biomatematika 7. valosz´ınus˝ ég-szám´ıtás i. filefeltételek között végzett...

Szent Istvan Egyetem Allatorvos-tudomanyi KarBiomatematikai es Szamıtastechnikai Tanszek

Biomatematika 7.

Valoszınuseg-szamıtas I.

Fodor Janos

Copyright c© [email protected] Revision Date: October 5, 2006 Version 1.25

mailto:[email protected]

Table of Contents

1 Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogal-mak 4

2 A valoszınuseg 16

2.1 Valoszınusegi modellek . . . . . . . . 17

• A tapasztalati valoszınusegi modell 20

• A klasszikus valoszınuseg . . . . . 22

• A nagy szamok torvenye . . . . . 25

2.2 A valoszınuseg alapveto szabalyai . . 28

Table of Contents (cont.) 3

• Ket egymast kizaro esemeny uniojanakvaloszınusege . . . . . . . . . . . 30

• Az ellentett esemeny valoszınusege 34

• Ket esemeny uniojanak valoszınusege 39

3 Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 43

3.1 Bayes tetele . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Esemenyek fuggetlensege . . . . . . 56

Toc JJ II J I Back J Doc Doc I

Section 1: Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak 4

1. Valoszınuseg-szamıtas – alapveto fogalmak

Egy termeszeti jelenseg lehet

• determinisztikus: azonos korulmenyek kozottmindig ugyanugy jatszodik le; a feltetelek is-mereteben a jelenseg tovabbi jellemzoi egyertel-muen meghatarozottak (pl. a szabadeses torve-nye, Ohm torvenye, stb.)

• sztochasztikus vagy veletlen: a jelenseg ki-menetele (lenyegeben azonos korulmenyek kozottis) nem egyertelmu (peldaul, egy penzdarab fel-dobasakor, a lottohuzasnal, kockadobasnal).



A nepessegbol egyetlen embert kivalasztva semmitsem mondhatunk elore testmagassagarol. Ha azon-ban ismerjuk az egesz nepesseg testmagassaganakvaloszınusegeloszlasat, akkor ez alapjan adott hata-rok kozotti testmagassagu egyenek aranya pontosanmegadhato.

Ezert a valoszınuseg fogalma az osszekoto lancszema populacio es a minta kozott.

A veletlen jelensegek tanulmanyozasa a celunk most.Kezdjuk nehany alapveto fogalommal.



Populacio: azon egyenek (dolgok) osszessege, a-kikrol (amikrol) informaciot szeretnenk kapni.

Kıserlet: vagy tenyleges kıserlet (tehat ellenorzottfeltetelek kozott vegzett reprodukalhato vizsgalat),vagy empirikus megfigyeles.

A kıserlet eredmenyet veletlen tenyezok befolyasoljak(amiket nem kıvanunk vagy nem tudunk figyelembevenni).

Elemi esemeny: egy kıserlet lehetseges kimenetele.

Esemenyter: az elemi esemenyek halmaza.

Jele: Ω.



Pelda.

(1) (a) Egy szabalyos penzermet egyszer feldobunk.

Az esemenyter:

Ω1 = fej, ıras.(diszkret, veges halmaz)

(b) A penzermet ketszer dobjuk fel. Ekkor

Ω2 = ff, fi, if, ii.



(c) A penzermet haromszor dobjuk fel. Ekkor

Ω3 = fff, ffi, fif, iff, fii, ifi, iif, iii.

(d) A penzermet az elso fej megjeleneseig dobaljuk.

Ekkor

Ω = f, if, iif, iiif, . . ..(vegtelen, de megszamlalhato)



(2) Figyeljuk meg egy bizonyos ceg altal gyartottizzok elettartamat. Az esemenyter a nemnegatıvvalos szamok osszessege (vegtelen, nem meg-szamlalhato).

Esemeny: Ω tetszoleges reszhalmaza.

Ezert az esemenyek kozott alkalmazhatok a halmaz-muveletek (unio, metszet, komplementer).

Szokas esemenyekkel kapcsolatban az alabbi jelolesis (peldaul a jegyzetben):



Halmazelmeleti Szavakkal Jegyzetben

A ∪B A vagy B A + B

A ∩B A es B AB

Mivel az esemenyek halmazok, ezert nem hasznaljukezt a kulon jelolest.

Azt mondjuk, hogy egy kıserlet soran az A esemenybekovetkezett, ha a kıserlet kimenetele mint elemiesemeny eleme az A halmaznak.

A fenti (1c) peldaban egy A esemeny: a harmassorozatban nincs fej; nyilvan A = iii. Egy masik:



pontosan ket fej van; ez eppen ffi, fif, iff.

Biztos esemeny: Ω; Lehetetlen esemeny: ∅.

Azt mondjuk, hogy az A1 esemeny maga utan vonjaaz A2 esemenyt, ha valahanyszor A1 bekovetkezik,bekovetkezik A2 is (vagyis A1 ⊂ A2).

Pelda. A kıserlet alljon abbol, hogy ket dobokockatfeldobunk. Az esemenyter:



A1: a ket dobott szam osszege 12;

A2: a dobott szamok kozt van paros.

Ekkor A1 maga utan vonja A2-t.



Egymast kolcsonosen kizaro esemenyek:ha kozuluk valamelyik bekovetkezik, akkorezzel egyidejuleg semelyik masik esemeny nemkovetkezhet be.

A ket dobokockas peldaban legyen

A1: a dobott szamok osszege 6; A2: a dobottszamok osszege 10, A3: mindket kockan 4-est dob-tunk. Ezek egymast kolcsonosen kizaro esemenyek.

Ennek megfeleloen az A1 es A2 esemeny egymastkizarja, ha A1 ∩ A2 = ∅ (diszjunkt reszhalmazok).



Teljes esemenyrendszer: esemenyek olyanosszessege, amelyek kozul mindig pontosan egykovetkezik be.

Formalisabban: az A1, A2, . . . , Ak, . . . esemenyek tel-jes esemenyrendszert alkotnak, ha

Ai ∩ Aj = ∅, ha i 6= j

esA1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak ∪ . . . = Ω.

Egy teljes esemenyrendszerhez tartozo halmazok azesemenyter egy partıciojat adjak.



A kockadobasos peldaban teljes esemenyrendszertalkotnak az alabbi esemenyek:

A2: a dobott szamok osszege 2;

A3: a dobott szamok osszege 3;

. . .

A12: a dobott szamok osszege 12.


Section 2: A valoszınuseg 16

2. A valoszınuseg

A valoszınuseg-szamıtasban abbol indulunk ki, hogyegy kıserlettel kapcsolatos barmely esemenyhez egyszam van hozzarendelve: az esemeny valoszınusege.Ez egy 0 es 1 kozti szam, amely annak eselyet fejeziki, hogy a kerdeses esemeny be fog kovetkezni.

• Minel kozelebb van egy valoszınuseg 0-hoz, annalkevesbe tartjuk elkepzelhetonek az esemeny be-kovetkezeset.

• Minel kozelebb van egy valoszınuseg 1-hez, annal



biztosabbak vagyunk abban, hogy a hozza tar-tozo esemeny bekovetketik.

• A 0 es 1 koze eso valoszınuseget (pl.7/10, 0.27,1/2) neha szazalekkent fejezzuk ki (70%, 27%,or 50%).

2.1. Valoszınusegi modellek

Pelda.

Amikor egy jeggyel rendelkezo utas megerkezik arepuloterre, elkepzelheto, hogy megsem utazhat, merttobb jegyet adtak el, mint ahany ules van a gepen.



Ket dolog tortenhet (ket lehetseges kimenetel):

1. el tud repulni (van hely a gepen);

2. egy kesobbi jarattal kell repulnie (nincs hely agepen).

Mielott kier a repterre, nem lehet biztos abban, hogya ket lehetoseg kozul melyik kovetkezik be. Mi an-nak a valoszınusege, hogy nem lesz hely a jaraton?

Tegyuk fel, hogy az utas szubjektıv becslese erre avaloszınusegre 0.1. Mivel ez a valoszınuseg 0-hozkozeli, ezek szerint az utas ugy gondolja, hogy igen



kicsi annak az eselye, hogy lemarad a jaratrol. Avalasza a helyzet szubjektıv megıtelesen alapult, amondott becsles pedig szubjektıv valoszınuseg.

Ha csak lehet (es az eloadason es gyakorlaton mindiglehet), ehelyett az alabbi ket modell valamelyikethasznaljuk inkabb.



• A tapasztalati valoszınusegi modell

Relatıv gyakorisag szerinti valoszınuseg: Sok-szor megfigyelunk egy tortenest vagy sokszormegismetlunk egy kıserletet, es egy esemenyheza megfigyelt relatıv gyakorisag szerint rendelunkhozza valoszınuseget.

Ezek alapjan

Egy esemeny valoszınusege =

Ahanyszor az esemeny bekovetkezett

Az osszes megfigyeles szama.



Pelda.

Kerdes, hogy egy a sajtobol jol ismert bunugybena gyanusıtott bunos vagy sem? Megkerdeztek errol500 egyetemistat. Kozuluk 275 szerint bunos a gya-nusıtott. Mi annak a valoszınusege, hogy egy velet-lenszeruen valasztott egyetemista szerint a gyanusı-tott bunos?

Alkalmazhatjuk az elozo formulat, amely szerintP (bunos) = 275/500 = 0.55.



• A klasszikus valoszınuseg

A klasszikus valoszınuseg azon a feltevesen ala-pul, hogy egy kıserlet veges sok kimenetelenekmindegyike egyforman valoszınu.

Ezek szerint

Egy esemeny valoszınusege =

A kedvezo kimenetelek szama

Az osszes kimenetel szama.



Pelda.

Dobjunk fel egy ermet ketszer. Az esemenyter ekkorΩ2 = FF, FI, IF, II. Tekintsuk azt az esemenyt,hogy egy fej jott ki. Ekkor ennek valoszınusege =2/4 = 1/2.

Ebben a kıserletben a negy elemi esemeny (lehetsegeskimenetel) kozul pontosan egy kovetkezik be.



Mivel mindegyik kimenetel valoszınusege 1/4, ezertaz osszes valoszınuseg osszege 1/4 + 1/4 + 1/4 +1/4 = 1.



• A nagy szamok torvenye

Tegyuk fel, hogy egy ermet 3-szor feldobtunk, es 2fej es 1 ıras jott ki. Ez alapjan, ha a valoszınusegrolmeglevo tudasunk nagyon korlatozott, azt monda-nank, hogy

P (fej) = 2/3 , P (ıras) = 1/3 .

Tudjuk azonban, hogy (szabalyos erme eseten) mind-ket valoszınuseg 1/2.

Ha meg tovabbi negyszer feldobnank az ermet, es4 fej, 3 ırast figyelnenk meg, akkor azt mondanank,



hogy

P (fej) = 4/7 , P (ıras) = 3/7 .

Ha sokaig folytatnank ezt a kıserletet, akkor azttapasztalnank, hogy a fejek szamanak relatıv gyako-risaga 1/2 (az “elmeleti valoszınuseg”) korul inga-dozna. Ez a nagy szamok torvenye.



Matematikusabban:

Ismeteljunk meg egy kıserletet egymastolfuggetlenul n-szer. Legyen N(A) az A esemenybekovetkezesenek gyakorisaga, p pedig az A

elmeleti valoszınusege. Ekkor barmely pozitıv ε

eseten

limn→∞

P

(∣∣∣∣N(A)

n− p

∣∣∣∣ < ε

)= 1.

Szavakkal: N(A)/n 1 valoszınuseggel p-hez kon-vergal, ha n tart vegtelenhez.



2.2. A valoszınuseg alapveto szabalyai

Elso szabaly:

Barmely esemeny valoszınusege 0 es 1 koze esik:0 ≤ P (A) ≤ 1.

Masodik szabaly:

A lehetetlen esemeny valoszınusege nulla:P (∅) = 0.



Harmadik szabaly:

A biztos esemeny valoszınusege egy:P (Ω) = 1.

Negyedik szabaly:

Egy kıserlettel kapcsolatos elemi esemenyekvaloszınusegeinek osszege 1.



• Ket egymast kizaro esemeny uniojanak valoszınusege

Ha az A es B esemenyek egymast kizarjak,

akkor annak valoszınusege, hogy vagy A

vagy B bekovetkezik, egyenlo a ket esemeny

valoszınusegenek osszegevel. Formulaval:

P (A ∪B) = P (A) + P (B), ha A ∩B = ∅.



Ket egymast kizaro esemeny uniojanakvaloszınusege



Pelda.

A MALEV egy jelenteseben az alabbi informaciotalalhato a Budapest – New York jaratukrol:

Erkezes Gyakorisag

Koran 100

Idoben 800

Kesobb 75

Torolve 25

Osszesen 1000

Legyen A az az esemeny, hogy egy jarat korabbanerkezik meg. Ekkor P (A) = 100/1000 = 0.1.



Legyen B az az esemeny, hogy egy jarat kesik.Ekkor P (B) = 75/1000 = 0.075.

Vegyuk eszre, hogy A es B egymast kizaro esemenyek.

Mi annak a valoszınusege, hogy egy jarat vagy ko-rabban er oda, vagy kesik?

P (A∪B) = P (A) + P (B) = 0.1 + 0.075 = 0.175.



• Az ellentett esemeny valoszınusege

Legyen P (A) az A esemeny valoszınusege, P (A)pedig az A ellentett (vagy komplementer) eseme-nyenek valoszınusege.

Egy esemeny ellentettjenek valoszınusegetugy kapjuk meg, hogy 1-bol kivonjuk az esemenyvaloszınuseget:

P (A) = 1− P (A).

Termeszetesen ekkor P (A) = 1− P (A) is teljesul.



Egy esemeny ellentettjenek valoszınusege



Pelda. (folyt.)

Erkezes Gyakorisag

Koran 100

Idoben 800

Kesobb 75

Torolve 25

Osszesen 1000

Legyen C az az esemeny, hogy a jarat pontos. EkkorP (C) = 800/1000 = 0.8.

Legyen D az az esemeny, hogy a jaratot torlik.



Ekkor P (D) = 25/1000 = 0.025.

Nyilvanvalo, hogy a C es D esemenyek egymastkizarjak.

Hasznaljuk most egy esemeny ellentettjere vonatkozoszabalyt annak kimutatasara, hogy a korabbi erkezesvagy keses valoszınusege 0.175.

Most P (A∪B) = 1−P (C∪D) = 1−[0.8+0.025] =0.175.

Az alabbi Venn diagramm illusztralja ezt az esetet.



A most megismert szabaly nagyon fontos, mivel sokesetben konnyebben ki tudjuk szamolni egy esemenyellentettjenek a valoszınuseget, mint direkt modonaz esemenyet. Erre a gykorlaton latnak majd peldat.



• Ket esemeny uniojanak valoszınusege

Legyen A es B ket esemeny, amely nem feltetlenul

zarja ki egymast. Ekkor a P (A∪B) valoszınuseget

az alabbi formula adja meg:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Az alabbi Venn-diagram illusztralja ezt a szabalyt.



Ket esemeny uniojanak valoszınusege

Pelda.

Megkerdeztek 150 egyetemi hallgatot arrol, hogyszobajukban van-e CD-lejatszo es TV. Kozuluk 70



mondta, hogy csak CD-lejatszoja van, 50 mondta,hogy csak TV-je van, es 25 mondta, hogy mind-ketto van a szobajaban.

Az alabbi Venn-diagram illusztralja ezt a peldat.

He egy egyetemistat veletlenszeruen kivalasztunk,



mennyi a valoszınusege, hogy csak CD-lejatszojavan? Csak TV-je? Mindketto?

Legyen C az az esemeny, hogy a hallgatonak vanCD-lejatszoja, T pedig az az esemeny, hogy van TV-je. Ekkor

• P (C) = 70/150 = 0.4667,

• P (T ) = 50/150 = 0.3333,

• P (C ∩ T ) = 25/150 = 0.1667.

Ha veletlenszeruen valsztunk egy hallgatot, men-


Section 3: Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg 43

nyi annak valoszınusege, hogy vagy CD-lejatszoja,vagy TV-je van? (Ebbe azt is beleertjuk, amikormindketto van neki.)

Mivel P (C ∪T ) = P (C)+P (T )−P (C ∩T ), ezert

P (C ∪ T ) = 0.4667 + 0.3333− 0.1667 = 0.6333.

3. Felteteles valoszınuseg, fuggetlenseg

Ez annak a valoszınusege, hogy egy esemeny be-kovetkezik, ha tudjuk, hogy egy masik esemenybekovetkezett.



Pelda.

Minden nap ebredeskor megfigyeljuk az idojarast.Jelolje A azt az esemenyt, hogy esik, B pedig azt,hogy felhos az eg.

Tegyuk fel, hogy az osszes napot tekintve, azok 10szazaleka felhos es esos (vagyis: P (A ∩ B) =0.1), es a napok 30 szazaleka felhos (azaz P (B) =0.3).

Ha holnap felkelunk, es azt tapasztaljuk, hogy az egfelhos, mennyi a valoszınusege annak, hogy ugyan-akkor esni is fog?



Jozan paraszti esz alapjan: a felhos napok harmadaesos, tehat a kerdeses valoszınuseg: 1/3.

Az A esemeny B-re vonatkozo felteteles

valoszınuseget P (A|B) jeloli, melynek

ertelmezese:

P (A|B) :=P (A ∩B)

P (B),

felteve, hogy P (B) 6= 0.



Mas szoval, P (A|B) annak a valoszınuseget jelenti,hogy A bekovetkezik, felteve, hogy B bekovetkezett.

A feltetel ismereteben az esemenyter redukalodik:

P (A1|A2) =P (A1 ∩ A2)

P (A2).



Pelda.

Egy egyetemi kar dekanja a kovetkezo adatokat gyuj-totte ossze a hallgatokrol:

Szak Ferfi No Osszesen

Konyveles 120 80 200

Penzugy 110 70 180

Marketing 70 50 120

Vezetestud. 110 100 210

Statisztika 50 10 60

Informatika 140 90 230

Osszesen 600 400 1000



Mennyi annak a valoszınusege, hogy egy veletlen-szeruen valasztott hallgato konyveles szakos no?

Legyen K az az esemeny, hogy konyveles sza-kos, es N az az esemeny, hogy no. Az alabbivaloszınuseget kell kiszamıtanunk: P (K ∩N).

Nyilvan P (K ∩N) = 80/1000.

Mennyi a valoszınusege annak, hogy holgyet valasz-tunk? Nyilvan P (N) = 400/1000.

Most tudjuk, hogy a kivalasztott szemely holgy; meny-nyi a valoszınusege, hogy konyveles szakos?



Most P (K|N)-et kell kiszamıtanunk. Mivel

P (K|N) =P (K ∩N)

P (N),

ezert

P (K|N) = [80/1000]/[400/1000] = 0.2.

3.1. Bayes tetele

Tekintsuk a kovetkezo diagramot, ahol az esemeny-teret kek szın jeloli. Ebben teljes esemenyrendszertalkot az A1 es A2 esemeny: az esemenyter egy



partıciojat adjak.

Problema: fejezzuk ki a P (A1|B) valoszınuseget aP (B|A1), P (B|A2), P (A1) es P (A2) valoszınusegekismereteben.



1. Mivel P (B|A1) =P (A1 ∩B)

P (A1), ezert

P (A1 ∩B) = P (B|A1) · P (A1).

Hasonloan,

P (A2 ∩B) = P (B|A2) · P (A1).

2. P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B).

3. P (A1|B) =P (A1 ∩B)

P (B).



Behelyettesıtve ez utobbiba az elozo ket formulat, akovetkezo eredmenyt kapjuk:

P (A1|B) =P (A1 ∩B)

P (B)

=P (B|A1) · P (B)

P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B)

=P (B|A1) · P (A1)

P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2).

Ezzel bebizonyıtottuk a kovetkezo tetelt.



Bayes tetele

Ha A1 es A2 teljes esemenyrendszer es B

tetszoleges esemeny, akkor

P (A1|B) =P (B|A1) · P (A1)

P (B|A1) · P (A1) + P (B|A2) · P (A2).

A Bayes tetelben szereplo mindharom esemeny po-zitıv valoszınusegu kell legyen.

A tetel allıtasa kettonel tobb esemenybol allo partı-ciora is ervenyes.



Pelda.

Egy palackos borokat forgalmazo ceg mostanabansok reklamaciot kap amiatt, hogy a palackokban azeloırtnal kevesebb bor van (alultoltottek a palackok).Ma erkezett a legujabb reklamacio, de a termelesiigazgato nem tudja eldonteni, hogy a ket palac-kozouzemuk (A es B) kozul melyikben toltotteka palackot. Mennyi annak valoszınusege, hogy azalultoltott palackot az A uzemben toltottek?

Legyen U az az esemeny, hogy egy palack alultoltott.Az adatok:



Termeles (%) Alultoltes (%)

A 55 3

B 45 4

Igy tehat

P (A|U) =0.55 · 0.03

0.55 · 0.03 + 0.45 · 0.04= 0.4783.



3.2. Esemenyek fuggetlensege

Az A es B esemenyek fuggetlenek, haegyikuk bekovetkezese nincs hatassal a masikukbekovetkezesenek valoszınusegere.

Formulaval: A es B fuggetlenek, ha

P (A ∩B) = P (A) · P (B).



Pelda.

Egy tanulmany szerint a 10 evnel fiatalabb gyerekkelrendelkezo anyak 60%-anak van teljes allasa. Ketilyen anyat valasztunk veletlenszeruen. Feltesszuk,hogy az, hogy van-e teljes allasuk, egymastol fug-getlen. Mennyi a valoszınusege, hogy mindketto-juknek van teljes allasa?

P (mindkettojuknek van teljes allasa) = 0.6 · 0.6 =0.36.

Mi a valoszınusege annak, hogy legalabb egyikuk-nek van teljes allasa?



P (legalabb egyikuknek van) =

= 1−P (egyikuknek sincs) = 1− [0.4 · 0.4] = 0.84.

Mi tortenik akkor, ha ket fuggetlen esemenyt tekin-tunk a felteteles valoszınuseg formulajaban?

Ha A es B fuggetlenek es P (B) 6= 0, akkorP (A|B) = P (A).

Ket esemeny fuggetlensege tehat valoban azt jelenti,amit elvartunk: az egyik esemeny bekovetkezesenem befolyasolja a masik bekovetkezesenek valoszı-nuseget.


biomatematika 7. valosz´ınus˝ ég-szám´ıtás i. filefeltételek között végzett...

Documents