Budapesti Corvinus Egyetem

Közgazdaságtani Ph.D. Program

SÚLYOZÁS PÁROS ÖSSZEHASONLÍTÁSSAL

ÉS ÉRTÉKELÉS HASZNOSSÁGI FÜGGVÉNYEKKEL

A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI FELADATOKBAN

Ph.D. értekezés tézisgyűjtemény

Bozóki Sándor

Budapest, 2006

MTA SZTAKI-ba kihelyezett Gazdasági Döntések Tanszék

Témavezető: Dr. Rapcsák Tamás

Copyright c© Bozóki Sándor

Tartalomjegyzék

1. Többszempontú döntési problémák 2

2. Hasznossági függvények 3

3. Többszempontú döntési modellek 5

4. A kutatásban felhasznált módszerek 9

4.1. Rezultáns módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Gröbner-bázisok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3. Általánosított rezultáns módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4. Homotópiás algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Elméleti és módszertani eredmények 11

5.1. Az LSM feladat megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Számítási tapasztalatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3. Kutatási lehetőségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. A páros összehasonlítás mátrix a makro-ökonómia Leontief-

féle input-output modelljében 14

7. Alkalmazás: banki projektek rangsorolása 15

8. Modellezés: Agyfarm 16

9. Főbb hivatkozások 17

10.Saját ill. társszerzős publikációk és tanulmányok 20

1

1. Többszempontú döntési problémák

Melyiket válasszam? – ez a napi gyakorisággal felmerülő kérdés az emberigondolkodás és viselkedés alapvető mozzanata. A válasz megkeresésére fordí-tott energia- és időmennyiség elsősorban a probléma fontosságától függ. A kisjelentőségű feladatok megoldása egyszerű, rutinszerű, a komoly következmé-nyekkel járó döntéseket azonban mérlegelés előzi meg. Dolgozatom az utóbbifeladatosztályra koncentrál, azaz amikor a probléma fontossága megkívánjaa részletes elemzést.

A többszempontú döntési feladat célja: adott alternatívák közül azadott szempontok szerint összességében legjobb kiválasztása vagy az alter-natívák rangsorolása.

A teljesség igénye nélkül megemlítek néhány olyan magyarországi prob-lémát, amelyek 2004-ben a sajtó által széles körben nyilvánosságra kerültek.

• M6-os autópálya koncessziós megépítésének és üzemeltetésének pályá-zata;

• Malév-privatizáció;

• a Nemzeti Tankönyvkiadó privatizációja;

• harmadik generációs mobiltender;

• a nagykörúti villamosok megrendelése;

• MTV elnöki pozíciójára kiírt pályázat.

A különböző területekről származó példák a következő közös tulajdonságok-kal rendelkeznek:

– az értékelési szempontok között vannak egymásnak ellentmondók;

– nincs (matematikai értelemben vett) egyetlen legjobb megoldás;

– a döntésben szubjektív tényezők is szerepelnek.

A fenti feladatok között találhatók olyanok, amelyek komoly politikai és tár-sadalmi konfliktushoz vezettek. A döntéshozatal folyamata a legtöbb pél-dában nem nyilvános, ezért nehéz szakmai szempontból megítélni, hogy milehetett az oka az egyes pályázati értékelések, tenderek botrányba fulladá-sának. A tények mindenesetre rávilágítanak a szakmai megalapozottságúdöntéselemzés szükségességére.

2

2. Hasznossági függvények

A közgazdaságtan egyik alapfogalma, a hasznossági függvény Bernoulli [1],Ramsey [27] és Menger [26] várható hasznosság elméletében, majd Wald sta-tisztikai döntéselméletében [35] is fontos szerepet játszik. Az alapfeladat akövetkező: adottak az A1,A2, . . . ,An cselekvési lehetőségek (alternatívák),valamint a világ lehetséges s1, s2, . . . , sk állapotai és azok p1, p2, . . . , pk be-

következési valószínűségei (k

∑

i=1

pi = 1), valamint az alternatíváknak az egyes

állapotokhoz tartozó értékeit – melyet nevezhetünk a kifizetések vagy nyere-mények hasznosságának – tartalmazó táblázat:

Világállapotok s1 s2 . . . sk

Bekövetkezésivalószínűségek p1 p2 . . . pk

AlternatívákA1 c11 c12 . . . c1k

A2 c21 c22 . . . c2k

......

.... . .

...An cn1 cn2 . . . cnk

Ha a kifizetéseket az u : R → R hasznossági függvénnyel vesszükfigyelembe, akkor azt az alternatívát fogjuk választani, amelynek a várhatóhasznossága,

k∑

i=1

piu(c.i)

maximális. Ez a várható hasznosság elméletének alapfeladata. A bizonyta-lanság melletti feladat átfogalmazható többszempontú döntési feladattá azalábbi megfeleltetéssel:

3

Bizonytalanság mellettidöntéshozatal

Többszempontú döntéshozatal

Cselekvési lehetőségek(alternatívák)

←→ Alternatívák

Világállapotok (kimenetelek) ←→ Szempontok

Világállapotok bekövetkezésivalószínűsége

←→ Szempontsúlyok

Kifizetések hasznossága ←→Az alternatívák szempontokszerinti értékelése

A hasznossági függvény additív alakban való megadásának lehetőségétés a többszempontú döntési feladatokra való alkalmazását Fishburn [14],valamint Keeney és Raiffa [22] dolgozta ki, magyar nyelvű összefoglalásTemesi könyvében [32] található.

A hasznossági függvény fogalmának gyakorlati problémákban történő fel-használására az értekezés alkalmazási (8.) és modellezési (9.) fejezetében mu-tatok konkrét példákat. A problémákat többszempontú döntési feladatkéntmegfogalmazva, az egyes szempontok szerint történő értékelésekre mutatokszámszerű hasznossági függvény-konstrukciókat.

4

3. Többszempontú döntési modellek

A többszempontú döntési feladatok modellezése fiatal tudomány. Az elmúltfél évszázadban megjelent többszempontú döntési modellek az alábbi háromcsoportba oszthatók:

• elemi szabályokra épülő modellek;

• az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit a szempontsúlyokfigyelembevételével aggregáló módszerek; és az

• outranking rangsoroló eljárások.

Az elemi szabályokra épülő módszerek könnyen megfogalmazható megfon-tolásokon, heurisztikákon alapulnak. Ha ismert az alternatívák értékelése(pontszámai) a szempontok alapján, valamilyen egyszerű elv alapján kivá-lasztható a legjobb, vagy legalábbis szűkíthető a vizsgálandó alternatívákhalmaza. Például a lexikografikus modellben, ha ismert a szempontok fon-tossági sorrendje, akkor a legfontosabb szempont szerinti legjobb alternatívalesz a győztes. Ha több ilyen is van, akkor továbblépünk a második legfonto-sabb szempontra és az aszerinti legjobb(ak)at választjuk. Az eljárást addigfolytatjuk, amíg egyetlen alternatíva marad.

Az alternatívák szempontok szerinti értékeléseit aggregáló módszerek-ben a többszempontú döntési feladat megoldása az alternatívák szempon-tok szerinti értékelésén, a szempontok fontosságának meghatározásán, majdaz értékeléseknek a szempontsúlyokkal vett aggregálásán keresztül vezet.A legtöbbet hivatkozott modellek a Multi Attribute Utility/Value Theory(MAUT/MAVT, [22]), az Analytic Hierarchy Process (AHP, [29]) és a SimpleMulti Attribute Ranking Technic (SMART, [9]).

Az alternatívák összehasonlítására szolgáló outranking relációt Roy [28]vezette be. A módszer egy elemi lépése annak a kérdésnek a megválaszo-lása, hogy milyen mértékben állítható alternatíva preferáltsága egy másikkalszemben egy-egy rögzített szempont esetében. A legismertebb outrankingtípusú eljárások az ELECTRE [28] és a PROMETHEE [3] módszercsaládok,magyarországi viszonylatban pedig a KIPA [23].

Az elemi szabályokon alapuló modellek kivételével minden módszertan-ban szükség van a szempontok fontosságának számszerű kifejezésére, azaz aszempontsúlyok meghatározására. A szempontok súlyai mutatják meg a dön-téshozó céljait és preferenciáit. A feladat egyik nehézsége, hogy a fontosság-nak nincs általánosan elfogadott mértékegysége, azt csak valamilyen skálávalegyütt lehet értelmezni. Előfordul, hogy a döntéshozó közvetlenül, számsze-rűen meg tudja adni a szempontsúlyokat, ezt egyszerű közvetlen becslésnek

5

is nevezi az irodalom [23]. Nagyobb méretű, összetett feladatoknál azonbannem várható el, hogy a modellező rendelkezésére bocsássa a számszerűsítettértékeket. A probléma kisebb részekre történő bontásával azonban elérhető,hogy a döntéshozónak csak egyszerű, világos kérdéseket kell megválaszolnia,azokból mégis előállítható az egész feladat szempontsúly-rendszere.

A súlymeghatározás módszerei közül legismertebbek a már említett egy-szerű közvetlen súlybecslés, a Churchman-Ackoff- ill. Guilford-féle eljárások[23], lineáris programozási technikák, a SMART súlyozásos módszer [32] ésa páros összehasonlításon alapuló modellek, ez utóbbiak egy részosztályávalfoglalkozok részletesen az értekezésben.

Axiómaként elfogadjuk a preferencia-modellezésben használt feltételt, mi-szerint a döntéshozó képes két dolog (ami lehet pl. a szempontok fontos-sága) összehasonlítására: meg tudja mondani, hogy valamelyik jobb (vagynagyobb) a másiknál, vagy egyformák.

Condorcet [6] és Borda [2] szavazási feladataikban már az 1780-as évek-ben bevezették a páros (vagy páronkénti) összehasonlítás fogalmát mint azegyéni preferenciák alapján felállított rangsor két eleme közötti viszonyt. Akísérleti pszichológiában először Weber és Fechner [13] használták e fogalmata 19. század közepén, majd az 1920-as években Thorndike [33] és Thurstone[34]. A páros összehasonlítás mint módszer alkalmazási lehetőségeit Kindler[23] történeti és módszertani áttekintése tárgyalja.

Az értekezésben a páros összehasonlítások azon változatát tárgyalom,amelyben az elemeket arányskálán hasonlítjuk össze, azaz a döntéshozótólolyan formában várjuk az elemek összehasonlítását, hogy hányszor tekintiaz egyiket jobbnak vagy nagyobbnak a másiknál [29]. Az összehasonlítandóelemek a probléma jellegétől függően lehetnek:

• szempontok fontosságai;

• az alternatívák rögzített szempont szerinti értékelései;

• csoportos döntés esetén a döntéshozók szavazóerői.

A páronkénti összehasonlításokból felépíthető egy négyzetes mátrix, melynekdefiníciója a következő:

Definíció. Jelölje Rn×n+ a pozitív valós elemekből álló n × n-es mátrixok

osztályát. Az

A =

1 a12 a13 . . . a1n

1/a12 1 a23 . . . a2n

1/a13 1/a23 1 . . . a3n

......

.... . .

...1/a1n 1/a2n 1/a3n . . . 1

∈ Rn×n+

6

mátrixot páros összehasonlítás mátrixnak nevezzük, ha minden i, j =1, . . . , n indexre teljesül, hogy

aii = 1, (1)

aij =1

aji

. (2)

A mátrix aij eleme azt mutatja meg, hogy a döntéshozó hányszor jobbnakítéli meg az i-edik objektumot a j-ediknél. (1) alapján az önmagával valóösszehasonlítás eredménye mindig 1.A (2) tulajdonság azon a feltételezésen alapul, hogy ha a döntéshozó számáraaz i-edik objektum aij-szer akkora, mint a j-edik, akkor a j-edik pontosan1

aij-szer akkora, mint az i-edik. Az (1)-(2)-ből adódóan n objektum esetén

(

n

2

)

= n(n−1)2

összehasonlítással adható meg a mátrix.

Definíció. Ha egy A = [aij]i,j=1,2,...,n ∈ Rn×n+ mátrixra (1)-(2)-n túl még

aijajk = aik (3)

is teljesül minden i, j, k = 1, . . . , n indexre, akkor konzisztens párosösszehasonlítás mátrixnak nevezzük. Az (1)-(2) feltételeket igen, de (3)-atnem teljesítő mátrixot inkonzisztens mátrixnak nevezzük.

A feladat: az elemek páronkénti összehasonlításának (A mátrix) ismere-tében a w1, w2, . . . , wn súlyok meghatározása, ahol

wi > 0, i = 1, 2, . . . , n, (4)n

∑

i=1

wi = 1. (5)

A súlyokat együttesen a w = (w1, w2, . . . , wn)T súlyvektorral jelöljük.

A problémára több megoldási lehetőség kínálkozik. Az Analytic Hie-rarchy Process (AHP, [29]) módszertanban a mátrix legnagyobb sajátérté-kéhez tartozó jobboldali sajátvektor komponensei adják a súlyokat. Más,távolságminimalizáló módszerekben a mátrix valamilyen célfüggvény szerintilegjobb közelítése alapján lehet a súlyokra következtetni. A legkisebb négy-zetek módszere [5] és annak relaxált változatai, mint pl. a súlyozott legkisebbnégyzetes, a logaritmikus legkisebb négyzetes, vagy a χ2-es feladatok mellettolyan megközelítések találhatók, mint a szinguláris felbontás [17], célprogra-mozás és lineáris programozás.

7

Konzisztens mátrixok esetén minden súlyozási eljárás ugyanazt az ered-ményt adja. Inkonzisztens esetben a különböző módszerek által eredmé-nyezett súlyvektorok kisebb-nagyobb mértékben eltérnek. Golany és Kress[18] több szempont alapján történő összehasonlító elemzéséből kiderül, hogyminden súlyozási módszernek van előnye és hátránya, egyik sem nevezhető„a legjobb”-nak.

A legkisebb négyzetes közelítés feladata (LSM) közel 30 éves, megoldá-sával azonban kevés dolgozat foglalkozik. A többi módszerrel ellentétben alegkisebb négyzetes feladatról általában nem mondható el, hogy megoldásaegyértelmű [20]. A célfüggvény ugyanis nem feltétlenül konvex, és az eddi-giekben publikált eljárásoknál ([20], [11]) jelentős nehézséget okoz a stacio-nárius pontok meghatározása, mivel azok az iterációs elvű numerikus mód-szereket használják. Az optimális megoldás tehát általában függ az induló-pont választásától. Az irodalomban nem találtam olyan eredményt, amelyaz összes megoldás előállítására ad módszert.

Kutatásom célja a következő, tudomásom szerint mások által még nemtárgyalt kérdések vizsgálata volt:

• a páros összehasonlítás mátrixokra felírt legkisebb négyzetes feladatösszes megoldásának előállítása;

• az összes megoldás ismeretében a páros összehasonlítás mátrixok struk-túrájának feltárása;

• a megoldás nem egyértelműségének döntéselméleti következményei,pl. a döntéshozó ill. az általa kitöltött páros összehasonlítás mátrixinkonzisztenciájára vonatkozóan.

A súlyozási módszerek fő alkalmazási területe a többszempontú döntésifeladatok szempontjainak meghatározása, de felhasználható az alternatívákértékelésére vagy csoportos döntési problémákban a döntéshozók szavazóerő-inek (kompetencia-súlyainak) meghatározására is.

Rámutatok továbbá, hogy a legkisebb négyzetes közelítés alkalmazha-tóságának nem feltétele az összes

(

n

2

)

elempár összehasonlításának megléte,ebben az értelemben tehát általánosabbnak tekinthető, mint pl. a sajátvektormódszer.

8

4. A kutatásban felhasznált módszerek

Polinomrendszerek megoldása

A legkisebb négyzetes célfüggvény minimalizálásának problémáját az opti-malitás elsőrendű feltételeinek többváltozós polinomrendszerre történő átí-rásával közelítem meg. A matematikai (főleg geometriai) és fizikai-mérnökiproblémák (kinetika és egyensúly) gyakran vezetnek polinomiális rendszerekmegoldására, mely – mint a nemlineáris rendszerek megoldása általában –nem könnyű. Az alábbi négy módszert tekintem át, amelyek segítségévelkisméretű feladatok megoldhatók:

• rezultáns módszer;

• Gröbner-bázisok;

• általánosított rezultáns módszer;

• homotópiás algoritmus.

Mivel egy adott polinomrendszer összes megoldását keressük, a Newton-iteráción alapuló algoritmusokat nem tárgyalom. Megjegyzem azonban,hogy valamely polinomrendszer-megoldó algoritmus által szolgáltatott meg-oldás, mely szükségképpen csak közelítő megoldás lehet, a Newton-iterációindulóértékéül választva tetszőlegesen pontosítható.

4.1. Rezultáns módszer

A rezultáns két egyváltozós polinom gyökeiből származtatható, és azthivatott kifejezni, hogy a polinomoknak létezik-e közös gyöke. Ha igen,a rezultáns definíció szerint nulla. A közös gyök létezésének ezen szük-séges feltétele lehetőséget ad arra, hogy egy kétváltozós, kétegyenletespolinomrendszer megoldását egyváltozós polinomok gyökeiből írjuk fel.A rezultáns-módszer elméleti szempontból elegáns, a gyakorlatban valóalkalmazhatósága azonban a kétváltozós esetre korlátozódik.

9

4.2. Gröbner-bázisok

A polinomgyűrűk és ideálok tanulmányozására vezette be Buchberger [4] aGröbner-bázis fogalmát. Egy adott polinomrendszerhez tartozó Gröbner-bázis egy az eredetivel ekvivalens rendszer, azaz pontosan ugyanazok agyökei, mint az eredetinek. A Gröbner-bázisbeli polinomrendszer azonbanrendelkezik bizonyos tulajdonságokkal is, melyek jól használhatók a polino-mokkal való osztás és egyéb vizsgálatok során.

4.3. Általánosított rezultáns módszer

A kettő és annál több egyenletből álló polinomrendszerek megoldására ve-zette be Dixon [7] a később róla elnevezett általánosított rezultáns fogalmát.A Dixon-rezultáns szerepe azonos a rezultánséval: olyan kifejezést keresünk,amely kifejezhető a többváltozós polinomok együtthatóival, és pontosanakkor nulla, ha a polinomiális egyenletrendszernek van megoldása (közösgyöke). A Dixon-rezultánson alapuló Bezout-Dixon-Kapur-Saxena-Yangmódszert [21] Lewis implementálta az általa kifejlesztett Fermat szoftverben[24].

4.4. Homotópiás algoritmus

Az utóbbi 25 év során a homotópiás kontinuitási módszerek megbízható éshatékony technikává fejlődtek a nemlineáris rendszerek összes megoldásánakmeghatározására.

Garcia és Zangwill [16], valamint tőlük függetlenül Drexler [8] javasoltaelsőként a homotópiás módszerek alkalmazását polinomiális rendszerek összesgyökének numerikus meghatározására.

A többváltozós polinomok összes közös gyökének előállítására mint anemlineáris rendszerek speciális esetének megoldására Li és Gao [25, 15]algoritmusát választottam.

10

5. Elméleti és módszertani eredmények

5.1. Az LSM feladat megoldása

Az értekezés első részében a páros összehasonlítás mátrixok alapján tör-ténő súlyozási módszerek közül a legkisebb négyzetes feladatot (LSM)oldottam meg a 3 × 3, 4 × 4, . . . , 8 × 8-as mátrixokra. A minimalizálandónemlineáris célfüggvény nemkonvexitása miatt az optimumhely általábannem egyértelmű. A feladat megoldására korábban használatos Newton-iterációs technikák sajátossága, hogy a megoldás érzékeny az indulópontválasztására. Az általam tárgyalt módszerek az összes lokális és globálisminimumhely megkeresésére alkalmasak. Tapasztalataim alapján a 3× 3-asmátrixok esetére használható a rezultáns-módszer és a Gröbner-bázisok,3× 3-as és 4× 4-es esetben az általánosított rezultánsokat alkalmazó Fermatszoftver, 3×3-astól 8×8-as méretig pedig a homotópiás kontinuitási módszer.

Önálló eredmények:

• a legkisebb négyzetes célfüggvény optimalizálási feladat átírása több-változós polinomrendszer gyökeinek megkeresésére [S-1];

• 3×3-as esetben a rezultáns-módszer implementálása a Maple és a Mat-lab szoftverekben;

• tetszőleges méretű mátrix esetében az LSM -feladathoz tartozó poli-nomrendszer megadása [S-3].

Közös együttműködésben elért eredmények:

• a 4 × 4-es mátrixokból felírt 3 egyenletes 3 változós polinomrendszermegoldása a Lewis által implementált Fermat szoftverrel [S-2];

• Gao homotópiás algoritmusának alkalmazása a 3× 3, 4× 4,. . . , 8× 8-as mátrixokból felírt polinomrendszerek megoldására [S-3].

11

5.2. Számítási tapasztalatok

Önálló eredmények:

A kutatás jelenlegi fázisában a 3× 3-as esetben tudok páros összehasonlításmátrixokat nagy számban generálni, majd azokból automatikusan LSM -súlyokat számolni. A sajátvektor-, a legkisebb négyzetes és a szingulárismódszerek összehasonlítása alapján az alábbi következtetésekre jutottam:

• a három módszerhez tartozó inkonzisztencia-mérőszámok közül a szin-guláris jelentős eltérést mutat a másik kettőhöz képest. A közel kon-zisztens tartományban a szinguláris módszer inkonzisztencia-definíciójateszi leginkább lehetővé a döntéshozó következetlenségi fokozatainakmegkülönböztetését;

• az EM -inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály szerint elfogadhatónakminősített mátrixok LSM -értelemben is kis hibával közelíthetők;

• példát mutattam olyan mátrixra, amelynek EM -inkonzisztenciája 10%alatti, SV D-inkonzisztenciája viszont nagy;

• az inkonzisztencia mértékének növekedésével a különböző súlyozásimódszerek által adott súlyvektorok egyre jobban eltérnek egymástól;

• magas inkonzisztencia-szint mellett az EM -megoldás az egyenlő súlyok(1

3, 1

3, 1

3) közelében marad, a legkisebb négyzetes megoldás pedig több-

nyire nem egyértelmű.

A páros összehasonlítás mátrixok inkonzisztenciájának mérésére szolgálóEM -inkonzisztencia (CR) értéket nagy mintaszámú, véletlenül generált mát-rixok statisztikai elemzésével közelítettem meg. Számításaim szerint az EM -inkonzisztenciára felírt 10%-os szabály lényeges különbséget mutat a mátrixméretének függvényében:

• n = 3-ra a véletlen mátrixok jelentős része (28%) elfogadható;

• n = 4, 5-re kis százaléka fogadható el;

• n = 6, 7-re található néhány elfogadható;

• n = 8, 9, 10-re egyetlen elfogadható inkonzisztencia-szintű mátrix semfordult elő a több milliós mintában.

12

Utóbbi eredményem jelenlegi formájában elsősorban kérdésfelvetőcélzatú: teremthető-e – és ha igen, milyen – kapcsolat a valós döntésiszituációkban konkrét döntéshozó által konkrét problémára felírt párosösszehasonlítás mátrixok és a véletlen módon generált mátrixok inkonzisz-tenciája között? A válaszokhoz további, a gyakorlati feladatokból származómátrixokat is szerepeltető kutatás szükséges.

5.3. Kutatási lehetőségek

A 4 × 4-estől 8 × 8-as méretig a súlyok számítása jelenleg egyedileg tör-ténik, ezért a statisztikai jellegű elemzés lehetősége korlátozott. A futásieredmények (különösen n = 7, 8 esetében) azt mutatják, hogy döntésifeladatok valós időben történő megoldására még nem használhatók, azáltalam alkalmazott módszertan a kutatás fázisában van.

A jelenlegi algoritmusok és számítástechnikai eszközök által megoldhatólegnagyobb mátrixméret a 8 × 8-as. Összetett feladatokban azonbanfelmerülhet ennél nagyobb számú objektum összehasonlításának igénye,ezért keresem a megoldás lehetőségét 9× 9-es és 10× 10-es mátrixokra is.

Döntési szempontból alapvető fontosságú annak biztosítása, hogy egypáros összehasonlítás mátrixból számolt súlyvektor egyértelmű legyen, amia sajátvektor- és szinguláris módszerek esetében biztosított. A legkisebbnégyzetes megoldás egyértelműségére vonatkozó szükséges és elégségesfeltétel azonban még nem ismert. A páros összehasonlítás mátrixok egyosztályában a megoldás nem-egyértelműségére Farkas és Rózsa [12] adottelégséges feltételt.

Döntéselméleti és alkalmazási szempontból is lényeges kérdés a külön-böző súlymeghatározó módszerek összehasonlítása. Célunk, hogy a döntésifeladatok jellegzetes vonásainak, típusainak leginkább megfelelő módszertki tudjuk választani. Ezen jellegzetességek feltérképezése és azonosításajelenleg is kutatás tárgya.

A legkisebb négyzetes közelítés feladata olyan esetekben is felírható, ami-kor a páros összehasonlítás mátrix nincs teljesen kitöltve. Elsősorban na-gyobb méretű (8× 8, 9× 9, 10× 10) mátrixok esetén fontos gyakorlati szem-pont a döntéshozó idejének hatékony igénybevétele. Kezdeti stádiumban levőeredményeim azt mutatják, hogy az összes n(n−1)

2páronkénti összehasonlítás

helyett elegendő lehet lényegesen kevesebb is.

13

6. A páros összehasonlítás mátrix a makro-

ökonómia Leontief-féle input-output modell-

jében

A páros összehasonlítás mátrixok a többszempontú döntési problémákonkívül más feladatokban is megjelennek. Ilyen például a Leontief-féleinput-output modell dinamikus változata stacionárius növekedés esetén.

Stojanović [31] az általa definiált növekedési mátrixot az egyenletesenbővülő gazdaság (minden szektor növekedési rátája azonos) esetében egypáros összehasonlítás mátrix konstansszorosaként írta fel, ahol a konstans anövekedési ráta.

Steenge [30] megmutatta, hogy mind a statikus, mind a dinamikus-stacionárius Leontief-féle input-output modell felírható páros összehasonlításmátrix segítségével.

Kutatási irányok

A gyakorlatban az egyes szektorok növekedésének mért értékeiből felépí-tett mátrix csak közelítőleg teljesíti a fenti modellek feltételeit. A mátrixsajátértékeinek feltérképezésével a modell mint dinamikai rendszer stabili-tására vonatkozóan lehet következtetéseket levonni, mint ahogy azt Farkasés Rózsa [10] tette a páros összehasonlítás mátrixok egy speciális szerkezetűperturbált változatának vizsgálatán keresztül.

14

7. Alkalmazás: banki projektek rangsorolása

Első gyakorlati problémánkban egy nemzetközi háttérrel rendelkező bankprojektjeinek rangsorolására adtunk modellt [S-4]. A feladatot egynemzetközi bank magyarországi fiókja megbízásából az MTA SZTAKI Ope-rációkutatás és Döntési Rendszerek Osztályán végeztük el 2001/2002-ben.A feladat olyan rendszer tervezése és annak szoftveres megvalósítására vo-natkozó javaslat elkészítése volt, amely egyidejűleg 50-100 projekt kezelésérealkalmas, az alternatívák dinamikusan változó halmazát is megengedve.

A szakirodalomban található modellek közül egyiket sem találtukközvetlenül adaptálhatónak a feladat megoldására, ezért egy új modelltépítettünk fel. A bank szakembereivel közösen kialakított szempontrendszertfastruktúrába rendeztük, majd a banki felsővezetés által megadott párosösszehasonlításokból számított szempontsúlyokkal láttuk el. Ez lehetővétette a rangsoroló mechanizmus működésének a banki stratégiákhoz valóillesztését.

A projektek (alternatívák) szempontok szerinti értékelését a bankáltal megadott támpontokon alapuló értékelő (hasznossági) függvényekkonstrukciójával javasoltuk. A objektív szempontok szerint történő értékelésa beépített függvényeken keresztül automatikusan történik, a szubjektívszempontok szerinti értékelésre pedig egységes, áttekinthető skálákat ve-zettünk be, megkönnyítendő a folyamatban résztvevő döntéshozók munkáját.

A bank 2002-ben vezette be az általunk javasolt módszertan alkalmazá-sát, melynek sikeres működéséről írásbeli referenciát kaptunk.

Önálló eredmények:

• a bank felsővezetése és szakértői által kitöltött páros összehasonlításmátrixok alapján a szempontsúlyok meghatározása;

• az alternatívák szempontok szerinti értékelési mechanizmusának kidol-gozása, hasznossági függvények konstrukciója a bank képviselőjeáltal megadott instrukciók alapján;

• az Expert Choice szoftver alkalmazhatósági területének körülhatáro-lása ebben a döntési feladatban.

15

8. Modellezés: Agyfarm

Második feladatunk az Agyfarm (az akadémiai kutatás kollaboratív kommu-nikációs és tudományszervezési modellje on-line technológiai környezetben)modellezésében az ajánló rendszer, a felhasználók közötti kapcsolatokfeltárása, valamint a csoportképződés folyamatának döntési feladatkéntvaló megfogalmazása és megoldása volt [S-5]. Az Agyfarm modellezése aBudapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Média Oktató és Kuta-tóközpontja (BMGE-MOKK), az MTA SZTAKI Operációkutatás és DöntésiRendszerek Osztálya, és a Frutta Elettronica közös együttműködésébenkészült.

Munkánk során a nemzetközi szakirodalomban is újnak tekinthető döntésimodelleket építettünk fel, amelyek lehetővé teszik olyan feladatok kezelését,mint

• az Agyfarm többezres felhasználói létszámra és több tízezres oldal- ésdokumentumszámra tervezett rendszerében valós időben működő aján-lás;

• a felhasználói aktivitás követése és annak a rendszerbe történő vissza-csatolása;

• a felhasználók egymás közötti kapcsolatainak létrehozása és erősítése;

• a működtetés során fellépő döntési szituációk.

Önálló eredmények:

• döntési problémaként kezelhető feladatok azonosítása és modellezése;

• többszempontú döntési problémák szempontrendszerének kidolgozása;

• szempontok szerinti értékelési mechanizmusok (hasznossági

függvények) konstrukciója;

• szempontsúlyok kiszámítása páros összehasonlítás mátrixok

alapján;

• az Agyfarmban szereplő felhasználói profilok ill. értékelések hasonlósá-gának mérésére szolgáló lehetőségek áttekintése.

16

9. Főbb hivatkozások

Hivatkozások

[1] Bernoulli, D. [1738]: Specimen theoriae novae de mensura sortis, Com-mentarii Academiae Scientiarum Imperalis Petropolitanae, Angol fordí-tásban: Exposition of a new theory of measurement of risk, Economet-rica 51(4), July, pp. 1065-1092.

[2] Borda, J.C. de [1781]: Mémoire sur les électiones au scrutin, Histoire del’Académie Royale des Sciences, Paris.

[3] Brans, J.P. [1982]: L’ingéniérie de la décision, Élaboratoriond’instruments d’aide ŕ la décision. Méthode PROMETHEE, UniversitéLaval, Collogue d’Aide ŕ la Décision Québec Canada, pp. 183-213.

[4] Buchberger, B. [1985]: An algorithmic method in polynomial ideal the-ory, in: Multidimensional System Theory, N.K. Bose (editor), D. RedielPublishing Company, Dordrecht, Boston, Lancaster, pp. 184-232.

[5] Chu, A.T.W., Kalaba, R.E., Spingarn, K. [1979]: A comparison of twomethods for determining the weight belonging to fuzzy sets, Journal ofOptimization Theory and Applications, 4, pp. 531-538.

[6] Condorcet, M. [1785]: Essai sur l’Application de l’Analyse à la Proba-bilité des Décisions Rendues á la Pluralité des Voix, Paris.

[7] Dixon, A.L. [1908]: The eliminant of three quantities in two independentvariables, Proceedings of the London Mathematical Society, 7, pp. 50-69,pp. 473-492.

[8] Drexler, F.J. [1978]: Eine Methode zur Berechnung sämtlicher Lösungenvon Polynomgleichungssystemen, Numerische Mathematik, 29, pp. 45-58.

[9] Edwards, W. [1977]: How to use multiattribute utility measurementfor social decision making, IEEE Transactions on Systems, Man, andCybernetics, SMC-7, 5, pp. 326-340.

[10] Farkas, A., Rózsa, P. [2001]: Data Perturbations of Matrices of PairwiseComparisons, Annals of Operations Research, 101, pp. 401-425.

[11] Farkas, A., Lancaster, P., Rózsa, P. [2003]: Consistency adjustment forpairwise comparison matrices, Numerical Linear Algebra with Applica-tions, 10, pp. 689-700.

17

[12] Farkas, A., Rózsa, P. [2004]: On the Non-Uniqueness of the Solutionto the Least-Squares Optimization of Pairwsie Comparison Matrices,Acta Polytechnica Hungarica, Journal of Applied Sciences at BudapestPolytechnic Hungary, 1, pp. 1-20.

[13] Fechner, G.T. [1860]: Elemente der Psychophysik, Breitkopf und Härtel,Leipzig.

[14] Fishburn, P.C. [1970]: Utility Theory for Decision Making, Wiley, NewYork.

[15] Gao, T., Li, T.Y., Wang, X. [1999]: Finding isolated zeros of polynomialsystems in C

n with stable mixed volumes, Journal of Symbolic Compu-tation, 28, pp. 187-211.

[16] Garcia, C.B., Zangwill, W.I. [1979]: Finding all solutions to polynomialsystems and other systems of equations, Mathematical Programming,16, pp. 159-176.

[17] Gass, S.I., Rapcsák, T. [2004]: Singular value decomposition in AHP,European Journal of Operations Research, 154, pp. 573-584.

[18] Golany, B., Kress, M. [1993]: A multicriteria evaluation of methodsfor obtaining weights from ratio-scale matrices, European Journal ofOperations Research, 69 pp. 210-220.

[19] Guilford, J.P. [1936]: Psychometric Methods, McGraw-Hill Book, NewYork.

[20] Jensen, R.E. [1984]: An Alternative Scaling Method for Priorities in Hi-erarchical Structures, Journal of Mathematical Psychology, 28, pp. 317-332.

[21] Kapur, D., Saxena, T., Yang, L. [1994]: Algebraic and geometric reaso-ning using Dixon resultants. In: Proceedings of the International Sym-posium on Symbolic and Algebraic Computation. A.C.M. Press.

[22] Keeney, R.L., Raiffa, H. [1976]: Decisions with Multiple Objectives:Preferences and Value Tradeoffs, John Wiley & Sons, New York.

[23] Kindler J., Papp, O. [1977]: Komplex rendszerek vizsgálata – Összemé-rési módszerek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest.

[24] Lewis, R.H. : Computer algebra system Fermat.http://www.bway.net/ l̃ewis/

18

[25] Li, T.Y. [1997]: Numerical solution of multivariate polynomial systemsby homotopy continuation methods, Acta Numerica, 6, pp. 399-436.

[26] Menger, K. [1934]: Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre. Betrach-tungen in Anschluss an das sogenannte Petersburger Spiel, Zeitschriftfür Nationalökonomie, 5, pp. 459-485.

[27] Ramsey, F.P. [1931]: Truth and probability, in: Ramsey, F.P.: TheFoundations of Mathematics and other Logical Essays, ed. R.B. Braith-waite, Kegan Paul, Trench, Trubner and Co., London.

[28] Roy, Bernard [1969]: Algebre Moderne et Theorie des Graphes Orienteesvers les Sciences Economiques et Sociales, Paris, Dunod.

[29] Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, NewYork.

[30] Steenge, A.E. [1981]: The Verification of Efficient Growth: An Approachvia Stojanović’s Matrix of Growth, Journal of Macroeconomics, 3, No. 2,pp. 271-281.

[31] Stojanović, D. [1974]: Model kretanja privede sap vojvodine na bazimatrice rasta, (English Summary), Mathematika Balkanika, 4.

[32] Temesi, J. [2002]: A döntéselmélet alapjai, Aula Kiadó, Budapest.

[33] Thorndike, E.L. [1920]: A Constant Error in Psychological Ratings,Journal of Applied Psychology, 4, pp. 25-29.

[34] Thurstone, L.L. [1927]: The Method of Paired Comparisons for SocialValues, Journal of Abnormal and Social Psychology, 21, pp. 384-400.

[35] Wald, A. [1950]: Statistical Decision Functions, Wiley, New York.

19

10. Saját ill. társszerzős publikációk és tanul-

mányok

Hivatkozások

[S-1] Bozóki, S. [2003]: A method for solving LSM problems of small sizein the AHP, Central European Journal of Operations Research, 11,pp. 17-33.

[S-2] Bozóki, S., Lewis, R.H. [2005]: Solving the Least Squares Method prob-lem in the AHP for 3×3 and 4×4 matrices, Central European Journalof Operations Research, 13, pp. 255-270.

[S-3] Bozóki S. [2005]: Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixoklegkisebb négyzetes közelítése alapján, Alkalmazott Matematikai Lapok(megjelenés alatt).

[S-4] Rapcsák, T., Bozóki, S. [2001]: Banki projektek rangsorolása, MTASZTAKI Operációkutatás és Döntési Rendszerek Osztály.

[S-5] Rapcsák, T., Bozóki, S., Lakatos, V., Selmeczy, I. [2003]: Döntésifeladatok az Agyfarmban, MTA SZTAKI Operációkutatás és DöntésiRendszerek Osztály.

20