biophysik der moleküle - lmu münchen · die entropische kraft eines polymermoleküls ! dieser weg...
TRANSCRIPT
Biophysik der Moleküle!!"#$%&'()*+,#-./'(#2343!
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15. Nov. 2010
Motivation:
Experiment shows characteristic saw-tooth profile Each increase is assumed to be associated with
stretching a flexible chain
Techniques to measure
force-extension curves
AFM
Optical
trap
Magnetic
tweezers
Biomembrane
Force Probe
56(#7+/89*87+/#:;)<=+/)>(&<(6'*+,#?@AB##
6)<#,=*C>(&<(6'<#D6<#E*=/&=F)GH(D#I6J('K(&<#L#
=#
0r!
Nr!
!
! R =! r N"! r 0
= b! n
i
i= 0
N
#
M7+/89*87+/#:;)<=+/N#
!
R2
= Na2
O*P=''QP=/#D6<#R#1GH&6J(+#
Polymere : Eine Einführung
!
! R = 0
56(#6/(='(S#T(U6;'(#V(J(##
6)<#(6+#O*P='')QP=/#
!
P(R,N) =3
2"Na2#
$ %
&
' (
3 2
exp )3
2
R2
Na2
#
$
% %
&
'
( (
Die Entropie-Feder
!
! f = 3kBT
R
R2
A#
P#!
T > T0
!
S = kBln P R( )[ ]
!
f ="G(R)
"R= T
"S P(R)( )"R
-WGX<&(6;(+/(#V&=YL#
V%+P%&D=F%+)(+<&%Q6(L#
Gummielastizität: Eine Folge der Quervernetzung
$7-1Z[\#]*DD6('=)F96<.<#
^(/(#I=)GH(#<&.,<#(<K=#/6(#<H(&D6)GH(#7+(&,6(#X_`#;(6S#*+/#/(&#I%/*'#]#'.))<#
)6GH#/*&GH#]#a#+#X_`#=;)GH.<9(+S#K%;(6#+#/6(#:+9=H'#/(&#I=)GH(+#Q&%#$%'*D(+#
6)<"#
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/*&GH#/6(#*+,(KcH+'6GH(#?&%Q%&F%+='6<.<#/()#1GH(&D%/*')#9*#/(&#
(̀DQ(&=<*&#=*)"#
Zustandssummen verbinden mikroskopische
Konfigurationen mit makroskopischen Größen !
w l{ }!
" #
$
% & =1
Z' e
(E l{ }( )kTWahrscheinlichkeit, den Zustand!
vorzufinden!
l{ }
b = ! ! ! w l{ }( )"" ! b l{ }( ) d l{ }Mittelwertberechnung!
Z = ! ! ! e"E l{ }( )kT## d l{ }Zustandssumme!
{l}={l1,l2,...,lN}!
Zusammenhang mit der freien Enthalpie! G = !kBT ln Z( )
'4#
'2#
'R#16(H(#?dd#*+/#`e#
li
= l
sin(!i) cos("
i)
sin(!i)sin("
i)
cos(!i)
#
$
%
%
&
'
(
(
Z = 4!( )N
Z = ! ! !"" sin(#1 ) ! ... !sin(#N)d#1...d#N
d$1...d$ NOBdA:! E( l{ })= 0
r2 = ! ! !
1
Z"" ! l i#( )2 d l{ } = ! ! !1
Z"" ! l i2 + l il ji$ j##( ) d l{ }
r2
= N ! l2
Polarkoordinaten!
Beispiel Freie Kette!
Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !
Dieser Weg ist nicht praktikabel, da es nicht möglich ist, einen geschlossenen Ausdruck für
das Integral zu finden (Grenzen tückisch). !
F = !k "T# ln(Z
r)
#r
Weg 1: Ausdehnung r vorgegeben, Kraft berechnen!
Weg 2: Kraft F vorgegeben, Ausdehnung berechnen!
Damit sind wieder alle Konfigurationen möglich (keine
komplizierten Integrationsgrenzen). Aber: Die Energien der
Konfigurationen sind nicht mehr gleich.!
r!
E = !F " r
Zr= ! !
li=r"! e
#E l{ }( )kT$$ d l{ }
'4#
'2# 'R#
ZF= ! ! ! e
F!r
kT"" d l{ } li
= l
sin(!i) cos("
i)
sin(!i)sin("
i)
cos(!i)
#
$
%
%
&
'
(
(
!
r = kT" lnZ
F
"F= kT # # #
1
ZF
#r
kT# e
F #r
kT$$ d l{ }
OBdA: F zeige in z-Richtung!
ZF= ! ! ! e
F!l
k !Tcos("1 )+...+cos(" N
)[ ]
## sin("1) ! ... ! sin(" N)d"1...d"N
d$1...d$N
= e
F !l
k !Tcos("
i)
sin("i)d"
id#i
0
$
%0
2$
%i
&
x = cos(!i), dx = "sin(!
i)d!
i
ZF= e
F !l
k!Tcos("
i)
sin("i)d"
id#i
0
$
%0
2$
%i
&
ZF= !e
F "l
k"Tx
dxid#
i
1
!1
$0
2%
$i
& = e
F "l
k"Tx
dxid#
i
!1
1
$0
2%
$i
&
= 2! e
F "l
k "Tx
dxi
#1
1
$i
%
= 4!k "T
F " lsinh
F " l
k "T
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- . N
r = kT! lnZ
F
!F= N ! kT !
" ln 4#k !T
F ! lsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
*
+ ,
-
. /
"F
= NkT !
"4#kT
F2lsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( ) + 4#
1
Fcosh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
4#kT
Flsinh
F ! l
k !T
$
% &
'
( )
= N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . = NkT !
1
F+
l
kTcoth
F " l
k "T
#
$ %
&
' (
)
* +
,
- .
!
= 2"k #T
F # le
F # l
k#T $ e$F # l
k#T%
& '
(
) *
+
, - -
.
/ 0 0
N
Die Entropische Kraft eines Polymermoleküls !
r = N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . =:N ! l !L
F ! l
k !T
)
* +
,
- .
Die Polymerelastizität ist ein einfaches Beispiel für eine tiefliegende Analogie
zwischen Polymerphysik und Magnetismus (de Gennes).!
M = N !µ cothB !µ
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
B !µ
)
* + +
,
- . . Langevin Paramagnetismus!
mit L x( ) ! coth x[ ] "1
x
Langevinfunktion!
Diese Umkehrung ist eine Näherung für
große N, wenn Fluktuationen keine
Bedeutung mehr haben.!
Für kleine Kräfte:! coth( x) !1
x+x
3
r ! N "l "l "F
3kTHooke’sches Gesetz!
F =kT
lL!1 r
N " l
#
$ %
&
' (
r = N ! l cothF ! l
k !T
"
# $
%
& ' (
kT
F ! l
)
* +
,
- . =:N ! l !L
F ! l
k !T
"
# $
%
& '
F !3kT " r
N "l2
Für kleine Ausdehnungen:! Gummielastizität!
1000!
800!
600!
400!
200!
0!80!60!40!20!
Kra
ft!
Ausdehnung!
60!
40!
20!
0!
80!60!40!20!
Kra
ft!
Ausdehnung!
Limitations of the Freely-Jointed Chain Model!
s!
!(0)!
!(")#
Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die Persistenzlänge Lp, die angibt, ab
welcher Länge s=Lp die Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!
Ein Maß für die Korrelation der Orientierung ist folgender Mittelwert:!
Das Worm-Like-Chain Modell für semiflexible Polymere!
!
C" (s) =! t s( ) #
! t 0( ) = exp $s L
P( )
!
C" (s) = cos " (s) #" (0)( ) = cos " (s)( ) =! t s( ) $
! t 0( )
!
! t s( )
!
! t 0( )
Der End-zu-End Abstand im WLC-Modell!
= t(s)0
L
! " ds
#
$ % %
&
' ( (
t( ) s )0
L
! " d ) s
#
$ % %
&
' ( (
= t(s)0
L
! " t( # s ) " ds " d # s
0
L
!
s
! t ds
! r
= 2 ! t(s)" s =s
L
# ! t( " s ) ! ds ! d " s
s=0
L
# = 2 ! cos " ( # s )$" (s)[ ]# s =s
L
% ! ds ! d # s
s=0
L
%
= 2 ! e"
# s "s
Lp
# s =s
L
$ ! d # s ! dss=0
L
$ = 2 !Lp2
e"L
Lp "1+L
Lp
#
$
% %
&
'
( (
Vergleich mit FJC! Beide Modelle führen zum selben
mittleren End-zu-End Abstand,
wenn als effektive Kuhnlänge "
des WLC definiert wird:!
l1l2
l3
!
R2
!
R2
= bK
2N = b
KL
!
bK
= 2LP
!
"2 # L # LP für L >> LP
L2
für L << LP
$ % &
The force extension relation of FJC and WLC!
F
k TB
Freely Jointed Chain!
F
k TB
F(x)=kT
p1
4(1-x/L)
1
4
x
L( )+-
2
Worm Like Chain !
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
dsDNAFJCWLC interpolatedWLC exactHooke's law
10
-11
Extension (x/L)
Forc
e (p
N)
Current Opinion in Structural Biology
100
10
1
0.1
0.01
f%&G(#(U<(+)6%+#G*&>(#%P#/)5R:#
Unfolding 4 and 8 Segment Long Recombinant Titin IgFragments!
M. Rief, M. Gautel, F. Oesterhelt, J. M. Fernandez and H. E. Gaub, Science (1997),Vol 276 , p 1109-!
250 pN!
250 pN!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
E!xtension (nm)!
E!xtension (nm)!
Fo
rce!
Fo
rce!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
0! 50! 100! 150! 200!
E!xtension (nm)!
E!xtension (nm)!
600!
400!
200!
0!
-200!
600!
400!
200!
0!
-200!
800!
Fo
rce
(pN
)!F
orc
e (p
N)!
200!
0!
400!
0! 50! 100! 150! 200! 250!
Extension (nm)!
48! 74! 99! 123! 147! 171! 195!L!(nm)!
Fo
rce (
pN
)!
p= 3Å !
Unfolded Ig 8mer as a Worm Like Chain !
F(x)=! kT!
p!
1!
4(1-x/!L!)!
1!
4!
x!
L!(! )!+!-!2!
{l}={l1,l2,...,lN}!
Das Freely-Jointed-
Chain Modell !
l2
= N ! l
s!
!(0)!
!(")#
Ein Maß für die Steifigkeit eines Polymers ist die
Persistenzlänge Lp, die angibt, ab welcher Länge s=Lp die
Orientierung !(0) und !(") nicht mehr korreliert sind.!
Das Worm-Like-
Chain Modell für
semiflexible
Polymere!
l= 2 !Lp
'g#
M_'%;)N#
?H6'#?6+G*)#
5(](++()#
!
= N ' l'