆

ϕϕ000t

limlimlim ω⋅=⇒ rvVerantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist die Beschleunigung aZ = const. Sie wirkt senkrecht zur Bahngeschwindigkeit Zentripetalbeschleunigung, deren Betrag lautet:

22

Z ωω ⋅==⋅= rrvva

r

F

ω = 2πf

z

Beispiel: Zentrifuge

2ω⋅⋅=⋅= rmamF ZZ

Für die Beschreibung als Auftrieb wird Schwerkraft durch Zentrifugalkraft ersetzt.

Beschleunigung g

Dichteschichtung oder Sedimentation

ρ

9,81 m/s2

rω2Beispiel: 100 Umdrehungen pro smit 0,1 m Radius

(2π⋅100)2 ⋅ 0,1 m/s2 = 40.000m/s2

ρ

TRÄGHEITSMOMENTZwei Zylinder haben die gleiche Masse, trotzdem beschleunigt der Hohlzylinderlangsamer als der Vollzylinder. Warum ?

Bei einem rotierenden Körper hat jeder Teil eine bestimmte Momentan-geschwindigkeit. Jede bewegte Masse hat eine kin. Energie, daher besitzt ein rotierender Körper die Rotationsenergie. Um diese Energie bestimmen zu können, denken wir den Körper in Massen-elemente dmi zerlegt. Im Abstand ri von der Rotationsachse hat jedes dmi eine Geschwindigkeit:

Rotationachse

dd ω⋅= ii rv

Seine kinetische Energie beträgt:

22

222 ω⋅⋅∆=

⋅∆=∆ iiii

krmvmE

Die gesamte Energie der Rotation ergibt sich durch die Summation(Integration) aller Beiträge:

222

22

222 IrmrmE ii

ii

iir

⋅=⋅⋅=

⋅⋅∆= ∑∑ ωωω

Trägheitsmoment

Beispiele für div. Trägheitsmomente:

2

32 mRIHK =

2mRIHZ =

2

21 mRIVZ =

2

52 mRIVK =

Drehimpuls

Definition des Drehimpulses:

ωrr

⋅= IJDer Drehimpuls ist in einem abgeschlossenem System konstant (Drehimpulserhaltung)

kleinωr

großωr

großIkleinI

002

0 00

00

21)( stvatdtvatvdts

vatadtvadtdv

t t

t

++=+==

+==⇒=

∫ ∫

∫

Körper 1 (für max. Höhe gilt: v1=0)

v0

v0

h ?

1

2g

vHhgvt

gtvvundgttvs

2

21

20

max0

max

012

01

==⇒=

−=−=

Beispiel: Von der Erdoberfläche wird ein Körper 1 vertikal mit der Geschwindigkeit v0 geworfen. Simultan wird in der Höhe H ein Körper 2 mit der selben Anfangsgeschwindigkeit v0hinunter geworfen. Höhe H=hMAXist die maximale Wurfhöhe. In welcher Zeit und Höhe treffen sich die Körper ?

Für Körper 2 gilt: gtvvundgttvs +=+= 022

02 21

tvgttvgttvHss 02

02

021 221

21

=++−⇒=+Treffpunkt:

Zugleich gilt:g

vttvg

vss Treff 42

20

0

20

21 =⇒==+

gv

gvg

gvvgttvs

327

421

421 2

02

000

201 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=−=

Gegenüberstellung zwischen

Translationsbewegung und Rotation

Weg s Winkel ϕ

Geschwindigkeit v=ds/dt Winkelgeschw. ω=dϕ/dtBeschleunigung a=dv/dt Winkelbeschl. α=dω/dtKinetische Energie

EKIN=mv2/2 Rotationsenergie ER=Iω2/2

Masse m Trägheitsmoment IKraft F=m.a Drehmoment M=I.αImpuls p=m.v Drehimpuls J=I.ω

ReibungskräfteBis jetzt haben wir stets Reibungskräfte vernachlässigt. Bei der Betrachtung der Kräfte spielt aber die Reibung eine wichtige Rolle.

Verschiebt man Körper gegeneinander, so werden, unabhängig vom vorliegenden Aggregatzustand, Reibungskräfte wirksam.Äußere und innere Reibungäußere: Reibung zwischen den Außenflächen fester Körperinnere: Fluidreibung, d.h. Reibung zwischen Fluidteilchen

(Zähigkeit / Viskosität)Zwischen den Berührungsflächenzweier Körper treten Reibungskräfte auf. Sie sind der Bewegungsrichtung stets entgegengesetzt.

vFR

FFN

-FN

Mikrostruktur der Oberflächen

Haftreibung

reale, rauhe OberflächeFr

GN FFrr

= NrR FF ⋅= µ

Experimenteller Test von FR = µR·FN

RFF >

NFr

RFF >

NFr

NF2r

NF2F >

Messung von µR

Gleitreibung

reale, rauhe Oberflächevr

GN FFrr

=

GFr

αR

m

gmr

RFr

NFr

αR

αR = Winkel beim Losrutschen

αR = Winkel beim Losrutschen

RG FFrr

<

NG FF ⋅= µ

N

R

FF

=αtan

Vergleich der Reibungskräfte

v = 0

FR

F

FN = FG

FG

F

FN = FG

v

Haftreibungskraft (FR)

FR = µr • FN

Haftreibungszahl

Gleitreibungskraft (FR)

FG = µ • FN

Gleitreibungszahl

Reibungskoeffizienten einiger StoffpaareMaterial Haftreibungszahl Gleitreibungszahl

trocken geschmiert trocken geschmiert

Gummi- Beton 0.65 0.3 0.25 0.1

Stahl- Stahl 0.18 0.10 0.05 0.009

Stahl- Holz 0.5 0.1 0.3 0.02

Knochen- Knochen 0.3 0.003*

*geschmiert durch die Synovialflüssigkeit