bÖlÜm 1 lİneer denklem takimlarinin ÇÖzÜm...
TRANSCRIPT
BÖLÜM 1
LİNEER DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ
1.1- Giriş
1.2 Matrisler
1.3 Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
1.3.1 Gauss eliminasyon yöntemi
1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi
1.3.3 Thomas yöntemi
1.3.4 LU Ayrıştırma yöntemleri
1.3.5 Jacobi basit iterasyon yöntemi
1.3.6 Gauss-Sidel iterasyon yöntemi
1.3.7 SOR yöntemi
1.4 Matris tersinin sayısal hesabı
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
1
1.1 Giriş
Mühendislik problemlerinin sayısal yöntemlerinin çözümünde çoğu zaman problem bir lineer denklem takımının çözümü problemine indirgenir ve bu denklem takımının uygun ve hızlı bir yöntemle çözümü söz konusu olur. Lineer denklem takımları bu amaçla matris formda yazılarak çözülmeye çalışılır.
Bu bölümde önce matrislerle ilgili bazı hatırlatmalar yapılarak matrislerin tiplerinden ve matris işlemlerinden kısaca bahsedilecektir.
Daha sonra lineer denklem takımlarının çözümünde kullanılan sayısal yöntemlere yer verilecektir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
2
1.2 Matrisler
1.2.1 Matris tipleri
(M×N) boyutlarındaki dikdörtgensel matris
[ ] [ ]
===
MNMjMMM
iNijiii
Nj
Nj
Nj
ij
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aAA
321
321
33333231
22232221
11131211
Kare matris
(M=N) olan matris
NNNjNNN
iNijiii
Nj
Nj
Nj
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
321
321
33333231
22232221
11131211
Köşegen (Diyagonal) matris
Köşegen dışında bütün elemanları sıfır olan kare matris
[ ]
==
N
i
3
2
1
ijiN
0000
0000
000000000000
D
α
α
αα
α
δα
NOT:
≠=
=isejiiseji
ij 01
δ Kronecker deltası
Birim matris
Bütün köşegen elemanları 1 olan köşegen matris
[ ]
=δ=
10000
01000
001000001000001
ijNI
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
3
Skalar matris
Bütün köşegen elemanları bir skaler büyüklüğe eşit olan köşegen matris
[ ]
=
b
b
bb
b
b ij
0000
0000
000000000000
δ
Sıfır matrisi
Bütün elemanları sıfıra eşit olan matris
=
00000
00000
000000000000000
O
Bol Sıfırlı matris Çoğu elemanı sıfıra eşit olan matris
Simetrik matris
Köşegene göre simetrik konumlu elemanları aynı olan kare matris
jiij aa =
NNNNN
N
N
N
aaaa
aaaaaaaaaaaa
321
3332313
2232212
1131211
Çarpık simetrik matris
Köşegene göre simetrik konumlu elemanları zıt işaretle aynı olan kare matris
jiij aa −=
−−−
−−−
NNNNN
N
N
N
aaaa
aaaaaaaaaaaa
321
3332313
2232212
1131211
Üst-üçgensel matris
Köşegen altındaki bütün elemanları sıfır olan kare matris
=
NN
iNjj
Nj
Nj
Nj
a
aa
aaaaaaaaaaaa
U
0000
000
000
3333
222322
11131211
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
4
Alt-üçgensel matris
Köşegen üstündeki bütün elemanları sıfır olan kare matris
=
NNNi3N2N1N
ii3i2i1i
333231
2221
11
aaaaa
0aaaa
00aaa000aa0000a
L
Satır matrisi veya Satır vektörü
Tek satırdan ibaret olan matris (1×N) [ ]N21 aaa
Sütun matrisi veya Sütun vektörü
Tek süturdan ibaret olan matris (N×1)
N
2
1
a
aa
Birim vektörü
100
010
001
,,
Bant matrisi
Köşegen civarındaki bir bant dışında kalan bütün elemanları sıfır olan kare matris
777675
67666564
5756555453
4645444342
3534333231
24232221
131211
0000000
0000000000000
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaa
Üç-diyagonalli matris
Köşegeniyle altındaki ve üstündeki komşu elemanları dışında kalan bütün elemanları sıfır olan bant matris
7776
676665
565554
454443
343332
232221
1211
000000000
000000000000000000000
aaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aa
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
5
1.2.2 Matris işlemleri
- Ancak aynı boyutlardaki iki matris toplanabilir ve çıkartılabilir.
Toplama ve çıkartmada matrislerin sırasının bir önemi yoktur.
- Aynı boyutlardaki iki matris ancak karşılıklı elemanları aynı ise birbirine eşittir.
Matrislerin çarpması
- İki matrisin çarpma işleminde matrislerin sırası ve boyutları önemlidir. Çarpma yapılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gereklidir.
A (n×m) ve B (m×r) ise A.B çarpımı mümkündür.
[aij].[bij]=[cij] ∑=
=N
1kkjikij bac
Matrislerin çarpmadaki sırası değiştiğinde genel olarak çarpım sonucu aynı olmaz
A.B≠B.A
- Bir matrisin bir skalerle çarpımı, matrisin herbir elemanının bu skalerle çarpımı anlamına gelir.
k.A=C cij=k.aij
- Vektörlerin skaler çarpımı [ ] [ ]NN2211
N
2
1
N21 bababa
b
bb
aaa +++=
⋅
- Vektörlerin dış çarpımı
(outer product) [ ]
=⋅
NN2N1N
N22212
N12111
N21
N
2
1
bababa
babababababa
bbb
a
aa
Matrisin transpozesi
Matrisin transpozesi aynı diyagonal elemanını içeren satır elemanlarıyla sütun elemanlarının yerleri değiştirilerek elde edilir.
=
NN2N1N
N22221
N11211
aaa
aaaaaa
A →
=
NNN2N1
2N2212
1N2111
T
aaa
aaaaaa
A
Matrisi transpozesinin transpozesi matrisin kendisine eşittir. (AT)
T= A
Matrisin izi (Trace)
Diyagonal elemanlarının toplamıdır ∑=
=N
1iiiaATr )(
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
6
Matrisin minörleri
Bir kare matrisin herhangi bir aij elemanının minörü, bu elemanın üzerinde yer aldığı i ‘inci satırdaki ve j ‘inci sütundaki bütün elemanlar çıkartıldıktan sonra kalan matrisin determinantı olarak tanımlanır.
=
NNNj2N1N
iNij2i1i
N2j22221
N1j11211
aaaa
aaaa
aaaaaaaa
A
NN1Nj1Nj2N1N
N1i1j1i1j1i21i11i
N1i1j1i1j1i21i11i
N21j21j22221
N11j11j11211
ij
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
M
+−
+++−+++
−+−−−−−
+−
+−
=
,,,,,
,,,,,
Matrisin kofaktörleri
Bir kare matrisin herhangi bir aij elemanının kofaktörü, bu elemanın minörünün (-1)i+j ile çarpımı olarak tanımlanır.
Matrisin determinantı
Bir matrisin determinantı herhangi bir satırındaki veya herhangi bir sütünundaki bütün elemanların kofaktörleriyle çarpımlarının toplamı olarak tanımlanır.
[ ] ( ) ( )∑∑=
+
=
+ −=−===N
1j
jkkjkj
N
1i
kiikik
NNNjNi3N2N1N
jNjjji3j2j1j
iNijii3i2i1i
N3j3i3333231
N2j2i2232221
N1j1i1131211
1Ma1Ma
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
AAdet
Matrisin özdeğerleri ve özvektörleri
Bir matrisin özdeğerleri karakteristik polinomunun kökleri olarak tanımlanır.
Karakteristik polinom ( ) ( )
λ
λλ
λλλ
−
−−
=−=−=
NN2N1N
N22221
N11211
A
aaa
aaaaaa
IAIAp det
Özdeğerler pA(λ) = 0 eşitliğini sağlayan (λi, i=1,2,…N) kökleri
Özvektörler Aw = λw eşitliğini sağlayan {wj} vektörleri
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
7
Matrisin tersi
Bir A matrisinin tersi A.B = In eşitliğini sağlayan B matrisidir.
Bir matrisin tersi, bu matristen oluşturulan ek matrisin bu matrisin determinantına bölümü ile elde edilir.
Burada geçen ek matris ise matrisin elemanlarının kofaktörlerinde oluşturulan matrisin transpozesidir.
Örnek
=
431341331
A
Kofaktörler matrisi
−−
−−=
−
−−
−
=103013117
4131
3131
3433
3131
4131
4333
3141
4131
4334
K
Ek matris
−−
−−=
101011337
E
Matrisin determinantı 13373433
14333
14334
1431341331
A =−−=+−=
=)det(
Ters matris
−−
−−=−
101011337
A 1
Kontrol 31 I
100010001
101011337
431341331
AA =
=
−−
−−⋅
=−
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
8
1.3. Lineer denklem takımlarının sayısal çözümü
Bir lineer denklem takımını genel olarak
N
j
i
NNN
NjN
NiN
NN
NN
NN
Nj
jj
ij
j
j
j
Ni
ji
ii
i
i
i
N
j
i
N
j
i
N
j
i
b
b
b
bbb
xa
xa
xa
xaxaxa
xa
xa
xa
xaxaxa
xa
xa
xa
xaxaxa
xa
xa
xa
xaxaxa
xa
xa
xa
xaxaxa
xa
xa
xa
xaxaxa
3
2
1
3
2
1
3
3
3
33
32
31
3
3
3
33
32
31
33
33
33
333
323
313
22
22
22
232
222
212
11
11
11
131
121
111
=
=
=
===
+
+
+
+++
+
+
+
+++
+
+
+
+++
+
+
+
+++
+
+
+
+++
(1.1)
veya matris formda
=
⋅
N
j
i
N
j
i
NNNjNiNNN
jNjjjijjj
iNijiiiii
Nji
Nji
Nji
b
b
b
bbb
x
x
x
xxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
3
2
1
3
2
1
321
321
321
333333231
222232221
111131211
(1.2)
şeklinde ifade etmek mümkündür.
Lineer denklem takımlarının sayısal çözümlenmesinde kullanılan yöntemleri
-Eliminasyon Yöntemleri:
- İteratif Yöntemler:
olarak sınıflandırmak mümkündür.
Eliminasyon yöntemlerinde en çok bilinen birisi ”Gauss eliminasyon yöntemi“ ve türevleridir. Bu yöntemlerde bazen pivot uygulamalarına gerek duyulur. Bir diğer grup etkin eliminasyon yöntemi ”LU ayrıştırma yöntemleri“ olarak bilinir.
Büyük lineer denklem takımları için genel olarak iteratif yöntemler tercih edilir. Bunlar arasında “Jacobi basit iterasyon yöntemi”, Gauss-Seidel iterasyon yöntemi” ve “Ardarda aşırı gevşetme (Succesive Over Relaxation – SOR) yöntemi sayılabilir.
Katsayılar matrisinin bir bant matrisi olması ve blok bant matrisi olması gibi durumlarda daha özel yöntemler gerekmektedir. Örneğin üç-diyagonalli bant matrisler halinde “Thomas yöntemi” tercih edilmektedir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
9
1.3.1- Gauss eliminasyon yöntemi
Gauss-eliminasyon yöntemi dolu ve diyagonal elemanları baskın olan matrislerin çözümü için uygun bir yöntemdir. İki aşamalıdır:
- Üst-üçgenselleştirme aşaması
Lineer denklem sistemindeki denklemlerden herhangi birinin iki tarafının sıfırdan farklı bir sayıyla bölünmesi veya çarpılması denklemi değiştirmez. Yine bu denklemlerden ikisinin birbiriyle toplanması veya çıkartılması lineer denklem takımının çözümünü değiştirmez.
Buna göre (1.1a) denklem sistemindeki birinci denklemin her iki tarafı a11 ile bölündükten sonra sırasıyla
- a21 ile çarpılıp ikinci denklemden çıkartılarak
- a31 ile çarpılıp üçüncü denklemden çıkartılarak
............
- ai1 ile çarpılıp i ’inci denklemden çıkartılarak
............
- aN1 ile çarpılıp N ’inci denklemden çıkartılarak
denklem sistemi matris formda
=
⋅
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()()()()(
2
2
2
23
22
11
3
2
1
22223
22
22223
22
22223
22
23
23
23
233
232
22
22
22
223
222
11
11
11
113
112
111
0
0
0
00
N
j
i
N
j
i
NNNjNiNN
jNjjjijj
iNijiiii
Nji
Nji
Nji
b
b
b
bbb
x
x
x
xxx
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaa
(1.3)
şekline getirilebilir. Burada
Ni
aab
bb
Nja
aa
aa
aa
iii
ij
ijij
ijij
,....,;,....,;
)()(
)()()(
)()(
)()()(
)(
3221
111
11
1112
111
11
1112
1
=
⋅−=
=
⋅−=
=
Benzeri işlemler ikinci denklem ile sonraki denklemler arasında tekrarlanarak (1.3.3) denklem sistemi
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
10
=
⋅
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()()(
)()()()()()(
3N
3j
3i
33
22
11
N
j
i
3
2
1
3NN
3Nj
3Ni
33N
3jN
3jj
3ji
33j
3iN
3ij
3ii
33i
3N3
3j3
3i3
333
2N2
2j2
2i2
223
222
1N1
1j1
1i1
113
112
111
b
b
b
bbb
x
x
x
xxx
aaaa00
aaaa00
aaaa00
aaaa00aaaaa0aaaaaa
(1.4)
şekline getirilebilir. Burada da
Nia
ab
bb
Njaaa
aa
iii
ij
ijij
,....,;,....,;
)()(
)()()(
)()(
)()()(
4332
222
22
2223
222
22
2223
=
⋅−=
=⋅−=
Bu işlemler sondan bir önceki denklem ile sonuncu denklem arasında gerçekleştirilinceye kadar tekrar edilecektir.
Tekrarlanan bu işlemler genelleştirmek amacıyla herhangi bir k ‘ıncı aşamada yazılırsa denklem sistemi matris formda
=
⋅
+
+
++++
++++
+
−−−
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()()(
)(,
)(
)()(
)()()(
1
1
33
22
11
3
2
1
1111
1111
1
111
33
22
222
11
112
111
0000000000000000
0000000
0
kN
kj
ki
N
j
i
kNN
kNj
kNk
kiN
kij
kik
kkN
kkj
kkk
kkk
kkk
N
N
N
b
b
b
bbb
x
x
x
xxx
aaa
aaa
aaaaa
aaaaaa
(1.5)
şekline gelir. Burada
121211
1
1
−=
++=
⋅−=
+=⋅−=
+
+
NkNkkia
abbb
Nkkjaaa
aa
kikk
kk
kkk
iki
kikk
kk
kkjk
ijkij
,....,;,....,;,....,;
)()(
)()()(
)()(
)()()(
dir.
Bütün tekrar aşamalarından sonra denklem sistemi, katsayılar matrisi üst-üçgensel bir matris halini alarak
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
11
=
⋅
−− )(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()()(
)()()()(
)()()()()(
)()()()()()(
1
33
22
11
3
2
1
1
33
33
33
333
22
22
22
223
222
11
11
11
113
112
111
00000
0000
000
000
NN
jj
ii
N
j
i
NNN
jjN
jjj
iiN
iij
iii
Nji
Nji
Nji
b
b
b
bbb
x
x
x
xxx
a
aa
aaa
aaaaaaaaaaaaaaa
(1.6)
şekline gelir.
- Geri süpürme aşaması
Katsayılar matrisi üst-üçgensel hale getirilen denklem sisteminin çözümü en son bilinmeyenden başlanarak geriye doğru gerçekleştirilir.
Bu işlemler sırasında indislerin karışmaması için denklem sistemini, katsayılarına yeni isim vererek
N
N
i
NNN
NNN
NiN
NN
NN
NN
NNN
NiN
NN
NN
NN
jij
jj
jj
jj
iii
ii
ii
ii
ee
e
eee
xdxd
xd
xdxdxd
xd
xd
xdxdxd
xd
xdxdxd
xd
xdxdxd
xdxdxd
xdxdxd
1
3
2
1
1
3
2
1
111
11
113
112
111
3
2
1
3
2
1
333
323
313
222
212111
−−−−−
−−
−−
−−
−−
==
=
===
+
+
+++
+
+
+++
+
+++
+++
+
+++
,,
(1.7)
şeklinde yazalım. Buna göre sonuncu bilinmeyen en son denklemden kolaylıkla
NN
NN d
ex =
ve sondan bir önceki bilinmeyen de bir önceki denklem kullanılarak
11
111
−−
−−−
−=
NN
NNNNN d
xdex
,
,
şeklinde hesaplanabilir. Bu işlemler birinci denklemden birinci bilinmeyen bulununcaya kadar tekrar edilir. Genelleştirme amacıyla geri-süpürme işleminin herhangi bir i ’inci aşaması için
12211 ,,....,; −−=−
=∑
+= NNid
xdex
ii
N
ijjiji
i
algoritması yazılabilir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
12
Gauss-Eliminasyon yönteminin bilgisayar uygulaması
Bilgisayar uygulamasında lineer denklem takımının katsayılar matrisi bir kare matris yerine sütun sayısı satır sayısından bir fazla olan bir dikdörtgensel matris şeklinde tanımlanıp sağ taraf vektörü de bu matrisin en son sütununa yerleştirilerek bütün işlemler bu matris üzerinde yapılabilir.
+
+
+
+
+
+
1
1
1
13
12
11
321
321
321
333333231
222232221
111131211
NN
jN
iN
N
N
N
NNNjNiNNN
jNjjjijjj
iNijiiiii
Nji
Nji
Nji
a
a
a
aaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
(1.8)
Şayet katsayılar matrisinin bir başka amaç için aynen saklanması gerekiyorsa bir başka matriste yedeklenmesinde yarar vardır.
Bu durumda üst-üçgenselleştirme aşamasının k ‘ıncı adımında katsayılar matrisi
++
++
++++++
++
+
+
11
11
111111
11
12222
1111211
000000000000000
0000
0
NNNNNjNk
iNiNijik
NkNkjkkk
kNkNkjkkkk
NN
NN
aaaa
aaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaa
(1.9)
gerekli bilgisayar algoritmaları
1N21kN2k1ki1N2k1kjPaaa
aaP
kjijij
kkik −=
++=
+++=⋅−←
←,....,;,....,;
,....,;/
ve geri-süpürme aşamasında gerekli algoritmalar da
NN
NNN a
ax 1+=
122111
,,....,; −−=−
=∑
+=+
NNia
xaax
ii
N
ijjijiN
i
şeklinde yazılabilir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
13
Örnek uygulama
Denklem sistemi
=
⋅
−−−−
13815
311413124
3
2
1
xxx
Katsayılar matrisi
−−−−
13311841315124
Birinci sütun sıfırlanarak
−−−
→×−→×−−
259752500251975452015124
4143
13
12
......
)/()/(RRRR
İkinci sütun sıfırlanarak
−−
→×−−− 40580100251975452015124
R5250R 23 .....
)./.(
Geri süpürme ile 3801405
3 ==..x
252
375425192 −=
−×−
=...x
( ) ( )[ ] 24
3122151 =
×+−×−−=x
Uyarı
Bazı matrislerde üst-üçgenselleştirme aşamasının herhangi bir adımında, daha önce yapılmış olan işlemlerin sonucunda akk diyagonal elemanının değeri sıfır olabilir. Bu gibi durumlarda sıfırla bölme sorunu nedeniyle yukarıda izah edilen Gauss yoketme yöntemi devam ettirilemez.
Bu sorunu gidermenin bir yolu kısmi pivot uygulamasıdır.
++
++++++
++++++
++
+−−+−−−−
+
+
11
122122
111111
11
11111111
33
1222322
111131211
0000000
00000000
000000000
0
NNNNNkNk
NkNkkkkk
NkNkkkkk
kNkNkk
NkNkkkkkkk
NN
NN
aaaa
aaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
Gauss yoketme yönteminde pivot uygulamaları
Lineer bir denklem takımındaki iki denklemin sırasının değiştirilmesi çözümü hiçbir şekilde değiştirmez.
Buna göre Gauss yönteminin üst-üçgenselleştirme aşamasında herhangi bir k ıncı adımda akk diyagonal elemanı sıfır olmuşsa, bundan sonraki denklemlerden, bu diyagonal elemanının altındaki elemanı sıfır olmayan herhangi birisinin yeri k’ıncı denklemle değiştirilebilir. Bu uygulamaya “kısmi pivot uygulaması” denir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
14
Sıfır diyagonal altındaki elemanlardan herhangi birisi yerine maksimum olanı tercih edilerek bu denklemin yeri değiştirilirse bu stratejiye de “maksimum pivot stratejisi” adı verilir.
Katsayılar matrisinde başlangıçtan itibaren veya Gauss eliminasyon yönteminin üst-üçgenselleştirme aşamasının herhangi bir adımında diyagonal elemanlarından birinin veya bir çoğunun sıfır olması yanında küçük olması halinde de maksimum pivot stratejisi uygulanması yararlı olur.
Maksimum pivot stratejisi genel olarak katsayılar matrisinin, en büyük elemanları diyagonal üzerine gelecek şekilde satırlarının ve sütunlarının yerlerinin değiştirilmesi şeklindedir.
Katsayılar matrisinin iki satırının (sağ taraf elemanı da dahil olmak üzere) yer değiştirmesinin çözümü değiştirmeyeceği daha önce de belirtilmişti.
Katsayılar matrisinde iki sütunun yer değiştirmesi ise bilinmeyenlerin sırasının değiştirilmesi anlamına gelir ki bilinmeyenlerin sırasının bu işlemler boyunca nasıl değiştiğinin tespit edilmesi ve çözüm elde edildikten sonra bilinmeyenlerin sırasının eski haline getirilebilmesi için bir sıralama işlemi yapılması gerekir.
Örnek
Yandaki 4 bilinmeyenli denklem sisteminde katsayılar matrisinin en büyük elemanı (maksimum pivot) 6 değerine sahip olup dördüncü satırın üçüncü sütununda yer almaktadır.
=
⋅
125119
1632222413525112
4
3
2
1
xxxx
Bu maksimum pivotun ilk diyagonal elemanı olması için:
- önce birinci satırla dördüncü satırın yerlerinin değişmesi
=
⋅
951112
5112222413521632
4
3
2
1
xxxx
- sonra da birinci sütunla üçüncü sütunun yerlerinin değişmesi gerekmektedir. Ancak bu sütun değişikliği durumunda bilinmeyenler vektöründe birinci bilinmeyen ile üçüncü bilinmeyeni yerinin de değiştirilmesi gerekir.
=
⋅
951112
xxxx
5211242212531236
4
1
2
3
İkinci aşamada katsayılar matrisinin birinci satır ve sütunu dışında kalan diğer elemanları arasından yeni bir pivot seçilecektir. En büyük iki elemanın da değeri 5 olup bunlardan birisi ikinci köşegen üzerinde yer almaktadır. Buna göre zaten pivot köşegen üzerinde olduğundan bir değişikliğe gerek olmayacaktır.
Üçüncü aşamada katsayılar matrisinin birinci ve ikinci satırları ve sütunları dışında kalan diğer elemanları arasından yeni bir pivot aranacaktır. Bu pivot dördüncü satır ve dördüncü
→
=
⋅
591112
xxxx
2422521112531236
4
1
2
3
=
⋅
591112
xxxx
4222251121532136
1
4
2
3
sütunda yer alan 5 değeri olup, buna göre önce dördüncü satırla üçüncü satırın, ardından da dördüncü sütunla üçüncü sütunun yerlerinin değişmesi gerekmektedir.Ayrıca bilinmeyenler vektöründe üçüncü ve dördüncü sırada yer alan bilinmeyenlerin yerleri de değişecektir.
Görüldüğü gibi satırların yerleri değişmekle birlikte bilinmeyenlerin sırası değişmemiştir. Ancak sütunların yeri değişirken bilinmeyenlerin de yerleri değişmiştir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
15
Bu şekilde pivotlanan denklem sistemine bundan sonraki aşamada Gauss-Eliminasyon Yöntemi uygulanarak bilinmeyenler
9530x6251x4691x3121x 1423 .,.,.,. −====
olarak elde edilir.
Ancak bilgisayar uygulamasında bilinmeyenler bir x dizisi içerisinde olacak ve çözüm bu dizi içerisinde
6251x3121x4691x9530x 4321 .,.,.,. ===−=
şeklinde farklı bir sıra ile yer alacaktır. İşte bu nedenle pivotlama boyunca sütunların nasıl yer değiştiğinin tespit edilmesi ve çözümden sonra x dizisi içindeki bilinmeyen değerlerinin gerekli sıraya konulması gerekmektedir.
Gauss yoketme yönteminde LU ayrıştırma uygulaması
Gauss eliminasyon yönteminde diyagonal altındaki elemanların sıfırlanması için yapılan aik/akk bölme işleminin sonucu, diyagonalin altında sıfır olması gereken elemanın yerine yazıldığı taktirde, sonuçta üst-üçgensel olması gereken matrisin diyagonal altında yeni bir matris oluşur.
Örnekolarak daha önceki denklem takımı alınırsa
−−−−
13311841315124
−−−
→×−→×−−
259752500251975452015124
4143
13
12
......
)/()/(RRRR yerine
−−−−
25975250412519754524315124
.../.../
−−
→×−−
− 40580100251975452015124
R5250R 23
.....
)..(
yerine
−−−−−
405801525041
2519754524315124
..../
.../
Böylece katsayılar matrisi
−−−
80120025075452750124
...
...
şeklini alır. Bu matris
−−
⋅
−
80100754520124
120025001750001
.
....
.
şeklinde düzenlenirse, buradaki alt-üçgensel matrisle üst-üçgensel matrisin çarpımının yukarıdaki orijinal katsayılar matrisini verdiği gösterilebilir.
Yani
−−−−
=
−−
⋅
−
311413124
80100754520124
120025001750001
.
....
.
Böylece katsayılar matrisi A=L.U şeklinde çarpanlara ayrıştırılmış olmaktadır.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
16
NOT:
LU çarpanlara ayırma işlemi bir matrisin determinantının hesabı için etkin bir yöntemdir. Şöyle ki:
Yukarıdaki örnekte söz konusu olana katsayılar matrisinin determinantı, kofaktörler yardımıyla hesaplanırsa
187153144112
13112
33141
4311413124
A −=−×+−×+×=−−
+−−
−−−−
=−−−−
= )()()()det(
şeklinde elde edilir.
Diğer taraftan iki matrisin çarpımının determinantı bu matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir. Buna göre örnekteki matrisin determinantı bunun LU çarpanlarının determinantları çarpımına eşit olacaktır.
80100754520124
120025001750001
A...
...)det( −
−×
−−=
Bu matrislerin her birinin determinantlarının diyagonal elemanları çarpımına eşit olduğu kolaylıkla görülmektedir. Buna göre
( ) 18801524111A −=×−××××= ..)()det(
elde edilir.
1.3.2 Gauss-Jordan Yöntemi
Gauss-eliminasyon yöntemindeki geri-süpürme aşaması üst-üçgenselleştirme aşamasıyla birleştirilebilir.
Bu tipteki yöntemlerden biri olan Gauss-Jordan yönteminde diyagonal altındaki elemanlar sıfır yapılırken aynı anda diyagonal üzerindeki elemanlar da sıfırlanır, ayrıca diyagonal elemanlarının değerleri 1 yapılır. Böylece işlemlerin sonucunda katsayılar matrisi birim matrise dönüşürken sağ taraf vektörü de bilinmeyenler (yani çözüm) vektörüne dönüşür.
Örnek uygulama
Örnek katsayılar matrisi
−−−−−
65616710342232201020
1 ve 4 üncü satırların yeri değiştirilerek
−−−
−−
01020710342232265616
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
17
1 inci satır diyagonal elemanıyla bölünerek
−−−
−−
0102071034223221833301166701 ..
1. diyagonal altındaki elemanlar sıfırlanarak
−−−
−−
010201133344466673046667356667101833301166701
..
....
2. ve 3. satırların yerini değiştirerek
−−−
−−
010204666735666710113334446667301833301166701
..
....
2. satırı diyagonal elemanıyla bölerek
−−−−−
01020466673566671031818109091101833301166701
......
2. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak
−−
−−−−
63636318182009636458182600318181090911050636408182001
..
....
....
3. satırı diyagonal elemanıyla bölerek
−−
−−−−
636363181820032182670100318181090911050636408182001
....
......
3. diyagonal üst ve altındaki elemanları sıfır yaparak
−−
−−
12356001000321826701005612800001058004000001
..
......
4. satırı diyagonal elemanıyla bölerek
−−
−−
21000321826701005612800001058004000001
......
4. diyagonal üstündeki elemanları sıfır yaparak
−
−
2100033330010010010500001
...
Son sütundaki elemanlar bilinmeyenlerin çözümüdür.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
18
İşlem sayısı
Gauss eliminasyon yönteminde her iki aşamada yapılan işlemlerin toplam sayısı (2n³/3+3n²/2-7n/6) olup işlem mertebesini kısaca (2n³/3) olarak belirmek mümkündür.
Buna karşılık Gauss-Jordan yöntemindeki işlem mertebesi (n³) olup Gauss eliminasyon yöntemine kıyasla yaklaşık %50 kadar daha fazla işlem yapılır.
Ölçeklendirme
Eliminasyon yöntemlerinde katsayılar matrisinin elemanlarının büyüklükleri arasında çok fazla farklılıklar varsa bu durum işlemler sırasında önemli yuvarlatma hatalarına yol açabilir. Bunu önlemenin bir yolu her bir denklemin katsayılarını bu katsayıların en büyüğü ile bölmektir.
Örnek
−−
21211021003110510023
Denklem sisteminde ilk iki denklemdeki en büyük katsayılar 100 iken sonuncu denklemin en büyük katsayısı 2 dir. Buna göre ilk iki denklemi 100 ile ve sonuncu denklemi de 2 ile bölerek çözümleme işlemlerini
−−
15015002110300100511020030
........
denklem sistemi üzerinde yapmak yuvarlatma hatalarını azaltacaktır.
1.3.3- Thomas yöntemi
Hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde ve Hesaplamalı mühendisliğin bazı problemlerinde zaman zaman üç-diyagonalli katsayılar matrisine sahip lineer denklem takımlarıyla karşılaşılır. Üç-diyagonalli katsayılar matrisine sahip böyle bir lineer denklem takımı matris biçiminde normal olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir.
=
⋅
−
+−
N
i
3
2
1
N
i
3
2
1
NN1NN
1iiii1ii
3332
232221
1211
b
b
bbb
x
x
xxx
aa00000
0aaa000
0aa00aaa00aa
.
.
.
.
.......
................
,
,,,
Ancak katsayılar matrisinin çoğu sıfır olan elemanları için bilgisayar hafızasında gereksiz yer işgal etmemek ve gereksiz işlemlerden kaçınmak amacıyla (N×N) boyutlarında bir katsayılar matrisi yerine (N×3) boyutlarında bir katsayılar matrisi kullanacak biçimde bir düzenleme ve buna uygun bir çözüm algoritması kullanılması tercih edilir.
Çözüm için çok tercih edilen bir yöntem Thomas algoritmasıdır. Thomas algoritması aslında Gauss eliminasyon yönteminin üç kolonlu bir dikdörtgensel matris kullanılarak yapılan özel bir uygulamasıdır.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
19
Yukarıdaki denklem sistemi
, ,; ; ;i i 1 i ii i i i 1 i i ia l a d a u b r− +→ → → →
olmak üzere düzenlenirse:
=
⋅
N
i
3
2
1
N
i
3
2
1
NN
iii
33
222
11
r
r
rrr
x
x
xxx
dl00000
0udl000
0dl00udl00ud
.
.
.
.
.......
................
Gauss eliminasyon yönteminin esasının diyagonal altında kalan bütün elemanların sıfır olmasını sağlayacak işlemler olduğu hatırlanırsa bu denklem sistemindeki ilk denklem l2 ile ve ikinci denklem de d1 ile çarpılıp birinci denklem ikincisinden çıkarıldıktan sonra her iki taraf d1 ile bölünerek
21321221121
12212112
rdxudxddxldrlxulxdl
=++=+
⇒ 1
212322
1
122 d
lrrxux
dul
d −=+
−
elde edilir. Böylece ikinci denklemdeki x1 bilinmeyeni yok edilmiş veya diğer bir deyişle katsayılar matrisinde diyagonal elemanının altındaki katsayı sıfırlanmış olmaktadır. Bu eşitlik
1
2122
1
1222 d
lrrr
dul
dd −=−= '' ; olmak üzere ''23222 rxuxd =+
şeklinde yazılabilir. Böylece denklem sistemi
=
⋅
N
i
3
2
1
N
i
3
2
1
NN
iii
33
22
11
r
r
rrr
x
x
xxx
dl00000
0udl000
0dl00ud000ud
.
.
.
.
.......
................
''
şekline gelir. Yukarıda yapılan eliminasyon işlemi denklem sistemindeki ikinci ve üçüncü denklem arasında tekrarlanırsa, yani ikinci denklem l3 ile ve üçüncü denklem de d2' ile çarpılıp yine birinci denklem ikincisinden çıkarılıp, karşılıklı d2' ile bölünerek
32432332232
23323223
rdxudxddxld
rlxulxdl''''
''
=++
=+ ⇒
'
'
'2
233433
2
233 d
rlrxux
dul
d −=+
−
veya yine
'
''
'' ;
2
2233
2
2333 d
rlrr
dul
dd −=−= olmak üzere ''34333 rxuxd =+
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
20
elde edilir. Bu denklemde de x2 bilinmeyeninin ortadan kalktığı ve katsayılar matrisinde üçüncü satırda diyagonal altındaki elemanın sıfır yapıldığı görülmektedir.
Benzeri işlemler daha sonraki denklemler için de tekrarlanabilir. Bunun için yukarıda çıkartılan bağıntılar karşılaştırılarak bir genelleştirme yapılırsa
),....,(; '
''
'' N32i
drl
rrdul
dd1i
1iiii
1i
1iiii =−=−=
−
−
−
−
elde edilir. Bu durumda denklem sistemi de
=
⋅
'
'
'
'
'
'
'
'
.
.
.
.
.......
................
N
i
3
2
1
N
i
3
2
1
N
ii
3
22
11
r
r
rrr
x
x
xxx
d000000
0ud0000
0d000ud000ud
şekline gelir. Bu denklem sisteminde en sonuncu denklemden xN bilinmeyeninin kolaylıkla çözülebileceği görülmektedir:
'
'
N
NN d
rx =
Bulunan bu büyüklük bir üstteki denklemde kullanılarak
'
'
1N
N1N1N1N d
xurx
−
−−−
−=
bulunur. Benzeri işlem herhangi bir xi bilinmeyeni için
'
'
i
1iiii d
xurx +−=
şeklinde gerçekleştirilir.
1.3.4- LU ayrıştırma yöntemleri
A⋅X=B şeklindeki lineer denklem takımı, katsayılar matrisi
⇓ ⇐ A=L⋅U şeklinde çarpanlarına ayrılarak
L⋅U⋅X=B şekline veya
⇓ ⇐ U⋅X=Y tanımlaması yaparak
L⋅Y=B getirilebilir.
Bu son denklem takımı ileri-süpürme yoluyla Y vektörü için kolaylıkla çözülebilir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
21
Bulunan çözüm bir önceki denklemde kullanılırsa bu denklem de geri-süpürme yoluyla X vektörü için çözülebilir.
Buna göre bir LU ayrıştırma yönteminin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilir:
- A = L ⋅U ayrıştırması
- L ⋅ Y = B denkleminin Y için ileri-süpürme yoluyla çözülmesi
- U ⋅X = Y denkleminin X için geri-süpürme yoluyla çözülmesi
LU Ayrıştırma aşaması:
⋅
=⋅
NN
kNkjkk
Njk
Njk
Njk
NNNkNNN
ikiii
kkkkk
u
uuu
uuuuuuuuuuuuuuu
lllll
llll
llll
lllll
l
UL
00000
0000
000
000
0
0
000000000
33333
2222322
111131211
321
321
321
333231
2221
11
=
NNNjNiNNN
jNjjjijjj
iNijiiiii
Nji
Nji
Nji
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
A
321
321
321
333333231
222232221
111131211
L matrisinin k ‘ıncı satırı U matrisinin j=k,k+1,…N ‘inci sütunları ile çarpılarak
→=⋅++⋅+⋅ kjkjkkjkjk aululul ...2211 Nkkjulal
uk
ppjkpkj
kkkj ,...,,; 11 1
1
+=
⋅−= ∑
−
=
L matrisinin i=k,k+1,…,N ‘inci satırları U matrisinin k ‘ıncı sütunuyla çarpılarak
→=⋅++⋅+⋅ ikkkikkiki aululul ...2211 Nkkiulau
lk
ppkipik
kkik ,...,,; 11 1
1
+=
⋅−= ∑
−
=
Bu bağıntılar
k=1 için
Niual
Njla
u
ii
jj
,...,,;
,...,,;
21
21
11
11
11
11
==
==
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
22
k=2 için
( )
( ) Niulau
l
Njulal
u
iii
jjj
,...,,;
,...,,;
321
321
121222
2
121222
2
=⋅−=
=⋅−=
k=3 için
( )[ ]
( )[ ] Niululau
l
Njululal
u
iiii
jjjj
,...,,;
,...,,;
431
431
232131333
3
232131333
3
=⋅+⋅−=
=⋅+⋅−=
olup, hesapların başlatılabilmesi ve sürdürülebilmesi için ukk ve lkk elemanlarından birinin önceden belirlenmesi gerektiği görülmektedir. Nitekim uygulamada bu elemanlardan birisinin değeri 1 olarak seçilir. Bu seçime bağlı olarak yöntem iki farklı isimle tanınmaktadır:
Doolittle Yöntemi
Doolittle yönteminde alt-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım
k=1 için Ni
ua
ll
Njau
ii
jj
,...,,;;
,...,,;
321
21
11
1111
11
===
==
k=2 için ( ) Niulau
ll
Njulau
iii
jjj
,...,,;;
,...,,;
4311
32
121222
222
12122
=⋅−==
=⋅−=
k=3 için
( )( )[ ] Niulula
ull
Njululau
iiii
jjjj
,...,,;;
,...,,;
5411
43
232131333
333
23213133
=⋅+⋅−==
=⋅+⋅−=
şekline gelir. Görüldüğü gibi hesaplamalarda bir sıra izlenerek herbir adımda önce üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının daha sonra da alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının bulunması gerekmektedir.
Buna göre Doolittle yöntemi için genel algoritma aşağıdaki şekilde yazılabilir.
NkNkkiula
ul
Nkkjulau
k
ppkipik
kkik
k
ppjkpkjkj
,...,,,...,,;
,...,,;21
11
1
1
1
1
1 =+=
⋅−=
+=⋅−=
∑
∑−
=
−
=
Crout Yöntemi
Crout yönteminde üst-üçgensel matrisin diyagonal elemanları 1 alınmakta olup, buna göre yukarıdaki üç adım
k=1 için Nj
la
uu
Nial
jj
ii
,...,,;,
,...,,;
321
21
11
1111
11
===
==
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
23
k=2 için ( ) Njulal
uu
Niulal
jjj
iii
,...,,;,
,...,,;
4311
32
121222
222
12122
=⋅−==
=⋅−=
k=3 için
( )
( )[ ] Njululal
uu
Niululal
jjjj
iiii
,...,,;,
,...,,;
5411
43
232131333
333
23213133
=⋅+⋅−==
=⋅+⋅−=
şekline gelir. Görüldüğü gibi hesaplamalarda yine bir sıra izlenerek bu defa herbir adımda önce alt-üçgensel matrisin bir sütununun elemanlarının daha sonra da üst-üçgensel matrisin bir satırının elemanlarının bulunması gerekmektedir.
Buna göre Crout yöntemi için genel algoritma aşağıdaki şekilde yazılabilir.
NkNkkjula
lu
Nkkiulal
k
ppjkpkj
kkkj
k
ppkipikik
,...,,;,...,,;
,...,,;21
11
1
1
1
1
1 =+=
⋅−=
+=⋅−=
∑
∑−
=
−
=
İleri süpürme aşaması
L ⋅ Y = B denkleminin Y için çözümü ilk elemandan başlayarak ileri-süpürme yoluyla gerçekleştirilir.
=
⋅
−
−
N
i
N
i
NNNiiNNNNN
iiiiiiii
b
b
bbbb
y
y
yyyy
lllllll
llllll
lllllll
lll
4
3
2
1
4
3
2
1
14321
14321
44334241
333231
2221
11
0
00
000000000000
,
,
L matrisinin birinci satırı ile Y vektörünün çarpımından
1111 lby /=
L matrisinin i 'inci satırının Y vektörü ile çarpımından
→=+⋅++⋅+⋅ −− ii1i1i,i22i11i byyl...ylyl Niylbl
yi
ppipi
iii ,...,; 321 1
1
=
⋅−= ∑
−
=
Geri süpürme aşaması
U ⋅X = Y denkleminin X için çözümü de son elemandan başlayarak geri-süpürme yoluyla gerçekleştirilir.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
24
=
⋅
−−−−−
−+
−+
−+
−+
N
1N
i
3
2
1
N
1N
i
3
2
1
N,N
N,1N1N,1N
N,i1N,i1i,iii
N,31N,31i,3i333
N,21N,21i,2i22322
N,11N,11i,1i1131211
yy
y
yyy
xx
x
xxx
u000000uu00000
uuuu0000
uuuuu00uuuuuu0uuuuuuu
U matrisinin sonuncu satırı X vektörüyle çarpılarak
→=⋅ NNNN yxu NNNN u/yx =
U matrisinin i 'inci satırı X vektörüyle çarpılarak
→=⋅++⋅+⋅ ++ iNN,i1i1i,iiii yxu...xuxu 122111
,,...,,; −−=
⋅−= ∑
+=
NNixupyu
xN
ikpipi
iii
elde edilir.
1.3.5- Jacobi basit iterasyon yöntemi
Çok büyük katsayılar matrisi içeren lineer denklem sistemlerinin eliminasyon yöntemleriyle çözümü çoğu zaman ekonomik olmaz. Bu gibi durumlarda iteratif yöntemler seçilir. Bunlardan en basit birisi Jacobi yöntemidir.
BXA =⋅ (1)
lineer denklem takımı, A katsayılar matrisi
UDLA ++= (2)
; ;
11 12 13 1N
21 22 23 2N
31 32 33 3N
N1 N 2 N 3 NN
0 0 0 0 a 0 0 0 0 a a aa 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a a
L a a 0 0 D 0 0 a 0 U 0 0 0 a
a a a 0 0 0 0 a 0 0 0 0
= = =
şeklinde üç matrisin toplamı olmak üzere
L X D X U X B⋅ + ⋅ + ⋅ = → [ ]XUXLBDX 1 ⋅−⋅−⋅= − (3)
şekline getirilebilir.
Bu durumda xi bilinmeyenleri için uygun seçilecek başlangıç değerleri (3) eşitliğinde kullanılarak yeni xi değerleri hesaplanabileceği ve bu işlemlerin iteratif olarak devam ettirilebileceği görülmektedir. Jacobi basit iterasyon yöntemi olarak bilinen bu yöntemin herhangi bir iterasyon adımı için kapalı formda
[ ])()()( kk11k XUXLBDX ⋅−⋅−⋅= −+ (4)
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
25
veya açık biçimde
−
−
⋅=
−
+
+
+
+
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
kN
k
k
k
N
N
N
kN
k
k
k
NNNNkN
k
k
k
x
xxx
aaaaaa
x
xxx
aaa
aaa
b
bbb
D
x
xxx
3
2
1
3
223
11312
3
2
1
321
3231
21
3
2
1
1
1
13
12
11
0000
00000
0
0
000000000
(5)
yazılabilir. D diyagonal matrisinin tersinin
=→
= −
NN
33
22
11
1
NN
33
22
11
a1000
0a10000a10000a1
D
a000
0a0000a0000a
D
/
//
/
Şeklinde olacağı gösterilebilir. Bu durumda (5) matris eşitliğinin herhangi bir i ‘inci satırı için
Nia
xaxabx
ii
N
ij
kjij
kj
i
jiji
ki ,....,;
)()(
)( 211
1
11 =⋅−⋅−
=∑∑
+=
−
=+ (6)
yazılarak iterasyon algoritması açık biçimde elde edilebilir.
1.3.6- Gauss-Sidel iterasyon yöntemi
Jacobi yöntemi çabuk yakınsamayan bir yöntemdir. Yöntemin yakınsamasını hızlandırmak için her iterasyon adımında bir önceki çözümle yeni bulunan çözümlerin
[ ])()()( k1k11k XUXLBDX ⋅−⋅−⋅= +−+ (7)
−
−
⋅=
+
+
+
+
−
+
+
+
+
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
kN
k
k
k
N
N
N
kN
k
k
k
NNNNkN
k
k
k
x
xxx
aaaaaa
x
xxx
aaa
aaa
b
bbb
D
x
xxx
3
2
1
3
223
11312
1
13
12
11
321
3231
21
3
2
1
1
1
13
12
11
0000
00000
0
0
000000000
(8)
Nia
xaxabx
ii
N
ij
kjij
kj
i
jiji
ki ,....,;
)()(
)( 211
11
11 =⋅−⋅−
=∑∑
+=
+−
=+ (9)
şeklindeki bir kombinasyonundan yararlanmak mümkündür.
Görüldüğü gibi iterasyonun herhangi bir k’ıncı adımında X bilinmeyenler vektörünün i ’inci elemanı, xi, hesaplanırken X ‘in bu iterasyon adımında hesaplanmış olan ilk (i-1) elemanı ile bir önceki iterasyon adımında hesaplanmış olan (i+1) ‘inci ve daha sonraki elemanları kullanılmaktadır.
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
26
1.3.7- Ardarda aşırı gevşetme (Successive over-relaxation) yöntemi
Gauss-Sidel iterasyon ifadesi, aynı terimin
( )( ) ( ) ( ) ( ) ; , ,....k kii
i 1 Nk 1 k 1 ki i ij j ij i ii ij
j 1 j i 1ii
1x b a x a a x ax i 1 2 Na
x−
+ +
= = +
= − ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅
∑ ∑ (10)
şeklinde bir defa ilave edilip bir defa da çıkartılması sonucunda
N21ixaxaba1xx
N
ij
kjij
1kj
1i
1jiji
ii
ki
1ki ,....,;)()()()( =
⋅−⋅−+= ∑∑
=
+−
=
+ (11)
şeklinde düzenlenebilir. Buradaki
NixaxabN
ij
kjij
kj
i
jij
ki ,....,;)()()( 211
1
1
=⋅−⋅= ∑∑=
+−
=
(12)
büyüklüğü, dikkat edilirse aslında k ’ıncı iterasyon adımında bulunan çözüm vektörünün katsayılar matrisi ile çarpımı olup, tam çözümün elde edilmesi halinde bu büyüklüğün bi ye eşit olacağı açıktır. Ancak iterasyon sırasında çözümler tam çözümden farklı olacağından bu büyüklük de denklem sisteminin sağ taraf vektöründen farklı olacaktır. Aradaki fark
Nibbr kii
ki ,....,;)()( 21=−= (13)
“kalıntı (residus)” olarak adlandırılır. Buna göre (11) bağıntısının sağındaki ikinci terim kalıntı terimi olup, bir önceki iterasyon adımında elde edilmiş çözümlere ilave edilen bir düzeltme terimi gibi yorumlanabilir:
Nixx ki
ki
ki ,....,;)()()( 211 =+=+ δ (14)
N21ixaxaba1
ar N
ij
kjij
1kj
1i
1jiji
iiii
kik
i ,....,;)()()(
)( =
⋅−⋅−== ∑∑
=
+−
=
δ (15)
Şimdi bu düzeltme terimi bir ω büyüklüğü ile çarpılarak etkisi azaltılabilir veya çoğaltılabilir.
Nixx ki
ki
ki ,....,;)()()( 211 =⋅+=+ δω (16)
N21ixaxaba1xx
N
ij
kjij
1kj
1i
1jiji
ii
ki
1ki ,....,;)()()()( =
⋅−⋅−⋅+= ∑∑
=
+−
=
+ ω (17)
Veya yeni bir düzenleme ile
N21ixaxaxaba1xx k
iii
N
1ij
kjij
1kj
1i
1jiji
ii
ki
1ki ,....,;)()()()()( =
⋅−⋅−⋅−⋅+= ∑∑
+=
+−
=
+ ω (18)
N21ixxaxaba1xx k
i
N
1ij
kjij
1kj
1i
1jiji
ii
ki
1ki ,....,;)()()()()( =
−
⋅−⋅−⋅+= ∑∑
+=
+−
=
+ ω (19)
N21ix1xaxaba1x k
i
N
1ij
kjij
1kj
1i
1jiji
ii
1ki ,....,;)( )()()()( =−+
⋅−⋅−⋅= ∑∑
+=
+−
=
+ ωω (20)
Bölüm 1- Lineer denklem takımlarının çözüm yöntemleri
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M.A. Yükselen, HM504 Uygulamalı Sayısal Yöntemler Ders Notları
27
şekline getirilebilir.
Bu son ifade, görüldüğü gibi, herhangi bir iterasyon adımında Gauss-Sidel şemasıyla bulunan değerler ile bir önceki iterasyon adımında bulunan değerlerin kontrol edilebilen bir ağırlık oranında kombinasyonunu vermektedir. Buradaki ω gevşetme faktörü olup bu yöntem
0 < ω < 1 için ardarda az gevşetme (Successive under relaxation)
1 < ω < 2 için ardarda aşırı gevşetme (Successive over relaxation)
yöntemi olarak anılır.
1.4 Matris tersinin sayısal hesabı
Matrislerde bölme gibi bir işlem olmayıp, bu işlem matrisin tersi kullanılarak gerçekleştirilir.
B/A=C ⇒ B⋅A-1=C
Bu işlem aynı zamanda lineer denklem takımlarının çözümlenmesinde de kullanılabilir.
A⋅X=B ⇒ A-1A⋅X=A-1 B ⇒ X=A-1 B
Bir matrisin tersi eliminasyon yöntemleriyle lineer denklem takımlarının çözülmesine benzer şekilde gerçekleştirilebilir. Bir A matrisinin tersinin bulunması aslında
A A-1=In
Şeklinde, sağ taraf vektörü birden fazla olan bir denklem sisteminin çözülmesine eşdeğerdir.
Buna göre katsayılar matrisinin sağ tarafına ilave sütunlarla bir birim matris ilave edilerek Gauss-eliminasyon yönytemiyle veya Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle matrisin tersini elde etmek mümkündür. Daha önce izah edilen işlemlerden sonra birim matris ters matrise dönüşecektir.
Örnek:
Katsayılar matrisi
−
201103211
Genişletilmiş matris
−
100010001
201103211
Gauss-Jordan eliminasyon yöntemiyle
−−
−
5351011151520
100010001
//
//