Brojni sistemi i kodovi

Razlikujemo dvije osnovne grupe sistema:

Pozicioni sistemi i Nepozicioni sistemi

Najpoznatiji nepozicioni brojni sistem je sistem rimskih brojeva.

Pozicioni brojni sistemi

Pozicioni brojni sistem je takav sistem u kome vrijednost cifre zavisi od njene pozicije u broju.Prikazivanje brojeva na današnji način rezultat je duge evolucije. Stari Babilonci pisali su brojeve u pozicionom sistemu sa bazom 60. Dekadski sistem razvijen je u Indiji oko petog vijeka n.e., a u Evropu su ga donijeli Arapi oko 1000. godine dodavši cifru 0.Kada napišemo neki broj, npr 325, onda on znači:

Dakle svaka cifra ima vrijednost prema poziciji na kojoj se nalazi u broju.

U opštem slučaju broj N, u brojnom sistemu sa bazom B, prikazanog sa n cijelih mjesta mozemo zapisati:

Tabela: Nekih brojnih sistema

Konverzija iz jednog brojnog sistema u drugi

Konverzija iz nekog brojnog sistema sa bazom B u dekadni brojni sistem može se provesti primjenom izraza:

Konverzija cijelog broja iz dekadnog brojnog sistema u druge sisteme sprovodi se sukcesivnim dijeljenjem bazom tog brojnog sistema u koji broj pretvaramo. Ostaci pri dijeljenju tada prestavljaju cifre u prikazu broja u drugom brojnom sistemu.

U primjeru je prikazana konverzija dekadnog broja 24.

Konverzija razlomljenog broja iz dekadnogbrojnog sistema u druge brojne sisteme vrši se sukcesivnim množenjem bazom brojnog sistema u koji broj konvertujemo. Cijeli dio rezultata u svakom koraku množenja tada prestavlja cifre u prikaru broja u drugom brojnom sistemu, koji je takodjer razlomljen broj.

U primjeru je prikazana konverzija dekadnog broja 0,625 u binarni brojni sistem.Pri konverziji broja sa fiksnim zarezom, potrebno je posebno konvertovati cijeli dio broja, a posebno razlomljeni dio.

Princip prikazivana broja pomoću električnog sklopa

Prikaz broja 18 u raznim brojnim sistemima:

Mozemo vidjeti iz tablice da povećanjem baze sistema smanjuje se broj cifara za prikaz broja. Na temelkju toga bi se moglo zaključiti da da će sistemi sa većom bazom biti općenito efikasniji za obavljanje računanja. Taj bi zaključak bio i suviše ishitren jer treba uzeti u obzir i suprotne efekte koji dolaze sa povećanjem baze.( Povećava se u prvom redu broj cifara, a sa povećanjem broja cifara raste i tablica množenja). Prikladnost nekog sistema čovjeku neznači da je on isto tako pogodan i za primjenu u uređajima za računanje.

Princip prikaza broja pomoću električnog sklopa

Da bi se prikazala neka cifra električnim sklopom,potrebno je da ima onoliko različitih diskretnih stanja koliko ima i cifra, tako da se svakom stanju može pridjeliti značenje jedne cifre. Za prikaz nekog broja sa n brojnih mjesta u sistemu sa bazom B treba dakle n sklopova od kojih svaki ima B diskretnih stanja.

Ako je svako diskretno stanje povezano sa jednom žaruljicom, onda će za svaki pojedinačni broj koji se prikazuje svijetliti jedna od žaruljica u svakoj vertikalnoj grupi, dakle ukupno n žaruljica.

Na ovaj način se moze prikazati onoliko brojeva N koliko ima različitih konbinacija pa je :

Proračuni pokazuju da bi najefikasniji brojni sistem bio onaj sa bazom B=e=2,71...

Budući da baza može biti samo cio broj, rjesenja je broj 3. I ako je sistem sa bazom 3 najefikasniji ipak je to samo 5 % efikasnosti u odnosu na bazu sistema B=2. Sto znatno pojednostavljuje implementaciju digitalnih sklopova.

Brojni sistem najbliži ljudima je dekadni brojni sistem sa bazom B=10, kod kojeg je 50% razlika efikasnosti u odnosu na binarni brojni sistem.

SISTEMI BINARNOG NIZA

U sisteme binarnog niza ubrajaju se sistemi čija je baza jedna od potencija broja 2.Dakle sistemi s bazama 2,4,8,10,16 spadaju u sisteme binarnog niza i oni se mogu međusobno pretvarati:

KONVERZIJA BROJEVA U SISTEMIMA BINARNOG NIZA

Pri konverziji brojeva iz jednog u drugi sistem koji pripadaju sistemima binarnog niza primjenjuje se jednostavno pravilo, koje se zasniva na odnosu baza tih dvaju brojnih sistema.

Ukoliko se vrši konverzija iz binarnog u oktalni brojni sistem, u binarnom broju se vrši grupisanje po tri bita, lijevo i desno od zareza, pri čemu svaka tako dobivena trojka prestavlja jednu cifru oktalnog brojnog sistema, koji se dobije konverzijom spomenute trojke bita u dekadni brojni sistem.

Obrnuto pri konverziji iz oktalnog u binarni brojni sistem, svaka cifra oktalnog brojnog sistema se prestavlja sa tri bita binarnog brojnog sistema.

Ukoliko se vrši konverzija iz binarnog u heksadekadni brojni sistem, u binarnom broju se vrši grupisanje po četri bita, lijevo i desno od zareza, pri čemu svako tako dobivena tetrada prestavlja jednu cifru hekasadekadnog brojnog sistema, koja se dobije konverzijom spomenute tetrade u dekadni brojni sistem.

Obrnuto,pri konverziji iz heksadekadnog u binarni brojni sistem, svaka cifra heksadekadnog brojnog sistema se prestavlja sa četri bita binarnog brojnog sistema.

Ukoliko posljednja lijeva ili desna trojka/tetrada nije potpuna, samo se nadopuni nulama, čime se nemjenja vrijednost broja.

BINARNI KODOVI

Nizovima binarnih cifara mogu se prikazati i proizvoljni znakovi, a ne samo brojevi u binarnom sistemu.Kada se promatra niz odredjenog broja bita, tj. niz 0 i 1, nemoguće je utvrditi radi li se o prikazu binarnog broja ili ta konbinacija znači nešto drugo. S toga mora unaprijed biti poznato o čemu se radi.Grupa simbola kojoj je dogovoreno dato neko značenje naziva se kod.Niz bita kojem se pridaje neko značenje zove se kodna riječ.Skup svih simbola koje prikazujemo kodnim riječima naziva se abecedom.Simboli i elementi abecede nazivaju se znakovima.

BCD-BINARNO KODIRANI DEKADSKI KOD

Binarno kodirani dekadski kodovi (BCD- Binary Coded Decimal) su kodovi za prikaz cifara dekadnog brojnog sistema.Mogu se podjeliti u dvije grupe:

- Težinski i- Netežinski

Težinski kodovi su oni kodovi kod kojih pozicija svakog bita u nizu ima svoju numeričku vrijednost ili težinu.Za razliku od pozicionih sistema takve težine nisu u medjusobnom odnosu i mogu biti pozitivne i negativne. Ima 17 težinskih kodova kod kojih su sve težine pozitivne i oko 70 kod kojih su neke težine i negativne.

Netežinski kodovi su svi ostali na koje se nemože primjeniti gornja definicija.

Da bi se uočila razlika izmedju konverzije dekadnog broja u binarni brojni sistem, i prikaza brokja u nekom od BCD kodova slijedi primjer:

U prvom slučaju dekadni broj je konvertovan u binarni brojni sistem metodom sukcesivnog dijeljenja.

U drugom je prikazan u BCD8421 kodu, u kojem se svaka cifra dekadnog brojnog sistema prestavlja jedinstvenom tetradom.

BCD 8421 kod dobiva se tako da se dekadskim ciframa dodjeli odgovarajući binarni broj, koji bi se dobio njenom konverzijom u binarni brojni sistem, uz obavezan prikaz pomoću 4 bita.

Sa 4 bita može se iskodirati 16 različitih vrijednosti. S obzirom da svi BCD kodovi kodiraju cifre dekadnog brojnog sistema kojih ima 10, postoje i zabranjena stanja- tetrade koje ne pripadaju kodu.

Tablica:

BCD 2421 kod upotrebljava prvih i zadnjih pet kodnih riječi iz niza od 16 brojeva binarnog brojnog sistema. U nazivu koda 2421, sadržane su težine pojedinih bita.

Tablica:

Ovaj kod ima još jedno važno svojstvo.Ako se u nekoj kodnoj riječi pretvori 0 u 1 i obrnuto, dobiva se komplement odgovarajuće dekadske cifre. Pretvoranje jedinice u nulu, i obratno nule u jedinicu je operacija komplementiranja u binarnom sistemu.Kodovi koji imaju to svojstvo nazivaju se

samokomplementirajući kodovi. Samokomplementirajućo kod je onaj kod, kod koga su kodne riječi jednako udaljene od ose simetrije medjusobno komplementarne.

Kod Excess 3 ( prekoračenje za 3) dobija se takoda se nepočne pridruživanje kodnih riječi od nule,već se cijeli proces pomakne za tri. Dakle odgovarajućoj riječi iz koda 8421 dodaje se 0011, tj.3. odakle dolazi njegovo ime. Ovaj kod je takodjer simetričan, pa je i samokomplementirajući. Kod Excess3 nije težinski kod. Ovaj kod ima prednost u odnosu na spomenuta dava jer nema ni jednu kodnu riječ kod koje su sve 0, tj.uvjek postoji bar jedna jedinica. To je važno kod prenosa informacija, jer u tom slučaju potpuni prekid veze nemoze biti protumačen kao cifra 0.

Tablica:

BCD Gray-ev kod spada u klasu kodova sa minimalnom promjenom gdje se susjedne kodne riječi razlikuju samo za jedan bit. Kod je netežinski.Kodan riječ za cifru u BDC Grey-evom kodu formira se tako da se prva cifra prikaže u 8421 kodu. Onda se prvi bit s lijeva spušta, i postaje prvi bit u prikazu Gray-evim kodom, ostali biti se dobiju binarnim sabiranjem susjednih bita u 8421 kodu.

Tablica:

Grayev kod je posebno prikladan za primjenu u analogno digitalnim pretvaračima gdje kodovi kod kojih se istovremeno mijenja više bita mogu dovesti do pogreške.

pogreška u retku moći će se samo detektovati jer će promjeniti se samo paritet u stupcima,a paritet retka će ostati nepromjenjen.

Kodovi za ispravljanje pogrešaka morat će imati veću redudenciju, tj. Višak bita,nego kodovi samo za otkrivanje pogrešaka. Jedan paritetni bit nije dovoljan za tu svrhu jer on samo pokazuje da je došlo do pogreške, ali nekaže koji je bit pogrešan.

Kodovi za otkrivanje pogrešaka morat će imati veću distancu između pojedinih riječi, tako da pogrešna kodna riječ koja nastane kao rezultat pogreške bude bliže početnoj ispravnoj kodnoj riječi. Pogreška u k bita (k-struka pogreška) proizvest će pogrešnu kodnu riječ na distanci k.Da bi bilo moguće odrediti porjeklo te pogrešne riječi i tako je korigirati,k-struka pogreška neke druge riječi nesmije doći na istu distancu, dakle pogrešna riječ mora biti barem na distanci k+1 od bilo koje druge pogrešne kodne riječi. Da bi se mogla korigirati k pogrešaka, mora minimalna distanca izmedju bilo kojih dviju kodnih riječi biti 2k+1.

Opisani princip ispitivanja pariteta može biti proširen tako da ima više ispitnih bitova od kojih svaki ispituje različitu grupu bita.

U tabeli je prikazana kodna riječ sa tri bita za prikaz znakova (Z1,Z2,Z3) i dva bita za ispitivanje pariteta (i1,i2). Ako dođe do pogreške u bitu Z1, ispitivanje pariteta na bitovima Z1,Z3 pokazat će pogrešku. Istovremeno ispitivanjem bitova Z2,Z3 dati ispravan rezultat iskazan bitom i2, slijedi jasan zaključak da je pogrešan bit Z1.

Shema c) do kraja ne zadovoljava jer dopušta mogućnost pogreške samo u bitovima za prikaz znakova, dok se u stvarnosti pogreška može dogoditi i u prijenosu ispitnih bitova.

Taj problem riješava tablica 2, time što se uvodi još jedan ispitni bit.Ako se odabere parni paritet, pomoću ispitne tablice i binarne kodne riječi može se bez redudencije odrediti svaki ispitni bit za pojedini znak i tako dobiti potpuna kodna riječ s ugradjenommogućnosti detekcije i korekcije jednostruke pogreške.

Iz ispitne tablice proizilazi da će svaka pogreška u jednom bitu za za prikaz znaka rezultirati dvijema pogreškama pariteta, dok će pogreška u ispitnom bitu rezultirati samo jednom pogreškom.

Opisanim postupkom može se konstruirati kod za korekciju jednostruke pogreške u kodu sa bilo kojim brojem kodnih riječi. Takvi kodovi se nazivaju Hammingovi kodovi.

Sa tri ispitan bita može se konstruisati kod sa 16 riječi, kao sto je prikazano na slici 3.

Ispitni biti idu na pozicije 1,2,4,8,16,...Ako se posmatra ispitna tablica u binarnoj notaciji tada svaki stupac prestavlja u binarnom obliku veličinu indeksa pripadnog bita.

Korekcija jedne pogreške izvodi se na sledeći način. Ako je znak koji se šalje npr:9, poslat ce se kodna riječ 0011001,a ako pri prenosu dodje do pogreške npr:petog bita, bit će primljeno 0011101. Na primljenoj riječi ispituje se paritet. Ispitivanje prvog,trećeg, petog i sedmog bita pokazuje da je paritet neparan umjesto paran pa stavljamo:

Hammingov kod za ispravljanje jednostruke pogreške sa 4 znakovna i 3 ispitan bita: