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EinführungMethodenErgebnisse
Blocks of finite groups and their invariants
Benjamin Sambale
Habilitationsverteidigung
13. 11. 2013
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Einführung
Eine Gruppe G ist eine (abstrakte) Menge von Elementen.
Je zwei Elemente können nach gewissen Regeln zu einem neuenGruppenelement verknüpft werden.
Beispiel (Dreieck)
Die Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks bilden eine Gruppe D6.Die Verknüpfung ist dabei die Hintereinanderausführung von Abbil-dungen.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Einführung
Eine Gruppe G ist eine (abstrakte) Menge von Elementen.Je zwei Elemente können nach gewissen Regeln zu einem neuenGruppenelement verknüpft werden.
Beispiel (Dreieck)
Die Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks bilden eine Gruppe D6.Die Verknüpfung ist dabei die Hintereinanderausführung von Abbil-dungen.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Einführung
Eine Gruppe G ist eine (abstrakte) Menge von Elementen.Je zwei Elemente können nach gewissen Regeln zu einem neuenGruppenelement verknüpft werden.
Beispiel (Dreieck)
Die Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks bilden eine Gruppe D6.Die Verknüpfung ist dabei die Hintereinanderausführung von Abbil-dungen.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦
240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦
240◦
360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦
360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen
3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen
3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen
3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen
3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Beispiel
120◦240◦360◦
3 Drehungen3 Spiegelungen
D6 hat 6 Elemente
1 2
3
120◦
3 1
2
120◦ Drehung
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3
1 3
2
120◦ Drehung + Spiegelung durch P3 = Spiegelung durch P1
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Darstellungen
In der Darstellungstheorie versucht man abstrakte Gruppenele-mente durch konkrete Matrizen zu ersetzen.
Die Verknüpfung von Gruppenelementen soll dabei der Matri-zenmultiplikation entsprechen.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)Spiegelung an y-Achse −→
(−1 00 1
)
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Darstellungen
In der Darstellungstheorie versucht man abstrakte Gruppenele-mente durch konkrete Matrizen zu ersetzen.Die Verknüpfung von Gruppenelementen soll dabei der Matri-zenmultiplikation entsprechen.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)Spiegelung an y-Achse −→
(−1 00 1
)
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Darstellungen
In der Darstellungstheorie versucht man abstrakte Gruppenele-mente durch konkrete Matrizen zu ersetzen.Die Verknüpfung von Gruppenelementen soll dabei der Matri-zenmultiplikation entsprechen.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Darstellungen
In der Darstellungstheorie versucht man abstrakte Gruppenele-mente durch konkrete Matrizen zu ersetzen.Die Verknüpfung von Gruppenelementen soll dabei der Matri-zenmultiplikation entsprechen.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)Spiegelung an y-Achse −→
(−1 00 1
)
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Charaktere
Basiswechsel führt zu ähnlichen Matrizen und ähnlichen Dar-stellungen mit gleichen Eigenschaften.
Ersetzt man die Matrizen durch ihre Spur, so erhält man denCharakter der Darstellung.Ähnliche Darstellungen haben den gleichen Charakter.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)−→ −1
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)−→ 0
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Charaktere
Basiswechsel führt zu ähnlichen Matrizen und ähnlichen Dar-stellungen mit gleichen Eigenschaften.Ersetzt man die Matrizen durch ihre Spur, so erhält man denCharakter der Darstellung.
Ähnliche Darstellungen haben den gleichen Charakter.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)−→ −1
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)−→ 0
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Charaktere
Basiswechsel führt zu ähnlichen Matrizen und ähnlichen Dar-stellungen mit gleichen Eigenschaften.Ersetzt man die Matrizen durch ihre Spur, so erhält man denCharakter der Darstellung.Ähnliche Darstellungen haben den gleichen Charakter.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)−→ −1
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)−→ 0
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Charaktere
Basiswechsel führt zu ähnlichen Matrizen und ähnlichen Dar-stellungen mit gleichen Eigenschaften.Ersetzt man die Matrizen durch ihre Spur, so erhält man denCharakter der Darstellung.Ähnliche Darstellungen haben den gleichen Charakter.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)−→ −1
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)−→ 0
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Charaktere
Basiswechsel führt zu ähnlichen Matrizen und ähnlichen Dar-stellungen mit gleichen Eigenschaften.Ersetzt man die Matrizen durch ihre Spur, so erhält man denCharakter der Darstellung.Ähnliche Darstellungen haben den gleichen Charakter.
Beispiel (Dreieck)
Drehung um 120◦ −→ −12
(1
√3
−√3 1
)−→ −1
Spiegelung an y-Achse −→(−1 00 1
)−→ 0
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Blöcke
Beliebige Charaktere lassen sich als Summe irreduzibler Charak-tere schreiben.
Irreduzibel heißt dabei, dass die Größe der entsprechenden Ma-trizen (d. h. der Grad des Charakters) möglichst klein ist.Für eine vorgegebene Primzahl p erfüllen die Werte mancherirreduzibler Charaktere gleiche Teilbarkeitskriterien bzgl. p.Dementsprechend verteilt man die irreduziblen Charaktere einerendlichen Gruppe in Blöcke (genauer p-Blöcke).
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Blöcke
Beliebige Charaktere lassen sich als Summe irreduzibler Charak-tere schreiben.Irreduzibel heißt dabei, dass die Größe der entsprechenden Ma-trizen (d. h. der Grad des Charakters) möglichst klein ist.
Für eine vorgegebene Primzahl p erfüllen die Werte mancherirreduzibler Charaktere gleiche Teilbarkeitskriterien bzgl. p.Dementsprechend verteilt man die irreduziblen Charaktere einerendlichen Gruppe in Blöcke (genauer p-Blöcke).
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Blöcke
Beliebige Charaktere lassen sich als Summe irreduzibler Charak-tere schreiben.Irreduzibel heißt dabei, dass die Größe der entsprechenden Ma-trizen (d. h. der Grad des Charakters) möglichst klein ist.Für eine vorgegebene Primzahl p erfüllen die Werte mancherirreduzibler Charaktere gleiche Teilbarkeitskriterien bzgl. p.
Dementsprechend verteilt man die irreduziblen Charaktere einerendlichen Gruppe in Blöcke (genauer p-Blöcke).
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Blöcke
Beliebige Charaktere lassen sich als Summe irreduzibler Charak-tere schreiben.Irreduzibel heißt dabei, dass die Größe der entsprechenden Ma-trizen (d. h. der Grad des Charakters) möglichst klein ist.Für eine vorgegebene Primzahl p erfüllen die Werte mancherirreduzibler Charaktere gleiche Teilbarkeitskriterien bzgl. p.Dementsprechend verteilt man die irreduziblen Charaktere einerendlichen Gruppe in Blöcke (genauer p-Blöcke).
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Gewöhnliche Darstellungstheorie
Ist die Anzahl der Gruppenelemente nicht durch p teilbar, soenthält jeder Block nur einen Charakter.
Diesen Fall versteht man sehr gut (gewöhnliche Darstellungs-theorie).
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 besitzt drei irreduzible Charaktere χ1, χ2 und χ3 mitden Graden 1, 1 bzw. 2 (χ3 haben wir bereits berechnet).
Verteilung in p-Blöcke:
p = 2 p = 3 p ≥ 5χ1, χ2 χ3 χ1, χ2, χ3 χ1 χ2 χ3
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Gewöhnliche Darstellungstheorie
Ist die Anzahl der Gruppenelemente nicht durch p teilbar, soenthält jeder Block nur einen Charakter.Diesen Fall versteht man sehr gut (gewöhnliche Darstellungs-theorie).
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 besitzt drei irreduzible Charaktere χ1, χ2 und χ3 mitden Graden 1, 1 bzw. 2 (χ3 haben wir bereits berechnet).
Verteilung in p-Blöcke:
p = 2 p = 3 p ≥ 5χ1, χ2 χ3 χ1, χ2, χ3 χ1 χ2 χ3
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Gewöhnliche Darstellungstheorie
Ist die Anzahl der Gruppenelemente nicht durch p teilbar, soenthält jeder Block nur einen Charakter.Diesen Fall versteht man sehr gut (gewöhnliche Darstellungs-theorie).
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 besitzt drei irreduzible Charaktere χ1, χ2 und χ3 mitden Graden 1, 1 bzw. 2 (χ3 haben wir bereits berechnet).
Verteilung in p-Blöcke:
p = 2 p = 3 p ≥ 5χ1, χ2 χ3 χ1, χ2, χ3 χ1 χ2 χ3
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Gewöhnliche Darstellungstheorie
Ist die Anzahl der Gruppenelemente nicht durch p teilbar, soenthält jeder Block nur einen Charakter.Diesen Fall versteht man sehr gut (gewöhnliche Darstellungs-theorie).
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 besitzt drei irreduzible Charaktere χ1, χ2 und χ3 mitden Graden 1, 1 bzw. 2 (χ3 haben wir bereits berechnet).
Verteilung in p-Blöcke:
p = 2 p = 3 p ≥ 5χ1, χ2 χ3 χ1, χ2, χ3 χ1 χ2 χ3
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Invarianten
Jeder Block B von G besitzt eine Defektgruppe D.
Dies ist eine p-Untergruppe von G , d. h. |D| = pd für ein d ≥ 0.
Definition
k(B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere in B ,
ki (B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere χ in B mitχ(1)p = pi |G : D|p. (i = 0, 1, . . .)
Es gilt dann k(B) = k0(B) + k1(B) + . . ..
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Invarianten
Jeder Block B von G besitzt eine Defektgruppe D.Dies ist eine p-Untergruppe von G , d. h. |D| = pd für ein d ≥ 0.
Definition
k(B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere in B ,
ki (B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere χ in B mitχ(1)p = pi |G : D|p. (i = 0, 1, . . .)
Es gilt dann k(B) = k0(B) + k1(B) + . . ..
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Invarianten
Jeder Block B von G besitzt eine Defektgruppe D.Dies ist eine p-Untergruppe von G , d. h. |D| = pd für ein d ≥ 0.
Definition
k(B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere in B ,
ki (B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere χ in B mitχ(1)p = pi |G : D|p. (i = 0, 1, . . .)
Es gilt dann k(B) = k0(B) + k1(B) + . . ..
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Invarianten
Jeder Block B von G besitzt eine Defektgruppe D.Dies ist eine p-Untergruppe von G , d. h. |D| = pd für ein d ≥ 0.
Definition
k(B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere in B ,ki (B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere χ in B mit
χ(1)p = pi |G : D|p. (i = 0, 1, . . .)
Es gilt dann k(B) = k0(B) + k1(B) + . . ..
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Invarianten
Jeder Block B von G besitzt eine Defektgruppe D.Dies ist eine p-Untergruppe von G , d. h. |D| = pd für ein d ≥ 0.
Definition
k(B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere in B ,ki (B) := Anzahl der irreduziblen Charaktere χ in B mit
χ(1)p = pi |G : D|p. (i = 0, 1, . . .)
Es gilt dann k(B) = k0(B) + k1(B) + . . ..
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Brauer-Charaktere
Betrachtet man die Matrizen einer Darstellung über Körpern derCharakteristik p, so entstehen Brauer-Charaktere.
Die irreduziblen Brauer-Charaktere verteilen sich ebenfalls aufdie p-Blöcke von G .Man definiert
l(B) := Anzahl der irreduziblen Brauer-Charaktere in B.
Beispiel (Dreieck)
Sei B der (einzige) 3-Block von D6. Dann ist D die Gruppe der dreiRotationen, k(B) = k0(B) = 3 und l(B) = 2.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Brauer-Charaktere
Betrachtet man die Matrizen einer Darstellung über Körpern derCharakteristik p, so entstehen Brauer-Charaktere.Die irreduziblen Brauer-Charaktere verteilen sich ebenfalls aufdie p-Blöcke von G .
Man definiert
l(B) := Anzahl der irreduziblen Brauer-Charaktere in B.
Beispiel (Dreieck)
Sei B der (einzige) 3-Block von D6. Dann ist D die Gruppe der dreiRotationen, k(B) = k0(B) = 3 und l(B) = 2.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Brauer-Charaktere
Betrachtet man die Matrizen einer Darstellung über Körpern derCharakteristik p, so entstehen Brauer-Charaktere.Die irreduziblen Brauer-Charaktere verteilen sich ebenfalls aufdie p-Blöcke von G .Man definiert
l(B) := Anzahl der irreduziblen Brauer-Charaktere in B.
Beispiel (Dreieck)
Sei B der (einzige) 3-Block von D6. Dann ist D die Gruppe der dreiRotationen, k(B) = k0(B) = 3 und l(B) = 2.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Brauer-Charaktere
Betrachtet man die Matrizen einer Darstellung über Körpern derCharakteristik p, so entstehen Brauer-Charaktere.Die irreduziblen Brauer-Charaktere verteilen sich ebenfalls aufdie p-Blöcke von G .Man definiert
l(B) := Anzahl der irreduziblen Brauer-Charaktere in B.
Beispiel (Dreieck)
Sei B der (einzige) 3-Block von D6. Dann ist D die Gruppe der dreiRotationen, k(B) = k0(B) = 3 und l(B) = 2.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Problemstellung
Gegeben: Primzahl p, Defektgruppe D (lokale Information).
Voraussetzung: B ist ein p-Block einer beliebigen endlichenGruppe G mit Defektgruppe D.
Gesucht: k(B), ki (B), l(B), . . . (globale Information).
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Problemstellung
Gegeben: Primzahl p, Defektgruppe D (lokale Information).
Voraussetzung: B ist ein p-Block einer beliebigen endlichenGruppe G mit Defektgruppe D.
Gesucht: k(B), ki (B), l(B), . . . (globale Information).
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Problemstellung
Gegeben: Primzahl p, Defektgruppe D (lokale Information).
Voraussetzung: B ist ein p-Block einer beliebigen endlichenGruppe G mit Defektgruppe D.
Gesucht: k(B), ki (B), l(B), . . . (globale Information).
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:
Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.
Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.
Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.
Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
![Page 53: Blocks of finite groups and their invariants · Zerlegungszahlen Beziehungenzwischen(gewöhnlichen)CharakterenundBrauer-](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022053015/5f1493e99c483866de35d249/html5/thumbnails/53.jpg)
EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
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![Page 54: Blocks of finite groups and their invariants · Zerlegungszahlen Beziehungenzwischen(gewöhnlichen)CharakterenundBrauer-](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022053015/5f1493e99c483866de35d249/html5/thumbnails/54.jpg)
EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
![Page 55: Blocks of finite groups and their invariants · Zerlegungszahlen Beziehungenzwischen(gewöhnlichen)CharakterenundBrauer-](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022053015/5f1493e99c483866de35d249/html5/thumbnails/55.jpg)
EinführungMethodenErgebnisse
Gruppen, Darstellungen, CharaktereBlöcke und ihre InvariantenProblemstellung und Motivation
Motivation
Offene Vermutungen:Brauer 1954: k(B) ≤ |D|.Brauer 1956: k(B) = k0(B)⇐⇒ D abelsch.Olsson 1975: k0(B) ≤ |D : D ′|.Alperin-McKay 1975: k0(B) = k0(b)
Alperin 1986: l(B) =∑. . ..
Dade 1992: ki (B) =∑
j(−1)j . . .....
Gluck 2011: *kompliziert*.
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.
Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S Tg
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.
Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S Tg
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S Tg
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S T
g
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S Tg
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Fusionssysteme
Das Fusionssystem F von B ist eine Kategorie, die die Einbet-tung von D in G beschreibt.Die Klassifikation aller Fusionssysteme auf einer p-Gruppe D istauch für die Topologie von Bedeutung.Alperins Fusionssatz: Man muss nur die Fusion von wenigenUntergruppen von D kennen.
G
D
S Tg
Existiert ein g ∈ G mit gSg−1 = T?
Alperin: g = h1h2 . . . hn mit hi ∈ Hi ,H1, . . . ,Hn sind lokale Untergruppen von G
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Zerlegungszahlen
Beziehungen zwischen (gewöhnlichen) Charakteren und Brauer-Charakteren eines Blocks lassen sich durch Zerlegungszahlenausdrücken, die man in einer Matrix Q anordnet.
Brauer, Broué und Murai bewiesen Teilbarkeitsrelationen fürZerlegungszahlen.Oft kann man damit alle möglichen Zerlegungszahlen mittelsComputereinsatz berechnen.Die Cartanmatrix C = QTQ ∈ Zl(B)×l(B) von B is symmetrischund positiv definit.Dies liefert eine quadratische Form q(x) := xCxT.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Zerlegungszahlen
Beziehungen zwischen (gewöhnlichen) Charakteren und Brauer-Charakteren eines Blocks lassen sich durch Zerlegungszahlenausdrücken, die man in einer Matrix Q anordnet.Brauer, Broué und Murai bewiesen Teilbarkeitsrelationen fürZerlegungszahlen.
Oft kann man damit alle möglichen Zerlegungszahlen mittelsComputereinsatz berechnen.Die Cartanmatrix C = QTQ ∈ Zl(B)×l(B) von B is symmetrischund positiv definit.Dies liefert eine quadratische Form q(x) := xCxT.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Zerlegungszahlen
Beziehungen zwischen (gewöhnlichen) Charakteren und Brauer-Charakteren eines Blocks lassen sich durch Zerlegungszahlenausdrücken, die man in einer Matrix Q anordnet.Brauer, Broué und Murai bewiesen Teilbarkeitsrelationen fürZerlegungszahlen.Oft kann man damit alle möglichen Zerlegungszahlen mittelsComputereinsatz berechnen.
Die Cartanmatrix C = QTQ ∈ Zl(B)×l(B) von B is symmetrischund positiv definit.Dies liefert eine quadratische Form q(x) := xCxT.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Zerlegungszahlen
Beziehungen zwischen (gewöhnlichen) Charakteren und Brauer-Charakteren eines Blocks lassen sich durch Zerlegungszahlenausdrücken, die man in einer Matrix Q anordnet.Brauer, Broué und Murai bewiesen Teilbarkeitsrelationen fürZerlegungszahlen.Oft kann man damit alle möglichen Zerlegungszahlen mittelsComputereinsatz berechnen.Die Cartanmatrix C = QTQ ∈ Zl(B)×l(B) von B is symmetrischund positiv definit.
Dies liefert eine quadratische Form q(x) := xCxT.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Zerlegungszahlen
Beziehungen zwischen (gewöhnlichen) Charakteren und Brauer-Charakteren eines Blocks lassen sich durch Zerlegungszahlenausdrücken, die man in einer Matrix Q anordnet.Brauer, Broué und Murai bewiesen Teilbarkeitsrelationen fürZerlegungszahlen.Oft kann man damit alle möglichen Zerlegungszahlen mittelsComputereinsatz berechnen.Die Cartanmatrix C = QTQ ∈ Zl(B)×l(B) von B is symmetrischund positiv definit.Dies liefert eine quadratische Form q(x) := xCxT.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Beispiel
Beispiel (Dreieck)
Die Drehungen σ120 und σ240 um 120◦ bzw. 240◦ sind inder Gruppe D6 fusioniert. Denn ist τ eine Spiegelung, so istτσ120τ
−1 = σ240.
Die Zerlegungsmatrix und die Cartanmatrix des 3-Blocks sindgegeben durch1 0
0 11 1
und(2 11 2
).
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Beispiel
Beispiel (Dreieck)
Die Drehungen σ120 und σ240 um 120◦ bzw. 240◦ sind inder Gruppe D6 fusioniert. Denn ist τ eine Spiegelung, so istτσ120τ
−1 = σ240.Die Zerlegungsmatrix und die Cartanmatrix des 3-Blocks sindgegeben durch1 0
0 11 1
und(2 11 2
).
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
Lokale Information bestimmt globale Information:
LemmaSei u ∈ D und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).
(i) Hat bu Cartanmatrix Cu = (cij), so ist
k0(B) ≤l(bu)∑i=1
cii −l(bu)−1∑i=1
ci ,i+1.
(ii) Ist Q/〈u〉 zyklisch für eine Defektgruppe Q von bu, so gilt
k0(B) ≤(|Q/〈u〉| − 1
l(bu)+ l(bu)
)|〈u〉| ≤ |Q|.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
Lokale Information bestimmt globale Information:
LemmaSei u ∈ D und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).
(i) Hat bu Cartanmatrix Cu = (cij), so ist
k0(B) ≤l(bu)∑i=1
cii −l(bu)−1∑i=1
ci ,i+1.
(ii) Ist Q/〈u〉 zyklisch für eine Defektgruppe Q von bu, so gilt
k0(B) ≤(|Q/〈u〉| − 1
l(bu)+ l(bu)
)|〈u〉| ≤ |Q|.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
Lokale Information bestimmt globale Information:
LemmaSei u ∈ D und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).(i) Hat bu Cartanmatrix Cu = (cij), so ist
k0(B) ≤l(bu)∑i=1
cii −l(bu)−1∑i=1
ci ,i+1.
(ii) Ist Q/〈u〉 zyklisch für eine Defektgruppe Q von bu, so gilt
k0(B) ≤(|Q/〈u〉| − 1
l(bu)+ l(bu)
)|〈u〉| ≤ |Q|.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
Lokale Information bestimmt globale Information:
LemmaSei u ∈ D und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).(i) Hat bu Cartanmatrix Cu = (cij), so ist
k0(B) ≤l(bu)∑i=1
cii −l(bu)−1∑i=1
ci ,i+1.
(ii) Ist Q/〈u〉 zyklisch für eine Defektgruppe Q von bu, so gilt
k0(B) ≤(|Q/〈u〉| − 1
l(bu)+ l(bu)
)|〈u〉| ≤ |Q|.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
LemmaSei u ∈ Z(D) und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).
(i) Im Fall l(bu) ≤ 2 ist k(B) ≤ |D|.(ii) Im Fall l(bu) = 1 ist
k(B) ≤∞∑i=0
p2iki (B) ≤|〈u〉|+ ps(r2 − 1)
|〈u〉|r|D| ≤ |D|,
wobei |AutF (〈u〉)| = psr mit p - r und s ≥ 0.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
LemmaSei u ∈ Z(D) und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).(i) Im Fall l(bu) ≤ 2 ist k(B) ≤ |D|.
(ii) Im Fall l(bu) = 1 ist
k(B) ≤∞∑i=0
p2iki (B) ≤|〈u〉|+ ps(r2 − 1)
|〈u〉|r|D| ≤ |D|,
wobei |AutF (〈u〉)| = psr mit p - r und s ≥ 0.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Ungleichungen
LemmaSei u ∈ Z(D) und bu ein Brauer-Korrespondent von B in CG (u).(i) Im Fall l(bu) ≤ 2 ist k(B) ≤ |D|.(ii) Im Fall l(bu) = 1 ist
k(B) ≤∞∑i=0
p2iki (B) ≤|〈u〉|+ ps(r2 − 1)
|〈u〉|r|D| ≤ |D|,
wobei |AutF (〈u〉)| = psr mit p - r und s ≥ 0.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Die Klassifikation
Jede endliche Gruppe G setzt sich aus eindeutig bestimmteneinfachen Gruppen zusammen (Ähnlich der Primfaktorzerlegungeiner natürlichen Zahl).
Es kann jedoch verschiedene Gruppen geben, die aus den glei-chen Bausteinen bestehen.
Satz („Die“ Klassifikation)
Jede endliche einfache Gruppe gehört zu einer von drei unendlichenSerien oder ist eine von 26 Ausnahmegruppen.
Beweis.
. . . hat über 10.000 Seiten!
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Die Klassifikation
Jede endliche Gruppe G setzt sich aus eindeutig bestimmteneinfachen Gruppen zusammen (Ähnlich der Primfaktorzerlegungeiner natürlichen Zahl).Es kann jedoch verschiedene Gruppen geben, die aus den glei-chen Bausteinen bestehen.
Satz („Die“ Klassifikation)
Jede endliche einfache Gruppe gehört zu einer von drei unendlichenSerien oder ist eine von 26 Ausnahmegruppen.
Beweis.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Die Klassifikation
Jede endliche Gruppe G setzt sich aus eindeutig bestimmteneinfachen Gruppen zusammen (Ähnlich der Primfaktorzerlegungeiner natürlichen Zahl).Es kann jedoch verschiedene Gruppen geben, die aus den glei-chen Bausteinen bestehen.
Satz („Die“ Klassifikation)
Jede endliche einfache Gruppe gehört zu einer von drei unendlichenSerien oder ist eine von 26 Ausnahmegruppen.
Beweis.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Die Klassifikation
Jede endliche Gruppe G setzt sich aus eindeutig bestimmteneinfachen Gruppen zusammen (Ähnlich der Primfaktorzerlegungeiner natürlichen Zahl).Es kann jedoch verschiedene Gruppen geben, die aus den glei-chen Bausteinen bestehen.
Satz („Die“ Klassifikation)
Jede endliche einfache Gruppe gehört zu einer von drei unendlichenSerien oder ist eine von 26 Ausnahmegruppen.
Beweis.
. . . hat über 10.000 Seiten!
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Die Klassifikation
Jede endliche Gruppe G setzt sich aus eindeutig bestimmteneinfachen Gruppen zusammen (Ähnlich der Primfaktorzerlegungeiner natürlichen Zahl).Es kann jedoch verschiedene Gruppen geben, die aus den glei-chen Bausteinen bestehen.
Satz („Die“ Klassifikation)
Jede endliche einfache Gruppe gehört zu einer von drei unendlichenSerien oder ist eine von 26 Ausnahmegruppen.
Beweis.. . . hat über 10.000 Seiten!
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Auflösbare Gruppen
Sind alle einfachen Bausteine abelsch, so ist G auflösbar und dieVermutung der Blocktheorie sind erfüllt.
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 hat die Form C3 o C2. Der Baustein C3 besteht ausden drei Rotationen des Dreiecks. Die Gruppe ist daher auflösbar.
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Auflösbare Gruppen
Sind alle einfachen Bausteine abelsch, so ist G auflösbar und dieVermutung der Blocktheorie sind erfüllt.
Beispiel (Dreieck)
Die Gruppe D6 hat die Form C3 o C2. Der Baustein C3 besteht ausden drei Rotationen des Dreiecks. Die Gruppe ist daher auflösbar.
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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EinführungMethodenErgebnisse
Fusionssysteme, Zerlegungszahlen, UngleichungenKlassifikation und Reduktion
Reduktion
Im nicht-auflösbaren Fall kann man mittels Fong-Reduktion ofterreichen, dass G nur einen nicht-abelschen Baustein hat:
G
E(G )
F(G ) = Z(G )
Z(E(G ))
1
auflösbar (Schreiers Vermutung)
einfach (→ Klassifikation)
abelsch (Schur-Multiplikator)
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EinführungMethodenErgebnisse
Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:
D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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EinführungMethodenErgebnisse
Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).
B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).
F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).
D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)
D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).
D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).
D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Bekannte Ergebnisse
In folgenden Fällen kennt man die Blockinvarianten:D zyklisch (Brauer 1941, Dade 1966).B zahm (Brauer 1974, Olsson 1975, Erdmann 1990).F trivial (Puig 1988).D abelsch und F „klein“ (Puig-Usami 1990er)D ∼= C4 o C2 (Külshammer 1980).D ∼= C3 × C3 mit Einschränkungen an F (Kiyota 1984, Wa-tanabe 2010).D ∼= C2 × C2 × C2 (Kessar-Koshitani-Linckelmann 2012).
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,
D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,
D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),
D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,
|D| ≤ 16.In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Invarianten
SatzSei p = 2. Die Blockinvarianten für B sind in folgenden Fällen be-kannt:
D metazyklisch,D minimal nicht-abelsch,D ∼= (maximale Klasse) ∗ (zyklisch),D bizyklisch für drei unendliche Familien,|D| ≤ 16.
In diesen Fällen sind die wichtigsten Vermutungen erfüllt.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,
D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,
p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,
p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,
p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,
p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,
p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Brauers k(B)-Vermutung
SatzBrauers k(B)-Vermutung (k(B) ≤ |D|) gilt in folgenden Fällen:
D metazyklisch,D abelsch und |AutF (D)| ≤ 255,p = 2 und |D| ≤ 32,p = 3 und |D| ≤ 27,p = 2 und D abelsch vom Rang ≤ 5,p ∈ {3, 5} und D abelsch vom Rang ≤ 3,p = 2 und |D : 〈x〉| ≤ 4 für ein x ∈ D.
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Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2
+ ),p = 2 und |D| ≤ 32,p = 5 und |D| ≤ 125,p > 3 und D hat p-Rang 2.
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Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,
D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2+ ),
p = 2 und |D| ≤ 32,p = 5 und |D| ≤ 125,p > 3 und D hat p-Rang 2.
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2
+ ),
p = 2 und |D| ≤ 32,p = 5 und |D| ≤ 125,p > 3 und D hat p-Rang 2.
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EinführungMethodenErgebnisse
Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2
+ ),p = 2 und |D| ≤ 32,
p = 5 und |D| ≤ 125,p > 3 und D hat p-Rang 2.
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2
+ ),p = 2 und |D| ≤ 32,p = 5 und |D| ≤ 125,
p > 3 und D hat p-Rang 2.
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Bekannte ErgebnisseNeue ErgebnisseDie Brauer-Feit-Schranke
Olssons Vermutung
SatzOlssons Vermutung (k0(B) ≤ |D : D ′|) gilt in folgenden Fällen:
D bizyklisch,D minimal nicht-abelsch (bis auf 31+2
+ ),p = 2 und |D| ≤ 32,p = 5 und |D| ≤ 125,p > 3 und D hat p-Rang 2.
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.
B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.
D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
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Donovans Vermutung
Manchmal kann man mehr über Charaktere und Darstellungenherausfinden als nur deren Anzahlen:
Satz (Eaton-Kessar-Külshammer-S. 2013)
Sei p = 2 und D abelsch vom Rang höchstens 2. Dann tritt einerder folgenden Fälle ein:
B ist nilpotent.B ist Morita-äquivalent zur Gruppenalgebra von D o C3.D ∼= C2 × C2 und B is Morita-äquivalent zum Hauptblock vonA5.
Insbesondere gelten die Vermutungen von Donovan und Brouéfür B .
Benjamin Sambale Blocks of finite groups and their invariants
![Page 125: Blocks of finite groups and their invariants · Zerlegungszahlen Beziehungenzwischen(gewöhnlichen)CharakterenundBrauer-](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022053015/5f1493e99c483866de35d249/html5/thumbnails/125.jpg)
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Die Brauer-Feit-Schranke
Satz (Brauer-Feit)
Für einen Block B mit Defektgruppe D gilt
k(B) ≤ |D|2.
Satz (S. 2013)
Für einen Block B mit abelscher Defektgruppe D gilt
k(B) ≤ |D|32 .
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Die Brauer-Feit-Schranke
Satz (Brauer-Feit)
Für einen Block B mit Defektgruppe D gilt
k(B) ≤ |D|2.
Satz (S. 2013)
Für einen Block B mit abelscher Defektgruppe D gilt
k(B) ≤ |D|32 .
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