第十六届 中环杯...
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李昀城
第十六届“中环杯”中小学生思维能力训练活动
思维训练营 二年级
(王文君老师,李昀城老师出品)
王文君老师:小升初数学思维训练师,所教学生多次斩获各大杯赛奖项,小升初
成绩喜人。
李昀城老师:原 XES 小高奥数教练员,专注小学奥数 8 年之余,横扫小学三、
四、五年级的奥数教学工作,拥有丰富的教学经验和小升初指导经
验.欢迎关注微信公众平台------李昀城奥数交流平台。
例 1 <青少年科技报 9月 30日思维训练营-填数字>三个圆圈两两相交形成七块小
区域,分别填上1 2 3 4 5 6 7、、、、、、这七个自然数。在一些小区域中,自然数3 5 7、、三
个数已填好,请你把其余的数填到空着的小区域中,要求每个圆圈中四个数的和
都等于15。
【分析】 设15=1+2+5+7 15=1+3+4+7 15=1+3+5+6 15=2+3+4+6, , , 。其中1和3用的
次数最多。图中最中间的区域由三个圆重叠构成,所以1和3应该填入其中。但
题目3已填好,所以只能填1。1填好后其他的数字也就容易确定了。
同类型题目拓展:
拓 1
将 1-9 填入下列各图的 9 个○中,(其中 6 和 1 已经填好),使得每个三角形上的
数之和都相等。
李昀城
【分析】:每个三角形上的 3 个数之和都等于 15.
拓展 2
将 1—6 填入图中三角形的 3 条边的 6 个圈内,使每条边上的 3 个数○内数的和相
等,请给出一组答案
[分析]:
16 16
16
16
9
8
75
4
3
2
16
9
8
7
5
4
3
2 6 1
9
8
7
5
43
2 6 1
9
8
7 5
4
3
2
6 1
9
8
7 5
43
2
6 1
9
8
7 5
4
3
2
6 1
李昀城
设每条边的和是 K,则三条边的总和为 3K,而三个角上 a,b,c 多算了 1 次,即
1+2+3+4+5+6+a+b+c=3K,而 1+2+3+4+5+6=3 倍,所以 a+b+c=3 倍 ,以此举例:
a+b+c=6+1+2+3 K=(21+6)÷3=9. 然 后 进 行 试 填 。 其 他 的 依 次 类 推
a+b+c=9,a+b+c=12 然后进行尝试。
拓展 3
四个圆相互交叉重叠在一起,形成 13 个区域。如果在这些区域中分别填上从 1
开始的 13 个连续的自然数,然后把每个圆中的数分别相加,得到四个和,最后
使这个和最小,请问该怎么填,请给出一种填法!
【分析】:要使四个大圆圈内的数的和的总和最小,则重叠次数最多的地方数最
小,依次类推,则总和最小。A 重复了 4 次,填 1;B、C、D、E 各重复了 3 次,
分别填 2,3,4,5,;F、G、H、I 各重复了 2 次,分别填 6,7,8,9;J、K、L、M
各重复出现了 1 次,分别填 10,11,12,13;则四个圆圈中的总和最小是
1x4+(2+3+4+5)x3+(6+7+8+9)x2+(10+11+12+13)x1=最小
例 2 <青少年科技报 10 月 7 日思维训练营-趣题> 如下图所示,一只蚂蚁从一
个正方体的 A点沿着棱爬向 B 点,如不故意绕远,一共有几种不同的走法?
【分析】因考虑到不能故意绕远,那么从 A点到B 点最少要走3条棱。一共有6 种
方法,走法如下:
cb
a
6 5
4 32
1
6
5
4
3 2
1
6
5
4
3
2
1
ML
K J
I
H
G
F
ED
C BA
李昀城
同类型拓展题:
拓 4
在正五边形 ABCDE 上,一只青蛙从 A 点开始跳动,它每次可以随意的跳到相
邻两个顶点中的任意一个上,一旦跳到 D 点上就停止跳动。青蛙在 5 次之内(含
5 次)跳到 D 点有( )种不同的跳法?
【分析】:本题是简单分类枚举,可以结合树状图进行。2 步:AED,3 步:ABCD,
4 步:AEAED,ABAED, 5 步:ABCBCD、ABABCD、AEABCD,共 7 种不同
的跳法。
拓 5
一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点,在每种走法中,每条线段都不能重复经
过。问这只甲虫最多有几种不同的走法?
【分析】:A C 有 3 种,C B 有 3 种,所有从 A 共有 3x3=9 种
例 3 <青少年科技报 10 月 14 日思维训练营-趣题> 两只小熊有一个瓶子,里面
装有8千克的蜂蜜。现在要将这些蜂蜜分成两瓶,每瓶 4千克,但是没有秤和其
他可以称量的工具,只有一个能装5千克蜂蜜的中等瓶子和一个能装1千克蜂蜜
的小瓶子。你能帮小熊利用这三个瓶子将蜂蜜分开吗?
【分析】先将5千克瓶子倒满, 再从5千克瓶中倒出1千克蜂蜜,将1千克瓶子
E
DC
B
A
D
DC
A
EB
DC
A
A
D
DC
B
D
E
B
A
C
D
543
2
1
A
E
B
A
A
C
B
A
李昀城
装满,最后将
1千克瓶子中的蜂蜜倒回8千克瓶子中即可。
拓展 6
稀释一种农药需要 2 千克清水,现有两只玻璃杯,一个盛满清水恰好是 13 千克,
另一个盛满水是 8 千克。现有压水机由井中汲取清水,请你只用这两个玻璃杯设
法取出 2 千克清水来,简要说明你的操作程序?(这个可是李老师的武功秘籍哦,
一定要掌握哦)
【分析】:这可是李老师的武功秘籍哦,一般人我不告诉他哦。嘻嘻嘻
(1)、被减数的桶空了就装满。(2)、减数的桶满了就倒掉。(3)、每次尽可能的
往减数桶里倒。 13x2-8x3=2 {2 表示装满 2 次,减数中的 3 表示倒
空 3 次}
13 0
5 8
0
13
10 8
② 0
被减数的中 2 表示装满 2 次,减数中的 3 表示倒空 3 次
例 4 <青少年科技报 10 月 21 日思维训练营-巧填数阵图>数阵图是将一些
数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图,
可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子入手吧!
1 把1 5这五个数分别填入图1的方格中,使得横行三数之和与竖行三数之和都
等于9。
2 把1 5这五个数分别填入图3的小圈中,使得两条直线上的三数之和为10。
【分析]】1 这道题看上去很简单,有的同学稍微一试就可以得出答案,现在
就让我们一起来分析其中的道理。首先,我们来看中间方格中的数,我们把它称
为“重叠数”,解题的着手点就从这个“重叠数”开始。假如我们将横行的三个数与
竖行的三个数相加,那么“重叠数”就被加了两次,即“重叠”一次。而横行和竖行
三数之和分别为 9 ,两者相加得到 18 。于是我们可以得到以下等式:
李昀城
1+2+3+4+5+ =9+9=18“重叠数” 。得到“重叠数”为3。可根据和为9的要求,将剩
余 4个数两两配对,即 2和 4,1 5和 (如图 2)
2 首先我们看到,这个数阵同样拥有一个“重叠数”,所以我们应该先确定“重叠
数”。
“ ”=10+10=21+2+3+4+5+ 0重叠数 ,得到“重叠数”为5。填数方法:
拓展 7、将 1—7 分别填入下图的 7 个○内,使每条线上三个数的和都相等。
【分析】:开放型的数阵图有个小秘密哦,将所给的数按序排列,一般的,
中心数 A 取头取尾取中间,其余的首位配对。A 可以取 1,4,7,当中的任何一个。
例 5 <青少年科技报 10 月 28 日思维训练营-填图形> 下图中的正方体对应下列
哪个展开图?
A
7
4
3 5
2
6
1
7
4
3
5
2
6
1
7
4
3
5
2
6
1
李昀城
【答案】
拓 8
正方体的平面展开图有哪 11 种情形?
拓 9
下列图形中不可以拼成正方体的图形是( )
【分析】:C 不可以,记住凡是“田”,“一”字,有两个在同侧的都不行。
拓 10
边长为 1 厘米的正方体,如图这样层层重叠放置,那么当重叠到 5 层时,共有个正方
体?
【三三型】共一种
【二二二型】共1种
【二三一型】共3种
[一四一型共6种]
(D)(C)(B)(A)
李昀城
【分析】:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 个
拓 11
如图,将硬纸片沿虚线折起来,便可做成一个正方体,这个正方体的 2 号面的对
面是( )号面
[分析]:相对的两个面不能有公共顶点,2 与 1,3,4,5 都有公共的顶点,所以 2 的
对面是 6。
建议大家中环杯考试的时候提前自己准备点小的正方体 ,或者正方体的橡皮擦,
想不出来就用笔在橡皮擦上面标,然后进行旋转操作。
例 6<青少年科技报 11 月 4 日思维训练营-逻辑问题> 十个人站成一列纵队,从
十顶黄帽子和九顶蓝帽子中,取出十顶分别给每个人戴上。站在最后的第十个人
说:“我虽然看见了你们每个人头上的帽子,但仍然不知道自己头上的帽子的颜
色。你们呢?”第九个人说:“我也不知道。”第八个人说:“我也不知道。”第七
个、第六个……直到第二个人,依次都说不知道自己头上帽子的颜色。
出乎意料的是,第一个人却说:“我知道自己头上帽子的颜色了。”他为什么知道
呢?
【分析】: 第十个人说不知道自己头上的帽子的颜色,这说明前面的九个人中有
人戴黄帽子,否则,他马上可以知道自己头上戴的是黄帽子了。第九个人知道了
九个人中有人戴黄帽子, 但不能断定自己帽子的颜色,这说明他看到前面的八
个人中有人戴黄帽子。依次类推,每个人都不知道自己所戴帽子的颜色,说明每
个人前面都有人戴黄帽子。所以,第一个人断定自己戴的是黄帽子。
拓 12 逻辑推理
甲、乙、丙、丁四人,已知乙不是最高,但比甲、丁高,而甲又比丁高,请按从
高到低分别说出是谁?
【分析】:一共有四个人,乙不是最高的,但他比甲、丁高,所以乙的身高在四
人中数第二,丙是第一;丙是第二;甲、丁的身高处于后两位,甲不比丁高即丁
高,甲矮。所以他们的高矮顺序是:丙 乙 丁 甲
拓展 13
有 A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌边打扑克,已知 C、E 相隔一人,E
坐在 C 的右边,(如图),D 坐在 A 的对面,B 和 F 相隔一人坐在 E 的右边,E
与 A、F 均不相邻,试问 A、B、D、F 各坐在哪一个位置上?
李昀城
拓展 14
豆豆、方方、圆圆、丁丁参加跳高比赛,兰兰是这样推测他们的名次的?“豆豆
是第二名,方方是第一名,圆圆是第四名,丁丁不是第三名”比赛结果,只有一
个人的名次推测错了,那么谁是第四名?
【分析】:圆圆第四名,如果豆、方、圆的话都对,这丁丁应该是第三名,但结
果说只有一个人猜错,则与丁不是第三名矛盾,满足题意,故第四名是圆。
拓展 15
过新年时,哥哥送给妹妹一盒彩笔,哥哥告诉妹妹:“盒子里除去 5 支以外,都
是绿色的;除去 5 支以外,都是红色的;除去 5 支以外,都是黄色的;除去 5
支以外,都是蓝色的;除去 5 支以外,都是棕色的;除去 5 支以外,都是黑色的。”
请问:盒子里放有几支彩笔?
【分析】6 支。比如 ABCDE+绿色=至少 6 支,又 ABCD+绿+红=至少 6 只,又
ABC+绿+红+黄=至少 6 支,又 AB+绿+红+黄+蓝=至少 6 支,又 A+绿+红+黄+
蓝+棕+黑=至少 6 支,而 6 种颜色已经各出现一次,所以至多只能 6 支,故只能
是 6 支。
例 7 <青少年科技报 11 月 11 日思维训练营-速算与巧算>
E
C
四三 二 一
丁丁
圆圆
方方
豆豆
李昀城
9 9 + 9 8 + 9 7 + 9 6 + 9 5
1 =100-1+100-2+100-3+100-4+100-5
=500-1-2-3-4-5
=485
原式
23+20+19+22+18+21
2 =20+3+20+20-1+20+2+20-2+20+1
=120+3-1+2-2+1
=123
原式
拓展 15
巧算 29+299+2999+29999
【分析】:原式=30-1+300-1+3000-1+30000-1
=(30+300+3000+30000)-4
=33330-4
=33326
拓展 16
巧算 61+60+55+63+62+57+61+59
【分析】=60x8+(1+3+2+1)-(5+3+1)
=480+7-9
=478
例 8 <青少年科技报 11 月 18 日思维训练营-数量关系>
1 豆腐店有8袋黄豆,每袋50千克。如果 2千克黄豆可做 4千克豆腐,那么这些
黄豆可以做多少千克豆腐?
【分析】(50x8÷2)x4=800
2 有52人参加了晚上的唱歌和跳舞表演,其中有36人参加了跳舞表演。有 40人
参加了唱歌表演。有多少人同时参加了这两项表演?
【分析】:40-(52-36)=24 或者 36-(52-40)=24
拓展 17
已知 3 头牛和 8 只羊一天共吃青草 93 千克,5 头牛和 10 只羊一天共吃青草 165
千克,问 1 头牛和 1 只羊一天共吃青草多少千克?
【分析】:3 牛+8 羊=93① 5 牛+10 羊=165②
(②-①)÷2=(2 牛+2 羊)÷2=(165-93)÷2=36 千克
拓展 18
二年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组,参加科技组的有 36 人,参加美
术组的有 28 人,两个小组都参加的有 8 人,三年级一共有多少人参加课外兴趣
李昀城
小组的 ?
【分析】:36+28-8=56 人
拓展 19
二年级同学有 56 人参加科技和美术课外兴趣小组,其中参加科技组的有 36 人,
参加美术组的有 28 人,两个小组都参加的有多少人?
【分析】36+28-56=8 人
科技美术
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