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Bruckenkurs Mathematik

Vorlesung

Logik, Mengen, Zahlen

Kai Rothe

Technische Universitat Hamburg

Tagesablauf

9:00 - 10:30 Vorlesung Audimax I10:30 - 11:00 Pause11:00 - 11:45 Vorlesung/Ubungsbeispiele

12:15 - 13:45 Losen von Ubungsaufgaben Ubungsraume(Begleitet durch Tutoren)

14:00 - 15:30 Losungsbesprechung Audimax Ider Ubungsaufgaben

UbungsraumeD-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,

D 1021, D 1023, D 2022,H-SBC5: H0.01-H0.10N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,

Prasenzbruckenkurs: Aktuelles und Lehrmaterial

www.math.uni-hamburg.de/home/rothe/vorkurs19/index.html

Online Mathematik Bruckenkurs (OMB+):

www.ombplus.de/ombplus/public/index.html

MINTFIT - Test:

http://www.mintfit.hamburg

Aussage , Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Junktoren, Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . . 3

Aussageformen, Quantoren . . . . . . . . . . . . . . 11

Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Naturliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Teiler, Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . 23

Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Produktzeichen, Fakultat . . . . . . . . . . . . . . . 27

Binomialkoeffizienten, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Potenzen mit Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . 33

Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ordnungseigenschaften in IR . . . . . . . . . . . . 35

Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Betrag, Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Aussagenlogik

Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage.

Aussage

Eine Aussage ist eine sprachliche Formulierung (in derRegel ein grammatikalisch korrekter Satz) fur die esnur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch gibt.

(“tertium non datur”).

Beispiele

A : 3 · 3 = 9 wahre AussageB : 3 + 3 = 9 falsche AussageC : Welcher Tag ist heute? keine AussageD : Geh in die Mensa! keine Aussage

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Bemerkungen

• Entscheidend ist, dass jeder Aussage ein Wahrheits-wert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann,nicht, ob irgend jemand feststellen kann, ob dieseAussage nun tatsachlich wahr oder falsch ist.

• Der Inhalt oder die richtige grammatikalische Struk-tur eines Satzes ist nicht Gegenstand der Aussagen-logik.

• Aussagen konnen miteinander verknupft werden.

Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussa-ge bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte derdaran beteiligten ’elementaren’ Aussagen.


Verknupfung von Aussagen

Mit Junktoren (Verknupfungen) werden mit ’elemen-taren’ Aussagen A,B neue Aussagen konstruiert.

Der Wahrheitswert der verknupften Aussage wird mitHilfe von Wahrheitstafeln angeben.

Ubersicht: Junktoren zwischen Aussagen

¬ Negation nicht

∨ Disjunktion oder

∧ Konjunktion und

⇒ Implikation wenn, dann

⇔ Aquivalenz genau dann, wenn


Negation: nicht

A ¬A1 00 1

Die Negation von A ist also genau dann wahr, wenn Afalsch ist, und genau dann falsch, wenn A wahr ist.

Beispiele

¬A : ¬(3 · 3 = 9)↔ (3 · 3 6= 9) falsche Aussage,

¬B : ¬(3 + 3 = 9)↔ (3 + 3 6= 9) wahre Aussage.


Disjunktion: oder

A B A ∨B1 1 11 0 10 1 10 0 0

Die Disjunktion von zwei Aussagen, ist nur dann falsch,wenn beide Aussagen falsch sind.

Beispiele

A ∨B : (3 · 3 = 9) ∨ (3 + 3 = 9) wahre Aussage

A ¬A A ∨ ¬A1 0 10 1 1

Eine von beiden Aussagen A oder ¬A ist immer wahr.


Konjunktion: und

A B A ∧B1 1 11 0 00 1 00 0 0

Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr,wenn beide Aussagen wahr sind, ansonsten falsch.

Beispiel

A ¬A A ∧ ¬A1 0 00 1 0

Widerspruch: In einer zweiwertigen Aussagenlogik sindniemals gleichzeitig A und ¬A wahr.


Implikation: wenn..., dann...

A B A⇒ B1 1 11 0 00 1 10 0 1

Die Aussage (Wenn A, dann B) ist falsch, wenn A wahrist und B falsch, wenn also aus einer wahren Aussageeine falsche gefolgert wird.

Die logische Wenn-dann-Beziehung kann eine kausaleUrsache-Wirkung-Beziehung sein, muss es aber nicht.

Die beiden Aussagen mussen inhaltlich nichts mitein-ander zu tun haben und konnen dennoch eine wahreFolgerungsaussage bilden.


Beispiel

Fur alle n ∈ IN mit n > 2 ist folgende Implikationwahr:

n ist eine Primzahl︸︷︷︸A(n)

⇒ n ist ungerade︸︷︷︸B(n)

Wenn n keine Primzahl ist:

d.h. wenn A(n) falsch ist,dann ist n entweder gerade oder ungerade,d.h. die Folgerung B(n) ist wahr oder falsch.

Die Implikation A(n)⇒ B(n) ist aber in beiden Fallenwahr.

Wenn n eine Primzahl ist:

d.h. wenn A(n) wahr ist,dann ist n auch immer ungerade,d.h. B(n) ist auch wahr,

die Implikation A(n)⇒ B(n) ist also wahr.


Die Umkehrung:

B(n)⇒ A(n) fur alle n ∈ IN mit n > 2 ist nicht wahr.

n ist ungerade︸︷︷︸B(n)

⇒ n ist eine Primzahl︸︷︷︸A(n)

Denn es gibt eine Zahl n = 15,die ungerade ist, aber keine Primzahl ist,in diesem Fall ist also die Aussage B(n) wahr,aber A(n) falsch,und somit ist die Implikation nicht wahr fur dieses nund damit nicht fur alle n wahr.

notwendige BedingungDie Aussage B(n), d.h. n ist ungerade, ist eine notwen-dige Bedingung fur A(n), d.h. n ist eine Primzahl.

hinreichende BedingungB(n) ist keine hinreichende Bedingung fur A(n).

Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge derungeraden Zahlen.


Aquivalenz: genau dann, wenn

A B A⇔ B1 1 11 0 00 1 00 0 1

Die Gesamtaussage (genau dann A, wenn B) ist genaudann wahr, wenn beide Einzelaussagen A,B denselbenWahrheitswert besitzen, ansonsten falsch.Dabei ist es nicht erforderlich, dass die beiden AussagenA, B einen inhaltlichen Zusammenhang besitzen.

Sind zwei Aussagen A, B aquivalent, d.h. ist A ⇔ Beine wahre Aussage, konnen A und B uberall durchein-ander ersetzt werden.

Beispiele

(3 · 3 = 9) ⇔ Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade.

∀ n ∈ IN : n ist gerade ⇔ n ist durch 2 teilbar.


Aussageformen

Man spricht von einer Aussageform, wenn eine AussageA(x) von einer freien Variablen x abhangt (ggf. auchvon mehreren).

Eine Aussageform besitzt keinen Wahrheitswert.

Erst wenn fur die Variable x konkrete Objekte verwen-det werden, wenn sie beispielsweise durch einen Quan-tor gebunden wird, wird die Aussageform in eine Aus-sage uberfuhrt.

Solche quantifizierten Aussageformen, bei denen auchdie innere Struktur analysiert wird, sind Gegenstandder Pradikatenlogik, einer Erweiterung der Aussa-genlogik.

Quantoren

∀ : Allquantor , fur alle∃ : Existenzquantor , es gibt∃1 : Existenzquantor , es gibt genau


Beachte die Reihenfolge der Quantoren und der Ver-knupfungen:

∀x ∃y : A(x, y) < ∃y ∀x : A(x, y)

¬∀x : B(x) < ∀x : ¬B(x).

Beispiel

x ist ein Element aus der Menge aller Kinder,

y ist ein Element aus der Menge aller Frauen.

A(x, y) : x ist das Kind von y.

∀x ∃1 y : A(x, y) wahr.

∃1 y∀x : A(x, y) falsch.


Beweismethoden

Ein Beweis einer Aussage B besteht aus einer Kettevon Aussagen, die zueinander in gultigen Folgerungsbe-ziehungen stehen und an deren Ende die Wahrheit derAussage B folgt.

direkter Beweis

Von einer wahren AussageA (Voraussetzung) ausge-hend, folgert man durch gultige Implikationen (Ketten-schluss) die zu beweisende Aussage B (Behauptung).

A ⇒ . . . ⇒ B

Beispiel

Sei A : x > 1.und B : 6x + 3 > 3x + 6.

Beweise die Aussage A⇒ B:

A : x > 1 ⇒ 3x > 3 ⇒ 3x + 3 > 6⇒ 6x + 3 > 3x + 6 : B.


indirekter Beweis

Beim indirekten Beweis wird die Aussage A⇒ Bdurch eine aquivalente Aussage ersetzt,deren Richtigkeit dann nachgewiesen wird.

Man unterscheidet zwei Varianten:

1. Beweis durch Kontraposition

(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)

Beweis von ¬B ⇒ ¬A durch einen Kettenschluss

¬B =: A0 ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ An := ¬A

2. Beweis durch Widerspruch:

(A⇒ B)⇔ ¬(A ∧ ¬B)

Kettenschluss fur A∧¬B fuhrt auf falsche Aussage

(A∧¬B) =: A0 ⇒ A1 ⇒ A2 ⇒ · · · ⇒ An (falsch)

Damit ist A ∧ ¬B falsch und ¬(A ∧ ¬B) richtig.


Beispiel

Sei n ∈ IN beliebig:

A : n2 ist gerade,

B : n ist gerade.

Beweise A⇒ B indirekt durch Kontraposition:

Es wird ¬B angenommen, d.h. n ist ungerade.

⇒ ∃m ∈ IN : n = 2m + 1

⇒ n2 = (2m + 1)2

⇒ n2 = 4m2 + 4m + 1

⇒ n2 = 2(2m2 + 2m) + 1, k := 2m2 + 2m ∈ IN

⇒ n2 = 2k + 1

⇒ n2 ist ungerade, dies ist ¬A.


Mengen (nach Cantor)

Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmterwohl unterscheidbarer Objekte unseres Denkens oderunserer Anschauung.

Die Objekte m in einer Menge M heißen Elemente.

Man schreibt:m ∈M , wenn m Element von M ist,m 6∈M , wenn m kein Element von M ist.

M := {m1,m2,m3} aufzahlende FormM :=

{m∣∣ A(m)

}beschreibende Form

∅ := {} leere Menge

“:=” bedeutet “wird festgelegt als” oder auch “wird definiert als”.

Beispiele

M1 := {a, b, c, d} , aufzahlend

M2 := {2, 4, 6, 8, 10} , aufzahlend

M3 := {Alle Buchstaben im Alphabet von a bis f} ,beschreibend

M4 :={m ∈ IN

∣∣ m ist gerade}, beschreibend.


Beziehungen zwischen Mengen

A = B, Gleichheit: A und B besitzen die gleichen Elemente

A ⊂ B, Teilmenge: die Elemente von A sind in B enthalten

B ⊃ A, Obermenge: B enthalt die Elemente von A

x ∈ A ∪B, Vereinigungsmenge: x gehort zu A oder zu B

x ∈ A ∩B, Schnittmenge: x gehort zu A und zu B

x ∈ A \B, Differenzmenge: x gehort zu A und nicht zu B

Gilt A ∩B = ∅, dann heißen A und B disjunkt.

Beispiele

1. {a, d, f} ∩ {a, b, c, d} = {a, d} .

2. {a, d, f} ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, f} .

3. {1, 4, 7} \{n ∈ IN

∣∣ n ist gerade}

= {1, 7} .


Naturliche Zahlen

Ein “Axiom” im klassischen Sinne (Euklid/Aristoteles)ist ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip, welches nichtbeweisbar ist.Die naturlichen Zahlen IN sind durch die folgenden Axio-me eindeutig charakterisiert:

• 1 ist eine naturliche Zahl, d.h. 1 ∈ IN.

• Jede naturliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1.

• 1 ist kein Nachfolger einer naturliche Zahl.

• Die Nachfolger zweier verschiedener naturlicher Zah-len n und m sind voneinander verschieden.

• Fur eine Menge A mit A ⊆ IN gelte:1 ∈ A und n ∈ A ⇒ n+1 ∈ A. Dann folgt A = IN.

Diese Axiome formalisieren die intuitive Vorstellung desZahlens mit Hilfe der naturlichen Zahlen:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } .

Bemerkung:Fur IN vereinigt mit der Zahl Null, schreibt man

IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } .


Fur die Rechenoperationen ’+’ und ’·’und k, n,m ∈ IN0 gelten:

Kommutativgesetze

n + m = m + n und n ·m = m · n

Assoziativgesetze

(k+n)+m = k+(n+m) und (k ·n)·m = k ·(n·m)

Distributivgesetz

k · (n + m) = k · n + k ·m

0 ist neutrales Element fur ’+’

n + 0 = n

1 ist neutrales Element fur ’·’n · 1 = n

Es gibt keine inversen Elemente fur ’+’ und ’·’ inIN, d.h. es gibt kein n ∈ IN, mit beispielsweise

5 + n = 0 oder 5 · n = 1.


Das Summenzeichen∑

Gegeben seien n Zahlen die mit dem Indexk = 1, 2, 3, . . . , n durchnumeriert werden, also

a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an .

Beispiel:

a1 = 1 , a2 = 4 , a3 = 9 , a4 = 16 , a5 = 25a6 = 36 , a7 = 49 , a8 = 64 , a9 = 81 , a10 = 100a11 = 121 , a12 = 144 , a13 = 169 , a14 = 196 , a15 = 225a16 = 256 , a17 = 289 , a18 = 324 , a19 = 361 , a20 = 400a21 = 441 , a22 = 484 , a23 = 529 , a24 = 576 , a25 = 625

Kurzschreibweise: ak = k2 mit k = 1, 2, 3, 4, . . . , 25

Die Summe der Zahlen a1 bis an wird abkurzendmit dem Summenzeichen geschrieben:

a1 + a2 + · · · + an =:

n∑k=1

ak .

Beispiel:

25∑k=1

k2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + · · · + 576 + 625 .


Vollstandige Induktion

Eine Aussage A(n) fur alle naturlichen Zahlen n ≥ n0

kann mit Hilfe der vollstandigen Induktion bewiesenwerden.

Das Beweisprinzip

Induktionsanfang:Hier muss gezeigt werden, dass A(n0) richtig ist.

Induktionsschritt:Hier muss fur ein n ≥ n0 Folgendes bewiesen werden:

aus A(n) folgt A(n + 1)

A(n) heißt Induktionsannahme und wird als richtigfur ein n ≥ n0 angenommen. Diese Annahme ist nichtunbegrundet, wie der Induktionsanfang zeigt.

A(n + 1) heißt Induktionsbehauptung

A(n0)

' $?

A(n0 + 1)

' $?

A(n0 + 2)

'-

. . .

$?

A(n)

' $?

A(n+ 1)

. . .x x x x x


Beispiel

Kurzschreibweise: 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n∑k=1

k

Zeige: Fur alle n ∈ IN gilt die Aussage

A(n) :

n∑k=1

k =n(n + 1)

2.

Beweis:

Induktionsanfang: n = 1:

A(1) :

1∑k=1

k = 1 =1 · 2

2

Induktionsschritt: n → n + 1:

(Induktionsannahme = IA):Die Aussage sei wahr fur ein n ≥ 1.

n+1∑k=1

k =

(n∑k=1

k

)+ (n + 1)

IA=n(n + 1)

2+ (n + 1)

=n(n + 1) + 2(n + 1)

2=

(n + 1)(n + 2)

2

Damit ist die Aussage fur alle n ≥ 1 gezeigt.


Die naturliche Zahl n ∈ IN heißt Teiler von m ∈ IN,falls eine naturliche Zahl k ∈ IN existiert, so dass

m = k · ngilt. m ist dann ein Vielfaches von n.

Jede naturliche Zahl m besitzt die Teiler 1 und m.

Die naturliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sienur die zwei (verschiedenen) Teiler 1 und p besitzt.

Primfaktorzerlegung:Jede naturliche Zahl kann man als Produkt von Prim-zahlpotenzen darstellen.

kgV(m,n):kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n

ggT(m,n):großter gemeinsamer Teiler von m und n


Beispiel

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

Primfaktorzerlegung:

100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52,

70 = 2 · 5 · 7,

121 = 11 · 11 = 112.

kgV(100, 70) = 22 · 52 · 7 = 700,

ggT(100, 70) = 2 · 5 = 10,

ggT(121, 100) = 1 teilerfremd,

kgV(121, 100) = 22 · 52 · 112.


Ganze Zahlen

Erweitert man IN0, also die naturlichen Zahlen mit Null,

indem man jeder naturlichen Zahl n ein eindeutiges

inverses Element der Addition −n zuordnet,

so erhalt man die ganzen Zahlen

ZZ := {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }

Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,

Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz

und neutrale Elemente

lassen sich auf naturliche Weise auf die ganzen Zahlenubertragen.


Rationale Zahlen

Erweitert man ZZ\{0}, also die ganzen Zahlen ohne

Null, indem man jeder Zahl m ein eindeutiges

inverses Element der Multiplikation1

mzuordnet,

so ergeben sich die rationalen Zahlen (Bruche)

Q :={ n

m

∣∣∣ n ∈ ZZ, m ∈ IN}.

n heißt Zahler und m Nenner des Bruches.

Fur diese Menge gilt die Teilmengenbeziehung:

IN ⊂ ZZ ⊂ Q .

Die so definierte Addition und Multiplikation auf Q istassoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivge-setz.

Zudem gibt es neutrale und inverse Elemente der Ad-dition und Multiplikation.


Das Produktzeichen∏

wird analog zum Sum-menzeichen definiert

n∏k=1

ak = a1 · a2 · · · · · an.

Fakultat

Fur alle n ∈ IN0 ist die Fakultat wie folgt definiert:

0! := 1,

n! := 1 · 2 · · · · · n =

n∏k=1

k, n > 0.

Beispiel

n! = Anzahl der Moglichkeiten, n Objekte in Reihen-folge zu bringen:

Beispielsweise drei Objekte a, b, ckonnen auf 3! = 6 verschiedene Moglichkeiten angeord-net werden:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.


Binomialkoeffizienten

Fur die naturlichen Zahlen k ≤ n ist der Binomialkoef-

fizient

(n

k

)(Sprechweise: n uber k) wie folgt definiert:

(n

k

):=

n!

k! · (n− k)!=

(n− k + 1) · · · · · (n− 1) · nk!

Speziell ist:(n

0

):= 1 =

(n

n

),

(n

1

)= n.

Beispiel

Die verschiedenen Moglichkeiten ohne Berucksichtigungder Reihenfolge 6 Zahlen aus 49 auszuwahlen:(

49

6

)=

49!

6!43!=

1 · 2 · · · 48 · 49

1 · · · 6 · 1 · · · 43=

44 · · · 49

1 · · · 6= 13983816


Pascalsches Dreieck

(00

)�� (

10

)��

(11

)�� (

20

)��

(21

)��

(22

)�� (

30

) (31

) (32

) (33

)1

��

1

��

1

��

1

��

2

��

1

��

1 3 3 1

Die Addition zweier benachbarter Zahlen einer Zeile,von denen Pfeile ausgehen, ergeben den Eintrag in dernachsten Zeile auf den die Pfeile fuhren.

In Formeln bedeutet dies

(n

k − 1

)+

(n

k

)=

(n + 1

k

).


Die Binomischen Formeln

erste Formel: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

zweite Formel: (x− y)2 = x2 − 2xy + y2

dritte Formel: (x + y) (x− y) = x2 − y2

Der Binomische Lehrsatz

Fur beliebige x, y ∈ IR gilt:

(x + y)n =

n∑k=0

(n

k

)xn−kyk.


Beispiele

(x + y)2 =

2∑k=0

(2

k

)x2−kyk

=

(2

0

)x2 +

(2

1

)xy +

(2

2

)y2

= x2 + 2xy + y2

(x + y)3 =

3∑k=0

(3

k

)x3−kyk

=

(3

0

)x3 +

(3

1

)x2y +

(3

2

)xy2 +

(3

3

)y3

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3


Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen IR sind die Vervollstandigung derrationalen Zahlen Q:

Jede reelle Zahl x ∈ IR ist der Grenzwert einer Folgerationaler Zahlen qn ∈ Q, n ∈ IN.

Es gilt Q ⊂ IR und Q 6= IR,

denn zum Beispiel ist√

2 eine reelle,aber kein rationale Zahl.

Weitere bekannte Beispiele sind e, π ∈ IR \ Q.

Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz

und neutrale und inverse Elemente

lassen sich auf naturliche Weise auf die reellen Zahlenubertragen.


Potenzen

Fur a ∈ IR, n ∈ IN ist die Potenz definiert:

an := a · · · · · a︸︷︷︸n−mal

=

n∏k=1

a.

n heißt Exponent und a Basis.

Rechenregeln fur Potenzen

a0 = 1, a 6= 0,

a−n =1

an, a 6= 0, n ∈ IN,

an+m = anam, (an)m = anm, a 6= 0, n,m ∈ ZZ,

(ab)n = anbn.

Beispiele (Es gilt Potenz- vor Punkt- und vor Strichrechnung!)

1.(32)3

=(32) (

32) (

32)

= 3(2+2+2) = 36 = 729

2. 3(23) = 3(2·2·2) = 38 = 6561

3. 1 =81

81=

34

34= 3(4−4) = 30


Wurzel

Sei a ≥ 0.

Die eindeutige nichtnegative Losung x ≥ 0 von

x2 = a

ist die (positive) Quadratwurzel x =√a = a

12 .

Die eindeutige nichtnegative Losung x ≥ 0 von

xn = a

fur n ∈ IN ist die n-te Wurzel x = n√a = a

1n .

Es gelten die Rechenregeln fur Potenzen!

Beispiele

1.√

25 =√

5 · 5 = (52)12 = 52·12 = 51 = 5

2.90

3√

2=

21 · 32 · 51

31 · 212

= 21−12 · 32−1 · 51 = 15

√2

3.3√

64x12 =(26 · x12

)13 =

(26)1

3 ·(x12)1

3

= 26·13 · x12·13 = 22 · x4 = 4x4


Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen

Die reellen Zahlen sind angeordnet, d.h. je zwei reelleZahlen x, y ∈ IR lassen sich der Große nach miteinandervergleichen:

Fur a, b, c ∈ IR gilt:

1. a ≤ b oder b ≤ a ,

2. a ≤ a ,

3. aus a ≤ b und b ≤ a folgt a = b,

4. aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c.

Beispiele

Aus x ≤ 5 und 5 ≤ x folgt x = 5.

Aus x ≤ 5 und 5 ≤ y folgt x ≤ y


Intervalle: Seien a, b ∈ IR beliebig mit a ≤ b,

[a, b] :={x ∈ IR

∣∣ a ≤ x ≤ b}, abgeschlossenes Intervall

]a, b[ :={x ∈ IR

∣∣ a < x < b}, offenes Intervall

[a,∞[ :={x ∈ IR

∣∣ a ≤ x}.

Der Ausdruck ∞ bezeichnet keine Zahl,

d.h. ∞ ist nicht einfach eine unendlich große Zahl amEnde des reellen Zahlenstrahls.

∞ ist immer die Abkurzung fur einen Grenzprozess.

Wir konnen mit ∞ nicht wie gewohnt rechnen!

Beachte: beispielweise konnen

1

∞·∞ und 0 · ∞

jeden beliebigen Wert annehmen und sind nicht als Pro-dukt zweier Zahlen misszuverstehen.


Betrag

Der Betrag einer reellen Zahl x ∈ IR ist ihr Abstandzum Nullpunkt, d.h.

|x| :={

x , 0 ≤ x−x , x < 0.

Eigenschaften des Betrages

Fur x, y ∈ IR besitzt der Betrag folgende Eigenschaften:

1. |x| ≥ 0 ,

2. |x| = 0 daraus folgt x = 0 ,

3. |x · y| = |x| · |y| ,4. |x + y| ≤ |x| + |y| .

Der Abstand zwischen zwei Zahlen x, y ∈ IR wirddurch den Betrag |x− y| gemessen.


Beispiel 1

x = −4, y = 7 daraus folgt |x−y| = |−4−7| = 11.

Beispiel 2

Fur welche x ∈ IR gilt: |x + 1| > 4 ?

1. Fall: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1

x + 1 > 4 ⇔ x > 3

2.Fall: x + 1 < 0 ⇔ x < −1

−(x + 1) > 4 ⇔ x + 1 < −4 ⇔ x < −5

Die Losungsmenge lautet also

L ={x ∈ IR

∣∣ x > 3 oder x < −5.}.


Selbstandiges Losen der Ubungsaufgaben:12:15 - 13:45

Ubungsraume:

D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,D 1021, D 1023, D 2022,

H-SBC5: H0.01-H0.10

N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,

(Tutoren in den Raumen geben dabei gerneHilfestellung)

Besprechung der Aufgaben:Audimax I 14:00 - 15:30

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