HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ / MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ

TENSÖREL ANALİZE GİRİŞ

BİTİRME PROJESİ

Levent Özkarayel

Fizik Mühendisliği Bölümü Lisans Öğrencisi

20923525

Proje Danışmanı: Doç. Dr. Mehmet Dilaver

HAZİRAN 2015

i

ÖNSÖZ

Tensörel analizin giriş düzeyinde incelendiği bu çalışmada bilgisini, vaktini ve deneyimini

benimle paylaşmaktan sakınmayan değerli hocam Doç. Dr. Mehmet Dilaver’e yürekten

teşekkür ederim.

Ayrıca lisans öğrenciliğim boyunca, kendilerinden çokça şey öğrendiğim, verdikleri derslerin

tümünü heyecanla takip ettiğim ve bilimsel başarılarını örnek aldığım saygıdeğer hocalarım

Prof. Dr. Mehmet Cankurtaran’a ve Prof. Dr. Mustafa Polat’a bu çalışma vesilesiyle en içten

şükranlarımı sunarım.

Bugünlere onlarsız hiçbir şekilde gelemeyeceğimi bildiğim sevgili aileme, borcumu hiçbir

zaman ödeyemeyecek olacağımı bilsem de bu çalışmayı ithaf ederim.

Levent Özkarayel

Haziran 2015

Bitirme Projesinin İnternet Sürümüne Yapılan Güncelleme:

Levent Özkarayel, 5 Haziran 2015’te Prof. Dr. Metin Önder, Doç. Dr. Ahmet Mecit Öztaş ve

Doç. Dr. Mehmet Dilaver’den oluşan jüri karşısında bu çalışmanın sunumunu gerçekleştirmiş

ve bu tarihten yaklaşık bir hafta sonra Hacettepe Üniversitesi Fizik Mühendisliği bölümünden

“3,15” not ortalamasıyla mezun olmuştur.

ii

İÇİNDEKİLER

1.GİRİŞ .......................................................................................................................... 1

2.İNDİS NOTASYONU ................................................................................................ 2

2.1. İndis Notasyonuna Giriş .................................................................................... 2

2.2. Simetrik ve Asimetrik Sistemler ....................................................................... 3

2.3. Einstein Toplama Kuralı ................................................................................... 3

2.4. Cebirsel İşlemler ................................................................................................. 4

2.4.1. Toplama ve Çıkarma ................................................................................... 4

2.4.2. Çarpma .......................................................................................................... 4

2.5. e-Permütasyon Sembolü ve Kronecker Delta .................................................. 4

2.5.1. e - δ Özdeşliği ............................................................................................... 5

2.6. Dönüşüm Denklemleri ........................................................................................ 5

2.7. Türevlerin Hesaplanması ................................................................................... 6

3.TENSÖR KAVRAMI VE DÖNÜŞÜMÜ ................................................................. 8

3.1. Dual Baz Vektörleri ............................................................................................ 8

3.2. Ters (Reciprocal) Bazlar .................................................................................. 10

3.3. Koordinat Dönüşümleri ................................................................................... 13

3.4. Vektör Dönüşümü ............................................................................................ 16

3.4.1 Kontravariant Bileşenler ............................................................................ 16

3.4.2 Kovariant Bileşenler ................................................................................... 17

3.5. Yüksek Mertebeden Tensörler ........................................................................ 18

4. ÖZEL TENSÖRLER .............................................................................................. 20

4.1. Metrik Tensör ................................................................................................... 20

4.2. Konjuge Metrik Tensör ................................................................................... 23

4.3. Associated Tensör ............................................................................................. 24

4.4. Fiziksel Bileşenler ............................................................................................. 25

4.4.1. Ortogonal Koordinatlarda Fiziksel Bileşenler ........................................ 27

6. TENSÖRLERDE TÜREV ..................................................................................... 31

6.1. Christoffel Sembolleri ...................................................................................... 31

6.1.1. I. Tip Christoffel Sembolü ........................................................................ 31

6.1.2. II. Tip Christoffel Sembolü ....................................................................... 32

6.2. Kovariant Türev .............................................................................................. 33

iii

6.2.1. Kovariant Türevin Fiziksel Yorumu ........................................................ 34

7. SONUÇ ..................................................................................................................... 36

8. KAYNAKLAR ........................................................................................................ 37

iv

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1: İki boyutlu kartezyen koordinat sistemi için ortogonal izdüşüm ...................... 8

Şekil 2: Ortogonal olmayan koordinat sisteminde paralel izdüşüm. .............................. 9

Şekil 3: Ortogonal olmayan koordinat sisteminde ortogonal izdüşüm .......................... 9

Şekil 4: Paralel ve Ortogonal izdüşüm sonucu elde edilen kovariant ve kontravariant

bileşenler. ...................................................................................................................... 10

Şekil 5: Koordinat eğrileri ve koordinat yüzeyleri ....................................................... 14

Şekil 6: Küresel koordinatlardaki bir P noktasının gösterimi ...................................... 14

Şekil 7: Fiziksel Bileşenler ........................................................................................... 26

1

1.GİRİŞ

Fizikte, mühendislikte, bilimde ve matematikte, tensörler bazı temel yasaların temsil

edilmesinde kullanılırlar. Özellikle fizikte genel görelilikten elektrodinamiğe kadar, fiziğin

birçok alanında tensörler çokça kullanım alanına sahiptirler.

Skaler bir alan, bir skaler sayı ile bir nokta arasındaki karşılamayı tanımlar. N-boyutlu

bir vektör alanı ise, N-sayı ile bir nokta arasındaki karşılamadır. Bu kavram N-kare, N-küp ve

daha büyük mertebeler için bir nokta üzerinden genelleştirilirse; bu sayılar belli dönüşümleri

sağladıkları takdirde, tensör alanları olarak tanımlanırlar. Temel olarak, skaler alanlar, rankı

veya mertebesi “0” olan tensör alanlarını, vektörel alanlar ise, rankı veya mertebesi “1” olan

tensör alanlarını ifade eder.

İndis notasyonunu incelemek tensörel analiz için iyi bir başlangıç noktasıdır.

2

2.İNDİS NOTASYONU

2.1. İndis Notasyonuna Giriş

a ve b vektörleri

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆa a e a e a e 1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆb b e b e b e

şeklinde verilmiş olsunlar. Burada ê1, ,ê2 , ê3 ortogonal baz vektörleridir.

1 2 3, ,a a a a , 1 2 3, ,b b b b

Şeklinde de gösterilebilen a ve b vektörlerinin matris formunda baz vektörleri ise;

1 1 ,0ˆ ,0e , 2 0 ,0ˆ ,1e , 3 0 ,1ˆ ,0e

olarak verilir. İndis notasyonu vektörlerin gösteriminde büyük kolaylık ve sadelik sağlar.

Vektörün bileşenlerini temsil etmek üzere bir indis tayin edilir. Bu indisin alabileceği sayı

aralığı belirlenir, böylece tek gösterimle vektörün bütün bileşenleri tanımlanabilir. İndis

notasyonu uzun hesaplamalar sırasında daha sade ve kullanışlı bir yapı sunar.

3

1 11 1 12 2 13 3 1 1

1

3

2 21 1 22 2 23 3 2 2

1

3

3 31 1 32 2 33 3 3 3

1

j j

j

j j

j

j j

j

y a x a x a x y a x

y a x a x a x y a x

y a x a x a x y a x

Tüm bu gösterim indis notasyonunda;

3

1

i ij j

j

y a x

şeklinde tek bir toplam sembolü altında yapılabilir.

Bu gösterim, toplam sembolü de kaldırılarak;

, 1,2,3i ij jy a x i j

haline getirilebilir. Böylece vektörler;

; 1,2,3i ia ve b a a ve b b i

olarak yazılır.

, 1,2,3i ij jy a x i j

Yukarıdaki gösterimde “i” indisine serbest indis, “j” indisine ise toplam indisi denir. Serbest

indisin, eşitliğin her iki tarafında da aynı olması gerektiğine dikkat edilmelidir.

3

Bir ifadenin indis sayısı, mertebeyi temsil eder. İndis olmayan bir sistem, 0. mertebeden

sistemdir, özel olarak skaler ismini alır. Bir tane indis barındıran sistemler, 1. mertebeden

sistemlerdir ve özel olarak vektör adı verilir. İki veya daha fazla indise sahip olan sistemler ise

sahip olduğu indis sayısı mertebesindedir. Örneğin; ijklT veya prqmT veya µ

snT sistemlerinin

hepsi, 4. mertebeden sistem olarak isimlendirilir.

2.2. Simetrik ve Asimetrik Sistemler

Bir sistemin sahip olduğu iki indisinin sırayla yer değiştirmesi, sistemi değiştirmiyorsa o sistem

simetriktir denir. Bu koşulu sağlayan sistemler, simetrik sistemler olarak isimlendirilir.

ijkT sistemi için eğer;

ijk jik jki kjiT T T T

oluyorsa, ijkT sistemi simetriktir.

İndis değişimi, sistemin işaretini değiştiriyorsa, bu durumda sistem asimetrik olarak

isimlendirilir.

ijk jik jki kjiT T T T

durumunda, ijkT sistemi asimetriktir.

2.3. Einstein Toplama Kuralı

Einstein Toplama Kuralı, indis notasyonunda kullandığımız toplam sembölünün ifadeden

çıkartılarak daha sade bir gösterim elde etmeye yarayan bir kabuldür. Eğer bir eşitlikte, eşitliğin

her iki tarafında iki defa tekrar eden bir indis varsa toplamın bu indis üzerinden alınacağı

anlaşılır. Bu tekrarlanan indise ‘toplam indis’ diğer tekrarlanmayan indise de ‘serbest indis’ adı

verilir.

İki vektörün skaler çarpımı incelenirse;

iA ve jB vektörleri i,j=1,2,3 olmak üzere,

i iA B ABcos

olarak yazılır. A ve B vektörlerin büyüklüğünü belirtir, “i” indisi ise toplam indisidir. Toplama

kuralı ile;

1 1 2 2 3 3   A B A B A B ABcos

4

olarak yazılabilir.

2.4. Cebirsel İşlemler

2.4.1. Toplama ve Çıkarma

Herhangi iki sistemin toplanabilmesi ve ya çıkarılabilmesi için sistemlerin aynı tip ve özdeş

indislere sahip olmaları gerekmektedir.

 µP ve  µQ sistemleri için

µ µ µP Q S ve µ µ µP Q R

şeklinde toplama ve çıkarma yapılır.

Ancak µ

kP ve   µQ sistemleri için toplama veya çıkarma yapılamaz.

2.4.2. Çarpma

Toplama ve çıkarma için gerekli olan eşit indis kuralı çarpma için geçerli değildir. İki sistemin

çarpımı, ilk sistemin bütün bileşenlerinin ikinci sistemin bütün bileşenleriyle ayrı ayrı

çarpılmasıyla elde edilir. Çarpma sonucu oluşan yeni sistemin mertebesi, çarpmaya giren

sistemlerin mertebelerinin toplamıdır.

ij

kM ve µN sistemleri için;

ij ij

k µ k µM N K

şeklinde çarpma yapılır.

2.5. e-Permütasyon Sembolü ve Kronecker Delta

Kronecker Delta ve e-Permütasyon Sembolü, indis notasyonunda sıklıkla kullanılan iki

semboldür.

e-Permütasyon sembolü;

....

....

1 ; , ,...., , 1,2,...,N ; Çift Permütasyon ise

-1 ; i,j,....,k, 1,2,.....,N ; Tek Permütasyon ise

0 ; Diğer durumlar

ij k

ij k

i j k

e e

tanımına sahiptir.

ijke , , 1, 2 , 3i j k için ijke orijinal halin permütasyonu “0” olduğundan, çift permütasyona

sahiptir.

5

213e ifadesinde, “1” ile “2” yer değiştirmiş ve “1” permütasyon olmuştur, tek permütasyon

olduğundan tanım gereği; 213 1e ‘dir.

Dolayısı ile;

123 213 231 321 312 132 e e e e e e

olacaktır.

112 121 , 223, e e e gibi tekrarlanan durumlar ise “0”dır.

Kronecker Delta;

1 , i

0 , iii

ij

j

jj

j

tanımına sahiptir.

ij , 1, 2,3i j ifadesi için;

11 22 33 1  ve 12 21 13 31 23 32 0

olur.

2.5.1. e - δ Özdeşliği

e - δ özdeşliği, Permütasyon Sembolü ve Kronecker Deltayı birbirine bağlayan bir eşitliktir.

–ijk imn jm kn jn kme e

şeklinde verilir.

2.6. Dönüşüm Denklemleri

Bir noktanın N-boyutlu uzaydaki koordinatları olan ix bağımsız değişkenlerinin, başka bir N-

boyutlu uzaydaki i

x bağımsız değişkenlerine dönüşümü;

ix = ix (1 2

, , ......... , N

x x x ) 1, 2,...,i N

şeklinde verilir. Bu dönüşüm denkleminin koordinat sisteminden bağımsız olması

gerekmektedir. Bu koşulun sağlanabilmesi için gerek ve yeter şart, Jacobian determinantının

sıfırdan farklı olmasıdır.

6

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

. . .

. . .

( ) 0. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . .

N

N

i

j

N N N

N

x x x

x x x

x x x

x x xx x

Jx x

x x x

x x x

Eğer Jacobian determinantı sıfırdan farklı ise, dönüşüm ve dönüşümün ters dönüşümü vardır

denir.

Ters dönüşüm de;

1 2( , ,....., ), (1,2,...., ) i i Nx x x x x i N

olarak gösterilir.

2.7. Türevlerin Hesaplanması

Φ , i

x bağımsız değişkenlerinin skaler bir fonksiyonu olsun;

Φ=Φ (1 2

, , ......... , N

x x x ) 1, 2, ....., i N

Bu bağımsız değişkenlerin ix bağımsız değişkenler seti ile ilişkili olduğunu varsayıp kısmi

türev alırsak;

1 2

1 2.........

j N

j Ni i i i i

x x x x

x x x x xx x x x

olur. İkinci kısmi türev de, mx değişkenine göre alınırsa;

2 2 j j

j ji m i m m i

x x

x x x x x xx x

Parantez içindeki terim G ile ifade edilirse;

1 2

, , ...... , N

jG G x x x

x

ve bu terimin mx değişkenine göre türevi alınırsa;

7

2k k

k i km m m

G G x x

x x xx x x

Bulunan bu ifade ikinci kısmi türevde yerine konulursa;

2 2 2j j k

j i ki m i m i m

x x x

x x x x x xx x x

ifadesi elde edilir. Burada “i” ve “m” indisleri serbest, “j” ve ”k” indisleri toplam indisleridir.

8

3.TENSÖR KAVRAMI VE DÖNÜŞÜMÜ

3.1. Dual Baz Vektörleri

Herhangi bir vektörün, ortogonal bir koordinat sistemindeki ifadesi, vektörün koordinat

eksenlerine olan izdüşüm bileşenlerinin baz vektörleriyle çarpılmasıyla verilir.

1 2 31 2 3( )A A e A e A e

Ancak vektör ifadesinin koordinat sisteminin eksenlerine olan izdüşümlerini elde etmenin

temel olarak iki farklı yolu vardır. Bunlar paralel izdüşüm ve ortogonal izdüşüm olarak ifade

edilen yöntemlerdir. Eksenlere paralel gönderilen bir ışığın oluşturduğu izdüşüme paralel

izdüşüm, eksenlere dik gönderilen ışığın oluşturduğu izdüşüme ortogonal izdüşüm denir.

Ortogonal bir koordinat sisteminde ışığı paralel veya dik olarak göndermek arasında bir fark

yoktur. Yani ortogonal bir koordinat sistemi için paralel izdüşüm ile ortogonal izdüşüm aynı

durumları ifade eder.

Şekil 1: İki boyutlu kartezyen koordinat sistemi için ortogonal izdüşüm

Burada A vektörü, baz vektörleri cinsinden;

1 2x yA A e A e

olarak ifade edilir.

Ortogonal olmayan bir koordinat sistemi için paralel izdüşüm ve ortogonal izdüşüm karşımıza

farklı sonuçlar çıkarır. Eksenlere paralel gönderilen ışık vektörün büyüklüğünde değişime yol

açmazken, eksenlere dik gönderilen ışık, vektörün büyüklüğünde değişime yol açar.

9

Şekil 2: Ortogonal olmayan koordinat sisteminde paralel izdüşüm.

Şekil 3: Ortogonal olmayan koordinat sisteminde ortogonal izdüşüm

10

Şekil 4: Paralel ve Ortogonal izdüşüm sonucu elde edilen kovariant ve kontravariant

bileşenler.

Ortogonal olmayan bir koordinat sisteminde vektörel bir niceliğin gösterimi, seçilen izdüşüm

yöntemine göre değişiklik gösterecektir. Bu iki farklı gösterimde temsili yapılacak vektörün

ifadesi için yeni baz vektöleri ortaya atmak gerekir. Bu baz vektörleri kovariant ve kontravariant

baz vektörleridir. Vektörün ortogonal izdüşüm sonucu elde edilen bileşenleri, kovariant

bileşenler, paralel izdüşüm sonucu elde edilen bileşenleri ise kontravariant bileşenler olarak

tanımlanır. Kovariant bileşenler, alt indis ile gösterilirken, kontravariant bileşenler üst indis ile

gösterilir. Kovariant bileşenler, kontravariant bazlar ile kontravariant bileşenler ise kovariant

bazlar ile yazılır ve böylelikle vektörün büyüklüğü her iki gösterim için de aynı olur.

x y

x yA A e A e

gösterimi 𝐴 vektörünün kovariant bileşenlerinin kontravariant baz vektörleriyle yazımıyken,

x yx yA A e A e

gösterimi 𝐴 vektörünün kontravariant bileşenlerinin kovariant baz vektörleriyle ifadesidir.

Vektörün büyüklüğünü değiştirmeyen bu kovariant ve kontravariant baz vektörlerinin ikisine

birden “dual baz vektörleri” denir.

3.2. Ters (Reciprocal) Bazlar

1 2 31 2 3( )A A e A e A e

Burada 1 2 3, ,A A A , A vektörünün 1 2 3, ,e e e bazlarına göre bileşenleridir.

A vektörü;

1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( )A A e e A e e A e e

11

olarak da ifade edilebilir.

1 2 3( , , )E E E , ortogonal (lineer bağımsız) ancak birim uzunlukta olmayan bazlar olsun;

Bu durumda A vektörü, bu yeni sistem cinsinden;

1 2 31 2 3

1 1 2 2 3 3

A E A E A EA E E E

E E E E E E

olarak yazılabilir.

Burada A vektörünün bileşenleri

(i) (i)

i

i

A EA

E E

i=1,2,3

olarak verilir ve (i) ifadesi i indisi üzerinden toplam alınmayacağını belirtir.

j

ji iE E koşulu sağlanıyorsa,

1 2 3( , , )E E E ve 1 2 3

, ,E E E bazları, ters (Reciprocal) baz

olarak isimlendirirler. Bu koşul, j

iE E olmasını gerektirir.

A vektörü kovariant bileşenler cinsinden;

1 2 3

1 2 3A A E A E A E

Kontravariant bileşenler cinsinden de;

1 2 31 2 3A A E A E A E

olarak ifade edilir.

Ters bazların birbirine dik olmasından dolayı şu bağıntı yazılabilir;

11

2 3 E V E E

burada V, belirlenmesi gereken bir sabittir. Kronecker ilişkisini kullanarak bu sabiti belirlemek

kolaydır, her iki taraf 1E vektörüyle skaler çarpılır ve ifade düzenlenirse;

1

1 1 2 3( )V E E E E E

elde edilir.

j

ji iE E olduğuna göre

11

1 1 E E olur.

11 2 31 ( )V E E E

1

1 1 olduğundan V sabiti;

1 2 3( )V E E E

12

olarak bulunur.

Böylece ters baz vektörleri;

1

2 3

1( )E E E

V ,

2

3 1

1( )E E E

V ,

3

1 2

1( )E E E

V

ilişkisinden

1 2 3

1 2 3( )

E EE

E E E

,

2 3 1

1 2 3( )

E EE

E E E

,

3 1 2

1 2 3( )

E EE

E E E

olarak bulunur. Burada “V” sabitinin geometrik ifadesi, paralelyüzlünün hacmi olmasıdır.

j

ji iE E olurken eş bazların çarpımı ise uzayın metriğini tanımlar.

i j ij jiE E g g ve i j

ij jiE E g g

A vektörünün kontravariant baz vektörleriyle yazılmış ifadesini 1E kovariant baz vektörüyle

çarparsak;

1 2 3

1 1 1 11 2 3 1A E A E E A E E A E E A

olduğu görülür.

A vektörünün bu sefer kovariant baz vektörleriyle yazılmış ifadesini 1E kovariant baz

vektörüyle çarparsak;

1 2 31 1 1 2 1 3 1A E A E E A E E A E E

önceki eşitlikten 1 1A E A olduğunu bildiğimizden sonuç olarak;

1 2 3 1 2 31 1 1 2 1 3 11 11 12 13A A E A E E A E E A E E A g A g A g

elde edilir. Bütün bileşenler için yazılırsa;

1 2 3

1 11 12 13A A g A g A g

1 2 3

2 21 22 23A A g A g A g

1 2 3

3 31 32 33A A g A g A g

olduğu görülür. Genel olarak;

A k

i ikg A

ve Ai ik

kg A

şeklinde bir vektörün kovariant ve kontravariant bileşenlerinin ilişkisi ifade edilmiş olur.

13

3.3. Koordinat Dönüşümleri

Koordinat seti (x,y,z)’den diğer bir koordinat seti olan (u,v,w) bir dönüşüm olduğunu

varsayalım. Dönüşüm denklemleri;

( , , )x x u v w , ( , , )y y u v w ve ( , , )z z u v w

Şeklinde tanımlanırken ters dönüşüm denklemleri ise;

( , , )u u x y z , ( , , )v v x y z ve ( , , )w w x y z

şeklinde tanımlı olacaktır.

Bu dönüşüm denklemleri, bir koordinat yüzeyi seti tanımlar. Koordinat yüzeylerinin

denklemleri;

1( , , ) cu x y z , 2v( , , ) cx y z ve 3w( , , ) cx y z

olur ve burada c1, c2 ve c3 birer sabittir. Bu yüzeyler koordinat eğrileriyle kesişirler;

2 3 , ,r u c c , 1 3 ( , , )r c v c

, 1 2 (c ,c ,w)r

Burada konum vektörü;

1 2 3 = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )r r u v w x u v w e y u v w e z u v w e

olarak ifade edilmektedir.

Dual baz vektörlerini dikkate alırsak;

1

E u ,

2

= vE , 3

E w

ifadeleri, koordinat yüzeylerinin kesişimlerinin ortak noktaları olarak değerlendirilebilir.

1 2 3

, ,E E E vektör sistemi, koordinat yüzeylerinin normalleridir ve baz vektör sistemi olarak

seçilebilir. Aynı şekilde;

1 =r

Eu

,

2 =r

Ev

,

3

rE

w

ifadeleri de koordinat yüzeylerinin kesişimlerinin ortak noktaları olarak değerlendirilebilir,

bu durumda ise 1 2 3( , , )E E E vektör sistemi, baz vektör sistemi olarak seçilebilir, bu sistem ise

koordinat eğrilerinin teğet vektörleridir. Böylece normal bazlar ve teğetsel bazlar, ters bazlar

setini oluşturmuş olur.

14

Şekil 5: Koordinat eğrileri ve koordinat yüzeyleri

( Kaynak: Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics / J. H. Heinbockel )

Örnek;

Küresel koordinatlarda dual baz vektörleri;

Şekil 6: Küresel koordinatlardaki bir P noktasının gösterimi

15

Dönüşüm denklemleri;

( , , ) sin cosx x r r , ( , , ) sin siny y r r , ( , , ) cosz z r r

konum vektörü ise;

1 2 3sin cos sin sin cosr r e r e r e

olur. Bazlar;

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

= sin cos sin sin cos

= r cos cos r cos sin r sin

= = r sin sin r sin cos 0

rE e e e

r

rE e e e

rE e e e

olarak bulunur. Diğer bazlar ise;

21 2 3

sin cos sin sin cos

V= = r cos cos r cos sin - r sin = r sin

- r sin sin r sin cos 0

E E E

şeklinde determinant işlemiyle V niceliği bulunduktan sonra;

1 2 3

1

2 32 2

1 1 = = r cos cos r cos sin r sin

r sin r sin- r sin sin r sin cos 0

e e e

E E E

işlemiyle 1

E bulunur;

1

1 2 3 = sin cos - sin sin cosE e e e

Diğer bileşenler de;

1 2 3

2

3 12 2

1 1 = - r sin sin r sin cos 0 r sin r sin

sin cos sin sin cos

e e e

E E E

2

1 2 3

1 1 1 = cos cos cos sin sinE e e e

r r r

1 2 3

3

1 22 2

1 1 = sin cos sin sin cosr sin r sin

r cos cos r cos sin r sin

e e e

E E E

16

3

1 2

sin cos1 1 =

cos sinE e e

r r

şeklinde bulunur.

3.4. Vektör Dönüşümü

3.4.1 Kontravariant Bileşenler

NV vektör uzayında tanımlı bir C eğrisinin parametrik denklemi;

C : x = xi i t 1, ,  i N

olarak verilsin. C eğrisine teğet olan vektör;

1 2

= , , .... ,Ndx dx dx

Tdt dt dt

olarak ifade edilir.

İndis notasyonu ile bu ifade;

i

i dxT

dt 1, ,  i N

olarak gösterilir.

Dönüşüm denklemleriyle, C eğrisi, bar koordinatlarda;

1 2 = , , .... , = i i i

Nx x x t x t x t x t

olarak ifade edilir.

Bar koordinat sistemindeki teğet vektör ise;

=

ii d x

Tdt

olarak ifade edilir. Bu ifade, zincir kuralı ile düzenlenirse;

= = =

i i ij

i i j

j j

d x d x dx d xT T T

dt dx dt dx

şeklinde bar sistemle unbar sistem arasında dönüşüm elde edilmiş olur.

17

Tanım: (Kontravariant Tensör)

1 2 , x , .... xNx sistemindeki Ai niceliği ve

1 2

, , .... N

x x x sistemindeki i

A niceliği

sıfırdan farklı J determinantı için;

=J

ii w j

j

d xA A

dx

dönüşüm denklemini sağlıyorlarsa, bu nicelikler rankı veya mertebesi “1”, ağırlığı w olan,

rölatif kontravariant tensörün bileşenleri olarak isimlendirilirler. Eğer özel olarak “w=0” ise o

halde rankı ya da mertebesi 1 olan mutlak kontravariant tensörün bileşenleri olarak

adlandırılırlar.

3.4.2 Kovariant Bileşenler

A = x A x olacak şekilde skaler invariant bir nicelik alınırsa,

1 21 2A , x ,.... , x = , ,.... ,

NNx A x x x

olarak da gösterilebilen bu nicelik

= i i

A A

x x

şeklinde yazılabilir. Zincir kuralı ile;

= = j

i i j i

A A A x

x x x x

olur.

A = j j

A

x

ve = i

i

AA

x

olarak gösterilirse dönüşüm denklemi;

= Aj

i j i

xA

x

şeklinde bar sistemle unbar sistem arasında dönüşüm elde edilmiş olur.

18

Tanım: (Kovariant Tensör)

1 2 , , .... , Nx x x sistemindeki A i niceliği ve

1 2

, , ...., N

x x x sistemindeki iA niceliği

sıfırdan farklı J determinantı için;

= J Aj

wi ji

xA

x

dönüşüm denklemini sağlıyorlarsa, bu nicelikler rankı veya mertebesi “1”, ağırlığı w olan,

rölatif kovariant tensörün bileşenleri olarak isimlendirilirler. Eğer özel olarak “w=0” ise o halde

rankı ya da mertebesi 1 olan mutlak kovariant tensörün bileşenleri olarak adlandırılırlar.

3.5. Yüksek Mertebeden Tensörler

1 2 , , .... , Nx x x sistemindeki ijA x niceliği ve

1 2

, , ..... , N

x x x sistemindeki mn

A x niceliği,

sıfırdan farklı J determinantı için;

= J

m nmn w ij

i j

x xA x A x

x x

dönüşüm denklemini sağlıyorlarsa, bu nicelikler, rankı veya mertebesi “2” ağırlığı w olan,

rölatif kontravariant tensörün bileşenleri olarak isimlendirilir. Eğer özel olarak “w=0” ise o

halde rankı ya da mertebesi “2” olan mutlak kontravariant tensörün bileşenleri olarak

adlandırılırlar.

Kovariant bileşenler ise;

1 2 , , .... , Nx x x sistemindeki ijA x niceliği,

1 2

, , ..... , N

x x x sistemindeki, mnA x niceliği tanımlanarak,

sıfırdan farklı J determinantı için;

= Ji j

wmn ijm n

x xA x A x

x x

19

şeklindeki dönüşüm denklemini sağlarlar. Bu niceliklere ise rankı veya mertebesi “2”, ağırlığı

w olan rölatif kovariant tensörün bileşenleri olarak isimlendirilir. Eğer özel olarak “w=0” ise,

rankı ya da mertebesi “2” olan mutlak kovariant tensörün bileşenleri olarak adlandırılırlar.

İkinci mertebeden karışık tensörler için;

1 2 , , .... , Nx x x sistemindeki i

jA x niceliği ve

1 2

, , ..... , N

x x x sistemindeki n

mA x niceliği tanımlanmış olsun.

sıfırdan farklı J determinantı için;

= J

n jn

w im jmi

x xA x A x

x x

dönüşüm denklemi sağlanıyorsa, bu niceliklere rankı ya da mertebesi “2” olan rölatif tensörün

bileşenleri adı verilir. ”w=0” ise rankı ya da mertebesi “2” olan mutlak tensörün bileşenleri adı

verilir.

Genel olarak yüksek mertebeden tensörler için;

1 2

1 2

....

....T m

n

a a a

b b b x ve 1 2

1 2

....

....m

n

i i i

j j jT x

nicelikleri için dönüşüm denklemi;

1 2

1 21 2

1 2

1 21 21 21 2

.... ........ .... = .... .... T

mn

mm

nnnm

i i iw bb bi i i a a aj j j b b bj j jaa a

x x x x x x xT x J x

x x xx x x x

olarak tanımlanır.

20

4. ÖZEL TENSÖRLER

Tensörlerin genel özellikleri incelendikten sonra, fiziksel problemlerde karşılaşılma ihtimali

yüksek olan bazı özel tensörlere de değinmek yararlı olacaktır.

4.1. Metrik Tensör

N-Boyutlu kartezyen koordinat sistemi için iy 1,2,....,i N tanımı yapılsın.

1 2 , x , .... , xNx genelleştirilmiş koordinatlar olmak üzere;

1 2 = y , x , .... , xi i Ny x şeklinde tanımlı olsun.

Her bir koordinatın türevi şu şekilde belirtilir;

= m

m j

j

ydy dx

x

Diğer yandan yi ile yi idy noktaları arasındaki mesafenin karesi;

2 2 2

2 1 2ds ....m m Ndy dy dy dy dy

ifadesiyle gösterilir.

Bu ifade, koordinat türevi şeklinde verilirse;

2ds = m m

i j

i j

y ydx dx

x x

ifadesi elde edilir.

gm m

ij i j

y y

x x

olduğu göz önünde bulundurularak;

2ds = = gm m

i j i j

iji j

y ydx dx dx dx

x x

eşitliği elde edilir.

Burada gm m

ij i j

y y

x x

ifadesine, xi koordinatları ile tanımlanan uzayın metriği denir. Burada

g ij, x koordinatlarının bir fonksiyonudur ve dolayısıyla g = gij ij x olarak da yazılabilir.

Metrik tensör i ve j indislerine göre simetriktir, yani;

g = gij ji

Bar koordinatlar ele alınırsa, i

x , uzunluğun karesi;

21

2

d = i j

ijs g d x d x

olarak yazılır.

Burada da, = ij ij

g g x olarak verilir yani, g ij ifadesi, bar koordinatlarının bir fonksiyonudur.

Metrik tensör elemanı temel olarak;

= i jijg E E , , 1, 2,3i j

ile verilir.

Uzunluk elemanının karesi açık halde;

2 2 22 1 2 3

11 12 13

2 2 21 2 3

21 22 23

2 2 21 2 3

31 32 33

ds = g g g

g g g

g g g

dx dx dx

dx dx dx

dx dx dx

olarak yazılır. Burada;

1 ( )

0

ij

ij

g i j

g i j

ise uzay düz ve ortogonaldir.

1 ( )

0

ij

ij

g i j

g i j

ise uzay düzdür ancak ortogonal değildir. Düzlemlerin dik olmadan kesişmesiyle oluşur.

1 ( )

0

ij

ij

g i j

g i j

ise uzay eğrisel ve ortogonaldir.

1 ( )

0

ij

ij

g i j

g i j

ise uzay eğriseldir ancak ortogonal değildir.

Kartezyen koordinatlar için uzunluk elemanının karesi;

2 2 2 2ds dx dy dz

olarak verilir. Kartezyen koordinatlar için metrik tensör;

22

1 0 0

= 0 1 0

0 0 1

ijg

olarak matris formunda yazılabilir. Görüldüğü üzere matrisin diagonal elemanları 1 olduğundan

anlaşılır ki bu uzay ortogonaldir. Matrisin diğer terimlerinin tamamı da 0 olduğundan anlaşılır

ki bu uzay düzdür.

Özetleyecek olursak, metrik tensör matrisinin diagonal elemanları uzayın düzlüğü, kalan diğer

terimleri ise uzayın ortogonalliği hakkında bilgi verir.

Küresel koordinatlar için metrik tensör yazılmak istenirse, dönüşüm denklemleri;

( , , ) sin cos

( , , ) sin sin

( , , ) cos

x x r r

y y r r

z z r r

olduğuna göre konum vektörü;

1 2 3 sin cos sin sin cosr r e r e r e

olarak yazılır. Koordinat eğrilerinin teğet vektörleri;

1 1 2 3

2 1 2 3

3 1 2 3

= sin cos sin sin cos

= r cos cos r cos sin - r sin

= = - r sin sin rsin cos 0

rE e e e

r

rE e e e

rE e e e

olarak bulunur.

g i jij E E

olduğu göz önünde bulundurularak metrik tensör matrisinin her bileşeni ayrı ayrı hesaplanırsa;

12 13 21 23 31 32 0g g g g g g

ve diagonal elemanlar da

11 1 g

2

22 g r

2

33 sing r

olarak bulunur.

Bu bilgilerle küresel koordinatlar için metrik tensörün matris gösterimi;

23

2

2

1 0 0

0 0

0 0 sin

ijg r

r

şeklinde yapılır.

4.2. Konjuge Metrik Tensör

Ortogonal sistemler için , iA ve A j kovariant ve kontravariant bileşenler olsun.

A g j

i ij A ifadesini g im ile çarparsak;

im im j

i ijg A g g A

elde edilir ve gim m

ij jg olduğundan;

im im j m j

i ij jg A g g A A

ifadesine ulaşılır.

Toplama kuralı uygulanırsa;

m j m

j A A

olduğu görülür. Sonuç olarak;

= g Am im

iA

ifadesi elde edilir.

Ortogonal sistemler için;

11

22

33

0 0

= 0 0

0 0

ij

g

g g

g

olduğuna göre ve = ij

ijg g olduğundan bir matrissel denklem yazmak mümkündür;

11

22

33

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

g a

g b

g c

burada, , ,a b c konjuge metrik tensörünün elemanlarıdır. O halde;

24

11

22

33

0 0 1 0 0

0 0 = 0 1 0

0 0 0 0 1

ag

bg

cg

olduğundan konjuge metrik tensörün elemanları;

11 22 33

1 1 1 , , a b c

g g g

olarak bulunur. O halde konjuge metrik tensörün matris formu;

11 11

22

2233

33

10 0

0 01

= 0 0 = 0 0

0 01

0 0

ij

gg

g gg

g

g

olarak verilir.

Ortogonal kartezyen koordinat sistemleri için metrik tensör aşağıdaki şekilde verildiğinden;

1 0 0

= 0 1 0

0 0 1

ijg

ve konjuge metrik tensörün diagonal elemanları, ortogonal sistemler için, metrik tensörün

diagonal elemanlarının çarpmaya göre tersi olduğundan;

11

22

33

10 0

1 0 01

= 0 0 0 1 0

0 0 11

0 0

ij

g

gg

g

sonucu karşımıza çıkar. Buradan bir kez daha ortogonal kartezyen koordinat sistemleri için,

kovariant ve kontravariant bileşenlerin aynı olduğu sonucu ortaya çıkar.

4.3. Associated Tensör

Bir tensörün, metrik ya da konjuge metrik tensörle iç çarpımından oluşan tensörlerdir.

Örnek olarak;

ij j

ig A A veya j

ij ig A A

25

verilebilir.

Başka örnekler olarak;

. mi m

ijk jkg S S

. ijk i k

mj mg R R

pqrs pi qj rk sm

ijkmT g g g g T

verilebilir. İndis yerine konulan (.), o indise göre metrik ile kontrakt edildiğini yani çarpım

sonucu düşen indisi ifade eder.

4.4. Fiziksel Bileşenler

Keyfi bir A vektörü, koordinat sistemi ve baz vektörlere bağlı olarak birçok formda temsil

edilebilir. Kartezyen koordinat sisteminde tanımlı bir A vektörü;

1 2 3x y zA A e A e A e

olarak gösterilebilirken,

daha genel bir koordinat sistemindeki koordinat dönüşümü için,

A vektörü kontravariant bileşenler cinsinden;

1 2 31 2 3A A E A E A E

olarak teğet bazlara göre yazılabileceği gibi,

A vektörü kovariant bileşenler cinsinden;

1 2 3

1 2 3A A E A E A E

olarak normal baz vektörlerine göre de ifade edilebilir. Bu iki denklem, aynı vektörün, farklı

formlarda gösterimleridir. Bu gösterimlerde kullanılan baz vektörlerinin ortogonal ya da birim

vektör olma zorunluluğu yoktur.

A vektörünün fiziksel bileşenleri, vektörün koordinat eksenlerine olan izdüşümü ile belirlenir.

Bu izdüşüm, koordinat sisteminin baz vektörlerinin vektörün kendisiyle çarpılmasıyla elde

edilir.

A vektörünün 1E baz vektörü yönündeki bileşeni;

1 1

1 1

= AE

AE E

şeklinde bulunur. Burada 1E birim vektör olmadığından büyüklüğe bölünmüştür.

26

Aynı şekilde, A vektörünün 1

E baz vektörü yönündeki fiziksel bileşeni;

11

1 1 =

E AA

E E

şeklinde bulunur.

Şekil 7: Fiziksel Bileşenler

( Kaynak: Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics / J. H. Heinbockel )

Şekil 7 ile gösterilen sistemde; , ve , 1 ilişkisini sağlayan pozitif sabitlerdir.

Ortogonal olmayan bazlar şekilden de görüldüğü gibi;

1 2 31 1 2 3, ,E e E e e E e

olarak verilmiştir. Ters baz vektörleri;

1 2 3

1 2

1 2 3

E EE e e

E E E

2 3 1

2

1 2 3

E EE e

E E E

3 1 2

3

1 2 3

E E

E eE E E

olarak bulunur.

Keyfi bir A vektörü olan ve 1 2x yA A e A e şeklinde gösterilen vektörün kontravariant formda

gösteriminin 1 21 2A A E A E olduğu göz önünde bulundurulursa vektörün kontravariant

bileşenleri;

11

x yA A E A A ve 2

2

yA A E A

27

olarak bulunur.

A vektörünün 1 2

1 2A A E A E şeklindeki gösteriminde yer alan kovariant bileşenleri ise;

11 xA A E A ve 22 x yA A E A A

olarak elde edilir.

A vektörünün 1

E ve 2

E yönlerindeki fiziksel bileşenleri ise elde edilen sonuçların bu bazların

büyüklüklerine bölünmesiyle;

1

1

1 1 2 21

x yA AE AA A

E E

2

2

2 22

y

y

AE AA A A

E E

olarak elde edilir.

Bu sonuçlar skaler çarpım ile de;

1 1 2 11

1 2

1 11

A E E A E EE

A AE E

1 2 2 22

1 2

2 22

A E E A E EE

A AE E

olacak şekilde elde edilebilirler.

4.4.1. Ortogonal Koordinatlarda Fiziksel Bileşenler

Ortogonal koordinatlarda uzunluk elemanın karesi, metrik tensörün;

2

1

2

2

2

3

0 0

0 0

0 0

ij

h

g h

h

olduğu durum için,

2 2 22 2 22 1 2 3

1 2 3

i j

ijds g dx dx h dx h dx h dx

şeklinde ifade edilir.

28

Eğrisel ve ortogonal olan bu koordinat sisteminde 1x ekseni için i 1,2,3i birim vektörü

tanımı yapılırsa;

11 dx

ds ve 2 3 0

olur. Birim vektör için;

1 i j

ijg

eşitliği yazılabileceğine göre;

221 1 1

11 11 i j

ijg g h

ifadesi elde edilir. Böylece;

1

1

1

h

olarak bulunur.

A vektörünün ix yönündeki iA bileşeninin i birim vektörüne olan izdüşümü incelenecek

olursa;

21 1 1 1

11 1 1

1

11 i j

ijA g A g A h A h Ah

elde edilir.

Benzer olarak 2x için i ve 3x için i birim vektörleri seçilirse;

22 dx

ds , 1 3 0 ve

33 dx

ds , 1 2 0

Fiziksel bileşenler ise;

2

22A h A ve 3

33A h A

olarak bulunur.

Yani vektörün kontravariant terimlerinin fiziksel bileşenleri, metrik tensör matrisinin ilgili

diagonal elemanıyla (scale factor) çarpılmasıyla bulunur.

Daha genel bir ifadeyle, mertebesi “1” olan kontravariant bir tensörün fiziksel bileşenleri;

i i

i i iA i h A g A

eşitliği ile belirlenir.

Kovariant bir tensörün fiziksel bileşenlerinin bulunmasında metrik tensör ve konjuge metrik

tensör arasındaki ilişki kullanılabilir. Ortogonal bir koordinat sistemi için metrik tensör ve

konjuge metrik tensör arasında;

29

1i i

i i

gg

1,2,3i

ilişkisi vardır. 1x yönündeki kovariant bileşenler;

21

1 11 1 1

1

1g h h

h , 2 3 0

olarak verilir.

i j i jm

ij ij mg A g A g

eşitliği kullanılarak;

11 11 1 1 1 2

1 1

1(1)

AA g Ah A

h h

olarak 1x yönündeki fiziksel bileşen bulunur. Benzer şekilde;

2

2

2A

Ah

ve 3

3

3A

Ah

olarak diğer fiziksel bileşenler de elde edilir.

Yani vektörün kovariant terimlerinin fiziksel bileşenleri, metrik tensör matrisinin ilgili diagonal

elemanıyla (scale factor) bölünmesiyle bulunur.

Daha genel bir ifadeyle, mertebesi “1” olan kovariant bir tensörün fiziksel bileşenleri;

i i

i i i

A AA i

h g

eşitliği ile belirlenir.

Ortogonal bir koordinat sisteminde, kontravariant ve kovariant terimlerin fiziksel bileşenleri

aynıdır. Bu durum şu şekilde ispat edilebilir;

i

ij jA g A

ifadesi şu şekilde toplama açılabilir;

1 2 3

1 2 3j j j jA A g A g A g

burada i j için 0ijg olduğuna göre;

( )

i

ii iA g A

sonucu elde edilir. Bu eşitlikten kovariant ve kontravariant fiziksel bileşen ifadelerinin

aşağıdaki şekilde birbirine eşit olduğu görülebilir;

30

ii

i i

i i

AA i A g

g

31

6. TENSÖRLERDE TÜREV

Tensörel analizin en önemli problemlerinden biri metrik tensörün ve onun türevlerinin elde

edilmesidir. Bu bölümde, tensörel türev için gerekli olan yapılar incelenerek tensörlerin

türevlenebilirliğiyle ilgili bilgi elde edilmeye çalışılacak. Metrik tensörün türevlerine

ulaşabilmek için, ‘Christoffel Sembolleri’ denilen yapıyı kurmaya ihtiyaç vardır.

6.1. Christoffel Sembolleri

6.1.1. I. Tip Christoffel Sembolü

Aşağıdaki dönüşüm denklemini sağlayan bir metrik tensör tanımlanmış olsun;

a b

ab

x xg g

x x

ve , , niceliği dönüşüm metriğinin türevi olarak aşağıdaki şekilde tanımlansın;

, ,g

x

Bu durumda , , niceliği çarpımın türevinde;

2 2

, ,c a b a b a b

abab abc

g g x x x x x x xg g

x x x x x x x x x x x

halini alır. Bu noktada belirlenen 1

, , , , , ,2

kombinasyon terimi

1 1

, , , , , ,2 2

g g g

x x x

sonucunu verir. Dönüşüm altında bu eşitlik;

21 1

, , , , , ,2 2

a b c a b

ab bc caabc a b

g g g x x x x xg

x x x x x x x x x

haline gelir. Buradaki parantez içindeki terim I. Tip Christoffel sembolü olarak tanımlanır ve

aşağıdaki notasyonla gösterilir;

1

, ,2

ab bc ca

c a b

g g gac b ca b

x x x

Metrik tensörün, ij jig g özelliğine sahip simetrik bir tensör olmasından dolayı; I. Tip

Christoffel Sembolü, ilk iki terime göre simetrik olur.

32

6.1.2. II. Tip Christoffel Sembolü

I. Tip Christoffel Sembolü için dönüşüm denklemi;

2

, ,a b c a b

ab

x x x x xac b g

x x x x x x

şeklinde verilir. I. Tip Christoffel Sembolünün bir tensör gibi dönüşmesini engelleyen

2 a b

ab

x xg

x x x

terimi de

d

xg

x

ifadesi ile çarpılırsa;

2 2 2 2 2a b a a a ede bd de be e

ab ab ab ad

x x x x x x xg g g g g g

xx x x x x x x x x x x

sonucu elde edilir.

Dönüşüm denkleminin tamamı 2 a b

ab

x xg

x x x

terimiyle çarpılır ve elde edilen denklemden

2 ex

x x

ifadesi çekilirse;

2

, ,e a c

de de

d

x x x xg ac d g

xx x x x

sonucuna ulaşılır. Bu denkleme temel dönüşüm olan d e

de x xg g

x x

eşitliği uygulanırsa

denklem;

2

, ,e a c ex x x xdeg ac d g

x x x x x

haline gelir ve II. Tip Christoffel Sembolü;

1

,2

j jki i k

j k

g gi i gg jk g

j k k j x x x

olarak tanımlanır. II. Tip Christoffel Sembolü için dönüşüm denklemi;

2e a c eex x x x

a cx x x x x

olarak verilir. I. Tip Christoffel Sembolü için olduğu gibi II. Tip Christoffel Sembolü de bir

tensörel nicelik gibi dönüşmez. Bunu engelleyen bu sefer, 2 ex

x x

terimidir.

33

I. ve II. Tip Christoffel Sembolleri, birbirleri cinsinden ifade edilebilirler. Tanım olarak II. Tip

Christoffel Sembolü halihazırda I. Tip Christoffel Sembolünü içeriyor.

,ii

g jkj k

Bu tanım denklemi ig ile çarpılırsa;

, , ,i

i i

ig g g jk jk jk

j k

ifadesine ulaşılır. Sonuç olarak

, i

ijk g

j k

eşitliğiyle I. Tip Christoffel Sembolü II. Tip Christoffel Sembolü cinsinden yazılmış olur.

6.2. Kovariant Türev

i

i

xA A

x

olarak verilen dönüşüm denklemine uyan, mertebesi “1” olan ve iA ile verilen bir

kovariant tensör tanımlanmış olsun. Bu dönüşüm denkleminin x

koordinatına göre türevi

alınırsa;

2 i j i

ii j

AA x x xA

xx x x x x

elde edilir. Bu eşitlik II. Tip Christoffel Sembolü için verilen dönüşüm denklemiyle;

i j k j i

ii j

i AA x x x x xA

j k xx x x x x x

şeklinde yazılabilir. iA için verilen dönüşüm denklemi kullanılarak;

j k j kj

ik

A iA x x x xA A

j kxx x x x x

eşitliğine ulaşılır. Bu eşitlik biraz düzenlenirse;

j kj

ik

A iA x xA A

j kxx x x

sonucuna ulaşılır. Bu aşamada da jA niceliğinin kx bileşenine göre kovariant türev tanımı;

34

j,k

j

ik

A iA A

j kx

şeklinde yapılabilir. Bu sonuç, kovariant bir tensörün kovariant türevinin mertebesi “2” olan

yeni bir tensör oluşturacağını gösterir. Oluşan bu yeni tensör;

, ,

j k

j k

x xA A

x x

ile verilen dönüşüm denklemine uyar.

6.2.1. Kovariant Türevin Fiziksel Yorumu

Genelleştirilmiş koordinatları 1 2 3, ,x x x ve baz vektörleri 1 2 3, ,E E E olan bir sistem ele

alınmış olsun. Baz vektörlerinin konumla değişiyor olması matematiksel olarak her bir baz

vektörünün koordinatların bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi verilmesini gerektirir;

1 2 3, ,i ii

rE E x x x

x

1,2,3i

Ters bazlar da koordinatların fonksiyonu olarak;

1 2 3, ,i i

E E x x x 1,2,3i

şeklinde yazılabilir.

Bu bilgilerle bir A vektörü, kontravariant bileşenler cinsinden;

1 2 31 2 3

jjA A E A E A E A E

olarak verilirken, kovariant bileşenler cinsinden de;

1 2 3

1 2 3

j

jA A E A E A E A E

olarak gösterilebilir. A vektöründeki değişim;

k

k

Ad A dx

x

şeklinde yazılabilir. Vektörün k

A

x

türevi kontravariant bileşenler cinsinden;

jjj

jk k k

A E AA E

x x x

olarak verilirken kovariant bileşenler cinsinden;.

35

jjj

jk k k

AA EA E

x x x

şeklinde yazılır. Kovariant bileşenlerin kovariant türev tanımı;

,

j

ii ii k jk k k

AA EA E A E

x x x

olarak verilmişti. Kontravariant bileşenlerin kovariant türevi ise;

,

ii iji j

k k k k

A A EA E A E

x x x

olarak tanımlanır. Baz vektörlerin türevleri;

jm

k

mEE

j kx

ve

jm

k

jEE

m kx

olarak verilebilir. Bu durumda, baz vektörlerinin türevleri ile kendilerinin skaler çarpımı II .

Tip Christoffel Sembolünü verecektir;

i ij im mk

m m iEE E E

j k j k j kx

jm

mi i ik

j j jEE E E

m k m k i kx

Bu durumda kovariant ve kontravariant bileşenlerin kovariant türev ifadeleri;

,i

i k jk

jAA A

i kx

,

ii j

k k

iAA A

j kx

eşitliklerine dönüşür. Bu eşitliklerin 1. terimleri, koordinat eğrileri boyunca tensörel alanların

değişim hızını ifade ederken, 2. terimler ise, koordinat eğrileri boyunca yerel baz vektörlerinin

değişimlerini temsil ederler. Bu denklemler kovariant türevin, II. Tip Christoffel Sembolü ile

ilişkili fiziksel yorumudur.

36

7. SONUÇ

Bu çalışmada ilk olarak basit vektörel gösterimin indis notasyonu yöntemiyle nasıl daha basit

ve sade olarak gösterilebileceği ele alınmış ve tensörel analizin bileşen sayısının arttığı uzun ve

karmaşık hesaplamalarında indis notasyonunun sağladığı gösterim kolaylığı vurgulanmıştır. 3.

bölümde düz uzay ve ters uzayda baz vektör tanım bağıntıları elde edildikten sonra vektör ve

koordinat dönüşümlerine yer verilmiştir. Bir vektörün temsilinde, alışıldık ortogonal koordinat

sistemlerinin dışına çıkıldığında vektör bileşenlerinin kovariant ve kontravariant olarak

farklılaştığı ve gösterim yöntemine bağlı olarak baz vektörlerinin değişmek zorunda olduğu

ayrıntısıyla incelenmiştir. Başta metrik tensör olmak üzere bazı özel tensörler incelenmiş ve

metrik tensörün uzayın fiziksel yapısı hakkında ne tarz bilgiler içerdiği detaylıca işlenmiştir.

Kovariant ve kontravariant gösterimlerde vektörün fiziksel bileşenlerine metrik tensör

kullanılarak nasıl ulaşılabileceği gösterilmiştir.

Son bölümde, tensörlerde türev işlemi kovariant türev başlığı altında araştırılmış ve bu

türevlerin hesaplanması için gerekli olan I. ve II. Tip Christoffel Sembolleri tanımlanmıştır.

Christoffel Sembollerinin ve kovariant türevin fiziksel yorumu ile çalışma sonlandırılmıştır.

Bu çalışmada tensörel analiz, giriş düzeyinde ele alınmış, kuramsal veya uygulamalı birçok

alanın teorik hesaplamalarında kendisine yer bulan tensörlerle ilgili temel bir başvuru kaynağı

oluşturulması amaç edinilmiştir. Bu amaç doğrultusunda, kovariant ve kontravariant bileşen

kavramları, metrik tensör hesaplamaları, fiziksel bileşenler gibi başlıklara detaylıca yer

verilirken kimi bazı karmaşık başlıklara ya yüzeysel değinilmiş ya da bu çalışmada yer

verilmemiştir.

37

8. KAYNAKLAR

1. Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, / J.H. Heinbockel – 1996

2. Quick Introduction to Tensor Analysis / R. A. Sharipov – 2004

3. Vector and Tensor Analysis / Eutiquio C. Young – 1993

4. Mathematical Methods for Physicists, A Compensive Guide / George B. Arfken, Hans J.

Weber, Frank E. Harris - 2013