ZS’2007-04-19 1

Pojęcie błędu Niniejsze opracowanie ma na celu przybliŜenie pojęcia błędu i niepewności występujących w pomiarach. Tytułem wyrobienia sobie pewnej intuicji przedstawione są przykłady nawiązujące do otaczających nas sytuacji. Owe przykłady miejscami mogą nie być dla wszystkich w jednakowym stopniu zrozumiałe a nawet mogą wydawać się nielogiczne, ale powinny być pomocne, gdyŜ skupiają uwagę na określonym aspekcie nie rozpraszając czytelnika dodatkowymi, nie zawsze zrozumiałymi pojęciami, które z konieczności występują przy uogólnionych sformułowaniach.

Pojęcie błędu w potocznym rozumieniu jest intuicyjnie zrozumiałym pojęciem. Oznacza ono przekłamanie czy teŜ istotny brak precyzji w uzyskiwanej informacji. Oczywistym jest teŜ fakt, Ŝe wolimy nie być wprowadzani w błąd ani teŜ nie chcemy popełniać błędów. Warto teŜ zwrócić uwagę, Ŝe czasem nawet wiedząc, iŜ mamy do czynienia z brakiem precyzji nie traktujemy tego jako błąd, jeśli wiemy, Ŝe owa nieprecyzyjność jest niewielka, nieistotna, nie mająca wpływu na zmianę naszej decyzji w sprawie oceny. Po prostu pomijamy ten fakt jako nieistotny (pomimo, Ŝe jesteśmy świadomi jego istnienia). Przykładowo, mamy całkiem inne wymagania co do informacji: „Na placu zebrało się 1000 ludzi” (nie jest waŜne czy to było 950, czy teŜ 1050) niŜ co do „W wyborach wzięło udział 1000 ludzi” (liczy się kaŜdy wyborca). Aczkolwiek w przypadku pierwszej informacji nasze oczekiwania mogą się zmienić, jeśli odnosimy się do innej informacji: „a na sąsiednim placu 900”, z którą chcemy ją porównać (tym razem rozbieŜność o 50 osób jest raczej nie do zaakceptowania). Wynika z tego, Ŝe w potocznym rozumieniu dąŜy się to tego, aby nie popełniać błędów, chyba Ŝe są to błędy, które jesteśmy w stanie zaakceptować czyli nie mające dla nas znaczenia, ale wtedy muszą być wyznaczone granice akceptacji (granice błędów).

Rozpatrzmy teraz pojęcie błędu w kontekście pomiarów. Przy czym pomiar rozumieć będziemy jako pewne działanie mające na celu określenie czegoś, czego nie znamy (a chcemy poznać) w postaci konkretnej liczby lub inaczej, określenie wartości interesującej nas własności.

Przeanalizujmy pewną przykładową sytuację. Wiemy, Ŝe miasto A jest połoŜone w określonej odległości od miasta B. Odległość ta ma swoją konkretną, rzeczywistą (prawdziwą) wartość wyraŜoną w kilometrach. Niestety nie wiemy jaka to odległość a jesteśmy nią zainteresowani, poniewaŜ chcemy udać się właśnie z miasta A do miasta B. Jest wiele sposobów uzyskania tej informacji, ale nie wszystkie muszą być nam znane, a z tych które znamy nie wszystkie są nam w danym momencie dostępne i w końcu teŜ powinniśmy uwzględnić do czego potrzebna nam jest ta informacja aby wiedzieć na ile precyzyjna ona ma być.

Celem uzyskania tej informacji jest dla nas określenie kosztów podróŜy co sugeruje jednocześnie jaka precyzja będzie nas satysfakcjonować oraz jaki sposób jej uzyskania powinniśmy wybrać. Postanowiliśmy np. zapytać znajomego.

Odpowiedź jaką uzyskujemy to „około 100 km”. Odpowiedź ta wskazuje, Ŝe wcale nie musi to być dokładnie 100 km, czyli jest nieprecyzyjna, niedokładna, ale nie wiemy jak bardzo niedokładna. Zatem moŜna rzec, Ŝe jeśli nie będzie określona owa niedokładność, to przydatność tej informacji będzie ograniczona, niewielka lub teŜ nawet Ŝadna. Prosimy więc znajomego o podanie precyzyjnej informacji lub określenie niedokładności. Znajomy ów moŜe odpowiedzieć nam „wg mapy to jest 105 km” (podał dokładniejszą wartość).Wiemy juŜ wtedy, Ŝe początkowa informacja była zaniŜona o 5 km, czyli Ŝe róŜnica pomiędzy pierwotną informacją a tą bardziej precyzyjną (rzeczywistą, prawdziwą?) wynosi –5 km (jest to wartość błędu). Korzystając z tego faktu, moŜna teraz np. poprawić sobie pierwotną informacje dodając do niej tzw. poprawkę wynoszącą tutaj 5 km, lub teŜ wprost przyjąć nową informację.

ZS’2007-04-19 2

Znajomy ten mógł teŜ nam odpowiedzieć „zaniŜyłem o 5 km” (określił niedokładność).Wtedy tym bardziej, chcąc poznać dokładniejszy wynik powinniśmy do pierwotnej informacji dodać poprawkę równą 5 km. Tak w jednym jak i w drugim przypadku zbliŜamy się do wartości rzeczywistej, czyli zwiększamy precyzję lub inaczej zmniejszamy niedokładność. Mamy teŜ świadomość, Ŝe otrzymana nowa, poprawiona informacja doprowadza nas nie do wartości prawdziwej (rzeczywistej) a do wartości określonej z dokładnością do 1 km, tak jak to jest na mapie.

Rozpatrzmy teraz inną odpowiedź znajomego. Mianowicie nie jest on pewien czy informacja jaką odczytał z mapy to była 105 km czy teŜ 95 km, ale skoro był on poproszony o doprecyzowanie pierwotnej informacji, więc jego odpowiedź moŜe wyglądać tak: „±5 km” (określił niedokładność) lub dla zwiększenia pewności czy teŜ zmniejszenia prawdopodobieństwa popełnienia pomyłki zmniejszy on precyzję podając: „±6 km”. W tym przypadku doprecyzowanie informacji ma nieco inny charakter, jest ono podane w postaci pewnego przedziału wokół pierwotnej wartości. ZauwaŜmy, Ŝe przedział ten ma być tak określony, aby zawierał wartość rzeczywistą, dlatego teŜ czasem zwiększa się go dla zapewnienia tego warunku (lub zwiększenia prawdopodobieństwa). Najlepiej fakt ten moŜna prześledzić zakładając, Ŝe znajomy nie doprecyzował nam pierwotnej informacji a my zauwaŜamy, Ŝe sama ta informacja jest dla nas nieprzydatna (np. jeśli odległość wynosiłaby więcej niŜ 150 km, to na pewno byśmy nie wybrali się w tą podróŜ). Próbujemy więc wykorzystać wszystkie dodatkowe informacje jakie są moŜliwe, aby doprecyzować informacje o odległości. Do wykorzystania moŜe być określenie „około”, jakiego uŜył znajomy oraz nasze doświadczenie w uŜywaniu tego określenia a takŜe podejście znajomego do znaczenia tego słowa. Czyli próbujemy wykorzystać pewne niewielkie informacje, aby dokonać oszacowań i zrobić to z jak największym prawdopodobieństwem. I tak w skrajnym przypadku słowo „około” moŜe oznaczać przedział ±100 km czyli odległość od 0 km do 200 km, ale poniewaŜ informacja taka byłaby kompletnie nieprzydatna i jest mało prawdopodobna (przy takiej rozbieŜności kaŜdy powiedziałby raczej „nie wiem” a nie podawał informacji „około 100 km”), więc przypadek taki naleŜałoby wykluczyć. Z drugiej strony słowo „około” moŜe oznaczać pewne zaokrąglenie np. do pełnych dziesiątek. Wtedy oznaczałoby Ŝe informacja jaką otrzymaliśmy określona jest z przedziałem ±10 km, ale pewność jaka wiąŜe się takim załoŜeniem nie jest zbyt wielka (my tak moŜemy często robić ale ów znajomy niekoniecznie). Wobec tego być moŜe przedział ±50 km daje wystarczającą pewność. Tak czy owak w takim przypadku doprecyzowanie informacji jest trudne ale nie niemoŜliwe, choć z ograniczonym poziomem ufności.

Spróbujmy teraz sformalizować powyŜsze rozwaŜania. Wartość jaką chcemy poznać to wartość rzeczywista. Wskutek pomiaru (odpowiedź znajomego) otrzymujemy tzw. surowy wynik pomiaru, o którym wiemy, Ŝe z róŜnych powodów nie jest on równy wartości rzeczywistej. W takim razie poza surowym wynikiem pomiaru musimy podać informacje o tym jak bardzo jest on oddalony od wartości rzeczywistej czyli jaki jest błąd wykonanego pomiaru. MoŜna tego dokonać podając róŜnice pomiędzy wartością zmierzoną a wartością rzeczywistą (nazywamy to błędem pomiaru), ale poniewaŜ nie znamy wartości rzeczywistej, więc zmuszeni jesteśmy inaczej określić błąd. Robimy to określając przedział wokół wartości zmierzonej, w taki sposób, aby zawierał wartość rzeczywistą (nazywamy to błędem granicznym lub niepewnością). Nie jest to zawsze takie proste, poniewaŜ często dysponujemy ograniczonymi informacjami (oczywiście na niepewność wpływa nie tylko ilość informacji ale i inne ograniczenia czy teŜ inne źródła błędów). JeŜeli nie znamy wartości rzeczywistej (wartość rzeczywista w pomiarach jest pojęciem czysto teoretycznym), to wynika z tego, Ŝe kaŜdy pomiar będzie obarczony niepewnością (nigdy nie ma absolutnej pewności). I tak w rzeczywistości jest, ale jeśli niepewność ta jest bardzo niewielka, to

ZS’2007-04-19 3

moŜemy ją pominąć a sam surowy wynik pomiaru traktować jak wartość rzeczywistą nazywając tylko dla odróŜnienia wartością poprawną (odległość odczytana z mapy). W takich przypadkach moŜna juŜ korzystać z pierwotnego określenia błędu pomiaru jako róŜnicy pomiędzy wartością zmierzoną a wartością rzeczywistą (zastąpioną wartością poprawną).

Systematyka błędów

Rozpatrując jakieś zagadnienie, w którym pewne elementy występują w róŜnych postaciach próbujemy je usystematyzować czy dokonać podziałów na grupy, podgrupy itp. Podziały takie muszą być zrobione ze względu na określone kryterium. ZałóŜmy Ŝe interesują nas samochody. MoŜemy wyróŜnić przeróŜne samochody np. czerwony osobowy mercedes z silnikiem Diesla lub po prostu zielony samochód czy teŜ cięŜarowy volvo. Dla usystematyzowania moŜna dokonać tutaj róŜne podziały ze względu na: kolor (zielony, czerwony itp.), markę (Mercedes, Volvo itd), przeznaczenie (osobowy, cięŜarowy itp.), rodzaj silnika itd. ZauwaŜmy, Ŝe nie zawsze uŜywamy wszystkich określeń oraz jeśli mówimy, Ŝe mamy na myśli samochód marki mercedes to nie oznacza, Ŝe nie moŜe on być zielony czy teŜ nie oznacza coś zupełnie innego niŜ samochód osobowy. Podobnie jest w przypadku błędów, które moŜemy podzielić ze względu na: sposób wyznaczania: błąd pomiaru; graniczny błąd pomiaru (niepewność) forma prezentacji: błąd względny; błąd bezwzględny charakter: błąd systematyczny; błąd przypadkowy; błąd gruby

Ze względu na charakter błędów wyróŜnia się: błędy systematyczne i przypadkowe (błąd gruby czyli omyłka to szczególny przypadek błędu przypadkowego). Ich znaczenie wyjaśnione jest poniŜej. Błędy przypadkowe

Jeśli przy wykonywaniu kilku pomiarów tej samej wielkości, przy tych samych warunkach, otrzymujemy za kaŜdym razem inny wynik, to oznacza to, Ŝe kaŜdy z tych wyników obarczony jest błędem przypadkowym. Błąd ten wyznacza się jako róŜnicę pomiędzy wartością otrzymaną w konkretnym pomiarze a wartością rzeczywistą. Jest on spowodowany tym, Ŝe panujące warunki są jedynie pozornie niezmienne (np. temperatura moŜe się odrobinę zmieniać, podobnie ciśnienie lub wilgotność czy teŜ natęŜenie zewnętrznych pól elektromagnetycznych) czy teŜ nasze starania co do poprawności odczytu mimowolnie się zmieniają. Błędy te są łatwe do zaobserwowania. Błędy systematyczne

Jeśli przy wykonywaniu kilku pomiarów tej samej wielkości, przy tych samych warunkach, otrzymujemy za kaŜdym razem wynik tak samo róŜniący się od wartości rzeczywistej (zarówno co do znaku jak i co do wartości), to oznacza, Ŝe mamy do czynienia z błędem systematycznym. Błąd ten wyznacza się jako róŜnicę pomiędzy wartością otrzymaną w pomiarze a wartością rzeczywistą (ze względu na sposób wyznaczania jest to błąd pomiaru). Jest on spowodowany istnieniem czynnika stale wpływającego na wynik pomiaru np. moŜe to być stała niepoŜądana zbyt duŜa temperatura powodująca zmianę wartości mierzonej i/lub zmianę wskazań przyrządu albo nie uwzględnianie pozycji przecinka w odczytywanych wynikach pomiaru lub teŜ wpływ przyrządu na wartość mierzoną. Błąd ten jest trudny do zaobserwowania (np. jeśli nie wiemy nic o wartości rzeczywistej, to nie mamy świadomości istnienia stałej róŜnicy w wynikach), ale jeśli go znamy to moŜemy go usunąć z wyniku pomiaru (znamy go co do wartości) zwykle w formie poprawki .

Inne pojęcia z jakimi się spotykamy przy okazji zgłębiania błędów pomiarów to błąd bezwzględny i względny, które oznaczają dwa sposoby prezentacji tego samego błędu. Ponadto jeśli błąd wynika z metody pomiaru, to nazywa się go błędem metody, jeśli wynika ze wskazań to nazywa się go błędem wskazań, jeśli wynika z odczytu to nazywa się go

ZS’2007-04-19 4

błędem odczytu itp. Dla przykładu moŜna zwrócić uwagę na fakt, Ŝe błąd metody ma zwykle charakter błędu systematycznego i wtedy wyznacza się go jako błąd pomiaru no i moŜna zaprezentować go w formie błędu bezwzględnego. W takim przypadku jego pełna nazwa brzmieć powinna bezwzględny systematyczny błąd metody, ale często uŜywamy krótszych nazw.