Brzina uzorkovanja, aliasing

i kvantizacija

Seminarski rad

Kristijan Gašparac

Sadržaj

Analogno – digitalna pretvorba

Uzorkovanje

Brzina uzorkovanja

Aliasing

Kvantizacija

Analogno – digitalna pretvorba

Signale koji nas okružuju u „realnom” svijetu ( zvuk, slika, glas ) nazivamo analognim signalima – kontinuirani u vremenu i amplitudi

Računala obrađuju digitalne signale – aproksimirani skupom konačnih vrijednosti; diskretni u vremenu i amplitudi

Računalna obrada i korištenje analognih signala ?

Izravno nemoguće

Analogno – digitalna pretvorba

Uzorkovanje ( sampling)

Kvantizacija

Kodiranje

Uzorkovanje

Reduciranje kontinuiranog signala ekvivalentnim, diskretnim signalom

Uzimanje vrijednosti izvornog, kontinuiranog signala u pravilnim vremenskim razmacima – intervalima

Period uzorkovanja 𝑻𝒔 [s]

Brzina, frekvancija uzorkovanja 𝒇𝒔 𝐻𝑧 ; 𝑓𝑠 = 1

𝑇𝑠 [𝐻𝑧]

Uz definirani period uzorkovanja 𝑇𝑠 i broj uzoraka n, postupkom uzorkovanja ćemo izvršiti izlučivanje n vrijednosti izvornog kontinuiranog signala u točno

definiranim trenucima vremena.

Pritom je uzorkovani, diskretni signal definiran kao:

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 ∙ 𝑇𝑠)

Uzorkovanje

𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑛 ∙ 𝑇𝑠)

Uzorkovanje

Zašto uzorkovanje ?

Digitalni sustavi rade samo s diskretnim i konačnim

skupom podataka

Ukoliko se ne gubi informacija, obrada uzorkovanim

signalom znači uštedu rekonstrukcija signala ?

Je li moguće rekonstruirati izvorni signal iz njegovih uzoraka ?

Rekonstrukcija signala

Interpolacija

Izvorni, kontinuirani signal definiran je za sve vrijednosti vremena 𝑡 (beskonačni skup međusobno povezanih vrijednosti ), dok je diskretni signal definiran samo za trenutke koji su cjelobrojni višekratnici perioda uzorkovanja 𝑇𝑠; 𝑛𝑇𝑠 .

Da bi rekonstruirali izvorni signal iz diskretnog uzorkovanog signala, potrebno je na određeni način „pogoditi” (aproksimirati) koju bi vrijednost signal mogao poprimiti između definiranih uzoraka.

Interpolacija – postupak „pogađanja” vrijednosti signala u proizvoljnim trenucima vremena ( uobičajeno – između definiranih uzoraka ).

Samim time, interpolacija kreira kontinuirani

vremenski signal proces inverzan uzorkovanju signala.

Idealni slučaj – signal dobiven interpolacijom identičan izvornom kontinuiranom signalu.

Rekonstrukcija signala

Načini interpolacije

Interpolacija konstantom po dijelovima

Vrijednost između susjednih uzoraka je definirana kao konstantna,

što će rekonstruiranom signalu dati stepenasti oblik

Linearna interpolacija

Mnogo precizniji način interpolacije

Vrijednosti u trenucima uzimanja uzoraka međusobno se povezuju

ravnom linijom – oblik rekonstruiranog signala je sličniji izvornom

signalu u mnogo većoj mjeri

Teorem uzorkovanja

Uzorkovanje i interpolacija – promjena između kontinuiranog signala

Problem – nema garancije da je rekonstruirani signal, dobiven interpolacijom, jednak ili blizak izvornom kontinuiranom signalu problem frekvencije uzorkovanja 𝒇𝒔

Pitanje: pod kojim okolnostima je izvorni signal moguće rekonstruirati potpuno i točno ( savršena rekonstrukcija ) ?

Teorem uzorkovanja

Odgovor na to pitanje, i veliku prekretnicu u provođenju postupaka uzorkovanja i interpolacije, postigao je Claude E. Shannon 1948. sa svojim Teoremom uzorkovanja (Sampling Theorem)

Poznat i kao Nyquist-Shannon-ov Teorem uzorkovanja

Teorem uzorkovanja

Teorem definira okolnosti i uvjete pri kojima kontinuirani vremenski signal može biti točno ( jednoznačno ) rekonstruiran iz uzorkovanog, diskretnog signala

Također, Teorem definira i interpolacijski algoritam koji bi se trebao koristiti da bi se postigla točna rekonstrukcija izvornog signala

Preciznije, Teorem uzorkovanja tvrdi da se izvorni kontinuirani signal može točno rekonstruirati iz njegovih uzoraka, ukoliko je najveća frekvencija ( 𝑓ℎ ) prisutna u izvornom signalu, manja od polovine frekvencije uzorkovanja ( 𝑓𝑠 ):

𝑓ℎ < 𝑓𝑠

2 𝑓𝑠 > 2𝑓ℎ

𝑓𝑠 - brzina, frekvencija uzorkovanja ( sample rate )

𝑓𝑠

2 - Nyquistova frekvencija

Teorem uzorkovanja

Iako je Teorem često u literaturi definiran kao 𝑓𝑠 ≥ 2𝑓ℎ , bitno je napomenuti da to nije ispravno, što možemo vidjeti na sljedećem jednostavnom primjeru:

Dakle, točna rekonstrukcija signala nije zajamčena u slučaju 𝑓𝑠 = 2𝑓ℎ

Aliasing

Osim poteškoća prikazanih na prethodnom primjeru, mogu se pojaviti i neke druge karakteristične situacije, ukoliko Teorem uzorkovanja nije zadovoljen

Teorem uzorkovanja je djelotvoran za uzorkovani signal koji je strogo pojasno ograničen

Međutim, u praksi signali često nisu strogo pojasno ograničeni i to rezultira poduzorkovanjem – frekvencija uzorkovanja nije dvostruko veća od najveće frekvencije izvornog signala, tj. Nyquistove frekvencije

Frekvencija viša od Nyquistove frekvencije se može promatrati u uzorkovanom signalu, ali će biti dvosmislena – svaku frekvencijsku komponentu iznad Nyquistove frekvencije bit će nemoguće razlikovati od neke niže frekvencijske komponente ovu dvosmislenost nazivamo alias, preslikavanje – preklapanje spektara

Aliasing

frekvencija frekvencija

frekve

ncija

frekve

ncija

frekve

ncija

frekvencija frekvencija

Moguća rekonstrukcija

izvornog signala

Nemoguće rekonstruirati

izvorni signal zbog

aliasinga

frekve

ncija

Aliasing

Ukoliko prilikom uzorkovanja kontinuiranog signala koristimo frekvenciju uzorkovanja koja ne zadovoljava Teorem uzorkovanja (𝑓𝑠 > 2𝑓ℎ ), prilikom interpolacije uzorkovanog signala dobit ćemo alias izvornog kontinuiranog signala

Skup uzoraka odgovarat će i izvornom i rekonstruiranom signalu, iako će to biti potpuno različiti signali ( najčešće po frekvenciji, ali i fazi )

Kvantizacija

Uzorkovanjem smo izvršili diskretizaciju kontinuiranog signala po vremenu, što znači da i dalje imamo niz razina signala koje mogu poprimiti bilo koju vrijednost iz kontinuiranog ( beskonačnog ) skupa vrijednosti

Budući da je takav način nepovoljan za buduću obradu signala, potrebno je razine signala predstaviti pomoću konačnog skupa cjelobrojnih vrijednosti, tj. nakon što smo signal diskretizirali po vremenu, isto ćemo učiniti i s amplitudom

Dakle, kvantizacija je postupak aproksimacije kontinuiranog, ( beskonačnog ) skupa vrijednosti, nekim manjim, konačnim skupom cjelobrojnih vrijednosti

Kvantizacija

Pretpostavimo da imamo niz vrijednosti iz kontinuiranog skupa A[-10, 10] koje moramo predstaviti cjelobrojnim vrijednostima

Moguće cjelobrojne vrijednosti su -10, -9, ... 0, 1, 2, ..., 10 – točno 21 vrijednost, koja tvori skup B

Taj konačni broj različitih cjelobrojnih vrijednosti definiramo kao razine kvantizacije, 𝑁𝑞 - Bit depth

Svaka vrijednost ( razina ) se razlikuje od susjedne za vrijednost 1 – korak kvantizacije, 𝑞

Vrijednostima iz kontinuiranog skupa A moramo dodijeliti najbližu cjelobrojnu vrijednost iz skupa B

Npr. vrijednosti 0,5 i -0,5 mapiramo u 0, vrijednosti između 0,5 i 1,25 mapiramo u 1 itd.

Možemo zaključiti da će ovakvom aproksimacijom doći do određenih pogrešaka i problema prilikom rekonstrukcije signala, kada neće biti moguće jednoznačno odrediti pravu vrijednost amplitude u određenom trenutku – šum kvantizacije

Bit depth

Broj razina kvantizacije, 𝑁𝑞 = 2𝑛

n – broj bita

4 – bitna kvantizacija,

16 razina

2 – bitna kvantizacija,

4 razine

- Manje kvantizacijskog šuma

- Veća količina podataka

- Više kvantizacijskog šuma

- Manja količina podataka

Bit depth

4 bit ( 16 razina )

8 bit ( 256 razina )

Literatura

Web stranice:

www.rs-met.com ( pdf članak „Digital signals – sampling and quantization )

www.wikipedia.org

Sampling ( signal processing )

Sample rate

Nyquist-Shannon theorem

Aliasing

Quantization

Literatura:

Uvod u teoriju informacije i kodiranje ( Pandžić, Bažant, Kos i dr., Element – Zagreb, 2009. )

PDF Digital Engineering ( Hideo Tsuji, NHK Communications Training Institute, Japan )