)BLEMAS CURIOSOS ® PROBLEMAS CURIOS

A partir deste numero da Revista,esta seCf80 de Problemas Curiosos co-meCfa a sofrer modificaCfoes. As solu-Cfoes dos problemas propostos a se-guir, ao inves de serem publicadas nopr6ximo numero, sso apresentadas itpagina 61 deste numero da Revista.

1 Como devem ser numeradas as faces dedois cubos de modo que possam ser usadas comocalendario, isto'e, de modo que seja possivel indicar,com eles, todos os numeros inteiros de 01 a 31?

2 Vamos vestir os senhores Otavio Branco,Nelson Preto e Euclides Roxo. Temos 3 camisas e 3calc;;as de cada uma das cores branca, preta e roxa.Nenhum dos 3 senhores usa roupa da cor de seusobrenome. A calc;;ado Sr. Preto e da cor da camisa doSr. Roxo. Qual e a cor da camisa do Sr. Branco?

OtavioBranco

EuclidesRoxo

NelsonPreto

3 Voce possui do is relogios de areia(ampulhetas). Num deles 0 tempo de escoamento daareia e de 7 minutos e no outro e de 11 minutos. Vocedeseja cozinhar um alimento por 15 minutos. Comodevera usar os do is relogios?

4 Desejo somar 274 + 882 + 1028 numacalculadora. Mas as teclas 7 e 8 estao quebradas.Como posso obter a soma, usando a calculadora de-feituosa?

5 A figura seguinte, composta de 6 quadra-dos iguais, tem area igual a 216 cm2. Qual e 0 seuperimetro?

IBLEMAS CURIOSOS (±) PROBLEMAS CURIOSO!

~

0-0 e~G~\l

1 Em dois cubos temos, ao todo, 12 facesdisponiveis. Para indicar 0 11 eo 22, e necessario queo 1 e 0 2 apareeam nos dois cubos. Restam 8 faces,'sendo 4 em cada cubo. Se, num deles, escrevermos osalgarimos 0, 3, 4 e 5 e, no outro, os algarismos 6,7,8 e9, poderemos indicar os dias 01, 02, 06, 07, 08 e 09,mas nao teremos condie6es de indicar, por exemplo, 0dia 03, pois 0 e 3 estarao no mesmo cubo. Percebemosentao que, necessariamente, 0 algarismo 0 deve apa-recer nos dois cubos. Mas entao seriam necessarias13 faces e s6 temos 12. A solueao para este impasse eusar 0 6 tambem como 9.

Resumindo, num dos cubos podemos colocar 0,1, 2, 3, 4 e 5; no outro, 0, 1, 2, 6, 7 e 8.

2 A calea do Sr. Nelson Preto e de cor brancaou roxa. Se fosse roxa, a camisa do Sr. Roxo tambemo seria. Mas isto e impossivei po is nenhum dos 3senhores usa roupa da cor de seu sobrenome. Logo, acalea do Sr. Preto deve ser branca e a camisa do Sr.Roxo tambem.

A camisa do Sr. Preto e branca ou roxa,mas como a camisa branca e do Sr. Roxo, concluimosque a camisa do Sr. Preto e roxa.

Portanto, a camisa do Sr. Branco e preta.

3 Podemos proceder assim: viramos os doisrel6gios ao mesmo tempo. No instante em que toda aareia do de 7 minutos acaba de se escoar, comeeamosa Cozinhar 0 alimento. Quando a areia do segundorel6gio acaba de se escoar ja se passaram 11 - 7 = 4minutos. Viramos, entao, este segundo rel6gio e espe-ramos que toda a sua areia se escoe. Temos entao: 4 +11 = 15 minutos.

4 Uma das muitas maneiras de obter a somadesejada e esta: ao inves de 274, digitamos 260 + 14.Substituimos 882 por 600 + 260 + 22 e, ao inves de1.028, digitamos 1.026 + 2.

5 A area de cad a quadrado e 216 :-6 = 36 cm2.Logo, cad a quadrado tem lade igual a 6 cm. Portanto 0perimetro da figura e igual a 14 x 6 = 84 cm.

12345+ 54321

123456+ 654321

12345678+ 87654321

1234567+ 7654321

2 o carpinteiro pode pregar as tabuasdeste modo:

3 Vamos experimentar alguns casos particulares. Sejamos numeros 1/4 e 3/4. Temos:

1/4 + 3/4 = 11/4 ~ 3/4

A= quadrado do menor adicionado ao maior== 1/16 + 3/4 = 13/16B= quadrado do maior adicionado ao menor== 9/16 + 1/4 = 13/16

Outro caso particular:0,2 + 0.8 = 10,2 -<::: 0,8

A = quadrado do menor adicionado ao maior == 0,04 + 0,8 = 0,84B = quadrado do maior adicionado ao menor == 0,64 + 0,2 = 0,84

Nos dois casos obtivemos A = B. Sera que isto acontece sempre ?Vamos generalizar 0 raciocfnio. Sejam os numeros a e b, com'a..:: bea+-b=1,istoe,b=1-a.Temos:

A = quadrado do menor' adicionado ao maior == a2 + b = a2 + (1-a) = a2 - a + 1B = quadrado do maior adicionado ao menor = .= b2 + a = (1-a)2 + a = 1 - 2 a + a2 + a = a2 - a + 1Donde A = B. .

Conclufmos portanto que, dados do is numeros diferentesqua/squer, cuja soma e 1, temos sempre a igualdade:quadrado do menor adicionado ao maior === quadrado do maior adicionado ao menor

Agora pense nisto: e necessario que os do is n~meros sejamdiferentes ? Com outras palavras: dados d~IS numeros ~als-quer a e b, com a + b = 1, temos sempre a + b = a + b ?

Pense tambem no seguinte: e necessario que a e b sejampositivos ou um deles pode ser negativo ?

4

Observe 0 desenho. Os cubinhos indicados com a letra A tem 3faces vermelhas (as outras tres sao bran cas). Eles estao nos"cantos", isto e, nos vertices do cuba de aresta 30 cm. Portantotemos 8 cubinhos com 3 faces vermelhas cada um.Os cubinhos com 2 faces vermelhas estao indicados com a letraB. Eles estao na parte central de cada aresta do cuba grande.Temos pois 12 cubinhos com 2 faces vermelhas cada um.Os cubinhos que estao na parte central das faces do cubagrande, indicados com a letra C, tem uma unica face vermelha.Como sao seis faces, temos 6 cubinhos com uma s6 facevermelha.,Agora perceba que, no centro do cubo grande, ha um cubinhoque tem todas as faces bran cas (ele nao levou pinceladasvermelhas). Portanto, ha um cubinho com ° faces vermelhas.Em resumo:

Itlpo n° oe races n° devermelhas cubinhos

A 3 8B 2 12C 1 60 ° 1

Note que: 8 + 12 + 6 + 1 = 27Estes 27 cubinhos devem ser repartidos em 9 grupos, de modo asatisfazer duas condi«oes:a) cad a grupo deve conter 0 mesmo numero de cubinhos. Logocad a grupo deve conter 27 : 9 = 3 cubinhos.b) 0 numero total de faces vermelhas, em cad a grupo, deve sero mesmo em todos os grupos.Em cada face do cuba grande ha 9 quadradinhos vermelhos.Como ele tem 6 faces, ha 6 x 9 = 54 faces vermelhas noscubinhos. Portanto, em cada grupo, devemos ter 54 : 9 = 6 facesvermelhas.Eis uma forma de repartir os 27 cubinhos:

Qrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A A A A A A A B B

tipos B B B B B B A B BC C C C C C 0 B B

» (+) 'PROBLEMAS CURIOSOS (+} PROBLEMAS C- . . .--

5Seja n 0 numero procurado. Escrevendo 0 algarismo 7 a. suadireita obtemos um novo numero que indicaremos assim: n7Cuidado: n7 niio e n x 7.Temos: n7 = 10n + 7 (agora, 10n e 10 xn)Segundo 0 problema: n7 = n + 70000Logo: 10n + 7= n + 70000 --9n= 69993 - ..• n = 7777

Verificac;ao: escrevendo 0 algarismo 7 a. direita do 7777 obte-mos 77777, sendo que 77777 = 7777 + 70000.

7o problema menciona os numeros inteiros cuja soma dos alga-rismos e igual a 5. Conclui-se que tais numeros devem ter, pelomenos, 2 algarismos, para que se possa falar em soma dosmesmos.Com dois algarismos temos 4 n(Jmeros:41,14,32 e 23.Com tres algarismos s6 sao possiveis:113, 131, 311, 122, 212 e 221.Com quatro algarismos temos:1112,1121,1211 e 2111.Finalmente, com cinco algarismos a unica possibilidade e:11111.

6o problema proposto tem infinitas soluc;6es. Qualquer retapassando pelo centro do retangulo divide-os em duas figurascongruentes:

.........•.•....

8 A

Considere 0 triangulo ABC. Os pontos M, N, P e Q dividem BCem cinco partes iguais. As areas dos triangulos ABM e AMN saoiguais a. quinta parte da area do triangulo ABC e

area ANC = 3/5 area ABC.

M N P QC

B

Os pontos ReS dividem AC em tn3s partes iguais. Os triangulosARN, RSN e SCN tem bases iguais (AR = RS = SC). Em relac;ao aestas bases iguais eles tem alturas iguais. Portanto tem areasiguais. Temos :area ARN = 1/3 area ANC = 1/3 x 3/5 area ABC =1/5 area ABC.

Portanto, 0 triangulo ABC foi dividido em cinco triangulos deareas iguais.

B N P Q C

Eis outra maneira de dividir 0 triangulo ABC em cinco triangulosde areas iguais:M, N, P, Q dividem BC em cinco partes iguaisR, S, T, dividem AC em quatro partes iguais

B M N P QC