第2回(10/23) 講義内容

• 2.4 回転系の振動– 2.4.1 ねじり振動– 2.4.2 剛体振子– 2.4.3 水平振子– 2.4.4 倒立振子– 2.4.5 平面を転がる円柱– 2.4.6 円筒面の内側を転がる円柱

• 演習 (4.3.1, 4.3.2, 4.3.3) 4.3.4，4.3.5，4.3.6• 自己紹介～「鉄の話」

前回の復習

１自由度系不減衰系の自由振動

図2.1 ばね質点系

mk

xkx

02 =+ xx nω&& mkn /=ω

tx nωcos1 = tx nωsin2 =

tBtAx nn ωω sincos +=

kxxm −=&&

２階微分方程式

基本解，斉次解

一般解

運動方程式

慣性力＝復原力

エネルギー保存則を用いた解法(1)

2

21 xmT &=

2

21 kxU =

( ) 0=+UTdtd

( ) 0=+ kxxmx &&&

0=x& 0=+ kxxm &&

図2.1

mk

xkx運動エネルギT

ひずみ（位置）エネルギU

TとUの和は時間的に不変

xxmdtdT

&&&=

xkxdt

dU&=

エネルギー保存則を用いた解法(2)( )00 cos φ−= tXx nω

( ){ } 220

200

2max 2

1sin21

21

nnn mXtXmMAXxmMAXT ωωω =

−−=

= φ&

( ){ } 20

200

2max 2

1cos21

21 kXtXkMAXkxMAXU n =

−=

= φω

20

220 2

121 kXmX n =ω

mk

n =2ω

質点が正弦波状に振動すると仮定

振幅Xo，周波数ωn，位相φoは不明

→ 運動エネルギの最大値＝ポテンシャルエネルギの最大値

エネルギが保存

(2.21)に代入すれば一般解

(2.21)

慣性能率(慣性モーメント)dm

N

V

r

図2.5 広がりのある物体

回転中心

∫= VdmrI 2慣性能率

慣性モーメント

G

x

y

z

図2.7 薄い剛体の慣性能率

yxz III +=

d

G

zz’

y

x図2.8重心を通らない軸回りの慣性能率

2mdII zz +=′重心以外の慣性能率＝重心の慣性能率＋md2

2.4 回転系の振動

「並進」自由度 → 「回転」自由度

「質量」 → 「慣性能率」

「復原力」 → 「復原モーメント」

ねじり振動 (2.4.1)

図1.13　ねじり振動系

θ

N=kθ

l

r

d

k

I

θθ kI −=&&角運動量の変化(慣性力)＝外力モーメント

(復原トルク)

lGdk32

4π=

2

2mrI =

tBtA nn ωωθ sincos +=ばね-質点系の運動方程式と同じ形

Ikn /=ω

0=+ θθ kI &&

横弾性率G (鉄) ≒80GPa⇒ 直径1mmの針金を0.1%引張るのに16.5kgfの力

エネルギー法による解法円板の運動エネルギT，軸のひずみエネルギU

2

21 θ&IT = 2

21 θkU =

T+Uは時間に依らず一定(エネルギー保存則)

( ) 0=+UTdtd

( ) 0=+ θθθ kI &&&

剛体振り子 (2.4.2)

図1.14　剛体振子

G

θ

O

l

mg

θsinmgF =

g

慣性力＝外力モーメント(復原トルク)

θθ sinmglI −=&&

復原力

θ<<1のとき、sinθ≈θ

0=+ θθ mglI &&

Imgl

n =ω

O点まわりの慣性能率

2mlII G +=ここでIG=0とみなしうる振り子を単振り子という．

002 =⇒== ∫ rdmrIG

2mlI =

lg

n =ωglT

nπ

ωπ 22==

g=9.8m/s2を用いると，l=25cmのときTは約１秒となる．

；質点

水平振り子 (2.4.3)

トルク発生に無関係

回転に寄与せず

θαθ sinsinmglI −=&&

剛体振り子のg→gsinαに相当

Imgl

nαω sin

=図1.15　水平振子

αsinmg

θα sinsinmgθα cossinmg

αcosmg

αsinmg

mg

G

g

G

θ

α

l

エネルギー法による解法

図2.16 水平振子のエネルギー法による解法

θ

l

α

( )θcos1−l

( ) αθ sincos1−= lh振子の重心

( )θα cos1sin −== mglmghU2

21 θ&IT =

( ) ( ) 0sinsin =+=+ θαθθ mglIUTdtd &&&

倒立振り子 (2.4.4)

θθθ 2sin khmglI −=&&

( ) 02 =−+ θθ mglkhI &&

符号に注意

kh2 > mglのとき

Imglkh

n−

=2

ω

θsinmg

図1.17　倒立振子

mg

g

ｍ

k/2×hθ×h×2=kh2θ

kh2 < mglのとき

Ikhmgl 2−

=λ 02 =− θλθ&&

tt ee λλθ −= ,基本解

∞→⇒∞→+= −+

θθ λλ

tBeAe tt

実演

Interactive PhysicsMSC. Software Corp.

http://www.interactivephysics.com

エネルギー法による解法tnωθθ cos0=

tIIT nno ωωθθ 2222 sin21

21

== &

( ) ( )

[ ])coscos(1)cos(21

0)cos1(21

2

02

tmglthk

UmglhkU

nono ωθωθ

θθθ

−−=

=−−==

( )20max 21

nIT ωθ=

( ) ( )

( ) 22

02

0max

21

cos121

omglkh

mglhkU

θ

θθ

−≈

−−=202

1θ≈

Imglkh

n−

=2

ω

maxmax UT =

平面を転がる円柱 (2.4.5)

Fkxxm −−=&&

FrI =θ&&

0=++ rkxIxmr θ&&&&

θrx =

023

=+ kxxm &&mk

mk

n 32

2/3==ω

並進方向の釣り合い

円筒中心周りの釣り合い

Fを消去

滑らない条件

k

x

r θ

2

21 mrI =

m

滑らない

F摩擦力

回転と並進が同時に起こる

エネルギー法による解法

2

21 kxU =

023

21

43)( 22

=

+=

+=

+

kxxmx

kxxmdtd

dtUTd

&&&

&

T+Uは時間に依らず一定(エネルギー保存則)

222

43

21

21 xmIxmT &&& =+= θ

rxmrI&& == θ,

21 2

瞬間回転中心を用いた解法

2mrIIc +=θ

C

22

23 mrmrII c =+=

rkxI c ⋅−=θ&&

023

=+ kxxm &&

C点回りの慣性能率

C点回りのモーメントの釣り合い

θrx =滑らない条件

円筒面の内側を転がる円柱 (2.4.6)

円柱

θ

R

g

O

m

r

A’

A

BC

ψ

φ

図1.19　円筒面を転がる円柱

( )( )θcos1−−= rRmgU

( ) 221 2

1 θ&rRmT −=

22 φ&IT = 2

21 mrI =

( )φθθθφ rrRr

rR+=

−=

並進運動の運動エネルギー

ポテンシャルエネルギー

回転運動の運動エネルギー

( ) 222 4

1 θ&rRmT −=

( ) ( ) 0sin23

)( 21

=

+−−=

++

θθθ grRrRm

dtUTTd

&&&

( )rRg

n −=

32ω

T+Uは時間に依らず一定(エネルギー保存則)