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Codigos convolucionais
Luis Henrique Assumpcao Lolis
29 de novembro de 2013
Luis Henrique Assumpcao Lolis Codigos convolucionais 1
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Conteudo
1 Introducao e definicao
2 Diagrama de arvores, de trelica e maquina de estados
3 Decodificacao de codigos convolucionais
Luis Henrique Assumpcao Lolis Codigos convolucionais 2
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Sumario
1 Introducao e definicao
2 Diagrama de arvores, de trelica e maquina de estados
3 Decodificacao de codigos convolucionais
Luis Henrique Assumpcao Lolis Codigos convolucionais 3
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Introducao e definicao
Codigo com memoria.
Operacao de convolucao: Como em filtros digitais.
Um codigo com memoria M : M registros de deslocamento.
Com n somadores modulo-2: n filtros digitais modulo-2.
O total da fonte na entrada sendo de L bits.
O numero de entradas sendo k
Entao a saıda e de n(L+M) bits.
Grandes distancias mınimas sao computadas em diferentessaıdas de n(L+M) bits sem que necessariamente se aumentek ou n, mas sim M .
Representacao em diagrama de arvore / trelica / estados.
Nocao do codigo em feed-forward e feedback.
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Taxa do codigo:
r =k · L
n(L+M)bits/simbolo
L >> M ⇒ r ' k
nbits/sımbolo
Comprimento de restricao: Numero de deslocamentos que umbit influi na saıda.
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Comprimento = 3, r=1/2.
Feed-forward nao sistematico.
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Comprimento = 2, r = 2/3, k = 2, n = 3, .
Nao sistematico. Melhor para convolucionais.Luis Henrique Assumpcao Lolis Codigos convolucionais 7
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Sequencias geradoras
Podem ser comparados a resposta ao impulso de sistemasdiscretos.
Convolucao em modulo-2
Existem diferentes caminhos no codigo convolucional,diferentes respostas ao impulso. Esses caminhos saochamados de sequencias geradoras.
Um sistema de memoria m, contem uma resposta ao impulsode ate m+ 1 unidades de tempo.
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Nesse codigo sao duas sequencias geradoras.
g(0) = (g(0)0 , g
(0)1 , . . . , g
(0)m )
g(1) = (g(1)0 , g
(1)1 , . . . , g
(1)m )
Comprimento = 4, r=1/2.
g(0) = (1011) = 1 + 0z−1 + 1z−2 + 1z−3
g(1) = (1111) = 1 + 1z−1 + 1z−2 + 1z−3
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A operacao de convolucao
c(j)l =
m∑i=0
ul−ig(j)i = ulg
(j)0 + ul−1g
(j)1 + . . .+ ul−mg(j)m
Para um dado l da entrada (l pode ser visto como o passo do tempo deamostragem da entrada), as saıdas sao definidas como:
c(0)l = ml +ml−2 +ml−3
c(1)l = ml +ml−1 +ml−2 +ml−3
Para cada amostra na entrada, tem duas na saıda, sendo assim afrequencia de amostragem do sistema dobra.
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Exercıcio
Dado o codigo convolucional abaixo, determinar a taxa do codigo, o graude memoria comprimento de restricao-1, as sequencias geradoras.Codificar a sequencia u = (001101)Um codigo com comprimento de restricao v, recebe a notacao (n, k, v)
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Calculo matricial do codigo convolucional
A matriz geradora depende do tamanho da sequencia da entrada a tratar.
Pode-se obter a matriz geradora a partir das sequencias geradoras.
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Calculo polinomial do codigo convolucional
Os codigos convolucionais tratados por polinomios geradores:
g(0) = (1111), g(0)(D) = 1 +D +D2 +D3
Considerando um codigo r = 1/2 com g(0) e g(1):
c(0)(D) = m(D)g(0)(D)c(1)(D) = m(D)g(1)(D)
E o resultado final e a multiplexacao de c(1)(D) e c(2)(D):
C(D) =[c(0)(D), c(1)(D)
]C(D) = c(0)(D2) +Dc(1)(D2)
Matriz geradora polinomial:
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Sumario
1 Introducao e definicao
2 Diagrama de arvores, de trelica e maquina de estados
3 Decodificacao de codigos convolucionais
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Diagrama de arvores
Essas representacoes graficas dos codigos convolucionais ajudam nadecodificacao. Elas mostram os caminhos pelos quais os dadospercorreram, e qual o caminho mais provavel quando existe um erro.
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Arvore do codigo
Referente ao codigo do slide 6
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Diagrama em trelica
A trelica ilustra o fato que o sistema e uma maquina de estados finita.Mostra que quando uma entrada repete m+ 1 vezes ou mais, a saıda naomuda de valor.
A transicao quando a entrada e ”0”e uma linha solida. A transicaoquando a entrada e ”1”e uma linha pontilhada. Os estados sao indicadosem a, b, c e d.
Para uma palavra de L entradas, o codigo tem L+K estagios, onde K eo comprimento de restricao.
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Diagrama em trelica
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Maquina de estados
Dependendo do estado de partida e da entrada (0 ou 1) a transicao leva aum outro estado (descrito entre a, b, c, d), sendo as combinacoes binarias(00,10,01,11) respectivamente.O estado sao os K − 1 bits contidos nos registros de deslocamento, sendoque o bit que chega e o que define a transicao de estado.
Estado Descricao binariaa 00b 10c 01d 11
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Maquina de estados - 2
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Exercıcio
Faca a representacao em trelica e em maquina de estados para o codigodo slide 9
Desenhe o caminho percorrido em trelica do codigo do slide 9 quando asequencia de entrada e m = (101011) partindo do estado (00).
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Sumario
1 Introducao e definicao
2 Diagrama de arvores, de trelica e maquina de estados
3 Decodificacao de codigos convolucionais
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Decodificacao de codigos convolucionais
Essencialmente dois algorıtmos
Viterbi - Maxima verosimilhanca
BCJR - Maxima probabilidade a posteriori
O foco e Viterbi.
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Base teorica estatıstica para decodificacao
Correspondencia biunıvoca entre m e c
r 6= c
Quando c estimado c e tal que c = c, a mensagem estimada m e tal quem = m.
A regra para encontrar c que miniminiza a probabilidade de erro.
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Revisando a probabilidade condicional
A probabilidade condicional entre a sequencia r e a sequencia c:
p(r|c) =N∏i=1
p(ri|ci)
Probabilidade logarıtmica:
log p(r|c) =N∑i=1
log p(ri|ci)
Para o canal binario simetrico:
p(r|c) ={
p, seri 6= ci1− p, seri = ci
Considerando que p(r) e (c) se difiram em d posicoes. d e a distancia deHamming entre os dois vetores. Entao a funcao de densidade logarıtmicafica:
log p(r|c) = d log p+ (N − d) log(1− p)
= d log
(p
1− p
)+N log(1− p)
O mais proximo c de r e o mais provavel. Decodificar entao significaprimeiramente definir o c mais provavel.
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Decodificador Viterbi
No esquema en trelica nem todas as transicoes sao possıveis. Cadatransicao tem um valor definido na saıda.
Tendo em vista o caminho percorrido ao longo das transicoes pelo sinalrecebido. O caminho possıvel (ou seja c) que contem a menor distanciado r recebido e o mais provavel.
Aplicando Viterbi:
1 Partindo do estado 0, compara-se a saıda de cada possıveltransicao e os bits recebidos.
2 Soma-se a distancia de Hamming entre os bits recebidos e aspossıveis saıdas de cada transicao.
3 Vai aplicando essa operacao passo a passo ate haver doiscaminhos que convergem no mesmo ponto. O caminhosobrevivente e aquele que teve a menor distancia de Hammingacumulada.
4 Vai-se repetindo a operacao ate terminar os dados recebidos.Varios caminhos possıveis podem sobrar. Sobra aquele quetenha a menor distancia de Hamming acumulada.
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Exemplo
Decodificando r = (0100010000) quando na verdade c = (0000000000).O codigo de referencia e ilustrado no slide 6 , cujas as transicoes saoilustradas no diagrama em trelica do slide 16
Separando as possıveis transicoes partindo de cada estado.
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Calculando as distancias de Hamming das transicoes
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Distancia livre e ganho de codificacao
Para corrigir t erros: a distancia livre dlivre > 2tUsando o codigo em trelica se observa o peso das transicoes(11)− > D2L, (01)(10)− > DL, (00)− > L, L o numero de entradas docodigo. Para nos L = 1.O digrama de estados modificado considera o sinal saindo e voltando parao estado a, definindo a0 e a1. Usando a trelica ou diagrama de estados,se definem as transicoes em funcao de L e D. Para o codigo do slide ??
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O sistema de equacoes que liga cada entrada e saıda dos nos
b = D2La0 + Lcc = DLb+DLcd = DLb+DLda1 = D2Lc
A funcao de transferencia da distancia e:
T (D,L) =D5L3
1−DL(1 + L)
Em expansao binomial:
T (D,L) = D5L3∞∑i=0
(DL(1 + L))i
T (D, 1) = D5 + 2D6 + 4D7 + . . .
A potencia do primeiro termo e a distancia livre, dlivre = 5
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Ganho assintotico do ganho
Uma vez conhecida a distancia mınima calcula-se o ganho assintotico docodigo para o canal binario gaussiano;
Canal binario AWGN.
Ga = 10 log10 (dfreer) dB
r a taxa do codigo.
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