Braquistócrona vs. Geodésica

Um problema de Cálculo de Variações

Hugo AraújoLuso 2006

Luso 2006

1. Cálculo de VariaçõesObjectivo:• Procurar mínimos ou máximos de

funcionais.• Funcional:

• Exemplo:Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .

Φ : {Curvas} → °

(x0 , y0 ) (x1, y1)

Luso 2006

Seja de classe

Cálculo variacional minimiza funcionais da forma

ondee Diz-se que:

minimiza a funcional se

C1

y*∈C ∀y ∈C : Φ(y*) ≤ Φ(y)

y : x0 , x1[ ] → °

x→ y(x)

C = y: x0 , x1[ ] → ° : y(x0 )=y0 ∧y(x1)=y1{ }

Φ :C→ °

y(x)→ Φ(x,y(x),y'(x))dxx0

x1

∫

y '(x)=dy dx.

Luso 2006

1.1. Equação de Euler-LagrangePretende-se minimizar a funcional:

Assume-se que é de classe

Condição necessária para mínimo:

Eq. de Euler-Lagrange

Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

ddx

∂Φ∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∂Φ∂y

Φ = F(x, y, y ')dxx0

x1

∫F(x, y, y ') C2

Luso 2006

1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L.

1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é,

ou equivalentemente, , a

equação de E-L escreve-se:

2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é,

ou equivalentemente, , a equação

de E-L implica: F −y'

∂Φ∂y'

=C ∈°

Φ = F(x, y ')dxx0

x1

∫

ddx

∂Φ∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=0 ⇒

∂Φ∂y'

=C ∈°

∂F∂y

= 0

Φ = F(y, y ')dxx0

x1

∫ ∂F∂x

= 0

Eq. da energia

Luso 2006

1.1.2. Demonstração do 2º caso particularSeja

Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia.

Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

Ψ =F(y, y ') − y '∂F(y, y ')

∂y '

dΨdx

=∂Φ∂y

y'+∂Φ∂y'

y''−y''∂Φ∂y'

−y'ddx∂Φ∂y'

=y'∂Φ∂y

−ddx∂Φ∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C 2

yy '≠0.

Luso 2006

1.2. Cálculo de Variações - Exemplo•Exemplo:Comprimento de arco da curva entre eé dado pela seguinte funcional:

Como , e a eq. de E-L é:

As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

y(x) (x0 , y0 ) (x1, y1)

Φ = 1 + y '2dxx0

x1

∫

F(x, y, y ')= 1+ (y'(x))2

ddx

y '

1+ (y'(x))2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=0

Luso 2006

2. Braquistócrona no plano• O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por

Johann Bernoulli.• Este problema consiste em encontrar a curva que

minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade.

• A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

Luso 2006

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com eSeja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva

Assumimos que ao longo desta curva se tem

Pelo Teorema da Conservação da Energia

Ec + Ep =Eci + Epi ⇔12mv2 + mgh=

12mvi

2 + mghi ⇔

v2 + 2gh=0 ⇔ &x2 + &y2 =−2gy⇔ &x2 1+ y'2( )=−2gy⇔

dxdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

=−2gy1+ y'2

⇔dtdx

=1+ y'2

−2gy⇔ t=

1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx

y (t) = (x(t), y(t))

&y (t) = ( &x(t), &y(t ))

(0, 0)(x1, y1 ) x1 > 0 y1 < 0.

y =y(x).

y (t).

v = &y = &x2 + &y2

&y =dy

dt=dydx

dxdt=y'&x

Assumindo que y é função de x:

Tempo de percurso entre e ao longo de x0 =0 x1 y =y(x).

Luso 2006

F −y'∂Φ∂y'

=C ⇔ y'=± −1

2C2gy−1 ⇔ y'=± −

k2

y−1

∂F∂x

= 0

Seja k2 =1

2C2g

t =1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx Φ=1+ y'2

−2gy

Pretende-se minimizar a seguinte funcional:

Como , utiliza-se a eq. da energia.

Eq. da energia para o problema da Braquistócrona.

y ' =dydx

=dyds

dxds

⇔dxds

=dyds

y'

Utilize-se a seguinte mudança de variável:

Pelo teorema da função implícita:

y '(x)=± −k2

y(x)−1 ⇔

dxds=±

k2

21−coss( )⇒ x(s)=k

2

2s−sins( )

Resolução da equação diferencialy(s)=−

k2

21−coss( )

Luso 2006

A curva paramétrica

satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide.

Nota 2: É possível mostrar que:•A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter);•Essa função é de classe e •Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal;•A ciclóide é a única extremal.•Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

y xy x( ) C 2 y '(x)≠0;

y(x)

x(s)=k2

2s−sins( )

y(s)=−k2

21−coss( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s∈ 0, 2p[ ]k∈° \0{ }

Luso 2006

Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos

e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.

2.1. Braquistócrona vs. Geodésica

k =1

(0, 0) x3p2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , y

3p2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3p4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e

Luso 2006

&x2 + &y2 =−2gy⇔

dsdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 dx

ds⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=−2gy(s)⇔ t=

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−2gy(s)0

3p2

∫ ds

Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica.

Como já anteriormente tínhamos visto:

Tempo de percurso na curva paramétrica.

Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos e

x(s)=12s−sins( )

y(s)=−121−coss( )

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(0,0)

x3p2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , y

3p2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3p4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

k =1

dxds

=121−coss( )

dyds=−

12sins

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e

(0, 0)3p4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

y =−2

3p + 2x

t =1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx ⇔ t=

3p + 2( )2 + 43p + 2( )2

2g2

3p + 2x0

3p4+12

∫ dx ⇔ t ; 1.85

Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.

Tempo de percurso pela geodésica.

⇔ t =

12

1− cos s( )

−2g −12

1− cos s( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

3π2

∫ ds⇔ t =12g0

3π2

∫ ds ; 1,064

Substituindo,

Tempo de percurso pela ciclóide.

Luso 2006

2.2. TautócronaQuickTime™ and aAnimation decompressor

are needed to see this picture.

Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e

Considere-se a ciclóide:

x(s)=k2

2s−sins( )

y(s)=−k2

21−coss( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(0, 0)x p( ), y p( )( ).

Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por:(0, 0) x p( ), y p( )( )

t =

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−2gy(s)0

p

∫ ds⇔ t=

k4

2(1−coss)

2gk2

2(1−coss)0

p

∫ ds⇔ t= k2

2g0

p

∫ ds⇔ t= k2

2gp

Tempo de percurso entre e , largado em (0, 0) (x(p), y(p)) (0,0).

Luso 2006

x p( ), y p( )( )x s0( ), y s0( )( )= x0 , y0( ) s0 ∈ 0,p] [

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e com , onde v s0( )=0.

Formula para o tempo de percurso entre e , largado em

Ec + Ep =Eci + Epi ⇔12mv2 + mgh=

12mvi

2 + mghi ⇔ t=

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

2g(y0 −y)s0

p

∫ ds

y (t) = (x(t ), y(t))

&y (t) = ( &x(t ), &y(t))

(x0 , y0 )

Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia,

(x(p), y(p ))(x0 , y0 ).

t =k2

2g1−coss

coss0 −cosss0

p

∫ ds

Ao longo da ciclóide tem-se:

Luso 2006

t =k2

2g

sins2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos2s02

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−cos

2 s2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

s0

p

∫ ds

⇔ t=k2

2g−2arctan 0( )+ 2arctan +∞( )( )⇔ t=

k2

2gp

1−cos(θ)=2sin2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos(θ)=2cos2 θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas:

Para concluir que:

Tempo de percurso entre e , largado em (x0 , y0 ) (x(p), y(p )) (x0 , y0 ).

Luso 2006

3. Braquistócrona no cilindro vertical

Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de

Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano.

Ec + Ep =Eci + Epi ⇔ t=1+ z'2

−2gz0

θ1

∫ dθ

(θ0 , z0 )=(0, 0)(θ1, z1) θ1 > 0 z1 < 0.

Tempo de percurso entre e ao longo da curva

θ0 = 0 θ1

z =z(θ).

P : 0,2p[ [ × ° → ° 3

(θ,z)→ (cosθ,sinθ,z)

Ψ(t) = x(t), y(t), z(t)( )Φ(t) = θ (t), z(t)( ) z θ.

Luso 2006

De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical:

Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

z ' =± −k2

z−1

θ(s) =k2

2s − sin s( )

z(s) = −k2

21− cos s( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s ∈ 0, sk[ ]k ∈° \ 0{ }

x =cosk2

2s−sins( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y=sink2

2s−sins( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z=−k2

21−coss( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0, sk[ ]k∈° \0{ }

Luso 2006

4. Braquistócrona no cilindro horizontal

Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal.

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical.

θ1 > 0 y1 > 0.

P : 0,2p[ [ × ° → ° 3

(θ,y)→ (sinθ,y,cosθ)(θ0 , y0 )=(0, 0)

(θ1, y1)

θ =θ(y)

Ec + Ep =Eci + Epi ⇔ t= 1+θ '2

2g(1−cosθ)0

y1

∫ dy

Tempo de percurso entre e ao longo da curva

y0 =0 y1

θ =θ(y).

Luso 2006

Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal:

Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:

, i. e.

Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para

Pelo teorema da função inversa:

Obtem-se que:

θ ' = ±k2

1 − cosθ− 1

1−cosθ =k2

21−coss( )

dθds

=k2

2sinssinθ

dθdy

dyds=dθds

⇔dyds=

dθdsdθdy

s =0 ⇒ θ =0s =0.

dyds=±

1−coss

−1+ coss+4k2

Luso 2006

Realize-se agora a seguinte mudança de variável i. e.

Obtem-se que:

Se

Se

u =coss

dydu

=dyds

dsdu

⇔dydu

=m1

−1+u+4k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 1+u( )

dsdu

=−1

1−u2

k2 =2 :

y(u) =mln(1+ u)+C

k2 ≠2 :

y(u) =mln 2 + k2u+ k u2k2 + 4u−k2 + 4

k2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+C

Luso 2006

Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica.

Se

Se

k2 =2 :θ(s) = arccos 1− 2

21− cos s( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = s

y(s) = ± ln1+ cos s

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k2 ≠2 :

θ(s) = arccos 1− k2

21− cos s( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y(s) = ± ln2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4

k2 + 2 2k + 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s ∈ 0, arccos 1−4k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

θ 0( ), y 0( )( ) = 0, 0( )C

Luso 2006

Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução:Se

Se

k2 =2 :x(s) =sins

y(s)=−ln1+ coss

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z(s)=coss

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k2 ≠2 :

x(s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y(s)=−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4

k2 + 2 2k+ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z(s)=cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0,arccos 1−4k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

Luso 2006

4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal

Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ?

Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

k2 < 2

θD (s) = arccos 1−k2

21 − cos s( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

yD (s) = −2 ln2 − k2 + k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ln2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4

k2 + 2 2k + 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s =p

s ∈ p,2p[ [

Luso 2006

Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades:•Define com função de• satisfaz a eq. da energia• é de classe• •Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita;

Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

θ(y) F −θ '∂Φ∂θ '

=C;

θ y;

C 2;θ '(y) ≠ 0;θ(y)

Luso 2006

Curva paramétrica para :

x(s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y(s)=−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4

k2 + 2 2k+ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z(s)=cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0,p[ [

k2 < 2

xD (s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

yD (s)=−2ln2 −k2 + k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ln

2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4k2 + 2 2k+ 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟s∈ p,2p[ [

zD (s)=cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Luso 2006

Bibliografia

•Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968.•Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986.•Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976.•Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.