c slides 11
DESCRIPTION
Slides of the Multivariable Control Systems course @ EPFL (2011)TRANSCRIPT
1
4. Discrétisation
Systèmelinéaire
stationnaire
DA
AD
DA
AD
DA
AD
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
u1(t)
u2(t)
ur(t)
y1(t)
y2(t)
yp(t) yp(k)
y2(k)
y1(k)u1(k)
u2(k)
ur(k)
Comment prendre explicitement en compte les convertisseurs ?
Résoudre analytiquement
Avec un maintien de u entre k et k+1
x = Ax + Bu
Denis Gillet @ EPFL
Solution de l’équation d’état
x (t) = Ax (t) + Bu (t)
Solution générale = solution homogène + solution particulière
x (t) = Ax (t)
Cas scalaire Cas vectoriel
x (t) = ax (t)x (t0) = x0
x = eatc2 = ea(t�t0)x0
e� = 1 + � +12!
�2 +13!
�3 + . . .
Par analogie
x = a0 + a1 (t� t0) + a2 (t� t0)2 + a3 (t� t0)
3 + . . .
x = A0 + A1 (t� t0) + A2 (t� t0)2 + A3 (t� t0)
3 + . . .
x =�1 + a (t� t0) +
12!
a2 (t� t0)2 +
13!
a3 (t� t0)3 + . . .
⇥x0
2
Solution de l’équation d’état homogène
x (t) = Ax (t)
x = A0 + A1 (t� t0) + A2 (t� t0)2 + A3 (t� t0)
3 + . . .
x (t0) = x0
x = A1 + 2A2 (t� t0) + 3A3 (t� t0)2 + . . .
x (t0) = 2A2
x = 2A2 + 6A3 (t� t0) + . . .
x (t0) = A1
x (t0) = A0
x (t) = Ax (t)x (t0) = Ax (t0) = Ax0
x (t) = Ax (t)x (t0) = Ax (t0) = A2x0
x (t) =�I + A (t� t0) +
A2
2!(t� t0)
2 +A3
3!(t� t0)
3 + . . .
⇥
⇧ ⌅⇤ ⌃�eA(t�t0)
x0
3
Exponentielle de matrice
eA(t�t0) = I + A (t� t0) +A2
2!(t� t0)
2 +A3
3!(t� t0)
3 + . . . =⇥�
k=0
Ak
k!(t� t0)
k
x (t) = eA(t�t0)x0
x (t1) = eA(t1�t0)x (t0)x (t2) = eA(t2�t1)x (t1) = eA(t2�t1)eA(t1�t0)x (t0)t2 = t0x (t0) = eA(t0�t1)eA(t1�t0)x (t0)
I = eA(t0�t1)eA(t1�t0) = M�1M
�eA(t1�t0)
⇥�1 = eA(t0�t1) = e�A(t1�t0)
4
Solution particulière de l’équation d’état
x (t) = eA(t�t0)v (t)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)
AeA(t�t0)v (t) + eA(t�t0)v (t)⇤ ⇥� ⌅x(t)
= A eA(t�t0)v (t)⇤ ⇥� ⌅x(t)
+Bu (t)
v (t) =�eA(t�t0)
⇥�1Bu (t) = e�A(t�t0)Bu (t)
v (t) =t�
t0
e�A(��t0)Bu (�) d�
x (t) = eA(t�t0)
t�
t0
e�A(��t0)Bu (�) d� =t�
t0
eA(t�t0)eA(t0��)Bu (�) d�
x (t) =t�
t0
eA(t��)Bu (�) d�
5
Solution complète de l’équation d’état
x (t) = Ax (t) + Bu (t)
réponse libre + réponse forcée (produit de convolution)
x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�
t0
eA(t��)Bu (�) d�
6
Discrétisation
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)
y (kh) = Cx (kh) + Du (kh)
x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�
t0
eA(t��)Bu (�) d�
Convertisseurs AD
x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�
kh
eA(kh+h��)Bu (�) d�
t = kh
Convertisseurs DA
u(�) = u(kh)kh � � < kh + h
x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�
kh
eA(kh+h��)B u (�)⌅⇤⇥⇧u(kh)
d�
t0 = kht = kh + h
7
Discrétisation
y (kh) = Cx (kh) + Du (kh)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
x (k + 1) =�eAh
⇥⌦ � ↵
⇥
x (k) +
⇤
⇧h⌥
0
eA�d�
⌅
⌃B
⌦ � ↵�
u (k)
x (kh + h) = eAhx (kh) +kh+h�
kh
eA(kh+h��)B u (�)⌅⇤⇥⇧u(kh)
d�
d� = �d⇥
x (kh + h) = eAhx (kh) +
�
⇤�0⇧
h
eA�Bd�
⇥
⌅u (kh)
� = kh + h� ⇥
8
Solution de l’équation d’état analogique,linéaire et stationnaire + Discrétisation
x (t) = Ax (t) + Bu (t)
y (t) = Cx (t) + Du (t)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
x (t) = eA(t�t0)x (t0) +t�
t0
eA(t��)Bu (�) d�
x (k + 1) = ⇥⇤⇥�⌅eAh
x (k) + �⇤⇥�⌅"
hR
0eA�d�
#B
u (k)
9
Exponentielle de matrice: Série
� = eAh = I + Ah +A2
2!h2 + . . . +
Ai
i!hi + . . .
� =⇤ h
0eA�d�B =
�Ih +
A
2!h2 +
A2
3!h3 + . . . +
Ai
(i + 1)!hi+1 + . . .
⇥B
� = I +A
2!h +
A2
3!h2 + . . . +
Ai
(i + 1)!hi + . . .
� = I + Ah⇥
� = ⇥hB
� ⇥= I +Ah
2
�I +
Ah
3
�. . .
Ah
N � 1
�I +
Ah
N
⇥⇥⇥
10
Discrétisation de systèmes stationnaires
Modèle linéaire Modèle non linéaireModèle non linéaire
LinéarisationLinéarisation
Contre-réaction Tangente
Discrétisation exacte Discrétisation exacte Discrétisation exacte
˙x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
x (t) = Ax (t) + Bu (t)y (t) = Cx (t) + Du (t)
x (t) = f [x (t) , u (t)]y (t) = g [x (t) , u (t)]
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
� = eAh � =h�
0
eA�d� B
11
4.1.8 Double intégrateur: Série
12
u(t) y(t)1
s2
y(t) = u(t)
x1(t) = y(t)x2(t) = y(t)
x1(t) = y(t) = x2(t)x2(t) = y(t) = u(t)
y(t) = x1(t)
x(t) =
0 10 0
�x(t) +
01
�u(t)
y(t) =⇥1 0
⇤x(t) + [0]u(t)
4.1.8 Double intégrateur: Série
x =
A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0
⌅x +
B⇧ �⌥ ⌃⇤01
⌅u et y =
�1 0
⇥⌥ ⌃⇧ �
C
x
� = eAh = I + Ah +A2
2!h2 + . . . +
Ai
i!hi + . . .
� =�
1 00 1
⇥+
�0 10 0
⇥h +
�0 00 0
⇥h2
2=
�1 h0 1
⇥= eAh
� =⌦ h
0eA�d�B =
⌦ h
0
⌅1 �
0 1
⇧d�
⇥01
⇤=
⌃
� �|h0�2
2
���h
0
0 �|h0
⌥
⇥
01
⇤
=
⌅h h2
2
0 h
⇧ ⇥01
⇤=
⌅h2
2
h
⇧
x (k + 1) =⇤
1 h0 1
⌅x (k) +
⇧h2
2
h
⌃u (k) et y (k) =
�1 0
⇥x (k)
13
Solution de l’équation d’étatpar la transformée de Laplace
14
x(t) = Ax(t) +Bu(t)
sX(s)� x(0) = AX(s) +BU(s)
(sI �A)X(s) = x(0) +BU(s)
X(s) = (sI �A)�1x(0) + (sI �A)�1
BU(s)
x(t) = e
Atx(0) +
R t0 e
A(t�⌧)Bu(⌧)d⌧
e
At = L
�1h(sI �A)�1
i
Algorithme de Leverrier (analogique)
H0 = I
a1 = �tr (AH0) H1 = AH0 + a1I
a2 = � 12 tr (AH1) H2 = AH1 + a2I
......
an�1 = � 1n�1 tr (AHn�2) Hn�1 = AHn�2 + an�1I
an = � 1n tr (AHn�1) Hn = AHn�1 + anI = 0
eAt = L�1�(sI �A)�1
⇥et � = eAh
(sI �A)�1 =adj (sI �A)det (sI �A)
=H0sn�1 + H1sn�2 + H2sn�3 + . . . + Hn�1
sn + a1sn�1 + a2sn�2 + . . . + an
15
Double intégrateur: Leverrier
x =
A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0
⌅x +
B⇧ �⌥ ⌃⇤01
⌅u et y =
�1 0
⇥⌥ ⌃⇧ �
C
x
eAt = L�1�(sI �A)�1
⇥et � = eAh
(sI �A)�1 =H0s + H1
s2 + a1s + a2=
�1 00 1
⇥s +
�0 10 0
⇥
s2=
1s2
�s 10 s
⇥
eAt = L�1
⌅ 1/s 1�s2
0 1/s
⇧=
⇥1 t0 1
⇤donc eAh =
⇥1 h0 1
⇤
H0 = I =�
1 00 1
⇥, a1 = �tr (AH0) = �tr
�0 10 0
⇥= 0, H1 = AH0 + a1I =
�0 10 0
⇥
a2 = �12tr (AH1) = �1
2tr
�0 00 0
⇥= 0,H2 = AH1 + a2I =
�0 00 0
⇥(controle)
16
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit A une matrice n x n:
Pour des valeurs propres de multiplicité mi
Les sont les valeurs propres de A, soit les solutions de:�i
Les coefficients sont solution de:�i
f (A) = p (A) = �0An�1 + �1A
n�2 + . . . + �n�1I
f (�i) = p (�i) i = 1, . . . , n
det (�I �A) = |�I �A| = 0
�������
f (1) (�i) = p(1) (�i)...
f (mi�1) (�i) = p(mi�1) (�i)17
4.1.12 Double intégrateur: Cayley-Hamilton
x =
A⇧ �⌥ ⌃⇤0 10 0
⌅x +
B⇧ �⌥ ⌃⇤01
⌅u et y =
�1 0
⇥⌥ ⌃⇧ �
C
x
|�I �A| =����
⇥� 00 �
⇤�
⇥0 10 0
⇤���� =����
⇥� �10 �
⇤���� = �2 = 0, �1 = �2 = 0
f (A) = eAh = �0A + �1I
����e�1h = �0⇥1 + �1
e�2h = �0⇥2 + �1
e�1h = �0⇥1 + �1 � 1 = �1
d
d⇥2e�2h =
d
d⇥2(�0⇥2 + �1) � he�2h = �0 � h = �0
eAh = h
�0 10 0
⇥+ 1
�1 00 1
⇥=
�1 h0 1
⇥
18
4.2 Solution de l’équation d’état discrète linéaire
19
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
x(k0 + 1) = ⇥x(k0) + �u(k0)
x(k0 + 2) = ⇥x(k0 + 1) + �u(k0 + 1)x(k0 + 2) = ⇥ [⇥x(k0) + �u(k0)] + �u(k0 + 1)x(k0 + 2) = ⇥2x(k0) + ⇥�u(k0) + �u(k0 + 1)
x(k0 + 3) = ⇥x(k0 + 2) + �u(k0 + 2)x(k0 + 3) = ⇥
�⇥2x(k0) + ⇥�u(k0) + �u(k0 + 1)
⇥+ �u(k0 + 2)
x(k0 + 3) = ⇥3x(k0) + ⇥2�u(k0) + ⇥�u(k0 + 1) + �u(k0 + 2)
x(k) = ⇥k�k0x(k0) +k�1�
i=k0
⇥k�i�1�u(i)
réponse libre + réponse forcée (produit de convolution)
Matrice de transfert discrète
20
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
CI nulles
zX(z)� ⇥X(z) = �U(z)Y (z) = CX(z) + DU(z)
(zI � ⇥)X(z) = �U(z)Y (z) = CX(z) + DU(z)
X(z) = (zI � ⇥)�1�U(z)Y (z) = C
�(zI � ⇥)�1�U(z)
⇥+ DU(z)
Y (z) =�C(zI � ⇥)�1� + D
⇥U(z) ⇥ H(z)U(z)
Modèle d’étatlinéaire discret
H(z)U(z) Y (z)u(k) y(k)
x(k)
Matrice de transfert discrète
21
H(z) =hC(zI � �)�1�+D
i
2
6664
Y1(z)Y2(z)
...Yp(z)
3
7775=
2
6664
H11(z) H12(z) · · · H1r(z)H21(z) H22(z) H2r(z)
.... . .
...Hp1(z) Hp2(z) · · · Hpr(z)
3
7775
2
6664
U1(z)U2(z)
...Ur(z)
3
7775
Y (z) = H(z)U(z)
Hij(z)Uj(z)
0
0Yi(z)
...
...
...
...
Algorithme de Leverrier (discret)
H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D
(zI � �)�1 =adj (zI � �)det (zI � �)
=H0zn�1 + H1zn�2 + H2zn�3 + . . . + Hn�1
zn + a1zn�1 + a2zn�2 + . . . + an
H0 = I
a1 = �tr (�H0) H1 = �H0 + a1I
a2 = � 12 tr (�H1) H2 = �H1 + a2I
......
an�1 = � 1n�1 tr (�Hn�2) Hn�1 = �Hn�2 + an�1I
an = � 1n tr (�Hn�1) Hn = �Hn�1 + anI = 0
22
4.2.4 Double intégrateur: Matrice de transfert
H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D� =�
1 h0 1
⇥
�����������������
a1 = �tr (�) = �2
H1 = � + a1I =⇥
1 h0 1
⇤� 2
⇥1 00 1
⇤=
⇥�1 h
0 �1
⇤
a2 = � 12 tr (�H1) = � 1
2 tr
⇥�1 0
0 �1
⇤= 1
H2 = �H1 + a2I =⇥�1 0
0 �1
⇤+
⇥1 00 1
⇤=
⇥0 00 0
⇤cqfd
H (z) =�
1 0⇥⌅
z � 1 h
0 z � 1
⇧ ⌅h2
⇤2
h
⇧1
(z � 1)2
H (z) =�
z � 1 h⇥ ⌅
h2⇤2
h
⇧1
(z � 1)2=
(z � 1) h2⇤2 + h2
(z � 1)2=
h2
2z + 1
(z � 1)2
(zI � �)�1 =adj (zI � �)det (zI � �)
=Iz + H1
z2 + a1z + a2=
1z2 � 2z + 1
�z � 1 h
0 z � 1
⇥
Stabilité
24
H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D
H(z) =Cadj(zI � ⇥)�
det(zI � ⇥)+ D =
H�(z)det(zI � ⇥)
H (z) =
⇤
⌥⇧H11 (z) . . . H1r (z)
......
Hp1 (z) · · · Hpr (z)
⌅
�⌃ = [Hij (z)] =�
H�ij (z)
det (zI � �)
⇥
Poles zi des Hij solution de: det (zI � �) = 0
Valeurs propres vi de � solution de: det (�I � �) = 0
zi = vi
Asymptotiquement stable si: |vi| < 1 pour i = 1, . . . , n
4.1.13 Exemple: Entraînement discret
�x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)
y (k) = Cx (k)D
AA
Dx =
⇤0 10 a
⌅x +
⇤0b
⌅u
y =�
1 0⇥x
u (k) y (k)y (t)u (t)
(zI � �)�1 =Iz + H1
z2 + a1z + a2=
1(z � eah) (z � 1)
⇤ �z � eah
⇥1a
�eah � 1
⇥
0 z � 1
⌅
H (z) = C (zI � ⇥)�1 � + D Inutile ! Les valeurs propres donnent la meme info
|�I � �| =
⇤�� 1 � 1
a
�eah � 1
⇥
0 �� eah
⌅= (�� 1)
��� eah
⇥= 0⇥
⇧�1 = z1 = 1�2 = z2 = eah
25
⇥ = eAh =
"1 1
a
�eah � 1
�
0 eah
#� =
b
a
"1a
�eah � 1
�� h
�eah � 1
�#
exemple: 4.1.13
Systèmes discrets linéaires et stationnaires
x (k) = ⇥k�k0x (k0)⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse libre
+k�1�
l=k0
⇥k�l�1�u (l)
⌅ ⇤⇥ ⇧Reponse forcee
x (k + 1) = ⇥x (k) + �u (k)y (k) = Cx (k) + Du (k)
Matrice de transfert et stabilité
Solution
Y (z) =�C (zI � ⇥)�1 � + D
⇥U (z) = H (z) U(z)
H (z) =
⇤
⌥⇧H11 (z) . . . H1r (z)
......
Hp1 (z) · · · Hpr (z)
⌅
�⌃ = [Hij (z)] =�
H�ij (z)
det (zI � �)
⇥
Poles zi des Hij solution de: det (zI � �) = 0
Valeurs propres vi de � solution de: det (�I � �) = 0
zi = vi
Asymptotiquement stable si: |vi| < 1 pour i = 1, . . . , n26