212 Descripci on del sistema bola y platoEl sistema bola y plato esta compuesto por una esfera que puede rodar sin desli- zarse encima de un plato circular El plato se encuentra unido a uno o varios motores de corriente continua que le permiten pivotar en el eje x y en el eje y El objetivo del sistema es controlar la posicio n de la bola modificando el angulo de inclinaci on del plato Este sistema puede ser considerado como una extensio n bidimensional del sistema de bola y viga [82] Los experimentos relacionados con el sistema de bola y plato se consideran desafiantes por la complejidad inherente al mismo Debido a esto este sistema ha despertado un especial inter es acad emico en los u ltimos an ampos y ha sido usado para el estudio de varios to picos relacionados con la ingenier ıa de control tales como control no lineal an alisis meca nico identificaci on param etrica control inteligen- te procesamiento de ima genes seguimiento de trayectorias entre otros [83] Adem as las plantas f ısicas que representan este sistema pueden presentar influencias negativas en su comportamiento debido a la friccion entre la bola y el plato retardos en las mediciones etc La Figura 219 muestra la planta real basada en el sistema bola y plato Esta planta piloto ha sido construida en el Departamento de Energ ıa El ectrica Sistemas y Automatizacion de la Universidad de Gante en B elgica

Figura 219 Planta real basada en el sistema de bola y platoEl sistema bola y plato se emplea en la industria aerona utica para el desarrollo de simuladores de veh ıculos a ereos y terrestres La Figura 220 muestra algunos ejemplos de este tipo de simuladores

Figura 220 Ejemplos de aplicaciones del sistema bola y plato2121 Modelo del sistema bola y platoEl bola y plato es un sistema no lineal multi-variable Para obtener el modelo matema tico de este sistema se tienen en cuenta las suposiciones que se relacionan a continuaci onbull La bola siempre est a en contacto con el plato bull La bola rueda sobre el plato sin deslizamiento bull La bola es una esfera completamente sim etrica y homog enea bull Se desprecian todas las friccionesLa Figura 221 muestra el esquema del sistema de bola y plato El modelo del sistema se obtiene empleando las variables como las coordenadas generalizadas en las ecuaciones de Euler-Lagrange Despu es de varias transformaciones y sustituciones se obtienen las ecuaciones que describen el comportamiento dina mico del sistema como se muestra en las Ecuaciones 226 y 227 [84ndash86]

Figura 221 Esquema del sistema bola y plato

1113094 Ib1113094 1113094 2 1113094 mb+rb2 x ltbminusmb xbα +ybα β +mbgsinα=01113094 Ib1113094 1113094 2 1113094 mb+rb2 y ltbminusmb ybβ +xbα β +mbgsinβ=0(226)(227)Estas ecuaciones describen el movimiento de la bola en el plato y muestran como afecta la aceleracio n de la bola en relacio n con el angulo y la velocidad angular de inclinacio n del plato Las variables que describen el modelo son las siguientes

bull mb masa de la bola bull rb radio de la bola bull g aceleraci on de la gravedad bull Ib momento de inercia de la bola bull (xbyb) posicio n de la bola con respecto al plato bull (αβ) angulos de inclinaci on del plato2122 Din amica del sistema bola y platoLa dina mica del sistema bola y plato es muy rica y compleja porque tiene un comportamiento oscilatorio que var ıa constantemente Este sistema puede emplearse para implementar las estrategias de control de posicio n del plato y de posici on de la bola Para el experimento de control de posicio n de la bola el sistema se pude ver como un sistema SITO semejante al sistema bola y aro descrito anteriormente La entrada es la referencia de posicio n de la bola y las dos salidas son el a ngulo de inclinacio n del plato y la posicio n de la bola Una complejidad an ampadida que debe tenerse en cuenta en

este sistema es la relaci on entre los a ngulos de inclinaci on del plato y los angulos de los servomotores [87] Esto esta estrechamente vinculado a las caracter ısticas f ısicas de la planta piloto con la que se desee trabajar El momento de inercia de una esfera so lida se calcula como se muestra en la Ecuacio n 228Ib = 2mbrb2 (228) 5Sustituyendo la Ecuacio n 228 las Ecuaciones 226 y 227 se pueden escribir como 1113094511130942 1113094 1113094mb 7x ltbminus xbα +ybα β +gsinα =0 (229) 111309451113094 2 1113094 1113094mb 7y ltbminus ybβ +xbα β +gsinβ =0 (230)Asumiendo que para a ngulos pequen ampos de inclinacio n del plato α ≪ 0 y β ≪ 0 =rArr senα ≃ α y senβ ≃ β y que para valores pequen ampos de velocidad angular del plato α ≪ 0 y β ≪ 0 =rArr α β ≃ 0 α 2 ≃ 0 β 2 ≃ 0 De las Ecuaciones 229 y 230 utilizando estas aproximaciones se obtienen las Ecuaciones 231 y 2325x ltb + gα = 0 (231) 75y ltb + gβ = 0 (232) 7Haciendo uso de este modelo linealizado del sistema y tomando como salida la posici on de la bola (xbyb) y como entrada los a ngulos de inclinacio n del plato (α β) se obtienen las funciones de trasferencia del sistema para cada uno de los ejes como se muestra en las Ecuaciones 233 234Px(s)= xb(s) = g α(s) 5s27

Py(s)=yb(s)= g β(s) 5s27

(233) (234)Las funciones de transferencia que se obtienen para cada uno de los ejes coinciden con la del sistema de bola y viga como se hab ıa mencionado anteriormente en estaSeccio n Por esta raz on este sistema se analiza en la literatura como un sistema de bola y viga para cada uno de los ejesControl de posici on de la bola en un punto del platoEl experimento consiste en controlar la posicio n de la bola en un punto sobre el plato Como el plato se encuentra unido a varios servomotores el control de la posicio n de la bola se lleva a cabo por medio del control de realimentacio n de posicio n de dichos motores que son los que provocan la inclinacio n del plato Para ello se implementan los lazos de control de realimentacio n como se observa en el diagrama de bloques representado en la Figura 222Figura 222 Diagrama de bloques del control de posici on de la bola sobre el platoA partir del sistema linealizado de las Ecuaciones 233 y 234 se deduce que xb de- pende u nicamente de α mientras que yb depende u nicamente de β Por lo que el

sistema pude ser tratado como dos sistemas independientes que funcionan simult aneamente con dos controladores independientes para controlar las dos coordenadas de posici on de la bolaLos bloques representados en el diagrama son los controladores proporcional deri- vativo (PD) tanto para la coordenada x como para la coordenada y el bloque corres- pondiente a la dina mica del plato y el bloque correspondiente a la din amica de la bola Mientras que las variables son las siguientesbull Xref la coordenada xb de la posicio n de referencia de la bola bull Yref la coordenada yb de la posicio n de referencia de la bola bull Ux la sen ampal de control coordenada xb de la bola bull Uy la sen ampal de control coordenada yb de la bola2123 Planta real del sistema bola y platoUna vez presentados los aspectos teo ricos del sistema bola y plato se procede a presentar la planta real con la cual se desarrolla el laboratorio remoto [88] Sus componentes f ısicos son los siguientesbull Un plato pla stico circular de 575 cm de dia metro bull Una bola de billar de color amarillo claro bull Seis servo-motores acoplados al plato por medio de seis varillas meta licas bull Uncircuitoelectro nicocuyocomponenteprincipalesunmicrocontroladorPIC18F4550de Microchip Este circuito se conecta al ordenador a trav es del puerto USB y seusa para controlar los seis motores bull Una ca mara de v ıdeo (Cam Logitech Pro 4000 ) conectada al ordenador a trav esdel puerto USB [89]El microcontrolador se programa independientemente de la aplicacio n que controla la planta real El programa que ejecuta el microcontrolador recibe las posiciones desea- das para los motores y les env ıa a estos las o rdenes correspondientes Adema s mediante la c amara se obtienen las ima genes que son procesadas para obtener la posici on de la bola sobre el plato La posicio n de la bola obtenida con la ca mara es la variable que se usa como realimentacio n y que cierra el lazo de controlEl plato es de color negro para evitar reflejos y sombras que signifiquen perturba- ciones en el tratamiento de ima genes Por esta misma razo n la bola es de color amarillo claro de forma tal que se pueda distinguir con claridad cuando est e sobre el platoLa ca mara se debe calibrar para poder usarla como sensor de posici on de la bola Para ello se us o la herramienta Camera Calibration Toolbox for Matlab desarrollada por Bouguet [90] Adem as se implement o una aplicacio n en Visual C usando la Trans- formada de Hough que se encuentra disponible en la librer ıa OpenCV [91] La Figura 223 muestra a la izquierda la imagen obtenida por la ca mara y a la derecha el procesa- miento de la imagen para la detecci on de bordes y la posici on de bola En la imagen de la izquierda la cruz amarilla representa los ejes de coordenadas mientras que la cruz y el c ırculo azul representan la posicio n de la bola y la cruz y el c ırculo rojos representan la referencia de posicio n de la bola

2124 Ajuste de los controladoresPara controlar la planta real se propusieron dos algoritmos un controlador PD y un controlador lineal cuadr atico (LQR) El controlador PD se sintonizo con la herramienta FR-tool desarrollada en MATLAB [92] Mientras que para el controlador LQR tambi en se sintonizo usando la funci on LQR del ldquoControl System Toolboxrdquo de MATLAB [93] y luego se transformo en un controlador PD equivalente En la Tabla 27 se muestran los valores obtenidos para ambos controladoresTabla 27 Par ametros obtenidos para los controladores PD y LQR

Como se puede apreciar los valores de las ganancias Kp y Kd esta n en el mismo orden de magnitud y son bastante similares La Figura 224 muestra la respuesta de la planta real a un salto en escalo n en la entrada de ambos controladores (PD-l ınea continua LQR-l ınea discontinua) La gra fica de la parte superior de la figura muestra la coordenada x de la posicio n de la bola en mil ımetros mientras que la gra fica de la parte inferior de la figura muestra la sen ampal de control (u) que en este caso es el angu- lo de inclinacio n del plato en grados causado a su vez por el movimiento de los motores

bull mb masa de la bola bull rb radio de la bola bull g aceleraci on de la gravedad bull Ib momento de inercia de la bola bull (xbyb) posicio n de la bola con respecto al plato bull (αβ) angulos de inclinaci on del plato2122 Din amica del sistema bola y platoLa dina mica del sistema bola y plato es muy rica y compleja porque tiene un comportamiento oscilatorio que var ıa constantemente Este sistema puede emplearse para implementar las estrategias de control de posicio n del plato y de posici on de la bola Para el experimento de control de posicio n de la bola el sistema se pude ver como un sistema SITO semejante al sistema bola y aro descrito anteriormente La entrada es la referencia de posicio n de la bola y las dos salidas son el a ngulo de inclinacio n del plato y la posicio n de la bola Una complejidad an ampadida que debe tenerse en cuenta en

este sistema es la relaci on entre los a ngulos de inclinaci on del plato y los angulos de los servomotores [87] Esto esta estrechamente vinculado a las caracter ısticas f ısicas de la planta piloto con la que se desee trabajar El momento de inercia de una esfera so lida se calcula como se muestra en la Ecuacio n 228Ib = 2mbrb2 (228) 5Sustituyendo la Ecuacio n 228 las Ecuaciones 226 y 227 se pueden escribir como 1113094511130942 1113094 1113094mb 7x ltbminus xbα +ybα β +gsinα =0 (229) 111309451113094 2 1113094 1113094mb 7y ltbminus ybβ +xbα β +gsinβ =0 (230)Asumiendo que para a ngulos pequen ampos de inclinacio n del plato α ≪ 0 y β ≪ 0 =rArr senα ≃ α y senβ ≃ β y que para valores pequen ampos de velocidad angular del plato α ≪ 0 y β ≪ 0 =rArr α β ≃ 0 α 2 ≃ 0 β 2 ≃ 0 De las Ecuaciones 229 y 230 utilizando estas aproximaciones se obtienen las Ecuaciones 231 y 2325x ltb + gα = 0 (231) 75y ltb + gβ = 0 (232) 7Haciendo uso de este modelo linealizado del sistema y tomando como salida la posici on de la bola (xbyb) y como entrada los a ngulos de inclinacio n del plato (α β) se obtienen las funciones de trasferencia del sistema para cada uno de los ejes como se muestra en las Ecuaciones 233 234Px(s)= xb(s) = g α(s) 5s27

Py(s)=yb(s)= g β(s) 5s27

(233) (234)Las funciones de transferencia que se obtienen para cada uno de los ejes coinciden con la del sistema de bola y viga como se hab ıa mencionado anteriormente en estaSeccio n Por esta raz on este sistema se analiza en la literatura como un sistema de bola y viga para cada uno de los ejesControl de posici on de la bola en un punto del platoEl experimento consiste en controlar la posicio n de la bola en un punto sobre el plato Como el plato se encuentra unido a varios servomotores el control de la posicio n de la bola se lleva a cabo por medio del control de realimentacio n de posicio n de dichos motores que son los que provocan la inclinacio n del plato Para ello se implementan los lazos de control de realimentacio n como se observa en el diagrama de bloques representado en la Figura 222Figura 222 Diagrama de bloques del control de posici on de la bola sobre el platoA partir del sistema linealizado de las Ecuaciones 233 y 234 se deduce que xb de- pende u nicamente de α mientras que yb depende u nicamente de β Por lo que el

sistema pude ser tratado como dos sistemas independientes que funcionan simult aneamente con dos controladores independientes para controlar las dos coordenadas de posici on de la bolaLos bloques representados en el diagrama son los controladores proporcional deri- vativo (PD) tanto para la coordenada x como para la coordenada y el bloque corres- pondiente a la dina mica del plato y el bloque correspondiente a la din amica de la bola Mientras que las variables son las siguientesbull Xref la coordenada xb de la posicio n de referencia de la bola bull Yref la coordenada yb de la posicio n de referencia de la bola bull Ux la sen ampal de control coordenada xb de la bola bull Uy la sen ampal de control coordenada yb de la bola2123 Planta real del sistema bola y platoUna vez presentados los aspectos teo ricos del sistema bola y plato se procede a presentar la planta real con la cual se desarrolla el laboratorio remoto [88] Sus componentes f ısicos son los siguientesbull Un plato pla stico circular de 575 cm de dia metro bull Una bola de billar de color amarillo claro bull Seis servo-motores acoplados al plato por medio de seis varillas meta licas bull Uncircuitoelectro nicocuyocomponenteprincipalesunmicrocontroladorPIC18F4550de Microchip Este circuito se conecta al ordenador a trav es del puerto USB y seusa para controlar los seis motores bull Una ca mara de v ıdeo (Cam Logitech Pro 4000 ) conectada al ordenador a trav esdel puerto USB [89]El microcontrolador se programa independientemente de la aplicacio n que controla la planta real El programa que ejecuta el microcontrolador recibe las posiciones desea- das para los motores y les env ıa a estos las o rdenes correspondientes Adema s mediante la c amara se obtienen las ima genes que son procesadas para obtener la posici on de la bola sobre el plato La posicio n de la bola obtenida con la ca mara es la variable que se usa como realimentacio n y que cierra el lazo de controlEl plato es de color negro para evitar reflejos y sombras que signifiquen perturba- ciones en el tratamiento de ima genes Por esta misma razo n la bola es de color amarillo claro de forma tal que se pueda distinguir con claridad cuando est e sobre el platoLa ca mara se debe calibrar para poder usarla como sensor de posici on de la bola Para ello se us o la herramienta Camera Calibration Toolbox for Matlab desarrollada por Bouguet [90] Adem as se implement o una aplicacio n en Visual C usando la Trans- formada de Hough que se encuentra disponible en la librer ıa OpenCV [91] La Figura 223 muestra a la izquierda la imagen obtenida por la ca mara y a la derecha el procesa- miento de la imagen para la detecci on de bordes y la posici on de bola En la imagen de la izquierda la cruz amarilla representa los ejes de coordenadas mientras que la cruz y el c ırculo azul representan la posicio n de la bola y la cruz y el c ırculo rojos representan la referencia de posicio n de la bola

2124 Ajuste de los controladoresPara controlar la planta real se propusieron dos algoritmos un controlador PD y un controlador lineal cuadr atico (LQR) El controlador PD se sintonizo con la herramienta FR-tool desarrollada en MATLAB [92] Mientras que para el controlador LQR tambi en se sintonizo usando la funci on LQR del ldquoControl System Toolboxrdquo de MATLAB [93] y luego se transformo en un controlador PD equivalente En la Tabla 27 se muestran los valores obtenidos para ambos controladoresTabla 27 Par ametros obtenidos para los controladores PD y LQR

Como se puede apreciar los valores de las ganancias Kp y Kd esta n en el mismo orden de magnitud y son bastante similares La Figura 224 muestra la respuesta de la planta real a un salto en escalo n en la entrada de ambos controladores (PD-l ınea continua LQR-l ınea discontinua) La gra fica de la parte superior de la figura muestra la coordenada x de la posicio n de la bola en mil ımetros mientras que la gra fica de la parte inferior de la figura muestra la sen ampal de control (u) que en este caso es el angu- lo de inclinacio n del plato en grados causado a su vez por el movimiento de los motores

sistema pude ser tratado como dos sistemas independientes que funcionan simult aneamente con dos controladores independientes para controlar las dos coordenadas de posici on de la bolaLos bloques representados en el diagrama son los controladores proporcional deri- vativo (PD) tanto para la coordenada x como para la coordenada y el bloque corres- pondiente a la dina mica del plato y el bloque correspondiente a la din amica de la bola Mientras que las variables son las siguientesbull Xref la coordenada xb de la posicio n de referencia de la bola bull Yref la coordenada yb de la posicio n de referencia de la bola bull Ux la sen ampal de control coordenada xb de la bola bull Uy la sen ampal de control coordenada yb de la bola2123 Planta real del sistema bola y platoUna vez presentados los aspectos teo ricos del sistema bola y plato se procede a presentar la planta real con la cual se desarrolla el laboratorio remoto [88] Sus componentes f ısicos son los siguientesbull Un plato pla stico circular de 575 cm de dia metro bull Una bola de billar de color amarillo claro bull Seis servo-motores acoplados al plato por medio de seis varillas meta licas bull Uncircuitoelectro nicocuyocomponenteprincipalesunmicrocontroladorPIC18F4550de Microchip Este circuito se conecta al ordenador a trav es del puerto USB y seusa para controlar los seis motores bull Una ca mara de v ıdeo (Cam Logitech Pro 4000 ) conectada al ordenador a trav esdel puerto USB [89]El microcontrolador se programa independientemente de la aplicacio n que controla la planta real El programa que ejecuta el microcontrolador recibe las posiciones desea- das para los motores y les env ıa a estos las o rdenes correspondientes Adema s mediante la c amara se obtienen las ima genes que son procesadas para obtener la posici on de la bola sobre el plato La posicio n de la bola obtenida con la ca mara es la variable que se usa como realimentacio n y que cierra el lazo de controlEl plato es de color negro para evitar reflejos y sombras que signifiquen perturba- ciones en el tratamiento de ima genes Por esta misma razo n la bola es de color amarillo claro de forma tal que se pueda distinguir con claridad cuando est e sobre el platoLa ca mara se debe calibrar para poder usarla como sensor de posici on de la bola Para ello se us o la herramienta Camera Calibration Toolbox for Matlab desarrollada por Bouguet [90] Adem as se implement o una aplicacio n en Visual C usando la Trans- formada de Hough que se encuentra disponible en la librer ıa OpenCV [91] La Figura 223 muestra a la izquierda la imagen obtenida por la ca mara y a la derecha el procesa- miento de la imagen para la detecci on de bordes y la posici on de bola En la imagen de la izquierda la cruz amarilla representa los ejes de coordenadas mientras que la cruz y el c ırculo azul representan la posicio n de la bola y la cruz y el c ırculo rojos representan la referencia de posicio n de la bola

2124 Ajuste de los controladoresPara controlar la planta real se propusieron dos algoritmos un controlador PD y un controlador lineal cuadr atico (LQR) El controlador PD se sintonizo con la herramienta FR-tool desarrollada en MATLAB [92] Mientras que para el controlador LQR tambi en se sintonizo usando la funci on LQR del ldquoControl System Toolboxrdquo de MATLAB [93] y luego se transformo en un controlador PD equivalente En la Tabla 27 se muestran los valores obtenidos para ambos controladoresTabla 27 Par ametros obtenidos para los controladores PD y LQR

Como se puede apreciar los valores de las ganancias Kp y Kd esta n en el mismo orden de magnitud y son bastante similares La Figura 224 muestra la respuesta de la planta real a un salto en escalo n en la entrada de ambos controladores (PD-l ınea continua LQR-l ınea discontinua) La gra fica de la parte superior de la figura muestra la coordenada x de la posicio n de la bola en mil ımetros mientras que la gra fica de la parte inferior de la figura muestra la sen ampal de control (u) que en este caso es el angu- lo de inclinacio n del plato en grados causado a su vez por el movimiento de los motores

Como se puede apreciar los valores de las ganancias Kp y Kd esta n en el mismo orden de magnitud y son bastante similares La Figura 224 muestra la respuesta de la planta real a un salto en escalo n en la entrada de ambos controladores (PD-l ınea continua LQR-l ınea discontinua) La gra fica de la parte superior de la figura muestra la coordenada x de la posicio n de la bola en mil ımetros mientras que la gra fica de la parte inferior de la figura muestra la sen ampal de control (u) que en este caso es el angu- lo de inclinacio n del plato en grados causado a su vez por el movimiento de los motores