blacni koluvannya

© Я.Ю. Дима, 2011 http://pclab.ho.ua

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ СТРУНИ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСУ

Мета: вивчення хвильових процесів на прикладі стоячої хвилі, що виникає при поперечних коливаннях струни; визначення власних частот коливань струни із закріпленими кінцями; визначення швидкості поширення поперечної хвилі та дослідження її залежності від характеристик струни. Обладнання: струна з мідного дроту, важки, постійний магніт, комп’ютер з встановленою програмою SweepGen, підсилювач звукової частоти, мікрометр, лінійка.

Теоретичні відомості

Хвилями називаються збурення, що поширюються в середовищі або у

вакуумі й несуть із собою енергію. При цьому перенос енергії відбувається без переносу речовини, тобто частинки середовища, в якому поширюється хвиля, не приймають участь у поступальному русі, а здійснюють коливання навколо своїх положень рівноваги. Залежно від напрямку коливань частинок стосовно напрямку поширення хвилі розрізняють поздовжні та поперечні хвилі. У поперечній хвилі частинки здійснюють коливання в напрямках, перпендикулярних напрямку поширення коливань, а в поздовжніх хвилях – уздовж напрямку поширення хвилі. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що володіє опором зсуву. До них, зокрема, відносяться поперечні коливання струни.

Складемо рівняння коливань струни, натягнутої між двома точками її закріплення, за умови, що амплітуда відхилень струни від положення рівноваги настільки мала, що довжину струни ( l ) можна вважати постійною, а натяг ( F ) струни – незмінним по всій довжині струни й незалежним від часу.

Розглянемо відрізок lΔ (рис. 1) однорідної струни, що коливається, точки закріплення якої перебувають на осі OX . Нехай у деякий момент часу на струну був зроблений вплив, що призвів до зсуву відрізка l з положення рівноваги (уздовж осі OX ) у напрямку осі OY .

pclab

.ho.ua


Рис. 1 Оскільки у початковому положенні струна була натягнута, то до кінців

відрізка будуть прикладені рівні сили натягу ( F ), що утворюють із напрямком OX кути 21 ϕϕπ ++ . В інтересах наочності зображення на рис. 1 використаний укрупнений масштаб при зображенні зсуву струни уздовж осі OY . Тому при подальших розрахунках слід мати на увазі, по-перше, що на рис. 1 зображений лише деякий довільно обраний відрізок струни й, по-друге, що зсув уздовж осі OY суттєво менше довжини струни, а кути настільки малі, що з великою точністю дотримуються наближені співвідношення:

111sin ϕϕϕ ≈≈ tg , 222sin ϕϕϕ ≈≈ tg . (1)Проекції сил F на вісь OY , з урахуванням співвідношень (1), відповідно

рівні:

0)(tgsin)sin( 111 xxdx

dyFFFF =−=−≈−=+ ϕϕϕπ ,

xxxdxdyFFF Δ+==≈

022 tgsin ϕϕ . (2)

Алгебраїчна сума проекцій сил, що описуються співвідношеннями (2), є силою, що повертає відрізок l у положення рівноваги. При цьому розглянута частина струни (рис. 1) буде послідовно приймати положення 1,2,3 і т.д., поки коливання не припиняться й струна не займе стійке положення уздовж осі OX .

На підставі другого закону Ньютона результуюча сила, що діє на відрізок

l , дорівнює добутку його маси на прискорення 2

2

ty

∂∂ , що повідомляється

відрізку l повертаючою силою:

xty

xy

xyF xxxxx Δ⋅

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

=Δ+= γ2

2

00 (3)

Розділивши праву й ліву частини співвідношення (3) на x , при значеннях 0→Δx одержимо:

2

2

2

2

ty

xyF

∂∂

=∂∂ γ ,

або

22

2

2

xya

ty

∂∂

=∂∂ , (4)

де γFa = ; γ – лінійна густина струни.

Співвідношення типу (4) називаються хвильовими рівняннями, розв’язок яких можна шукати в наступному виді:

( ) ( ) ( )tBxAtxY =, . (5)Підставляючи співвідношення (5) у формулу (4), одержимо:

2

2

2

22

tBA

xABa

∂∂

=∂∂ . (6)

pclab

.ho.ua


Рівняння (6) записане у звичайних похідних, тому що A та B залежать тільки від x та t відповідно. Оскільки x та t – незалежні змінні, то рівність (6) може дотримуватися у всьому діапазоні їх вимірів, якщо обидві частини співвідношення (6) є якоїсь постійною величиною, яку позначимо ( )2k− . Після проведення очевидних перетворень співвідношення (6) може бути записане в наступній формі:

22

2

22

2 11 ktB

BaxA

A−=

∂∂⋅=

∂∂⋅ . (7)

Співвідношення (7) дозволяє скласти наступні рівняння:

022

2

=+∂∂ Ak

xA ,

0222

2

=+∂∂ Bka

tB .

(8)

Розв’язки диференціальних рівнянь (8) мають вигляд: kxAA sin0= , katBB sin0= .

Отже, розв’язок (5) хвильового рівняння (4) має вигляд: ( ) katkxytxy sinsin, 0 ⋅= , (9)

де kxy sin – амплітудні значення коливань, що формуються в точці з координатою x в результаті додавання хвиль, що поширюються уздовж струни за рахунок дії сили, що збурює, і відбитих від точок закріплення кінцевих ділянок струни. Виникаючий у результаті коливальний процес (9) називається стоячою хвилею. Точки, у яких 0sin =kx , називаються вузлами, а точки, у яких амплітуда максимальна 1sin =kx – пучностями стоячої хвилі. Слід мати на увазі, що і пучность, і вузол являють собою не точки, а площини, що задовольняють зазначеним умовам. Відстань між сусідніми пучностями (також

як і між сусідніми вузлами) дорівнює половині довжини хвилі 2λ . Сусідні вузол

і пучность зсунуті на 4λ .

Для знаходження невизначеної сталої k в рівнянні (9) скористаємося очевидними граничними умовами, обумовленими тим, що в точках закріплення струни амплітуда дорівнює нулю:

( ) ( ) 0,,0 == tlyty . (10)Отже,

0sin =kl або πnkl = , (11)де ...3,2,1=n – визначає число пучностей.

Введемо для формули (9) наступні позначення:

( ) txlnytxy ωπ sinsin, 0 −= , (12)

де fka πω 2== ; ω – циклічна частота коливань; f – частота коливань. З урахуванням співвідношень (4), (11) і (12) маємо:

pclab

.ho.ua


γπF

lnkaf22

== . (13)

При стоячій хвилі, що встановився, уся довжина l струни містить ціле n число півхвиль, оскільки в кінцевих точках струни згідно (10) ( ) 0, =txy . Таким

чином, 2λ⋅= nl і, відповідно:

nl2

=λ . (14)

Оскільки швидкість поширення коливань: f⋅= λυ , (15)

то з урахуванням формул (13) і (14) маємо:

γυ F= , (16)

а з (14) та (15):

nfl2

=υ . (17)

У рівності (16) можна перейти від лінійної γ до об’ємної ρ густини струни:

πρυ F

d2

= , (18)

де d – діаметр струни. При цьому співвідношення (13) можна записати у вигляді:

πρF

ldnf = . (19)

Частота, що відповідає 1=n , називається основною )2

( 1 lf υ= , а частоти,

що відповідають 1>n – обертонами основної частоти або гармоніками. Основну частоту інколи називають першою гармонікою, подвоєну основну частоту, або перший обертон, – другою гармонікою і т.д.

Прийнявши за початок координат одну із точок закріплення струни й направивши вісь х уздовж струни, можна записати рівняння n-ої стоячої хвилі:

tfxa nn

nn πλπξ 2sin2sin= , (20)

де ξn – поперечне відхилення точки струни з абсцисою х у момент t, n

nxa

λπ2sin –

амплітуда, nl

n2

=λ . Профіль стоячої хвилі в будь-який момент часу має форму

синусоїди і являє собою графік розподілу зсувів і амплітуд по осі х. Частоти коливань усіх точок струни однакові та визначаються за формулою (19).

pclab

.ho.ua


Отже, струна, закріплена на двох кінцях, не може перебувати у простому гармонічному коливанні з будь-якою частотою, допустимі лише частоти, обумовлені формулою (19).

У загальному випадку в струні можуть встановлюватися одночасно коливання різних частот, але кратних основній частоті, оскільки струна являє собою систему з гармонічними обертонами.

Опис експериментальної установки

Схема установки для дослідження власних коливань струни представлена

на рис. 2. На масивній основі 1 розміщено нерухомий упор 2 для закріплення одного кінця струни 3 та блока 4, через який перекинуто інший кінець струни з важком 5 відомої маси. За допомгою важку у струні створюється натяг. По основі може вільно переміщуватись рухомий упор 6 для зміни довжини ділянки струни, що коливається, та постійний магніт 7. До обох кінців струни за допомогою клем 8, 9 прикріплені дроти, котрі з’єднують її з підсилювачем звукової частоти, на який з виходу аудіоплати подається створений емулятором звукового генератора сигнал. Ділянка струни зі змінним струмом, що по ній протікає, потрапляє в поле постійного магніту. При цьому виникає періодична сила, прикладена до струни. Частота зміни цієї сили дорівнює частоті змінного струму. У тому випадку, коли частота створеного генератором сигналу буде збігатися з однією із власних частот струни, а положення полюсів магніту – з пучністю стоячої хвилі, що відповідає даній частоті, спостерігається явище резонансу: у струні встановлюється стояча хвиля. Підсилювач необхідний для створення у струні достатньої для спостереження коливань сили струму, а також узгодження малого опору струни із вихідним опором звукової карти комп’ютера.

Рис. 2

pclab

.ho.ua


Порядок виконання роботи 1. Вихід звукової карти комп’ютера сполучити із клемами на стійках.

Оскільки входи аудіоплати при виконанні роботи не використовуються, то настройки зводяться до регулювання рівня вихідного сигналу за допомогою регулятора гучності на панелі задач.

2. На вільний кінець струни підвісити платформу для важків. 3. Створити натяг у струні, помістивши на платформу для важків який-

небудь важок. При визначенні натягу струни враховується маса платформи. Знаючи масу важків та платформи, обрахувати натяг струни mgF = .

4. За допомогою мікрометра виміряти діаметр струни. Довжину струни задає викладач.

5. Установити постійний магніт посередині струни. 6. Запустити програму SweepGen. Встановити максимальний рівень

вихідного сигналу емулятора приладу – 0 дБ (крайнє верхнє положення повзунка 1, рис. 3). Обрати межі зміни частоти можна у полях, що знаходяться в нижній частині вікна програми (рис. 3, 4). У полі «Sweep Speed» вибрати ручний режим зміни частоти – Manual (рис. 3, 2) та натиснути кнопку «Start». Активними стануть повзунки 3 (рис. 3). Після того, як натиснути ліву кнопку миші, навівши на ці повзунки курсор, можна змінювати частоту з точністю до 1 Гц, обертаючи коліщатко миші або натискаючи кнопки курсору на клавіатурі. Поточна частота відображується у полі 5 (рис. 3). При наближенні до резонансної частоти амплітуда коливань струни суттєво підвищиться. Це – коливання основного тону. Відповідну частоту 1f , Гц занести до табл. 1.

Рис. 3

7. Далі потрібно збільшити частоту коливань у кратне число разів ( 2=n та 3=n ) і, пересуваючи магніт уздовж струни, одержати стійкі коливання наступних обертонів ( 2f та 3f відповідно). Записати до табл. 1 значення частот звукового генератора, при яких на струні встановлюються стоячі хвилі (Експеримент 1).

pclab

.ho.ua


Таблиця 1 F = … Н, d = … м

l, м 1f , Гц 1υ , м/с 1f , Гц 1υ , м/с 1f , Гц 1υ , м/с

2f , Гц 2υ , м/с 2f , Гц 2υ , м/с 2f , Гц 2υ , м/с


Експери-

мент

1

серυ , м/с серυ , м/с серυ , м/с l = … м, d = … м

F, Н 1f , Гц 1υ , м/с 1f , Гц 1υ , м/с 1f , Гц 1υ , м/с



Експери-

мент

2

серυ , м/с серυ , м/с серυ , м/с

Розра-

хунок

υ , м/с

υ , м/с

υ , м/с

8. Підставивши у формулу (17) отримані значення резонансних частот, обрахувати швидкість хвилі в струні для різних дослідів. Знайти середнє значення швидкості при даній довжині струни. Оцінити похибку вимірювань швидкості. При цьому можна використати результати першого досліду, що очевидно дає найбільшу похибку. Похибка у вимірюванні власних частот коливань струни дорівнює половині ціни поділки емулятора генератора (різниця двох значень поля 5, рис. 3, що слідують один за одним).

9. Змінити довжину струни, перемістивши стійку. У результаті цього змінюється швидкість поширення поперечних хвиль і набір власних частот. Провести вимірювання та обрахунки згідно пп. 5-9 при інших довжинах.

10. Встановивши задану викладачем довжину струни, провести вимірювання для різного її натягу (визначається різною масою важків на платформі) аналогічно до пп. 5-9. Отримані дані записати до табл. 1 (Експеримент 2).

11. За формулою (18) розрахувати теоретичні значення швидкості хвилі в струні при різних довжинах. (Розрахунки проводити в системі СІ; густина міді ρ = 8,9⋅103 кг/м3). Оцінити похибку таких розрахунків.

12. У висновку порівняти виміряні й обраховані значення швидкості.

Контрольні питання

1. Що таке стояча хвиля? 2. Запишіть формулу стоячої хвилі. 3. Що називається вузлом (пучністю) стоячої хвилі? 4. Які коливання називаються власними? 5. Яка частота називається частотою основного тону? обертону?

pclab

.ho.ua


6. Від чого залежить частота коливання струни? 7. Вкажіть відмінності поздовжніх хвиль від поперечних. 8. Які хвилі є розв’язком хвильового рівняння для струни, закріпленої на

кінцях? 9. На яких частотах можливі коливання струни? 10. Чому струни різних музичних інструментів, настроєних на ту саму ноту

звучать по різному? 11. Для чого в експериментальній установці використовується магніт? 12. Як пов’язана довжина хвилі з довжиною струни?

Література

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 2. Электричество и магнетизм. Волны.

Оптика: Учебное пособие. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 496 с.

2. Загальна фізика: Лабораторний практикум: Навчальний посібник / В.М. Барановський, В.П. Бережний, І.Т. Горбачук та ін.; За заг. ред. І.Т. Горбачука. — К.: Вища школа, 1992. — 509 с.

pclab

.ho.ua

blacni koluvannya

Documents