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V E R S I O N 6 . 5

User GuideC# Numerical Library

IMSL C# Numerical Library V.6.5 User's Guide

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IMPORTANT NOTICE

.

Contents

1 Linear Systems 1

Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

ComplexMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

SparseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

SparseMatrix.SparseArray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ComplexSparseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ComplexSparseMatrix.SparseArray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ComplexLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

SuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

SuperLU.ColumnOrdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

SuperLU.PerformanceParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

SuperLU.Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ComplexSuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ComplexSuperLU.ColumnOrdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ComplexSuperLU.PerformanceParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ComplexSuperLU.Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

SparseCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

SparseCholesky.NumericFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

SparseCholesky.NumericFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

SparseCholesky.SymbolicFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Contents Contents i

ComplexSparseCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

ComplexSparseCholesky.NumericFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

ComplexSparseCholesky.NumericFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ComplexSparseCholesky.SymbolicFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

GenMinRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

GenMinRes.ImplementationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

GenMinRes.ResidualMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

GenMinRes.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

GenMinRes.IPreconditioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

GenMinRes.IVectorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

GenMinRes.INorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

ConjugateGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ConjugateGradient.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

ConjugateGradient.IPreconditioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2 Eigensystem Analysis 131

Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

SymEigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3 Interpolation and Approximation 141

Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

CsAkima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

CsTCB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

CsInterpolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

CsInterpolate.Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

CsPeriodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

CsShape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

CsSmooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

CsSmoothC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

CsTCB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

ii Contents IMSL C# Numerical Library

BSpline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

BsInterpolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

BsLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Spline2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Spline2DInterpolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Spline2DLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

RadialBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

RadialBasis.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

RadialBasis.Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

RadialBasis.HardyMultiquadric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4 Quadrature 211

Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Quadrature.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

HyperRectangleQuadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

HyperRectangleQuadrature.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5 Differential Equations 225

ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

ODE.ExamineStepOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

ODE.ErrorNormOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

OdeRungeKutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

OdeRungeKutta.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

OdeAdamsGear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

OdeAdamsGear.IntegrationType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

OdeAdamsGear.SolveOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

OdeAdamsGear.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

OdeAdamsGear.IJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

FeynmanKac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

FeynmanKac.PDEStepControlMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

FeynmanKac.IPdeCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

FeynmanKac.IBoundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

Contents Contents iii

FeynmanKac.IInitialData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

FeynmanKac.IForcingTerm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6 Transforms 305

FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

ComplexFFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

7 Nonlinear Equations 315

ZeroPolynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

ZerosFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

ZerosFunction.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

ZeroSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

ZeroSystem.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

ZeroSystem.IJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

8 Optimization 335

MinUncon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

MinUncon.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

MinUncon.IDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

MinUnconMultiVar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

MinUnconMultiVar.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

MinUnconMultiVar.IGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

NonlinLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

NonlinLeastSquares.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

NonlinLeastSquares.IJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

DenseLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

MPSReader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

MPSReader.Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

MPSReader.Row . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

QuadraticProgramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

MinConGenLin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

MinConGenLin.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

iv Contents IMSL C# Numerical Library

MinConGenLin.IGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

BoundedLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

BoundedLeastSquares.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

BoundedLeastSquares.IJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

BoundedVariableLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

NonNegativeLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

MinConNLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

MinConNLP.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

MinConNLP.IGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

NumericalDerivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

NumericalDerivatives.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

NumericalDerivatives.IJacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

NumericalDerivatives.DifferencingMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

9 Special Functions 453

Sfun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

10 Miscellaneous 475

Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

EpsilonAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

11 Printing Functions 517

PrintMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

PrintMatrixFormat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

PrintMatrixFormat.ParsePosition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

PrintMatrix.MatrixType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

PrintMatrixFormat.FormatType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

PrintMatrixFormat.ColumnLabelType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

PrintMatrixFormat.RowLabelType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

12 Basic Statistics 533

Contents Contents v

Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

Covariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Covariances.MatrixType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

PartialCovariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

NormOneSample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

NormTwoSample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Sort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

Ranks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

Ranks.Tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

EmpiricalQuantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

TableOneWay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

TableTwoWay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

TableMultiWay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

TableMultiWay.TableBalanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

TableMultiWay.TableUnbalanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

13 Regression 617

RegressorsForGLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

RegressorsForGLM.DummyType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

LinearRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

LinearRegression.CaseStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

LinearRegression.CoefficientTTestsValue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

NonlinearRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

NonlinearRegression.IDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

NonlinearRegression.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663

SelectionRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

SelectionRegression.Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

SelectionRegression.SummaryStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

StepwiseRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

StepwiseRegression.CoefficientTTestsValue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

StepwiseRegression.Direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

UserBasisRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689

vi Contents IMSL C# Numerical Library

IRegressionBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

14 Analysis of Variance 695

ANCOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

ANOVA.ComputeOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

ANOVAFactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

ANOVAFactorial.ErrorCalculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

MultipleComparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

15 Categorical and Discrete Data Analysis 733

ContingencyTable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

CategoricalGenLinModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747

CategoricalGenLinModel.DistributionParameterModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

16 Nonparametric Statistics 773

SignTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

WilcoxonRankSum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

17 Tests of Goodness of Fit 783

ChiSquaredTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

NormalityTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

KolmogorovOneSample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

KolmogorovTwoSample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

18 Time Series and Forecasting 801

AutoCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

AutoCorrelation.StdErr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

CrossCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

CrossCorrelation.StdErr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

MultiCrossCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

LackOfFit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

ARAutoUnivariate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

Contents Contents vii

ARAutoUnivariate.ParamEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

ARSeasonalFit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

ARSeasonalFit.CenterMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

ARMA.ParamEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

ARMAEstimateMissing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896

ARMAEstimateMissing.MissingValueEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

ARMAMaxLikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

ARMAOutlierIdentification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

AutoARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940

AutoARIMA.InformationCriterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964

Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965

GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 970

KalmanFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976

19 Multivariate Analysis 991

ClusterKMeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

Dissimilarities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002

Dissimilarities.Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007

Dissimilarities.Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

ClusterHierarchical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

ClusterHierarchical.Linkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018

ClusterHierarchical.Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019

FactorAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020

FactorAnalysis.MatrixType . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

FactorAnalysis.Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037

DiscriminantAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038

DiscriminantAnalysis.Discrimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

DiscriminantAnalysis.CovarianceMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

DiscriminantAnalysis.Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

DiscriminantAnalysis.PriorProbabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062

viii Contents IMSL C# Numerical Library

20 Survival and Reliability Analysis 1063

KaplanMeierECDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

KaplanMeierEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

ProportionalHazards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

ProportionalHazards.TieHandling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

LifeTables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

21 Probability Distribution Functions and Inverses 1099

Cdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

InvCdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137

Pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149

ICdfFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165

InverseCdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165

IDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167

IProbabilityDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168

NormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1170

GammaDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172

LogNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175

PoissonDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

22 Random Number Generation 1181

Random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182

Random.BaseGenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206

MersenneTwister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207

MersenneTwister64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211

FaureSequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216

IRandomSequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221

23 Finance 1223

Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224

Finance.Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254

Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254

Contents Contents ix

Bond.Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288

DayCountBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289

IBasisPart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291

24 Chart2D 1293

AbstractChartNode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294

ChartNode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310

Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332

Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338

ChartTitle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339

Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340

Legend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341

Annotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342

Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346

AxisXY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348

Axis1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353

AxisLabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358

AxisLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359

AxisTitle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360

AxisUnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360

MajorTick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361

MinorTick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362

Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362

TransformDate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363

AxisR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365

AxisRLabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367

AxisRLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368

AxisRMajorTick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369

AxisTheta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1370

GridPolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372

Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372

ChartFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383

x Contents IMSL C# Numerical Library

ChartSpline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384

Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385

ToolTip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388

FillPaint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1390

Draw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393

FrameChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401

PanelChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403

DrawPick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405

PickEventArgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

PickEventHandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413

WebChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413

DrawMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414

BoxPlot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420

BoxPlot.Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428

Contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431

Contour.Legend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444

ContourLevel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445

ErrorBar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446

HighLowClose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451

Candlestick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458

CandlestickItem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1460

SplineData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461

Bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464

BarItem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473

BarSet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477

Pie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479

PieSlice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483

Dendrogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484

Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495

Heatmap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497

Heatmap.Legend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509

Contents Contents xi

Treemap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510

Colormap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517

Colormap Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518

25 Quality Control and Improvement Charts 1521

ShewhartControlChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521

ControlLimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527

XbarR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529

RChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536

XbarS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539

SChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546

XmR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1550

NpChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553

PChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556

CChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1560

UChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563

EWMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566

CuSum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569

CuSumStatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572

ParetoChart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578

26 Data Mining 1585

NaiveBayesClassifier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587

27 Neural Nets 1613

FeedForwardNetwork . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639

Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654

InputLayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655

HiddenLayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656

OutputLayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657

Node . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659

InputNode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1660

xii Contents IMSL C# Numerical Library

Perceptron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661

OutputPerceptron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662

IActivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663

Activation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664

Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665

ITrainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666

QuasiNewtonTrainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668

QuasiNewtonTrainer.IError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674

LeastSquaresTrainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675

EpochTrainer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1680

BinaryClassification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683

MultiClassification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727

ScaleFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1742

ScaleFilter.ScalingMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751

UnsupervisedNominalFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752

UnsupervisedOrdinalFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756

UnsupervisedOrdinalFilter.TransformMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761

TimeSeriesFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762

TimeSeriesClassFilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764

Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786

28 Error Handling 1795

Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795

WarningObject . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797

IMSLException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798

Logger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799

29 Exceptions 1803

IMSLUnexpectedErrorException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806

AllConstraintsNotSatisfiedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806

BadInitialGuessException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807

BoundaryInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808

Contents Contents xiii

BoundsInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810

ConstraintEvaluationException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811

ConstraintsInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812

ConstraintsNotSatisfiedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814

CorrectorConvergenceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815

CyclingOccurringException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816

DidNotConvergeException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817

EqualityConstraintsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819

ErrorTestException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1820

FalseConvergenceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822

IllConditionedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823

InconsistentSystemException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824

InitialConstraintsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825

InvalidMPSFileException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827

IterationMatrixSingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828

LimitingAccuracyException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829

LinearlyDependentGradientsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1830

MaxIterationsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1831

MaxNumberStepsAllowedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833

MaxFcnEvalsExceededException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834

MultipleSolutionsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835

NoAcceptablePivotException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836

NoAcceptableStepsizeException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837

NoConvergenceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839

NoLPSolutionException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1840

NoProgressException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841

NotDefiniteAMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842

NotDefiniteJacobiPreconditionerException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843

NotDefinitePreconditionMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845

NotSPDException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846

NumericDifficultyException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847

xiv Contents IMSL C# Numerical Library

ObjectiveEvaluationException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848

PenaltyFunctionPointInfeasibleException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849

ProblemInfeasibleException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1850

ProblemUnboundedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1851

ProblemVacuousException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852

QPInfeasibleException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854

QPProblemUnboundedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855

SingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856

SingularMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857

SingularPreconditionMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858

SolutionNotFoundException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859

SomeConstraintsDiscardedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1860

TcurrentTstopInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862

TEqualsToutException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863

TerminationCriteriaNotSatisfiedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865

TimeIntervalTooSmallException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866

ToleranceTooSmallException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868

TooManyIterationsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869

TooManyStepsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871

TooMuchTimeException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1872

UnboundedBelowException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873

VarBoundsInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875

WorkingSetSingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876

AllDeletedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877

AllMissingException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878

AltSeriesAccuracyLossException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879

BadVarianceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1880

ClassificationVariableException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882

ClassificationVariableLimitException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883

ClassificationVariableValueException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884

ClusterNoPointsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886

Contents Contents xv

ConstrInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887

CovarianceSingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888

CovarianceSingular1Exception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889

CovarianceSingular2Exception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890

CyclingIsOccurringException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890

DeleteObservationsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892

DidNotConvergeException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893

DiffObsDeletedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894

EigenvalueException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896

EmptyGroupException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897

EqConstrInconsistentException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898

IllConditionedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899

IncreaseErrRelException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1900

InitialMAException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902

InvalidMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903

InvalidPartialCorrelationException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903

MatrixSingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904

MoreObsDelThanEnteredException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905

NegativeFreqException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1906

NegativeWeightException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908

NewInitialGuessException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909

NoAcceptableModelFoundException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910

NoConvergenceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911

NoDegreesOfFreedomException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913

NoProgressException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914

NoVariationInputException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915

NoVectorXException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916

NonInvertibleException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917

NonPosVarianceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918

NonPosVarianceXYException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920

NonPositiveEigenvalueException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1921

xvi Contents IMSL C# Numerical Library

NonStationaryException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922

NoPositiveVarianceException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1923

NotCDFException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925

NotPositiveDefiniteException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927

NotPositiveSemiDefiniteException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928

NotSemiDefiniteException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929

NoVariablesEnteredException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1930

NoVariablesException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1931

NoVariationInputException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932

NoVectorXException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1934

PooledCovarianceSingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935

RankException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936

RankDeficientException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1937

ScaleFactorZeroException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938

SingularException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1940

SingularTriangularMatrixException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1941

SumOfWeightsNegException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942

TooManyCallsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944

TooManyFunctionEvaluationsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945

TooManyIterationsException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946

TooManyIterationsReTryException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948

TooManyJacobianEvalException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949

TooManyObsDeletedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950

VarsDeterminedException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951

ZeroNormException . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952

30 References 1955

Index i

Contents Contents xvii

Chapter 1: Linear Systems

Types

class Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6class ComplexMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11class SparseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16class SparseMatrix.SparseArray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27class ComplexSparseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28class ComplexSparseMatrix.SparseArray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37class LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39class ComplexLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44class SuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49enumeration SuperLU.ColumnOrdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60enumeration SuperLU.PerformanceParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61enumeration SuperLU.Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62class ComplexSuperLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63enumeration ComplexSuperLU.ColumnOrdering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74enumeration ComplexSuperLU.PerformanceParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75enumeration ComplexSuperLU.Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76class Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77class SparseCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81enumeration SparseCholesky.NumericFactorization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87class SparseCholesky.NumericFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88class SparseCholesky.SymbolicFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88class ComplexSparseCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88enumeration ComplexSparseCholesky.NumericFactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94class ComplexSparseCholesky.NumericFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95class ComplexSparseCholesky.SymbolicFactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95class QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95class SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99class GenMinRes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104enumeration GenMinRes.ImplementationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118enumeration GenMinRes.ResidualMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119interface GenMinRes.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1

interface GenMinRes.IPreconditioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120interface GenMinRes.IVectorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120interface GenMinRes.INorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121class ConjugateGradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122interface ConjugateGradient.IFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129interface ConjugateGradient.IPreconditioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Usage NotesSolving Systems of Linear EquationsA square system of linear equations has the form Ax = b, where A is a user-specifiedn x n matrix, b is a given right-hand side n vector, and x is the solution n vector. Each entry of A and bmust be specified by the user. The entire vector x is returned as output.

When A is invertible, a unique solution to Ax = b exists. The most commonly used direct method forsolving Ax = b factors the matrix A into a product of triangular matrices and solves the resultingtriangular systems of linear equations. Functions that use direct methods for solving systems of linearequations all compute the solution to Ax = b.

Matrix FactorizationsIn some applications, it is desirable to just factor the n x n matrix A into a product of two triangularmatrices. This can be done by a constructor of a class for solving the system of linear equations Ax = b.The constructor of class LU computes the LU factorization of A.

Besides the basic matrix factorizations, such as LU and LLT , additional matrix factorizations also areprovided. For a real matrix A, its QR factorization can be computed using the class QR. The class forcomputing the singular value decomposition (SVD) of a matrix is discussed in a later section.

Matrix InversionsThe inverse of an n x n nonsingular matrix can be obtained by using the method Inverse in the classesfor solving systems of linear equations. The inverse of a matrix need not be computed if the purpose is tosolve one or more systems of linear equations. Even with multiple right-hand sides, solving a system oflinear equations by computing the inverse and performing matrix multiplication is usually moreexpensive than the method discussed in the next section.

Multiple Right-Hand SidesConsider the case where a system of linear equations has more than one right-hand side vector. It is mosteconomical to find the solution vectors by first factoring the coefficient matrix A into products oftriangular matrices. Then, the resulting triangular systems of linear equations are solved for eachright-hand side. When A is a real general matrix, access to the LU factorization of A is computed by aconstructor of LU. The solution xk for the k-th right-hand side vector, bk is then found by two triangularsolves, Lyk = bk and Uxk = yk. The method Solve in class LU is used to solve each right-hand side.These arguments are found in other functions for solving systems of linear equations.

2 IMSL C# Numerical Library

Least-Squares Solutions and QR FactorizationsLeast-squares solutions are usually computed for an over-determined system of linear equationsAmxnx = b, where m > n. A least-squares solution x minimizes the Euclidean length of the residualvector r = Axb. The class QR computes a unique least-squares solution for x when A has full columnrank. If A is rank-deficient, then the base solution for some variables is computed. These variablesconsist of the resulting columns after the interchanges. The QR decomposition, with columninterchanges or pivoting, is computed such that AP = QR. Here, Q is orthogonal, R is upper-trapezoidalwith its diagonal elements nonincreasing in magnitude, and P is the permutation matrix determined bythe pivoting. The base solution xB is obtained by solving R(PT )x = QT b for the base variables. Fordetails, see class QR. The QR factorization of a matrix A such that AP = QR with P specified by the usercan be computed using keywords.

Singular Value Decompositions and Generalized InversesThe SVD of an m x n matrix A is a matrix decomposition A = USVT . With q = min(m,n), the factorsUmxq and Vnxq are orthogonal matrices, and Sqxq is a nonnegative diagonal matrix with nonincreasingdiagonal terms. The class SVD computes the singular values of A by default. Part or all of the U and Vmatrices, an estimate of the rank of A, and the generalized inverse of A, also can be obtained.

Ill-Conditioning and SingularityAn m x n matrix A, is mathematically singular if there is an x 6= 0 such that Ax = 0. In this case, thesystem of linear equations Ax = b does not have a unique solution. On the other hand, a matrix A isnumerically singular if it is close to a mathematically singular matrix. Such problems are calledill-conditioned. If the numerical results with an ill-conditioned problem are unacceptable, users canobtain an approximate solution to the system using the SVD of A: If q = min(m,n) and

A = qi=1si,iuivTi

then the approximate solution is given by the following:

xk = ki=1ti,i(bT ui

)vi

The scalars ti,i are defined below.

ti,i ={

s1i,i if si,i tol > 00 otherwise

The user specifies the value of tol. This value determines how close the given matrix is to a singularmatrix. Further restrictions may apply to the number of terms in the sum, k q. For example, there maybe a value of k q such that the scalars

bT ui , i > k are smaller than the average uncertainty in theright-hand side b. This means that these scalars can be replaced by zero; and hence, b is replaced by avector that is within the stated uncertainty of the problem.

Sparse Matrix Storage ModesAll classes that work with sparse matrices (e.g. classes SparseCholesky, SuperLU,ComplexSparseCholesky and ComplexSuperLU) require a matrix input format that only storesinformation about the nonzero entries of these matrices. IMSL C# Numerical Library supports two suchformats: The sparse coordinate storage (SCS) format and the Sparse Array format. The SCS formatstores the value of each matrix entry together with that entrys row and column index. The Sparse Array

Linear Systems 3

format stores the sparse matrix in two arrays of arrays. One array contains the references to the nonzerovalue arrays for each row of the matrix, the other contains the references to the associated column indexarrays. As an example, consider the following sparse 66 matrix:

A =

10 0 0 0 0 00 10 3 1 0 00 0 15 0 0 02 0 0 10 1 01 0 0 5 1 31 2 0 0 0 6

This matrix has 15 nonzero elements, and the sparse coordinate representation would be

row 0 1 1 1 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5col 0 1 2 3 2 0 3 4 0 3 4 5 0 1 5val 10 10 -3 -1 15 -2 10 -1 -1 -5 1 -3 -1 -2 6

Since this representation does not rely on the order of the matrix elements, an equivalent form would be

row 5 4 3 0 5 1 2 1 4 3 1 4 3 5 4col 0 0 0 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5val -1 -1 -2 10 -2 10 15 -3 -5 10 -1 1 -1 6 -3

In Sparse Array format, matrix A can be represented by the following two arrays, index and values:

index:row 0: 0row 1: 1, 2, 3row 2: 2row 3: 0, 3, 4row 4: 0, 3, 4, 5row 5: 0, 1, 5

values:row 0: 10row 1: 10, -3, -1row 2: 15row 3: -2, 10, -1row 4: -1, -5, 1, -3row 5: -1, -2, 6

In contrast to the SCS format, the row order is fixed here, but the entries within each row do not rely onany order.

In IMSL C# Numerical Library, sparse matrices are instances of classesSparseMatrix/ComplexSparseMatrix. Use of the SCS and Sparse Array input format is reflected bydifferent constructors. The following code fragment shows how a user can construct a SparseMatrixfor the matrix A above in SCS format:

// Generate an empty 6 by 6 SparseMatrix objectint nRows = nColumns = 6;

4 IMSL C# Numerical Library

SparseMatrix a = new SparseMatrix(nRows, nColumns);// Fill object a with the entries of matrix A,// A given in SCS formata.Set(0, 0, 10.0); a.Set(1, 1, 10.0); a.Set(1, 2, -3.0);a.Set(1, 3, -1.0); a.Set(2, 2, 15.0); a.Set(3, 0, -2.0);a.Set(3, 3, 10.0); a.Set(3, 4, -1.0); a.Set(4, 0, -1.0);a.Set(4, 3, -5.0); a.Set(4, 4, 1.0); a.Set(4, 5, -3.0);a.Set(5, 0, -1.0); a.Set(5, 1, -2.0); a.Set(5, 5, 6.0);

Similarly, the following code fragment shows how to construct a SparseMatrix in Sparse Array format:

// Generate matrix A in Sparse Array formatint nRows = nColumns = 6;int[][] aIndex = { {0},

{1, 2, 3},{2},{0, 3, 4},{0, 3, 4, 5},{0, 1, 5}};

int[][] aValues = { {10.0},{10.0, -3.0, -1.0},{15.0},{-2.0, 10.0, -1.0},{-1.0, -5.0, 1.0, -3.0},{-1.0, -2.0, 6.0}};

// Create SparseMatrix object based on A in Sparse Array formatSparseMatrix a = new SparseMatrix(nRows, nColumns, aIndex, aValues);

All IMSL C# Numerical Library algorithms working on sparse matrices use SparseMatrix orComplexSparseMatrix as an input argument type. A square nn matrix is called symmetric ifAT = A, where AT denotes the tranpose of A. It is called Hermitian if AH = A. Here, AH AT denotesthe conjugate transpose of A. For these types of matrices, all matrix information is stored in the lowertriangular part of the matrix. Therefore, for all IMSL C# Numerical Library sparse matrix classesworking on symmetric or Hermitian matrices it is sufficient to store only the lower triangle of the matrixin the SparseMatrix or ComplexSparseMatrix input object.

The complex 44 matrix

H =

4 1 i 0 0

1+ i 4 1 i 00 1+ i 4 1 i0 0 1+ i 4

is Hermitian positive definite. Typically, matrices of this type areinput to methods of class ComplexSparseCholesky.

The following code fragment shows how the lower triangular part of H can be constructed as aComplexSparseMatrix type in SCS input format:

// Generate an empty 4 by 4 ComplexSparseMatrix objectint nRows = nColumns = 4;ComplexSparseMatrix h = new ComplexSparseMatrix(nRows, nColumns);// Store lower triangular part of H in object h

Linear Systems 5

h.Set(0, 0, new Complex(4.0,0.0));h.Set(1, 0, new Complex(1.0, 1.0)); h.Set(1, 1, new Complex(4.0,0.0));h.Set(2, 1, new Complex(1.0,1.0)); h.Set(2, 2, new Complex(4.0, 0.0));h.Set(3, 2, new Complex(1.0, 1.0)); h.Set(3, 3, new Complex(4.0, 0.0));

Matrix Class

public class Imsl.Math.Matrix

Matrix manipulation functions.

Methods

Addstatic public double[,] Add(double[,] a, double[,] b)

Description

Add two rectangular matrixs, a + b.

Parameters

a A double rectangular matrix.

b A double rectangular matrix.

Returns

A double rectangular matrix representing the matrix sum of the two arguments.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrices are not the same size

CheckSquareMatrixstatic public void CheckSquareMatrix(double[,] a)

Description

Check that the matrix is square.

Parameter

a A double matrix.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrix is not square

FrobeniusNormstatic public double FrobeniusNorm(double[,] a)

6 Matrix IMSL C# Numerical Library

Description

Return the frobenius norm of a matrix.

Parameter


Returns

A double scalar value equal to the frobenius norm of the matrix.

InfinityNormstatic public double InfinityNorm(double[,] a)

Description

Return the infinity norm of a matrix.

Parameter


Returns

A double scalar value equal to the maximum of the row sums of the absolute values of the matrixelements.

InverseLowerTriangularstatic public double[,] InverseLowerTriangular(double[,] a)

Description

Returns the inverse of the lower triangular matrix a.

Parameter

a A double square lower triangular matrix.

Returns

A double matrix containing the inverse of a.

InverseUpperTriangularstatic public double[,] InverseUpperTriangular(double[,] a)

Description

Returns the inverse of the upper triangular matrix a.

Parameter

a A double square upper triangular matrix.

Returns

A double matrix containing the inverse of a.

Multiplystatic public double[] Multiply(double[] x, double[,] a)

Linear Systems Matrix 7

Description

Return the product of the row matrix x and the rectangular matrix a.

Parameters

x A double row matrix.


Returns

A double vector representing the product of the arguments, x*a.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of elements in the input row matrix isnot equal to the number of rows of the matrix

Multiplystatic public double[] Multiply(double[] x, double[,] a, int processors)

Description

Return the product of the row matrix x and the rectangular matrix a.

Parameters

x A double row matrix.


processors An int which specifies the number of processors to use. If processors is lessthan 1, then processors = 1 is used.

Returns

A double vector representing the product of the arguments, x*a.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of elements in the input row matrix isnot equal to the number of rows of the matrix

Multiplystatic public double[] Multiply(double[,] a, double[] x)

Description

Multiply the rectangular matrix a and the column matrix x.

Parameters


x A double column matrix.

Returns

A double vector representing the product of the arguments, a * x.


Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns in the input matrix is notequal to the number of elements in the input column vector

Multiplystatic public double[,] Multiply(double[,] a, double[,] b, int processors)

Description

Multiply two rectangular arrays, a * b, using multiple processors.

Parameters

a A double rectangular array.

b A double rectangular array.


Returns

The double matrix product of a times b

Multiplystatic public double[,] Multiply(double[,] a, double[,] b)

Description

Multiply two rectangular matrices, a * b.

Parameters



Returns

The double matrix product of a * b.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns in a is not equal to thenumber of rows in b

OneNormstatic public double OneNorm(double[,] a)

Description

Return the matrix one norm.

Parameter


Linear Systems Matrix 9

Returns

A double value equal to the maximum of the column sums of the absolute values of the matrix elements.

Subtractstatic public double[,] Subtract(double[,] a, double[,] b)

Description

Subtract two rectangular matrixs, a - b.

Parameters



Returns

A double rectangular matrix representing the matrix difference of the two arguments.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrices are not the same size

Transposestatic public double[,] Transpose(double[,] a)

Description

Return the transpose of a matrix.

Parameter

a A double matrix.

Returns

A double matrix which is the transpose of the argument.

Example: Matrix and PrintMatrixThe 1 norm of a matrix is found using a method from the Matrix class. The matrix is printed using thePrintMatrix class.

using System;using Imsl.Math;

public class MatrixEx1{

public static void Main(String[] args){

double nrm1;double[,] a = {

{0.0, 1.0, 2.0, 3.0},{4.0, 5.0, 6.0, 7.0},{8.0, 9.0, 8.0, 1.0},{6.0, 3.0, 4.0, 3.0}


};

// Get the 1 norm of matrix anrm1 = Matrix.OneNorm(a);

// Construct a PrintMatrix object with a titlePrintMatrix p = new PrintMatrix("A Simple Matrix");

// Print the matrix and its 1 normp.Print(a);Console.Out.WriteLine("The 1 norm of the matrix is " + nrm1);

}}

OutputA Simple Matrix

0 1 2 30 0 1 2 31 4 5 6 72 8 9 8 13 6 3 4 3

The 1 norm of the matrix is 20

ComplexMatrix Class

public class Imsl.Math.ComplexMatrix

Complex matrix manipulation functions.

Methods

Addstatic public Imsl.Math.Complex[,] Add(Imsl.Math.Complex[,] a,Imsl.Math.Complex[,] b)

Description

Add two rectangular Complex arrays, a + b.

Parameters

a A Complex rectangular array.

b A Complex rectangular array.

Linear Systems ComplexMatrix 11

Returns

The Complex matrix sum of the two arguments.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrices are not the same size.

CheckSquareMatrixstatic public void CheckSquareMatrix(Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Check that the Complex matrix is square.

Parameter

a A Complex matrix.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrix is not square.

FrobeniusNormstatic public double FrobeniusNorm(Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Return the frobenius norm of a Complex matrix.

Parameter

a A Complex rectangular matrix.

Returns

A double value equal to the frobenius norm of the matrix.

InfinityNormstatic public double InfinityNorm(Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Return the infinity norm of a Complex matrix.

Parameter


Returns

A double value equal to the maximum of the row sums of the absolute values of the array elements.

Multiplystatic public Imsl.Math.Complex[] Multiply(Imsl.Math.Complex[] x,Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Returns the product of the row vector x and the rectangular array a, both Complex.

12 ComplexMatrix IMSL C# Numerical Library

Parameters

x A Complex row vector.


Returns

A Complex vector containing the product of the arguments, x * a.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of elements in the input vector is notequal to the number of rows of the matrix.

Multiplystatic public Imsl.Math.Complex[] Multiply(Imsl.Math.Complex[] x,Imsl.Math.Complex[,] a, int processors)

Description

Returns the product of the row vector x and the rectangular array a, both Complex.

Parameters

x A Complex row vector.



Returns

A Complex vector containing the product of the arguments, x * a.

Exception


Multiplystatic public Imsl.Math.Complex[] Multiply(Imsl.Math.Complex[,] a,Imsl.Math.Complex[] x)

Description

Multiply the rectangular array a and the column vector x, both Complex.

Parameters


x A Complex vector.

Returns

A Complex vector containing the product of the arguments, a * x.


Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns in the input matrix is notequal to the number of elements in the input vector.

Multiplystatic public Imsl.Math.Complex[,] Multiply(Imsl.Math.Complex[,] a,Imsl.Math.Complex[,] b)

Description

Multiply two Complex rectangular arrays, a * b.

Parameters



Returns

The Complex matrix product of a times b.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns in a is not equal to thenumber of rows in b.

Multiplystatic public Imsl.Math.Complex[,] Multiply(Imsl.Math.Complex[,] a,Imsl.Math.Complex[,] b, int processors)

Description

Multiply two Complex rectangular arrays, a * b, using multiple processors.

Parameters




Returns

The Complex matrix product of a times b

OneNormstatic public double OneNorm(Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Return the Complex matrix one norm.

Parameter


14 ComplexMatrix IMSL C# Numerical Library

Returns

A double value equal to the maximum of the column sums of the absolute values of the array elements.

Subtractstatic public Imsl.Math.Complex[,] Subtract(Imsl.Math.Complex[,] a,Imsl.Math.Complex[,] b)

Description

Subtract two Complex rectangular arrays, a - b.

Parameters



Returns

The Complex matrix difference of the two arguments.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrices are not the same size.

Transposestatic public Imsl.Math.Complex[,] Transpose(Imsl.Math.Complex[,] a)

Description

Return the transpose of a Complex matrix.

Parameter

a A Complex matrix.

Returns

The Complex matrix transpose of the argument.

Example: Print a Complex MatrixA Complex matrix and its transpose is printed.

using System;using Imsl.Math;

public class ComplexMatrixEx1{

public static void Main(String[] args){

Complex[,] a = {{new Complex(1, 3), new Complex(3, 5), new Complex(7, 9)},{new Complex(8, 7), new Complex(9, 5), new Complex(1, 9)},{new Complex(2, 9), new Complex(6, 9), new Complex(7, 3)},{new Complex(5, 4), new Complex(8, 4), new Complex(5, 9)}

};


// Print the matrixnew PrintMatrix("Matrix A").Print(a);

// Print the transpose of the matrixnew PrintMatrix("Transpose(A)").Print(ComplexMatrix.Transpose(a));

}}

OutputMatrix A

0 1 20 1+3i 3+5i 7+9i1 8+7i 9+5i 1+9i2 2+9i 6+9i 7+3i3 5+4i 8+4i 5+9i

Transpose(A)0 1 2 3

0 1+3i 8+7i 2+9i 5+4i1 3+5i 9+5i 6+9i 8+4i2 7+9i 1+9i 7+3i 5+9i

SparseMatrix Class

public class Imsl.Math.SparseMatrix

A general real sparse matrix intended to be efficiently and easily updated.

A SparseMatrix can be constructed from a set of arrays, or it can be abstractly created as an emptyarray and then incrementally built into final form. It is usually easier to create an empty SparseMatrixof a set size and then use the Set method to set the elements of the array. When setting the elements ofthe sparse array, their positions should be thought of as their positions in the dense array. Elements canbe set in any order, but only the elements actually set are stored.

This class includes methods to update the sparse matrix. There are also methods to multiply a sparsematrix and a vector or to multiply two sparse matrices. To solve a sparse linear system useSparseCholesky or SuperLU.

See Also

Imsl.Math.SparseCholesky (p. 81), Imsl.Math.SuperLU (p. 49)

16 SparseMatrix IMSL C# Numerical Library

Properties

NumberOfColumnspublic int NumberOfColumns {get; }

Description

The number of columns in the matrix.

Property Value

An int containing the number of columns in the matrix.

NumberOfNonZerospublic long NumberOfNonZeros {get; }

Description

The number of nonzeros in the matrix.

Property Value

A long containing the number of nonzeros in the matrix.

NumberOfRowspublic int NumberOfRows {get; }

Description

The number of rows in the matrix.

Property Value

An int containing the number of rows in the matrix.

Constructors

SparseMatrixpublic SparseMatrix(int nRows, int nColumns)

Description

Creates a new instance of SparseMatrix. Initially this is the zero matrix.

Parameters

nRows An int specifying the number of rows in the sparse matrix.

nColumns An int specifying the number of columns in the sparse matrix.

SparseMatrixpublic SparseMatrix(Imsl.Math.SparseMatrix A)

Linear Systems SparseMatrix 17

Description

Creates a new instance of SparseMatrix which is a copy of another SparseMatrix object.

Parameter

A A SparseMatrix object containing the matrix to be copied.

SparseMatrixpublic SparseMatrix(Imsl.Math.SparseMatrix.SparseArray sparseArray)

Description

Constructs a sparse matrix from a SparseArray.

Parameter

sparseArray A SparseArray used to initialize the sparse matrix. The fieldNumberOfNonZeros in SparseArray (p. 27) is not used for initialization, so it does not have tobe set.

SparseMatrixpublic SparseMatrix(int nRows, int nColumns, int[][] index, double[][] values)

Description

Constructs a sparse matrix from SparseArray data.

Parameters

nRows An int specifying the number of rows in the sparse matrix.

nColumns An int specifying the number of columns in the sparse matrix.

index An int jagged array containing the column indices of all nonzero elements correspondingto the compressed representation of the sparse matrix in values. The size of index must beidentical to the size of values. The i-th row contains the column indices of all nonzero elements ofrow i of the sparse matrix. The j-th element of row i is the column index of the value located at thesame position in values.

values A double jagged array containing the compressed representation of a real sparse matrixof size nRows by nColumns. The number of rows in values must be nRows. The i-th row containsall nonzero elements of row i of the full sparse matrix.

Methods

Addstatic public Imsl.Math.SparseMatrix Add(double alpha, double beta,Imsl.Math.SparseMatrix A, Imsl.Math.SparseMatrix B)

Description

Performs element-wise addition of two real sparse matrices A, B of type SparseMatrix, C A+B.


Parameters

alpha A double scalar value applied to SparseMatrix A.

beta A double scalar value applied to SparseMatrix B.

A A SparseMatrix matrix.

B A SparseMatrix matrix.

Returns

A SparseMatrix matrix representing the computed sum.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the matrices are not of the same size.

CheckSquareMatrixpublic void CheckSquareMatrix()

Description

Check that the matrix is square.

Exception

System.ArgumentException is thrown if the matrix is not square.

FrobeniusNormpublic double FrobeniusNorm()

Description

Returns the Frobenius norm of the matrix.

Returns

A double scalar equal to the Frobenius norm of the matrix.

Getpublic double Get(int iRow, int jColumn)

Description

Returns the value of an element in the matrix.

Parameters

iRow An int specifying the row index of the element.

jColumn An int specifying the column index of the element.

Returns

A double containing the value of the iRow-th and jColumn-th element. If the element was never set, itsvalue is zero.

InfinityNormpublic double InfinityNorm()


Description

Returns the infinity norm of the matrix.

Returns

A double scalar equal to the maximum of the row sums of the absolute values of the array elements ofthe sparse matrix.

Multiplypublic double[] Multiply(double[] x)

Description

Multiply the matrix by a vector.

Parameter

x A double column array.

Returns

A double vector representing the product of the constructed matrix and x, Ax.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns of the matrix representedby this object is not equal to the number of elements in the input column vector.

Multiplystatic public double[] Multiply(Imsl.Math.SparseMatrix A, double[] x)

Description

Multiply sparse matrix A and column array x, Ax.

Parameters


x A double column array.

Returns

A double vector representing the product of the arguments, Ax.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns in the input matrix is notequal to the number of elements in the input column vector.

Multiplystatic public double[] Multiply(double[] x, Imsl.Math.SparseMatrix A)

Description

Multiply row array x and sparse matrix A, xT A.


Parameters

x A double row array.


Returns

A double vector representing the product of the arguments, xT A.

Exception


Multiplystatic public Imsl.Math.SparseMatrix Multiply(Imsl.Math.SparseMatrix A,Imsl.Math.SparseMatrix B)

Description

Multiply two sparse matrices, C AB.Parameters

A A SparseMatrix sparse matrix.

B A SparseMatrix sparse matrix.

Returns

The SparseMatrix product AB of A and B.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the number of columns of matrix A is not equal tothe number of rows of matrix B.

MultiplySymmetricstatic public double[] MultiplySymmetric(Imsl.Math.SparseMatrix A, double[] x)

Description

Multiply sparse symmetric matrix A and column vector x.

Parameters

A A SparseMatrix sparse symmetric matrix, where only the lower triangular part of the matrixis to be used.

x A double vector.

Returns

A double vector representing the product of the arguments, Ax.

Exception

System.ArgumentException is thrown when the input matrix is not square or the number ofcolumns in the input matrix is not equal to the number of elements in the input column vector.

OneNormpublic double OneNorm()


Description

Returns the matrix one norm of the sparse matrix.

Returns

A double scalar containing the maximum of the column sums of the absolute values of the arrayelements.

PlusEqualspublic double PlusEquals(int iRow, int jColumn, double x)

Description

Adds a value to an element in the matrix.

Parameters

iRow An int specifying the row index o

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