blackboard askhseis

Τ.Ε.Ι. Θεσσαλονίκης

Τµήµα Πληροφορικής

Αριθµητική Ανάλυση

&

Προγραµµατισµός Επιστηµονικών

Εφαρµογών

Λυµένες Ασκήσεις

Γουλιάνας Κώστας

Επίκουρος Καθηγητής

Τµήµατος Πληροφορικής ΑΤΕΙΘ

email : [email protected]

Ιστοσελίδα : www.it.teithe.gr/~gouliana

Θεσσαλονίκη 2006

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Επιστηµονικών Εφαρµογών 2006 Κεφάλαιο 2

2

Κεφάλαιο 2 – Σφάλµατα

Άσκηση 1 – Σφάλµα, Απόλυτο Σφάλµα, Σχετικό Σφάλµα, Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα

• Η ακριβής τιµή ενός αριθµού x = 0.2 , και η προσεγγιστική του τιµή *x = 995.1 .

Να βρεθεί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχετικό Σφάλµα, και το Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα του αριθµού x .

Απάντηση

Σφάλµα : xx* −=ε 005.00.2995.1 −=−=

Απόλυτο Σφάλµα : xx −= *ε 005.0005.0 =−=

Σχετικό Σφάλµα : x

εεσ = 0025.0

0.2

005.0−=

−=

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα : x

εεσ = 0.0025

2.0

0.005==

Άσκηση 2 – Σφάλµα, Απόλυτο Σφάλµα, Σχετικό Σφάλµα, Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα

• Η ακριβής τιµή ενός αριθµού x = 0.2 , ενώ η προσεγγιστική του τιµή *x = 993.1 .

Να βρεθεί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχετικό Σφάλµα, και το Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα του αριθµού x .

Απάντηση

Σφάλµα : xx* −=ε 007.00.2993.1 −=−=

Απόλυτο Σφάλµα : xx −= *ε 007.0007.0 =−=

Σχετικό Σφάλµα : x

εεσ = 0035.0

0.2

007.0−=

−=

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα : x

εεσ = 0.0035

2.0

0.007==

Άσκηση 3 – Σφάλµα Στρογγυλοποίησης αριθµού σε k δεκαδικά ψηφία

• Αφού στρογγυλευθεί ο αριθµός 737.2x = σε 2 δ.ψ. να βρεθεί το Απόλυτο

Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης.

Γουλιάνας Κώστας Κεφάλαιο 2

3

Απάντηση

Στρογγύλευση σε 2 δ.ψ. : 74.2x* =

Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης: xx* −=ε 003.0003.0737.274.2 ==−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης : εmax 005.0102

1 2 == −




Απάντηση


Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης: xx* −=ε 003.0003.0733.273.2 =−=−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης : εmax 005.0102

1 2 == −




Απάντηση


Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης:

xx* −=ε 310

2

10005.00005.07145.2714.2

−==−=−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης : εmax3

102

1 −=





4

Απάντηση



xx* −=ε 310

2

10005.00005.07135.2714.2

−==−=−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης : εmax3

102

1 −=

Άσκηση 7 – Συµφωνία 2 αριθµών σε k δεκαδικά ψηφία

• Να βρεθεί σε πόσα δ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 035.7x = και 037.7x* = (

Απάντηση. 2 δ.ψ ).

Απάντηση

xx* −=ε 210

2

1005.0002.0002.0035.7037.7

−=≤==−=




Απάντηση

xx* −=ε 210

2

1005.0005.0037.7042.7

−===−=




Απάντηση

xx* −=ε 010

2

15.01.01.0037.7137.7 =≤==−=


5

Άσκηση 10 – Σφάλµα Στρογγύλευσης αριθµού σε k σηµαντικά ψηφία

• Αφού στρογγυλευθεί ο αριθµός 7145.2x = σε 3 σ.ψ. να βρεθεί το Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα

Στρογγύλευσης.

Απάντηση

Στρογγύλευση σε 3 σ.ψ. : 71.2x* =

Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης: xx* −=ε 0045.00045.07145.271.2 =−=−=

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης : x

εεσ = 0.001658

2.7145

0.0045==

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης : σεmax 005.010*53 == −

Άσκηση 11 – Συµφωνία 2 αριθµών σε k σηµαντικά ψηφία

• Να βρεθεί σε πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 035.7x = και 037.7x* = (

Απάντηση. 4 σ.ψ ).

Απάντηση

xx* −=ε 002.0002.0035.7037.7 ==−=

x

εεσ = 410*50.00050.000284

7.035

0.002 −=≤==




Απάντηση

xx* −=ε 005.0005.0037.7042.7 ==−=

x

εεσ = 3

10*50.0050.000717.037

0.005 −=≤==


6




Απάντηση

xx* −=ε 1.01.0037.7137.7 ==−=

x

εεσ = 2

10*50.050.014217.037

0.1 −=≤==


• Να βρεθεί σε πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 000244.0x = και

000153.0x* = (Απάντηση. 0 σ.ψ ).

Απάντηση

xx* −=ε 000091.0000091.0000244.0000153.0 =−=−=

x

εεσ = 0

10*550.594770.000153

0.000091=≤==

Άσκηση 15 – Σφάλµα Αποκοπής αριθµού σε k δεκαδικά ψηφία

• Αφού στρογγυλευθεί µε Αποκοπή ο αριθµός 733.2x = σε 2 δ.ψ. να βρεθεί το

Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής.

Απάντηση


Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: xx* −=ε 003.0003.0733.273.2 =−=−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: εmax2

10−=





7

Απάντηση




10−=




Απάντηση


Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: xx* −=ε 0005.00005.07135.2713.2 ==−=


10−=




Απάντηση



Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: εmax 001.0103 == −

Άσκηση 19 – Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ

• Αφού µετατραπεί ο αριθµός 106.0x = στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλευθεί

σε 7 δ.ψ. ( µε στρογγύλευση ) να βρεθεί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχετικό

Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης.


8

Απάντηση

Μετατροπή σε δυαδικό :

...10011001

...6.18.04.02.16.18.04.02.16.0x 10

↓↓↓↓↓↓↓↓

→→→→→→→→→=

2....0111001100110.0=

Στρογγύλευση σε 7 δ.ψ.:

102

*6015625.0

128

77

128

14864

128

1

32

1

16

1

2

11001101.0x ==

+++=+++==


xx* −=ε 0015625.00015625.06.06015625.0 ==−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης: 00390625.022max871 === −−−ε

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης: x

xx* −

=σε 0026.06.0

0015625.0==

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης: 0078125.02max7 == −

σε


• Αφού µετατραπεί ο αριθµός 106.0x = στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλευθεί

σε 7 δ.ψ. ( µε Αποκοπή ) να βρεθεί το το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχετικό

Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής.

Απάντηση


106.0x = 2....0111001100110.0=

Αποκοπή σε 7 δ.ψ. : 102

*59375.0

32

19

32

1216

32

1

16

1

2

11001100.0x ==

++=++==


Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: 0078125.02max7 == −ε

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής: x

xx* −

=σε 01042.06.0

00625.0==

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής: 015625.022max671 === −−

σε


9


• Αφού µετατραπεί ο αριθµός 10825.0x = στο δυαδικό σύστηµα και

στρογγυλευθεί σε 7 δ.ψ. ( µε στρογγύλευση ) να βρεθεί το Απόλυτο και το

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης.

Απάντηση


...11001011

...2.16.18.04.02.16.03.165.1825.0x 10

↓↓↓↓↓↓↓↓

→→→→→→→→=

2....111101001100.0=

Στρογγύλευση σε 7 δ.ψ. :

102

*828125.0

64

53

64

141632

64

1

16

1

4

1

2

111010100.0x ==

+++=+++==


xx* −=ε 003125.0003125.0825.0828125.0 ==−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγύλευσης: 00390625.022max871 === −−−ε

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης: x

xx* −

=σε 003788.0825.0

003125.0==

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης: 0078125.02max7 == −

σε


• Αφού µετατραπεί ο αριθµός 10825.0x = στο δυαδικό σύστηµα και

στρογγυλευθεί σε 7 δ.ψ. ( µε Αποκοπή ) να βρεθεί το το Απόλυτο και το Απόλυτο

Σχετικό Σφάλµα Στρογγύλευσης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής.

Απάντηση


10825.0x = 2....111101001100.0=

Αποκοπή σε 7 δ.ψ. :

102

*8203125.0

128

105

128

183264

128

1

16

1

4

1

2

11101001.0x ==

+++=+++==

Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής:


10

xx* −=ε 0046875.00046875.0825.08203125.0 =−=−=

Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής: 0078125.02max7 == −ε

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής: x

xx* −

=σε 0056818.0825.0

0046875.0==

Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα Αποκοπής: 015625.022max671 === −−

σε

Άσκηση 23 – Μετάδοση Σφαλµάτων Πρόσθεσης - Αφαίρεσης

• Αν οι αριθµοί 33.1x = , 133.0y = , 0133.0z = δίνονται στρογγυλεµένοι σε 3

σηµαντικά ψηφία, να βρεθεί το Απόλυτο Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο

Σφάλµα του Αθροίσµατος z)yx( −+ .

Απάντηση

45.14467.10133.046.10133.0463.10133.0133.033.1z)yx( *** ==−=−=−+=−+

2ος τρόπος:

11*** 100133.010133.00133.0133.033.1z)yx( ∗+∗=−+=−+ 11000133.0 ∗−

45.110145.010001.010146.010001.010013.010133.0111111 =∗=∗−∗=∗−∗+∗=

4497.10133.0463.10133.0133.033.1z)yx( =−=−+=−+

0003.04497.145.1)zyx()zyx( ***

zyx =−=−+−−+=−+ε

00555.000005.00005.0005.0102

110

2

110

2

1 432

zyxzyx =++=++=++≤ −−−−+ εεεε

Άσκηση 24 – Μετάδοση Σφαλµάτων Πρόσθεσης - Αφαίρεσης

• Αν οι αριθµοί 33.1x = , 133.0y = δίνονται στρογγυλεµένοι σε 3 σηµαντικά

ψηφία, να βρεθεί το Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό

Σφάλµα του Αθροίσµατος yx + .

Απάντηση

46.1463.1133.033.1yx ** ==+=+

003.046.1463.1)yx()yx( **

yx =−=+−+=+ε

0020506.0463.1

003.0

yx

yx

)yx( ==+

=+

+

εεσ

463.1133.033.1yx =+=+


11

00752.000376.000376.0133.0

10

33.1

10

yx

3

212

21

yx

yx)yx( =+=+=+=+≤−−

+

εεεεε σσσ

Άσκηση 25 – Προσεταιριστική Ιδιότητα στην Πρόσθεση - Αφαίρεση

• Να αποδειχθεί ότι αν οι αριθµοί 33.1x = , 133.0y = , 0122.0z = δίνονται

στρογγυλεµένοι σε 3 σηµαντικά ψηφία, δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα

στην πρόσθεση, δηλαδή )()( zyxzyx ++≠++ και να βρεθεί το Απόλυτο

Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα του αθροίσµατος x + y + z.

Απάντηση

47.14722.10122.046.10122.0463.10122.0)133.033.1(z)yx( ==+=+=++=++

48.1475.1145.033.11452.033.1)0122.0133.0(33.1)zy(x ==+=+=++=++

4752.10122.0133.033.1zyx =++=++

0052.04752.147.1)zyx()z)yx((z)yx( =−=++−++=++ε

0048.04752.148.1)zyx())zy(x()zy(x =−=++−++=++ε

00555.000005.00005.0005.0102

110

2

110

2

1 432

zyxzyx =++=++=++≤ −−−++ εεεε

Άσκηση 26 – Μετάδοση Σφαλµάτων Πολλαπλασιασµού

• Αν οι αριθµοί 8.1x = , 95.0y = δίνονται στρογγυλεµένοι σε 2 σηµαντικά ψηφία,

να βρεθεί το Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό

Σφάλµα του Γινοµένου y*x .

Απάντηση

7.1)71.1()95.0*8.1()y*x( *** ===

71.195.0*8.1y*x ==

01.07.171.1)y*x()y*x( *

)y*x( =−=−=ε

005848.071.1

01.0

y*x

)y*x(

)y*x( ===ε

εσ

03304.0005263.0027777.095.0

10

8.1

10maxmaxmax

2

2

11

2

1

yx)y*x( =+=+=+=−−

σσσ εεε


12

Άσκηση 27 – Προσεταιριστική Ιδιότητα στον Πολλαπλασιασµό

• Να αποδειχθεί ότι αν οι αριθµοί 3.0x = , 5.0y = , 4.0z = δίνονται

στρογγυλεµένοι σε 1 σηµαντικό ψηφίο, δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα

στον Πολλαπλασιασµό, δηλαδή )z*y(*xz*)y*x( ≠ και να βρεθεί το

Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα του

γινοµένου z*y*x .

Απάντηση

08.04.0*2.04.0*15.04.0*)5.0*3.0(z*)y*x( ====

06.02.0*3.0)4.0*5.0(*3.0)z*y(*x ===

06.04.0*5.0*3.0z*y*x ==

02.006.008.0)z*y*x()z*)y*x((z*)y*x( =−=−=ε

333333.006.0

02.0

z*y*x

z*)y*x(

z*)y*x( ===ε

εσ

006.006.0)z*y*x())z*y(*x()z*y(*x =−=−=ε

006.0

0

z*y*x

)z*y(*x

)z*y(*x( ===ε

εσ

391666.0125.01.0166666.04.0

10

5.0

10

3.0

101

211

211

21

zyx)z*y*x( =++=++=++≤−−−

σσσσ εεεε

Άσκηση 28 – Μετάδοση Σφαλµάτων ∆ιαίρεσης

• Αν οι αριθµοί 0.5x = , 0.8y = δίνονται στρογγυλεµένοι σε 2 σηµαντικά ψηφία,

να βρεθεί το Απόλυτο Σχετικό Σφάλµα και το Μέγιστο Απόλυτο Σχετικό

Σφάλµα του Πηλίκου y/x .

Απάντηση

62.0)625.0()0.8/0.5()y/x( *** ===

625.0)0.8/0.5()y/x( ==

005.0625.062.0)y/x()y/x( *

)y/x( =−=−=ε

008.0625.0

005.0

y/x

)y/x(

)y/x( ===ε

εσ

01625.000625.001.08

10

5

10maxmaxmax

1

2

11

2

1

yx)y/x( =+=+=+=−−

σσσ εεε


13

Κεφάλαιο 3 – Σειρές-Συναρτήσεις

Άσκηση 1 – Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου σε γνωστό σηµείο - Σχήµα του Horner

• ∆ίνεται το Πολυώνυµο x9x)x(p 3 −= . Να βρεθεί µε το Σχήµα του Horner η

τιµή του στο σηµείο 3=ξ . (Απάντηση 0u)3(p)(p ===ξ )

Απάντηση

3

1 0 -9 0

3 9 0

1 3 0 0 )3(p=

Άσκηση 2 – Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου σε γνωστό σηµείο - Σχήµα του Horner


τιµή του στο σηµείο 2=ξ . (Απάντηση 10u)2(p)(p −===ξ )

Απάντηση

2

1 0 -9 0

2 4 -10

1 2 -5 -10 )2(p=

Άσκηση 3 – Υπολογισµός Τιµής Παραγώγου Πολυωνύµου σε γνωστό σηµείο


τιµή της παραγώγου του στο σηµείο 1=ξ . (Απάντηση 6u)1(p)(p '' −===ξ )

Απάντηση

1

1 0 -9 0

1 1 -8

1 1 -8 -8 )1(p=

1 1 2

1 2 -6 )1(p'=


14

Άσκηση 4 – Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου και Παραγώγου - Σχήµα του Horner

• ∆ίνεται το Πολυώνυµο 23 xx)x(p −= . Να βρεθεί µε το Σχήµα του Horner η

τιµή του Πολυωνύµου και της παραγώγου του στο σηµείο 0=ξ . (Απάντηση

0)0(p)(p ==ξ , 0)0(p)(p '' ==ξ )

Απάντηση

0

1 -1 0 0

0 0 0

1 -1 0 0 )0(p=

0 0 0

1 -1 0 )0(p'=


15

Κεφάλαιο 4 – Αριθµητική Επίλυση Εξισώσεων

Άσκηση 1 – Εντοπισµός Ριζών

• ∆ίνεται το Πολυώνυµο x9x)x(p 3 −= . Να βρεθεί πόσες και ποιες ρίζες

υπάρχουν στα διαστήµατα ]4,5[],1,4[],2,4[],4,4[ −−−−−− .

Απάντηση

028*28)4(p*)4(p <−=− , υπάρχει περιττός αριθµός ριζών (3 ρίζες,

3,0,3 321 ==−= ξξξ )

010*28)2(p*)4(p <−=−− , υπάρχει µία ρίζα ( )31 −=ξ

08*28)1(p*)4(p >−−=− , υπάρχει άρτιος αριθµός ριζών (2 ρίζες, 0,3 21 =−= ξξ )

028*80)4(p*)5(p >−−=−− , δεν υπάρχει καµιά ρίζα

Άσκηση 2 – Μέθοδος ∆ιχοτόµησης

• Αν για τη συνάρτηση 1x)x(f 2 −= ∃ µια ρίζα 1=ξ στο διάστηµα

]6.1,6.0[]b,a[ 00 = να βρεθεί

α) ο αριθµός των επαναλήψεων µε τη Μέθοδο της ∆ιχοτόµησης που θα χρειαστούν,

ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 1=ξ µε ακρίβεια ενός δ.ψ. ( k = 1 ),

αν είναι γνωστό ότι 3017.02log,2log

))ab(10log(n

k

=−

≥

β) Οι προσεγγίσεις n10 x,...,x,x , ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 1=ξ µε

ακρίβεια ενός δ.ψ

Απάντηση

α) 3346.33017.0

1

2log

)10log(

2log

)6.06.1(10log(n

11

≈===−

≥

β) 064.0136.016.01a)a(f22

00 <−=−=−=−= ,

056.1156.216.11b)b(f22

00 >=−=−=−=

056.1*64.0)b(f*)a(f 00 <−= , εποµένως υπάρχει ρίζα στο ]6.1,6.0[]b,a[ 00 =

]6.1,6.0[]b,a[ 00 = , 1.12

2.2

2

6.16.0

2

bax 00

0 ==+

=+

= ,

1

2

100 1005.01.011.1x

−=>=−=−= ξε

021.0121.111.11x)x(f22

00 >=−=−=−= , 021.0*64.0)x(f*)a(f 00 <−=


16

]1.1,6.0[]b,a[ 11 = , 85.02

7.1

2

1.16.0

2

bax 11

1 ==+

=+

= ,

1

2

111 1005.015.0185.0x

−=>=−=−= ξε

02775.017225.0185.01x)x(f 22

11 <−=−=−=−= ,

021.0*2775.0)b(f*)x(f 11 <−=

]1.1,85.0[]b,a[ 22 = , 975.02

95.1

2

1.185.0

2

bax 22

2 ==+

=+

= ,

1

2

122 1005.0025.01975.0x

−=<=−=−= ξε

Άσκηση 3 – Μέθοδος Εσφαλµένης Θέσης

• Αν για τη συνάρτηση 1x)x(f 2 −= υπάρχει µια ρίζα 1=ξ στο διάστηµα

],[]b,a[ 23

21

00 = να βρεθούν οι προσεγγίσεις n10 x,...,x,x , µε τη Μέθοδο της

Εσφαλµένης Θέσης που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της

ρίζας 1=ξ µε ακρίβεια ενός δ.ψ.

Απάντηση

011)(1a)a(f 43

412

21

2

00 <−=−=−=−= ,

011)(1b)b(f 45

492

23

2

00 >=−=−=−=

0*)b(f*)a(f 45

43

00 <−= , εποµένως υπάρχει ρίζα στο ],[]b,a[ 23

21

00 =

],[]b,a[ 23

21

00 = ,

)b(f)a(f)b(f

abbx 0

00

0000 −

−−=

4

5

4

3

4

5

2

1

2

3

2

3

+

−−= 875.0

8

7

8

5

2

3

4

8

4

5

2

3 ==−=−=

1

2

100 1005.0125.01875.0x

−=>=−=−= ξε

011)(1x)x(f 6415

64492

87

2

00 <−=−=−=−= , 0*)b(f*)x(f 45

6415

00 <−=

],[]b,a[ 23

87

11 = , )b(f)a(f)b(f

abbx 1

11

1111 −

−−=

97368.038

37

95

50

2

3

64

95

32

25

2

3

4

5

64

15

4

5

8

7

2

3

2

3 ==−=−=+

−−= ,

1

2

111 1005.00263.0197368.0x

−=<=−=−= ξε

Άσκηση 4 – Μέθοδος Σταθερού Σηµείου ή ∆ιαδοχικών Προσεγγίσεων

• Αν η συνάρτηση η )x(gx

1x2x ≡−= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =

1. Να βρεθεί η συνάρτηση 0)x(f = και οι πραγµατικές ρίζες της

2. Να βρεθεί η Τάξη Σύγκλισης γι’ αυτές τις ρίζες


17

3. Αν η µέθοδος συγκλίνει, για 3

2x0 = , να βρεθούν οι οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x ,

που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 1=ξ µε ακρίβεια

ενός δ.ψ.

Απάντηση

1. 01x)x(f1x2xx

1x2x

x

1x2x

2222

=−=⇒−=⇒−

=⇒−= , Ρίζες

11 =ξ , 12 −=ξ

2. 2

'

x

12)x(g

x

1x2)x(g +=⇒−= , 3

1

12)1(g)1(g

'' =+=−=

3. Η µέθοδος δεν συγκλίνει, αφού 13)1(g)1(g '' ≥=−=


• Αν η συνάρτηση η )x(g)x

1x2(

3

1x ≡+= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =



3. Αν η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ]2,[I 21= , για

3

2x0 = , να βρεθούν οι οι

προσεγγίσεις n21 x,...,x,x , που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση

nx της ρίζας 1=ξ µε ακρίβεια ενός δ.ψ.

Απάντηση

1. 01x)x(f1x2x3x3

1x2x)

x

1x2(

3

1x

2222

=−=⇒+=⇒+

=⇒+= , Ρίζες

11 =ξ , 12 −=ξ

2. )x

12(

3

1)x(g)

x

1x2(

3

1)x(g

2

' −=⇒+= ,

13

1)

1

12(

3

1)1(g)1(g

'' <=−=−= , άρα η σύγκλιση είναι γραµµική.

3. 3

2)2(

3

1)42(

3

1)

12(

3

1)

)(

12(

3

1)

2

1(g

412

21

' =−=−=−=−= ,

12

7

12

7)

4

7(

3

1)

4

12(

3

1)

)2(

12(

3

1)2(g

2

' ===−=−=

οπότε 13

2<=λ . Επίσης

2

11

2

1=− , ρ==− 112 , άρα η µέθοδος συγκλίνει.


18

• Αν3

2x0 = , θα έχουµε :

94444.018

17

6

17

3

1)

2

3

3

4(

3

1)

1

3

22(

3

1)

x

1x2(

3

1)x(gx

3

20

001 ===+=+=+==

1

21

11 1005.0055555.019444.0x−=>=−=−= ξε

18

17x1 = ,

98257.0459

451

153

451

3

1)

17

18

9

17(

3

1)

1

18

172(

3

1)

x

1x2(

3

1)x(gx

18

171

112 ===+=+=+==

1

21

22 1005.001743.0198257.0x−=<=−=−= ξε

Άσκηση 6 – Μέθοδος Σταθερού Σηµείου ή ∆ιαδοχικών Προσεγγίσεων – test

Προόδου, Νοέµβριος 2005

• Αν η συνάρτηση η )(4

2 2xg

x

xx ≡+= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =

1. Να βρεθεί η συνάρτηση 0)x(f = και µια ρίζα της

2. Να βρεθεί η Τάξη Σύγκλισης γι’ αυτή τη ρίζα

3. Για 2

3x0 = να βρεθούν οι 2 πρώτες προσεγγίσεις 21 x,x .

Απάντηση

1. 08x)x(f8xx2x2

8xx

x

4

2

xx

333

2

3

2=−=⇒+=⇒

+=⇒+= , Ρίζες 21 =ξ

2. 3

'

2x

8

2

1)x(g

x

4

2

x)x(g −=⇒+= , 1

2

1

8

8

2

1)2(g

' <=−= , άρα η σύγκλιση

είναι γραµµική.

3. 2

3x0 = , 527777.2

36

91

9

16

4

3)

4

2)x(

4

2

x)x(gx

4

9

2

3

2

0

001 ==+=+=+==

36

91x1 = , 8899.1

8281

5184

72

91)

4

2)x(

4

2

x)x(gx

1296

8281

36

91

2

1

112 =+=+=+==


• Αν η συνάρτηση η )x(g)x

1x(

2

1x ≡+= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =




19

3. Αν η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα

=2

3,

4

3I , για

3

2x0 = να βρεθούν οι οι



Απάντηση

1. 01x)x(f1xx2x2

1xx)

x

1x(

2

1x

2222

=−=⇒+=⇒+

=⇒+= , Ρίζες

11 =ξ , 12 −=ξ

2. )x

11(

2

1)x(g)

x

1x(

2

1)x(g

2

' −=⇒+= , 0)1

11(

2

1)1(g)1(g

'' =−=−= , άρα η

σύγκλιση είναι τουλάχιστον τετραγωνική.

34

''

x

1)

x

x2(

2

1)x(g == , 01

1

1)1(g

'' ≠== , 011

1)1(g

'' ≠=−

=− , άρα η

σύγκλιση είναι τετραγωνική.

3. 9

8

9

16

2

1

)(

1

2

1)

4

3(g

2

12

43

'' === , 9

2

9

4

2

1

)(

1

2

1)

2

3(g

2

12

23

'' ===

άρα M9

8)x(g

2

1 '' =≤ και 4

3

4

3

2

3ab =−=− , οπότε 1

3

2

4

3

9

8abM <==−=λ

Επίσης 4

11

4

3=− , ρ==−

2

11

2

3, άρα η µέθοδος συγκλίνει.

• 3

2x0 = ,

08333.112

13

6

13

2

1)

2

3

3

2(

2

1)

1

3

2(

2

1)

x

1x(

2

1)x(gx

3

20

001 ===+=+=+==

1

21

11 1005.0083333.0108333.1x−=>=−=−= ξε

12

13x1 = ,

0032.1312

313

156

313

2

1)

13

12

12

13(

2

1)

1

12

13(

2

1)

x

1x(

2

1)x(gx

12

131

112 ===+=+=+==

1

21

22 1005.00032.010032.1x−=<=−=−= ξε

Άσκηση 8 – Μέθοδος Σταθερού Σηµείου ή ∆ιαδοχικών Προσεγγίσεων – test

Προόδου, Νοέµβριος 2004

Αν η συνάρτηση η )()1

(2

1xg

xxx ≡+= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =

1. Να βρεθεί η συνάρτηση 0)x(f = και µια ρίζα της


3. Για 2

3x0 = , να βρεθούν οι 2 πρώτες προσεγγίσεις 21 x,x .


20

Απάντηση

1. Απάντηση στην Άσκηση 7

2. Απάντηση στην Άσκηση 7

3. 2

3x0 = ,

08333.112

13

6

13

2

1)

3

2

2

3(

2

1)

1

2

3(

2

1)

x

1x(

2

1)x(gx

2

30

001 ===+=+=+==

12

13x1 = ,

0032.1312

313

156

313

2

1)

13

12

12

13(

2

1)

1

12

13(

2

1)

x

1x(

2

1)x(gx

12

131

112 ===+=+=+==


• Αν η συνάρτηση η )x(gxx 3 ≡= αποτελεί αναδιάταξη της 0)x(f =



3. Αν η µέθοδος συγκλίνει, για 3

2x0 = να βρεθούν οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x , που

θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 0=ξ µε ακρίβεια ενός

δ.ψ.

Απάντηση

1. 0)1x(xxx)x(fxx 233 =−=−=⇒= , Ρίζες 11 =ξ , 12 −=ξ , 03 =ξ

2. 2'3 x3)x(gx)x(g =⇒= ,

131*3)1(g)1(g '' >==−= , άρα η µέθοδος δεν συγκλίνει για τις ρίζες

11 =ξ , 12 −=ξ . 00*3)0(g ' == , άρα η σύγκλιση για τη ρίζα 03 =ξ είναι

τουλάχιστον τετραγωνική.

x6)x(g '' = , 00*6)0(g '' == , άρα η σύγκλιση για τη ρίζα 03 =ξ είναι

τουλάχιστον κυβική.

6)x(g ''' = , 06)0(g ''' ≠= , άρα η σύγκλιση για τη ρίζα 03 =ξ είναι κυβική.

3. 3

2x0 = , 2963.0

27

8)

3

2()x(gx

3

01 ====

1

2

100 1005.02963.002963.0x

−=>=−=−= ξε

27

8x1 = , 026.0

19683

512)

27

8()x(gx

3

12 ====

1

2

111 1005.0026.00026.0x

−=<=−=−= ξε


21



2x ≡= αποτελεί αναδιάταξη της 02x)x(f 2 =−= ,

µε ρίζες 414214.121 ==ξ και 414214.122 −=−=ξ


2. Αν η µέθοδος συγκλίνει, για 1x0 = , να βρεθούν οι οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x ,

που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 2=ξ µε

ακρίβεια ενός δ.ψ.

Απάντηση

1. 2

'

x

2)x(g

x

2)x(g −=⇒= , 1

)2(

2)2(g)2(g

2

'' =−=−=

2. Η µέθοδος δεν συγκλίνει, αφού 11)2(g)2(g'' ≥=−=


• Αν η συνάρτηση η )x(gxx

4x ≡−= αποτελεί αναδιάταξη της

02x)x(f 2 =−= , µε ρίζες 414214.121 ==ξ και 414214.122 −=−=ξ


2. Αν η µέθοδος συγκλίνει, για 1x0 = , να βρεθούν οι οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x ,

που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 2=ξ µε


Απάντηση

1. 1x

4)x(gx

x

4)x(g

2

' −−=⇒−= , 31)2(

4)2(g)2(g

2

'' =−−=−=

2. Η µέθοδος δεν συγκλίνει, αφού 13)2(g)2(g'' ≥=−=



1

2

x3

2

1x ≡

+= αποτελεί αναδιάταξη της




22

2. Αν η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= , για 1x0 = , να βρεθούν οι οι



Απάντηση

1.

−=⇒

+=

2

'

x

1

2

3

2

1)x(g

x

1

2

x3

2

1)x(g ,

( )1

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

3

2

1)2(g)2(g

2

'' <=

−=

−=−= , άρα η σύγκλιση

είναι γραµµική.

2. ( )

14

1

2

1

2

1

1

1

2

3

2

1)1(g

2

' <=

=

−= ,

( )1

36

19

18

19

2

1

18

827

2

1

9

4

2

3

2

11

2

3

2

11

2

3

2

1)

2

3(g

492

23

' <==

=

−=

−=

−=

−= λ

οπότε 136

19<=λ . Επίσης 085786.0414214.1

2

3=− , 414214.0414214.11 =−

ρ= , άρα η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= .

• 1x0 = , 25.14

5)

2

5(

2

1)

1

1

2

3(

2

1)

x

1

2

x3(

2

1)x(gx

0

001 ===+=+==

1

2

111 1005.0164214.0414214.125.1x

−=>=−=−= ξε

4

5x1 = ,

3375.180

107

40

107

2

1

5

4

8

15

2

11

4

5

2

3

2

1

x

1

2

x3

2

1)x(gx

4

51

112 ==

=

+=

+=

+==

1

2

122 1005.0076714.0414214.13375.1x

−=>=−=−= ξε

80

107x2 = ,

37695677.134240

47147

17120

47147

2

1

107

80

160

321

2

11

80

107

2

3

2

1

x

1

2

x3

2

1)x(gx

80

1072

223 ==

=

+=

+=

+==

1

2

133 1005.0037257.0414214.137695677.1x

−=<=−=−= ξε


23



1x

3

2x ≡




2. Αν η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= , για 1x0 = , να βρεθούν οι



Απάντηση

1.

−=⇒

+=

2

'

x

11

3

2)x(g

x

1x

3

2)x(g ,

( )1

3

1

2

1

3

2

2

11

3

2)2(g)2(g

2

'' <=

=

−=−= , άρα η σύγκλιση είναι

γραµµική.

2. ( )

101

11

3

2)1(g

2

' <=

−= ,

( )1

27

10

9

5

3

2

9

49

3

2

9

41

3

211

3

211

3

2)

2

3(g

492

23

' <==

=

−=

−=

−=

−= λ

oπότε 127

10<=λ . Επίσης 085786.0414214.1

2

3=− , 414214.0414214.11 =−

ρ= , άρα η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= .

• 1x0 = , 333333.13

4)

1

11(

3

2)

x

1x(

3

2)x(gx

0

001 ==+=+==

1

2

111 1005.008088.0414214.1333333.1x

−=>=−=−= ξε

3

4x1 = ,

388888.118

25

12

25

3

2

4

3

3

4

3

21

3

4

3

2

x

1x

3

2)x(gx

3

41

112 ==

=

+=

+=

+==

1

2

122 1005.0025325.0414214.1388888.1x

−=<=−=−= ξε


24



2x

2

1x ≡




2. Αν η µέθοδος συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= , για 1x0 = , να βρεθούν οι οι

προσεγγίσεις n21 x,...,x,x , που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της


Απάντηση

1. )x

21(

2

1)x(g

x

2x

2

1)x(g

2

' −=⇒

+= , 0)

2

21(

2

1)2(g)2(g

'' =−=−= ,

άρα η σύγκλιση είναι τουλάχιστον τετραγωνική.

34

''

x

2)

x

x4(

2

1)x(g == , 0

2

2

22

2)2(g

'' ≠== ,

02

2

22

2)2(g

'' ≠=−

=− , άρα η σύγκλιση είναι τετραγωνική.

2. 11

2

2

1)1(g

2

13

'' == , ( ) ( ) 27

82

2

12

2

1

2

3g

2

1

8273

23

'' ===

, άρα 1M = . Επίσης

2

11

2

3ab =−=− οπότε 1

2

1

2

11abM <==−=λ . Ισχύει επίσης

085786.0414214.12

3=− , 414214.0414214.11 =− ρ= , άρα η µέθοδος

συγκλίνει στο διάστηµα ],1[I 23= .

• 1x0 = ,

5.12

3

1

21

2

1

x

2x

2

1)x(gx

0

001 ==

+=

+==

1

2

111 1005.0085786.0414214.15.1x

−=>=−=−= ξε

2

3x1 = ,

416666.112

17)

6

17

2

1

3

4

2

3

2

12

2

3

2

1

x

2x

2

1)x(gx

2

31

112 ===

+=

+=

+==

1

2

122 1005.000245.0414214.1416666.1x

−=<=−=−= ξε


25

Άσκηση 15 – Μέθοδος Newton-Raphson


],[]b,a[ 23

43

00 =

1. Να δειχθεί ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος 4.6 για τη σύγκλιση

της Μεθόδου Newton-Raphson στο διάστηµα ],[]b,a[ 23

43

00 =

2. Να βρεθούν οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x , µε τη Μέθοδο Newton-Raphson που θα

χρειαστούν, ώστε µε ],[]b,a[3

2x 2

34

3000 =∈= να βρεθεί η προσέγγιση nx της


Απάντηση

1. 1x)x(f 2 −= , x2)x(f ' = , 2)x(f '' =

2

3

4

32

4

3f

' ==

, 3

2

32

2

3f

' ==

, οπότε ( ) Κ=≥

2

3xf

'

24

3f

'' =

, 2

2

3f

'' =

, οπότε ( ) Λ=≤ 2xf '' και

3

2

2

32

2

2=

⋅==

ΚΛ

Μ

Επίσης 4

3

4

3

2


2

1

4

3

3

2abM <==−=λ

Επίσης 4

11

4

3=− , ρ==−

2

11

2

3, άρα η µέθοδος συγκλίνει

2. 011)(1a)a(f 43

412

21

2

00 <−=−=−=−= ,

011)(1b)b(f 45

492

23

2

00 >=−=−=−=

0*)b(f*)a(f 45

43


21

00 =

],[]b,a[3

2x 2

32

1000 =∈= ,

0

2

00

0

'

001

x2

1)x(x

)x(f

)x(fxx

−−=−=

3

2

9

4

2

1

3

2 −−=

12

5

3

2

3

2

3

4

9

5

+=−

−= 08333.112

13==

1

2

111 1005.008333.0108333.1x

−=>=−=−= ξε

],[]b,a[12

13x 2

32

1001 =∈= ,

1

2

11

1

'

112

x2

1)x(x

)x(f

)x(fxx

−−=−=

12

13

144

169

2

1

12

13 −−=

312

25

12

13

12

13

6

13

144

25

−=−=

0032.1312

313==

1

2

122 1005.00032.010032.1x

−=<=−=−= ξε


26

Άσκηση 16 – Μέθοδος Newton-Raphson

• Αν για τη συνάρτηση 2x)x(f 2 −= υπάρχει µια ρίζα 414214.12 ==ξ στο

διάστηµα ],[]b,a[ 23

43

00 = µε ],[]b,a[1x 23

43

000 =∈=

1. Να δειχθεί ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος 4.6 για τη σύγκλιση

της Μεθόδου Newton-Raphson στο διάστηµα ],[]b,a[ 23

43

00 =

2. Να βρεθούν οι προσεγγίσεις n21 x,...,x,x , µε τη Μέθοδο Newton-Raphson που θα

χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 2=ξ µε ακρίβεια ενός

δ.ψ.

Απάντηση

1. 2x)x(f 2 −= , x2)x(f ' = , 2)x(f '' =

2

3

4

32

4

3f

' ==

, 3

2

32

2

3f

' ==

, οπότε ( ) Κ=≥

2

3xf

'

24

3f

'' =

, 2

2

3f

'' =

, οπότε ( ) Λ=≤ 2xf '' και

3

2

2

32

2

2=

⋅==

ΚΛ

Μ

Επίσης 4

3

4

3

2


2

1

4

3

3

2abM <==−=λ

Επίσης 4

11

4

3=− , ρ==−

2

11

2

3, άρα η µέθοδος συγκλίνει

2. 011)(1a)a(f 43

412

21

2

00 <−=−=−=−= ,

011)(1b)b(f 45

492

23

2

00 >=−=−=−=

0*)b(f*)a(f 45

43


21

00 =

],[]b,a[1x 23

21

000 =∈= ,

0

2

00

0

'

001

x2

2)x(x

)x(f

)x(fxx

−−=−=

2

211

−−= 5.1

2

3

2

11 ==+=

1

2

111 1005.0085786.0414214.15.1x

−=>=−=−= ξε

],[]b,a[2

3x 2

32

1001 =∈= ,

)x(f

)x(fxx

1

'

1

12 −= 2

3

4

9

2

2

2

3 −−=

12

1

2

3

32

34

1

−=−= 416666.112

17==

1

2

122 1005.0002452.0414214.1416666.1x

−=<=−=−= ξε


27

Άσκηση 17 – Μέθοδος Newton-Raphson για Πολλαπλή Ρίζα

• Αν για τη συνάρτηση 2)1x()x(f −= υπάρχει µια Πολλαπλή ρίζα 1=ξ στο

διάστηµα ],[]b,a[ 23

21

00 =


2. Με ],[]b,a[3

2x 2

32

1000 =∈= να βρεθούν οι προσεγγίσεις n,21 x...,x,x , µε τη

Μέθοδο Newton-Raphson που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση


Απάντηση

1. 2

1x

2

1xx2

2

)1x(x

)1x(2

)1x(x)x(g

)x(f

)x(fxx

2

'

+=

+−=

−−=

−−

−=≡−=

12

1)x(g

' <=⇒ , άρα η σύγκλιση για τη ρίζα 1=ξ είναι γραµµική.

2. 011)(1a)a(f 43

412

21

2

00 <−=−=−=−= ,

011)(1b)b(f 45

492

23

2

00 >=−=−=−=

0*)b(f*)a(f 45

43


21

00 =

],[]b,a[3

2x 2

32

1000 =∈= ,

83333.06

5

2

1

2

1x)x(gx 3

20

01 ==+

=+

==

1

2

111 1005.0167.018333.0x

−=>=−=−= ξε

],[]b,a[6

5x 2

32

1001 =∈= ,

91666.012

11

2

1

2

1xx 6

5

1

2 ==+

=+

=

1

21

22 1005.008333.0191666.0x−=>=−=−= ξε

],[]b,a[12

11x 2

32

1002 =∈= ,

958333.024

23

2

1

2

1xx 12

112

3 ==+

=+

=

1

21

33 1005.0041666.01958333.0x−=<=−=−= ξε

Άσκηση 18 – Μέθοδος της Χορδής


],[]b,a[ 23

21

00 = να βρεθούν οι προσεγγίσεις n10 x,...,x,x , µε τη Μέθοδο της

Χορδής που θα χρειαστούν, ώστε να βρεθεί η προσέγγιση nx της ρίζας 1=ξ µε



28

Απάντηση

011)(1a)a(f 43

412

21

2

00 <−=−=−=−= ,

011)(1b)b(f 45

492

23

2

00 >=−=−=−=

0*)b(f*)a(f 45

43


21

00 =

],[]b,a[]x,x[ 23

21

0010 == ,

)x(f)x(f)x(f

xxxx 1

01

0112 −

−−=

4

5

4

3

4

5

2

1

2

3

2

3

+

−−= 875.0

8

7

8

5

2

3

4

8

4

5

2

3 ==−=−=

1

2

122 1005.0125.01875.0x

−=>=−=−= ξε ,

6415

64492

87

2

22 11)(1x)x(f −=−=−=−=

)x(f)x(f)x(f

xxxx 2

12

1223 −

−−=

97368.03837

15215

87

6415

6495

85

87

6415

45

6415

23

87

87 ==+=

−

−−=

−−

−−= −− ,

1

21

33 1005.00263.0197368.0x−=<=−=−= ξε


29

Κεφάλαιο 5 - Επίλυση Συστηµάτων Εξισώσεων

Άσκηση 1 – Επίλυση ∆ιαγωνίου Συστήµατος

• Να επιλυθεί το ∆ιαγώνιο Σύστηµα bxA = ή ∗

5000

0600

0070

0008

4

3

2

1

x

x

x

x

=

5

6

7

8

, Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

Απάντηση

18

8

a

bx

11

11 === , 1

7

7

a

bx

22

22 === , 1

6

6

a

bx

33

33 === , 1

5

5

a

bx

44

44 ===

Άσκηση 2 – Επίλυση Κάτω Τριγωνικού Συστήµατος

• Να επιλυθεί το Κάτω Τριγωνικό Σύστηµα bxA = ή

∗

−

−

−

5321

0688

00714

0008

4

3

2

1

x

x

x

x

=

5

6

7

8

, ( Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

)

Απάντηση

18

8

a

bx

11

11 ===

17

7

7

)1147(

a

)xab(x

22

12122 =

−

−=

−

∗−=

−=

16

6

6

)181)8(6(

a

)xaxab(x

33

23213133 ==

∗−∗−−=

−−=

15

5

5

)1)3(12115(

a

)xaxaxab(x

44

34324214144 ==

∗−−∗−∗−=

−−−=

Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Επιστηµονικών Εφαρµογών 2006 Κεφάλαιο5

30

Άσκηση 3 – Επίλυση Άνω Τριγωνικού Συστήµατος

• Να επιλυθεί το Άνω Τριγωνικό Σύστηµα bxA = ή

∗

−

−

−

5000

12600

8870

5328

4

3

2

1

x

x

x

x

=

5

6

7

8

, ( Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

)

Απάντηση

15

5

a

bx

44

44 ===

16

6

6

)1126(

a

)xab(x

33

43433 =

−

−=

−

∗−=

−=

17

7

7

)1)8(187(

a

)xaxab(x

22

4243232

2 ==∗−−∗−

=−−

=

18

8

8

)1)5(13128(

a

)xaxaxab(x

11

4143132121

1 ==∗−−∗−∗−

=−−−

=

Άσκηση 4 – Επίλυση Συστήµατος µε Απαλοιφή Gauss χωρίς Οδήγηση

• Να επιλυθεί το Σύστηµα bxA = ή

1214

2113

2542

1321

*

4

3

2

1

x

x

x

x

=

8

7

13

7

, (Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

) µε Απαλοιφή Gauss χωρίς Οδήγηση

Απάντηση

⇒

8

7

13

7

1214

2113

2542

1321

14

13

12

bAίέ νακαςΠςστολλαπλασιαΠ

20

14

1

7

31070

1850

0100

1321

bAί

−

−

−

−−−

−−−

−

νακαςΠ

0a22 = , οπότε γίνεται ανταλλαγή 2ης

και 3ης

γραµµής


31

⇒

−

−

−

−−−

−

−−−

20

1

14

7

31070

0100

1850

1321

57


52

58

56

56

1

14

7

00

0100

1850

1321

bAίέ

−−−

−

−

−

−−−

νακαςΠςστολλαπλασιαΠ

58

58

1

14

7

000

0100

1850

1321

bAί

−−

−

−

−

−−−⇒

νακαςΠ

,

οπότε επιλύεται το Άνω Τριγωνικό Σύστηµα

1a

bx

58

58

44

4

4 ===−

−

11

1

1

)101(

a

)xab(x

33

4343

3 =−−

=−

∗−−=

−=

15

5

5

)1)1(1)8(14(

a

)xaxab(x

22

4243232

2 =−−

=−

∗−−∗−−−=

−−=

11

1

1

)1113127(

a

)xaxaxab(x

11

4143132121

1 ==∗−∗−∗−

=−−−

=

Άσκηση 5 – Επίλυση Συστήµατος µε Απαλοιφή Gauss µε µερική Οδήγηση

• Να επιλυθεί το Σύστηµα ∗

1214

2113

2542

1321

4

3

2

1

x

x

x

x

=

8

7

13

7

, (Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

) µε

Απαλοιφή Gauss µε µερική Οδήγηση

Απάντηση

Στοιχείο µε τη Μέγιστη Απόλυτη τιµή στην πρώτη στήλη είναι το 4a41 = που

βρίσκεται στη 4η γραµµή, οπότε γίνεται ανταλλαγή 1

ης και 4

ης γραµµής :


32

⇒

7

7

13

8

1321

2113

2542

1214

41

43

42


⇒

−

5

1

9

8

0

0

40

1214

43

25

47

45

21

41

23

27

21

141


⇒

−

− 21

145

21

78

1411

23

27

117

9

8

000

00

40

1214


118

145

118

78

1411

23

27 9

8

000

00

40

1214

bAί

−

νακαςΠ


1a

bx

118

118

44

4

4 ===

1)1(

a

)xab(x

1411

1411

1411

78

145

33

4343

3 ==∗−

=−

=−

−

−

1)1149(

a

)xaxab(x

27

27

27

23

22

4243232

2 ==∗−∗−

=−−

=

14

4

4

)1112118(

a

)xaxaxab(x

11

4143132121

1 ==∗−∗−∗−

=−−−

=

Άσκηση 6 – Επίλυση Συστήµατος µε Απαλοιφή Gauss µε µερική Οδήγηση και

Εξισορρόπηση


1214

2113

2542

1321

4

3

2

1

x

x

x

x

=

8

7

13

7

, ( Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

)

µε Απαλοιφή Gauss µε µερική Οδήγηση και Εξισορρόπηση

Απάντηση


33

21

73

132

71

8

7

13

7

8

7

13

7

1214

2113

2542

1321

n

1jij

a

1jan

1jij

abAί

∑

=

∑=

νακαςΠ

Στοιχείο µε τη Μέγιστη Απόλυτη τιµή στην πρώτη στήλη είναι το 21

41'a = που

βρίσκεται στη 4η γραµµή, οπότε γίνεται ανταλλαγή 1

ης και 4

ης γραµµής :

⇒

7

7

13

8

1321

2113

2542

1214

41

43

42


207

41

187

43

25

47

45

21

41

23

27

5

1

9

5

1

9

8

0

0

40

1214

n

1jij

a

2jan

2jij

abAί

⇒−

∑∑

=

=νακαςΠ

Στοιχείο µε τη Μέγιστη Απόλυτη τιµή στη δεύτερη στήλη είναι το 187

22'a = που

βρίσκεται στη 2η γραµµή, οπότε δεν γίνεται ανταλλαγή γραµµών :

⇒

−

5

1

9

8

0

0

40

1214

43

25

47

45

21

41

23

27

21

141


41

511

21

145

21

145

21

78

1411

23

27 5

8

000

00

40

1214

n

1jij

a

3jan

3jij

abAί

−

∑∑

=

=νακαςΠ


34

Στοιχείο µε τη Μέγιστη Απόλυτη τιµή στην τρίτη στήλη είναι το 511

33'a = που

βρίσκεται στην 3η γραµµή, οπότε δεν γίνεται ανταλλαγή γραµµών :

⇒−

− 21

145

21

78

1411

23

27

117

9

8

000

00

40

1214


118

145

118

78

1411

23

27 9

8

000

00

40

1214

bAί

−

νακαςΠ


1a

bx

118

118

44

4

4 ===

1)1(

a

)xab(x

1411

1411

1411

78

145

33

4343

3 ==∗−

=−

=−

−

−

1)1149(

a

)xaxab(x

27

27

27

23

22

4243232

2 ==∗−∗−

=−−

=

14

4

4

)1112118(

a

)xaxaxab(x

11

4143132121

1 ==∗−∗−∗−

=−−−

=

Άσκηση 7 – Επίλυση Συστήµατος µε Απαλοιφή Gauss-Jordan


1214

2113

2542

1321

4

3

2

1

x

x

x

x

=

8

7

13

7

, ( Λύση

=

4

3

2

1

x

x

x

x

x

=

1

1

1

1

)

µε Απαλοιφή Gauss - Jordan

Απάντηση

⇒

8

7

13

7

1214

2113

2542

1321

14

13

12


20

14

1

7

31070

1850

0100

1321

bAί

−

−

−

−−−

−−−

−

νακαςΠ

0a22 = , οπότε γίνεται ανταλλαγή 2ης

και 3ης

γραµµής


35

⇒

−

−

−

−−−

−

−−−

−

20

1

14

7

31070

0100

1850

1321

57

52


52

57

58

56

53

51

56

51

1

14

00

0100

1850

01

8

bAίέ

−−

−

−

−

−

−

−−−

νακαςΠςστολλαπλασιαΠ

⇒−

−

−

−−

−−

−

58

58

58

53

85

83

1

6

000

0100

1050

001


58

58

1

5

1

000

0100

0050

0001

bAί

−−

−

−

−

−

νακαςΠ

,

οπότε επιλύεται το ∆ιαγώνιο Σύστηµα

11

1

a

bx

11

1

1 === , 15

5

a

bx

22

2

2 =−−

== , 11

1

a

bx

33

3

3 =−−

== , 1a

bx

58

58

44

4

4 ===−

−

.

Άσκηση 8 – Έλεγχος Υπεροχής ∆ιαγωνίου Στοιχείου

• Να ελεγχθεί αν ο Πίνακας

−

−

−−

−

=

4211

1521

2161

1125

A έχει ∆ιαγώνια Υπεροχή Κατά

Γραµµές ή Στήλες

Απάντηση

1. Έλεγχος Υπεροχής Κατά Γραµµές

4112112aaa5a 14131211 =++=++−=++>=

4211211aaa6a 24232122 =++=+−+−=++>=

4121121aaa5a 34323133 =++=+−+=++>=

4211211aaa4a 43424144 =++=+−+=++==

εποµένως δεν υπάρχει Υπεροχή Κατά Γραµµές.


36

2. Έλεγχος Υπεροχής Κατά Στήλες

3111111aaa5a 41312111 =++=++−=++>=

5122122aaa6a 42321222 =++=−+−+−=++>=

4211211aaa5a 43231333 =++=+−+=++>=

4121121aaa4a 34241444 =++=++=++==

εποµένως δεν υπάρχει Υπεροχή Κατά Στήλες.

Άσκηση 9 – Έλεγχος Υπεροχής ∆ιαγωνίου Στοιχείου

• Να ελεγχθεί αν ο Πίνακας

−

−

−−

−

=

5211

1521

1161

2125

A έχει ∆ιαγώνια Υπεροχή Κατά

Γραµµές ή Στήλες

Απάντηση

1. Έλεγχος Υπεροχής Κατά Γραµµές

5212212aaa5a 14131211 =++=++−=++== , άρα δεν υπάρχει Υπεροχή

Κατά Γραµµές.

2. Έλεγχος Υπεροχής Κατά Στήλες

3111111aaa5a 41312111 =++=++−=++>=

5122122aaa6a 42321222 =++=−+−+−=++>=

4211211aaa5a 43231333 =++=+−+=++>=

4112112aaa5a 34241444 =++=++=++>=

εποµένως υπάρχει Υπεροχή Κατά Στήλες.


37

Άσκηση 10 – Επίλυση Συστήµατος µε τη Μέθοδο Gauss - Seidel


−

−

421

131

012

3

2

1

x

x

x

=

3

3

3

( Λύση

=

3

2

1

x

x

x

x

=

1

1

1

)

µε τη Μέθοδο Gauss – Seidel. Με Αρχικές Τιµές

[ ] [ ]43

43

43

)0(

3

)0(

2

)0(

1

)0(xxxx == να βρεθούν µέχρι και οι τιµές των

[ ])2(

3

)2(

2

)2(

1

)2(xxxx = .

Απάντηση

Αρχικές Τιµές [ ] [ ]43

43

43

)0(

3

)0(

2

)0(

1

)0(xxxx ==

1ος

Κύκλος

125.18

9

22

)013(

a

)xaxab(x 4

94

34

3

11

)0(

313

)0(

2121)1(

1 ===∗−∗−

=−−

=

125.18

9

33

)1)1(3(

a

)xaxab(x 8

274

38

9

22

)0(

323

)1(

1212)1(

2 ===∗−∗−−

=−−

=

03125.132

33

44

))2(13(

a

)xaxab(x 8

338

98

9

33

)1(

232

)1(

1313)1(

3 ===∗−−∗−

=−−

=

2ος

Κύκλος

9375.016

15

22

)013(

a

)xaxab(x 8

158

98

9

11

)1(

313

)1(

2121)2(

1 ===∗−∗−

=−−

=

96875.032

31

33

)1)1(3(

a

)xaxab(x 32

9332

3316

15

22

)1(

323

)2(

1212)2(

2 ===∗−∗−−

=−−

=

14

4

4

))2(13(

a

)xaxab(x 32

3116

15

33

)2(

232

)2(

1313)2(

3 ==∗−−∗−

=−−

=


38

Άσκηση 11 – Επίλυση Συστήµατος µε τη Μέθοδο Jacobi


−

−

421

131

012

3

2

1

x

x

x

=

3

3

3

( Λύση

=

3

2

1

x

x

x

x

=

1

1

1

)

µε τη Μέθοδο Jacobi. Με Αρχικές Τιµές [ ] [ ]43

43

43

)0(

3

)0(

2

)0(

1

)0(xxxx == να

βρεθούν µέχρι και οι τιµές των [ ])2(

3

)2(

2

)2(

1

)2(xxxx = .

Απάντηση

Αρχικές Τιµές [ ] [ ]43

43

43

)0(

3

)0(

2

)0(

1

)0(xxxx ==

1ος

Κύκλος

125.18

9

22

)013(

a

)xaxab(x 4

94

34

3

11

)0(

313

)0(

2121)1(

1 ===∗−∗−

=−−

=

13

3

3

)1)1(3(

a

)xaxab(x 4

34

3

22

)0(

323

)0(

1212)1(

2 ==∗−∗−−

=−−

=

9375.016

15

44

))2(13(

a

)xaxab(x 4

154

34

3

33

)0(

232

)0(

1313)1(

3 ===∗−−∗−

=−−

=

2ος

Κύκλος

12

2

2

)0113(

a

)xaxab(x 16

15

11

)1(

313

)1(

2121)2(

1 ==∗−∗−

=−−

=

0625.116

17

33

)1)1(3(

a

)xaxab(x 16

5116

158

9

22

)1(

323

)1(

1212)2(

2 ===∗−∗−−

=−−

=

96875.032

31

44

))12(13(

a

)xaxab(x 8

318

9

33

)1(

232

)1(

1313)2(

3 ===∗−−∗−

=−−

=

blackboard askhseis

Documents