book 01 nm a4 - old.unitbv.roold.unitbv.ro/portals/19/departament/colectiv/book_01_nm_a4.pdf ·...

Geometria Spatiilor Vectoriale

Teorie si Aplicatii

Mircea NEAGU

Cuprins

1 Spatii vectoriale euclidiene 71.1 Grupuri abeliene. Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Spatii vectoriale. Subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Operatii cu subspatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Baze si dimensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Coordonate. Schimbari de coordonate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6 Produse scalare. Lungimi si unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7 Baze ortonormate. Complemente ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.9 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi 572.1 Segmente orientate. Vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Adunarea vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3 Înmultirea vectorilor liberi cu scalari reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 Produsul scalar a doi vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 Produsul vectorial a doi vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.7 Produsul mixt a trei vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.8 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.9 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Aplicatii liniare 793.1 Definitie. Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Nucleul unei aplicatii liniare. Injectivitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 Imaginea unei aplicatii liniare. Surjectivitate . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Izomorfisme de spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.5 Endomorfisme si matrici patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.7 Forma diagonala a unui endomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.8 Diagonalizarea endomorfismelor simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.9 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.10 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 Forme patratice 1274.1 Aplicatii biliniare si simetrice. Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.2 Reducerea formelor patratice la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.2.1 Metoda lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.2 Metoda lui Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2.3 Metoda valorilor proprii (a transformarilor ortogonale) . . . . . . . 135

4.3 Signatura unei forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.5 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

CUPRINS 3

5 Geometrie analitica liniara în spatiu 1595.1 Coordonatele unui punct din spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.2 Plane orientate în spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2.1 Planul determinat de un punct si un vector normal . . . . . . . . . 1615.2.2 Planul determinat de un punct si doi vectori liberi . . . . . . . . . . 1625.2.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare . . . . . . . . . . . . . 163

5.3 Drepte orientate în spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.3.1 Dreapta determinata de un punct si o directie . . . . . . . . . . . . 1645.3.2 Dreapta determinata de doua puncte distincte . . . . . . . . . . . . 1665.3.3 Dreapta determinata ca intersectia a doua plane . . . . . . . . . . . 166

5.4 Fascicole de plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.5 Unghiuri în spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.5.1 Unghiul dintre doua plane orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.5.2 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat . . . . . . . . 1695.5.3 Unghiul dintre doua drepte orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.6 Distante în spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.6.1 Distanta dintre doua puncte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.6.2 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.6.3 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.6.4 Distanta dintre doua drepte oarecare din spatiu . . . . . . . . . . . 1735.6.5 Ecuatiile carteziene ale perpendicularei comune . . . . . . . . . . . 174

5.7 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.8 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4 CUPRINS

PREFATA

Aceasta carte reprezinta un Curs de Algebra Liniara si Geometrie Analitica Liniaraîn Spatiu adresat în principal studentilor din anul I de la facultatile tehnice. Scopulacestui curs este de a-i initia pe viitorii ingineri în tainele geometriei superioare din plansi din spatiu, atât de necesara formarii unei culturi tehnice solide. Din acest motiv, s-aîncercat ca materialul prezentat sa aiba un puternic caracter didactic fara a se neglija însarigurozitatea matematica specifica stiintelor exacte.

Actualul mod de prezentare al cartii îmbina experienta universitara a autorilor menti-onati în bibliografie cu experienta proprie a autorului, dobândita de-a lungul mai multorani de predare la catedra. Din aceasta perspectiva, consideram ca modul de prezentare amateriei, precum si multitudinea si varietatea exemplelor folosite, asigura prezentei cartiun grad destul de mare de independenta si sinteza în raport cu bibliografia existenta.

În aceasta carte notiunile matematice sunt prezentate riguros si gradual, pornindu-sede la conceptul pur algebric de spatiu vectorial si continuându-se cu conceptul geometricabstract de spatiu vectorial euclidian. Urmeaza studiul particular al spatiului euclidiantridimensional al vectorilor liberi, precum si al elementelor de geometrie analitica liniarace deriva din acesta. Din considerente didactice, fiecare Capitol al cartii este structuratpe Sectiuni, dupa cum urmeaza:

1. expunerea detaliata si riguroasa a Elementelor de Teorie, cu demonstratii, exemplesi contraexemple;

2. prezentarea unui set corespunzator de Probleme Rezolvate, necesar unei mai buneîntelegeri a conceptelor teoretice studiate;

3. finalizarea expunerii printr-o lista de Probleme Propuse, cu Indicatii si Raspunsuri.

Pentru simplificarea expunerii notiunilor, autorul a utilizat identificarea naturala aunor spatii, pornindu-se de la ideea ca spatiul Rn este modelul standard de spatiu vectorialeuclidian de dimensiune n. Totodata, pentru a se evita supraîncarcarea si a se fluentizaexprimarea, limbajul si notatiile sunt uneori simplificate, autorul considerând ca cititorulîntelege din context sensul corect al notiunii sau formulei expuse.

Constient de faptul ca materialul de fata poate suporta îmbunatatiri, autorul acestuiaaduce multumiri anticipate tuturor cititorilor care vor avea de facut critici sau sugestiilegate de acesta.

Autorul, 2012

CUPRINS 5

6 CUPRINS

1. SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE

Un rol însemnat în dezvoltarea fizicii teoretice si a mecanicii îl poarta notiunile al-gebrice abstracte de grup, corp si spatiu vectorial. Acestea permit, din punct de vederealgebric, o mai buna sintetizare a cunostintelor respectivelor domenii, precum si o dez-voltare matematic riguroasa a diverselor concepte fizice utilizate. În continuare, ne vomapleca studiul asupra câtorva din cele mai importante structuri algebrice de acest fel:grupul abelian, câmpul de scalari si spatiul vectorial. De asemenea, vom studia diversenotiuni cu un puternic caracter fizico-geometric. Ne referim, pe de-o parte, la notiunile debaza a unui spatiu vectorial, dimensiune a unui spatiu vectorial sau coordonate ale unuivector, notiuni aflate în strânsa legatura cu ideea gradelor de libertate ale unui spatiufizic. Pe de alta parte, ne referim la notiunea geometrica de spatiu vectorial euclidian.Un astfel de spatiu este un spatiu vectorial înzestrat cu o operatie aditionala numitaprodus scalar, operatie care permite introducerea notiunilor de lungime (norma) a unuivector sau unghi format de doi vectori. Toate aceste notiuni generalizeaza natural, în sensmatematic abstract, proprietati geometrice si fizice deja utilizate.

1.1 Grupuri abeliene. Subgrupuri

Unul dintre rolurile cele mai importante în studiul fizicii teoretice îl joaca notiunea degrup abelian.

Definitia 1.1.1 O multime de obiecte V , înzestrata cu o operatie

+ : V × V → V,

se numeste grup abelian daca sunt satisfacute urmatoarele axiome:

1. x+ y = y + x, ∀ x, y ∈ V -comutativitate;

2. (x+ y) + z = x+ (y + z), ∀ x, y, z ∈ V -asociativitate;

3. ∃ 0 ∈ V astfel încât x+ 0 = 0 + x = x, ∀ x ∈ V -element neutru;

4. ∀ x ∈ V, ∃ −x ∈ V astfel încât x+ (−x) = (−x) + x = 0 -opusul unui element.

Elementul 0 ∈ V se numeste elementul neutru al grupului V, iar elementul −x ∈ Vse numeste opusul elementului x ∈ V.

Exemplul 1.1.2 Fie multimea

V =M2(R) =��

a bc d

�� a, b, c, d ∈ R�.

SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE 7

Înzestram multimea matricilor patratice de ordin doi cu operatia de adunare a matricilor,definita prin �

a bc d

�+

�a′ b′

c′ d′

�=

�a+ a′ b+ b′

c + c′ d+ d′

�.

Se verifica usor ca operatia de adunare a matricilor confera acestei multimi o structurade grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este

O =

�0 00 0

�∈M2(R).

Evident, opusul unui element �a bc d

�∈M2(R)

este definit prin

−�a bc d

�=

�−a −b−c −d

�∈M2(R).

Observatia 1.1.3 Mai general, multimea V = Mn(R) a matricilor patratice de ordinn ∈ N∗, împreuna cu operatia clasica de adunare a matricilor, capata o structura de grupabelian al carui element neutru este matricea nula.

Exemplul 1.1.4 Fie multimea perechilor de numere reale

V = R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.

Definim adunarea perechilor de numere ca fiind adunarea pe componente

(x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′).

Se verifica usor ca adunarea perechilor de numere este comutativa, asociativa si are caelement neutru perechea O = (0, 0). Opusul unui element (x, y) ∈ R2 este elementul−(x, y) = (−x,−y) ∈ R2. În concluzie, (R2,+) este un grup abelian.

Observatia 1.1.5 Mai general, pentru numarul natural n ≥ 2, multimea n-uplurilor denumere reale

V = Rn = {(x1, x2, ..., xn) | x1, x2, ..., xn ∈ R},împreuna cu operatia de adunare

(x1, x2, ..., xn) + (x′1, x′

2, ..., x′

n) = (x1 + x′1, x2 + x′2, ..., xn + x′n),

are o structura de grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este

O = (0, 0, ..., 0) ∈ Rn

iar opusul unui element (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn este

−(x1, x2, ..., xn) = (−x1,−x2, ...,−xn) ∈ Rn.

8 SPATII VECTORIALE EUCLIDIENE

Exemplul 1.1.6 Multimea polinoamelor de grad cel mult n ∈ N∗, definita de

V = Rn[X] = {f ∈ R[X] | grad(f) ≤ n},

are o structura de grup abelian, relativ la operatia de adunare clasica a polinoamelor. Cualte cuvinte, adunarea polinoamelor este comutativa, asociativa, admite ca element neutrupolinomul nul O si, în plus, fiecare polinom

f = a0 + a1X + ...+ anXn ∈ Rn[X]

are un opus definit prin

−f = −a0 − a1X − ...− anXn ∈ Rn[X].

Sa consideram acum ca (V,+) este un grup abelian. Fie W ⊆ V o submultime a luiV . Este evident ca operatia de adunare de pe grupul V , definita prin + : V × V → V ,induce pe submultimea W o operatie de adunare, definita prin + : W ×W → V.

Definitia 1.1.7 Submultimea W ⊆ V este un subgrup al grupului (V,+) daca si numaidaca (W,+) are o structura de grup abelian, relativ la operatia de adunare a elementelordin W , indusa de adunarea elementelor din V . În aceasta situatie, vom folosi notatiaW ≤ V.

Propozitia 1.1.8 (Criteriul de subgrup) Submultimea W ⊆ V este un subgrup algrupului (V,+) daca si numai daca

∀ x, y ∈W ⇒ x− y ∈ W.

Demonstratie. Daca W ⊆ V este un subgrup al grupului (V,+), este evident ca pro-prietatea din propozitie este adevarata.

Reciproc, operatia indusa de pe V pe W este evident comutativa si asociativa. Dacapentru orice x, y ∈ W rezulta ca x− y ∈ W , atunci, luând x = y, deducem ca elementulneutru 0 al grupului V se afla în W . Mai mult, luând x = 0, deducem ca ∀ y ∈ W ⇒−y ∈W. Cu alte cuvinte, sunt verificate cele patru axiome ale grupului, adica (W,+) esteun subgrup al lui (V,+).

Exemplul 1.1.9 Fie submultimea de matrici

W =

��a 00 a

�� a ∈ R�

⊂ (M2(R),+).

Luând doua matrici arbitrare

X =

�x 00 x

�∈W si Y =

�y 00 y

�∈W,

deducem ca

X − Y =

�x 00 x

�−�y 00 y

�=

�x− y 00 x− y

�∈W.

Conform criteriului de subgrup, obtinem ca W ≤M2(R).

GRUPURI ABELIENE. SUBGRUPURI 9

Exemplul 1.1.10 Sa consideram submultimea tripletelor de numere reale

W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 0} ⊂ (R3,+).

Avem evident caW = {(x, y,−x− y) | x, y ∈ R}.

Luând acum doua triplete de numere reale

X = (a, b,−a− b) ∈W si Y = (a′, b′,−a′ − b′) ∈W,constatam ca

X − Y = (a− a′, b− b′,−a− b+ a′ + b′) =

= (a− a′, b− b′,−(a− a′)− (b− b′)) ∈W.Conform criteriului de subgrup, deducem ca W ≤ R3.Exemplul 1.1.11 Fie submultimea de polinoame

W = {αX2 | α ∈ R} ⊂ (R2[X],+).

Sa consideram doua polinoame arbitrare din W , notate f = αX2 si g = βX2. Deducemca avem

f − g = αX2 − βX2 = (α− β)X2 ∈W.În concluzie, din criteriul de subgrup, obtinem ca W ≤ R2[X].

1.2 Spatii vectoriale. Subspatii

În fizica, mecanica si tehnica se întâlnesc marimi pe deplin determinate de valorilelor numerice într-un anumit sistem de masura dat. De exemplu lungimea, aria, volumul,masa sau temperatura unui corp. Toate aceste marimi poarta numele generic de marimiscalare. Alaturi de acestea se întâlnesc si marimi care, pentru a fi determinate, suntnecesare mai multe entitati, în afara de o valoare numerica a lor. De exemplu fortele sauvitezele, care sunt determinate de marimea lor, un sens si o directie. Aceste marimi senumesc generic marimi vectoriale.

Conceptul matematic care realizeaza o unificare a marimilor scalare si vectoriale sicare, în acelasi timp, scoate în evidenta nuantele diferite ale acestor marimi distincte, estereprezentat de notiunea de spatiu vectorial peste un câmp de scalari. Este important desubliniat faptul ca, în cele mai multe cazuri, multimile de marimi vectoriale sunt înzestratecu o operatie interna, în raport cu care acestea capata o structura de grup abelian. Încontrast, marimile scalare sunt adesea înzestrate cu doua operatii algebrice interne carele confera o structura de corp comutativ.

Definitia 1.2.1 O multime de obiecte K, înzestrata cu doua operatii

+ : K ×K → K (adunarea)

si· : K ×K → K (înmultirea),

se numeste câmp de scalari sau corp comutativ daca


1. (K,+) este grup abelian cu elementul neutru notat 0;

2. (K∗, ·) este grup abelian cu elementul neutru notat 1, unde K∗ = K\{0}.

Elementele acestui corp se numesc scalari. Opusul unui scalar λ ∈ K este notat−λ ∈ K, iar inversul unui scalar λ ∈ K∗ este notat λ−1 ∈ K∗.

Exemplul 1.2.2 Fie (K,+, ·) = (R,+, ·), unde ” + ” reprezinta adunarea numerelorreale si ” · ” reprezinta înmultirea numerelor reale. Este cunoscut faptul ca (R,+) esteun grup abelian având ca alement neutru numarul 0. Opusul unui numar real λ ∈ R este−λ ∈ R. Mai mult, multimea (R∗, ·) are, de asemenea, o structura algebrica de grupabelian având ca element neutru numarul 1. Inversul unui numar real nenul λ ∈ R∗ esteλ−1 = 1/λ ∈ R∗. În concluzie, deducem ca (R,+, ·) este un corp comutativ, adica uncâmp de scalari reali.

Exemplul 1.2.3 Prin analogie cu multimea numerelor reale, sa luam multimea numere-lor complexe (K,+, ·) = (C,+, ·), unde ”+” reprezinta adunarea numerelor complexe si ”·”reprezinta înmultirea numerelor complexe. Este cunoscut faptul ca multimea numerelorcomplexe (C,+, ·) este un corp comutativ. În concluzie, multimea numerelor complexeformeaza un câmp de scalari complecsi.

Fie acum (V,+) o multime de obiecte, înzestrata cu o operatie aditiva, în raport cucare multimea de obiecte are o structura algebrica de grup abelian. Într-un limbaj specificstudiului fizico-geometric, elementele acestui grup se numesc generic vectori. Elementulneutru al acestui grup este notat 0V si poarta numele de vectorul nul. De asemenea, safixam un câmp de scalari (K,+, ·).

Definitia 1.2.4 Multimea de vectori (V,+) se numeste K-spatiu vectorial sau spatiuvectorial peste câmpul de scalari (K,+, ·) daca exista o operatie algebrica externa(înmultirea vectorilor cu scalari)

· : K × V → V, (λ, v) �→ λ · v,

care verifica urmatoarele patru proprietati axiomatice:

1. λ · (v + w) = λ · v + λ · w, ∀ λ ∈ K, ∀ v, w ∈ V ;

2. (λ+ µ) · v = λ · v + µ · v, ∀ λ, µ ∈ K, ∀ v ∈ V ;

3. λ · (µ · v) = (λ · µ) · v, ∀ λ, µ ∈ K, ∀ v ∈ V ;

4. 1 · v = v, ∀ v ∈ V.

În cazul în care (V,+) are o structura algebrica de K-spatiu vectorial, vom nota pescurt KV , operatiile de adunare a vectorilor si de înmultire cu scalari fiind subântelese.Adesea, pentru simplificare, înmultirea vectorilor cu scalari va fi notata pe scurt λ·v not

= λv.

SPATII VECTORIALE. SUBSPATII 11

Exemplul 1.2.5 Luam ca multime de vectori grupul abelian (V,+) = (R3,+) si fixamcâmpul de scalari reali (K,+, ·) = (R,+, ·). Definim înmultirea vectorilor cu scalari prin

λ · (x, y, z) def= (λx, λy, λz), ∀ λ ∈ R, ∀ (x, y, z) ∈ R3.

Este usor de verificat ca avem adevarate relatiile:

1. λ · [(x, y, z) + (x′, y′, z′)] = λ · (x, y, z) + λ · (x′, y′, z′),

∀ λ ∈ R, ∀ (x, y, z), (x′, y′, z′) ∈ R3;

2. (λ+ µ) · (x, y, z) = λ · (x, y, z) + µ · (x, y, z), ∀ λ, µ ∈ R, ∀ (x, y, z) ∈ R3;

3. λ · (µ · (x, y, z)) = (λ · µ) · (x, y, z), ∀ λ, µ ∈ R, ∀ (x, y, z) ∈ R3;

4. 1 · (x, y, z) = (x, y, z), ∀ (x, y, z) ∈ R3.

În concluzie, putem afirma ca R3 este un R-spatiu vectorial sau, cu alte cuvinte, unspatiu vectorial real. Vectorul nul al acestui spatiu vectorial este 0R3 = (0, 0, 0).

Observatia 1.2.6 Mai general, sa luam ca multime de vectori grupul abelian

(V,+) = (Rn,+),

unde n ≥ 2 este un numar natural arbitrar, si sa fixam câmpul de scalari reali

(K,+, ·) = (R,+, ·).

Definim înmultirea vectorilor cu scalari în felul urmator:

λ · (x1, x2, ..., xn) def= (λx1, λx2, ..., λxn), ∀ λ ∈ R, ∀ (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

Atunci multimea Rn are o structura de R-spatiu vectorial, relativ la operatiile de adunarea vectorilor si de înmultire cu scalari definite anterior.

Exemplul 1.2.7 Sa consideram ca multimea de vectori (V,+) este grupul abelian al ma-tricilor patratice de ordin doi M2(R), împreuna cu adunarea clasica a matricilor. Fixamcâmpul de scalari reali (K,+, ·) = (R,+, ·). Definim înmultirea vectorilor cu scalari realica fiind înmultirea standard a numerelor reale cu matricile. Se stie ca aceasta înmultireexterna verifica cele patru proprietati ce definesc un spatiu vectorial. În concluzie, avemca M2(R) este un R-spatiu vectorial. Vectorul nul al acestui spatiu vectorial este matriceanula

0M2(R) =

�0 00 0

�.

Observatia 1.2.8 Mai general, sa consideram ca multimea de vectori (V,+) este grupulabelian al matricilor patratice de ordin n ≥ 2, notat (Mn(R),+), împreuna cu adunareaclasica a matricilor patratice. Fixam câmpul de scalari reali (K,+, ·) = (R,+, ·). Definimînmultirea vectorilor cu scalari reali ca fiind înmultirea standard a numerelor reale cumatricile patratice. Atunci multimea Mn(R) are o structura de R-spatiu vectorial, relativla operatiile de adunare a vectorilor si de înmultire cu scalari definite anterior.


Exemplul 1.2.9 Sa consideram ca multimea de vectori (V,+) este grupul abelian al poli-noamelor de grad cel mult doi R2[X], împreuna cu adunarea standard a polinoamelor. Saconsideram câmpul de scalari (K,+, ·) = (R,+, ·). Înmultirea vectorilor cu scalari reali odefinim ca fiind înmultirea clasica a numerelor reale cu polinoamele. Se stie ca aceastaoperatie verifica cele patru proprietati axiomatice de la spatiile vectoriale. În concluzie,deducem ca R2[X] este un spatiu vectorial real. Vectorul nul al acestui spatiu vectorialeste polinomul nul 0R2[X] = O.

Observatia 1.2.10 Mai general, sa consideram ca multimea de vectori (V,+) este grupulabelian al polinoamelor de grad cel mult n, notat (Rn[X],+), unde n ≥ 2, împreuna cuadunarea standard a polinoamelor. Sa consideram câmpul de scalari reali (K,+, ·) =(R,+, ·). Înmultirea vectorilor cu scalari reali o definim ca fiind înmultirea clasica a nu-merelor reale cu polinoamele. Atunci multimea Rn[X] are o structura de R-spatiu vectori-al, relativ la operatiile de adunare a vectorilor si de înmultire cu scalari definite anterior.

Exemplul 1.2.11 Vom considera acum o multime de vectori si un câmp de scalari, îm-preuna cu niste operatii, în raport cu care nu avem o structura algebrica de spatiu vecto-rial. Pentru aceasta sa luam ca multime de vectori V multimea polinoamelor de grad maimare sau egal cu cinci

R5[X] = {f ∈ R[X] | grad(f) ≥ 5},

împreuna cu adunarea vectorilor definita de adunarea clasica a polinoamelor. Luând câm-pul de scalari reali (K,+, ·) = (R,+, ·), definim înmultirea vectorilor cu scalari ca fiindînmultirea standard a numerelor reale cu polinoamele. Evident, cele patru proprietatide la spatii vectoriale sunt adevarate. Cu toate acestea, multimea R5[X] nu este un R-spatiu vectorial deoarece multimea R5[X] nu are o structura de grup abelian în raport cuadunarea vectorilor. În fapt, adunarea vectorilor, adica adunarea polinoamelor, nu estebine definita pe R5[X]. Cu alte cuvinte, suma a doua polinoame de grad mai mare sauegal cu cinci poate avea ca rezultat un polinom de grad mai mic ca cinci. De exemplu,polinomul f = X4 +X8 ∈ R5[X] adunat cu polinomul g = X −X4 −X8 ∈ R5[X] are carezultat un polinom de grad unu: f + g = X /∈ R5[X]. Prin urmare, R5[X] nu este unspatiu vectorial real relativ la operatiile algebrice precizate mai sus.

Fie V un K-spatiu vectorial al carui vector nul este notat 0V . Sa notam cu 0 si 1elementele neutre, relativ la operatiile de adunare si înmultire din câmpul de scalari K.

Propozitia 1.2.12 În spatiul vectorial KV urmatoarele proprietati algebrice sunt ade-varate:

1. 0 · v = 0V , ∀ v ∈ V ;

2. (−1) · v = −v, ∀ v ∈ V.

Demonstratie.

1. Luând λ = µ = 0 în proprietatea

(λ+ µ)v = λv + µv, ∀ λ, µ ∈ K, ∀ v ∈ V,

deducem ca 0 · v = 0 · v + 0 · v. Adunând la stânga cu opusul −0 · v, obtinem ca0 · v = 0V .


2. În aceeasi relatie de mai sus, luând λ = 1 si µ = −1, deducem ca

(1 + (−1)) · v = 1 · v + (−1) · v.

Tinând cont ca 0 · v = 0V si 1 · v = v, obtinem ca 0V = v + (−1) · v. Adunând lastânga cu opusul −v al vectorului v, deducem ca (−1) · v = −v.

Sa consideram în continuare ca V este un K-spatiu vectorial si W ⊆ V este o sub-multime a lui V.

Definitia 1.2.13 Spunem caW este un subspatiu vectorial al lui KV daca submultimeaW , împreuna cu operatiile de adunare a vectorilor si de înmultire cu scalari induse de pespatiul KV, are o structura de K-spatiu vectorial. În aceasta situatie, vom folosi notatiaW ≤K V.

Propozitia 1.2.14 (Criteriul de subspatiu) Submultimea W ⊆ V este un subspatiuvectorial daca si numai daca sunt adevarate urmatoarele doua proprietati:

1. ∀ v, w ∈W ⇒ v + w ∈W ;

2. ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈W ⇒ λv ∈W.

Demonstratie. ” ⇒ ” Sa presupunem caW ≤K V. În aceste conditii, deducem ca (W,+)este un grup abelian si, mai mult, ca înmultirea vectorilor cu scalari este bine definita peW. Cu alte cuvinte, proprietatile 1. si 2. sunt satisfacute.

” ⇐ ” Sa consideram acum ca proprietatile 1. si 2. sunt adevarate. Atunci, estesuficient sa demonstram ca (W,+) este un subgrup în (V,+) si ca sunt verificate celepatru axiome de la spatii vectoriale. Luând λ = −1 în relatia 2., deducem ca

−v ∈ W, ∀ v ∈ W.

Prin urmare, folosind relatia 1., deducem ca

v + (−w) = v − w ∈W, ∀ v, w ∈W.

Din criteriul de subgrup, obtinem ca (W,+) este subgrup al lui (V,+).Este evident ca înmultirea cu scalari verifica cele patru proprietati de la spatii vecto-

riale. În concluzie, W are o structura de K-spatiu vectorial, relativ la operatiile indusede pe V. Cu alte cuvinte, W este un subspatiu al spatiului vectorial V.

Exemplul 1.2.15 Fie submultimea de matrici

W =

��a 00 a

�� a ∈ R�

⊂M2(R).

Considerând matricile

A =

�a 00 a

�∈W si B =

�b 00 b

�∈W,


deducem ca

A+B =

�a 00 a

�+

�b 00 b

�=

�a+ b 00 a+ b

�∈W.

Mai mult, luând λ ∈ R, deducem ca

λA = λ

�a 00 a

�=

�λa 00 λa

�∈W.

Prin urmare, conform criteriului de subspatiu, avem W ≤R M2(R).

Exemplul 1.2.16 Fie submultimea

W1 = {(x, 0) | x ∈ R} ⊂ R2.

Luând vectorii v = (x, 0) ∈W1 si w = (y, 0) ∈W1, deducem ca

v + w = (x, 0) + (y, 0) = (x+ y, 0) ∈W1.

Mai mult, avemλv = λ(x, 0) = (λx, 0) ∈ W1, ∀ λ ∈ R.

În consecinta, avem W1 ≤R R2.Prin analogie, submultimea

W2 = {(0, y) | y ∈ R}

este un subspatiu vectorial al lui RR2.Din punct de vedere geometric, este important de notat faptul ca spatiul vectorial

R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}

poate fi identificat cu planul cartezian, în timp ce subspatiile W1 si W2 pot fi identificatecu axele de coordonate Ox si Oy.

Exemplul 1.2.17 Fie W = {f ∈ R[X] | grad (f) = 2} ⊂ R2[X]. Deoarece suma adoua polinoame de grad doi poate avea ca rezultat un polinom de grad mai mic decât doi,deducem ca prima proprietate de la criteriul de subspatiu nu este satisfacuta. De exemplu,luând polinoamele f = 2+X2 ∈W si g = 1−X −X2 ∈ W, obtinem f + g = 3−X /∈W.În concluzie, W nu este un subspatiu în spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel multdoi RR2[X].

Exemplul 1.2.18 Fie W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+2y− z = 0} ⊂ R3. Este evident ca avem

W = {(α, β, α+ 2β) | α, β ∈ R}.

Fie vectorii v = (α, β, α + 2β) ∈ W si w = (α′, β′, α′ + 2β′) ∈ W. Suma acestor vectorieste

v + w = (α+ α′, β + β′, α+ α′ + 2(β + β′)) ∈W.Mai mult, avem

λv = λ(α, β, α+ 2β) = (λα, λβ, λα+ 2(λβ)) ∈W, ∀ λ ∈ R.

Prin urmare, conform criteriului de subspatiu, avem W ≤R R3.


Exemplul 1.2.19 Fie W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y+ z+ t+1 = 0} ⊂ R4. SubmultimeaW se poate rescrie sub forma

W = {(x, y, z,−x− y − z − 1) | x, y, z ∈ R}.

Luând doi vectori arbitrari din W , de exemplu

v = (x, y, z,−x− y − z − 1) ∈W si w = (x′, y′, z′,−x′ − y′ − z′ − 1) ∈W,

deducem ca suma lor

v + w = (x+ x′, y + y′, z + z′,−(x+ x′)− (y + y′)− (z + z′)− 2)

nu apartine lui W . În concluzie, W nu este un subspatiu vectorial în RR4.

1.3 Operatii cu subspatii

Fie S ⊆K V o submultime a K-spatiului vectorial V. Vom utiliza notatia

L(S) = {α1v1 + α2v2 + ...+ αpvp | p ∈ N∗, αi ∈ K, vi ∈ S, ∀ i = 1, p}

pentru a desemna ceea ce se numeste acoperirea liniara a submultimii S. Elementele(vectorii) acoperirii liniare L(S) se numesc combinatii liniare finite cu vectori din S.

Propozitia 1.3.1 Acoperirea liniara L(S) este un subspatiu vectorial în KV.

Demonstratie. Fie doua combinatii liniare finite cu vectori din submultimea S, definiteprin v = α1v1+α2v2+ ...+αpvp ∈ L(S) si w = β1w1+ β2w2+ ...+ βqwq ∈ L(S). Atunci,suma

v + w = α1v1 + α2v2 + ...+ αpvp + β1w1 + β2w2 + ...+ βqwq

este, de asemenea, o combinatie liniara finita cu vectori din S. Prin urmare, deducem cav + w ∈ L(S). Analog, daca α ∈ K este un scalar arbitrar, atunci

αv = (αα1)v1 + (αα2)v2 + ...+ (ααp)vp ∈ L(S).

În concluzie, L(S) ≤K V.

Exemplul 1.3.2 Fie submultimea S = {X,X2} ⊂R R2[X]. Atunci, acoperirea liniara asubmultimii S este

L(S) = {αX + βX2 | α, β ∈ R} ≤R R2[X].

Exemplul 1.3.3 Fie submultimea S = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} ⊆R R3. Atunci, aco-perirea liniara a submultimii S este

L(S) = {α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) | α, β, γ ∈ R} =

= {(α+ β + γ, β + γ, γ) | α, β, γ ∈ R}.

Notând β + γ = µ si α+ β + γ = ν, rezulta ca

L(S) = {(ν, µ, γ) | ν, µ, γ ∈ R} = R3.


Fie W1,W2 ≤K V doua subspatii ale spatiului vectorial KV.

Propozitia 1.3.4 Intersectia W1 ∩W2 este un subspatiu vectorial în KV.

Demonstratie. Fie v, w ∈ W1 ∩W2. Atunci, deducem ca avem v,w ∈ W1 si v,w ∈ W2.Deoarece W1 si W2 sunt subspatii, rezulta ca v+w ∈W1 si v+w ∈W2. Cu alte cuvinte,avem v + w ∈ W1 ∩W2. Analog, avem

αv ∈W1 ∩W2, ∀ α ∈ K, ∀ v ∈W1 ∩W2.

Exemplul 1.3.5 Fie subspatiile vectoriale

W1 = L{(1, 0, 0)} ≤R R3 si W2 = L{(1, 1, 0), (0, 0, 1)} ≤R R3.

Sa calculam intersectia W1 ∩W2. Din definitia acoperirii liniare deducem ca avem

W1 = {(α, 0, 0) | α ∈ R} si W2 = {(β, β, γ) | β, γ ∈ R}.

Fie v ∈W1∩W2. Atunci, exista α, β, γ ∈ R astfel încât v = (α, 0, 0) si v = (β, β, γ). Prinurmare, avem α = β = γ = 0, adica v = (0, 0, 0). În concluzie, intersectia subspatiilor W1

si W2 esteW1 ∩W2 = {(0, 0, 0)} ≤R R3.

Daca intersectia a doua subspatii vectoriale este în mod cert un subspatiu vectori-al, prin contrast, reuniunea a doua subspatii vectoriale nu este în mod obligatoriu unsubspatiu vectorial. Din acest motiv, introducem suma a doua subspatii vectoriale cafiind

W1 +W2 = L(W1 ∪W2) ≤K V.

Propozitia 1.3.6 Suma a doua subspatii vectoriale este data de multimea

W1 +W2 = {w1 + w2 | w1 ∈W1, w2 ∈W2}.

Demonstratie. Vom demonstra egalitatea din propozitie folosind principiul dublei in-cluziuni.

Este evident ca multimea {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} este inclusa în multimeaW1 +W2 = L(W1 ∪W2).

Reciproc, sa consideram un vector v ∈W1 +W2 = L(W1 ∪W2). Deducem ca vectorulv este o combinatie liniara finita cu vectori din W1 ∪W2, adica avem

v = α1v1 + α2v2 + ...+ αpvp,

unde αi ∈ K si vi ∈ W1 ∪W2, ∀ i = 1, p. Grupând termenii din combinatia liniara a luiv, într-o parte cei care sunt în W1 si în cealalta parte cei care sunt în W2, obtinem cav = w1 + w2, unde w1 ∈W1 si w2 ∈W2, adica ceea ce aveam de demonstrat.

În final, este important de subliniat faptul ca vectorii w1 ∈ W1 si w2 ∈ W2 nu suntunici în descompunerea vectorului v = w1 + w2 deoarece, în combinatia liniara a lui v,termenii comuni dinW1∩W2 pot fi atasati aleatoriu la termenii dinW1 sau la cei dinW2.

OPERATII CU SUBSPATII 17

Definitia 1.3.7 Subspatiul vectorial suma W1+W2 se numeste subspatiu suma directadaca W1 ∩W2 = {0V }. În acest caz vom folosi notatia

W1 ⊕W2 = L(W1 ∪W2) ≤K V.

Propozitia 1.3.8 Daca W1 si W2 sunt subspatii aflate în suma directa, atunci avem

W1 ⊕W2 = {v ∈ V | ∃! w1 ∈W1, w2 ∈W2 astfel încât v = w1 + w2}.

Demonstratie. Folosind propozitia anterioara, deducem ca este suficient sa demonstramunicitatea descompunerii vectorului v. Sa presupunem atunci ca avem

v = w1 + w2 = w′1 + w′2,

unde w1, w′1 ∈W1 si w2, w′2 ∈W2. Rezulta ca avem egalitatea w1−w′1 = w′2−w2. Deoarecew1 − w′1 ∈ W1 si w′2 − w2 ∈ W2, obtinem ca w1 − w′1 si w

′

2 − w2 ∈ W1 ∩W2 = {0V }. Cualte cuvinte, avem w1 = w′1 si w2 = w′2, adica ceea ce aveam de demonstrat.

Exemplul 1.3.9 Fie subspatiile vectoriale în RR2, definite prin

W1 = {(x, 0) | x ∈ R} si W2 = {(0, y) | y ∈ R}.

Fie v = (x, y) ∈ W1 ∩W2. Este evident ca avem x = y = 0, adica avem subspatiul sumadirecta

W1 ⊕W2 ≤R R2.

Fie acum (x, y) ∈ R2 un vector arbitrar din R2. Acest vector se descompune în mod unicca

(x, y) = (x, 0) + (0, y),

unde (x, 0) ∈W1 si (0, y) ∈W2. În concluzie, avem

R2 = W1 ⊕W2.

Exemplul 1.3.10 Fie subspatiile vectoriale în multimea matricilor patratice de ordin doiRM2(R), definite prin

W1 =

�A =

�a bb c

� �� a, b, c ∈ R�

(matricile simetrice A = TA)

si

W2 =

�X =

�0 x−x 0

� �� x ∈ R�

(matricile antisimetrice X = − TX).

Sa consideram acum vectorul (matricea)

M =

�x yz t

�∈W1 ∩W2.

Deducem imediat ca x = t = 0, y = z si y = −z. Cu alte cuvinte, avem

x = y = z = t = 0 ⇔M =

�0 00 0

�,


adica avem subspatiul suma directa

W1 ⊕W2 ≤R M2(R).

Fie acum un vector arbitrar din M2(R), definit de matricea�a bc d

�∈M2(R)

Este evident ca acest vector (matrice) se descompune în mod unic ca

�a bc d

�=

ab+ c

2b+ c

2d

+

0b− c

2

−b− c

20

,

unde

ab+ c

2b+ c

2d

∈W1 si

0b− c

2

−b− c

20

∈W2.

În concluzie, avem descompunerea

M2(R) = W1 ⊕W2.

1.4 Baze si dimensiuni

Fie S = {e1, e2, ..., en} ⊆K V o submultime finita de vectori din K-spatiul vectorial V.

Definitia 1.4.1 Multimea S = {e1, e2, ..., en} se numeste sistem de generatori pentruspatiul vectorial KV daca

L(S) = V.

Definitia 1.4.2 Daca exista în spatiul vectorial KV un sistem de generatori S cu unnumar finit de vectori e1, e2, ..., en, atunci spatiul vectorial KV se numeste spatiu vectorialfinit generat.

Propozitia 1.4.3 Multimea S = {e1, e2, ..., en} este sistem de generatori pentru spatiulvectorial KV daca si numai daca

∀ v ∈ V, ∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ...+ αnen.

Demonstratie. Sa presupunem întâi ca multimea S = {e1, e2, ..., en} este un sistemde generatori pentru spatiul vectorial KV si sa luam un vector arbitrar v ∈ V = L(S).Atunci, din definitia acoperirii liniare L(S), rezulta ca

∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ...+ αnen,

adica proprietatea din propozitie este adevarata.

BAZE SI DIMENSIUNI 19

Reciproc, sa presupunem ca proprietatea din propozitie este adevarata si sa luam unvector arbitrar v ∈ V. Atunci

∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ...+ αnen,

adica v ∈ L(S). Cu alte cuvinte, avem V ⊆ L(S). Deoarece este evident ca întotdeaunaavem L(S) ⊆ V , rezulta ca L(S) = V . În concluzie, multimea S = {e1, e2, ..., en} este unsistem de generatori pentru spatiul vectorial KV.

Exemplul 1.4.4 Fie S = {e1 = (1, 2), e2 = (2, 4)} ⊂ RR2. Vom demonstra ca sub-multimea S nu este un sistem de generatori pentru spatiul vectorial RR2. Pentru aceasta,sa luam un vector arbitrar v = (x, y) ∈ R2. Sa presupunem ca ∃ α, β ∈ R astfel încât

v = (x, y) = αe1 + βe2 = α(1, 2) + β(2, 4).

Deducem ca sistemul liniar în necunoscutele α si β, definit de ecuatiile�α+ 2β = x

2α+ 4β = y,

este compatibil pentru orice x, y ∈ R. Deoarece determinantul sistemului este nul, rezultaca acest sistem este compatibil doar daca 2x = y. Cu alte cuvinte, doar pentru vectorii deforma v = (x, 2x) exista α, β ∈ R astfel încât

v = αe1 + βe2.

Deci, conform propozitiei anterioare, multimea S nu este un sistem de generatori pentruspatiul vectorial RR2.

Exemplul 1.4.5 Fie submultimea de vectori

S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} ⊂ RR3.

Vom demonstra ca submultimea S este un sistem de generatori pentru spatiul vectorialRR3. Pentru aceasta, sa luam un vector arbitrar v = (x, y, z) ∈ R3. Sa presupunem caexista α, β, γ ∈ R astfel încât

v = (x, y, z) = αe1 + βe2 + γe3 =

= α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1).

Deducem ca sistemul în necunoscutele α, β si γ, definit de ecuatiile

α+ β + γ = x

β + γ = y

γ = z,

este compatibil pentru orice x, y, z ∈ R. Acest lucru este adevarat, deoarece determinantulsistemului este nenul. În concluzie, multimea S este un sistem de generatori pentru spatiulvectorial RR3.


Definitia 1.4.6 Multimea S = {e1, e2, ..., en} se numeste liniar independenta în spatiulvectorial KV daca pentru

∀ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât α1e1 + α2e2 + ...+ αnen = 0V

rezulta ca α1 = α2 = ... = αn = 0. În cazul în care S nu este o multime liniar independentaspunem ca S este liniar dependenta.

Observatia 1.4.7 Multimea S = {e1, e2, ..., en} este liniar dependenta în KV daca existascalarii α1, α2, ..., αn ∈ K, nu toti nuli, astfel încât

α1e1 + α2e2 + ...+ αnen = 0V .

Cu alte cuvinte, deoarece cel putin unul dintre scalari este nenul, rezulta ca vectorulcorezpunzator poate fi scris ca o combinatie liniara de ceilalti vectori.

Exemplul 1.4.8 Fie S = {e1 = (1, 2), e2 = (2, 4)} ⊂ RR2. Vom demonstra ca S nu esteo multime liniar independenta în RR2. Pentru aceasta, fie α, β ∈ R astfel încât

αe1 + βe2 = 0R2 ⇔ α(1, 2) + β(2, 4) = (0, 0).

Deducem ca α+2β = 0. Cu alte cuvinte, exista α, β ∈ R, nu amândoua nule, astfel încâtαe1+βe2 = 0R2. În concluzie, S este o multime liniar dependenta în RR2. Este importantde notat ca avem dependenta liniara e2 = 2e1.

Exemplul 1.4.9 Fie S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} ⊂ RR3. Sa conside-ram scalarii α, β, γ ∈ R astfel încât

αe1 + βe2 + γe3 = 0R3 ⇔ α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) = (0, 0, 0).

Deducem de aici ca α = β = γ = 0. În concluzie, S este o multime liniar independentaîn spatiul vectorial RR3.

Definitia 1.4.10 O submultime B = {e1, e2, ..., en} ⊆ KV se numeste baza a spatiuluivectorial KV daca B este si un sistem de generatori si o submultime liniar independentaîn KV .

Exemplul 1.4.11 Submultimea B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este baza în spatiul vecto-rial RR2. Pentru a demonstra ca B este un sistem de generatori, sa observam ca pentruorice vector (x, y) ∈ R2 avem descompunerea naturala

(x, y) = xe1 + ye2 = x(1, 0) + y(0, 1).

Mai mult, considerând α, β ∈ R astfel încât

αe1 + βe2 = 0R2 ⇔ α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0),

deducem ca α = β = 0. Cu alte cuvinte, submultimea B este liniar independenta. Înconcluzie, B este o baza în RR2 numita baza canonica a spatiului vectorial RR2.


Exemplul 1.4.12 Submultimea de vectori

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

este baza în spatiul vectorial RR3. Aceasta este un sistem de generatori deoarece avem

(x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3 = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), ∀ (x, y, z) ∈ R3.

Evident, luând α, β, γ ∈ R astfel încât

αe1 + βe2 + γe3 = 0R3 ⇔ α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = (0, 0, 0),

deducem ca α = β = γ = 0. Cu alte cuvinte, B este liniar independenta. În concluzie, Beste o baza în RR3 numita baza canonica a lui RR3.

Exemplul 1.4.13 Submultimea B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X2} este baza în spatiulvectorial al polinoamelor de grad cel mult doi RR2[X]. Aceasta este un sistem de generatorideoarece orice polinom de grad cel mult doi are expresia f = a · 1 + b ·X + c ·X2, undea, b, c ∈ R. Evident, luând α, β, γ ∈ R astfel încât

α · 1 + β ·X + γ ·X2 = O (polinomul nul),

deducem ca α = β = γ = 0. Cu alte cuvinte, B este liniar independenta. În concluzie, Beste o baza în RR2[X] numita baza canonica a lui RR2[X].

Exemplul 1.4.14 Submultimea de vectori

B =

�e1 =

�1 00 0

�, e2 =

�0 10 0

�, e3 =

�0 01 0

�, e4 =

�0 00 1

��

este baza în spatiul vectorial al matricilor patratice de ordin doi RM2(R). Pentru a demon-stra ca B este un sistem de generatori, sa observam ca avem descompunerea naturala

�a bc d

�= ae1 + be2 + ce3 + de4, ∀

�a bc d

�∈M2(R).

Mai mult, considerând α, β, γ, δ ∈ R astfel încât

αe1 + βe2 + γe3 + δe4 = 0M2(R) (matricea nula),

deducem ca α = β = γ = δ = 0. Cu alte cuvinte, B este liniar independenta. În concluzie,B este o baza în RM2(R) numita baza canonica a lui RM2(R).

Teorema 1.4.15 (de existenta a bazelor) Fie V �= {0V } un K-spatiu vectorial finitgenerat. Atunci exista în KV o baza cu un numar finit de elemente.

Demonstratie. Fie S = {e1, e2, ..., ep}, ei �= ej , ∀ i �= j, un sistem de generatori pentruKV. Rezulta ca avem

V = L({e1, e2, ..., ep}).Daca S este liniar independenta, atunci S este o baza a lui KV. Daca S nu este liniarindependenta, atunci exista scalarii α1, α2, ..., αn ∈ K, nu toti nuli, astfel încât

α1e1 + α2e2 + ...+ αpep = 0V .


Putem presupune, fara a restrânge generalitatea, ca αp �= 0. Atunci

ep ∈ L({e1, e2, ..., ep−1}),care implica egalitatea

V = L(S) = L({e1, e2, ..., ep−1}).Repetam rationamentul de mai sus pentru submultimea

S1 = {e1, e2, ..., ep−1}

si deducem ca exista o submultime B cu mai putin de p elemente care este liniar indepen-denta. În plus, multimea B genereaza spatiul vectorial KV, adica este o baza în spatiulvectorial KV.

Teorema 1.4.16 Fie V �= {0V } un K-spatiu vectorial finit generat. Atunci orice douabaze finite ale lui KV au acelasi numar de elemente.

Demonstratie. Fie B = {e1, e2, ..., en} si B′ = {e′1, e′2, ..., e′n′} doua baze arbitrare alelui KV, unde n (respectiv n′) reprezinta numarul de elemente al lui B (respectiv B′).Deoarece B este baza (în particular, B este un sistem de generatori), deducem ca

∃ aij ∈ K astfel încât e′j =n�

i=1

aijei, ∀ j = 1, n′.

Fie scalarii α1, α2, ..., αn′ ∈ K astfel încât

α1e′

1 + α2e′

2 + ...+ αn′e′

n′ = 0V ⇔n′�

j=1

αje′

j = 0V ⇔n′�

j=1

n�

i=1

αjaijei = 0V .

Deoarece e1, e2, ..., en este un sistem de vectori liniar independenti, deducem ca

n′�

j=1

αjaij = 0, ∀ i = 1, n.

Obtinem astfel un sistem omogen de ecuatii având n ecuatii si n′ necunoscute α1, α2, ..., αn′.Pe de alta parte, deoarece si vectorii e′1, e

′

2, ..., e′

n′ sunt liniar independenti, rezulta ca sis-temul omogen anterior trebuie sa aiba doar solutia nula. Cu alte cuvinte, trebuie canumarul de ecuatii n sa fie mai mare, cel mult egal, cu numarul de necunoscute n′, adicatrebuie sa avem n ≥ n′ si rang(A) = n′, undeA = (aij)i=1,n, j=1,n′ este matricea sistemului.

Aplicând acelasi rationament invers, pentru bazele B′ si B, deducem ca n′ ≥ n. Înconcluzie, avem n = n′, adica ceea ce aveam de demonstrat.

Definitia 1.4.17 Fie B = {e1, e2, ..., en} o baza arbitrara finita a spatiului vectorial finitgenerat KV . Numarul elementelor din baza B se numeste dimensiunea spatiului vecto-rial KV si se noteaza

dimK V = n ∈ N∗.

Observatia 1.4.18 Este important de subliniat ca dimensiunea

dimK V = n <∞nu depinde de alegerea bazei finite B în KV deoarece, conform teoremei precedente, oricedoua baze finite ale spatiului vectorial finit generat KV au acelasi numar de elemente.


Exemplul 1.4.19 Baza canonica în spatiul vectorial RR2 este

B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.

Prin urmare, dimensiunea acestui spatiu vectorial este dimRR2 = 2.

Exemplul 1.4.20 Baza canonica în spatiul vectorial RR3 este

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.

În concluzie, dimensiunea acestui spatiu vectorial este dimRR3 = 3.

Exemplul 1.4.21 Baza canonica în spatiul vectorial RR2[X] este

B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X2}.

Deducem ca dimensiunea acestui spatiu vectorial este dimRR2[X] = 3.

Exemplul 1.4.22 Baza canonica în spatiul vectorial RM2(R) este

B =

�e1 =

�1 00 0

�, e2 =

�0 10 0

�, e3 =

�0 01 0

�, e4 =

�0 00 1

��.

Dimensiunea acestui spatiu vectorial este dimRM2(R) = 4.

Observatia 1.4.23 Este important de remarcat faptul ca dimensiunea unui spatiu vecto-rial real finit generat coincide cu numarul de variabile independente care determinaun vector arbitrar al spatiului. Mai mult, baza canonica a spatiului vectorial se obtineluând, pe rând, vectorii determinati astfel: primul vector se obtine luând prima variabilaegala cu 1, restul variabilelor egale cu 0; al doilea vector se obtine luând a doua variabilaegala cu 1, celelalte variabile egale cu 0 si asa mai departe.

Exemplul 1.4.24 Avem R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}. Deoarece un vector arbitrar al spatiuluiv = (x, y) este determinat de doua variabile independente x si y, rezulta ca dimRR2 = 2.Cei doi vectori ai bazei canonice a spatiului RR2 se obtin luând x = 1 si y = 0 pentrue1 = (1, 0), respectiv x = 0 si y = 1 pentru e2 = (0, 1).

Exemplul 1.4.25 În spatiul vectorial R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} un vector arbitrarv = (x, y, z) este determinat de trei variabile independente x, y si z, deci dimRR3 = 3.Cei trei vectori ai bazei canonice a spatiului RR3 se obtin luând pe rând: x = 1, y = z = 0pentru e1 = (1, 0, 0), y = 1, x = z = 0 pentru e2 = (0, 1, 0) si z = 1, x = y = 0 pentrue3 = (0, 0, 1).

Exemplul 1.4.26 Deoarece un polinom arbitrar de grad cel mult doi, definit prin

f = a+ bX + cX2,

este determinat de trei coeficienti independenti a, b si c ∈ R, deducem ca dimRR2[X] = 3.Cei trei vectori ai bazei canonice a spatiului vectorial al polinoamelor de grad cel mult doiRR2[X] se obtin luând pe rând: a = 1, b = c = 0 pentru e1 = 1, b = 1, a = c = 0 pentrue2 = X si c = 1, a = b = 0 pentru e3 = X2.


Exemplul 1.4.27 Deoarece o matrice patratica de ordin doi, definita prin

A =

�a bc d

�,

este total definita de patru variabile independente a, b, c si d ∈ R, rezulta ca

dimRM2(R) = 4.

Cei patru vectori ai bazei canonice a spatiului vectorial al matricilor patratice de ordindoi RM2(R) se obtin luând pe rând: a = 1, b = c = d = 0 pentru e1, b = 1, a = c = d = 0pentru e2, c = 1, a = b = d = 0 pentru e3 si d = 1, a = b = c = 0 pentru e4.

Exemplul 1.4.28 Sa consideram subspatiul vectorial

W = {(x, y) ∈ R2 | x+ y = 0} ≤ RR2.

Este evident ca subspatiul W se poate scrie sub forma

W = {(x,−x) | x ∈ R}.

În concluzie, dimensiunea acestui subspatiu este dimRW = 1. Mai mult, baza canonica asubspatiului W este B = {e1 = (1,−1)}, unde vectorul din aceasta baza s-a obtinut luândx = 1.

Lema 1.4.29 (Steinitz) Fie V �= {0V } un K-spatiu vectorial finit generat. Atunci oricesubmultime finita liniar independenta a lui KV poate fi completata cu vectori pâna la obaza în KV.

Demonstratie. Fie L′ ⊆ V o submultime finita liniar independenta a lui KV. Fie unvector v ∈ V \L(L′). Rezulta imediat ca multimea L′ ∪ {v} este liniar independenta.

Fie S = {v1, v2, ..., vn} un sistem finit de generatori pentru KV si sa considerammultimea R = S\L(L′). Atunci multimea B = L′ ∪ R este evident liniar independenta siun sistem de generatori. În concluzie, B este o baza în KV.

Teorema 1.4.30 Sa consideram un K-spatiu vectorial V de dimensiune

dimK V = n ≥ 1

si fie W ≤ KV un subspatiu vectorial al lui KV . Atunci avem inegalitatea

dimK W ≤ dimK V,

cu ” = ” daca si numai daca W = V.

Demonstratie. Fie v1 �= 0 un vector nenul din KV . Atunci multimea {v1} este liniarindependenta în KV . Presupunând ca W = L({v1}), rezulta ceea ce trebuia demonstrat.Daca L({v1}) � W, atunci ∃ v2 ∈ W\L({v1}) astfel încât multimea {v1, v2} este liniarindependenta. În aceasta situatie, ori avem W = L({v1, v2}) ori ∃ v3 ∈ W\L({v1, v2})astfel încât multimea {v1, v2, v3} este liniar independenta. Continuam procedeul pâna lacel mult n = dimK V. Deducem ca avem inegalitatea dimK W ≤ dimK V.

Sa presupunem ca dimK W = n. Atunci orice baza a subspatiului W este liniar inde-pendenta în KV si contine n elemente. Prin urmare, aceasta este, de asemenea, o baza aspatiului vectorial KV . Rezulta ceea ce trebuia demonstrat, adica W = V.


Teorema 1.4.31 (Grassmann) Daca W1,W2 sunt subspatii finit dimensionale în KV ,atunci W1 +W2 si W1 ∩W2 sunt, de asemenea, subspatii finit dimensionale în KV . Maimult, avem relatia

dimK(W1 +W2) = dimK W1 + dimK W2 − dimK(W1 ∩W2).

Demonstratie. Fie {e1, e2, ..., ep} baza în W1 ∩W2. Atunci, conform lemei lui Steinitz,exista vectorii

up+1, up+2, ..., up+q ∈W1

siwp+1, wp+2, ..., wp+r ∈W2

astfel încât{e1, e2, ..., ep, up+1, up+2, ..., up+q}

este baza în W1 si{e1, e2, ..., ep, wp+1, wp+2, ..., wp+r}

este baza în W2. Este evident ca submultimea de vectori

{e1, e2, ..., ep, up+1, up+2, ..., up+q, wp+1, wp+2, ..., wp+r}

este o baza în W1 +W2. Rezulta ceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 1.4.32 Daca W1,W2 sunt subspatii finit dimensionale ale lui KV , care se aflaîn suma directa, atunci W1⊕W2 este, de asemenea, subspatiu finit dimensional al lui KV .Mai mult, avem relatia

dimK(W1 ⊕W2) = dimK W1 + dimK W2.

Demonstratie. Folosim teorema lui Grassmann si faptul ca avem W1 ∩W2 = {0V }.

Exemplul 1.4.33 Fie W1 = {a + bX | a, b ∈ R} si W2 = {µX2 | µ ∈ R} subspatii alespatiului polinoamelor de grad cel mult doi RR2[X]. Atunci avem

R2[X] =W1 ⊕W2.

Pentru a demonstra acest lucru, fie f ∈W1 ∩W2. Deducem ca ∃ a, b, µ ∈ R astfel încât

f = a+ bX = µX2 ⇔ a+ bX − µX2 = 0R2[X] ⇔ a = b = µ = 0.

În concluzie, W1 ∩W2 = {0R2[X]}, adica subspatiile W1 si W2 se afla în suma directa:

W1 ⊕W2 ≤ RR2[X].

Mai mult, avem

dimR(W1 ⊕W2) = dimRW1 + dimRW2 = 2 + 1 = 3 = dimRR2[X] ⇔⇔ W1 ⊕W2 = RR2[X].


1.5 Coordonate. Schimbari de coordonate

Fie V un K-spatiu vectorial, unde dimK V = n. Fie B = {e1, e2, ..., en} baza în KV.Deoarece B este baza, rezulta ca

∀ v ∈ V, ∃! x1, x2, ..., xn ∈ K astfel încât v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen.

Definitia 1.5.1 Matricea (x1, x2, ..., xn) ∈ M1,n(K) reprezinta coordonatele vectoruluiv în baza B a spatiului vectorial KV.

Exemplul 1.5.2 Fie vectorul v = (3, 2, 1) si baza

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

în spatiul vectorial RR3. Atunci, la nivel de coordonate, avem descompunerea

v = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Egalând pe componente, obtinem sistemul liniar

x1 + x2 + x3 = 3

x2 + x3 = 2

x3 = 1.

Rezolvând sistemul, deducem ca x1 = x2 = x3 = 1. În concluzie, (1, 1, 1) reprezintacoordonatele vectorului v în baza B a spatiului vectorial RR3.

Exemplul 1.5.3 Fie vectorul f = 1 +X +X2 si baza

B = {e1 = 1−X, e2 = 3, e3 = 2 +X2}

în spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult doi RR2[X]. Atunci, la nivel de coor-donate, avem descompunerea

f = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Egalând coeficientii polinoamelor, gasim sistemul liniar

x1 + 3x2 + 2x3 = 1

−x1 = 1

x3 = 1.

Rezolvând sistemul, deducem ca

x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.

Cu alte cuvinte, coordonatele vectorului f în baza B sunt (−1, 0, 1).

COORDONATE. SCHIMBARI DE COORDONATE 27

Sa consideram acum ca B′ = {e′1, e′2, ..., e′n} este o alta baza a spatiului vectorialKV. Deoarece submultimea B = {e1, e2, ..., en} este si ea o baza în spatiul vectorial KV,deducem ca avem descompunerile unice:

e′1 = c11e1 + c12e2 + ...+ c1nen,

e′2 = c21e1 + c22e2 + ...+ c2nen,

···e′n = cn1e1 + cn2e2 + ...+ cnnen,

unde C = (cij)i,j=1,n ∈Mn(K).

Definitia 1.5.4 Matricea patratica

MBB′ = TC = (cji)i,j=1,n ∈Mn(K)

se numeste matricea de trecere de la baza B la baza B′.

Fie B = {e1, e2, ..., en}, B′ = {e′1, e′2, ..., e′n} si B′′ = {e′′1, e′′2, ..., e′′n} trei baze ale spatiu-lui vectorial KV, unde dimK V = n. Atunci avem

Propozitia 1.5.5 Urmatoarele relatii matriceale sunt adevarate:

1. MBB = In, unde In ∈Mn(K) este matricea identitate;

2. MB′B =M−1BB′;

3. MBB′′ =MBB′ ·MB′B′′.

Demonstratie.

1. Descompunerea elementelor bazei B în baza B se realizeaza, evident, în felul urma-tor:

e1 = 1 · e1 + 0 · e2 + ...+ 0 · en,e2 = 0 · e1 + 1 · e2 + ...+ 0 · en,...

en = 0 · e1 + 0 · e2 + ...+ 1 · en,

⇔MBB = In.

2. Sa utilizam urmatoarele notatii formale:

e =

e1e2...en

si e′ =

e′1e′2...e′n

.

Atunci, din definitia matricii de trecere de la o baza la alta, avem adevarate ur-matoarele relatii matriceale: e′ = TMBB′ · e si e = TMB′B · e′. Acestea implicaegalitatile

e′ = TMBB′ · TMB′B · e′ ⇒ TMBB′ · TMB′B = In.

Cu alte cuvinte, obtinem ceea ce trebuia demonstrat:

MBB′ ·MB′B = In ⇔MB′B =M−1BB′.


3. Urmatoarele relatii matriceale formale sunt adevarate:

e′ = TMBB′ · e, e′′ = TMBB′′ · e si e′′ = TMB′B′′ · e′,

unde

e′′ =

e′′1e′′2...e′′n

.

Aceste relatii implica egalitatile

e′′ = TMB′B′′ · TMBB′ · e⇒ TMBB′′ = TMB′B′′ · TMBB′.

Fie v ∈ V un vector si fie

X =

x1x2...xn

si X ′ =

x′1x′2...x′n

coordonatele (scrise pe coloana) vectorului v în bazele

B = {e1, e2, ..., en} si B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}.

Propozitia 1.5.6 Urmatoarea relatie matriceala de schimbare a coordonatelor este ade-varata:

X =MBB′ ·X ′.

Demonstratie. Deoarece (x′1, x′

2, ..., x′

n) sunt coordonatele vectorului v în baza B′,rezulta ca avem

v =n�

i=1

x′ie′

i.

Folosind matricea de trecere de la baza B la baza B′, aceasta relatie se poate scrie subforma

v =n�

i=1

n�

j=1

x′icijej.

În acelasi timp, deoarece (x1, x2, ..., xn) sunt coordonatele vectorului v în baza B, avemrelatia

v =n�

j=1

xjej .

În concluzie, din ultimele doua egalitati obtinem egalitatile de coordonate:

xj =n�

i=1

x′icij , ∀ j = 1, n.

Aceste egalitati scrise la nivel matriceal conduc la ceea ce aveam de demonstrat.

COORDONATE. SCHIMBARI DE COORDONATE 29

Corolarul 1.5.7 Urmatoarea relatie matriceala de schimbare a coordonatelor este ade-varata:

X ′ =MB′B ·X =M−1BB′ ·X.

Exemplul 1.5.8 Fie vectorul v = (1, 2, 3) si bazele

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

siB′ = {e′1 = (1, 0, 0), e′2 = (1, 1, 0), e′3 = (1, 1, 1)}

în spatiul vectorial RR3. Atunci avem adevarate egalitatile

e′1 = 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3,e′2 = 1 · e1 + 1 · e2 + 0 · e3,e′3 = 1 · e1 + 1 · e2 + 1 · e3,

care conduc la matricea de trecere

MBB′ =

1 1 10 1 10 0 1

.

Este evident ca vectorul v are coordonatele

X =

123

în baza canonica B. Fie

X ′ =

x′1x′2x′3

coordonatele vectorului v în baza B′. Din relatia de schimbare a coordonatelor deducem ca

x′1x′2x′3

=

1 1 10 1 10 0 1

−1

123

=

1 −1 00 1 −10 0 1

123

=

−1−13

.

Exemplul 1.5.9 Fie vectorul f = X2 − 2X + 5 si bazele

B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X2}

siB′ = {e′1 = 2X, e′2 = 3, e′3 = X2 − 1}

în spatiul vectorial RR2[X]. Atunci avem adevarate egalitatile

e′1 = 0 · e1 + 2 · e2 + 0 · e3,e′2 = 3 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3,e′3 = −1 · e1 + 0 · e2 + 1 · e3,


care conduc la matricea de trecere

MBB′ =

0 3 −12 0 00 0 1

.

Este evident ca vectorul f are coordonatele

X =

5−21

în baza canonica B. Fie

X ′ =

x′1x′2x′3

coordonatele vectorului f în baza B′. Din relatia de schimbare a coordonatelor deducemca avem

x′1x′2x′3

=

0 3 −12 0 00 0 1

−1

5−21

=

=

0 1/2 0

1/3 0 1/30 0 1

5−21

=

−121

.

1.6 Produse scalare. Lungimi si unghiuri

Pentru început, este foarte important de notat faptul pâna la sfârsitul expunerii ele-mentelor teoretice ale acestui Capitol vom considera ca câmpul de scalari (K,+, ·) estecorpul numerelor reale (R,+, ·). În consecinta, fie V un R-spatiu vectorial.

Definitia 1.6.1 O aplicatie �, � : V × V → R, satisfacând proprietatile

1. �v, w� = �w, v� , ∀ v,w ∈ V (simetrie),

2. �v1 + v2, w� = �v1, w�+ �v2, w� , ∀ v1, v2, w ∈ V (aditivitate),

3. �λv, w� = λ �v, w� , ∀ λ ∈ R, ∀ v, w ∈ V (omogeneitate),

4. �v, v� ≥ 0, ∀ v ∈ V, cu ” = ” daca si numai daca v = 0V (pozitiv definire),

se numeste produs scalar pe spatiul vectorial real RV.

Definitia 1.6.2 Un spatiu vectorial real RV, înzestrat cu un produs scalar �, � , se numestespatiu euclidian.

PRODUSE SCALARE. LUNGIMI SI UNGHIURI 31

Exemplul 1.6.3 Fie v = (x1, x2, x3) ∈ R3 si w = (y1, y2, y3) ∈ R3 doi vectori arbitrariai spatiului vectorial RR3. Sa aratam ca aplicatia

�v, w� def= x1y1 + x2y2 + x3y3 ∈ R

este un produs scalar pe RR3. Pentru aceasta trebuie sa demonstram cele patru proprietaticare definesc un produs scalar. Simetria rezulta imediat din urmatoarele egalitati:

�v, w� = x1y1 + x2y2 + x3y3 = y1x1 + y2x2 + y3x3 = �w, v� .

Luând un scalar arbitrar λ ∈ R, omogeneitatea rezulta din relatiile:

�λv, w� = (λx1)y1 + (λx2)y2 + (λx3)y3 = λ(x1y1 + x2y2 + x3y3) = λ �v, w� .

Prin analogie, rezulta si proprietatea de aditivitate a aplicatiei �, �. Pentru a demonstraproprietatea de pozitiv definire sa observam ca avem

�v, v� = x21 + x22 + x23 ≥ 0,

cu ” = ” daca si numai daca x1 = x2 = x3 = 0, adica v = (0, 0, 0). În concluzie, (R3, �, �)este un spatiu euclidian.

Exemplul 1.6.4 Sa aratam ca aplicatia

�f, g� def=

� 1

−1

f(x)g(x)dx ∈ R,

unde f, g sunt polinoame de grad cel mult doi, este un produs scalar pe RR2[X]. Esteevident ca avem proprietatea de simetrie:

�f, g� =� 1

−1

f(x)g(x)dx =

� 1

−1

g(x)f(x)dx = �g, f� .

Luând un scalar arbitrar λ ∈ R, omogeneitatea rezulta din relatiile:

�λf, g� =� 1

−1

[λf(x)]g(x)dx = λ

� 1

−1

f(x)g(x)dx = λ �f, g� .

Printr-un calcul simplu, folosind proprietatea de aditivitate a integralei, rezulta si propri-etatea de aditivitate a aplicatiei �, � . Pentru a demonstra proprietatea de pozitiv definiresa observam ca inegalitatea f 2(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [−1, 1], implica inegalitatea integrala

�f, f� =� 1

−1

f2(x)dx ≥ 0.

Mai mult, sa presupunem ca avem �f, f� = 0. Din punct de vedere geometric aceastaînseamna ca aria subgraficului functiei pozitive f2 ≥ 0 este nula. Însa aceasta arie estenula daca si numai daca f(x) = 0, ∀ x ∈ [−1, 1]. Cu alte cuvinte, avem �f, f� = 0 dacasi numai daca f = O (polinomul nul). În concluzie, (R2[X], �, �) este un spatiu euclidian.

Teorema 1.6.5 (inegalitatea Cauchy) În orice spatiu vectorial euclidian (V, �, �) pro-dusul scalar satisface inegalitatea Cauchy

�v, w�2 ≤ �v, v� · �w,w� , ∀ v,w ∈ V,

cu ” = ” daca si numai daca vectorii v si w sunt liniar dependenti.


Demonstratie. Sa presupunem ca w = 0V . Atunci avem �w,w� = 0. Pe de alta parte,folosind aditivitatea produsului scalar, obtinem

�v, 0V �+ �v, 0V � = �v, 0V � , ∀ v ∈ V,

adica �v, 0V � = 0, ∀ v ∈ V. Cu alte cuvinte, inegalitatea Cauchy este adevarata în acestcaz.

Sa presupunem acum ca w �= 0V si sa luam un vector arbitrar v ∈ V. Pozitiv definireaprodusului scalar implica inegalitatea

�v + λw, v + λw� ≥ 0, ∀ λ ∈ R.

Folosind aditivitatea si omogeneitatea produsului scalar, deducem ca

�w,w�λ2 + 2 �v,w�λ+ �v, v� ≥ 0, ∀ λ ∈ R.

Prin urmare, trebuie ca discriminantul ecuatiei de grad doi sa fie negativ, adica

∆ = 4 �v,w�2 − 4 �w,w� · �v, v� ≤ 0.

Mai mult, daca discriminantul este nul rezulta ca exista λ ∈ R astfel încât

v + λw = 0V ,

adica vectorii v si w sunt liniar dependenti. Rezulta ceea ce aveam de demonstrat.

Corolarul 1.6.6 Fie (V, �, �) un spatiu euclidian. Atunci, functia

|| · || : V → R,

definita prin||v|| =

��v, v�, ∀ v ∈ V,

verifica urmatoarele proprietati:

1. ||v|| ≥ 0, ∀ v ∈ V, cu ” = ” daca si numai daca v = 0V ;

2. ||λv|| = |λ| · ||v||, ∀ λ ∈ R, ∀ v ∈ V ;

3. ||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||, ∀ v,w ∈ V. (inegalitatea triunghiului)

Demonstratie. Pozitiv definirea si omogeneitatea produsului scalar implica imediatproprietatile 1. si 2. Folosind proprietatile produsului scalar si inegalitatea lui Cauchy,deducem inegalitatea triunghiului:

||v + w||2 = �v + w, v + w� = �v, v�+ 2 �v,w�+ �w,w� ≤≤ ||v||2 + ||w||2 + 2 · | �v, w� | ≤≤ ||v||2 + ||w||2 + 2 · ||v|| · ||w|| = (||v||+ ||w||)2 , ∀ v, w ∈ V.

Definitia 1.6.7 Functia || · || : V → R, definita prin

||v|| =��v, v�, ∀ v ∈ V,

se numeste norma (lungimea) euclidiana a spatiului euclidian (V, �, �).

PRODUSE SCALARE. LUNGIMI SI UNGHIURI 33

Exemplul 1.6.8 Sa calculam lungimea (norma) vectorului v = (1, 2, 3) în spatiul eucli-dian (R3, �, �). Folosind definitia produsului scalar pe spatiul vectorial RR3, obtinem

||v|| =�

�v, v� =√12 + 22 + 32 =

√14.

Exemplul 1.6.9 Sa calculam lungimea (norma) vectorului f = X în spatiul euclidian(R2[X], �, �). Folosind definitia produsului scalar pe spatiul vectorial RR2[X], obtinem

||f || =�

�f, f� =�� 1

−1

f 2(x)dx =

�� 1

−1

x2dx =

�2

3.

Definitia 1.6.10 Fie (V, �, �) un spatiu euclidian si fie v, w ∈ V \{0V } doi vectori arbi-trari nenuli. Atunci, numarul real θ ∈ [0, π], definit de relatia

cos θ =�v, w�

||v|| · ||w|| ∈ [−1, 1],

se numeste unghiul dintre v si w în spatiul euclidian (V, �, �).

Observatia 1.6.11 Faptul ca avem cos θ ∈ [−1, 1] rezulta din inegalitatea lui Cauchy.

Exemplul 1.6.12 Sa calculam unghiul dintre vectorii

v = (1, 2, 3) si w = (3, 2, 0)

în spatiul euclidian (R3, �, �). Conform definitiei produsului scalar pe spatiul vectorial RR3,avem

�v, w� = �(1, 2, 3), (3, 2, 0)� = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 0 = 7,

||v|| =√12 + 22 + 32 =

√14 si ||w|| =

√32 + 22 + 02 =

√13.

În concluzie, obtinem

cos θ =�v,w�

||v|| · ||w|| =7√

14 ·√13

=

�7

26⇔ θ = arccos

�7

26.

Exemplul 1.6.13 Sa calculam unghiul dintre vectorii

f = X si g = X2

în spatiul euclidian (R2[X], �, �). Conform definitiei produsului scalar pe spatiul vectorialRR2[X], avem

�f, g� =� 1

−1

x3dx = 0.

Deducem ca avem cos θ = 0, adica θ = π/2.

Definitia 1.6.14 Doi vectori nenuli v,w ∈ V \{0V } sunt ortogonali (perpendiculari)în spatiul euclidian (V, �, �) daca

�v, w� = 0 ⇔ θ =π

2.

În aceasta situatie, vom folosi notatia v ⊥ w.


Propozitia 1.6.15 Orice doi vectori nenuli ortogonali v ⊥ w în spatiul euclidian (V, �, �)sunt liniar independenti.

Demonstratie. Fie α, β ∈ R astfel încât αv + βw = 0V , unde

�v, w� = 0.

Aplicând în egalitatea precedenta produsul scalar cu vectorul v, obtinem

α �v, v�+ β �w, v� = 0,

adica α = 0.Analog, facând produsul scalar al egalitatii de mai sus cu vectorul w, deducemca β = 0. În concluzie, multimea {v, w} este liniar independenta.

Corolarul 1.6.16 Fie (V, �, �) un spatiu euclidian de dimensiune

dimR V = n ≥ 1.

În acest context, orice multime de n vectori ortogonali unul pe celalalt formeaza o baza aspatiului euclidian (V, �, �).

Demonstratie. Fie multimea de vectori B = {e1, e2, ..., en} ⊆ RV, unde

ei ⊥ ej, ∀ i, j = 1, n, i �= j.

Conform propozitiei anterioare, deducem ca multimea B este liniar independenta. Deoa-rece avem

dimR V = n,

rezulta ca multimea B este de fapt baza în spatiului euclidian (V, �, �).

1.7 Baze ortonormate. Complemente ortogonale

Fie B = {e1, e2, ..., en} o baza în spatiul euclidian (V, �, �), a carui dimensiune estedimR V = n.

Definitia 1.7.1 Spunem ca baza B = {e1, e2, ..., en} este o baza ortonormata a spatiuluieuclidian (V, �, �) daca sunt adevarate proprietatile:

ei ⊥ ej, ∀ i, j = 1, n, i �= j si ||ei|| = 1, ∀ i = 1, n.

Observatia 1.7.2 O baza B = {e1, e2, ..., en} este ortonormata în spatiul vectorial eucli-dian (V, �, �) daca sunt adevarate proprietatile:

�ei, ej� = 0, ∀ i, j = 1, n, i �= j si �ei, ei� = 1, ∀ i = 1, n.

Exemplul 1.7.3 În spatiul euclidian (R3, �, �) baza canonica

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

este o baza ortonormata deoarece, prin calcule simple, deducem ca

e1 ⊥ e2 ⊥ e3 ⊥ e1 si ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1.

BAZE ORTONORMATE. COMPLEMENTE ORTOGONALE 35

Exemplul 1.7.4 În spatiul euclidian (R2[X], �, �) baza canonica

B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X2}

nu este o baza ortonormata deoarece

||e1|| = ||1|| =�� 1

−1dx =

√2 �= 1,

||e2|| = ||X|| =�� 1

−1x2dx =

�2

3�= 1,

||e3|| = ||X2|| =�� 1

−1x4dx =

�2

5�= 1

si, mai mult, avem

�e1, e3� =�1, X2

�=

� 1

−1

x2dx =2

3�= 0.

În studiul spatiilor euclidiene este mult mai convenabil sa utilizam baze ortonormatedecât baze neortonormate deoarece primele furnizeaza importante proprietati geometriceale spatiului. În consecinta, vom detalia în continuare un procedeu prin care putem asociaunei baze neortonormate o baza noua, care este ortonormata. Evident, un asemenea pro-cedeu ne asigura de faptul ca în orice spatiu euclidian exista cel putin o baza ortonormata.

Teorema 1.7.5 (Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt) Fie

B = {e1, e2, ..., en}

o baza neortonormata a spatiului euclidian (V, �, �), unde dimR V = n. Atunci, cu ajutorulbazei initiale B, se poate construi o noua baza

GS(B) = {f1, f2, ..., fn}

care este ortonormata în spatiul euclidian (V, �, �).

Demonstratie. Pornind de la elementele bazei B, construim sistemul de vectori

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}

ale carui elemente sunt definite în felul urmator:

e′1 = e1;

e′2 = e2 + a21e′

1, a21 ∈ R;e′3 = e3 + a31e

′

1 + a32e′

2, a31, a32 ∈ R;...

e′i = ei + ai1e′

1 + ai2e′

2 + ...+ aii−1e′

i−1, ail ∈ R, ∀ l = 1, i− 1;

...

e′n = en + an1e′

1 + an2e′

2 + ...+ ann−1e′

n−1, anl ∈ R, ∀ l = 1, n− 1.


Vom arata în continuare ca multimea de vectori B′ reprezinta un sistem de genera-tori pentru spatiul euclidian (V, �, �). Pentru aceasta vom demonstra prin inductie dupaindicele i ∈ {1, 2, ..., n} ca avem

L({e1, e2, ..., ei}) = L({e′1, e′2, ..., e′i}).

Pentru i = 1 este evident ca avem

L({e1}) = L({e′1}).

Sa consideram i ∈ {2, 3, ..., n} si sa presupunem ca

L({e1, e2, ..., ei−1}) = L({e′1, e′2, ..., e′i−1}).

Atunci, din ipoteza de inductie si modul de de constructie al vectorului e′i, deducemegalitatile:

L({e1, e2, ..., ei}) = L({e1, e2, ..., ei−1}) + L({ei}) == L({e′1, e′2, ..., e′i−1}) + L({ei}) == L({e′1, e′2, ..., e′i−1, ei}) == L({e′1, e′2, ..., e′i−1, e′i}).

În concluzie, avemL({e1, e2, ..., en}) = L({e′1, e′2, ..., e′n}) = V,

adica B′ este un sistem de generatori pentru spatiul euclidian (V, �, �).Pentru ca sistemul de vectori B′ sa fie si liniar independent, vom alege constantele

aij ∈ R, i = 2, n, j = 1, i− 1, astfel încât vectorii multimii B′ sa fie ortogonali unul pecelalalt. Pentru aceasta trebuie ca urmatoarele conditii sa fie adevarate:

�e′i, e

′

j

�= 0, ∀ i = 2, n, j = 1, i− 1.

Impunând aceste conditii vectorilor din B′ si tinând cont de modul de constructie alvectorilor e′i, ∀ i = 1, n, deducem ca trebuie sa avem adevarate egalitatile

�ei, e

′

j

�+ aij

�e′j , e

′

j

�= 0, ∀ i = 2, n, j = 1, i− 1,

adica trebuie sa luam constantele

aij = −�ei, e

′

j

��e′j, e

′

j

� = −�ei, e

′

j

�

||e′j||2, ∀ i = 2, n, j = 1, i− 1.

În concluzie, sistemul de vectori B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}, construit cu ajutorul constantelorde mai sus, reprezinta o baza de vectori ortogonali pentru spatiul euclidian (V, �, �). Luândacum multimea de vectori

GS(B) = {f1, f2, ..., fn},unde

fidef=

1

||e′i||· e′i, ∀ i = 1, n,

gasim ceea ce aveam de demonstrat. Cu alte cuvinte, multimea de vectori GS(B) este obaza ortonormata a spatiului euclidian (V, �, �). Evident, aceasta baza este furnizata debaza neortonormata initiala B.


Exemplul 1.7.6 Utilizând procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt, sa ortonormambaza

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}în spatiul euclidian (R3, �, �). Pentru aceasta, vom lua vectorul

e′1 = e1 = (1, 0, 0).

Sa consideram acum vectorul

e′2 = e2 + ke′1 = (1, 1, 0) + k(1, 0, 0) = (1 + k, 1, 0), k ∈ R,

unde constanta k o determinam din urmatoarea conditie de ortogonalitate:

�e′2, e′1� = 0 ⇔ �(1 + k, 1, 0), (1, 0, 0)� = 0 ⇔ 1 + k = 0 ⇔ k = −1.

Prin urmare, aveme′2 = (0, 1, 0).

Sa consideram si vectorul

e′3 = e3 + k1e′

1 + k2e′

2 =

= (1, 1, 1) + k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) =

= (1 + k1, 1 + k2, 1), k1, k2 ∈ R,

unde constantele k1 si k2 le determinam din urmatoarele conditii de ortogonalitate:�

�e′3, e′1� = 0

�e′3, e′2� = 0⇔�

�(1 + k1, 1 + k2, 1), (1, 0, 0)� = 0

�(1 + k1, 1 + k2, 1), (0, 1, 0)� = 0⇔

⇔�

1 + k1 = 0

1 + k2 = 0⇔�k1 = −1k2 = −1.

Prin urmare, aveme′3 = (0, 0, 1).

Deoarece avem ||e′1|| = ||e′2|| = ||e′3|| = 1, rezulta ca baza ortonormata obtinuta înurma procedeului Gram-Schmidt este exact baza canonica a spatiului euclidian (R3, �, �),si anume

GS(B) = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1)},unde

f1 =1

||e′1||· e′1, f2 =

1

||e′2||· e′2, f3 =

1

||e′3||· e′3.

Exemplul 1.7.7 Utilizând procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt, sa ortonormambaza canonica

B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X2}în spatiul euclidian (R2[X], �, �). Pentru aceasta, vom lua vectorul

e′1 = e1 = 1.


Sa consideram acum vectorul

e′2 = e2 + ke′1 = X + k, k ∈ R,unde constanta k o determinam din urmatoarea conditie de ortogonalitate:

�e′2, e′1� = 0 ⇔� 1

−1

(x+ k)dx = 0 ⇔�x2

2+ kx

��1

−1

= 0 ⇔ 2k = 0 ⇔ k = 0.

Prin urmare, aveme′2 = X.


e′3 = e3 + k1e′

1 + k2e′

2 = X2 + k2X + k1, k1, k2 ∈ R,unde constantele k1 si k2 le determinam din urmatoarele conditii de ortogonalitate:

��e′3, e′1� = 0

�e′3, e′2� = 0⇔

� 1

−1

(x2 + k2x+ k1)dx = 0

� 1

−1

(x3 + k2x2 + k1x)dx = 0

⇔

⇔

�x3

3+ k2

x2

2+ k1x

��1

−1

= 0

�x4

4+ k2

x3

3+ k1

x2

2

��1

−1

= 0

⇔

2

3+ 2k1 = 0

2

3k2 = 0

⇔

k1 = −1

3

k2 = 0.

Prin urmare, avem

e′3 = X2 − 1

3.

Sa calculam acum normele vectorilor e′1, e′

2 si e′3:

||e′1|| =�� 1

−1

dx =√2,

||e′2|| =�� 1

−1

x2dx =

�2

3,

||e′3|| =�� 1

−1

�x2 − 1

3

�2dx =

�8

45.

Baza ortonormata obtinuta în urma procedeului Gram-Schmidt este

GS(B) = {f1, f2, f3},unde

f1 =1

||e′1||· e′1 =

1√2,

f2 =1

||e′2||· e′2 =

�3

2·X,

f3 =1

||e′3||· e′3 =

�45

8·�X2 − 1

3

�.


Definitia 1.7.8 Fie W un subspatiu vectorial al spatiului euclidian (V, �, �). Submultimea

W⊥ = {v ∈ V | v ⊥ w, ∀ w ∈W}

se numeste complementul ortogonal al subspatiului vectorial W în spatiul euclidian(V, �, �).

Teorema 1.7.9 Complementul ortogonal W⊥ este un subspatiu vectorial al spatiului eu-clidian (V, �, �). Mai mult, urmatoarea relatie de complementaritate este adevarata:

V = W ⊕W⊥.

Demonstratie. Sa demonstram întâi ca W⊥ este un subspatiu vectorial al spatiuluieuclidian (V, �, �). Pentru a demonstra acest lucru vom utiliza criteriul de subspatiu. Fiedoi vectori arbitrari v1, v2 ∈ W⊥. Din definitia complementului ortogonal W⊥ rezulta caavem

�v1, w� = �v2, w� = 0, ∀ w ∈ W.Atunci, printr-un calcul simplu, deducem ca avem

�v1 + v2, w� = �v1, w�+ �v2, w� = 0, ∀ w ∈W,

adica v1+v2 ∈W⊥. Sa luam acum un scalar arbitrar α ∈ R si un vector arbitrar v ∈W⊥.Atunci, este evident ca avem

�v,w� = 0, ∀ w ∈W.

Prin urmare, deducem ca avem

�αv,w� = α �v,w� = 0, ∀ w ∈W,

adica αv ∈W⊥. În concluzie, W⊥ este un subspatiu vectorial al lui V.Sa demonstram acum ca subspatiile W si W⊥ se afla în suma directa. Pentru aceasta

fie v ∈W ∩W⊥. Rezulta ca�v,w� = 0, ∀ w ∈W.

Particularizând w = v, obtinem ca �v, v� = 0, adica v = 0V . Prin urmare, avem

W ∩W⊥ = {0V },

adicaW ⊕W⊥ ≤R V.

Pentru a arata ca subspatiul suma directa W ⊕W⊥ coincide cu întreg spatiul ambientalV , vom demonstra ca orice vector al spatiului V se descompune în mod unic ca sumadintre un vector al lui W si un vector al lui W⊥. Pentru aceasta fie

B = {e1, e2, ..., ep}

o baza ortonormata în subspatiul W, unde p = dimRW, si fie v ∈ V un vector arbitrar.Sa consideram vectorul

w = �v, e1� e1 + �v, e2� e2 + ...+ �v, ep� ep ∈W.


Vom demonstra ca v − w ∈W⊥. Pentru aceasta este suficient sa observam ca avem

�v − w, ei� = �v, ei� − �w, ei� = �v, ei� − �v, ei� = 0, ∀ i = 1, n.

În concluzie, avem descompunerea unica

v = w + (v − w),

unde w ∈W si v − w ∈W⊥. Cu alte cuvinte, obtinem egalitatea W ⊕W⊥ = V.

Corolarul 1.7.10 Fie W un subspatiu al spatiului vectorial euclidian (V, �, �) si fie v ∈ Vun vector arbitrar. Atunci exista si sunt unici niste vectori w ∈ W si w⊥ ∈ W⊥ astfelîncât

v = w + w⊥.

Demonstratie. Proprietatea din Corolar este evidenta din decompunerea

V = W ⊕W⊥.

Vectorii w ∈W si w⊥ ∈W⊥, cu proprietatea de mai sus, se numesc proiectiile vectoruluiv pe subspatiile W si W⊥.

Exemplul 1.7.11 Fie subspatiul vectorial

W = {(x, 0) | x ∈ R} ≤R R2.

Sa calculam complementul ortogonal W⊥ în spatiul euclidian (R2, �, �) si sa determinamproiectiile vectorului v = (1, 2) pe subspatiile W si W⊥. Pentru aceasta sa observam caavem dimRW = 1. O baza în W este

B = {e1 = (1, 0)}.

Cautam acum toti vectorii (x, y) ∈ R2 astfel încât

�(x, y), (1, 0)� = 0 ⇔ x = 0.

Prin urmare, complementul ortogonal al subspatiului W este subspatiul

W⊥ = {(0, y) | y ∈ R}.

Din teorema precedenta deducem ca avem R2 = W ⊕W⊥. Este evident, de asemenea, caavem descompunerea unica

(1, 2) = (1, 0) + (0, 2),

unde (1, 0) ∈W si (0, 2) ∈W⊥. Sa se noteze ca, din punct de vedere geometric, proiectiilelui v = (1, 2) pe subspatiile W si W⊥, adica w = (1, 0) ∈ W si w⊥ = (0, 2) ∈ W⊥, repre-zinta exact coordonatele proiectiilor ortogonale ale punctului P (1, 2) pe axele de coordonateOx si Oy.


Exemplul 1.7.12 Fie subspatiul vectorial

W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 0} ≤R R3.

Sa calculam complementul ortogonal W⊥ în spatiul euclidian (R3, �, �) si sa determinamproiectiile vectorului v = (1, 2, 3) pe subspatiile W si W⊥. Pentru aceasta sa observam caavem

W = {(x, y,−x− y) | x, y ∈ R}.Rezulta ca dimRW = 2. O baza în W este

B = {e1 = (1, 0,−1), e2 = (0, 1,−1)}.

Cautam acum toti vectorii (x, y, z) ∈ R3 astfel încât�

�(x, y, z), (1, 0,−1)� = 0

�(x, y, z), (0, 1,−1)� = 0⇔�x− z = 0

y − z = 0.⇔ x = y = z.

Prin urmare, complementul ortogonal al subspatiului W este subspatiul

W⊥ = {(α,α, α) | α ∈ R}.

Din teorema precedenta deducem ca R3 =W ⊕W⊥. Atunci exista x, y, α ∈ R astfel încâtsa avem descompunerea unica

(1, 2, 3) = (x, y,−x− y) + (α, α, α),

unde (x, y,−x− y) ∈ W si (α, α, α) ∈W⊥. Rezulta ca avem sistemul

x+ α = 1

y + α = 2

−x− y + α = 3,

a carui solutie unica este x = −1, y = 0 si α = 2.În concluzie, proiectiile vectorului v = (1, 2, 3) pe subspatiile W si W⊥ sunt

w = (−1, 0, 1) ∈W si w⊥ = (2, 2, 2) ∈W⊥.

Cu alte cuvinte, avem adevarata descompunerea unica

(1, 2, 3) = (−1, 0, 1) + (2, 2, 2),

unde (−1, 0, 1) ∈W si (2, 2, 2) ∈W⊥.

1.8 Probleme rezolvate

1. Fie (V,+, ·) un spatiu vectorial real. Pe produsul cartezian CVnot= V × V definim

urmatoarele operatii de adunare a vectorilor si de înmultire a lor cu scalari complecsi:

(v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2) ,

(α+ iβ) (v,w) = (αv − βw, αw + βv), ∀ α, β ∈ R, i2 = −1.


Sa se arate ca, relativ la aceste operatii, CV este spatiu vectorial complex.

Rezolvare. Se stie ca produsul cartezian (V × V,+) este un grup abelian cu e-lementul neutru (0V , 0V ), opusul unui vector (v, w) fiind vectorul (−v,−w). Fiez1 = α1 + iβ1, z2 = α2 + iβ2 doi scalari complecsi. În acest context, avem

(z1 + z2) (v, w) = [(α1 + α2) + i (β1 + β2)] (v, w) == ((α1 + α2) v − (β1 + β2)w, (α1 + α2)w + (β1 + β2) v) == (α1v − β1w, α1w + β1v) + (α2v − β2w, α2w + β2v) == z1 (v, w) + z2 (v, w) .

Fie acum z = α+ iβ ∈ C si (v1, w1) , (v2, w2) ∈ V × V. Atunci

z [(v1, w1) + (v2, w2)] = (α+ iβ) (v1 + v2, w1 + w2) == (α (v1 + v2)− β (w1 + w2) , α (w1 + w2) + β (v1 + v2)) == (αv1 − βw1, αw1 + βv1) + (αv2 − βw2, αw2 + βv2) == z (v1, w1) + z (v2, w2) .

În mod asemanator, se arata ca

(z1 · z2) (v, w) = z1 (z2 (v,w)) si (1 + 0i) (v,w) = (v,w) .

În concluzie, multimea CV , împreuna cu operatiile de mai sus, este un spatiu vec-torial complex.

Observatie. Spatiul vectorial complex CV (relativ la operatiile de mai sus) poartanumele de complexificatul spatiului vectorial real V .

2. Fie F[a,b] multimea tuturor functiilor reale definite pe intervalul [a, b] ⊂ R.

(a) Sa se arate ca operatiile

(f + g) (x) = f (x) + g (x) , ∀ x ∈ [a, b],

(αf) (x) = αf (x) , ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ [a, b],

definesc o structura de R-spatiu vectorial pe multimea functiilor reale F[a,b].(b) Daca intervalul [a, b] ⊂ R este simetric fata de origine, sa se arate ca sub-

multimile

F+ =�f ∈ F[a,b] | f (−x) = f (x)

�⊂ F[a,b] (functiile pare),

F− =�f ∈ F[a,b] | f (−x) = −f (x)

�⊂ F[a,b] (functiile impare),

sunt subspatii vectoriale si, mai mult, ca avem egalitatea

F[a,b] = F+ ⊕F−.

Rezolvare. (a) Se cunoaste ca�F[a,b],+

�este un grup abelian cu elementul neutru

O, unde O : [a, b] → R, O(x) = 0, ∀ x ∈ [a, b], este functia identic nula. În plus,pentru orice x ∈ [a, b], avem adevarate relatiile:

((α+ β) f) (x) = (α+ β) f (x) = αf (x) + βf (x) = (αf) (x) + (βf) (x) ,

(α (f + g)) (x) = α (f + g) (x) = αf(x) + αg (x) = (αf) (x) + (αg) (x) .

PROBLEME REZOLVATE 43

De asemenea, avem

((αβ) f) (x) = (αβ) f (x) = α (βf (x)) = (α (βf)) (x) , ∀ x ∈ [a, b],

adica (αβ) f = α (βf). Mai mult,

1 · f = f, ∀ f ∈ F[a,b].

În concluzie, multimea F[a,b] este un R-spatiu vectorial.

(b) Este usor de demonstrat ca, în cazul în care intervalul [a, b] ⊂ R este simetric fatade origine, suma a doua functii pare (impare) este tot o functie para (impara) si, maimult, ca înmultirea cu un scalar real a unei functii pare (impare) este, la rândul ei,tot o functie para (impara). Prin urmare, conform criteriului de subspatiu, rezultaca F+ si F− sunt subspatii în F[a,b]. Mai ramâne de demonstrat ca F[a,b] = F+⊕F−.Pentru aceasta este suficient de demonstrat ca orice element f ∈ F[a,b] se poate scrieunic sub forma

f = f+ + f−,

unde f+ ∈ F+ si f− ∈ F−. În aceasta directie, sa consideram f ∈ F[a,b] o functiearbitrara si sa construim functiile

f+ (x) =1

2[f (x) + f (−x)] ,

f− (x) =1

2[f (x)− f (−x)] .

Se verifica usor ca f+ ∈ F+ si f− ∈ F− si, mai mult, ca este adevarata relatia

f = f+ + f−.

Pentru a demonstra unicitatea descompunerii anterioare, vom demonstra ca avemF+ ∩ F− = {O}. Fie un element arbitrar f ∈ F+ ∩ F−. Atunci, pentru oricex ∈ [a, b], au loc simultan relatiile: f (−x) = f (x) si f (−x) = −f (x) . Acest lucruimplica

f (x) = 0, ∀ x ∈ [a, b],

adica f = O.

3. Sa se arate ca submultimile de matrici

Sn =�A ∈Mn (R) | TA = A

�(matricile simetrice),

An =�A ∈Mn (R) | TA = −A

�(matricile antisimetrice),

sunt subspatii vectoriale în Mn (R) si, mai mult, ca avem

Mn (R) = Sn ⊕An.

Rezolvare. Cu ajutorul criteriului de subspatiu si al relatiilor

T (A+B) = TA+ TB si T (αA) = α TA,

rezulta ca Sn si An sunt subspatii ale luiMn (R) . Sa luam acum o matrice arbitraraA din intersectia Sn∩An. Atunci, din relatiile

TA = A si TA = −A


rezulta ca A = O (matricea nula). În concluzie, intersectia Sn∩An este subspatiulnul. Mai mult, pentru o matrice oarecare B ∈Mn (R), sa consideram matricile

B+ =1

2

�B + TB

�, B− =

1

2

�B − TB

�.

Este evident ca avem B+ ∈ Sn, B−∈ An si B = B+ + B−. Prin urmare am demon-strat ca Mn (R) = Sn ⊕An.

4. Sa se stabileasca dependenta sau independenta liniara a urmatoarelor sisteme devectori si sa se precizeze daca sunt sisteme de generatori:

(a) S1 = {v1 = (1, 3), v2 = (−2, 1)} ⊂ RR2;

(b) S2 = {v1 = (1, 3,−2), v2 = (−2, 1, 0), v3 = (0, 5,−4)} ⊂ RR3;

(c) S3 = {v1 ≡ 1, v2 ≡ cos2 x, v3 ≡ cos 2x} ⊂ RC0(R) (functiile reale continue).

Rezolvare. (a) Fie α, β ∈ R astfel încât αv1 + βv2 = 0R2 . Rezulta sistemul liniaromogen �

α− 2β = 03α+ β = 0,

al carui determinant este nenul. În consecinta, sistemul admite numai solutia nula.Cu alte cuvinte, sistemul de vectori S1 este liniar independent în R2. Pentru a studiadaca sistemul de vectori S1 este un sistem de generatori pentru R2, sa consideramun vector arbitrar v = (x, y) ∈ R2 si sa studiem daca exista α, β ∈ R astfel încâtαv1 + βv2 = v. Rezulta sistemul liniar neomeogen

�α− 2β = x3α+ β = y.

Deoarece determinantul sistemului este nenul rezulta ca sistemul are solutie unicapentru ∀ x, y ∈ R. În concluzie, sistemul de vectori S1 este si un sistem de generatoripentru R2, adica este o baza în R2.

(b) Determinantul obtinut prin scrierea pe coloana a vectorilor v1, v2 si v3 este��

1 −2 03 1 5−2 0 −4

��= −8.

Determinantul fiind nenul, rezulta ca sistemul de vectori S2 este o baza în spatiulvectorial R3.

(c) Se stie din trigonometrie ca cos 2x = 2 cos2 x − 1. Cu alte cuvinte, avem relatiav3 = 2v2 − v1, adica sistemul de vectori S3 este liniar dependent în C0(R). Sapresupunem ca sistemul de vectori S3 este sistem de generatori pentru C0(R). Înaceasta situatie, orice functie continua se scrie ca o combinatie liniara de v1, v2 siv3. În particular, pentru functia cos x exista α, β, γ ∈ R astfel încât

cosx = α+ β cos2 x+ γ cos 2x, ∀ x ∈ R.

Luând în egalitatea anterioara x = π, rezulta ca α + β + γ = −1. Pentru x = 0gasim însa α+ β+ γ = 1. Contradictie! Prin urmare, sistemul de vectori S3 nu esteun sistem de generatori pentru C0(R).


5. Sa se calculeze coordonatele vectorilor urmatori în bazele precizate:

(a) v = (1, 1, 1), în baza

B = {e1 = (2, 2,−1), e2 = (2,−1, 2), e3 = (−1, 2, 2)} ⊂ RR3;

(b) v = X5 −X4 +X3 −X2 +X − 1, în baza

B = {1, 1 +X, 1 +X2, 1 +X4, 1 +X5, 1−X3} ⊂ RR5[X].

Rezolvare. (a) Fie (α, β, γ) ∈ R3 coordonatele vectorului v în baza B. Rezultaegalitatea v = αe1 + βe2 + γe3 din care gasim sistemul liniar

2α+ 2β − γ = 12α− β + 2γ = 1−α+ 2β + 2γ = 1.

În concluzie, deducem ca α = β = γ = 1/3.

(b) Sa presupunem ca (α, β, γ, δ, ε, µ) ∈ R6 sunt coordonatele polinomului v în bazaB. Deducem ca

v = α+ β(1 +X) + γ(1 +X2) + δ(1 +X4) + ε(1 +X5) + µ(1−X3).

Egalând coeficientii celor doua polinoame, gasim valorile α = 0, β = ε = 1 siγ = δ = µ = −1. În concluzie, coordonatele polinomului v în baza B sunt exprimatede vectorul (0, 1,−1,−1, 1,−1).

6. Sa se arate ca vectorii u, v,w ∈ R3, unde

u = (−1, 1, 1) , v = (1, 1, 1) , w = (1, 3, 3) ,

sunt liniar dependenti si sa se gaseasca relatia de dependenta liniara.

Rezolvare. Deoarece determinantul format prin scrierea pe coloana a vectorilor u,v si w este nul, rezulta ca vectorii u, v,w sunt liniar dependenti. Sa presupunem caavem urmatoarea relatie de dependenta liniara vectoriala: w = αu + βv, unde α,β ∈ R. Aceasta relatie conduce la sistemul liniar

�−α+ β = 1α+ β = 3,

care admite solutia unica α = 1, β = 2. În concluzie, avem w = u+ 2v.

7. Fie v1, v2 si v3 trei vectori liniar independenti în spatiul vetorial real V . Sa sedetermine α ∈ R astfel încât vectorii u1 = v1 + αv2, u2 = v2 + αv3 si u3 = v3 + αv1sa fie liniar independenti (respectiv liniar dependenti).

Rezolvare. Pentru ca vectorii u1, u2 si u3 sa fie liniar independenti trebuie capentru orice scalari β1, β2, β3 ∈ R, care verifica egalitatea β1u1+ β2u2+ β3u3 = 0V ,sa rezulte ca β1 = β2 = β3 = 0. Dar, din egalitatea

β1u1 + β2u2 + β3u3 = 0V ⇔


⇔ β1 (v1 + αv2) + β2 (v2 + αv3) + β3 (v3 + αv1) = 0V ⇔⇔ (β1 + β3α) v1 + (β2 + β1α) v2 + (β3 + β2α) v3 = 0V ,

precum si din liniara independenta a vectorilor v1, v2, v3, deducem ca

β1 + αβ3 = 0αβ1 + β2 = 0

αβ2 + β3 = 0.

Prin urmare, conditia ca vectorii u1, u2, u3 sa fie liniar independenti devine echiva-lenta cu aceea ca determinantul sistemului de mai sus sa fie nenul. Acest faptconduce la conditia α �= −1. Evident, pentru α = −1 vectorii u1, u2 si u3 sunt liniardependenti.

8. Sa se determine suma si intersectia subspatiilor vectoriale U, V ≤R R3, unde

U = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 − x2 = 0} ,V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 − x2 + x3 = 0} .

Rezolvare. Subspatiul intersectie U ∩ V este determinat de multimea solutiilorsistemului �

x1 − x2 = 02x1 − x2 + x3 = 0,

care admite solutiile x1 = α, x2 = α, x3 = −α, unde α ∈ R. Prin urmare, avem

U ∩ V = {(α, α,−α) | α ∈ R} .

Subspatiul vectorial suma este U + V = {u+ v | u ∈ U, v ∈ V } . Folosind notatiileu = (u1, u2, u3) si v = (v1, v2, v3), problema determinarii sumei de subspatii U + Vrevine la aceea a determinarii vectorilor (λ, µ, ν) ∈ R3 pentru care sistemul

u1 − u2 = 02v1 − v2 + v3 = 0u1 + v1 = λu2 + v2 = µu3 + v3 = ν

este compatibil. Deoarece sistemul precedent este compatibil pentru orice valori λ,µ si ν ∈ R, rezulta ca avem U +V = R3. Suma subspatiilor nu este directa deoareceavem U ∩ V �= {(0, 0, 0)}.

9. În spatiul vectorial RR3 se considera sistemele de vectori

B′ = {e′1 = (1, 1, 0) , e′2 = (1, 0, 1) , e′3 = (1, 0,−1)} ,B′′ = {e′′1 = (1, 0, 0) , e′′2 = (1, 1, 0) , e′′3 = (1, 1, 1)} .

(a) Sa se arate ca B′ si B′′ sunt baze si sa se detemine matricea de trecere de labaza B′ la baza B′′.

(b) Sa se calculeze coordonatele vectorului v ∈ R3 în raport cu cele doua baze stiindca (2,−1, 1) sunt coordonatele sale exprimate în baza canonica a spatiului RR3.


Rezolvare. (a) Sistemele de vectori B′ si B′′ sunt baze în R3 deoarece determinantiiformati prin scrierea pe coloana a vectorilor din sistemele respective sunt nenuli.Pentru a determina matricea de trecere de la baza B′ la baza B′′, descompunemvectorii e′′i , ∀ i = 1, 3, dupa vectorii bazei B′. Spre exemplu, pentru vectorul e′′1 avemdescompunerea

e′′1 = c11e′

1 + c12e′

2 + c13e′

3, c11, c12, c13 ∈ R.

Prin calcul direct, deducem ca

c11 + c12 + c13 = 1c11 = 0c12 − c13 = 0,

adica c11 = 0 si c12 = c13 = 1/2. În mod asemanator, deducem ca

e′′2 = c21e′

1 + c22e′

2 + c23e′

3 ⇒ c21 = 1, c22 = c23 = 0,

e′′3 = c31e′

1 + c32e′

2 + c33e′

3 ⇒ c31 = 1, c32 = −c33 = 1/2.

În concluzie, matricea de trecere de la baza B′ la baza B′′ este matricea

MB′B′′ = TC = (cji)i,j=1,3 =

0 1 1

1/2 0 1/21/2 0 −1/2

.

(b) Coordonatele vectorului v în baza B′ se pot obtine direct, descompunând pe vdupa vectorii bazei B′. Cu alte cuvinte, considerând ca coordonatele lui v în bazaB′ sunt X ′ = (α, β, γ) ∈ R3, atunci avem

v = (2,−1, 1) = αe′1 + βe′2 + γe′3.

Egalând pe componente, în urma calculelor, gasim α = −1, β = 2 si γ = 1. Analog,descompunând vectorul v dupa vectorii bazei B′′, gasim ca X ′′ = (3,−2, 1) suntcoordonatele vectorului v în baza B′′.

Observatie. Problema se poate rezolva si utilizând formula de schimbare de coor-donate TX ′′ =M−1

B′B′′· TX ′.

10. Sa se arate ca pe spatiul polinoamelor de grad cel mult n, notat cu Rn[X], operatiadefinita prin

�f, g� =n�

i=0

aibi,

unde f = a0+a1X+ ...+anXn si g = b0+b1X+ ...+bnX

n este un produs scalar. Înraport cu acest produs scalar, sa se calculeze norma f si distanta d (f, g) = ||f−g||,unde

f = 1 +X + 2X2 − 6X3 si g = 1−X − 2X2 + 6X3.

Rezolvare. În mod evident, avem comutativitatea �f, g� = �g, f�. Fie polinoamelearbitrare f1 = a10 + a11X + ...+ a1nX

n si f2 = a20 + a21X + ...+ a2nXn. Avem

�f1 + f2, g� =n�

i=0

(a1i + a2i )bi =n�

i=0

a1i bi +n�

i=0

a2i bi = �f1, g�+ �f2, g�.


Mai mult, pentru α ∈ R un numar real arbitrar, deducem ca

�αf, g� =n�

i=0

(αai)bi = α

�n�

i=0

aibi

�

= α�f, g�.

Pozitiv definirea este asigurata de faptul ca

�f, f� =n�

i=0

(ai)2 ≥ 0, ∀ f ∈ Rn[X],

cu egalitate daca si numai daca ai = 0, ∀ i = 1, n, adica f = O (polinomul nul).

În concluzie, operatia considerata este un produs scalar pe Rn[X].

Pentru f = 1 + X + 2X2 − 6X3, avem f =��f, f� =

√42. Mai mult, gasim

d (f, g) = f − g = 2√41.

11. Fie vectorii x = (x1, x2, ..., xn) , y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn. Folosind produsul scalaruzual al spatiului Rn, sa se demonstreze urmatoarele inegalitati:

(a)�

n

i=1

xiyi

�2≤�

n

i=1

x2i

�·�

n

i=1

y2i

�;

(b)�

n

i=1

(xi + yi)2 ≤�

n

i=1

x2i +

�n

i=1

y2i .

Rezolvare. (a) Se scrie inegalitatea Cauchy

�x, y�2 ≤ x 2 · y 2

de pe spatii euclidiene generale pentru cazul particular al produsului scalar canonicpe Rn. Gasim inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz ceruta.

(b) Se scrie inegalitatea triunghiului

x+ y ≤ x + y

de pe spatii euclidiene generale pentru cazul particular al produsului scalar canonicpe Rn. Gasim rezultatul cerut.

12. Sa se ortonormeze sistemul de vectori

v1 = (1,−2, 2), v2 = (−2, 1, 2) , v3 = (5, 3, 5)

în raport cu produsul scalar uzual de pe R3.

Rezolvare. Utilizând procedeul Gram-Schmidt, construim vectorul

v′1 = v1 = (1,−2, 2).

Fie acum vectorul

v′2 = v2 + kv′1 = (−2, 1, 2) + k(1,−2, 2) = (−2 + k, 1− 2k, 2 + 2k), k ∈ R,


unde constanta k o determinam din urmatoarea conditie de ortogonalitate:

�v′2, v′1� = 0 ⇔ �(−2 + k, 1− 2k, 2 + 2k), (1,−2, 2)� = 0 ⇔ 9k = 0

⇔ k = 0.

Prin urmare, avemv′2 = (−2, 1, 2) .


v′3 = v3 + k1v′

1 + k2v′

2 =

= (5, 3, 5) + k1(1,−2, 2) + k2 (−2, 1, 2) =

= (5 + k1 − 2k2, 3− 2k1 + k2, 5 + 2k1 + 2k2), k1, k2 ∈ R,

unde constantele k1 si k2 le determinam din urmatoarele conditii de ortogonalitate:�

�v′3, v′1� = 0

�v′3, v′2� = 0⇔

��(5 + k1 − 2k2, 3− 2k1 + k2, 5 + 2k1 + 2k2), (1,−2, 2)� = 0

�(5 + k1 − 2k2, 3− 2k1 + k2, 5 + 2k1 + 2k2), (−2, 1, 2)� = 0⇔

⇔�

9 + 9k1 = 0

3 + 9k2 = 0⇔�k1 = −1k2 = −1/3.

Prin urmare, avem

v′3 =

�14

3,14

3,7

3

�.

Ortonormând vectorii v′1, v′

2 si v′

3, gasim baza ortonormata

{e1, e2, e3} ⊂ R3,

unde

e1 =1

v′1 v′1 =

�1

3,−2

3,2

3

�,

e2 =1

v′2 v′2 =

�−2

3,1

3,2

3

�,

e3 =1

v′3 v′3 =

1

21(14, 14, 7) =

�2

3,2

3,1

3

�.

13. Sa se determine în spatiul R3 complementul ortogonal al subspatiului vectorial alsolutiilor sistemului �

x1 − x2 − x3 = 0x1 + 2x2 − x3 = 0

si sa se gaseasca o baza ortonormata în acest complement.

Rezolvare. Subspatiul dat este S = {(α, 0, α) | α ∈ R}. Conditia ca un vectorv = (v1, v2, v3) ∈ R3 sa fie ortogonal pe subspatiul S este ca αv1+αv3 = 0, ∀ α ∈ R.Cu alte cuvinte, complementul ortogonal al lui S este

S⊥ = {(v1, v2,−v1) | v1, v2 ∈ R}.


O baza ortogonala în S⊥ se obtine luând v1 = 1, v2 = 0 si viceversa. Dupa ortonor-marea acestor vectori gasim baza ortonormata

B⊥ =

�e1 =

1√2(1, 0,−1), e2 = (0, 1, 0)

�.

14. Fie subspatiul vectorial W1 ≤R R3, care este generat de vectorii

w1 = (1,−1, 0) si w2 = (−1, 1, 2) .

Sa se determine complementul ortogonal W2 al lui W1 si sa se descompuna vectorulv = (2, 2, 2) dupa cele doua subspatii.

Rezolvare. Deoarece sistemul de vectori {w1, w2} este liniar independent si avemW1 = L({w1, w2}), rezulta ca {w1, w2} este o baza în W1, adica dimRW1 = 2.Fie W2 complementul ortogonal al subspatiului W1. Din teorema lui Grassmanndeducem ca dimRW2 = 1. Sa consideram ca w3 = (x, y, z) �= (0, 0, 0) este o baza înW2 = L({w3}). Din conditiile de ortogonalitate w3⊥w1 si w3⊥w2 deducem ca x = ysi z = 0. Cu alte cuvinte, avem

W2 = {(x, x, 0) | x ∈ R} = L({w3 = (1, 1, 0)}).

Vectorul v = (2, 2, 2) se descompune unic în R3 =W1 ⊕W2 dupa formula

v = aw1 + bw2 + cw3, a, b, c ∈ R.

Prin calcul, gasim a = b = 1 si c = 2. În concluzie, avem urmatoarele proiectiivectoriale: PrW1

v = w1 + w2 si PrW2v = 2w3.

15. Sa se determine în (R3, �, �) complementul ortogonal W⊥ al subspatiului W generatde vectorii v1 = (1, 0, 2) si v2 = (−2, 0, 1) . Sa se gaseasca apoi descompunereav = w+w⊥ a vectorului v = (1, 1, 1) ∈ R3 dupa cele doua subspatii complementaresi sa se verifice relatia

v 2 = w 2 +!!w⊥!!2 (Teorema lui Pitagora).

Rezolvare. Fie W subspatiul generat de vectorii liniar independenti v1 si v2. Dacau = (α, β, γ) ∈W⊥, unde α, β, γ ∈ R, atunci vectorul u este ortogonal si pe vectorulv1 si pe vectorul v2. Aceste conditii conduc la sistemul liniar

�α+ 2γ = 0−2α+ γ = 0,

a carui solutie unica este α = γ = 0. Prin urmare, avem

W⊥ = {(0, β, 0) | β ∈ R} .

Mai mult, este evident ca avem

w =3

5· v1 −

1

5· v2 = (1, 0, 1) ∈W, w⊥ = (0, 1, 0) ∈W⊥,

astfel încât v = w + w⊥. Teorema lui Pitagora este imediata.


1.9 Probleme propuse

1. Fie V si W doua K-spatii vectoriale. Sa se arate ca produsul cartezian

V ×W = {(v, w) | v ∈ V, w ∈W}

este un K-spatiu vectorial în raport cu operatiile�

(v1, w1) + (v2, w2) = (v1 + v2, w1 + w2) , ∀ v1, v2 ∈ V, w1, w2 ∈W,α (v, w) = (αv, αw) , ∀ α ∈ K, (v, w) ∈ V ×W.

2. Sa se precizeze daca operatiile definite pe multimile indicate determina o structurade spatiu vectorial:

(a)

�v + w = (x1 + y1, x2 + y2) , ∀ v = (x1, x2) , w = (y1, y2) ∈ R2,αv = (0, αx2) , ∀ α ∈ R, v = (x1, x2) ∈ R2;

(b)

�v + w = (x1 + y2, x2 + y1) , ∀ v = (x1, x2) , w = (y1, y2) ∈ R2,αv = (αx1, αx2) , ∀ α ∈ R, v = (x1, x2) ∈ R2;

(c)

�x⊕ y = 3

�x3 + y3, ∀ x, y ∈ R,

α⊗ x = αx, ∀ α ∈ R, x ∈ R;

(d)

�v + w = (x1 + y1, x2 + y3, x3 − y2, ) ,

αv = (αx3, αx2, αx1) ,

unde v = (x1, x2, x3) ∈ R3, w = (y1, y2, y3) ∈ R3, α ∈ R.R. (a) Nu. (b) Nu. (c) Da. (d) Nu.

3. Utilizând criteriul de subspatiu, sa se decida care dintre submultimile de mai josformeaza subspatii vectoriale în spatiile vectoriale indicate:

(a) S1 = {(x, y) ∈ R2 | 2x− y = 0} ⊂ R2;(b) S2 = {(x, y) ∈ R2 | 2x− y + 1 = 0} ⊂ R2;(c) S3 = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 = 0} ⊂ R2;(d) S4 = {αX2 | α ∈ R} ⊂ R2[x];(e) S4 = {f | grad(f) ≥ 2} ⊂ R4[x];(f) S6 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 − x2 + 2x3 = 0} ⊂ R3;(g) S7 = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 − x3 = 0, x1 − x2 = 0} ⊂ R3;(h) S8 = {f ∈ C0([0, 1]) | f - derivabila} ⊂ C0([0, 1]);(i) S9 = {A ∈M2(R) | A· TA = I2} ⊂M2(R).

R. (a) Da. (b) Nu. (c) Nu. (d) Da. (e) Nu. (f) Da. (g) Da. (h) Da. (i) Nu.

4. Sa se stabileasca dependenta sau independenta liniara a sistemelor de vectori:


(a) S1 = {u1 = (1, 1, 0) , u2 = (1, 0, 2) , u3 = (0,−1, 2)} ⊂ R3;(b) S2 = {v1 = (1, 1, 2) , v2 = (2, 2, 4)} ⊂ R3;(c) S3 = {v1 = X − 1, v2 = X3} ⊂ R3[X];

(d) S4 = {v1 ≡ 1, v2 ≡ cos 2x, v3 ≡ cos 4x, v4 ≡ cos4 x} ⊂ C0(R);(e) S5 = {v1 ≡ ex, v2 ≡ xex, ..., vn ≡ xn−1ex} ⊂ C0(R);

(f) S6 =�v =

�1 20 3

�, w =

�−1 11 −1

��⊂M2 (R).

R. (a) Dependenti, u3 = u2 − u1. (b) Dependenti, v2 = 2v1. (c) Independenti. (d)Dependenti, v3 = 8v4 − 4v2 − 3v1. (e) Independenti. (f) Independenti.

5. Sa se determine suma si intersectia subspatiilor

U = L ({u1 = (1, 1, 0) , u2 = (1, 0, 2) , u3 = (0,−1, 2)}) ⊆ R3,V = L ({v1 = (1, 1, 2) , v2 = (0, 2, 4)}) ⊂ R3.

R. U + V = R3, U ∩ V = {(2a, a, 2a) | a ∈ R} = L ({(2, 1, 2)}) .

6. Sa se determine subspatiul suma directa U ⊕ V ⊆ R3, unde

U = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x− y = 0, 3x− z = 0} ,V = L ({(−1, 2, 1) , (2,−4,−2)}) .

R. U ⊕ V = {(a, b, a+ b) | a, b ∈ R} = L ({(1, 0, 1), (0, 1, 1)}) .

7. Sa se determine câte o baza în subspatiile U + V, respectiv U ∩ V, si sa se verificeteorema lui Grassmann pentru:

(a)

�U = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 + x2 − 2x3 = 0} ⊂ R3,V = L ({(1, 1, 1) , (1, 0, 0) , (3, 2, 2)}) ⊆ R3;

(b)

�U = L ({(1, 0, 2,−1) , (0, 1, 1, 0)}) ⊂ R4,V = L ({(2,−1, 1, 0) , (−1, 0, 1, 2) , (0, 2, 1, 0)}) ⊂ R4.

R. (a) U + V = R3 = L ({(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}) ,U ∩ V = {(γ, γ, γ) | γ ∈ R} = L({(1, 1, 1)}).(b) U + V = R4 = L ({(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}) ,U ∩ V = {(−4y, 17y, 9y, 4y) | y ∈ R} = L({(−4, 17, 9, 4)}).

8. Sa se precizeze care din urmatoarele sisteme de vectori formeaza baze în spatiilevectoriale date:

(a) B1 = {e1 = (1, 2) , e2 = (2,−1)} ⊂ R2;(b) B2 = {e1 = (1, 0,−1) , e2 = (2, 1,−3) , e3 = (1,−1, 0)} ⊂ R3;(c) B3 = {e1 = (1, 0, 1) , e2 = (0,−1, 1) , e3 = (1,−1, 1)} ⊂ R3;(d) B4 =

�1, 1−X, (1−X)2 , (1−X)3

�⊂ R3 [X] ;

PROBLEME PROPUSE 53

(e) B5 =��

1 00 0

�,

�1 10 0

�,

�1 10 1

�,

�1 11 1

��⊂M2 (R).

R. (a) Baza. (b) Nu e baza. (c) Baza. (d) Baza. (e) Baza.

9. Sa se calculeze coordonatele vectorilor urmatori în bazele precizate:

(a) v = (7, 14,−1, 2), unde

B = {(1, 2,−1,−2), (2, 3, 0,−1), (1, 2, 1, 4), (1, 3,−1, 0)} ⊂ R4;

(b) v = X5 −X4 +X3 −X2 −X + 1, unde

B = {1 +X3,X +X3, X2 +X3,X3,X4 +X3, X5 +X3} ⊂ R5[X].

R. (a) TX = (0, 2, 1, 2). (b) TX = (1,−1,−1, 2,−1, 1).

10. Sa se determine coordonatele vectorului v ∈ R3 în baza

B2 = {g1 = (1,−1, 1), g2 = (3, 2, 1), g3 = (0, 1, 0)} ⊂ R3,

stiind ca în baza

B1 = {f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 0, 0)} ⊂ R3

are coordonatele TX1 = (1, 2, 3).

R. TX2 = (−3/2, 5/2,−7/2).

11. Sa consideram spatiul vectorial real al matricilor M2 (R), precum si baza canonicaB formata din vectorii

E1 =

�1 00 0

�, E2 =

�0 10 0

�, E3 =

�0 01 0

�, E4 =

�0 00 1

�.

(a) Sa se gaseasca câte o baza B1, respectiv B2, în subspatiul matricilor simetriceS2 ⊂M2 (R), respectiv matricilor antisimetriceA2 ⊂M2 (R), si sa se determinematricea de trecere de la baza canonica B la baza B′ = B1 ∪ B2.

(b) Sa se exprime matricea A =

�x yz t

�în baza B′.

R. (a) Avem bazele B1 =

�E′1 =

�1 00 0

�, E′2 =

�0 11 0

�, E ′3 =

�0 00 1

��si

B2 =�E′4 =

�0 1−1 0

��. Matricea de trecere este

MBB′ =

1 0 0 00 1 0 10 1 0 −10 0 1 0

.

(b) A = x · E′1 +y + z

2·E′2 + t ·E′3 +

y − z

2· E′4.


12. Folosind procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt, sa se ortonormeze urma-toarele baze:

(a) e1 = (1, 1, 0) , e2 = (1, 0, 1) , e3 = (0, 0,−1) în spatiul euclidian R3;(b) e1 = (1, 1, 0, 0) , e2 = (1, 0, 1, 0) , e3 = (1, 0, 0, 1) , e4 = (0, 1, 1, 1) în R4;(c) e1 = X2 +X, e2 = X2 + 1, e3 = −1 în spatiul euclidian R2[X].

R. (a) f1 =1√2(1, 1, 0), f2 =

1√6(1,−1, 2), f3 =

1√3(1,−1,−1).

(b) f1 =1√2(1, 1, 0, 0), f2 =

1√6(1,−1, 2, 0), f3 =

1

2√3(1,−1,−1, 3),

f4 =1

2(−1, 1, 1, 1).

(c) f1 =

√15

4· (X2 +X), f2 =

�3

8· (1−X), f3 =

√3

4· (5X2 −X − 2).

13. Sa se verifice faptul ca aplicatia

�f, g� =2�

0

f (t) g (t) dt, ∀ f, g ∈ C0([0, 2]),

reprezinta un produs scalar pe spatiul vectorial al functiilor continue si sa se orto-normeze în raport cu acest produs scalar sistemul de functii

B =�e1 ≡ 1, e2 ≡ t− 2, e3 ≡ t2 − 3t

�.

R. f1 =1√2, f2 =

�3

2· (t− 1), f3 =

�5

8· (3t2 − 6t+ 2).

14. Determinati complementele ortogonale ale subspatiilor generate de urmatoarele sis-teme de vectori:

(a) v1 = (1, 2, 0) , v2 = (2, 0, 1) în spatiul euclidian R3;(b) v1 = (−1, 1, 2, 0) , v2 = (3, 0, 2, 1) , v3 = (4,−1, 0, 1) în spatiul euclidian R4.

R. (a) W⊥ = {(−2y, y, 4y) | y ∈ R}.

(b) W⊥ =

��−2z − t

3,−8z − t

3, z, t

�� z, t ∈ R�.

15. Sa se gaseasca proiectia vectorului v = (14,−3,−6) pe complementul ortogonalW⊥

al subspatiului W generat de vectorii v1 = (−3, 0, 7) si v2 = (1, 4, 3) din R3. Sa secalculeze lungimea acestei proiectii.

R. Proiectia cautata este vectorul Pr⊥(v) =92

74(7,−4, 3). Lungimea proiectiei este

||Pr⊥(v)|| = 92√74.

16. Sa se gaseasca proiectia vectorului v = (−1, 1, 2) ∈ R3 pe subspatiul solutiilorsistemului omogen x+ y + z = 0.

R. Proiectia cautata este vectorul Pr(v) =1

3(−5, 1, 4).

PROBLEME PROPUSE 55

2. SPATIUL VECTORIAL REAL AL VECTO-RILOR LIBERI

În acest capitol vom studia proprietatile geometrice particulare ale unui spatiu vectorialreal remarcabil, numit spatiul vectorilor liberi. Acest spatiu modeleaza, din punct devedere matematic, spatiul marimilor fizice vectoriale ca fortele, acceleratiile, vitezele saumomentele. Este important de subliniat ca spatiul vectorial real al vectorilor liberi poatefi înzestrat cu o structura naturala de spatiu euclidian, care permite masurarea lungimiiunui vector liber, precum si a unghiului format de doi vectori liberi. Mai mult, vom vedeaca putem defini în acest spatiu o serie de produse specifice, cu o puternica semnificatiefizico-geometrica, cum ar fi produsul vectorial sau produsul mixt.

2.1 Segmente orientate. Vectori liberi

Vom nota cu E3 spatiul punctual tridimensional al geometriei euclidiene elementare.Pentru orice doua puncte distincte A,B ∈ E3 vom nota cu

−→AB segmentul orientat carac-

terizat de urmatoarele entitati:

1. directia = dreapta suport a segmentului [AB];

2. orientarea (sensul) = de la A la B;

3. lungimea (norma) = lungimea segmentului [AB] notata cu ||−→AB||.

Segmentul orientat−→AB

Punctul A se numeste originea segmentului orientat−→AB iar punctul B se numeste

vârful segmentului orientat−→AB.

În cazul în care originea A si vârful B ale unui segment orientat−→AB coincid (A = B)

se obtine segmentul orientat nul . Prin definitie, segmentul orientat nul−→AA are lungimea

egala cu 0, nu are nici o directie si nici un sens, fiind reprezentat geometric de punctul A.Spunem ca doua segmente orientate nenule au aceeasi directie daca directiile lor sunt

paralele sau confundate.

SPATIUL VECTORIAL REAL AL VECTORILOR LIBERI 57

Definitia 2.1.1 Doua segmente orientate nenule−→AB si

−−→CD se numesc echipolente daca

au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasi lungime. În acest caz vom folosi notatia:−→AB ∼ −−→

CD.

Segmente orientate echipolente:−→AB ∼ −−→

CD

Observatia 2.1.2 Doua segmente orientate nenule−→AB si

−−→CD sunt echipolente (i.e.−→

AB ∼ −−→CD) daca si numai daca pot fi suprapuse prin paralelism astfel încât originile

A si C (resp. vârfurile B si D) sa coincida.

Observatia 2.1.3 Prelungim relatia de echipolenta si la segmentele orientate nule: -admitem ca toate segmentele orientate nule sunt echipolente între ele.

Folosind observatia de mai sus, definitia relatiei de echipolenta si câteva proprietatigeometrice elementare, deducem usor urmatorul rezultat:

Propozitia 2.1.4 Relatia de echipolenta satisface urmatoarele proprietati:

1.−→AB ∼ −→

AB (reflexivitate);

2.−→AB ∼ −−→

A′B′ ⇒ −−→A′B′ ∼ −→

AB (simetrie);

3.−→AB ∼ −−→

A′B′ si−−→A′B′ ∼ −−−→

A′′B′′ ⇒ −→AB ∼ −−−→

A′′B′′ (tranzitivitate).

Fie−→AB un segment orientat arbitrar. Vom nota cu AB multimea

ABdef=" −−→A′B′

��−−→A′B′ ∼ −→

AB#.

Definitia 2.1.5 Multimea AB se numeste clasa de echipolenta a segmentului orientat−→AB.

Observatia 2.1.6 Evident avem−→AB ∈ AB si fiecare segment orientat din clasa de

echipolenta AB este un reprezentant al clasei.

Definitia 2.1.7 Clasele de echipolenta ale segmentelor orientate se numesc vectori li-beri.

Observatia 2.1.8 Pentru o mai buna întelegere a diferentei dintre conceptul de vectorliber si conceptul de segment orientat, sa notam ca un vector liber reprezinta o infinitatede segmente orientate echipolente. Mai exact un vector liber AB reprezinta segmentulorientat

−→AB, împreuna cu toate segmentele orientate echipolente cu el. Prin analogie,

situatia este asemanatoare cu definitia unui numar rational care reprezinta concomitent oinfinitate de fractii. Spre exemplu, numarul rational 1/2 reprezinta de fapt toate fractiileechivalente: 2/4, 3/6, 4/8, . . . si asa mai departe.

58 SPATIUL VECTORIAL REAL AL VECTORILOR LIBERI

Observatia 2.1.9 Vectorii liberi vor fi notati prin a, b, c, ... sau AB, CD, ..., iar în desenvor fi reprezentati printr-unul dintre segmentele orientate echipolente care definesc acelvector liber. În spatiul vectorilor liberi nu se face distinctie între segmentele orientateechipolente.

Definitia 2.1.10 Directia, sensul si norma (lungimea) segmentelor orientate echipolentecare definesc un vector liber se numesc directia, sensul si norma (lungimea) vectoruluiliber.

Observatia 2.1.11 Norma unui vector liber a sau AB se noteaza cu ||a|| sau��AB

�� .

Definitia 2.1.12 Vectorul liber care are lungimea zero se numeste vectorul nul si senoteaza cu 0. Vectorul nul 0 este reprezentat geometric de un punct.

Definitia 2.1.13 Un vector liber de lungime unu se numeste versor si, în general, senoteaza cu e.

2.2 Adunarea vectorilor liberi

Vom nota cu V3 (respectiv V2) multimea tuturor vectorilor liberi din spatiu (respectivplan). În continuare vom demonstra o serie de proprietati algebrice sau geometrice alespatiului V3, ele putând fi simplu particularizate si aplicate la spatiul V2.

Fie doi vectori liberi a, b ∈ V3 si fie−→OA, respectiv

−→AB, niste segmente orientate

reprezentative ale acestor vectori liberi. Atunci vectorul liber c reprezentat de segmentulorientat

−−→OB se numeste suma vectorilor a si b si se noteaza

c = a+ b.

Definitia 2.2.1 Regula de adunare a vectorilor liberi prezentata mai sus se numeste re-gula triunghiului sau regula paralelogramului.

Regula triunghiului: c = a+ b

Observatia 2.2.2 Operatia de adunare a vectorilor liberi este bine definita si nu depindede alegerea reprezentantilor

−→OA si

−→AB. Cu alte cuvinte, daca alegem alti reprezentanti

pentru efectuarea sumei a+b, vectorul liber rezultat este reprezentat de un segment orientatechipolent cu

−−→OB.

ADUNAREA VECTORILOR LIBERI 59

În concluzie, adunarea vectorilor liberi

+ : V3 × V3 → V3, (a, b) → a+ b,

este o lege de compozitie interna pe spatiul V3. În acest context, putem demonstra urma-torul rezultat:

Teorema 2.2.3 (V3,+) este un grup abelian. Cu alte cuvinte, sunt adevarate urmatoareleproprietati:

1. a+ b = b+ a, ∀ a, b ∈ V3 (comutativitate);

2. (a+ b) + c = a+ (b+ c), ∀ a, b, c ∈ V3 (asociativitate);

3. a+ 0 = 0 + a = a, ∀ a ∈ V3, unde 0 este vectorul nul (element neutru);

4. ∀ a ∈ V3, ∃ −a ∈ V3 astfel încât a+ (−a) = (−a) + a = 0 (orice element are unopus).

Demonstratie. Proprietatile 1. si 3. sunt evidente din definitia adunarii a doi vec-tori liberi. Pentru a demonstra asociativitatea sa consideram trei vectori liberi a, b si c.Folosind regula triunghiului, asociativitatea rezulta din figura de mai jos:

Asociativitatea: (a+ b) + c = a+ (b+ c)

Este evident ca opusul unui vector liber a este vectorul liber −a caracterizat de aceeasidirectie, sens opus si aceeasi lungime cu a vectorului liber a.

Opusul vectorului liber a

2.3 Înmultirea vectorilor liberi cu scalari reali

Fie λ ∈ R un scalar real si fie a ∈ V3 un vector liber. Vom defini înmultirea cu scalarireali λa ∈ V3 în felul urmator:


1. daca λ = 0 sau a = 0, atunci λa = 0;

2. daca λ �= 0 si a �= 0, atunci vectorul liber λa este caracterizat de aceeasi directie cua vectorului liber a, acelasi sens cu al vectorului liber a daca λ > 0 si sens opus cual vectorului liber a daca λ < 0, si are lungimea

||λa|| = |λ| · ||a||.

Înmultirea vectorilor liberi cu scalari reali

Teorema 2.3.1 Spatiul vectorilor liberi V3, împreuna cu operatiile de adunare a vectorilorliberi si de înmultire a acestora cu scalari reali, are o structura de spatiu vectorial real.Cu alte cuvinte, urmatoarele proprietati sunt adevarate:

1. λ(a+ b) = λa+ λb, ∀ λ ∈ R, ∀ a, b ∈ V3;

2. (λ+ µ)a = λa+ µa, ∀ λ, µ ∈ R, ∀ a ∈ V3;

3. λ(µa) = (λµ)a, ∀ λ, µ ∈ R, ∀ a ∈ V3;

4. 1 · a = a, ∀ a ∈ V3.

Demonstratie. Proprietatile 2., 3. si 4. sunt evidente din modul de definire a operatiilorcu vectori liberi.

Pentru a demonstra proprietatea 1. sa consideram ca segmentul orientat−→OA este

reprezentantul vectorului liber a si segmentul orientat−→AB este reprezentantul vectoru-

lui liber−→b . Atunci, din regula triunghiului, segmentul orientat

−−→OB este reprezentantul

vectorului liber a+ b. Sa presupunem acum ca λ > 0 si sa notam cu−−→OA′ reprezentantul

vectorului λa si cu−−→OB′ reprezentantul vectorului λ(a+ b).

Proprietatea: λ(−→OA+

−→AB) = λ

−→OA+ λ

−→AB

Se observa ca △OAB ∼ △OA′B′, având un unghi comun si laturile (care determinaacest unghi) de lungimi proportionale. Rezulta ca avem

−→AB

−−→A′B′

ÎNMULTIREA VECTORILOR LIBERI CU SCALARI REALI 61

si −−→A′B′ = λ

−→AB.

Cu alte cuvinte, segmentul orientat−−→A′B′ este reprezentantul lui λb. Prin urmare, segmen-

tul orientat−−→OB′ este reprezentantul sumei λa+ λb, adica avem

λ(a+ b) = λa+ λb.

Analog se trateaza cazul λ < 0.

2.4 Coliniaritate si coplanaritate

Din punct de vedere geometric, doi vectori liberi nenuli a si b sunt coliniari dacaau aceeasi directie (i.e. directiile segmentelor orientate reprezentative sunt paralele sauconfundate).

Teorema 2.4.1 Doi vectori liberi nenuli a si b sunt coliniari daca si numai daca existaλ ∈ R\{0} astfel încât

a = λb.

Demonstratie. ” ⇐ ” Este evident ca relatia a = λb, unde λ �= 0, implica faptul cavectorii liberi nenuli a si b au aceeasi directie.

” ⇒ ” Daca vectorii liberi nenuli a si b sunt coliniari, rezulta ca au aceeasi directie.Daca b are acelasi sens cu a, atunci este evident ca avem

b =

��b��

||a|| · a.

Daca b are sens opus lui a, atunci este evident ca avem

b = −��b��

||a|| · a.

Corolarul 2.4.2 Doi vectori liberi nenuli si necoliniari sunt liniar independenti în spatiulvectorial real V3.

Demonstratie. Fie a si b doi vectori liberi nenuli si necoliniari. Sa presupunem prinabsurd ca vectorii a si b sunt liniar dependenti în spatiul vectorial real V3. Din definitialiniar dependentei a doi vectori liberi rezulta ca exista α, β ∈ R, unde α2 + β2 �= 0, astfelîncât αa+ βb = 0. Pentru β �= 0 aceasta relatie se transcrie b = λa, unde λ = −α/β �= 0.Prin urmare, conform propozitiei anterioare, vectorii liberi a si b sunt coliniari. Acestlucru se afla în contradictie cu necoliniaritatea vectorilor liberi a si b. În concluzie vectoriiliberi a si b sunt liniar independenti în spatiul vectorial real V3.

Din punct de vedere geometric, trei vectori liberi nenuli a, b si c sunt coplanari dacasegmentele orientate reprezentative ale celor trei vectori liberi sunt paralele cu un plandat în spatiu.


Teorema 2.4.3 Trei vectori liberi nenuli a, b si c sunt coplanari daca si numai dacaexista λ, µ ∈ R, unde λ2 + µ2 �= 0, astfel încât

c = λa+ µb.

Demonstratie. ” ⇐ ” Din modul de definire al operatiilor cu vectori liberi, este evidentca vectorul liber c = λa+ µb, unde λ2 + µ2 �= 0, se afla în acelasi plan cu vectorii liberi asi b.

” ⇒ ” Sa presupunem ca vectorul liber c se afla în acelasi plan cu vectorii liberi a sib. Fie

−→OA,

−−→OB si

−→OC segmentele orientate coplanare reprezentative ale vectorilor liberi

a, b si c. Ducând din punctul C paralele la dreptele OA si OB, deducem ca avem (vezi sifigura) −→

OC =−−→OE +

−→OF = λ

−→OA+ µ

−−→OB,

unde λ, µ ∈ R, cu proprietatea λ2 + µ2 �= 0.

Descompunerea:−→OC = λ

−→OA+ µ

−−→OB

Tinând cont ca−→OA,

−−→OB si

−→OC sunt segmentele orientate reprezentative ale vectorilor

liberi a, b si c, rezulta ceea ce aveam de demonstrat.

Corolarul 2.4.4 Trei vectori liberi nenuli si necoplanari sunt liniar independenti în spa-tiul vectorial real V3.

Demonstratie. Fie a, b si c trei vectori liberi nenuli si necoplanari. Sa presupunemprin absurd ca vectorii liberi a, b si c sunt liniar dependenti în spatiul vectorial real V3.Din definitia liniar dependentei a trei vectori liberi rezulta ca exista α, β, γ ∈ R, undeα2 + β2 + γ2 �= 0, astfel încât αa+ βb+ γc = 0. Pentru γ �= 0 aceasta relatie se transcriec = λa + µb, unde λ = −α/γ si µ = −β/γ au proprietatea λ2 + µ2 �= 0. Prin urmare,conform propozitiei anterioare, vectorii liberi a, b si c sunt coplanari. Acest lucru se aflaîn contradictie cu necoplanaritatea vectorilor liberi a, b si c. În concluzie, vectorii liberia, b si c sunt liniar independenti în spatiul vectorial real V3.

Teorema 2.4.5 Orice trei vectori liberi nenuli si necoplanari formeaza o baza în spatiulvectorial real V3. Prin urmare, avem

dimR V3 = 3.

Demonstratie. Fie a, b si c trei vectori liberi nenuli si necoplanari. Atunci, conformcorolarului anterior, sistemul de vectori {a, b, c} este liniar independent în spatiul vectorialreal V3.

Vom demonstra în continuare ca sistemul de vectori {a, b, c} este un sistem de gene-ratori în spatiul vectorial real V3. Pentru aceasta sa consideram d un vector liber arbitrar

COLINIARITATE SI COPLANARITATE 63

din V3. Fie−→OA,

−−→OB,

−→OC si

−−→OD segmentele orientate reprezentative ale vectorilor liberi

a, b, c si d. Ducând din punctul D plane paralele la planele (AOB), (BOC) si (AOC),deducem ca avem (vezi si figura)

−−→OD =

−−→OD1 +

−−→OD2 +

−−→OD3 = α

−→OA+ β

−−→OB + γ

−→OC,

unde α, β, γ ∈ R.

Descompunerea:−−→OD = α

−→OA+ β

−−→OB + γ

−→OC

Tinând cont ca−→OA,

−−→OB,

−→OC si

−−→OD sunt segmentele orientate reprezentative ale vec-

torilor liberi a, b, c si d, rezulta ca sistemul de vectori {a, b, c} este un sistem de generatoriîn spatiul vectorial real V3.

În concluzie, sistemul de vectori liberi nenuli si necoplanari {a, b, c} formeaza o bazaîn spatiul vectorial real V3.

2.5 Produsul scalar a doi vectori liberi

Deoarece în spatiul vectorial real al vectorilor liberi V3 o baza este formata din oricetrei vectori liberi nenuli si necoplanari, ne vom fixa în continuare atentia asupra unei bazeprivilegiate, extrem de utilizata. Este vorba despre o baza formata din trei versori i, j sik, care sunt perpendiculari unul pe celalalt.

Definitia 2.5.1 BazaB =�i, j, k

�,

undei ⊥ j ⊥ k ⊥ i si

��i�� =��j�� =��k�� = 1,

se numeste baza canonica a spatiului vectorial real al vectorilor liberi V3.

Deoarece multimea B este o baza în spatiul V3, rezulta ca orice vector liber v ∈ V3 sedescompune în mod unic ca

v = xi+ yj + zk,

unde x, y, z ∈ R reprezinta coordonatele vectorului liber v în baza canonica B.Fie acum doi vectori liberi arbitrari

a = x1i+ y1j + z1k

sib = x2i+ y2j + z2k,

unde xi, yi, zi ∈ R, ∀ i ∈ {1, 2}.


Definitia 2.5.2 Aplicatia �, � : V3 × V3 → R, definita prin�a, b� def= x1x2 + y1y2 + z1z2,

se numeste produsul scalar pe spatiul vectorilor liberi V3.

Observatia 2.5.3 În unele lucrari se mai foloseste notatia�a, b� not= a · b.

Teorema 2.5.4 Spatiul (V3, �, �) este un spatiu euclidian real. Cu alte cuvinte, aplicatiaprodus scalar are urmatoarele proprietati:

1.�a, b�=�b, a�, ∀ a, b ∈ V3;

2.�λa, b�= λ�a, b�, ∀ λ ∈ R, ∀ a, b ∈ V3;

3.�a, b+ c

�=�a, b�+ �a, c� , ∀ a, b, c ∈ V3;

4. �a, a� ≥ 0, ∀ a ∈ V3, cu egalitate daca si numai daca a = 0.

Demonstratie. Proprietatile 1., 2. si 4. sunt imediate din folosirea definitiei produsuluiscalar �, � . Pentru a demonstra proprietatea 3. sa consideram vectorul liber arbitrar

c = x3i+ y3j + z3k,

unde x3, y3, z3 ∈ R. Atunci avem egalitatile:�a, b+ c

�= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3) =

= x1x2 + y1y2 + z1z2 + x1x3 + y1y3 + z1z3 =

=�a, b�+ �a, c� .

Folosind teoria generala de la spatiile euclidiene reale, cu ajutorul produsului scalar�, � pe spatiul vectorial real al vectorilor liberi V3, putem introduce notiunile de norma(lungime) a unui vector liber si unghi format de doi vectori liberi.

Astfel, daca avem vectorul liber arbitrar

v = xi+ yj + zk,

unde x, y, z ∈ R, atunci norma (lungimea) sa este data de formula

||v|| =�

�v, v� =�x2 + y2 + z2.

Daca avem vectorii liberi arbitrari

a = x1i+ y1j + z1k


unde xi, yi, zi ∈ R, ∀ i ∈ {1, 2}, atunci acesti doi vectori liberi formeaza un unghiϕ ∈ [0, π] definit de formula

cosϕdef=

�a, b�

||a|| ·��b�� =

x1x2 + y1y2 + z1z2�x21 + y21 + z21 ·

�x22 + y22 + z22

.

În particular, vectorii liberi a si b sunt perpendiculari (ortogonali) a ⊥ b daca si numaidaca ϕ = π/2, adica

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

Conform definitiei de mai sus, deducem ca întotdeauna avem adevarata relatia�a, b�= ||a|| ·

��b�� · cosϕ.

PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI LIBERI 65

2.6 Produsul vectorial a doi vectori liberi

Fie doi vectori liberi arbitrari

a = x1i+ y1j + z1k


unde xi, yi, zi ∈ R, ∀ i ∈ {1, 2}.

Definitia 2.6.1 Aplicatia × : V3 × V3 → V3, definita prin

a× bdef=

��

i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

��=

��y1 z1y2 z2

�� i−��x1 z1x2 z2

�� j +��x1 y1x2 y2

�� k,

se numeste produsul vectorial pe spatiul vectorilor liberi V3.

Aplicatia produs vectorial are o serie importanta de proprietati geometrice pe care leexpunem în rezultatul care urmeaza.

Teorema 2.6.2 Produsul vectorial are urmatoarele proprietati:

1. a× b ⊥ a si a× b ⊥ b, ∀ a, b ∈ V3;

2. a× b = − b× a, ∀ a, b ∈ V3 (anticomutativitate);

3. a× a = 0, ∀ a ∈ V3;

4. a× b = 0 ⇔ a si b sunt coliniari;

5. λ(a× b) = (λa)× b = a× (λb), ∀ λ ∈ R, ∀ a, b ∈ V3 (omogeneitate);

6. a× (b+ c) = a× b+ a× c, ∀ a, b, c ∈ V3 (distributivitate);

7.��a× b

�� = ||a|| ·��b�� · sinϕ, ∀ a, b ∈ V3, unde ϕ = ∡

�a, b�;

8. a× (b× c) = �a, c� · b−�a, b�· c, ∀ a, b, c ∈ V3 (dublul produs vectorial).

Demonstratie. Proprietatile 2., 3., 4., 5. si 6. sunt imediate din definitia produsuluivectorial si proprietatile determinantilor.

Pentru a demonstra proprietatea 1. sa observam ca avem

�a× b, a

�=

��y1 z1y2 z2

�� x1 −��x1 z1x2 z2

�� y1 +��x1 y1x2 y2

�� z1 =

=

��

x1 y1 z1x1 y1 z1x2 y2 z2

��= 0 ⇔ a× b ⊥ a.

Analog se obtine relatia�a× b, b

�= 0 ⇔ a× b ⊥ b.


Pentru a demonstra proprietatea 7. sa observam ca, pe de o parte, prin calcul, avem

��a× b�� =

��y1 z1y2 z2

��2

+

��x1 z1x2 z2

��2

+

��x1 y1x2 y2

��2

=

=�

(y1z2 − y2z1)2 + (x1z2 − x2z1)2 + (x1y2 − x2y1)2 =

=�

(x21 + y21 + z21)(x22 + y22 + z22)− (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 =

=

�||a||2 ·

��b��2 −

�a, b�2.

Pe de alta parte, avem

||a|| ·��b�� · sinϕ = ||a|| ·

��b��

1− cos2 ϕ =

= ||a|| ·��b��

$%%&1−�a, b�2

||a||2 ·��b��2

=

=

�||a||2 ·

��b��2 −

�a, b�2.

Pentru a demonstra proprietatea 8., sa consideram vectorul liber

c = x3i+ y3j + z3k,

unde x3, y3, z3 ∈ R. Atunci avem

a× (b× c) =

��

i j kx1 y1 z1��

y2 z2y3 z3

�� −��x2 z2x3 z3

��

��x2 y2x3 y3

��

��=

= [y1(x2y3 − x3y2) + z1(x2z3 − x3z2)]i−−[x1(x2y3 − x3y2)− z1(y2z3 − y3z2)]j −−[x1(x2z3 − x3z2) + y1(y2z3 − y3z2)]k

= [x2(y1y3 + z1z3)− x3(y1y2 + z1z2)]i−−[y3(x1x2 + z1z2)− y2(x1x3 + z1z3)]j −−[z3(x1x2 + y1y2)− z2(x1x3 + y1y3)]k

= [x2(�a, c� − x1x3)− x3(�a, b�− x1x2)]i−

−[y3(�a, b�− y1y2)− y2(�a, c� − y1y3)]j −

−[z3(�a, b�− z1z2)− z2(�a, c� − z1z3)]k

='x2 �a, c� − x3

�a, b�(i−

−'y3�a, b�− y2 �a, c�

(j −

−'z3�a, b�− z2 �a, c�

(k

= �a, c� · (x2i+ y2j + z2k)−�a, b�· (x3i+ y3j + z3k) =

= �a, c� · b−�a, b�· c.

PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI LIBERI 67

Observatia 2.6.3 Proprietatile 1., 2. si 7. ale produsului vectorial arata ca, în cazul adoi vectori liberi nenuli si necoliniari, produsul vectorial

a× b �= 0

este un vector liber cu proprietatile:

1. este perpendicular pe planul determinat de vectorii liberi a si b;

2. prin conventie, are sensul determinat de regula burghiului − ducem vectorul apeste vectorul b si vedem ce se întâmpla cu burghiul (urca sau coboara) − acest senseste desemnat în figura de mai jos prin versorul e.

3. are lungimea (norma) egala numeric cu aria paralelogramului determinat de vec-torii liberi a si b. Cu alte cuvinte, avem formula

Aparalelogram =��a× b

�� = ||a|| ·��b�� · sinϕ.

Produsul vectorial si aria paralelogramului

Observatia 2.6.4 Formula dublului produs vectorial se retine mai usor daca estescrisa sub forma determinantului simbolic

a× (b× c) =

��b c�a, b�

�a, c�

�� .

De asemenea, este important de subliniat faptul ca nu avem asociativitatea

(a× b)× c �= a× (b× c),

deoarece avem

(a× b)× c =

��a, c�

�b, c�

a b

�� .

Exemplul 2.6.5 Fie vectorii liberi a = −2i − 2j + 3k si b = i − j − k. Vom calcula încontinuare aria triunghiului determinat de vectorii a si b, precum si înaltimea triunghiuluicorespunzatoare bazei b. Pentru aceasta, sa calculam produsul vectorial

a× b =

��

i j k−2 −2 31 −1 −1

��= 5i+ j + 4k.


Pe de o parte, deoarece aria triunghiului determinat de vectorii a si b este jumatate dinaria paralelogramului determinat de vectorii a si b, rezulta ca aria triunghiului determinatde vectorii liberi a si b este data de formula

Atriunghi =

��a× b��

2=

1

2

√52 + 12 + 42 =

√42

2.

Pe de alta parte, daca notam cu h înaltimea triunghiului corespunzatoare bazei b,formula corespunzatoare ariei triunghiului este

Atriunghi =

��b�� · h2

.

Prin urmare, înaltimea triunghiului corespunzatoare bazei b este

h =2Atriunghi��b�� =

√42√

12 + 12 + 12=

√42√3

=√14.

2.7 Produsul mixt a trei vectori liberi

Fie trei vectori liberi arbitrari

a = x1i+ y1j + z1k,

b = x2i+ y2j + z2k,

c = x3i+ y3j + z3k,

unde xi, yi, zi ∈ R, ∀ i ∈ {1, 2, 3}.

Definitia 2.7.1 Aplicatia ( , , ) : V3 × V3 × V3 → R, definita prin

(a, b, c)def=�a, b× c

�=

��

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

��,

se numeste produsul mixt pe spatiul vectorilor liberi V3.

Teorema 2.7.2 Urmatoarele proprietati ale produsului mixt sunt adevarate:

1. (a, b, c) = −(a, c, b) = (c, a, b) = −(c, b, a), ∀ a, b, c ∈ V3;

2. λ(a, b, c) = (λa, b, c) = (a, λb, c) = (a, b, λc), ∀ λ ∈ R, ∀ a, b, c ∈ V3;

3. (a+ b, c, d) = (a, c, d) + (b, c, d), ∀ a, b, c, d ∈ V3;

4. (a, b, c) = 0 ⇔ vectorii liberi a, b, c sunt coplanari;

5. Daca vectorii liberi a, b, c sunt necoplanari, atunci modulul produsului mixt repre-zinta volumul paralelipipedului construit pe vectorii liberi a, b si c. Cu alte cuvinte,avem formula

Vparalelipiped =��(a, b, c)

�� .

PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI LIBERI 69

Produsul mixt si volumul paralelipipedului

Demonstratie. Proprietatile 1., 2., 3. si 4. sunt imediate din definitia produsului mixtsi proprietatile determinantilor. Pentru a demonstra proprietatea 5. sa observam ca,notând d = b× c, avem

��(a, b, c)�� =

��a, d�� =

��||a|| ·��d�� · cosϕ

�� =

=��||a|| ·

��b× c�� · cosϕ

�� =

=��b�� · ||c|| · sin θ

�· ||a|| · cosϕ

�� = Vparalelipiped ,

unde ϕ este unghiul dintre vectorii liberi a si d = b × c iar θ este unghiul dintre vectoriiliberi b si c.

Exemplul 2.7.3 Fie vectorii liberi

a = i+ 2j + 2k, b = −i+ 3k si c = −2i+ j − k.

Vom calcula în continuare volumul tetraedrului determinat de vectorii a, b si c, precum siînaltimea tetraedrului corespunzatoare bazei determinate de vectorii b si c. Pentru aceasta,sa calculam produsul mixt

(a, b, c) =

��

1 2 2−1 0 3−2 1 −1

��= −19.

Pe de o parte, deoarece volumul tetraedrului construit pe vectorii a, b si c este o sesimedin volumul paralelipipedului construit pe vectorii a, b si c, rezulta ca volumul tetraedruluideterminat de vectorii a, b si c este dat de formula

Vtetraedru =

��(a, b, c)��

6=

19

6.

Sa calculam acum produsul vectorial

b× c =

��

i j k−1 0 3−2 1 −1

��= −3i− 7j − k.

Atunci, aria bazei determinate de vectorii b si c este data de formula

Abazei =

��b× c��

2=

1

2

�(−3)2 + (−7)2 + (−1)2 =

√59

2.


Pe de alta parte, daca notam cu h înaltimea tetraedrului corespunzatoare bazei deter-minate de vectorii b si c, formula corespunzatoare volumului tetraedrului este

Vtetraedru =Abazei · h

3.

Prin urmare, înaltimea tetraedrului corespunzatoare bazei determinate de vectorii liberib si c este

h =3Vtetraedru

Abazei=

19

2√59

2

==19√59.


1. Fie triunghiul △ABC si fie M mijlocul segmentului [BC]. Atunci are loc relatiavectoriala a medianei

2AM = AB +AC.

Rezolvare. Fie A′ simetricul punctului A fata de M . Evident avem

AA′ = 2AM.

Deoarece în patrulaterul ABA′C diagonalele se înjumatatesc, rezulta ca patrulaterulABA′C este un paralelogram. Prin urmare, din regula paralelogramului, avem

AA′ = AB +AC,

adica ceea ce aveam de demonstrat.

2. Fie ABCD un paralelogram si fie O punctul de intersectie al diagonalelor sale. FieS un punct arbitrar din spatiu. Atunci avem

4SO = SA+ SB + SC + SD.

Rezolvare. Deoarece ABCD este un paralelogram, rezulta ca diagonalele se în-jumatatesc, adica ||AO|| = ||OC|| si ||BO|| = ||OD||. Aplicam acum relatia vecto-riala a medianei în triunghiurile △SAC si △SBD si gasim egalitatile

2SO = SA+ SC,2SO = SB + SD.

Adunând aceste relatii rezulta egalitatea ceruta.

3. Într-un cerc de centru O se considera doua coarde AMB si CMD perpendiculareîntre ele. Sa se demonstreze ca

MA+MB +MC +MD = 2MO.

Rezolvare. Alegem pe segmentul [CD] punctul D′ cu proprietatea ca

||DD′|| = ||CM ||,


iar pe segmentul [AB] punctul B′ cu proprietatea ca

||BB′|| = ||MA||.

Evident, atunci avemMA+MB =MB′

siMC +MD =MD′.

Din constructie, se vede usor ca avem

△AOB′ ≡ △BOM ⇒ ||OB′|| = ||OM ||,△DOD′ ≡ △COM ⇒ ||OD′|| = ||OM ||.

Deoarece unghiul �B′MD′ este drept, rezulta ca punctele B′, O si D′ sunt coliniaresi [MO] este mediana în triunghiul △B′MD′. Aplicând acum relatia medianei,obtinem

MB′ +MD′ = 2MO.

4. PunctulH este ortocentrul triunghiului△ABC daca si numai daca au loc egalitatile

�HA,HB

�=�HB,HC

�=�HC,HA

�.

Rezolvare. Evident, vectorul HA este înaltime în triunghiul △ABC daca si numaidaca �

HA,BC�= 0 ⇔

�HA,HC −HB

�= 0.

Egalitatile de demonstrat sunt acum imediate.

5. Sa se arate ca daca vectorii a = 2m+ n si b = m+ n sunt coliniari, atunci vectoriim si n sunt coliniari.

Rezolvare. Vectorii a si b sunt coliniari daca si numai daca

a× b = 0 ⇔ (2m+ n)× (m+ n) = 0 ⇔⇔ 2m× n+ n×m = 0 ⇔ m× n = 0.

6. Fie vectorii a = m+ 2n si b = m− 3n, unde

m = 5, n = 3, ∡ (m,n) =π

2.

Sa se calculeze:

(a) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe a si b;

(b) unghiul dintre diagonalele paralelogramului construit pe a si b;

(c) aria paralelogramului determinat de a si b.


Rezolvare. (a) Diagonalele paralelogramului construit pe a si b sunt determinatede vectorii a+ b si a − b. Prin urmare, avem

!!a+ b!! =

��a+ b, a+ b

�=��2m− n, 2m− n� =

=

�4 m 2 − 4 �m,n�+ n 2 =

�4 m 2 + n 2 =

√109,

!!a− b!! =��

a− b, a− b�=��5n, 5n� = 5 n = 15.

(b) Deoarece avem�a+ b, a− b

�= �2m− n, 5n� = 10 �m,n� − 5 n 2 = −45,

rezulta ca unghiul dintre diagonale este

cos θ =

�a+ b, a− b

�!!a+ b

!! ·!!a− b

!! = − 3√109

.

(c) Aria paralelogramului este

Aparalelogram =!!a × b

!! = 5n ×m = 5 n · m = 75.

7. Sa se demonstreze identitatea lui Jacobi

a × (b× c) + c× (a× b) + b× (c× a) = 0.

Rezolvare. Utilizând formula dublului produs vectorial, gasim egalitatile

a× (b× c) = �a, c� · b−�a, b�· c,

c× (a× b) =�c, b�· a− �c, a� · b,

b× (c× a) =�b, a�· c−

�b, c�· a.

Adunând cele trei relatii, obtinem egalitatea ceruta.

8. Sa se demonstreze relatia

(a× b, b× c, c× a) = (a, b, c)2.

Sa se arate ca daca vectorii a × b, b × c si c × a sunt coplanari, atunci ei sunt sicoliniari.

Rezolvare. Utilizând formula dublului produs vectorial obtinem relatia

(b× c)× (c× a) =�b× c, a

�· c−

�b× c, c

�· a = (a, b, c) · c.

Folosind acum si definitia produsului mixt, deducem ca

(a× b, b× c, c× a) =�a× b, (b× c)× (c× a)

�=

= (a, b, c) ·�a× b, c

�= (a, b, c)2.

Din relatia anterioara deducem ca daca vectorii a× b, b× c si c× a sunt coplanari,atunci si vectorii a, b si c sunt coplanari. Prin urmare, vectorii liberi a× b, b× c sic× a sunt si coliniari.


9. Sa se demonstreze identitatea lui Lagrange

�a, b�2

+!!a× b

!!2 = a 2 ·!!b!!2 .

Rezolvare. Relatia de demonstrat este imediata daca tinem cont de formulele�a, b�= a ·

!!b!! · cosϕ

si !!a× b!! = a ·

!!b!! · sinϕ.

10. Fie a, b si c trei vectori necoplanari. Aratati ca exista vectorii a′, b′

si c′ cu propri-etatile:

�a′, a� = 1,�a′, b�= 0, �a′, c� = 0;

)b′

, a*= 0,

)b′

, b*= 1,

)b′

, c*= 0;

�c′, a� = 0,�c′, b�= 0, �c′, c� = 1.

Rezolvare. Din proprietatile de mai sus, rezulta ca vectorul a′ este perpendicularatât pe b cât si pe c, adica este coliniar cu produsul vectorial b × c. Prin urmare,exista λ ∈ R astfel încât

a′ = λ�b× c�.

Acum, din conditia �a′, a� = 1, deducem ca

λ =1

(a, b, c).

Analog, gasim

b′

=c× a

(a, b, c)si c′ =

a× b

(a, b, c).

Observatie. Vectorii a′, b′

si c′ se numesc reciprocii vectorilor a, b si c.

11. Fie vectorul v = 2i + αj + βk, unde α, β ∈ R. Sa se determine α si β astfel încâtvectorul v sa fie perpendicular pe vectorii

a = −i+ 4j + 2k si b = 3i− 3j − 2k.

Cu α si β astfel calculati sa se determine unghiul dintre vectorii v si a+ b.

Rezolvare. Vectorul v este perpendicular pe vectorii a si b daca si numai daca veste coliniar cu produsul vectorial a× b, unde

a× b =

��

i j k−1 4 23 −3 −2

��= −2i+ 4j − 9k.

Punând conditia de coliniaritate v = λ�a× b

�, unde λ ∈ R, obtinem α = −4 si

β = 9.


Unghiul dintre vectorii v si a+ b este dat de formula

cos θ =

�v, a+ b

�

||v|| · ||a+ b||= 0 ⇔ θ =

π

2⇔ v ⊥

�a+ b

�.

Observatie. Problema se poate rezolva si punând conditiile

�v, a� = 0 si�v, b�= 0.

12. Sa se determine λ ∈ R astfel încât vectorii

v1 = i+ 2j − 3k, v2 = 2i− j + 2k si v3 = λi− j + k

sa fie coplanari, si sa se gaseasca relatia de dependenta liniara.

Rezolvare. Conditia de coplanaritate este

(v1, v2, v3) = 0 ⇔

��

1 2 −32 −1 2λ −1 1

��= 0 ⇔ λ = −3.

Pentru a gasi relatia de dependenta liniara, se determina α si β ∈ R din egalitatea

v3 = αv1 + βv2 ⇒ α = β = −1.

În concluzie, relatia de dependenta liniara este v3 = −v1 − v2.

13. Sa se rezolve ecuatiax× (x× a) = b,

unde a si b sunt vectori dati (nenuli si necoliniari).

Rezolvare. Înmultind scalar ecuatia cu x× a, deducem ca�b, x, a

�=�x, a, b

�= 0 ⇒ x ⊥ a× b.

De asemenea, înmultind scalar cu x, rezulta ca x ⊥ b. Prin urmare vectorul x estecoliniar cu produsul vectorial b× (a× b). Cu alte cuvinte, exista λ ∈ R astfel încât

x = λ ·'b× (a× b)

(.

Pentru a determina pe λ, fie înlocuim în ecuatia initiala, fie observam ca

x× (x× a) =!!b!!⇒ x 2 · a · sin∡ (a, x) =

!!b!! .

Tinând cont de faptul ca x ⊥ b si ca vectorul x este situat în planul vectorilor a sib, deducem ca

sin∡ (a, x) = cos∡�a, b�⇒ x 2 · a · cos∡

�a, b�=!!b!!⇔

⇔ x =

!!b!!

��a, b� ,


unde ∡�a, b�∈ [0, π/2] este o conditie necesara de existenta a solutiei. Pe de alta

parte avem însa

x =!!λ ·'b× (a× b)

(!! =

= |λ| ·!!b!! ·!!a× b

!! .

În concluzie, se obtine

λ = ± 1!!a× b

!! ·��

a, b� ⇒ x = ± b× (a× b)

!!a× b!! ·��

a, b� .


1. Fie G centrul de greutate al triunghiului △ABC siM un punct oarecare din spatiu.Sa se demonstreze relatia

MA+MB +MC = 3MG.

Ind. Se folosesc relatia triunghiului MG + GA = MA si analoagele acesteia. Deasemenea, se tine cont de faptul ca pentru centrul de greutate avem

GA+GB +GC = 0.

2. Într-un tetraedru ABCD muchiile opuse sunt perpendiculare doua câte doua dacasi numai daca �

AB,AC�=�AB,AD

�=�AC,AD

�.

Ind. Folosind egalitatea triunghiului, se arata ca relatia�AB,CD

�= 0 este echiva-

lenta cu�AB,AC

�=�AB,AD

�. Analog, se obtin celelalte echivalente.

3. Fie a si b doi vectori perpendiculari, având normele a = 3,!!b!! = 4. Sa se calculeze!!�3a− b

�×�a− 2b

�!!.

R. 60.

4. Fie m, n si p trei vectori necoplanari. Sa se studieze liniar independenta vectorilor

a = 2m− 3n+ p, b = m+ n+ 2p si c = m− n.

R. Liniar independenti, deoarece avem (a, b, c) = −4(m,n, p) �= 0.

5. Daca a′, b′

si c′ sunt reciprocii vectorilor a, b si c, atunci se cer:

(a) Sa se exprime produsul mixt (a′, b′

, c′) în functie de produsul mixt (a, b, c); Înce conditii vectorii a′, b

′

si c′ sunt coplanari ?

(b) Sa se demonstreze ca volumul tetraedrului construit pe vectorii a′×(a×b), b′×(b× c) si c′ × (c× a) este egal cu volumul tetraedrului construit pe a, b si c;


(c) Sa se deduca egalitatea a′ × (a× b) = c′ × (c× b).

R. (a) Avem (a′, b′

, c′) =1

(a, b, c).

(b) Folosind formula dublului produs vectorial, obtinem

a′ × (a× b) = −b, b′ × (b× c) = −c, c′ × (c× a) = −a.

6. Se dau vectorii v1 = aj − bk, v2 = −ai − ck si v3 = bi− cj, unde a, b, c ∈ R. Sa secalculeze:

(a) (v1, v2, v3) = ?

(b) v1 × (v2 × v3) = ?

(c) v1 + v2 + v3 = ?

R. (a) (v1, v2, v3) = −2abc.

(b) v1 × (v2 × v3) = c(a− b)(a+ b)i+ bc2j + ac2k.

(c) v1 + v2 + v3 = (b− a)i+ (a− c)j − (b+ c)k.

7. Se dau vectorii p, q, r necoplanari si se considera vectorii

u = p− 2q + 3r, v = αp− q + r, w = 3p+ q − r.

(a) Sa se determine α ∈ R astfel încât sa avem egalitatea de volume

V(u,v,w) = 5V(p,q,r).

(b) În cazul când α = 2 si vectorii p, q, r formeaza un tetraedru regulat de latural, sa se determine unghiul ϕ dintre vectorul u si planul determinat de v si w.

R. (a) α1 = 2, α2 = −8. (b) cosϕ = ±√2/6.

8. Fie sistemul de ecuatii �x× (y × a) = b

y ×�x× b

�= a,

unde a× b �= 0.

(a) Sa se arate ca sistemul are solutii daca si numai daca a =!!b!!. Sa se rezolve

sistemul în acest caz.

(b) Daca a ⊥ b, atunci x ⊥ y. Reciproca este adevarata ?

R. (a) Pentru a =!!b!!, solutiile sistemului sunt

x = λ ·+

a−�a, b�

||a||2 · b,

si y = µ ·+

b−�a, b�

||a||2 · a,

,

unde scalarii λ, µ ∈ R au proprietatea

λ · µ =||a||2

||a× b||2.

(b) Nu.

PROBLEME PROPUSE 77

3. APLICATII LINIARE

În studiul structurilor algebrice de grup sau corp, un rol extrem de important estejucat de morfismele si, mai ales, de izomorfismele de grupuri sau corpuri. Prin analogie,un rol important în studiul spatiilor vectoriale este jucat de morfismele de spatii vectorialenumite, pe scurt, aplicatii liniare. Un rol aparte este jucat de izomorfismele de spatiivectoriale, reprezentate de aplicatiile liniare bijective. Aceste izomorfisme scot în evidentaanumite spatii vectoriale care, din cauza ca sunt izomorfe cu o clasa întreaga de alte spatiivectoriale, reprezinta obiectul principal de studiu în algebra liniara. În acest sens, deexemplu, subliniem importanta studiului spatiului vectorial real RRn care este izomorf cuorice spatiu vectorial real de dimensiune n.

3.1 Definitie. Exemple

Fie V si W doua K-spatii vectoriale.

Definitia 3.1.1 Se numeste aplicatie liniara sau transformare liniara saumorfismde spatii vectoriale o aplicatie f : V →W care verifica proprietatile:

1. f(v + w) = f(v) + f(w), ∀ v, w ∈ V ;

2. f(αv) = αf(v), ∀ α ∈ K, ∀ v ∈ V.

Observatia 3.1.2 Multimea tuturor aplicatiilor liniare de la K-spatiul vectorial V la K-spatiul vectorial W se noteaza LK(V,W ).

Definitia 3.1.3 O aplicatie liniara f : V → V se numeste endomorfism al K-spatiuluivectorial V.

Observatia 3.1.4 Multimea tuturor endomorfimelor K-spatiului vectorial V se noteazaEndK(V ). Multimea

(EndK(V ),+, ◦),unde ” + ” reprezinta adunarea functiilor si ” ◦ ” reprezinta compunerea functiilor, are ostructura algebrica de inel necomutativ.

Definitia 3.1.5 Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara. Daca f : V → W este bijectiva,atunci aplicatia liniara f se numeste izomorfism de spatii vectoriale. În aceasta situatie,vom folosi notatia

Vf≃W.

Propozitia 3.1.6 Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara. Atunci, aplicatia liniara f areurmatoarele proprietati:

APLICATII LINIARE 79

1. f(0V ) = 0W ;

2. f(−v) = −f(v), ∀ v ∈ V ;

3. f(αv + βw) = αf(v) + βf(w), ∀ α, β ∈ K, ∀ v, w ∈ V .

Demonstratie. 1. Din prima proprietate a unei aplicatii liniare deducem ca

f(0V + 0V ) = f(0V ) + f(0V ) ⇔ f(0V ) = f(0V ) + f(0V ).

În ultima egalitate, adunând la dreapta cu vectorul −f(0V ), obtinem

0W = f(0V ).

2. Din prima proprietate a unei aplicatii liniare deducem egalitatile:

f(v + (−v)) = f(v) + f(−v) ⇔ f(0V ) = f(v) + f(−v), ∀ v ∈ V.

Folosind acum proprietatea 1., obtinem

0W = f(v) + f(−v) ⇔ f(−v) = −f(v), ∀ v ∈ V.

3. Fie α, β ∈ K doi scalari arbitrari si fie v,w ∈ V doi vectori arbitrari. Folosindproprietatile unei aplicatii liniare deducem imediat egalitatile:

f(αv + βw) = f(αv) + f(βw) = αf(v) + βf(w).

Exemplul 3.1.7 Fie aplicatia f : R3 → R2, definita prin

f(x, y, z) = (x+ z, y − z).

Vom demonstra ca f este o aplicatie liniara. Pentru aceasta sa consideram doi vectoriarbitrari

(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3.Atunci, urmatoarele egalitati sunt adevarate:

f((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) =

= (x1 + x2 + z1 + z2, y1 + y2 − (z1 + z2)) =

= (x1 + z1, y1 − z1) + (x2 + z2, y2 − z2) =

= f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2).

Fie acum α ∈ R un scalar arbitrar si fie (x, y, z) ∈ R3 un vector arbitrar. Atunci, avemegalitatile:

f(α(x, y, z)) = f(αx, αy, αz) =

= (αx+ αz, αy − αz) =

= α(x+ z, y − z) =

= αf(x, y, z).

În concluzie, aplicatia f este o aplicatie liniara.

80 APLICATII LINIARE


f(x, y, z) = (x+ y, z − x+ 1).

Conform propozitiei anterioare, daca aplicatia f ar fi liniara ar trebui ca ea sa ducavectorul nul din R3 în vectorul nul din R2. Acest lucru nu este însa adevarat deoarece

f(0, 0, 0) = (0, 1) �= (0, 0).

În concluzie, aplicatia f nu este o aplicatie liniara.


f(x, y) = (x− y, x+ sin y).

Vom arata în continuare ca, desi aceasta aplicatie duce vectorul nul din R2 în vectorulnul din R2, totusi ea nu este o aplicatie liniara. Acest lucru subliniaza faptul ca conditia

f(0, 0) = (0, 0)

este una necesara, dar nu si suficienta. Sa presupunem deci ca aplicatia f este liniara.Atunci, urmatoarea proprietate ar trebui sa fie adevarata:

f(α(x, y)) = αf(x, y), ∀ α ∈ R, ∀ (x, y) ∈ R2.

Aceasta proprietate este însa echivalenta cu

(α(x− y), αx+ sin(αy)) = α(x− y, x+ sin y), ∀ α ∈ R, ∀ (x, y) ∈ R2.

Prin urmare, daca aplicatia f ar fi liniara ar trebui ca urmatoarea egalitate trigonometricasa fie adevarata:

sin(αy) = α sin y, ∀ α ∈ R, ∀ y ∈ R.Contradictie! De ce? Pentru ca aceasta egalitate trigonometrica nu este adevarata pentruorice α ∈ R si y ∈ R. Spre exemplu, pentru α = 2 avem

sin(2y) = 2 sin y cos y �= 2 sin y, ∀ y ∈ R\{2kπ | k ∈ Z}.

În concluzie, aplicatia f nu este o aplicatie liniara, desi avem f(0, 0) = (0, 0).

Exemplul 3.1.10 Fie aplicatia D : R2[X] → R1[X], definita prin

D(f) = f ′,

unde f ′ ∈ R1[X] reprezinta derivata polinomului f ∈ R2[X]. Atunci, urmatoarele egalitatisunt adevarate:

D(f + g) = (f + g)′ = f ′ + g′ = D(f) +D(g), ∀ f, g ∈ R2[X].

Mai mult, avem

D(αf) = (αf)′ = αf ′ = αD(f), ∀ α ∈ R, ∀ f ∈ R2[X].

În concluzie, aplicatia D este o aplicatie liniara. Aceasta aplicatie liniara se numesteaplicatia liniara de derivare.

DEFINITIE. EXEMPLE 81

Exemplul 3.1.11 Fie aplicatia I : R2[X] → R3[X], definita prin

I(f) =

� x

0

f(t)dt,

unde f ∈ R2[X]. În acest context, urmatoarele egalitati sunt adevarate:

I(f + g) =

� x

0

[f(t) + g(t)]dt =

=

� x

0

f(t)dt+

� x

0

g(t)dt = I(f) + I(g), ∀ f, g ∈ R2[X],

si

I(αf) =

� x

0

[αf(t)]dt = α

� x

0

f(t)dt = αI(f), ∀ α ∈ R, ∀ f ∈ R2[X].

În concluzie, aplicatia I este o aplicatie liniara. Aceasta aplicatie liniara se numesteaplicatia liniara de integrare.

Exemplul 3.1.12 Fie aplicatia T :M2(R) →M2(R), definita prin

T (A) = TA,

unde TA ∈M2(R) reprezinta transpusa matricii A ∈M2(R). Tinând cont de proprietatiletranspusei unei matrici, deducem ca avem adevarate egalitatile:

T (A+B) = T (A+B) = TA+ TB = T (A) + T (B), ∀ A,B ∈M2(R),

siT (αA) = T (αA) = α · TA = αT (A), ∀ α ∈ R, ∀ A ∈M2(R).

În concluzie, aplicatia T este o aplicatie liniara. Aceasta aplicatie liniara se numesteaplicatia liniara de transpunere.

3.2 Nucleul unei aplicatii liniare. Injectivitate

Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara.

Definitia 3.2.1 Submultimea

ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0W} ⊆ V

se numeste nucleul aplicatiei liniare f.

Propozitia 3.2.2 Nucleul aplicatiei liniare f ∈ LK(V,W ) este un subspatiu vectorial aldomeniului de definitie V. Cu alte cuvinte, avem

ker(f) ≤K V.


Demonstratie. Aplicam criteriul de subspatiu. Pentru aceasta, fie doi vectori arbitrariv, w ∈ ker(f). Din definitia nucleului deducem ca avem

f(v) = f(w) = 0W .

Folosind liniaritatea aplicatiei f , rezulta ca avem

f(v + w) = f(v) + f(w) = 0W .

Prin urmare v + w ∈ ker(f). Sa consideram acum un scalar arbitrar α ∈ K si un vectorarbitrar v ∈ ker(f). Rezulta ca avem f(v) = 0W . Folosind din nou liniaritatea aplicatieif , deducem ca

f(αv) = αf(v) = 0W ,

adica αv ∈ ker(f). În concluzie, conform criteriului de subspatiu, gasim ceea ce aveam dedemonstrat.

Definitia 3.2.3 Dimensiunea nucleului ker(f) se numeste defectul aplicatiei liniare f.În acest context, vom folosi notatia

def(f) = dimK ker(f).

Teorema 3.2.4 (de caracterizare a injectivitatii unei aplicatii liniare) Fie o apli-catie liniara f ∈ LK(V,W ). Atunci, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Aplicatia liniara f este injectiva;

2. ker(f) = {0V };3. def(f) = 0.

Demonstratie. Este evident ca afirmatiile 2. si 3. sunt echivalente. Sa demonstramacum ca 1.⇒ 2. Pentru aceasta, sa presupunem ca aplicatia liniara f este injectiva si saluam un vector arbitrar v ∈ ker(f). Deducem ca

f(v) = 0W .

Pe de alta parte, deoarece f este aplicatie liniara, avem

f(0V ) = 0W .

Atunci, din injectivitatea aplicatiei f, rezulta ca v = 0V . Prin urmare, avem

ker(f) = {0V }.Reciproc, sa demonstram ca 2.⇒ 1. Pentru aceasta, sa presupunem ca

ker(f) = {0V }si sa luam doi vectori arbitrari v, w ∈ V astfel încât

f(v) = f(w).

Deoarece aplicatia f este liniara, egalitatea de mai sus se poate scrie sub forma

f(v)− f(w) = 0W ⇔ f(v − w) = 0W ⇔ v − w ∈ ker(f) = {0V }.Prin urmare, deducem ca

v − w = 0V ⇔ v = w.

În concluzie, aplicatia liniara f este injectiva. Rezulta ceea ce aveam de demonstrat.

NUCLEUL UNEI APLICATII LINIARE. INJECTIVITATE 83

Exemplul 3.2.5 Fie aplicatia liniara f : R2 → R3, definita prin

f(x, y) = (3x− y, 2x+ y, x− 2y).

Sa calculam nucleul aplicatiei liniare f. Din definitia nucleului unei aplicatii liniare de-ducem ca avem

ker(f) = {(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = (0, 0, 0)} =

= {(x, y) ∈ R2 | 3x− y = 0, 2x+ y = 0, x− 2y = 0}.

Deoarece sistemul liniar

3x− y = 0

2x+ y = 0

x− 2y = 0

are doar solutia banala, rezulta ca

ker(f) = {(0, 0)}.

Conform teoremei anterioare, deducem ca aplicatia liniara f este injectiva.

Exemplul 3.2.6 Fie aplicatia liniara de derivare D : R2[X] → R1[X], definita prin

D(f) = f ′,

unde f ∈ R2[X]. Sa calculam nucleul aplicatiei liniare de derivare D. Avem

ker(D) = {f ∈ R2[X] | D(f) = O} =

= {f ∈ R2[X] | f ′ = O} =

= {c | c ∈ R} ≡ R.

Deoarece ker(D) �= {O}, rezulta ca aplicatia de derivare D nu este injectiva.

3.3 Imaginea unei aplicatii liniare. Surjectivitate

Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara.

Definitia 3.3.1 Submultimea

Im(f) = {w ∈W | ∃ v ∈ V astfel încât f(v) = w} ⊆W

se numeste imaginea aplicatiei liniare f.

Propozitia 3.3.2 Imaginea aplicatiei liniare f ∈ LK(V,W ) este un subspatiu vectorialal codomeniului W. Cu alte cuvinte, avem

Im(f) ≤K W.


Demonstratie. Vom aplica criteriul de subspatiu. Pentru aceasta, fie doi vectori ar-bitrari w1, w2 ∈ Im(f). Din definitia imaginii unei aplicatii liniare, rezulta ca existav1, v2 ∈ V astfel încât f(v1) = w1 si f(v2) = w2. Deoarece aplicatia f este liniara, de-ducem ca

f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) = w1 + w2,

adica w1+w2 ∈ Im(f). Sa consideram acum un scalar arbitrar α ∈ K si un vector arbitrarw ∈ Im(f). Rezulta ca exista v ∈ V astfel încât f(v) = w. Folosind din nou liniaritateaaplicatiei f , deducem ca

f(αv) = αf(v) = αw,

adica αw ∈ Im(f). În concluzie, conform criteriului de subspatiu, gasim ceea ce aveam dedemonstrat.

Definitia 3.3.3 Dimensiunea imaginii Im(f) se numeste rangul aplicatiei liniare f. Înacest context, vom folosi notatia

rang(f) = dimK Im(f).

Teorema 3.3.4 (caracterizarea surjectivitatii unei aplicatii liniare) Fie o aplica-tie liniara f ∈ LK(V,W ). Atunci, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Aplicatia liniara f este surjectiva;

2. Im(f) = W ;

3. rang(f) = dimK W.

Demonstratie. Este evident ca afirmatiile 2. si 3. sunt echivalente. Sa demonstramacum ca 1. ⇒ 2. Pentru aceasta, sa presupunem ca aplicatia liniara f este surjectiva sisa luam un vector arbitrar w ∈ W. Deoarece aplicatia f este surjectiva, rezulta ca existaun vector v ∈ V astfel încât f(v) = w. Prin urmare, avem w ∈ Im(f). În concluzie, avemW ⊆ Im(f). Deoarece este evident ca avem Im(f) ⊆ W, deducem ca avem egalitateaW = Im(f).

Reciproc, sa presupunem ca Im(f) = W si sa luam un vector arbitrar w ∈W = Im(f).Din definitia imaginii unei aplicatii liniare rezulta ca exista un vector v ∈ V astfel încâtf(v) = w. Cu alte cuvinte, din definitia surjectivitatii unei aplicatii rezulta ca aplicatialiniara f este surjectiva.

Exemplul 3.3.5 Fie aplicatia liniara f : R3 → R2, definita prin

f(x, y, z) = (x− y, 2x+ y + z).

Sa calculam imaginea aplicatiei liniare f. Din definitia imaginii unei aplicatii liniare de-ducem ca avem

Im(f) = {(u, v) ∈ R2 | ∃ (x, y, z) ∈ R3 astfel încât f(x, y, z) = (u, v)} =

= {(u, v) ∈ R2 | ∃ (x, y, z) ∈ R3 a.î. x− y = u, 2x+ y + z = v}.

Deoarece sistemul liniar �x− y = u

2x+ y + z = v

IMAGINEA UNEI APLICATII LINIARE. SURJECTIVITATE 85

are solutie pentru orice valori u si v ∈ R, rezulta ca avem

Im(f) = R2.

Conform teoremei anterioare, deducem ca aplicatia liniara f este surjectiva.

Exemplul 3.3.6 Fie aplicatia liniara de integrare I : R2[X] → R3[X], definita prin

I(f) =

� x

0

f(t)dt,

unde f ∈ R2[X]. Sa calculam imaginea aplicatiei liniare de integrare I. Prin definitie,avem

Im(I) = {g ∈ R3[X] | ∃ f ∈ R2[X] astfel încât I(f) = g}Fie un polinom arbitrar de grad cel mult trei, definit prin

g = AX3 +BX2 + CX +D,

unde A,B,C,D ∈ R sunt coeficienti dati. Sa presupunem ca exista un polinom de gradcel mult doi, definit prin

f = aX2 + bX + c,

unde a, b, c ∈ R, astfel încât I(f) = g. Atunci avem� x

0

(at2 + bt+ c)dt = Ax3 +Bx2 + Cx+D,

adica

ax3

3+ b

x2

2+ cx = Ax3 +Bx2 + Cx+D.

Egalând coeficientii celor doua polinoame, gasim egalitatile:

a = 3A, b = 2B, c = C si D = 0.

În concluzie, imaginea aplicatiei liniare de integrare I este

Im(I) = {AX3 +BX2 + CX | A,B,C ∈ R} �= R3[X].

Rezulta ca aplicatia de integrare I nu este surjectiva.

3.4 Izomorfisme de spatii vectoriale

În aceasta sectiune vom studia conditii necesare si suficiente ca doua spatii vectorialefinit dimensionale sa fie izomorfe. Pentru aceasta vom demonstra mai întâi urmatorulrezultat.

Teorema 3.4.1 (a dimensiunii) Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara. Daca domeniulV este un K-spatiu vectorial finit dimensional, atunci urmatoarea egalitate este adevarata:

dimK V = def(f) + rang(f).


Demonstratie. Sa presupunem ca avem dimK V = n si

def(f) = dimK ker(f) = p,

unde 0 ≤ p ≤ n <∞. FieB1 = {e1, e2, ..., ep}

o baza în nucleul ker(f). Deoarece nucleul ker(f) este un subspatiu vectorial al domeniuluiV, atunci, conform lemei lui Steinitz, putem completa cu vectori baza B1 pâna la o baza

B = {e1, e2, ..., ep, v1, v2, ..., vn−p}

în spatiul vectorial V. Vom demonstra în continuare ca multimea

B2 = {f(v1), f(v2), ..., f(vn−p)}

este o baza a imaginii Im(f), ceea ce va implica egalitatea

rang(f) = dimK Im(f) = n− p,

adica ceea ce trebuia demonstrat. Sa demonstram mai întâi ca multimea B2 este liniarindependenta. Pentru aceasta fie scalarii α1, α2, ..., αn−p ∈ K astfel încât

α1f(v1) + α2f(v2) + ...+ αn−pf(vn−p) = 0W .

Din proprietatea de liniaritate a aplicatiei f deducem ca egalitatea de mai sus se poaterescrie sub forma

f(α1v1 + α2v2 + ...+ αn−pvn−p) = 0W .

Aceasta egalitate este echivalenta cu conditia

α1v1 + α2v2 + ...+ αn−pvn−p ∈ ker(f).

Deoarece multimea B1 este o baza a nucleului ker(f), rezulta ca ∃ β1, β2, ..., βp ∈ K astfelîncât

α1v1 + α2v2 + ...+ αn−pvn−p = β1e1 + β2e2 + ...+ βpep.

Trecând toti termenii în membrul stâng, deducem ca avem egalitatea

α1v1 + α2v2 + ...+ αn−pvn−p − β1e1 − β2e2 − ...− βpep = 0V.

Deoarece multimea B este o baza în spatiul vectorial V (în particular, multimea B esteliniar independenta), rezulta ca

α1 = α2 = ... = αn−p = β1 = β2 = ... = βp = 0,

adica multimea B2 este liniar independenta. Sa demonstram acum ca multimea B2 esteun sistem de generatori pentru imaginea Im(f). Pentru aceasta sa consideram un vectorarbitrar w ∈ Im(f). Din definitia imaginii Im(f) deducem ca exista un vector v ∈ V astfelîncât f(v) = w. Deoarece multimea B este o baza în spatiul vectorial V, rezulta ca existascalarii k1, k2, ..., kn ∈ K astfel încât

v = k1e1 + k2e2 + ...+ kpep + kp+1v1 + kp+2v2 + ...+ knvn−p.

IZOMORFISME DE SPATII VECTORIALE 87

Calculând aplicatia liniara f în egalitatea de mai sus si tinând cont de faptul ca avem

f(v) = w si f(e1) = f(e2) = ... = f(ep) = 0,

deducem ca avem egalitatea

w = kp+1f(v1) + kp+2f(v2) + ...+ knf(vn−p).

Cu alte cuvinte, vectorul arbitrar w ∈ Im(f) este o combinatie liniara de vectorii

f(v1), f(v2), ..., f(vn−p),

adica multimea B2 este un sistem de generatori pentru imaginea Im(f).

Corolarul 3.4.2 Fie f ∈ LK(V,W ) o aplicatie liniara. Daca domeniul V este un K-spatiu vectorial finit dimensional, atunci avem adevarate urmatoarele afirmatii:

1. Daca f este injectiva, atunci dimK V ≤ dimK W ;

2. Daca f este surjectiva, atunci dimK V ≥ dimK W ;

3. Daca f este bijectiva, atunci dimK V = dimK W .

Demonstratie. Teorema dimensiunii de mai sus ne asigura ca întotdeauna avem egali-tatea

dimK V = def(f) + rang(f).

1. Daca f este injectiva, atunci, conform teoremei de caracterizare a injectivitatii,avem

def(f) = 0.

Deoarece imaginea Im(f) este subspatiu vectorial al codomeniuluiW, obtinem inegalitatea

dimK V = rang(f) = dimK Im(f) ≤ dimK W.

2. Daca f este surjectiva, atunci, conform teoremei de caracterizare a surjectivitatii,avem

rang(f) = dimK W.

Deoarece întotdeauna avem def(f) ≥ 0, obtinem inegalitatea

dimK V = def(f) + dimK W ≥ dimK W.

3. Daca f este bijectiva, atunci f este si injectiva si surjectiva. Prin urmare, conformpunctelor 1. si 2., avem inegalitatile

dimK V ≤ dimK W si dimK V ≥ dimK W.

În concluzie, avem egalitateadimK V = dimKW.

Punctul 3. al Corolarului de mai sus afirma ca daca doua spatii vectoriale suntizomorfe, atunci în mod obligatoriu ele au aceeasi dimensiune. Reciproc, vom demonstraîn continuare ca daca doua spatii vectoriale au aceeasi dimensiune, atunci ele sunt în modobligatoriu izomorfe. Cu alte cuvinte, demonstram în aceasta sectiune ca conditia necesarasi suficienta ca doua K-spatii vectoriale V siW sa fie izomorfe este ca dimK V = dimK W.


Teorema 3.4.3 (fundamentala de izomorfism) Fie V si W doua K-spatii vectorialeastfel încât dimK V = dimK W. Atunci, spatiile vectoriale V si W sunt izomorfe.

Demonstratie. Sa presupunem ca multimea

B1 = {e1, e2, ..., en}

este o baza în spatiul vectorial V si multimea

B2 = {v1, v2, ..., vn}

este o baza în spatiul vectorial W, unde

n = dimK V = dimK W.

Deoarece multimea B1 este o baza în spatiul vectorial V, rezulta ca orice vector v ∈ V sedescompune unic ca

v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen,

unde x1, x2, ..., xn ∈ K reprezinta coordonatele vectorului v în baza B1. Definim aplicatia

f : V →W

în felul urmator:

f(v) = f(x1e1 + x2e2 + ...+ xnen)def= x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn.

Sa demonstram ca aplicatia f este liniara. Pentru aceasta sa consideram doi vectoriarbitrari

v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen ∈ Vsi

v′ = x′1e1 + x′2e2 + ...+ x′nen ∈ V,unde x′1, x

′

2, ..., x′

n ∈ K reprezinta coordonatele vectorului v′ în baza B1. Atunci avem

f(v + v′) = f((x1 + x′1)e1 + (x2 + x′2)e2 + ...+ (xn + x′n)en) =

= (x1 + x′1)v1 + (x2 + x′2)v2 + ...+ (xn + x′n)vn =

= x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn + x′1v1 + x′2v2 + ...+ x′nvn =

= f(v) + f(v′).

Fie acum un scalar arbitrar α ∈ K si un vector arbitrar

v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen ∈ V.

Atunci avem

f(αv) = f((αx1)e1 + (αx2)e2 + ...+ (αxn)en) =

= (αx1)v1 + (αx2)v2 + ...+ (αxn)vn =

= α(x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn) =

= αf(v).

În concluzie, aplicatia f este liniara.

IZOMORFISME DE SPATII VECTORIALE 89

Vom demonstra în continuare ca aplicatia liniara f este bijectiva.Pentru a demonstra injectivitatea aplicatiei liniare f sa consideram un vector arbitrar

v ∈ ker(f), undev = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen.

Atunci avemf(v) = 0W ⇔ x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn = 0W .

Din liniar independenta bazei B2 deducem ca

x1 = x2 = ... = xn = 0,

adica v = 0V . Cu alte cuvinte, avem

ker(f) = {0V },

adica aplicatia liniara f este injectiva.Pentru a demonstra surjectivitatea aplicatiei liniare f sa consideram un vector arbitrar

w ∈W. Deoarece multimea B2 este o baza în spatiul vectorialW, rezulta ca exista scalariix1, x2, ..., xn ∈ K astfel încât sa avem descompunerea unica

w = x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn.

Este evident ca, luând vectorul

v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen ∈ V,

avem adevarata relatia f(v) = w. Prin urmare, aplicatia liniara f este surjectiva.În concluzie, aplicatia f este un izomorfism între spatiile vectoriale V si W.

Corolarul 3.4.4 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune dimR V = n. Atunci spatiulvectorial RV este izomorf cu spatiul vectorial RRn.

Demonstratie. Spatiul vectorial real

Rn =�(x1, x2, x3, ..., xn−1, xn) | xi ∈ R, ∀ i = 1, n

�

are dimensiunea dimRRn = n. Baza canonica a spatiului vectorial RRn este

B = {e1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0), ........., en = (0, 0, 0, ..., 0, 1)}.

Conform Teoremei fundamentale de izomorfism, rezulta ceea ce aveam de demonstrat.

3.5 Endomorfisme si matrici patratice

Pe tot parcursul acestei sectiuni vom considera V un K-spatiu vectorial de dimensiunedimK V = n. Sa presupunem ca

B = {e1, e2, ..., en}


este o baza în spatiul vectorial V. Daca v ∈ V este un vector arbitrar, atunci exista scalariix1, x2, ..., xn ∈ K astfel încât sa avem descompunerea unica

v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen.

Fie acum f ∈ EndK(V ) un endomorfism al spatiului vectorial V. Deoarece endomor-fismul f este o aplicatie liniara, rezulta ca valoarea endomorfismului f calculata în v estedata de expresia

f(v) = x1f(e1) + x2f(e2) + ...+ xnf(en).

Prin urmare, endomorfismul f este bine definit de valorile sale pe baza B, adica de valorile

f(e1), f(e2), ..., f(en).

Acesti vectori apartin însa tot spatiului vectorial V. În consecinta, putem sa descompunemsi acesti vectori în baza B. Sa presupunem ca aceste descompuneri sunt date de relatiile:

f(e1) = c11e1 + c12e2 + ...+ c1nen,

f(e2) = c21e1 + c22e2 + ...+ c2nen,

···f(en) = cn1e1 + cn2e2 + ...+ cnnen,

unde C = (cij)i,j=1,n ∈Mn(K).

Definitia 3.5.1 Matricea MB(f) =TC = (cji)i,j=1,n ∈Mn(K) se numeste matricea în

baza B a endomorfismului f.

Sa consideram ca multimea

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}

este o alta baza în spatiul vectorial V si sa presupunem ca matricea de trecere de la bazaB la baza B′ este

MBB′ = (aij)i,j=1,n ∈Mn(K).

Propozitia 3.5.2 Daca f ∈ EndK(V ) este un endomorfism al spatiului vectorial V,atunci relatia de legatura dintre matricile MB(f) si MB′(f) este exprimata prin formula

MB′(f) =M−1BB′ ·MB(f) ·MBB′.

Demonstratie. Definitia matricii de trecere de la baza B la baza B′ implica egalitatile

e′j =n�

k=1

akjek, ∀ j = 1, n.

Definitiile matricilor MB(f) si MB′(f) conduc la relatiile:

f(ek) =n�

l=1

cklel, ∀ k = 1, n, si f(e′i) =n�

j=1

c′ije′

j, ∀ i = 1, n,

ENDOMORFISME SI MATRICI PATRATICE 91

unde MB′(f) = TC ′ = (c′ji)i,j=1,n ∈Mn(K). În acest context, din liniaritatea endomorfis-mului f obtinem egalitatile:

f(e′i) = f

�n�

k=1

akiek

�

=n�

k=1

akif(ek) =n�

k=1

aki

�n�

l=1

cklel

�

, ∀ i = 1, n,

si

f(e′i) =n�

j=1

c′ije′

j =n�

j=1

c′ij

�n�

l=1

aljel

�

, ∀ i = 1, n.

Din aceste doua egalitati deducem ca avem relatiile

n�

l=1

n�

k=1

akicklel =n�

l=1

n�

j=1

c′ijaljel, ∀ i = 1, n.

Deoarece multimea B este o baza în spatiul vectorial V, rezulta ca avem relatiile

n�

k=1

akickl =n�

j=1

c′ijalj, ∀ i = 1, n, ∀ l = 1, n.

La nivel matriceal, aceste ultime relatii se scriu sub forma

MB(f) ·MBB′ =MBB′ ·MB′(f),

adica ceea ce aveam de demonstrat.

Exemplul 3.5.3 Sa determinam matricea în baza

B′ = {e′1 = (1, 1, 1), e′2 = (1, 0, 1), e′3 = (0, 1, 1)}

a endomorfismului f : R3 → R3, definit prin

f(x, y, z) = (2x− y, x+ y + z, y − z).

Pentru aceasta sa consideram baza canonica

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.

Matricea de trecere de la baza canonica B la baza B′ este

MBB′ =

1 1 01 0 11 1 1

.

Inversa acestei matrici este

M−1BB′ =

1 1 −10 −1 1−1 0 1

.

Deoarece avem egalitatile

f(e1) = (2, 1, 0) = 2e1 + e2,f(e2) = (−1, 1, 1) = −e1 + e2 + e3,f(e3) = (0, 1,−1) = e2 − e3,


rezulta ca matricea endomorfismului f în baza canonica B este

MB(f) =

2 −1 01 1 10 1 −1

.

Prin urmare, matricea endomorfismului f în baza B′ este

MB′(f) =M−1BB′ ·MB(f) ·MBB′ =

4 5 1−3 −3 −2−1 −3 1

.

Cu alte cuvinte, sunt adevarate relatiile

f(e′1) = (1, 3, 0) = 4e′1 − 3e′2 − e′3,

f(e′2) = (2, 2,−1) = 5e′1 − 3e′2 − 3e′3,

f(e′3) = (−1, 2, 0) = e′1 − 2e′2 + e′3.

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune dimK V = n si fie

(EndK(V ),+, ◦)

inelul necomutativ al endomorfismelor spatiului vectorial V, unde ”+” reprezinta adunareafunctiilor si ” ◦ ” reprezinta compunerea functiilor. Atunci putem demonstra urmatorulrezultat:

Teorema 3.5.4 (identificarea endomorfismelor cu matricile patratice) Inelul ne-comutativ al endomorfismelor (EndK(V ),+, ◦) este izomorf cu inelul necomutativ al ma-tricilor patratice (Mn(K),+, ·).

Demonstratie. Sa fixamB = {e1, e2, ..., en}

o baza în spatiul vectorial V si sa definim aplicatia

T : EndK(V ) →Mn(K), T (f)def= MB(f), ∀ f ∈ EndK(V ).

Folosind definitia matricii unui endomorfism într-o anumita baza, se poate arata ca pentruorice doua endomorfisme f, g ∈ EndK(V ) avem relatiile:

T (f + g) =MB(f + g) =MB(f) +MB(g) = T (f) + T (g),

siT (f ◦ g) =MB(f ◦ g) =MB(f) ·MB(g) = T (f) · T (g).

În consecinta, aplicatia T este un morfism de inele necomutative. Vom demonstra încontinuare ca aplicatia T este inversabila. Pentru aceasta sa consideram aplicatia

T ′ :Mn(K) → EndK(V ), T ′(A)def= fA, ∀ A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(K),

unde endomorfismul fA este definit prin

fA(v) = fA

�n�

i=1

xiei

�

=

n�

i=1

xi

�n�

j=1

ajiej

�

=

n�

j=1

n�

i=1

xiajiej,

ENDOMORFISME SI MATRICI PATRATICE 93

pentru orice vector v = n

i=1 xiei ∈ V. Folosind definitiile aplicatiilor T si T ′, deducemca avem relatiile:

(T ◦ T ′)(A) = T (T ′(A)) = T (fA) =

= MB(fA) = A, ∀ A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(K),

si

[(T ′ ◦ T )(f)](v) = [T ′(T (f))](v) = [T ′(MB(f))](v) =

= fMB(f)(v) = fMB(f)

�n�

i=1

xiei

�

=

n�

j=1

n�

i=1

xicjiej =

=n�

i=1

xif(ei) = f(v), ∀ f ∈ EndK(V ), ∀ v =n�

i=1

xiei ∈ V,

unde MB(f) = (cij)i,j=1,n ∈Mn(K). În concluzie, aplicatia T este un izomorfism de inelenecomutative.

Observatia 3.5.5 Teorema de mai sus subliniaza faptul ca în algebra liniara nu se maiface distinctie între endomorfisme si matrici patratice. Astfel, unui endomorfism dat i sepoate asocia imediat o matrice scrisa într-o anumita baza si, reciproc, având o matricepatratica data, putem construi imediat un endomorfism a carui matrice într-o anumitabaza sa fie exact matricea patratica data. Mai mult, adunarea a doua endomorfisme seidentifica cu adunarea a doua matrici patratice, compunerea a doua endomorfisme se iden-tifica cu înmultirea a doua matrici patratice iar inversarea unui endomorfism se identificacu inversarea unei matrici patratice. Cu alte cuvinte, urmatoarele relatii matriceale suntadevarate:

1. MB(f + g) =MB(f) +MB(g), ∀ f, g ∈ EndK(V );

2. MB(f ◦ g) =MB(f) ·MB(g), ∀ f, g ∈ EndK(V );

3. MB(f−1) = (MB(f))

−1, ∀ f ∈ EndK(V );

4. MB(1V ) = In, unde 1V : V → V, 1V (v) = v, ∀ v ∈ V, este endomorfismulidentitate iar In ∈Mn(K) este matricea identitate.

Exemplul 3.5.6 Fie endomorfismul f : R3 → R3, definit prin

f(x, y, z) = (2x+ y,−4x+ 2y − z, 7x+ y + z).

Matricea în baza canonica

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}a acestui endomorfism este

A =MB(f)def=

2 1 0−4 2 −17 1 1

.

Reciproc, putem recupera din matricea data A endomorfismul initial, cu ajutorul for-mulei

fA(x, y, z)def=

2 1 0−4 2 −17 1 1

·

xyz

T

= (2x+ y,−4x+ 2y − z, 7x+ y + z).


3.6 Valori si vectori proprii

Fie V un K-spatiu vectorial si fie f ∈ EndK(V ) un endomorfism al spatiului vectorialV. Conceptele de vector si valoare proprie ale unui endomorfism sunt intim legate denotiunea de subspatiu invariant al unui endomorfism.

Definitia 3.6.1 Un scalar λ ∈ K se numeste valoare proprie pentru endomorfismulf ∈ EndK(V ) daca exista un vector nenul v ∈ V \{0V } cu proprietatea

f(v) = λv.

Definitia 3.6.2 Multimea tuturor valorilor proprii asociate endomorfismului f este no-tata cu σ(f) si se numeste spectrul endomorfismului f .

Fie f ∈ EndK(V ) un endomorfism al spatiului vectorial V si fie λ ∈ σ(f) o valoareproprie a endomorfismului f.

Definitia 3.6.3 Orice vector nenul v ∈ V \{0V } cu proprietatea

f(v) = λv

se numeste vector propriu corespunzator valorii proprii λ ∈ σ(f).Sa consideram multimea

Vλdef= {v ∈ V | f(v) = λv}.

Observatia 3.6.4 Deoarece avem

Vλ = ker(f − λ · 1V ),rezulta ca multimea Vλ este un subspatiu al spatiului vectorial V .

Definitia 3.6.5 Multimea Vλ se numeste subspatiul propriu corespunzator valorii pro-prii λ ∈ σ(f).Exemplul 3.6.6 Fie endomorfismul de derivare D : R2[X] → R2[X], definit prin

D(f) = f ′,

unde f ∈ R2[X]. Sa calculam spectrul endomorfismului D. Pentru aceasta sa presupunemca λ ∈ R este o valoare proprie a endomorfismului de derivare D. Din definitia valoriiproprii asociate unui endomorfism deducem ca exista un polinom nenul de grad cel multdoi f �= O cu proprietatea

D(f) = λf ⇔ f ′ = λf.

Egalitatea de mai sus implica relatiile:

f ′

f= λ⇔ (ln f)′ = λ⇔ ln f = λx+ lnC,

unde C > 0. Prin urmare avemf = Ceλx.

Deoarece functia Ceλx nu este o functie polinomiala de grad cel mult doi, rezulta ca spectrulendomorfismului D este

σ(D) = ∅.

VALORI SI VECTORI PROPRII 95


f(x, y, z) = (4x+ 6y,−3x− 5y,−3x− 6y + z).

Ne propunem sa calculam spectrul endomorfismului f . Pentru aceasta sa presupunem caλ ∈ R este o valoare proprie a endomorfismului f . Din definitia valorii proprii asociateunui endomorfism deducem ca exista un vector nenul

(x, y, z) ∈ R3\{(0, 0, 0)}cu proprietatea

f(x, y, z) = λ(x, y, z) ⇔ (4x+ 6y,−3x− 5y,−3x− 6y + z) = (λx, λy, λz).

Egalând pe componente, deducem ca sistemul liniar omogen

(4− λ)x+ 6y = 0

−3x− (5 + λ)y = 0

−3x− 6y + (1− λ)z = 0

trebuie sa admita o solutie nenula. Aceasta înseamna ca determinantul sistemului trebuiesa fie nul, adica avem

��

4− λ 6 0−3 −5− λ 0−3 −6 1− λ

��= 0 ⇔ (1− λ)2(λ+ 2) = 0.

Radacinile acestei ecuatii sunt λ1 = 1 si λ2 = −2. Prin urmare, spectrul endomorfismuluif este

σ(f) = {1,−2}.Sa calculam subspatiile proprii corespunzatoare valorilor proprii λ1 = 1 si λ2 = −2. Dindefinitia subspatiului propriu corespunzator unei valori proprii deducem ca avem (Obs.Punem în matricea sistemului λ = 1)

Vλ=1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

3 6 0−3 −6 0−3 −6 0

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | 3x+ 6y = 0

�=

= {(−2y, y, z) | y, z ∈ R}si (Obs. Punem în matricea sistemului λ = −2)

Vλ=−2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

6 6 0−3 −3 0−3 −6 3

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | 6x+ 6y = 0, − 3x− 6y + 3z = 0

�=

= {(−y, y, y) | y ∈ R} .Dimensiunile acestor subspatii proprii sunt

dimR Vλ=1 = 2 si dimR Vλ=−2 = 1.

Bazele canonice ale acestor subspatii proprii sunt

Bλ=1 = {(−2, 1, 0), (0, 0, 1)} si Bλ=−2 = {(−1, 1, 1)}.


Fie V un K-spatiu vectorial si fie f ∈ EndK(V ) un endomorfism al spatiului vectorialV. Vom demonstra în continuare câteva proprietati de algebra liniara ale vectorilor propriisi subspatiilor proprii ale endomorfismului f .

Teorema 3.6.8 Nu exista vector propriu corespunzator la doua valori proprii distincteale endomorfismului f .

Demonstratie. Sa presupunem ca vectorul v �= 0V este un vector propriu corespunzatorla doua valori proprii λ1, λ2 ∈ σ(f). Rezulta ca avem egalitatile f(v) = λ1v si f(v) = λ2v.Aceste egalitati implica relatiile

λ1v = λ2v ⇔ (λ1 − λ2)v = 0V .

Deoarece v �= 0V , deducem ca λ1 = λ2.

Teorema 3.6.9 Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte ale endomor-fismului f sunt liniar independenti.

Demonstratie. Fie v1, v2, ..., vp ∈ V vectori proprii corespunzatori valorilor proprii dis-tincte λ1, λ2, ..., λp ∈ σ(f). Vom demonstra ca sistemul de vectori proprii

{v1, v2, ..., vp}este liniar independent prin inductie dupa p ∈ N. Pentru p = 1 este evident ca multimea{v1} este liniar independenta deoarece v1 �= 0V . Sa presupunem acum ca afirmatia esteadevarata pentru p− 1 vectori proprii corespunzatori la p− 1 valori proprii distincte aleendomorfismului f si sa demonstram afirmatia pentru sistemul de vectori proprii

{v1, v2, ..., vp}corespunzatori valorilor proprii distincte

λ1, λ2, ..., λp ∈ σ(f),unde p ≥ 2. Pentru aceasta fie scalarii k1, k2, ..., kp ∈ K astfel încât

k1v1 + k2v2 + ...+ kpvp = 0V .

Atunci, aplicând endomorfismul f , obtinem

f(k1v1 + k2v2 + ...+ kpvp) = 0V ⇔ k1λ1v1 + k2λ2v2 + ...+ kpλpvp = 0V .

Putem presupune, fara a restrânge generalitatea, ca avem λp �= 0. Atunci, multiplicândprima relatie cu scalarul λp si scazând-o din ultima relatie, deducem ca avem egalitatea

k1(λ1 − λp)v1 + k2(λ2 − λp)v2 + ...+ kp−1(λp−1 − λp)vp−1 = 0V .

Dar, din ipoteza de inductie, sistemul de vectori proprii

{v1, v2, ..., vp−1}este liniar independent. Prin urmare, deducem ca

k1(λ1 − λp) = k2(λ2 − λp) = ... = kp−1(λp−1 − λp) = 0.

Deoarece valorile proprii λ1, λ2, ..., λp sunt distincte, rezulta ca avem

k1 = k2 = ... = kp−1 = 0,

ceea ce implica egalitatea kpvp = 0V . Deoarece vp �= 0V , rezulta kp = 0, adica ceea ceaveam de demonstrat.

VALORI SI VECTORI PROPRII 97

Teorema 3.6.10 Subspatiile proprii corespunzatoare la valori proprii distincte ale endo-morfismului f se afla în suma directa.

Demonstratie. Fie λ1 �= λ2 valori proprii distincte ale endomorfismului f . Vom demon-stra ca

Vλ1 ∩ Vλ2 = {0V }.Pentru aceasta fie un vector arbitrar v ∈ Vλ1∩Vλ2. Atunci avem f(v) = λ1v si f(v) = λ2v.Scazând aceste relatii, deducem ca

(λ1 − λ2)v = 0V .

Deoarece valorile proprii λ1 si λ2 sunt distincte, rezulta ca v = 0V , adica ceea ce aveamde demonstrat.

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune dimK V = n. Fie f ∈ EndK(V ) un endo-morfism al spatiului vectorial V. Sa presupunem ca

B = {e1, e2, ..., en}

este o baza a spatiului vectorial V si sa consideram ca MB(f) este matricea endomorfis-mului f în baza B. În acest context, putem demonstra urmatoarele rezultate de algebraliniara.

Teorema 3.6.11 Orice valoare proprie λ ∈ σ(f) este o radacina a ecuatiei

det [MB(f)− λIn] = 0.

Demonstratie. Fie λ ∈ σ(f) o valoare proprie a endomorfismului f si fie v ∈ V \{0V }un vector propriu asociat valorii proprii λ. Atunci avem

(f − λ · 1V )(v) = 0V .

Considerând caX = (x1, x2, ..., xn) ∈M1,n(K)

reprezinta coordonatele vectorului nenul v �= 0V în baza B, relatia anterioara poate fiscrisa la nivel matriceal în felul urmator:

X · [MB(f)− λIn] = O,

undeO = (0, 0, ..., 0) ∈M1,n(K).

Aceasta relatie matriceala reprezinta un sistem liniar omogen care admite solutii nebanaleX �= O. Prin urmare, determinantul sistemului este nul, adica avem

det [MB(f)− λIn] = 0.

Teorema 3.6.12 Polinomul Pf(λ) = det [MB(f)− λIn] este independent de alegereabazei B.


Demonstratie. Sa consideram ca

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}

este o alta baza a spatiului vectorial V si ca MBB′ este matricea de trecere de la baza Bla baza B′. Atunci avem adevarata relatia matriceala

MB′(f) =M−1BB′ ·MB(f) ·MBB′.

Din aceasta relatie matriceala rezulta egalitatile:

det [MB′(f)− λIn] = det'M−1

BB′ ·MB(f) ·MBB′ − λIn(=

= det'M−1

BB′ · (MB(f)− λIn) ·MBB′

(=

= detM−1BB′ · det [MB(f)− λIn] · detMBB′ =

= det [MB(f)− λIn] = Pf(λ),

unde am folosit egalitatile de determinanti:

det (A ·B) = (detA) · (detB)

si

detA−1 =1

detA.

Definitia 3.6.13 Polinomul Pf (λ) se numeste polinomul caracteristic al endomorfis-mului f iar ecuatia polinomiala

Pf(λ) = 0

se numeste ecuatia caracteristica a endomorfismului f .

Observatia 3.6.14 Din cele expuse pâna acum rezulta ca daca V este un K-spatiu vec-torial de dimensiune finita

dimK V = n,

atunci orice valoare proprie a unui endomorfism f ∈ EndK(V ) este o radacina a polino-mului caracteristic Pf(λ). Deoarece acest polinom are gradul n, deducem ca endomorfismulf are cel mult n valori proprii distincte.

3.7 Forma diagonala a unui endomorfism

Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune dimK V = n si fie f ∈ EndK(V ) un endo-morfism al spatiului vectorial V. Am vazut într-o sectiune precedenta ca endomorfismuluif i se poate asocia o matrice patratica MB(f) corespunzatoare unei anumite baze B aspatiului vectorial V. În aceasta sectiune vom cauta o baza convenabila B a spatiuluivectorial V în raport cu care matricea endomorfismului f sa aiba o forma cât mai simpla,în sensul ca matricea sa contina cât mai multe zerouri. O astfel de matrice simpla este omatrice care are toate elementele nule, cu exceptia celor de pe diagonala principala. Dinacest motiv introducem urmatorul concept.

FORMA DIAGONALA A UNUI ENDOMORFISM 99

Definitia 3.7.1 Endomorfismul f ∈ EndK(V ) se numeste diagonalizabil daca exista obaza B = {e1, e2, ..., en} a spatiului vectorial V, în raport cu care avem

MB(f) =

l1 0 · · · 00 l2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ln

,

unde li ∈ K, ∀ i = 1, n.

În continuare, vom demonstra o serie de rezultate care conduc la conditii necesare sisuficiente ca un endomorfism f ∈ EndK(V ) sa fie diagonalizabil.

Lema 3.7.2 Un endomorfism f ∈ EndK(V ) este diagonalizabil daca si numai daca existaîn spatiul vectorial V o baza formata numai din vectori proprii ai endomorfismului f.

Demonstratie. Sa presupunem întâi ca endomorfismul f este diagonalizabil. Atunciexista în spatiul vectorial V o baza

B = {e1, e2, ..., en}

astfel încât

MB(f) =

l1 0 · · · 00 l2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ln

,

unde li ∈ K, ∀ i = 1, n. Din definitia matricii unui endomorfism într-o anumita bazadeducem ca urmatoarele relatii sunt adevarate:

f(ei) = liei, ∀ i = 1, n.

Prin urmare, vectorii e1, e2, ..., en sunt vectori proprii ai endomorfismului f iar scalariil1, l2, ..., ln sunt valorile proprii corespunzatoare, nu neaparat distincte.

Reciproc, sa presupunem ca exista în spatiul vectorial V o baza

B = {v1, v2, ..., vn}

formata numai din vectori proprii ai endomorfismului f . Atunci urmatoarele relatii suntadevarate:

f(vi) = λivi, ∀ i = 1, n,

unde scalarii λ1, λ2, ..., λn sunt valorile proprii asociate endomorfismului f , nu neaparatdistincte. În consecinta, avem

MB(f) =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

,

adica endomorfismul f este diagonalizabil.


Sa consideram λ0 ∈ σ(f) o valoare proprie a endomorfismului f ∈ EndK(V ) si

B = {e1, e2, ..., en}

o baza a spatiului vectorial V, unde dimK V = n. Evident, valoarea proprie λ0 este oradacina a polinomului caracteristic

Pf(λ) = det [MB(f)− λIn] .

Sa presupunem ca m0 ∈ N∗ este multiplicitatea algebrica a valorii proprii λ0 privita caradacina a polinomului caracteristic. Mai mult, sa presupunem ca dimensiunea subspa-tiului propriu Vλ0 este

dimK Vλ0 = d0 ≤ n.

În acest context, putem enunta urmatorul rezultat:

Lema 3.7.3 Urmatoarea inegalitate este adevarata: d0 ≤ m0.

Demonstratie. Daca d0 = n, atunci Vλ0 = V si f = λ0 · 1V . Rezulta ca polinomulcaracteristic al endomorfismului f este

Pf(λ) = (λ0 − λ)n.

Prin urmare, multiplicitatea algebrica a valorii proprii λ0 este m0 = n = d0.Sa presupunem acum ca d0 < n si sa consideram ca sistemul de vectori

{v1, v2, ..., vd0}

este o baza a subspatiului propriu Vλ0. Conform lemei lui Steinitz, completam cu vectoriaceasta baza pâna la o baza

B = {v1, v2, ..., vd0 , vd0+1, ..., vn}

a spatiului vectorial V. Deoarece primii d0 vectori sunt vectori proprii corespunzatorivalorii proprii λ0, deducem ca avem urmatoarele relatii:

�f(vi) = λ0vi, ∀ i = 1, d0,

f(vi) = n

j=1 aijvj, ∀ i = d0 + 1, n,

unde aij ∈ K, ∀ i = d0 + 1, n, ∀ j = 1, n. Prin urmare, matricea endomorfismului f înbaza B este

MB(f) =

λ0 0 · · · 0 a(d0+1)1 a(d0+2)1 · · · an10 λ0 · · · 0 a(d0+1)2 a(d0+2)2 · · · an2...

.... . .

......

.... . .

...0 0 · · · λ0 a(d0+1)d0 a(d0+2)d0 · · · and0...

......

......

.... . .

...0 0 · · · 0 a(d0+1)n a(d0+2)n · · · ann

.

Rezulta ca polinomul caracteristic are forma

Pf (λ) = (λ0 − λ)d0 ·D(λ),


unde D(λ) este un polinom de grad n − d0. Pe de alta parte, deoarece multiplicita-tea algebrica a valorii proprii λ0 este m0, deducem ca polinomul caracteristic are formapolinomiala

Pf(λ) = (λ0 − λ)m0 ·Q(λ),

unde Q(λ0) �= 0. În consecinta, avem d0 ≤ m0.Fie V un K-spatiu vectorial de dimensiune dimK V = n si fie f ∈ EndK(V ) un

endomorfism al spatiului vectorial V.

Teorema 3.7.4 Endomorfismul f este diagonalizabil daca si numai daca sunt adevarateafirmatiile:

1. Toate radacinile polinomului caracteristic Pf(λ) se afla în corpul K;

2. Dimensiunea fiecarui subspatiu propriu asociat unei valori proprii este egala cu mul-tiplicitatea algebrica a valorii proprii care îi corespunde.

Demonstratie. Fie λ1, λ2, ..., λp ∈ K, unde p ≤ n, toate valorile proprii distincte aleendomorfismului f si fie m1,m2, ...,mp ∈ N∗ multiplicitatile lor algebrice ca radacini alepolinomului caracteristic Pf(λ). În acest context, rezulta ca polinomul caracteristic areforma

Pf(λ) = (λ− λ1)m1(λ− λ2)

m2...(λ− λp)mpQ(λ),

undep�

j=1

mj ≤ n,

deoarece polinomul caracteristic Pf(λ) are gradul n.Este evident ca conditia ca polinomul caracteristic Pf (λ) sa aiba toate radacinile în

corpul K este ca polinomul Q(λ) sa fie un polinom constant, nenul. Aceasta conditie esteînsa echivalenta cu conditia

p�

j=1

mj = n.

Sa presupunem acum ca endomorfismul f este diagonalizabil. Atunci, exista în spatiulvectorial V o baza

B = {e1, e2, ..., en}formata numai din vectori proprii. Pentru orice j ∈ {1, 2, ..., p} sa notam cu sj numarul devectori din baza B care apartin subspatiului propriu Vλj . Sa presupunem ca dimensiuneasubspatiului propriu Vλj este

dj = dimK Vλj .

Deoarece multimea B este liniar independenta, rezulta ca avem inegalitatile

sj ≤ dj, ∀ j = 1, p.

Deoarece scalarii λ1, λ2, ..., λp sunt toate valorile proprii distincte ale endomorfismului f ,deducem ca avem egalitatea

p�

j=1

sj = n.


Mai mult, conform Lemei precedente, urmatoarele inegalitati sunt adevarate:

sj ≤ dj ≤ mj , ∀ j = 1, p.

Deoarecep�

j=1

mj ≤ n =

p�

j=1

sj ,

deducem cap�

j=1

dj =

p�

j=1

mj = n si sj = dj = mj , ∀ j = 1, p.

Reciproc, sa presupunem ca urmatoarele egalitati sunt adevarate:

dj = mj , ∀ j = 1, p, sip�

j=1

mj = n.

Sa consideram multimea ordonata

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n},

unde primii m1 vectori reprezinta o baza în subspatiul propriu Vλ1 , urmatorii m2 vectorireprezinta o baza în subspatiul propriu Vλ2 si asa mai departe. Din proprietatile subspati-ilor proprii corespunzatoare la valori proprii distincte deducem ca multimea B′ este o bazaîn spatiul vectorial V. Deoarece multimea B′ este o baza formata numai din vectori pro-prii, rezulta ca endomorfismul f este diagonalizabil. Mai mult, matricea endomorfismuluif în baza B′ este matricea care are pe diagonala principala valorile proprii λ1, λ2, ..., λp,scrise fiecare de atâtea ori cât arata multiplicitatile lor algebrice m1,m2, ...,mp, iar înafara diagonalei principale are numai zerouri.

Din demonstratia acestei Teoreme iese în evidenta urmatorul algoritm de diagonalizareal unui endomorfism pe un spatiu vectorial finit dimensional.

Algoritm de diagonalizare a unui endomorfism

1. Se fixeaza o baza B a spatiului vectorial finit dimensional V si se scrie matriceaA =MB(f) a endomorfismului f în baza B.

2. Se determina toate valorile proprii λj, unde j = 1, p, rezolvând ecuatia caracteristica

Pf (λ) = det [A− λIn] = 0,

unde In ∈Mn(K) este matricea identitate.

3. Se verifica daca toate valorile proprii λj, unde j = 1, p, apartin câmpului de scalariK. În caz contrar, se opreste algoritmul si se afirma ca endomorfismul f nu estediagonalizabil.

4. Pentru fiecare valoare proprie λj se scrie multiplicitatea algebrica corespunzatoaremj.

5. Pentru fiecare valoare proprie λj se determina subspatiul propriu corespunzator Vλj .


6. Fiecarui subspatiu propriu Vλj i se calculeaza dimensiunea dj = dimK Vλj .

7. Se verifica daca este adevarata egalitatea

dj = mj .

În caz contrar, se opreste algoritmul si se afirma ca endomorfismul f nu este diago-nalizabil.

8. În fiecare subspatiu propriu Vλj se scrie câte o baza Bj.

9. În spatiul vectorial V se scrie baza

B′ =

p4

j=1

Bj

în care se obtine forma diagonala a endomorfismului f .

10. Se scrie forma diagonala D = MB′(f) a lui f , punându-se pe diagonala valorileproprii ale matricii A =MB(f), fiecare valoare proprie fiind scrisa de atâtea ori câtarata multiplicitatea sa algebrica.

11. Se verifica relatia matricealaD = C−1 ·A · C,

unde C =MBB′ este matricea de trecere de la baza B la baza B′.


f(x, y, z) = (4x+ 6y,−3x− 5y,−3x− 6y + z).

Sa studiem daca endomorfismul f este diagonalizabil si, în caz afirmativ, sa determinambaza în care se obtine forma diagonala a acestui endomorfism. Pentru aceasta sa fixam

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

baza canonica a spatiului vectorial RR3. Evident, matricea endomorfismului f în bazacanonica B este

A =MB(f) =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

.

Polinomul caracteristic asociat endomorfismului f este

Pf (λ) = det [A− λI3] =

��

4− λ 6 0−3 −5− λ 0−3 −6 1− λ

��= −(λ + 2)(λ− 1)2.

Radacinile acestui polinom sunt valorile proprii ale endomorfismului f . Prin urmare,valorile proprii ale endomorfismului f sunt λ1 = −2, de multiplicitate algebrica m1 = 1,si λ2 = 1, de multiplicitate algebrica m2 = 2.


Subspatiul propriu corespunzator valorii proprii λ1 = −2 este (Obs. Punem în ma-tricea A− λI3 valoarea λ = −2)

Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

6 6 0−3 −3 0−3 −6 3

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | 6x+ 6y = 0, − 3x− 6y + 3z = 0

�=

= {(−y, y, y) | y ∈ R} .

Dimensiunea subspatiului propriu Vλ1 este

d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1.

O baza a subspatiului propriu Vλ1 este (Obs. Luam y = 1)

B1 = {e′1 = (−1, 1, 1)}.

Subspatiul propriu corespunzator valorii proprii λ2 = 1 este (Obs. Punem în matriceaA− λI3 valoarea λ = 1)

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

3 6 0−3 −6 0−3 −6 0

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | 3x+ 6y = 0

�=

= {(−2y, y, z) | y, z ∈ R} .


d2 = dimR Vλ2 = 2 = m2.

O baza a subspatiului propriu Vλ2 este (Obs. Luam, pe rând, y = 1 si z = 0, si viceversa,y = 0 si z = 1)

B2 = {e′2 = (−2, 1, 0), e′3 = (0, 0, 1)}.Baza în care se obtine forma diagonala a endomorfismului f este

B′ = {e′1 = (−1, 1, 1), e′2 = (−2, 1, 0), e′3 = (0, 0, 1)}.

Forma diagonala a endomorfismului f este

D =MB′(f) =

−2 0 00 1 00 0 1

.

Se verifica usor ca urmatoarea relatie matriceala este adevarata:

D = C−1 · A · C,

unde (Obs. Se scriu pe coloana vectorii bazei B′)

C =MBB′ =

−1 −2 01 1 01 0 1

.


Exemplul 3.7.6 Fie endomorfismul f ∈ EndR(R3) a carui matrice în baza canonica este

A =

4 0 00 0 10 −1 2

.

Sa studiem daca matricea A este diagonalizabila. Pentru aceasta sa observam ca polinomulcaracteristic al acestei matrici este

PA(λ) = det [A− λI3] =

��

4− λ 0 00 −λ 10 −1 2− λ

��= (4− λ)(λ− 1)2.

Prin urmare, valorile proprii ale acestei matrici sunt λ1 = 4, de multiplicitate algebricam1 = 1, si λ2 = 1, de multiplicitate algebrica m2 = 2.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

0 0 00 −4 10 −1 −2

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | − 4y + z = 0, − y − 2z = 0

�=

= {(x, 0, 0) | x ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1.

O baza a subspatiului propriu Vλ1 este (Obs. Luam x = 1)

B1 = {e′1 = (1, 0, 0)}.


Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

3 0 00 −1 10 −1 1

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | x = 0, − y + z = 0

�=

= {(0, y, y) | y ∈ R}.


d2 = dimR Vλ2 = 1.

Deoarece dimensiunea d2 = 1 a subspatiului propriu Vλ2 este diferita de multiplicitateaalgebrica m2 = 2 a valorii proprii λ2 = 1, rezulta ca matricea A nu este diagonalizabila.


3.8 Diagonalizarea endomorfismelor simetrice

Fie (V, �, �) un spatiu euclidian real de dimensiune finita dimR V = n.

Definitia 3.8.1 Un endomorfism f ∈ EndR(V ) care verifica proprietatea

�v, f(w)� = �f(v), w� , ∀ v,w ∈ V,

se numeste endomorfism simetric al spatiului euclidian real (V, �, �).

Teorema 3.8.2 Orice endomorfism simetric f ∈ EndR(V ) al spatiului euclidian real(V, �, �) este diagonalizabil.

Demonstratie. Vom demonstra afirmatia din teorema prin inductie dupa

n = dimR V.

Pentru început sa presupunem ca f ∈ EndR(V ), unde n = dimR V = 1, este unendomorfism simetric. Deoarece avem n = dimR V = 1, rezulta ca exista un vector nenulv0 �= 0V astfel încât multimea {v0} sa fie baza în spatiul vectorial real V. Din relatiaf(v0) ∈ V , deducem ca exista un unic scalar λ ∈ R astfel încât

f(v0) = λv0.

Cu alte cuvinte, vectorul v0 este vector propriu al endomorfismului simetric f. În concluzie,endomorfismul simetric f este diagonalizabil.

Sa presupunem acum ca afirmatia din teorema este adevarata pentru orice spatiueuclidian real de dimensiune mai mica sau egala decât n− 1 si sa demonstram afirmatiapentru un spatiu euclidian real de dimensiune n. Fie f ∈ EndR(V ) un endomorfismsimetric al spatiului euclidian real (V, �, �), unde

dimR V = n.

Sa consideram v1 �= 0V un vector nenul al spatiului euclidian real (V, �, �) si sa luamscalarul

λ1 =�f(v1), v1��v1, v1�

∈ R.

Vom demonstra în continuare ca exista un vector nenul v �= 0V cu proprietatea

f(v) = λ1v.

Aceasta afirmatie este echivalenta, pe rând, cu afirmatiile:

∃ v �= 0V a.î. f(v)− λ1v = 0V ⇔

∃ v �= 0V a.î. �f(v)− λ1v, f(v)− λ1v� = 0 ⇔∃ v �= 0V a.î. �v, v� · λ21 − 2 · �f(v), v� · λ1 + �f(v), f(v)� = 0.

Utilizând inegalitatea lui Cauchy si tinând cont de faptul ca λ1 este o radacina reala aecuatiei de gradul doi, deducem ca ultima afirmatie de mai sus este echivalenta, pe rând,cu afirmatiile:

∃ v �= 0V a.î. �f(v), v�2 − �f(v), f(v)� · �v, v� = 0 si λ1 =�f(v), v��v, v� ⇔

DIAGONALIZAREA ENDOMORFISMELOR SIMETRICE 107

∃ v �= 0V a.î. λ1 =�f(v), v��v, v�

Sa presupunem acum ca aceasta ultima afirmatie nu este adevarata. Deducem atuncica avem

λ1 �=�f(v), v��v, v� , ∀ v �= 0V .

În particular, pentru vectorul v1 �= 0V , obtinem contradictia

λ1 �=�f(v1), v1��v1, v1�

.

În consecinta, exista un vector nenul v �= 0V cu proprietatea

f(v) = λ1v.

Sa consideram acum ca subspatiul vectorial W = L{v} este acoperirea liniara a vec-torului nenul v �= 0V . Evident, multimea {v} este o baza a subspatiului W , deci avem

dimRW = 1.

Sa consideram ca W⊥ este complementul ortogonal al subspatiului W. Din relatia

dimR V = dimRW + dimRW⊥,

deducem ca avemdimRW

⊥ = n− 1.

Vom demonstra în continuare ca f(W⊥) ⊆ W⊥. Pentru aceasta sa consideram unvector arbitrar w ∈W⊥. Deoarece endomorfismul f este simetric, deducem ca avem

�f(w), v� = �w, f(v)� = �w, λ1v� = λ1 �w, v� = 0.

Cu alte cuvinte, avem f(w) ∈W⊥, adica ceea ce aveam de demonstrat.În consecinta, din ipoteza de inductie, endomorfismul simetric

f |W⊥ :W⊥ →W⊥,

unde dimRW⊥ = n− 1, este diagonalizabil.

Sa consideram ca multimea de vectori proprii

{u2, u3, ..., un} ⊂ W⊥

reprezinta baza în care se obtine forma diagonala a endomorfismului f |W⊥. Atunci, deoa-rece avem

V = W ⊕W⊥,

rezulta ca multimea de vectori

{v, u2, u3, ..., un} ⊂ V

reprezinta baza în care se obtine forma diagonala a endomorfismului simetric

f : V → V.


Definitia 3.8.3 O matrice patratica A ∈Mn(R), care verifica proprietatea

A = TA,

se numeste matrice simetrica.

Observatia 3.8.4 O matrice simetrica A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(R) are proprietatea

aij = aji, ∀ i, j = 1, n.

Cu alte cuvinte, elementele unei matrici simetrice sunt simetrice fata de diagonala prin-cipala.

Sa presupunem acum ca f ∈ EndR(V ) este un endomorfism simetric si ca multimea

B = {e1, e2, ..., en}

este o baza ortonormata a spatiului euclidian real (V, �, �). Sa consideram ca

MB(f) = (cij)i,j=1,n ∈Mn(R)

este matricea endomorfismului simetric f în baza ortonormata B. În acest context, putemdemonstra urmatorul rezultat.

Teorema 3.8.5 Matricea MB(f) este o matrice simetrica.

Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca proprietatea

cij = cji, ∀ i, j = 1, n,

este adevarata. Tinând cont de faptul ca endomorfismul f este simetric, rezulta ca urma-toarele relatii sunt adevarate:

�f(ei), ej� = �ei, f(ej)� , ∀ i, j = 1, n.

Din definitia matricii unui endomorfism într-o anumita baza deducem ca avem relatiile5

n�

k=1

ckiek, ej

6

=

5

ei,n�

l=1

cljel

6

, ∀ i, j = 1, n.

Folosind proprietatile produsului scalar si faptul ca baza B este ortonormata, gasim re-latiile:

n�

k=1

ckiδkj =n�

l=1

cljδil, ∀ i, j = 1, n,

unde

δrs =

�1, r = s

0, r �= s

este simbolul lui Kronecker. Cu alte cuvinte, am obtinut ceea ce aveam de demonstrat.

Corolarul 3.8.6 Orice matrice simetrica A ∈Mn(R) este diagonalizabila.

DIAGONALIZAREA ENDOMORFISMELOR SIMETRICE 109

Demonstratie. Evident, orice matrice simetrica A ∈Mn(R) poate fi privita ca matriceaunui endomorfism simetric f ∈ EndR(Rn) într-o baza ortonormata B a spatiului eucli-dian real (Rn, �, �). Prin urmare, deoarece orice endomorfism simetric este diagonalizabil,deducem ca matricea simetrica A =MB(f) este diagonalizabila.

Exemplul 3.8.7 Sa se diagonalizeze endomorfismul simetric f ∈ EndR(R3) a carui ma-trice în baza canonica a spatiului RR3 este matricea simetrica

A =

0 1 01 1 10 1 0

.

Obs. Baza canonica este ortonormata în spatiul euclidian (R3, �, �).Conform Corolarului de mai sus, matricea simetrica A este diagonalizabila. Polinomul

caracteristic al acestei matrici simetrice este

PA(λ) = det [A− λI3] =

��

−λ 1 01 1− λ 10 1 −λ

��= −λ(λ+ 1)(λ− 2).

Prin urmare, valorile proprii ale acestei matrici simetrice sunt λ1 = 0, λ2 = −1 si λ3 = 2,de multiplicitate algebrica m1 = m2 = m3 = 1.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

0 1 01 1 10 1 0

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | y = 0, x+ y + z = 0

�=

= {(x, 0,−x) | x ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1.


B1 = {e′1 = (1, 0,−1)}.

Subspatiul propriu corespunzator valorii proprii λ2 = −1 este (Obs. Punem în ma-tricea A− λI3 valoarea λ = −1)

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

1 1 01 2 10 1 1

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | x+ y = 0, x+ 2y + z = 0, y + z = 0

�=

= {(x,−x, x) | x ∈ R}.


d2 = dimR Vλ2 = 1 = m2.



B2 = {e′2 = (1,−1, 1)}.


Vλ3 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−2 1 01 −1 10 1 −2

xyz

=

000

=

=�(x, y, z) ∈ R3 | − 2x+ y = 0, x− y + z = 0, y − 2z = 0

�=

= {(z, 2z, z) | z ∈ R}.


d3 = dimR Vλ3 = 1 = m3.

O baza a subspatiului propriu Vλ3 este(Obs. Luam z = 1)

B3 = {e′3 = (1, 2, 1)}.

Baza în care se obtine forma diagonala a matricii simetrice A este

B′ = {e′1 = (1, 0,−1), e′2 = (1,−1, 1), e′3 = (1, 2, 1)}.

Forma diagonala a matricii simetrice A este

D =

0 0 00 −1 00 0 2

.

Se verifica usor ca urmatoarea relatie matriceala este adevarata:

D = C−1 · A · C,

unde (Obs. Se scriu pe coloana vectorii bazei B′)

C =

1 1 10 −1 2−1 1 1

.


1. Sa se studieze care dintre urmatoarele aplicatii sunt liniare:

(a) f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2 + 3);

(b) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1x2, x1, x2);

(c) f : Rn[X] → Rn[X], f(p) = q, q(X) = p(−X);

(d) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2, 0);


(e) f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 + 3x3, 2x3, x1 + x2);

(f) f : V3 → V3, f(v) = a× v, unde a ∈ V3 este dat.

Rezolvare. (a) Aplicatia nu este liniara deoarece

f(0, 0) = (0, 3) �= (0, 0).

(b) Desi f(0, 0) = (0, 0, 0), aplicatia nu este liniara. Presupunem ca f ar fi liniarasi deducem ca

f(λ(x1, x2)) = λf(x1, x2), ∀ λ ∈ R, ∀ (x1, x2) ∈ R2.

Aceasta egalitate implica relatia falsa

λ2x1x2 = λx1x2, ∀ λ ∈ R, ∀ (x1, x2) ∈ R2.

(c) Aplicatia este liniara deoarece, pentru orice α, β ∈ R si p, q ∈ Rn[X], avem

f(αp+ βq)(X) = (αp + βq)(−X) = αp(−X) + βq(−X) =

= αf(p)(X) + βf(q)(X).

(d) Aplicatia este liniara deoarece, oricare ar fi scalarul λ ∈ R si vectorii (x1, x2),(y1, y2) ∈ R2, avem

f((x1, x2) + (y1, y2)) = f(x1 + y1, x2 + y2) =

= (x1 + y1 − x2 − y2, x1 + y1 + x2 + y2, 0) =

= (x1 − x2, x1 + x2, 0) + (y1 − y2, y1 + y2, 0) =

= f(x1, x2) + f(y1, y2)

si

f(λ(x1, x2)) = f(λx1, λx2) = (λx1 − λx2, λx1 + λx2, 0) =

= λ(x1 − x2, x1 + x2, 0) = λf(x1, x2).

(e) Aplicatia este liniara. Se demonstreaza ca la punctul (d).

(f) Aplicatia este liniara deoarece, pentru orice α, β ∈ R si v, w ∈ V3, avem

f(αv + βw) = a× (αv + βw) = a× (αv) + a× (βw) =

= α (a× v) + β (a× w) = αf(v) + βf(w).

2. Sa se determine nucleul ker f si imaginea Im f pentru aplicatia liniara f : R3 → R4,unde

f(x, y, z) = (−x+ y + z, x− y + z, 2z, x− y).

Sa se verifice Teorema dimensiunii:

dimR ker f + dimR Im f = 3.

Rezolvare. Nucleul aplicatiei liniare este definit prin

ker f = {(x, y, z) ∈ R3 | f(x, y, z) = (0, 0, 0, 0)}.


Rezolvând sistemul

−x+ y + z = 0x− y + z = 02z = 0x− y = 0,

gasim solutiilex = y = α ∈ R, z = 0.

Prin urmare, nucleul aplicatiei liniare este

ker f = {(α, α, 0) | α ∈ R}.

Dimensiunea nucleului este evident dimR ker f = 1, o baza a acestuia fiind (Obs.Luam α = 1)

B1 = {e1 = (1, 1, 0)}.Imaginea aplicatiei liniare este definita prin

Im f = {(a, b, c, d) ∈ R4 | ∃ (x, y, z) ∈ R3 a. î. f(x, y, z) = (a, b, c, d)}.

Punând conditia ca sistemul

−x+ y + z = ax− y + z = b2z = cx− y = d

sa fie compatibil, gasim conditiile de compatibilitate

c

2− a = b− c

2= d.

Prin urmare, imaginea aplicatiei liniare este

Im f =

��a, b, a+ b,

b− a

2

� �� a, b ∈ R�.

Dimensiunea imaginii este evident dimR Im f = 2, o baza a acesteia fiind (Obs.Luam, pe rând, a = 2 si b = 0, si viceversa, a = 0 si b = 2)

B2 = {e2 = (2, 0, 2,−1), e3 = (0, 2, 2, 1)}.

Teorema dimensiunii este imediata.

3. Sa se determine aplicatia liniara f : R3 → R3 cu proprietatea

f(vi) = wi, ∀ i = 1, 3,

undev1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1)

siw1 = (2, 1, 0), w2 = (−1, 0, 1), w3 = (1, 1, 1).

Sa se arate ca avem f 3 = f , unde f 3 = f ◦ f ◦ f .


Rezolvare. Fie un vector arbitrar v = (x, y, z) ∈ R3. Vectorul v se descompuneunic în baza B = {v1, v2, v3} ca

v =x+ y − z

2· v1 +

x− y + z

2· v2 +

−x+ y + z

2· v3.

Prin urmare, aplicatia liniara are expresia

f(x, y, z) =x+ y − z

2· f(v1) +

x− y + z

2· f(v2) +

−x+ y + z

2· f(v3)

=x+ y − z

2· w1 +

x− y + z

2· w2 +

−x+ y + z

2· w3

= (2y − z, y, z).

Evident, avem

f3(x, y, z) = f(f(f(x, y, z))) = f(f(2y − z, y, z)) =

= f(2y − z, y, z) = (2y − z, y, z) = f(x, y, z).

4. Sa se arate ca aplicatia liniara f : R2 → R3, definita prin

f(x, y) = (x− y, x+ y, 2x+ 3y),

este injectiva, dar nu este surjectiva.

Rezolvare. Nucleul aplicatiei liniare este definit prin

ker f = {(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = (0, 0, 0)}.

Rezolvând sistemul

x− y = 0x+ y = 02x+ 3y = 0,

gasim solutia banala x = y = 0. Prin urmare, nucleul aplicatiei liniare este

ker f = {(0, 0)},

adica aplicatia este injectiva.

Imaginea aplicatiei liniare este definita prin

Im f = {(a, b, c) ∈ R3 | ∃ (x, y) ∈ R2 astfel încât f(x, y) = (a, b, c)}.

Punând conditia ca sistemul

x− y = ax+ y = b2x+ 3y = c

sa fie compatibil, gasim conditia de compatibilitate

a+ b+3(b− a)

2= c⇔ 5b− a = 2c.


Prin urmare, imaginea aplicatiei liniare este

Im f = {(5b− 2c, b, c) | b, c ∈ R} .

Dimensiunea imaginii este evident

dimR Im f = 2 �= 3 = dimRR3,

adica aplicatia nu este surjectiva.

5. Fie aplicatia liniara f : V3 → V3, unde

f(v) = a× v, a ∈ V3\{0} fiind un vector dat.

(a) Sa se calculeze nucleul ker f si imaginea Im f .

(b) Sa se determine o baza în raport cu care matricea lui f sa aiba forma

A =

0 0 00 0 10 −||a||2 0

.

Rezolvare. (a) Nucleul aplicatiei liniare este

ker f = {v ∈ V3 | a× v = 0} =

= {v ∈ V3 | v coliniar cu a} =

= {λa ∈ V3 | λ ∈ R},

adica aplicatia nu este injectiva.

Imaginea aplicatiei liniare este definita prin

Im f = {w ∈ V3 | ∃ v ∈ V3 astfel încât a× v = w}.

Conditia necesara si suficienta ca ecuatia a×v = w sa aiba solutie este ca �a, w� = 0,solutia generala a ecuatiei fiind în acest caz

v = λ · a− 1

||a||2 · [a× w] ,

unde λ ∈ R. Prin urmare, imaginea aplicatiei liniare este

Im f = {w ∈ V3 | �a, w� = 0} = {w ∈ V3 | w ⊥ a} ,

adica aplicatia nu este surjectiva.

(b) Daca w ∈ V3 este un vector arbitrar fixat astfel încât w ⊥ a, atunci o bazaconvenabila este

B = {e1 = a, e2 = a× w, e3 = w},deoarece avem

f(e1) = 0, f(e2) = −||a||2e3, f(e3) = e2.


6. Sa se arate ca endomorfismul f : R4 → R4, a carui matrice în baza canonica este

A =

2 1 0 0−4 −2 0 07 1 1 1

−17 −6 −1 −1

,

este nilpotent de grad doi (i.e. f 2 = 0, unde f 2 = f ◦ f).Rezolvare. Se verifica usor ca avem A2 = 0.

Observatie. O aplicatie liniara cu proprietatea de mai sus se numeste structuratangenta.

7. Sa se determine valorile si vectorii proprii pentru endomorfismul

f : R3 → R3,

a carui matrice în baza canonica este

A =

1 2 10 −1 −10 0 2

.

Rezolvare. Valorile proprii sunt solutiile ecuatiei caracteristice

det[A− λI3] = 0 ⇔

��

1− λ 2 10 −1− λ −10 0 2− λ

��= 0 ⇔

⇔ (1− λ)(1 + λ)(2− λ) = 0.

Prin urmare, avem valorile proprii λ1 = 1, λ2 = −1 si λ3 = 2.

Vectorii proprii sunt elementele subspatiilor proprii asociate, cu exceptia vectoruluinul.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ1 = 1 este

Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

0 2 10 −2 −10 0 1

xyz

=

000

=

= {(x, 0, 0) | x ∈ R}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

2 2 10 0 −10 0 3

xyz

=

000

=

= {(x,−x, 0) | x ∈ R}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = 2 este

Vλ3 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−1 2 10 −3 −10 0 0

xyz

=

000

=

= {(−y, y,−3y) | y ∈ R}.


8. Sa se studieze daca endomorfismul f : R3 → R3, definit prin

f(x, y, z) = (y,−4x+ 4y,−2x+ y + 2z),

este diagonalizabil si, în caz afirmativ, sa se diagonalizeze.

Rezolvare. Fie baza canonica

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} ⊂ R3.

Deoarece avem descompunerile

f(e1) = (0,−4,−2) = 0 · e1 − 4 · e2 − 2 · e3f(e2) = (1, 4, 1) = 1 · e1 + 4 · e2 + 1 · e3f(e3) = (0, 0, 2) = 0 · e1 + 0 · e2 + 2 · e3,

deducem ca matricea endomorfismului f în baza canonica este

A =

0 1 0−4 4 0−2 1 2

.

Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice

det[A− λI3] = 0 ⇔

��

−λ 1 0−4 4− λ 0−2 1 2− λ

��= 0 ⇔ (2− λ)3 = 0.

Prin urmare, avem o singura valoare proprie λ1 = 2, de multiplicitate algebricam1 = 3.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−2 1 0−4 2 0−2 1 0

xyz

=

000

.

Rezolvând sistemul matriceal, gasim

Vλ1 = {(x, 2x, z) | x, z ∈ R} .

Evident, dimensiunea subspatiului propriu Vλ1 este

d1 = dimR Vλ1 = 2 �= 3 = m1.

În concluzie, endomorfismul nu este diagonalizabil.

9. Sa se studieze daca endomorfismele f : Rn → Rn, definite în baza canonica dematricile de mai jos, sunt diagonalizabile si, în caz afirmativ, sa se diagonalizeze:

(a) A =

�1 −11 −1

�


(b) A =

�1 11 1

�

(c) A =

1 0 00 0 10 1 0

(d) A =

1 0 32 1 23 0 1

(e) A =

0 1 0 03 0 2 00 2 0 30 0 1 0

.

Rezolvare. (a) Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��1− λ −11 −1− λ

�� = 0 ⇔ λ2 = 0.

Prin urmare, avem o singura radacina λ1 = 0, de multiplicitate algebrica m1 = 2.


Vλ1 =

�(x, y) ∈ R2

��

�1 −11 −1

��xy

�=

�00

��=

= {(x, x) | x ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 1 �= 2 = m1.

În concluzie, endomorfismul nu este diagonalizabil.

(b) Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��1− λ 11 1− λ

�� = 0 ⇔ λ2 − 2λ = 0.

Prin urmare, avem radacinile λ1 = 0, λ2 = 2, de multiplicitate algebrica m1 = 1,m2 = 1.


Vλ1 =

�(x, y) ∈ R2

��

�1 11 1

��xy

�=

�00

��=

= {(x,−x) | x ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1,

o baza în Vλ1 fiind B1 = {e1 = (1,−1)}.



Vλ2 =

�(x, y) ∈ R2

��

�−1 11 −1

��xy

�=

�00

��=

= {(x, x) | x ∈ R}.


d2 = dimR Vλ2 = 1 = m2,

o baza în Vλ2 fiind B2 = {e2 = (1, 1)}.Forma diagonala a endomorfismului este

D =

�0 00 2

�,

si avem relatia matriceala D = C−1 · A · C, unde

C =

�1 1−1 1

�.

(c) Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��

1− λ 0 00 −λ 10 1 −λ

��= 0 ⇔ (λ− 1)2(λ+ 1) = 0.

Prin urmare, avem valorile proprii λ1 = 1, λ2 = −1, de multiplicitate algebricam1 = 2, m2 = 1.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

0 0 00 −1 10 1 −1

xyz

=

000

=

= {(x, y, y) | x, y ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 2 = m1,

o baza în Vλ1 fiind B1 = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −1 este

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

2 0 00 1 10 1 1

xyz

=

000

=

= {(0, y,−y) | y ∈ R}.


d2 = dimR Vλ2 = 1 = m2,


o baza în Vλ2 fiind B2 = {e3 = (0, 1,−1)}.Forma diagonala a endomorfismului este

D =

1 0 00 1 00 0 −1


C =

1 0 00 1 10 1 −1

.

(d) Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��

1− λ 0 32 1− λ 23 0 1− λ

��= 0 ⇔ (1− λ)(λ2 − 2λ− 8) = 0.

Prin urmare, avem valorile proprii λ1 = 1, λ2 = 4 si λ3 = −2, de multiplicitatealgebrica m1 = 1, m2 = 1 si m3 = 1.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

0 0 32 0 23 0 0

xyz

=

000

=

= {(0, y, 0) | y ∈ R}.Dimensiunea subspatiului propriu Vλ1 este

d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1,

o baza în Vλ1 fiind B1 = {e1 = (0, 1, 0)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = 4 este

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−3 0 32 −3 23 0 −3

xyz

=

000

=

=

��x,

4x

3, x

� �� x ∈ R�.


d2 = dimR Vλ2 = 1 = m2,

o baza în Vλ2 fiind (luam x = 3, pentru a evita fractiile)

B2 = {e2 = (3, 4, 3)}.

Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = −2 este

Vλ3 =

(x, y, z) ∈ R3

��

3 0 32 3 23 0 3

xyz

=

000

=

= {(x, 0,−x) | x ∈ R}.



d3 = dimR Vλ3 = 1 = m3,

o baza în Vλ3 fiind B3 = {e3 = (1, 0,−1)}.Forma diagonala a endomorfismului este

D =

1 0 00 4 00 0 −2


C =

0 3 11 4 00 3 −1

.

(e) Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��

−λ 1 0 03 −λ 2 00 2 −λ 30 0 1 −λ

��= 0 ⇔ λ4 − 10λ2 + 9 = 0.

Prin urmare, avem valorile proprii λ1 = 3, λ2 = −3, λ3 = 1 si λ4 = −1, demultiplicitate algebrica m1 = 1, m2 = 1, m3 = 1 si m4 = 1.


Vλ1 =

(x, y, z, t) ∈ R4

��

−3 1 0 03 −3 2 00 2 −3 30 0 1 −3

xyzt

=

0000

= {(t, 3t, 3t, t) | t ∈ R}.


d1 = dimR Vλ1 = 1 = m1,

o baza în Vλ1 fiind B1 = {e1 = (1, 3, 3, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = −3 este

Vλ2 =

(x, y, z, t) ∈ R4

��

3 1 0 03 3 2 00 2 3 30 0 1 3

xyzt

=

0000

=

= {(−t, 3t,−3t, t) | t ∈ R} .


d2 = dimR Vλ2 = 1 = m2,


o baza în Vλ2 fiind B2 = {e2 = (−1, 3,−3, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = 1 este

Vλ3 =

(x, y, z, t) ∈ R4

��

−1 1 0 03 −1 2 00 2 −1 30 0 1 −1

xyzt

=

0000

= {(−t,−t, t, t) | t ∈ R}.


d3 = dimR Vλ3 = 1 = m3,

o baza în Vλ3 fiind B3 = {e3 = (−1,−1, 1, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ4 = −1 este

Vλ4 =

(x, y, z, t) ∈ R4

��

1 1 0 03 1 2 00 2 1 30 0 1 1

xyzt

=

0000

=

= {(t,−t,−t, t) | t ∈ R}.


d4 = dimR Vλ4 = 1 = m4,

o baza în Vλ4 fiind B4 = {e4 = (1,−1,−1, 1)}.Forma diagonala a endomorfismului este

D =

3 0 0 00 −3 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

Evident, avem relatia matriceala D = C−1 · A · C, unde

C =

1 −1 −1 13 3 −1 −13 −3 1 −11 1 1 1

.


1. Sa se studieze care dintre urmatoarele aplicatii sunt liniare:

(a) f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1,−x1);


(b) f : R2 → R2, f(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ), unde unghiulθ ∈ [0, 2π] este dat;

(c) f : V3 → R, f(v) = �a, v� , unde a ∈ V3 este un vector dat;

(d) f : V3 → V3, f(v) = 2�v, a�||a||2 · a− v, unde a ∈ V3\{0} este dat;

(e) f :M2(R) → R, f(A) =Trace(A), unde Trace(A) = a11 + a22;

(f) f : Rn[X] → Rn[X], f(p) = q, q(X) = p(X + 1)− p(X);

(g) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (sin x1, cos x2, x1 − x2);

(h) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x, x+ y, x+ y + z);

(i) T : Cn ([0, 1]) → C0 ([0, 1]) , T (f) = α1f′+α2f

′′+α3f(3)+ . . .+αnf

(n), undeαi ∈ R si, pentru n ∈ N, avem

Cn ([0, 1]) = {f : [0, 1] → R | f este derivabila de n-ori sicu derivata f (n) continua

�

(j) T : C0 ([0, 1]) → F[0,1], T (f)(x) =

� x

0

f(t)dt, ∀ x ∈ [0, 1], unde

F[0,1] = {f : [0, 1] → R | f este functie} .

R. (a) Da. (b) Da. (c) Da. (d) Da. (e) Da. (f) Da. (g) Nu. (h) Da. (i) Da. (j) Da.

2. Sa se arate ca aplicatiile de mai jos sunt liniare si sa se determine nucleul si imaginealor:

(a) f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x+ y − z, 2x− y + z);

(b) f : R4 → R3, f(x, y, z, t) = (x+ y + z, y − t, z − t);

(c) f : V3 → V3, f(v) =�v, a�||a||2 · a, unde a ∈ V3\{0} este dat;

(d) f : R2[X] → R, f(p) =

� 1

−1

p(x)dx.

R. (a) ker f = {(0, z, z) | z ∈ R}, Im f = R2.

(b) ker f = {(−2t, t, t, t) | t ∈ R}, Im f = R3.

(c) ker f = {v ∈ V3 | v ⊥ a}, Im f = {λa | λ ∈ R}.(d) ker f = {−3aX2 + bX + a | a, b ∈ R}, Im f = R.

3. Sa se scrie matricea în baza canonica a endomorfismului f : R3 → R3, unde

f(x, y, z) = (x− y + z, y + z, x− z).

R. A =

1 −1 10 1 11 0 −1

.

PROBLEME PROPUSE 123

4. Fie a, b ∈ V3\{0} doi vectori necoliniari. Sa se arate ca aplicatia

f : V3 → V3,

definita prinf(x) = �a, x� · b+

�b, x�· a,

este liniara si apoi sa se determine matricea lui f în baza

B = {a, b, a× b}.

R. MB(f) =

�a, b�

||b||2 0

||a||2�a, b�

0

0 0 0

.

5. Sa se determine endomorfismul f : R3 → R3 astfel încât

f(1, 1, 1) = (0, 0, 0), f(1, 0, 0) = (3, 1, 0), f(0, 0, 1) = (1, 2, 0).

R. f(x, y, z) = (3x− 4y + z, x− 3y + 2z, 0).

6. Fie endomorfismul f : R3 → R3, definit prin

f(x, y, z) = (x− y + z, y, y).

Sa se arate ca f 2 = f (i.e. f este proiectie) si ca avem

R3 = ker f ⊕ Im f.

Ind. Avem ker f = {(x, 0,−x) | x ∈ R} si Im f = {(a, b, b) | a, b ∈ R}.

7. Sa se arate ca aplicatia liniara f : R2n → R2n, definita prin

f(x1, x2, ..., xn, xn+1, ..., x2n) = (xn+1, xn+2, ..., x2n,−x1,−x2, ...,−xn),

are proprietatea f2 = −1R2n.

Observatie. O aplicatie liniara cu aceasta proprietate se numeste structura aproapecomplexa.

8. Sa se determine valorile si vectorii proprii pentru endomorfismele

f : R3 → R3,

ale caror matrici în baza canonica sunt

(a) A =

4 0 00 0 10 −1 2

(b) A =

7 4 14 7 −1−4 −4 4


(c) A =

−3 −7 −52 4 31 2 2

.

R. (a) λ1 = 4, Vλ1 = {(x, 0, 0) | x ∈ R}; λ2 = 1, Vλ2 = {(0, y, y) | y ∈ R}.

(b) λ1 = 4, Vλ1 = {(x,−x, x) | x ∈ R}; λ2 = 3, Vλ2 = {(x,−x, 0) | x ∈ R};

λ3 = 11, Vλ3 =

��−3z

4,−z, z

� �� z ∈ R�.

(c) λ1 = 1, Vλ1 = {(−3y, y, y) | y ∈ R}.

9. Sa se arate ca endomorfismul f : R4 → R4, definit prin

f(x, y, z, t) = (−x+ t,−y,−z − 2t, x− 2z + 3t),

este diagonalizabil si sa se precizeze baza în care se obtine forma diagonala.

R. Baza în care se obtine forma diagonala este

B′ = {e′1 = (2, 0, 1, 0), e′2 = (0, 1, 0, 0), e′3 = (1, 0,−2, 5), e′4 = (−1, 0, 2, 1)}

Forma diagonala este D =MB′(f) =Diag(−1,−1, 4,−2).

10. Sa se studieze daca endomorfismele f : Rn → Rn, definite în baza canonica dematricile de mai jos, sunt diagonalizabile si, în caz afirmativ, sa se diagonalizeze:

(a) A =

�−4 01 4

�

(b) A =

2 −1 11 2 −11 −1 2

(c) A =

2 5 1−1 −3 0−2 −3 −2

(d) A =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

.

R. (a) B′ = {e′1 = (1, 0), e′2 = (−8, 1)}; D =MB′(f) =Diag(4,−4).

(b) B′ = {e′1 = (0, 1, 1), e′2 = (1, 1, 1), e′3 = (1, 0, 1)}; D =MB′(f) =Diag(1, 2, 3).

(c) Nu este diagonalizabila.

(d) B′ = {e′1 = (1, 1, 0, 0), e′2 = (1, 0, 1, 0), e′3 = (1, 0, 0, 1), e′4 = (1,−1,−1,−1)};D =MB′(f) =Diag(2, 2, 2,−2).


4. FORME PATRATICE

În studiul maximelor si minimelor functiilor de mai multe variabile, un rol extrem deimportant este jucat de signatura formelor patratice. Formele patratice pot fi introdusecu ajutorul aplicatiilor biliniare si simetrice, care generalizeaza în mod natural produselescalare.

4.1 Aplicatii biliniare si simetrice. Forme patratice

Fie V un K-spatiu vectorial.

Definitia 4.1.1 Se numeste aplicatie biliniara si simetrica pe spatiul vectorial KV ,o aplicatie A : V × V → K, care are proprietatile:

1. A(v,w) = A(w, v), ∀ v, w ∈ V ,

2. A(αv + βw,w′) = αA(v, w′) + βA(w,w′), ∀ α, β ∈ K, ∀ v, w, w′ ∈ V .

Exemplul 4.1.2 Orice produs scalar

�, � : V × V → R

pe un spatiu vectorial real RV este o aplicatie biliniara si simetrica.

Sa presupunem acum ca V este unK-spatiu vectorial de dimensiune dimK V = n <∞,si sa consideram ca multimea

B = {e1, e2, ..., en}este o baza a spatiului vectorial KV . Fie v,w ∈ V doi vectori arbitrari care se descompunîn baza B dupa cum urmeaza:

v =n�

i=1

xiei si w =n�

j=1

yjej ,

unde xi, yi ∈ K, ∀ i = 1, n. În acest context, daca A : V × V → K este o aplicatiebiliniara si simetrica, atunci avem relatia:

A(v, w) = A�

n�

i=1

xiei,n�

j=1

yjej

�

=n�

i=1

n�

j=1

xiyjA(ei, ej).

Aceasta relatie arata ca aplicatia biliniara si simetrica A este unic definita de valorile salepe produsul cartezian B ×B. Din acest motiv, introducem urmatoarea notiune:

Definitia 4.1.3 Matricea simetrica A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(K), unde

aij = A(ei, ej), ∀ i, j = 1, n,

se numeste matricea în baza B a aplicatiei biliniare si simetrice A.

FORME PATRATICE 127

Folosind aceasta definitie, deducem ca expresia analitica a aplicatiei biliniare si sime-trice A : V × V → K este

A(v, w) =n�

i=1

n�

j=1

aijxiyj .

Mai mult, utilizând notatiile

X =

x1x2...xn

si Y =

y1y2...yn

,

obtinem relatia matricealaA(v,w) = TX · A · Y.

Sa presupunem acum ca multimea

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n}este o alta baza a spatiului vectorial KV si ca vectorii arbitrari v si w se descompun înbaza B′ dupa cum urmeaza:

v =n�

i=1

x′ie′

i si w =n�

j=1

y′je′

j ,

unde x′i, y′

i ∈ K, ∀ i = 1, n. În acest context, daca A′ = (a′ij)i,j=1,n ∈Mn(K), unde

a′ij = A(e′i, e′

j), ∀ i, j = 1, n,

este matricea în baza B′ a aplicatiei biliniare si simetrice A, atunci urmatoarea relatiematriceala este adevarata:

A(v, w) = TX ′ ·A′ · Y ′,unde

X ′ =

x′1x′2...x′n

si Y ′ =

y′1y′2...y′n

.

Teorema 4.1.4 Urmatoarea relatie de legatura între matricile A si A′ este adevarata:

A′ = TMBB′ · A ·MBB′ ,

unde matricea MBB′ este matricea de trecere de la baza B la baza B′.

Demonstratie. Utilizând formulele matriceale de schimbare a coordonatelor

X =MBB′ ·X ′ si Y =MBB′ · Y ′,deducem ca avem

A(v, w) = TX · A · Y = TX ′ ·'TMBB′ ·A ·MBB′

(· Y ′.

Pe de alta parte, stim însa ca avem

A(v, w) = TX ′ ·A′ · Y ′.Din cele doua relatii rezulta ceea ce aveam de demonstrat.

128 FORME PATRATICE

Definitia 4.1.5 O aplicatie Q : V → K, cu proprietatea ca exista o aplicatie biliniara sisimetrica

A : V × V → K

astfel încâtQ(x) = A(x, x), ∀ x ∈ V ,

se numeste forma patratica atasata aplicatiei biliniare si simetrice A.

Observatia 4.1.6 Daca Q : V → K este o forma patratica data, atasata aplicatieibiliniare si simetrice A : V × V → K, atunci aplicatia biliniara si simetrica A esterecuperata din forma patratica Q prin intermediul urmatoarei formule:

A(x, y) =1

2[Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)] , ∀ x, y ∈ V.

Fie Q : V → K o forma patratica atasata aplicatiei biliniare si simetrice

A : V × V → K.

Daca vectorul arbitrar x ∈ V se descompune în baza

B = {e1, e2, ..., en}

ca

x =n�

i=1

xiei,

unde xi ∈ K, ∀ i = 1, n, atunci forma patratica Q are expresia analitica

Q(x) =n�

i=1

n�

j=1

aijxixj ,

unde matricea simetricaA = (aij)i,j=1,n ∈Mn(K)

este matricea în baza B a aplicatiei biliniare si simetrice A. Mai mult, urmatoarea relatiematriceala este adevarata:

Q(x) = TX · A ·X,unde

X =

x1x2...xn

.

Definitia 4.1.7 Matricea simetrica A se numeste matricea în baza B a formei pa-tratice Q.

Definitia 4.1.8 O forma patratica Q, exprimata analitic prin

Q(x) =

n�

i=1

n�

j=1

aijxixj,

APLICATII BILINIARE SI SIMETRICE. FORME PATRATICE 129

se afla în forma canonica daca

aij = λjδij , ∀ i, j = 1, n,

unde λj ∈ K, ∀ j = 1, n, si avem

δij =

�1, i = j;0, i �= j.

Observatia 4.1.9 Expresia analitica a unei forme patratice aflate în forma canonica este

Q(x) =n�

j=1

λjx2j = λ1x

21 + λ2x

22 + ...+ λnx

2n,

unde λj ∈ K, ∀ j = 1, n.

4.2 Reducerea formelor patratice la forma canonica

În aceasta sectiune vom studia trei posibilitati de reducere la forma canonica a formelorpatratice: - metoda lui Gauss, metoda lui Jacobi si metoda valorilor proprii sau a trans-formarilor ortogonale. Pentru aceasta sa presupunem ca V este un R-spatiu vectorial.

4.2.1 Metoda lui Gauss

Metoda lui Gauss de reducere la forma canonica a formelor patratice este o metodaelementara, de formari de patrate perfecte. Aceasta metoda actioneaza la nivel de coor-donate, fara a se obtine direct baza corespunzatoare formei canonice.

Teorema 4.2.2 (Metoda lui Gauss) Daca Q : V → R este o forma patratica, a careiexpresie analitica în baza

B = {e1, e2, ..., en}este

Q(x) =n�

i=1

n�

j=1

aijxixj,

unde aij ∈ R, ∀ i, j = 1, n, atunci exista o baza în spatiul vectorial real V în raport cucare forma patratica Q sa aiba forma canonica.

Demonstratie. Vom descrie în continuare un algoritm inductiv care reduce problemastudiata la o forma patratica pe un spatiu vectorial real de dimensiune mai mica decât

n = dimR V.

Cazul 1. Sa presupunem ca exista un indice i ∈ {1, 2, ..., n} astfel încât aii �= 0.Efectuând, eventual, o renumerotare a coordonatelor x1, x2, ..., xn ∈ R, putem presupune

130 FORME PATRATICE

fara a restrânge generalitatea ca i = 1, adica a11 �= 0. În acest context, forma patraticaQ poate fi rescrisa sub forma

Q(x) = a11x21 + 2

n�

j=2

a1jx1xj +n�

i=2

n�

j=2

aijxixj.

Scotând factor comun fortat pe 1/a11 din primii doi termeni si adunând si scazând termenipâna la un patrat perfect, putem rescrie forma patratica Q sub forma

Q(x) =1

a11(a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn)

2 +n�

i=2

n�

j=2

a′ijxixj,

unde a′ij ∈ R, ∀ i, j = 2, n. Facând acum schimbarea de coordonate

x′1x′2...x′n

=

a11 a12 a13 · · · a1n0 1 0 · · · 0...

...... · · · ...

0 0 0 · · · 1

x1x2...xn

,

deducem ca, la nivel de coordonate x′1, x′

2, ..., x′

n ∈ R, forma patratica Q are expresia

Q(x′) =1

a11(x′1)

2 +n�

i=2

n�

j=2

a′ijx′

ix′

j .

Schimbarea de coordonate de mai sus este corespunzatoare unei noi baze

B′ = {e′1, e′2, e′3, ..., e′n},

a carei matrice de schimbare este

MB′B =

a11 a12 a13 · · · a1n0 1 0 · · · 0...

...... · · · ...

0 0 0 · · · 1

.

Evident, forma patratica

Q′(x′) =n�

i=2

n�

j=2

a′ijx′

ix′

j

este o forma patratica definita pe un spatiu vectorial real de dimensiune n− 1. Mai mult,baza în care forma patratica Q′ are expresia analitica de mai sus este determinata devectorii e′2, e

′

3, ..., e′

n.În acest context, daca exista un indice k ∈ {2, 3, ..., n} cu proprietatea ca a′kk �= 0,

atunci aplicam din nou acelasi procedeu al formarii de patrate perfecte pentru formapatratica Q′. În caz contrar, trecem la Cazul 2.

Cazul 2. Sa presupunem ca aii = 0, ∀ i = 1, n. Deoarece forma patratica Q nueste identic nula, deducem ca exista aij �= 0, unde i �= j. Facând acum schimbarea decoordonate

xi = x′i + x′j

xj = x′i − x′j

xk = x′k, ∀ k �= i, j,

REDUCEREA FORMELOR PATRATICE LA FORMA CANONICA 131

gasim ca expresia formei patratice Q devine

Q(x′) =n�

r=1

n�

s=1

a′′rsx′

rx′

s,

unde a′′ii �= 0, deoarece avemxixj = (x′i)

2 − (x′j)2.

Matricea de schimbare a bazei, corespunzatoare acestei schimbari de coordonate, este

MBB′ =

1 0 · · · 0 · · · · · · · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · · · · · · · 0 · · · 0...

.... . .

... · · · · · · · · · ... · · · ...0 0 · · · 1 · · · · · · · · · 1 · · · 0...

......

... · · · · · · · · · ... · · · ......

......

... · · · · · · · · · ... · · · ...0 0 · · · 1 · · · · · · · · · −1 · · · 0...

......

... · · · · · · · · · .... . .

...0 0 · · · 0 · · · · · · · · · 0 · · · 1

,

unde B′ este baza corespunzatoare sistemului de coordonate x′1, x′

2, ..., x′

n. Deoarece dupaaceasta schimbare de coordonate apare un termen la patrat în expresia formei patratice Q,înseamna ca putem aplica acum procedeul de la Cazul 1 pentru ultima expresie analiticaa formei patratice Q.

În final, continuând procedeele combinate de la Cazurile 1 si 2, dupa cel mult n− 1pasi, gasim o baza în raport cu care forma patratica Q sa aiba forma canonica.

Exemplul 4.2.3 Folosind metoda lui Gauss, sa se reduca la forma canonica forma pa-tratica Q : R3 → R, definita în baza canonica a spatiului RR3 prin

Q(x) = 2x1x2 + 2x1x3,

unde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, fara a se preciza baza în care se obtine aceasta forma canonica.Deoarece avem aii = 0, ∀ i = 1, 2, 3 (i.e. nu avem nici un termen la patrat în

expresia formei patratice Q), pornim procedeul cu o schimbare de coordonate ca în Cazul2. Astfel, facând schimbarea de coordonate

x1 = x′1 + x′2

x2 = x′1 − x′2

x3 = x′3,

obtinemQ(x′) = 2(x′1)

2 − 2(x′2)2 + 2x′1x

′

3 + 2x′2x′

3.

În continuare, deoarece exista termeni la patrat în expresia formei patratice Q, putemaplica procedeul din Cazul 1. Cu alte cuvinte, putem forma patrate perfecte în expresiaformei patratice Q, prin adunarea si scaderea unor termeni convenabili. Obtinem astfel

Q(x′) =1

2(2x′1 + x′3)

2 − 1

2(x′3)

2 − 2(x′2)2 + 2x′2x

′

3 =

=1

2(2x′1 + x′3)

2 − 1

2(x′3 − 2x′2)

2.

132 FORME PATRATICE

Facând acum schimbarea de coordonate

x′′1 = 2x′1 + x′3

x′′2 = x′3 − 2x′2

x′′3 = x′3,

gasim forma canonica

Q(x′′) =1

2(x′′1)

2 − 1

2(x′′2)

2.

4.2.2 Metoda lui Jacobi

Metoda lui Jacobi de reducere la forma canonica a formelor patratice este extremde utila când ne trebuie rapid o forma canonica a unei forme patratice (de exemplu, înaprecierea naturii punctelor de extrem ale unei functii reale de mai mult variabile), faraa fi interesati si de baza în care se obtine aceasta forma canonica.

Teorema 4.2.3 (Metoda lui Jacobi) Fie Q : V → R o forma patratica si fie

A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(R)

matricea simetrica a formei patratice într-o baza fixata

B = {e1, e2, ..., en}

a spatiului vectorial real V . Daca determinantii

∆1 = a11, ∆2 =

��a11 a12a12 a22

�� , ∆3 =

��

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

��, ... ,∆n = detA

sunt diferiti de zero, atunci exista o baza

B′ = {f1, f2, ..., fn}

astfel încât expresia analitica a formei patratice Q în baza B′ sa fie

Q(x′) =1

∆1(x′1)

2 +∆1

∆2(x′2)

2 +∆2

∆3(x′3)

2 + ...+∆n−1

∆n(x′n)

2,

unde x′1, x′

2, ..., x′

n sunt coordonatele corespunzatoare bazei B′.

Demonstratie. Sa consideram ca A este aplicatia biliniara si simetrica din care provineforma patratica Q si sa cautam baza

B′ = {f1, f2, ..., fn}

de formaf1 = c11e1,

f2 = c12e1 + c22e2,

...

fn = c1ne1 + c2ne2 + ...+ cnnen,


unde cij ∈ R, ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Sa presupunem ca vectorii bazei B′ verifica proprietatile

A(ei, fj) = 0, ∀ 1 ≤ i < j ≤ n,

siA(ei, fi) = 1, ∀ i = 1, n.

Vom demonstra în continuare ca baza B′ este baza cautata în teorema. Pentru aceastavom arata ca matricea formei patratice Q în baza B′ este matricea diagonala

A′ =

1/∆1 0 0 · · · 00 ∆1/∆2 0 · · · 00 0 ∆2/∆3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · ∆n−1/∆n

.

Prin definitie, matricea A′ a formei patratice Q în baza B′ este descrisa de elementele

a′ij = A(fi, fj) = A�

i�

k=1

ckiek, fj

�

=i�

k=1

ckiA(ek, fj), ∀ i, j = 1, n.

Daca 1 ≤ i < j ≤ n, atunci avem a′ij = 0, deoarece

A(ek, fj) = 0, ∀ 1 ≤ k < j ≤ n.

Din simetria aplicatiei biliniare si simetrice A deducem ca

a′ij = 0, ∀ 1 ≤ j < i ≤ n.

Daca i ∈ {1, 2, ..., n} este un indice fixat, atunci avem

a′ii =i�

k=1

ckiA(ek, fi) = cii.

Este evident ca numerele (constantele) cki, ∀ 1 ≤ k ≤ i, verifica sistemul liniar

A(e1, fi) = c1ia11 + c2ia12 + ...+ ciia1i = 0

A(e2, fi) = c1ia21 + c2ia22 + ...+ ciia2i = 0

...

A(ei−1, fi) = c1iai−1,1 + c2iai−1,2 + ...+ ciiai−1,i = 0

A(ei, fi) = c1iai1 + c2iai2 + ...+ ciiaii = 1.

Determinantul sistemului este ∆i �= 0 si deci, utilizând regula lui Cramer, obtinem

a′ii = cii =∆i−1

∆i

.

134 FORME PATRATICE

Exemplul 4.2.4 Folosind metoda lui Jacobi, sa se reduca la forma canonica forma pa-tratica Q : R3 → R, definita în baza canonica a spatiului RR3 prin

Q(x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3,

unde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, fara a se preciza baza în care se obtine aceasta forma canonica.Matricea formei patratice Q în baza canonica a spatiului RR3 este

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

.

Deoarece determinantii

∆1 = 5, ∆2 =

��5 −2−2 6

�� = 26, ∆3 =

��

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

��= 80

sunt nenuli, rezulta ca exista niste coordonate x′1, x′

2, x′

3 în raport cu care forma patraticaQ sa aiba forma canonica

Q(x′) =1

5(x′1)

2 +5

26(x′2)

2 +13

40(x′3)

2.

4.2.3 Metoda valorilor proprii (a transformarilor ortogonale)

Metoda valorilor proprii (a transformarilor ortogonale) de reducere a formelor patraticela forma canonica este o metoda eficace, ea dând destul de comod si o forma canonica aformei patratice si o baza ortonormata în care se obtine aceasta forma canonica.

Teorema 4.2.4 (Metoda valorilor proprii) Fie (V, �, �) un spatiu vectorial euclidiansi fie Q : V → R o forma patratica pe spatiul vectorial real V . Sa presupunem ca

A = (aij)i,j=1,n ∈Mn(R)

este matricea simetrica a formei patratice Q într-o baza ortonormata fixata

B = {e1, e2, ..., en}.

Atunci, exista o baza ortonormata

B′ = {f1, f2, ..., fn},

formata numai din vectori proprii ai matricii simetrice A, astfel încât expresia analitica aformei patratice Q în baza B′ sa fie (notam cu x′1, x

′

2, ..., x′

n coordonatele corespunzatoarebazei B′)

Q(x′) =n�

i=1

λi(x′

i)2 = λ1 (x

′

1)2+ λ2 (x

′

2)2+ ...+ λn (x

′

n)2,

unde λ1, λ2, ..., λn ∈ R sunt valorile proprii ale matricii simetrice A, fiecare valoare propriefiind scrisa de atâtea ori cât este multiplicitatea sa algebrica.


Demonstratie. Deoarece matricea A a formei patratice Q este o matrice simetrica,rezulta ca ea este diagonalizabila. Sa consideram atunci baza ortonormata

B′ = {f1, f2, ..., fn},

formata numai din vectori proprii ai matricii simetrice A. Putem presupune, fara arestrânge generalitatea, ca baza B′ este ortonormata. Aceasta deoarece, la valori propriidistincte corespund vectori proprii ortogonali (pentru ca matricea A este simetrica) si,mai mult, vectorii din acelasi subspatiu propriu îi putem ortonorma prin procedeul Gram-Schmidt, fara a iesi din subspatiul propriu ambiental.

Evident, baza ortonormata B′ determina forma diagonala

D =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

a matricii simetrice A, unde λ1, λ2, ..., λn ∈ R sunt valorile proprii ale matricii simetriceA. Deoarece bazele B si B′ sunt baze ortonormate, rezulta ca avem relatia matriceala

C · TC = In ⇔ C−1 = TC,

unde C = MBB′ reprezinta matricea de trecere de la baza ortonormata B la baza orto-normata B′.

Observatie. Omatrice patratica C ∈Mn(R), cu proprietatea C· TC = In, se numestematrice ortogonala.

În concluzie, vom avea relatiile matriceale

D = C−1 · A · C = TC · A · C.

Deoarece matricea simetrica A este matricea lui Q în baza ortonormata B, egalitateade mai sus arata ca matricea diagonala D este matricea formei patratice Q în baza orto-normata B′. În concluzie, gasim forma canonica ceruta.

Exemplul 4.2.5 Folosind metoda valorilor proprii, sa se reduca la forma canonica formapatratica Q : R3 → R, definita în baza canonica a spatiului euclidian (R3, �, �) prin

Q(x) = x21 + 7x22 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3,

unde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, precizându-se baza ortonormata în care se obtine aceastaforma canonica. Pentru aceasta, fie

B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}

baza canonica ortonormata a spatiului euclidian (R3, �, �). În aceasta baza, matriceaformei patratice Q este matricea simetrica

A =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

.

136 FORME PATRATICE

Valorile proprii ale matricii simetrice A sunt radacinile ecuatiei caracteristice��

1− λ −4 −8−4 7− λ −4−8 −4 1− λ

��= −(λ− 9)2(λ+ 9) = 0,

adica λ1 = −9, de multiplicitate algebrica m1 = 1, si λ2 = 9, de multiplicitate algebricam2 = 2.


Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

10 −4 −8−4 16 −4−8 −4 10

xyz

=

000

=

=

(x, y, z) ∈ R3

��

10x− 4y − 8z = 0−4x+ 16y − 4z = 0−8x− 4y + 10z = 0

=

= {(2y, y, 2y) | y ∈ R} .

O baza ortonormata a subspatiului propriu Vλ1 este

B1 =

�f1 =

�2

3,1

3,2

3

��.


Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−8 −4 −8−4 −2 −4−8 −4 −8

xyz

=

000

=

=

�(x, y, z) ∈ R3

��

�−8x− 4y − 8z = 0−4x− 2y − 4z = 0

�=

= {(x,−2x− 2z, z) | x, z ∈ R} .

O baza neortonormata a subspatiului propriu Vλ2 este

B′2 = {e′2 = (1,−2, 0), e′3 = (0,−2, 1)} .

Ortonormând aceasta baza a subspatiului propriu Vλ2 prin procedeul Gram-Schmidt, gasimurmatoarea baza ortonormata a subspatiului propriu Vλ2:

B2 =

�f2 =

�1√5,− 2√

5, 0

�, f3 =

�− 4

3√5,− 2

3√5,

5

3√5

��.

În concluzie, baza ortonormata în care se obtine forma canonica a formei patratice Qeste

B′ =

�f1 =

�2

3,1

3,2

3

�, f2 =

�1√5,− 2√

5, 0

�, f3 =

�− 4

3√5,− 2

3√5,

5

3√5

��.

Cu alte cuvinte, facând schimbarea de coordonate (transformarea ortogonala)

x1x2x3

=

2/3 1/

√5 −4/3

√5

1/3 −2/√5 −2/3

√5

2/3 0 5/3√5

x′1x′2x′3

,

gasim forma canonica a formei patratice:

Q(x′) = −9(x′1)2 + 9(x′2)

2 + 9(x′3)2.


4.3 Signatura unei forme patratice

Sa consideram ca V este un R-spatiu vectorial de dimensiune dimR V = n si ca

Q(x) =n�

i=1

aix2i ,

unde ai ∈ R, ∀ i = 1, n, este o forma patratica aflata în forma canonica. Fie p ∈ Nnumarul de coeficienti a1, a2, ..., an care sunt strict pozitivi, q ∈ N numarul de coeficientistrict negativi si d = n− (p+ q) ∈ N numarul de coeficienti egali cu zero.

Definitia 4.3.1 Tripletul de numere naturale, notat

σ(Q) = (p, q, d) ∈ N3,

se numeste signatura formei patratice Q.

Vom demonstra în continuare ca desi forma canonica a unei forme patratice nu esteunica totusi toate formele canonice ale aceleiasi forme patratice au aceeasi signatura.

Teorema 4.3.2 (Legea de inertie) Signatura unei forme patratice Q este aceeasi pen-tru orice forma canonica a lui Q.

Demonstratie. Sa consideram doua baze

B = {e1, e2, ..., en}

siB′ = {e′1, e′2, ..., e′n}

în spatiul vectorial real V , astfel încât expresia analitica a formei patratice Q relativ lacele doua baze sa fie una canonica:

Q(x) =n�

i=1

aix2i si Q(x) =

n�

i=1

a′i(x′

i)2,

unde ai, a′i ∈ R, ∀ i = 1, n, si avem

x =n�

i=1

xiei si x =n�

j=1

x′je′

j .

Putem presupune, fara a restrânge generalitatea, ca

ai, a′

i ∈ {−1, 0, 1}, ∀ i = 1, n,

deoarece, în caz contrar, facem o schimbare de coordonate de forma:

x′′i =�

|ai| · xi, ∀ i = 1, n, sau x′′i =�

|a′i| · x′i, ∀ i = 1, n.

Mai mult chiar, putem sa presupunem (printr-o eventuala renumerotare) ca în expresiacanonica a formei patratice Q relativ la baza B (respectiv B′) primii p (respectiv p′)

138 FORME PATRATICE

coeficienti sunt strict pozitivi, urmatorii q (respectiv q′) coeficienti sunt strict negativi iarultimii d (respectiv d′) sunt nuli. Atunci avem

Q(x) =

p�

i=1

x2i −p+q�

i=p+1

x2i =

p′�

i=1

(x′i)2 −

p′+q′�

i=p′+1

(x′i)2.

Vom demonstra acum ca p = p′ si q = q′. Pentru aceasta sa presupunem prin absurdca p > p′ si sa consideram subspatiile

U = L({e1, e2, ..., ep}) si U ′ = L({e′p′+1, e′p′+2, ..., e′n}).

Evident dimensiunile subspatiilor U si U ′ sunt

dimR U = p si dimRU′ = n− p′.

Deoarece avem relatia

dimR U + dimR U′ = p+ n− p′ > n = dimR V,

rezulta ca subspatiile U si U ′ nu se afla în suma directa, adica

U ∩ U ′ �= {0V }.

Prin urmare, exista un vector nenul x ∈ U ∩ U ′ de forma

x = x1e1 + x2e2 + ...+ xpep = x′p′+1e′

p′+1 + x′p′+2e′

p′+2 + ...+ x′ne′

n

care verifica relatiile

0 ≤ x21 + x22 + ...+ x2p = Q(x) = −(x′p′+1)2 − (x′p′+2)

2 − ...− (x′n)2 ≤ 0.

Din aceste relatii rezulta ca

x1 = x2 = .. = xp = x′p′+1 = x′p′+2 = ... = x′n = 0,

adica avem x = 0. Acest lucru se afla în contradictie cu alegerea vectorului x ∈ U ∩ U ′.Aceasta contradictie este furnizata de presupunerea p > p′. Analog, presupunerea p′ > pne conduce la o contradictie. În consecinta, avem p = p′. Prin aceeasi metoda se arata caq = q′ si deci d = d′. Rezulta ca avem

(p, q, d) = (p′, q′, d′).

Exemplul 4.3.3 Folosind, pe rând, metoda lui Gauss, metoda lui Jacobi si metoda valo-rilor proprii, sa se reduca la forma canonica forma patratica

Q : R3 → R,

definita în baza canonica a spatiului vectorial real RR3 prin

Q(x) = x21 + x22 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3,

unde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, verificându-se Legea de inertie pentru formele canoniceobtinute.

SIGNATURA UNEI FORME PATRATICE 139

1. Metoda lui Gauss. Deoarece în expresia formei patratice Q apar termeni la patrat,putem aduna si scadea termeni pentru a obtine patrate perfecte. Astfel avem

Q(x) = (x22 − 4x1x2) + x21 + 4x23 − 4x1x3 =

= (x2 − 2x1)2 − 3x21 + 4x23 − 4x1x3 =

= (x2 − 2x1)2 + 4(x23 − x1x3)− 3x21 =

= (x2 − 2x1)2 + 4

78x3 −

x12

92− x21

4

:− 3x21 =

= (x2 − 2x1)2 + 4

8x3 −

x12

92− 4x21.

Efectuând acum schimbarea de coordonate

x′1 = x2 − 2x1

x′2 = x3 −x12

x′3 = x1,

obtinem forma canonica

Q(x′) = (x′1)2 + 4(x′2)

2 − 4(x′3)2.

Evident, signatura formei patratice Q este

σ(Q) = (2, 1, 0).

2. Metoda lui Jacobi. Matricea formei patratice Q în baza canonica a spatiuluivectorial real RR3 este matricea simetrica

A =

1 −2 −2−2 1 0−2 0 4

.

Deoarece determinantii

∆1 = 1, ∆2 =

��1 −2−2 1

�� = −3, ∆3 =

��

1 −2 −2−2 1 0−2 0 4

��= −16,

sunt nenuli, rezulta ca exista un sistem de coordonate x′′1, x′′

2, x′′

3 în raport cu careforma patratica Q sa aiba forma canonica

Q(x′′) = (x′′1)2 − 1

3(x′′2)

2 +3

16(x′′3)

2.


σ(Q) = (2, 1, 0).

3. Metoda valorilor proprii. Valorile proprii ale matricii A a formei patratice Qsunt radacinile ecuatiei caracteristice

PA(λ) =

��

1− λ −2 −2−2 1− λ 0−2 0 4− λ

��= −λ3 + 6λ2 − λ− 16 = 0.

140 FORME PATRATICE

Deoarece functia polinomiala PA(λ) este o functie continua pe multimea numerelorreale R si întrucât avem schimbarile de semn

PA(−2) = 18 > 0, PA(0) = −16 < 0, PA(3) = 8 > 0 si PA(6) = −22 < 0,

rezulta ca polinomul caracteristic PA(λ) are trei radacini reale:

λ1 ∈ (−2, 0), λ2 ∈ (0, 3) si λ3 ∈ (3, 6).

Prin urmare, exista un sistem de coordonate x′′′1 , x′′′

2 , x′′′

3 în raport cu care formapatratica Q sa aiba forma canonica

Q(x′′′) = λ1(x′′′

1 )2 + λ2(x

′′′

2 )2 + λ3(x

′′′

3 )2.


σ(Q) = (2, 1, 0),

deoarece avemλ1 < 0, λ2 > 0 si λ3 > 0.

Definitia 4.3.4 O forma patratica Q : V → R se numeste pozitiv definita daca aresignatura

σ(Q) = (n, 0, 0),

unde n = dimR V .

Observatia 4.3.5 O forma patratica Q : V → R este pozitiv definita daca într-o formacanonica fixata toti coeficientii care apar sunt strict pozitivi.

Definitia 4.3.6 O forma patratica Q : V → R se numeste negativ definita daca aresignatura

σ(Q) = (0, n, 0),

unde n = dimR V .

Observatia 4.3.7 O forma patratica Q : V → R este negativ definita daca într-o formacanonica fixata toti coeficientii care apar sunt strict negativi.

Reducerea la forma canonica a formelor patratice prin metoda lui Jacobi si metodavalorilor proprii ne permite sa obtinem urmatoarele conditii necesare si suficiente ca oforma patratica Q : V → R sa fie pozitiv definita.

Corolarul 4.3.8 (Criteriul lui Sylvester de pozitiv definire) O forma patratica

Q : V → R

este pozitiv definita daca si numai daca una din urmatoarele conditii este îndeplinita:

1. Toti determinantii ∆i verifica inegalitatile

∆i > 0, ∀ i = 1, n;

SIGNATURA UNEI FORME PATRATICE 141

2. Toate valorile proprii ale matricii simetrice A a formei patratice Q sunt strict po-zitive.

Reducerea la forma canonica a formelor patratice prin metoda lui Jacobi si metodavalorilor proprii ne permite sa obtinem urmatoarele conditii necesare si suficiente ca oforma patratica Q : V → R sa fie negativ definita.

Corolarul 4.3.9 (Criteriul lui Sylvester de negativ definire) O forma patratica

Q : V → R

este negativ definita daca si numai daca una din urmatoarele conditii este îndeplinita:

1. Toti determinantii ∆i verifica inegalitatile

(−1)i∆i > 0, ∀ i = 1, n;

2. Toate valorile proprii ale matricii simetrice A a formei patratice Q sunt strict ne-gative.

Exemplul 4.3.10 Utilizând criteriul lui Sylvester, sa se determine valorile λ ∈ R astfelîncât forma patratica Q : R3 → R, definita în baza canonica a spatiului vectorial real RR3

prinQ(x) = −x21 − 2x22 − 2x23 − 2λx1x2 + 4x1x3 + 8x2x3,

unde x = (x1, x2, x3) ∈ R3, sa fie pozitiv (respectiv negativ) definita.Matricea formei patratice Q în baza canonica a spatiului vectorial real RR3 este ma-

tricea simetrica

A =

−1 −λ 2−λ −2 42 4 −2

.

Prin urmare, avem determinantii

∆1 = −1, ∆2 =

��−1 −λ−λ −2

�� = 2− λ2, ∆3 =

��

−1 −λ 2−λ −2 42 4 −2

��= 2(λ2 − 8λ+ 10).

Conform criteriului lui Sylvester, forma patratica Q este pozitiv definita daca avem

∆1 > 0

∆2 > 0

∆3 > 0

⇔

−1 > 0

2− λ2 > 0

λ2 − 8λ+ 10 > 0

⇔ λ ∈ ∅.

Conform criteriului lui Sylvester, forma patratica Q este negativ definita daca avem

∆1 < 0

∆2 > 0

∆3 < 0

⇔

−1 < 0

2− λ2 > 0

λ2 − 8λ+ 10 < 0

⇔

λ ∈ Rλ ∈ (−

√2,√2)

λ ∈ (4−√6, 4 +

√6)

⇔ λ ∈ ∅.

142 FORME PATRATICE


1. Fie A : R3 × R3 → R o aplicatie biliniara si simetrica, a carei expresie analitica înbaza canonica este

A(x, y) = 2x1y1 + 3x1y2 + 3x2y1 − x1y3 − x3y1 + x2y2 −−x2y3 − x3y2 + 2x3y3.

(a) Sa se scrie matricea lui A în baza canonica si în baza

B′ = {e′1 = (1, 1, 1), e′2 = (1, 1, 0), e′3 = (1, 0, 0)}.

(b) Sa se determine forma patratica asociata lui A.

Rezolvare. (a) Fie B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} baza canonicaîn R3. Atunci, matricea lui A în baza canonica B este

A =

2 3 −13 1 −1−1 −1 2

.

Deoarece matricea de trecere de la baza B la baza B′ este

C =

1 1 11 1 01 0 0

,

rezulta ca matricea lui A în baza B′ este

A′ = TC · A · C =

7 7 47 9 54 5 2

.

(b) Forma patratica asociata lui A este

Q(x) = A(x, x) = 2x21 + x22 + 2x23 + 6x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.

2. Pentru formele patratice Q : Rn → R de mai jos, sa se determine aplicatiile biliniaresi simetrice din care provin, precum si matricea lor în baza canonica:

(a) Q : R2 → R, Q(x) = −18x1x2 + 9x22.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = 2x21 − 6x1x2 + 3x23.

(c) Q : R4 → R, Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x4.

Rezolvare. (a) Aplicatia biliniara si simetrica din care provine forma patratica Qeste data de formula

A(x, y) =1

2[Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)] =

=1

2

'−18(x1 + y1)(x2 + y2) + 9(x2 + y2)

2+

+18x1x2 − 9x22 + 18y1y2 − 9y22(

= −9x1y2 − 9x2y1 + 9x2y2.


Prin urmare, matricea în baza canonica a lui Q este

A =

�0 −9−9 9

�.

(b) Folosind formula anterioara, gasim

A(x, y) =1

2

'2(x1 + y1)

2 − 6(x1 + y1)(x2 + y2) + 3(x3 + y3)2−

−2x21 + 6x1x2 − 3x23 − 2y21 + 6y1y2 − 3y23(

= 2x1y1 − 3x1y2 − 3x2y1 + 3x3y3.

Matricea în baza canonica a lui Q este

A =

2 −3 0−3 0 00 0 3

.

(c) Utilizând din nou formula de mai sus, obtinem aplicatia biliniara si simetrica

A(x, y) =1

2x1y2 +

1

2x2y1 +

1

2x2y3 +

1

2x3y2 +

1

2x3y4 +

1

2x4y3,

a carei matrice este (matricea lui Q)

A =

0 1/2 0 01/2 0 1/2 00 1/2 0 1/20 0 1/2 0

.

3. Formele patratice Q : Rn → R de mai jos sunt date în baza canonica B a lui Rn.Sa se scrie aceste forme în baza

B′ = {e′1, e′2, ..., e′n} ⊂ Rn,

în cazurile:

(a) Q : R2 → R, Q(x) = 3x21 + 10x1x2 + 9x22, unde

e′1 = 2e1 − e2, e′2 = e1 − e2.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = 3x21 + 4x1x2 + 4x1x3 − x23, unde

e′1 = e1 + e2 + e3, e′2 = 2e1 − e2 + e3, e′3 = −e1 + 2e2 − 3e3.

Rezolvare. (a) Matricea de trecere de la baza B la baza B′ este

C =

�2 1−1 −1

�

iar matricea lui Q în baza canonica este

A =

�3 55 9

�.

144 FORME PATRATICE

Prin urmare, matricea lui Q în baza B′ este

A′ = TC · A · C =

�1 00 2

�.

În concluzie, expresia analitica a lui Q în baza B′ este

Q(x′) = TX ′ · A′ ·X ′ = (x′1)2+ 2 (x′2)

2 ,

unde X ′ = T�x′1 x′2

�.

(b) Matricea de trecere de la baza B la baza B′ este

C =

1 2 −11 −1 21 1 −3

iar matricea lui Q în baza canonica este

A =

3 2 22 0 02 0 −1

.

Prin urmare, matricea lui Q în baza B′ este

A′ = TC · A · C =

10 13 −613 11 −7−6 −7 −2

.

În concluzie, expresia analitica a lui Q în baza B′ este

Q(x′) = TX ′ ·A′ ·X ′ =

= 10 (x′1)2+ 11 (x′2)

2 − 2 (x′3)2+ 26x′1x

′

2 − 12x′1x′

3 − 14x′2x′

3,

unde X ′ = T�x′1 x′2 x′3

�.

4. Utilizând metoda lui Gauss, sa se gaseasca forma canonica si signatura formelorpatratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definite si caresunt negativ definite?

(a) Q : R2 → R, Q(x) = 4x21 + 4x1x2 + 5x22.

(b) Q : R2 → R, Q(x) = −x1x2.(c) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + x22 + 4x23 + 4x1x3 + 2x2x3.

(d) Q : R3 → R, Q(x) = x1x2 + x1x3 + x2x3.

(e) Q : R3 → R, Q(x) = 2x21 + 9x22 + 19x23 + 8x1x2 + 4x1x3.

(f) Q : R4 → R, Q(x) = x21 + 2x22 + 2x23 + 3x24 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x4.

Rezolvare. (a) Deoarece în expresia lui Q avem patrate, formam patrate perfectesi obtinem

Q(x) = 4(x21 + x1x2) + 5x22 =

= 4

78x1 +

x22

92− x22

4

:+ 5x22 =

= 48x1 +

x22

92+ 4x22.


Efectuând schimbarea de coordonate

x′1 = x1 +

x22

x′2 = x2,

gasim forma canonicaQ(x′) = 4 (x′1)

2+ 4 (x′2)

2 .

Signatura formei patratice Q este σ(Q) = (2, 0, 0), adica forma patratica este pozitivdefinita.

(b) Deoarece în expresia lui Q nu avem patrate, efectuam schimbarea de coordonate�x1 = x′1 + x′2

x2 = x′1 − x′2

si gasim forma canonicaQ(x′) = − (x′1)

2+ (x′2)

2 .

Signatura formei patratice Q este σ(Q) = (1, 1, 0), adica forma patratica nu estenici pozitiv definita, nici negativ definita.

(c) Deoarece în expresia lui Q avem patrate, formam patrate perfecte si obtinem

Q(x) =�x21 + 4x1x3

�+ x22 + 4x23 + 2x2x3 =

= (x1 + 2x3)2 + x22 + 2x2x3 =

= (x1 + 2x3)2 + (x2 + x3)

2 − x23.


x′1 = x1 + 2x3

x′2 = x2 + x3

x′3 = x3,

gasim forma canonicaQ(x′) = (x′1)

2+ (x′2)

2 − (x′3)2 .


(d) Deoarece în expresia lui Q nu avem patrate, efectuam schimbarea de coordonate

x1 = x′1 + x′2

x2 = x′1 − x′2

x3 = x′3

si gasimQ(x′) = (x′1)

2 − (x′2)2+ 2x′1x

′

3.

Restrângem acum patratele si obtinem

Q(x′) =;(x′1)

2+ 2x′1x

′

3

<− (x′2)

2=

= (x′1 + x′3)2 − (x′3)

2 − (x′2)2 .

146 FORME PATRATICE


x′′1 = x′1 + x′3

x′′2 = x′3

x′′3 = x′2,


Q(x′′) = (x′′1)2 − (x′′2)

2 − (x′′3)2 .


(e) Deoarece în expresia lui Q avem patrate, formam patrate perfecte si obtinem

Q(x) = 2x21 + 9x22 + 19x23 + 8x1x2 + 4x1x3 =

= 2�x21 + 4x1x2 + 2x1x3

�+ 9x22 + 19x23 =

= 2'(x1 + 2x2 + x3)

2 − 4x22 − x23 − 4x2x3(+ 9x22 + 19x23 =

= 2 (x1 + 2x2 + x3)2 + x22 + 17x23 − 8x2x3 =

= 2 (x1 + 2x2 + x3)2 + (x2 − 4x3)

2 + x23.


x′1 = x1 + 2x2 + x3

x′2 = x2 − 4x3

x′3 = x3,


Q(x′) = 2 (x′1)2+ (x′2)

2+ (x′3)

2 .


(f) Deoarece în expresia lui Q avem patrate, formam patrate perfecte si obtinem

Q(x) = x21 + 2x22 + 2x23 + 3x24 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x4 =

= x21 + 2x1x2 + 2x22 + 2x23 + 3x24 + 2x2x3 + 2x3x4 =

= (x1 + x2)2 + x22 + 2x2x3 + 2x23 + 3x24 + 2x3x4 =

= (x1 + x2)2 + (x2 + x3)

2 + x23 + 2x3x4 + 3x24 =

= (x1 + x2)2 + (x2 + x3)

2 + (x3 + x4)2 + 2x24.


x′1 = x1 + x2

x′2 = x2 + x3

x′3 = x3 + x4

x′4 = x4,



Q(x′) = (x′1)2+ (x′2)

2+ (x′3)

2+ 2 (x′4)

2 .


5. Utilizând metoda lui Jacobi, sa se gaseasca forma canonica si signatura formelorpatratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definite si caresunt negativ definite? Sa se precizeze care este baza spatiului în care se obtine formacanonica respectiva.

(a) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 8x22 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 7x22 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3.

Rezolvare. (a) Matricea în baza canonica a formei patratice Q este

A =

1 8 28 8 22 2 1

iar determinantii corespunzatori sunt

∆1 = 1 �= 0, ∆2 =

��1 88 8

�� = −56 �= 0, ∆3 =

��

1 8 28 8 22 2 1

��= −28 �= 0.

Prin urmare, forma canonica este

Q(x′) = (x′1)2 − 1

56(x′2)

2+ 2 (x′3)

2 .


Pentru a gasi baza în care se obtine aceasta forma canonica, luam vectorul e′1 = c11e1si determinam scalarul c11 ∈ R din conditia

A(e′1, e1) = 1 ⇒ c11 = 1.

Cu alte cuvinte, aveme′1 = e1 = (1, 0, 0).

Consideram apoi e′2 = c21e1 + c22e2 si determinam scalarii c21, c22 ∈ R din sistemul�

A(e′2, e1) = 0

A(e′2, e2) = 1⇒�c21 + 8c22 = 0

8c21 + 8c22 = 1⇒ c21 =

1

7, c22 = − 1

56.

Cu alte cuvinte, avem

e′2 =1

7e1 −

1

56e2 =

�1

7,− 1

56, 0

�.

148 FORME PATRATICE

În final, consideram e′3 = c31e1+ c32e2+ c33e3 si determinam scalarii c31, c32, c33 ∈ Rdin sistemul

A(e′3, e1) = 0

A(e′3, e2) = 0

A(e′3, e3) = 1

⇒

c31 + 8c32 + 2c33 = 0

8c31 + 8c32 + 2c33 = 0

2c31 + 2c32 + c33 = 1

⇒

⇒ c31 = 0, c32 = −1

2, c33 = 2.


e′3 = −1

2e2 + 2e3 =

�0,−1

2, 2

�.

(b) Matricea în baza canonica a formei patratice Q este

A =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1


∆1 = 1, ∆2 =

��1 −4−4 7

�� = −9, ∆3 =

��

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

��= −729.


Q(x′) = (x′1)2 − 1

9(x′2)

2+

1

81(x′3)

2 .


Luam vectorul e′1 = c11e1 si determinam scalarul c11 ∈ R din conditia

A(e′1, e1) = 1 ⇒ c11 = 1.

Cu alte cuvinte, aveme′1 = e1 = (1, 0, 0).

Consideram acum e′2 = c21e1+ c22e2 si determinam scalarii c21, c22 ∈ R din sistemul

�A(e′2, e1) = 0

A(e′2, e2) = 1⇒�c21 − 4c22 = 0

−4c21 + 7c22 = 1⇒ c21 = −4

9, c22 = −1

9.


e′2 = −4

9e1 −

1

9e2 =

�−4

9,−1

9, 0

�.


În final, consideram vectorul e′3 = c31e1 + c32e2 + c33e3 si determinam scalariic31, c32, c33 ∈ R din sistemul

A(e′3, e1) = 0

A(e′3, e2) = 0

A(e′3, e3) = 1

⇒

c31 − 4c32 − 8c33 = 0

−4c31 + 7c32 − 4c33 = 0

−8c31 − 4c32 + c33 = 1

⇒

⇒ c31 = − 8

81, c32 = − 4

81, c33 =

1

81.


e′3 = − 8

81e1 −

4

81e2 +

1

81e3 =

�− 8

81,− 4

81,1

81

�.

6. Sa se determine valorile parametrului λ ∈ R pentru care formele patratice de maijos sunt pozitiv definite sau negativ definite.

(a) Q : R2 → R, Q(x) = λx21 + (λ+ 3)x22 − 4x1x2.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = λx21 + 8x22 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.


A =

�λ −2−2 λ+ 3

�


∆1 = λ, ∆2 =

��λ −2−2 λ + 3

�� = λ2 + 3λ− 4.

Conform criteriului lui Sylvester, forma patratica Q este pozitiv definita daca sinumai daca

�∆1 > 0∆2 > 0

⇔�λ > 0λ2 + 3λ− 4 > 0

⇔�λ ∈ (0,∞)λ ∈ (−∞,−4) ∪ (1,∞)

⇒

⇒ λ ∈ (1,∞).

Forma patratica Q este negativ definita daca si numai daca�

∆1 < 0∆2 > 0

⇔�λ < 0λ2 + 3λ− 4 > 0

⇔�λ ∈ (−∞, 0)λ ∈ (−∞,−4) ∪ (1,∞)

⇒

⇒ λ ∈ (−∞,−4).


A =

λ 8 28 8 22 2 1

150 FORME PATRATICE


∆1 = λ, ∆2 =

��λ 88 8

�� = 8(λ− 8), ∆3 =

��

λ 8 28 8 22 2 1

��= 4(λ− 8).

Conform criteriului lui Sylvester, forma patratica Q este pozitiv definita daca sinumai daca

∆1 > 0∆2 > 0∆3 > 0

⇔

λ > 0λ− 8 > 0λ− 8 > 0

⇒ λ ∈ (8,∞).

Forma patratica Q este negativ definita daca si numai daca

∆1 < 0∆2 > 0∆3 < 0

⇔

λ < 0λ− 8 > 0λ− 8 < 0

⇒ λ ∈ ∅.

7. Utilizând metoda valorilor proprii, sa se gaseasca forma canonica si signatura for-melor patratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definitesi care sunt negativ definite? Sa se precizeze baza ortonormata în care se obtineforma canonica respectiva.

(a) Q : R3 → R, Q(x) = −x21 + x22 − 5x23 + 6x1x3 + 4x2x3.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = 3x21 + 6x22 + 3x23 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3.


A =

−1 0 30 1 23 2 −5

.

Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��

−1− λ 0 30 1− λ 23 2 −5− λ

��= 0 ⇔ λ(λ− 2)(λ+ 7) = 0,

adica avem valorile proprii λ1 = 0, λ2 = 2 si λ3 = −7. Prin urmare, forma canonicaa formei patratice Q este

Q(x′) = 2 (x′2)2 − 7 (x′3)

2 .



Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−1 0 30 1 23 2 −5

xyz

=

000

=

= {(3z,−2z, z) | z ∈ R}.


O baza a subspatiului propriu Vλ1 este B1 = {f1 = (3,−2, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ2 = 2 este

Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−3 0 30 −1 23 2 −7

xyz

=

000

=

= {(z, 2z, z) | z ∈ R}.

O baza a subspatiului propriu Vλ2 este B2 = {f2 = (1, 2, 1)}.Subspatiul propriu asociat valorii proprii λ3 = −7 este

Vλ3 =

(x, y, z) ∈ R3

��

6 0 30 8 23 2 2

xyz

=

000

=

="8

x,x

2,−2x

9 �� x ∈ R#.

O baza a subspatiului propriu Vλ3 este B3 = {f3 = (2, 1,−4)}.Baza în care se obtine forma canonica a luiQ este baza ortonormataB′ = {e′1, e′2, e′3},unde

e′1 =f1

||f1||=

1√14

(3,−2, 1),

e′2 =f2

||f2||=

1√6(1, 2, 1),

e′3 =f3

||f3||=

1√21

(2, 1,−4).

Cu alte cuvinte, transformarea ortogonala

x1x2x3

=

3/√14 1/

√6 2/

√21

−2/√14 2/

√6 1/

√21

1/√14 1/

√6 −4/

√21

x′1x′2x′3

conduce la forma canonica a formei patratice Q.


A =

3 −2 −4−2 6 −2−4 −2 3

.

Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei caracteristice��

3− λ −2 −4−2 6− λ −2−4 −2 3− λ

��= 0 ⇔ (λ− 7)2(λ+ 2) = 0,

adica avem valorile proprii λ1 = 7 si λ2 = −2, de multiplicitate algebrica m1 = 2 sim2 = 1. Prin urmare, forma canonica a formei patratice Q este

Q(x′) = 7 (x′1)2+ 7 (x′2)

2 − 2 (x′3)2 .

152 FORME PATRATICE



Vλ1 =

(x, y, z) ∈ R3

��

−4 −2 −4−2 −1 −2−4 −2 −4

xyz

=

000

=

= {(x,−2x− 2z, z) | x, z ∈ R}.

O baza neortonormata a subspatiului propriu Vλ1 este

B1 = {f1 = (1,−2, 0), f2 = (0,−2, 1)}.


Vλ2 =

(x, y, z) ∈ R3

��

5 −2 −4−2 8 −2−4 −2 5

xyz

=

000

=

= {(2y, y, 2y) | y ∈ R}.

O baza a subspatiului propriu Vλ2 este B2 = {f3 = (2, 1, 2)}.Ortonormând prin procedeul Gram-Schmidt baza B = {f1, f2, f3}, gasim baza orto-normata B′ = {e′1, e′2, e′3}, unde

e′1 =

√5

5(1,−2, 0),

e′2 =

√5

15(−4,−2, 5),

e′3 =1

3(2, 1, 2),

în care se obtine forma canonica a lui Q. Cu alte cuvinte, transformarea ortogonala

x1x2x3

=

√5/5 −4

√5/15 2/3

−2√5/5 −2

√5/15 1/3

0 5√5/15 2/3

x′1x′2x′3

conduce la forma canonica a formei patratice Q.

8. Fie Q : R3 → R o forma patratica exprimata în baza canonica prin

Q(x) = 5x21 + 6x22 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3.

Utilizând metodele Gauss, Jacobi si a valorilor proprii, sa se reduca Q la formacanonica (fara a se preciza neaparat bazele în care se obtin acestea) si apoi sa severifice Legea de inertie.


Rezolvare. Metoda lui Gauss: Deoarece în expresia lui Q avem patrate, formampatrate perfecte si obtinem

Q(x) = 6x22 − 4x1x2 + 5x21 + 4x23 − 4x1x3 =

= 6

�x22 −

2

3x1x2

�+ 5x21 + 4x23 − 4x1x3 =

= 6

78x2 −

x13

92− x21

9

:+ 5x21 + 4x23 − 4x1x3 =

= 68x2 −

x13

92+ 4x23 − 4x1x3 +

13

3x21 =

= 68x2 −

x13

92+ 48x3 −

x12

92+

10

3x21.


x′1 = x2 −x13

x′2 = x3 −x12

x′3 = x1,


Q(x′) = 6 (x′1)2+ 4 (x′2)

2+

10

3(x′3)

2 .


Metoda lui Jacobi: Matricea în baza canonica a formei patratice Q este

A =

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4


∆1 = 5, ∆2 =

��5 −2−2 6

�� = 26, ∆3 =

��

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

��= 80.


Q(x′′) =1

5(x′′1)

2+

5

26(x′′2)

2+

13

40(x′′3)

2 .


Metoda valorilor proprii: Valorile proprii ale matricii A sunt solutiile ecuatiei ca-racteristice

��

5− λ −2 −2−2 6− λ 0−2 0 4− λ

��= 0 ⇔ (λ− 2)(λ− 5)(λ− 8) = 0,

154 FORME PATRATICE

adica avem valorile proprii λ1 = 2, λ2 = 5 si λ3 = 8. Prin urmare, forma canonicaa formei patratice Q este

Q(x′′′) = 2 (x′′′1 )2+ 5 (x′′′2 )

2+ 8 (x′′′3 )

2 .



1. Sa se studieze care dintre urmatoarele aplicatii sunt biliniare si simetrice:

(a) A : R2 ×R2 → R, A (x, y) = 2x1y1 − 3x2y2 + 7x1y2 + 7x2y1.

(b) A : R3 ×R3 → R, A (x, y) = x1y3 + x2y2 − 3x3y1.

(c) A : R3 ×R3 → R, A (x, y) = x21y2 + x3y1.

R. (a) Biliniara si simetrica. (b) Biliniara, dar nesimetrica. (c) Nici biliniara, nicisimetrica.

2. Fie A : R3 × R3 → R o aplicatie biliniara si simetrica, a carei expresie analitica înbaza canonica este A(x, y) = 2x1y2 + 2x2y1 − 3x3y3.

(a) Sa se scrie matricea lui A în baza canonica si în baza

B′ = {e′1 = (1, 1, 0), e′2 = (1, 0, 1), e′3 = (0, 1, 1)}.

(b) Sa se determine forma patratica asociata lui A.

R. (a) A =

0 2 02 0 00 0 −3

, A′ =

4 2 22 −3 −12 −1 −3

.

(b) Q(x) = A(x, x) = 4x1x2 − 3x23.

3. Pentru formele patratice Q : Rn → R de mai jos, sa se determine formele biliniaresi simetrice din care provin, precum si matricea lor în baza canonica:

(a) Q : R2 → R, Q(x) = 4x21 − 6x1x2 + 5x22.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 4x1x2 + 4x1x3 + 5x22 + 12x2x3 + 7x23.

(c) Q : R4 → R, Q(x) = 2x21 + 3x22 + x24 + 2x1x2 + 4x2x3 − x3x4.

R. (a) A(x, y) = 4x1y1 − 3x1y2 − 3x2y1 + 5x2y2; A =

�4 −3−3 5

�.

(b) A(x, y) = x1y1+2x1y2+2x2y1+2x1y3+2x3y1+5x2y2+6x2y3+6x3y2+7x3y3;

A =

1 2 22 5 62 6 7

.


(c) A(x, y) = 2x1y1 + 3x2y2 + x4y4 + x1y2 + x2y1 + 2x2y3 + 2x3y2 −1

2x3y4 −

1

2x4y3;

A =

2 1 0 01 3 2 00 2 0 −1/20 0 −1/2 1

.

4. Formele patratice Q : Rn → R de mai jos sunt date în baza canonica B a lui Rn. Sase scrie aceste forme în baza B′ = {e′1, e′2, ..., e′n} ⊂ Rn, în cazurile:

(a) Q : R2 → R, Q(x) = 25x21 − 14x1x2 + 2x22, unde e′

1 = e1 + e2, e′

2 = −e1 + e2.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 2x1x2 − x1x3 − x22 + 2x2x3 + x23, unde

e′1 = 2e1 − e3, e′2 = −e1 + 2e2 − e3, e′3 = −e2 + e3.

(c) Q : R3 → R, Q(x) = 5x21 + 5x22 + 3x23 + 2x1x2 + 2√2x1x3 + 2

√2x2x3, unde

e′1 = e1 + e2 − 2√2e3, e′2 = e1 − e2, e′3 =

√2e1 +

√2e2 + e3.

(d) Q : R4 → R, Q(x) = x1x2 + x2x3 + x3x4, unde

e′1 = e1 + e2 + e3 + e4, e′2 = e2 + e3 + e4, e′3 = e3 + e4, e′4 = e4.

R. (a) Q(x′) = 13 (x′1)2 − 46x′1x

′

2 + 41 (x′2)2.

(b) Q(x′) = 7 (x′1)2 − 11 (x′2)

2 − 2 (x′3)2 + 3x′1x

′

2 − 6x′1x′

3 + 11x′2x′

3.

(c) Q(x′) = 20 (x′1)2 + 8 (x′2)

2 + 35 (x′3)2.

(d) Q(x′) = 3 (x′1)2 + 2 (x′2)

2 + (x′3)2 + 5x′1x

′

2 + 3x′1x′

3 + x′1x′

4 + 3x′2x′

3 + x′2x′

4 + x′3x′

4.

5. Utilizând metoda lui Gauss, sa se gaseasca forma canonica si signatura formelorpatratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definite si caresunt negativ definite?

(a) Q : R2 → R, Q(x) = x21 − x1x2 − x22.

(b) Q : R2 → R, Q(x) = −16x21 + 24x1x2 − 9x22.

(c) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 2x1x2 + 9x22 + 4x1x3 + 19x23.

(d) Q : R3 → R, Q(x) = 9x21 − 12x1x2 − 6x1x3 + 4x22 + 4x2x3 + x23.

(e) Q : R3 → R, Q(x) = 8x21 + 16x1x2 + 8x22 + 4x1x3 + 4x2x3 + x23.

(f) Q : R3 → R, Q(x) = x1x2 − x1x3 + 2x2x3.

(g) Q : R4 → R, Q(x) = x1x2 + 2x2x3 − 3x3x4.

R. (a) Q(x′) = (x′1)2 − 5

4(x′2)

2 , unde x′1 = x1 −x22; x′2 = x2.

(b) Q(x′) = − (x′1)2 , unde x′1 = 4x1 − 3x2; x

′

2 = x2.

(c) Q(x′) = (x′1)2 + 8 (x′2)

2 +29

2(x′3)

2 , unde x′1 = x1 + x2 + 2x3; x′

2 = x2 −x34;

x′3 = x3.

(d) Q(x′) = (x′1)2 , unde x′1 = 3x1 − 2x2 − x3; x

′

2 = x2; x′

3 = x3.

156 FORME PATRATICE

(e) Q(x′) = 8 (x′1)2 +

1

2(x′2)

2 , unde x′1 = x1 + x2 +x34; x′2 = x3; x

′

3 = x2.

(f) Q(x′′) = (x′′1)2 − (x′′2)

2 + 2 (x′′3)2 , unde

x′′1 =1

2(x1 + x2 + x3) ; x′′2 =

1

2(x1 − x2 + 3x3) ; x′′3 = x3.

(g) Q(x′′′) = (x′′′1 )2 − (x′′′2 )

2 − 3 (x′′′3 )2 + 3 (x′′′4 )

2 , unde

x′′′1 =x12

+x22

+ x3; x′′′

2 =x12

− x22

+ x3; x′′′

3 =1

2(x3 + x4); x

′′′

4 =1

2(x3 − x4).

6. Utilizând metoda lui Jacobi, sa se gaseasca forma canonica si signatura formelorpatratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definite si caresunt negativ definite? Sa se precizeze baza în care se obtine forma canonica.

(a) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + 3x22 + x23 + 4x1x2 + 6x1x3 + 8x2x3.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + x22 + x23 − 4x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.

(c) Q : R4 → R, Q(x) = x21 + x22 + x23 − x24 + 4x2x3 + 2x2x4 + 6x3x4.

(d) Q : R4 → R, Q(x) = x21+x22+4x23+4x24+4x1x3+2x1x4+2x2x3+2x2x4+6x3x4.

R. (a) Q(x′) = (x′1)2 − (x′2)

2 − 1

4(x′3)

2;

B′ =

�e′1 = (1, 0, 0), e′2 = (2,−1, 0), e′3 = −1

4(1,−2, 1)

�.

(b) Q(x′) = (x′1)2 − 1

3(x′2)

2 +1

3(x′3)

2;

B′ =

�e′1 = (1, 0, 0), e′2 = −1

3(2, 1, 0), e′3 = −1

3(1, 1,−1)

�.

(c) Q(x′) = (x′1)2 + (x′2)

2 − 1

3(x′3)

2 − 3

5(x′4)

2;

B′ =

�e′1 = (1, 0, 0, 0), e′2 = (0, 1, 0, 0), e′3 =

1

3(0, 2,−1, 0), e′4 =

1

5(0, 5,−1,−3)

�.

(d) Q(x′) = (x′1)2 + (x′2)

2 − (x′3)2 +

1

2(x′4)

2;

B′ =

�e′1 = (1, 0, 0, 0), e′2 = (0, 1, 0, 0), e′3 = (2, 1,−1, 0), e′4 =

1

2(−1,−1, 0, 1)

�.

7. Sa se determine valorile parametrului λ ∈ R pentru care formele patratice de maijos sunt pozitiv definite sau negativ definite:

(a) Q : R2 → R, Q(x) = x21 + (λ+ 3)x22 − 2(λ+ 1)x1x2.

(b) Q : R2 → R, Q(x) = −9x21 + 6λx1x2 − x22.


(c) Q : R3 → R, Q(x) = x21 + x22 + λx23 − 2x1x2 − 4x1x3.

(d) Q : R3 → R, Q(x) = (4−λ)x21+(4−λ)x22−(2+λ)x23+4x1x2−8x1x3+8x2x3.

R. (a) Q pozitiv definita ⇔ λ ∈ (−2, 1); Q negativ definita ⇔ λ ∈ ∅.(b) Q pozitiv definita ⇔ λ ∈ ∅; Q negativ definita ⇔ λ ∈ (−1, 1).

(c) Q pozitiv definita ⇔ λ ∈ ∅; Q negativ definita ⇔ λ ∈ ∅.(d) Q pozitiv definita ⇔ λ ∈ (−∞,−6); Q negativ definita ⇔ λ ∈ (6,∞).

8. Utilizând metoda valorilor proprii, sa se gaseasca forma canonica si signatura for-melor patratice de mai jos. Care dintre aceste forme patratice sunt pozitiv definitesi care sunt negativ definite? Sa se precizeze baza ortonormata în care se obtineforma canonica respectiva.

(a) Q : R2 → R, Q(x) = 5x21 + 5x22 + 4x1x2.

(b) Q : R3 → R, Q(x) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.

(c) Q : R4 → R, Q(x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4.

R. (a) Q(x′) = 3 (x′1)2 + 7 (x′2)

2; B′ =

�e′1 =

1√2(1,−1), e′2 =

1√2(1, 1)

�.

(b) Q(x′) = 2 (x′1)2 − (x′2)

2 − (x′3)2;

B′ =

�e′1 =

1√3(1, 1, 1), e′2 =

1√2(1, 0,−1), e′3 =

1√6(−1, 2,−1)

�.

(c) Q(x′) = 4 (x′1)2 − 4 (x′2)

2 + 2 (x′3)2 − 2 (x′4)

2;

B′ =

�e′1 =

1

2(−1,−1, 1, 1), e′2 =

1

2(1,−1, 1,−1), e′3 =

1

2(−1, 1, 1,−1),

e′4 =1

2(1, 1, 1, 1)

�.

9. Fie forma patratica Q : R3 → R, Q(x) = x21 + x22 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3.Utilizând metodele Gauss, Jacobi si a valorilor proprii, sa se reduca Q la formacanonica (precizându-se baza în care se obtine aceasta) si apoi sa se verifice Legeade inertie.

Ind. Metoda lui Gauss: Q(x′) = (x′1)2 +

3

4(x′2)

2 +2

3(x′3)

2;

Metoda lui Jacobi: Q(x′′) = (x′′1)2 +

4

3(x′′2)

2 +3

2(x′′3)

2;

Metoda valorilor proprii: Q(x′′′) = 2 (x′′′1 )2 +

1

2(x′′′2 )

2 +1

2(x′′′3 )

2.

158 FORME PATRATICE

5. GEOMETRIE ANALITICA LINIARA îNSPATIU

5.1 Coordonatele unui punct din spatiu

Cu ajutorul spatiului vectorilor liberi V3 putem introduce riguros matematic notiuneade coordonate ale unui punct arbitrar M din spatiul tridimensional al geometriei ele-mentare E3. Pentru aceasta sa fixam baza canonica B = {i, j, k} în spatiul vectorial realal vectorilor liberi V3 si sa consideram ca aceasta baza este legata într-un punct fixat Oal spatiului tridimensional al geometriei elementare E3.

Definitia 5.1.1 AnsamblulR = {O; i, j, k}

se numeste reperul cartezian canonic al spatiului tridimensional al geometriei elemen-tare E3. Dreptele directoare ale versorilor i, j si k sunt axele Ox,Oy si Oz ale unui sistemde coordonate Oxyz în spatiul tridimensional al geometriei elementare E3 (aceste axe auacelasi sens cu al versorilor i, j si k) iar punctul O este originea sistemului de coordonateOxyz.

Definitia 5.1.2 Spunem ca un punct M din spatiul tridimensional al geometriei ele-mentare E3 are coordonatele carteziene (x, y, z) ∈ R3 în reperul cartezian canonicR = {O; i, j, k} daca vectorul de pozitie OM se descompune dupa formula

OM = xi+ yj + zk.

Observatia 5.1.3 Coordonatele carteziene (x, y, z) ale punctului M reprezinta lungimileproiectiilor ortogonale ale vectorului de pozitie OM pe cele trei axe de coordonate: Ox,Oysi Oz.

Punctul M(x, y, z) din spatiul E3

GEOMETRIE ANALITICA LINIARA îN SPATIU 159

Exemplul 5.1.4 Sa consideram un cub [OABCO′A′B′C ′], având muchiile de lungimel > 0, si sa legam în vârful O baza canonica B = {i, j, k} astfel încât directiile si sensurileversorilor i, j si k sa coincida cu ale muchiilor cubului OA,OB si OO′.

Este evident ca punctul O este originea sistemului de axe. Vectorul de pozitie al acesteiorigini este OO = 0 si deci punctul O are coordonatele O(0, 0, 0).

Deoarece vectorul de pozitie OA este coliniar cu i si are lungimea ||OA|| = l, rezultaca avem

OA = li.

Prin urmare, coordonatele vârfului A sunt A(l, 0, 0).Deoarece vectorul de pozitie OB (resp. OO′) este coliniar cu j (resp. k) si are lungimea

||OB|| = l (resp. ||OO′|| = l), rezulta ca avem

OB = lj (resp. OO′ = lk).

Prin urmare, coordonatele vârfurilor B si O′ sunt B(0, l, 0) si O′(0, 0, l).Coordonatele vârfului C se determina considerând vectorul de pozitie OC care, con-

form regulii paralelogramului, este

OC = OA+OB = li+ lj.

Prin urmare, vârful C are coordonatele C(l, l, 0). Prin analogie, vârful A′ are coordonateleA′(l, 0, l) iar vârful B′ are coordonatele B′(0, l, l).

Vectorul de pozitie OC ′ (diagonala cubului) se descompune, conform regulii paralelo-gramului, în

OC ′ = OC +OO′ = OA+OB +OO′ = li+ lj + lk.

Prin urmare, vârful C ′ are coordonatele C ′(l, l, l).

Cu ajutorul notiunii de coordonate ale unui punct din spatiu se pot descrie ecuatiileplanelor în spatiu, a dreptelor în spatiu sau, cu alte cuvinte, se poate dezvolta o întreagageometrie analitica în spatiu. În continuare, vom considera fixat reperul cartezian canonic

R = {O; i, j, k}

în spatiul tridimensional al geometriei elementare E3. Cu alte cuvinte, vom considerafixat sistemul de coordonate Oxyz în spatiul tridimensional al geometriei elementare E3.

5.2 Plane orientate în spatiu

Din perspectiva geometriei analitice în spatiu, un plan în spatiu este considerat ca planorientat (plan cu fata). Acest lucru înseamna ca pentru a identifica un plan P în spatiueste necesar sa fixam o orientare (fata) a planului P . Aceasta orientare (fata) fixata nearata din ce semispatiu este privit planul P sau care fata a planului P este consideratavizibila. Pentru a fixa o orientare (fata) a planului P este suficient sa fixam un vectorliber nenul n care sa fie perpendicular pe planul P . Un asemenea vector liber nenul n,care este perpendicular pe planul P , se numeste vector normal la planul P . Prin definitie,sensul vectorului normal n fixeaza orientarea (fata) planului P . Referitor la reprezentareaintuitiva a planului P , orientat în spatiu, sunt evidente urmatoarele afirmatii:

160 GEOMETRIE ANALITICA LINIARA îN SPATIU

1. alegerea unui vector normal n la planul P este echivalenta cu alegerea unei orientari(fete);

2. alegerea unui sens de rotatie în planul P este echivalenta cu alegerea unui vectornormal n la planul P . Acest lucru este adevarat deoarece consideram, prin definitie,ca vectorul normal n la planul P are sensul determinat de sensul de rotatie dinplanul P prin regula burghiului.

3. planul P are doua orientari (fete). Orientarea (fata) care corespunde sensului vec-torului normal n se noteaza cu (+) iar orientarea (fata) opusa se noteaza cu (−).

Orientarea unui plan P în spatiu

5.2.1 Planul determinat de un punct si un vector normal

Sa consideram ca M0(x0, y0, z0) este un punct fixat în spatiul E3 si ca

n = Ai+Bj + Ck,

unde A2+B2+C2 �= 0, este un vector liber nenul dat din V3. Atunci, exista un unic planP , care trece prin punctul M0 si este perpendicular pe vectorul liber n (vectorul liber neste un vector normal la planul P ).

Planul P determinat de punctul M0 si vectorul normal n

Pentru a descrie ecuatia planului P sa consideram caM(x, y, z) este un punct arbitraral planului P . Este evident ca apartenenta M ∈ P este echivalenta cu conditia

M0M ⊥ n⇔�M0M,n

�= 0.

Folosind definitia coordonatelor unui punct în spatiu, împreuna cu regula triunghiului,obtinem relatia

M0M =M0O +OM = OM −OM0 = (x− x0)i+ (y − y0)j + (z − z0)k.

PLANE ORIENTATE îN SPATIU 161

Prin urmare ecuatia vectoriala�M0M,n

�= 0 se transcrie, la nivel de coordonate carte-

ziene, ca ecuatia în R3:

P : A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Definitia 5.2.2 Ecuatia de mai sus se numeste ecuatia planului P determinat depunctul M0(x0, y0, z0) si vectorul normal n(A,B,C). Dreapta D, care trece prin punc-tul M0 si care este paralela cu vectorul normal n, se numeste normala la planul P .

Observatia 5.2.3 Prelucrând membrul stâng al ecuatiei precedente si folosind notatia

Dnot= −Ax0 −By0 − Cz0,

ecuatia planului de mai sus se transcrie ca ecuatia carteziana:

P : Ax+By + Cz +D = 0,

unde A2 +B2 + C2 �= 0.Ecuatia precedenta se numeste ecuatia generala a unui plan.Evident, vectorul normal la planul P (definit de ecuatia generala anterioara) este dat

de vectorul liber nenuln = Ai+Bj + Ck.

Cu alte cuvinte, coeficientii A,B si C ai lui x, y si z din ecuatia generala a unui plan Pdetermina coordonatele vectorului normal n la planul P .

5.2.2 Planul determinat de un punct si doi vectori liberi

Este cunoscut din geometria sintetica euclidiana faptul ca doua drepte concurentedetermina un plan. În consecinta, în geometria analitica în spatiu un plan P este unicdeterminat de un punctM0(x0, y0, z0) si doi vectori liberi necoliniari si nenuli: u(l1,m1, n1)si v(l2,m2, n2).

Planul P determinat de punctul M0 si vectorii liberi u si v

Sa consideram ca M(x, y, z) este un punct arbitrar al planului P . Este evident capunctul M apartine planului P determinat de punctul M0(x0, y0, z0) si vectorul normal

n = u× v.

Tinând seama de definitia produsului vectorial a doi vectori liberi, rezulta ca coordo-natele (A,B,C) ale vectorului normal n la planul P sunt

A =

��m1 n1m2 n2

�� , B = −��l1 n1l2 n2

�� si C =

��l1 m1

l2 m2

�� .


Prin urmare, folosind ecuatia carteziana a unui plan ce trece printr-un punct fixatM0(x0, y0, z0) si care are vectorul normal n(A,B,C) dat, obtinem ecuatia carteziana

P : (x− x0)

��m1 n1m2 n2

��− (y − y0)

��l1 n1l2 n2

��+ (z − z0)

��l1 m1

l2 m2

�� = 0.

Tinând cont acum de descompunerea dupa prima linie a unui determinant de ordintrei, observam ca ecuatia carteziana de mai sus se poate restrânge sub forma mai simplade determinant de ordin trei:

P :

��

x− x0 y − y0 z − z0l1 m1 n1l2 m2 n2

��= 0.

5.2.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare

Este cunoscut din geometria sintetica euclidiana faptul ca trei puncte necoliniare

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) si M3(x3, y3, z3)

determina un unic plan P = (M1M2M3) în spatiu.

Planul P = (M1M2M3)

Sa consideram ca punctulM(x, y, z) este un punct arbitrar al planului P = (M1M2M3).Este evident ca punctul M apartine planului P determinat de punctul M1(x1, y1, z1) sivectorii liberi necoliniari

M1M2(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) si M1M3(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1).

Prin urmare, folosind ecuatia carteziana a unui plan determinat de un punct si doivectori liberi necoliniari, rezulta ca ecuatia carteziana a planului P este

P :

��

x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

��= 0.

Tinând cont acum de descompunerea dupa ultima ultima coloana a unui determinantde ordin patru si de proprietatile determinantilor, observam ca ecuatia carteziana de maisus se poate restrânge sub forma mai simpla de determinant de ordin patru:

P :

��

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

��= 0.

PLANE ORIENTATE îN SPATIU 163

Ca o consecinta imediata a ecuatiei anterioare, obtinem ca conditia necesara si sufi-cienta ca patru puncte în spatiu

M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) si M4(x4, y4, z4)

sa fie coplanare este ��

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

��= 0.

5.3 Drepte orientate în spatiu

Ca si în cazul planelor, în geometria analitica în spatiu dreptele sunt considerate cadrepte orientate (drepte cu sens de parcurs). Acest lucru înseamna ca pentru a identificao dreapta D în spatiu este necesar sa fixam o orientare (un sens de parcurs) a dreptei D.Pentru a fixa o orientare (un sens de parcurs) a dreptei D este suficient sa fixam un vectorliber nenul a a carui dreapta suport sa fie exact dreapta D. Un asemenea vector libernenul a se numeste vector director al dreptei D. Prin definitie, sensul vectorului directora fixeaza orientarea (sensul de parcurs) dreptei D. Referitor la reprezentarea intuitiva adreptei D orientate în spatiu sunt evidente urmatoarele afirmatii:

1. alegerea unui vector director a pe dreapta D este echivalenta cu alegerea unei ori-entari (unui sens de parcurs);

2. dreapta D are doua orientari (sensuri de parcurs). Orientarea (sensul de parcurs)care corespunde sensului vectorului director a se noteaza cu (+) iar orientarea (sen-sul de parcurs) opusa se noteaza cu (−).

5.3.1 Dreapta determinata de un punct si o directie

Sa descriem acum ecuatiile dreptei în spatiu D, care trece punctul M0(x0, y0, z0) sieste orientata (directionata) de un vector liber nenul a(l,m, n).

Drepta determinata de punctul M0 si vectorul director a

Este evident ca un punct arbitrar M(x, y, z) din spatiu se afla pe dreapta D daca sinumai daca vectorul liber M0M este coliniar cu vectorul director a.


Tinând cont de regula triunghiului si de definitia coordonatelor unui punct în spatiu,rezulta ca avem relatiile

M0M =M0O +OM = OM −OM0 = r − r0 = (x− x0)i+ (y − y0)j + (z − z0)k.

Conditia de coliniaritate a vectorului liber M0M cu vectorul director a se reduce laexistenta unui parametru t ∈ R cu proprietatea ca

M0M = ta.

Scriind aceasta egalitate vectoriala la nivel de coordonate, obtinem ecuatiile parametriceale dreptei D:

D :

x = x0 + lt,

y = y0 +mt,

z = z0 + nt,

unde t ∈ R. Eliminând parametrul t ∈ R din ecuatiile parametrice de mai sus, obtinemecuatiile carteziene ale dreptei D:

D :x− x0l

=y − y0m

=z − z0n

,

unde l2+m2+n2 �= 0. Coeficientii l,m si n care determina orientarea dreptei D se numescparametrii directori ai dreptei D.

Observatia 5.3.2 Rapoartele care intervin în ecuatiile carteziene ale dreptei D au uncaracter formal în sensul ca, daca la numitor avem vreun parametru director egal cu zero,atunci obligatoriu numaratorul corespunzator este si el egal cu zero.

Sa notam acum cu α, β si γ unghiurile directoare formate de vectorul director a cuversorii i, j si k.

Unghiurile directoare α, β si γ

Observatia 5.3.3 Unghiurile directoare α, β si γ masoara gradul de înclinare a drepteiD fata de axele Ox,Oy si Oz.

Din definitia unghiului format de doi vectori liberi deducem ca avem urmatoarelecosinusuri directoare:

cosα =

�a, i�

||a|| ·��i�� =

l√l2 +m2 + n2

,

cosβ =

�a, j�

||a|| ·��j�� =

m√l2 +m2 + n2

,

cos γ =

�a, k�

||a|| ·��k�� =

n√l2 +m2 + n2

.

DREPTE ORIENTATE îN SPATIU 165

Evident, acestea verifica relatia

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.

Prin urmare, înmultind ecuatiile carteziene ale dreptei D cu factorul nenul√l2 +m2 + n2,

deducem ca ecuatiile carteziene ale dreptei D pot fi rescrise sub forma echivalenta

D :x− x0cosα

=y − y0cosβ

=z − z0cos γ

.

5.3.2 Dreapta determinata de doua puncte distincte

Este cunoscut din geometria sintetica euclidiana ca doua puncte distincteM1(x1, y1, z1)si M2(x2, y2, z2) determina o unica dreapta în spatiu D =M1M2.

Dreapta D =M1M2

Pentru a descrie ecuatiile carteziene ale dreptei D = M1M2, sa observam ca dreaptaD este dreapta care trece prin punctul M1(x1, y1, z1) si este orientata de vectorul director

M1M2 =M1O +OM2 = OM2 −OM1 = (x2 − x1)i+ (y2 − y1)j + (z2 − z1)k.

Prin urmare, tinând cont de expresiile ecuatiilor unei drepte determinate de un punct siun vector director, deducem ca ecuatiile carteziene ale dreptei D =M1M2 sunt

D :x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

.

5.3.3 Dreapta determinata ca intersectia a doua plane

Este cunoscut din cadrul geometriei sintetice euclidiene ca intersectia a doua planeneparalele este o dreapta. În acest context, fie P1 si P2 doua plane neparalele, de ecuatii

P1 : A1x+B1y + C1z +D1 = 0 si P2 : A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

Conditia de neparalelism a planelor P1 si P2 este echivalenta cu conditia

rang�A1 B1 C1A2 B2 C2

�= 2.


Deoarece planele P1 si P2 sunt neparalele, rezulta ca intersectia lor determina o unicadreapta D = P1 ∩ P2, determinata de ecuatiile carteziene

D = P1 ∩ P2 :�A1x+B1y + C1z +D1 = 0

A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

Dreapta D = P1 ∩ P2

Este evident ca daca vectorii liberi n1(A1, B1, C1) si n2(A2, B2, C2) reprezinta vectoriinormali la planele P1 si P2 atunci vectorul liber a = n1 × n2 reprezinta vectorul directoral dreptei D = P1 ∩ P2. Deoarece avem

a = n1 × n2 =

��

i j kA1 B1 C1A2 B2 C2

��=

��B1 C1B2 C2

�� i−��A1 C1A2 C2

�� j +��A1 B1A2 B2

�� k,

rezulta ca parametrii directori l,m si n ai dreptei D = P1 ∩ P2 sunt

l =

��B1 C1B2 C2

�� , m = −��A1 C1A2 C2

�� si n =

��A1 B1A2 B2

�� .

În acest context, rezulta ca ecuatiile carteziene ale dreptei D = P1 ∩ P2 au forma

x− x0��B1 C1B2 C2

��

=y − y0

−��A1 C1A2 C2

��

=z − z0��A1 B1A2 B2

��

,

unde (x0, y0, z0) este o solutie arbitrara a sistemului de ecuatii care determina dreaptaD = P1 ∩ P2 (i.e. coordonatele unui punct arbitrar M0 al dreptei D = P1 ∩ P2).

5.4 Fascicole de plane

Fie P1 si P2 doua plane neparalele, arbitrare în spatiu, care au ecuatiile

P1 : A1x+B1y + C1z +D1 = 0 si P2 : A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

Definitia 5.4.1 Multimea tuturor planelor de ecuatie

πα,β : α (A1x+B1y + C1z +D1) + β (A2x+B2y + C2z +D2) = 0,

unde α, β ∈ R, α2 + β2 �= 0, se numeste fascicolul de plane determinat de planele P1si P2.

FASCICOLE DE PLANE 167

Observatia 5.4.2 Fascicolul de plane πα,β reprezinta toate planele din spatiu care trecprin dreapta d = P1 ∩P2. În aplicatii, pentru comoditate, cel mai adesea se foloseste însafascicolul de plane

πλ : A1x+B1y + C1z +D1 + λ (A2x+B2y + C2z +D2) = 0,

unde λ ∈ R.

Definitia 5.4.3 Multimea tuturor planelor de ecuatie

πλ : Ax+By + Cz + λ = 0,

unde λ ∈ R, se numeste fascicolul de plane paralele cu planul

π : Ax+By + Cz +D = 0.

5.5 Unghiuri în spatiu

Deoarece planele si dreptele în spatiu sunt definite ca figuri geometrice orientate, putemintroduce în mod riguros notiunile de unghi dintre doua plane orientate, dintre o dreaptaorientata si un plan orientat si dintre doua drepte orientate.

5.5.1 Unghiul dintre doua plane orientate

Sa consideram ca

P1 : A1x+B1y + C1z +D1 = 0 si P2 : A2x+B2y + C2z +D2 = 0,

unde A2i + B2i + C2i �= 0, ∀ i ∈ {1, 2}, sunt doua plane orientate arbitrare în spatiu.Atunci, vectorii normali la planele P1 si P2 sunt

n1(A1, B1, C1) si n2(A2, B2, C2).

Prin definitie, unghiul dintre planele orientate P1 si P2 este dat de unghiul ϕ ∈ [0, π]format de vectorii normali n1 si n2. Acest unghi se determina prin formula

cosϕ =�n1, n2�

||n1|| · ||n2||=

A1A2 +B1B2 + C1C2�A21 +B21 + C21 ·

�A22 +B22 + C22

.

Unghiul dintre planele orientate P1 si P2


Observatia 5.5.2 Prin definitia utilizata în geometria sintetica euclidiana, unghiul di-edru format de planele P1 si P2 este unghiul plan θ ∈ [0, π], care se obtine sectionândplanele P1 si P2 cu un plan perpendicular pe dreapta de intersectie D = P1 ∩ P2. Unghiulθ este însa congruent (θ = ϕ) sau suplementar (θ+ϕ = 180◦) cu unghiul ϕ, ca unghiuricu laturile perpendiculare.

Observatia 5.5.3 Planele P1 si P2 sunt perpendiculare (P1 ⊥ P2) daca si numai daca:

n1 ⊥ n2 ⇔ �n1, n2� = 0 ⇔ A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0.

Observatia 5.5.4 Planele P1 si P2 sunt paralele neconfundate (P1 P2) daca si numaidaca:

n1 este coliniar cu n2 ⇔A1A2

=B1B2

=C1C2

�= D1

D2.

Observatia 5.5.5 Planele P1 si P2 sunt confundate (P1 = P2) daca si numai daca:

A1A2

=B1B2

=C1C2

=D1

D2.

Observatia 5.5.6 Rapoartele care intervin în observatiile anterioare au un caracter for-mal în sensul ca, daca vreun numitor este egal cu zero, atunci si numaratorul corespun-zator este egal cu zero.

5.5.2 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat

FieD :

x− x0l

=y − y0m

=z − z0n

,

unde l2 +m2 + n2 �= 0, o dreapta orientata arbitrara în spatiu si fie

P : Ax+By + Cz +D = 0,

unde A2 +B2 + C2 �= 0, un plan orientat arbitrar în spatiu. Atunci, vectorul director aldreptei D este a(l,m, n) iar vectorul normal la planul P este n(A,B,C).

Prin definitie, unghiul dintre dreapta orientata D si planul orientat P este unghiulθ ∈ [0, π] format de vectorul normal n cu vectorul director a. Acest unghi se determinaprin formula

cos θ =�n, a�

||n|| · ||a|| =Al +Bm+ Cn√

A2 +B2 + C2 ·√l2 +m2 + n2

.

Unghiul dintre dreapta orientata D si planul orientat P

UNGHIURI îN SPATIU 169

Observatia 5.5.3 În geometria sintetica euclidiana, unghiul format de dreapta D siplanul P este unghiul ϕ ∈ [0, π] dintre dreapta D si dreapta D′, unde D′ este proiectiadreptei D pe planul P . Unghiul θ este legat de unghiul ϕ prin relatia θ + ϕ = 90◦ sauθ = 90◦ + ϕ.

Observatia 5.5.4 Dreapta D este paralela cu planul P (D P , caz particular, D ⊂ P )daca si numai daca:

�n, a� = 0 ⇔ Al +Bm+ Cn = 0.

Cazul particular de incluziune D ⊂ P apare odata cu conditia suplimentara

Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0.

Observatia 5.5.5 Dreapta D este perpendiculara pe planul P (D ⊥ P ) daca si numaidaca:

n este coliniar cu a⇔ A

l=B

m=C

n.

Observatia 5.5.6 Rapoartele care intervin în observatia anterioara au un caracter for-mal în sensul ca, daca vreun numitor este egal cu zero, atunci si numaratorul corespun-zator este egal cu zero.

5.5.3 Unghiul dintre doua drepte orientate

Sa consideram ca

D1 :x− x1l1

=y − y1m1

=z − z1n1

si D2 :x− x2l2

=y − y2m2

=z − z2n2

,

unde l2i + m2i + n2i �= 0, ∀ i ∈ {1, 2}, sunt doua drepte orientate arbitrare în spatiu.

Atunci, vectorul director al dreptei D1 este a(l1,m1, n1) iar vectorul director al drepteiD2 este b(l2,m2, n2).

Prin definitie, unghiul dintre dreapta orientataD1 si dreapta orientataD2 este unghiulϕ ∈ [0, π] format de vectorul director a cu vectorul director b. Acest unghi se determinaprin formula

cosϕ =

�a, b�

||a|| ·��b�� =

l1l2 +m1m2 + n1n2�l21 +m2

1 + n21 ·�l22 +m2

2 + n22.

Ughiul format de dreptele orientate D1 si D2

Observatia 5.5.4 Dreptele D1 si D2 sunt perpendiculare (D1 ⊥ D2) daca si numai daca:

a ⊥ b⇔�a, b�= 0 ⇔ l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0.


Observatia 5.5.5 Dreptele D1 si D2 sunt paralele (D1 D2) daca si numai daca:

a este coliniar cu b⇔ l1l2

=m1

m2=n1n2

.

Observatia 5.5.6 Rapoartele care intervin în observatia anterioara au un caracter for-mal în sensul ca, daca vreun numitor este egal cu zero, atunci si numaratorul corespun-zator este egal cu zero.

5.6 Distante în spatiu

În aceasta sectiune ne propunem sa gasim formule pentru determinarea urmatoarelordistante: distanta dintre doua puncte, distanta de la un punct la un plan, distanta de laun punct la o dreapta si distanta dintre doua drepte.

5.6.1 Distanta dintre doua puncte

Fie M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2) doua puncte arbitrare din spatiu. Prin definitie,distanta dintre punctele M1 si M2 este egala cu norma (lungimea) vectorului M1M2.Deoarece vectorul M1M2 are descompunerea

M1M2 =M1O +OM2 = OM2 −OM1 = (x2 − x1)i+ (y2 − y1)j + (z2 − z1)k,

deducem ca distanta dintre punctele M1 si M2 este data de formula:

d(M1,M2) =!!M1M2

!! =�

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

5.6.2 Distanta de la un punct la un plan

Sa consideram ca P : Ax + By + Cz +D = 0, unde A2 + B2 + C2 �= 0, este un planorientat arbitrar în spatiu si M0(x0, y0, z0) este un punct din spatiu exterior planului P .Evident, vectorul normal la planul P este n(A,B,C).

Construim acum segmentul [M0M1] ⊥ P , undeM1 ∈ P este proiectia punctuluiM0 peplanul P . Atunci, distanta de la punctulM0 la planul P este egala cu lungimea vectoruluiliber M0M1, pe care o notam cu d(M0, P ).

Distanta de la punctul M0 la planul P

DISTANTE îN SPATIU 171

Sa presupunem ca punctulM1 are coordonatele necunoscuteM1(α, β, γ). Atunci, deoarecepunctul M1 apartine planului P iar vectorul liber

M0M1 = (α− x0)i+ (β − y0)j + (γ − z0)k

este coliniar cu vectorul normal n(A,B,C), rezulta ca coordonatele necunoscute α, β si γverifica sistemul

Aα+Bβ + Cγ +D = 0

α− x0A

=β − y0B

=γ − z0C

.

Rezolvând acest sistem, gasim solutiile

α = x0 −A

A2 +B2 + C2(Ax0 +By0 + Cz0 +D)

β = y0 −B

A2 +B2 + C2(Ax0 +By0 + Cz0 +D)

γ = z0 −C

A2 +B2 + C2(Ax0 +By0 + Cz0 +D).

Prin urmare, printr-un calcul direct, deducem ca lungimea vectorului M0M1 este

��M0M1

�� =

�(α− x0)

2 + (β − y0)2 + (γ − z0)2 =

=|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2.

În concluzie, distanta de la punctul M0 la planul P este determinata de formula:

d(M0, P ) =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2.

5.6.3 Distanta de la un punct la o dreapta

Sa consideram caD :

x− x0l

=y − y0m

=z − z0n

,

unde l2+m2+n2 �= 0, este o dreapta orientata arbitrara în spatiu iar A(x1, y1, z1) este unpunct din spatiu exterior dreptei D. Evident, dreapta D trece prin punctulM0(x0, y0, z0)si are vectorul director a(l,m, n).

Construim acum segmentul [AA′] ⊥ D, unde A′ ∈ D este proiectia punctului Ape dreapta D. Atunci, distanta de la punctul A la dreapta D este egala cu lungimeasegmentului [AA′], pe care o notam cu d(A,D).

Distanta de la punctul A la dreapta D


Segmentul [AA′] este însa înaltimea paralelogramului construit pe vectorii liberi

a(l,m, n) si M0A(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0).

Atunci, din formula generala a ariei unui paralelogram si cea care da aria paralelogramuluiconstruit pe vectorii liberi a si M0A, deducem ca formula care da distanta de la punctulA la dreapta D este

d(A,D) =

��a×M0A��

||a|| .

5.6.4 Distanta dintre doua drepte oarecare din spatiu

Sa consideram ca

D1 :x− x1l1

=y − y1m1

=z − z1n1

si D2 :x− x2l2

=y − y2m2

=z − z2n2

unde l2i + m2i + n2i �= 0, ∀ i ∈ {1, 2}, sunt doua drepte orientate arbitrare în spatiu.

Evident, dreapta D1 trece prin punctulM1(x1, y1, z1) si are vectorul director a1(l1,m1, n1)iar dreapta D2 trece prin punctul M2(x2, y2, z2) si are vectorul director a2(l2,m2, n2).

Se stie din geometria sintetica euclidiana ca dreptele D1 si D2 din spatiu pot fi con-fundate, paralele, concurente sau în pozitie generala.

(1) Daca dreptele D1 si D2 sunt confundate sau concurente, atunci, prin definitie,distanta dintre dreptele D1 si D2 este egala cu zero.

(2) Daca dreptele D1 si D2 sunt paralele, atunci distanta dintre dreptele D1 si D2 estedata de formula

d(D1, D2) =

��a1 ×M1M2

��

||a1||sau d(D1, D2) =

��a2 ×M1M2

��

||a2||.

(3) Daca dreptele D1 si D2 sunt în pozitie generala, atunci exista o unica dreaptaperpendiculara comuna a dreptelor D1 si D2, notata AB, cu proprietatile:

A ∈ D1, B ∈ D2, A �= B, AB ⊥ D1 si AB ⊥ D2.

Distanta dintre dreptele D1 si D2

Prin definitie, distanta dintre dreptele D1 si D2 este d(D1, D2) =��AB

��. Din figura demai sus, rezulta evident ca segmentul [AB] este înaltimea paralelipipedului construit pevectorii liberi

a1(l1,m1, n1), a2(l2,m2, n2) si M1M2(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

DISTANTE îN SPATIU 173

Atunci, din formula generala a volumului unei prisme, formula care da volumul paralelipi-pedului construit pe vectorii liberi a1, a2 siM1M2 si formula care da aria paralelogramuluiconstruit pe vectorii a1 si a2, deducem ca formula care da distanta dintre dreptele D1 siD2 este

d(D1,D2) =

��a1, a2,M1M2

��

||a1 × a2||.

5.6.5 Ecuatiile carteziene ale perpendicularei comune

În contextul anterior, este important de subliniat faptul ca perpendiculara comunaAB a dreptelor D1 si D2 (aflate în pozitie generala), are vectorul director dat de produsulvectorial a1 × a2. Prin urmare, perpendiculara comuna AB a dreptelor D1 si D2 poate fiprivita ca intersectia dintre planele determinate de (un punct si doi vectori)

M1, a1 si a1 × a2,

respectivM2, a2 si a1 × a2.

În consecinta, tinând cont de forma ecuatiei unui plan determinat de un punct si doivectori, deducem ca ecuatiile carteziene ale perpendicularei comune AB a dreptelor D1 siD2 (aflate în pozitie generala) sunt

AB :

��

x− x1 y − y1 z − z1l1 m1 n1l3 m3 n3

��= 0

��

x− x2 y − y2 z − z2l2 m2 n2l3 m3 n3

��= 0,

unde

l3 =

��m1 n1m2 n2

�� , m3 = −��l1 n1l2 n2

�� si n3 =

��l1 m1

l2 m2

�� .


1. Sa se calculeze aria si înaltimea din A pentru triunghiul △ABC determinat depunctele A (0, 1, 0),B (2, 0, 1) si C (−1, 0,−4).

Rezolvare. Punctele A, B si C determina vectorii

AB = OB −OA = 2i− j + k,

AC = OC −OA = −i− j − 4k,

BC = OC −OB = −3i− 5k.


Produsul vectorial al vectorilor AB si AC este

AB × AC =

��

i j k2 −1 1−1 −1 −4

��= 5i+ 7j − 3k.

Prin urmare, aria triunghiului △ABC este data de formula

A△ABC =1

2

��AB ×AC�� =

√83

2.

Înaltimea hA din A se determina din relatia:

A△ABC =1

2· hA ·

!!BC!!⇔ hA =

2AABC!!BC!! =

�83

34.

2. Sa se calculeze volumul tetraedrului ABCD si înaltimea din A a acestuia, undeA (3, 2,−1) , B (4, 3,−1) , C (5, 3,−1) , D (4, 2, 1).

Rezolvare. Punctele A, B, C si D determina vectorii

AB = OB −OA = i+ j,

AC = OC −OA = 2i+ j,

AD = OD −OA = i+ 2k.

Produsul mixt al vectorilor AB, AC si AD este

�AB,AC,AD

�=

��

1 1 02 1 01 0 2

��= −2.

Prin urmare, volumul tetraedrului ABCD este dat de formula

VABCD =1

6

��AB,AC,AD�� =

1

3.

Produsul vectorial al vectorilor BC si BD este

BC ×BD =

��

i j k1 0 00 −1 2

��= −2j − k.

Prin urmare, aria triunghiului △BCD este

A△BCD =1

2

��BC ×BD�� =

√5

2.

Înaltimea din A a tetraedrului ABCD se determina din relatia:

VABCD =1

3· hA · A△BCD.⇔ hA =

3VABCD

A△BCD=

2√5.


3. Se dau punctele A (3, 1, 0) , B (2, 1,−1) si C (3, 2, 1). Sa se scrie ecuatia planului:

(a) care trece prin punctele A, B si C;

(b) care trece prin punctul B si este paralel cu planul xOy;

(c) care trece prin punctul C si contine axa Oz;

(d) care trece prin punctele B, C si este paralel cu axa Oy.

Rezolvare. (a) Ecuatia planului care trece prin A, B, C este��

x− xA y − yA z − zAxB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zA

��= 0,

adica ��

x− 3 y − 1 z−1 0 −10 1 1

��= 0 ⇔ x+ y − z − 4 = 0.

(b) Planul cautat are drept normala vectorul k(0, 0, 1). Prin urmare, ecuatia planuluicautat este z + 1 = 0.

(c) Planul contine orice doua puncte de pe axa Oz. Alegem, pentru comoditate,punctele O (0, 0, 0) si M (0, 0, 1). Atunci ecuatia planului cerut este

��

x− xO y − yO z − zOxM − xO yM − yO zM − zOxC − xO yC − yO zC − zO

��= 0,

adica ��

x y z0 0 13 2 1

��= 0 ⇔ 2x− 3y = 0.

(d) Planul cautat este determinat de punctul B si directiile BC(1, 1, 2) si j(0, 1, 0).Prin urmare, ecuatia planului cautat este

��

x− 2 y − 1 z + 11 1 20 1 0

��= 0 ⇔ 2x− z − 5 = 0.

4. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul M (2, 0, 1) si care este perpen-dicular pe planele π1 : x+ y + z = 0 si π2 : x− 2y + 3z = 1.

Rezolvare. Fie π planul cautat. Deoarece planul π este perpendicular pe π1 si π2,rezulta ca el este paralel cu normalele la acestea, si anume, n1 (1, 1, 1) si n2 (1,−2, 3).Prin urmare, planul π este planul determinat de punctul M si directiile n1 si n2,adica

π :

��

x− 2 y z − 11 1 11 −2 3

��= 0 ⇔ 5x− 2y − 3z − 7 = 0.


5. Sa se scrie ecuatia unui plan paralel cu planul

P : x+ y + z = 3,

si care trece prin mijlocul segmentului [M1M2], unde M1 (1, 3, 2) si M2 (−1, 3, 4).

Rezolvare. Mijlocul segmentului [M1M2] este punctul

M

�x1 + x2

2,y1 + y2

2,z1 + z2

2

�=M(0, 3, 3).

Planul cautat va avea aceeasi normala cu planul P , deci ecuatia sa este

1 · (x− 0) + 1 · (y − 3) + 1 · (z − 3) = 0 ⇔ x+ y + z − 6 = 0.

6. Sa se scrie ecuatiile dreptei care trece prin punctul M (1,−1, 1) si este paralela cudreapta de intersectie a planelor P1 : x+ y = 3 si P2 : x− z = 1.

Rezolvare. Dreapta de intersectie a planelor P1 si P2 are drept vector directorprodusul vectorial v = n1 × n2 al normalelor la cele doua plane (deoarece dreaptaeste perpendiculara pe normalele ambelor plane). Avem

v = n1 × n2 =

��

i j k1 1 01 0 −1

��= −i+ j − k.

Dreapta cautata are drept vector director pe v si contine punctul M , deci ecuatiileei sunt

x− 1

−1=y + 1

1=z − 1

−1.

7. Gasiti α, β ∈ R astfel încât dreapta

x

α=y − β

1=z

2

sa fie continuta în planul x− z = 0 si sa treaca prin punctul M (1, 1, 1).

Rezolvare. O conditie necesara pentru ca dreapta sa fie continuta în plan este cavectorul ei director v sa fie perpendicular pe normala la plan n(1, 0,−1). Aceastaconditie este echivalenta cu �v, n� = 0 si conduce la α = 2.

Înlocuind coordonatele lui M în ecuatiile dreptei, gasim β = 1/2.

8. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctulM (2,−1, 1) si este perpendicularpe dreapta definita de planele P1 : x+ 2y + 2z + 2 = 0 si P2 : x− y + z + 1 = 0.

Rezolvare. Planul cautat are drept normala dreapta dde intersectie a planelor P1si P2. Însa vectorul director al dreptei d este

v = n1 × n2 =

��

i j k1 2 21 −1 1

��= 4i+ j − 3k.

În concluzie, ecuatia planului cautat este

4 · (x− 2) + 1 · (y + 1)− 3 · (z − 1) = 0 ⇔ 4x+ y − 3z − 4 = 0.


9. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin mijlocul segmentului [MN ], determinatde punctele M (1,−1, 2) , N (4,−3, 1), este paralel cu dreapta

d :x− 1

2=y + 1

3= z

si este perpendicular pe planul P : x− 2y − z − 1 = 0.

Rezolvare. Mijlocul segmentului [MN ] este punctul Q(5/2,−2, 3/2). Planul cau-tat π va contine vectorul director al dreptei d si normala la planul P , adica areecuatia

π :

��

x− 5/2 y + 2 z − 3/22 3 11 −2 −1

��= 0 ⇔ −x+ 3y − 7z + 19 = 0.

10. Sa se scrie ecuatiile dreptei care este continuta în planul

P : x+ 3y + 2z − 2 = 0,

se sprijina pe dreapta d : x = y = z si este paralela cu planul

P ′ : 4x− y − z − 3 = 0.

Rezolvare. Dreapta cautata va avea ca vector director produsul vectorial al nor-malelor la cele doua plane, si anume

v = n× n′ =

��

i j k1 3 24 −1 −1

��= −i+ 9j − 13k.

Prin urmare, ecuatiile dreptei pot fi scrise sub forma

x− α

−1=y − β

9=

z

−13.

Din conditia ca sistemul

x− α

−1=y − β

9=

z

−13

x = y = z

sa fie compatibil, gasim ecuatia 11α− 6β = 0.

Pe de alta parte, conditia ca dreapta sa fie continuta în planul P implica relatiaα+ 3β − 2 = 0. Rezolvând sistemul, obtinem valorile α = 4/13 si β = 22/39.

11. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctulA (3, 1,−2) si care contine dreapta

d :x− 4

5=y + 3

2=z

1.

Rezolvare. Dreapta d este intersectia planelor

d :

�x− 5z − 4 = 0y − 2z + 3 = 0.


Fascicolul de plane care trece prin dreapta d este

πλ : x− 5z − 4 + λ (y − 2z + 3) = 0, λ ∈ R.

Conditia A ∈ πλ implica λ = −9/8. Ecuatia planului cautat este

πλ=−9/8 : 8x− 9y − 22z − 59 = 0.

12. Fie punctul M (2, 1, 0) si planul P : 2x+ 2y + z = −3. Sa se determine:

(a) proiectia punctului M pe planul P ;

(b) simetricul lui M fata de planul P ;

(c) distanta de la punctul M la planul P .

Rezolvare. (a) Perpendiculara din punctul M pe planul P este

x− 2

2=y − 1

2=z

1.

Proiectia M ′ a punctului M pe planul P se obtine din intersectia acestei perpendi-culare cu planul P . Prin urmare, rezolvând sistemul

x− 2

2=y − 1

2=z

1

2x+ 2y + z = −3,

gasim proiectia M ′ (0,−1,−1).

(b) Coordonatele simetricului M ′′ al punctului M fata de planul P se obtin dinrelatiile:

xM ′ =xM + xM”

2, yM ′ =

yM + yM”

2, zM ′ =

zM + zM”

2.

Prin urmare, avem simetricul M ′′(−2,−3,−2).

(c) Distanta de la punctul M la planul P este

d(M,P ) =|2 · 2 + 2 · 1 + 1 · 0 + 3|√

22 + 22 + 12= 3.

13. Sa se determine aplicatia liniara care transforma un punct P (x, y, z) ∈ R3 în sime-tricul sau fata de planul π : x + y + z = 0. Sa se arate ca aplicatia liniara astfeldeterminata este ortogonala.

Rezolvare. Fie P (α, β, γ) un punct arbitrar din spatiu. Coordonatele proiectiei P ′

a punctului P pe planul π sunt solutiile sistemului�x− α = y − β = z − γx+ y + z = 0.


Prin urmare, avem

P ′�2α− β − γ

3,−α+ 2β − γ

3,−α− β + 2γ

3

�.

Deoarece P ′ este mijlocul segmentului PP ′′, unde P ′′ este simetricul punctului Pfata de planul π, rezulta ca coordonatele simetricului P ′′ sunt

P ′′�α− 2β − 2γ

3,−2α+ β − 2γ

3,−2α− 2β + γ

3

�.

În concluzie, aplicatia liniara cautata este f : R3 → R3, definita prin

f(x, y, z) =

�x− 2y − 2z

3,−2x+ y − 2z

3,−2x− 2y + z

3

�.

Matricea acestui endomorfism în baza ortonormata canonica este

A =1

3

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1

.

Se verifica usor acum ca avem A· TA = I3, adica aplicatia liniara este ortogonala.

14. Sa se afle coordonatele proiectiei ortogonale a punctului M(1, 1, 1) pe dreapta

d :x− 1

2=y + 1

2=z + 12

−1.

Rezolvare. Sa consideram ca M ′(α, β, γ) este proiectia punctului M pe dreapta d.Deoarece M ′ ∈ d, obtinem relatiile

α− 1

2=β + 1

2=γ + 12

−1.

VectorulMM ′(α−1, β−1, γ−1) este perpendicular pe vectorul director v(2, 2,−1)al dreptei d. Prin urmare, avem

MM ′ ⊥ v ⇔�MM ′, v

�= 0 ⇔ 2(α− 1) + 2(β − 1)− (γ − 1) = 0.

Rezolvând sistemul, gasim α = −1, β = −3, γ = −11.

15. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin dreapta

d :x− 1

0=y − 1

1=z − 2

2

si este perpendicular pe planul P : x+ y + z = 0.

Rezolvare. Planul cautat va contine vectorul director al dreptei d si normala laplanul P . Totodata el va trece prin orice punct al dreptei d, spre exemplu, prinpunctul A (1, 1, 2). Prin urmare, ecuatia planului cautat este

��

x− 1 y − 1 z − 20 1 21 1 1

��= 0 ⇔ −x+ 2y − z + 1 = 0.


16. Sa se scrie ecuatiile dreptei care trece prin punctul A (3, 1,−1) si se sprijina pedreptele:

(a)x

1=y − 2

3= z − 1 si

x+ 1

2=

y

−1=z

4;

(b)�x− 1 = 0x+ 3y − z = 3

si x = −t, y = 2t+ 1, z = 3t, t ∈ R.

Rezolvare. Totalitatea dreptelor din spatiu, care trec prin punctul

A :

x− 3 = 0y − 1 = 0z + 1 = 0,

este data de familia de drepte

dλµ :

�x− 3 = λ (y − 1)

x− 3 = µ (z + 1) ,λ, µ ∈ R∗.

(a) Din conditia ca sistemele

x− 3 = λ (y − 1)

x− 3 = µ (z + 1)

x

1=y − 2

3= z − 1

si

x− 3 = λ (y − 1)

x− 3 = µ (z + 1)

x+ 1

2=

y

−1=z

4

sa fie compatibile, se gasesc doua ecuatii din care rezulta λ = 7/2 si µ = −14/5.

(b) Cazul al doilea se trateaza analog.

17. Sa se gaseasca pe dreapta�x+ y + z − 1 = 0

3x− y + 4z − 29 = 0

un punct egal departat de punctele A (0, 0, 0) si B (2, 1, 2).

Rezolvare. Punctul cautat se gaseste la intersectia dreptei date cu planul mediatoral segmentului [AB]. Planului mediator al segmentului [AB] este planul care treceprin mijlocul M(1, 1/2, 1) al segmentului [AB] si are directia normala AB(2, 1, 2).Prin urmare, planul mediator al segmentului [AB] are ecuatia

2(x− 1) + 1 ·�y − 1

2

�+ 2(z − 1) = 0 ⇔ 4x+ 2y + 4z − 9 = 0.

Rezolvând acum sistemul

x+ y + z − 1 = 0

3x− y + 4z − 29 = 0

4x+ 2y + 4z − 9 = 0,

gasim punctul P (−25/2,−5/2, 16).


18. Sa se calculeze distanta de la punctul A(1, 2, 2) la dreapta

d :x− 1

−5=y + 1

3=z + 1

3.

Rezolvare. Punctul A1(1,−1,−1) apartine dreptei d iar v(−5, 3, 3) este vectoruldirector al dreptei d. Rezulta ca avem

AA1 × v =

��

i j k0 −3 −3−5 3 3

��= 15j − 15k.

Prin urmare, distanta de la punctul A la dreapta d este:

d(A, d) =

!!AA1 × v!!

v =

√225 + 225√25 + 9 + 9

=

√450√43

= 15

�2

43.

19. Sa se scrie ecuatia perpendicularei comune a dreptelor

d1 :x− 1

2=y − 3

1=z

0si d2 :

x

−1=y

2=z − 1

1.

Rezolvare. Perpendiculara comuna a dreptelor d1 si d2 se gaseste la intersectiadintre planul determinat de A1, v1, v1 × v2 si planul determinat de A2, v2, v1 × v2.Deoarece avem

v1 × v2 =

��

i j k2 1 0−1 2 1

��= i− 2j + 5k,

rezulta ca ecuatiile perpendicularei comune sunt

��

x− 1 y − 3 z2 1 01 −2 5

��= 0

��

x y z − 1−1 2 11 −2 5

��= 0

⇐⇒�x− 2y − z + 5 = 02x+ y = 0.

20. Sa se calculeze distanta dintre dreptele

d1 :

�x+ y = 4x− 2y + z = −5

si d2 :x− 2

1=y − 3

2=z

0.

Rezolvare. Directiile dreptelor d1 si d2 sunt v1(1,−1,−3) si v2(1, 2, 0), iar produsullor vectorial este

v1 × v2 =

��

i j k1 −1 −31 2 0

��= 6i− 3j + 3k.


Punctul A1(1, 3, 0) apartine dreptei d1 si punctul A2(2, 3, 0) apartine dreptei d2.Produsul mixt al vectorilor A1A2, v1 si v2 este

�A1A2, v1, v2

�=

��

1 0 01 −1 −31 2 0

��= 6,

ceea ce implica

d(d1, d2) =

��A1A2, v1, v2��

v1 × v2 =

6

3√6=

√6

3.

21. Sa se determine α si β ∈ R astfel încât planele

π1 : x+ 2y − z = α,

π2 : αx = 3,

π3 : x+ βy + z = 0

(a) sa se intersecteze dupa o dreapta;

(b) sa se intersecteze într-un punct;

(c) sa formeze o prisma.

Rezolvare. (a) Trebuie ca sistemul

x+ 2y − z = ααx = 3x+ βy + z = 0

sa fie compatibil simplu nedeterminat, adica trebuie sa avem

��

1 2 −1α 0 01 β 1

��= 0

��

1 2 αα 0 31 β 0

��= 0

⇔�α(β + 2) = 0α2β − 3β + 6 = 0.

Rezulta α = 0 si β = 2 (Nu convin! De ce?) sau α = ±√6 si β = −2.

(b) Sistemul de mai sus trebuie sa fie compatibil determinat, adica trebuie sa avem��

1 2 −1α 0 01 β 1

��= 0 ⇒ α ∈ R\{0}, β ∈ R\{−2}.

(c) Deoarece cele trei plane sunt doua câte doua neparalele, conditia necesara sisuficienta ca ele sa formeze o prisma este ca cele trei plane sa nu aiba nici unpunct comun. Cu alte cuvinte, sistemul format din ecuatiile planelor trebuie sa fieincompatibil. Rezulta α ∈ R\{0,±

√6} si β = −2.


22. Sa se determine simetrica dreptei

d :x− 1

4=y

1=z − 2

−2

fata de planul xOy.

Rezolvare. Pentru a determina simetrica dreptei d fata de planul xOy, construimsimetricele a doua puncte de pe dreapta d fata de acest plan. Pentru comoditate,pe unul dintre puncte îl alegem la intersectia dreptei d cu planul xOy, adica luampunctulM (5, 1, 0) (deoarece simetricul luiM fata de plan este tot punctulM). Fie,acum, punctul N (1, 0, 2) ∈ d. Simetricul lui N fata de planul xOy este N ′ (1, 0,−2).În concluzie, dreapta cautata este

N ′M :x− 1

4=y

1=z + 2

2.


1. Sa se calculeze aria si înaltimile triunghiului △ABC, unde A (1,−2, 1) , B (2, 1,−1)si C (3, 2,−6).

R. A△ABC =

√182

2; hA =

�182

27; hB =

�182

69; hC =

�182

14.

2. Se dau punctele A (1,−5, 4) , B (0,−3, 1) , C (−2,−4, 3) , D (4, 4,−2). Sa se cal-culeze volumul tetraedrului ABCD si înaltimile acestuia.

R. VABCD = 15/2; hA = 3. Analog, folosind formula volumului unui tetraedru, secalculeaza si celelalte înaltimi.

3. Se considera punctele A (a, 0, 0) , B (0, b, 0) , C (0, 0, c), unde a, b, c ∈ R. Sa se arateca avem

A△ABC ≤ 1

2

√a4 + b4 + c4.

În ce conditii are loc egalitatea?

R. Aria triunghiului este

A△ABC =1

2

√a2b2 + a2c2 + b2c2.

Aplicam acum inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz. Rezulta ca avem egalitatepentru a2 = b2 = c2.

4. Sa se determine ecuatia planului care trece prin punctulM (−1, 1, 0) si taie pe axelede coordonate segmente cu lungimile proportionale cu numerele 2, 3 si 4.

R. 6x+ 4y + 3z + 2 = 0.

5. Fie triunghiul △AMC determinat de punctele A (0, 2, 0) , M (3, 2, 1) si C (0, 1, 2).Sa se scrie ecuatiile:


(a) înaltimii din A;

(b) medianei din M ;

(c) mediatoarei laturii [AM ].

R. (a)x

9=y − 2

−8=

z

19; (b)

x

3=

2y − 3

1=z − 1

0; (c)�

3x+ z − 5 = 0x− 6y − 3z + 12 = 0.

6. Un mobil M se deplaseaza în spatiu pe traiectoria data de

x = 2t+ 1y = −tz = t+ 3.

Sa se scrie ecuatiile carteziene ale acestei traiectorii. Sa se determine momentul t lacare mobilul se afla în planul x+ y + z = 0.

R.x− 1

2=

y

−1=z − 3

1; t = −2.

7. Sa se scrie ecuatiile proiectiei dreptei

d :x− 1

2=y + 1

3=z − 2

5

pe planul π : 3x− 2y + z − 4 = 0.

R. Prπ d :

�x+ y − z + 2 = 03x− 2y + z − 4 = 0.

8. Sa se scrie ecuatia planului π care este paralel cu planul

P : 3x+ 5y + z = 0

si care trece prin punctul M (2, 0, 5).

R. π : 3x+ 5y + z − 11 = 0.

9. Sa se determine coordonatele simetricului punctului M(2,−1,−1) fata de dreapta

d :x− 1

2=y + 1

3=z

1.

R. PrdM =M ′′(2/7,−4/7, 8/7).

10. Sa se determine simetrica dreptei

d :x− 1

2=y − 2

−1=z

3

fata de planul P : 2x− y + z = 0.

R.x− 1

−10=y − 2

5=z

1.


11. Sa se scrie ecuatiile proiectiei ortogonale a dreptei

d :

�x+ y + z + 3 = 02x− 3y − z = 0

pe planul P : 3x+ 2y − z − 2 = 0.

R. PrP d :

�−7x+ 13y + 5z + 3 = 03x+ 2y − z − 2 = 0.

12. Fie aplicatia f : R2 → R3 definita prin f(x, y) = proiectia punctului P (x, y, 0) peplanul π : 3x − y − 2z = 0. Sa se arate ca f este aplicatie liniara si sa se calculezeker f si Im f . Sa se determine defectul si rangul lui f .

R. f(x, y) =

�5x+ 3y

14,3x+ 13y

14,3x− y

7

�;

ker f = {(0, 0)}, dimR ker f = 0;

Im f = {(a, 3a− 2c, c) | a, c ∈ R}, dimR Im f = 2.

13. Sa se gaseasca unghiul dintre dreptele

d1 :x− 1

−2=y

2=z − 4

1si d2 :

�y = 3x+ 2y + 2z = 1.

.

R. cosϕ = −√5/3.

14. Calculati unghiul pe care îl face planul π : 2x+ 2y − z − 3 = 0 cu dreapta

d :x

0=y

3=z

4.

R. cos θ = 2/15.

15. Sa se afle unghiul dintre planele P : x+ y + 2z = 1 si Q : 2x− y + 2z = 3.

R. cosϕ = 5√6/18.

16. Fie planul P : x+ y + z + 1 = 0 si dreapta

d :

�x− y − 3z + 2 = 02x− y + 2z − 3 = 0.

(a) Sa se scrie ecuatia planului Q care trece prin dreapta d si face un unghi de 60◦

cu planul P .

(b) Sa se scrie ecuatia planului R care trece prin dreapta d si face un unghi de 30◦

cu dreapta

d1 :x+ 1

−1=y − 2

2=z − 3

1.

R. (a) Q1,2 : x− y − 3z + 2 + λ1,2(2x− y + 2z − 3) = 0, unde λ1,2 =9±

√78

3.

(b) R1,2 : x− y − 3z + 2 + λ1,2(2x− y + 2z − 3) = 0, unde λ1,2 =51± 3

√70

73.


17. Sa se determine simetricul planului P : 2x+y−2z = 1 fata de planulQ : x+y+z = 0.

R. π : 4x+ y − 8z − 3 = 0.

18. Sa se calculeze distanta de la punctul M(3,−2, 1) la dreapta

d :x− 1

1=y + 2

−2=z − 3

3.

R. d(M,d) = 4√21/7.

19. Sa se arate ca dreptele

d1 :x− 1

−2=y

3=z

2si d2 :

x+ 1

2=y − 1

3=z + 1

2

sunt oarecare în spatiu si sa se determine distanta dintre ele.

R. Dreptele nu sunt nici paralele, nici concurente; d(d1, d2) = 5/√13.

20. Sa se afle locul geometric al dreptelor care se sprijina pe dreapta

d1 : x = y = z

si sunt paralele cu dreapta

d2 :x− 1

2=y − 2

3=z − 3

1.

R. Locul geometric este planul π : 2x− y − z = 0.

21. Fie un triedru dreptunghic OABC, astfel încât

1

OA+

1

OB+

1

OC=

1

k> 0 (constant).

Sa se demonstreze ca planul ABC trece printr-un punct fix.

R. Punctul fix este P (k, k, k).

22. Sa se determine locul geometric al simetricelor punctelor din planulP1 : x+ 2y = 0 fata de planul P2 : 2x+ z = 0.

R. Locul geometric este planul π : 3x− 10y + 4z = 0.

23. Sa se arate ca planele mediatoare ale muchiilor unui tetraedru sunt concurente.


Bibliografie

[1] Atanasiu, Gh., Munteanu, Gh., Postolache, M., Algebra Liniara. Geometrie Analiticasi Diferentiala. Ecuatii diferentiale (Culegere de probleme), Editura Fair Partners,Bucuresti, 2003.

[2] Atanasiu, Gh., Stoica, E., Algebra Liniara. Geometrie Analitica, Editura Fair Part-ners, Bucuresti, 2003.

[3] Balan, V., Algebra Liniara, Geometrie Analitica si Diferentiala, Universitatea "Po-litehnica" din Bucuresti, 1998.

[4] Balan, V., Algebra Liniara. Geometrie Analitica, Editura Fair Partners, Bucuresti1999.

[5] Craioveanu, M., Albu, I., Geometrie Afina si Euclidiana, Editura Facla, Timisoara,1982.

[6] Ianus, S., Curs de Geometrie Diferentiala, Universitatea Bucuresti, 1981.

[7] Ianus, S., Geometrie Diferentiala cu Aplicatii în Teoria Relativitatii, Editura Acade-miei Române, Bucuresti, 1983.

[8] Miron, R., Introducere în Geometria Diferentiala, Universitatea "Al. I. Cuza" dinIasi, 1971.

[9] Miron, R., Geometrie Analitica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976.

[10] Munteanu, Gh., Manea, A., Geometrie Analitica, Editura Universitatii "Transilva-nia" din Brasov, 2007.

[11] Neagu, M., Oana, A., Geometrie Superioara în Plan si în Spatiu, Editura Univer-sitatii "Transilvania" din Brasov, 2008.

[12] Nicolescu, L., Curs de Geometrie, Universitatea Bucuresti, 1990.

[13] Nicolescu, L., Geometrie Diferentiala (Culegere de probleme), Universitatea Bu-curesti, 1982.

[14] Obadeanu, V., Elemente de Algebra Liniara si Geometrie Analitica, Editura Facla,Timisoara, 1981.

[15] Oproiu, V., Geometrie, Universitatea "Al. I. Cuza" din Iasi, 1980.

[16] Paun, M., Matematici pentru Silvicultori, Vol. I, Editura Fair Partners, Bucuresti,2009.

[17] Pitis, Gh., Curs de Algebra, Geometrie si Ecuatii Diferentiale, Universitatea "Tran-silvania" din Brasov, 1990.

BIBLIOGRAFIE 189

[18] Radu, C., Algebra Liniara, Geometrie Analitica si Diferentiala, Editura All, Bu-curesti, 1996.

[19] Radu, C., Dragusin, L., Dragusin, C., Algebra Liniara. Analiza Matematica. Geome-trie Analitica si Diferentiala (Culegere de probleme), Editura Fair Partners, Bu-curesti, 2000.

[20] Soare, N., Curs de Geometrie, Universitatea Bucuresti, 1996.

[21] Stoica, E., Neagu, M., Algebra Liniara. Geometrie Analitica si Diferentiala (Culegerede probleme), Editura Fair Partners, Bucuresti 2009.

[22] Teleman, K., Geometrie Diferentiala Locala si Globala, Editura Tehnica, Bucuresti,1974.

[23] Teleman, K., Metode si Rezultate în Geometria Diferentiala Moderna, Editura Sti-intifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1979.

[24] Turtoi, A., Geometrie, Universitatea Bucuresti, 1985.

[25] Udriste, C., Algebra Liniara. Geometrie Analitica, Editura Geometry Balkan Press,Bucuresti, 2000.

[26] Udriste, C., Geometrie Diferentiala. Ecuatii Diferentiale, Editura Geometry BalkanPress, Bucuresti, 1997.

[27] Vrânceanu, Gh., Geometrie Analitica, Proiectiva si Diferentiala, Editura Didacticasi Pedagogica, Bucuresti, 1962.

[28] Vrânceanu, Gh., Margulescu, G., Geometrie Analitica, Editura Didactica si Peda-gogica, Bucuresti, 1973.

190 BIBLIOGRAFIE

book 01 nm a4 - old.unitbv.roold.unitbv.ro/portals/19/departament/colectiv/book_01_nm_a4.pdf ·...

Documents