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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
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______________________________________________________________________
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
UNIDAD CULHUACAN
ANÁLISIS DE DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS EN EL MARCO TERMODINÁMICO DE PROCESOS IRREVERSIBLES
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE
INGENIERÍA EN SISTEMAS ENERGÉTICOS
PRESENTA:
ING. MIGUEL LINDERO HERNÁNDEZ
DIRECTOR DE TÉSIS: DR. MIGUEL ÁNGEL OLIVARES ROBLES
MEXICO, DF. MAYO 2010.
AGRADECIMIENTOS
Agradecimientos al IPN por haber otorgado apoyo para la elaboración de este trabajo.
ÍNDICE
RESUMEN I
INTRODUCCIÓN II
NOMENCLATURA UTILIZADA III
CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA REFRIGERACIÓN
TERMOELÉCTRICA
1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA…..14
1.1.1 NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS……………14
1.2 FENÓMENOS TERMOELÉCTRICOS………………………………………………...14
1.2.1 EFECTO SEEBECK………………………………………………………………...14
1.2.2 EFECTO PELTIER………………………………………………………………….15
1.2.3 EFECTO THOMSON………………………………………………………………16
1.2.4 EFECTO JOULE……………………………………………………………………16
1.2.5 EFECTO FOURIER………………………………………………………………..16
1.3 PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO
TERMOELÉCTRICO…………………………………………………………………….17
1.4 DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………….18
1.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO
TERMOELECTRICO…………………………………………………………………….20
1.6 APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA………………22
1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………………..23
1.8 DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA……………….23
1.9 CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS……………………24
1.9.1 MODULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA…………………………………..24
1.9.2 RENDIMIENTO……………………………………………………………………..25
1.9.3 MODULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA…………..27
1.9.4 CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER………….28
1.10 MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS…………………………………………….31
1.10.1 RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS…………...31
1.10.2 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS………………..32
1.11 CONCLUSIONES………………………………………………………………………...35
CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y TERMODINÁMICA
DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS
2.1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS…………………….37
2.2 ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK………………………………………………..44
2.3 ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER…………………………………………………46
2.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON……………………………………………….47
2.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA..48
2.6 CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT..51
2.7 CONCLUSIONES………………………………………………………………………...53
CAPÍTULO III ANÁLISIS TERMODINÁMICO DE UN MÓDULO
TERMOELÉCTRICO: DE DOS ETAPAS Y UNIDIMENSIONAL
3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA…………………………...55
3.2 MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS……………57
3.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES………………………………………………58
3.2.2 PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS
ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE
REVERSIBLE…………………………………………………………………………..59
3.2.3 SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE
DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE
IRREVERSIBLE ……………………………………………………………..………60
3.3 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL…………….63
3.3.1 MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE
CONDUCCIÓN DE CALOR…………………………………………….………….63
3.3.2 COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSIONAL
OPERADO COMO REFRIGERADOR Y BOMBA DE CALOR……………….65
3.3.3 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL………67
3.4 CONCLUSIONES…………………………………………………………………...……69
CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES
4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS………………………………..71
4.1.1 PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN
DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE
IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE……………………………..71
4.1.2 SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA
RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO
INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE….73
4.2 RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL…………………….……74
4.2.1 ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA
UN REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE..74
4.2.2 ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL
MODELO UNIDIMENSIONAL……………………………………………….……78
4.3 CONCLUSIONES…………………………………………………………………………80
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………81
TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS EN SOFTWARE…………………………………..82
CONGRESOS Y PUBLICACIONES………………………………………………………….83
RESUMEN
El objetivo esencial de este trabajo es llevar a cabo un análisis exhaustivo de la
termodinámica de los fenómenos termoeléctricos, utilizando principalmente la teoría de
la termodinámica irreversible, orientada ésta última al planteamiento de modelos
teóricos para analizar el desempeño de dispositivos termoeléctricos, así como los
mecanismos de conducción de calor que se presentan a través de estos. Nos ceñimos al
análisis de la refrigeración termoeléctrica, en la que se pretende una descripción teórica
basada en los conocidos efectos termoeléctricos. Hacemos énfasis también en las
propiedades de los materiales semiconductores empleados en estos dispositivos.
Para complementar nuestro estudio del desempeño, extendemos nuestro análisis al
utilizar el método de Mínima Generación de Entropía (MGE) ampliamente conocido en
la literatura científica y empleado para analizar la generación de entropía en un
generador termoeléctrico. Empero, nuestra finalidad es hacer uso de este método,
teniendo como objetivo la generación y análisis de curvas de razón de generación de
entropía para un refrigerador termoeléctrico. Este análisis se toma como base para
evaluar diferentes regímenes de operación, lo que lleva a hacer un uso más eficiente de
la energía que alimenta esta clase de dispositivos.
ABSTRACT
The essential aim of this work is to do an exhaustive analysis of the thermoelectric
phenomena in thermodynamics, using the theory of irreversible thermodynamics, which
is applied to establish theoretical models in order to analyze the performance of
thermoelectric devices as well as heat conduction mechanisms implied through these
latter. We are mainly interested in the analysis of thermoelectric refrigeration in which
is made a theoretical description based on the thermoelectric effects already known. We
also made emphasis in the material properties of semiconductors used in these devices.
To accomplish the study of performance, our analysis is extended at using the method
called Entropy Generation Minimization (EGM) widely known in scientific literature
and applied to analyze the entropy generation through a thermoelectric generator.
However, we make use of the same method but in a thermoelectric refrigerator in order
to plot and analyze its entropy generation curves. This analysis is taken account as a
mean to evaluate different operation regimes and in consequence make a much more
efficient application of the energy used to feed this kind of devices.
INTRODUCCIÓN
Nuevamente a principios de 1990 el enfriamiento termoeléctrico despertó el interés de
la comunidad de científicos, ingenieros y técnicos dedicados a este campo, después de
haber permanecido durante varios años abandonado. Este auge se debe principalmente
al interés de una tecnología limpia, ya que en ese entonces y hasta ahora han sido
utilizados en los procesos convencionales de refrigeración fluidos refrigerantes que son
nocivos para el medio ambiente. Esta renovada actividad en la ciencia y en la tecnología
trajo como alternativa la refrigeración termoeléctrica, la cual es uno de los mecanismos
de enfriamiento más sólidamente establecidos en comparación con los efectos
termomagnéticos, y la emisión termoiónica, entre otros, que sin duda tendrán algún día
una aplicación más amplia. En esencia, la refrigeración termoeléctrica se origina cuando
hay un acoplamiento entre el flujo de calor y la corriente eléctrica. Cabe hacer notar que
el avance de la física y la ciencia de materiales termoeléctricos fueron las responsables
de la implementación de nuevos materiales semiconductores, que en la actualidad son
utilizados para mejorar el desempeño y la eficiencia de dispositivos termoeléctricos,
debido a la relativa facilidad que ofrecen para modificar sus propiedades físicas. Esto
por supuesto en comparación con los materiales que fueron utilizados cuando se
descubrieron esta clase de efectos de enfriamiento y generación de potencia, donde sus
aplicaciones fueron bastante limitadas. Debido también a que sólo había un
entendimiento macroscópico aportado por Lord Kelvin en el año de 1854, basándose en
los trabajos de Carnot, Clausius, Seebeck y Peltier, desarrolló las relaciones Thomson
que involucran la dependencia de los tres coeficientes reversibles: Seebeck, Peltier y
Thomson. Además dedujo que el calor reversible descubierto por Peltier debe tener una
entropía asociada con él. A su vez mostró que el coeficiente descubierto por Seebeck es
una medida de la entropía asociada con la corriente eléctrica. Así, tomando ventaja de
todas estas aportaciones, enfocamos nuestra atención al análisis del desempeño y
generación de entropía en dispositivos para enfriamiento termoeléctrico, dejando para
un futuro inmediato la comprensión de la física de materiales termoeléctricos que
aguardan el desarrollo de la teoría cuántica para ampliar las aplicaciones a la electrónica
y mejorar las propiedades termoeléctricas de semiconductores[6].
Nomenclatura
I Corriente Eléctrica
eJ Densidad de Corriente Eléctrica
UJ Densidad de Corriente de Energía
K Conductancia Térmica
L Longitud
R Resistencia Eléctrica
Q
Razón de Flujo de Calor
T Temperatura
Coeficiente Seebeck
k Conductividad Térmica
Conductividad Eléctrica
Coeficiente Thomson
Coeficiente de Operación
. .B C Coeficiente de Bomba de Calor
hT Temperatura del Lado Caliente
cT Temperatura del Lado Frío
n , N Número de Termopares
maxT Diferencia de temperatura
cq
Razón de flujo de calor en la
juntura fría
hq
Razón de flujo de calor en la
juntura caliente
cQ
Capacidad de Enfriamiento del
Módulo Termoeléctrico
hQ
Rechazo de Flujo de Calor del
Módulo Termoeléctrico
Resistividad Eléctrica
Z Factor de Mérito
Coeficiente Peltier Absoluto
pn Coeficiente Seebeck Absoluto
maxI Corriente Máxima
maxV Voltaje Máximo
iT Temperatura Intermedia
MT Temperatura Promedio
maxcQ Capacidad de Enfriamiento
Máximo
G Factor Geométrico
kJ Flujos
F Fuerza Termodinámica
jkL Coeficiente Cinético
E Diferencia de Potencial y Energía
total
pC Calor Específico
A Área de Sección Transversal
12
eS
Entropía Debida a Corriente
Eléctrica
QS
Entropía Debida a Flujo de Calor
W
Potencia
eQ
Calor de Desecho
m
Flujo Másico
z Altura
*
1genS
Generación de Entropía
Adimensional Etapa 1
*
2genS
Generación de Entropía
Adimensional Etapa 2
2maxI Corriente Máxima en la etapa 2
1cT Temperatura de Lado Frío Etapa 1
1hT Temperatura del lado Caliente
Etapa 1
1cq
Razón de Flujo de Calor en la
Juntura Fría de la Etapa 1
1hq
Razón de Flujo de Calor en la
Juntura Caliente de la Etapa 1
2cq
Razón de Flujo de Calor en la
Juntura Fría de la Etapa 2
2hq
Razón de Flujo de Calor en la
Juntura Caliente de la Etapa 2
V Velocidad
P, p Material Tipo p
N, n Material Tipo n
13
CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA
REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
En este capítulo se dan a conocer los principios fundamentales que dieron origen a la refrigeración termoeléctrica. Primeramente se estudian los efectos que tienen lugar cuando se presenta el fenómeno de enfriamiento. Posteriormente, analizamos la descripción física del flujo de calor a través de un arreglo básico de enfriador, así como las aplicaciones de estos dispositivos, ventajas y desventajas, y por último, hacemos su caracterización.
14
1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
1.1.1 NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS
El primer fenómeno termoeléctrico fue descubierto en el año de 1821, llamado efecto
Seebeck en honor a su descubridor. Básicamente este efecto consiste en la aparición de una
corriente eléctrica entre dos metales cuando existe una diferencia de temperatura y es
utilizado para la generación de potencia termoeléctrica. Posteriormente, en el año de 1835,
un relojero francés llamado Peltier dio cuenta de un segundo efecto: produjo transporte de
calor a través de dos junturas de diferentes materiales por las que se hace pasar una
corriente eléctrica (efecto utilizado actualmente para refrigeración). Finalmente en el año de
1854, W. Thomson (Lord Kelvin), al estudiar los dos efectos previamente mencionados,
descubre una relación entre ellos y además informa de un tercer efecto, a saber, el efecto
Thomson, el cual se refiere al transporte de calor cuando se establece una corriente eléctrica
y un gradiente de temperatura en un material conductor[9].
Sin embargo, no solo los tres efectos antes mencionados se presentan cuando se sueldan
dos materiales metálicos o semiconductores diferentes, mantenidos a distintas temperaturas
en sus uniones, sino que también están presentes el efecto Joule y el efecto Fourier[3].
Describamos cada uno de estos.
1.2 FENÓMENOS TERMOELECTRICOS
1.2.1 EFECTO SEEBECK
En el año de 1821, el físico alemán Thomas Johann Seebeck descubrió que se producía una
fuerza electromotriz en un circuito cerrado compuesto por dos metales conductores
cuando se establecía una diferencia de temperatura en las junturas[1,3]. Al principio notó
que una aguja imantada puesta en la vecindad del circuito era influida por éste. Al observar
una deflexión en la aguja, supuso que se trataba de un fenómeno termomagnético,
aseverando erróneamente que los metales habían sido polarizados magnéticamente. Sin
embargo, después se dio a conocer que el origen del campo magnético era debido al
establecimiento de una corriente en el circuito, causada esta última por la diferencia de
temperaturas. Es así como se descubrió el primer efecto termoeléctrico que es utilizado
ampliamente en la generación de potencia termoeléctrica, valiéndose de una diferencia de
temperaturas en las uniones de los materiales utilizados para componer el circuito cerrado.
En la figura 1, se muestra esquemáticamente el registro de una diferencia de potencial en el
voltímetro al establecerse una diferencia de temperatura en los puntos extremos.
Finalmente, este efecto es caracterizado por el coeficiente Seebeck , conocido también
como termopotencia.
15
Figura 1. Circuito termoeléctrico básico para el análisis del coeficiente Seebeck
1.2.2 EFECTO PELTIER
El fenómeno del enfriamiento termoeléctrico está físicamente basado en el efecto Peltier,
que fue descubierto en el año de 1834, 13 años después que el efecto Seebeck. Lo que Jean
Charles Peltier observó fue que cuando una corriente eléctrica pasa a través de un circuito
cerrado compuesto de dos metales conductores distintos, la temperatura en la vecindad de
las junturas cambia, esto es, se presenta un flujo de corriente eléctrica y de calor de manera
simultánea[1,3]. En la figura 2. se muestra una fuente externa de alimentación que
suministra la corriente al circuito, donde a su vez se nota el cambio en la temperatura en los
puntos extremos. Este efecto es ampliamente conocido como efecto Peltier y está
caracterizado por el coeficiente Peltier , el cual cuantifica el flujo de calor transportado
por unidad de carga eléctrica a través de un material dado. Si la corriente eléctrica es
continua a través de una juntura , el flujo de calor asociado desarrollará una discontinuidad
si los coeficientes Peltier de los materiales A y B son diferentes.
Figura 2. Circuito termoeléctrico básico para el análisis del coeficiente Peltier Este interesante fenómeno se mantuvo reducido a algunas aplicaciones muy específicas,
hasta ahora en nuestros días en que se comienzan a utilizar sus posibilidades con más
frecuencia [16].
16
1.2.3 EFECTO THOMSON
El Efecto Thomson fue descubierto por W. Thomson (Lord Kelvin) quien en el año de 1854
estudió los efectos reversibles previamente descubiertos por Seebeck y Peltier,
descubriendo además un tercer efecto, a saber, el efecto Thomson, que esencialmente es el
cambio reversible en el flujo de calor dentro de un conductor homogéneo que tiene un
gradiente de temperatura cuando una corriente eléctrica pasa a través de él[8].
Figura 3. Juntura con dos conductores diferentes para analizar el coeficiente
Thomson
1.2.4 EFECTO JOULE
Ampliamente conocido el efecto Joule [18], está siempre presente cuando circula corriente
eléctrica a través de un conductor, siendo un efecto de naturaleza irreversible, disipa calor
por fricción entre los electrones que transportan la corriente como se muestra en la figura 4.
Figura 4. Conductor atravesado por una corriente eléctrica
1.2.5 EFECTO FOURIER
Al establecerse dos temperaturas de valores 1T 2T , en los extremos de la muestra al
seccionarla en cualquiera de sus puntos intermedios se obtendrá una temperatura intermedia
iT de valor no mayor que 1T , y no menor que 2T . Por lo que habrá un flujo de calor del
extremo a 1T al extremo a 2T , independientemente de si por los materiales circulaba una
corriente eléctrica antes de ser seccionados [3]. Este efecto es conocido también como
conducción de calor.
17
Figura 5. Barra con valores diferentes de temperatura en sus extremos
1.3 PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO
TERMOELÉCTRICO
Un dispositivo termoeléctrico adopta la geometría más básica cuando está compuesto por
un par de materiales con diferentes propiedades físicas, el cual es llamado termopar. Sus
componentes son; como se alcanza a ver en la figura 6, dos materiales semiconductores tipo
p y n, dispuestos en forma paralela, teniendo no siempre la misma longitud ni sección
transversal[6], una placa superior que une los extremos altos de los materiales
semiconductores, y otras placas inferiores conectadas a los extremos bajos de los materiales
semiconductores, que finalmente permiten la formación de un circuito termoeléctrico que
es atravesado por corriente eléctrica, utilizando una fuente de energía externa. Cabe
destacar que este arreglo es también el mismo para la generación de potencia
termoeléctrica, en el que sólo debemos cambiar la fuente de energía externa para establecer
un gradiente de temperatura entre los extremos de las placas, y así obtener como salida una
diferencia de potencial. Por último veamos que el dispositivo trabaja entre dos reservorios a
temperaturas diferentes.
Figura 6. Circuito termoeléctrico básico que muestra el calor absorbido y disipado
cuando se establece una corriente eléctrica.
18
1.4 DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
La tecnología de la refrigeración termoeléctrica está caracterizada por la flexibilidad de
opciones que ofrece en el diseño y fabricación de módulos termoeléctricos. Ésta se
presenta cuando se hace pasar una corriente eléctrica a través de uno o más pares de
semiconductores de tipo n y p. Un refrigerador termoeléctrico es básicamente una bomba
de calor que transfiere calor de un lado del dispositivo al otro en contra del gradiente
térmico (de baja a alta temperatura) a costa de consumir energía eléctrica. la corriente pasa
del material semiconductor n al p como lo muestra la figura 7. La temperatura cT de la
placa superior que conecta a los semiconductores decrece, y al mismo tiempo absorbe calor
del medio ambiente. La cantidad de calor es transferida a través de los materiales
semiconductores por transporte de electrones y huecos hacia el otro lado de la juntura. Los
portadores en los materiales se difunden o conducen cuando un extremo de un conductor
está a una temperatura diferente del otro extremo. Así, los portadores calientes se
difundirán del extremo caliente al frío ya que hay una menor densidad de portadores
calientes en el extremo frío del conductor. A su vez, los portadores fríos se difundirán del
extremo frío al caliente por la misma razón. Los electrones fluyen de una región de alta
densidad a una de baja densidad y esta “expansión” ocasiona enfriamiento. Los portadores
intentan regresar al equilibrio que existía antes de que la corriente fuera aplicada,
absorbiendo energía en un lado y liberándola en el otro. Los electrones en el material tipo n
se moverán en dirección opuesta a la corriente y los huecos en el material tipo p se moverán
en dirección de la corriente, ambos removiendo o absorbiendo calor de un lado del
dispositivo y desechándolo en el otro extremo. Decimos entonces que la dirección del
transporte de calor se controla por la polaridad de la corriente. Invirtiendo la polaridad
cambia la dirección de la transferencia de calor.
19
Figura 7. Circuito termoeléctrico que muestra la dirección en que conducen el calor y
la corriente eléctrica los electrones y huecos.
Para cuantificar la cantidad de calor absorbido por el dispositivo termoeléctrico, existe una
expresión de la siguiente forma
2
,2
neto c
I RQ T I k T (1.1)
donde netoQ es el calor absorbido del medio ambiente en la placa superior conductora;
pn p n la diferencia entre los coeficientes Seebeck absolutos de ambos
materiales, que también se conoce como la potencia termoeléctrica; es la diferencia de
temperaturas de ambas placas conductoras; finalmente R y k son la resistencia eléctrica y
la conductividad térmica, respectivamente.
Analicemos ahora las tres cantidades que intervienen en la ecuación (1.1) de absorción de
calor[8]: el primer término del lado derecho es conocido como calor absorbido por efecto
Peltier, el segundo representa el calor disipado por efecto Joule, y finalmente el tercer
término es el calor de conducción debido a una diferencia de temperaturas, conocido
también como efecto Fourier.
20
Decimos entonces, que la cantidad neta de calor absorbido en la juntura fría debido al
efecto Peltier [17] se ve reducido por dos términos; calor de conducción de Fourier y calor
disipado por el efecto Joule. Cuando la corriente se incrementa, la diferencia de
temperaturas, y por consiguiente el calor conducido, se incrementan porque el efecto de
enfriamiento Peltier se intensifica. Sin embargo, este último no lo puede hacer
indefinidamente. Si la corriente continúa incrementándose, y el calentamiento Joule llega a
ser el factor dominante, se alcanza un estado donde la corriente adicional resultará en
menor enfriamiento neto. La corriente a la cual no se alcanza más enfriamiento es conocida
como la corriente máxima max( )I Máximo voltaje max( )V y máxima diferencia de
temperatura se presentarán también para una razón de flujo de absorción de calor a máxima
corriente.
La capacidad refrigerante de un material semiconductor depende de los efectos combinados
del coeficiente Seebeck, el voltaje entre los extremos del material, la resistividad eléctrica,
y la conductividad térmica, que además se expresan en función del llamado factor de
mérito[6,8], denotado por
2
Zk
, (1.2)
donde es la resistividad eléctrica, es el coeficiente Seebeck del termopar y k es la
conductividad térmica. Si la expresión anterior es dependiente de la temperatura, puede
mostrarse que la diferencia máxima de temperatura que puede ser alcanzada por un
termopar de materiales semiconductores tipo p y n es directamente proporcional al
promedio de la temperatura y, por consiguiente, también al factor de mérito. Notamos
entonces que el principal objetivo de la refrigeración termoeléctrica en la selección de
semiconductores es maximizar el factor de mérito .
Como conclusión de este apartado, queda establecido que la figura de mérito del material
semiconductor limitará la diferencia de temperaturas, mientras que la razón de longitud al
área de cada material semiconductor tipo n y p, define la capacidad de la razón de flujo de
calor [16]. Pasemos ahora a un análisis breve del transporte de corriente eléctrica y de calor
en términos de portadores de carga en los materiales.
1.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO
TERMOELÉCTRICO
Los portadores de carga en los materiales semiconductores utilizados para fines de
refrigeración, electrones y huecos, se difundirán cuando haya una diferencia de
temperaturas entre las terminales del material. Los portadores que se encuentran en el lado
a alta temperatura se difundirán hacia el lado frío, ya que éste último tiene una densidad
más baja de portadores. De modo similar, los portadores que se encuentran en el lado de
temperatura baja se difundirán del lado frío al caliente por las mismas razones.
21
Si se permitiera que el conductor alcanzara el equilibrio termodinámico, el proceso
resultaría en calor distribuido uniformemente a través del conductor. El flujo de calor se da
a través de los portadores de carga a temperatura caliente de una terminal a la otra, y ya
que los portadores de carga se encuentran en movimiento, también habrá corriente
eléctrica.
Si en nuestro sistema termoeléctrico mantenemos constantes las temperaturas del lado frío
y caliente, tendrá lugar un flujo de calor constante, y por ende una difusión constante de
portadores. Si la razón de difusión de los portadores a temperatura alta y baja, fuera la
misma en direcciones opuestas, no habría un cambio neto en la carga. Empero, las cargas
difundidas son dispersadas por diferentes mecanismos: impurezas, imperfecciones y
vibraciones de red (fonones). Ya que la dispersión es dependiente de la energía, los
portadores de baja y alta temperatura, serán entonces difundidos a diferentes razones. Esto
ocasiona una densidad más elevada de portadores en una terminal del material, creándose
así una diferencia de potencial electrostático, debido a la separación de cargas positivas y
negativas.
El campo eléctrico generado por esta diferencia de potencial se opone a la dispersión no
uniforme de los portadores, y se alcanza un estado de equilibrio cuando el número neto de
portadores difundidos en una dirección es cancelado por el número neto de portadores que
se mueven en dirección opuesta del campo electrostático. En consecuencia, la potencia
termoeléctrica ( ) de un material, depende en gran medida de las impurezas,
imperfecciones y cambios estructurales del material.
Los primeros termopares utilizados en termoelectricidad, fueron hechos de materiales
metálicos, pero en recientes dispositivos termoeléctricos se utilizan parejas de
semiconductores de tipo p y n, unidos por interconexiones metálicas. Si tenemos disponible
una fuente de potencia, podemos construir un dispositivo que funcione como refrigerador, y
si se tiene una fuente de calor, haremos uno que genere potencia termoeléctrica [20]. Véase
en la figura 8 cómo, desde la fuente de calor, son conducidos los electrones en el elemento
tipo n hacia la región más fría, mientras que los elementos en el elemento p fluirán en la
dirección de la corriente, notando que esta puede ser utilizada para alimentar una carga,
convirtiendo la energía térmica en energía eléctrica.
22
a) Refrigerador Termoeléctrico b) Generador Termoeléctrico
Figura 8. Muestra los modos en que se puede operar un dispositivo termoeléctrico [20]
1.6 APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
La refrigeración termoeléctrica tiene actualmente aplicaciones más amplias, esto debido al
descubrimiento de nuevos materiales semiconductores que permiten un mayor coeficiente
de rendimiento en esta clase de dispositivos termoeléctricos. Entre las aplicaciones se
encuentra la refrigeración doméstica, utilizando módulos termoeléctricos de fácil
fabricación y tamaño relativamente pequeño, y el enfriamiento de circuitos electrónicos
donde se requiere un control preciso de la temperatura que debe ser mantenida en ellos.
Recientemente también existen dispositivos termoeléctricos de aire acondicionado y
refrigeración, así como refrigeradores portátiles que se adaptan en los automóviles, entre
muchas otras aplicaciones. Pero también hay aplicaciones en el ámbito de generación de
potencia termoeléctrica como en el funcionamiento de relojes de mano que utilizan la
temperatura corporal para operar, generadores termoeléctricos que se adaptan a las
condiciones de climas extremos para producir energía eléctrica, etc. (véase la figura 9).
Cabe destacar que no pretendemos dar una lista tan exhaustiva de todas las aplicaciones
existentes en la actualidad. En vez de eso, intentaremos enfocarnos al análisis de la
refrigeración termoeléctrica, y dar una perspectiva general de las causas principales que
favorecen a su desempeño.
23
Figura 9. Algunas aplicaciones de la termoelectricidad
1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
Las principales ventajas en esta clase de dispositivos de refrigeración termoeléctrica, en
comparación con aquellos utilizados convencionalmente, consiste esencialmente en que
pueden ser alimentados con fuentes de energía de fácil disponibilidad (energía solar,
residuos de calor desechados por máquinas térmicas como los motores de automóvil, entre
otros ejemplos), su relativa o casi ínfima producción de ruido, no utilizan fluidos para su
operación, su pequeño tamaño, la facilidad para ser utilizados en aplicaciones que requieren
un alto grado de precisión en el control de la temperatura (la conservación de órganos para
trasplantes humanos). Estas son sólo algunas ventajas, pero suficientes para la búsqueda de
nuevos materiales semiconductores termoeléctricos que reemplacen a los convencionales.
1.8 DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
La desventaja de los dispositivos termoeléctricos radica principalmente en el bajo
coeficiente de rendimiento que guardan con respecto a los sistemas convencionales
(refrigeración mecánica que utiliza el ciclo de Carnot inverso). Esto debido a que cuentan
con un sólo dispositivo para realizar la conversión de energía (véase figura 10) en
comparación con los refrigeradores convencionales que cuentan con compresor,
condensador, bomba, válvula de estrangulamiento, entre otros aditamentos que contribuyen
a su funcionamiento.
24
El bajo coeficiente de rendimiento es uno de los aspectos que motiva nuestra investigación,
y a la cual le daremos mayor atención. Señalemos finalmente que la cantidad esencial,
llamada factor de mérito Z , servirá para caracterizar a nuestros dispositivos, y que además
nos dará una idea de los factores y cantidades físicas de las que depende la refrigeración
termoeléctrica.
Figura 10. Módulo Termoeléctrico
1.9 CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS
Para caracterizar los módulos termoeléctricos son necesarios cuatro parámetros conocidos
como: diferencia de temperatura máxima maxT ; corriente eléctrica máxima maxI ; flujo de
calor máximo del espacio refrigerado maxcQ , y voltaje máximo entre terminales maxV [8].
Estos parámetros están registrados en tablas y en gráficas, así como también sus valores
intermedios pueden ser obtenidos de gráficas universales. En esta sección daremos a
conocer un ejemplo que muestre el uso de las gráficas y la elección de un módulo que
satisfaga determinados requisitos.
1.9.1 MÓDULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA
Un módulo Peltier está compuesto de un determinado número n de termopares conectados
eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo, además de estar integradas entre dos
placas cerámicas que impiden el paso de corriente eléctrica. Las superficies fría y caliente
de las placas del módulo termoeléctrico aportan integridad mecánica, aislamiento eléctrico
y una elevada conductividad térmica, haciendo posible así un desecho de calor más
eficiente y una extracción de calor del cuerpo enfriado mucho más directa. La
configuración más detallada se muestra en la figura 11.
25
Figura 11. Configuración de un módulo termoeléctrico
Existen módulos termoeléctricos sin placas cerámicas, lo que es ventajoso ya que eliminan
la resistencia térmica de las placas cerámicas, pero por otro lado tienen el inconveniente de
ser mecánicamente frágiles, además de que es necesario el aislamiento eléctrico. Si un
termopar compuesto por dos materiales semiconductores tipos P y N ha de ser utilizado
para fines de refrigeración, se tiene disponible una aleación cuaternaria de Bismuto,
Telurio, Selenio y Antimonio, que es altamente dopada para crear un exceso (material tipo
N) o una deficiencia (material tipo P) de electrones. Cabe señalar aquí que el dopaje de los
semiconductores es necesario para incrementar el enfriamiento termoeléctrico, produciendo
así un mayor rendimiento.
1.9.2 RENDIMIENTO
Está disponible en el mercado una gran cantidad de módulos termoeléctricos comerciales,
clasificada según el tamaño de estos, la geometría, las corrientes de operación, los voltajes,
y los rangos de capacidad de enfriamiento. Un módulo termoeléctrico puede ser fabricado
para una corriente óptima de operación, y ésta a su vez define las dimensiones de los
elementos termoeléctricos. Se hace referencia también a un factor geométrico G , que es el
cociente entre el área de sección transversal A y la longitud del termopar L . La capacidad
de enfriamiento del módulo será por consiguiente proporcional al factor geométrico y por
ende al número n de termopares que lo componen.
26
En las tablas y gráficas que presentamos en esta sección para módulos termoeléctricos
comerciales de una sola etapa, hacemos uso de cuatro parámetros de rendimiento máximo
con una temperatura fija en el lado caliente de 298 K (25ºC) o 300K (27ºC). Los
parámetros son los siguientes:
maxI (A): Corriente DC que produce la máxima diferencia de temperatura en las
junturas maxT ; con un poder de enfriamiento igual a cero, lo que significa que no
hay ninguna carga de calor en el lado frío. Nótese que maxI no es el valor de
corriente máxima I que puede circular en el circuito, sino que corresponde al valor
de la corriente que da la maxT .
maxT (K): la máxima diferencia de temperatura en las junturas a través del módulo
a maxI sin ninguna carga de calor. La maxT del módulo comercial de una sola etapa
es alrededor de 67 a 70K con una temperatura fija en el lado caliente de 300K
(27ºC).
maxcQ (W): la potencia de enfriamiento que corresponde a una diferencia de
temperatura a través del módulo de 0T con corriente maxI .
maxV (V): el voltaje en terminales para una maxI sin carga de calor.
Debido a que todas las propiedades físicas de los materiales termoeléctricos son
dependientes de la temperatura, el rendimiento del módulo también lo es, y se incrementa a
medida que haya incrementos de temperatura sobre el rango de operación de la juntura
caliente, 123K (-150ºC) a 353 K (+80ºC). Se hace posible estimar los parámetros máximos
para módulos comerciales con una temperatura óptima de la juntura caliente hT (K),
haciendo uso de las siguientes ecuaciones empíricas o de la gráfica que se presenta en la
figura 12 [8].
max( ) 67 0.4( 300)Th hT K T
max max 300( ) ( ) 2.0( 300)c Th c K hQ Q T G N
max max 3000.0007( 300)hTh K
V V T N
27
Figura 12. Parámetros de rendimiento máximo de módulos Peltier de una sola etapa
como función de la temperatura del lado caliente hT [8].
1.9.3 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA
Esta clase de módulos abarcan un amplio rango de tamaños de superficie cerámica, desde
1.8x3.4mm2 a 62x62mm
2 y alturas desde 2.45mm a 5.8mm con un maxcQ desde 0.2 a 125
W; maxI desde 0.8 a 60 A; maxV de 0.4 a 15.4 V; y número N de termocuplas desde 4 a 127.
La figura 13. muestra las máximas capacidades de enfriamiento maxcQ de los recientes
módulos comerciales de una sola etapa con una temperatura de juntura caliente de 298 K
(25ºC) o 300 K (27ºC) y con sus correspondientes valores de entrada de corriente, maxI y de
voltaje maxV .
28
Figura 13. Máximas capacidades de enfriamiento maxcQ de módulos comerciales
Peltier de una sola etapa, con una temperatura de juntura caliente de 298K (25ºC) o
300K (27ºC), con sus correspondientes valores de entrada de corriente maxI y de
voltaje maxV . [* ,a corporación registrada de materiales electrónicos, MELCOR,
Trenton, NJ; * ,b industrias Marlow Inc., Dallas, TX] [8].
1.9.4 CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER
Enunciemos en esta sección todos los parámetros importantes que son necesarios en la
práctica para operar los módulos en condiciones específicas y según los requrimientos de la
aplicación, a saber:
cT (K): temperatura de las junturas frías.
hT (K): temperatura de las junturas calientes.
T (K)= hT - cT : diferencia de temperatura entre junturas.
cQ (W): capacidad de enfriamiento, i.e., la cantidad de carga de calor que será absorbida
por las junturas frías.
hQ (W): cantidad de calor disipado en las junturas calientes.
29
I (A): corriente aplicada.
V (V): voltaje suministrado.
P (W): entrada de potencia eléctrica, igual a I V .
El conocido coeficiente de rendimiento, COP ( ), está definido como la capacidad de
enfriamiento cQ dividido por la entrada de potencia eléctrica P : / .cQ P Teniendo todos
estos valores una dependencia que es específica para cada módulo. Las características
universales son parámetros adimensionales como max/T T , max/I I , max/c cQ Q , max/V V
disponibles para un amplio rango de temperaturas de juntura caliente.
La figura 14 muestra las relaciones universales entre la razón de corriente de operación
max/I I , la razón de capacidad de enfriamiento max/c cQ Q , y el coeficiente de rendimiento
COP ( ), como función de la razón de diferencia de temperatura max/T T obtenidas a
partir de experimentos. Entre más grande es la razón de corriente de operación max/I I ,
más grande es la razón de capacidad de enfriamiento max/c cQ Q . Mientras hay decremento
en la razón de corriente max/I I , el COP se incrementa al COPmax ( max ) y después decrece.
Entre más grande es el COP para una capacidad de enfriamiento dada, menor es la razón de
potencia eléctrica de entrada/capacidad de enfriamiento y el calor generado en las junturas
calientes debe ser disipado por el intercambiador disipador de calor. Concluimos así que
una aceptable corriente de operación la encontraremos entre los valores correspondientes a
COPmax ( max ) y maxI .
Figura 14. Diagrama Universal I para módulos comerciales Peltier de una sola
etapa[8].
30
La figura 15 muestra las relaciones universales entre tres parámetros: razón de diferencia de
temperatura entre junturas max/T T , razón de voltaje en terminales max/V V , y razón de
capacidad de enfriamiento max/c cQ Q , como función de la razón de corriente de operación
max/I I .
Figura 15. Diagrama Universal II para módulos comerciales Peltier de una sola etapa
[8].
Ejemplo:
Una placa fría de temperatura T =280K requiere una capacidad de bombeo de calor de .
cQ
=42W, con una temperatura ambiente de ambT =303K. Estimando las temperaturas de las
junturas: hT =298 y cT = 273K. Con una corriente de 9A.
La diferencia de temperatura requerida entre junturas es por tanto T =298-273=25K. La
figura 12 muestra que la máxima temperatura entre junturas para hT =298K es maxT =65K,
y la razón de diferencia de temperaturas es max/T T =0.385. Al elegir de las figuras 14 y
15 una razón de corriente de operación max/I I de 0.65, las entradas son max/I I =0.65,
max/T T =0.385, las salidas son max/c cQ Q =0.47, COP=0.7, y max/V V =0.5. Por
consiguiente, los parámetros máximos requeridos para el modulo son maxcQ =90W para
una hT =298K y maxI =14A.
De la figura 13 notamos que el modulo Peltier comercial es uno de la CP-Series. La
capacidad de enfriamiento maxcQ =90W de la CP-Serie está basada sobre una temperatura
de juntura caliente de 298K. Usando la figura 12. O la ecuación 2 de esta sección vemos
31
que la capacidad de enfriamiento es de 90W con la temperatura de 298K, lo que
corresponde a .
cQ =88.6W. Finalmente, para obtener la referencia y los detalles del módulo
se deberán consultar catálogos de fabricantes.
1.10 MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS
Extendemos el uso de esta clase de módulos apilados debido a que la diferencia de
temperaturas T para un módulo simple de una etapa no puede ser excedida de su valor
maxT de acuerdo a la figura 12, y la figura 14 muestra que cuando T = maxT , ambos, el
coeficiente de rendimiento COP( ) y el poder de enfriamiento son nulos para el módulo
simple, pero esta limitación puede ser superada al utilizar módulos multi-etapas, que no son
más que módulos simples apilados uno encima de otro. Cuando el módulo inmediato
superior es empleado para enfriar, el que le precede deberá tener una capacidad mayor de
enfriamiento para que pueda disipar el calor producido por el que le sucede [8]. Entonces,
cuando los módulos de cada etapa tengan los mismos elementos termoeléctricos con el
mismo factor geométrico G , todos conectados eléctricamente en serie, un módulo de etapa
inferior demandara más termopares que el inmediato superior. La figura 16 muestra la
configuración de un modulo Peltier de dos etapas con forma piramidal [8,16]. Sin embargo,
si se quiere hacer un módulo de dos etapas, conservando el número de termopares en cada
etapa, se deberá incrementar el factor geométrico G del módulo inferior, asegurándose así
una mayor capacidad de enfriamiento de este último.
Figura 16. Módulo Peltier de dos etapas
1.10.1 RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS
Del mismo modo que para los módulos simples de una sola etapa, se tienen los mismos
cuatro parámetros de rendimiento, a saber: maxI , maxT , maxcQ y maxV con una juntura de
temperatura caliente establecida en valor fijo de 300K (27ºC), notándose también que estos
parámetros conservan las mismas definiciones que para los de una sola etapa. Sin embargo,
la diferencia de temperatura máxima alcanzada en módulos multi-etapas dependerá
32
directamente del número de etapas[8,16]. En la figura 17. mostramos la maxT de los
módulos Peltier multi-etapas como función de la temperatura de juntura caliente del
módulo más inferior hT , para una corriente máxima maxI constante.
Figura 17. max ,T Diferencia de temperaturas máxima de módulos Peltier multi-etapas
[8].
1.10.2 MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS
Estos cubren un amplio rango de tamaños de superficie cerámica, desde 3.2x3.2mm2 hasta
62x62mm2 en la superficie superior (lado frío), y desde 3.8x3.8mm
2 a 62x62mm
2 en la base
(lado caliente), y alturas desde 3.8 a 21.4mm con: maxI (A) desde 0.7 a 9.5 A; maxcQ (W)
desde 0.39 a 59 W; maxV (V) desde 0.8 a 14V y con número de etapas de dos hasta seis. La
tabla 1 muestra los parámetros de máximo rendimiento ya mencionados de estos módulos
multi-etapas. Mientras que para calcular la capacidad de enfriamiento cQ , y la diferencia
de temperatura T podemos utilizar la siguiente expresión aproximada:
max max(1 / )c cQ Q T T
max max(1 / )c cT T Q Q
33
Tabla 1. Parámetros de máximo rendimiento de módulos Peltier multi-etapas, con una
temperatura de juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) [8].
34
Finalmente vemos que la figura 18 y 19 muestran la capacidad de enfriamiento cQ de varios
módulos Peltier multi-etapas para una diferencia de temperatura entre junturas T por
arriba de 50K, con una temperatura de juntura caliente establecida como fija de valor 300K
(27ºC).
Figura 18. Capacidades de enfriamiento cQ de módulos comerciales Peltier multi-
etapas para diferencia de temperatura entre junturas T , con temperatura de
juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) - (I) [8].
Figura 19. Capacidades de enfriamiento cQ de módulos comerciales Peltier multi-
etapas para diferencia de temperatura entre junturas T , con temperatura de
juntura caliente en la etapa inferior de 300K (27ºC) - (II) [8].
35
1.11 CONCLUSIONES
Al haber hecho un estudio fundamental de la caracterización, funcionamiento, descripción
y estado del arte de dispositivos termoeléctricos utilizados en refrigeración, calentamiento
y generación de potencia, hemos establecido el punto de partida en la comparación con
mecanismos convencionales de refrigeración actualmente conocidos, y al mismo tiempo se
inició el estudio de los primeros por la necesidad esencial de un uso más eficiente de la
energía.
36
CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y
TERMODINÁMICA DE SISTEMAS
TERMOELÉCTRICOS En este capítulo se describe el teorema de Onsager que permite la comprensión física de los fenómenos termoeléctricos de refrigeración, calentamiento y generación de potencia, así como las relaciones que hay entre estos. Además se dan a conocer los mecanismos de flujo de calor causantes de la producción de entropía en módulos termoeléctricos de refrigeración.
37
2.1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS
La termodinámica de procesos irreversibles establece algunos postulados básicos, que
permiten analizar la relación que existe entre las cantidades físicas que intervienen en los
sistemas termoeléctricos, y que además utilizamos para deducir los tres efectos
fundamentales que describen a estos últimos[1,10], a saber: los efectos Peltier, Seebeck y
Thomson.
Con la finalidad de establecer el teorema de reciprocidad de Onsager, inicialmente son
necesarias dos cantidades que describan apropiadamente a los procesos irreversibles, a
saber: la fuerza termodinámica generalizada que conduce a un proceso y el flujo que
describe la respuesta a esta fuerza. La identificación de fuerzas y flujos en un sistema
termodinámico se lleva a cabo considerando la razón de producción de entropía como sigue
k k
k
S F J
(2.1)
donde S
es la razón de producción de entropía, kF la fuerza generalizada que más adelante
se definirá con detalle y kJ el flujo generalizado.
Para establecer la relación existente entre flujos y fuerzas en sistemas termoeléctricos,
suponemos que nuestro sistema a tratar es puramente resistivo, es decir, cada flujo que se
presente en el sistema dependerá únicamente de la fuerza en ese instante. La relación
funcional entre flujos y fuerzas es dada como [10]
0 1 2( , , ,...., )k k nJ J F F F F. (2.2)
De acuerdo a la dependencia funcional anterior, podemos desarrollar los flujos en potencias
de las fuerzas y tener la siguiente relación de la que se infiere la anulación de los flujos
cuando las fuerzas son cero
1
...2!
k jk j ijk i j
i j
J L F L F F (2.3)
para el caso de sistemas termoeléctricos utilizaremos sólo el primer término lineal de la
ecuación anterior, donde los coeficientes cinéticos jkL y ijkL se definen como la razón de
cambio del flujo con respecto a la fuerza. Además, estas razones de cambio se definen
como sigue
38
2
0 0
;k kjk ijk
j i j
J JL L
F F F
(2.4)
donde la primera es de primer orden y la segunda de orden superior
0 1( , ,.....)jk jkL L F F. (2.5)
Nótese en la ecuación (2.5) que los coeficientes cinéticos dependen directamente de las
fuerzas.
Para ilustrar la relación que hay entre flujos y fuerzas generalizadas usamos un ejemplo
particular a partir de la ecuación unidimensional de conducción de calor, donde notamos
que la fuerza que produce el flujo de calor está definida como el gradiente de la temperatura
( )p
Q
C TTJ k
x x
(2.6)
donde que la conductividad térmica k es un coeficiente cinético por analogía según la
comparación de (2.6) con k jk jJ L F
Otro ejemplo unidimensional de relación entre flujos y fuerzas generalizadas, se tiene entre
el flujo de corriente eléctrica eJ , como menos el producto de la diferencia de potencial
eléctrico / x (fuerza generalizada) y la conductividad eléctrica (coeficiente cinético)
en un conductor
eJx
(2.7)
Con la relación (2.1) podemos establecer la razón de producción de entropía para un
termopar que tiene una juntura fría que genera entropía a causa de la diferencia de
temperatura que produce un flujo de calor. Escribimos la razón de producción de entropía
como
2Q S
dS T TJ J
dt T T
, (2.8)
39
donde SJ es el flujo de entropía igual a QJ T y QJ el flujo de calor. Nótese que en la
relación anterior la fuerza es el gradiente de temperatura que a su vez establece un flujo de
calor, y la combinación de éstos da lugar a la producción de entropía.
Cuando se establece una diferencia de potencial a través de un termopar se perturba el
equilibrio eléctrico y se produce una corriente eléctrica, ésta, a su vez, produce calor.
Entonces, la producción de entropía debida a una diferencia de potencial eléctrico está dada
por
e
dSJ
dt T
, (2.9)
donde eJ es el flujo de corriente eléctrica y es la diferencia de potencial.
Si se establece una diferencia de potencial y una diferencia de temperatura simultáneamente
en el termopar, entonces la producción de entropía es la suma de ambas aportaciones:
ecuaciones (2.8) y (2.9). Se tiene entonces
S e
dS TJ J
dt T T
(2.10)
Si la desviación del equilibrio es pequeña, los flujos de entropía y electricidad se acoplan de
un modo sencillo, con una dependencia lineal de /T T y / T para ambos flujos,
entonces tenemos
11 12 ,S
TJ L L
T T
(2.11)
21 22 ,e
TJ L L
T T
(2.12)
Los coeficientes 11L y 22L estarán dados en función de cantidades físicas conocidas en el
sistema termoeléctrico como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica,
respectivamente. Las magnitudes 12L y 21L son conocidos como coeficientes de
acoplamiento. Representan el efecto de una diferencia de potencial sobre una corriente de
entropía y el efecto de una diferencia de temperatura sobre una corriente eléctrica,
respectivamente. Lars Onsager, utilizando un criterio microscópico demostró que [10]
12 21L L (2.13)
que de forma más general se escribe como
40
jk kjL L
(2.14)
que se conoce como el teorema de reciprocidad de Onsager.
El teorema de Lars Onsager establece de manera específica que [10] : el valor del
coeficiente cinético medido en un campo magnético externo es idéntico al valor de
medido en un campo magnético inverso . En el teorema de Onsager se da una
simetría entre el efecto lineal de la thj fuerza sobre el thk flujo y el efecto lineal de la thk
fuerza sobre el thj flujo cuando estos efectos son medidos en campos magnéticos opuestos.
Analicemos con más detalle la producción de entropía en sistemas en donde hay flujo de
calor. De acuerdo a la figura 20, observamos que al haber una diferencia de temperaturas en
los extremos de una barra, tendrá lugar un flujo de calor de acuerdo a la ley de Fourier. Este
flujo puede ser expresado también en función del área de sección transversal A y la tasa de
transferencia de calor .
Q que se escribe como
.
Q
T QJ k
x A
. (2.15)
Si el flujo de entropía cuando está presente un flujo de calor se define como el producto del
flujo de calor por el recíproco de la temperatura, entonces, según la ecuación (2.15), la
ecuación está dada por
Q
s
J k TJ
T T x
(2.16)
La ecuación (2.8) que es la razón de producción de entropía por unidad de volumen,
podemos escribirla de un modo más general utilizando (2.16) que está en términos del flujo
de calor por efecto Fourier como sigue
.
.
2
1. .
Q SQ Q
J JdT dTS J
T T dx T dx
. (2.17)
donde por sencillez se ha considerado nuevamente un sistema unidimensional.
41
Figura 20. Barra donde se establece una diferencia de temperatruras
Veamos ahora la producción de entropía debido a un flujo de corriente eléctrica como se
muestra en la figura 21. Si definimos el flujo de corriente eléctrica como la corriente I que
pasa a través de una sección transversal de área A, tenemos la siguiente relación
e
IJ
A .
(2.18)
Es evidente que si se establece un gradiente de potencial eléctrico entre ambos extremos de
la figura 21, habrá corriente eléctrica en el elemento de longitud diferencial, por
consiguiente, al atravesar carga eléctrica en ésta sección, se hará trabajo eléctrico. La
primera ley de la termodinámica establece la relación entre calor Q y trabajo W como
sigue
dU Q + W (2.19)
Si no hay fuentes ni sumideros en el elemento diferencial dx que puedan proporcionar o
absorber energía, entonces el cambio de energía interna 0dU es nulo. Tenemos entonces
que la producción de calor debido al trabajo eléctrico es
. dQ I dx
dx
. (2.20)
Ahora podemos relacionar este calor debido al flujo de corriente eléctrica, con la
producción de entropía por unidad de volumen. La producción de entropía debido al flujo
de corriente, aparece como el producto de un flujo y una fuerza
42
Figura 21. Conductor en el que se establece una diferencia de potencial que da lugar a
un flujo de corriente eléctrica
Para cuantificar la producción de entropía total [17] por unidad de volumen en relación a
los dos mecanismos de flujo de calor causados por un gradiente de temperatura y por un
gradiente de potencial eléctrico, se tiene que es la suma, como se hizo en la ecuación (2.10)
. . .
2. .
Q eQ e
J JdT dS S S
T dx T dx
(2.22)
Además, suponiendo que los fenómenos termoeléctricos pueden ser tratados como sistemas
resistivos lineales, tenemos
k jk jJ L F (2.23)
donde el subíndice k=1,2, representa en este caso particular, flujo de calor y flujo de
corriente eléctrica, respectivamente
Considerando la expresión (2.23) deduzcamos las ecuaciones de flujo de calor y flujo de
corriente eléctrica en un sistema termoeléctrico que serán similares a las ecuaciones (2.11)
y (2.12) previamente establecidas [1,10]. El flujo de calor se puede escribir en función de
los gradientes de temperatura y potencial eléctrico representados como QF y eF ,
respectivamente, como sigue
43
Q QQ Q Qe eJ L F L F , (2.24)
donde el coeficiente cinético QQL está definido como el cambio en el flujo de calor QJ
debido a un gradiente de temperatura QF , y QeL como el cambio en el flujo de corriente
eléctrica debido a un gradiente de temperatura QF . Entonces tenemos
;Q e
QQ Qe
Q Q
J JL L
F F
(2.25)
Del mismo modo definimos el flujo de corriente eléctrica
e eQ Q ee eJ L F L F (2.26)
donde eQL es el cambio en el flujo de calor debido a un gradiente de potencial eléctrico eF ,
y eeL es el cambio en el flujo de corriente eléctrica debido a un gradiente de potencial
eléctrico
;Q e
eQ ee
e e
J JL L
F F
. (2.27)
Sustituyendo las fuerzas por sus equivalentes correspondientes en las ecuaciones (2.24) y
(2.26) obtenemos las siguientes expresiones
2
QQ Qe
Q
L LdT dJ
T dx T dx
(2.28)
2
1.
eQ
e ee
L dT dJ L
T dx T dx
. (2.29)
44
Ahora necesitamos definir los coeficientes cinéticos en función de cantidades físicas
conocidas (sus valores son obtenidos fenomenológicamente). Si se toma la relación (2.29)
bajo condiciones isotérmicas, y además por la definición previa del flujo de corriente
eléctrica en función de la conductividad eléctrica λ, y el gradiente de potencial eléctrico
( / )d dx tenemos que
eee
L d dJ
T dx dx
. (2.30)
Finalmente, igualando los coeficientes del gradiente de potencial de la expresión anterior
obtenemos el primer coeficiente cinético, que está en función de dos cantidades físicas
conocidas, a saber: la temperatura T y la conductividad eléctrica
eeL T (2.31)
2.2 ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK
Recordemos que el efecto Seebeck es la existencia de una fuerza electromotriz térmica en
un termopar, donde su valor está caracterizado por el coeficiente Seebeck. Al Hacer uso de
la ecuación (2.29), en ausencia de corriente eléctrica, obtenemos la relación
20
eQ eeL LdT d
T dx T dx
(2.32)
Reordenando la relación anterior, definimos el coeficiente Seebeck como la razón de
cambio del potencial eléctrico debido a un cambio en el gradiente de temperatura, esto es
0
/
/e
eQ
J ee
Ld dx
dT dx TL
(2.33)
0eJ
d
dT
(2.34)
45
donde es el coeficiente Seebeck. Igualando las expresiones (2.33) y (2.34), obtenemos el
segundo coeficiente cinético, que ahora está en función del producto de tres cantidades
físicas conocidas
2
eQ eeL TL T (2.35)
Al utilizar el teorema de reciprocidad de Onsager establecido en (2.13), pero con subíndices
Q y e en vez de 1 y 2 tenemos de acuerdo a la ecuación (2.35) la siguiente igualdad
2
Qe eQL L T (2.36)
Considerando ahora la ecuación (2.29) bajo la condición de corriente eléctrica nula,
despejando el gradiente de potencial, y sustituyéndolo en la expresión (2.28) obtenemos la
siguiente ecuación cuya particularidad es que está en función de los cuatro coeficientes
cinéticos
2 2
. .QQ Qe eQ ee QQ eQ Qe
Q
ee ee
L L L L L L LdT dT dTJ
T dx T TL dx L T dx
(2.37)
Definamos ahora la conductividad térmica como la razón de flujo de calor por unidad de
gradiente térmico cuando la corriente eléctrica es nula
0( / )
e
Q
J
Jk
dT dx
(2.38)
Combinando las expresiones (2.37) y (2.38) obtenemos la conductividad térmica en
función de los coeficientes cinéticos como sigue
2
ee QQ Qe eQ
ee
L L L Lk
L T
(2.39)
46
Sustituyendo las expresiones (2.31) y (2.36) en la expresión (2.39), se obtiene finalmente el
coeficiente faltante
2 2 2 2( ) ( )QQL kT T T T k T (2.40)
Como conclusión a este apartado, introduzcamos los coeficientes cinéticos (2.31), (2.36) y
(2.40) en las expresiones (2.28) y (2.29) para establecer la forma final de las ecuaciones
termodinámicas de los flujos que gobiernan a los fenómenos termoeléctricos. Tenemos
entonces
2( ). ( ).Q
dT dJ k T T
dx dx
(2.41)
e
dT dJ
dx dx
. (2.42)
Por último, las ecuaciones fundamentales anteriores las podemos expresar en función de eJ
y QJ como
Q e
TJ k TJ
x
(2.43)
2 2
.e Q
k dJ J
k T dx k T
(2.44)
2.3 ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER
El efecto Peltier se caracteriza por el flujo de calor acompañado de un flujo de corriente
eléctrica a través de una juntura isotérmica de dos materiales, como se observa en la
siguiente figura
Figura 22. Flujo de calor por efecto Peltier
47
Ya mencionamos que bajo condiciones isotérmicas la expresión para la corriente eléctrica
es
e
dJ
dx
, (2.45)
mientras que las expresiones para el flujo de calor ocasionado por el flujo de corriente
eléctrica en los puntos a y b están dadas de acuerdo a
;Qa a eJ TJ Qb b eJ TJ . (2.46)
Por lo tanto, el flujo de calor total que es transportado a través de la juntura, está dada por
la diferencia entre las dos expresiones anteriores
( )Qab Qa Qb a b eJ J J TJ . (2.47)
Simplificando lo anterior obtenemos el llamado coeficiente Peltier (conocido también
como relación de Kelvin), el cual está definido como el calor que debe ser adicionado a la
juntura cuando la corriente pasa del conductor A al conductor B. Esto es
( )ab a bT
(2.48)
2.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON
El efecto Thomson [5] está asociado a un calentamiento o enfriamiento reversible debido a
la presencia de un flujo de corriente eléctrica a través de un gradiente de temperatura en un
conductor o en una juntura de conductores. Véase la figura 23.
Figura 23. Gradiente de temperatura y flujo de corriente eléctrica a través de una
juntura de conductores
48
El flujo de calor asociado al efecto Thomson viene dado por la siguiente expresión [1]
, .Q T e
d dTJ TJ
dT dx
. (2.49)
El coeficiente Thomson está definido como el calor absorbido debido al efecto Thomson
por unidad de corriente eléctrica y por unidad de gradiente de temperatura
d
TdT
(2.50)
y el calor absorbido por el efecto Thomson, en términos del correspondiente coeficiente,
queda dado por
, .Q T e
dTJ J
dx
(2.51)
2.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
Un enfriador termoeléctrico básico consiste de dos ramas de semiconductores dopados
tipo p y n, las cuales no siempre son de la misma longitud como se muestra en la figura 24.
Figure 24. Diagrama básico de un enfriador termoeléctrico
49
Cuando una corriente I pasa a través de este elemento termoeléctrico, el flujo total de
calor dentro de cada rama (p y n) es
.
p p pp
dTQ TI k A
dx (2.52)
.
n n nn
dTQ TI k A
dx (2.53)
dónde nA y pA son las áreas de sección transversal de cada rama, /dT dx es el gradiente de
temperatura, nk y pk son las conductividades térmicas, y los subíndices en las cantidades
significan que pertenecen a la rama n o p, respectivamente. El coeficiente de rendimiento
[8] COP ( ) lo podemos expresar como el cociente entre la capacidad total de enfriamiento 2( ) 0.5c p n cQ IT k T I R dado también en la ecuación (1.1) y la potencia
termoeléctrica [( ) ]p nW I T IR ,
.2( ) 0.5
[( ) ]
p n cc
p n
IT k T I RQ
W I T IR
. (2.54)
donde k y R son la conductividad térmica y la resistencia eléctrica totales. Al maximizar
el flujo de calor de enfriamiento con /cdQ dI =0 se obtiene la corriente eléctrica I que al
sustituirla en la ecuación de flujo de calor de enfriamiento nos da la máxima potencia de
enfriamiento expresada como
2 2
.
,max
( )
2
p n c
c
TQ k T
R
. (2.55)
Al establecer .
0cQ , la diferencia máxima de temperatura T se obtiene como
2 2
max
( )
2
p n cTT
kR
(2.56)
50
Al derivar con respecto a I , e igualar a cero determinamos la corriente que maximiza el
COP, y si la sustituimos en la expresión del COP se obtiene el máximo COPmax max( ) ,
1/2
max 1/2
(1 )
( ) (1 ) 1
hc M
c
h c M
TT ZT
T
T T ZT
. (2.57)
El factor de mérito [6] del elemento termoeléctrico que se definió en la ecuación (1.2) es
una simplificación de la expresión más general definida como
2
1/2 1/2
( )
( ) ( )
p n
p p n n
Zk k
(2.58)
donde representa la resistividad eléctrica de cada material tipo p o n dependiendo del
subíndice. Las dimensiones del factor de mérito son 1/K, aunque por comodidad se utiliza
un valor adimensional ZT . Cabe señalar que las expresiones anteriores no cambian cuando
un número determinado de termoelementos se conectan juntos para formar un módulo
completo compuesto por varios termopares.
Decimos por consiguiente que la eficiencia de los materiales para enfriamiento
termoeléctrico está esencialmente determinada por el producto ZT . Suponiendo sólo un
elemento enfriador termoeléctrico (termopar), podemos escribir el coeficiente de
rendimiento como
1/2
1 1/2
(1 ) /.
(1 ) 1
M h cc
h c M
ZT T TT
T T ZT
(2.59)
donde 1 con subíndice 1 se refiere al coeficiente de rendimiento de un solo termopar, cT
es la temperatura del lado frío, hT es la temperatura del lado caliente, y MT es el promedio
de ambas temperaturas. Decimos entonces que hemos escrito el coeficiente de rendimiento
en función de las temperaturas del lado frío y caliente que se conoce como eficiencia de
Carnot [8,9] y esta expresada en el primer término de (2.59) como /c h cT T T .
51
2.6 CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT
Una vez establecido el significado del producto adimensional ZT , el objetivo principal en
el campo de la termoelectricidad, y especialmente en la refrigeración termoeléctrica, es la
búsqueda de valores elevados de esta cantidad adimensional. En la naturaleza encontramos
tres tipos de materiales, a saber; aislantes, semiconductores y metales. Los aislantes y los
metales son materiales con un ZT muy por debajo de valores útiles para aplicaciones
debido a que los primeros tienen una baja conductividad eléctrica y los últimos tienen bajos
coeficientes Seebeck. Además, los portadores de carga y de calor en metales son los
electrones, que obedecen la ley de Wiedmann-Franz, que establece que la conductividad
térmica es directamente proporcional a la conductividad eléctrica. Debido a esta ley, es
difícil obtener valores elevados de ZT en metales. Es por eso que los semiconductores son
una buena elección en la termoelectricidad. En los semiconductores el transporte térmico
está usualmente dominado por fonones, mientras que la electricidad es transportada por
electrones o huecos. Por esta razón, el transporte térmico y el transporte eléctrico, pueden
estudiarse por separado.
A partir de los años 50s, se dio un acelerado progreso en el desarrollo de aleaciones de
materiales termoeléctricos, desarrollándose los primeros refrigeradores termoeléctricos. El
progreso al tratar de mejorar ZT fue muy lento hasta la década de los 90s. Los valores
máximos de ZT han permanecido alrededor de 1. Debido a las nuevas metodologías que
actualmente se poseen para mejorar el valor de ZT ha resurgido la investigación en la
termoelectricidad.
Para la producción de materiales en gran escala, los enfoques se han dado principalmente
en la síntesis de nuevos materiales, haciendo aleaciones de materiales existentes con
elevados valores de ZT , introduciendo fonones vibrantes en sus estructuras. Los materiales
típicos para fonones vibrantes son las estructuras conocidas como skutterudites y clathrate.
Otro enfoque para incrementar ZT está basada en utilizar los efectos cuánticos en
nanoestructuras, tales como pozos cuánticos, superestructuras de dos dimensiones,
nanoalambres de una dimensión, y puntos cuánticos de dimensión cero.
Para adoptar ideas más fundamentales acerca del progreso que se ha dado a través de los
años para incrementar el valor del factor de mérito Z [6], a finales de los años 1930s, hasta
principios de los años 1960s se llevó a cabo un gran progreso (véase figura 25) que condujo
a un entendimiento microscópico de la termoelectricidad y al desarrollo de los materiales
que existen hoy en día. El ímpetu mostrado en ese importante desarrollo fue mantenido casi
por cuatro décadas, sin embargo, la actividad tuvo un declive considerable alrededor de los
años 1970s.
52
Figura 25. Producto Adimensional ZT en Función del Tiempo.
53
2.7 CONCLUSIONES
En este apartado se hizo el análisis de los tres efectos reversibles: Seebeck, Peltier y
Thomson, de acuerdo a la termodinámica irreversible y utilizando el teorema de
reciprocidad de Onsager. Se han establecido también las ecuaciones de flujo de calor y
flujo de corriente eléctrica que intervienen en la ecuación de producción de entropía,
definida por la suma del producto de flujo de calor por gradiente de temperatura y flujo de
corriente eléctrica por gradiente de potencial eléctrico. Además, se establecieron las
ecuaciones básicas de flujo de calor, coeficiente de rendimiento y factor de mérito
54
CAPÍTULO III PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA Y ANÁLISIS
DEL COEFICIENTE DE DESEMPEÑO EN
DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS
En este capítulo introducimos el método de generación de mínima entropía, con la finalidad de implementarlo a un enfriador termoeléctrico de una y dos etapas para hacer un uso más eficiente de la energía. Además analizamos la influencia que tiene el calor generado por efecto Thomson al ser considerado dentro de las ecuaciones del coeficiente de desempeño y generación de entropía, para ello hacemos uso de un modelo termoeléctrico unidimensional.
55
3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA
El método de mínima generación de entropía [7] (MGE) es una combinación de las leyes de
la termodinámica, la transferencia de calor y la dinámica de fluido que esencialmente
unifican lo que en ingeniería se conoce como ´´optimización termodinámica´´ y en física
como ´´termodinámica de tiempo finito´´. Este método fue propuesto con la finalidad de
estudiar el rendimiento de las máquinas de calor, comparándolo con el método de
maximización de potencia [17] (MP). Este último optimiza el rendimiento de las máquinas
de calor al maximizar la generación de potencia, mientras que en el método (MGE) el
mismo objeto se lleva a cabo al minimizar la generación de entropía. La generación de
entropía en un dispositivo termoeléctrico ocurre con transferencia de calor: calor extraído
del espacio refrigerado, transferencia de calor a los alrededores, goteo de calor del lado
caliente al lado frío [17] y calor disipado por efecto Joule. Las irreversibilidades pueden
ocurrir interna o externamente. El análisis puede proceder de tres modos distintos, a saber:
(1) modelo internamente irreversible- externamente reversible, (2) internamente reversible-
externamente irreversible y (3) internamente irreversible-externamente irreversible. El
motivo principal de este trabajo es incrementar el interés que hasta el momento se le ha
dado a esta clase de estudios de generación de mínima entropía en dispositivos
termoeléctricos, principalmente en dispositivos de refrigeración.
Si un dispositivo termoeléctrico que funciona como refrigerador se modela como una
máquina externamente reversible pero internamente irreversible [16,17], se tiene que el
flujo de calor del lado de baja y del lado de alta temperatura, respectivamente, están dadas
como
2( ) / 2H H CHQ IT k T T I R
(3.1)
2( ) / 2C H CCQ IT k T T I R
(3.2)
donde cada ecuación de razón de transferencia de calor en el lado derecho está compuesta
por tres términos, a saber: calor por efecto Peltier, calor por efecto Fourier y calor por
efecto Joule donde la mitad de este último se disipa en el lado frío y la otra mitad en el lado
caliente del refrigerador. Esto a menudo indica que el calentamiento Joule es mucho más
grande en magnitud que el efecto de conducción de calor a lo largo del refrigerador.
56
La razón de generación de entropía está dada por.
1
/ ,n
gen
i i
S Q T
donde el subíndice
i se refiere a los nodos de intercambio de calor. Si el dispositivo tiene dos nodos, entonces
.C H
gen
C H
Q QS
T T
, (3.3)
Sustituyendo las ecuaciones (3.1) y (3.2) en la expresión (3.3) obtenemos una expresión de
generación de entropía dada como
21( )
2
H C H Cgen H C
H C H C
T T T TS k T T I R
T T T T
. (3.4)
El resultado anterior concuerda con el de Bejan [7] referente a la generación de entropía en
un campo general de temperatura sin efecto termoeléctrico y, por consiguiente sin flujo de
corriente eléctrica. Las irreversibilidades en el refrigerador termoeléctrico son flujos de
calor que se disipan dentro o fuera del sistema, y que además tienen el efecto de disminuir
el rendimiento. Para este caso las causas directas de las irreversibilidades son la
conducción de calor por efecto Fourier y disipación de calor por efecto Joule. Los efectos
Seebeck y Peltier no contribuyen a la generación de entropía puesto que estos son efectos
reversibles[17].
Sin embargo, la ecuación (3.4) está incompleta debido a que sólo se han tomado en cuenta
irreversibilidades internas, omitiendo las externas. Para hacer el tratamiento más realista, es
importante observar que la ecuación anterior sólo toma en cuenta dos mecanismos de
producción de entropía: calor Joule y Fourier. Al replantear el problema y considerar un
calor de desecho externo, tendremos un tercer mecanismo a tomar en cuenta[17].
Considerado así el problema, habrá un calor externo disponible Q
para ser extraído del
espacio refrigerado, mientras que otra parte eQ
es desechada externamente en la dirección
del calor de conducción por efecto Fourier. Como tal, podemos escribir la razón de
generación de entropía como la suma de los tres mecanismos siguientes: (1) calor de
conducción por efecto Fourier, (2) calentamiento interno Joule, y (3) desecho de calor
externo. La expresión (3.4), por consiguiente, se convierte en
2
2( ) ( )1
2
H C H C H Cgen e
H C H C H C
k T T T T T TS I R Q
T T T T T T
(3.5)
57
la cual es una ecuación más general comparada con la ecuación (3.4) que solo toma en
cuenta dos aportaciones a la entropía: calor por efecto Joule y calor de conducción de
Fourier. La expresión (3.5) tiene en consideración el calor de desecho .
eQ que se incluye
también al hacer el análisis la generación de entropía en un módulo de una sola etapa que
produce energía eléctrica [17]. Como se verá más adelante, la ecuación (3.5) será el punto
de partida para llevar a cabo el análisis de generación de entropía de módulos
termoeléctricos de refrigeración de una y dos etapas.
3.2 MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS
Un modulo termoeléctrico típico de una etapa está compuesto de varios termopares
conectados térmicamente en paralelo y eléctricamente en serie [8]. Como es usual, un
termopar está hecho de materiales semiconductores tipo p y n. Existen diversos arreglos en
la práctica al diseñar un módulo termoeléctrico [5]. Nosotros hacemos uso del llamado
enfriador termoeléctrico de dos etapas [16], específicamente compuesto por N termopares
en la primera etapa y sólo uno en la segunda etapa, como se muestra en la figura 26.
También se consideran corrientes separadas para cada etapa debido a que de esta manera se
alcanza un mejor rendimiento [14]. Para establecer las ecuaciones básicas, primero
definimos como el coeficiente Seebeck, R la resistencia eléctrica, k la conductividad
térmica, N es el número de termopares en la primera etapa. hT , cT , hq , cq son las
temperaturas y las razones de transferencia de calor del espacio caliente y frío,
respectivamente, 1I e 2I son las corrientes eléctricas. Finalmente, los subíndices 1 y 2
están referidos a la primera y segunda etapa respectivamente.
Figure 26. Modelo de Enfriador Termoeléctrico de dos Etapas
58
3.2.1 ECUACIONES FUNDAMENTALES
Para la primera etapa, según la figura anterior, y suponiendo: 1 , 1k k , 1R R ,
podemos escribir el flujo de calor absorbido y expulsado como
2
11 1 1 11
( ) ,2
c h cc
RIq I T k T T
(3.6)
2
11 1 1 11
( )2
h h ch
RIq I T k T T
. (3.7)
Ahora bien, haciendo 2 , 2k k y 2R R para la segunda etapa tenemos
2
22 2 2 22
( )2
c h cc
RIq I T k T T
, (3.8)
2
21 2 2 22
( ) .2
h h ch
RIq I T k T T
(3.9)
Si operamos a una capacidad máxima de enfriamiento, de la ecuación (3.8) se obtiene una
expresión para la corriente óptima en la segunda etapa al hacer la derivada de 2 / 0cd q dI
,
donde la corriente máxima se escribe como
22 ,max .c
c
TI
R
(3.10)
El método de análisis convencional [15], en el cual no se toman en consideración los
efectos de resistencia de contacto térmico y eléctrico que tienen lugar en las placas
cerámicas se supone también un aislamiento térmico perfecto para todo el dispositivo. A
esta situación le llamaremos Primer Caso. Sin embargo, con la finalidad de hacer nuestro
análisis más acorde con la práctica, en el Segundo Caso incluiremos pérdidas de calor
irreversibles [17]. Una vez establecido el criterio para el primer caso, las siguientes
expresiones deberán ser validas
2 1,h cT T (3.11)
2 1h cq n q
. (3.12)
59
Aplicando las condiciones (3.11) y (3.12), la temperatura 1cT se puede expresar como una
función de “n” termopares
2 2
1 1 2 21
1 2
( 0.5 ) 0.5
( )
h cc
n KT RI RI KTT
n K I K I
. (3.13)
3.2.2 PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS
ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE
El enfriador termoeléctrico de dos etapas puede ser considerado como un sistema
termodinámico [7]. Siendo así, podemos escribir la primera y la segunda ley de la
termodinámica [17] como sigue
2 2
2 2entrada salida
E V Vm h gz m h gz Q W
t
, (3.14)
gen
entrada salida
S QS m s m s
t T
, (3.15)
donde E es la energía total, m la masa, h la entalpía, V la velocidad, z la altura, Q
la
tasa de transferencia de calor, W
el trabajo por unidad de tiempo, s la producción de
entropía por unidad de masa y genS
la razón de generación de entropía.
Si se suponen condiciones de estado estacionario, considerándolo un sistema cerrado y con
“N” reservorios que intercambien energía y calor con los alrededores, entonces las
ecuaciones (3.14) y (3.15) se reducen a
1
N
i
i
W Q
(3.16)
1
N
gen
ii
QS
T
. (3.17)
60
Aplicando la ecuación (3.12) para la razón de generación de entropía a través del modulo
termoeléctrico que contiene dos nodos, se tiene
1 2
1 2
h cgen
h c
q qS
T T
(3.18)
Utilizando las expresiones (3.7), (3.8), (3.12), (3.13) y la ecuación previa, obtenemos una
expresión para la razón de generación de entropía total en el modelo de dos etapas,
2 2
1 1 2 2 1 21 2
1 2 1 2
( ) ( )
2 2
h c h cgen
h c h c
nk T T k T T nRI RIS n I I
T T T T
. (3.19)
Sin embargo, como no hay contribución a la generación de entropía debido a que, tanto los
efectos Seebeck y Peltier son efectos reversibles, sólo el calor asociado al efecto Fourier y
al efecto Joule contribuyen a la generación de entropía. De este modo,
1 2 0,n I I (3.20)
Por lo tanto, la ecuación (3.19) se reduce a la expresión
2 2
2 2 1 1 1 2
2 1 1 2
( ) ( )
2 2
h c h cgen
c h h c
k T T nk T T nRI RIS
T T T T
. (3.21)
3.2.3 SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS
ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE
Aquí hacemos un análisis más realista de la generación de entropía. En la práctica,
ninguna máquina termodinámica está completamente aislada de los alrededores; además, la
transferencia real de calor se da en tres dimensiones. A su vez, ningún material
semiconductor, como ninguna placa cerámica, son conductores perfectos y aislantes. Por
estas razones, el problema puede ser establecido al incluir la generación de entropía debido
a desechos de calor externo [1].
61
Si este efecto se toma en cuenta, se tiene una fuente de calor .
q que está disponible a una
temperatura cT , y una parte de este calor .
cq , entra al enfriador a cT , mientras que otra parte
.
eq es desechada externamente en la misma dirección que el calor por efecto Fourier.
Entonces, la razón de generación de entropía para cada etapa es la suma de calor interno
por efecto Fourier, calor interno de Joule y desecho de calor externo. Desarrollando se tiene
para la primera etapa,
.
2
1 1 1 1 1 111 1 1 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( )( ). . . ,
2
h c h c h cgen h c e
h c h c h c
T T T T T TI RS k T T q
T T T T T T
(3.22)
la cual puede ser escrita también como
.
1 1 1 11 1
1 1 1 1
( ). .h c h c
gen e
h c h c
q q T TS q
T T T T
(3.23)
Si consideramos el calor externo de desecho [8] definido como 1 11 ceq q q
, entonces
.
2
1 11 1 1 1 1 1 1111 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
( )( ) ( )( ). . .
2
h ch c h c h c cgen h c
h c h c h c h c
q T TT T T T q T TI RS k T T
T T T T T T T T
(3.24)
Para expresar la ecuación anterior en forma adimensional la dividimos por
1 1 1 11( ) / ,h c h cq T T T T
2
* 1 1 1 1 111
1 11 1 1
( )1 . .
( )2
h c h c cgen
h c
qk T T T TI RS
T Tq q q
(3.25)
62
Sustituyendo el término .
1cq , definido previamente, tenemos finalmente
2* 1 1 1 1 1 11
1
1 11 1 1
2 ( )1 1 .
2
h c h c cgen
h c
k T T T T I TI RS
T Tq q q
(3.26)
Haciendo lo mismo que en las ecuaciones (3.22)-(3.25), pero para la segunda etapa,
obtenemos una expresión similar,
2* 2 2 2 2 2 22
2
2 22 2 2
2 ( )1 1
2
h c h c cgen
h c
k T T T T I TI RS
T Tq q q
(3.27)
Por lo tanto podemos escribir la razón de generación de entropía total adimensional debido
a las contribuciones de la primera y segunda etapas como
. . .* * *
, 1 2 .gen total gen genS S S (3.28)
Debido a que en la segunda etapa la corriente eléctrica 2I permanece constante, la entropía
también tendrá un valor fijo, y por simplicidad le asignaremos el valor unitario, por esta
razón, la generación de entropía total está dada por
2
* 1 1 1 1 1 11,
1 11 1 1
2 ( )2 1 .
2
h c h c cgen total
h c
k T T T T I TI RS
T Tq q q
(3.29)
63
3.3 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL
Es bien sabido que el desempeño de un dispositivo termoeléctrico utilizado como
refrigerador, generador o bomba de calor está directamente relacionado con cinco efectos
ampliamente conocidos: Peltier, Seebeck, Thomson, Fourier y Joule, siendo los tres
primeros reversibles y los dos últimos irreversibles. Sin embargo, a pesar de que los efectos
Peltier, Seebeck y Thomson contribuyen a disminuir las irreversibilidades con la finalidad
de incrementar el desempeño de dispositivos termoeléctricos, rara vez se encuentra el
efecto Thomson incluido en las ecuaciones de flujo de calor. Es necesario, por
consiguiente, utilizar la termodinámica fuera de equilibrio para determinar los efectos que
tiene este calor Thomson [1,10] en el coeficiente de desempeño y en las ecuaciones de
minimización de entropía.
De acuerdo a la teoría de la termodinámica [1,3,10], cuando se establece una densidad de
corriente eléctrica J a través del material semiconductor ubicado en un gradiente de
temperatura, tenemos,
( )U
JJ k T TJ J
(3.30)
donde UJ es la densidad de flujo de energía en el interior del material semiconductor a una
temperatura T , es el coeficiente Seebeck, k es la conductividad térmica y la
conductividad eléctrica. Aquí depende del material y de la temperatura T [4], mientras
que k y dependen del material y de la geometría del semiconductor.
3.3.1 MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE
CONDUCCIÓN DE CALOR
En nuestro análisis del dispositivo termoeléctrico empleado en la refrigeración
termoeléctrica, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 27, propuesto por
otros autores [5]. El modelo está compuesto por una pareja de materiales semiconductores
tipo p y n, conectados eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo. Cuando una
corriente eléctrica I fluye a través de nuestro circuito, los calores liberado y de entrada, al
operar entre dos reservorios a hT y cT , son .
hQ en la parte superior y .
cQ en la parte inferior,
respectivamente. Cuando este dispositivo es utilizado como un refrigerador termoeléctrico,
el reservorio a cT es el espacio enfriado y el calor absorbido es .
cQ . 1T y 2T son las
temperaturas dentro de los elementos tipo n y p, respectivamente, y son funciones de la
posición x . E es la fem de la batería externa que proporciona la corriente I al circuito.
64
Figure 27. Modelo unidimensional de circuito termoeléctrico
Suponemos que la construcción de los semiconductores es homogénea; por lo tanto k y son constantes. Designemos a L como la longitud del material, A es el área de sección
transversal y el coeficiente Thomson [1]. Las cantidades físicas anteriores tendrán
subíndice 1 para el material tipo n y 2 para el material tipo p, e.g. 1 es el coeficiente
Seebeck del material tipo n, 2 coeficiente Thomson del material tipo p, etc.
Partiendo de la ecuación (3.30), que establece un balance de energía en el dispositivo
termoeléctrico, y que al aplicarla en condiciones de estado estacionario y en una sola
dimensión da como resultado dos ecuaciones diferenciales de segundo orden que
corresponden al material tipo n y p respectivamente, es decir
2 2
1 1 11 1 1 12
1
0, 0d T dT R I
K L I x Ldx dx L
(3.31)
2 2
2 2 22 2 2 22
2
0, 0d T dT R I
K L I x Ldx dx L
(3.32)
con condiciones de frontera,
1 2(0) (0) ,cT T T (3.33)
1 1 2 2( ) ( ) ,hT L T L T (3.34)
65
Las ecuaciones para la tasa de transferencia de calor son
2 2
1 22 1 1 1 2 22 2
( )c c
cc
d T d TQ T I K L K L
dx dx
(3.35)
2 2
1 22 1 1 1 2 22 2
( ) ,h h
hh
d T d TQ T I K L K L
dx dx
(3.36)
donde 1 1 1 1/ ,K k A L 2 2 2 2/ ,K k A L 1 1 1 1/R L A y 2 2 2 2/R L A son las conductividades
térmicas y resistencias eléctricas. El coeficiente Thomson es ( / )T d dT ; cuando es
constante, no hay efecto de calor por efecto Thomson sobre el desempeño del dispositivo
termoeléctrico.
3.3.2 COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSION
OPERADO COMO BOMBA DE CALOR Y COMO REFRIGERADOR
Resolviendo las ecuaciones diferenciales (3.31) y (3.32) encontramos que las soluciones de
los campos de temperatura [5] en cada una de las ramas, expresadas en función de la
posición son
1
1 1
1 11 1 1(1 ),0 ,
1
x
c L
T a LT T a x e x L
e
(3.37)
2
2 2
2 22 2 2(1 ),0 ,
1
x
c L
T a LT T a x e x L
e
(3.38)
donde 1a y 2a son constantes que dependen de las condiciones iniciales (3.33) y (3.34), y
se definen como 1 1 1 1/ ( )a R I L , 2 2 2 2/ ( )a R I L , / ( )I K L , y h cT T T .
Sustituyendo (3.37), (3.38) que se evalúan desde 0x hasta 1 2,x L L , las constantes 1a y
2a en las ecuaciones de las tasas de transferencia de calor, obtenemos las expresiones
explicitas para las mismas
66
* * * * 2
1 2 1 2( ) ( )c
ccQ T I K K T R R I
(3.39)
* * * * 2
1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) [ ( )] ,h
hhQ T I K K T TI R R R R I
(3.40)
donde 2 1 ,h h h
2 1 ,c c c 1 1*
1 1 / (1 ),LK I e 2 2*
2 2 / ( 1),LK I e
1 1*
1 1 1 11/ [1 ] 1/ ( ) ,LR R e L
y 2 2*
2 2 2 21/ ( ) 1/ [ 1] .LR R L e
Cuando las expresiones 1 1/ 1I K y 2 2/ 1I K son mucho menores a la unidad, las
cuatro expresiones anteriores se reducen a *
1 1 1 1[1 / 2 ],K K I K *
2 2 2 2[1 / 2 ],K K I K *
1 1 1 1/ 2[1 / 6 ],R R I K *
2 2 2 2/ 2[1 / 6 ],R R I K
y entonces la ecuación (3.40) se reduce a
2 3
2 1 2 2 2 1 1 1( ) / 2 / 2 ( / / ) /12.h
hhQ T I K T TI RI R K R K I
(3.41)
Mientras que la diferencia h cQ Q , al utilizar las cuatro expresiones reducidas, se convierte
en
2( )h c
h ch cQ Q T T I TI RI
(3.42)
Con las ecuaciones (3.39) y (3.40) definimos el coeficiente de operación para el
dispositivo termoeléctrico, que funciona como bomba de calor, donde se invierte la
dirección de la corriente eléctrica y el espacio refrigerado se convierte en el espacio a
calentar. Se tiene entonces
* * * * 2
1 2 2 1 1 2 1 2. 2
2 1 1 2
( ) ( ) [ ( )].
( ) ( ) ( )
h
h hB CALOR h c
h ch c
Q T I K K T TI R R R R I
T T I TI R R IQ Q
(3.43)
Funcionando como refrigerador, el COP está definido como
* * * * 2
1 2 1 2. 2
2 1 1 2
( ) ( ).
( ) ( ) ( )
c
c cREF h c
h ch c
Q T I K K T R R I
T T I TI R R IQ Q
(3.44)
67
Sin embargo, al utilizar las ecuaciones (3.41) y (3.42) se define el coeficiente de operación
para la bomba de calor como
.h
B CALOR
h c
Q
Q Q
2 3
2 1 2 2 2 1 1 1
2
( ) / 2 / 2 ( / / ) /12.
( )
h
h
h c
h c
T I K T TI RI R K R K I
T T I TI RI
(3.45)
Finalmente, para obtener el coeficiente de rendimiento del refrigerador se hace lo mismo
que se hizo para la bomba de calor.
3.3.3 PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL
Con la finalidad de evaluar los diferentes mecanismos de conducción de calor en esta clase
de dispositivos termoeléctricos, surge la necesidad de ir aún más allá del análisis del
coeficiente de rendimiento o desempeño. Por esta razón hacemos uso del Método de
Generación de Mínima entropía [17] utilizado previamente, con la diferencia que ahora se
incluye el calor por efecto Thomson [5] en las ecuaciones de la producción de entropía.
Kelvin supuso que los efectos irreversibles podían ser ignorados en base a que parecían ser
independientes de los efectos reversibles Peltier, Seebeck y Thomson. Considerando la
transferencia puramente reversible de unidad de carga eléctrica a través de un circuito
termoeléctrico, Kelvin igualó a cero la suma de todos los cambios de entropía y dedujo
relaciones que se han comprobado para algunas situaciones.
Sin embargo, existe controversia actualmente del hecho de que los efectos Seebeck, Peltier
y Thomson están ligados de forma inextricable a los efectos irreversibles [3].
Haciendo uso de la ecuación (3.17) para la razón de generación de entropía a través del
módulo termoeléctrico unidimensional, tenemos
.h cgen
h c
Q QS
T T
(3.43)
Utilizando las ecuaciones de conducción de calor previamente establecidas para este
modelo unidimensional tenemos que
2 2 3
2 1 1( )
2 2 12
h cgen
c h c h c h c h
I T RI T RI TS I K T
T T T T T T K T T
(3.44)
68
donde el tercer término de (3.44) es la nueva aportación del calor por efecto Thomson a la
entropía
Sin embargo, de acuerdo al método de generación de mínima entropía, existe un calor
llamado de desecho, que se define como e cQ Q Q
, y que, si se adiciona en la
expresión anterior, se tiene un término más que contribuye a la generación de entropía
2 2 2 3
( )2 2 12
h cgen e
c h c h c h c h h c
K T I T RI T RI T TS I Q
T T T T T T KT T T T
(3.45)
2 2 2 3
( ) ( ) .2 2 12
h cgen c
c h c h c h c h h c
K T I T RI T RI T TS I Q Q
T T T T T T KT T T T
(3.46)
Si dividimos entre .
/ h cQ T T T , desarrollamos y agrupamos términos se obtiene finalmente
que
2 3
* ( ) 2 3 11 ,
22 6
h c c
c h c h cgen
IT T T T T IK T I T RI RIS
TQ T Q Q Q K Q Q
(3.47)
la cual es conocida como razón de generación de entropía adimensional. Notamos, a
diferencia del análisis anterior del modulo termoeléctrico de dos etapas, que aparece un
término proporcional al coeficiente Thomson. Por consiguiente, se tiene una expresión que
agrega un mecanismo más de transferencia de calor a la ecuación de generación de
entropía, a saber, el calor por efecto Thomson, y que además contribuye a la generación de
entropía, a pesar de que en la teoría éste último calor se considera como un efecto
reversible. Sin embargo, notamos que está presente dos veces en la ecuación (3.47). Por lo
tanto, se establece como un término que contribuye a generar entropía, aumentando el
coeficiente de rendimiento pero incrementando en valor el punto de mínima entropía [4].
69
3.4 CONCLUSIONES
Se comprobó que en la última ecuación de generación de entropía (3.29), y la más general
en el modelo de dos etapas, aparece el calor por efecto Peltier como uno de los mecanismos
que tienden a reducir la entropía a medida que éste tenga valores comparables con los
mecanismos de flujo de calor por efecto Joule y Fourier. Además, para el modelo
unidimensional de una etapa se observa que en la ecuación de generación de entropía
aparece el calor por efecto Thomson como contribución a la producción de entropía, esto
puede estar relacionado con la opinión de algunos autores de que existe una dependencia
entre los efectos irreversibles Joule y Fourier y los tres efectos reversibles Peltier, Seebeck
y Thomson[3].
70
CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Utilizando las ecuaciones de producción de mínima entropía y del coeficiente de rendimiento en dispositivos termoeléctricos previamente establecidas en el capítulo III, se reportan resultados y conclusiones finales, las cuales esperamos que sean útiles para futuras consultas relacionadas con el tema.
71
4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS
Las propiedades termoeléctricas de los semiconductores en cada una de las etapas se
establecen como sigue: 37.7 10R x , 35.6 10 /k x W K , 43.6 10 /x V K , 2 248cT K , 1 308hT K ,
1 1 1 2 2 2( ) / ( ) / 0.5h c h ck T T q k T T q
, definidos estos dos últimos términos como las
fracciones de calor que se absorben de la fuente en relación al calor por efecto Fourier.
También consideramos tres valores diferentes de temperatura 1cT , establecidos de forma
experimental según el rango de temperatura T máximo al que pueden ser operados los
materiales semiconductores de acuerdo al número “n” de termopares: 1( 3) 281 ,cT n K
1( 4) 269 ,cT n K 1( 5) 261cT n K y finalmente 2,max 11.59I A .
4.1.1 PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE
GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-
EXTERNAMENTE REVERSIBLE.
Si la corriente eléctrica de la segunda etapa 2,maxI se mantiene fija, entonces la variación de
la corriente eléctrica 1I da lugar a la razón de generación de entropía en el dispositivo
termoeléctrico completo cuando se emplea la ecuación (3.19), obteniéndose tres curvas de
razón de generación de entropía cuando se hacen variaciones en el número n de
termopares.
Figura 28. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica, el
número n de termopres y considerando el calor por efecto Peltier.
72
Analizando la Figura 28, la cual es generada con el programa MathLab versión 2007, se
identifica que mientras más grande es n , el punto mínimo de razón de generación de
entropía adquiere un valor cada vez menor, y al mismo tiempo las respectivas corrientes de
operación en estos puntos mínimos se ven disminuidas en valor. Cabe señalar también,
que en el valor cero de corriente las tres curvas tienen valores diferentes de razón de
generación de entropía, esto debido a que la ecuación (3.19) contiene dos términos; uno que
depende de n , y otro de 2I . Otra de las características importantes de estas curvas, y que
también se percibe como un comportamiento general en las gráficas posteriores, es la tasa
de crecimiento en la pendiente, a saber: a medida que se adicionan termopares al modulo
termoeléctrico se incrementa el ángulo de la pendiente en cada curva con diferente “n”. En
esta figura los mínimos de entropía con sus respectivos valores de corriente de operación
ofrecen la posibilidad de operar el dispositivo termoeléctrico con el mayor
aprovechamiento de la energía que se le suministra. Sin embargo, para generar esta figura
no se ha tenido en cuenta otro mecanismo de disipación de calor, y por lo tanto de
generación de entropía.
Figura 29. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica y el
número n de termopares.
Un comportamiento similar como en la Figura 28 se ve en la Figura 29, que también se
realizó con el programa MathLab versión 2007, sólo que en esta última los valores mínimos
de razón de generación de entropía son aún menores, y además, sus respectivas corrientes
de operación en estos puntos se incrementan debido a que no se toman en cuenta las
posibles irreversibilidades del primer término de la ecuación (3.19).
73
4.1.2 SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE
GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-
EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE.
Como el caso más general, se presenta la Figura 30. donde se utilizó para su reproducción,
además de los ya conocidos mecanismos de transferencia de calor, un mecanismo de
generación de entropía llamado calor externo de desecho que es la causa principal de las
irreversibilidades externas, y además es el principal factor a tomar en cuenta en un análisis
de razón de generación de entropía que se expresa en la ecuación (3.29). Con esta expresión
obtenemos una razón de generación de entropía adimensional para cada configuración con
diferentes termopares. Al analizar las curvas de generación de entropía de las figuras 28 y
29, inmediatamente se nota un comportamiento similar que en la figura 30 obtenida con
MathLab versión 2007. Aunque en esta última, los puntos mínimos de generación de
entropía son muy similares en valor, también van decreciendo en valor a medida que se
agregan termopares, indicando esto último con la flecha horizontal. Además, nótese
también que las corrientes de operación en estos puntos mínimos de generación de entropía
son aún de valores más pequeños comparadas con las corrientes de las gráficas anteriores
en sus puntos mínimos. Estas corrientes han disminuido en valor debido a que se tiene un
nuevo mecanismo de disipación de calor, a saber, calor de desecho que aumenta las
irreversibilidades. Como se menciono anteriormente, los puntos de mínima generación de
entropía se deben tomar en consideración si se quiere que un dispositivo termoeléctrico que
trabaja como refrigerador funcione con el mayor aprovechamiento de energía que se le
suministra.
Figura 30. Curvas de razón de generación de entropía al variar la corriente eléctrica, el
número n de termopares y tomando en consideración el calor de desecho.
74
Es importante hacer notar que la variable n no aparece en la ecuación (3.29), sin embargo,
ésta se encuentra implícita en la temperatura 1cT , la cual irá disminuyendo a medida que se
vayan agregando más termopares. Este resultado se puede corroborar con experiencias de
laboratorio, donde se van adicionando termopares, detectándose una disminución en la
diferencia de temperaturas entre el lado frío y el lado caliente, T . Si se quiere expresar
esta experiencia de laboratorio de una manera más general entonces escribimos
( ) 0nlím T n
(4.1)
la cual nos indica directamente que al agregar demasiados termopares, la diferencia de
temperaturas es casi nula, y por consiguiente, no habría transporte de calor ni generación de
entropía por la tendencia a igualarse en valor las temperaturas de los extremos. Esto
último explica las causas en la disminución de la entropía en las tres gráficas anteriores.
4.2 RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL
4.2.1 ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA UN
REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE.
Usando la ecuación (3.31) y la condición extremal
. / 0B CALOR I , (4.2)
encontramos la corriente en la que el COP es máximo. La ecuación resultante es una
ecuación trascendental. Sin embargo, para el caso interesante en el que 1,2 1,2/ 1,I K y
usando el hecho de que para un material dado, cuando la razón del cociente de longitudes al
cociente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por
1 2 1 2 1 1 2 2( / ) / ( / ) / ,L L A A k k entonces el producto RK mínimo esta dado por
2
min 1 1 2 2( ) /RK k k .
Entonces la ecuación (3.45) puede ser escrita como
2 3
2 1. 2
2 1
( / ) / ( ) / 2 / 2 /12
( / ) ( ) /
h c c c
hB CALOR h c c
h c
T i T Z Ti i Zi
T T i Ti i
(4.3)
75
que es el coeficiente de rendimiento cuando operamos el dispositivo como bomba de calor,
y cuando es utilizado como refrigerador, tenemos
2 3
. 2
2 1
/ / 2 / 2 /12
( / ) ( ) /
c c
cREF h c c
h c
T i T Z Ti i Zi
T T i Ti i
(4.4)
donde /cI i R y 2( ) /cZ KR .
Cuando se usan los materiales 2 3 2 3Bi Te Bi Se 90 10% y 2 3 2 3Bi Te Sb Se 25 75% se usan
como elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4].
La figura 31, obtenida con el programa Wolfram Mathematica versión 6, muestra el
comportamiento del coeficiente de rendimiento de la bomba de calor .B CALOR en función de
la corriente reducida i , cuando 310hT K y 290cT K , mientras que la figura 32 se
obtiene cuando las temperaturas son 296hT K y 273cT K . Nótese que cuando se tiene
un máximo en el coeficiente de operación, éste nos indica que el dispositivo termoeléctrico
está utilizando la máxima cantidad de energía que se le suministra ya sea para calentar un
espacio frío, o para absorber calor de un espacio refrigerado.
Figura 31. El coeficiente de desempeño .B CALOR vs. Corriente reducida i (K). La línea roja
y la línea azul corresponden a 0 y 56.7 10 /V K , cuando las
temperaturas de operación son: 310hT K y 290cT K [5].
76
Figura 32. El coeficiente de desempeño .B CALOR vs. corriente reducida i (K). La línea roja
y la línea azul corresponden a 0 y 56.7 10 /V K . Esto cuando las temperaturas
de operación son: 296hT K y 273cT K [5].
Nótese que la influencia del efecto Thomson sobre el máximo coeficiente .B CALOR con las
temperaturas dadas es alrededor del 2% para la figura 31. Empero, cuando son cambiadas
las temperaturas de operación se obtiene la figura 32, obtenida con el programa Wolfram
Mathematica versión 6 en la cual se observa una disminución en el coeficiente de
rendimiento al considerarse los dos casos: cuando se considera el coeficiente Thomson y
cuando se omite.
77
Figura 33. El coeficiente de desempeño REF vs. Corriente reducida i (K). La línea roja y
la línea azul corresponden a 0 y 56.7 10 /V K , con temperaturas de operación:
310hT K y 290cT K [5].
Para obtener la figura 33 hacemos uso de la ecuación (4.4) y del programa Mathematica,
donde se expresa el coeficiente de rendimiento para un refrigerador REF en función de la
corriente reducida cuando las temperaturas de operación son: 310hT K y 290cT K . Al
observar la figura 33 notamos que apenas hay un cambio perceptible en el coeficiente de
rendimiento al tomar en cuenta el calor por efecto Thomson. Al ser comparada esta gráfica
con la 31, se nota inmediatamente la diferencia en el valor del coeficiente de rendimiento
de una bomba de calor y de un refrigerador, siendo este último menor al operar entre los
mismos límites de temperatura.
Obsérvese ahora la figura 34, obtenida con el programa Wolfram Mathematica versión 6,
cuando disminuyen las temperaturas de operación sin haber un cambio en la diferencia de
temperaturas T , que se sigue manteniendo con un valor fijo. Lo que se nota es una
disminución en el coeficiente máximo de operación en relación a la figura 33 para el
dispositivo termoeléctrico. La causa principal en la disminución del coeficiente de
operación es que se trabajo con una razón máxima de rechazo de calor en el lado caliente y
no con la razón máxima de calor extraído del espacio refrigerado.
78
Figura 34. El coeficiente de desempeño REF vs. Corriente reducida i(K). La línea roja y
la línea azul corresponden a 0 y 56.7 10 /V K , con temperaturas de operación:
300hT K y 280cT K [5].
4.2.2 ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO
UNIDIMENSIONAL.
Utilizando la ecuación (3.47) junto con /cI i R y 2( ) /cZ KR
se deduce una forma
final para la generación de entropía
2.
*
. . . .
( ) 2 3 11 . ...
22
h c
c h c hgen
cc
T T ZKi T TK T TZKi ZKiS
TQ T Q QQ
3
. .
6
c
cZKT iKZi
K QR Q
(4.5)
Con la ecuación anterior se obtiene la Figura 35, la cual muestra el comportamiento de las
curvas de razón de generación de entropía en función de la corriente reducida cuando es
considerado el efecto Thomson y cuando tiene un valor nulo.
79
Figura 35. La generación de entropía .*
genS vs. Corriente reducida. La línea roja y
la línea azul corresponden a 0 y 56.7 10 /V K .
Al observar detenidamente nuestra gráfica anterior, generada con la ecuación (4.5) y el
programa Wolfram Mathematica versión 6, podemos observar directamente que al ser
agregado un mecanismo más de transferencia de calor (en este caso el efecto Thomson) el
valor de generación de mínima entropía se incrementa de valor (línea azul) comparado con
el de generación de entropía al ser omitido el efecto Thomson. El resultado anterior implica
que si se toma en cuenta el calor por efecto Thomson, entonces habrá más irreversibilidades
presentes en el dispositivo termoeléctrico, y por esta razón se aprovecharía menor cantidad
de energía disponible que si no fuese considerado. Concluimos entonces que el calor por
efecto Thomson debe ser tomado en cuenta tanto en el coeficiente de desempeño como en
el análisis de generación de entropía para así elegir cuál de los dos criterios conviene
utilizar en el desempeño de ésta clase de dispositivos termoeléctricos.
80
4.3 CONCLUSIONES
Al haber hecho uso de la termodinámica de procesos irreversibles, se estudiaron los efectos
internos-externos de absorción, expulsión y disipación de calor que tienen lugar en un
modulo termoeléctrico de dos etapas, los cuales al ser tomados en cuenta en las ecuaciones
de generación de entropía, permiten hacer distinción de la degradación de la energía en las
curvas de entropía durante el fenómeno de enfriamiento por efecto Peltier. Al haber sido
aplicado también el método (MGE) a un modulo termoeléctrico de una etapa y
unidimensional, se obtuvieron las curvas de generación de entropía descritas a partir de la
adición y omisión del calor por efecto Thomson, el cual tiene una influencia directa en el
valor o punto de mínima entropía, siendo este último de valor menor cuando el calor por
efecto Thomson es omitido. Al mismo tiempo se obtienen incrementos perceptibles en los
coeficientes de rendimiento del refrigerador y de una bomba de calor al ser considerado el
efecto Thomson.
CONCLUSIONES GENERALES
Cada vez que se hacen estudios relacionados con el ahorro de energía, se pretende
disminuir al máximo la energía que se disipa y pierde. En la mayoría de las veces se
pretende implementar procesos que impidan al máximo estas pérdidas, y que logren
elevados rendimientos. Considerando lo anterior, nuestro estudio ha tenido un enfoque
concerniente a la degradación de la energía, y por lo tanto al estudio de la producción de
entropía, la cual es esencial en una época en donde surge la necesidad del ahorro de energía
y de implementar energías alternativas menos nocivas al medio ambiente que los
combustibles fósiles actualmente utilizados en gran porcentaje.
TRABAJO A FUTURO
Durante el desarrollo de este trabajo se tomó en cuenta un punto de vista macroscópico, es
decir, partiendo de los postulados de la termodinámica irreversible, la cual hace énfasis en
las propiedades físicas macroscópicas de los sistemas termodinámicos. No obstante, se
pretende tomar este análisis como base para extenderlo a un nivel microscópico utilizando
la física de estado sólido.
81
BIBLIOGRAFÍA
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nd ed. John Wiley and Sons,
New York, 1985.
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leak, J. Fluid Mech. 1995,19 , 377-389.
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Mechanical Engineering 2005 Northeastern University.
20. Thermoelectric effect-Wikipedia, the free encyclopedia.
82
TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS CON SOFTWARE
Gráfica o número
de figura
Número de
ecuación
Variables
graficadas
Software utilizado
28 3.19 ( )I A vs
.
( / )S W K MathLab 2007
29
3.21 ( )I A vs
.
( / )S W K MathLab 2007
30
3.29 ( )I A vs
*.
( / )S W K MathLab 2007
31
4.3 ( )i K vs .B CALOR Wolfram
Mathematica 6
32
4.3 i (K)vs .B CALOR Wolfram
Mathematica 6
33
4.4 i (K) vs .REF Wolfram
Mathematica 6
34
4.4 i (K) vs .REF Wolfram
Mathematica 6
35 4.5 i (K) vs
*.
S Wolfram
Mathematica 6
83
CONGRESOS Y PUBLICACIONES
84
REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA
M. Lindero
a, M. A. Olivares-Robles
b
a Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, ESIME-Culhuacan, IPN, Av. Santa Ana No
1000, Culhuacan, 04430 Mexico D.F., [email protected]. b Sección de Estudios de
Posgrado e Investigación, ESIME-Culhuacan, IPN, Av. Santa Ana No 1000, Culhuacan, 04430 Mexico D.F., [email protected] RESUMEN
En este trabajo estudiamos los efectos termoeléctricos en el marco de la termodinámica irreversible. Nuestro objetivo es evaluar el desempeño de dispositivos empleados para la refrigeración termoeléctrica, haciendo uso de las ecuaciones diferenciales que gobiernan la distribución de temperatura en su interior. Además de identificar los parámetros importantes que intervienen directamente en su desempeño, hacemos énfasis también en el tipo de materiales semiconductores más utilizados actualmente para el incremento en su desempeño. 1. INTRODUCCIÓN
En este trabajo presentamos un análisis cuantitativo de los distintos efectos termoeléctricos que intervienen directamente en el desempeño de nuestros dispositivos de refrigeración termoeléctrica estudiando su comportamiento de acuerdo con los principios fundamentales de la termoelectricidad y de la termodinámica de procesos irreversibles [1-3]. 3. MARCO TERMODINÁMICO
El desempeño de un dispositivo termoeléctrico usado como refrigerador o bomba de calor es afectado principalmente por los efectos Peltier, Fourier, Joule y Thomson. La refrigeración termoeléctrica está basada por el efecto Peltier. Al mismo tiempo están presentes los otros efectos termoeléctricos anteriormente mencionados. De acuerdo a la termodinámica fuera de equilibrio
[1,3] cuando se establece un flujo de densidad de corriente eléctrica J a través del material
semiconductor ubicado en un gradiente de temperatura, tenemos,
( )U
JJ T TJ J
(1)
donde UJ es la densidad de corriente de energía en el interior del material semiconductor a
una temperatura T , es el coeficiente Seebeck, es la conductividad térmica y la
conductividad eléctrica. Aquí , depende del material y de la temperatura T [4] mientras
que y dependen del material y de la geometría del semiconductor.
85
2. MODELO
En nuestro análisis del dispositivo termoeléctrico, empleado en la refrigeración termoeléctrica, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 1, propuesto por otros autores [5]. El modelo está compuesto por una pareja de materiales semiconductores tipo P y N, conectados
eléctricamente en serie y térmicamente en paralelo. Cuando una corriente eléctrica fluye a través
de nuestro circuito, el calor liberado y de entrada al operar entre dos reservorios a hT y cT son hQ
en la parte superior, y cQ en la parte inferior, respectivamente. Cuando este dispositivo es utilizado
como un refrigerador termoeléctrico, el reservorio a cT es el espacio enfriado y el calor absorbido
es cQ . 1T y 2T son las temperaturas dentro de los elementos tipo N y P, respectivamente y son
funciones de la posición x . E es la fem de la batería externa y proporciona la corriente I al
circuito.
Figure 1
Suponemos que la construcción de los semiconductores es homogénea. y son constants.
Designando a L como la longitud del material, S es el área de sección transversal y como el
coeficiente Thomson [1], las cantidaes físicas anteriores tendrán subíndice 1 para el material tipo
N y 2 para el material tipo P, e.g. 1 coeficiente Seebeck del material tipo N, 2 coeficiente
Thomson del material tipo P, etc. A partir de la ecuación (1), las ecuaciones para la conducción de calor en el interior de los semiconductores tipo n y p, respectivamente, están dadas por
2 2
1 1 11 1 1 12
1
0, 0d T dT R I
K L I x Ldx dx L
(2)
2 2
2 2 22 2 2 22
2
0, 0d T dT R I
K L I x Ldx dx L
(3)
86
con condiciones de frontera,
1 2(0) (0) ,cT T T (4)
1 1 2 2( ) ( ) ,hT L T L T (5)
las ecuaciones para el flujo de calor son
2 2
1 22 1 1 1 2 22 2
( )c c
c c
d T d TQ T I K L K L
dx dx (6)
2 2
1 22 1 1 1 2 22 2
( )h h
h h
d T d TQ T I K L K L
dx dx (7)
donde 1 1 1 1/ ,K S L 2 2 2 2/ ,K S L 1 1 1 1/R L S y 2 2 2 2/R L S son las conductividades
térmicas y resistencias eléctricas. El coeficiente Thomson es ( / )T d dT ; cuando es
constante, no hay efecto del calor de Thomson sobre el desempeño.
COEFICIENTE DE DESEMPEÑO (COP)
Resolviendo las ecuaciones (2)-(5), encontramos que para las distribuciones de la temperatura,
1
1 1
1 11 1 1(1 ),0 ,
1
x
c L
T A LT T A x e x L
e
(8)
2
2 2
2 22 2 2(1 ),0 ,
1
x
c L
T A LT T A x e x L
e
(9)
donde / ( )I K L , / ( )A RI L y h cT T T . Sustituyendo (8) y (9) en las
ecuaciones para los flujos de calor, obtenemos expresiones explicitas para los flujos de
calor
* * * * 2
1 2 1 2( ) ( ) ,c
c cQ T I K K T R R I (10)
* * * * 2
1 2 2 1 1 2 1 2( ) ( ) [ ( )] ,h
h hQ T I K K T TI R R R R I (11)
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donde 2 1 ,h h h 2 1 ,c c c 1 1*
1 1 / (1 ),LK I e 2 2*
2 2 / ( 1),LK I e
1 1*
1 1 1 11/ [1 ] 1/ ( ) ,LR R e L
y 2 2*
2 2 2 21/ ( ) 1/ [ 1] .LR R L e
Finalmente, de las ecuaciones (10) y (11) tenemos para el COP,
* * * * 2
1 2 2 1 1 2 1 2
2
2 1 1 2
( ) ( ) [ ( )]
( ) ( ) ( )
h
h h
h c
h c h c
Q T I K K T TI R R R R I
Q Q T T I TI R R I
(12)
3. RESULTADOS
Usando la ecuación (12) y la condición extremal
/ 0I , (13)
encontramos la corriente en la que el COP es máximo. La ecuación resultante es una ecuación
trascedental. Sin embargo para el caso interesante en el que 1,2 1,2/ 1,I K y usando el hecho de
que para un material dado, cuando la razón del cociente de longitudes al cociente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por
1 2 1 2 1 1 2 2( / ) / ( / ) / ,L L S S entonces el producto RK mínimo esta dado por
2
min 1 1 2 2( ) /RK , la ecuación (12) puede ser escrita como,
2 3
2 1
2
2 1
( / ) / ( ) / 2 / 2 /12
( / ) ( ) /
h c c c
h
h c c
h c
T i T Z Ti i Zi
T T i Ti i
(14)
donde /cI i R y 2( ) /cZ KR .
Cuando los materiales 2 3 2 3Bi Te Bi Se 90 10% y 2 3 2 3Bi Te Sb Se 25 75% se usan como
elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4]. La figura 2 muestra el comportamiento del COP en función de la corriente reducida. Nótese que la influencia del efecto Thomson sobre el máximo COP es alrededor del 2%.
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Fig. 2. El coeficiente de desempeño, , vs. Corriente reducida. La línea discontinua y
la línea sólida corresponden a 0 y 56.7 10 /V K .
4. CONCLUSIONES
En este trabajo, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el campo de temperatura dentro del dispositivo operado entre dos reservorios son establecidas usando termodinámica fuera de equilibrio. Se muestran las expresiones para el COP, ecs (12) y (14) del dispositivo termoeléctrico. Además, reproducimos el comportamiento del COP en función de la corriente y mostrando que la influencia del calor de Thomson en el COP máximo es alrededor del 2% con respecto al caso en el que se desprecia dicho calor.
BIBLIOGRAFÍA
1. Callen, H.B., Thermodynamics and an introduction to Thermostatics, 2nd
ed. John Wiley and Sons, New York, 1985. 2. Bejan, A., Advanced Engineering Thermodynamics. John Wiley and Sons, New York, 1988 3. Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamics, 5 ed. McGraw-Hill, New York, 1968. 4. Lampinen, M.J., Journal of Applied Physics, 1991, 69, 4318. 5. Chen, J., Yan, Z., Wu, L., Energy, 1997, 22, 979.
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Dear Colleagues, On behalf of the Organizing Committee it is my pleasure to inform you that the abstract entitled “Conjugate heat transfer and entropy generation optimization of MHD flow in a microchannel” has been accepted for poster presentation in the forthcoming 5th International Workshop on Nonequilibrium Thermodynamics IWNET 2009 to be held in Cuernavaca, Morelos (Mexico) from the 24th to the 30th of August, 2009. Posters should be prepared with a maximum size of A0 paper and in portrait orientation. Lettering should be readable from one meter away. Please do check the contents of your abstract as given below so that the printed book of abstracts contains the least possible errors. We understand that the underlined author will be the one presenting the paper. Should that not be so please let us know immediately. We look forward to seeing you in Cuernavaca. Sincerely, Federico Vázquez Authors: M. A. Olivares Robles[1] and M. Lindero Hernández[1] Affiliations: [1] ESIME-Culhuacán - Instituto Politécnico Nacional, México Title: Entropy Generation in a Semiconductor Thermoelectric Device Abstract: In this work we make use of the Entropy Minimization method to analyze a basic two-stage semiconductor thermoelectric device, which contains one thermocouple in the second stage and several thermocouples in the first stage. Our study focuses on the influence of current of the first stage indicating changes in entropy depending on the number of thermocouples in the second one.
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