第２章 ：スケッチを立体化する

前回は目で見るものはすべて「構成」の結果であることを学んだ。

今回は構成のもっとも簡単な例として「立体に見える線画」について考えよう。

一番簡単な例：これは何に見えるか ?

答：立方体

「この線画が立方体に見える」という事実にはいろいろ変なことがあるはずである。どんな変なことがあるだろうか ?考えてみよう。 → 解答例は次ページ

おかしな点 1 ： 2 次元の線画なのに平面には見えない。

おかしな点 2 ：本当はこんな風には見えない。遠い辺が短いはず。

おかしい点3：A、Bはどっちが手前?

A

B

おかしな点 2 ：について机の上のティッシュの箱の写真。手前と奥の辺の長さは ?

どう見ても同じ長さには見えないだろうが、これは同じ長さ。

目で見たときも箱の上面は台形でなく平行四辺形として再構成されている。鉛筆で実際に肉眼で長さを比べてみるとかなり違うので驚く。だからこそ、線画も平行四辺形でいい。

目には「台形」が見えているのに VI は「平行四辺形」を再構成してしまう。 → 遠近法の発見が遅れた理由。

良く見ると左のアニメの一シーンの本は形がおかしい。台形ではなく平行四辺形に近い。大体、床の線と平行になってない。こんな風に現実と違っていても VI が「構成」しているので気付かない。

下のアニメの一シーンでおかしいところは ?

同じアングルの実写はちゃんと台形になっている

つまるところ「現実そのまま」の CG が現実のように見えるかどうかはわからない。本は「台形」ではなく「平行四辺形」で描いた方が本らしく見えるのかもしれない。要するに VI の「構築」に対して現実に近い３次元が構築できるような２次元刺激を与えればいい。

おかしな点 3 ： 2 通りの見え方

A

B

ネッカーキューブ：A が前になったりB が前になったりする。 → なぜ ?

実際はこれ以外にも無限の可能性あり。

辺が一本だけ前後に動いていて離れているかも知れない。直線は、奥行方向に波打っているかも知れない。その中からむりやりたった 2 つの可能性を選ぶのだから「不定」なのも無理は無い。

答： NO 。下の図の両端は２次元の絵にしか見えないだろう。なぜ、 3 次元に見えたり、2 次元に見えたりするのか ? → 答は次ページ

じゃあ、こういう線画はいつも３次元に見えるのか ? → 問

答：網膜像はいずれにせよ２次元である。つまり、２次元から 3 次元を構成するのは本質的な作業である。

このために視覚法則がある。視覚は視覚法則を満たすように構成される。以下に、ひとつ、重要な視覚法則を説明しよう。

安定性の法則：図が安定的な見え方をする視覚世界のみを構築する。( 英語では generic viewpoint assumption というらしい )

例：問：これは３次元の物体を描いた線画である。どの様な 3 次元物体が想像されるか ? → 答は次ページ

答： V 字形の物体

問：他には ?

答：箸。先端が交わらない、 お互いに離れた２本の線分

なぜ、そうは見えないのか ?

答：箸だったら V 字に見えるのはまれだから。

安定性の法則の例：

3 次元だとしたら何に見える ?

答：棒

他のどんな物体もこういう風にみえることは滅多に無いので安定性の法則から視覚としては構築されない。

安定性の法則の例：

3 次元だとしたら何に見える ?

答：点

線分を真横からみたものだとは思えない。

安定性の法則からの派生法則

法則１：図中の直線は常に、三次元空間内においても直線であると解釈される。

法則２：図中で 2 直線の先端が接している場合には常に三次元空間においても接していると解釈される。

法則 1 、 2 を使うと、両端の線画が「立方体」に見えない理由をどう説明できるだろうか ?

→ 次週までの宿題。 レポートとして提出せよ。

左端の線画はちょっとすらせば立体に見える。

反論：対称性がくずれたからじゃないの ?対称な図形は２次元に見えるのでは ?

確認１：対称なままで法則1が当てはまらないように変型。

対称だが立体に見えるだろう。よって、対称がくずれたから3 次元に見えたわけではない。

確認２：対称性は壊れているが法則１が成り立つ。

左は立体、右は平面に見える。よってやはり、対称性ではなく安定性の法則が決めている。

悪魔の三角形再び。

なぜ、一部を隠すと矛盾が解消するのか?→ 問

答： 法則２をあてはめなくてよくなるから。

この図形が「立体」に見える理由を安定性の法則から説明できるかどうか考えよ。

→ これもレポート。 次回提出。

レポート問題

1 番

２番

３番 安定性の法則を使って面白いことを 考えて線画にしろ

この講義科目は「４年次の選択必修科目」ではありません。間違えないように。「数値計算特論」「量子情報通信 1 ・ 2 」も選択必修科目ではありません。このことにいままで気付かずに、履修の仕方を誤ってしまった人は、以下の対応をしてください。

１．後期科目を履修したい場合 → 事務に申しでる２．前期科目を履修したい場合 → 担当教員に許可を得ると同時に、 事務に申しでる。

以上。

◯VI が用いる他の法則

安定性の法則から派生した法則１が壊れる例

4本の細長いビル

何に見える ?

問：法則 1 をどう破っているか ?

問：他にどう見える ?

答え：4本の太いビル

VI は法則を破ることを嫌う。で、破らないで済む、他の解を捜そうとする。 (破らないで済む例は結局見つからないが ) この図が細長いビルに見えたり、太いビルに見えたりして不安定なのはそのせいだろう。

安定性の法則を破る他の例：

問：何に見える ?

問：安定性の法則をどう破っているか ?

安定性の法則は以下の様な法則を含んでいる。

法則 3 ：図中に、一直線上に並んでいる複数の直線がある場合には常に、三次元空間内においても一直線上に並んでいる直線であると解釈される。

なぜなら、そうでなければ、複数の直線が一直線上に並ぶことはまれなはずであり、安定性の法則に反するから。

問：安定性の法則はなぜこれを要請するか ?

問：安定性の法則が壊れる理由を考えよ。

重力が理由では ?→ 法則 1 を優先させると、小さい箱は宙に浮く。

問：これが本当かどうかを確かめるには ?

やっぱりくっついている。重力は関係無し。

近接の法則が働いているのでは ?

4 つの◯はどの奥行にあるように見えるか ?

「立方体」の見え方とどう関係するか ?

法則 4 ：図中の近接した要素は、三次元空間内においても近接していると解釈される。

ここに注目すると小さい箱は大きい箱の内部に。

ここに注目すると小さい箱は大きい箱の上に。

注目する場所で位置関係は変わる。

近接の法則同士にも競合がある。近接の法則は安定性の法則を拒否する。

→ 解釈に際して各法則の間に矛盾点が生じる場合の判断の仮定＝手がかりの統合 /感覚融合

絵画の構図のよしあし、とは結局、手がかりの統合に頼らずとも3 次元が構築できるような配置に過ぎないのでは ?

← いい構図

悪い構図 →

◯ 曲線を含む図形

これは何に見えるか ?また、なぜ、そう見えるかを安定性の法則で考えてみよ。

法則５：図中の滑らかな曲線は常に、三次元空間内においても滑らかな曲線であると解釈される。

問：安定性の法則からこうなる理由を考えよ。

赤丸の部分の線分の交わりに前後関係があるのはなぜか ?

問：前後関係がみえることは今までの法則の どれとどのように矛盾しているか ?

問：新たなるどのような法則が必要なのか ?

新たなる法則：投影の法則「三次元の物体がどのように平面上に投影 されるかの法則」

→ この法則を使うと、ドーナツの内側 の接触部分に「前後関係」が 発生することを理解することが出来る。

投影の法則は『大法則』。安定性の法則から、いくつもの小法則が派生したように、投影の法則からはいくつかの小法則が派生する。

投影の法則から派生する小法則の例：線遠近法：ルネッサンス期に発見。 ダビィンチが多用。自然遠近法：ギリシャで発見。

自然遠近法：月食が起きる理由 (月は小さいのに大きな太陽をなぜ隠せるか ?)

線遠近法：自然遠近法を平面で表現する方法。

線遠近法が無い場合に (プロの ) 画家が 描く ( いた )絵

問：この絵は何がおかしい ?

答えの例：・床の格子縞が平行。・柱の右の男がキリストでは なくて柱をむち打っている 様にみえる。

なぜ、こうなるのか ?

線遠近法を知らないので、真中の床を描けない。そこで、ごまかすために柱をおいたが、今度は、キリストとむち打つ男の前後関係が狂った。

投影の法則から派生する小法則の例：表面がなめらかな物体のシルエットの解釈

シルエットとは ?3 次元の物体を平面に投影したときの縁

縁とは何か ?視線と法線が直交するような物体表面上の点の集合。

法線の集合

目

法線

縁

法則６：可能な部分では図中の曲線を三次元の縁だと解釈する。

実線：目に見える縁破線：目に見えない縁

法線を明示的に描いてみると交わった部分が「くっついている」とは思い難いことがわかる。

一般に 3 次元を 2 次元に埋めこむとＴ字ができる(ホイットニーの定理：数学、僕は解りません )

法則７： 可能な部分ではすべて、図中の T 字型を、そこに全縁中の隠された 部分があると解釈する。 つまり、Ｔ字型の横棒が縦棒を 隠していると解釈する。

極端な例：左図の内側に「曲面」を感じるのは僕だけ ?

法則 5 、 6 、 7 を使うとなぜ「ドーナツ型」が見えるかを理解できる。

問：法則 5 、 6 、 7 を使ってなぜ、これが ドーナツ型に見えるかを説明しろ。

平面から３次元を構成する他のルール

問：この絵から３次元を構成できるのはなぜか ?

この答えを理解するためには「曲率」というものを理解しなくてはいけない。

問：曲率を知っているか ?

曲線上の一点を考える。この点での接線に接する円を描く。円の半径を r とする。曲線のこの点での曲率は 1/r である。r

問：平面の曲率とは ?

例：円柱の側面の曲率とは何か ?

答え：曲率は 2 つある。底面に平行な成分と側面に平行な成分

r r=∞

問：球面の場合は ?

rr

答え：2 つの大円の半径の逆数

曲面の曲率の一般論

1.任意の接線を描く2.曲率を計算3.全ての接線について 曲率を計算4.曲率が最大と最小の 接線をもとめる。5.それぞれの接線を 「主方向」、対応する 曲率を「主曲率」という。注：主方向は必ず直交 している。

曲率による曲面の分類(赤が表、中心での曲率 )

凸形主曲率がともに正

凹形主曲率がともに負

鞍形主曲率が正と負

いままでの法則で「曲線は曲面の縁だと思う ( 法則６ ) 」ことになっている。すると凹型の縁は見えないので凹型の曲線があればそれは鞍型の縁だと思うしか無い。

法則８：凸型の境界上の各点は、三次元においても凸型の縁上の点だと解釈される

法則 9 ：凹型の境界上の各点は、三次元においても鞍型の縁上の点だと解釈される

ドーナツ型の場合：

++ + + + + +

+

++ + + +

+

+- -- -

+ は凸面、 は鞍型と思うと殆ど選択の余地無し−

更に法則 10：できるだけなめらかな三次元の曲面を形成する というのもあった方がいい。

++ + + + + +

+

++ + + +

+

+- -- -

点線は鞍型と凸型が接続するところ。ここを「滑らかに繋ぐ」という要請から「膨らみ」が見えることになる。

この線画が膨らんで見えにくいのは法則 8、 9、 10の対象外だから。