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7/29/2019 Bisection.ps

1/9

A G e o m e t r i c A p p r o a c h t o t h e B i s e c t i o n M e t h o d

C l a u d i o G u t i e r r e z

1

, F l a v i o G u t i e r r e z

2

, a n d M a r i a - C e c i l i a R i v a r a

1

1

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , U n i v e r s i d a d d e C h i l e ,

B l a n c o E n c a l a d a 2 1 2 0 , S a n t i a g o , C h i l e

f c g u t i e r r , m c r i v a r a g @ d c c . u c h i l e . c l

2

U n i v e r s i d a d d e V a l p a r a s o

V a l p a r a s o , C h i l e

A b s t r a c t . T h e b i s e c t i o n m e t h o d i s t h e c o n s e c u t i v e b i s e c t i o n o f a t r i a n -

g l e b y t h e m e d i a n o f t h e l o n g e s t s i d e . T h i s p a p e r i n t r o d u c e s a t a x o n o m y

o f t r i a n g l e s t h a t p r e c i s e l y c a p t u r e s t h e b e h a v i o r o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d .

O u r m a i n r e s u l t i s a n a s y m p t o t i c u p p e r b o u n d f o r t h e n u m b e r o f s i m -

i l a r i t y c l a s s e s o f t r i a n g l e s g e n e r a t e d o n a m e s h o b t a i n e d b y i t e r a t i v e

b i s e c t i o n , w h i c h p r e v i o u s l y w a s k n o w n o n l y t o b e n i t e . W e a l s o p r o v e

t h a t t h e n u m b e r o f d i r e c t i o n s o n t h e p l a n e g i v e n b y t h e s i d e s o f t h e

t r i a n g l e s g e n e r a t e d i s n i t e . A d d i t i o n a l l y , w e g i v e p u r e l y g e o m e t r i c a n d

i n t u i t i v e p r o o f s o f c l a s s i c a l r e s u l t s f o r t h e b i s e c t i o n m e t h o d .

1 I n t r o d u c t i o n

L o n g e s t - s i d e b i s e c t i o n a l g o r i t h m s f o r t h e r e n e m e n t o f 2 - d i m e n s i o n a l t r i a n g u l a -

t i o n s w e r e d e v e l o p e d t o l l a g a p i n t h e d e s i g n o f a d a p t i v e s o f t w a r e f o r n i t e

e l e m e n t a p p l i c a t i o n s t o a n a l y z e p h y s i c a l p r o b l e m s d e s c r i b e d b y p a r t i a l d i e r e n -

t i a l e q u a t i o n s , w h e r e t h e a v a i l a b i l i t y o f a l g o r i t h m s a b l e t o p r o d u c e a u t o m a t i c

a n d l o c a l r e n e m e n t o f t h e m e s h i s c r u c i a l . A d i s c u s s i o n o f t h e a l g o r i t h m s a n d

s o m e g e n e r a l i z a t i o n s c a n b e f o u n d i n 4 , 5 ] . T h e s e a l g o r i t h m s w e r e d e s i g n e d t o

t a k e a d v a n t a g e o f t h e n o n - d e g e n e r a c y p r o p e r t i e s o f t h e i t e r a t i v e l o n g e s t - s i d e

b i s e c t i o n ( b i s e c t i o n m e t h o d ) o f t r i a n g l e s , w h i c h e s s e n t i a l l y g u a r a n t e e t h a t c o n -

s e c u t i v e b i s e c t i o n s o f t h e t r i a n g l e s n e s t e d i n a n y t r i a n g l e t

0

o f s m a l l e s t a n g l e

0

p r o d u c e t r i a n g l e s t ( o f m i n i m u m a n g l e

t

) s u c h t h a t

t

0

= 2 , a n d w h e r e t h e

n u m b e r o f n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d i s n i t e .

T h e s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d b e g a n i n a s e r i e s o f p a p e r s 2 ,

7 { 9 , 1 ] a r o u n d t w o d e c a d e s a g o . F i r s t , R o s e n b e r g a n d S t e n g e r 7 ] p r o v e d t h a t

t h e m e t h o d d o e s n o t d e g e n e r a t e t h e s m a l l e s t a n g l e o f t h e t r i a n g l e s g e n e r a t e d

b y s h o w i n g t h a t i t d o e s n o t d e c r e a s e b e y o n d = 2 , w h e r e i s t h e s m a l l e s t a n g l e

f r o m t h e t r i a n g l e w e s t a r t e d .

T h e n K e a r f o t t 2 ] p r o v e d a b o u n d o n t h e b e h a v i o r o f t h e d i a m e t e r ( t h e l e n g t h

o f t h e l o n g e s t s i d e o f a n y t r i a n g l e o b t a i n e d ) . I n 8 ] a b e t t e r b o u n d w a s p r e s e n t e d

f o r c e r t a i n t r i a n g l e s . T h i s b o u n d w a s i m p r o v e d i n d e p e n d e n t l y b y S t y n e s 9 ] a n d

A d l e r 1 ] f o r a l l t r i a n g l e s . F r o m t h e i r p r o o f s t h e y a l s o d e d u c e d t h a t t h e n u m b e r o f

c l a s s e s o f s i m i l a r i t y o f t r i a n g l e s g e n e r a t e d i s n i t e , a l t h o u g h t h e y g i v e n o b o u n d .

T h e r e i s v e r y l i t t l e r e s e a r c h s o f a r o n c o m p l e x i t y a s p e c t s o f t h e b i s e c t i o n

m e t h o d . A l t h o u g h i t i s k n o w n t h a t d i e r e n t t y p e s o f t r i a n g l e s b e h a v e r a d i c a l l y


2/9

I I

d i e r e n t u n d e r i t e r a t i v e b i s e c t i o n ( \ g o o d " a n d \ b a d " t r i a n g l e s ) , n o s y s t e m a t i c

c l a s s i c a t i o n o f t h e m i s k n o w n .

T h i s p a p e r a t t e m p t s t o l l t h e s e g a p s i n t h e a n a l y s i s o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d .

W e p r e s e n t a p r e c i s e t a x o n o m y t h a t c a p t u r e s t h e b e h a v i o r o f t h e b i s e c t i o n

m e t h o d f o r d i e r e n t t y p e s o f t r i a n g l e s . W e i n t r o d u c e a s m a i n p a r a m e t e r t h e

s m a l l e s t a n g l e a n d p r o v e t h a t i n t h e p l a n e i t p r e d i c t s f a i t h f u l l y t h e b e h a v i o r o f

t h e b i s e c t i o n m e t h o d . W e u s e t h i s f r a m e w o r k t o p r o v e n e w r e s u l t s a n d t o g i v e

i n t u i t i v e p r o o f s o f c l a s s i c a l r e s u l t s .

T h e c o n t r i b u t i o n s o f t h i s p a p e r a r e a s f o l l o w s :

{ A t a x o n o m y o f t r i a n g l e s r e e c t i n g t h e b e h a v i o r o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d . W e

c o n s i d e r s i x c l a s s e s o f t r i a n g l e s , a n d t w o m a i n g r o u p s .

{ A n a s y m p t o t i c b o u n d o n t h e n u m b e r o f n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d . W e

p r o v e a s u p e r - p o l y n o m i a l u p p e r b o u n d , i d e n t i f y t h e i n s t a n c e s w h e r e t h i s

b o u n d i s p o l y n o m i a l , a n d d e s c r i b e w o r s t c a s e i n s t a n c e s .

{ A n a n a l y s i s o f l o w e r b o u n d s o n t h e s m a l l e s t a n g l e o f t r i a n g l e s i n t h e m e s h

o b t a i n e d u s i n g t h e b i s e c t i o n m e t h o d f o r e a c h c l a s s o f t r i a n g l e s d e n e d .

{ A p r o o f t h a t t h e r e i s a n i t e n u m b e r o f d i r e c t i o n s i n t h e p l a n e g e n e r a t e d b y

t h e c o r r e s p o n d i n g s e g m e n t s ( s i d e s ) o f t h e t r i a n g l e s g e n e r a t e d , a n d a s y m p -

t o t i c b o u n d s o n t h i s n u m b e r .

A d d i t i o n a l l y , w e p r e s e n t a u n i e d v i e w o f t h e m a i n k n o w n r e s u l t s f o r t h e

b i s e c t i o n m e t h o d f r o m a n e l e m e n t a r y g e o m e t r y p o i n t o f v i e w . T h i s a p p r o a c h

a l l o w s i n t u i t i v e p r o o f s a n d h a s t h e a d v a n t a g e o f p r e s e n t i n g t h e g e o m e t r y i n h e r e n t

t o t h e m e t h o d .

2 N o t a t i o n a n d p r e l i m i n a r i e s

C a p i t a l l e t t e r s d e n o t e p o i n t s o n t h e p l a n e . I n o r d e r t o s i m p l i f y w e w i l l a v o i d

e x t r a s y m b o l s a n d s o m e t i m e s o v e r l o a d s o m e n o t a t i o n s . A B d e n o t e s a s e g m e n t

a s w e l l a s t h e l e n g t h o f t h i s s e g m e n t u s u a l l y d e n o t e d b y A B . A n a n g l e \ A C B

d e n o t e s t h e a c t u a l i n s t a n c e a s w e l l a s t h e v a l u e ( m e a s u r e ) o f i t . A c i r c u m f e r e n c e

o f c e n t e r A a n d r a d i u s r i s d e n o t e d b y C ( A r )

A B

C

D

F i g . 1 . T r i a n g l e A B C w i t h A B B C C A D i s t h e m i d p o i n t o f A B

A b i s e c t i o n , b y t h e m e d i a n o f t h e l o n g e s t s i d e , o f t r i a n g l e A B C w i t h A B

B C C A , i s t h e g u r e o b t a i n e d b y t r a c i n g t h e s e g m e n t C D , w h e r e D i s t h e


3/9

I I I

m i d p o i n t o f t h e l o n g e s t s e g m e n t A B . S e e F i g u r e 1 . W e w i l l s t u d y t h e p r o p e r t i e s

o b t a i n e d b y s u c c e s s i v e l y b i s e c t i n g t h e t r i a n g l e s s o o b t a i n e d .

F o r a g i v e n t r i a n g l e P Q R , d e n o t e b y

P Q R

( r e s p e c t i v e l y

P Q R

) t h e v a l u e

o f t h e s m a l l e s t ( r e s p e c t i v e l y g r e a t e s t ) a n g l e i n t r i a n g l e P Q R , a n d b y

P Q R

t h e

r e m a i n i n g a n g l e .

W e w i l l n e e d a s i m p l e a n d u s e f u l t e c h n i c a l l e m m a :

A B

C

D

H

I

x

G

y

y/2

z

F i g . 2 . B I i s b i s e c t r i z , B H a n d C D a r e m e d i a n s , G i s c e n t e r o f g r a v i t y .

L e m m a 1 . F o r 4 A B C w i t h A B B C C A , i t h o l d s \ B C D

1

2

\ D B C

P r o o f . ( S e e F i g u r e 2 . ) L e t b e A B C a t r i a n g l e w i t h A B B C C A , l e t B I

t h e b i s e c t r i z o f \ A B C ) , l e t B H a n d C D b e m e d i a n s , a n d l e t G b e i t s c e n t e r

o f g r a v i t y . F r o m A B B C C A a n d e l e m e n t a r y g e o m e t r y i t f o l l o w s t h a t

B G G C , h e n c e x z y = 2 . N o t e t h a t x = y = 2 i f o n l y i f A B = A C

T o s i m p l i f y t h e s t u d y o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d , i t i s c o n v e n i e n t t o g r o u p t w o

o r t h r e e c o n s e c u t i v e b i s e c t i o n s i n t r i a n g l e A B C , i n w h a t w e w i l l c a l l a s t e p

a s f o l l o w s . F o r t h i s d i s c u s s i o n r e f e r t o F i g u r e 3 . L e t E b e t h e m i d d l e - p o i n t o f

s e g m e n t C B . N o t e t h a t i f C D C E , t h e n C D D E a n d E F a r e c o n s e c u t i v e

b i s e c t i o n s b y t h e m e d i a n o f t h e l o n g e s t s i d e , a n d a f t e r t h e s e b i s e c t i o n s w e g e t

e x a c t l y t h r e e n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s : A D C C D E a n d C D B ( a l l o t h e r s a r e s i m -

i l a r t o o n e o f t h e s e , s e e l e f t s i d e o f F i g u r e 3 ) . W e c a l l t h e s e t h r e e c o n s e c u t i v e

b i s e c t i o n s a s t e p o f t y p e A . N o t e t h a t 4 A D C i s t h e o n l y t r i a n g l e t h a t p o s s i b l y

g e n e r a t e s n e w t r i a n g l e s n o n - s i m i l a r t o a l r e a d y g e n e r a t e d o n e s .

D BA

C

E

C

D

F

E

BA

F i g . 3 . S t e p s : O f t y p e A o n t h e l e f t w h e n C D C E , a n d o f t y p e B o n t h e r i g h t w h e n

C D C E . V e r t i c e s D E a n d F a r e m i d p o i n t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e g m e n t s .


4/9

I V

O n t h e o t h e r h a n d , i f C D C E , t h e l o n g e s t s i d e i n t r i a n g l e C D E i s n o w C E

H e n c e w e b i s e c t o n l y t w i c e ( C D a n d D E ) a n d g e t t w o n e w t r i a n g l e s , n a m e l y

A D C a n d C D E ( s e e r i g h t s i d e o f F i g u r e 3 ) . W e c a l l t h e s e t w o c o n s e c u t i v e

b i s e c t i o n s a s t e p o f t y p e B . N o t e t h a t f o r t y p e B b i s e c t i o n s , t r i a n g l e s A D C a n d

C D E a r e t h e o n l y t r i a n g l e s t h a t c o u l d g e n e r a t e n e w t r i a n g l e s n o n - s i m i l a r t o

a l r e a d y g e n e r a t e d o n e s .

3 A c l a s s i c a t i o n o f t r i a n g l e s

T h e b e h a v i o r o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d d e p e n d s o n t h e t y p e o f t r i a n g l e t o b e

b i s e c t e d . W e w i l l p a r t i t i o n t h e s e t o f a l l t r i a n g l e s i n c l a s s e s t h a t r e e c t t h i s

b e h a v i o r b y c o n s i d e r i n g s o m e e l e m e n t a r y g e o m e t r i c a l p r o p e r t i e s . T h e s t a r t i n g

p o i n t w i l l b e a t r i a n g l e A B C a s i n F i g u r e 1 .

I

AB

DM

O

P

N

C1

C

C3

2

C4

II

VI

V

III

IV

F i g . 4 . R e g i o n s


5/9

V

R e g i o n D e n i n g p r o p e r t i e s O t h e r p r o p e r t i e s s t e p t y p e

I A D C D A C = 2 A

I I A D A C C D = 2 A

I I I A C A D C D = 2 A

I V A C ; C D A D = 2 A / B

V A D A C C D C E > = 2 B

V I C D A D A C C D C E = 2 A

T h e a n a l y s i s i s b a s e d o n t h e g e o m e t r i c a l p l a c e s w h e r e v e r t e x C o f t r i a n g l e

A B C l i e s , a s s u m i n g A B C B C A . F o r t h i s d i s c u s s i o n , w e r e f e r t o F i g u r e 4 ,

w h e r e A B r e p r e s e n t s t h e l o n g e s t s i d e o f t h e h y p o t h e t i c a l t r i a n g l e , D t h e m i d p o i n t

o f A B M i s t h e m i d p o i n t o f A D N i s s u c h t h a t A N = A B = 3 M O ? A B

a n d D P ? A B . T h e a r c C

1

b e l o n g s t o a c i r c u m f e r e n c e C ( B ; A B ) , a r c C

2

t o

C ( D ; A D ) , a r c C

3

t o C ( N ; A N ) a n d n a l l y a r c C

4

t o C ( A ; A D )

F r o m t h e c o n d i t i o n A B B C C A , i t f o l l o w s t h a t v e r t e x C o f a t r i a n g l e

w i t h b a s e A B m u s t b e i n t h e r e g i o n b o u n d e d b y a r c A P a n d l i n e s P D a n d A D

W e p a r t i t i o n t h i s r e g i o n i n t o s i x s u b r e g i o n s , d e n o t e d b y R o m a n n u m e r a l s , w i t h

t h e p r o p e r t y t h a t t r i a n g l e s i n t h e s a m e s u b r e g i o n p r e s e n t s i m i l a r b e h a v i o r w i t h

r e g a r d t o b i s e c t i o n b y t h e m e d i a n o f t h e l o n g e s t s i d e , a s s t a t e d i n L e m m a 2 .

N o t e t h a t a r c C

3

i s t h e s e t o f p o i n t s C f o r w h i c h C D = C E , a n d i s p r e c i s e l y

t h e g e o m e t r i c a l p l a c e w h i c h s e p a r a t e s t h o s e t r i a n g l e s f o r w h i c h s t e p s o f t y p e A

a p p l y f r o m t h o s e t r i a n g l e s f o r w h i c h s t e p s o f t y p e B a p p l y . T a b l e i n p a g e 5 l i s t s

d e n i n g p r o p e r t i e s o f t r i a n g l e s i n e a c h r e g i o n .

L e t u s c o n s i d e r t h e p r o c e s s o f b i s e c t i n g i t e r a t i v e l y a t r i a n g l e . I n w h a t f o l l o w s

b y a \ n e w t r i a n g l e " w e m e a n a t r i a n g l e n o t s i m i l a r t o o n e a l r e a d y g e n e r a t e d .

W e w i l l p r o c e e d f o l l o w i n g s t e p s o f t y p e A o r B , a s f o l l o w s :

1 . P e r f o r m a s t e p o f t h e c o r r e s p o n d i n g t y p e ( d e p e n d i n g o n t h e t r i a n g l e ) ;

2 . C h o o s e n o n d e t e r m i n i s t i c a l l y o n e o f t h e n e w t r i a n g l e s o b t a i n e d . I f t h e r e i s n o

s u c h t r i a n g l e ( i . e . a l l t r i a n g l e s g e n e r a t e d a r e s i m i l a r t o p r e v i o u s o n e s ) , s t o p ;

e l s e g o t o 1 .

L e m m a 2 . L e t A B C b e a t r i a n g l e . F o r t h e i t e r a t i v e p r o c e s s d e s c r i b e d a b o v e i t

h o l d s :

1 . I f C i s i n r e g i o n I , i t g e n e r a t e s a t m o s t 4 n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s a s s h o w n i n

F i g u r e 5 , a l l o f t h e m b e l o n g i n g t o r e g i o n I .

2 . I f C i s i n r e g i o n I I , n e w 4 A D C b e l o n g s t o r e g i o n I .

3 . I f C i s i n r e g i o n I I I , n e w 4 A D C b e l o n g s e i t h e r t o r e g i o n s I I o r I I I . M o r e o v e r ,

i n n o m o r e t h a n d 5 7 l o g (

6

) e s t e p s t h e o n l y n e w t r i a n g l e g e n e r a t e d b e l o n g s

t o r e g i o n I I .

4 . I f C i s i n r e g i o n I V o r V , a f t e r n o m o r e t h a n d ( = 2 ) = e s t e p s , t h e o n l y

n e w t r i a n g l e h a s = 2 ( i . e . b e l o n g s t o r e g i o n I , I I o r I I I . )

5 . I f C i s i n r e g i o n V I , n e w 4 A D C b e l o n g s t o r e g i o n I .

P r o o f . 1 . F o l l o w s f r o m t h e a n a l y s i s o f t h e r e l a t i o n s a m o n g s i d e s o f t h e t r i a n g l e s

g e n e r a t e d . S e e d e n i t i o n o f r e g i o n I a n d F i g u r e 5 .


6/9

V I

A B

C

D

EFH

F i g . 5 . A f t e r b i s e c t i o n s i n a t r i a n g l e i n R e g i o n I

2 . C o n s i d e r t h e t r i a n g l e A B C i n r e g i o n I , w h e r e C i s t h e r e e x o f C o n

t h e l i n e M O . W e k n o w t h a t 4 A D C i s i n r e g i o n I . N o w o b s e r v e t h a t t r i a n g l e

4 A D C i s c o n g r u e n t t o 4 A D C

3 . F i r s t , o b s e r v e t h a t 4 A D C h a s = 2 , a n d

A D C

3

2

A B C

( b e c a u s e

A D C

= \ A D C a n d L e m m a 1 ) . N o w , b e c a u s e a t e a c h s t e p i s i n c r e a s e d b y

3 = 2 , i t i s e n o u g h t o n d t h e s m a l l e s t k s u c h t h a t (

3

2

)

k

= 6 , t h a t i s , k

l o g (

6

) = l o g ( 3 = 2 ) . T h e s o l u t i o n , d e n o t e d b y k ( ) , i s k ( ) = d 5 7 l o g (

6

) e

4 . A f t e r o n e s t e p , t h e o n l y n e w t r i a n g l e s g e n e r a t e d , 4 A D C a n d 4 C D E

d e c r e a s e t h e i r g r e a t e s t a n g l e b y

A B C

. H e n c e i t i s e n o u g h t o n d t h e s m a l l e s t

k s u c h t h a t k = 2 . T h e s o l u t i o n d e p e n d s o n t w o p a r a m e t e r s a n d i s

d ( = 2 ) = e

5 . J u s t o b s e r v e t h a t

A D C

= 2 a n d

A D C

i s t h e s a m e a s \ C A B o f 4 A B C

4 N u m b e r o f s i m i l a r i t y c l a s s e s o f t r i a n g l e s

W e a r e r e a d y t o p r o v e t h e m a i n t h e o r e m :

T h e o r e m 1 . L e t A B C a t r i a n g l e a n d i t s s m a l l e s t a n g l e .

1 . T h e n u m b e r o f s t e p s t o b e e x e c u t e d b y t h e b i s e c t i o n m e t h o d u n t i l n o m o r e

n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s a r e g e n e r a t e d i s O (

1

)

2 . I f C i s a b o v e a r c C

3

, t h e n t h e n u m b e r o f n o n s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d b y

t h e b i s e c t i o n m e t h o d i s O ( l o g (

1

) )

3 . T h e n u m b e r o f n o n s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d b y t h e b i s e c t i o n m e t h o d i s

O (

o g

)

P r o o f . 1 . L e t u s c a l c u l a t e t h e m a x i m u m n u m b e r o f s t e p s t o b e e x e c u t e d b e f o r e

a r r i v i n g t o r e g i o n I i n t h e w o r s t c a s e . T h i s o c c u r s f o r t r i a n g l e s i n r e g i o n s I V

o r V . A r o u g h u p p e r b o u n d i n t h e n u m b e r o f s t e p s i s g i v e n b y t h e s u m 2 +


7/9

V I I

d 5 7 l o g (

6

) e + d ( = 2 ) = e T h i s n u m b e r i s a s y m p t o t i c a l l y l i n e a r i n

1

b e c a u s e

= 3 <

2 . F o r a t r i a n g l e A B C a b o v e a r c C

3

, t h e n u m b e r N ( A B C ) o f n o n - s i m i l a r

t r i a n g l e s i s 1 + N ( A D C ) ( t h e 1 c o r r e s p o n d s t o 4 D B C ) . T h e s t a t e m e n t f o l l o w s

f r o m L e m m a 2 , i t e m s 1 , 2 a n d 3 .

3 . T h e c o m p l e x c a s e i s r e g i o n I V . ( T h e a n a l y s i s f o r r e g i o n V i s s i m i l a r . ) H e r e

N ( A B C ) = N ( A D C ) + N ( C D E ) . F i r s t l e t u s p r o v e t h a t

A D C

3

2

A B C

I f

C i s t o t h e l e f t o f M O , t h e n

A D C

i s t h e a n g l e \ A D C a n d b y L e m m a 1 w e

a r e d o n e . N e x t c o n s i d e r t h e g e o m e t r i c p l a c e o f t h e s e t o f p o i n t s C s u c h t h a t

A B C

=

3

2

A B C

. T h i s i s a l i n e L p a s s i n g t h r o u g h D w i t h n e g a t i v e s l o p e . I f C

l i e s t o t h e r i g h t o f L , t h e n 4 A D C w i l l b e i n r e g i o n I V t o t h e l e f t o f M O a n d

w e a r e i n t h e p r e v i o u s c a s e i n o n e s t e p . I f C l i e s i n b e t w e e n L a n d M O , t h e n

A D C

= \ C A D =

A B C

3

2

A B C

b y d e n i t i o n .

N o w , u s i n g t h e f a c t t h a t b o t h t r i a n g l e s A D C a n d C D E h a v e d i m i n i s h e d

b y , t h e f a c t a l r e a d y p r o v e n t h a t

A D C

3

2

A B C

, a n d o b s e r v i n g t h a t

D B C

A B C

, w e h a v e t h e f o l l o w i n g r e c u r r e n c e e q u a t i o n f o r t h e n u m b e r N ( ) o f

n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d :

N ( ) = N (

3

2

) + N ( )

a n d L e m m a 2 . 4 g i v e s a b o u n d t o t h e n u m b e r o f n e c e s s a r y s t e p s t o t a k e . I t i s

n o t d i c u l t t o s e e t h a t t h i s r e c u r r e n c e e s s e n t i a l l y r e d u c e s t o o n e o f t h e t y p e

f ( n ) = f ( n = 2 ) + f ( n 1 ) . T h i s r e c u r r e n c e h a s n o p o l y n o m i a l s o l u t i o n , a n d

O ( n

o g n

) i s a n u p p e r b o u n d , f r o m w h e r e w e g e t t h e b o u n d O ( (

1

)

o g (

1

)

I t i t i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t n o t o n l y t h e n u m b e r o f n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s

g e n e r a t e d b y t h e b i s e c t i o n m e t h o d i s n i t e , b u t a s t r o n g e r r e s u l t c a n b e p r o v e d :

P r o p o s i t i o n 1 . T h e b i s e c t i o n m e t h o d g e n e r a t e s a n i t e n u m b e r o f d i e r e n t d i -

r e c t i o n s i n t h e p l a n e . M o r e o v e r , i n t h e w o r s t c a s e t h i s n u m b e r i s O (

)

P r o o f . U s i n g T h e o r e m 1 , i t i s e n o u g h t o s h o w t h a t i n e a c h s t e p o n l y n i t e l y m a n y

n e w d i r e c t i o n s a r e a d d e d , a n d s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d u s e a l r e a d y g e n e r a t e d

d i r e c t i o n s . B u t w e a l r e a d y k n o w t h e s e f a c t s f r o m t h e a n a l y s i s o f t h e r e g i o n s : a t

e a c h s t e p o n l y o n e n e w d i r e c t i o n i s a d d e d e x c e p t i n r e g i o n s I V a n d V w h e r e t h e

n u m b e r o f d i r e c t i o n s i s ( p o s s i b l y ) d o u b l e d . H e n c e , a g r o s s u p p e r b o u n d f o r t h e

w o r s t c a s e i s g i v e n b y O (

)

5 C l a s s i c a l r e s u l t s r e v i s i t e d

U s i n g o n l y e l e m e n t a r y g e o m e t r i c m e t h o d s i t i s p o s s i b l e t o r e - p r o v e c l a s s i c a l

r e s u l t s a b o u t t h e s m a l l e s t a n g l e a n d p a r a l l e l i t e r a t i v e b i s e c t i o n i n t h e b i s e c t i o n

m e t h o d .

T h e o r e m 2 . 1 . T h e b i s e c t i o n m e t h o d g i v e s

A B C

1

2

A B C

, w h e r e

A B C

i s

t h e s m a l l e s t a n g l e i n t h e m e s h o b t a i n e d b y i t e r a t i v e l y b i s e c t i n g t r i a n g l e A B C

F o r t r i a n g l e s b e l o w a r c C

2

i t h o l d s t h a t

A B C

=

A B C


8/9

V I I I

2 . F o r e a c h t r i a n g l e , n o m o r e t h a n 5 b i s e c t i o n s ( 2 s t e p s ) a r e n e c e s s a r y i n o r d e r

t o d i m i n i s h t h e l o n g e s t s i d e ( c a l l e d d i a m e t e r ) b y o n e h a l f . F o r s i m u l t a n e o u s

p a r a l l e l b i s e c t i o n s o f a l l t r i a n g l e s i n t h e m e s h , i t h o l d s d

j

c 2

j = 2

d

0

f o r

a s m a l l c o n s t a n t c d e p e n d i n g o n t h e r e g i o n s a n d d

j

t h e d i a m e t e r a f t e r j

( p a r a l l e l ) b i s e c t i o n s .

P r o o f . 1 . F i r s t , c h e c k i n g c a s e b y c a s e i t f o l l o w s t h a t f o r t r i a n g l e s i n r e g i o n s b e l o w

C

2

a l w a y s h o l d s

A D C

>

A B C

a n d

D B C

>

A B C

. S e c o n d , f o r t r i a n g l e s i n

r e g i o n I I I , t h e n e w t r i a n g l e A D C h a s

A D C

3

2

A B C

( b e c a u s e

A D C

= \ A D C

a n d L e m m a 1 ) , a n d c l e a r l y

D B C

>

A B C

. F o r t r i a n g l e s A B C i n r e g i o n I I ,

o b s e r v e t h a t

A B C

= 6 a n d

A D C

= \ A C D >

A B C

. F i n a l l y , o n c e a t r i a n g l e

i s i n r e g i o n I , w e h a v e F i g u r e 5 , b e i n g t h e w o r s t c a s e w h e n C = P

2 . T h e r s t s e n t e n c e i s a n e a s y o b s e r v a t i o n , t h e w o r s t c a s e b e i n g t r i a n g l e s i n

r e g i o n I .

A s f o r t h e d i a m e t e r b o u n d , u s i n g f o r m u l a t h e a r e a o f a t r i a n g l e A =

1

2

b h

a n d t h e f a c t t h a t t h e a r e a d e c r e a s e s e x a c t l y b y h a l f a f t e r a b i s e c t i o n , o n e g e t s

i m m e d i a t e l y b

j

= (

h

0

h

j

)

b

0

2

j

, w h e r e t h e s u b - i n d e x e s i n d i c a t e s i d e s c o r r e s p o n d i n g t o

a t r i a n g l e i n t h e j - t h ( p a r a l l e l ) b i s e c t i o n .

N o w t h e k e y p o i n t i s t o o b s e r v e t h a t : ( i ) f o r t r i a n g l e s w h o s e v e r t e x C i s

b e l o w a r c s C

2

o r C

4

t h e d i a m e t e r d e c r e a s e s b y h a l f a f t e r t w o p a r a l l e l b i s e c t i o n s ,

i . e . d

2

d

0

= 2 ; a n d ( i i ) t h e f a c t w e a l r e a d y k n o w t h a t , a s b i s e c t i o n p r o g r e s s e s ,

t r i a n g l e s g o \ u p " t h e l e v e l o f a r c s C

4

a n d C

2

. H e n c e , h

j

c a n b e b o u n d ( i n t e r m s

o f b

j

) b e c a u s e f r o m t h e f a c t m e n t i o n e d a b o v e t h a t w e c a n d e d u c e t h a t

j

i s n o

s m a l l e r t h a n s a y = 7 . S i m i l a r l y , h

0

h a s a x e d b o u n d i n t e r m s o f b

0

( t h e w o r s t

c a s e b e i n g

p

3 b

0

= 2 ) . U s i n g t h e s e f o r m u l a s w e g e t b

2

j

c

2

b

2

0

2

j

, f o r s o m e c o n s t a n t

c

p

3 ( c f . a l s o 1 ] ) . F r o m h e r e , t a k i n g s q u a r e r o o t w e g e t t h e s t a t e m e n t o f t h e

t h e o r e m .

6 C o n c l u s i o n

W e p r e s e n t e d a t a x o n o m y o f t r i a n g l e s i n t h e p l a n e w h i c h c a p t u r e s t h e b e h a v i o r

o f t h e b i s e c t i o n m e t h o d . B e s i d e s a l l o w i n g u s t o p r o v e c o m p l e x i t y r e s u l t s f o r t h e

b i s e c t i o n m e t h o d , t h i s c l a s s i c a t i o n i s u s e f u l t o r e n e b o u n d s f o r e a c h c l a s s o f

t r i a n g l e s , a n d t o d e t e r m i n e m o r e p r e c i s e l y l o w e r b o u n d s o n t h e s m a l l e s t a n g l e

A B C

i n t h e m e s h , a s w e l l a s t h e n u m b e r o f n o n - s i m i l a r t r i a n g l e s g e n e r a t e d . T h e

a n a l y s i s c o u l d b e f u r t h e r r e n e d c o n s i d e r i n g r e g i o n s w e d i d n o t s e p a r a t e , e . g .

b e l o w a r c C

2

, a b o v e a r c C

3

a n d t o t h e l e f t o f M O i n F i g u r e 4 . F u r t h e r w o r k

i n c l u d e s u s e o f t h i s t h e o r e t i c a l a n a l y s i s t o r e n e a l g o r i t h m s o f b i s e c t i o n ( 4 - e d g e

p a r t i t i o n , s i m p l e b i s e c t i o n , e t c . ) a c c o r d i n g t o t h e t y p e o f t r i a n g l e f o u n d i n e a c h

i t e r a t i o n .

R e f e r e n c e s

1 . A . A d l e r , O n t h e B i s e c t i o n M e t h o d f o r T r i a n g l e s , M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l .

4 0 , N u m b e r 1 6 2 , A p r i l 1 9 8 3 , p p . 5 7 1 - 5 7 4 .


9/9

I X

2 . B . K e a r f o t t , A P r o o f o f C o n v e r g e n c e a n d a n E r r o r B o u n d f o r t h e M e t h o d o f B i s e c t i o n

i n R

n

, M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l . 3 2 , N u m b e r 1 4 4 , O c t o b e r 1 9 7 8 , p p . 1 1 4 7 -

1 1 5 3 .

3 . J . O ' R o u r k e , C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y C o l u m n 2 3 , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f C o m -

p u t a t i o n a l G e o m e t r y & A p p l i c a t i o n s , V o l . 4 , N o . 2 ( 1 9 9 4 ) , p p . 2 3 9 - 2 4 2 .

4 . M . C . R i v a r a , A l g o r i t h m s f o r r e n i n g t r i a n g u l a r g r i d s s u i t a b l e f o r a d a p t i v e a n d m u l t i -

g r i d t e c h n i q u e s , I n t e r n a t i o n a l j o u r n a l f o r n u m e r i c a l m e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , v o l . 2 0 ,

p p . 7 4 5 - 7 5 6 , 1 9 8 4 .

5 . M - C . R i v a r a , G . I r r i b a r r e n , T h e 4 - T r i a n g l e s L o n g e s t - s i d e P a r t i t i o n o f T r i a n g l e s a n d

L i n e a r R e n e m e n t A l g o r i t h m s , M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l . 6 5 , N u m b e r 2 1 6 ,

O c t o b e r 1 9 9 6 , p p . 1 4 8 5 - 1 5 0 2 .

6 . M . C . R i v a r a , C . L e v i n , A 3 d R e n e m e n t A l g o r i t h m f o r a d a p t i v e a n d m u l t i g r i d T e c h -

n i q u e s , C o m m u n i c a t i o n s i n A p p l i e d N u m e r i c a l M e t h o d s , v o l . 8 , p p . 2 8 1 - 2 9 0 , 1 9 9 2 .

7 . I . G . R o s e n b e r g , F . S t e n g e r , A L o w e r B o u n d o n t h e A n g l e s o f T r i a n g l e s C o n s t r u c t e d

b y B i s e c t i n g t h e L o n g e s t S i d e , M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l . 2 9 , N u m b e r 1 3 0 ,

A p r i l 1 9 7 5 , p p . 3 9 0 - 3 9 5 .

8 . M . S t y n e s , O n F a s t e r C o n v e r g e n c e o f t h e B i s e c t i o n M e t h o d f o r c e r t a i n T r i a n g l e s

M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l . 3 3 , 1 9 7 9 , p p . 1 1 9 5 - 1 2 0 2 .

9 . M . S t y n e s , O n F a s t e r C o n v e r g e n c e o f t h e B i s e c t i o n M e t h o d f o r a l l T r i a n g l e s , M a t h -

e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , V o l . 3 5 , N u m b e r 1 5 2 , O c t o b e r 1 9 8 0 , p p . 1 1 9 5 - 1 2 0 2 .

bisection.ps

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