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BOITE A OUTILS

3ème

2014/2015

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COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT

PARALLELES ?

1) En utilisant les propriétés vues en 6ème

Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles On sait que ( D ) // ( D' ) et on sait que ( d ) // ( D ) donc ( d ) // ( D' )

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

on sait que ( D ) ( D' )

et on sait que( d ) ( D' ) donc ( d ) // ( D )

2) En utilisant la propriété sur la symétrie centrale

Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles On sait que la droite (d') est la symétrique par rapport au point O de la droite (d) donc (d') // (d)

3) En utilisant la définition d’un parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 à 2 On sait que ABCD est un parallélogramme donc (AB) et (DC) sont parallèles, et (AD) et (BC) aussi

4) En utilisant les propriétés des angles alternes internes ou correspondants

Si deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante (D) forment deux angles alternes internes de même mesure alors (d) et (d’) sont parallèles.

On sait que les droites (xy ) et (uv) sont coupées par la sécante ( zt ) On sait que les angles alternes internes yAz et uBt sont de même mesure donc les droites (xy) et ( uv ) sont parallèles

Si deux droites (d ) et (d’) coupées par une sécante (D) forment deux angles correspondants de même mesure alors (d) et (d’) sont parallèles.

On sait que les droites (xy ) et ( uv ) sont coupées par la sécante ( zt ) On sait que les angles correspondants xAz et uBz sont de même mesure donc les droites (xy) et (uv ) sont parallèles

(D)

(D’)

(d)

(D)

(D’)

(d)

B

A

C

D

(d')

(d)

O

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5) En utilisant le théorème de la droite des milieux dans un triangle

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés du triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle

6) En utilisant la réciproque du théorème de Thales

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d) distincts de A Soient C et N deux points de (d') distincts de A

Si = et alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles

Si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre

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COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT

PERPENDICULAIRES ?

1) En utilisant la propriété vue en 6ème

Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l'autre. ( 6ème )

On sait que (D) // (D') et on sait que (d) (D)

donc (d) (D' )

2) En utilisant la définition de la médiatrice

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu On sait que (D) est la médiatrice du segment [AB ] donc (D) est perpendiculaire à la droite (AB)

3) En utilisant la définition d’un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit

4) En utilisant la définition d’un rectangle (ou carré)

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits

5) En utilisant une propriété sur les diagonales d'un losange (ou carré)

Si un quadrilatère est un losange alors il a ses diagonales perpendiculaires On sait que ABCD est un losange donc les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires

6) En utilisant la définition de la hauteur dans un triangle

Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui perpendiculaire à la droite portant le côté opposé à ce sommet

7) En utilisant les propriétés des symétries axiales et centrales

●Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à une droite sont perpendiculaires ●Si deux droites sont perpendiculaires alors leurs symétriques par rapport à un point sont perpendiculaires

8) En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle

Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC² = AC² + AB²

(D)

(D’) (d)

(D)

B

A

A C

D

B

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9) En utilisant la tangente à un cercle

Soit un cercle(C) de centre O et un point A sur ce cercle

La tangente (t) au cercle(C) en A est la droite passant par A et

perpendiculaire au rayon [OA]

On sait que (t) est la tangente au cercle (C ) de centre O en un point A

donc (OA) est perpendiculaire à (t)

10) En utilisant la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle On sait que (C ) est un cercle de diamètre [AU]

Et I est un point du cercle (C ) Donc le triangle IUA est rectangle en I par conséquent (AI) est perpendiculaire à (IU)

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COMMENT DEMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE ?

1) En utilisant la définition

Si un triangle a un angle droit alors il est rectangle.

2) En utilisant la somme des mesures des angles dans un triangle

Si dans un triangle la somme des mesures des deux angles aigus est égale à 90° alors il est rectangle.

On sait que AZE +AEZ = 37° + 53° = 90° Donc le triangle AZE est rectangle en Z

3) En utilisant la réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle

Si BC² = AC² + AB² alors le triangle ABC est rectangle en A

4) En utilisant la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle On sait que (C ) est un cercle de diamètre [AU]

Et I est un point du cercle (C ) Donc le triangle IUA est rectangle en I

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COMMENT DEMONTRER QU’UN TRIANGLE EST ISOCELE ?


Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur.

2) En utilisant les mesures des angles dans un triangle

Si un triangle a deux angles de même mesure alors il est isocèle.

3) En utilisant les axes de symétrie dans un triangle

Si un triangle a un axe de symétrie alors il est isocèle.

COMMENT DEMONTRER QU’UN TRIANGLE EST

EQUILATERAL ?


Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de la même longueur.

2) En utilisant les mesures des angles dans un triangle

Si un triangle a trois angles de même mesure alors il est équilatéral Si un triangle a deux angles de 60° alors il es équilatéral.

3) En utilisant les axes de symétrie dans un triangle

Si un triangle a trois axes de symétrie alors il est équilatéral.

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COMMENT DEMONTRER QU’UN QUADRILATERE EST UN

PARALLELOGRAMME ?


Un quadrilatère est un parallélogramme qui a les côtés opposés parallèles

2) En utilisant les diagonales

Si un quadrilatère a les diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme.


RECTANGLE ? 1) En utilisant la définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits.

2) En partant d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a les diagonales de même longueur alors c’est un rectangle.

Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.


LOSANGE ? 1) En utilisant la définition

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur


Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange.. Si un parallélogramme a les diagonales perpendiculaires alors c’est un losange.

COMMENT DEMONTRER QU’UN QUADRILATERE EST UN CARRE 1) En utilisant la définition

Un carré est à la fois un rectangle et un losange


Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré.

Si un parallélogramme a les diagonales de même longueur et perpendiculaires alors c’est un carré.

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COMMENT CALCULER UNE LONGUEUR ?

1) En utilisant la définition du milieu d’un segment

Le milieu d’un segment est le point situé sur le segment et équidistant des extrémités de ce segment On sait que M est le milieu de [AB ] donc MA = MB

2) En utilisant les cercles On sait que M est sur un cercle de centre O et de rayon r donc OM = r On sait que[AB] diamètre du cercle de rayon r et de centre O alors O est le milieu de [AB] et AB = 2 r

3) En utilisant une propriété de la médiatrice d’un segment

Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est à égale distance des extrémités de ce segment

On sait que O est sur la médiatrice du segment [AU] donc OA = OU

4) En utilisant les définitions des triangles isocèles ou équilatéraux

Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur

5) En utilisant le cas particulier de la propriété de l’inégalité triangulaire

Si A ; B ; C sont des points alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC On sait que B ϵ [AC] donc AC = AB + BC On calcule 1,5 + 3 = 4,5 donc AC = 4,5 cm

6) En utilisant la définition d’un losange

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur

7) En utilisant une propriété des diagonales d’un rectangle

Si un quadrilatère est un rectangle alors il a ses diagonales de même longueur

8) En utilisant une propriété sur les côtés opposés d’un parallélogramme

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il a ses côtés opposés de même longueur

9) En utilisant des propriétés sur les symétries axiales et centrales

La symétrie axiale conserve la longueur des segments La symétrie centrale conserve la longueur des segments

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10) En utilisant le théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés

Si le triangle ABC est rectangle en A alors BC² = AC² + AB²

11) En utilisant le théorème de Thales Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A

Et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors =

12) En utilisant la trigonométrie

Dans un triangle ABC rectangle en B

Cos =

Sin =

Tan =

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COMMENT TROUVER LA MESURE D’UN ANGLE ?

1) En utilisant les propriétés d’égalités des angles des triangles isocèles, équilatéraux

Si un triangle est isocèle alors il a ses deux angles à la base de même mesure Si un triangle est équilatéral alors il a trois angles de 60 ° chacun

2) En utilisant la définition de la bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure

3) En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle

La somme des mesures des angles dans un triangle est égale à 180 °

4) En utilisant la propriété sur l’égalité des angles des parallélogrammes

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il a ses angles opposés de même mesure 2 à 2

On sait que ABCD est parallélogramme donc ABC = ADC et DAB = DCB

5) En utilisant les définitions des angles supplémentaires et complémentaires

Deux angles complémentaires sont des angles dont la somme des mesures est de 90° Deux angles supplémentaires sont des angles dont la somme des mesures est de 180°

6) En utilisant la propriété sur les angles opposés par le sommet

Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont même mesure

7) En utilisant les propriétés sur les angles formés par une sécante et deux parallèles

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu’elles déterminent sont de même mesure Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes internes sont de même mesure

B

A

C

D

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8) En utilisant des propriétés de la symétrie axiale et centrale

La symétrie axiale conserve la mesure des angles La symétrie centrale conserve la mesure des angles

9) En utilisant la trigonométrie

Dans un triangle ABC rectangle en B

Cos =

Sin =

Tan =

10) En utilisant les angles inscrits et les angles au centre

Si, dans un cercle, un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc de cercle alors l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit Si, dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure

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COMMENT DEMONTRER QUE DES POINTS SONT ALIGNES ?

1) En utilisant la définition du milieu d'un segment

Le milieu d’un segment est le point situé sur le segment et équidistant des extrémités de ce segment On sait que le point M le milieu de [AB ] donc les points A ; M et B sont alignés dans cet ordre

2) En utilisant l'angle plat Si les points A ; O et B sont tels que l'angle AOB est un angle plat alors les points A ; O et B sont alignés.

3) En utilisant l'angle nul Si les points A ; O et B sont tels que l'angle AOB est un angle nul alors les points O ; A et B sont alignés. 4) En utilisant une propriété sur la symétrie axiale

Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à une même droite sont alignés.

5) En utilisant une propriété de la symétrie centrale

Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un même point sont alignés.

6) En utilisant le cas particulier de la propriété de l’inégalité triangulaire

Pour trois points I, J et K Si IJ +JK = IK alors les trois points I, J et K sont alignés dans cet ordre.

180°

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COMMENT DEMONTRER QU’UN POINT EST MILIEU D'UN

SEGMENT ?

1) En utilisant la définition du milieu d'un segment

Le milieu d’un segment est le point situé sur le segment et équidistant des extrémités de ce segment

2) En utilisant le centre d'un cercle de diamètre [AB]

On sait que O est le centre du cercle de diamètre [AB] donc O est le milieu du segment [AB]

3) En utilisant la définition de la médiatrice.

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu

4) En utilisant la définition d’une médiane dans un triangle.

Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu

5) En utilisant la définition de la symétrie centrale

A’ est le symétrique de A par rapport à O signifie que O est le milieu de [AA’ ]

6) En utilisant la propriété sur les diagonales d’un parallélogramme

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu On sait que ABCD est un parallélogramme donc [BD] et [AC] se coupent en leur milieu I.

7) En utilisant le réciproque du théorème de la droite des milieux dans un triangle Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté du triangle et est parallèle à un deuxième côté du triangle alors elle coupe le troisième côté en son milieu FIN

(d)

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