Martin Jovanovi UVOD U RAUNARSTVO -skripta za raunske vebe - prednacrt - nezvanina kompletna verzija- Verzija 07.01.2007. Istorija verzija: 24.12.2004. Prednacrt. Nedostaju objanjenja za sve oblasti. Primeri su u rukopisu. Ova verzija pokriva kompletno gradivo, i dovoljna je za pripremu drugog kolokvijuma iz Uvoda u raunarstvo. Izuzetak ini deo o zadavanju konanih automata i putevima u automatu data je referenca na odgovarajue poglavlje u literaturi. Mogue su tamparske greke. Autor se unapred zahvaljuje na svim sugestijama. 13.01.2005. Uvodna pria o konanim automatima je prepravljena da bi bila jasnija. Na kraju automata je dat zadatak ("aba"), i detaljno opisan rad automata (sa postepenim crtanjem grafa). 20-21.01.2005. Pristupam ponovo skripti na Svetog Jovana. Dodao sam uvod u priu o Bulovoj algebri (koja je inae stavljena suvoparna). Dodatno sam pojasnio, govornim jezikom, svaki od aksioma iz Hantingovog skupa. Dodatno sam objasnio poglavlje o definisanju osnovnih operacija prekidake algebre, i jo tu uveo pojam tablice istinitosti. Na poetku treeg poglavlja ubacio sam definiciju potpuno i nepotpuno definisane prekidake funkcije. Dopunio sam tekst i uradio preglednije tabele. Zadatke posle poglavlja o analitikim formama funkcije (skenirane i zalepljene) sam zamenio kucanim zadacima (zadatke kucao Boidar Zeevi). 24.01.2005. Ispravljene tamparske greke (zadavanje PF, zadatak 5, precrtavanja su bila pomerena u desno). Dodatno sam objasnio osobinu distributivnosti operacija. Ispravljene su neke tamparske greke u postavci zadatka 2 iz naina zadavanja PF. Pojasnio sam izraz "idempotentnost". Dodat je prekucan zadatak sa NI i NILI kolima. 17.02.2004. Ispravljena greka kod kombinatorijskog vektora. 15.12.2005. Str. 14, poslednja Karnoova mapa, ispravljena greka pri popunjavanju. 27.01.2006. Str. 35, ispravljena greka u poslednjoj formuli na stranici. 27.01.2006. Str. 13, ispravljena greka u sumi za raunanje brojnog indeksa funkcije (i sada ide od 0). 27.01.2006. Str. 13, ispravljena greka u opisu naina raunanja brojnog indeksa funkcije. Dalja evolucija skripte beleena je u zasebnom fajlu ("Errata"). 1. Koncepcija Ovde u napisati poboljanu koncepciju, a za sada je u vanosti ona sa sajta. Adresa (na dan 24.12.2004.):www.martinjovanovic.com/uur/koncepcija2.html 2. Elementi prekidake algebre 2.1. Uvod Prekidakaalgebrapruamatematikuosnovuzabilokakavradsaprekidakim funkcijama.Aprekidakafunkcijajezapravomatematikimodelradabilokogdigitalnog elektrinog kola. A opet, cilj koji se postavlja pred studenta u okviru drugog dela Uvoda u raunarstvo (raunske vebe), je projektovanje digitalnog elektrinog kola (ne na fizikom nivou, ve na logikom idejno reenje). Detaljnije: www.martinjovanovic.com/uur/koncepcija2.html Ovo poglavlje u osnovnoj verziji napisala je Valentina Milievi. 2.2. Bulova algebra 2.2.1. Uvod Ovopoglavljeje,uosnovnojverziji,napisalaValentinaMilievi.Nadnjimsu izvrene obimne promene i dopune od strane autora skripte, Martina Jovanovia. Detaljnije o tim promenama u istoriji verzija. Hvala, Valentina. 2.2.2. Definicija Bulove algebre Najjednostavnije reeno, da bi jedan skup postao algebarska struktura, njega treba "oplemeniti"odreenimskupomoperacija.Algebarskestrukturesu"prostori"ukojimase kreemo kada vrimo bilo kakve matematike operacije. Bulova algebra je, po definiciji, algebarska struktura (B, +, -, , 0, 1) koju ine:-skup B -binarne operacije + i-1 -unarna operacija 2 -0 nula Bulove algebre -1 jedinica Bulove algebre ukoliko vae aksiome iz Hantingovog skupa aksioma: A1 zatvorenost skupa B za operacije +, -, : B x x x x x x B x x e + e 2 1 2 1 2 1 2 1, , , ) , (Drugaije reeno: ako se operandi za pomenute operacije "vuku" iz skupa B, onda i rezlutati tih operacija pripadaju skupu B, tj. ni u jednom sluaju se ne "izlazi" iz skupa B. A2 komutativnost za operacije + i -

: 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1) , ( x x x x x x x x B x x = . + = + e Komutativnostnijepotrebnoobjanjavati.Trebasamoznatidabinarneoperacije moraju biti komutativne, da bi gore opisan sistem bio Bulova algebra. A3 distributivnost "" prema "+" i "+" prema "" (obe varijante!) O ovome treba reineto vie. Pre toga bie date matematike interpretacije obe varijante ove aksiome, a zatim e biti data dodatna objanjenja: ) ( ) ( ) ( ) , , (3 1 2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x B x x x + + = + . + = + e U "realnom matematikom ivotu" (u okviru algebre realnih brojeva) navikli smo na prvuvarijantu,odnosnodistributivnostoperacijemnoenja3uodnosunaoperaciju 1 U osnovi: postoje nekakve dve binarne operacije i to je sve; i obeleene su tim simbolima. Ali to nisu bilokakvedvebinarneoperacije,nego(tosekasnijevidikrozHantingovskupaksioma),nekedvebinarne operacije koje zadovoljavaju neke uslove. Tek kad zadovolje te uslove, onda se skup koji ih sadri moe nazvati algebrom. 2 Ista logika vai i za unarnu operaciju. Dakle, da bi pomenuti sistem "imao pravo" da nosi naziv Bulova algebra, on mora da sadri i jednu unarnu operaciju; i to ne bilo kakvu, nego sa tano odreenim osobinama (koje su definisane u Hantingovom skupu aksioma). Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 6 - sabiranja. Ovu osobinu te dve operacije usvojili smo i prilikom raunanja ne mislimo o njoj, vejeradimoautomatski.Svismosesrelisaizrazimatipa,naprimer,a(b+c+d),i automatskiemoovoshvatitikaoab+ac+ad.UBulovojalgebridistributivnostovih operacija4vaiikadaoperatorizamenemesta,tourealnojalgebrinijebiosluaj.Na primer:a+bcdjeurealnojaritmeticiostajaotakavkakavje,aliuBulovojalgebrionse moe napisati i kao (a+b)(a+c)(a+d). Dabiovobilojojasnije,valjamalopojasnitipojamdistributivnostijedne operacijepremadrugoj,ilidrugaijereenojedneoperacijeuodnosunadrugu.Treba definisati uloge operacija u celoj toj koncepciji. A3 varijanta 1: distributivnost operacije "" u odnosu na operaciju "+" Posmatrajmo sledei izraz: ) (3 1 2 1 3 2 1x x x x x x x + = + Salevestraneznakajednakostiimamooperaciju"",kojaseprimenjujenaizraz, konkretno na promenljive koje su operandi operacije"+". Operacija "", ili preciznije reeno: operacija"x1"(operacija"mnoenjeveliinomx1")se"rasporeuje"naobaoperanda operacije"+".Rasporeivanjesenalatinskomkaedistributio,teodatle,uposrbljenoj varijanti,moemoreidasevridistribucija,ilidistribuiranjeoperacije""("x1")nasve (oba)operande(a)operacije"+".Odatleinazivoveosobine:distributivnostoperacije""u odnosu na operaciju "+". Operacija ""je (u ovom sluaju)nosilac osobine distributivnosti, dokje operacija "+" (u ovom sluaju) ono u odnosu na ta se definie ta osobina distributivnosti. Poto ovo vai za jednu pojedinanu operaciju "+", lako se moe dokazati da vai i za vie uzastopnih operacija, odnosno za sumu sa vie sabiraka: n nx x x x x x x x x x1 3 1 2 1 3 2 1... ) ... ( + + + = + + + Na ovakvo ponaanje operacija (u aritmetikom smislu, dodue) smo, kao to je ve konstatovano,navikliuprethodnomkolovanjuipraktinomivotu,dakleuzonialgebre realnih brojeva. U Bulovoj algebri, meutim, ovo vai i kada operacije meusobno zamene mesta, a na to ve, u realnoj algebri, nismo navikli A3 varijanta 2: distributivnost operacije "+" u odnosu na operaciju "" Posmatrajmo sledei izraz: ) ( ) ( ) (3 1 2 1 3 2 1x x x x x x x + + = +Ovdejeoperacija"+"nosilacosobinedistributivnosti,ataosobinasedefinieu odnosunaoperaciju"".Drugimreima,operacija"+"(preciznije"x1+"sedistribuira, rasporeujenaoperandeoperacije"",pasvakiodnjih(ix2ix3)bivaizloenoperaciji sabiranja sa x1. To je bilo to na ta nismo navikli, i na ta valja obratiti posebnu panju. A4 neutralni element za + je 0, a za-je 1 x x x x B x = . = + e 1 0 ) (Zapamtiti da obe binarne operacije imaju svoj neutralni element. Elemenat koji se naziva "nula Bulove algebre" je elemenat koji je neutralan za operaciju +, a elemenat koji se naziva "jedinica Bulove algebre" je onaj koji je neutralan za operaciju . A5 inverzni element elementa x jex0 1 ) ( = . = + e x x x x B xZapamtitidapostojiinverznielement,svakomelementu(tj.obojicielemenata) skupa B. Operacija"+"primenjenanameusobnoinverzneelementeedati1,zatoto makar jedan od njih mora biti 1, a 1+bilo_ta=1.5 Operacija "" primenjena na meusobno inverzne elemente uvek e dati 0, zato to makar jedan od njih mora biti 0, a 0bilo_ta=0.6 A6 Nula Bulove algebre i jedinica Bulove algebre su dva razliita skupa B

3 U ovom sluaju se misli na aritmetiko (realno) mnoenje, kao i na sabiranje. 4 Sada u logikom, odnosno Bulovom smislu... ne vie u aritmetikom! 5 Ovo se moe zakljuiti na osnovu tablice istinitosti operacije "+". 6 Ovo se moe zakljuiti na osnovu tablice istinitosti operacije "". Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 7 - 1 0 ) 1 0 ( = e . e B BNula i jedinica Bulove algebre moraju biti dva razliita elementa, to je i logino. 2.2.3. Posledice Bulove algebre neke teoreme NaosnovuskupaaksiomaBulovealgebreizvodesesledeeteoreme.Teoremee biti date bez dokaza. One se dokazuju direktnom primenom aksioma iz Hantingovog skupa. T1 teorema o dvostrukom komplementu x x B x = e ) ( T2 zakon asocijativnosti operacija + i-3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( x x x x x x x x x x x x B x x x = . + + = + + e T3 teorema bez imena 0 0 1 1 ) ( = . = + e x x B x T4 zakon idempotentnosti Nalatinskomidem(gruboprevedeno)znaiisti,isto;apotentiaznaimogunost, sposobnost. Reidempotentia mogla bi se, moda, prevesti kaoistomoje7. U matematici, kod binarnih operacija (kao to je sluaj ovde), osobina idempotentnosti znai da elemenat kojijeima,ukolikoseoperacijaprimeninanjega(daonbudesaobestraneoperatora), rezultat je on sm8. Ovu osobinu imaju oba binarna operatora Bulove algebre. x x x x x x B x = . = + e ) (Lepe reeno: x x x x x = + + + + ...x x x x x = ... T5 zakon apsorpcije 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1) ( ) , ( x x x x x x x x B x x = + . = + e T6 teorema bez imena 0 1 1 0 ) 1 0 ( = . = e . e B B T7 De Morganovi zakoni 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1) , ( x x x x x x x x B x x + = . = + e DvoelementnaBulovaalgebra,tj.onakodkojejeskup} 1 , 0 { = B ,nazivase prekidaka algebra, a funkcije definisane nad njom nazivaju se prekidake funkcije. Prekidake funkcije su funkcije sa kojima radimo u nastavku ovog kursa. 2.2.4. Definisanje operacija +, ,Kao to je ve reeno, prekidaka algebra podrazumeva tri operacije: jednu unarnu (operaciju "nadvueno" komplement, u oznaci," ", koja se naziva i logiko NE, engl. NOT), i dve binarne: 1.operacijulogikogsabiranja,kojasetakoenazivailogikoILI(OR),odnosno disjunkcija (obeleava se znakom "+"), i 7Akobihsmeodaglasnorazmiljamnaovutemu,rekaobihdaovomodaznai"istostepenje",jer stepensenaengleskomkae"power",toodprilikeznaiistokao"potentia"nalatinskomakodovogzakona imamo situaciju xx...x=xn=x=x1, znai koliko god da je stepen (power) promenljive, on se svodi na stepen 1, tj. uvek je taj stepen isti, dakle imamo istostepenje. Ova kontemplacija autora nije proverena niti dokumentovana. 8 http://en.wikipedia.org/wiki/Idempotency Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 8 - 2.operacijulogikogmnoenja,kojasetakoenazivailogikoI(AND),odnosno konjukcija (obeleava se znakom ""). Tanka je linija izmeu pojmova OPERACIJA i FUNKCIJA. U ovom sluaju ovi pojmovi susinonimi.DakleravnopravnomoemogovoritioprekidakojfunkcijiILI,iliooperaciji logikog ILI. Isto rezonovanje vai i za operaciju (funkciju) logikog I, i za unarnu operaciju (funkciju) logiko NE (NOT), odnosno komplement (odnosno "nadvueno"). Upitanjusuprekidakefunkcijejednedvepromenljive.Ovefunkcijemogubiti predstavljenenamnogenaine,odkojihjenajpreglednijitablininain.Naime, prekidaku funkciju predstavljamo tablino tako to u tablici stoje sve mogue vrednosti za nezavisnopromenljive9,izasvakukombinacijutih"ulaznih"promenljivihstojivrednost funkcije.Ovakvatablicanazivasetablicaistinitostiprekidakefunkcije.Vieonainima predstavljanjaprekidakihfunkcijausledeempoglavlju(3.Nainizadavanjaprekidakih funkcija). Tablica istinitosti unarne operacije (odn. funkcije jedne promenljive) komplement, odnosno logiko NE (negacije): x1 logiko NE (NOT) negacija (komplement) x x f = ) (01 10 Tablicaistinitostibinarnihoperacija(odn.prekidakihfunkcijadvepromenljive) logikoILI(OR)ilogikoI(AND),kojesetakoenazivajuidisjunkcijaikonjukcija, respektivno: x1x2 logiko ILI (OR) (disjunkcija) f(x1,x2)=x1+x2 logiko I (AND) (konjukcija) f(x1,x2)=x1x2 0000 0110 1010 1111 2.2.5. Ukupan broj prekidakih funkcija n promenljivih Ukupanbrojfunkcijanpromenljivihje n22 .Doovogasedolazielementarnom kombinatorikom.Ovojejednaodosnovnihrazlika"ukusa"matematikenadprekidakom algebrom,uodnosuna"ukus"matematikerealnihbrojeva.Kodprekidakealgebresveje konano.Konaanjebrojkombinacijavrednostinezavisnopromenljivih,konaanjebroj razliitih vrednosti funkcije, konaan je ibroj funkcija (ukolikoje konaan broj nezavisno promenljivih). 2.2.5.1Prekidake funkcije 1 promenljive (unarne operacije) Sledidazan=1:4 2 112= = n .Toznaidaukupnopostoji4prekidakefunkcije od jedne promenljive! Ukupno 4, i ni jedna vie. Evo tih funkcija: 9Atih"svihmoguihvrednosti"nemabeskonanomnogo!Jersvakaulaznapromenljivamoebiti jednakasamonuliilijedinici,dakleakoimamo2ulaznepromenljiveonesemoguiskombinovatinaukupno4 naina:00,01,10i11;aakoimamojednupromenljivu,ona moeimativrednostsamo0ili1,paje tablicajo manja.Generalno,akoimamoprekidakufunkcijuodnpromenljivih,ona"naulazu"moeimati2nrazliitih kombinacija vrednosti tih promenljivih, pa dok god je broj nezavisno promenljivih funkcije konaan (a tako jedino ima smisla) bie konana i tablica istinitosti. Moe jedino da bude povelika. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 9 - xf1 f2 f3 f4 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 Ove funkcije nose sledee nazive: -f1 je konstanta nula ( 0 ) ( = x f ), -f2 je promenljiva x (preslikana, bez promene) ( x x f = ) ( ), -f3 je logiko NE (NOT), negacija, komplement ( x x f = ) ( ) i -f4 je konstanta jedinica ( 1 ) ( = x f ). 2.2.5.2Prekidake funkcije 2 promenljive (binarne operacije) Akolikoimaukupnoprekidakihfunkcijadvepromenljive?Za16 2 222= = n . Da vidimo koje su to funkcije: x1x2f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f16 000000000011111111 010000111100001111 100011001100110011 110101010101010101 I ove funkcije imaju svoje nazive (bar neke): 0 ) , (2 1 1= x x f- konstanta 0 nezavisna od argumenta 2 1 2 1 2) , ( x x x x f =- konjunkcija 2 1 2 1 3) , ( x x x x f A =1 2 1 4) , ( x x x f =1 2 2 1 5) , ( x x x x f A =2 2 1 6) , ( x x x f =2 1 2 1 7) , ( x x x x f =- ekskluzivno ili, odnosno sabiranje po modulu 2 2 1 2 1 8) , ( x x x x f + =- disjunkcija 2 1 2 1 9) , ( x x x x f =- nili 2 1 2 1 10) , ( x x x x f =- ekvivalencija 2 2 1 11) , ( x x x f =1 2 2 1 12) , ( x x x x f =- "obrnuta" implikacija 1 2 1 13) , ( x x x f =2 1 2 1 14) , ( x x x x f =- implikacija 2 1 2 1 15/ ) , ( x x x x f =- ni eferova funkcija 1 ) , (2 1 16= x x f- konstanta 1 nezavisna od argumenta. Odsvihovihfunkcija,zaovajkurssunajbitnije:I,ILI,NI,NILIiekskluzivnoILI. Ostale funkcije se ree koriste, ali se moraju znati. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 11 - 3. Naini zadavanja prekidakih funkcija 3.1. Uvod Ovo poglavlje, u osnovnoj verziji, napisala je Valentina Milievi.Prekidakufunkcijumoguejepredstavitinavienaina.Iakosutinaini ekvivalentni,ipredstavljajujednuistufunkciju,nekiodnjihsupogodnijizaneke operacije, a neki drugi opet za neke druge. U okviru ovog kursa bie obraeni sledei naini: 1.tablica istinitosti (ili kombinaciona tablica), 2.skup decimalnih indeksa prekidake funkcije, 3.kombinatorijski vektor funkcije, 4.brojni indeks funkcije, 5.logika karta (konkretno Karnoova), i 6.analitiki oblik (forma) prekidake funkcije (postoji vie njih). 3.2. Potpuno i nepotpuno definisane funkcije Ukolikojevrednostprekidakefunkcijepoznatazasvemoguekombinacije vrednostinezavisnopromenljivih,ondajeonapotpunodefinisana.Inaenije.Dakle nepotpunodefinisanaprekidakafunkcijaonaijavrednostnijedefinisanazasvaku kombinaciju nezavisno promenljivih. Za funkciju koja nije potpuno definisana, na mestima gde nije, moemo proizvoljno izabratinjenuvrednost,itozasvakotakvomestozasebno!Ovojeodkoristiprinekim operacijamanad funkcijom (npr. pri minimizaciji funkcije, tj.dovoenju funkcije naneku odminimalnihanalitikihformi).Tadatamogunostizboravrednostifunkcijeponaosobu svakoj taki u kojoj ova nije definisana prua dodatne mogunosti njene minimizacije. 3.3. Tablica istinitosti 3.3.1. Potpuno definisana prekidaka funkcija Nalevojstranitabliceistinitosti,ilikombinacionetablice,nalazesesvimogui vektori nezavisno promenljivih10, kao i pored svakog vektora (levo od njega, u krajnjoj levoj koloni) njegov decimalni indeks. ta je decimalni indeks? Definicijadecimalnogindeksa:Svakomvektoru) ,..., , (2 1 nx x x nezavisno promenljivih jedne prekidake funkcije moe se pridruiti ceo broj i definisan kao ==njj njx i12 , a zove se decimalni indeks. Prevedenonagovornijezik:decimalniindeksvektoranezavisnopromenljivihje dekadni broj koji se dobija kada se taj vektor shvati kao binarni broj. Na primer, ako imamo funkciju 5 promenljivih f(x1,x2,x3,x4,x5), i ako posmatramo sledeu kombinaciju vrednosti nezavisnopromenljivih:10110tojepraktinovektor[10110].Akogaposmatramokao binarni broj i prevedemo u dekadni sistem, dobijamo njegov decimalni indeks: 22. Na desnoj strani tablice pored vektora je navedena vrednost prekidake funkcije za taj vektor nezavisno promenljivih. 10Kombinacijuvrednostinezavisnopromenljivih("ulaznih"promenljivih) moemoposmatratikaojedan vektor. Na primer, ako posmatramo prekidaku funkciju 5 promenljivih, f(x1,x2,x3,x4,x5), funkcija e imati razliite vrednosti za razliite kombinacije vrednosti nezavisno promenljivih. U tom smislu moemo posmatrati, na primer, vrednost funkcije za kombinaciju ulaznih promenljivih 00000, pa za 00001, pa za 00010 itd. Samim tim, skup od 5 vrednostinezavisnopromenljivihmoemoposmatratikaojednodimenzionalnuhorizontalnumatricu,odnosno vektor (za isti primer: [00000], [00001], [00010] itd). Onda kaemo kako funkcija ima tu-i-tu vrednost za taj-i-taj vektor nezavisno promenljivih. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 12 - i (dec.index) x1x2...xn-2xn-1xnf(x1,x2,...,xn) 0000...0000f(0,0,...,0) 100.....001f(0,0,...,1) 200.....010... 300.....011... 400.....100... 500.....101... 600.....110... 700.....111... ........ 2n111...1111f(1,1,...,1) Konkretniprimerizatabliceistinitostidatisuuprethodnompoglavlju,prilikom definisanja osnovnih operacija prekidake algebre. 3.3.2. Nepotpuno definisana funkcija Ukolikoprekidanafunkcijanijepotpunodefinisana,namestimagdenije definisanastojinekispecijalanznak.Najeejetozvezdica(-).Evoprimerajedne nepotpuno definisane prekidake funkcije 3 promenljive: ix1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0000 1 0011 2 010 - 3 0111 4 1000 5 101 - 6 1100 7 111 - 3.4. Skupovi decimalnih indeksa Tablicaistinitosti(pasamimtimiprekidakafunkcija)jepotpunodefinisana sledeim skupovima: f(0)skupdecimalnihindeksaonihvektoranezavisnopromenljivihnakojima funkcija ima vrednost 0 f(1)skupdecimalnihindeksaonihvektoranezavisnopromenljivihnakojima funkcija ima vrednost 1 f(*)skupdecimalnihindeksaonihvektoranezavisnopromenljivihnakojima funkcija nije definisana. Funkcija je potpuno definisana ako je zadata samo skupovima f(0) i f(1). Ukoliko je zadata skupovima f(0),f(1) i f(*) onda je nepotpuno definisana. Primerdecimalnihindeksazagornjufunkciju(nepotpunodefinisanu,toje najoptiji sluaj): f(0) = {0,4,6}, f(1) = {1,3}, f(-) = {2,5,7}. U bilo kakvom raunanju, umesto zvezdice imamo pravo da stavimo bilo 0 bilo 1, ta nam god vie odgovaralo... i to nezavisno za svaku zvezdicu! Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 13 - Naravno, jedan od njih se moe izostaviti... u njemu je ono to preostane od ostala dva. 3.5. Kombinatorijski vektor funkcije KombinatorijskivektorfunkcijeKfjevektorvrednostifunkcijezasvevektore nezavisno promenljivih ] ,..., , [1 21 0=nf f f Kf On ima smisla samo za potpuno definisanu prekidaku funkciju. Uzmimo neku potpuno definisanu funkciju za primer: ix1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0001 1 0011 2 0100 3 0111 4 1001 5 1010 6 1100 7 1111 Kombinatorijski vektor funkcije je: Kf=[11011001]. 3.6. Brojni indeks funkcije BrojniindeksfunkcijeNfpredstavljadekadniekvivalentbinarnogbrojakojise dobija kada se elementi vektora Kf posmatraju kao binarne cifre, ali poreane u obrnutom redosledu. Dakle treba raunati paljivo: kod kombinatorijskog vektora binarna cifra najmanje teine nalazi se krajnje levo u vektoru. Meutim, to je samo vektor, i nita vie. Ne rauna mu se nikakva brojna vrednost i sl, on je vektor i to ostaje. Zarazlikuodnjega,kodbrojnogindeksafunkcijebinarnacifranajmanjeteine nalazikrajnjedesnouzapisu,kaokodklasinogbinarnogbroja,paseondaizrauna dekadnavrednosttogbinarnogbroja.Tunemanikakvogvektora.IzraunavanjeNfima smisla jedino za potpuno definisanu prekidaku funkciju: ==1 202niii ff NZanaprimer,binarnibrojbie:10011011.Njegovadekadnavrednost,iujedno brojni indeks ove nae funkcije iz primera bie: Nf=155. 3.7. Logike karte (Karnoove mape) Unekimprimerimakorisnojeporeditivrednostifunkcijenasusednimtakama domena definisanosti, pa se zato u grupama skupova koristi ureenje u skladu sa Grejovim kodom,kojijelistaelemenatagdeseuzastopnielementirazlikujunajednojpoziciji.Na taj nain se dolazi do Karnoovih mapa. Karnoovom mapom moe se predstaviti i potpuno i nepotpuno definisana prekidaka funkcija. 3.7.1. Karnoova mapa potpuno definisane PF Nema mnogo smisla crtati Karnoove mape funkcija jedne i dve promenljive, jer su to male i jednostavne funkcije, pregledne same po sebi. Karnoova mapa funkcije tri promenljive izgleda ovako: x1x2 000 001 111 110 Od vrednosti funkcije formira se kombinatorijski vektor (isto ovo, samo horizontalno). "Obaranje" se vri na LEVO... ono to je ovde gore, bie levo u kombinatorijskom vektoru. Panja: kombinatorijski vektor je vektor, kao to mu ime kae, a nije binarni broj!!! Bezstraha,nijeovo komplikovano! Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 14 - xx3 00 01 3.7.1.1Popunjavanje Karnoove mape, na primeru funkcije 3 promenljive U polja tablice se upisuju vrednosti funkcije i to na sledei nain: pored obe vrste pievrednostpromenljivex3,aiznadsvakekolonepiekombinacijavrednostiza promenljivex1ix2.Upoljekojesenalaziupresekuodreenevrsteikoloneupisujese vrednost funkcije za vrednosti ulaznih promenljivih na toj vrsti, odnosno koloni. Primer:gornjelevopoljeKarnoovemapejeupresekugornjevrste,ikrajnjeleve kolone. Gornja vrsta odgovara vrednosti 0 za promenljivu x3. Krajnja leva kolona odgovara kombinacijivrednosti00zapromenljivex1ix2(tj.x1=0ix2=0).Zakljuak:utopolje upisujemo vrednost funkcije za vrednosti promenljivih x1=0, x2=0 i x3=0, odnosno f(0,0,0). Primer: u krajnje donje desno polje upisujemo vrednost f(1,0,1). Ista logika vai za sva polja Karnoove mape. 3.7.1.2Primer popunjene Karnoove mape za funkciju 3 promenljive Evo funkcije (ista kao gore, samo navedena ponovo da bi bilo preglednije): ix1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0001 1 0011 2 0100 3 0111 4 1001 5 1010 6 1100 7 1111 I evo Karnoove mape te funkcije: x1x2 000 001 111 110 xx3 00 1001 01 1110 Svejedno je gde e biti koja promenljiva, da li e levo na primer stajati x1, a gore x2x3,isl.Bitnojejedinodasetajrasporedpromenljivihpotujeprilikompopunjavanja tabele. Primer, za istu funkciju: x2x3 000 001 111 110 xx1 00 1110 01 1010 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 15 - 3.7.1.3Primer popunjavanja Karnoove mape za funkciju 4 promenljive Princip je potpuno isti, samo to je ovaj put mapa dimenzija 4x4 (ukupno 16 polja, atolikovrednostiiimafunkcija4promenljive).Sastranesenalazevrednostiza2 promenljive, a odozgo vrednosti za druge dve. Primer: i x1x2 x3 x4f(x1,x2,x3, x4) 0 00 0 01 1 00 0 11 2 00 1 00 3 00 1 11 4 01 0 01 5 01 0 10 6 01 1 00 7 01 1 11 8 10 0 00 9 10 0 10 10 10 1 00 11 10 1 11 12 11 0 01 13 11 0 10 14 11 1 01 15 11 1 11 Karnoova mapa ove funkcije (jedna njena varijanta) izgleda ovako: 00011110 001110 011000 111111 100010 Zafunkcijepreko4promenljive,Karnoovemapepostajunepraktine.11Onebi imale 32 polja (4x8 ili 8x4), pa bi po jednoj dimenziji stajale kombinacije vrednosti za dve promenljive, a po drugoj dimenziji kombinacije vrednosti za tri promenljive. 3.7.2. Karnoove mape za nepotpuno definisane PF Potpunojeistiprincip.Ondegdeutabliciistinitostistojizvezdica,stajae(na odgovarajuem mestu) i u Karnoovoj mapi. Primer (za gore navedeno nepotpuno definisanu prekidaku funkciju): i x1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0000 1 0011 2 010- 3 0111 4 100 0 5 101- 6 1100 7 111- 11 ivko Toi: Osnovi raunarske tehnike, uperak Plavi, Ni, 1994, str. 102-103. x1x2 x3x4 Onde gde stoji zvezdica u tablici istinitosti, tu (u odgovarajuem polju) stoji i u Karnoovoj mapi. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 16 - x2x3 000 001 111 110 xx1 00 011 - 01 0 -- 0 Karnoove mape su posebno pogodne za minimizaciju prekidakih funkcija, to znai nalaenjeminimalnihanalitikihformiprekidakihfunkcija(akoje,opet,znaedae realizacijafunkcijauskladusanjimaiziskivatiminimalanbrojlogikihkola,todalje znai utedu u proizvodnji i sniavanje osnovne cene proizvoda). Alidabismouoptegovoriliotome,moramodefinisatiitaj,poslednji,alivrlo vaan nain zadavanja prekidakih funkcija: analitiki oblik. 3.8. Analitiki oblik (forma) prekidake funkcije 3.8.1. Uvod Analitikaformaprekidakefunkcijejeonaformanakojusmonaviklipriradusa realnimfunkcijama:funkcijapredstavljenanaovajnainpredstavljaalgebarskiizraz,kod kogasesajednestranejednakosti(obinoleve)nalazivrednostfunkcije,predstavljena najee slovom f, sa ili bez liste argumenata (nezavisno promenljivih) u malim zagradama. Primer za analitiki oblik prekidake funkcije: 3 2 1x x x f + =ili 3 2 1 2 1) , ( x x x x x f + = . Utomalgebarskomizrazudoputenesusamooperacijekojesudefinisanenad algebromukojojradimo.Uprekidakojalgebrisvakafunkcijadvepromenljivemoese smatrati jednom binarnom operacijom. Samim tim, u analitikoj formi prekidake funkcije, prisutneoperacijenemorajuseograniitisamonaonekojestojeudefinicijialgebre (negacija,konjukcijaidisjunkcija),veiostalebinarneoperacije(odnosnoprekidake funkcijedvepromenljive),kaotosu"iskljuivoili"(XOR),uoznacix1x2,ilipak implikacija,uoznacix1x2isl.Zakompletanspisakovihoperacija(funkcija)pogledati poglavlje 2.2.5.2 Prekidake funkcije 2 promenljive (binarne operacije). Uokviruovogkursaipakemosebavitisamoonimanalitikimformamakojese baziraju na operacijama konjukcije, disjkunkcije i negacije (,+ i). 3.8.2. Definicije vezane za analitike forme PF 3.8.2.1Polazna taka razmatranja i definicija literala Definisanjeanalitikihformiprekidakihfunkcijazapoeemopodseanjemdaje, podefinicijiprekidakefunkcije,samajednapromenljiva,sailibezkomplementa,takva, sama za sebe faktiki jedna prekidaka funkcija. U poglavlju 2.2.5.1 Prekidake funkcije 1 promenljive (unarne operacije) pokazano je da je jedna od prekidakih funkcija (konkretno je to bila f2) zapravo preslikana nezavisno promenljiva( x x f = ) ( ),dokjeopetjednadrugafunkcija(bilajetof3),praktino, komplementirananezavisnopromenljiva( x x f = ) ( ).Daklejednapromenljiva,sailibez komplementa, ini sama za sebe jednu prekidaku funkciju. Ovakvu promenljivu obeleiemo na sledei nain: x~ Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 17 - Dakle,unastavkuizlaganja,zatalasananadvlakaznaidajetopromenljivasaili bezkomplementa(obasluajavae).Ovakavkonceptsenazivaliteral.12Dakle,literalje prekidaka promenljiva sa ili bez komplementa. Poto su nam na raspolaganju, pored komplementa, i operacija logikog sabiranja i mnoenja,dodefinicijeosnovnihanalitikihformidoiemoprekodefinicijasumei proizvoda vie promenljivih. 3.8.2.2Definicije i teoreme Definicija1.Elementarniproizvodilikonjunkcijajeizrazoblika ~ ~ ~...2 1 ni i ix x x ,gde je} , {~i i ix x x e , a ni i i ,..., ,2 1 su razliite vrednosti iz skupa} ,..., 2 , 1 { n . Definicija 2. Elementarna suma ili disjunkcija je izraz oblika ~ ~ ~...2 1 ni i ix x x + + + , gde je} , {~i i ix x x e , a ni i i ,..., ,2 1 su razliite vrednosti iz skupa} ,..., 2 , 1 { n .Ovo znai da ne moraju nuno biti prisutni svi indeksi iz skupa indeksa. Definicija 3. Potpun proizvod ili minterm je elementarni proizvod u koji ulaze sve promenljive. Definicija4.Potpunasumailimakstermjeelementarnasumaukojuulazesve promenljive. Definicija5.Proizvodelementarnihsuma mS S S ...2 1nazivasekonjunktivna normalna forma (KNF). Definicija6.Sumaelementarnihproizvoda mP P P + + + ...2 1nazivasedisjunktivna normalna forma (DNF). Definicija7.KNFukojojsusveelementarnesumepotpunenazivasepotpuna konjuktivna normalna forma (PKNF). i ix x {~=ako je1 =ifili ixako je} 0 =if Definicija8.DNFukojojsusvielementarniproizvodipotpuninazivasepotpuna disjunktivna normalna forma (PDNF). i ix x {~=ako je0 =ifili ixako je} 1 =if Teorema1.Svakaprekidakafunkcijaosimkonstante1moesenajedinstven nain napisati u obliku: mi i i nS S S x x f ... ) ,..., (2 11= , gdesu mi i iS S S ,... ,2 1potpunesumekojeodgovarajuvektorimanezavisno promenljivih sa indeksima mi i i ,..., ,2 1 na kojima funkcija ima vrednost 0. Teorema2.Svakaprekidakafunkcijaosimkonstante0moesenajedinstven nain napisati u obliku: mi i i nP P P x x f + + + = ... ) ,..., (2 11, gdesu mi i iP P P ,..., ,2 1potpuniproizvodikojiodgovarajuvektorimanezavisno promenljivih sa indeksima mi i i ,..., ,2 1 na kojima funkcija ima vrednost 1. 12 Provera znaenja termina: web-enciklopadija na adresi: www.wikipedia.com. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 18 - Definicija 9. Suma po modulu 2 elementarnih proizvoda mP P P ...2 1 naziva se polinomna normalna forma (PNF). Definicija 10.PNF u kojojsu svi elementarniproizvodi potpuni naziva se potpuma polinomna normalna forma (PPNF). Teorema3.Svakaprekidakafunkcijaosimkonstante0moesenajedinstven nain napisati u obliku: m nP P P x x f = ... ) ,..., (2 1 1, gdesu mi i iP P P ,..., ,2 1potpuniproizvodikojiodgovarajuonimvektorimanezavisno promenljivihsaindeksima mi i i ,..., ,2 1nakojimafunkcijaimavrednost1.Drugimreima, svaka PF (osim konstante nula) ima svoju jedinstvenu PPNF. Definicija11.Prostproizvodjeizrazoblika ni i ix x x ....2 1,gdesu ni i i ,..., ,2 1 meusobnorazliitibrojeviizskupaindeksa} ,..., 2 , 1 { n .Rezlikujeseuodnosuna elementarni proizvod u tome to ne sadri komplemente promenljivih. Definicija12.Sumapomodulu2meusobnorazliitihprostihproizvodazovese kanoniki polinom ili polinom po modulu 2 (zove se jo i polinom Reed-Mller-a). Teorema4.Svakaprekidakafunkcijaosimkonstante0moesenajedinstven nain napisati u obliku: n n n n n nx x x c x x c x x c x c x c c x x fn... ... ... ) ,..., (2 11 23 1 2 2 1 1 1 1 0 1+ + = , gde su} 1 , 0 { eici} 1 2 ,..., 1 , 0 { eni . Napomena:Dvefunkcijesemoguuporeivatisamonanivoupotpunihnormalnih formi. 3.8.3. itanje potpunih normalnih formi iz tabline forme PF Iz tablice istinitosti se relativno jednostavno mogudobiti potpune normalne forme prekidakefunkcije(PDNFiPKNF),itodirektnimitanjem,bezpotrebezabilokakvim matematikimtransformacijama.Uovomdelubiepodrobnijeobjanjenoonotoje koncizno dato u teoremama 1 i 2 nakon definicije 8. 3.8.3.1itanje PDNF funkcije na osnovu tablice istinitosti Prvodasepodsetimo:potpunadisjunktivnanormalnaforma(PDNF)prekidake funkcije je: suma potpunih proizvoda. Dakle svaka PDNF se formira prema istom ablonu: n n n PDNF nx x x x x x x x x x x f~...~ ~...~...~ ~ ~...~ ~) ,..., (2 1 2 1 2 1 1+ + + = Svi sabirci predstavljaju potpune proizvode (dakle u svakom od sabiraka je prisutna svaka promenljiva, pri emu je neka komplementirana, a neka nije).DER CONSTRUCTION Dau samo teze (kasnije e biti pokazano na primeru): -na onim mestima gde funkcija ima vrednost 1, pogleda se koje vrednosti imaju promenljive,inaosnovunjihseformirajedanproizvod,itotakoto: promenljivakojatuimavrednost0euestvovatiuproizvodu komplementirana, a ona koja ima vrednost 1 nekomplementirana. -koliko ima jedinica (u koloni za vrednost f-je), toliko e biti i proizvoda. -onda se ti proizvodi sumiraju, i dobije se PDNF funkcije. Uodnosunacelusumu,jedansabirakjezapravojedanproizvod. Sabirci(proizvodi)semeusobnorazlikujupotometaje komplementirano od promenljivih, a ta nije. . . . .Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 19 - 3.8.3.2itanje PKNF funkcije na osnovu tablice istinitosti - UNDER CONSTRUCTION Dau samo teze (kasnije e biti pokazano na primeru): -na onim mestima gde funkcija ima vrednost 0 (za razliku od itanja PDNF-a, gde sunaszanimalamestagdeimavrednost1),formiraesepojednasuma,au njojeonepromenljivekojeimajuvrednost0bitinekomplementirane,aone koje imaju vrednost 1 komplementirane (opet sve suprotno nego kod PDNF-a). -onda se te sume pomnoe i dobije se PKNF funkcije. 3.8.3.3itanje PPNF na osnovu tablice istinitosti itanje je isto kao itanje PDNF, samo umesto operacije "+" izmeu potpunih suma stoji operacija "". 3.8.4. "Strategije" pri transformaciji analitikih formi PF 3.8.4.1"Strategije" generalno U ovo delu bie dati pravci u razmiljanju prilikom transformacije jedne analitike u drugu analitiku formu prekidake funkcije. Pravila izloena u ovom delu zapravo su ve izloenagoreutekstu,aliovdeebitiizvuennjihov"saetak",specijalnopogodanza odreenetransformacije.Prvoebitidatesame"strategije"(uvidutablice),azatime one biti dodatno objanjene na primerima. eljena transformacijaKako treba razmiljatiDodatno pojanjenje Proirivanja formi do potpunih DNF PDNF i ix x + = 1Svaku jedinicu koja se javi u DNF-u zamenjujemo sa i ix x +. Cilj: da svaki proizvod u DNF bude dopunjen do potpunog (a to znai da mu se dodaju sve one promenljive koje nedostaju, pomou gore navedene sume i ix x +). KNF PKNF i ix x = 0Svaku nulu koja se javi u KNF-u zamenjujemo sa i ix x . Cilj: da svaka suma u KNF bude dopunjena do potpune, to znai da joj se dodaju sve promenljive koje eventualno nedostaju. PNF PPNF i ix x = 1Svaku jedinicu koja se javi u PNF-u zamenjujemo sa i ix x . Cilj: da svaki proizvod u PNF bude dopunjen do potpunog (a to znai da mu se dodaju sve one promenljive koje nedostaju, pomou gore navedene sume po modulu dva i ix x ). Uopte transformacije formi PDNFPPNF +Ovo je najjednostavnija transformacija. U PDNF-u svaki plus zamenimo znakom suma po modulu dva () i dobjemo PPNF. DNF PNF 2 1 2 1 2 1x x x x x x = +Evo odakle ovo, pogledamo tablicu za +: Sada odavde izvuemo PDNF, zatim ga pretvorimo u PPNF (tako to znak + zamenimo znakom , potom svaku nadvuenu promenljivu ix zamenimo sa ix 1. Dakle: = + + = +2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x (PDNF) = =2 1 2 1 2 1x x x x x x (to je PPNF) = =2 1 2 1 2 1) 1 ( ) 1 ( x x x x x x = =2 1 1 2 1 2 2 1x x x x x x x x 2 1 2 1x x x x = x1x2+ 000 011 101 111 PNF DNF 2 1 2 1 2 1x x x x x x + = A evo odakle i ovo, tablica za : Odavde je dovoljno da izvuemo PDNF: 2 1 2 1 2 1x x x x x x + = x1x2 000 010 100 111 PPNF P2 i ix x =10 = i ix xOvo je prelaz sa PPNF na "polinom po modulu dva" (Reed-Mller-ov polinom). Svaka pojava navduene promenljive zamenjuje se sumom po modulu dva Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 20 - ix 1, a svaka suma po modulu dva dve ili vie istih promenljivih zamenjuje se nulom. 3.8.4.2Dodatak strategijama: Shannonova teorema razvoja enonova(Shannon)teoremarazvojaomoguavadaseizvridekompozicija prekidakefunkcijenadve.Ovobipraktinoznailodasejednologikokolo,kojeradi neki sloeniji posao, deli na dva jednostavnija (i verovatno jeftinija u zbiru) logika kola. Ova teorema razvoja radi se za odreenu promenljivu funkcije. Recimo, ako imamo PF od n promenljivih, enonova teorema razvoja po promenljivoj xi izgleda ovako: ) ,..., , 0 , ,..., ( ) ,..., , 1 , ,..., ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1 1 1 1 1 1 1 n i i i n i i i n i i ix x x x f x x x x x f x x x x x x f+ + + + =Ovo moe da se napie i ovako: ) 0 ( ) 1 ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= + = =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f Postoji jo varijanti ove teoreme: )) 0 ( ( )) 1 ( ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= + = + =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f) 0 ( ) 1 ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= = =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f Akoprimenimoenonovuteoremurazvojaposvimpromenljivamaprekidake funkcije, doi emo do potpunih normalnih formi. 3.9. Primeri 3.9.1. itanje PDNF i PKNF na osnovu tablice istinitosti Uzmimo neku potpuno definisanu prekidaku funkciju od 3 promenljive: i x1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0000 1 0011 2 0101 3 0111 4 1000 5 1011 6 1100 7 1110 Sadanaosnovutabliceistinitostitrebadaproitamonjenepotpunenormalne forme, prema koracima koji su navedeni gore u tekstu, u stavkama. 3.9.1.1PDNF PDNFitamotakotoposmatramooneredoveutabliciukojimafunkcijaima vrednost 1. To su u naem sluaju redovi sa indeksima 1,2,3 i 5. Za svaki red formiraemo jedanpotpuniproizvod(podsetimose:potpuniproizvodjeonajukomeuestvujusve promenljive, u ovom sluaju to su x1, x2 i x3, pri emu je samo pitanje koje e od njih biti nadvuene).Znai,naPDNFsastojaeseod4potpunaproizvoda,kojisumeusobno sabrani. Sadadaodluimokojepromenljiveeutimproizvodimabitinadvuene. Posmatrajmo prvi proizvod (koji treba formirati na osnovu reda sa indeksom 1). U tom redu x1 ima vrednost 0, x2 ima vrednost 0, a x3 ima vrednost 1. One promenljive koje u tom redu imajuvrednost1ostae(uproizvodukojisastavljamo)nepromenjene,aonekojeimaju vrednost 0 bie u proizvodu nadvuene. Evo kako izgleda prvi proizvod: 3 2 1x x x jer je u tom redu x1=0 isto... x3 nije nadvueno jer je u tom redu ono jednako 1 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 21 - Ovosepamtiovako:kodPDNF-asmatramodanamje"glavna"jedinica:gledamo samooneredoveutablicigdefunkcijaimavrednost1,iunjimapromenljivekojeimaju vrednost 1 ostanu u proizvodu nepromenjene. Ostali proizvodi se itaju na isti nain. Konano, PDNF ove funkcije je: 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1) , , ( x x x x x x x x x x x x x x x f + + + = 3.9.1.2PKNF PKNFseiztabliceitaslino,satomrazlikomtojesadaglavnanula.Zapravo logika je suprotna od PDNF u svakom smislu: -ne gledaju se redovi u tablici gde funkcija ima vrednost 1, ve 0 -za te redove ne formiraju se proizvodi, nego sume promenljivih (i to potpune) -ne nadvlae se one promenljive koje imaju vrednost 0, ve 1 -sume se meusobno ne sabiraju, nego mnoe. Dakle, PKNF nae funkcije izgledae ovako: ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x f + + + + + + + + = Kako moemo ovo da zapamtimo? Tako to emo dazamislimo da je ovde "glavna" nula, za razliku od PDNF. Asocijacija moe biti: PKNF K kao krompir nula! 3.9.2. Dopunjavanje DNF do PDNF Recimo,imamonekuprekidakufunkcijudatukaoDNF.Toznaidajeupitanju proizvod suma, ali nisu sve sume potpune u nekima nedostaju neke promenljive. Neka to bude funkcija 3 promenljive, na primer: 3 2 1 3 2 1 3 2 1) , , ( x x x x x x x x x f + + =DNFovefunkcijesastojiseod3proizvoda.Uprvomproizvodunedostaje promenljivax3,udrugomnedostajux1ix2,atreiproizvodjepotpun.Dasepodsetimo: dovoljnojedasamoujednomproizvodunedostajesamojednapromenljiva,padavie nemamo PDNF, ve samo DNF. Zadataknamjedadopunimoovuformudopotpune:DNFPDNF.Odgovarajua "strategija"je(pogledamotablicuizprethodnognaslova): i ix x + = 1 ,odnosnosvaku jedinicu iz DNF-a zamenjujemo sa i ix x + . A gde su uopte te jedinice? Pa na mestima gde bi trebalo da stoje promenljive koje fale. Na DNF moemo da napiemo i ovako: 3 2 1 3 2 1 3 2 11 1 1 ) , , ( x x x x x x x x x f + + = U prvom proizvodu jedinica stoji na mestu gde bi trebalo x3, a u drugom proizvodu jedinice"glume"x1ix2.Svakuodtihjedinicapredstavimosa i ix x + uskladusa "strategijom": 3 2 1 3 2 2 1 1 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) , , ( x x x x x x x x x x x x x x x f + + + + + = Ovo dalje radimo klasino: ...jer je u tom redu x1=0, x2=0, x3=1 ...jer je u tom redu x1=0, x2=1, x3=0 itd isti princip i za ostale. Red sa indeksom 0. U tom redu x1=0, x2=0, x3=0, pa se nita ne nadvlai. Red sa indeksom 4. x1=1, x2=0, x3=0, pa se nadvlai samo promenljiva x1 itd, isto dalje. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 22 - 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 13 2 1 3 2 2 1 1 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) , , (x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x f + + + + = + + + + + + = + + + + + = Skraivanjekojesejavljaudrugomredu,dasepodsetimo:xi+xi+...+xi=xi,dakle kada imamo vie istih stvari koje se sabiraju, ostaje samo jedna. 3.9.3. Dopunjavanje KNF do PKNF Slino kao kod dopunjavanja DNF, i ovde (KNF PKNF) se radi dopunjavanje, samo to ne dopunjujemo proizvode, ve dopunjujemo sume do potpunih (KNF je proizvod suma). Pri ovome koristimo odgovarajuu "strategiju" (i ix x = 0 ): ako u nekoj sumi nedostaje neka promenljiva,mizamislimodananjenommestostojinula(nulausuminemenjanita),a onda tu nulu zamenimo sa i ix x . Posmatrajmo neku prekidaku funkciju datu kao KNF: ) ( ) , , (3 1 2 3 2 1x x x x x x f + = U ovom KNF-u nemamo ni jednu potpunu sumu. U prvoj sumi nedostaju x1 i x3, a u drugoj nedostaje x2. Na mestima promenljivih koje nedostaju zamislimo nule: ) 0 ( ) 0 0 ( ) , , (3 1 2 3 2 1x x x x x x f + + + + = Sada svaku nulu zamenimo odgovarajuim i ix x , i to dalje razvijemo: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) , , (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 13 2 2 1 3 3 2 1 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x f+ + + + + + + + + + + + == + + + + = Naprimerusevidikakosejednostavnorazlaudopunjeniproizvodiprincipse jasno vidi kod razlaganja drugog proizvoda: ) ( ) ( ) (3 2 1 3 2 1 3 2 2 1x x x x x x x x x x + + + + = + +U pitanju je pravilo "distribucije+prema ":) ( ) (3 1 2 1 3 2 1x x x x x x x + + = + . 3.9.4. Primer raznih naina zadavanja PF Datajefunkcija 3 2 1x x x y + = .Odreditikombinacionutablicu,brojniindeksNy, skupdecimalnihindeksa,PDNFiPKNF,azatimizobeoveformeanalitikiminimizovati funkciju. ix1x2x3f(x1,x2,x3) 0 0000 1 0011 2 0100 3 0110 4 1001 5 1011 6 1101 7 1111 Ny = (11110010)2 = 2+16+32+64+128 = 242 Y(1) = {1,4,5,6,7} od prvog proizvodaod drugog proizvoda Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 23 - Minimizacija analitikim putem, polazei od PDNF: = + + + + =3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1) , , ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x fPDNF ( ) ( ) = + + = + + + + =2 1 2 1 3 2 1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 2 1 2 2 1 3 2 1) ( x x x x x x x x x x + = + + = da li ovo moe jo da se same? Setimo se zakona apsorbcije (meu teoremama to je T5). On ima dve forme: 1.Bilota x x x + =2.) ( Bilota x x x + =Primenomovogzakonamoemoproiritiono"usamljeno" 1x .imeemoga proirivati? Neim to moe onda da dovede do novog skraivanja, a to je 3 2x x . Imamo: 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + = + + = +

Ovojekraj.Vidisedajezaminimizacijufunkcijeovako,analitikimputem, potrebna izvesna doza intuicije i snalaljivosti, to je odlian teren za greke. Zbog toga je fnajsigurniji nain za minimizaciju funkcije (od onih koji su ovde pomenuti) Karnoova mapa. Ona ujedno moe posluiti i kao nain da se proveri reenje do koga smo doli analitiki. Minimizacija polazei od PKNF radi se slino, i dobija se isti rezultat. 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1... ) )( )( ( x x x x x x x x x x x x fPKNF+ = = + + + + + + =3.9.5. Primer Odrediti PDNF za f1 i PKNF za f2 ako su funkcije date u preko skraenih formi: f1 :4 3 2 1 4 2 1 4 3 3 2x x x x x x x x x x x + + +f2 : ) )( (3 1 2 1x x x x + + Reenje:Ovdeimamoklasinusituacijusaproirivanjemnepotpuneformedo potpune.Uzgred,nepotpunaformafunkcijemoebitiujednoiminimalna,alinemora. Izmeu potpune i minimalne forme postoji itav niz "polu-potpunih" formi. U postavci ovog zadatka je neka nepotpuna forma, kakva god, a na zadatak je da je dopunimo do potpune. f1=4 3 2 1 4 3 1 4 3 3 2x x x x x x x x x x x + + + = = + + + + + + + + =4 3 2 1 4 3 3 2 1 4 3 2 2 1 1 4 4 3 2 1 1) ( ) )( ( ) ( ) ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xPDNFf x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 14 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 14 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 14 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 4 3 2 1 1 4 3 2 4 3 2 2 1) )( ( ) )( (= + + + + + ++ = + + + + ++ + + + + = ++ + + + + + + + = ) )( (3 1 2 1 2x x x x f + + = = = + + + + = ) )( (3 2 2 1 3 3 2 1x x x x x x x x) )( )( )( (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + = Uoimo poslednji red za funkciju f2. Ovakvo razlaganje je posledica "distribucija plus prema puta",osnosnozakonitosti) ( ) (3 1 2 1 3 2 1x x x x x x x + + = + .Akoumesto 1x zamislimoda stoji grupa) (2 1x x + , a umesto 3 2x x stavimo 3 3x x , onda ovo moemo da napiemo i kao 11 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 24 - ) ) (( ) ) (( ) (3 2 1 3 2 1 3 3 2 1x x x x x x x x x x + + + + = + + . Ista logika vai i za razlaganje drugog inioca, samo po promenljivoj x2. 3.9.6. Primer Naci minimalnu KNF funkcije: ) )( )( )( ( ) (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x f + + + + + + + =+ Reenje: Ovde imamo minimizaciju prekidake funkcije "runo", isto analitiki, bez pomoi Karnoove mape. Kojom logikom emo se voditi? = + + + + + + + + = ) )( )( )( (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x f Pogledajmoprvadvainioca.Daliunjimauoavamonetointeresantno? Uoavamodaseuobaponavljakombinacija 3 2x x + .Akoprimenimopravilo"distribucije plus prema puta" na ova dva inioca, ali "u rikverc", dobiemo sledee: 3 2 1 1 3 2 3 2 1 3 2 1) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x + = + + = + + + + Pogledajmo sada druga dva inioca. Da li moemo da uinimo neto slino? Moemo, jer u oba uoavamo ponavljanje 3 1x x + . Kada primenimo pomenuto pravilo, dobijamo: 3 1 2 2 3 1 3 2 1 3 2 1) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x + = + + = + + + + ) )( (1 ) )( ( 1 ) )( )( )( (3 1 3 23 1 3 2 2 2 3 1 1 1 3 2x x x xx x x x x x x x x x x x f+ + == + + = + + + + = Ako paljivo zagledamo ovo to smo dobili, vidimo da ne moemo primeniti ni jednu transformaciju vie, samim tim minimizacija je okonana. 3.9.7. Primer Potpunodefinisanafunkcijaf ) (3 2 1x x x zadatajeskupomdecimalnihindeksa { } 6 , 5 , 3 , 2) 1 (= f ; napisati je u obliku PDNF I PKNF. Reenje:VeznamokakoemoiztabliceistinitostioitatiiPDNFiPKNF.Ovde funkcijanijedatatablicom,alijedataskupomdecimalnihindeksa.Potojefunkcija potpuno definisana, to u tablici nemamo zvezdice, i dovoljno je dati samo jedan od skupova (samo skup f(0) ili samo skup f(1)), jer onde gde nisu jedinice, tamo su nule, i obrnuto. Zakljuujemo da je na osnovu ovih skupova trivijalno lako nacrtati tablicu istinitosti (ipritomjetozakljuivanjepotpunotano).Meutimmoelibitiitrivijalnijeodtoga? Moe.Umestodacrtamocelutablicu,izdvojiemosamooneredovekojinamtrebaju.Za PDNFemoizdvojitiredoveukojimafunkcijaimavrednost1(tosuredovisadecimalnim indeksima2,3,5i6),azaPKNFemoizdvojitiostaleredove.Decimalniindeksredau stvaripredstavlja(podsetimose!)dekadniekvivalentkombinacijevrednostiulaznih promenljivih.Naprimer, onajredu tablici istinitosti ukomepromenljive x1, x2 i x3 imaju vrednosti 0, 1, 1 (respektivno) imae indeks 3, jer je (011)2=(3)10. PDNF: 2 010 ) (3 2 1x x x1 1 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 25 - 3 011 ) (3 2 1x x x5 101 ) (3 2 1x x x6 110 ) (3 2 1x x x3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x fPDNF+ + + = PKNF: ako je { } 6 , 5 , 3 , 2) 1 (= f , onda je{ } 7 , 4 , 1 , 0) 0 (= f , pa dakle imamo: 0 000 3 2 1x x x + +1 001 3 2 1x x x + +4 100 3 2 1x x x + +7 111 3 2 1x x x + +) )( )( )( (3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x fPKNF+ + + + + + + + =3.9.8. Primer Odrediti PDNF i PKNF funkcije:( ) ( ) ( ) ( ) d a b c d c b a f = , , , Reenje:Opa!Imamonekunovufunkciju.Ovakavzadatakvrlolakomoeda bude dat na ispitu, te je zato neophodno znati sve prekidake funkcije dve promenljive (setimo sekolikoihukupnoima:16 222= = n ;setimosetakoedaihskorosveznamoustartu, im znamo funkcije AND, OR, NOT, XOR, f(x1,x2)=x1, f(x1,x2)=x2, njihove negacije, i funkcije "konstanta0"i"konstanta1").Potoshvatamodanemarazlogazaobeshrabrivanje, prelazimo na konkretno reenje zadatka. Kakoemoraditibilotasafunkcijom""(funkcija"implikacija")?Neemoraditi nitasanjom(radimosamosaonimfunkcijamasakojimaznamo,atosu(zasada)samo AND,ORiNOT,pabinambilopametnijedaimplikacijupredstavimoprekoovih,dobro poznatih, funkcija. Evo ta emo: prvo da vidimo kako izgleda njena tablica istinitosti: Naosnovutabliceistinitostimoemoodmahoitatii PDNF i PKNF ove funkcije: ( )2 1 2 1 2 1 2 1x x x x x x x xPDNF+ + = ( )2 1 2 1x x x xPKNF+ = Poto je PKNF jednostavnija, iskoristiemo nju za dalju transformaciju izraza: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + = + = = d a b c d a b c d a b c d c b a f , , ,( ) ( ) ( ) ( ) d c a b a d a c b d a b c d a b c d a b c + + = + + = + = + + = + = OvimsmosvelianalitikuformunaeprekidakefunkcijesamonaAND,ORiNOT operacije.Sadaseveoseamo"kaokodkue".Nadaljenamslediistamatematika...ne mnogozanimljiva,alibaremreiva.tazapravotrebadauradimo?TrebajunamPDNFi PKNF, a polazimo od DNF. Za PDNF radimo samo proirivanje do potpune forme: xy y x 001 011 100 111 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 26 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )PDNFf cd b a d c b a cd b a abcd d c b ad c b a d c b a d c b a d c ab d bc a bcd a d c b a cd b a d c b a bcd a d c b acd b a d c ab abcd d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c ab d bc a bcd ad c cd b a b a b a ab d c d c b a b a d c d c d c cd b ad c c b b a a d d c b b a d d c c b a d c a b a f= + + + + ++ + + + + + = + + + + ++ + + + + + + + + + + == + + + + + + + + + + + == + + + + + + + + + = + + = ZaPKNFprvotrebadapreemoizDNFuKNF,azatimdaradimoopetklasino proirivanjeformedopotpune.Potonemamokonkretnu"strategiju"zatou"tablici strategija", radiemo ta god moemo, primenjujui dobro poznate transformacije. ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) d c b a d c b a d c b a d c b a d c b ad c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b ad c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b ad c b a d c b a d c b a d c b a d c c b a d c c b ad c b a a d c c b a d c b b a d c c b b ad c b d a b d c a d a d c b d a b d c a d a ad c d a b d c d a a d c d a b a d c a b a f+ + + + + + + + + + + + + + + == + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + = + + + + + + =+ + + + + + + + + + + + + + + + + + == + + + + + + + + + + + + == + + + + + + + = + + + + + + + + == + + + + + + + = + + + = + + = ) )( ( ) )( ( ) )( ( 3.9.9. Primer Analiticki odrediti PKNF funkcije: ) ( ) ( ) ( ) , , , (4 3 3 2 2 1 4 3 2 1x x x x x x x x x x f + + = Potonapiemotabliceistinitostizafunkcije,i,inaemonjihovePKNF forme, te forme zamenimo u izrazu za funkciju i dalje vrimo transformacije! PKNFf x x x xx x x xx x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x f= + + + == + + + == + + + + + + + + == + + + + + == + + + + + == + + + + + + + == + + + + + + + + + == + + + + + + + =) (1 ) () )( () ( ) )( () ( 1 ) )( () )( 1 ( ) )( () )( ( ) )( () ( ) )( ( ) )( (4 3 2 14 3 2 14 3 2 2 1 4 3 2 2 14 3 2 2 1 2 14 3 1 2 1 2 14 3 2 4 2 2 1 2 14 3 3 2 4 3 3 2 2 1 2 14 3 3 2 3 2 2 1 2 1 Primeujemo da ova funkcija u svojoj PKNF ima samo jednu jedinu potpunu sumu. 3.9.10. Primer Primenom enonove teoreme odrediti potpune normalne forme funkcije: 3 2 3 1 2 1x x x x x x y + + =razvijanjem funkcije najpre po x2 a zatim po x1. Reenje: Podsetmo se enonove teoreme: ) 0 ( ) 1 ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= + = =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 27 - ta je to) 1 ( =ix f ? To je cela funkcija, samo u kojoj je svaka pojava promenljive xi zamenjena jedinicom. ta god da se mnoi sa xi, mnoie se sa jedinicom. Isto vai i za sabiranje. Uzmimo za primer x1. Zamenimo u funkciji svaku pojavu x1 jedinicom, i evo ta dobijamo: 3 2 3 2 3 2 3 2 11 1 ) 1 ( x x x x x x x x x f + + = + + = = . Ovovaizabilokojupromenljivu.Kadaenonvuteoremuprimenimonaneku odreenu promenljivu funkcije, kaemo da "vrimo razvoj funkcije po toj promenljivoj". Preimo na reavanje zadatka. Krenimo da razvijamo funkciju prvo po x2: = + + + = = + = = ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 (3 3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2x x x x x x x x x y x x y x yPDNF Nakontosmojerazvilipox2,hajdesadadasvakuoddobijenih"pod-funkcija" (koje smo obeleili kao y11 i y12) razvijemo po, recimo, x1: ( ) ( ) ( )3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 1 3 3 1 2 1 1 21 12 1 1 12 1 2 1 1 1 11 1 2) ) ( ( ) 0 1 ()) 0 ( ) 1 ( ( )) 0 ( ) 1 ( (x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx y x x y x x x y x x y x x+ + + + == + + + + == = + = + = + = = Da bismo dobili PKNF, koristimo drugu formu enonove teoreme: )) 0 ( ( )) 1 ( ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= + = + =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f Princip je potpuno isti. ( )( )( )3 1 2 3 1 2 3 1 21 1 2 1 3 1 21 12 1 1 12 1 2 1 11 1 1 11 1 23 1 1 2 3 3 1 2 2 2 2 2)) 1 ( ))( 0 ( ( ))( 1 ( ))( ( ( ())) 1 ( ))( 0 ( ( )))( 1 ( ))( 0 ( ( ()) ( ))( ( ( ) 1 ( ))( 0 ( (x x x x x x x x xx x x x x x xx y x x y x x x y x x y x xx x x x x x x x x y x x y x yPKNF+ + + + + + == + + + + + + == = + = + + = + = + + == + + + + = = + = + = Postojijojednapotpunanormalnaformaprekidakefunkcije,atojePPNF (potpuna polinomna normalna forma). Ona se dobija jednostavno iz PDNF, tako to se svaki znak"+"zameniznakom"".Dabismodobiliovuformuprimenomenonoveteoreme, iskoristiemo njenu treu formu: ) 0 ( ) 1 ( ) ,..., , , ,..., (1 1 1= = =+ i i i i n i i ix f x x f x x x x x x f Princip je, opet, potpuno isti. Prvo funkciju razlaemo po x2: ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 (3 3 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2x x x x x x x x x y x x y x y + + = = = = Pod-funkcije koje smo dobili (y11 i y12), svaku za sebe, razlaemo po x1: )) 0 ( ) 1 ( ( )) 0 ( ) 1 ( (1 12 1 1 12 1 2 1 11 1 1 11 1 2= = = = = x y x x y x x x y x x y x x y Sada u pod-funkcijama zamenimo x1 sa 1, pa sa 0, i evo ta dobijemo: 1 1 1 1 ) 1 (3 3 1 11= + = + = = x x x y0 0 0 0 0 ) 0 (3 1 11= + = + = = x x yy11y12 y11y12 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 28 - 1 1 ) 1 (3 3 3 3 1 12= + = + = = x x x x x y3 3 3 3 1 120 0 ) 0 ( x x x x x y = + = + = = To to smo dobili zamenimo u izrazu: )) ( ) 1 ( ( )) 0 ( ) 1 ( (3 1 1 2 1 1 2x x x x x x x y = Kada ovo sve izmnoimo, dobijamo: 3 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2) ( ) ( ) 0 ( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y = = = Ovobibilanekapolinomnanormalnaformafunkcije(PNF).Naposlednjizadatak je da ovu formu proirimo (dopunimo) do potpune (do PPNF). Setimo se koja je "strategija" zato: i ix x = 1 .Prvomidrugomproizvodunedostajepromenljivax3,paemonjihna ovaj "strateki" nain dopuniti: 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 2 1 2) ( ) (x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x y == = = AsadaseosvrnimonazadnaPDNFspoetkaovogzadatkaiuvdimodasuforme identine,osimtosekodPPNFumestoznaka"+"nalaziznak"".Upozorenje:ovovai samo za obe POTPUNE forme. 3.9.11. Primer Napisati u obliku kanonikog polinoma prekidacku funkciju: 3 1 1 3 2 2 1 3 2 1) ( ) , , ( x x x x x x x x x x f + + + = Reenje:prvodasepodsetimotajeto"kanonikipolinom".Definicijaoveforme prekidakefunkcijenavedenajeupoglavljusadefinicijamavezanimzaanalitikeforme PF, i nosi oznaku "Definicija 12". Da je ponovimo: " Suma po modulu 2 meusobno razliitih prostihproizvodazovesekanonikipolinomilipolinompomodulu2(zovesejoi polinom Reed-Mller-a)". A ta je to "prost proizvod"? To je bilo koji proizvod promenljivih, kojinemoradasadrisvepromenljive(moesamoneke),aliukomenema komplementiranihpromenljivih.KakouoptedolazimodokanonikogpolinomanekePF? NajjednostavnijiputjeodPPNF,korienjemodgovarajue"strategije"(utablicijeto poslednja "strategija"): i ix x =1i0 = i ix x . AkakoemouoptedadobijemoPPNFdabismoiznjeganalikanoniki?Pa najloginijiput bio bi danaemo PDNF funkcije, pa da onda svaki "+"zamenimo sa "". A tajPDNFzahtevadaprvonaemonekibilokakavDNFfunkcije,pajetoprvotoemo uraditi. 1. korak nai DNF funkcije: = + + + =3 1 1 3 2 2 1) ( x x x x x x x f taemosad?Zadataknamjedadoemodo DNF, ali to odavde ne izgleda tako jednostavno. Razmotrimo sabirke ponaosob. Drugi sabirak (3 1 1x x x + ) prosto "moli" za primenu De Morganovih pravila: 3 1 1 3 1 1x x x x x x = + Sada desna strana "moli" za jo jednog De Morgana: Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 29 - ) (3 1 1 3 1 1x x x x x x + = Ovde ve uoavamo apsorpciju, jer, kao to znamo,) ( Bilota x x x + = . Odavde nam ostaje, dakle, samo 1x . A ta emo sa prvim sabirkom ( ) (3 2 2 1x x x x + )? Posluiemo se malim trikom. Opetemo pozvati u pomo apsorpciju, samo njenu drugu varijantu:Bilota x x x + = . Ovo emo iskoristiti da proirimo 2x , i to ovako: 3 2 2 2x x x x + = Sada radimo ovako:13 ) )( () () ( ) (3 2 2 2 13 2 2 2 3 2 2 2 13 2 3 2 2 1 3 2 2 1x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x x+ += + + += + + = + 1 3 1 2 1 1 3 2 2 2 1) )( ( x x x x x x x x x x x f + + = + + + = Kaotovidimo,svelismofunkcijunasumunekihelementarnihproizvoda,dakle doveli smo je do neke od DNF formi, a to je ono to nam je i trebalo: 1 3 1 2 1x x x x x fDNF+ + = 2. korak proiriti DNF funkcije do PDNF (ovo ve znamo): 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 13 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1) )( ( ) ( ) (x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x f+ + + + + + + == + + + + + + = SadasusviproizvodiuDNF-upotpuni,dakleimamoPDNF(naravnoeliminisaemo ponavljanja, zbog pravila idempotentnosti)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x fPDNF+ + + + + + = 3.korakpreiodPDNFnaPPNF(ovojevetrivijalno,zamenimosvakupojavu znaka "+" znakom ""): 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x PPNF = 4.korak"Skratiti"PDNFdokanonikogpolinoma(ovdekoristimoodgovarajuu "strategiju",setimose: i ix x =1 i0 = i ix x nekapoetnorazmiljanjeovdebude "hajde da poistimo sve komplemente"): = =3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 13 Ne pitajte me kako da razmiljate da bi vam ba ovakav trik pao na pamet, nemam objanjenje za to. Valjda je u pitanju neki "algebarski oseaj", i ako jeste to je neto to nikada nisam imao (prim. aut.) 1 Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 30 - Umesto svakog ixpiemo) 1 (ix : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 2 1 3 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 11 1 1 1 11 1 1 1 1x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x f = Sada ovde izvrimo sva mnoenja: 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 21 3 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 1 3 22 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 11x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x f = taemosadsaovim?Primeniemodrugideostrategije( 0 = i ix x )da eliminiemo viestruke pojave proizvoda. Panja: kod operacije "" ne vai osobina idempotentnosti (kao kod "+" i ""),tako daneevaiti i i i i i ix x x x x x = ... .Vaiejednodrugaijepravilokojese takoe jako lako pamti... ali doimo do njega postepeno.Da razmotrimo jo malo kako se ponaa operacija XOR (). Posmatrajmo tablicu: 01 001 110 Na osnovu nje moemo zakljuiti da vai: o0 = x xo1 = x xox x = 1ox x = 0 Ovejednakostimoemoprimenjivatitokomskraivanjizraza.Naosnovunjih moemo doi do sledeeg pravila za skraivanje: = parno nje ako - 0neparno nje ako -......ini i ixx x x I zaista, pogledajmo prvi sluaj (neparan broj): 1 1 1 1 10 x x x x x = = A ako se ista promenljiva (ili izraz) javi paran broj puta: 0 0 001 101 1= = x x x x Ostaje nam da bukvalno izbrojimo koliko se puta u izrazu javlja koji proizvod, te da ostavimo one koji se javljaju neparan, a izbacimo one koji se javljaju paran broj puta. Proizvod......se javlja......dakle: 3 2 1x x x 7 putaostaje 2 1x x 3 putaostaje Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 31 - 3 1x x 3 putaostaje 3 2x x 4 putagubi se 2x 2 putagubi se 3x 2 putagubi se 11 putostaje 1x 1 putostaje Ovim smo dobili kanoniki polinom prekidake funkcije, i reili zadatak: 3 2 1 3 1 2 1 1 21 x x x x x x x x fP = Napomena: sva ova objanjenja (ukljuujui i korake redom, i tablicu u kojoj pie koji proizvodi ostaju a koji se gube) nije neophodno pisati na ispitu. Oni su ovde dati da bi postupak reavanja zadatka studentu uinili jasnim. 3.9.12. Primer Potpuno definisana funkcija) , , (3 2 1x x x fzadata je skupom decimalnih indeksa { } 6 , 3 , 1 , 0) 1 (= f. Naci njen kanoniki polinom. Reenje:ovajputnemapotrebezaanalitikimnalaenjemPDNF,vetuformu moemo proitati direktno iz tablice, zapravo ne moramo ak ni pisati celu tablicu (ovakav primer je ve uraen). { } 6 , 3 , 1 , 0) 1 (= f=>0 000 -) , , (3 2 1x x x f =1 1 001 -) , , (3 2 1x x x f =1 3 011 -) , , (3 2 1x x x f =1 6 110 -) , , (3 2 1x x x f =1

Odavde direktno formiramo PDNF: 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x fPDNF+ + + = Kada svaki znak "+" zamenimo znakom "" dobijamo PPNF: 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1x x x x x x x x x x x x fPPNF = PPNF smo mogli napisati i direktno, nije nam bila potrebna PDNF. Hajde da sada naemo kanoniki polinom funkcije. "Strategija" za ovo je (da je ipak ponovimo): 1. i ix x =12.0 = i ix x Idemo (prvo uklanjamo komplemente, a onda kratimo): Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 32 - ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 2 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 3 23 2 1 3 2 3 1 3 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1111 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x f = == = Reenje zadatka (kanoniki polinom funkcije) je: 3 2 2 1 21 x x x x fP = Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 33 - 4. Realizacija prekidakih funkcija 4.1. Uvod Termin"realizacija"koristisekaoimenicaikaoglagol(tj.glagolskaimenica). Sinonimuobasmislabiobitermin"projekat",odnosno"projektovanje",respektivno.Kao glagolskaimenica,realizacija(projektovanje)oznaavaprocestransformacijekorisnikih zahteva (formulisanih na govornom jeziku) u opis izgleda digitalnog kola, onako kao bi ono izgledalo u izabranoj tehnologiji izrade. Kao imenica, realizacija (projekat) predstavlja sam opis digitalnog kola u datoj tehnologiji izrade. Terminoloko odreenje je ovde (a i svuda) nezahvalanposao,takodagatrebaprihvatitisarezervom.Procesprojektovanjamoese podeliti na proces analize i sinteze, generalno. Analiza je proces formalnog predstavljanja korisnikih zahteva (pomou jedne ili vie prekidakih funkcija), i raznih transformacija nad tompredstavom,asveuciljunjeneoptimizacije(pokriterijumimaizabranetehnologije izrade kola).14 Drugaije reeno, analiza je proces nalaenja prekidakih funkcija koje kolo treba da realizuje, a na osnovu korisikih zahteva koji se stavljaju pred kolo.Takoe, pod pojmom analiza se podrazuvema i proces nalaenja prekidakih funkcija koje kolo realizuje alinaosnovugotovestrukturneemekola.15Ovajvidanalizeviesluizaocenjivanje kvalitetakola,inijeodinteresazaovajkurs.Sintezajeprocestransformacijepomenute optimalne predstave funkcionalnosti kola u opis izgleda kola u eljenoj tehnologiji izrade. Detaljnija definicija sinteze bie data u poglavlju o sintezi (4.6.1). Sadasepojamprojektadelinavienivoa,premanivouapstrakcije,odkojihse jedannivonaziva"logikinivo",itojenivonakojiseograniavaovajkurs.Usmislu logikogprojektovanja,krajnjirezultatprocesarealizacije(tj.projektovanja),dakle projekat,jestefunkcionalniopiskolauterminimaprekidakealgebre.Iliprostijereeno, informacija o tome 1. koja elementarna logika kola se koriste, i 2. kako se ona meusobno vezujudabikoloradiloonotoseodnjegaoekuje(dabikolorealizovalociljnu prekidaku funkciju, ili sistem funkcija, ako ima vie izlaza). Kojasutoelementarnalogikakola?Uoptemsluajutosu"legokockice"ijim povezivanjemdobijamogotovokolo,ionamogubitiraznolika.Dananjaindustrijanudi razliitareenja,odnosnorazliiteskupoveelementarnihkola,kojisenazivaju tehnologijomrealizacije.Uzavisnostiodizboratehnologijerealizacije,birasei odgovarajuinainprojektovanja.Natritupostojeakigotoviipovikojesamotreba programiratiuzpomoprogramatorakojisevezujenaraunar,takodajerealizacija prekidakefunkcijeutojtehnologijivrlospecifina,ivezanazakonkretnufirmukoja proizvoditakavip.Uokviruovogkursaneemosebavitipojedinanimreenjima pojedinanih firmi, ve optim principima realizacije prekidakih funkcija koji su prisutni u svim industrijskim reenjima. Ono to je najoptije u procesu realizacije je sledei koncept: kolo se (uvek) sastoji ododreenihprostih(idaljenedeljivih,moglobiserei"atomskih")elemenata,kojisu povezanipoodreenimpravilima.Tovaiuvek!Ovdeemose,stoga,bavititimprostim elementima, nainima realizacije pomou njih, i nainima za optimizaciju te realizacije. 4.2. Digitalna elektrina kola i logiki elementi DEF: Digitalnim kolima nazivamo sva ona kola koja se u elektrinom smislu mogu karkaterisati sa dva razliita stanja signala.16 Ovoimplicirakorienjebinarnogbrojnogsistemaprilikommatematikog modeliranjanjihovefunkcionalnosti.Oznaketihstanjamogubitibilokoje(istotakosei nadbilokojedveoznakemoeformiratibrojnisistem,odnosnocelaalgebra),alisu usvojene cifre 0 i 1. Dadvastanja,preslikanaudomenfizikihveliina,mogupredstavljatibilota: ukoliko je u pitanju, na primer, optiki ureaj, postojanje svetlosti u nekoj taki, na primer 14Optimizacija(revuekorenizlatinskereioptimus,-a,-um,toznainajbolji,-a,-e)neegaje proces poboljavanja neke od karakteristika tog neega do maksimalne izvodljive mere. Optimizacija se uvek vri po nekoj osobini, jer najee poboljanje jedne osobine vue pogoranje neke druge (prim. aut.). 15 ivko J. Toi, Osnovi raunarske tehnike, uperak plavi, Ni, 1994, str. 116, 4. pasus. 16 ivko J. Toi, Osnovi raunarske tehnike, uperak plavi, Ni, 1994, str. 113. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 34 - naizlazuureaja,semoeoznaiticifrom1,anepostojanje(mrak)cifrom0.Iliobrnuto, zavisnooddogovora!Ovajprimernavedenjedabisepokazalokolikosugeneralniovi principi,inezavisniodpojmaelektriciteta.Ureajimogubitiiistomehaniki,ilipak hidraulini. Paipak,uokviruelektronike,radiseoelektricitetu.Dvastanjamogu,ufizikom smislu,predstavljatidverazliitevrednostinapona,ilistruje,ilipakpostojanjeili nepostojanje elektrinih impulsa itd. Nula esto asocira na nepostojanje, odsustvo neega, tesetakologikanula(kojajesamojedanoddvasimbolazastanje)estomeasa nepostojanjemnapona(0V).Ovonijeispravnorazmiljanje,iakopovrnodeluje najloginije!Dvastanjakojenekologikokoloimamogu,naprimer,biti+5Vi-5V. Svejednojekojeestanjebitiobeleenokojimsimbolom,odnosnokojombinarnom cifrom.Ipak,kadaseformirajustandardizaovo,idesenatodaobeleavanjebudeto bliezdravorazumskojlogici,paeprenulombitiobeleenostanjeod-5V(jerje, apsolutno posmatrano, "manje" od +5V). Realna situacija je esto sledea:DEF:Logikimelementomnazivamorelativnojednostavnodigitalnokolokoje realizujenekuodelementarnihprekidakihfunkcija.17Atasutoelementarne prekidake funkcije? O tome u sledeemnaslovu(1.3). Po pravilu logiki element imadva ulaza, irealizuje dvoulaznou ("dvopromenljivsku")prekidaku funkciju(madamoe imati i vie ulaza). Pa i ako ima vie od 2 ulaza, logiki element ne realizuje neku sloeniju PD, ve jednu od elementarnih, samo nad vie promenljivih. Recimo ako realizuje logiku operaciju ILI (odnosno +, u Bulovoj algebri), ako ima 3 ulaza, on e realizovati tu istu funkciju, samo umestoy=x1+x2,daey=x1+x2+x3,znaiidaljejeupitanjusamoelementarnaoperacija Bulovogsabiranja.Takoe,popravilulogikielementimasamojedanizlaz,odnosno realizuje jednu prekidaku funkciju.18 DEF:Logika(prekidaka)mreajedigitalnoelektrinokolokojenastaje povezivanjem logikih elemenata na odreeni nain. 4.3. Elementarne prekidake funkcije Rekli smo da logiki elementi realizuju elementarne prekidake funkcije. A koje su prekidakefunkcijeelementarne?Nekizdravorazumskiodgovorbiobi:pafunkcijedve promenljive.KakobisvojevremenorekaoOliverMlakaruKviskoteci:"tono,ali nepotpuno".Uelementarnelogikefunkcijespadatakoeijednafunkcijaodjedne promenljive (a to je, lako je zakljuiti, komplement, odnosno NOT). Meutim,tekodazdravorazumskorezonovanjemoebitiosnovazanaukuili inenjerstvo. Zato je potrebno malo se udubiti u ovaj problem, i do istog zakljuka doi na matematiki formalan nain. Ovo je lake nego to bi se moglo zamisliti, a veoma korisno. Matematikiaparatkojikoristimoprilikomprojektovanjadigitalnihkolana logikomnivoujespecijalan(dvokomponentni,dvocifarski)sluajBulovealgebre, takozvana prekidaka algebra. To je algebarska struktura koja se sastoji od: skupa koji ima dvalana,dogovornooznaenasa0i1,zatimtrioperacije,oznaenesa+,i,idva posebna elementa koji se nazivaju "nula" i "jedinica" prekidake algebre.19 I ne samo to, da bidefinicijabilapotpuna,morajudavaenekapravila,kojasenazivaju"Hantingovskup aksioma", o tome detaljnije u poglavlju o prekidakoj algebri, sad isto da ih pomenemo. Obratimopanjunaoperatore.Imamojedanunarnioperator(unarniznaidaima jedanoperand),atojeoperator(nadvueno),ulogikomsmislukomplement;idva binarna operatora(binarni znai: ima dva operanda), a to su + i, ulogikom smislu "ili" i "i",respektivno.Uosnoviovealgebarskestrukturenepostojeternarni,kvaternarniitd 17 ivko J. Toi, Osnovi raunarske tehnike, uperak plavi, Ni, 1994, str. 113. 18 Elementarno moe realizovati i neku relativno sloenu prekidaku funkciju. Za to nema ogranienja. Jedini uslov je taj da firma koja predlae tu tehnologiju realizacije obezbedi takav komplet logikih elemenata, uz pomokogajemoguerealizovatibilokojuprekidakufunkciju.Poredtoga,naravno,tafirmamorasasvojom tehnologijom biti konkurentna na tritu, po pitanju efikasnosti realizacije, cene itd. 19 Kod Bulove algebre, onaj skup B imavie od 2 elementa (kod prekidake ima tano 2, a kod Bulove moeimatiivie,jerjeBulovaoptijaodprekidake).TakokodBulove,onadvaposebnaelementa,"jedinica algebre" i "nula algebre", predstavljajuneka dva elementa iz skupa B. Mogu biti bilo koja dva! Uslov je samo da takva dva elementa postoje u skupu B. E sad kod prekidake algebre (kojom se ovde i bavimo), da ne bi dolo do zbunjivanja,stvaristojeovako:onaimasamo2elementauskupuB...aopet,moradaimaidvaspecijalna elementa, "nulu" i "jedinicu" algebre... pa e stoga jedan od dva elementa iz B biti "jedinica algebre", a drugi e biti "nula algebre". Znai u skupu B imamo dva elementa, te stoga oba moraju da budu i specijalni. Onda, da bi se ispotovao prirodan nain razmiljanja, onaj koji ima ulogu "nule algebre" se i obeleava znakom "0", a onaj drugi, koji ima ulogu "jedinice algebre", se obeleava znakom "1". Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 35 - operatori!Samounarniibinarni.Svakiodovihoperatoradefiniejednuprekidaku funkciju. Evo tih funkcija: Operator f(x)=x xf(x) 01 10 Operator + f(x1,x2) = x1 + x2 x1x2f(x1,x2) 000 011 101 111 Operator f(x1,x2) = x1 x2 x1x2f(x1,x2) 000 010 100 111 Pa,sobziromdaujedineoperatorenadprekidakomalgebromspadajusamo funkcijejedneidvepromenljive,tospravommoemotefunkcijesmatrati elementarnim.20Najstroegledano,nebilokojefunkcijejedneidvepromenljive,nego samo i jedino ove tri, koje stoje u definiciji nae algebre. I zaista, kombinovanjem ove tri funkcije, moemo dobiti bilo koju funkciju od vie promenljivih nad prekidakom algebrom. Preslikanonafizikidomen,kombinovanjem(povezivanjem)digitalnihkolakojarealizuju neku od ove tri funkcije moemo realizovati bilo koje kolo sa proizvoljnim konanim brojem ulaza. Alimatematiarinebibilimatematiariakonebiteilidasveapstrahujui generalizuju,isvedunajedanoptisluaj,tojepotpunoopravdano...jermatematiki model mora da pokrije sve mogue situacije, dok fizika realizacija "ima prava" da pokrije samoneke,"zahvaljujui"tehnolokimogranienjimadananjice.Takvimrezonomovdebi se moglo postaviti sledea pitanja: 1.ta je sa ostalim funkcijama jedne i dve promenljive? Koliko njih uopte ima? 2.Moe li se pomou njih realizovati neko kolo? 3.Moe li se napraviti neka druga kombinacija tih funkcija tako da se njome moe realizovati bilo koje logiko kolo? 4.3.1. Koliko je mogue imati funkcija od n promenljivih? Ponimo od prvog pitanja. Odgovor je jednostavan, i spada u domen kombinatorike. Ukoliko imamo n promenljivih, funkcija e imati 2n moguih vrednosti, jer se n promenljivih (od kojih svaka moe biti 0 ili 1) moe iskombinovati na 2n naina. Ilustrujmo primerom: F-ja jedne promenljive: (neka proizvoljna) xf(x) 01 10 F-ja dve promenljive: (neka proizvoljna) x1x2f(x1,x2) 000 011 100 111 F-ja tri promenljive: (neka proizvoljna) x1x2x3f(x1,x2,x3) 0000 0011 0100 0111 1000 1011 1101 1111 Kao to se vidi iz primera, kada imamo jednu promenljivu, funkcija ima dve mogue vrednosti,jertajednapromenljivasemoe"iskombinovati"takotouzmevrednost0,ili vrednost 1, i nema dalje. Funkcija dve promenljive ima 4 mogue vrednosti, jer su mogua 4sluajana"ulazufunkcije",odnosnonezavisnopromenljivemoguimati4razliite kombinacijevrednosti:00,01,10i 11(kaotosevidiusrednjojtabeli).Tripromenljive, od kojih svaka moe imati 2 vrednosti, mogu da se iskombinuju na 8 naina, kao to se vidi 20 Da ovaj dokument ne bi iao previe u irinu, neemo se baviti pitanjima ta je starije, koka ili jaje, u smislu:tajeemuprethodilo,digitalnakolaBulovojalgebriiliobrnuto.PostuliraemodajeBulova(odnosno prekidaka)algebrakaotakvamatematikiosnovdigitalneelektronike,paprematome,akotaalgebrapoznaje samo unarne i binarne operacije, zakljuiemo da su one osnovne. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 36 - u desnoj tabeli. Ukratko, ako imamo n elemenata,od kojih svaki ima 2 mogue vrednosti, moemodaformiramo2nkombinacija.Dakle,jednafunkcijaodnpromenljivihdaje, nazovimo to, "izlazni vektor"21 duine 2n. Akolikorazliitihvektoramoedapostoji?Posmatrajmotajjedanvektorkao kombinaciju od p binarnih cifara (to on i jeste), pri emu je konkretno p=2n. Ako ga tako posmatramo,pakolikoimamoguihkombinacijaodpbinarnihcifara?Imaih,jelte,2p. Znai,moguejeformiratiukupno2p"izlaznihvektora"funkcijeodnpromenljivih,ili drugaije reeno: on n promenljivih mogue je sklopiti 2p razliitih prekidakih funkcija, pri emu je p=2n. Zakljuak: postoji tano n22prekidakih funkcija od n promenljivih. Konkretno,od1promenljivemoesenapraviti4razliiteprekidakefunkcije.To su funkcije: 1.konstanta nula, f(x) = 0 (za obe vrednosti nezavisno promenljive x), 2.konstanta jedan f(x) = 1, 3.f(x) = x, 4.f(x) =x. Od2promenljivemoguejenapraviti16razliitihprekidakihfunkcija,istom logikom, i tako redom... 4.3.2. Moe li se bilo kojim funkcijama realizovati neko kolo? Odgovor je: i da i ne. Kakvo je to neko kolo? Ovo pitanje jeste ljudsko, i lino sam ga uo puno puta (zato sam mu i posvetio panju), ali strogo matematiki je nedefinisano. Neke sloenije mree mogu se realizovati samo korienjem, na primer, ILI kola. Za neke e nam zavriti posao i samo I kolo. Opet, za neke nam nee biti dovoljna ni oba, trebae nam jo neko. Koliko je precizno pitanje, toliko je precizan i odgovor. Ono u stvari nije od neke vanosti, ono je vie meu-pitanje koje vodi do sledeeg, kljunog. 4.3.3. Moe li se bilo kojim PF realizovati bilo koje kolo? Naosnovusamedefinicijeprekidakealgebredolismodozakljukadasu najosnovnijeprekidakefunkcijenadnjom:komplementiranje,logikoIilogikoILI. Prekidakafunkcijajedefinisanaprekoovihoperatora,daklesvakaprekidakafunkcija. Drugimreima,uzpomopomenutetrifunkcijemoguejedefinisatisvakuprekidaku funkciju.Kaotojevereeno,korakdaljejegeneralizacijaovogtvrenja,odnosno pitanje:dalipostojijonekafunkcijaod2promenljive(kojasemoetretiratikaoneki novi operator) koja se moe iskoristiti kao "lego kockica" za formiranje sloenijih PF? Ili, jo boljeformulisano:postojelijonekekombinacijefunkcijauzpomokojihjemogue realizovati bilo koju funkciju? Odgovor je da. Postoje takvi skupovi prekidakih funkcija, ijim se kombinovanjem na odreene naine moedobiti bilo koja prekidaka funkcija. Jedan takav skup naziva se "funkcionalno potpun skup". Sledi definicija. DEF:Sistemprekidakihfunkcijajefunkcionalnopotpun(kaeseisamo "potpun") ako se bilo koja prekidaka funkcija moe izraziti superpozicijom funkcije iz ovogsistema,ipermutacijompromenljivihunjima.22Potpunskupprekidakihfunkcija (odnosno uopte, bilo kojih funkcija) naziva se jo i bazis. Bazis je minimalan ukoliko se iz njeganemoeizdvojitinijednafunkcijaadaonpritomeidaljeostanebazis.Kadase govoribazisima,obinosemislinaminimalne.Pitanjekojeloginosledije:akako prepoznati takav skup? Ukoliko se ograniimo na PF od jednei dve promenljive, ukupno na raspolaganju imamo "arsenal" od 4+16=18 prekidakih funkcija. Kako da znamo koje od njih ine potpun skup? Postoji dva naina. Prvinainjejednostavniji,aliimajednoogranienje.Formiramonekinaskup prekidakih funkcija, i treba da proverimo da li on moe da ima ulogu bazisa (odnosno da li onjesteilinijebazis).Ukolikofunkcijamaiztogskupamoemodarealizujemosvakuod funkcija tog ve poznatog bazisa, onda je na skup proao test. Kao to se vidi, provera je jednostavna, ali ogranienje se ogleda u tome to nam je ve potreban neki bazis. 21 "Izlazni vektor" nije zvanian izraz! Koristim ga da bih lake opisao ono to opisujem. 22 Radomir S. Stankovi, Milena Stankovi: Logiko projektovanje, IP "Nauka", Beograd, 1991. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 37 - Druginainzaproverudajenamtzv.Postovateorema.Onadefiniepotrebnei dovoljne uslove da neki skup prekidakih funkcija bude bazis. U okviru ovog kursa neemo sebavitiispitivanjimapotpunostiskupovaprekidakihfunkcija.Oditaocaseoekujeda zna za pojam potpunog skupa funkcija, i da okvirno zna kako se potpunost dokazuje. 4.4. Grafiki simboli za logike elemente Naemiprekidakemree,kojapredstavljakrunuprojektantskogposla,svaki logikielementimasvojnainobeleavanja,odnonsografikisimbol.Unastavkusledi tabela grafikih simbola najee korienih logikih elemenata. "NE" komplementator (to je uvek jednoulazni element) "I", dvoulazni "I", vieulazni "ILI", dvoulazni "ILI", vieulazni "NI", dvoulazni "NI", vieulazni "NILI", dvoulazni "NILI", vieulazni "XOR"23, dvoulazni "XOR", vieulazni Na osnovu ove tabele mogu se zapaziti dve stvari: 1.logikielementikojiimajuvieulazavreistuoperacijukaoidvoulazni,samo tojevreujednomstepenu,daklekolokoje,npr.logikisabira5brojevaunosisamo jedno kanjenje, a inae bi za logiko sabiranje 5 brojeva morali da iskoristimo 4 dvoulazna "ILI" kola, pa bi signal morao da proe kroz 4 elementa otkad ue u kolo, pa dok ne doe do izlaza, to unosi vee kanjenje; i 2.dodatnanegacijaukolu(naI,odnosnoILIkolododamonegaciju,padobijemo NI,odnosnoNILI)seobeleavakruiemukorenuizlaznogkontaktakola(npr.NIizgleda isto kao I, samo to ima jo i krui krui = negacija). 4.5. Parametri logikih elemenata (ilustrativno) Uovomdelubieopisaninekiosnovniparametrilogikielemenata,kojetreba uzimatiuobzirprilikomprojektovanjadigitalnihkola.Nisusviodznaajazalogikinivo projektovanja, a oni koji su od znaaja bie naglaeni. 1.Kodiranje logikih vrednosti: misli se na fizike veliine koje odgovaraju dvoma stanjimaovihelemenata.Upitanjujenajeenapon.Ovonijeodznaaza logiko projektovanje. 2.Zakon funkcionisanja: to je prekidaka funkcija koju kolo realizuje. Ne postoji nita to je od veeg znaaja za logikog projektanta od ovog parametra. 3.Broj ulaza: jasno po sebi. Bitno za logiko projektovanje. 4.Maksimalno optreenje izlaza (zove se jo i koeficijent izlaza, i faktor izlaza): to je maksimalan broj ulaza logikih elemenata koji se mogu vezati na izlaz tog elementa.Ovaosobinajestefizikeprirode,alijeitekakoodznaajapri logikom projektovanju. 5.Kanjenjesignala:vremenskiintervalodmomentapromenesignalanaulazu (iliulazima)elementa,domomentauspostavljanjastabilnenovevrednosti signalanaizlazu.Brzinakretenjaelektricitetanijebeskonana,padoksignal 23 "XOR", od "eXclusive OR", engleska oznaka za "iskljuivo ili", bie koriena jer je kratka. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 38 - proekrozsvuelektronikuulogikomelementu,onmoramalodakasni. Generalnonijeodinteresazaprojektovanjenalogikomnivou,alimoe diktirati neke uslove (kriterijume optimizacije), kao to je na primer: da putevi u kolu budu to krai, dakle da kolo pre ide "u irinu" nego "u duinu". 6.Disipacijasnage:upitanjujepotronjakola.Nijeodinteresazalogiko projektovanje. 7.Marginauma(ilifaktoruma):govoriostepenuneosetljivostielementana spoljne smetnje. 8.Temperaturni opseg: interval temperatureu kome se od kola oekujepouzdan rad.Uindustrijijetoobinood0do70C.Ulogikomprojektovanjunijeod znaaja, ali u fizikom je od velikog. 4.6. O sintezi prekidakih mrea 4.6.1. Definicija prekidake mree, sinteze i jo nekih pojmova DEF:Prekidakamreajedigitalnoelektronskokolokojerealizujesloenije prekidakefunkcije(iliskupoveprekidakihfunkcija,kolikoizlazatolikofunkcija),akoje se sastoji od logikih elemenata paralelno ili redno povezanih.24 DEF:Prekidakamreasetakoemoedefinisatiikaokompozicijalogikih elemenata povezanih na sledei nain: a.nasvakiulazlogikogelementaprikljuenjeizlaznekogdrugoglogikog elementa ili je to primarni ulaz (ulaz u prekidaku mreu), b.kao ulazi logikih elemenata mogu biti konstante 0 i 1, c.nikakva dva izlaza nisu meusobno povezana, i d.nepostojepetljeumrei,gdepetljailipovratnasprega(povratnaveza) predstavljakonturu(put)kojapovezujeizlaznekoglogikogelementasa njegovim ulazom, pri emu kontura moe sadrati i druge logike elemente.25 DEF: Strukturna ema prekidake mree jeste ema koja opisuje kako se povezuju elementi u njoj.26 DEF: Postupak odreivanja strukturne eme prekidake mree zove se strukturalna sinteza,ilikraesinteza.27Drugaijereeno:problemsintezesastojiseuzahtevuza zadatufunkciju,ilisistemprekidakihfunkcijaizadatipotpuniskuplogikihelemenata nae odgovarajua mrea koja realizuje te funkcije.28 Kao to se vidi na osnovu poslednje definicije, sinteza je drugi od dva dela logikog projektovanjadigitalnogkola(iliprekidake mree, ili skraeno mree). Prvi deo je analiza. O ovome je ve bilo rei u ovom delu. Podprekidakommreom,uoptem sluaju,podrazumevamosistemsanulazaim izlaza.Ovakavsistemrealizujesistemodm prekidakih funkcija. Jojedanbitanparametarsvakeprekidakemreejebrojstepeni(nivoa)te mree. Ovaj parametar odreuje kroz koliko logikih elemenata signal mora da proe otkad ueuprekidakumreu,padoknedoenanjenizlaz.Zalogikielementsekaeda pripadai-tomstepenuilii-tomnivoukombinacionemreeakojeinajveibrojlogikih elemenatakrozkojeprolazisignalodulazamreedoizlazaposmatranogelementa. Drugaijereeno,logikielementpripadai-tomstepenuakojei-1najveistepenkojem pripadabarjedanodlogikihelemenataijisuizlazivezaninaulazeposmatranog elementa.Pritom,prvomstepenupripadajusvielementinaijeulazedolazedirektno spoljanji signali. Zakombinacionumreusekaedajei-togstepena(recimo:dvostepena, trostepena,petostepena...)akojeinajveistepennekoglogikogelementautojmrei. Brojstepeniprekidakemreedirektnoutienakanjenjeizlaznogsignalauodnosuna 24 Radomir S. Stankovi, Milena Stankovi: Logiko projektovanje, IP Nauka, Beograd, 1991, str. 31. 25 ivko J. Toi, Osnovi raunarske tehnike, uperak plavi, Ni, 1994, str. 115. 26 Radomir S. Stankovi, Milena Stankovi: Logiko projektovanje, IP Nauka, Beograd, 1991, str. 31. 27 Radomir S. Stankovi, Milena Stankovi: Logiko projektovanje, IP Nauka, Beograd, 1991, str. 31. 28 ivko J. Toi, Osnovi raunarske tehnike, uperak plavi, Ni, 1994, str. 117. Martin Jovanovi Uvod u raunarstvo, 2. deo Realizacije PFVerzija: 17.02.2005. Nedovrena, ali potpuno funkcionalna verzija. Nedovrena je u smislu to nisam sve pojasnio na svoj nain. - 39 - ulazni,jersvakilogikielementzasebeunosiodreenokanjenje,tetoihsignalvie mora proi na svom putu od ulaza do izlaza to e vie kasniti. U nastavku su dati primeri za jednostepenu, dvostepenu i trostepenu mreu. Jednostepena mrea: Dvostepena mrea: Trostepena mrea: Jednostepenamreajefaktikijedanlogikielement.Tomoebitiivielogikih elemenata u paraleli, od kojih svaki nezavisno radi svoj posao. To je trivijalna situacija. Valja napomenuti da se, pri odreivanju stepena kola, gledanajdui put koji signal moe da pree. Putevi ne moraju biti iste duine. Primer u nastavku pokazuje kolo koje ima i due i krae puteve (na jednom od puteva nalazi se komplementator, a na drugom ne), pri emu se gleda uvek najdui put, te i ovo kolo spada u trostepeno: 4.6.2. Osnovna podela prekidakih mrea Postoje dva osnovna tipa prekidakih mrea, koji se sutinski razlikuju. Sve o emu jedosadabiloreivaizaobatipa,meutimkadasepomeneprekidakamrea,u glavnomsemislinajedanodtadvatipa.Nazovimogazasadaprvitip.Zapoetak,uz izvesnu ogradu, recimo da je taj tipjednostavniji, i modana nekinainprirodniji. U taj tip spadaju mree sastavljene od logikih elemenata, meusobno povezanih, koje realizuju jednuilivieprekidakihfunkcija,itojeto.Kadasenaulazdovedenekakombinacija signala,naizlazusedobijanekarezultujuakombinacijaizlaznihsignala.Svakiputkada dovedemonekukombinacijunaulaz,dobijamonjojodgovarajuukombinacijunaizlazu. Dakle kod tog "prvog tipa", postoji apsolutna jednoznanost: za svaki mogui ulaz tano se zna kakav izlaz se oekuje. Na prvi pogled deluje da drugaija situacija, kod ispravnog kola, nije mogua. Ta druga situacija, ipak, postoji, uz jednu malu modifikaciju. Uvedimojedannovilogikielement,takozvanimemorijskimodul(kolokoje "pamti", odnosno na izlazu zadrava neko stanje, sve dok mu se ne poalje kontrolni impuls kojim mu se naredi da promeni stanje na izlazu, i onda ono dalje dri to novo stanje itd). Dodajmotajelementu"arsenal"elemenatakojinamjenaraspolaganju(tj.napotpun skup). Uz pomo ovog proirenog arsenala moemo napraviti kolo koje se ponaa drugaije od onog "prvog", da kaemo "standardnog". To e biti taj "drugi" tip kola. Ovakva kola se ponaaju na sledei nain: ona imaju odreeni brojstanja u kojima mogu da se nalaze. Takvo kolo je uvek u nekom od tih stanja. Kolo se izvodi tako da im se ukljui ono ue u jedno od stanja (koje se naziva poetno stanje,naravno). Svaki put kada doe neki signal na ulaz kola, to kolo prelazi u neko drugo stanje, u zavisnosti od toga kako je zamiljeno. Neki signali ga mogu zadrati i u postojeem stanju, opet sve zavisi kako je toprojektantzamislio.Izlazkolanezavisisamoodulaza,veiodstanjaukomesekolo nalazi!Dakle,sadanemamojednoznanostodzivakola.Nemoemounapredznatikoji ulaznisignaleproizvesti(tj.izazvati)kojiizlazni,ukolikonismoupoznatisastanjemu kome je kolo u tom trenutku. Ovo drugaije moe da se kae: kod ovih kola izlaz ne zavisi sa