bİldİrİ Özetlerİ kİtabi -...

BİLDİRİ ÖZETLERİ KİTABI

i

13. ANKARA MATEMATİK GÜNLERİ – AMG 2017

27-28 NİSAN 2018 – TOBB ETÜ – ANKARA

Planlama Kurulu: Osman Tuncay Başkaya (Atılım Üniversitesi)

Mustafa Çalışkan (Gazi Üniversitesi)

Oktay Duman (TOBB ETÜ)

Tanıl Ergenç (Atılım Üniversitesi)

Rıza Ertürk (Hacettepe Üniversitesi)

Fahd Jarad (Çankaya Üniversitesi)

Halil İbrahim Karakaş (Başkent Üniversitesi)

Yıldıray Ozan (ODTÜ)

Nuri Özalp (Ankara Üniversitesi)

Davetli Konuşmacılar: Tahir Hanalioğlu (Khaniyev) (TOBB ETÜ) Serkan Ali Düzce (Anadolu Üniversitesi)

Başak Karpuz (Dokuz Eylül Üniversitesi)

Ali K. Uncu (Johannes Kepler University)

Yerel Düzenleme Kurulu: Oktay Duman – Bşk. (TOBB ETÜ)

Ömer Akın (TOBB ETÜ)

Mustafa Bayraktar (TOBB ETÜ)

Emrah Kılıç (TOBB ETÜ)

Hüseyin Merdan (TOBB ETÜ)

Zülfükar Saygı (TOBB ETÜ)

Çetin Ürtiş (TOBB ETÜ)

Meltem Gölgeli (TOBB ETÜ)

Hatice Bulut (TOBB ETÜ)

Ernist Tilenbaev (TOBB ETÜ)

Selami Bayeğ (TOBB ETÜ)

Can Türkün (TOBB ETÜ)

Gamzegül Aydın (TOBB ETÜ)

Türkan Yeliz Gökçer (TOBB ETÜ)

Anıl Özdemir (TOBB ETÜ)

Maksude Keleş (TOBB ETÜ)

Burcu Ecem Yılmaz (TOBB ETÜ)

Sevde Kara (TOBB ETÜ)

Pınar Baydemir (TOBB ETÜ)

Didem Ersanlı (TOBB ETÜ)

Eda Bircan (TOBB ETÜ)

Bilim Kurulu: Elgiz Bayram (Ankara Üniversitesi) Elif Demirci (Ankara Üniversitesi)

Ümit Aksoy (Atılım Üniversitesi)

Rejeh Eid (Atılım Üniversitesi)

Kenan Taş (Çankaya Üniversitesi)

Ekin Uğurlu (Çankaya Üniversitesi)

Esra Erkuş-Duman (Gazi Üniversitesi)

Aysel Turgut Vanlı (Gazi Üniversitesi)

Emin Özçağ (Hacettepe Üniversitesi)

Derya Keskin Tütüncü (Hacettepe Üniversitesi)

Mahmut Kuzucuoğlu (ODTÜ)

Münevver Tezer (ODTÜ)

Emrah Kılıç (TOBB ETÜ)

Hüseyin Merdan (TOBB ETÜ)

Destekleyen Kuruluşlar:

iii

AMG 2018 SUNUMLARI

Davetli Konuşmalar:

Konuşmacı Adı ve Soyadı:

Konuşma Başlığı: Sayfa No:

Tahir Hanalioğlu (Khaniyev)

Zeki Çocuklar ve Matematik (Kolmogorov ve Gauss Örnekleri) 1

Serkan Ali Düzce İtere Tutuklu İkilemi Stratejilerine Bir Bakış 2

Başak Karpuz İkinci Mertebe Doğrusal Diferensiyel Denklemlerin Salınımı 3

Ali K. Uncu q-Yükselen Faktöryellerin ve Bazı Alakalı Serilerin Yükseklikleri 4

Bildiri Sunumları (Konuşmacı Adına Göre Sıralı):



Abdullah Aydın Kafes-Normlu Yerel Solid Riesz Uzaylarında Sınırsız pτ-Yakınsama

5

Ali Mohammadi Latis Tabanlı İmzalama Algoritmalarının Parametre ve Performans Karşılaştırması

6

Ali Uğur Sazaklıoğlu Yarı Lineer Bir Diferensiyel Denklem İçin Ters Problemin Çözümünün Varlığı ve Tekliği

7

Arzum Gülay Erdoğdu k-Jacobsthal Lucas Dizisinin Binom Dönüşümlerinin Özellikleri 8

Aynura Poladova Bağımlı Bileşkeli (s, S) Tipli Yarı-Markov Modelin Ergodik Dağılımı Üzerine

9

Bağdagül Kartal Toplanabilmenin Pozitif Normal Matris Üzerine Uygulamaları 10

Betül Gezer Bilineer Diziler ve Eliptik Eğriler 11

Burcu Ecem Yılmaz Kuantum Sonrası Kod ve Kafes Tabanlı Bazı Algoritmaların Performans Analizleri

12

Burcu Sünbül Ayhan Hemen Hemen Kontra e*θ-sürekli Fonksiyonlar Üzerine 13

Büşra Özden Süpersingüler İzogeni Anahtar Kapsülleme Protokolünün İncelenmesi

14

Ceren Ustaoğlu Genişletilmiş Tamamlanmamış Mittag-Leffler Fonksiyonları 15

Damla Acar Latis Tabanlı Şifreleme Algoritmalarının İncelenmesi 16

Direncan Uçak Bernstein Tipi Polinomlar için Doğurucu Fonksiyonlar 17

iv



Düriye Korkmaz Düzgün

d-Ortogonal Polinomlar için Doğurucu Fonksiyonlar 18

Elif Kızıldere ((b+1)m2+1)x+(bm2-1)y=(cm)z Üstel Diophant Denklemi 19

Emine Cengizhan Stokastik Isı Denklemi ve Itô İntegralleri 20

Emrah Karaman Küme Optimizasyonunda Yeni Sıralama Bağıntısı 21

Ernist Tilenbaev Genelleştirilmiş Cyclotomic Polinomlar ve Dickson Polinomlarının Çarpanları

22

Esma Yıldız Özkan q-Balazs-Szabados-Stancu Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri 23

Esra Erdaloğlu Lupaş Operatörlerinin Brenke Tip Polinom İçeren Genellemesi 24

Esra Karaoğlu Gecikmeli Bir Yapay Sinir Ağı Modelinin Hopf Çatallanma Analizi 25

Esra Korkmaz Ditopolojik Doku Uzaylarının Nokta-Bağımsız bir Genelleştirmesi 26

Fatma Nihal Özkaya NTRU Tabanlı Kriptosistemlerin Gelişimi 27

Ferit Gürbüz Çarpım Genelleştirilmiş Lokal Morrey Uzayları Üzerine 28

Fikriye Nuray Yılmaz Navier Stokes Denkleminin Optimal Kontrol Problemi 29

Filiz Yıldız İkili-Topolojik ve Di-Topolojik Ters Sistemlerin Kategorik İlişkileri 30

Gamze Savaş Çelik Ardışık Küp Dizilerini İçeren Eliptik Eğriler 31

Gizem Ergelen Durrmeyer Tipli Bernstein-Stancu Operatörleri İçin Bir Voronovskaja Tip Teorem

32

Gökçe Eminoğlu Altkompakt Uzaylar ve P-Tam Topolojik Uzaylar 33

Gül Uğur Kaymanlı Cebirsel ve Holomorfik Eğriler İçin Teklik Sonuçları 34

Gülnur Haçat Bir Bulanık H-uzayının Çekmesi Üzerine 35

Gümrah Uysal n-Boyutlu Singüler İntegrallerin Bazı Yaklaşım Özellikleri 36

Halis Can Koyuncuoğlu Volterra Fark Sistemlerinin Neredeyse Periyodik Çözümleri Üzerine

37

v



Handan Köse Sıfırda Değişmeli Nilpotentlerin Merkezi Olma Özellikleri 38

Hanife Varlı Kararlı Homoloji İçin Mayer-Vietoris Dizisi 39

Hatice Bulut Hisse Senedi Fiyatlandırması İçin Yeni Bir Matematiksel Model 40

Hatice Ünlü Eroğlu Alt Yüzey Torelli Grupları Üzerinde Genelleştirilmiş Chillingworth Sınıfı

41

İlknur Özgüç Mobil Aralıklarda q-Bernstein Operatörlerinin Yaklaşım Hızının Tahmini

42

İrem Mesude Geyikçi İdeal Operatörlerin Tersi 43

İsa Doğan Bir Sonlu Projektif Klingenberg Düzlemin Üzerinde Olma Matrisi 44

İsmail Aslan Lineer Olmayan İntegral Operatörleriyle Yaklaşımda Bell-Tipinde Toplanabilme Metodu

45

Medine Demir Doğal Konveksiyon Problemleri İçin İkinci Mertebeden Zaman Adımlaması Yöntemleri Ailesinin Sayısal Analizi

46

Mehmet Gümüş Lineer Olmayan Bir Fark Denklemin Global Davranışı Üzerine 47

Meryem Sevgi Cömert Fuzzy Soft İdeal Topolojik Uzaylarda Küme Ayrışımları 48

Mustafa Karataş Balasz Operatörlerinin Bleimann, Butzer ve Hahn Tip Genelleştirmesi

49

Müzeyyen Sangurlu Sezen

b-Metrik Uzaylarda (F,φ,α)s-Büzülmeler İçin Sabit Nokta Teoremleri

50

Nejla Özmen Meixner Polinomunun Bilineer ve Bilateral Doğurucu Fonksiyonu

51

Nurbige Turan Fitting İdeallerin Tersinirliği Üzerine 52

Nurhayat İspir İki Değişkenli Chlodowsky-Szasz-Sheffer Operatörleri ile Yaklaşım Derecesi

53

Nurten Yücel Topolojik Gyrogruplar 54

Ömer Faruk Doğan Birim Yuvarda Harmonik Bergman-Besov ve Ağırlıklı Bloch Uzaylar Arasındaki Kapsama İlişkileri

55

Orhan Özdemir İkinci Mertebeden Yarı-Lineer Neutral Diferansiyel Denklemler İçin Salınım Sonuçları

56

Osman Altıntaş Simetrik Noktalara Göre Yıldızıl ve Konveks Fonksiyonların Katsayıları Üzerine

57

vi



Özkan Öcalan Fibonacci-Tipli Diziler Yardımıyla xn+1=xn-1

p/xnp (p>0) Fark Denkleminin Çözümleri

58

Pınar Baydemir Bir Av-Avcı Popülasyon Modelinin Çatallanma Analizi 59

Ramazan Ekmekçi Dereceli Ditopolojik Doku Uzaylarında Ön Açıklık ve Ön Kapalılık 60

Sabahattin Ilbıra Yönlendirilemeyen Yüzeylerin Eğri Komplekslerindeki Sonlu Katı Kümeler

61

Saban Yılmaz 1. Mertebeden Cesàro ile Genelleştirilmiş Nörlund Toplanabilirliğin Cauchy Çarpımı

62

Samet Sarıoğlan Genelleştirilmiş Spline Modüllerinin Taban ve Serbestlikleri Üzerine

63

Senol Kartal Tümör Matematiksel Modelinde Flip Çatallanma Analizi 64

Sevde Kara Kod Tabanlı Kuantum Sonrası Algoritmaların Parametrelerinin Karşılaştırılması

65

Seyma Kayan Gecikmeli Reaksiyon-Difüzyon Tümör-Bağışıklık Sistemi Etkileşimi Modelinin Hopf Çatallanma Analizi

66

Sezen Bostan Homojen Monomial Gruplar 67

Sibel Kurt Kuantum Sonrası Latis Tabanlı Anahtar Kapsülleme Algoritmalarının İncelenmesi

68

Sinem Onaran Aşırı Dönen Kontakt Ameliyatlar 69

Şükran Uygun Genelleştirilmiş (s,t)-Jacobsthal Matris Dizilerinin Binom Dönüşümleri

70

Şule Yüksel Güngör Chlodowsky-Szász-Sheffer-Kantorovich Operatörleri ile Yaklaşım 71

Tuğba Akman Yıldız Derece İndirgeme Yöntemi İçin Hata Tahminleri 72

Tuğçe Küçükoğlu Nilpotent Olmayan Her Altgrubu Altnormal Olan Gruplar 73

Türkan Yeliz Gökçer Maksimum-Minimum Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri 74

Tülin Altunöz Hipereliptik Lefschetz Liflemelerinin Tekil Lif Sayıları 75

Ülviye Büşra Güven Homojen Simetrik Grupların Seviye Korumayan Otomorfizmaları 76

Yakup Avcı Gottlieb Polinomlarının q-Analoğu 77

vii



Yıldırım Akbal İki Eliptik Eğrinin Mod p İlk Değişmez Faktörlerinin Aralarında Asallığı Üzerine

78

Yousef A. M. Dabboorasad

Yerel Katı Vektör Örgüsünde uτ-Yakınsaklık 79

Zehra Özdemir Manyetik Null Noktalar 80

Zeynep Çakır Carleson Eğrileri Üzerinde Tanımlı Modifiye Morrey Uzaylarında Potansiyel Operatörler

81

Poster Sunumları (Konuşmacı Adına Göre Sıralı):


Poster Başlığı: Sayfa No:

Ayşe Nur Köksal Sonlu Grupların Eleman Mertebelerinin Toplamı

82

Beşire Keskin Hill Denkleminin Floquet Cözümleri Üzerine 83

Emre Taş Modüler Uzaylarda Kuvvet Serisi Metodu Yardımıyla Korovkin Tipli Teoremler

84

Mücahit Özkaya Leibniz Cebirlerinin Yapı Sabitleri 85

Nesibe Manav Lupaş-Jain Tabanlı Öz-Operatörlerle Yaklaşım 86

Pınar Şaşmaz Örtüsel Esnek Kümeler Üzerine 87

Seda Arar Üniversite Öğrencilerinin Fonksiyon İle İlgili İşlemsel ve Kavramsal Bilgi Düzeylerinin İncelenmesi

88

Tuğba Yurdakadim Düzgün İstatistiksel Yakınsaklık için Alt Diziler Yardımıyla Sonuçlar

89

Tuğçe Alyıldız Küme Değerli Dönüşümler İçin Sabit Nokta Sonuçları 90

13. Ankara Matematik Günleri - AMG 2018, 27-28 Nisan 2018, TOBB ETÜ - Ankara

Zeki Çocuklar ve Matematik(Kolmogorov ve Gauss Örnekleri)

Tahir Hanalio§lu (Khaniyev)

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Endüstri Mühendisli§i Bölümü,Ankara Türkiye

e-posta: [email protected]

Bu sunumun amac, zeki ve üstün yetenekli çocuklarn bir toplum için ne denliönemli oldu§unu iki örnek üzerinden göstermektir. Bazen tek bir zeki çocu§un,uygun ³artlar altnda e§itildi§inde onlarca, belki de yüzlerce normal insannüreteceklerinden daha fazla de§er üretebildi§i yukardaki iki örnek üzerinden tar-t³lacaktr.

Bu örneklerden birincisi, 20. yüzyln en büyük matematikçisi olarak kabuledilen Rus asll A.N. Kolmogorov'dur. Bu sunumda A. N. Kolmogorov'un dikkatçekici hayat ve matemati§e olan muazzam katklar vurgulanacaktr. Kolmogorov1920'li yllardan ba³layarak 1980'li yllara kadar matemati§in çe³itli dallarndaönemli çal³malar yapm³, matemati§in hemen hemen her dalnda silinmez izlerbrakm³tr. Bu izlerden en önemlisi 2. Dünya sava³ srasnda Sovyetler Birli§i'ninsavunma sistemine kazandrd§ katklardr. Kolmogorov'un en önemli özelli§i,zamann, mekann ve reel ihtiyacn ruhuna uygun olarak matematiksel problemisaptamak ve onu dahiyane bir ³ekilde çözmektir.

Bu sunumda ikinci örnek olarak, 19. yüzyln dünyaca ünlü matematikçisi,Alman asll Carl Gauss'un hayat ve yaratcl§ tart³lacaktr. Fakir bir Almanailenin çocu§u olan Gauss'un bir tesadüf sonucunda Brunswick Dükü ile tan³masonun hayatn kökten de§i³tirmi³tir. Dük'ün maddi ve manevi destekleri sayesindeGauss dünyann gelmi³ geçmi³ en büyük matematikçilerinden biri olmu³tur. Bren-del bu matematik devi hakknda ³öyle yazm³tr: Carl Gauss, saylarn ve tabiatnen derin srlarna nüfuz etti. Yldzlarn hareketini, yeryüzünün ³eklini ve kuvvet-lerini ölçtü. Gelecek yüzyl matematik bilimlerinin inki³afnn temelini att.

Sunumun sonunda bu iki örnekten yola çkarak, toplumumuzdaki zeki ve yete-nekli çocuklarn bulunup ortaya çkarlmasnn, desteklenmesinin ve düzgün yön-lendirilmesinin toplumumuz için ne kadar önemli oldu§u vurgulanacaktr.

1

oduman

Davetli Konuşma䩕


tere Tutuklu kilemi Stratejilerine Bir Bak³

Serkan Ali Düzce

Anadolu Üniversitesi, Matematik Bölümü, Eski³ehir, Türkiyee-posta: [email protected]

John vonNeumann ve Oskar Morgenstern'nin Oyun Teorisi ve Ekonomik Dav-ran³ [1] kitabn yaymlanmas ile bir bilim dal olarak ad konan Oyun Teorisinin, matematikten biyolojiye, sosyolojiden psikolojiye, ekonomiden siyasete ina-nlmaz çe³itlilikteki bir yelpazede pek çok bilim dalnn geli³imi üzerindeki etkisioldu.

Oyun teorisinin en önemli problemlerinden biri olan tutuklu ikilemi 1950'lerdeMerrill Flood ve Melvin Dresher tarafndan tasarland ve çe³itli disiplinlerde yay-gn ve artan ilgi görmü³tür. Bugün hem toplumda, hem de evrim biyolojisindemeydana gelen rekabetler ve i³ birlikleri ikilemler do§urur. Bu ikilemler özel ç-karlarn, ortakla³a çkarlarla çat³masyla ortaya çkar. Bugün ikilemlerin, i³ bir-li§inin, rekabetin analizinde matematikçiler oyun teorisini temel araç olarak kul-lanmaktadr. Tek seferlik bir etkile³imde (oyunda) oyuncular her zaman rakibininstratejisini gözard ederek bencil stratejiler seçer. Böylece i³ birlikçi ikilem do§ar.Bu i³ birli§inin çökü³ü trajedinin basit bir modeli olarak görülebilir. Trajedidenkaçmak için tek bir geçerli yakla³m, uzun vadeli ili³kiler kurmak, di§er bir deyi³le,oyunu tekrar oynamaktr. Tekrarlanan etkile³imde gelecekteki ödül ve tehdit va-atleri bugünkü iyi davran³ belirleyebilir. Bu yüzden tekrarlanan bir etkile³imde(oyunda) bir oyuncu sosyal normlara ve itibara sahip oyunculardan geri gelecekbildirimleri hesaba katmas gerekir. Bu anlamda, yinelenen tutuklu ikilemi 80'ler-den bu yana i³ birli§inin geli³imi adna artan bir ilgi ile incelenmektedir.

Press ve Dyson [2], itere tutuklu ikileminde uzun vadeli getiriler için tek hafzastratejileri açsndan basit bir formül üretti. Formülleri do§al olarak, iki oyuncu-nun skorlar arasnda do§rusal bir ili³kiyi sa§layan sfr belirleyici (ZD) stratejileriolarak adlandrlan özel bir strateji snf önerir. Bu tür stratejilerin varl§, geni³kapsaml sonuçlara sahiptir. Örne§in, bir oyuncu X, ZD stratejilerinin farkndaysa,o zaman Y'nin nasl oynand§na baklmakszn rakibinin Y uzun vadeli getirisinibelirleyen bir strateji seçebilir.

Kaynaklar:

[1] J. Von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games ans Economic Be-havior, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1944.

[2] W. Press and F. Dyson, Iterated Prisoner's Dilemma contains strategiesthat dominate any evolutionary opponent, PNAS, 109 (2012), no. 26, 1040910413.

2

oduman

Davetli Konuşma䩕


kinci-Mertebe Do§rusal DiferensiyelDenklemlerin Salnm

Ba³ak Karpuz

Dokuz Eylül Üniversitesi, Matematik Bölümü, zmir, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu konu³mada, diferensiyel denklemlerin genel teorisinden bahsedilerek kuali-tatif teorinin (salnm ve kararllk teorilerinin) önemi belirtildikten sonra p negatifde§erli olmayan bir sürekli fonksiyon olmak üzere

y′′(t) + p(t)y(t) = 0, t ∈ [t0,∞)

biçiminde verilen ikinci-mertebe diferensiyel denklemin salnm kuramn geli³tirenmakalelerden bahsedilecektir.

Kaynaklar:

[1] W. B. Fite, Concerning the zeros of the solutions of certain dierentialequations, Trans. Amer. Math. Soc. 19 (1918), no. 4, 341352.

[2] E. Hille, Non-oscillation theorems, Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 234252.

[3] A. Kneser, Untersuchungen über die reellen nullstellen der integrale linearerdierentialgleichungen, Math. Ann. 42 (1893), no. 3, 409435.

[4] Z. Opial, Sur les intégrales oscillantes de l'équation diérentielle u′′+f(t)u =0, Ann. Polon. Math. 4 (1958), 308313.

[5] J. C. F. Sturm, Mémoire sur les équations diérentielles linéaires de secondordre, J. Math. Pures Appl. 1 (1836), 106186.

[6] D. W. Willett On the oscillatory behavior of the solutions of second orderlinear dierential equations, Ann. Polon. Math. 21 (1969), 175194.

[7] A. Wintner, On the non-existence of conjugate points, Amer. J. Math. 73(1951), 368380.

[8] J. R. Yan, Oscillatory properties of second-order dierential equations withan integralwise small coecient, Acta Math. Sinica 30 (1987), no. 2, 206215.

3

oduman

Davetli Konuşma䩕


q-Yükselen Faktöryellerin ve Baz AlakalSerilerin Yükseklikleri

Ali K. Uncu

Research Institute for Symbolic Computing, Johannes Kepler University, Austriae-posta: [email protected]

Bir serinin veya polinomun maksimum mutlak katsaysn bu polinomun yük-sekli§i olarak tanmlayalim. Bu konu³mada (q; q)n := (1 − q)(1 − q2)...(1 − qn),q-yükselen faktöryellerinin yüksekliklerine göre nasl snandrlabilece§ini gös-terece§iz. Bunun bir örne§i olarak, yüksekli§i 1 olan q-faktöryellerin sadece n =0, 1, 2, 3 ve 5 oldu§unu ispatlayaca§z. Bu çal³ma Sudler'in 1964'te yapt§ göz-lemleri geni³letmektedir. Bunun yan sra, yine 1960'larda, Eden'in cal³malarndageçen bir seri ailesini de benzer bir ³ekilde yüksekliklerine göre snandraca§z.

spatlarmzda sadece temel metotlar kullanlacaktr. Bir örnek olarak; sadecebasit gözlemler yaparak (1− q2)(1− q3)(1− q4) . . . ve (1− q3)(1− q4)(1− q5) . . .sonsuz çarpmlarnn kuvvet serisi katsaylarnn açk formüllerini verece§iz.

(*) Bu çal³ma, Alexander Berkovich ile ortak yaplm³tr.

4

oduman

Davetli Konuşma䩕


Kafes-Normlu Yerel Solid Riesz UzaylarndaSnrsz pτ -Yaknsama

Abdullah Aydn

Mu³ Alparaslan Üniversitesi, Matematik Bölümü, Mu³, Türkiyee-posta: [email protected]

Kabul edilm ki (X, p,Eτ ) bir kafesnormlu yerel solid Riesz uzay ve (xα) dabu uzayda bir a§ olsun. E§er p(|xα − x| ∧ u) τ−→ 0 ³art her pozitif u ∈ X+

için sa§lanrsa, (xα) a§ x vektörüne snrsz pτ -yaknsaktr denir. Bu yaknsamaxα

upτ−−→ x ile gösterilir. Bu yaknsaklk [2], [3] ve [4] çal³malarda op-yaknsama,[5] çal³masnda uo-yaknsama adyla, [6] ve [7] makalelerinde un-yaknsama ve[8] makalesinde ise uaw-yaknsama ismi ile çal³lm³tr. Bu konu³mada yerel solidRiesz uzayn kavramlarn ve özelliklerini vererek, pτ -yaknsama ile ilgile temelözellikler hakknda bilgi verece§iz.

Kaynaklar:

[1] A. Aydn, Unbounded pτ -convergence in lattice-normed locally solid Rieszspaces, arXiv: 1711.00734 [math.FA].

[2] A. Aydn, S. G. Gorokhova and H. Gül, Nonstandard hulls of lattice-normedordered vector lattices, Turkish Journal of Mathematics, 42 (2018), no. 1,155163.

[3] A. Aydn, E. Yu. Emelyanov, N. Erkur³un-Özcan and M.A.A. Marabeh,Compact-like operators in lattice-normed spaces, Indagationes Mathemati-cae, 29 (2018), no. 2, 633656.

[4] A. Aydn, E. Yu. Emel'yanov, N. Erkur³un-Özcan and M. A. A. Marabeh,Unbounded p-convergence in lattice-normed vector lattices.arXiv: 1609.05301v3 [math.FA].

[5] N. Gao, V. G. Troitsky and F. Xanthos, Uo-convergence and its applicationsto Cesáro means in Banach lattices, Israel Journal of Math. 220 (2017), no.2, 649689.

[6] Y. Deng, M. O'Brien and V. G. Troitsky, Unbounded norm convergence inBanach lattices, Positivity, 21 (2017), no. 3, 963974.

[7] M. Kandi¢, M. A. A. Marabeh and V. G. Troitsky, Unbounded norm topo-logy in Banach lattices, J. Math. Anal. Appl. 451 (2017), no. 1, 259-279.

[8] O. Zabeti, Unbounded absolute weak convergence in Banach lattices, Posi-tivity, Doi: 10.1007/s11117-017-0524-7, (2017).

5


Latis Tabanl mzalama AlgoritmalarnnParametre ve Performans Kar³la³trmas

Ali Mohammadi

Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada baz kriptograk imzalama algoritmalar çal³lm³tr. Kriptog-rak imzamala algoritmalar için öncelikle hesaplamal yöntemler ile çözülmesi zorbir matematiksel problem gereklidir. Bu problemler için ilk önerilenler ve pratiktehala kullanlanlardan iki tanesi çarpanlarna ayrma problemi [1] ve ayrk loga-ritma problemidir [2,3]. Pratik kullanm alan için TLS 1.3 standardna baklabilir[4]. Ancak Shor algoritmasnn kuantum bilgisayarlarda kullanlabilir duruma gel-mesi durumunda bu pratikte oldukca kullanm alan olan problemler krlacaktr[5]. Son yllarda kuantum bilgisayarlarn bir hayal de§il gerçekte de üretilebi-lece§ine inanlm³ olmas nedeniyle yeni kriptograk imzalama algoritmalarnnolu³turulmas gerekmektedir. Yeni algoritmalarn kuantum bilgisayarlar dayanklolmas bir önceliktir. Bu kriptograk çal³malar post-kuantum kriptogra (PQC)denilmektedir. Post-kuantum imzalama PQC'nin bir alt alandr. Kuantum bilgi-sayarlara dayankl oldu§u bilinen birçok matematiksel problem vardr. Bu çal³-mada latis uzaylarndaki en ksa vektörü bulma problemi üzerine durulmu³tur. Buproblem üzerine in³a edilen imzalama algoritmalarna latis tabanl imzalama al-goritmalar denilmektedir. Post kuantum algoritmalarnn de§erlendirilmesi ve ge-lecek nesillerde kullanlabilecek olanlarn belirlenmesi amacyla NIST 2017 ylndaalgoritma istek ça§rsna çkm³tr [6]. 30/11/2017 tarihinde sona eren ça§rya latistabanl imzalama algoritmalar da Dünya'nn çe³itli ülkelerindeki ara³trmaclartarafndan sunulmu³tur. Bu çal³mada NIST ça§rsna gönderilen latis tabanlimzalama algoritmalarnn parametreleri ve performanslar kar³la³trlm³tr. Bualgoritmalar NIST sayfasndan [6] da görülece§i üzere CRYSTALS-DILITHIUM,DRS, FALCON, pqNTRUSign, qTESLA'dr.

(*) Bu çal³ma O§uz Yayla ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] RSAwindow.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVA[2] DSAwindow.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVA[3] window.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVAECDSA[4] window.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVATLS 1.3[5] window.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVAShor alg[6] window.NREUMNREUMloadercong=xpidVQcAVFJbARABVVFaBgIDVANIST

6


Yar Lineer Bir Diferensiyel Denklem çin TersProblemin Çözümünün Varl§ ve Tekli§i

Allaberen Ashyralyev (a), Abdullah Said Erdo§an (b) ve Ali U§ur Sazaklo§lu (c)

(a)Yakn Do§u Üniversitesi, Matematik Bölümü, Lefko³a, KKTC, Mersin, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Satbayev Üniversitesi, Sigma Laboratuvarlar, Almat, Kazakistane-posta: [email protected]

(c)Türk Hava Kurumu Üniversitesi, Uzay Mühendisli§i Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada E Banach uzaynda yarlineer bir diferensiyel denklem içindudt

+Au (t) = f (t, u(t)) + p, t ∈ (0, T ) ,

u (0) = ϕ, u (T ) = ψ

soyut ters probleminin çözümünün varl§ ve tekli§i incelenmi³tir. Burada, u (t) ve pbilinmeyen fonksiyonlar olup A operatörü E uzaynda çal³an∥∥∥e−tA∥∥∥

E→E≤Me−δt, t

∥∥∥Ae−tA∥∥∥E→E

≤M, t ≥ 0

kestirimlerini sa§layan lineer bir operatördür. Bu problemin saysal çözümü için birincimertebeden kararl bir fark ³emas kurulmu³tur. Sonrasnda, bu soyut problemin uygu-lamas olarak yarlineer parabolik bir denklem için

∂u(t,x)∂t

− a (x) ∂2u(t,x)

∂x2+ σu (t, x) = p (x)

+f (t, x, u (t, x)) , x ∈ (0, 1) , t ∈ (0, T ) ,

u(0, x) = ϕ (x) , u(T, x) = ψ (x) , x ∈ [0, 1],

u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t ∈ [0, T ]

ters problemi ele alnm³tr. Burada, u (t, x) ve p (x) bilinmeyen fonksiyonlar, ϕ (x) ,ψ (x), a (x) ≥ a > 0 verilen yeterince düzgün fonksiyonlar ve σ ≥ 0. Ayrca bu probleminsaysal çözümü için birinci mertebeden kararl bir fark ³emas kurulmu³ ve sonuçlarnelde edilmesi için bir algoritma önerilmi³tir. Son olarak, kurulan fark ³emas ve önerilenalgoritma bir test örne§i üzerinde uygulanm³tr.

Kaynaklar:

[1] A. Ashyralyev and P. E Sobolevskii, Well-Posedness of Parabolic Dierence Equ-ations, Birkhäuser, Basel, 1994.

7


k-Jacobsthal Lucas Dizisinin BinomDönü³ümlerinin Özellikleri

ükran Uygun (a) ve Arzum Erdo§du (b)

(a) Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gaziantep, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gaziantep, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada öncelikle k-Jacobsthal Lucas say dizileri ck,i∞n=0 tanmlanacaktr.Bu dizilerin binom dönü³ümleri

bk,n =

n∑i=0

(n

i

)ck,i.

³eklinde tanmlanarak olu³turulan bu yeni dizinin yineleme ba§ntlar, üreteç fonksi-yonlar, Binet formülü, Pascal Jacobsthal Lucas üçgenleri verilmi³tir. Jacobsthal Lucasbinom dönü³ümlerinin çe³itli genellemeleri yaplarak k-binom, artan, azalan binom dö-nü³ümleri elde edilmi³tir. Bu dönü³ümlerin de yineleme ba§ntlar, üreteç fonksiyonlar,Binet formülü, Pascal Jacobsthal Lucas üçgenleri incelenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] A. F. Horadam, Jacobsthal Representation Numbers, The Fibonacci Quarterly,34 (1996), no. 1, 4054.

[2] S. Uygun and H. Eldo§an, The k-Jacobsthal and k-Jacobsthal Lucas sequences,General Mathematics Notes, 36 (2016), no. 1, 3447.

[3] S. Falcon and A. Plaza, Binomial Transforms of the k-FibonacciSequence, Interna-tional Journal of Nonlinear Sciences & Numerical Simulation 10 (2009), no. 11-12,15271538.

[4] P. Bhadouria, D. Jhala and B. Singh, Binomial Transforms of the k-Lucas Sequ-ence, J. Math. Computer Sci. (2014), 8192.

[5] S. Uygun and A. Erdo§du, Binominal transforms of k-Jacobsthal sequences, Jo-urnal of Mathematical and Computational Science, 7 (2017), no. 6, 11001114.

8


Ba§ml Bile³keli (s, S) Tipli Yar-Markov ModelinErgodik Da§lm Üzerine

Aynura Poladova, Salih Tekin ve Tahir Khaniyev

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Endüstri Mühendisli§i Bölümü,Ankara, Türkiye

e-posta: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Bu çal³mada ba§ml bile³keli (s, S) tipli yar-Markov modeli ifade eden bir stokastiksüreç (X(t)) ele alnp incelenmi³tir. Çal³mada bir depodaki stok miktarnn ba³langçseviyesi S ve kontrol seviyesi s = 0 olarak kabul edilmi³tir. Stok miktarnn rasgele za-man anlarnda

(∑ni=1 ξi

), rasgele miktarda (ηn) azald§ varsaylm³tr. Depodaki stok

miktar kontrol seviyesinin (s = 0) altna indi§inde stok seviyesi derhal S seviyesinekadar yenilenir. Bu çal³mada ele alnan stokastik model, talep miktarlarnn (ηn) talep-ler arasnda geçen süreye (ξn) ba§l oldu§u varsaym altnda incelenmi³tir. Bu varsaymçal³may literatürde mevcut olan di§er çal³malardan farkl klan ba³lca sebeptir. Bumodeli matematiksel olarak ifade edebilmek için ba§ml bile³enli bir stokastik süreç(X(t)) tanmlanm³tr. Öncelikle, X(t) sürecinin ergodikli§i ispatlanm³ ve X(t) süreci-nin ergodik da§lmnn kesin ³ekli bulunmu³tur. Ayrca, çal³mamzda talep miktar üstelda§lma sahip oldu§u durumda sürecin ergodik da§lmnn açk ³ekli de elde edilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] M. Brown and H. A Solomon, Second-order approximation for the variance of arenewal-reward process, Stochastic Processes and Their Applications. 3 (1975),301314.

[2] I. Gihman and A. Skorohod, Theory of Stochastic Processes II, Springer, Berlin,1975.

[3] T. A. Khaniev, The explicit form of the ergodic distribution of the semi-Markovianrandom walks with dependent components, Probabilistic Methods for the Investi-gation of Systems with an Innitive Number of Degrees of Freedom. (1986), Kiev:Institute of Mathematics Academy of Science, Ukraine, 119125, (In Russian).

9


Toplanabilmenin Pozitif Normal Matris ÜzerineUygulamalar

Hikmet Seyhan Özarslan (a) ve Ba§dagül Kartal (b)

(a) Erciyes Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kayseri, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Erciyes Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kayseri, Türkiyee-posta: [email protected]

∑an serisinin ksmi toplamlar dizisi (sn) olmak üzere, (pn) dizisi

Pn =n∑v=0

pv →∞, n→∞, (P−i = p−i = 0, i ≥ 1)

olacak ³ekilde pozitif saylarn bir dizisi ve σn = 1Pn

∑nv=0 pvsv olsun. k ≥ 1 olmak üzere,

e§er∞∑n=1

(Pnpn

)k−1

|σn − σn−1|k <∞

ise∑an serisi

∣∣N , pn∣∣k toplanabilirdir.Bu çal³mada,

∑anλn serisinin

∣∣N , pn∣∣k toplanabilmesi ile ilgili bilinen ikiteorem incelenmi³tir. Bu teoremler hemen hemen artan dizi kullanlarak, matris dö-nü³ümü yardmyla en genel ϕ − | A, β; δ |k mutlak matris toplanabilme metoduna ge-nelle³tirilmi³tir, burada (ϕn) pozitif reel saylarn bir dizisi, A = (anv) pozitif normalmatris, k ≥ 1, δ ≥ 0 ve −β(δk + k − 1) + k > 0 dr.

Kaynaklar:

[1] N. K. Bari and S. B. Ste c kin, Best approximations and dierential propertiesof two conjugate functions, Trudy Moskov. Mat. Ob s c. 5 (1956), 483522 (inRussian).

[2] H. Bor, On two summability methods, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 97(1985), 147149.

[3] G. H. Hardy, Divergent Series, Oxford University Press, Oxford, 1949.[4] S. M. Mazhar, A note on absolute summability factors, Bull. Inst. Math. Acad.

Sinica 25 (1997), 233242.[5] H. S. Özarslan and H.N. Ö§dük, Generalizations of two theorems on absolute

summability methods, Aust. J. Math. Anal. Appl. 1 (2004), Article 13, 7 pp.[6] H. S. Özarslan, A new application of almost increasing sequences, Miskolc Math.

Notes 14 (2013), 201208.[7] H. S. Özarslan, A new application of absolute matrix summability, C. R. Acad.

Bulgare Sci. 68 (2015), 967972.[8] H. S. Özarslan and B. Kartal, A generalization of a theorem of Bor, J. Inequal.

Appl. 179 (2017), 8 pp.[9] H. Seyhan, On the local property of ϕ−

∣∣N , pn; δ∣∣ksummability of factored Fourier

series, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 25 (1997), 311316.[10] W. T. Sulaiman, Inclusion theorems for absolute matrix summability methods of

an innite series. IV, Indian J. Pure Appl. Math. 34 (2003), no. 11, 15471557.

10


Bilineer Diziler ve Eliptik E§riler

Betül Gezer

Uluda§ Üniversitesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiyee-posta: [email protected]

τ1, τ2, ..., τbk/2c rasyonel sabitler olmak üzere (hn) dizisinin terimleri

hnhn−k =∑

i+j=k;1≤i≤j

τihn−jhn−k+j

indirgeme ba§ntsn gerçekliyor ise (hn) dizisine bir bilineer dizi denir. E, Q cismiüzerinde tanml bir eliptik e§ri olmak üzere P = (0, 0) ve Q = (x, y) noktalar E eliptike§risi üzerinde singüler olmayan noktalar olsun. Bu durumda k = 4 için elde edilenbilineer dizi ya bir eliptik bölünebilir dizidir veya n ∈ N için (xn, yn) = Q + nP olmaküzere

hn = (−1)n(n+1)/2xn−1x2n−2· · ·xn−1

1 xn0

dizisidir. Bilineer dizileri veren indirgeme ba§ntlar bölme i³lemi içerdiklerinden dizile-rin terimleri genellikle birer rasyonel saydr. Bununla birlikte tüm terimleri tamsaylarolan bilineer diziler literatürde oldukça önemli bir yere sahiptirler. Bu çal³mada E eliptike§risi üzerindeki Q+nP noktalarnn x-koordinatlar yardmyla ifade edilebilen bilineerdiziler ve bu dizilerin tamsaylk özellikleri ele alnacaktr.

Kaynaklar:

[1] G. Everest, A. van der Poorten, I. Shparlinski and T. Ward, Recurrence Sequences,Mathematical Surveys and Monographs 104, AMS, Providence, RI, 2003.

[2] S. Fomin and A. Zelevinsky, The Laurent phenomen, Adv. Appl. Math. 28 (2002),119144.

[3] D. Gale, The strange and suprising saga of the Somos sequences, Math. Intelli-gencer 13 (1991), no. 1, 4042.

[4] D. Gale, Somos sequence update, Math. Intelligencer 13 (1991), no. 4, 4950.

11


Kuantum Sonras Kod ve Kafes Tabanl BazAlgoritmalarn Performans Analizleri

Göksu Begüm Bingöl, Bahadr Çolak, Simla Burcu Harma, Sevde Kara,Burcu Ecem Yilmaz ve Mehmet Berk Yüksel

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: gbingol, bcolak, sharma, sevdekara, beyilmaz, [email protected]

Günümüzde kullanlan ³ifreleme ve anahtar de§i³imi algoritmalar, mevcut bilgisa-yarlarla polinom zamanda krlamamaktadr. Yeterince güçlü kuantum bilgisayarlar or-taya çkt§nda bu algoritmalarn bir ksm kuantum saldrlarna kar³ zayf hale gelecek-tir. Mevcut ³ifreleme ve anahtar de§i³imi algoritmalarnn krlmas, günümüz internetve dijital haberle³me platformlarnn güvenilirli§ini ve bütünlü§ünü tehlikeye atacaktr.

Kuantum sonras kriptogra (Post-quantum cryptography), kuantum ve klasik bil-gisayarlarla yaplan ataklara kar³ güvenli olan kriptograk sistemlerin geli³tirilmesiniamaçlamaktadr. Kuantum bilgisayarlar üzerine yaplan çal³malarn son yllarda artma-syla "National Institute of Standards and Technology (NIST)"nin düzenledi§i KuantumSonras Kriptogra Standartla³trma ça§rs [1] kapsamnda kafes tabanl (lattice-based),kod tabanl (code-based), özet fonksiyonlar tabanl (hash functions based), çok de§i³-kenli polinom tabanl (multivariate-polinomial equation based) algoritmalar standart-la³ma süreci için aday gösterilmi³ ve NIST'in sayfasnda ilan edilmi³tir.

Bu algoritmalarn günlük hayatmzdaki güvenlik uygulamalarnn içerisinde kullanl-malar planland§ için klasik bilgisayarlardaki çal³ma zamanlar da önem arzetmektedir.Bundan dolay bu çal³mada süreçte aday gösterilen kod ve kafes tabanl algoritmalardan[2] bazlarnn detaylar incelenmi³ ve güvenlik seviyelerine ba§l olarak farkl platform-lardaki performanslar kar³la³trlm³tr.

(*) Bu çal³ma Selami Pak, Çetin Ürti³ ve Zülfükar Sayg ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography[2] https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography/round-1-submissions

12


Hemen Hemen Kontra e∗θ-Sürekli FonksiyonlarÜzerine

Burcu Sünbül Ayhan (a) ve Murad Özkoç (b)

(a)Mu§la Stk Koçman Üniversitesi, Matematik Bölümü, Mu§la, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Mu§la Stk Koçman Üniversitesi, Matematik Bölümü, Mu§la, Türkiyee-posta: [email protected]

Süreklilik kavram gibi topolojide önemli bir yer te³kil eden kavramlardan biri dehemen hemen kontra süreklilik kavramdr. Süreklilik gibi hemen hemen kontra sürek-lilik kavramnn da zayf ve güçlü formlar, birçok bilim adam tarafndan tantlm³ vebirtakm temel özellikleri ara³trlm³tr.

lk olarak 2006 ylnda Baker [2], hemen hemen kontra süreklilik kavramn bir topo-lojik uzaydan herhangi bir topolojik uzaya tanml bir fonksiyon için regüler açk küme-lerin fonksiyon altndaki ters görüntülerinin kapal küme olmas ³eklinde tanmlam³ vebu süreklili§in birtakm temel sonuçlarn elde etmi³tir. Zaman içerisinde bu kavramnbirçok farkl formlar tantlm³ ve çal³lm³tr. Bunlardan bazlar 2006 ylnda Ekici [4]tarafndan tanmlanan hemen hemen kontra önsüreklilik; yine 2006 ylnda Baker [2] ta-rafndan tanmlanan hemen hemen kontra β-süreklilik; 2008 ylnda Ekici [5] tarafndantanmlanan hemen hemen kontra e∗-süreklilik ve 2017 ylnda Caldas vd. [3] tarafndantanmlanan hemen hemen kontra βθ-süreklilik kavramlardr.

Bu çal³mann amac 2015 ylnda Farhan ve Yang [6] tarafndan tantlan e∗θ-kapalkümeler yardmyla Ayhan ve Özkoç [1] tarafndan tanmlanan kontra e∗θ-süreklilikkavramndan daha zayf fakat Ekici [5] tarafndan tanmlanan hemen hemen kontrae∗-süreklilik kavramndan daha güçlü bir kavram olarak kar³mza çkan hemen hemenkontra e∗θ-sürekli fonksiyonlarn karakterizasyonlarn elde etmek ve literatürde yer alandi§er baz hemen hemen kontra sürekli fonksiyonlar arasndaki ili³kileri ortaya koymak-tr. Ayrca kontra e∗θ-sürekli fonksiyon kavramnn, ayrma aksiyomlar, kompaktlk veba§lantllk kavramlarnn baz genel formlaryla ilgili ili³kiler ortaya konmu³tur.

Kaynaklar:

[1] B. S. Ayhan and M. Özkoç, On contra e∗θ-continuous functions (Submitted).[2] C. W. Baker, On contra almost β-continuous functions in topological spaces, Kochi

J. Math., 1 (2006), 18.[3] M. Caldas, M. Ganster, S. Jafari, T. Noiri and V. Popa, Almost contra βθ-

continuity in topological spaces, J. Egyptian Math. Soc., 25 (2017), no. 2, 158163.[4] E. Ekici, Almost contra-precontinuous functions, Bull. Malaysian Math. Sci. Soc.,

27 (2006), 5365.[5] E. Ekici, New forms of contra-continuity, Carpathian J. Math. 24 (2008), no. 1,

3745.[6] A. M. Farhan and X. S. Yang, New types of strongly continuous functions in

topological spaces via δ-β-open sets, Eur. J. Pure Appl. Math., 8 (2015), no. 2,185200.

13


Süpersingüler zogeni Anahtar KapsüllemeProtokolünün ncelenmesi

Bü³ra Özden


Bu çal³mada süpersingüler izogeni anahtar kapsülleme (SIKE) protokolü çal³l-m³tr [1]. Bu protokol, 2011'de Jao ve De Feo tarafndan tantlan ve daha sonra çe-³itli yazarlar tarafndan geli³tirilmi³ süpersingüler izogeni Die-Hellman (SIDH) olarakadlandrlan bir anahtar de§i³imi yapsna dayanmaktadr. SIDH probleminin zorlu§ueliptik e§ri Die-Hellman (ECDH) anahtar de§i³iminin zorlu§u olan ayrk logoritmaproblemi de§ildir. SIDH probleminin zorlu§u iki eliptik e§ri arasnda büyük dereceliizogeni hesaplanmasna dayanr. SIDH'nn önemli özelliklerinden birisi ksa anahtar bo-yutu gerektirmesidir. Ayrca SIDH, kuantum bilgisayarlara kar³ kullanlabilirdir. Buyüzden NIST'in 30/11/2017 tarihinde sona eren post-kuantum algoritmalar ça§rsnaSIDH anahtar de§i³imi yapsna dayandrlan SIKE protokolü gönderilmi³tir. Bu çal³-mada SIKE protokolü incelenmi³ olup ECDH anahtar de§i³im protokolü ile performansve parametre fark sunulmu³tur.


Kaynaklar:

[1] D. Jao and R. Azarderakhsh, M. Campagna, C. Costello, A. Jalali, B. Koziel andB. LaMacchia et al. Supersingular isogeny key encapsulation, November 30, 2017.

14


Geni³letilmi³ Tamamlanmam³ Mittag-LeerFonksiyonlar

Ceren Ustao§lu (a) ve Mehmet Ali Özarslan (b)

(a)Do§u Akdeniz Üniversitesi, Fen ve Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,Gazima§usa KKTC, Mersin 10, Türkiye


(b)Do§u Akdeniz Üniversitesi, Fen ve Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,Gazima§usa KKTC, Mersin 10, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, geni³letilmi³ tamamlanmam³ Mittag-Leer fonksiyonlarn geni³letil-mi³ tamamlanmam³ beta fonksiyonlar yardm ile tanmlanm³ ve integral gösterimleri,türev formulleri ve rekürans ba§ntlar gibi baz özellikleri ara³trlm³tr. Bu fonksiyon-larn Mellin dönü³ümleri tamamlanmam³ beta fonksiyonlar cinsinden verilmi³tir. Yinebu fonksiyonlarn Riemann-Liouville kesirli türev ve kesirli integral altndaki görüntülerielde edilmi³tir. Son olarak, bu fonksiyonlarn baz özel fonksiyonlar cinsinden ifadelerielde edilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] G. Rahman, D. Baleanu, M. Al Qurashi, S. D. Purohit, S. Mubeen and M. Arshad,The extended Mittag-Leer function via fractional calculus, J. Nonlinear Sci.Appl. 10 (2017), 42444253.

[2] M. A. Özarslan and B. Ylmaz, The extended Mittag-Leer function and its pro-perties, J. of Inequalities and Applications 2014 (2014), no. 1, 110.

[3] M. A. Özarslan and C. Ustao§lu, Incomplete Riemann-Liouville fractional deriva-tive operators and incomplete hypergeometric functions, Submitted.

[4] M. A. Özarslan and C. Ustao§lu, Incomplete Caputo farctional derivative opera-tors, Submitted.

[5] M. A. Chaudhry, A. Qadir, M. Raque and S. M. Zubair, Extension of Euler'sfunction, J. Comput. Appl. Math. 78 (1997), 1932.

[6] M. A: Chaudhry, S. M. Zubair, On a class of incomplete gamma functions withapplications 2002 by Chapman and Hall / CRC.

15


Latis Tabanl ifreleme Algoritmalarnnncelenmesi

Damla Acar ve O§uz Yayla

Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected], [email protected]

Bu çal³mada latis tabanl imzalama algoritmalar çal³lm³tr. Latis tabanl krip-togranin temelinde Ajtai tarafndan bulunan latis problemlerinin ola§an durum ile enkötü durumdaki zorluklar arasnda yer alan ili³ki vardr. Bu çal³mada ele alnacak latistabanl ³ifreleme algoritmalar srasyla [1] ve [2]'de tantlan SIS (Small Integer SolutionProblem) ve LWE (Learnin With Errors Problem)'ye dayanmaktadr.Latis tabanl krip-togranin gündeme gelmesinin sebepleri arasnda hesaplamalarn oldukça basit olmasve genelde sadece modüler toplama i³lemine dayanmas vardr. Bu ise dü³ük maliyetlicihazlarda ³ifreleme için avantajl olabilir. Bir di§er sebep ise RSA [3] gibi gelenekselsay teorisi tabanl kriptogranin çok fazla alternati olmamasdr. Günümüzde kulla-nlan ³ifreleme algoritmalarnn dayand§ problemler kuantum bilgisayarlar tarafndanksa sürede çözülebilece§i için bu alternatif algoritmalar önem kazanmaktadr. Ayrcazor latis problemlerini çözebilecek polinom zamanl kuantum algoritmalar henüz mevcutde§ildir. Bu çal³mada NIST'in 2017 ylnda yapt§ ça§rya gönderilen ve ilk a³amaygeçen latis tabanl ³ifreleme algoritmalar parametreleri açsndan kyaslanm³tr. Ayrcabu ³ifreleme algoritmalarnda kullanlan açk ve kapal anahtar uzunluklar ile sa§ladk-lar güvenlik kar³la³trlm³tr. NIST'in sayfasnda [4] da yer ald§ üzere latis tabanl³ifreleme algoritmalar Compact LWE, EMBLEM ve REMBLEM, Giophantus, KINDI,LAC, LIMA, Lizard, LOTUS, NTRUEncrypt, Odd Manhattan, OKCN/AKCN/CNKE,Round2 ve Titanium'dur.

Kaynaklar:

[1] M. Ajtai, Generating hard instances of lattice problems. In Proceedings of thetwenty-eighth annual ACM symposium on Theory of computing, pp. 99108,ACM, 1996.

[2] O. Regev, On lattices, learning with errors, random linear codes, and cryptography.Journal of the ACM (JACM), 56 (2009), no. 6, 34.

[3] R. L. Rivest, A. Shamir, and L. Adleman, A method for obtaining digital signa-tures and public-key cryptosystems. Communications of the ACM, 21 (1978), no.2, 120126.

[4] Post Quantum Cryptography, Round 1 Submission,https://csrc.nist.gov/Projects/Post-Quantum-Cryptography/Round-1-Submissions(Nisan,2018).

16


Bernstein Tipi Polinomlar için Do§urucuFonksiyonlar

Direncan Uçak (a) ve Esra Erku³-Duman (b)

(a) Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta:[email protected]

Bernstein polinomlar matemati§in bir çok alannda yer alm³ polinomlardan biri-dir. 1912 ylnda Bernstein tarafndan tanmlanm³, o günden bu yana bu polinomlarlailgili makaleler ve kitaplar yazlm³ ve yazlmaya da devam edilmektedir [1], [2]. Dahasonraki yllarda, bu polinomlarn farkl genellemeleri yaplm³tr [3], [4], [5]. Son yllardaise Bernstein polinomlarn da kapsayan Bernstein tipi polinomlar olu³turulmu³ ve özel-likle bunlarn do§urucu fonksiyonlar incelenmi³tir [6], [7]. Bu çal³mada, Bernstein tipipolinomlarn üç farkl ailesi için multilineer ve multilateral do§urucu fonksiyonlar verenteoremler elde edilmi³ ve bu teoremlerin özel durumlar üzerinde durulmu³tur. Ayrca,bu polinomlar için rekürans ba§ntlar da verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] S. N. Bernstein, Demonstration du theor`eme de Weierstrass fondee sur lacalcul des probabilites, Comm. Soc. Math. Charkow Ser. 2 t. 13 (1912), 12.

[2] G. G. Lorentz, Bernstein Polynomials, Chelsea, NewYork, 1986.

[3] G. M. Phillips, On generalized Bernstein polynomials, Numerical Analysis, D.Griths and G. Watson eds. 1996, pp. 263269.

[4] G. M. Phillips, Bernstein polynomials based on the q-integers, The heritage of P.L. Chebyshev: a Festschrift in honor of the 70th birthday of T. J. Rivlin. Ann.Numer. Math. 4 (1997), 511518.

[5] S. Lewanowicz and P. Wozny, Generalized Bernstein polynomials, BIT Numer.Math. 44 (2004), 6378.

[6] Y. Simsek, Generating functions for the Bernstein type polynomials: a new appro-ach to deriving identitiesand applications for these polynomials, Hacet. J. Math.Stat. 43 (2014), no. 1, 114.

[7] Y. Simsek, Construction a new generating function of Bernstein type polynomials,Appl. Math. Comput. 218 (2011), 10721076.

17


d-Ortogonal Polinomlar için Do§urucuFonksiyonlar

Düriye Korkmaz Düzgün

(a)Kafkas Üniversitesi, ³letme Bölümü, Kars, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected]

Bu çal³ma, baz d-ortogonal polinomlar üzerine yaplm³tr. lk olarak, Laguerretip d-ortogonal polinomlar ([1,3 ve 4] ile verilen) için baz do§urucu fonksiyonlar eldeedilmi³tir. Sonra bu polinomlar için multilineer ve multilateral do§urucu fonksiyon ba-§ntlar verilerek bu ba§ntlarn çe³itli polinomlar ile elde edilen do§urucu fonksiyonörnekleri verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] Y. B. Cheikh and K. Douak, On the classical d-orthogonal polynomials denedby certain generating functions II, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8 (2001),no. 4, 591605.

[2] E. Erku³ and H. M. Srivastava, A unied presentation of some families of multi-variable polynomials, Integral Transforms Spec. Funct. 17 (2006), no. 4, 267273.

[3] Y. B. Cheikh and K. Douak, A generalized hypergeometric d-orthogonal polyno-mial set, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 331 (2000), no. 5, 349354.

[4] S. Varma and F. Ta³delen, On a dierent kind of d-orthogonal polynomials thatgeneralize the Laguerre polynomials, Math. Aeterna 2 (2012), no. 5-6, 561572.

[5] D. Korkmaz-Duzgun and E. Erkus-Duman, The Laguerre type d-orthogonal poly-nomials, Journal of Science and Arts, 1 (42) (2018), 117128.

18


((b+ 1)m2 + 1)x + (bm2 − 1)y = (cm)z Üstel DiophantDenklemi

Elif Kzldere (a), Gökhan Soydan (a) ve Takafumi Miyazaki (b)

(a) Uluda§ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiye.e-posta: [email protected]; [email protected]

(b)Gunma Üniversitesi, Fen ve Teknoloji Fakültesi, Matematik Bölümü, Kiryu,Japonya.


a, b ve m pozitif tam saylar ve a+ b = c2 iken

(am2 + 1)x + (bm2 − 1)y = (cm)z

üstel Diophant denklemini göz önüne alalm. Bu denklem a, b, c ve m'ye baz ko³ullaraltnda çe³itli yazarlar tarafndan çal³ld ([1],[2],[4]-[8]).

Bu çal³mada, m ≡ ±1 (mod c), c ≡ 11, 13 (mod 24), 2b+ 1 = c2 ve m > c2 iken

((b+ 1)m2 + 1)x + (bm2 − 1)y = (cm)z

denkleminin tek pozitif çözümünün (x, y, z) = (1, 1, 2) oldu§u gösterilir. spatlarda sa-ylar teorisinin elemanter metotlar ve cebirsel saylarn logaritmalarnda lineer formlariçin alt snrlar bulmaya dayal olan Baker teorisi [3] kullanlr.

(*) Bu çal³ma 117F287 nolu TÜBTAK projesi ile desteklenmektedir.

Kaynaklar:

[1] Cs. Bertók, The complete solution of the Diophantine equation (4m2+1)x+(5m2−1)y = (3m)z, Per. Math. Hung. 72 (2016), 3742.

[2] R. Fu and H. Yang, On the exponential Diophantine equation (am2 +1)x+(bm2−1)y = (cm)z with c | m, Per. Math. Hung. 75 (2017), 143149.

[3] M. Laurent, Linear forms in two logarithms and interpolation determinants II,Acta Arith. 133 (2008), 325348.

[4] T. Miyazaki, N. Terai, On the exponential Diophantine equation (m2 + 1)x +(cm2 − 1)y = (am)z, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 919.

[5] X. Pan, A note on the exponential Diophantine equation (am2+1)x+(bm2−1)y =(cm)z, Colloq Math. 149 (2017), 265273.

[6] J. Su, X. Li, The exponential Diophantine equation (4m2 + 1)x + (5m2 − 1)y =(3m)z, Abstr. Appl. Anal. 2014, 15.

[7] N. Terai, On the exponential Diophantine equation (4m2 + 1)x + (5m2 − 1)y =(3m)z, Int. J. Algebra 6 (2012), 11351146.

[8] N. Terai, T. Hibino, On the exponential Diophantine equation (12m2 + 1)x +(13m2 − 1)y = (5m)z, Int. J. Algebra 9 (2015), 261272.

19


Stokastik Is Denklemi ve Itô ntegralleri

Emine Cengizhan (a) ve Fikriye Nuray Ylmaz (b)

(a)Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Stokastik ksmi diferansiyel denklemler son yllarda ilgi çeken bir alan olmu³tur. Hemanalitik hem de nümerik cözümleri incelenmi³tir.

Deterministik ksmi dinamik sistemler modelleri; dalga denklemi, s denklemi, Lap-lace denklemi, elektrodinamik, ak³kanlar olarak verilebilir. Fakat, bir elektronik devredegürültü gibi ses çkaran stokastik dalgalanmalar, borsadaki dalgalanmalar, ileti³im sis-temindeki dalgalanmalarn içinde stokastik süreçlerin oldu§u denklemler stokastik ksmidiferansiyel denklemler örne§i olarak verilebilir. Bu denklemleri normal diferansiyel denk-lemlerden ayrt etmek için rastlantsal terimler eklenir.

Biz bu cal³mada, stokastik s denklemlerini ele alyoruz. Stokastik s denklemibeyaz gürültü tarafndan sürdürülebilen bir s denklemidir. L uzunlu§undaki bir telistt§mz dü³ünelim. [0, L] aral§n sonsuz küçük de§erlere ayrd§mzda W scakl§ny ekseni boyunca x ∈ [0, L] noktasnda birim uzunluk ba³na dü³en rastgele scakl§olsun. u(t, x) = x konumundaki t zamanndaki scaklk:

∂u

∂t= σ

∂2u

∂x2+∂2W

∂x∂t.Burada, t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ L ve σ = metal çubuktaki s iletkenlik sabitidir.

Biz bu denklemlerin nümerik cözümleri üzerinde duraca§z. Uzay ayrkla³trmakiçin sonlu farklar metodu kullanyoruz. Zaman ayrkla³trmak için Itô-Taylor lemmaskullanlarak nümerik çözümlerini olu³turup nümerik örnekler sunaca§z.

Kaynaklar:

[1] P. Kloeden and E. Platen, Numerical solution of stochastic dierential equations,Springer, Berlin, 1992.

[2] N. V. Krylov and B. L. RozovskiiF. Stochastic partial dierential equations anddiusion processes, Russian Math. Surveys 37 (1982), 81105.

20


Küme Optimizasyonunda Yeni Sralama Ba§nts

Emrah Karaman

Anadolu Üniversitesi, Matematik Bölümü, Eski³ehir, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada `-fark [1] kullanarak `1 sralama ba§nts tanlanm³tr. lk olarak ta-nmlanan sralama ba§nts ile kümeler ailesi üzerinde tanmlanan ilk ksmi sralamaba§nts olan m1 sralamas [2] arasndaki ili³kiler elde edilmi³tir. `1 ba§ntsnn bazözellikleri incelendikten sonra bu sralama ba§ntsnn bir önsralama ba§nts oldu§ugösterilmi³tir. `1 sralama ba§ntsna göre bir ailenin minimal ve maksimal eleman ta-nmlar verildikten sonra bir küme de§erli optimizasyon probleminin `1 sralama ba-§ntsna göre elde edilen çözümleri ile problemin vektör yakla³mna göre elde edilençözümleri arasndaki ili³kiler bulunmu³tur.

Kaynaklar:

[1] M. Pilecka, Optimality Conditions in Set-Valued Programming Using the Set Cri-terion, Thecnical University of Freiberg, Preprint 2014-02, 2014.

[2] E. Karaman, M. Soyertem, . Atasever Güvenç, D. Tozkan, M. Küçük and Y.Küçük, Partial Order Relations of Sets and Scalarizations for Set Optimization,Positivity, Springer, 2017, doi: 10.1007/s11117-017-0544-3.

21


Genelle³tirilmi³ Cyclotomic Polinomlar ve DicksonPolinomlarnn Çarpanlar

Ernist Tilenbaev

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Birinci çe³it Dickson polinomlarnn Fq üzerinde çarpanlarna ayrma problemi ilkolarak Chou [1] tarafndan ele alnm³tr. Ancak çarpanlarnda Fq d³nda elemanlarda kullanlm³tr. Fitzgerald ve Yucas [2] çal³masnda Dickson polinomlarnn çarpan-larnn baz cyclotomic polinomlarn yardm ile de elde edilebilece§ini göstermi³lerdir.Çal³malarnda a = 1 ve n = 2m, 3 · 2m durumunu ele alarak Fq üzerinde cyclotomicpolinomlarn açkça verilen çarpanlarn kullanm³lardr. Bu çarpanlar, Brewer toplamla-rnn hesabnda kullanlm³tr [3] ve ayrca seyrek (sparse) polinomlar için güzel örneklerolu³turmaktadr. Tosun [4] çal³masnda a nn herhangi bir de§eri için n = 2m durumunuele alm³tr. Bu çal³mada Fitzgerald'n [2] tekni§i kullanlarak a nn herhangi bir de§eriiçin n = 2m d³ndaki baz n de§erleri incelenmi³tir.

(*) Bu çal³ma, Zülfükar Sayg ve Çetin Ürti³ ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] W.-S. Chou, The factorization of Dickson polynomials over nite elds, FiniteFields and Their Applications, 3 (1997), no. 1, 8496.

[2] R. W. Fitzgerald and J. L. Yucas, Generalized reciprocals, factors of Dicksonpolynomials and generalized cyclotomic polynomials over nite elds, Finite Fieldsand Their Applications, 13 (2007), no. 3, 492515.

[3] . Alaca, Congruences for Brewer sums, Finite Fields and Their Applications, 13(2007), no. 1, 119.

[4] M. A. Khan and M. Asif, A note on generating functions of q−Gottlieb polyno-mials, Commun. Korean Math. Soc. 27 (2012), 159166.

[5] C. Tosun, Explicit factorizations of generalized Dickson polynomials of order 2m

via generalized cyclotomic polynomials over nite elds, Finite Fields and TheirApplications, 38 (2016), 4056.

22


q-Balazs-Szabados-Stancu OperatörlerininYakla³m Özellikleri

Esma Yldz Özkan

Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada q-Balazs-Szabados-Stancu operatörleri tanmlanm³, bu operatörleriçin Korovkin tip istatistiksel yakla³m teoremi verilmi³ ve istatistiksel yaknsama oran,süreklilik modülü ve Lipschitz snfndan fonksiyonlar yardmyla elde edilmi³tir. Ayrcabu operatörlerin r-inci dereceden bir genelle³tirmesi tanmlanarak, bu genelle³tirme içinyakla³m teoremi elde edilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] F. Altomare and M. Campiti, Korovkin-type approximation theory and its appli-cations, Walter de Gruyter, Berlin, 1994.

[2] K. Balázs, Approximation by Bernstein type rational function, Acta Math. Acad.Sci. Hungar. 26 (1975), 123134.

[3] K. Balázs and J. Szabados, Approximation by Bernstein type rational function II,Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 40 (1982), 331337.

[4] H. Fast, Sur la convergence statistique, Collog. Math. 2 (1951), 241244.[5] V. Kac and P. Cheung, Quantum calculus, Springer-Verlag, New York, 2002.[6] G. Kirov and L. Popova, A generalization of the linear positive operators, Math.

Balcanica 7 (1993), 149162.[7] I. Niven, H. S. Zuckerman and H. Montgomery , An introduction to the theory of

numbers (5th edition), Wiley, New York, 1991.[8] E. Yldz Özkan, Statistical approximation properties of q-Balazs-Szabados-Stancu

operators, Filomat 28 (2014), no. 9, 19431952.

23


Lupa³ Operatörlerinin Brenke Tip Polinom çerenGenellemesi

Esra Erdalo§lu (a) ve Mediha Örkcü (b)

(a)Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Jakimovski ve Leviatan [1], Szasz operatörlerinin [2], g, |z| < R (R < 1) diskindeanalitik fonksiyon olmak üzere

g (u) eux =

∞∑k=0

pk (x)uk,

formundaki pk (x) Appell polinomlar ile bir genellemesini vermi³tir. Ardndan smail [3],Sheer polinomlar ile Jakimovski ve Leviatan operatörlerinin ba³ka bir modikasyonunuele alm³tr. Varma, Sucu ve çöz [4], ise A ve B, analitik fonksiyon olmak üzere

A(x)B(xt) =

∞∑k=0

pk (x) tk,

biçimdeki Brenke polinomlar yardmyla Szasz operatörlerinin genellemesinin vermi³tir.Bu çal³mada, Lupa³ operatörlerinin [5] ve Lupa³ operatörlerinin Agratini [6] tarafndanverilmi³ olan integral form içeren modikasyonu ele alnm³tr. Bu operatörlerin Brenketip polinom içeren genellemeleri verilmi³tir. Operatörlerin yakla³m özellikleri süreklilikmodulü yardmyla incelenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] A. Jakimovski and D. Leviatan, Generalized Szasz operators for the approximationin the innite interval, Mathematica (Cluj), 1 (1969), 97103.

[2] O. Szasz, Generalization of S. Bernstein's polynomials to the innite interval, J.Research Nat. Bur. Standards, 45 (1950), 239245.

[3] M. E. H. Ismail, On a generalization of Szász operators, Mathematica (Cluj), 39(1974), 259267.

[4] S. Varma, S. Sucu and G. çöz, Generalization of Szász operators involving Brenketype polynomials. Comput. Math. Appl. 64, (2012), no. 2, 121127.

[5] A. Lupa³, The approximation by some positive linear operators, In: Proceedingsof theInternational Dortmund Meeting on Approximation Theory (IDoMAT 95)-edited by M.W. Müller, M. Felten, D.H. Mache, Mathematical Research, Vol.86,pp. 201229, Akademie Verlag, Berlin, 1995.

[6] O. Agratini, On The Rate of Convergence of A Positive Approximation Process,Nihonkai Math. J. Vol. 11 (2000), 4756.

24


Gecikmeli Bir Yapay Sinir A§ Modelinin HopfÇatallanma Analizi

Esra Karao§lu (a), Enes Ylmaz (b) ve Hüseyin Merdan (c)

(a)Türk Hava Kurumu Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Mühendisli§i Bölümü, Ankara,Türkiye


(b)DePaul University, College of Computing and Digital Media,Illinois, USAe-posta: [email protected]

(c)TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, iki sinir hücreli geri beslemeli bir yapay sinir a§ sistemine hem ke-sikli hem da§lml gecikme terimi eklenmi³ ve denge noktasnn kararll§ incelenmi³tir.Sunumda, ilk olarak, Hopf çatallanma teoreminin ifadesinden bahsedilecek, daha sonrayapay sinir hücrelerinin gerçek sinir hücreleri ile olan ili³kisine de§inilecektir. SistemdeHopf çatallanmann varl§n garantileyebilmek için parametreler üzerine konacak gereklisartlar belirlenecek ve periyodik çözümlerin ortaya çkt§ gösterilecektir. Çal³lan sis-tem için elde edilen teorik bulgular, MATLAB program kullanlarak nümerik örneklerledesteklenecektir.

Kaynaklar:

[1] P. Bi and Z. Hu, Hopf bifurcation and stability for a neural network model withmixed delays, Applied Mathematics and Computation 218 (2012), 67486761.

[2] B. D. Hassard, N. D. Kazarino and Y. H. Wan, Theory and Application of HopfBifurcation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981.

[3] E. Karao§lu, E. Ylmaz and H. Merdan, Stability and bifurcation analysis of a two-neuron network system with discrete and distributed delays, Neurocomputing, 182(2016) 102110.

[4] E. Karao§lu, E. Ylmaz and H. Merdan, Hopf bifurcation analysis of two-neuronnetwork with discrete and distributed delays, Nonlinear Dynamics, 85 (2016),10391051.

[5] Y. Kuang, Delay Dierential Equations with Application in Population Dynamics,Academic Press, 1993.

[6] X. Li and G. Hu, Stability and Hopf bifurcation on a neuron network with discreteand distributed delays, Applied Mathematical Sciences, 5 (2011), 20772084.

25


Ditopolojik Doku Uzaylarnn Nokta-Ba§msz BirGenelle³tirmesi

Esra Korkmaz (a) ve Rza Ertürk (b)

(a)Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Doku uzaylar, latis de§erli topolojilerin ikili topolojik uzaylar yardmyla temsil edil-mesi üzerine yaplan çal³malarn bir geni³lemesi olarak ortaya koyulmu³tur. En kabatanmyla, verilen bir S kümesinin kuvvet kümesi olan P(S)'nin, kapsama i³lemine göretam, tamamen da§lml bir latis yapsna sahip ve genelde kümesel tümleyen i³lemialtnda kapal olmayan bir alt ailesidir. Bir ditopoloji ise, birbiriyle ili³kili olmas ge-rekmeyen, srasyla, kapal ve açk küme aksiyomlarn sa§layan κ ⊆ S ve τ ⊆ S altailelerinden olu³an (τ, κ) çiftidir. Di§er taraftan özel bir latis olan çat (frame) yaplarda genelle³tirilmi³ topolojik uzaylar elde etmek için kullanlm³tr. Bu çal³mada, dito-polojik doku uzaylarnn nokta-ba§msz bir genelle³tirilmesi olan diçat kavramndan vebaz özelliklerinden bahsedilecektir.

26


NTRU Tabanl Kriptosistemlerin Geli³imi

Fatma Nihal Özkaya

Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: nihalozkaya [email protected]

Bu çal³mada NTRU kriptogra sistemi çal³lm³tr. lk olarak 1998 ylnda [3] ilerisürülen NTRU kriptogra sistemi, latis tabanl bir sistemdir. Güvenli§i, ideal latislerdekizorlu§u kesin olan, CVP ve SVP problemlerine [7] dayanmaktadr. 1998 ylnda geli³ti-rilen bu sistemdeki ³ifre çözme srasnda olu³an hatalara kar³, 2003'de NAEP transfor-masyonu [5] geli³tirilmi³tir. 2007 ylnda, hybrid latis indirgeme yöntemi öne sürülmü³ve meet-in-the-middle ata§ yaplm³tr [4]. 2011'de ise, NTRU kriptosistemini ideal la-tislerdeki en kötü durum problemleri kadar güvenlikli hale getirmek için çal³malar [2]yaplm³tr. NTRU kriptosistemi, birçok NTRU çe³idi olarak, 2017'deki NIST ça§rsna[6] standartla³trma için gönderilmi³tir. NTRUEncrypt kriptosistemi [1] de bunlardanbirisidir. Bu kriptosistemde dört algoritma bulunmaktadr. Ntru-pke'de orijinal NTRUalgoritmasna ba§l kalnm³, NAEP transformasyonu [5] ile CCA-2 güvenli§i sa§lanm³-tr. Ntru-kem, bir önceki algoritmadaki açk anahtar ³ifreleme algoritmas kullanlan,bir anahtar kapsülleme mekanizmasdr. Ss-ntru-pke, 2011 ylndaki algoritmaya [2] göregeli³tirilmi³, ntru-pke'deki güvenli§i sa§layan bir açk anahtar ³ifreleme ³emasdr. Ss-ntru-kem ise, ss-ntru-pke algoritmasn kullanan bir anahtar kapsülleme mekanizmasdr.NIST ça§rsna gönderilen di§er NTRU kriptosistem çe³itleri [6] pqNTRUSign, NTRU-HRSS-KEM ve NTRU Prime'dr. Bu çal³mada NTRU tabanl kriptosistemler, hemteknik hem de performans olarak kar³la³trlm³tr.


Kaynaklar:

[1] C. Chen, J. Hostein, W. Whyte and Z. Zhang, NIST PQ Submission: NTRU-Encrypt A lattice based encryption algorithm. NIST, Post-Quantum Cryptog-raphy, Round 1 Submissions, 2017.

[2] D. Stehlé and R. Steinfeld, Making NTRU as secure as worst-case problems overideal lattices. Advances in Cryptology-EUROCRYPT 2011-30th Annual Interna-tional Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques,Tallinn, Estonia, May 15-19, 2011. Proceedings, pp. 2747, 2011.

[3] J. Hostein, J. Pipher and J. H. Silverman, NTRU: A ring-based public key cryp-tosystem. Algorithmic Number Theory, Third International Symposium, ANTS-III, Portland, Oregon, USA, Haziran 21-25, 1998, Proceedings, pp. 267288, 1998.

[4] N. Howgrave-Graham, A hybrid lattice-reduction and meet-in-the-middle-attackagainst NTRU. CRYPTO, pp. 150169, 2007.

[5] N. Howgrave-Graham, J. H. Silverman, A. Singer and W. Whyte, NAEP: Provablesecurity in the presence of decryption failures. IACR Cryptology ePrint Archive,2003:172, 2003.

[6] NIST, Round 1 Submissions - Post-Quantum Cryptography.https://csrc.nist.gov/Projects/Post-Quantum-Cryptography/Round-1-Submissions.2017.

[7] P. Q. Nguyen and J. Stern, The two faces of lattices in cryptology. Proceedings ofCryptography and Lattices Conference (CaLC 2001), pp. 146180, 2001.

27


Çarpm Genelle³tirilmi³ Lokal Morrey UzaylarÜzerine

Ferit Gürbüz

Hakkari Üniversitesi, Hakkari, Türkiyee-posta: [email protected]

m ∈ N ve−→f = (f1, . . . , fm) olsun. Kompakt destekli, Rn üzerinde integrallenebilir

her bir fi (i = 1, . . . ,m) için x /∈m⋂i=1

suppfi olmak üzere T (m) multilineer veya multi-

altlineer operatörü

∣∣∣T (m)(−→f)

(x)∣∣∣ ≤ c0 ∫

(Rn)m

1

|(x− y1, . . . , x− ym)|mn

m∏i=1

|fi (yi)|

d−→y (1)

ko³ulunu sa§layan bir operatör olsun, burada c0,−→f ve x den ba§mszdr.

Bu konu³mann amac harmonik analizde pek çok multilineer operatör için sa§lanan(*) ko³ulu altnda çarpm genelle³tirilmi³ lokal Morrey uzaylarnda multilineer Calderón-Zygmund operatörleri ve lokal Campanato uzaylar tarafndan üretilen multi-altlineeroperatörlerin komütatörlerinin snrll§n verebilmektir. Aslnda, bu çal³mada, [1] ve[2]'deki sonuçlar (orada Ω ≡ 1 alarak) multilineer duruma genelle³tirece§iz.

Kaynaklar:

[1] A. S. Balakishiyev, V. S. Guliyev, F. Gürbüz and A. Serbetci, Sublinear operatorswith rough kernel generated by Calderon-Zygmund operators and their commu-tators on generalized local Morrey spaces, J. Inequal. Appl. 2015, 2015:61, 18 pp.

[2] F. Gürbüz, Boundedness of some potential type sublinear operators and theircommutators with rough kernels on generalized local Morrey spaces, Ph.D. thesis,Ankara University, Ankara, Turkey, 2015.

28


Navier Stokes Denkleminin Optimal KontrolProblemi

Fikriye Nuray Ylmaz


Optimal kontrol problemleri son yllarda ilgi çeken bir alan olmu³tur. Hem teorikhem de nümerik sonuçlar incelenmi³tir. Ak³kanlarn kontrol problemleri de son dö-nemde çal³lmaktadr. Navier Stokes denklemi ak³kanlar modellemelerinin en önemliörneklerindendir. Denklemin ba§l oldu§u Reynold katsaysnn de§erleri problemin nü-merik çözümünü oldukça zorla³trmaktadr. Biz bu çal³mada, a³a§da verilen denklemiele alaca§z:

min(y,u)

J(y, u) =1

2

∫Q

((y(t, x)− yd(t, x))2 + α(u(t, x))2)dxdt

subject to yt − ν∆y + (y.∇)y +∇p = u in Q,

∇.y = 0 in Q,

y = 0 on [0, T ]× Σ,

y(0, x) = y0(x) in Ω,

burada y : Q 7→ Rd ak³kann hz, p : Q 7→ R ak³kann basnc ve u kontrol parametre-sidir. Kinematik viskozite says Re olup ν > 0 ile gösterilir. Ayrca, α > 0 bir parameterolup, yd de istenen hzdr.

Biz öncelikle, problemin optimalite ko³ullarn elde edece§iz. Sonra nümerik çozüm-lerini olu³turuca§z.

Kaynaklar:

[1] D. Wachsmuth, Optimal control of the unsteady Navier-Stokes equations, PhdDissertation, Technische Universität Berlin, 2006.

[2] M. Hinze, N. Yan and Z. Zhou, Variational discretization for optimal control go-verned by convection dominated diusion equations, J. Comput. Math., 27 (2009),237253.

29


kili-Topolojik ve Di-Topolojik Ters SistemlerinKategorik li³kileri

Filiz Yldz

Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü, Ankara, Tü[email protected]

Ters sistemler ve limitlerinin teorisi [4], ditopolojik doku uzaylarn ifDitop katego-risinin baz alt kategorilerinde detaylaryla çal³larak, ditopolojik doku uzaylarn bir altsnf olan ditopolojik sade dokular üzerinde çe³itli sonuçlar [2] 'de sunulmu³tur.

Bu sonuçlar çerçevesinde, ifDitop kategorisinin dolu alt kategorileri ile, nesneleriikili-topolojik uzaylar olan Bitop kategorisinin [3] baz dolu alt kategorileri arasnda,ters sistemler ve ters limitlere özgü olarak, do§al kategorik ve fonktoryal ili³kiler [1]'deelde edilmi³tir.

Bu çal³mada ise, sözü edilen ili³kiler yardmyla kategoriler arasnda kullan³l funk-tor izomorzmalar tanmlanacak ve ili³kili funtorlar arasnda kurulacak olan bir do§aldönü³ümün, birim oldu§u görülecektir.

Kaynaklar:

[1] F. Yldz, Some Categorical Aspects of the Inverse Limits in Ditopological Context,Applied General Topology, in press, 2018.

[2] F. Yldz, Inverse Systems and Limits in the Category of Ditopological Plain Spa-ces, Topology and Its Applications, 228 (2017), 4767.

[3] J. Adámek, H. Herrlich and G. E. Strecker, Abstract and Concrete Categories,John Wiley and Sons, Inc., 1990.

[4] S. Eilenberg and N. Steenrod, Foundations of Algebraic Topology, Princeton, NewJersey, Princeton University Press, 1952.

30


Ard³k Küp Dizilerini çeren Eliptik E§riler

Gamze Sava³ Çelik (a) ve Gökhan Soydan (b)

(a)Uluda§ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiye.e-posta: [email protected]

(b)Uluda§ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiye.e-posta: [email protected]

a1, ..., a6 ∈ Q olmak üzere

y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x+ a6

uzun Weierstrass denklemi ile verilen rasyonel eliptik e§risini göz önüne alalm. i =1, 2, ..., k iken bu e§ri üzerindeki (xi, yi) noktalarnn (x1, x2, ..., xk) dizisi bir aritmetikdizi olu³turursa bu dizi k uzunluklu aritmetik dizi olarak adlandrlr. lk olarak Leeve Vélez tarafndan 4-uzunluklu aritmetik dizi içeren y2 = x3 + a tipinde sonsuz çok-lukta e§ri oldu§u ispatland [5]. Sonrasnda 7 ve 8-uzunluklu aritmetik dizi içeren sonsuzçoklukta eliptik e§ri oldu§u Bremner tarafndan gösterildi [1]. k > 8 uzunluklu aritmetikdizi içeren eliptik e§riler de çe³itli yazarlar tarafndan göz önüne alnd ([2], [6], [9]).

Son zamanlarda Kamel ve Sadek tarafndan Q üzerinde

E : y2 = ax3 + bx+ c

ksa Weierstrass denklemi ile verilen eliptik e§riler üzerindeki rasyonel noktalarn x-bile³enlerinin dizileri farkl bir açdan incelendi ve 5-uzunluklu ard³k karelerin dizisinibulunduran sonsuz çoklukta eliptik e§ri oldu§u gösterildi [4].

Bu çal³mada ksa Weierstrass tipinde bir eliptik e§ri üzerinde ard³k küplerin di-zisi incelendi ve 5-uzunluklu ard³k küplerin dizisini içeren sonsuz çoklukta eliptik e§rioldu§u ispatland. Ayrca bu e§ri ailesinde ard³k küp olarak bulunan be³ rasyonel nok-tann lineer ba§msz oldu§u gösterildi ve rank 5'ten büyük olan bir eliptik e§ri ailesitantld [3].

Kaynaklar:

[1] A. Bremner, On arithmetic progressions on elliptic curves, Experiment Math. 8,(1999), 409413.

[2] G. Campbell, A note on arithmetic progressions on elliptic curves, J. Integer Seq.6 (2003), Article 03.1.3.

[3] G. S. Çelik and G. Soydan, Elliptic curves containing sequences of consecutivecubes, Rocky Mountain J. Math. (2018), yayna kabul edildi.

[4] M. Kamel and M. Sadek, On sequences of consecutive squares on elliptic curves,Glasnik Math. 52 (2017), 4552.

[5] J. B. Lee and W. Y. Vélez, Integral solutions in arithmetic progression for y2 =x3 + k, Periodica Math. Hung. 25 (1992), 3149.

[6] A. J. Macleod, 14-term arithmetic progressions on quartic elliptic curves, J. IntegerSeq. 9 (2006), Article 06.1.2.

[7] L. J. Mordell, Diophantine equations, Academic Press., New York, 1969.[8] J. H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-

Verlag, New York, 1994.[9] M. Ulas, A note on arithmetic progressions on quartic elliptic curves, J. Integer

Seq. 8 (2005), Article 05.3.1.

31


Durrmeyer Tipli Bernstein-Stancu Operatörleriçin Bir Voronovskaja Tip Teorem

Ülkü Dinlemez Kantar (a) ve Gizem Ergelen (b)



[1]'de f ∈ C[0,1] için

Sn,α,β(f, x) :=

(n+ β2

n

)2n+1 n∑k=0

qnk(x)(n+ 1)

∫An

qnk(t)f(nt+ α1

n+ β1)dt (*)

biçiminde bir çe³it Durrmeyer tipli Bernstein-Stancu operatörleri tanmlanm³tr. Bu-rada An := [ α2

n+β2, n+α2n+β2

], k = 0, 1, 2, ..., n olmak üzere

qnk(x) :=

(n

k

)(x− α2

n+ β2

)k (n+ α2

n+ β2− x)n−k

dir. Ayrca j = 1, 2 için αj ve βj , 0 ≤ α1 ≤ β1, 0 ≤ α2 ≤ β2 ko³ullarn sa§layan pozitifsaylardr.

Bu çal³mada, (*) de tanmlanan operatörler için i = 1, 2, 3, 4 olmak üzere ei(t) = ti

test fonksiyonlar elde edilmi³tir. Bu test fonksiyonlar yardmyla bir Voronovskaja tipteorem verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] D. Yu and L. Dong, Pointwise approximation by a Durrmeyer variant of Bernstein-Stancu operators, Journal of Inequalities and Applications 28 (2017), 113.

[2] F. Ta³delen, G. Ba³canbaz-Tunca and A. Erençin, On a new type Bernstein-Stancuoperators, Fasc. Math. 48 (2012), 119128.

[3] T. Acar, A. Aral and V. Gupta, On approximation properties of a new typeBernstein-Durrmeyer operators, Math Slovaca 65 (2015), 11071122.

32


Altkompakt Uzaylar ve P-Tam Topolojik Uzaylar

Gökçe Emino§lu

(a) Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada topolojik uzaylarda tamlk özellikleri olarak da nitelendirilebilecekolan altkomapkt uzaylar ve alan (domain) ile temsil edilebilir uzaylar tantlacak vearalarndaki geçi³lerden söz edilecektir.

En iyi bilinen tamlk özelliklerinden biri metrik uzaylarn taml§ di§eri de bir to-polojik uzayn ech anlamnda tam olmasdr. Kompakt bir uzayn bir Gδ-altküme-sinehomeorf olan uzaylara ech-tam uzaylar denir. yi bilinir ki bir X metrik uzaynntam metrik uzay olmas için X uzaynn ech-tam olmas gerekli ve yeterlidir. Metrikuzaylarn tam olu³unun di§er bir genelle³tirilmesi altkompaktlk kavramdr ve metrikuzaylarda altkompaktl§n ech-taml§a denk oldu§u bilinmektedir. Bir di§er tamlközelli§i de alan ile temsil edilebilirlik kavramdr. Bennett ve Lutzer [1] de üzerindekiScott topoloji ile, alan (domain) olarak adlandrlan, sürekli yönlendirilmeye göre tamolan bir ksmi sralamann bir maksimal eleman ile temsil edilebilen uzaylara alan iletemsil edilebilir uzaylar demi³lerdir ve ech-tam uzaylarn alan ile temsil edilebildi§inigöstermi³lerdir. [2] de bu kavramn basitle³tirilmi³ bir karakterisazyonu verilmi³ ve [3]de alan ile temsil edilebilir uzaylara P -tam uzaylar ismi verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] H. Bennett and D. Lutzer, Domain Representable spaces, Fund. Math. 189 (2006),no. 3, 255268.

[2] W. Fleissner and L. Yengulalp, From subcompact to domain representable, Topol.Appl. 195 (2015), 174195.

[3] S. Önal and Ç. Vural, There is no domain represantable dense proper subsemigroupof a topolviagal group, Topol. Appl. 216 (2017), 7984.

33


Cebirsel ve Holomork E§riler için TeklikSonuçlar

Min Ru (a) ve Gul Ugur (b)

(a)School of Mathematics Sciences Xiamen University, Xiamen, ChinaUniversity of Houston, Mathematics Department, Houston, TX, USA


(b)Çankr Karatekin Üniversitesi, Matematik Bölümü, Çankr, Türkiyee-posta:[email protected]

Sabit olmayan P ve Q kompleks polinomlar için, P (z) = aj ancak ve ancak Q(z) =aj olacak ³ekilde iki farkli aj kompleks de§erleri varsa P ≡ Q oldu§u biliniyor. Sabitolmayan kompleks katsayl rasyonel fonksiyonlar için bu de§erin 4 oldu§u ispatlanm³-tr. Bu sunumda da Fujimotonun [4] yardmc teoremi kullanlarak, Sauer [1], Schweizer[2] ve Xu ile Ru [3] nun çal³malarnn genellemesi ve iyile³tirilmi³ hali olan, k ≤ n içinf−1

1 (⋂k+1i=1 Hji) = ∅ ko³ulu altnda, n-boyutlu projektif uzayndaki H1, ..., Hq hiperdüz-

lemlerini payla³an f1, f2 cebirsel e§rileri için teklik teoremi ele alnacaktr.

Kaynaklar:

[1] A. Sauer, Uniqueness theorems for holomorphic functions on compact Riemannsurfaces, New Zealand J. Math. 30 (2001), 177181.

[2] A. Schweizer, Value-sharing of meromorphic functions on a Riemann surface, J.Math. Anal. Appl. 365 (2010), 220228.

[3] Y. Xu and M. Ru, Uniqueness theorem for algebraic curves on compact Riemannsurfaces, Sci. China Ser. A: Math. 50 (2007), no. 5, 683688.

[4] H. Fujimoto, A uniqueness problem of meromorphic maps into the complex pro-jective space, Nagoya Math. J. 58 (1975), 123.

34


Bir Bulank H-Uzaynn Çekmesi Üzerine

Gülnur Haçat (a) ve Sibel Demiralp (b)

(a) Kastamonu Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kastamonu, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Kastamonu Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kastamonu, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu konu³mada bulank kümelerin ve bulank H-uzaynn tanm verilerek bir bu-lank H-uzaynn bulank çekmesinin (fuzzy retraction) ve bulank bozunum çekmesi-nin (fuzzy deformation retraction) birer bulank H-uzay oldu§u gösterilecektir. Ayrcabulank H-uzaylar arasndaki bulank sürekli fonksiyonlarn bulank homotopi snarincelenecektir.

Daha sonra degi³meli bir bulank H-uzaynn bulank çekmesinin de bir de§i³melibulank H-uzay oldu§u ispatlanacaktr. Son olarak da içerme (inclusion) fonksiyonu-nun ve bulank çekmesinin birer bulank H-homomorzmi oldugu gösterilecek ve bazözellikleri incelenecektir.

Kaynaklar:

[1] C. G. Aras and S. Bayramov, On fuzzy exact homotopy sets, Southeast AsianBulletin of Mathematics, 34 (2010), 10091022.

[2] C. L. Chang, Fuzzy topological space, J. Math. Anal. Appl. 24 (1968), 182190.[3] E. H. Spainer, Algebraic topology, Springer-Verlag, 1994.[4] J. Stashe, H-Spaces from a Homotopy Point of View, Springer-Verlag, pp. 116,

1970.[5] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Informations and control, 8 (1965), 38353.[6] R. Ameri and M. Zahedi, Fuzzy chain complex and fuzzy homotopy, Fuzzy sets

and systems, 112 (2000), no. 2, 287297.[7] R. Lowen, Fuzzy Topological spaces and fuzzy compactness, J. Math. Anal. Appl.

56 (1976), 621633.[8] S. Chuanlin, Homotopy and fundamental group in fuzzy topology, Dongbei Shida

Xuebao, 2 (1985), 2531.[9] S. Demiralp and E. Guner, Some characterizations of Hopf group on fuzzy topo-

logical spaces, Iranian Journal of Fuzzy Systems, 11 (2014), no. 6, 111121.

35


n-Boyutlu Singüler ntegrallerin BazYakla³m Özellikleri

Gümrah Uysal

Karabük Üniversitesi, Bilgisayar Teknolojileri Bölümü, Karabük, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu konu³mada,

Tλ (f ;x) =

∫D

f(t)Kλ (t− x) dt, x ∈ D, λ ∈ Λ,

tipinde ifade edilen n-boyutlu lineer tipte singüler integrallerin Lebesgue anlamndaölçülebilir fonksiyonlara µ-genelle³tirilmi³ Lebesgue noktalarnda yakla³m ile ilgili baz

sonuçlar sunulacaktr. Burada, D =n

Πi=1〈ai, bi〉 notasyonu ile açk, yar açk ya da kapal,

n-boyutlu sonlu bir aralk ifade edilmektedir. Ayrca, Λ negatif olmayan reel saylardanolu³an bir indis kümesidir. Bu sonuçlar [1] çal³masnn devam olup, temel olarak [2-4]çal³malarnda kullanlan kir ve prosedürler takip edilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] G. Uysal, M. M. Yilmaz, E. Ibikli, Approximation by radial type multidimensionalsingular integral operators, Palest. J. Math. 5 (2016), no. 2, 6170.

[2] R. Taberski, Singular integrals depending on two parameters, Prace Mat. 7 (1962),173179.

[3] A. D. Gadjiev, The order of convergence of singular integrals which depend ontwo parameters, Special Problems of Functional Analysis and their Appl. to theTheory of Di. Eq. and the Theory of Func., Izdat. Akad. Nauk Azerbadaºan.SSR., (1968), 4044.

[4] E. M. Stein, Singular Integrals and Dierentiability of Functions, Princeton Univ.Press, New Jersey, 1970.

36


Volterra Fark Sistemlerinin Neredeyse PeriyodikÇözümleri Üzerine

Halis Can Koyuncuo§lu (a) ve Murat Advar (b)

(a)zmir Kâtip Çelebi Üniversitesi, Mühendislik Bilimleri Bölümü, zmir, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Fayetteville State University, Department of Management, Marketing andEntrepreneurship, Fayetteville, NC, USA


Neredeyse periyodik fonksiyonlarn ilk tanm 20. yüzyln ba³nda Harald Bohr ta-rafndan verilmi³tir ve bu tip fonksiyonlarn teorisinin temelleri H. Bohr, S. Bochner, A.S. Besicovitch, V. V. Stepanov, B. Levitan ve J. von Neumann'n katklaryla atlm³tr.Ksa bir literatür taramas sonucunda bu fonksiyonlarla ilgili çal³malarn sadece teoridekalmad§, neredeyse periyodik fonksiyonlarn matematiksel zik, elektromanyetik, diji-tal simulasyon, ve beyaz gürültü modellerinde uygulamalarnn bulundu§unu görebiliriz.Bu sebeple sürekli, ayrk ve hibrit tanm aralklarnda kurulan dinamik sistemlerin nere-deyse periyodik çözümlerinin varl§, tekli§i, ve kararll§ ile ilgili çal³malar uygulamalmatematikte önem kazanm³tr.

Bu çal³mada Volterra fark sistemlerinin neredeyse periyodik çözümleri üstel diko-tomi ve sabit nokta teorisi kullanlarak incelenmi³tir. Elde edilen varlk sonucu litratürdebulunan (Elaydi, 2009) açk probleme cevap vermi³tir.

Kaynaklar:

[1] M. Adivar and H. C. Koyuncuoglu, Almost automorphic solutions of discrete de-layed neutral system, J. Math. Anal. Appl. 435 (2016), 532550.

[2] T. Diagana, Almost Automorphic Type and Almost Periodic Type Functions inAbstract Spaces, Springer, 2013.

[3] T. Diagana, S. Elaydi and A. Yakubu, Population models in almost periodic en-vironments, J. Dier. Equat. Appl. 13 (2007), no. 4, 239260.

[4] S. Elaydi, Stability and asymptoticity of Volterra dierence equations: A progressreport, J. Comput. Appl. Math. 228 (2009), no. 2, 504513.

[5] Y. Hamaya, On the existence of almost periodic solutions of a nonlinear Volterradierence equation, Int. J. Dierence Equ. 2 (2007), no. 2, 187196.

37


Sfrda De§i³meli Nilpotentlerin Merkezi OlmaÖzellikleri

Handan Kose (a) ve Abdullah Harmanc (b)

(a)Ahi Evran Üniversitesi, MatematikBölümü, Kr³ehir, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Hacettepe Üniversitesi, Matematik, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Halkalarn terslenebilir olma özelli§i ilk olarak Habeb tarafndan tantld ve bu halkasnf de§i³meli olmayan halka teorisinde önemli bir rol üstlendi [3].

R birimli ve birle³meli bir halka olmak üzere e§er ab = 0 olacak ³ekildeki her a, b ∈R için ba = 0 oluyorsa R'ye terslenebilir halka denir [2]. Terslenebilir halkalarn pekçok karakterizasyonu verilmi³tir [1, 2, 4, 5, 6]. Örne§in; [6]'da C(R) halkann merkeziolmak üzere e§er ab = 0 olacak ³ekildeki her a, b ∈ R için ba ∈ C(R) oluyorsa R'yemerkezi terslenebilir halka denir. Ayrca [1]'de üstel sfrl (nilpotent) elemanlar üzerindesfr (0)'da de§i³melilik incelenmi³ ve ksaca CNZ halka olarak adlandrlan halka snftanmlanm³tr. nil(R); R halkasnn üstel sfrl bütün elemanlarnn kümesini göstersin.Buna göre e§er ab = 0 olacak ³ekildeki her a, b ∈ nil(R) için ba = 0 oluyorsa R'ye CNZhalka denir [1].

Bu çal³mada üstel sfrl elemanlar üzerinde merkezi terslenebilir olma özelli§i ince-lendi.

Kaynaklar:

[1] A. M. Abdul-Jabbar, C. A. K. Ahmed, T. K. Kwak, Y. Lee, On commutativity ofnilpotent elements at zero, Commun. Korean Math. Soc. doi.10.4134

[2] P. M. Cohn, Reversible rings, Bull. London Math. Soc. 31 (1999), no. 6, 641648.

[3] J. M. Habeb, A note on zero commutative and duo rings, Math. J. Okayama Univ.32 (1990), 7376.

[4] N. K. Kim and Y. Lee, Armendariz rings and reduced rings, J. Algebra 223 (2000),no. 2, 477488.

[5] N. K. Kim and Y. Lee, Extensions of reversible rings, J. Pure Appl. Algebra 185(2003), no.1-3, 207223.

[6] H. Kose, B. Ungor, S. Halicioglu, A. Harmanci, A generalization of reversible rings,Iran. J. Sci. Technol. Trans. A Sci. 38 (2014), no. 1, 4348.

38


Kararl Homoloji çin Mayer-Vietoris Dizisi

Hanife Varl (a), Mehmetcik Pamuk (b) ve Ya§mur Ylmaz (c)

(a)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(c)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Kararl homoloji (Persistent homology) kavram, ilk olarak Patrizio Frosini [1] veçal³ma arkada³lar tarafndan ve daha sonra Edelsbrunner, Letscher ve Zomorodian [2]tarafndan verilmi³tir. Kararl homoloji, ³ekil analizinde ve ³ekillerin ve fonksiyonlarntopolojik özelliklerinin incelenmesinde kullanlan cebirsel bir metottur.

Cebirsel topolojide Mayer-Vietoris formulü, verilen bir uzayn homolojisinin, uzaynbilinen ve homolojisi kolay hesaplanan altuzaylarn bir ayr³m ³eklinde yazlarak he-saplanmasnda kullanlan önemli bir araçtr. Di Fabio ve Landi, al³lm³ homoloji içinvar ve tam olan Mayer-Vietoris dizisinin kararl homoloji için de var oldu§unu fakat tamolmad§n göstermi³tir [3]. Biz, bu konu³mada, ksaca kararl homolojiyi tantaca§z.Daha sonra kararl homoloji için Mayer-Vietoris dizisinin tam olmad§n gösteren ör-nek verece§iz ve kararl homoloji gruplar yerine derecelendirilmi³ kararl modüller ileçal³rsak tam bir Mayer-Vietoris dizisi elde edilebilece§ini gösterece§iz.

Kaynaklar:

[1] P. Frosini, A distance for similarity classes of submanifolds of a Euclidean space,Bulletin Australian Math. Soc. 42 (1990), 407416.

[2] H. Edelsbrunner, D. Letscher and A. Zomorodian, Topological persistence andsimplication, In Proc. 41st IEEE Sympos. Found. Comput. Sci., 2000, 454463,also Discrete Comput. Geom. 28 (2002), 511533.

[3] B. Di Fabio and C. Landi, A MayerVietoris formula for persistent homology withan application to shape recognition in the presence of occlusions, Foundations ofComputational Mathematics, 11, (2011), no.5, 499527.

39


Hisse Senedi Fiyatlandrmas çin Yeni BirMatematiksel Model

Hatice Bulut (a) ve Hüseyin Merdan (b)

(a)TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada iki hisse senedi ile bu hisse senedinin rastgele da§ld§ bir yatrmcgruptan olu³an bir nansal piyasa için matematiksel model olu³turulmu³tur. Yatrmcgrubun iki hisse senedinden birini satn alrken di§er hisse senedi yatna ba§l kald§fakat hisse senedi satarken di§er hisse senedi yatna ba§l kalmad§ bir strateji izledi§ivarsaylm³tr. Temel mikroekonomik ilkelerden yararlanarak, piyasadaki hisse senedimiktarnn sonlu oldu§u ve yatrmc tercihlerinin hisse senedi yatndaki ini³ler ve ç-k³lar ile hisse senedi yatnn, hisse senedi yatna verilen de§erden sapmasna ba§loldu§u varsaym altnda bir matematiksel model elde edilmi³tir. Ayrca, modelin karar-llk analizi yaplm³tr ve modelin kararl olabilmesi için parametreler üzerine konmasgereken ³artlar belirlenmi³tir. Son olarak, analitik çal³malar baz nümerik simülasyonlarile desteklenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] G. Caginalp and D. Balenovich, Asset ow and momentum: Deterministic andstochastic equations, Philosophical Transactions of the Royal Society of LondonA, 357 (1999), 21192133.

[2] G. Caginalp and H. Merdan, Asset price dynamics with heterogeneous groups,Physica D, 225 (2007), 4354.

[3] G. Caginalp, D. Swigon and M. DeSantis, Nonlinear dynamics and stability in amulti-group asset ow model, SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 11(2012), 11141148.

40


Alt Yüzey Torelli Gruplar ÜzerindeGenelle³tirilmi³ Chillingworth Snf

Hatice Ünlü Ero§lu

Konya Necmettin Erbakan Üniversitesi, Matematik-Bilgisayar Bilimleri Bölümü,Konya, Türkiye


Torelli grubu, gönderim snar grubunun homoloji üzerinde a³ikar ³ekilde etki edenalt grubudur. Putman'n alt yüzey Torelli gruplar, gönderim snar argümanlarnnzaman zaman dayandrld§ tümevarm argümanlar için funktörlük özelli§ini yenidenkurdu§undan Torelli gruplaryla çal³mada önemli bir in³adr. Earle [1], Chillingworth[2] ve Johnson' n [3] verdi§i grup de§i³mezlerini Putman'n alt yüzey Torelli gruplarnageni³letmek mümkündür. Bu konu³mada, bu de§i³mezlerden birinin Putman'n alt yüzeyTorelli gruplarna geni³letilmi³ kombinatoryal bir tanmn verece§iz.

Kaynaklar:

[1] C. J. Earle, Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties, Ann. Math. 107(1978), 255286.

[2] C. J. Chillingworth, Winding numbers on surfaces, II, Math. Ann. 199 (1972),131153.

[3] D. Johnson, An abelian quotient of the mapping class group Ig, Math. Ann. 249(1980), 225242.

41


Mobil Aralklarda q-Bernstein OperatörlerininYakla³m Hznn Tahmini

lknur Özgüç (a), Emre Ta³ (b) ve Tu§ba Yurdakadim (c)

(a)e-posta: [email protected]

(b)Ahi Evran Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kr³ehir, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Hitit Üniversitesi, Matematik Bölümü, Çorum, Türkiyee-posta: [email protected]

Bernstein operatörlerinin q-genelle³mesi ilk defa Lupa³ tarafndan ele alnm³tr.Daha sonra 1996 ylnda Phillips yeni bir genelle³me yaparak literatürde "q-Bernsteinoperatörleri" olarak bilinen operatörleri tanmlam³ ve yakla³m özelliklerini incelemi³-tir. Yakla³m Teorisinde q-Bernstein operatörlerine ilgi devam etmekte ve birçok çal³mayaplmaktadr.

Bu çal³mada n do§al saysna ba§l olarak belirlenen mobil aralklarda klasik Berns-tein operatörlerinin bir geni³lemesi olan q-Bernstein operatörleri tantlacaktr. Dahasonra süreklilik modülü, Peetre K-fonksiyoneli ve Lipschitz snfndan fonksiyonlar yar-dmyla bu operatörlerin yakla³m özellikleri ve ters teorem verilecektir.

Kaynaklar:

[1] A. Lupa³, A q-analogue of the Bernstein operator, Seminar on Numerical andStatistical Calculus, University of Cluj-Napoca, 9 (1987), 85-92.

[2] G. M. Phillips, Bernstein polynomials based on the q-integers, Ann. Number.Math. 4 (1997), 511518.

[3] N. Deo, M. A. Noor and M. A. Siddiqui, On approximation by a class of newBernstein type operators, Appl. Math. Comput. 201 (2008), 604612.

[4] N. Deo and S. P. Singh, Simultaneous approximation on generalized Bernstein-Durrmeyer operators, Afr. Mat. 23 (2013), 7782.

[5] V. Kac and P. Cheung, Quantum Calculus, Springer-Verlag, 2002.

42


deal Operatörlerin Tersi

Bahri Turan (a) ve rem Mesude Geyikci (b)


(b) Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

E bir Riesz uzay ve I bunun bir alt vektör uzay olmak üzere e§er x ∈ E , y ∈ I ve|x| ≤ |y| iken x ∈ I oluyorsa I ya sra ideal veya ksaca ideal denir. E ve F Riesz uzayT : E → F lineer dönü³üm olsun. E§er E nin her bir I ideali için T (I), F içinde idealoluyorsa T ye ideal operatör denir. B. Turan [10] numaral makalede ideal operatörlerintemel özelliklerini vermi³tir. Biz de bu çal³mada bire-bir ve örten bir T : E → F idealoperatörünün tersinin ideal operatör olma ko³ullarn elde etmeye çal³tk.

Kaynaklar:

[1] V. A. Abramovich and A.K. Kitover, Inverses of disjointness preserving operators,Memoirs of the Amer. Math. Soc. (2000) 143 (679).

[2] C. D. Aliprantis and O. Burkinshaw, Positive Operators, Academic Press, London,1985.

[3] D. R. Hart, Some properties of disjointness preserving operators, MathematicsProceedings A 88 (1985), no. 2, 183197.

[4] C. B. Huijsmans and W. A. J. Luxemburg, Positive operators and semigroups onBanach lattice, Acta Appl. Math. 27 (1992) 143152.

[5] C. B. Huijsmans and A. W. Wickstead, The inverse of band preserving and disjo-intness preserving operators, Indag. Math. 3 (1992) 179183.

[6] C. B. Huijsmans and B. De Pagter, Intertible disjointness preserving operators,Proc. of the Edinburgh Mat. Soc. 37 (1993) 125132.

[7] W. A. J. Luxemburg and A. R. Schep, A Radon-Nikodym type theorem for positiveoperators and a dual, Indag. Math. 81 (1978) 357375.

[8] W. A. J. Luxemburg and A.C. Zaanen, Riesz Space I, North Holland, Amsterdam,1971.

[9] B. De Pagter, f-Algebras and Orthomorphisms, Thesis, Leiden Univ. Netherlands,1981.

[10] B. Turan, On ideal operators, Positivity 7 (2003) 141148.[11] A. C. Zaanen, Riesz Space II, North Holland, Amsterdam, 1983.

43


Bir Sonlu Projektif Klingenberg DüzleminÜzerinde Olma Matrisi

sa Do§an (a), Atilla Akpnar (b) ve Fatma Özen Erdo§an (c)

(a) Uluda§ Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Bursa, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Uluda§ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiyee-posta: [email protected]

(c)Uluda§ Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada; F bir cisim, η /∈ F ve ηm = 0 olmak üzere A := F (η) = F + Fη +Fη2 + · · · + Fηm−1 lokal halkas ile koordinatlanan M (A) projektif Klingenberg (PK)düzleminde F cismi yerine p asal ve r pozitif tamsay olmak üzere Zpr halkas alnaraközel bir PK düzlem snf elde edilecektir. Bu düzlem snfnda p = 2, r = 2 ve m = 3alnarak olu³turulan sonlu PK düzlemin sadece bir do§rusu ve onun üzerindeki noktalariçin üzerinde olma matrisi verilecektir.

Kaynaklar:

[1] M. Jukl, Linear forms on free modules over certain local rings, Acta Univ. Palack.Olomuc. Fac. Rerum Natur. Math. 32 (1993), 4962.

[2] M. Jukl, Grassmann formula for certain type of modules, Acta Univ. Palack.Olomuc. Fac. Rerum Natur. Math. 34 (1995), 6974.

[3] F. O. Erdogan, S. Ciftci and A. Akpnar, On Modules over Local Rings, AnaleleUniv. "Ovidius" din Constanta, Math Series, 24 (2016), no. 1, 217230.

[4] S. Ciftci and F. O. Erdogan, On projective coordinate spaces, Filomat, 31 (2017),no. 4, 941952.

[5] B. R. McDonald, Geometric algebra over local rings, Marcel Dekker, New York,1976.

[6] T. W. Hungerford, Algebra, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1974.

[7] K. Nomizu, Fundamentals of Linear Algebra, McGraw-Hill., New York, 1966.

[8] C. A. Baker, N. D. Lane and J. W. Lorimer, A coordinatization for Moufang-Klingenberg Planes, Simon Stevin, 65 (1991), 3-22.

[9] B. Celik, A. Akpinar and S. Ciftci, 4-Transitivity and 6-Figures in some Moufang-Klingenberg Planes, Monatshefte für Mathematik, 152 (2007), 283294.

[10] A. Akpinar, The Incidence Matrices For Some Finite Klingenberg Planes, Journalof Balkesir University Institute of Science and Technology, 12 (2010), no. 1, 9199.

[11] D. Keppens and H. Van Maldeghem, Embeddings of projective Klingenberg planesin the projective space PG(5,K), Beiträge zur Algebra und Geometrie, 50 (2009),no.2, 483493.

[12] D. Keppens, 50 years of Finite Geometry, the Geometries over nite rings part,Innovations in Incidence Geometry, 15 (2017), 123143.

[13] E. Kleinfeld, Finite Hjelmslev planes, Illinois J. Math., 3 (1959), no.3, 403407.

44


Lineer Olmayan ntegral OperatörleriyleYakla³mda Bell-Tipinde Toplanabilme Metodu

smail Aslan (a) ve Oktay Duman (b)



Bu çal³mada, [1,2]'de tanmlanan lineer olmayan operatörlerin yakla³m özellikleridaha geni³ bir bak³ açsyla ele alnacak ve yakla³mda [3,4]'te verilen Bell-tipinde topla-nabilme metotlar kullanlacaktr. Hem salnm yar-normuna hem de al³lm³ supremumnormuna göre yakla³m yaplacaktr. Ayrca yakla³m hzlarda uygun Lipschitz snarüzerinde ara³trlacaktr. Son olarak, klasik yakla³m sa§lamad§ halde yakla³m teore-mimizi gerçekleyen, lineer olmayan bir operatör dizisi in³a edilecek ve grak gösterimlerive saysal hata tahminleri ile sonuçlar desteklenecektir.

Kaynaklar:

1. L. Angeloni and G. Vinti, Convergence in variation and rate of approximationfor nonlinear integral operators of convolution Type, Results in Mathematics, 48(2006), 123.

2. L. Angeloni and G. Vinti, Erratum to: Convergence in variation and rate of app-roximation for nonlinear integral operators of convolution type, Results in Mat-hematics, 57 (2010), 381393.

3. H. T. Bell, A-summability, Dissertation, Leigh University, Bethlehem., Pa, 1971.

4. H. T. Bell, Order summability and almost convergence, Proc. Amer. Math. Soc.38 (1973), 548552.

45


Do§al Konveksiyon Problemleri çin kinciMertebeden Zaman Admlamas Yöntemleri

Ailesinin Saysal Analizi

Medine Demir (a) , Aytekin Çbk (b) ve Songül Kaya (c)

(a) Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara,Tü[email protected]

(c)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara,Tü[email protected]

Do§al konveksiyon, ak³kan hareketinin herhangi bir harici kaynak yerine (pompa,fan v.b. gibi) yo§unluk farkllklarndan dolay meydana geldi§i bir mekanizmadr. Do§alkonveksiyon, yangndan kaynaklanan scak hava yükselmesi, serbest hava so§utmas, sda§lmnn çevresindeki sv ak³ gibi mühendislik uygulamalarndaki varl§ndan dolayhesaplamal ak³kanlar dinami§i'nde büyük önem ta³maktadr. Ek olarak, meteorolojive jeoziksel içerik dahil [1, 2, 3] birçok alanda ortaya çkar. Bu ak³larn do§ru ve verimlisaysal çözümlerinin birçok uygulamann temelini olu³turdu§u bilinmektedir.

Bu çal³mann temel amac, [4, 5] çal³malarna dayanarak elde edilen Navier-Stokesdenklemleri Jiang, et al. tarafndan yaplan [6] çal³masn do§al konveksiyon denklemle-rine geni³letmektir. Bu çal³mada, do§al konveksiyon denklemleri için ikinci mertebedenzaman admlama yöntem ailesi önerilmi³ ve elde edilen yakla³mn do§rulu§u yaplananaliz ve testlerle ispatlanm³tr. Temel kir, hz, scaklk ve basnçtaki ayr e§rilik çö-zümlerinin bu kombinasyonla orantl olacak ³ekilde do§rusalla³trlmas ve stabilizas-yon terimlerinin birle³tirilmesine dayanmaktadr. Metot, zaman adm ba³na sadece birdo§rusal sistemin çözümünü gerektirir. Bu çal³mada, yöntemin ko³ulsuz olarak kararloldu§u ispatlanm³ ve O(∆t2) do§ru oldu§u gösterilmi³tir. Ayrca, yakla³k çözümlerinkesin çözüme yaknsad§ hata analizi yaplarak teorik olarak ispatlanm³tr. Tahmin edi-len yaknsama oranlarn destekleyen ve yöntemin verimlili§ini ve do§rulu§unu gösterençe³itli saysal örnekler sa§lanm³tr.

Kaynaklar:

[1] T. Benjamin, Gravity currents and related phenomena, J. Fluid Mech. 31 (1968),209248.

[2] D. Hoult, Oil spreading in the sea, Annu. Rev. Fluid Mech. 4 (1972), 341368.[3] E. Meiburg, V. Birman, B. Battandier, and P. Linden, Lock-exchange ows in

sloping channels, J. Fluid Mech. 577 (2007), 5377.[4] C. Trenchea, Stability of partitioned imex methods for systems of evolution equ-

ations with skew-symmetric coupling, ROMAI J. 10 (2014), 175189.[5] C. Trenchea, Second order implicit for local eects and explicit for nonlocal eects

is unconditionally stable, ROMAI J. 1 (2016), 163178.[6] N. Jiang, M. Mohebujjaman, L. G. Rebholz, and C. Trenchea, An optimally ac-

curate discrete regularization for second order time stepping methods for Navier-Stokes equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 310 (2016), 388405.

46


Lineer Olmayan Bir Fark Denklemin GlobalDavran³lar Üzerine

Mehmet Gümü³

Bülent Ecevit Üniversitesi, Matematik Bölümü, Zonguldak, Türkiyee-posta: [email protected]

Fark denklemleri biyoloji, genetik, popülasyon dinami§i, olaslk teorisi, psikoloji,sosyoloji ve daha bir çok bilim dalnn içindeki matematiksel modellemelerde kullanlr.Bu ve bunun gibi birçok nedenden dolaydr ki, son zamanlarda fark denklemlerinin çal³-masna çok büyük bir ilgi söz konusudur. Linner olmayan tipteki denklemlerin çal³maslineer tiplere göre daha zorlaycdr.

Bu çal³madaxn+1 =

αxn−2

β + γxpnxqn−1

, n = 0, 1, ...

formunda verilen lineer olmayan fark denkleminin α, β, γ, p, q parametreleri negatif olma-yan saylar ve x−2,x−1, x0 ba³langç ko³ullar negatif olmayan saylar olmak üzere dengenoktalar, bu noktalarn global asimptotik kararll§, pozitif çözümlerinin periyodiklikyaps ara³trlm³tr. Ayrca parametrelerin herbirinin sfr olma durumuda incelenmi³-tir.

Kaynaklar:

[1] A. M. Ahmed, On the dynamics of the recursive sequence xn+1 = (αxn−1)/(β +γxpnx

qn−2), Journal of Pure and Applied Mathematics: Advances and Applications

1 (2009), no. 2, 215223.[2] E. Camouzis, and G. Ladas, Dynamics of third-order rational dierence equations

with open problems and conjectures, Vol. 5. CRC Press, 2007.[3] H. M. El-Owaidy, A. M. Ahmed and A. M. Youssef, The Dynamics of the recursive

sequence xn+1 = (αxn−1)/(β + γxpn−2), Applied Mathematics Letters, 18 (2005),no. 9, 10131018.

[4] M. E. Erdogan, C. Cinar and I. Yalcinkaya, On the dynamics of the recursivesequence xn+1 = (αxn−1)/(β + γ

∑tk=1 xn−2k

∏tk=1 xn−2k), Mathematical and

Computer Modelling, 54 (2011), no. 5, 14811485.[5] M. Gumus, The Periodicity of positive solutions of the non-linear dierence equ-

ation xn+1 = α+(xpn−k/xqn), Discrete Dynamics in Nature and Society, Vol. 2013,

Article ID 742912, 3 pp.[6] V. Koci¢. and G. Ladas, Global behavior of nonlinear dierence equations of higher

order with applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.[7] H. Sedaghat, Nonlinear dierence equations theory with applications to social

science models, Vol. 15. Springer Science & Business Media, 2003.

47


Fuzzy Soft deal Topolojik Uzaylarda KümeAyr³mlar

Meryem Sevgi Cömert (a) ve Cemil Yldz (b)

(a) Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü , Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümü , Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Çal³mamz dört bölümden olu³maktadr. Birinci bölümde, fuzzy ideal topolojik uza-yn tanmladk. Bu topolojiye ba§l lokal fonksiyonunu verdik. kinci bölümde, fuzzysemi-I-regülar küme, fuzzy regüler-I-kapal küme, fuzzy ∗-mükemmel küme ve fuzzy τ∗-kapal küme olarak adlandrlan küme kavramlarn verdik. Üçüncü bölümde ise fuzzysoft semi-I-regüler küme, fuzzy soft regüler-I-kapal küme, fuzzy soft ∗-mükemmel kümeve fuzzy soft τ∗-kapal küme olarak adlandrd§mz yeni küme kavramlarn verdik. Veson bölümde de yeni verilen tanmlarla ilgili teoreme yer verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] F. Abbasi, Fuzzy ideal topolojik uzaylar, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi,syf-51-69, Ocak 2011.

48


Balász Operatörlerinin Bleimann, Butzer ve HahnTip Genelle³tirmesi

Mustafa Karata³ (a) ve smet Yüksel (b)

(a)Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Balász operatörleri 1975 ylnda Katalin Balász tarafndan f ∈ C[0,∞) ve x ∈ [0,∞)olmak üzere

Rn(f ;x) =1

(1 + anx)n

n∑k=0

f

(k

bn

)(n

k

)(anx)k

biçminde tanmlanm³tr. Burada (an) , (bn) x'den ba§msz pozitif reel say dizilerdir.[1] de tanmlanan Balász operatörlerinin Bleimann, Butzer ve Hahn tipi genelle³tir-

mesi: ∀ n, k için an = 1 ve bn,k = n− k + 1 seçimiyle n→∞ için

ank + bn,k = cn ven

cn→ 1

ko³ullarn sa§lamak üzere

An (f ;x) =1

(1 + anx)n

n∑k=0

f

(k

bn,k

)(n

k

)(anx)k

biçminde tanmlanp, yakla³m özellikleri genel Lipschitz tipi maksimal fonksiyon uza-ynda incelenmi³tir. laveten Voronovskaja tip yakla³m teoremi elde edildi.

Kaynaklar:

[1] O. Do§ru, On Bleimann, Butzer and Hahn type generalization of Balázs operators,Studia Univ. Babe³-Bolyai Math. 47 (2002), no. 4, 3745.

49


b-Metrik Uzaylarda (F, ϕ, α)s-Büzülmeler çin SabitNokta Teoremleri

Müzeyyen Sangurlu Sezen

Giresun Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Giresun, Türkiyee-posta: [email protected]

Banach büzülme teoremi, sabit nokta teoride önemli bir role sahiptir. Birçok yazarbu teoremi kullanarak farkl metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatlam³lardr.Bakhtin ve Czerwik, metrik uzayn bir genelle³tirmesi olan b-metrik uzay konusunu bul-mu³tur. Daha sonra pek çok yazar b-metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatla-m³lardr. Di§er taraftan Jleli ve arkada³lar ϕ-sabit nokta konusunu bulmu³tur. Sametve arkada³lar α-ba§da³abilir dönü³üm konusunu bulmu³ ve bununla ilgili olarak sabitnokta teoremleri ispatlam³lardr.

Bu çal³mada, tam b-metrik uzaylarda (F,ϕ, α)s-büzülmelerinin ϕ-sabit noktasnnvarl§ ve tekli§i gösterilmi³tir. Elde edilen sonuçlar için örnekler verilmi³tir. Uygulamaolarak, gerekli ko³ullar sa§layarak lineer olmayan Volterra integral denklemlerinin tekbir çözümünün varl§ gösterilmi³tir. Ayn zamanda ele alnan bu konuyla ilgili olarakksmi metrik uzaylarda sabit nokta teoremleri ispatlanm³tr.

Kaynaklar:

[1] A. Akbar and M. Gabeleh, Global optimal solutions of noncyclic mappings inmetric spaces, J. Optim. Theory Appl. 153 (2012), 298305.

[2] A. Latif, J. R. Roshan, V. Parvaneh and N. Hussain, Fixed point results viaα−admissible mappings and cyclic contractive mappings in partial b-metric spa-ces, Journal of Inequalities and Applications. 2014:345 (2014).

[3] B. Samet, C. Vetro and P. Vetro, Fixed point theorems for α−ϕ -contractive typemappings, Nonlinear Anal. 75 (2012), 21542165.

[4] C. Zhu, W. Xu, C. Chen and X. Zhang, Common xed point theorems for gene-ralized expansive mappings in partial b-metric spaces and an application, Journalof Inequalities and Applications. 2014:475 (2014).

[5] D. Singh, V. Chauhan and R.Wangkeeree, Geraghty type generalized F -contractionsandrelated applications in partial b-metric spaces, International Journal of Analy-sis. Article ID 8247925, 14 pp. (2017).

[6] H. Huang, G. Deng, Z. Chen and S. Radenovic, On some recent xed point resultsfor α-admissible mappings in b-metric spaces, J. Comp. Anal. Appl. 25 (2018),no. 2, 255269.

[7] I. A. Bakhtin, The contraction principle in quasi-metric spaces, Funct. Anal. 30(1989), 2637.

[8] M. Jleli, B. Samet and C. Vetro, Fixed point theory in partial metric spaces via ϕ-xed point's concept in metric spaces, Journal of Inequalities and Appl. 2014:426(2014).

50


Meixner Polinomunun Bilineer ve BilateralDo§urucu Fonksiyonu

Nejla Özmen

Düzce Üniversitesi, Matematik Bölümü, Düzce, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected]

Bu çal³ma Meixner polinomlarn bilineer ve bilateral do§urucu fonksiyonlarnn çe-³itli ailelerini, özelliklerini ve baz özel durumlarn içermektedir. Ayrca Meixner polino-munun rekürans ba§ntlar ve integral gösterimi elde edilmi³tir. Bu çal³maya ek olarakMeixner polinomlar için bilateral do§urucu fonksiyon içeren teorem verilmi³tir ve buteoremin baz özel sonuçlar incelenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] G. Hetyei, Meixner polynomials of the second kind and quantum algebras repre-senting su(1,1), Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 466 (2010), no.2117, 14091428.

[2] E. Erku³ and H. M., Srivastava, A unied presentation of some families of multi-variable polynomials, Integral Transforms Spec. Funct. 17 (2006), 267273.

[3] H. M. Srivastava, and M. C. Daoust, Certain generalized Neumann expansionsassociated with the Kampé de Fériet function, Nederl. Akad. Westensch. Indag.Math. 31 (1969), 449457.

[4] N. Özmen and E. Erku³-Duman, Some families of generating functions for thegeneralized Cesáro polynomials, J. Comput. Anal. Appl. 25 (2018), no. 4, 670683.

[5] S.-J. Liu, Bilateral generating functions for the Lagrange polynomials and theLauricella functions, Integral Transforms Spec. Funct. 20 (2009), 519527.

[6] A. Jooste, K. Jordaan and F. Toókos, On the zeros of Meixner polynomials, Numer.Math. 124 (2013), 5771.

[7] N. Özmen, Some new properties of the Meixner polynomials, Sakarya Univ. J. Sci.21 (2017), no. 6, 14541462.

51


Fitting deallerin Tersinirli§i Üzerine

Nurbige Turan (a) ve Necati Olgun (b)

(a) Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gaziantep, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gaziantep, Türkiyee-posta: [email protected]

Fitting ideal tanm, ilk olarak 1936 ylnda H. Fitting tarafndan yaplm³tr [1].Fitting idealler kullanlarak bir modülün projektif boyutu, rank, burulmal altmodülüve bir halkann regülerli§i ile ilgili çal³malar yaplm³tr [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]. Buçal³mada, k karakteristi§i sfr olan bir cismi, Ω1(R/I) ve Ω1(S) birinci mertebedenevrensel türev modüllerini göstermektedir. R = k[x1, x2, ...xs] ve S = k[y1, y2, ...yt] po-linom cebirleri, R/I = k[x1,x2,...,xs]

(f1,f2,...,fm)bir an k-cebir olsun. Fi(Ω1(R/I)) ve Fj(Ω1(S))

tersinir idealler ise, Fi+j(Ω1(R/I ⊗k S)) nin bir tersinir ideal oldu§unu gösterece§iz.Ayrca bu sonuçtan yararlanarak pdΩ1(R/I ⊗k S) ≤ 1 elde edilecektir.

Kaynaklar:

[1] H. Fitting, Die determinantenideale eines moduls, Jber. Deutsche Math. Verein46 (1936), 195228.

[2] J. Lipman, On the Jacobian ideal of the module of dierentials, Proc. AMS, 21(1969), 422426.

[3] E. Kunz, Algebraic Dierential Calculus. 2002.[4] N. Olgun, The Universal Dierential Modules of Finitely Generated Algebras,

PhD. Thesis, Hacettepe University, 2005.[5] C. Huneke, D. Jorgensen, and D. Katz, Fitting ideals and nite projective dimen-

sion, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 138 (2005), 4154.[6] A. Simis, and B. Ulrich, The Fitting ideal problem, Bull. London Math. Soc. 41

(2009), 7988.[7] S. Hadjirezaei and S. Hedayat, On the First nonzero Fitting ideal of a module

over a UFD. Communications in Algebra, 41 (2013), 361366.[8] Hadjirezaei, S. and Hedayat, S. On Finited Generated Module whose First nonzero

Fitting ideal is maximal, Communications in Algebra 46 (2018), 610614.

52


ki De§i³kenli Chlodowsky-Szasz-SheerOperatörleri ile Yakla³m Derecesi

Nurhayat spir

Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada Bernstein-Chlodowsky operatörleri ile Sheer polinomlarn içeren ge-nelle³tirilmi³ Szasz operatörlerinin bir kombinasyonu tanmland. Bu operatörler için sü-rekli fonksiyonlara ksmi ve tam süreklilik modülü cinsinden yakla³mn derecesi verildi.Ayrca Chlodowsky-Szasz-Sheer operatörlerine ili³kin Genelle³tirlmi³ Boolean Toplam(GBS tipi) tanmlanarak Bögel sürekli fonksiyonlara yakla³m derecesi incelendi.

Kaynaklar:

[1] I. Badea, Modulus of continuity in Bögel sense and some applications for approxi-mation by a Bernstein-type operator,Studia Univ.Babes-Bolyai, Ser. Math-Mech,18 (1973), no. 2, 6978 (Romanian).

[2] C. Badea and C. Cottin, Korovkin-type theorems for Generalized Boolean Sumoperators, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai, 58, ApproximationTheory, Kecskemet (Hungary), (1990), 51-68.

[3] S. G. Gal, Approximation with an arbitrary order by generalized Szász-Mirakjanoperators, Stud. Univ. Babe³-Bolyai Math. 59 (2014), no. 1, 7781.

[4] D. Miclaus, On the GBS Bernstein-Stancu's type operators. Creat. Math. Inform.22 (2013), no. 1, 7380.

[5] M. Mursaleen M. and K. J. Ansari, Approximation by generalized Szasz operatorsinvolving Sheer polynomials, arXiv:1601.00675 [math.CA], (2015)

[6] N. Rao, A. Wa and Deepmala, Approximation by Szasz Type Operators Inclu-ding Sheer Polynomials, J. Math. Appl. 40 (2017), 135148.

[7] S. Sucu and E. Ibikli, Rate of convergence for Szász type operators includingSheer polynomials, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math., 58 (2013), no. 1, 5563.

53


Topolojik Gyrogruplar

Nurten Yücel


Bu çal³mada genel olarak gyrogruplarn cebirsel yaps ve topolojik gyrogruplarnözelliklerinden bahsedilecektir. Gyrogrup kavram Einstein'n görelilik hz kuramndakullanlm³ ve bundan Ungar [1]' de geni³ biçimde bahsetmi³tir. Topolojik gyrogruplarntopoljik yapsnn baz özellikleri [2]'de incelenmi³tir.

Gyrogruplar, gruplardaki birle³me özelli§inin yerine, daha zayf olan

∀x, y ∈ G için ∃gx,y : G→ G otomorzma, ∀z ∈ G için x (yz) = (xy) gx,y (z)

özelli§i konulmak suretiyle, gruplarn esnetilmi³idir. Gruptaki cebirsel yapnn zaya-tlm³ olmasna kar³n topolojik gyrogruplar topolojik gruplardaki baz temel özelliklerisa§lamaktadr, örne§in topolojik gyrogruplarda da T0 ve T3 ayrma aksiyomlar denk-tirler. Hausdor topolojik gruplarn büsbütün düzenli (T3,5) oldu§u biliniyor olmasnakar³n Hausdor topolojik gyrogruplarn büsbütün düzenli (T3,5) olup olmad§ bir açksorudur.

Kaynaklar:

[1] A. A. Ungar, Analytic Hyperbolic Geometry and Albert Einstein's Special Theoryof Reletivity, World Scientic, Hackensacle, New, Jersey, 2008.

[2] W. Atiponrat, Topological gyrogroups; Generalization of topological groups, To-pology and its Applications 224 (2017), 7382.

54


Birim Yuvarda Harmonik Bergman-Besov veA§rlkl Bloch Uzaylar Arasndaki

Kapsama li³kileri

Ömer Faruk Do§an

Namk Kemal Üniversitesi, Matematik Bölümü, Tekirda§, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada Rn nin birim yuvarnda harmonik Bergman-Besov uzaylar bpα ve a§r-lkl Bloch uzaylar b∞α tüm 0 < p < ∞, α ∈ R parametre aralklar için incelenmi³ vearalarndaki kapsama ili³kileri belirlenmi³tir. Bu ili³kileri ispatlamak için Carleson ölçü-leri ve uygun radyal diferansiyel operatörleri kullanlm³tr. Harmonik Bergman uzaylariçin Carleson ölçülerinin çe³itli karakterizasyonlar bilinmektedir. A§rlkl Bloch uzaylariçin α > 0 iken bir karakterizasyon elde edilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] S. Axler, P. Bourdon and W. Ramey, Harmonic function theory, 2nd ed., Grad.Texts in Math., vol. 137, Springer, New York, 2001.

[2] B. R. Choe, H. Koo and Y. Lee, Positive Schatten class Toeplitz operators on theball, Studia Math. 189 (2008), 6590.

[3] B. R. Choe, Y. J. Lee and K. Na, Positive Toeplitz operators from a harmonicBergman space into another, Tohoku Math. J. (2) 56 (2004), no.2, 255270.

[4] A. E. Djrbashian and F. A. Shamoian, Topics in the theory of Apα spaces, TeubnerTexts in Mathematics, 105, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1988.

[5] Ö. F. Do§an, Harmonic Besov spaces with small exponents, preprint[6] Ö. F. Do§an and A. E. Üreyen, Weighted harmonic Bloch spaces on the ball,

Complex Anal. Oper. Theory, to appear.[7] E. Doubtsov, Carleson-Sobolev measures for weighted Bloch spaces, J. Funct.

Anal. 258 (2010), 28012816.[8] S. Gergün, H. T. Kaptano§lu and A. E. Üreyen, Reproducing kernels for harmonic

Besov spaces on the ball, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347 (2009), 735738.[9] S. Gergün, H. T. Kaptano§lu and A. E. Üreyen, Harmonic Besov spaces on the

ball, Int. J. Math. 27 (2016), no.9, 1650070, 59 pp.[10] D. H. Luecking, Multipliers of Bergman spaces into Lebesgue spaces, Proc. Edin-

burgh Math. Soc. (2) 29 (1986), 125131.[11] D. H. Luecking, Embedding theorems for spaces of analytic functions via Khinc-

hine's inequality, Michigan Math. J. 40 (1993), no.2, 333358.[12] J. Miao, Reproducing kernels for harmonic Bergman spaces of the unit ball, Mo-

natsh. Math. 125 (1998), 2535.[13] V. L. Oleinik and B. S. Pavlov, Embedding theorems for weighted classes of har-

monic and analytic functions, J. Soviet Math. 2 (1974), 135142 (a translation ofZap. Nauch. Sem. LOMI Steklov 22 (1971), 94102).

[14] W. Yang and C. Ouyang, Exact location of α-Bloch spaces in Lpa and Hp of acomplex unit ball, Rocky Mountain J. Math. 30 (2000), 11511169.

[15] R. Zhao and K. Zhu, Theory of Bergman spaces in the unit ball of Cn, Mém. Soc.Math. Fr. 115 (2008), 103 pp.

55


kinci Mertebeden Yar-Lineer NeutralDiferansiyel Denklemler çin Salnm Sonuçlar

Ercan Tunç (a) ve Orhan Özdemir (b)

(a) Gaziosmanpa³a Üniversitesi, Matematik Bölümü, Tokat, Türkiyee-posta: [email protected]

(b) Gaziosmanpa³a Üniversitesi, Matematik Bölümü, Tokat, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada,

z (t) := x (t) + p1 (t)x (g1 (t)) + p2 (t)x (g2 (t)) , g1(t) < t, g2(t) > t,

olmak üzere (r (t)

(z′ (t)

)α)′+ q (t)xα (h (t)) = 0, t ≥ t0 > 0,

ikinci mertebeden yar-lineer karma neutral terimli diferansiyel denkleminin bütün çö-zümlerinin salnml olmasn garanti eden yeter ³artlar sunulmu³tur. Verilen sonuçlarliteratürdeki ilgili sonuçlarda gerekli olan baz kstlayc ³artlara ihtiyaç duymamaktave ikinci mertebeden daha genel neutral diferansiyel ve neutral dinamik denklemlerekolaylkla geni³letilebilmektedir. Elde edilen sonuçlarn uygulanabilirli§i örneklerle açk-lanm³tr.

Kaynaklar:

[1] R. P. Agarwal, S. R. Grace and D. O'Regan, The oscillation of certain higher-orderfunctional derential equations, Math. Comput. Modelling, 37 (2003), 705728.

[2] J. R. Graef, E. Tunç and S. R. Grace, Oscillatory and asymptotic behavior of athird-order nonlinear neutral dierential equation, Opusc. Math. 37 (2017), no. 6,839852.

[3] T. Li, M. T. enel and C. Zhang, Oscillation of solutions to second-order half-lineardierential equations with neutral terms, Electron. J. Dier. Eq. 229 (2013), 17.

[4] T. Li and Y. V. Rogovchenko, Oscillatory behavior of second-order nonlinear neut-ral dierential equations, Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID:143614,8 pp.

[5] E. Tunç, Oscillatory and asymptotic behavior of third-order neutral dierentialequations with distributed deviating arguments, Electron. J. Dier. Eq. 16 (2017),112.

[6] E. Tunç and O. Özdemir, On the asymptotic and oscillatory behavior of solutionsof third-order neutral dynamic equations on time scales, Adv. Dierence Equ.2017:127 (2017), 13pp.

56


On the Coecients for Starlike and ConvexFunctions With Respect to Symmetric Points

Osman Altnta³

Ba³kent Üniversitesi, Matematik Ö§retmenli§i Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Let A denote the class of functions normalized by

f(z) = z +

∞∑n=2

anzn,

which are analytic in the open unit disk U = z : z ∈ C and |z| < 1 .Denition 1. Let P (λ,A,B) denote the class of functions in A and satisfying the

following condition:

2(zf′(z) + λz2f

′′(z))

λz (f (z)− f (−z))′ + (1− λ) (f (z)− f (−z))≺ 1 +Az

1 +Bz,

where 0 ≤ λ ≤ 1 , −1 ≤ B < A ≤ 1, z ∈ U.Denition 2. Let K (λ, µ,m,A,B) denote the class of functions in A and satisfying

the following non-homogenous Caucy-Euler type dierential equation of order m:

zmdmw

dzm+(m1

)(µ+m− 1) zm−1 d

m−1w

dzm−1+ · · ·+

(mr

)m−1∏j=r

(µ+ j) zrdrw

dzr

+ · · ·+(mm

)m−1∏j=0

(µ+ j)w =m−1∏j=0

(p+ µ+ j) g,

where w = f (z) ∈ A , g = g (z) ∈ P (λ,A,B) and µ > −1.In this paper, we obtain coecient bounds for the classes

P (λ,A,B) and K (λ, µ,m,A,B) .

References:

[1] O. Altnta³, An application on dierential subordination, International Conferenceon Mathematical Science, AIP Conference Proceeding 1309, 939945.

[2] R.N. Das, P. Sing, On subclasses of schlicht mappings, Indian. J. Pure Appl.Math., 8 (1997), 864872.

[3] H. M. Srivastava, O. Altnta³ and S.K. Serenbay, Coecient bounds for certainsubclasses of starlike functions of complex order, Appl. Math. Lett. 24 (2011),13591363.

57


Fibonacci-Tipli Diziler Yardmyla xn+1 = xpn−1/xpn

(p > 0) Fark Denkleminin Çözümleri

Özkan Öcalan

Akdeniz Üniversitesi, Matematik Bölümü, Antalya, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, ilk önce; klasik Fibonacci dizisi ve altn oran kullanlarak, xn+1 =xn−1

xnlineer olmayan fark denkleminin x−1 ve x0 ba³langç ko³ullarnn kuvvetlerine ba§l

olan tam çözümünü verece§iz. Sonra, ayn denklem için x−1 ve x0 ba³langç ko³ullarüzerinde denklemin salnml olmayan bir çözüme sahip olmas için gerek ve yeter ko³ul

verilecektir. Daha sonra, ayn yöntemi kullanarak elde edilen sonuçlar xn+1 =xpn−1

xpn

denklemi için verece§iz. Ayrca pozitif çözümlerin snrszl§ ve periyodiklik durumlarincelenecektir ve baz grakler ile sonuçlarn do§rulu§u gösterilecektir.

(*) Bu çal³ma Prof. Dr. Oktay Duman ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] A. M. Amleh, E. A. Grove, G. Ladas and D. A. Georgiou, On the recursive sequ-ence xn+1 = α+

xn−1

xn, J. Math. Anal. Appl. 233 (1999), no. 2, 790798.

[2] K. S. Berenhaut and S. Stevi¢, A note on positive non-oscillatory solutions of the

dierence equation xn+1 = α+(xn−kxn

)p, J. Dierence Equ. Appl. 12 (2006), no.

5, 495499.

[3] K. S. Berenhaut and S. Stevi¢, The behaviour of the positive solutions of the

dierence equation xn = α+(xn−2

xn−1

)p, J. Dierence Equ. Appl. 12 (2006), no. 9,

909918.

[4] R. DeVault, V. L. Kocic and D. Stutson, Global behavior of solutions of thenonlinear dierence equation xn+1 = pn +

xn−1

xn, J. Dierence Equ. Appl. 11

(2005), no. 8, 707719.

[5] H. M. El-Owaidy, A. M. Ahmed and M. S. Mousa, On asymptotic behaviour of

the dierence equation xn+1 = α+(xn−1

xn

)p, J. Appl. Math. Comput. 12 (2003),

no. 1-2, 3137.

[6] H. M. El-Owaidy, A. M. Ahmed and M. S. Mousa, On asymptotic behaviour ofthe dierence equation xn+1 = α +

xn−kxn

, Appl. Math. Comput. 147 (2004), no.1, 163167.

[7] E. A. Grove and G. Ladas, Periodicities in nonlinear dierence equations. Advan-ces in Discrete Mathematics and Applications, 4. Chapman & Hall/CRC, BocaRaton, FL, 2005.

[8] M. R. S. Kulenovi¢ and G. Ladas, Dynamics of second order rational dierenceequations. With open problems and conjectures. Chapman & Hall/CRC, BocaRaton, FL, 2002.

58


Bir Av-Avc Popülasyon ModelininÇatallanma Analizi

Pnar Baydemir (a) ve Hüseyin Merdan (b) ve Esra Karao§lu (c)



(c)Türk Hava Kurumu Üniversitesi, Elektrik-Elektronik Mühendisli§i Bölümü, Ankara,Türkiye


Bu çal³mada, bir av-avc popülasyon modeline Euler metodu uygulanarak elde edilenXt+1 = f(xt, yt)

Yt+1 = g(xt, yt)

fark denklem sisteminin dinamik yaps analiz edilmi³tir. lk olarak model Euler metoduyardm ile fark denklem sistemi haline getirilmi³tir. Daha sonra elde edilen sisteminpozitif denge noktasnn varl§ ve tekli§i gösterilip bu denge noktasnn kararl olabil-mesi için gerekli ³artlar belirlenmi³tir. Takiben yine bu pozitif denge noktasnda Flipçatallanma ve Neimark-Sacker çatallanma ortaya çkabilmesi için gerekli ³artlar belir-lenmi³ ve bu ³artlar altnda Flip çatallanmann varl§ Merkez Çokkatl Uzay Teoremi,Neimark-Sacker çatallanmann varl§ ise Normal Form Teoremi yardm ile ispat edil-mi³tir. Son olarak da elde edilen analitik sonuçlar nümerik çal³malar ile desteklenerekbiyolojik açdan yorumlanm³tr.

Kaynaklar:

[1] D. P. Hu and H. J. Cao, Bifurcation and chaos in a discrete time predator preysystem of Holling and Leslie type, Commun. Nonlinear. Sci. Simulat. 22 (2015),702715.

[2] E. M. Elabbasy, A. A. Elsadany and Y. Zhang, Bifurcation analysis and chaos ina discrete reduced Lorenz system, Appl. Math. Comput. 228 (2014), 184194.

[3] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos,Springer-Verlag, New York, 2003.

59


Dereceli Ditopolojik Doku Uzaylarnda Ön Açklkve Ön Kapallk

Ramazan Ekmekçi

Ba³kent Üniversitesi, Mühedislik Fakültesi, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Doku uzaylar üzerinde dereceli ditopoloji kavram, ditopolojilerin bir genellemesiolarak, açkl§n ve kapall§n birbirinden ba§msz iki derecelendirme fonksiyonu olarakverildi§i bir yapdr.

Bu konu³mada, dereceli ditopolojik doku uzaylarnda önaçklk ve önkapallk yinederecelendirme fonksiyonlar biçiminde tanmlanacak, ardndan bu kavramlar kullanla-rak elde edilen baz sonuçlardan bahsedilecektir.

Kaynaklar:

[1] L. M. Brown and A. ostak, Categories of fuzzy topology in the context of gradedditopologies on textures, Iranian Journal of Fuzzy Systems, 11 (2014), no. 6, 120.

[2] M. M. Gohar, L. M. Brown, Strong compactness of ditopological texture spaces,Internat. Conf. Math. Sci. 2010, American Institute of Physics, 153168.

[3] F. Yldz, S. Özça§, The ditopology generated by pre-open and pre-closed sets,and submaximality in textures, Filomat, 27 (2013), no. 2, 95107.

60


Yönlendirilemeyen Yüzeylerin E§riKomplekslerindeki Sonlu Kat Kümeler

Sabahattin Ilbra (a) ve Mustafa Korkmaz (b)

(a)Amasya Üniversitesi, Matematik Bölümü, Amasya, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bir yüzeyin e§ri kompleksindeki bir sonlu kat küme, bu kümeden e§ri kompleksinetanml her yerel birebir simpleksel gönderimin, e§ri kompleksinin bir otomorzmindenindirgendi§i altkomplekstir. Yönlendirilebilir yüzeylerin e§ri kompleksindeki sonlu katkümeler Aramayona ve Leininger tarafndan [1]' de bulunmu³tur. Daha sonra bu katkümeler [2], [3], [4] numaral çal³malarda kullanlm³tr.

Bu konu³mada, g + n 6= 4 için g cins ve n delikli, ba§lantl ve yönlendirilemeyenyüzeylerin e§ri komplekslerindeki sonlu kat kümeler üzerinde durulacaktr.

Kaynaklar:

[1] J. Aramayona and C. J. Leininger, Finite rigid sets in curve complexes, Journalof Topology and Analysis 05 (2013), no. 02, 183203.

[2] J. Aramayona and C. J. Leininger, Exhausting Curve Complexes By Finite RigidSets, Pacic Journal of Mathematics 282 (2016), no. 2, 257283.

[3] J. H. Hernández, Exhaustion of the curve graph via rigid expansions arXiv:1611.08010[math.GT], 2016.

[4] R. Maungchang, Curves on surfaces, Thesis (Ph.D.), University of Illinois atChampaign-Urbana, Urbana, 2013.

61


1. Mertebeden Cesàro ile Genelle³tirilmi³ NörlundToplanabilirli§in Cauchy Çarpm

aban Ylmaz

Gaziosmanpa³a, Turhal Meslek Yüksekokulu, Tokat, Türkiyee-posta: [email protected]

Iraksak diziler, hangi durumlarda yaknsak dizilere dönü³türülebilir? Bu dönü³türmei³lemleri yaplrken yaknsak diziler de limitlerini korur mu?gibi sorular toplanabilmeteorisi incelemektedir. Toplanabilme teorisinde bu sorular Cesàro, Riesz, Abel, Nörlundve genelle³tirilmi³ Nörlund toplanabilirlik gibi dönü³ümlerle cevaplanlmaktadr. Bu ça-l³ma da 1. Mertebeden Cesàro dönü³ümü ile genelle³tirilmi³ Nörlund toplanabilirli-§in dönü³ümlerinin Cauchy çarpmlar üzerine durulmu³tur. Bu iki dönü³ümün srasylafarkl iki dizi uygulanp birbirleriyle Cauchy çarpmlar yapld§nda, yine bir Cesàro dö-nü³ümünün bu iki dizinin çarpmlar ile ayn oldu§u elde edilmi³tir. Yani genelle³tirilmi³Nörlund toplanabilirlik ile Cesàro toplanabilirli§in Cauchy çarpm Cesàro toplanabilir-li§e indirgenebilir.

Kaynaklar:

[1] J. Boos, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford University Press,New York, 2000.

[2] E. Cesàro, Sur la multiplication des series,Bull. Sci. Math., 14 (1890), no. 1, 114120.

[3] G. H. Hardy, Divergent Series, Oxford, 1948.[4] A. Nesin, Analiz II, Nesin Yaynclk, stanbul, 2011.[5] N. E. Nörlund, Lunds Unversitet Arskrift, (2), 16 (1920), no. 3, pp. 8.[6] J. R. Nurcombe, Limitation and ineectiveness theorems for generalized Nörlund

summability, Analysis 9 (1989), 347356.[7] G. M. Petersen, Regular Matrix Transformations, McGraw-Hill Pub-lishing Com-

pany Limited, London-New York-Toronto-Sidney, 1966.[8] L. L. Silverman, On the Denition of the Sum of Divergent Series, Dissertation

Colimbia, Missouri, 1913.

62


Genelle³tirilmi³ Spline Modüllerinin Taban veSerbestlikleri Üzerine

Samet Saro§lan (a), Selma Altnok Bhupal (b)


(b)Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

R birimli, de§i³meli bir halka, G = (V,E) sonlu, ba§lantl bir graf ve α : E →R halkasnn idealleri bir kenar etiketi fonksiyonu olmak üzere (G,α) ikilisine bir ke-nar etiketli graf denir. Kenar etiketli bir graf üzerinde herhangi iki u ve v kö³elerinibirbirine ba§layan her uv kenar için fu − fv ∈ α(uv) olacak ³ekilde bir F ∈ R|V | kö³eetiketlemesine (G,α) üzerinde bir genelle³tirilmi³ spline denir. Kenar etiketli bir grafüzerinde tanml genelle³tirilmi³ splinelar kümesi halka ve R-modül yaplarna sahiptir.

Bu çal³mada genelle³tirilmi³ spline modüllerinin taban ve serbestlik kriterleri üze-rine elde edilen sonuçlar payla³lacaktr.

63


Tümör Matematiksel Modelinde Flip ÇatallanmaAnalizi

Senol Kartal

Nev³ehir Hac Bekta³ Veli Üniversitesi, Matematik ve Fen Bilimleri E§itimi Bölümü,Nev³ehir, Türkiye


Bu çal³mada tümör büyümesini modelleyen bir tamde§er fonksiyonlu diferansiyeldenklem ele alnm³tr. Bu denklemin alt aralklarnda çözümlerinden bir fark denklemsistemi elde edilmi³tir. Elde edilen fark denklem sisteminin pozitif denge noktasnn yerelasimptotik kararl olmasn sa§layan ko³ullar tümör büyüme orann temsil eden r pa-rametresine ba§l olarak elde edilmi³tir. Ancak kanser dinami§ini daha iyi anlamak içinkararllk analizinin yan sra çatallanma analizinede ihtiyaç duyulmaktadr. Bu nedenleçatallanma analizi ile modelde Flip çatallanmasnn olu³tu§u teorik olarak gösterilmi³tir.Daha sonra bu teorik sonuçlar nümerik simulasyonlarla desteklenmi³tir. Ayrca Lyapu-nov üstellerinin hesaplanmasyla kanser hücreleri için kontrolsüz tümör büyümesiningözlendi§i gösterilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] Y. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, Oxford Springer-Verlag,Newyork, 1998.

[2] F. Bozkurt, Modeling a tumor growth with piecewise constant arguments, DiscreteDyn. Nat. Soc. 2013 (2013), Article ID 841764.

[3] Z. He and B. Li, Complex dynamic behavior of a discrete time predator-preysystem of Holling-III type, Adv. Dier. Equ. 180 (2014).

[4] M. Peng, Multiple bifurcations and periodic "bubbling" in a delay populationmodel, Chaos. Soliton. Fract. 25 (2005), no. 5, 1123-1130.

[5] S. M. S. Rana, Bifurcation and complex dynamics of a discrete-time predator-preysystem, Comput. Ecol. Softw. 5 (2015), no. 2, 187-200.

[6] H. N. Agiza, E. M. Elabbasy, H. EL. Metwally and A. A. Elsadany, Chaoticdynamics of a discrete prey-predator model with Holling type II, Nonlinear Anal.Real. 10 (2009), no. 1, 116-129.

64


Kod Tabanl Kuantum Sonras AlgoritmalarnParametrelerinin Kar³la³trlmas

Sevde Kara ve Burcu Ecem Ylmaz

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected]

Açk anahtarl kriptosistemler ³ifreleme, imzalama ve anahtar payla³m amacylakullanlmaktadr. 1970'li yllardan itibaren önerilen açk anahtarl algoritmalardan ba-zlar ise çarpanlara ayrma problemine dayal RSA, ayrk logaritma problemine dayalDie-Hellman anahtar de§i³imi ve DSA (Dijital mza Algoritmas), eliptik e§ri ayrklogaritma problemine dayal ECC (Eliptik E§ri Kriptosistemi) ve kod-çözme probleminedayal McEliece'dir [1].

Günümüzde RSA, Die-Hellman Anahtar De§i³imi, DSA ve ECC yaygn olarakkullanlmaktadr. Bu algoritmalarn kullanm sebebi performanslar ve anahtar uzun-luklardr. McEliece sistemi ise güvenli olmasna kar³n anahtar uzunlu§unun di§erlerinegöre daha büyük olmas sebebiyle yeterince ilgi görmemi³tir. Fakat son yllarda klasikbilgisayarlar için çözülmesi zor olan matematik problemlerini çözebilmek adna kuantumbilgisayarlarla ilgili pek çok çal³ma yaplmaktadr. Büyük çapta kuantum bilgisayarlarüretilebilirse, ³uan kullanlmakta olan açk anahtarl kriptosistemlerin dayand§ çar-panlara ayrma ve ayrk logaritma problemleri Shor algoritmas [2] ile polinom zamandakrlabilecektir. Bu durumda birçok güvenlik uygulamasnda sorunlar ya³anacaktr. Kla-sik ve kuantum bilgisayarlarla yaplan ataklara dayankl kriptograk sistemlerin geli³-tirilmesi kuantum sonras (post-kuantum) kriptogranin temel amacdr. Bu kapsamdakod tabanl, kafes tabanl, çok de§i³kenli polinom tabanl, özet fonksiyonlar tabanlve eliptik e§ri tabanl sistemler geli³tirilmeye ba³lanm³tr. Klasik McEliece algoritmasgünümüzde hala geli³tirilerek, kuantum dayankll§ bozulmadan parametre güncelle³-tirmeleri/iyile³tirmeleri yaplmaktadr. Hali hazrda kullanlmakta olan açk anahtarlalgoritmalar krmak için yeterli büyüklükte kuantum bilgisayarlarn 20 yl gibi bir süreiçerisinde üretilece§i tahmin edilmektedir. Modern açk anahtarl kriptogra altyapla-rnn yaylmas neredeyse 20 yl ald§ndan, kuantum bilgisayarlarn üretim zaman tamolarak tahmin edilemese de kuantum bilgisayarlara dayankl bilgi güvenlik sistemlerinin³imdiden hazrlanmaya ba³lanmas gerekmektedir. Bu anlamda NIST(National Instituteof Standards and Technology) kuantum dayankl bir ya da daha fazla açk anahtarlkriptograk algoritmay de§erlendirmek ve standartla³trmak için bir süreç ba³latm³tr[3].

Bu çal³mada Klasik McEliece'in yan sra NIST'in Kuantum Sonras KriptograStandartla³trma ça§rsna sunulan kod tabanl algoritmalarn detaylar sunulacak veparametre kar³la³trmalar yaplacaktr.

(*) Bu çal³ma Çetin Ürti³ ve Zülfükar Sayg ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] R. J. McEliece, A public-key cryptosystem based on algebraic coding theory, deepspace network progress report, Jet Propulsion Lab., California Inst. Technology,(1978), 114116.

[2] P. W. Shor, Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete loga-rithms on a quantum computer, SIAM Review, 41 (1999), no. 2, 303332.

[3] https://csrc.nist.gov/projects/post-quantum-cryptography

65


Gecikmeli Reaksiyon-Difüzyon Tümör-Ba§³klkSistemi Etkile³imi Modelinin Hopf Çatallanma

Analizi

eyma Kayan (a), Hüseyin Merdan (b), Radouane Yaa (c) ve Serdar Göktepe (d)

(a)Çankaya Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, TürkiyeTOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiye

e-posta: [email protected], [email protected]


(c)Ibn Zohr Üniversitesi, Agadir, Fase-posta: [email protected]

(d)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, n³aat Mühendisli§i Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, tümör hücreleri ile ba§³klk sistemi arasndaki rekabet, tek gecikmeiçeren ve Neumann snr ko³ullarna sahip bir reaksiyon-difüzyon sistemi ile tanmlanm³-tr. Gecikme teriminin de§i³imine ba§l olarak ortaya çkan periyodik çözümlerin varl§ve özellikleri analiz edilmi³tir. Bunun için gecikme terimi çatallanma parametresi olarakalnp Hopf çatallanmann ortaya çkt§ ko³ullar belirlenmi³tir. Bu ³ekilde varl§ garantiedilen periyodik çözümlerin özelliklerini belirlemek için ise sistem merkez manifoldunaindirgenmi³tir.

66


Homojen Monomial Gruplar

Sezen Bostan

Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

H herhangi bir grup ve Ω = x1, .., xm de§i³kenler kümesi olsun. Her bir de§i³keninH grubundan bir elemanla formal olarak çarplm³ ba³ka bir de§i³kene gönderilmesiyleolu³turulan olu³turulan

ρ =

(x1 x2 ... xmr1xi1 r2xi2 ... rmxim

)tipindeki dönü³ümlere H üzerinde monomial dönü³üm denir.. Grup elemanlar ri lereρ nun çarpanlar ya da faktörleri denir ve rx çarpmas birle³me özelli§ine sahiptir. mtane de§i³ken kullanlarak olu³turulan bütün monomial dönü³ümlerin kümesi bir grupolu³turur ve Σm(H) ile gösterilir. Bu gruplara H üzerindeki tam monomial grup ya daH grubnun simetrisi denir. Ore, sonlu dereceli tam monomial gruplarn yapsn ve genelözelliklerini çal³m³tr [1].

ξ = (p1, p2, ...) bir asal say dizisi olsun ve her bir i için, αpi : Σpi(H)→ Σpipi+1(H),ΣN(H) in(

[ccc|c|ccc|c]x1 .. xpi ... x(pi+1−1)pi+1 .. x(pi+1−1)pi+pi ...h1xj1 .. hpixjns ... h1x(pi+1−1)pi+j1 .. hpix(pi+1−1)pi+jpi

...

)³eklindeki elemanlarn veren gömmeler olsun. Bu tipteki elemanlara ξ-periyodik denir.Böylece,

Σpi(H)αpi−→ Σpipi+1(H)

αpi+1

−→ Σpipi+1pi+2(H)αpi+2

−→ ...

ile, bütün ξ-periyodik elemanlardan olu³an, direkt limit grubu olu³turulur. Bu gruba Hüzerindeki ξ-homojen monomial grup, Σξ(H), denir. Sξ homojen simetrik grup [2] veB(ξ,H) taban grubu olmak üzere,

Σξ(H) ∼= B(ξ,H) o Sξ

Bu sunumda, Σξ(H) gruplarnn nasl olu³turuldu§u, genel yaps anlatlacak veB(ξ,H) grubunun Σξ(H) içerisinde karakteristik altgrup oldu§u gösterilecektir.

Kaynaklar:

[1] O. Ore, Theory of Monomial groups, Transactions of the American MathematicalSociety, 51 (1942), no. 1, 1564.

[2] N. V. Kroshko and V. I. Sushchansky, Direct limits of symmetric and alternatinggroups with strictly diagonal embeddings, Archiv der Mathematik, 71 (1998), no.3, 173182.

67


Kuantum Sonras Latis Tabanl AnahtarKapsülleme Algoritmalarnn ncelenmesi

Sibel Kurt ve O§uz Yayla

Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected]

Kuantum bilgisayarlarn gelmesiyle günümüzdeki kriptograk sistemlerin ço§ununkrlaca§ bilinmektedir. Bu yüzden kuantum bilgisayarlara dayankl yeni algoritma-lar üretilmesi gerekmektedir. Bununla birlikte, kuantum bilgisayarlardaki ilerlemeler,³u anda kullanlan genel anahtar ³ifreleme algoritmalarnn dayand§ güvenlik varsa-ymlarn zayatmakta ve tehdit etmektedir [3]. Bu yüzden dünya genelinde kuantumsonras (post quantum) için en etkili ve en güvenli algoritmay geli³tirme yar³ vardr[3]. Bu algoritmalar genelde latis tabanl, kod tabanl ve çok de§i³kenli polinom tabanlmatematiksel yaplara dayanmaktadr [1]. Latis tabanl algoritmalar ile üretilen açkanahtarl kriptograk sistemler, kuantum sonras kriptograk algoritmalar için en güçlüseçeneklerden biri olarak ortaya çkm³tr. nternet üzerinden i³lem yapmak için yay-gn olarak açk anahtar algoritmalar kullanlr[2]. Bu çal³mada anahtar kapsülleme dedenilen, kriptograk anahtar üretimi algoritmalar çal³lm³tr. Anahtar kapsülleme, asi-metrik (public-key) algoritmalar kullanlarak; simetrik kriptograde kullanlmak üzeretasarlanm³ bir ³ifreleme tekni§idir. Pratikte, açk anahtar sistemleri uzun mesajlarniletilmesinde kullan³szdr. Simetrik anahtarlar mesaj ³ifrelemek için kullanlr; ancakbu anahtarlar genellikle ksa oldu§u için, tam güvenlik sa§lamada yetersiz kalrlar. Açkanahtar sistemi bu noktada devreye girer ve simetrik anahtarlarn de§i³imi için kullan-lrlar[1]. Kuantum sonras kriptograk anahtar de§i³imi için latis tabanl baz anahtarkapsülleme yöntemleri bulunmaktadr. Bu çal³mada NIST tarafndan açlan yar³mayakatlan latis tabanl birçok anahtar kapsülleme algoritmalar incelenmi³; ayrca algorit-malarn anahtar uzunlu§u, ³ifreleme yöntemi ve parametreleri birbirleriyle kar³la³t-rlm³tr. ncelenen algoritmalar, NIST tarafndan açlan yar³mada birinci turu geçenalgoritmalardan, KINDI, LIMA,TITANIUM, NTRUencrypt, Round2, LAC, LOTUS,OKCN/AKCN/CNKE algoritmalardr. Ele alnan algoritmalarn dayand§ zorluklarSVC, LWE, SIS olarak bilinen problemlerdir. Bu problemleri zor klan matematikselyaplar ele alnm³tr.

Kaynaklar:

[1] D. J. Bernstein, Introduction to post-quantum cryptography. In Post-quantumcryptography, pp. 114, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009.

[2] C. Peikert, Lattice cryptography for the internet. In International Workshop onPost-Quantum Cryptography, pp. 197219, Springer, Cham, 2014.

[3] L. Chen, L. Chen, S. Jordan, Y. K. Liu, D. Moody, R. Peralta, D. Smith-Tone,et. al., Report on post-quantum cryptography. US Department of Commerce, Na-tional Institute of Standards and Technology, 2016

68


A³r Dönen Kontakt Ameliyatlar

Sinem Onaran


Kontakt ameliyatlar, kontakt 3-manifold içerisinde bulunan Legendre dü§ümlerineyaplarak yeni kontakt 3-manifold elde etmemize yarayan operasyonlardr. Kontakt 3-manifoldlar, tayt ve a³r dönen olmak üzere iki gruba ayrlr. Bu konu³mada Legendredü§ümlerine yaplan kontakt ameliyat operasyonu tanmlanarak, örnekler verilecektir.Daha sonra kontakt (+1/n)-ameliyatlar hangi durumlarda a³r dönen kontakt 3-manifoldverir sorusunun cevab ile ilgili elde edilen yeni sonuçlardan bahsedilecektir.

(*) Bu çal³ma TÜBTAK tarafndan 115F519 no'lu proje deste§i ile yürütülmektedir.

Kaynaklar:

[1] J. B. Etnyre, Legendrian and transversal knots, Handbook of Knot Throry, Else-vier B. V., Amsterdam, (2005), 105185.

[2] H. Geiges, An introduction to contact topology, Cambridge University Press,Cambridge, 2008.

[3] S. Onaran, On overtwisted contact surgeries, Bulletin of the Australian Mathe-matical Society dergisine kabul edildi, 2017.

69


Genelle³tirilmi³ (s, t)-Jacobsthal Matris DizilerininBinom Dönü³ümleri

ükran Uygun

Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölüm, Gaziantep, Türkiyee-posta:[email protected]

Bu çal³mada öncelikle (s, t)-Jacobsthal (Jn (s, t))n∈N , (s, t)-Jacobsthal Lucas(Cn (s, t))n∈N ve genelle³tirilmi³ (s, t)-Jacobsthal (<n (s, t))n∈N matris dizileri tanmlan-m³, bu tanmlardan yola çklarak bu matris dizilerinin binom dönü³ümleri verilmi³itir.(s, t)-Jacobsthal (Jn (s, t))n∈N , (s, t)-Jacobsthal Lucas (Cn (s, t))n∈N ve genelle³tirilmi³(s, t)-Jacobsthal (<n (s, t))n∈N matris dizilerinin yineleme ba§ntlar ve binom dönü³üm-leri elde edilimi³tir. Bu binom dönü³üm matris dizilerinin yineleme ba§ntlar kullan-larak üreteç fonksiyonlar elde edilmi³tir. Ayrca bu binom dönü³üm matris dizileri içinçe³itli ba§ntlar çkarlm³tr.

Kaynaklar:

[1] K. Uslu and . Uygun, The (s, t)-Jacobsthal and (s, t)-Jacobsthal-Lucas Matrixsequences, ARS Combinatoria, 108 (2013) 1322.

[2] Y. Yazlk, N. Ylmaz and N. Taskara, The Generalized (s, t)-matrix sequence'sbinomial transforms, Gen. Math. Notes, 24 (2014), no. 1, 127136.

[3] H. Civciv and R. Turkmen, On the (s, t)-Fibonacci and Fibonacci matrix sequen-ces, ARS Combinatoria, 87 (2008) 161173.

[4] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley and SonsInc. NY, 2001.

[5] A. F. Horadam, Jacobsthal representation numbers, The Fibonacci Quarterly, 34(1996), no. 1, 4054

70


Chlodowsky-Szász-Sheer-KantorovichOperatörleri ile Yakla³m

ule Yüksel Güngör (a) ve Nurhayat spir (b)



A(t) =∞∑k=0

aktk, (a0 6= 0) ve H(t) =

∞∑k=1

hktk, (h1 6= 0), |t| < R de analitik fonksiyon-

lar olsun. pk(x) Sheer polinomlar

A(t) exp(xH(t)) =

∞∑k=0

pk(x)tk

tipinde üreteç fonksiyonlar ile belirlenir.Bu konu³mada, iki de§i³kenli Chlodowsky-Szász-Kantorovich operatörlerinin Sheer

polinomlarn içeren bir genelle³tirmesi tanmlanarak, bu operatörlerin integrallenebilenfonksiyonlara yakla³m incelenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] S. G. Gal, Approximation with an arbitrary order by generalized Szász-Mirakjanoperators, Stud. Univ. Babe³-Bolyai Math. 59 (2014), no. 1, 7781.

[2] M. Mursaleen and K. J. Ansari, Approximation by generalized Szász operatorsinvolving Sheer polynomials, arXiv:1601.00675 [math.CA], (2015).

[3] N. Rao, A. Wa and Deepmala, Approximation by Szász Type Operators IncludingSheer Polynomials, J. Math. Appl. 40 (2017), 135148.

[4] S. Sucu and E. Ibikli, Rate of convergence for Szász type operators includingSheer polynomials, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. 58 (2013), no. 1, 5563.

[5] S. Sucu and I. Büyükyazc, Integral operators containing Sheer polynomials,Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 4 (2012), no. 4, 5666.

71


Derece ndirgeme Yöntemi çin Hata Tahminleri

Tu§ba Akman Yldz

Türk Hava Kurumu Üniversitesi, ³letmeBölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected]

Uzay ve zamanda ayr³trlan ksmi diferansiyel denklemlerin düzgün çözümlerininelde edilebilmesi, yüksek boyutlu denklem sistemlerinin çözülebilmesine ba§ldr. Sis-temdeki parametrelerin oynakl§ söz konusu oldu§unda, bu sistemin tekrar çözülmesigerekmektedir. Derece indirgeme teknikleri ise, sistemin asl parametrelerine ba§l olançözümü kullanarak yeni bir baz olu³turup, yakla³k çözüme yakn yeni bir çözüm eldeetmeyi amaçlar. Böylece, parametrelerin oynamas durumunda, indergenmi³ modelin çö-zümü hzl bir ³ekilde elde edilir.

Bu çal³mada, difüzyon-konveksiyon-reaksiyon denklemi, uzay-zaman kesikli Galer-kin yöntemi ile ayr³trlm³tr. Ardndan, yakla³k çözüm ve indergenmi³ modelin çözü-münün arasndaki hata pay için hata analizi çal³mas yaplm³tr. Elde edilen saysalçözümler ile teorik sonuçlar kar³la³trlarak, uygulanan tekni§in katks gösterilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] T. Akman, Error estimates for spacetime discontinuous Galerkin formulationbased on proper orthogonal decomposition, Appl. Anal. 96 (2017), no. 3, 461482.

72


Nilpotent Olmayan Her Altgrubu Altnormal OlanGruplar

Tu§çe Küçüko§lu

Gazi Üniversitesi , Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Torsiyonsuz lokal çözülebilir-by-sonlu gruplarn her nilpotent olmayan altgrubu alt-normal ise böyle gruplarn nilpotent oldu§u [7] de gösterilmi³tir. Lokal sonlu gruplardaböyle olmad§na dair örnek Heineken-Mohamed gruplardr [5]. Möhres her altgrubualtnormal olan grubun çözülebilir oldu§unu göstermi³tir [6]. Asar'n son çal³mas [4]te her öz altgrubu nilpotent olan lokal sonlu gruplarn kendisinin çözülebilir oldu§ugösterilmi³tir. Bu çal³mada ise nilpotent olmayan her altgrubu altnormal olan lokalçözülebilir-by-sonlu grubun çözülebilir ve lokal sonlu radikalinin bir torsiyonsuz nilpo-tent geni³lemesi oldu§u gösterilmi³tir. Nilpotent olmayan her altgrubunun altnormallikindeksi snrl olan lokal graded grubun çözülebilir oldu§u, ayrca her nilpotent olmayanaltgrubu altnormal olan lokal sonlu grubun hemen hemen lokal nilpotent oldu§u gösteril-mi³tir. Lokal sonlu Baer grubun her nilpotent olmayan altgrubu altnormal ise grubun heraltgrubu altnormaldir ve nilpotent olmayan her altgrubu altnormal olan lokal sonlu gru-bun sonlu indeksli normal altgrubunun her altgrubunun altnormal oldu§u ispatlanm³tr.Her nilpotent olmayan altgrubu altnormal olan hipermerkez grubun nilpotent-by-sonluoldu§u incelenmi³tir.

Kaynaklar:

[1] H. Smith, Groups with all non-nilpotent subgroups subnormal, Topics in innitegroups, Quaderni di Matematika 8 (2001), 309326.

[2] D. J. S. Robinson, A course in the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York,1991.

[3] D. J. S. Robinson, Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups Part1-2, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[4] A. O. Asar, Locally nilpotent p-groups whose proper subgroups are hypercentral ornilpotent-by-Chernikov, Journal of London Mathematical Society 2 (2000), 412422.

[5] H. Heineken and I. J. Mohamed, A group with trivial centre satisfying the nor-malizer condition, Journal of Algebra 10 (1968), 368376.

[6] W. Möhres, Torsion frei Gruppen, deren Untergruppen alle subnormal sind, Mat-hematische Annalen 84 (1989), 254259.

[7] H. Smith, Hypercentral groups with all subgroups subnormal, London Mathema-tical Society 15 (1983), 229234.

73


Maksimum-Minimum Operatörlerinin Yakla³mÖzellikleri

Türkan Yeliz Gökçer (a) ve Oktay Duman (b)



Bede ve arkada³lar tarafndan pseudo lineerlik ³artn sa§layan maksimum-çarpmoperatörleri ve maksimum-minimum çarpm operatörlerinin yakla³m özellikleri verilmi³-tir (bkz. [1]). Pseudo lineerlik bilinen lineerlikten daha zayf oldu§u için klasik Korov-kin teorisi bu opertörler için çal³mamaktadr. [3]'te maksimum-çarpm operatörlerininistatistiksel yakla³m incelenirken, [4]'te ayn operatörlerin toplanabilme metotlar yar-dmyla yakla³mlar çal³lm³tr.

Bu sunumda, maksimumum-minimum operatörelerinin yakla³m özellikleri üzerindeduraca§z. Bu alanda literatürde Shepard operatörü gibi belirli operatörler için bilinenyakla³m sonuçlarn daha genel maksimum-minimum operatörleri için daha zayf ko-³ullar altnda gerçeklenece§ini gösterece§iz. Bunun için yakla³mda Bell [2] tarafndanverilmi³ olan regüler toplanabilme metotlarn kullanaca§z. Burada elde edilen sonuçlar,klasik yaknsaklk, aritmetik ortalama yaknsaklk, hemen hemen yaknsaklk gibi bili-nen pekçok regüler toplanabilme metotlarn da içermektedir. Son olarak konuyla ilgiliuygulamalar üzerinde duraca§z.

Kaynaklar:

[1] B. Bede, H. Nobuharab, M. Dankova and A. Di Nola, Approximation by pseudo-linear operators, Fuzzy Sets and Systems 159 (2008), 804820.

[2] H. T. Bell, Order summability and almost convergence. Proc. Amer. Math. Soc.38 (1973), 548552.

[3] O. Duman, Statistical convergence of max-product approximating operators, Turk.J. Math. 34 (2010), 501514.

[4] T. Y. Gökçer and O. Duman, Summation process by max-product operators. InComputational Analysis, vol. 155, pp. 5967, Springer Proc. Math. Stat., Sprin-ger, New York, 2016.

74


Hipereliptik Lefschetz Liemelerinin Tekil LifSaylar

Tülin Altunöz

Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Gompf ve Donaldson'n sonuçlar Lefschetz liemeleriyle simplektik 4-manifoldlararasnda ili³ki kurmaktadr [1]. Bu ili³ki sayesinde simplektik 4-manifoldlar Lefschetzliemeleri yaps yardmyla kombinatorik olarak incelenebilmektedir.

Lefschetz liemelerinin tekil lif saylar bu manifoldlarla ilgili önemli bilgiler ver-mektedir. Bu çal³mada, Lefschetz liemelerinin özel bir snf olan hiperliptik Lefschetzliemelerinin tekil lierinin minimal saylarnn bilinen snrlar [2] geli³tirilmi³, ayrcabaz durumlarda bu saynn tam de§eri bulunmu³tur.

Kaynaklar:

[1] R. E. Gompf and A. I. Stipsicz, 4-manifolds and Kirby calculus, Amer. Math. Soc.Providence, RI, 1999.

[2] M. Korkmaz, Noncomplex smooth 4-manifolds with Lefschetz brations, Internat.Math. Res. Notices. (2001), no. 3, 115128.

75


Homojen Simetrik Gruplarn Seviye KorumayanOtomorzmalar

Ülviye Bü³ra Güven

Atlm Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Birbirinden farkl olmak zorunda olmayan bir asal say dizisi ξ = (p1, p2, . . .) ala-lm. Sonlu simterik gruplarn direkt limitleriyle olu³turulan ve ξ dizisi ile snandrlan

S(χ(ξ)) =∞⋃i=1

S(ni) gruplarna homojen simetrik gruplar denir. Bu gruplarn otomor-

zma gruplar Lavreniuk ve Suschansky tarafndan [1] makalesinde çal³lm³tr.

Her i ≥ 1 için, ni = p1p2 . . . pi olsun ve ni saylarn içeren dizi deN = (n1, n2, n3, . . .)

olsun. S(χ(ξ)) =∞⋃i=1

S(ni) homojen simetrik grubunu dü³ünelim. E§er N dizisinin her-

hangi bir M = (m1,m2, . . .) alt dizisi için bu grubun bir α otomorzmas, her i ≥ 1için α(S(mi)) = S(mi) e³itli§ini sa§lyorsa, α'ya M -seviye koruyan otomorzma denilir.[1] numaral makalede homojen simetrik gruplarn saylamaz çoklukta seviye koruyanotomorzmalar oldu§u gösterilmi³tir. Bu konu³mada a³a§daki do§al soruyu cevaplan-draca§z;

S(χ(ξ)) gruplarnn hiçbir ni seviyesini korumayan otomorzmalar var mdr?

Sorunun yant olarak saylamaz çoklukta seviye korumayan otomorzma bulabile-ce§imizi gösterece§iz.

(*) Bu çal³ma Prof. Dr. Mahmut Kuzucuo§lu ile ortak yaplm³tr.

Kaynaklar:

[1] Y. V. Lavreniuk and V. I. Suschansky, Automorphisms of homogeneous symmetricgroups and hierarchomorphisms of rooted trees. Algebra and Discrete Mathema-tics. 4 (2003), 3349.

[2] Ü. B. Güven and M. Kuzucuo§lu, Normalizers of nite subgroups in homogeneoussymmetric groups and automorphisms. In preparation.

76


Gottlieb Polinomlarnn q-Analo§u

Yakup Avci (a) ve Esra Erku³-Duman (b)


(b) Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta:[email protected]

Bu çal³ma Gottlieb polinomlarnn bir q-analogu üzerine yaplm³tr. Son yllardaklasik ortogonal polinomlardan ba³ka farkl polinomlar üzerinde de çal³lmaktadr. Tekde§i³kenli Gottlieb polinomlarnn bir kaç farkl do§urucu fonksiyonu bilinmektedir [1],[2]. Choi, bu polinomlarn çok de§i³kenlisini tanmlam³ ve bunlar için do§urucu fonksi-yonlar elde etmi³tir [3]. Daha sonralar, bu polinomlarn tek ve çok de§i³kenli hallerininq-analoglar yaplm³ ve do§urucu fonksiyonlar bulunmu³tur [4], [5], [6]. Bu çal³mada,Gottlieb polinomlar ve q-analo§u için multilineer ve multilateral do§urucu fonksiyonlarveren teoremler elde edilmi³ ve bu teoremlerin özel durumlar üzerinde durulmu³tur.Ayrca, bu polinomlar için rekürans ba§ntlar verilmi³tir.

Kaynaklar:

[1] A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, and F. G. Tricomi, Higher transcenden-tal functions, Vol. III. McGraw-Hill Book Company, New York-Toronto-London,1955.

[2] M. A. Khan and M. Akhlaq, Some new generating functions for gottlieb polyno-mials of several variables, Int. Trans. Appl. Sci. 1 (2009), no. 4, 567570.

[3] J. Choi, A generalization of Gottlieb polynomials in several variables, Appl. Math.Lett. 25 (2012), no. 1, 4346.

[4] M. A. Khan and M. Asif, A note on generating functions of q−Gottlieb polyno-mials, Commun. Korean Math. Soc. 27 (2012), 159166.

[5] J. Choi, q−Extension of a generalization of Gottlieb polynomials in two variables,J. Chungcheong Math. Soc. 25 (2012), 253265.

[6] J. Choi, and H. M. Srivastava, q−Extension of a multivariable and multiparametergeneralization of the Gottlieb polynomials in several variables. Tokyo J. Math. 37(2014), no. 1, 111125.

77


ki Eliptik E§rinin Mod p lk De§i³mezFaktörlerinin Aralarnda Asall§ Üzerine

Yldrm Akbal

Atlm Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

E rasyonel saylar cismi üzerinde tanmlanm³ bir eliptik e§ri olsun. Bu eliptik e§rinindiskriminantn bölmeyen bir p asal için ep | lp olmak üzere E(Fp) = Z/epZ × Z/lpZ³eklinde yazlabilir. Burada ep saysna E'nin ilk de§i³mez faktörü denir. ep saylarnda§lm E eliptik e§risi hakknda bir çok bilgi içerir, mesela ep = 1 ³artnn sonsuzçoklukta p asal tarafndan sa§land§, yani E(Fp) grubunun sonsuz çoklukta p asal içindairesel oldu§u, ilk kez 1972 ylnda Serre tarafndan gösterilmi³tir.

Bu konu³mada alnan iki tane elliptik e§rinin mod p'deki ilk de§i³mez faktörlerininhangi ³artlar altnda asal olup olmad§na bakaca§z ve bu ³art sa§latan asal saylar içinGenel Riemann Hipotezi varsaym altnda bir asimptotik formül verece§iz.

Kaynaklar:

[1] J.-P. Serre, Propriétés galoisiennes des points d'ordre ni des courbes elliptiques.Invent. Math. 15 (1972), 259331.

[2] A. C. Cojocaru and M. R. Murty, Cyclicity of elliptic curves modulo p and ellipticcurve analogues of Linnik's Problem, Mathematische Annalen, 330 (2004), 601625.

78


Yerel Kat Vektör Örgüsünde uτ -Yaknsaklk

Y. A. Dabboorasad (a), E. Y. Emelyanov (a) ve M. A. A. Marabeh (a).

(a)Orta Do§u Teknik Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]; [email protected];

[email protected]

xα yerel kat vektör örgüsü (X, τ) da bir net olsun. E§er her w ∈ X+ için |xα −x| ∧ w τ−→ 0 oluyorsa, bu durumda xα neti x ∈ X vektörüne snrsz τ -yaknsaktr diye-ce§iz. Snrsz norm yaknsamann bir genellemesi olan snrsz τ -yaknsakl§n (ksaca,uτ -yaknsakl§n) genel özelliklerini cal³tk. Ayrca, multi normlu vektör örgülerde uτ -yaknsamann önemli çe³iti olan snrszm-yaknsaklk veya (ksaca um-yaknsaklk) çal-³lm³tr. Snrsz sra yaknsakl§nn aksine, uτ -yaknsakl§ ve um-yaknsakl§ topolojikoldu§u ve bunlara kar³lk gelen topolojilerin snrsz norm topolojinin genellemelerinekar³lk geldi§i gösterilmi³tir (cf. [1], [2]).

Kaynaklar:

[1] Y. A. Dabboorasad, E. Y. Emelyanov and M. A. A. Marabeh, uτ -Convergence inlocally solid vector lattices, Positivity-2018, https://doi.org/10.1007/s11117-018-0559-4.

[2] Y. A. Dabboorasad, E. Y. Emelyanov and M. A. A. Marabeh, um-Topologyin multi-normed vector lattices, Positivity-2017, https://doi.org/10.1007/s11117-017-0533-6.

79


Null Noktalarn Geometrisi

Zehra Özdemir

Amasya Üniversitesi, Matematik Bölümü, Amasya, Türkiyee-posta: [email protected]

Üç boyutta bir null noktann yapsn, bir dönen e§rive bir fan düzlemiolu³turur.Dönen e§ri yapdaki null noktaya yakla³r ve fan düzlemine yaylr. 3-boyutlu uzaydaplazma yüzeyi gibi dönen e§riyi parametre e§risi kabul eden yüzeyler vardr bu yüzeylededeformasyon gibi ideal olmayan etkiler ortaya çkar. Bu durum genellikle null noktalardameydana gelir ve bu yüzeylerde topolojik degi³iklige yol açar.

Bu çal³mada uzaydaki bu tip yüzeylerdeki topolojik degi³iklikler örnekler verilerekgeometrik olarak incelenecektir.

Kaynaklar:

[1] V. Olshevsky, J. Deca, A. Divin, I. B. Peng, S. Markidis, M. E. Innocenti, E.Cazzola and G. Lapenta, Magnetic null points in kinetic simulations of spaceplasmas, The Astrophysical Journal, 819 (2016), no. 52, 114.

[2] B. R. Bird, W. E. Stewart and E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley,1960.

[3] A. H. Boozer, Physics of magnetically conned plasmas. Rev. Mod. Phys. 76(2005), 70 pp.

80


Carleson E§rileri Üzerinde Tanml ModiyeMorrey Uzaylarnda Potansiyel Operatörler

Zeynep Çakr

Ankara Üniversitesi, Matematik Bölümü, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, Γ Carleson e§risi üzerinde tanml Lp,λ(Γ) modiye Morrey uzayla-

rnda IαΓ potansiyel operatörü incelenmi³tir. 0 < α < 1 ve 1 < p <1− λα

olmak üzere

e§er Γ sonlu bir e§ri ve α ≤ 1

p− 1

q≤ α

1− λ ise IαΓ nn Lp,λ(Γ) dan Lq,λ(Γ) ya snrl

oldu§u ve Γ sonsuz bir e§ri ise IαΓ nn Lp,λ(Γ) dan Lq,λ(Γ) ya snrl olmas için gerek

ve yeter ³artn α ≤ 1

p− 1

q≤ α

1− λ oldu§u ispatlanm³tr. p = 1 limit durumunda IαΓ

nn L1,λ(Γ) dan WLq,λ(Γ) ya snrl oldu§u gösterilmi³tir. Ayrca1− λα≤ p ≤ 1

αlimit

durumunda e§er Γ sonsuz bir e§ri ise IαΓ modiye potansiyel operatörünün Lp,λ(Γ) danBMO(Γ) ya snrl oldu§u ve Γ sonlu bir e§ri ise IαΓ nn Lp,λ(Γ) dan BMO(Γ) ya snrloldu§u ispatlanm³tr.

Kaynaklar:

[1] A. Böttcher, Yu. I. Karlovich, Carleson Curves, Muckenhoupt Weights, and To-eplitz Operators, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag, 1997, 397 pages.

[2] A. Eroglu and I. B. Dadashova, Potential operators on Carleson curves in Morreyspaces, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank. Sér. A1 Math. Stat. 67 (2018), no. 2, 18.

[3] J. I. Mamedkhanov and I. B. Dadashova, Some properties of the potential opera-tors in Morrey spaces dened on Carleson curves, Complex Var. Elliptic Equ. 55(2010), no. 8-10, 937945.

[4] N. Samko, Weighted Hardy and singular operators in Morrey spaces, J. Math.Anal. Appl. 350 (2009), no. 1, 5672.

81


Sonlu Gruplarn Eleman Mertebelerinin Toplam

Ay³e Nur Köksal (a) ve Nil Mansuro§lu (b)

(a)Ahi Evran Üniversitesi, Matematik Bölümü, Kr³ehir, Türkiyee-posta: [email protected]


Literatürde sonlu gruplarn eleman mertebelerinin toplamlar üzerine yaplm³ olançal³malar incelendi ve bu çal³mada amacmz inceledi§imiz çal³malarda kullanlm³olan yöntemlerden yararlanarak simetrik gruplarnn eleman mertebelerinin toplamnverecek formüller elde etmektir.

Kaynaklar:

[1] H. Amiri, S. M. Jafarian Amiri and I. M. Isaacs, Sums of element orders in nitegroups, Comm. Algebra, 37 (2009), 29782980.

[2] M. Tarnauceanu and D. G. Fodor, On the sum of element orders of nite abeliangroups, 10.2478/aicu-2013-0013.

[3] M. Herzog, P. Longobardi and M. Maj, An exact upper bound for sums of elementorders in non-cyclic nite groups, arxiv:161003669v1[math.GR].

[4] H. Amiri and S. M. Jafarian Amiri, Sum of element orders on nite groups of thesame order, J. Algebra Appl. 10 (2011), no. 2, 187190.

82

oduman

Poster Sunumu


Hill Denkleminin Floquet Çözümleri Üzerine

Be³ire Keskin

Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, Gaziantep, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada P (x)y′(x)

′+Q(x)y(x) = 0

biçimindeki Hill denkleminin Floquet çözümleri bulunmu³tur. Öncelikle problemin çö-zümleri için ϕ(x+ a) = ρϕ(x) e³itli§ini sa§layan sfrdan farkl ρ sabitinin varl§ ispat-lanm³ ve daha sonra bu ρ de§erlerinin D = ϕ1(a) + ϕ′2(a) biçimindeki diskriminanttanbulunabilece§i gösterilmi³tir. En son ksmda ise diskriminantn çe³itli de§erlerine göreproblemin Floquet çözümleri yazlm³tr.

Kaynaklar:

[1] M. S. P. Eastham, The Spectral Theory of Periodic Dierential Equations, ScottishAcademic Press, London, 1973.

[2] E. L. Ince, Ordinary Dierential Equations, Dover Publicatios, New York, 1926.

83

oduman

Poster Sunumu


Modüler Uzaylarda Kuvvet Serisi MetoduYardmyla Korovkin Tipli Teoremler

Emre Ta³ (a) ve Tu§ba Yurdakadim (b)


(b)Hitit Üniversitesi, Matematik, Çorum, Türkiyee-posta: [email protected]

Son yllarda Korovkin tipli teoremler modüler uzaylarda (Lp, Orlicz ve Musielak-Orlicz uzaylar) klasik yaknsaklk yerine farkl ve klasi§i de içeren daha genel yakn-saklklar (toplanabilme metotlar tarafndan üretilen yaknsaklklar, istatistiksel ve ltreyaknsaklklar) alnarak çal³lm³tr.

Bu konu³mada iyi bilinen Abel ve Borel metotlarn kapsayan kuvvet serisi metodunukullanarak modüler uzaylarda çe³itli Korovkin tipli teoremler elde edece§iz ve bir örnekverece§iz.

Kaynaklar:

[1] F. Altomare, Korovkin-type theorems and approximation by positive linear ope-rators, Surveys in Approximation Theory 5 (2010), 92164.

[2] C. Bardaro and I. Mantellini, Korovkin's theorem in modular spaces, Comment.Math. 47 (2007), 239253.

[3] C. Bardaro and I. Mantellini, Multivariate moment type operators: approximationproperties in Orlicz spaces, J. Math. Ineq. 2 (2008), 247259.

[4] S. Karakus and K. Demirci, Matrix summability and Korovkin type approximationtheorem on modular spaces, Acta Math. Univ. Commenianae, 2 (2010), 281292.

84

oduman

Poster Sunumu


Leibniz Cebirlerinin Yap Sabitleri

Nil Mansuro§lu (a) ve Mücahit Özkaya (b)



Leibniz cebirleri 1990'larn ba³nda Loday [4] tarafndan Lie cebirlerinin degi³meliolmayan bir genelle³tirmesi olarak tantld ve çal³lmaya ba³land. Her Lie cebirinin birLeibniz cebiri oldu§u ancak bir Leibniz cebirinin her x eleman için [x, x] = 0 ko³ulunusa§larsa bir Lie cebiri olaca§ gösterilmi³tir. Bu çal³mada bizim amacmz Leibniz cebir-lerinin yap sabitleri üzerine incelemeler yapmak ve Leibniz cebirlerinin yap sabitlerininözellikleri hakknda bilgi vermektir. Özellikle Lie cebiri olmayan Leibniz cebirleri üze-rine incelemeler yaplm³tr. Ayrca Lie cebiri olmayan Leibniz cebirleri için baz örneklerverilmi³tir.

(*) Bu çal³ma Ahi Evran Üniversitesi Bilimsel Ara³trma Projeleri Koordinasyon Birimitarafndan desteklenmektedir. Proje numaras FEF.A4.18.009.

Kaynaklar:

[1] A. M. Bloh, A generalization of the concept of Lie algebra, Dokl. Akad. NaukSSSR, 165 (1965), 471473.

[2] K. Erdmann and M. J. Wildon, Introduction to Lie algebras, Springer, (2006).[3] N. Jacobson, Lie Algebras, Dover, 1979.[4] J. L. Loday, Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de

Leibniz, Enseign. Math., 39 (1993), 269293.

85

oduman

Poster Sunumu


Lupa³-Jain Tabanl Öz-Operatörlerle Yakla³m

Nesibe Manav


Bu çal³mada toplamsal integral tipli Lupa³-Szász tabanl operatörlerin genelle³ti-rilmesi tanmland. Tanmlanan bu operatörlerin yakla³m özellikleri, süreklilik modülü,Ditzian-Totik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardmyla incelendi. Lipschitz snfndanolan fonksiyonlar için lokal yakla³m özellikleri verildi.

86

oduman

Poster Sunumu


Örtüsel Esnek Kümeler Üzerine

Pnar a³maz (a) ve Mustafa Burç Kandemir (b)

(a)Mu§la Stk Koçman Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik AnabilimDal, Mu§la, Türkiye


(b)Mu§la Stk Koçman Üniversitesi, Matematik Bölümü, Mu§la, Türkiyee-posta: [email protected]

1999 ylnda Molodtsov [1], bir esnek kümeyi verilen bir evrensel küme üzerinde,evrensel kümenin baz alt kümelerinin bir parametrizasyonu olarak tanmlam³ ve oyunteorisi, yöneylem ara³trmas, analiz ve olaslk teorisi gibi alanlara uygulanabildi§inigöstermi³tir. 2003 ylnda Maji vd. [2] esnek kümelerin, esnek alt küme, esnek birle-³im, esnek kesi³im, esnek tümleyen gibi küme-teorisel i³lemlerini tanmlam³ ve ilgiliözelliklerini incelemi³lerdir. [3]' de Ali vd., [2]' de verilen i³lemleri geni³letmi³ler ve s-nam³lardr.

Biliyoruz ki, verilen bir evrensel küme için bir örtü birle³imleri evrensel kümeyi verenbir kümeler sistemidir. Matemati§in birçok alannda da uygulamas mevcuttur.

Biz bu çal³mada, key bir evrensel küme üzerinde özel bir yapya sahip olan örtüselesnek küme kavramn tanmlayaca§z ve baz temel küme-teorisel sonuçlar verece§iz.

Kaynaklar:

[1] D. Molodtsov, Soft set theory-rst results, Comput. Math. Appl. 37 (1999), 1931.[2] P. K. Maji, R. Biswas and A. R. Roy, Soft set theory, Comput. Math. Appl. 45

(2003), 555562.[3] M. I. Ali, F. Feng, X. Y. Liu, W. K. Min and M. Shabir, On Some New Operations

in Soft Set Theory, Comput. Math. Appl. 57 (2009), 15471553.

87

oduman

Poster Sunumu


Üniversite Ö§rencilerinin Fonksiyon ile lgili³lemsel ve Kavramsal Bilgi Düzeylerinin

ncelenmesi

Seda Arar (a) ve Figen Uysal (b)

(a) Bilecik eyh Edebali Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Bilecik, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Bilecik eyh Edebali Üniversitesi, Matematik Bölümü, Bilecik, Türkiyee-posta: [email protected]

Soyut boyutu oldukça a§r [1] ve anla³lmas oldukça karma³k bir süreç içeren vematematik ders programlarnn önemli bir konusu olan fonksiyon, kavramlar aras ge-çi³leri sa§lamaktadr. Lise yllarnda verilen fonksiyonun tanm, gösterim ³ekilleri, temelözellikleri, çe³itleri, grakleri vb. üniversitede matematik,zik ve mühendislik bölümle-rinde okuyan ö§rencilerin genel matematik, analiz, fonksiyonel analiz gibi derslerinin deyapta³ olmu³tur.

Fonksiyon konusunda sahip olunan bilginin kalite açsndan incelenmesi ve izah edil-mesi için farkl teorik yaplardan yararlanlabilir. Bunlardan biri de i³lemsel bilgi vekavramsal bilgi dü³üncelerini içermektedir [2]. Kavramsal bilgi; en genel haliyle kav-ram, prensipler ve tanmlar bilgisidir. Kavramsal bilgiye sahip olmak sadece kavramntanmn de§il di§er kavramlarla ili³kisini kurabilmektir.

³lemsel bilgi, problem çözmede kullanlan i³lem admlar ve algoritmalar içerenbilgidir. ³lemsel bilgi iki ksmdan olu³ur: Birinci ksmn matemati§in dili ve sembolleriolu³turur. Matematiksel semboller konunun yüzeysel özelliklerini verir ancak anlamnvermez. kinci ksmn ise kurallar ve matematiksel problemleri çözmek için kullanlanba§ntlar olu³turur.

Fonksiyonlarla ilgili birçok çal³ma (kavram yanlglar, ö§renme stratejileri, tarihigeli³imi vb.) yaplmasna ra§men fonksiyonlar i³lemsel ve kavramsal bilgi yönünden in-celeyen bir çal³ma bulunmad§ndan üniversite ö§rencilerinin i³lemsel ve kavramsal bilgidüzeylerini incelemek amacyla fonksiyonun tanm ve de§er kümesini belirleme, fonk-siyonlarn temel cebirsel özelliklerini tanma ve temel cebirsel teknikleri uygulayabilme,fonksiyon graklerini çizme ba³lklar altnda i³lemsel ve kavramsal bilgiyi ölçen 10 adetsoru hazrrlanm³tr. Bu kapsamda bu çal³mann problemleri ³unlardr: Üniversite ö§-rencilerinin fonksiyonlar konusunda i³lemsel bilgi düzeyi nedir? Üniversite ö§rencilerininfonksiyonlar konusunda kavramsal bilgi düzeyi nedir?

Bu çal³mada üniversite ö§rencilerinin fonksiyon konusundaki i³lemsel ve kavramsalbilgi düzeyleri, testten elde edilen veriler yardm ile grak ve tablolar ile ifade edilecektir.

Kaynaklar:

[1] T. Dreyfus, Advanced mathematical thinking. In P. Nesher, J.Kilpatrick (Eds.),Mathematics and cognition: A research synthesis by the International Group forthe Psychology of Mathematics Education, pp. 113-134, Cambridge, England:Cambridge University Press, 1990.

[2] J. Hiebert and P. Lefevre, Conceptual and procedural knowledge in mathema-tics: An introductory analysis. In J. Hiebert (Ed.), Conceptual and proceduralknowledge: The case of mathematics, pp. 127, Hillsdale, NJ:Erlbaum, 1986.

88

oduman

Poster Sunumu


Düzgün statistiksel Yaknsaklk için Alt DizilerYardmyla Sonuçlar

Tu§ba Yurdakadim (a) ve Leila Miller-Van Wieren (b)

(a)Hitit Üniversitesi, Matematik Bölümü, Çorum, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Uluslararas Saraybosna Üniversitesi, Matematik Bölümü, Saraybosna, Bosna-Herseke-posta: [email protected]

Bu konu³mada, verilen bir dizinin yaknsakl§ ve düzgün istatistiksel yaknsakl§arasndaki ili³ki alt diziler yardmyla sunulacaktr. Buradaki sonuçlarn istatistiksel ya-knsaklk ve hemen hemen yaknsaklk için nasl olaca§ çal³lm³ olup kategori, ölçükavramlar yardmyla çe³itli sonuçlar elde edilmi³tir. Ayrca düzgün istatistiksel ya-knsaklk için Cauchy tipli bir karakterizasyon verilecektir. Son olarak bir serinin altserisinin düzgün istatistiksel yaknsakl§na ili³kin sonuçlar sunulacaktr.

Kaynaklar:

[1] V. Balaz and T. Salat, Uniform density u and corresponding Iu- convergence,Mathematical Communications 11 (2006), 1-7.

[2] R. C. Buck, A note on subsequences, Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 924-931.[3] M. Dindo², T. alát and V. Toma, Statistical convergence of innite series, Czec-

hoslovak Math. J. 53 (2003), 989-1000.[4] H. I. Miller and C. Orhan, On almost convergence and statistically convergent

subsequences, Acta. Math. Hungar. 93 (2001), 135-151.

89

oduman

Poster Sunumu


Küme De§erli Dönü³ümler için Sabit NoktaSonuçlar

Tu§çe Alyldz (a) ve Murat Olgun(b)

(a)Ankara Üniversitesi, Matematik, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

(b)Ankara Üniversitesi, Matematik, Ankara, Türkiyee-posta: [email protected]

Bu çal³mada, iki metri§e sahip bir uzay üzerinde küme de§erli dönü³ümler içinsabit nokta teoremleri verilecektir. Ayrca küme de§erli dönü³ümler için genelle³tirilmi³F -büzülme kavram verilip bu kavram ile elde edilen sonuçlar sunulacaktr. Buradaal³lm³ sabit nokta teori çal³malarndan farkl olarak, bir metrik üzerinde büzülmedönü³ümü ele alnrken di§er metrik üzerinde uzayn taml§ ele alnmaktadr.

Kaynaklar:

[1] R. P. Agarwal and Donal O'Regan, Fixed point theory for generalized contractionson spaces with two metrics, J. Math. Anal. Appl. 248 (2000), 402414.

[2] I. Altun, G. Mnak and H. Da§, Multivalued F-contractions on complete metricspace, J. Nonlinear Convex Anal., 16 (2015), no. 4, 659666.

[3] V. Berinde, Iterative Approximation of Fixed Points, Springer-Verlag, Berlin He-idelberg, 2007.

[4] S. B. Nadler, Multi-valued contraction mappings, Pacic J. Math., 30 (1969),475488.

[5] D. Wardowski, Fixed points of a new type of contractive mappings in completemetric spaces, Fixed Point Theory Appl. 2012, 2012:94, 6 pp.

90

oduman

Poster Sunumu

AMG 2018 KATILIMCI LİSTESİ (İsme Göre Sıralı ):

Sıra Adı - Soyadı Katıldığı/Çalıştığı Kurum

1 Abdullah Altın Ankara Üniversitesi

2 Abdullah Aydın Muş Alparslan Üniversitesi

3 Ali K. Uncu Johannes Kepler University

4 Ali Mohammadi Hacettepe Üniversitesi

5 Ali Uğur Sazaklıoğlu Türk Hava Kurumu Üniversitesi

6 Anıl Özdemir TOBB ETÜ

7 Arif Kamil Salihoğlu Karadeniz Teknik Üniversitesi

8 Arzum Gülay Erdoğdu Gaziantep Üniversitesi

9 Aynura Poladova TOBB ETÜ

10 Ayşe Dürüst Ahi Evran Üniversitesi

11 Ayşe Nur Köksal Ahi Evran Üniversitesi

12 Bağdagül Kartal Erciyes Üniversitesi

13 Başak Karpuz Dokuz Eylül Üniversitesi

14 Bayram Sözbir Sakarya Üniversitesi

15 Beşire Keskin Gaziantep Üniversitesi

16 Betül Gezer Uludağ Üniversitesi

17 Billur Kaymakçalan Çankaya Üniversitesi

18 Burcu Ecem Yılmaz TOBB ETÜ

19 Burcu Sünbül Ayhan Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi

20 Büşra Dündar Ankara Üniversitesi

21 Büşra Özden Hacettepe Üniversitesi

91

22 Can Türkün TOBB ETÜ

23 Ceren Ustaoğlu Doğu Akdeniz Üniversitesi

24 Cihan Orhan Ankara Üniversitesi

25 Çetin Ürtiş TOBB ETÜ

26 Çiğdem Durak Uludağ Üniversitesi

27 Damla Acar Hacettepe Üniversitesi

28 Didem Ersanlı TOBB ETÜ

29 Dilek Varol Bayram Pamukkale Üniversitesi

30 Direncan Uçak Gazi Üniversitesi

31 Dumitru Baleanu Çankaya Üniversitesi

32 Düriye Korkmaz Düzgün Kafkas Üniversitesi

33 Eda Bircan TOBB ETÜ

34 Elif Demirci Ankara Üniversitesi

35 Elif Kızıldere Uludağ Üniversitesi

36 Emine Cengizhan Gazi Üniversitesi

37 Emrah Karaman Anadolu Üniversitesi

38 Emrah Kılıç TOBB ETÜ

39 Emre Taş Ahi Evran Üniversitesi

40 Ender Erkaya Koç Üniversitesi

41 Ernist Tilenbaev TOBB ETÜ

42 Esma Yıldız Özkan Gazi Üniversitesi

43 Esra Alkaya Ankara Üniversitesi

44 Esra Erdaloğlu Gazi Üniversitesi

92

45 Esra Erkuş Duman Gazi Üniversitesi

46 Esra Karaoğlu Türk Hava Kurumu Üniversitesi

47 Esra Korkmaz Hacettepe Üniversitesi

48 Esra Esin Tütüncü Öğretim Üyesi

49 Fahd Jarad Çankaya Üniversitesi

50 Farah Alissa Mislar Ahi Evran Üniversitesi

51 Fatma Karakuş Sinop Üniversitesi

52 Fatma Nihal Özkaya Hacettepe Üniversitesi

53 Ferit Gürbüz Hakkari Üniversitesi

54 Fikriye Nuray Yılmaz Gazi Üniversitesi

55 Filiz Yıldız Hacettepe Üniversitesi

56 Furkan Semih Dündar Boğaziçi Üniversitesi

57 Gamze Savaş Çelik Uludağ Üniversitesi

58 Gamzegül Aydın TOBB ETÜ

59 Gencay Oğuz Ankara Üniversitesi

60 Gizem Ergelen Gazi Üniversitesi

61 Gökçe Eminoğlu Gazi Üniversitesi

62 Gökhan Soydan Uludağ Üniversitesi

63 Gözde Durmuş Karabük Üniversitesi

64 Gül Uğur Kaymanlı Çankırı Karatekin Üniversitesi

65 Gülnur Haçat Kastamonu Üniversitesi

66 Gümrah Uysal Karabük Üniversitesi

67 Güner Öztürk Ankara Üniversitesi

93

68 Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

69 Halis Can Koyuncuoğlu İzmir Katip Çelebi Üniversitesi

70 Handan Kose Ahi Evran Üniversitesi

71 Hanife Varlı ODTÜ

72 Hatice Bulut TOBB ETÜ

73 Hatice Ünlü Eroğlu Necmettin Erbakan Üniversitesi

74 Hivda Aydoğan Ankara Üniversitesi

75 Hüseyin Merdan TOBB ETÜ

76 İlknur Özgüç Vakıfbank

77 İrem Mesude Geyikçi Gazi Üniversitesi

78 İrem Özge Saraç TED Üniversitesi

79 İsa Doğan Uludağ Üniversitesi

80 İsmail Aslan Hacettepe Üniversitesi

81 İsmet Yüksel Gazi Üniversitesi

82 Maksude Keleş TOBB ETÜ

83 Medine Demir ODTÜ

84 Mehmet Gümüş Bülent Ecevit Üniversitesi

85 Meltem Gölgeli TOBB ETÜ

86 Meryem Sevgi Cömert Gazi Üniversitesi

87 Mustafa Bayraktar TOBB ETÜ

88 Mustafa Çalışkan Gazi Üniversitesi

89 Mustafa Karataş Gazi Üniversitesi

90 Mustafa Korkmaz ODTÜ

94

91 Mücahit Özkaya Ahi Evran Üniversitesi

92 Müzeyyen Sangurlu Sezen Giresun Üniversitesi

93 Nejla Özmen Düzce Üniversitesi

94 Nesibe Manav Gazi Üniversitesi

95 Nihal Yılmaz Düzce Üniversitesi

96 Nil Mansuroğlu Ahi Evran Üniversitesi

97 Nurbige Turan Gaziantep Üniversitesi

98 Nurhayat İspir Gazi Üniversitesi

99 Nuri Özalp Ankara Üniversitesi

100 Nurten Yücel Gazi Universitesi

101 Oğuzhan Odabaş Hacettepe Üniversitesi

102 Oktay Duman TOBB ETÜ

103 Orhan Oğulcan Tuncer Hacettepe Üniversitesi

104 Orhan Özdemir Gaziosmanpaşa Üniversitesi

105 Osman Altıntaş Başkent Üniversitesi

106 Osman Tuncay Başkaya Atılım Üniversitesi

107 Ömer Akın TOBB ETÜ

108 Ömer Faruk Doğan Namık Kemal Üniversitesi

109 Özkan Öcalan Akdeniz Üniversitesi

110 Özlem Akyel Gazi Üniversitesi

111 Özlem Defterli Çankaya Üniversitesi

112 Pınar Baydemir TOBB ETÜ

113 Pınar Şaşmaz Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi

114 Ramazan Ekmekçi Başkent Üniversitesi

95

115 Rıza Ertürk Hacettepe Üniversitesi

116 Sabahattin Ilbıra Amasya Üniversitesi

117 Saliha Salihoğlu Karadeniz Teknik Üniversitesi

118 Samet Sarıoğlan Hacettepe Üniversitesi

119 Seda Arar Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi

120 Selami Bayeğ TOBB ETÜ

121 Senel Atlı ODTÜ

122 Serkan Ali Düzce Anadolu Üniversitesi

123 Serkan Aslıyüce Amasya Üniversitesi

124 Sevde Kara TOBB ETÜ

125 Sezen Bostan ODTÜ

126 Sibel Kurt Hacettepe Üniversitesi

127 Sinem Etyemez Gazi Üniversitesi

128 Sinem Onaran Hacettepe Üniversitesi

129 Şaban Yılmaz Gaziosmanpaşa Üniversitesi

130 Şenol Kartal Nevşehir Hacı Bektaş Veli Üniversitesi

131 Şeyma Kayan Çankaya Üniversitesi

132 Şule Soytürk Düzce Üniversitesi

133 Şule Yüksel Güngör Gazi Üniversitesi

134 Şükran Uygun Gaziantep Üniversitesi

135 Tahir Hanalioğlu (Khaniyev) TOBB ETÜ

136 Tanıl Ergenç Atılım Üniversitesi

137 Tuba Demiray Düzce Üniversitesi

96

138 Tuğba Akman Yıldız Türk Hava Kurumu Üniversitesi

139 Tuğba Yurdakadim Hitit Üniversitesi

140 Tuğçe Alyıldız Ankara Üniversitesi

141 Tuğçe Küçükoğlu Gazi Üniversitesi

142 Turgut Önder ODTÜ

143 Tülin Altunöz ODTÜ

144 Türkan Yeliz Gökçer TOBB ETÜ

145 Ülkü Dinlemez Kantar Gazi Üniversitesi

146 Ülviye Büşra Güven Atılım Üniversitesi

147 Yahya Cin Düzce Üniversitesi

148 Yakup Avcı Gazi Üniversitesi

149 Yasemin Yıldırım Hacettepe Üniversitesi

150 Yıldıray Ozan ODTÜ

151 Yıldırım Akbal Atılım Üniversitesi

152 Yousef A. M. Dabboorasad ODTÜ

153 Zehra Özdemir Amasya Üniversitesi

154 Zeynep Çakır Ankara Üniversitesi

155 Zülfükar Saygı TOBB ETÜ

97

bİldİrİ Özetlerİ kİtabi -...

Documents