bộ đề môn toán số 23 - megabook.vn

1

BỘ ĐỀ MEGABOOK SỐ 23 Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 23 2 3y x x m x m (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C khi 2m .

b) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số C đã cho vuông góc với đường

thẳng : – 2 0d x y .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

2

21 cos2

sin 2cos22sin2

xx x

x

.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 3

1

0

1

3

x xI dx

x

.

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Tìm số phức z thỏa mãn phương trình 1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i .

b) Cho tập hợp A tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được

bao số tự nhiên từ tập A mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng1

34 1:

3 1 2

yx zd

;

2d

là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2 0x y z và : 3 12 0x y . Mặt phẳng Oyz cắt hai

đường thẳng 1d ,

2d lần lượt tại các điểm ,A B . Tính diện tích tam giác MAB , biết 1;2;3M .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BD a . Trên cạnh

AB lấy điểm M sao cho 2BM AM . Biết rằng hai mặt phẳng SAC và SDM cùng vuông góc với

mặt phẳng ABCD và mặt bên SAB tạo với mặt đáy một góc 060 . Tính thể tích của khối chóp

.S ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng OM và SA .

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn 2 2: 2 6 15 0S x y x y ngoại

tiếp tam giác ABC có 4;7A . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết 4;5H là trực tâm của tam giác.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2

32 3

4 1 2

12 10 2 2 1

x x y y

y y x

,x y .

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương , ,x y z bất kỳ. Chứng minh rằng

11 1

1 1 1

y yx z x z

y z x y z x

.

..................HẾT..................

http://megabook.vn/

2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.a. Với 2m , hàm số trở thành 3 23 6y x x .

- Tập xác định: D R .

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 2' 3 6y x x ; 0

' 02

xy

x

.

' 0, ;0 2;y x , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2; .

' 0, 0;2y x , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 .

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0; 6CD

x y . Hàm số đạt cực tiểu tại 2; 2CT

x y .

+ Giới hạn: lim ; limx x

y y

.

+ Bảng biến thiên

x 0 2

'y 0 0

y

6

2

- Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 0;6 .

+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn 1;4I làm tâm đối xứng.

+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm 1;2 , 3;6 .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Ta có 2' 3 6 2y x x m .

Tiếp tuyến tại điểm M thuộc C có hệ số góc 223 6 2 3 1 5 5k x x m x m m

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1x .

Suy ra min

5k m tại điểm 1;4 – 4M m

Tiếp tuyến ( 5).1 1 4d m m .

Kết luận: 4m .

Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm hệ

sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

http://megabook.vn/

3

- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm ,A AA x y thuộc đồ thị hàm số y f x là ' Ak f x . Hai đường

thẳng có hệ số góc lần lượt là 1 2,k k vuông góc với nhau khi và chỉ khi 1 2. 1k k .

-Biểu thức 2P a b b . Dấu bằng xảy ra 0a .

Áp dụng cho bài toán :

- Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 22' 3 6 2 3 1 5 5k y x x m x m m . Suy ra hệ số góc tiếp

tiếp nhỏ nhất là 5k m .

- Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng : 2 0d x y có hệ số góc 1dk nên theo tính chất hai đường

thẳng vuông góc ta có phương trình 5 .1 1 4m m .

Bài toán kết thúc.

Bài tập tương tự:

a. Cho hàm số 3 22 1 2y x x m x m . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông góc

với đường thẳng : 2 1d y x . Đáp số: 11

6m .

b. Cho hàm số 1

2 1

xy

x

. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc

đường thẳng : 9 1 0x y . Đáp số: 9 1; 9 7y x y x .

Câu 2. Điều kiện ;2

x k k

.

Phương trình tương đương với 4

2 24cos1 cos 2 2cos 1

4sin cos

xx x

x x

32

2

cos cos 35cos 3 0 5 0

sin sin cos

x xx

x x x (do cos 0x ).

2 2 31cot 5 3 1 tan 0 3tan 2 0 3tan 2tan 1 0

tanx x x x x

x

2tan 1 3tan 3tan 1 0 tan 1 ,4

x x x x x k k

.

Phương trình có nghiệm: ;4

x k k

.

Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ sinxvới cosx ,

tanx với cotx , phân tích nhân tử.


-Sử dụng các công thức biến đổi 2 2 2sin 1 cos ,1 cos2 2cosx x x x thu được phương trình: 3

3cos5cot 3 0

sin

xx

x .

-Do cos 0x không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho 2cos x ta có 2

cos 35 0

sin cos

x

x x .

-Thay 2

2

1 cos 11 tan ,

sincos

xx

x tanxx có phương trình theo ẩn tanx .

- Giải phương trình theo tanx thu được x , kiểm tra điều kiện ta có đáp án.



a. Giải phương trình: 24cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sinx x x x x .

Đáp số: 5 5 2

; 2 ;3 6 18 3

x k x k x k

.

http://megabook.vn/

4

b. Giải phương trình: 21 sin2 2 3 sin 3 2 sin cos 0x x x x .(Thi thử THPT Phan Đăng

Lưu). Đáp số: 7

2 ; 2 ; 2 ; 26 6 3

x k x k x k x k

.

Câu 3. Ta có 3

1 1 1 12

0 0 0 0

27 27 1 27 13 9

3 3 3

x x xI dx x x dx dx dx

x x x

1

1 1 13 2

0 000

1 3 1 47 4 19 27 ln 3 27 ln

3 2 3 6 3 3

x xx x x x dx dx

x x

.

Tính 1

0

1

3

xA dx

x

.

Đặt 21 1 ; 2t x x t dx tdt . Khi 0 1

1 0

x t

x t

.

Suy ra

2 2 20 1 1 1 1

2 2 21 0 0 0 0

4 42 2 2 2 8

2 24 4 4

t t t dtA dt dt dt dt

t tt t t

11

00

1 1 22 2 2 2ln 2 2ln3

2 2 2

tdt

t t t

.

Vậy 59

27 ln4 25ln36

I .

Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số 1t x , tuy nhiên đổi

biến số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử dụng kĩ

thuật phân tích đa thức cơ sở.


- Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có: 3 31 27 27 1x x x x chuyển tích

phân thành 3 tích phân nhỏ.

- Tính 1

2

0

3 9x x sử dụng công thức 1

1

nn xx dx C

n

.

- Tính 1

0

27

3dx

x bằng sử dụng công thức '

lnudu u C

u .

- Tính 1

0

1

3

xA dx

x

bằng phương pháp đổi biến số 1t x .

Tách thành hai tích phân

1 1

0 0

2 82 2

dtdt

t t

. Sử dụng khai triển dạng ln tính được

11

0 0

28 2ln

22 2

dt t

tt t

.



a. Tính tích phân 4 3

21

x x x xI dx

x

. Đáp số:

19ln4

2I .

b. Tính tích phân 6

2

1

2 1 4 1I dx

x x

. Đáp số:

3 1ln

2 12I .

Câu 4.a. Phương trình tương đương với 2 1 2 3 4 4 3 1 7i i z i i z i

http://megabook.vn/

5

5 5 10i z i

2 121

1 2

i iiz i

i

Vậy phương trình có nghiệm: 1z i .

Nhận xét: Bài toán giải số phức cơ bản với các phép biến đổi tương đương.


-Số phức

2 2 2 2 2 2

a bi c dia bi ac bd bc adz ic di c d c d c d

.

-Khai triển biểu thức 1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i được 2

5 5 10 11

ii z i z i

i

.

Lưu ý: Ta có thể đặt z a bi thay vào biểu thức để tìm z .



a. Tìm số phức z x yi thỏa mãn 2 3

2 3 2 1 1 35 50x i y i i . Đáp số: 5 2z i .

b. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 2

2 3 4 1 3i z z i i . Đáp số: 2 5z i .

Câu 4.b. Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là 3

9C . Chọn 2 chữ số còn lại

từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau đây:

Trường hợp 1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị

của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị của các vị trí mà a, a, a

chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả 5!

3. 603! số tự nhiên.

Trường hợp 2. Một trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác

trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số

tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm

chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong trường hợp này có tất cả5!

3. 902!2!

số tự nhiên.

Vậy có 150 số.

Nhận xét: Bài toán tìm số các số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau. Để giải

dạng toán này ta chia các trường hợp cụ thể, sau đó lấy tổng các trường hợp để được đáp án.


-Tìm số cách chọn 3 chữ số phân biệt , ,a b c từ 9 chữ số khác 0. Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó.

- Trường hợp 1: Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số , ,a b c có 3 cách , mỗi hoán vị của 5 chữ số

tạo ra số tụ nhiên n.

- Trường hợp 2 : Một trong 2 chữ số còn lại bằng một trong các chữ số , ,a b c và số còn lại bằng 1 chữ số

khác trong 3 số đó.



a. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ, hỏi có bao nhiêu cách

chọn. Đáp số: 840.

b. Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số đều

phải có mặt số 6. Đáp số: 1630.

Câu 5. Vì ,A B Oyz nên 0A Bx x .

Do 1

A d nên 3 10 4 5 5 5 5

; 0; ;3 1 2 3 3 3 3

A AA A

y zy z A

.

http://megabook.vn/

6

2B d nên

2 0 40;4;2

3 12 0 2B B B

B B

y z yB

y z

.

11 14 11 17

1; ; ; 1;2; 1 ; 13; ;3 3 3 3

MA MB MA MB

.

1 1; 1931

2 6MABS MA MB

(đvdt).

Nhận xét: Để tính diện tích một tam giác trong không gian 3 chiều Oxyz ta lập tọa độ 2 vector hai cạnh

kề nhau rồi sử dụng công thức tính diện tích. Với bài toán ta tìm các đỉnh , ,M A Bvới giải phương trình

cơ bản.


- Diện tích tam giác MNP trong hệ trục tọa độ Oxyz cho bởi công thức :1

.2MNPS MN MP

.

- Mặt phẳng Oyz có phương trình 0x . Thay hoành độ các điểm ,A B vào phương trình

1 2,d d tính được ,A B .

- Tính vector , ;MA MB MA MB

.

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác 1

;2MABS MA MB

.



a. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1;5;0 , 3;3;6A B và đường thẳng 11

:2 1 2

yx zd

.

Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.

Đáp số: 1;0;2M .

b. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm 0;1;3A và đường thẳng

1

: 2 2

3

x t

d y t

z

. Hãy tìm các điểm

,B C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC đều.

Đáp số:

6 3 8 2 3 6 3 8 2 3; ; 3 , ; ; 3

5 5 5 5

6 3 8 2 3 6 3 8 2 3; ; 3 , ; ; 3

5 5 5 5

B C

B C

.

Câu 6. Gọi H AC DM vì SAC ABCD , SDM ABCD , suy ra SH ABCD .

Từ H kẻ HK ⊥ AB SK AB , suy ra là góc giữa hai mặt phẳng 060SKH là góc giữa hai mặt phẳng

SAB và ABCD .

Do 1 1

/ /3 4 2

HA AM AOAM CD AH AC

HC CD .

Mà ABD đều, AO là đường cao.

Suy ra 03 3 1 3 3.sin . .tan60

4 4 2 8 8

a a a aAH HK AH HAK SH HK .

http://megabook.vn/

7

Vậy 3 3

.

1 1 3 3 3. . .

3 3 8 2 16S ABCD ABCD

a a aV SH S

Ta có .

cos ;OM HA

AM SAOM SA

.

Mà 2 01. . . . .cos30

2OMSA OA AM SH HA AO AH AM AH AO AM AH

221 3 3 3

. .2 2 3 4 2 4

a a a a

.

Vậy

2

124cos ;13 21 273

6 8

a

OM SAa a

.

Nhận xét: Yếu tố hình học lớp 11 về góc giữa hai mặt phẳng , tính chất hai mặt phẳng vuông góc với mặt

phẳng khác được khai thác triệt để trong bài toán.


-Hai mặt phẳng ; cùng vuông góc với mặt phẳng d .

- Gọi H AC DM SH ABCD .

-Dựng góc tạo bởi ,SAB ABCD :Kẻ 060HK AB SKH .

- Tính thể tích khối chóp:Tính SH ,áp dụng công thức tính thể tích khối chóp .

1.

3S ABCD ABCDV SH S .

- Tính cosin giữa hai đường thẳng ,OM SA :Sử dụng phương pháp vector .

cos ;.

OM HAAM SA

OM SA .

Mặt khác . cos ;OMSA OA AM SH HA OM SA .



a. Cho hình chóp .S ABC có , 2SA SB SC CA CB a AB a . Tính thể tích khối chóp .S ABC

và cosin góc giữa hai măt phẳng ,SAC SBC . Đáp số: 3

.

2

12S ABC

aV (đvtt) và

1

cosin ,3

SAC SBC .

b. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt

phẳng ,ABC SC a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng SCB và ABC trong trường hợp thể

tích khối chóp 3

.9 3

S ABC

aV . Đáp số:

1, arcsin

3SCB ABC .

Câu 7. Gọi ' 2; 1A là điểm đối xứng với A qua tâm 1;3I của S .

Khi đó / / , ’' / /A C BH A B CH 'A BHC là hình bình hành.

Gọi M là giao điểm của BC với ’ 2;1A H M .

Suy ra đường thẳng qua M vuông góc với 0; 2AH là đường thẳng BC có

phương trình – 2 0y .

http://megabook.vn/

8

Giao điểm của đường thẳng 2y với đường tròn S là hai điểm ,B C có tọa độ là nghiệm của hệ

phương trình 2 2 2

22 2

1 2 62 6 15 0 2 23 0

1 2 6

yy y

xx y x y x x

x

.

Vậy 1 2 6;2B và 1 2 6;2C .

Nhận xét: Để giải bài toán ta cần chú ý tới tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác, trực tâm của tam

giác.


-Đường tròn S ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I là giao của 3 đường trung trực nên IA IB IC .

-Phương trình tổng quát đường thẳng d qua ;M a b nhận 2 2; 0n làm một vector pháp

tuyến: 0x a y b .

-Tính chất song song với các trục ,Ox Oy .

Áp dụng cho bài toán:

- Gọi 'A là điểm đối xứng của Aqua tâm 'I A . Ta có ' / / , ' / / 'A C BH A B CH A BHC là hình bình

hành. --Gọi 'M BC A H M . Vector AH vuông góc với vector chỉ phương của BC hay BC nhận

AH làm một vector pháp tuyến, suy ra phương trình BC .

-Tọa độ các điểm ,B C là nghiệm của hệ phương trình

,

,

B C BC

B C S

.

Lưu ý: Từ vector 0;2AH ta dẫn tới phương trình BC .



a. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết 1;0 , 0;2A B và

giao điểm của hai đường chéo là I thuộc đường thẳng y x . Tìm tọa độ đỉnh ,C D .

Đáp số: 5 8 8 2

; , ;3 3 3 3

C D

hoặc 1;0 , 0; 2C D .

b. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường phân giác từ A , trung tuyến từ B ,

đường cao kẻ từ C phương trình lần lượt là 3 0; 1 0;2 1 0x y x y x y . Tìm tọa độ các

đỉnh tam giác. Đáp số: 12 39 32 49 8 6

; , ; , ;17 17 17 17 17 17

A B C

.

Câu 8. Phương trình thứ nhất tương đương với 22 4 2 4 2x x y y .

http://megabook.vn/

9

Xét hàm số 2 4y f t t t trên .

Ta có 2

2 2 2

4' 1 ,

4 4 4

t tt t tf t o t

t t t

, suy ra f t là đồng biến trên ℝ.

Nhận thấy 2 2f x f y x y là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thế 2x y vào phương trình thứ hai, ta được

33 32 3 3 33 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1x x x x x x x .

Xét hàm số 3 2y g s s s trên .

Ta có 2' 3 2 0,g s s s , suy ra g s là đồng biến trên ℝ.

Nhận thấy 3 33 31 1 1 1g x g x x x là nghiệm duy nhất của phương trình.

3 3 2 1 21 1 3 3 0

0 0

x yx x x x

x y

.

Hệ phương trình có nghiệm: 1;2 , 0;0 .

Nhận xét: Phương pháp dùng hàm đặc trưng tìm ra mối quan hệ giữa ,x y giải hệ phương trình.


-Hàm số f x đồng biến(nghịch biến ) trên D f u f v u v .

- Sử dụng nhân liên hợp phương trình thứ nhất của hệ. Nhận thấy cùng dạng 2 4t t . Xét hàm số

2 4;f t t t t R . Ta có hàm f t đồng biến trên R nên 2 2f x f y x y .

- Thay vào phương trình thứ hai suy ra phương trình 32 33 5 2 2 1x x x . Tới đây thêm bớt ra hàm

đặc trưng với hàm 3 2g s s s đồng biến trên R .

Giải phương trình vô tỉ cơ bản ta được nghiệm của hệ.


a. Giải phương trình 22 1 1x x x x x . Đáp số: 1 33

1;16

x x

.

b. Giải hệ phương trình

2

2 2 2 23

4 1 4 3

1 2 1 6 17

x y x y y x

x y x x y

. Đáp số: ; 0;1 , 1;2 , 3;0x y .

c. Giải hệ phương trình 2 2

2

1 1 1

35

121

x x y y

yy

x

. Đáp số: 5 5 5 5

; ; , ;3 3 4 4

x y

.

Câu 9. Bất đẳng thức tương đương 11 1

0 01 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)

y y y x z yx x z z x z

y y z z x x y y z z x x

Giả sử max , ,x x y z .

Nếu y z thì 1 1

x y x y

x x y y

và

1 1

y z y z

x x z z

.

Suy ra

01 1 1 1 1 1

x y y z y x z yx z x z

x x y y z z y y z z x x

(điều phải chứng minh).

Nếu y z thì 1 1

z y z y

z z y y

và

1 1

x z x z

x x y y

.

http://megabook.vn/

10

Suy ra

01 1 1 1 1 1

z y x y y x z yx z x z

z z x x y y y y z z x x

(điều phải chứng minh).

Nhận xét: Bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng các phép so sánh của tập số thực R .


- Biến đổi bất đẳng thức đã cho, phân tích ta được

01 1 1

y x z y x z

y y z z x x

.

Giả sử ax , ,x m x y z .

+ Nếu

,1 1 1 1

x y x y y z y zy z

x x y y x x z z

(Sử dụng phép so sánh cơ bản).

+ Nếu y z ta có

,1 1 1 1 1 1 1

z y z y z y x yx z x z x z

z z y y x x y y z z x x y y

. Chuyển vế ta có

0

1 1 1

y x z y x z

y y z z x x

.



a. Cho các số , ,x y zkhông âm. Chứng minh rằng 3

2 9 7x y z xyz x y z xy yz zx

(England-1999).

b. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng a b c a b c

a b b c c a b c c a a b

.

..................HẾT..................

Megabook chúc các em học tốt

Các em có thể xem thêm rất nhiều bộ đề thi hay tại Megabook.vn

http://megabook.vn/

bộ đề môn toán số 23 - megabook.vn

Education