c3.4 genfortafrecare.pdf

3. Generarea şi transmiterea forţei la interfeţe solide

28

3.4. GENERAREA ŞI TRANSMITEREA FOR ŢEI

LA INTERFE ŢE SOLIDE

3.4.1. Introducere

ORIGINEA FREC ĂRII

PRIMII EXPERIMENTATORI Leonardo DA VINCI (1452-1519) (Codex Atlanticus & Codex Arundel)

Măsurarea forţei de frecare cu ajutorul unui scripete si a unei greutăţi

Studiul întinderii suprafeţei de contact asupra forţei de frecare

Prima formulare a «legilor frecării»

1. Proporţionalitate între forţa de frecare şi încărcarea aplicată. «Frecarea de dată de greutate este egală cu sfertul acelei greutăţi» 2.Independenţa faţă de suprafaţa aparentă de contact. «Frecarea provocată de aceeaşi greutate va fi aceeaşi, indiferent dacă contactul are lungimi sau lăţimi diferite»

Guillaume AMONTOS (1663-1705)

«Despre rezistenţa provocată în maşini atât de către frecarea elementelor componente cât şi de către rigiditatea corzilor utilizate, şi despre metodele de a calcula şi una şi cealaltă »

Memoriile Academiei Regale de Ştiinţe din Paris (1699)

Studiul frecării plane a lemnului, fierului, cuprului şi plumbului unse cu ulei vechi

Redescoperirea «legii frecării»


29

1. «Rezistenţa cauzată de frecare nu creşte şi nici nu se diminuează decât proporţional cu presiunile mai mari sau mai mici după cum parţile în contact sunt mai mult sau mai puţin apăsate».

2. « Rezistenţa cauzată de frecare este aproape egală cu o treime din presiune atât la Fe, Cu, Pb şi lemn, într-un mod care variază dupăcum aceste materiale sunt lubrifiate»

Confirmarea rezultatelor de către Phillippe de la HIRE (1699)

Chales Augustin COULOMB (1736-1806)

«Teoria maşinilor simple ţinând seama de frecarea componentelor lor şi de rigiditatea coardelor»

Memoriile Academiei Regale de Ştiinţe din Paris (1699)

Studiul frecării plane a metalelor (fier, cupru)

şi a lemnului (stejar, brad, ulm) uscată şi lubrifiată (seu, ulei de măsline)

Studiul numeroşilor parametrii

1. Mărimea suprafeţei de frecare. 2. Încărcarea şi viteza de deplasare 3. Durata contactului înaintea alunecării 4. Rodajul suprafeţelor.

Studiul rigidita ţii corzilor 1. Diametrul corzii. 2. Diametru de înrolare

Electrizarea şi încălzirea suprafeţelor

» Experimentarea pe chihlimbar (în greacă elektron) şi pe alte substanţe izolante capabile să atragă corpuri uşoare după frecare (Gilbert 1600)

Producerea de scântei de către un silex (Decartes 1664)

Descărcări electrice produse de un dispozitiv de frecare (Abbe Nollet 1754)

» Determinarea experimentală a legilor atracţiei electrice cu ajutorul bucăţilor de măduvă de soc încărcate identic prin frecare (Coulomb 1785)

Lucr ări experimentale

» Jean Teophile DESAGULIERS - Un curs de Filozofie Experimentală (1734) » Samuel VINCE – Asupra mişcării corpurilor afectate de frecare (1784) » George RENNIE – Experimente asupra Frecării şi Abraziunii suprafeţilor Solide (1829)


30

Studiul frecării metalelor (fier, oţel, fontă, alamă, cositor) şi a materialelor fibroase (lemn, piele, lână)

(Rennie 1829, în Dowson 1979)

Aplicaţii la frânarea feroviară

Studiul contactului roată-sabor şi roată-şină (Galton&Westinghouse 1878)

Încercări la scară reală: comandă pneumatică, dinamometru hidraulic

(Dowson, 1979) PRIMELE APROXIMĂRI ALE FRECĂRII

Prima ipoteză

SUPRAPUNEREA PARŢIALĂ A ASPERITĂŢILOR (Amontos 1699, Coulomb 1781)

Forţa de frecare = Efortul necesar pentru a ridica asperităţile unei suprafeţe deasupra celor de pe suprafaţa antagonistă

Evaluare experimentală

Noţiunea de unghi de frecare (Euler 1748)

3,01,0 << µ implică �� 176 << ϕ

ϕµ tg=


31

Vinci (sec. XV): NT FF4

1= » 25,0=µ

Amontos (1699): NT FF3

1= » 33,0=µ

Coulomb (1781): AFF NT += µ µ este dar de suprapunerea asperităţilor A dă coeziunea suprafeţelor

Evaluare teoretică

Reprezentarea suprafeţelor prin emisfere în contact (Belidor 1735)

Corpuri rigide – Concepte geometrice

NT FF22

2= » 35,0≈µ

Rezultat independent de numărul de asperităţi

Asperităţi piramidale (Euler 1748)

Obiecţie teoretică Obiecţie experimentală

Neutralizarea contribuţiei asperităţilor

Efortul depus pentru a urca panta

asperităţilor compensat de efortul depus pentru a le coborî

Frecarea corpurilor netede nu este niciodată nulă

» Frecarea sticlei acoperită de un monostrat de acid gras (Hardy 1923)

Grosimea stratului << înălţimea rugozităţilor (factor > 10)

Suprafeţe curate: 6,0=µ

Supafeţe grase: 06,0=µ

Rezultate inexplicabile prin teoria suprapunerii asperităţilor

A doua ipoteză

DEFORMAREA SUPRAFEŢELOR (corpuri deformabile – concepte mecanice)

Deformarea pistei prin penetrare datorită frecarii rigide Lainton

Bilă - plan Con - plan


32

πθµ 4=

�10=θ dă 074,0=µ �30=θ dă 23,0=µ

�10=θ dă 11,0=µ �30=θ dă 37,0=µ

A treia ipoteză

ADERENŢA suprafeţelor (Materiale reactive)

Sudare (coeziunea) prin efectul strivirii a două sfere de plumb

presate puternic (Desagulier 1725)

Aderenţa suprafeţelor curate (Morin 1930)

Noţiunea de joncţiune adezivă (Holm 1938)

Evaluarea forţei de atracţie de mărimea a 14 MN/m2

joncţiuni adezive

Devoltarea de legături moleculare pe suprafaţa de

contact prin apropierea atomilor sub efectul strivirii

TRIBOLOGIA A DOUĂ CORPURI

Mărimea redusă a ariei reale (efectivă) de contact

Contact oţel – oţel (cubul de 100 mm latura, masa 7,8 kg)

210000mmAc = şi 203,0 mmAr =

%03,0≈c

r

A

A

Aria reală Ar << Aria aparentă Ac

01,0≈rA la 1%Ac (Kragelski 1981)

Aria relaă de contact ∑= discreteAriilor

Microcontactele suportă toată sarcina

Deformaţie elastică Deformaţie plastică

Presiunea reală r

N

A

F>> Presiunea aparentă

c

N

A

F

θπθθµ

2sin

2sin2 −= θ

πµ tan

2=


33

Comportarea tribologică a materialelor necesită cunoaşterea următoarelor aspecte

fundamentale:

a) Efectul mediului asupra caracteristicilor suprafeţei în timpul interacţiunilor fizico–chimice;

b) Generarea şi transmiterea forţei între suprafeţele în contact;

c) Comportarea materialului în apropierea suprafeţei, ca răspuns al forţelor exterioare ce

acţionează în punctele de contact ale suprafeţei.

Generarea forţei de frecare are loc la nivelul contactului interfacial ca urmare a deformaţiilor

elatoplastice, aşa cum se va vedea detaliat în paragraful următor. Transmiterea forţelor de frecare se

face din zona suprafeţei către volumul de material, având loc transformări ale materialului.

Răspunsul materialelor la o sarcină exterioară aplicată ciclic depinde de microstructura sa şi poate fi

un răspuns elastic, elastoplastic sau vîscoelastic. În acest sens, răspunsul unui material se

caracterizează prin starea de deformaţii (mărime, viteză, câmp termic) atunci când se cunoaşte

starea de tensiuni, incluzând starea acestora asupra ruperii.

Conform primului principiu al termodinamicii, lucrul mecanic generat de forţa de frecare

externă trebuie să fie egal cu suma dintre creşterea energiei interne şi energia disipată pe şi lângă

interfaţa celor două corpuri. Enegia internă poate schimba crearea noilor suprafeţe şi distribuţia

tensiunilor reziduale elastice. Dintre mecanismele de consum ale energiei se pot enumera

deformaţiile plastice şi viscoase, pierderile prin histerezis (mecanic, electric şi magnetic), crearea de

dislocaţii etc. În stadiul actual al cercetărilor, forţa de frecare este considerată ca fiind consumatorul

principal al acestei energii, schimbările din energia internă se neglijează.

3.4.2. Generarea forţei de frecare

Frecarea exterioară este definită ca rezistenţa opusă mişcării relative a unui corp solid faţă de

altul. Forţa de rezistenţă are sensul opus mişcării.

Frecarea exterioară este efectul unui proces de disipare a energiei ce apare în transferul foţei

de la un solid la altul, în prezenţa mişcării relative, prin intermediul ariei reale de contact. În funcţie

de modul de transfer, frecarea poate fi de alunecare, pivotare şi rostogolire.

Evaluarea cantitativă a frecării se face prin forţa de frecare (Ff) şi momentul de frecare (Mf)

pentru frecarea de alunecare şi respectiv pivotare şi rostogolire.

În practica inginerească, pentru evaluarea frecării, se folosesc patru mărimi adimensionale

[A15, A19, A30]:


34

1) Coeficientul de frecare la alunecare: f

n

F

F=µ , nF – forţa nominală. Referitor la prelucrarea

metalelor prin presare, coeficientul de frecare este raportul dintre rezistenţa tangenţială din zona de

contact şi limita de curgere a materialului prelucrat. În acest caz, în concordanţă cu teoria

plasticităţii, coeficientul de frecare nu poate depăşi valoarea 0,5.

2) Coeficientul de frecare la şoc ( )( )

t

n

m

m=

∆µ∆

v

v, ( )tm∆ v – variaţia cantităţii de mişcare

(impuls) după direcţia tangenţială în timpul şocului; ( )nm∆ v – variaţia cantităţii de mişcare după

direcţia normală.

3) Coeficientul de pierderi prin frecare fW

W=µ , fW – lucrul mecanic (energia) consumată

prin frecare, W – lucrul mecanic total.

4) Coeficientul rezistenţei la rostogolire lk

R=µ , lk – dimensiunea specifică de rostogolire,

R – raza de rostogolire.

3.4.3. Legile frecării de alunecare

Prin observaţii experimentale s–au dedus două „legi” de bază ale frecării. Legile sunt entităţi

empirice şi nu sunt încălcate principiile fizice.

Cele două „legi” de bază au fost enunţate, iniţial, de Amonton în 1699:

1) Frecarea este independentă de aria aparentă de contact a celor două corpuri (o cărămidă sub

greutatea proprie necesită aceeaşi forţă de frecare, indiferent pe care dintre feţe este trasă).

2) Forţa de frecare este proporţională cu sarcina normală dintre corpuri.

Coulomb în 1785 a propus cea de–a „treia” lege:

3) Frecarea cinetică este independentă de viteza de lunecare – are un domeniu mai puţin de

aplicabilitate decât celelalte două.

Coeficientul de proporţionalitate din legea a doua, nF F= µ , este coeficientul de frecare.

După cum frecarea poate fi statică sau cinetică, rezută coeficient de frecare static sµ sau cinetic

kµ .

Explicarea legilor lui Amonton [A1, A15, A19, A22, A27, A30, A31]

Se fac următoarele două presupuneri (ipoteze):


35

1. În timpul alunecării, forţa rezistivă pe unitatea de arie de contact este constantă:

f rF A s=

unde: Ff este forţa de frecare, rA – aria reală de contact, s – forţa specifică de frecare (forţa pe

unitatea de arie).

2. Aria reală de contact, rA , este proporţională cu forţa normală nF ,

nrA q F=

unde q este o constantă de proporţionalitate.

Eliminând rA , rezultă f nF q s F= .

Prima ipoteză este uşor de justificat, nu se implică nici o presupunere privind natura forţei

specifice de frecare.

A doua ipoteză nu poate fi justificată în toate cazurile, dar pentru anumite condiţii de contact

valabilitatea este asigurată:

a) pentru contactul plastic total, aria reală nu depinde de topografia suprafeţei;

b) ori de câte ori suprafeţele de contact au distribuţie exponenţială sau normală Gauss a

înălţimii rugozităţii, aria reală nu depinde de modul de deformaţie.

3.4.4. Originile frecării

3.4.4.1. Introducere

Se ştie că forţa de frecare este datorată interacţiunilor dintre asperităţile opuse ale celor două

suprafeţe cu alunecare. Fiecare interacţiune a asperităţii va contribui la forţa de frecare, astfel că

forţa de frecare totală va fi suma acestor forţe ale contactelor individuale.

Pe deasupra, la mişcarea relativă a suprafeţelor, energia consumată este continuu disipată la

suprafeţe sau în apropierea acestora, energia disipată în unitatea de timp va fi suma energiilor

disipate în procese individuale în acelaşi timp.

Cercetările experimentale privind evoluţia coeficientului de frecare în timp şi implicit cu

distanţa de alunecare sau de rulare permit observarea şi analizarea următoarelor 6 stadii, prezentate

în fig. 3.4.1.1 [A27].

Stadiul I . În acest timp, forţa de frecare este influenţată semnificativ de deformarea şi

brăzdarea suprafeţei de către rugozităţi. Adeziunea nu are un rol important deoarece suprafaţa este

„contaminată” cu oxizi, grăsimi etc.


36

Fig. 3.4.4.1.1. Evoluţia

coeficientului

de frecare cu distanţa de alunecare.

Stadiul II . Forţa de frecare creşte lent ca urmare a adeziunii. Când suprafaţa este lubrifiată,

stadiul I persistă mai mult timp şi stadiul II nu poate fi prezent. Panta de creştere a coeficientului de

frecare poate fi mai mare, dacă sunt generate particule de uzură prin deformarea şi ruperea

rugozităţilor şi odată antrenate în interstiţiu contribuie la brăzdare.

Stadiul III . În acest stadiu, coeficientul de frecare creşte rapid ca urmare a creşterii numărului

de particule de uzură antrenate în interstiţiu ca o consecinţă a vitezei mari de uzare. Panta de

creştere este esenţial influenţată de către adeziunea suprafeţelor nou create prin uzare. Forţa

necesară deformării asperităţilor continuă să aibă un rol important în totalul forţei de frecare.

Particulele de uzură sunt generate când deformaţiile din substratul de material sunt considerabile,

nucleaţia fisurilor este prezentă şi are loc propagarea lor la suprafaţă. O parte dintre aceste particole

pătrund în interstiţiu şi produc brăzdarea suprafeţei. Brăzdarea are o pondere mare, atunci când

particulele provin din suprafeţe metalice cu durităţi apropiate deoarece pătrund în ambele suprafeţe

şi este evitată alunecarea particulelor pe una dintre suprafeţe.

Stadiul IV . Coeficientul de frecare se menţine relativ constant dar ridicat, ca urmare a

numărului constant de particule de uzură. Adeziunea contribuie la menţinerea constantă a forţei de

frecare. Generarea particulelor noi coexistă cu îndepărtarea din interstiţiu a particulelor vechi.

Deformarea asperităţilor continuă să aibă loc, deoarece se formează noi suprafeţe rugoase prin

delaminare. Când cele două materiale cu mişcare relativă sunt metale asemănătoare sau când

mecanismul specific stadiului V nu are rol important, coeficientul de frecare rămâne la valoare

ridicată şi caracterizează frecarea între cele două metale.

Stadiul V. În anumite cazuri, ca de exemplu atunci când un element al cuplei este mult mai

dur decât celălalt element şi este elementul fix, frecarea se reduce destul de repede. Asperităţile

dure formează o suprafaţă foarte fină pe elementul mai puţin dur, fără să apară deformaţii

importante pe aceste asperităţi. În aceste condiţii, forţa de frecare se reduce ca urmare a reducerii

brăzdării.


37

Stadiul VI . În cazul existenţei mişcării suprafeţei dure, suprafaţa moale va tinde să devină

„lucie” cu mici cratere, ca urmare a microaşchierii anterioare, astfel că forţa de frecare va rămâne

constantă. În aceste cratere se vor „ancora” particule de uzură. Atunci când suprafaţa dură este fixă

şi suprafaţa moale este mobilă, suprafaţa dură rămâne rugoasă, deoarece numărul particulelor de

uzură prinse în interstiţiu este mare ca urmare a vitezei de uzare ridicate a suprafeţei moi. In acest

caz, stadiile V şi VI nu sunt prezente.

Evoluţia coeficientului de frecare pe cele şase stadii este dependentă de specificul materialelor

testate, condiţiile de mediu şi de particularităţile cinematice ale standului de încercare. În unele

cazuri, succesiunea stadiilor este alta decât aceea din fig. 3.4.1.1. De exemplu, alunecarea unui

material cu ductilitatea redusă conduce la o frecare cu salturi mari ca urmare a apariţiei rapide a

particulelor de uzură prin ruperea asperităţilor.

Observaţia că forţa de frecare este aproximativ constantă, la aceeaşi forţă normală, viteză,

material etc., se datorează faptului că numărul interacţiunilor care au loc la un moment dat este mai

mare şi că legea de distribuţia statistică a proceselor de contact este aproximativ constantă.

Este clar că frecarea are la bază două procese fundamentale – interacţiunea asperităţilor

(adeziune, deformare şi rupere) şi disiparea energiei.

Se apreciază, din punct de vedere fenomenologic că expresia coeficientului de frecare

cuprinde trei componente: de deformare, de adeziune şi de brăzdare

Aceste procese fundamentale nu sunt aditive, ci interactive.

3.4.4.2. Componenta de deformare a coeficientului de frecare

1) Cazul unei asperităţi sau particule de uzură

Dacă adeziunea nu are loc, altă alternativă de interacţiune este aceea că rezistenţa la mişcare

este una în care materialul este deformat şi deplasat în timpul mişcării relative (fig. 3.4.2.1).

a) b)

Fig. 3.4.4.2.1. Deformarea asperităţilor în procesul de alunecare:

a) Numai interacţiune a asperităţii; b) Interacţiune cu brăzdare macroscopică

Materialul mai dur pătrunde în materialul mai moale şi se produce sau nu o brăzdare, funcţie

de tensiunile maxime de pe interfaţă. Pentru analiza componentei de deformaţie a coeficientului de

frecare se aplică teoria liniilor câmpului de deformare Hencky [A27].


38

Se consideră două asperităţi în contact, dintr–un material cu comportament rigid– perfect

plastic (material Prandtl) şi care se găsesc în starea plană de deformaţii. Deformaţia va trebui să

coincidă cu direcţia de alunecare şi rezultanta tensiunilor să fie egală cu sarcina normală aplicată

( Fz ). Un câmp posibil al liniilor de alunecare care să respecte condiţia cinematică este cel prezentat

în fig. 3.4.4.2.2.

Fig. 3.4.4.2.2. Modelul

liniilor de câmp pentru

contactul asperităţii.

Soluţia impune ca tensiunea de forfecare în direcţia OA să fie corespunzătoare satisfacerii

condiţiei ca unghiurile θ şi α să fie egale (deformaţia rezultantă să coincidă cu direcţia de

alunecare cunoscută). Această condiţie este posibilă numai când lubrifierea pe suprafaţa AO este

asigurată şi există rugozităţi pe AO suficiente pentru a avea loc interacţiuni mecanice.

Interfaţa OA dintre asperităţi şi suprafaţa liberă OD sunt considerate în plan drepte cu

unghiurile θ şi 'θ , măsurate de la direcţia de alunecare. De notat că linia de alunecare ABCD este o

linie β , conform teoriei cîmpului liniilor de alunecare. Utilizând relaţiile Hencky, se pot scrie

tensiunile în lungul liniiolr de alunecare:

În D,

'

4= + πφ θ şi kp = (3.4.4.2.1)


39

În lungul dreptei AB

2= − + πφ α θ şi '1 2 2 2

2ABp k = + + − −

π α θ θ (3.4.4.2.2)

Prin izolarea joncţiunii ABO, prezentată în fig. 3.4.4.2.3, se pot scrie ecuaţiile de echilibru

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sin O cos O sinF AB p AB k B k B p= − − − + − − −θ α θ α θ α θ αz (3.4.4.2.

3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos O sin O cosF AB p AB k B k B p= − + − + − − −θ α θ α θ α θ αx (3.4.4.2.

4)

Fig. 3.4.4.2.3. Izolarea

joncţiunii şi

tensiunile de contact.

Prin definiţie, coeficientul de frecare este

( ) ( )( ) ( )

'

'

1 2 2 2 2 sin cos 2

1 2 2 2 2 cos sin 2d

F

F

+ + − − + −= =

+ + − − + −

π α θ θ θ α θµ

π α θ θ θ α θx

z

(3.4.2.5)

În fig. 3.4.5.2.4 se prezintă dependenţa componentei de deformare a coeficientului de frecare

de unghiul de înclinare al asperităţii, considerată prismă.

Atunci când unghiurile α , θ , 'θ sunt mici (tind către zero), componenta de deformare a

coeficientului de frecare este:

10,39

1 2d = =+

µπ

(3.4.4.2.6)

Dacă joncţiunea nu este fixată în lungul interfeţei OA, rezistenţa la forfecare va fi mai mică

decât rezistenţa la forfecare k. În acest caz, tensiunea de forfecare interfacială este deviată de la

unghiul α şi este cos 2k=τ α .

Atunci când nu există tensiuni de forfecare în lungul feţei OA ( 4=α π ), joncţiunea alunecă

în timp ce se deformează numai sub sarcina normală. În timpul acestei alunecări, componenta de

deformaţie a coeficientului de frecare se obţine din (3.4.2.5) prin înlocuirea 4=α π şi este

constant cu variaţia unghiului 'θ . Pentru cazul frecvent =α θ , rezultă


40

tgd =µ θ (3.4.4.2.7)

Fig. 3.4.4.2.4. Dependenţa

componentei de deformare de

unghiul asperităţii.

2) Contactul mai multor rugozităţi (contactul multiplu)

Prezenţa mai multor rugozităţi pe suprafaţa de frecare impune luarea în consideraţie a

aspectelor aleatoare ale geomtriei rugozităţii (înălţime, pas, rază de curbură).

Se apreciază că regimul termic în procesul de lunecare este stabilizat, astfel că proprietăţile

fizico–mecanice ale rugozităţilor se menţin constante. Forţa tangenţială necesară deformării

mecanice a asperităţilor pe direcţia de lunecare (t mF ) se obţine prin însumarea forţelor elementare

ce apar pe cele n asperităţi ce se găsesc în contact ca urmare a sarcinii normale nF .

0

n

t m t iF F dn= ∫ (3.4.4.2.8)

în care t iF este forţa tangenţială necesară deformării asperităţii i şi depinde de starea de deformaţie

şi secţiunea asperităţii i la nivelul corespunzător deformării sub sarcina normală.

Cazul 1. Unghiul de atac al rugozităţii sau al particulei abrazive (α ) ca variabilă

aleatoare.

În cazul în care unghiul de atac al rugozităţii sau al particulei abrazive (α ) este variabilă

aleatoare, se poate face medierea statistică a coeficientului de frecare. În acest sens se analizează

funcţia de frecvenţă ( )fp a acestui unghi şi caracteristicile sale statistice. Se consideră funcţia de

frecvenţă ca funcţie continuă şi variabila aleatoare α cuprinsă între minα şi maxα . Evaluarea

caracteristicilor statistice ale unghiului α permite stabilirea funcţiei de frecvenţă teoretice cea mai

apropiată de rezultatele măsurătorilor. Cele mai utilizate funcţii de frecvenţă ale geometriei

rugozităţilor sunt:


41

i) funcţia de frecvenţă constantă, f cp , care, din condiţii de normare (eveniment sigur în

intervalul minα , maxα , aria situată sub curba de frecvenţă să aibă valoare unitară), are

expresia

max min

1f cp =

−α α (3.4.4.2.9 i)

ii) funcţia de frecvenţă liniar ă, f lp . Se consideră cunoscute valorile extreme ale variabilei

aleatoare minα , maxα şi frecvenţa maximă maxfp . În aceste condiţii, funcţia de frecvenţă are

expresia

f lp a b= +α unde ( ) ( )max min max minf fa p p= − −α α ,

( ) ( )max max min max max minf fb p p= + −α α α α şi

( )min max min max2f fp p= − −α α

(3.4.4.2.9 ii)

iii) funcţia de frecvenţă exponenţială, f ep . Se consideră cunoscute valorile extreme ale

variabilei aleatoare minα , maxα şi frecvenţa maximă maxfp . Similar, rezultă funcţia de

frecvenţă

( )expf e e ep a b= − α cu ea şi eb determinabile din condiţia de normare. (3.4.4.2.9 iii)

iv) funcţia de frecvenţă normală (Gauss), f np . Se consideră cunoscute valorile extreme ale

variabilei aleatoare minα , maxα şi media mα . Astfel, funcţia de frecvenţă are expresia

( )2

2m1

exp2 2

f nn n

p − = − α α

α ασ π σ

(3.4.4.2.9 iv)

valorile abaterii medii pătratice a unghiului de atac al rugozităţilor ( nασ ) determinîndu–se

numeric din condiţii de normare.

Dacă se cunoaşte funcţia de frecvenţă ( fp ) a unghiului α , atunci se poate calcula valoarea

medie a componentei de deformare a coeficientului de frecare (µdm)

( ) ( )max

min

fdm d p dα

=α

µ µ α ε α∫ (3.4.4.2.10)


42

Cazul 2. Rugozităţi de formă sferică cu raza constantă şi înălţimea variabilă aleatoare

Se explicitează expresia componentei de deformaţie a coeficientului de frecare pentru cazul

rugozităţilor sferice cu raza constantă şi înălţimea ca variabilă aleatoare.

În cazul contactului unei suprafeţe rugoase cu toate rugozităţile sferice de aceeaşi rază R şi

înălţimi diferite cu o suprafaţă plană ideală, se găsesc n asperităţi. Dacă legea de dispunere a

înălţimii rugozităţii este 0

( )n

fn

=z ( 0n – numărul total de rugozităţi de pe suprafaţa de referinţă) se

poate scrie

0 ( )dn n f d= z z’ (3.4.4.2.11)

Fig. 3.4.4.2.5. Schema

contactului multiplu cu

sfere de aceeaşi rază.

• Pentru distribuţia polinomială a înălţimii rugozităţii şi contactul plastic

1( ) , '( )s sf t f t s −= =z z z z cu t şi s constante ce se vor determina din condiţiile de normare.

Forţa tangenţială necesară deformării plastice a rugozităţilor este [A15, A30].

1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 20,55 0,55 ( )t i i c cF R c R R c= = −π δ σ π ε σy z (3.4.4.2.12)

în care Ry este înălţimea maximă a rugozităţii, ε – înălţimea relativă a uneia dintre rugozităţi

h

R

=

ε

y

, c – constantă ce depinde de forma rugozităţii (pentru sfere c = 3), cσ – rezistenţa la

curgere a materialului deformat.

01,2

nb As n t

R R= − = νν

π y

unde t, s – constante determinate pe baza parametrilor b, ν ai curbei de portanţă Abbott–Firestone,

nA fiind aria nominală de contact.

Deci, ( ) 21

2nA b

dn dR R

−− ν=ν ν

π y

z z

Înlocuind în integrală rezultă


43

( ) ( )

2 11/ 2 12

3/ 2 21 1/ 2

0 0

0,55 11

2

nc

tn

t mc b A R

F F dn dR

+

−−

ν− ν= = ⋅ −

σ ν ν ε∫ ∫

yy y y (3.4.4.2.13)

în care =εz

y .

Dacă se ţine seama de relaţia dintre nF şi ε [A30]

( ) 2 11 2 3 2* 1/ 2 3/ 2 3 2 * 2

0

14 5 4 5; ; 1

3 2 3 2 2s n

nb A R R

F E n t s R R s ER R

ν++ − = Β = Β −

ν νε ε ν

πy

y

y

(3.4.4.2.14)

cu ( )5

15 2

; 1322

B

− − =

+

Γ Γ νν

Γ ν , funcţia betta [ ( )Γ x – funcţia gamma], se deduce coeficientul de

frecare pentru contactul multiplu de tip sfere cu rază constantă, deformaţii plastice şi distribuţie

polinomială

( ) 1 2

111,65342

a a

pt m n n n

r pd pn c c c

r rF Rp p p

k kF c b R c c

ν+ = = = =

+

Γ νπµ ∆σ σ σΓ ν

y (3.4.4.2.15)

în care nn

n

Fp

A= este presiunea nominală de contact; prk – constantă a microgeometriei

( )1 2

11,65 1342

R

R b ν

+

+

Γ νπ

Γ νy ;

1

2a =

ν= constantă.

• Pentru distribuţia polinomială a înălţimii rugozităţii şi contact elastic, se deduce:

( )

12 11 2 2 1 2 1

* *

31,1 2

2

ah

h

en n

r r rd eep p

k kE E

++ +ν ν

νν ν ν

+ = = +

Γ ναµ ∆ α ∆Γ νπ

(3.4.4.2.16)

în care ( ) ( )

22 13

3 254 1 12

k

+ν

ν

ν

+ =

− −

Γ νπν ν Γ Γ ν

;

hα – coeficientul pierderii prin histerezis al materialului;

1rR

Rb ν=∆ y – parametrul complex al microgeometriei;


44

rek – constantă a microgeometriei pentru deformaţii elastice ( )1 2

31,1 2

2rek k νν

+ =

+

Γ ν

Γ νπ;

1

2 1ea =+ν

.

3.4.4.3. Componenta de adeziune a coeficientului de frecare

1) Adeziunea ca măsură a energiei interfaciale

Când două suprafaţe sunt încărcate împreună ele pot adera pe o parte din aria reală, formând

joncţiuni şi care se desfac dacă alunecarea are loc. Desfacerea va avea loc în partea cea mai slabă a

joncţiunii, care poate fi interfaţă originală sau pe o suprafaţă a unuia dintre cele două materiale.

Dacă desfacerea este chiar interfaţa originală, atunci interacţiunea produce un stres (o tensiune),

care, prin acumulare, va genera particulă de uzură prin mecanismul de oboseală.

Dacă desfacerea are loc în materialul mai moale dintre cele două materiale, atunci acest

fragment de material se va transfera pe contrapiesa mai dură.

Pentru explicarea contribuţiei adeziunii la frecare, este necesară descrierea adeziuii a două

solide în contact static.

– Energia superficială liberă a unui solid este definită, din punct de vedere termodinamic, ca

energia reversibilă necesară formării unei unităţi de arie a unei noi suprafeţe.

– Similar, dacă două suprafeţe sunt aduse în contact, energia liberă interfacială este definită,

din punct de vedere termodinamic, ca energia reversibilă necesară formării unei unităţi de arie a

interfeţei. Astfel, dacă se notează cu 1γ şi 2γ energiile superficiale, se formează o interfaţă cu

energia interfacială 12γ , atunci energia eliberată este

1 2 12= + −∆γ γ γ γ (3.4.4.3.

1)

Această cantitate este cunoscută ca lucrul mecanic al adeziunii, în principiu, măsură a energiei

(lucrului mecanic) necesar separării corpurilor.

De exemplu: Alγ = 900 erg/cm2 = 900⋅10–7 J/cm2, Woγ = 2300⋅10–7 J/cm2, Feγ = 1500⋅10–7;

Auγ =⋅ 1120⋅10–7; Cuγ =⋅ 1100⋅10–7; Pbγ =⋅ 450⋅10–7; Znγ =⋅ 790⋅10–7,[A9, A15, A24].

Deşi ecuaţia (3.4.4.3.1) ese cunoscută ca fiind valabilă pentru lichide, Tabor (1985) [A24] a

arătat că nu poate fi aplicată întocmai pentru solide ideal elastice/casante. Pentru solide de alte

tipuri, energia calculată cu (3.4.4.3.1) este numai o parte mică a energiei necesară separării

suprafeţelor.


45

Totuşi, deşi lucrul termodinamic al adeziunii ete de mică relevanţă în multe contacte, lucrul

mecanic şi forţa de separare a suprafeţelor sunt relevante, astfel că Tabor (1985) [A24] a propus

denumirea de lucrul mecanic de „scoatere liberă” şi forţă de „scoatere liberă”.

Una dintre sursele de disipare a energiei de frecare este formarea şi distrugerea legăturilor

moleculare din punctele de contact ale suprafeţei ce alunecă. Aceste prinderi se numesc

microprinderi. Un parametru de bază ce evaluează componenta moleculară a frecării este

c

τσ

(τ – rezistenţa de forfecare a legăturii moleculare; cσ – rezistenţa la curgere a materialului de

bază).

Cauza acestor microprinderi este existenţa forţelor Van der Waals (energia de ordinul

0,15⋅10–19J).

În zona de contact există un transfer continuu de energie, formându–se şi distrugându–se

straturile, astfel că se poate defini un „al treilea corp” în continuă transformare. Puterea superficială

transmisă prin acest corp este de ordinul de mărimea 103 W/mm2, astfel că substanţa din zonă se

găseşte în stare de disociere [A9, A15].

Rezistenţa la alunecare a unei legături din corpul terţ se evaluează prin energia de activare U,

necesară distrugerii acestei legături.

Potrivit teoriei lui Frankel, un atom al unui metal în stare topită trece dintr–o stare de echilibru

la alta, prin două faze – evaporare şi condensare. În acest caz, timpul de staţionare în starea de

echilibru, t, este:

0 expU

t tk

=

θ (3.4.4.3.2)

unde 0t este timpul corespunzător unei energii foare mici 0U → , k – constanta Boltzmann, θ –

temperatura.

Se consideră că rezistenţa la alunecare (τ ) a corpului terţ este proporţională cu timpul de

staţionare

00 0 0 0exp exp 1r r

rU p pU U

a t a t a a pk k k k

+= = = ≈ + + = +

γ γτ τ βθ θ θ θ

(3.4.4.3.3)

unde rp este presiunea reală de contact, γ – coeficient ce ia în consideraţie dimensiunile

„prinderii” suprafeţelor; 00

Ua a

k= +τ

θ – tensiune specifică la forfecare; β – coeficient al


46

componentei moleculare a frecării, 0 0a tk T

= γβ – piezocoeficient caracteristic „corpului terţ”,

format în zona de frecare.

Pentru multe materiale (metale şi polimeri) în regim uscat β = 0,02–0,15. Pentru cupla de

frecare metal–metal fără lubrifiant 0τ = 2...3 MPa, iar cu lubrifiant 0τ = 1...1,5 MPa. Pentru cupla

polimer 0τ = 0,2...0,5 MPa.

Considerând că „legăturile” au loc numai pe aria reală de contact ( rA ), se deduce coeficientul

de adeziune moleculară (f),

0t

n

r

r r r

F Af

F p A p= = = +ττ β (3.4.4.3.4)

unde tF este forţa tangenţială generată de adeziunea moleculară şi nF este forţa normală.

Mărimile 0τ şi β se pot determina experimental pe standuri specializate [A15] şi au valorile

precizate în tabelul 3.4.3.1 pentru unele materiale.

Tabelul 3.4.4.3.1

Material 0τ , N/mm2 β

Vanadiu 18,0 0,250

Crom 50,0 0,240

Beriliu 4,5 0,250

Platină 95,0 0,100

Cupru 110 0,110

Argint 65,0 0,090

Aluminiu 30,0 0,043

Zinc 80,0 0,020

Cositor 12,5 0,012

Cositor 12,5 0,012

Componenta de adeziune moleculară (f) poate fi evidenţiată şi pentru regimul de frecare

limită.

Mărimile 0τ şi β depind de natura stratului din zona de frecare şi de materialul suprafeţei.

De exemplu, pentru contactul unei epruvete din sticlă pe parafină, s–a constatat că forţa de frecare


47

( fF ) depinde de numărul straturilor de săpun de calciu depus pe sticlă, 0fF fiind forţa moleculară

( 0 rAτ ) dependentă seminficativ de numărul straturilor de pe suprafaţă (fig. 3.4.3.1).

Fig. 3.4.3.1. Evoluţia forţei de adeziune cu numărul de straturi de contaminanţi.

0 0

0 0

f

f

n n n n

n n

r r

r

F f F F F Fp p

A F F F

= = + = + =

= + = +

τ τβ β

τ β β

(3.4.4.3.

5)

Un oţel de scule cu patru lichide diferite are 0τ = 1…16,5 MPa (N/mm2) şi β = 0,04…0,11;

un bronz cu aceleaşi patru lichide are 0τ = 0,5…7 MPa şi β = 0,03…0,6.

Cunoaşterea mărimilor moleculare 0τ şi β , pentru anumite condiţii de lucru şi de calitate a

surpafeţei de frecare pentru care se poate determina presiunea reală ( rp ), permite calculul analitic

al coeficientului de adeziune moleculară (f).

Pentru multe metale β = 0,02…0,15; pentru cupla metal–metal fără ungere 0τ = 2,5–30 MPa

şi cu ungere 0τ = 0.01...0.1 MPa; pentru cupla metal–polimer 0τ = 0,2–0,5 MPa.

2) Adeziunea ca măsură a deplasării relative

Se consideră doua suprafeţe plane care vin în contact, aşa cum se observă în fig. 3.4.3.2.

Forţa necesară pentru mişcarea suprafeţelor depinde de natura aderenţei în lungul suprafeţei

ED. Când nu nu există adeziune, atunci forţa este zero şi când adeziunea este totală, forţa este

maximă. Soluţia acestei probleme se poate obţine utilizând teoria câmpului liniilor de alunecare

Hencky. Forma geometrică a acestui câmp este dependentă de condiţiile limit ă de pe frontiera ED.

Se adoptă soluţia dată de Suh. Geometria asperităţii rigide este o prismă triunghiulară, caracterizată

prin unghiul α şi lungimea L, şi este în contact cu o suprafaţă deformabilă plastic, caracterizată

prin rezistenţa la forfecare c k=τ . Se pune problema evaluării coeficientului de frecare la


48

alunecarea asperităţii rigide, atunci când pe suprafaţa de contact există frecare caracterizată prin

coeficientul de adeziune f .

Fig. 3.4.4.3.2. Modelul liniilor de deformaţie pentru evaluarea adeziunii.

Liniile ce pornesc din punctele A şi D sunt drepte şi paralele cu suprafaţa liberă. Tensiunea

de forfecare ce acţionează la interfaţă pe suprafaţa moale are sensul opus mişcării (sensul DE). Pe

suprafaţa liberă AE nu există tensiuni, astfel că linia de alunecare este înclinată cu unghiul 4π faţă

de AE.

Din condiţii geometrice rezultă

'sin sinAE ED=θ α (3.4.4.3.6)

şi

( )sin 4 sinAE ED=π β (3.4.4.3.7)

unde 'θ este panta dreptei AE şi β este unghiul EDC.

Tensiunea de forfecare pe faţa DE se obţine ca

cosDE f k k= =τ β (3.4.3.8)

în care k este rezistenţa la forfecare a materialului şi f coeficientul de adeziune

sau cos 2f = β (3.4.4.3.9)

Dezvoltând funcţia cos 2β în funcţie de sinβ , din (3.4.4.3.7…3.4.4.3.9), se deduce unghiul

'θ

sin' arcsin1 f

=−αθ (3.4.4.3.10)

Din echilibrul forţelor generate de tensiunile normale şi tangenţiale de pe faţa ED, rezultă

componenta de adeziune a coeficientului de frecare:


49

( )( )

sin cos arccos

cos sin arccosaA fF

F A f

+ −= =

+ −α αµα α

x

z

(3.4.4.3.11)

în care sin

1 arccos 2 2arcsin2 1

A ff

= + + − − −

π αα

În cazul în care asperitatea rigidă este degenerată într–o suprafaţă plană, 0→α ,

componenta de adeziune a coeficientului de frecare este

( )00 sin arccosa

f

A f=

+µ (3.4.4.3.12)

cu 0 1 arccos2

A f= + +π

În fig. 3.4.3.3 se prezintă evoluţia componentei de adeziune a coeficientului de frecare cu

mărimea unghiului de atac α al asperităţii rigide, pentru diverse stări de contaminare a suprafeţei

de contact (f).

Fig. 3.4.4.3.3. Variaţia

componentei

de adeziune cu unghiul asperităţii.

3.4.4.4. Componenta de brăzdare (plowing) a coeficientului de frecare

Brăzdarea poate apare datorită penetrării asperităţilor dure sau penetrării particulelor de

uzură. În fig. 3.4.4.1 se shematizează modelul de brăzdare al particulelor de uzură.

Când cele două suprafeţe au durităţi egale, particula poate penetra ambele suprafeţe. În

prezenţa mişcării relative, dislocarea (brazdele) apare pe una sau pe ambele suprafeţe. Atunci când

una dintre suprafeţe este dură şi netedă, particula de uzură alunecă pe suprafaţa dură fără să

brăzdeze. Dacă una dintre suprafaţe este dură şi rugoasă, particula de uzură se fixează pe această

suprafaţă şi dislocă cealaltă suprafaţă moale.


50

a) b) c)

Fig. 3.4.4.4.1. Model de interacţiune al particulelor dure cu suprafeţele de frecare, ambele cu

durităţi reduse (a); o suprafaţă dură şi una moale (b); mărimea penetrării (c).

Se analizează expresia componentei de brăzdare a coeficientului de frecare pentru două

forme simple de particule de uzură sau de rugozităţi: particulă conică şi particulă sferică [A27], (fig.

3.4.4.4.2).

Fig. 3.4.4.4.2. Model pentru

brăzdarea suprafeţei:

a) con; b) sferă.


51

Pentru o rugozitate conică (fig. 3.4.4.4.2a), forţele normale dFz şi cele tangenţiale pe direcţia

de mişcare dFx , care acţionează asupra unui element de arie dA, sunt

cosdF p dA= θz (3.4.4.4.1)

sin cos sindF p dA s dA= +θ γ γx (3.4.4.4.2)

unde secdA r dr d= θ γ , p şi s sunt presiunea normală şi tensiunea de forfecare care acţionează pe

aria elementară a conului.

Prin integrarea ec. (3.4.4.4.1) şi (3.4.4.4.2) în raport cu raza r (valoarea maximă w) şi a

unghiului γ (valoarea maximă π ), se obţin

2

8

wF p= πz (3.4.4.4.3)

2

tg sec4

w sF p

p

= +

θ θx (3.4.4.4.4)

în care w este diametrul de identare. Componenta de brăzdare a coeficientului de frecare este

2tg secp

F s

F p

= = +

µ θ θ

πx

z

(3.4.4.5)

Pentru o asperitate sferică (fig. 3.4.4.2b), forţele normale dFz şi tangenţiale dFx ce apar pe

aria elementară dA pot fi scrise astfel

cosdF p dA= βz (3.4.4.4.6)

sin cos sindF p dA s dA= +β γ λx (3.4.4.4.7)

unde 2 sindA r d d= β β γ , r fiind raza sferei.

Prin integrarea acestor ecuaţii, se obţin forţele

2

8

wF p= πz (3.4.4.4.8)

1 2 1 22 22 2arcsin 1 2 1 1

2 2 2 2

w w w wF p r s r

r r r r

= − − + − −

x (3.4.4.4.9)

Componenta de brăzdare a coeficientului de frecare a unei asperităţi sferice cu diametrul de

identare w este

1 2 1 22 222 2

arcsin 1 2 1 12 2 2 2p

F r w w w s w

F w r r r p r

= = − − + − −

µπ

x

z

(3.4.4.4.10)


52

Pentru materialele metalice, rezistenţa la curgere p poate fi aproximată cu duritatea H, care

este H 6 c= τ , cu cτ rezistenţa la forfecare a materialului.

Cu aceste aproximări, rezultă expresiile componentelor de brăzdare ale coeficienţilor de

frecare pentru asperitatea conică, reprezentată în fig. 3.4.4.4.3 şi sferică, reprezentată în fig.

3.4.4.4.4, pentru diferite valori ale raportului dintre rezistenţa la forfecare a stratului contaminat de

pe interfaţă (s) şi rezistenţa la forfecare a materialului (cτ ):

2 1tg sec

6pc

s = +

µ θ θ

π τ pentru rugozitatea conică (3.4.4.4.11)


componentei de brăzdare a

coeficientului de frecare cu

unghiul de atac al asperităţii

conice.

1 2 1 22 222 2

arcsin 1 1 12 2 2 3 2p

c

r w w w s w

w r r r r

= − − + − −

µπ τ

pentru rugozitatea sferică.

(3.4.4.4.12)

În afara celor trei componente de bază ale frecării (adeziune, deformare, brăzdare) unei

asperităţi, pot apare şi altele, ca de exemplu cazul materialelor vîscoelastice cu histerezis mare

(amortizare interioară ridicată).


53


componentei de

brăzdare a

coeficientului de frecare

cu penetrarea relativă a

asperităţii sferice.

3.4.4.5. Componenta de histerezis a frecării

Se consideră că materialul se deformează elastic şi că o parte din energia necesară deformării

pe direcţia de lunecare se pierde prin histerezis. Această energie are ca efect o forţă de frecare [A18,

A30].

Pentru cazul în care un corp se consideră perfect rigid, de formă idealizată (sferă, cilindru,

con) şi celălalt un semispaţiu elastic, forţa de frecare aiF se defineşte ca energia necesară

deformării pe direcţia de alunecare (miL ) corespunzătoare unei lungimi de frecare egală cu

dimensiunea corpului pe acea direcţie (λ ):

miaih

LF =

λ (3.4.4.5.1)

Energia necesară deformării, miL , se apreciază prin energia elastică înmagazinată în corp şi

nerestituită (pierdere prin histereis),

mi i heL E= α (3.4.4.5.2)

unde ieE este energia elastică.

2*m

1

2ieV

E pE

= ( mp – presiunea medie de contact, *E – modulul de elasticitate redus al

materialului semispaţiului elastic *21

EE =

− ν, V – volumul de material deformat);


54

hα – coeficientul pierderilor prin histerezis (hα = 0,01 pentru metale, hα ≈ 0,6…0,8 pentru

elastomeri). De remarcat că acest coeficient depinde de temperatură şi de frecvenţa solicitărilor, în

special pentru materialele vîscoelastice.

Considerăm că pe o suprafaţă de arie A se găsesc 0n corpuri rigide (rugozităţi de formă

idealizată cu dimensiunea λ în direcţia de alunecare)

0 2

2

An ≈

λ

(3.4.4.5.3)

Din acest număr maxim de rugozităţi ( 0n ), numai o parte se găsesc în contact

( 0 , 1n n= ≤γ γ , γ – coeficient de „densitate” a rugozităţii), astfel că:

2

4 An = γ

λ (3.4.4.5.4)

Forţa totală de frecare prin histerezis, Fah, este:

2

3 3 *

4 4

2m

ain iah h hep VA A

F n F EE

= = =γ γα αλ λ

(3.4.4.5.5)

Prin definirea coeficientului de frecare, ahh

n

F

F=µ , rezultă:

* 32ah m

h hm

F p V

p A E

= =

µ γαλ

(3.4.4.5.6)

Se analizează concret expresia coeficientului de frecare prin histerezis, pentru trei forme

idealizate de rugozităţi: sferă, cilindru, con.

1. Rugozităţi sferice

Pentru evaluarea mărimii suprafeţei de contact (cerc de rază a), a tensiunilor (presiunea medie

mp şi presiunea maximă 0p ) şi a penetraţiei (δ ) se aplică teoria lui Hertz pentru cazul contactului

punctual al unei sfere rigide de diametru D, cu un plan din material elastic, caracterizat prin

modulul de elasticitate (E) şi coeficientul lui Poison (ν ). Se consideră forţa normală Fz . Schema

contactului este prezentată în fig. 3.4.5.1.


55

Fig. 3.4.5.1. Schema contactului unei

sfere rigide cu un plan vîscoelastic.

1 3

1 3

*22*

0* 2 2 23

3 622 ; ; ;34 1

2 2

m

DF F F Ea E

a p p EDE a D

= = = = = = −

δπ νπ

zz z (3.4.4.5.7)

– Volumul calotei sferice – volumul materialului deformat:

4 44 52 2 3

3 * 3

3 22

3 2 2 4 2 128 2m mp pD a

V D D DD D EE

= − ≈ = = =

π π π π πδ δ δ π (3.4.4.5.8)

Astfel, rezultă componenta de histerezis a coeficientului de frecare a unei asperităţi sferice

55

364 2m

h hp

E =

πµ α (3.4.4.5.9)

2. Rugozităţi cilindrice

Pentru evaluarea mărimii suprafeţei de contact (dreptunghi de laturi 2a şi L), a tensiunilor

(presiunea medie mp şi presiunea maximă 0p ) şi a penetraţiei (δ ) se aplică teoria lui Hertz pentru

cazul contactului liniar al unui cilindru rigid de diametru D, cu un plan din material elastic,

caracterizat prin modulul de elasticitate (E) şi coeficientul lui Poison (ν ). Se consideră forţa

normală Fz . Schema contactului este prezentată în fig. 3.4.5.2.

Fig. 3.4.4.5.2. Schema contactului unei cilindru rigid cu un plan vîscoelastic.


56

( )

1 21 2 *

* *

222 2

*

2 2;

4 4

22ln 1 ; 2

mm

pF D F Ea p a D

L DL E E

F D aa R R R

a DE L

= = ⇒ =

= − ≈ = − − ≈

π πππ

δ δ δπ

z z

z

(3.4.4.5.10)

– Volumul segmentului de cilindru:

( )33

3 333 32

3

1 2 1 82 2 cos

2 360 2

4 4

m

m m

pR a L LV L R a R R a L R

D D E

p pL DL D

D E E

= − − ≈ = = =

= =

π β β δπ

ππ

(3.4.4.5.11)

Componenta de histerezis a coeficientului de frecare al unor rugozuităţi cilindrice rigide de

densitate γ , cu un plan vîscoelastic caracterizat prin coeficientul de histerezis hα , este

43

*

42 m

h hpL

D E

=

µ γαπ

(3.4.4.5.12)

3. Rugozităţi conice

Pentru rugozităţile conice (fig. 3.4.5.3), distribuţia de presiuni pentru contactul elastic este de

forma:[A16].


contactului unei con rigid cu

un plan vîscoelastic.

( )

2

* 1 *

2

1 11 1

ctg cos ctg ln2 2

1 1

r

aap r E h E

r r

a

−

+ − = ⋅ = ⋅ − −

α α

* *2

1ctg

2mF h

p E EDa

= = =απ

z

(3.4.4.5.13)

– Volumul conului de material deformat

2 31 1ctg

3 3V a a= =π δ π α (3.4.4.5.14)


57

Înlocuind în definiţia componentei de histerezis a coeficientului de frecare, (3.4.5.12), rezultă

2 3 23

* 3 *

2ctg2

33m m a

h h hp p pa

EE D E

= =

ππ αµ γ α γ απ

(3.4.4.5.15)

unde 2

aF

ph D

= z , Fz fiind forţa exterioară normală preluată.

3.4.4.6. Coeficientul de frecare global

În procesul de frecare, forţa necesară pe direcţia de mişcare se compune dintr–o forţă pentru

învingerea adeziunilor, una pentru realizarea deformaţiilor cu sau fără histerezis şi una pentru

brăzdare. Astfel, expresia analitică a coeficientului de frecare are forma generală

a pd h= + + +µ µ µ µ µ (3.4.4.6.1)

în care dµ este componenta de deformaţie, aµ – componenta de adeziune, pµ – componenta de

brăzdare (plowing) şi hµ – componenta de histerezis.

Ponderea acestor componente în valoarea totală a coeficientului de frecare depinde atât de

geometria asperităţilor, cât şi de proprietăţile materialelor.

Componenta de deformaţie: Pentru asperităţi normale ale suprafeţelor cuplelor de frecare,

unghiul de atac este cuprins între 4 şi 20o, astfel că valoarea componentei de deformaţie a

coeficientului de frecare este cuprinsă între 0,43 şi 0,75 pentru suprafeţe perfect curate din oţel şi

fontă şi când întreaga forţă este preluată de asperităţi prin deformare plastică. Această componentă

este esenţială pentru frecarea statică şi pentru asperităţile noi formate în procesul de uzare.

Componenta de adeziune variază între 0 şi 0,4 pentru metale, depinzând de natura adeziunii.

Valori reduse se obţin pentru suprafeţe lubrifiate, iar valori ridicate pentru metale identice

necontaminate sau fără straturi de oxizi.

Componenta de brăzdare variază teoretic între 0 şi 1 pentru metale, depinzând de

adâncimea de penetrare. Valorile uzuale sunt situate între 0 şi 0,4. Limita superioară se obţine

atunci când materiale cuplei sunt metale identice, sau când în interstiţiu se găsesc particule uzură.

Limita inferioară a componentei de brăzdare a coeficientului de frecare apare atunci când nu există

nici o particulă de uzură şi una dintre suprafeţe are duritatea mai redusă decât cealaltă.

Componenta de histerezis variază între 0 şi 0,01 pentru metale şi depinde semnificativ de

proprietăţile viscoelatice ale materialului. Efect important îl are în frecarea de rostogolire.

În vederea evidenţierii faptului că evoluţia coeficientului global de frecare depinde

semnificativ de geometria rugozităţilor sau a particulelor de uzură, se prezintă cazul adeziunii şi

deformaţiilor unor rugozităţi, modelate ca sfere cu raza de curbură constantă (R) şi cu înălţimea


58

variabilă aleatoare. Microgeometria rugozităţilor se analizează cu ajutorul curbei de portanţă

Abbott–Firestone, pe baza căreia se determină parametrii specifici, Ry , b şi ν [A15, A28, A30].

Potrivit acestui model, coeficientul de frecare global, pentru o penetraţie maximă 0δ , un

cuplu de material caracterizat prin parametrul β , coeficientul pierderilor prin histerezis hα şi cu

rezistenţa tangenţială 0τ , poate fi scris sub forma

0 0p

rk

p R= + +τ δµ β – pentru contactul plastic, constanta pk = 0,55; (3.4.4.6.2a)

0 0

rek

p R= + +τ δµ β – pentru contactul elastic, constanta 4,1 hek = α

(3.4.4.6.2b)

Dacă se ţine seama de expresiile presiunilor reale rp şi ale raportului 0

R

δ, se deduce:

– pentru contactul plastic:

1 20 00,31

an n

rpc c c c

F pk

c R c c c

= + + = + +

τ τµ β βσ σ σ σ

(3.4.4.6.3a)

în care c = 3 pentru rugozităţi sferice; cσ este rezistenţa la curgere prin tracţiune a materialului cu

duritatea cea mai mică; nF – forţa normală; np – presiunea nominală de contact.

– pentru contactul elastic:

( )1 10

* 2 1 2 11 21 *

2 1*

2 1 nr rh

n

pEk kE

p

E

−+ +

+

ννν ν + ν= +

ν

τµ ∆ β+ α ∆ (3.4.4.6.3b)

în care ( )

( )

2 22 1 2 1

1 21 2

31 2 2

, , 10,93 222

k k kkk

+ +ν ν ν + ν ν ν + = = = νν ν + ν ν ν +

ΓΓπ πΓΓ

,

( )Γ x fiind funcţia Gamma de argument x .

Din analiza detaliată a coeficientului de frecare se pot face următoarele aprecieri:

1. Pentru contactul plastic:

– coeficientul de frecare creşte cu încărcarea, evaluată prin presiunea nominală np ;

– scade cu tensiunea de curgere cσ ( Hcc ≈σ – duritatea materialului);


59

– creşte cu parametrul global al rugozităţii, 1r

R

Rb= ν∆ y .

2. Pentru contactul elastic:

– pentru o microgeometrie dată şi care se menţine constantă în timpul funcţionării – ipoteză

valabilă numai pentru un timp foarte scurt de funcţionare – coeficientul de frecare are un minim cu

încărcarea, evaluată prin raportul

12 1

*np

E

+ν =

x , 12 ,

cc= + +µ β x

x

2 121

*2optim

np c

cE

+ν =

şi

1 22 c c= +µ β cu următoarele expresii ale constantelor 1c , 2c :

0*

1

2 1r

Ec

+

= νν

τ

∆ şi 2 1

2 2 rhc k +νν= α ∆

– în ipoteza autoadaptării sistemelor tribologice, ipoteză verificată pentru toate cuplele

biologice cercetate şi pentru unele cuple mecanice, funcţionarea decurge către o minimizare a

coeficientului de frecare pentru condiţii relativ constante ale încărcării. În această ipoteză,

coeficientul de frecare devine minim prin modificarea microgeometriei, rezultând un parametru

complex r∆ optim, 2 1r

+ν ν =

∆ y , aşa cum se observă calitativ în fig. 3.4.4.6.1.

''12

cc= + +µ β y

y, ( )

2 1' 21

optim '2

rc

c

+νν

=

∆ şi ' '1 22m c c= +µ β , cu următoarele expresii ale

constantelor

10* 2 1' '

1 1 2 21 *2 1

*

; nh

n

pEc k c kE

p

E

+

+

ν = = ν

τα .

Fig. 3.4.4.6.1. Evoluţia

coeficientului de frecare cu

microgeometria suprafeţei.


60

3.4.5. Frecarea de rostogolire

3.4.5.1. Micro–alunecări şi patinare

Se defineşte rostogolirea ca viteza unghiulară a mişcării dintre două corpuri în contact, în

jurul unei axe din planul tangent comun [A5, A14, A23]

În sistemul de referinţă un punct are vitezele v1 şi v2 , (fig. 3.4.5.1.1).


contactului cu rostogolire.

Corpurile pot avea vitezele unghiulare 1ωz , 2ωz în jurul normalei comune de contact.

Dacă v1 şi v2 nu sunt egale, rostogolirea este însoţită de alunecare şi dacă 1ωz , 2ωz nu sunt

egale, rostogolirea este acompaniată de spin.

Când rostogolirea nu este însoţită de alunecare sau spin, mişcarea se consideră de „rostogolire

pură”.

Dacă prin contact se transmite numai o forţă normală, forţa tangenţială (Q = 0), se consideră

mişcarea de „rostogolire liberă” , iar dacă 0Q ≠ , mişcare de „rostogolire cu tracţiune”.

a) Micro–alunecări

Se consideră iniţial numai influenţa deformaţiei elastice asupra contactului cu rostogolire. Forţa

normală produce o arie finită determinată cu teoria lui Hertz.

În zona de contact, ilustrată în fig. 3.4.5.1.2, în funcţie de forţa normală P , tangenţială Q (de

tracţiune) şi forţa de frecare ( Pµ ), pot apărea micro–alunecări (microslip) şi microprinderi

(microstick).


61

Fig. 3.4.5.1.2. Distribuţia de

tensiuni.

– Tracţiunea tangenţială pe fiecare suprafaţă:

( ) ( )1 2, ,q q= −x y x y (3.4.5.1.1)

– Deplasările normale, determinate de această tracţiune, sunt proporţionale cu ( )1 2 G− ν :

( ) ( )1 21 2

1 2, ,

1 2 1 2

G Gu u= −

− −ν νx y x yz z (3.4.5.1.2)

– Pentru frecarea de alunecare, se acceptă legea Amonton :

( )( )

,

,

q Q

p P= = µ

x y

x y = coeficient de frecare (static sau cinetic).

În punctele în care ( ) ( ), ,q p≤ µx y x y – nu există alunecare (regim cu stick).

În punctele în care ( ) ( ), ,q p> µx y x y – apare alunecarea.

Două puncte A1, A2 de pe faţa de contact (fig. 3.4.1.3), înainte de alicarea forţei tangenţiale Q,

coincideau.

Două puncte din interiorul corpurilor T1 şi T2 sub forţa tangenţială Q s–au deplasat rigid cu

deplasările 1δx , 1δy şi 2δx , 2δy .

Punctele de pe suprafaţă A1 şi A2 se deplasează relativ faţă de T1 şi T2 cu 1 1,u ux y şi

2 2,u ux y .

Dacă se notează deplasările absolute ale punctelor A1 şi A2 faţă de O cu 1 1,s sx y şi

2 2,s sx y , atunci componentele alunecării între A1 şi A2 sunt:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2s s s u u u u= − = − δ − − = − − −δ δ δx x x x x x x x x x x (3.4.5.1.3)

În zona cu „prinderi” (stick), 0s =x , 0s =y ( )1 2 1 2u u− = − ≡δ δ δx x x x x .


62

Fig. 3.4.5.1.3. Deformaţii

pe zona de contact.

Cazuri particulare

a1) Contactul bidimensional al cilindrilor

a11) Fără alunecare

Se consideră doi cilindri în contact cu axele paralele în direcţia y, comprimaţi cu forţa P pe

unitatea de lungime şi forţa tangenţială Q pe unitatea de lungime <Q Pµ şi care este aplicată

succesiv.

Se consideră că forţa Q nu modifică mărimea suprafeţei de contact.

În orice punct din zona de contact,

1 2 = ct. u u− = δx x x , a a− ≤ ≤x (3.4.5.1.4)

Presiunea normală ( )p x este determinată de ecuaţia lui Hertz (fig. 3.4.1.4). Distribuţia

tensiunilor datorată forţei tangenţiale trebuie să fie astfel încât deformaţiile ct.=δx

Fig. 3.4.5.1.4. Distribuţia

tensiunilor datorate

forţelor normală şi tangenţială.

Un semispaţiu elastic se deformează constant dacă

( )( )1 22 2

Qq

a=

−πx

x

(3.4.5.1.5)


63

În punctele ( ),a q= ± → ∞x x . Deci, pentru a fi satisfăcută condiţia de „prindere” (stick)

( ) ( )q p≤ µx x , ar trebui ca → ∞µ . Ca atare, este posibil ca pe muchia de contact să fie alunecare.

a12) Cilindri cu alunecare parţială (metoda Cattaneo şi Mindlin).

Dacă forţa tangenţială este mai mare decât valoarea limită Pµ , corpurile alunecă relativ şi

tracţiunea tangenţială este

( ) ( )2 20' 1q p a= −µx x cu 0 2p P a= π , (3.4.5.1.6)

în care P este forţa normală pe unitatea de lungime.

Deplasările tangenţiale în interiorul suprafeţei de contact pot fi determinate prin analogie cu

distribuţia normală tangenţială. Dacă nu apare alunecare în jurul originii (= 0x ), se poate scrie:

( )2 21 1 1 0 1' ' 1u p a E= − −δ ν µ xx x (3.4.5.1.7a)

( )2 22 2 2 0 2' ' 1u p a E= − + −δ ν µ xx x (3.4.5.1.7b)

Condiţia (3.4.5.1.4), ( )1 2 ct.u u− =x x , este satisfăcută de (3.4.5.1.7a) şi (3.4.5.1.7b) numai în

origine ( = 0x ). În orice alt punct condiţia (3.4.5.1.4) nu este satisfăctă şi suprafeţele trebuie să

alunece.

Se cosideră o distribuţie de tracţiune adiţională (fig. 3.4.1.5)


deformaţiilor pe zona

de contact.

( ) ( )1 22 20'' 1

cq p c

a= − −µx x (3.4.5.1.8)

ce acţionează în zona c c− ≤ ≤x ( <c a).


64

Deplasarea tangenţială produsă de această tracţiune în zona c c− ≤ ≤x este

( )2 21 1 1 0 1'' '' 1

cu p cE

a= − + −δ ν µ xx x

(3.4.5.1.

9)

Suprapunând cele două tracţiuni q' şi q'' , deplasarea totală în zona centrală ( c c− ≤ ≤x ) este

constantă:

1 1 1 1 1 1' '' ' '' ct.u u u= + = + = =δ δ δx x x x x x

Analog, pentru cea de–a doua suprafaţă

2 2u = −δx x

Se observă că distribuţia totală

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 20' ''q q q p a c a p = + = − − − ≤

µ µx x x x x

satisface condiţia de evitare a alunecării numai în zona

– c ≤ x ≤ c.

În cele două zone periferice c a≤ ≤x există alunecare.

Mărimea zonei de „prindere” (stick):

( ) ( ) ( )2

2' ''

a a c

a a c

cQ q d q d q d P P

a− − −

= = + −µ µ∫ ∫ ∫x x x x x x = (3.4.5.1.1

0)

1/ 2

1c Q

a P

⇒ = − µ

(3.4.5.1.1

1)

a2) Contactul sferic

a21) Fără alunecare

Sub sarcina normală, aria circulară de contact este determinată cu relaţiile lui Hertz.

Dacă se aplică o forţă tangenţială Q paralelă cu axa x , deplasările tangenţiale sunt paralele cu

axa x .

Distribuţia tangenţială care produce o deplasare tangenţială uniformă a semispaţiului elastic

este de forma

( ) ( ) 1/ 22 2 20 01 / , unde 2q r q r a q Q a

−= − = πx x (3.4.5.1.12)

Deplasarea este ( )

02

4u q a

G

−=

π νx

(3.4.5.1.13)

astfel că 1 21 2

1 2

2 2

8

Qu u

a G G

− −= − = +

ν νδ xx x x ,


65

G1 şi G2 = modulele de elasticitate transversală.

În punctele ,r a q= → ∞x , deci microslipul este inevitabil pe muchia de contact.

a22) Cu alunecare

Dacă alunecarea are loc

( ) ( ) ( )1 22 20' , , 1q P p r a= = −µ µx y x y (3.4.5.1.14)

Deplasările tangenţiale în interiorul cercului de contact (r a≤ ) sunt date de ecuaţia

( ) ( ) ( )2 20' 4 2 4 4 332

pu a

G a = − + − + −

π µ ν ν νxx (3.4.5.1.15a)

şi 0' 232

pu

G a= π µ νx yy (3.4.5.1.15b)

Se consideră o nouă distribuţie de tracţiune, fig. 3.4.1.6

( ) ( )1 22 20'' , 1

cq p r c

a= − −x y (3.4.1.16)

ce acţionează în interiorul cercului r c≤ ; deplasările tangenţiale, prin analogie cu (3.4.5.1.15), sunt

( ) ( ) ( )2 2 20'' 4 2 4 4 332

pcu c

a G c = − − + − + −

π µ ν ν νx yx 0''32

pcu

a G c= − π µ

y ; (3.4.5.1.17)

Fig. 3.4.5.1.6. Distribuţia de

tensiuni tangenţiale pe

contactul circular.

Deplasarea totală în interiorul cercului, r c≤ , este

( )( )2 20' 2 ct.8

pu a c

G a= − − =π µ νx ; ' 0u =y ; şi

2 21 2

31 2

2 23ct.

16

P a c

G G a

− − −= + =

ν νµδx pentru r c≤ (3.4.5.1.18)

Mărimea zonei de „stick” se obţine din condiţia de echilibru mecanic:

( )1 3

3 3

0 0

2 '' 2 '' 1 şi 1a c

c QQ q r dr q r dr P c a

a P

= − = − = −

π π π

µ∫ ∫x (3.4.5.1.19)

b) Patinare

O diferenţă între deformaţiile tangenţiale ale corpurilor din zona de prindere („stick”) conduce

la alunecări mici aparente şi care se numesc patinare.


66

Modul în care patinarea apare se poate aprecia prin exemplul unei roţi deformabile ce se

rostogoleşte pe un plan rigid. Din cauza deformaţiei, deformaţiile tangenţiale din roată sunt de

întindere, suprafaţa roţii fiind întinsă, în timp ce se găseşte în contact cu planul rigid. Roata se

comportă la o rotaţie completă, ca şi când ar avea o lungime mai mare decât atunci când ar fi

nedeformabilă.

Raportul dintre lungimea nedeformată şi cea deformată este numit raţie (raport) de patinare.

Acest fenomen de patinare a fost descris de Reynolds (1875) printr–un exemplu ilustrativ:

Un cilindru din cauciuc, deformat, se rostogoleşte pe o suprafaţă plană metalică la o rotaţie

completă, mai mult decât dacă cilindrul este din metal şi se deplasează pe un covor de cauciuc.

Explicaţia se dă prin existenţa, în zona de contact, a microalunecărilor şi microprinderilor.

Condiţiile de limită pe care trebuie să le satisfacă zona de contact.

Se consideră că rostogolirea se produce în jurul axei y (fig. 3.4.1.7); în lipsa deformării şi a

alunecării, particulele materiale ale fiecărei suprafeţe se deplasează în direcţia x cu viteza comună

V, numită viteza de rostogolire.


geometrică a contactului cu

rostogolire.

În plus, corpurile pot avea vitezele unghiulare 1ωz şi 2ωz şi, deci, poate rezulta şi mişcarea

de spin (pivotare).

Aplicarea tracţiunilor tangenţiale şi deformaţia introduc vitezele de fluaj 1Vδ şi 2Vδ ;

fiecare are componente în ambele direcţii x şi y, care sunt mici în comparaţie cu viteza de

rostogolire V. Viteza unui element de material este, de asemenea, influenţată de starea de


67

deformaţii. Dacă componentele deplasării tangenţiale elastice într–un punct de pe suptafaţă ( ),x y

sunt ( ), ,u tx yx şi ( ), ,u tx yy , atunci viteza „zonei nedeformate” se modifică prin componentele

du u uV

dt t

∂ ∂= +∂ ∂

x x x

x şi

(3.4.5.1.20a

)

du u uV

dt t

∂ ∂= +

∂ ∂y y y

x

(3.4.5.1.20b

)

Deci, viteza rezultantă într–un punct de pe suprafaţa de contact este

( ),u u

V V V Vt

∂ ∂= + − ω + +∂ ∂

δ x xx y yx x z

x şi

(3.4.5.1.21a

)

( ),u u

V V Vt

∂ ∂= + ω + +

∂ ∂δ y y

x y xy y zx

(3.4.5.1.21b

)

Vitezele „micro–slipului” între punctele de contact, pentru rostogolirea deplină (deformaţiile

nu variază în timp)

( ) ( ) ( ) 1 21 2 1 2 1 2,

u us V V V

∂ ∂ ≡ − = − − ω − ω + − ∂ ∂ δ δɺ

x xx y v v yx x x x x z z

x x

(3.4.5.1.22

a)

analog ( ) 1 2,s ≡ −ɺ x y v vy y y (3.4.5.1.22

b)

Pentru contactul eliptic cu semiaxele a şi b , se poate scrie

1 2u us V c

∂ ∂ = − + − ∂ ∂ ξ ψɺ

x xyx x

x x

(3.4.5.1.23

a)

1 2u us V c

∂ ∂ = − + − ∂ ∂

ξ ψɺy y

xy yx x

(3.4.5.1.23

b)

unde ( )1 2V V V≡ −ξ δ δx x x şi ( )1 2V V V≡ −ξ δ δy y y sunt rapoartele de patinare;

( )1 2 c V= ω − ωψ z z este parametrul de spin (pivotare), c ab= .

În regiunea de „prindere” (stick)

0s s= =ɺ ɺx y (3.4.5.1.24

)

şi ( ) ( ), ,q P≤ µx y x y

În regiunea de alunecare

( ) ( ), ,q p= µx y x y


68

şi ( )( )

( )( )

, ,

, ,

q s

q s=ɺ

ɺ

x y x y

x y x y

(3.4.5.1.25

)

Pierderea de putere are loc în zona de alunecare prin disiparea prin frecare.

3.4.2. Rostogolirea liberă a corpurilor cu propriet ăţi elastice diferite

a) Cilindri cu axe paralele

Cilindrii sunt apăsaţi cu forţa P pe unitatea de lungime.

Presiunea şi aria de contact se determină cu relaţiile lui Hertz.

Din teoria elasticităţii

( )( ) ( ) ( ) ( )22 11 2 1 a

b

a sup ds

E E s−

−− +∂ = − −∂ −

νν νπ ∫x

xx x

Considerând că frecarea este suficient de mare pentru a împiedica alunecarea ⇒

( ) ( ) 1= ct.

2

a

a

q sp ds E

s∗

−

+ =−

π β π ξ∫x xx

; a a− ≤ ≤x (3.4.5.2.1)

cu ( ){ } ( ){ }

( ){ } ( ){ }1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 21

2 1 1

G G

G G

− − −≡

− + −

ν νβ

ν ν

Tracţiunea care satisface condiţia (3.4.1.9) este

( ) ( )1 22 20 1 ln

aq p a

a

+= −−

β xx x

x x (3.4.5.2.2)

şi 04 2p E a R∗= =ξ β π β πx (3.4.5.2.3)

Se analizează posibilitatea de alunecare.

Raportul ( )( )

q

p→ ∞

x

x pentru = a±x , deci alunecarea este inevitabilă.

Pentru cazul extrem, când coeficientul de frecare este mic, efectul tracţiunii tangenţiale este

mic asupra deformaţiei elastice. În această situaţie, ( )( ) ( )1 2 1u

pE

− +∂ ≈ −∂

ν νx

xx

cu ( )p x

distribuţia hertziană. Cu această precizare, rezultă viteza de alunecare

( )( )1 22 24 1s

a R aV

= = −ξ βɺxxx (3.4.5.2.4)

Dacă raţia (raportul) de patinare ξx are o valoare pozitivă, atunci viteza de alunecare este

pozitivă pe muchia de contact şi negativă în centru.


69

Tracţiunea de frecare ( )p± µ x , deşi mică, poate schimba sensul de alunecare în două puncte

simetrice faţă de origine.

Poziţia acestor puncte şi, implicit valoarea lui ξx , este determinată din condiţia că în

rostogolirea liberă forţa tangenţială este zero. Această cerinţă este îndeplinită pentru 0,404= a±x ,

astfel că

0,914 a R=ξ βx (3.4.2.5)

În funcţie de raportul (β µ ), între alunecarea completă şi fără alunecare există două regiuni

de stick (prindere) ce separă trei regiuni în care alunecarea are sensuri alternante (fig. 3.4.2.1).

Disiparea energiei din zonele de alunecare (slip) contribuie la momentul rezistent la rotaţie

(rostogolire) a cilindrilor.

Reynolds a prezis că rezistenţa la rostogolire este mică atunci când µ este mare, deoarece

microalunecările sunt esenţiale şi este, din nou, mică atunci când µ este mic, deaoarece forţele de

frecare sunt foarte mici.

Rezistenţa la rostogolire este maximă când 5≈µ β .

Fig. 3.4.5.2.1. Separarea

regiunilor de alunecare pe

zona de contact.

b) Rostogolirea liberă a sferelor

Se consideră iniţial că nu există alunecare şi se neglijează influenţa tracţiunii tangenţiale

asupra distribuţiei presiunii normale.

În aceste condiţii

1 2 ct. ;u u∂ ∂− = − =∂ ∂

ξx xx

x x

1 2ct. =

u u∂ ∂− = − = −

∂ ∂ξ ξy y

x yx x

Tensiunea tangenţială ( ),q x y , care satisface aceste condiţii, are expresia


70

( ) ( )( )

21 22 201 22 2

1ln

a

r

p a t t rq r a r dt

r r t rt r

+ = − − + − −

βπ ∫

(3.4.5.2.

6)

şi a R=ξ β πx (3.4.5.2.

7)

3.4.5.3. Rostogolirea cu tracţiune a cilindrilor elastici

Este cazul roţilor motoare ale vehiculelor. Se consideră cilindrii cu aceleaşi proprietăţi elastice

şi că forţa transmisă este mai mică decât limita de frecare.

Se doreşte detreminarea zonelor cu alunecare şi cu prindere (aderenţă, stick).

Condiţiile ( ) ( ), ,q p= µx y x y – condiţia de alunecare – şi ( )( )

( )( )

, ,

, ,

q s

q s= −ɺ

ɺ

x y x y

x y x y – direcţia

tensiunilor tangenţiale este opusă ca sens vitezei de alunecare – sunt satisfăcute dacă

( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 20 0' 1 , '' 1

cq p a q p c

a= − = −µ µx x x

(3.4.5.3.

1)

şi ( ) ( ) ( )

2 2

0 0

2 1 2 1u u cp p d

a E a c E

− −∂ ∂⇒ = − = +

∂ ∂

ν νµ µx x

x xx x

' ''

, . (3.4.5.3.

2)

Deci, în interiorul zonei a c d− ≤ ≤ −x

( )2

0

2 1ct.

up d

a E

−∂ = =∂

νµx

x

(3.4.5.3.

3)

În această zonă coeficientul de patinare (pseudoalunecare) este

( )204 1 p d a E= − −ξ ν µx (3.4.5.3.

4)

Lăţimea zonei de stick (adeziune, prindere) este determinată de mărimea forţei tangenţiale

(fig. 3.4.5.3.1):


71

Fig. 3.4.5.3.1. Distribuţia

tensiunilor tangenţiale.

( )1 21 1 1d c

Q Pa a

= − = − − µ (3.4.5.3.5)

şi ( ){ }1 21 1a

Q PR

= − − −µξ µx x (3.4.5.3.6)

reprezentat în fig. 3.4.5.3.2.


parametrului

de tracţiune cu pseudoalunecarea.

Efectul forţei de tracţiune, deşi mică, determină microalunecări pe muchia de tracţiune a

suprafeţei.

Regiunea de alunecare se întinde în faţa cilindrilor, astfel că, la o anumită forţă tangenţială

Q P= µ , alunecarea este totală.

În cazul unei frecări mari, Q Pµ este foarte mic, regiunea de alunecare pe muchia de

tracţiune se reduce foarte mult şi distribuţia tracţiunii tangenţiale este

( )( )

01 22 22

p Qaq

Pa

+= ⋅−

x xx

x

(3.4.5.3.7)

Coeficientul limtă al patinării este

( )2a Q R P=ξx x (3.4.5.3.8)

Rata energiei disipate (viteza de disipare), ca urmare a forţei de tracţiune, este


72

( )2 2W Q V aQ V R P= =ξɺx x x (3.4.5.3.9)

Când forţa tangenţială acţionează în direcţia y (axa cilindrilor), analog se deduce

( )1 20

1 2

1 11 1p Q P

G G

= − + − − µ

ξ µy y (3.4.5.3.10

)

3.4.5.4. Rostogolirea cu tracţiune şi spin a corpurilor tridimensionale

Corpurile tridimensionale, în contactul cu rostogolire, transmit forţe tangenţiale Qx în

direcţie longitudinală şi Qy în direcţie transversală, în timp ce viteza unghiulară în jurul axei

normale comune de contact 1 2 0ω ≡ ω − ω ≠∆ z z z .

Mişcarea de spin tinde să răsucească interfaţa de contact şi conduce la creşterea tracţiunii şi

microalunecării.

Contactul se consideră eliptic. Se acceptă apriori că în zonele cu alunecare şi prindere (stick,

aderenţă) sunt îndeplinite condiţiile (3.4.1.24, 3.4.25):

0s s= =ɺ ɺx y şi ( ) ( ), ,q p≤ µx y x y – zona de „stick”

( )( )

( )( )

, ,

, ,

q s

q s= −ɺ

ɺ

x y x y

x y x y şi ( ) ( ), ,q p= µx y x y – zona de „slip”

Se analizează următoarele situaţii, funcţie de mărimea coeficientului de frecare la alunecare

(µ ).

a) Neglijarea alunecării ( → ∞µ ) : teoria patinării liniare

Pentru simplificare, se consideră că pe un contact circular se transmite o forţă tangenţială Qx şi

tracţiunea are expresia

( )( )2 1 22 2

,2

Q aq

a a r

+= ⋅−π

xxx yx

(3.4.5.4.1)

Deplasările tangenţiale în interiorul cercului de contact (r a≤ ), produse de această tracţiune,

sunt:

( ) ( )2

4 3; 0 nu există deformaţie pe direcţia 0

32

uQuQ

G a

∂−∂ = = =∂ ∂

ν yxy y

x y, (3.4.5.4.2)

şi care respectă condiţiile de a nu apărea alunecarea.

Coeficientul de patinare este


73

2

4 3; 0

16Q

G a

−= − =νξ ξx x y (3.4.5.4.3)

Analog, pentru o forţă tangenţială în direcţia y, Qy

( )( )2 1 22 2

,2

Q aq

a a r

+= ⋅−π

xyx yy (3.4.5.4.4)

rezultă ( )

2

4; 0

16

Q

G a

−= − =

νξ ξy

y x (3.4.5.4.5)

Ca urmare a asimetriei tracţiunii, ( ),q x yy , se exercită un moment de pivotare în jurul

punctului O.

( )31 16

3 3 4

G aM Q a= − =

−ξ

νz y y (3.4.5.4.6)

În cazul pivotării pure, distribuţiile tracţiunii, care satisfac condiţiile de a nu apărea

alunecarea, sunt

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

1 2 1 22 2 2 2

28 3 8 1şi

3 3 2 3 3 2

a a aG a a Gq q

a r a r

− − −− + −= =

− −− −

ν νψ ψπ ν π ν

x x yx y

x y (3.4.5.4.7)

cu ( )1 2 c V= ω − ωψ z z şi c ab= – parametrul de „spin” sau pivotare (a, b – semiaxele elipsei

de contact).

Aceste tracţiuni corespund unei forţe rezultante nule, 0Q Q= =x y , dar determină un

moment rezultant ce se opune mişcării de spin

( )( )

332 2

3 2M G a

q

−=

−ν ψνz (3.4.5.4.8)

Când gradientul deplasărilor determinate de tracţiunile (3.4.5.4.7) respectă condiţiile „f ără

alunecare”, rezultă coeficienţii de pseudoalunecare

( )( )

2 20 ;

3 3 2

−= =

−νξ ξ ψνx y (3.4.5.4.9)

Pentru contactul eliptic , Kalker (1964) a utilizat următoarea distribuţie a tracţiunii

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 22 2, 1m nm nq A a b a b= − −x y x y x y

(3.4.5.4.1

0)

S–au dedus următoarele trei ecuaţii liniare de fluaj (patinare):


74

( )11 22 23 32 333 2; ;

QQ MC C C C C

G ab G ab G ab= + = +ξ ξ ψ ξ ψyx z

x y y (3.4.5.4.1

1)

în care C11 , C22 , C23 , C32 , C33 sunt coeficienţi adimensionali, deduşi teoretic:

Elipticitatea –C11 –C22 C23 = –C32 –C33

0,2 3,56 2,65 0,62 4,68 0,4 3,72 2,91 0,83 2,42 0,6 3,90 3,17 1,04 1,74 0,8 4,08 3,46 1,27 1,32

)a

b

∗

1,0 4,29 3,73 1,50 1,18 0,8 4,58 4,11 1,82 1,01 0,6 4,99 4,65 2,29 0,86 0,4 5,80 5,59 3,27 0,70

b

a

0,2 7,93 8,45 6,76 0,57 *) a – este semiaxa elipsei în direcţia de rostogolire.

b) Alunecare completă

În cazul extrem, când pseudoalunecarea şi pivotarea sunt mari, iar coeficientul de frecare este

mic, deformaţiile elastice determinate de tracţiunea tangenţială sunt mici. În expresiile (3.4.5.4.11),

termenii deplasărilor elastice se neglijează, astfel că numai într–un punct ( ),P PP x y (polul pivotării,

„spinului”, (fig. 3.4.5.4.1)

1

2P a = −ξx yy şi P a = ξ ψy x (3.4.5.4.12)

Fig. 3.4.5.4.1. Polul

pivotării.


75

Deoarece deformaţia elastică în planul x -y este neglijată, mişcarea relativă a suprafeţei

comprimate este aceea a unui rigid în rotaţie cu viteza unghiulară ( 1 2ω − ωz z ) în jurul polului

pivotării P .

Într–un punct oarecare ( ),A x y , tracţiunea tangenţială rezultantă ( ),q x y are mărimea

( ),pµ x y în direcţie perpendiculară pe linia PA.

Forţele Qx , Qy şi momentul Mz corespund unei combinaţii de pseudoalunecare şi alunecare

ce pot fi determinate prin integrare numerică. Interacţiunea între pivotare şi tracţiune joacă un rol

important în contactul cu rostogolire al variatoarelor de turaţie şi în contactul şină–roată.

c) Alunecare parţială: teoria patinării neliniare

Pentru contactul circular, atunci când se transmite numai Qx , pseudoalunecarea este dată de

( ) 1 3

2

3 4 31 1

16

P Q

PG a

− = − − −

µ νξµ

xx

(3.4.5.4.12a

)

şi când se transmite Qy

( ) 1 3

2

3 41 1

16

QP

PG a

− = − − −

µ νξµ

y

y (3.4.5.4.12b

)

Pentru contactul eliptic:

( ) ( )1 22 23 1arccos 1 1 1

2 2

Q

P

= + − + −

η η η ηµ

xx x x x

(3.4.5.4.13

)

unde 0G p=η ξ µx x .

Pentru alunecare foarte mică, µ → ∞

2

4 1

G abQ =

−π ξ

νx x (3.4.5.4.14)

Forţele de pseualunecare au rol important în ghidarea şi stabilitatea rulării roţilor vehiculelor

pe şine (fig. 3.4.5.4.2).


76

Fig. 3.4.5.4.2. Schema contactului şină – roată.

Punctul de contact este astfel situat încât viteza relativă dintre şină şi roată (viteza vehiculului)

V1 să aibă sensul de mişcare („înainte”). Profilul roţii este conic, astfel că patinarea longitudinală

ξx poate creşte când cele două roţi ale vehiculului se deplasează pe raze diferite. Patinarea

longitudinală este, de asemenea, o consecinţă a roţii motoare sau de frânare.

Patinarea laterală ξy creşte dacă în timpul înaintării setului de roţi, planul roţii face un

unghi mic φ cu axa şinei.

Deoarece normala comună în punctul de contact este înclinată cu unghiul λ faţă de axa de

rotaţie, roata are o viteză unghiulară de pivotare (spin) sin=ω ω αz faţă de şină.

Pentru valori reduse ale patinărilor ( ),ξ ξx y , se pot determina forţele de patinare Qx , Qy

(ec. 3.4.5.4.11).

3.4.5.5. Rostogolirea unei bile într–un canal

O bilă într–un şanţ (canal) cu secţiunea transversală de rază ρ reprezintă cazul frecvent al

rulmenţilor.

Sub acţiunea forţei normale, aria de contact este o elipsă alungită în direcţia transversală (fig.

3.4.5.5.1). Punctele de contact din zona încărcată au viteze periferice diferite care conduc la

microalunecări.

Viteza periferică a bilei:

( ) ( )21 2V R R R= − ≈ −ω δ ω yz (3.4.5.5.1)

Raportul de patinare


77

( )2 2

21 2 2 202

21 2

2

V V V VR RR

R R R R R

− −= = − = − − = −

ω ωξ ξω ω ω ω

y yy y (3.4.5.5.2)


contactului unei bile pe un

canal.

În condiţiile rostogolirii libere (fără forţe tangenţiale) se disting pe aria de contact trei zone

(Heathcote):

– o zonă centrală (y mic), unde alunecarea este pozitivă;

– două zone laterale (y mare), unde alunecarea este negativă.

Heathcote (1921) a dezvoltat teoria alunecării complete, prin neglijarea complianţei elastice

a bilei şi a canalului. El a dedus că rotirea bilei se face cu un moment de frecare M ,

2

20,08

M b

R P R= µ (3.4.5.5.3)

unde b este semiaxa elipsei de contact în direcţie transversală.

Dimensiunile suprafeţei eliptice de contact (a, b) şi presiunea maximă ( 0p ) se determină cu

relaţiile lui Hertz.

Rezultă:

– o regiune de „stick” (aderenţă) pe muchia conducătoare, care are centrul localizat la

d= −x ;

– o regiune de „slip” (alunecare), pe muchia condusă.

Dacă se înlocuieşte coeficientul de patinare, ( )204 1 p d a E= − −ξ ν µx , în (3.4.5.5.2),

rezultă poziţia d :

( )2 2 2db

a= −Γ γ y (3.4.5.5.4)


78

unde ( )

( )22

04 2 2

b E eb E

p R a R R

∗= =

−ρΓ

µ µ ρ şi 2 2 2

02R b=γ ξ (Γ – factor de conformitate).

E(e) – integrală eliptică de ordinul II

2 21 ,e b a b a= − < ; ( ) ( )2

1 22 2

0

1 sinE e deπ

= −∫x x

Zona „fără micro–alunecări” se găseşte în intervalul b= ± γy şi 1d a <x , cu d determinabil

din (3.4.5.4).

Pentru 1d a =x are loc cea mai mare alunecare în direcţia y . Determinarea mărimii γ se

face ţinând seama de condiţia că forţa tangenţială rezultantă este nulă.

Ţinând seama că regiunea de „aderenţă” (f ără micro–alunecări) este dată de

( )1 21 1 1d c

Q Pa a

= − = − − µx , rezultă forţa tangenţială pe unitatea de lăţime, exercitată la

„desprindere”.

0 02 22 2

ad d d dQ p a p a

a a a a a∗ ∗ = − = −

π πµ µ xx

x x

(3.4.5.5.

5)

Pentru rostogolirea liberă, forţa totală de tracţiune este 0b

b

Q Q d∗

−

= =∫ y (3.4.5.5.

6)

Această condiţie determină valoarea lui γ (poziţia benzilor cu alunecarea zero) şi, deci,

coeficientul de patinare 0ξ .

Momentul rezistent la rostogolire este definit prin

( ) ( )2 2b b

b b

M Q R R d Q R d∗ ∗

− −

= − = −∫ ∫y y y y (3.4.5.5.

7)

şi este dependent de factorul de conformitate.

Rezolvarea numerică a integralei (3.4.5.5.7) se ilustrează în figura 3.4.5.5.2.


79

Fig. 3.4.5.5.2. Variaţia momentului adimensional de rostogolire cu conformitatea.

Când conformitatea este închisă ( R→ρ ) sau când coeficientul de frecare este mic, Γ este

mare, momentul rezistent la rostogolire se apropie de cel obţinut la alunecare completă, dat de

(3.4.5.5.3).

3.4.5.6. Modelul stratului elastic al contactului cu rostogolire (modelul Winkler)

Două corpuri elastice în rostogolire pot fi considerate ca un tor rigid, cu aceeaşi curbură

principală relativă şi pe care se rulează un strat elastic de grosime h . Acest tor rigid, „îmbrăcat” în

stratul elastic se rostogoleşte pe un strat plan rigid.

Elasticităţile celor două materiale sunt reprezentate prin modelul stratului pK pentru

compresiunea normală şi qK pentru forfecarea tangenţială.

Curbura şi mărimea elipsei de contact şi presiunea de contact sunt determinate cu teoria lui Hertz.

Deplasările tangenţiale de suprafaţă ux şi uy sunt definite de componentele tracţiunii tangenţiale

prin

( ) ;qq K h u=x x ( ) ;qq K h u=y y (3.4.5.6.1)

Astfel, stratul este în acelaşi timp o „perie de sârmă” şi fiecare „ţeapă–sârmă” se poate

deforma corespunzător relaţiei (3.4.5.6.1), independent de „vecinii” săi.

Condiţiile pentru alunecare şi aderenţă (stick şi slip) – relaţiile (3.4.5.1.21–3.4.5.1.25)

corespund şi, împreună cu condiţia că tracţiunea este zero pe muchia conducătoare, sunt utilizate

pentru definirea distribuţiei tracţiunii tangenţiale pe aria de contact.


80

Deoarece tracţiunea (ec.3.4.6.1) în orice punct depinde numai deplasarea din acel punct,

[ecuaţiile de alunecare (ec. 3.4.1.23)]:

1 2 ;u u

s V c∂ ∂ = − + − ∂ ∂

ξ ψɺx x

yx xx x

1 2u u

s V c∂ ∂

= − + − ∂ ∂ ξ ψɺ

y yxy y

x x

pot fi integrate direct pentru definirea tracţiunii.

Condiţiile de tranziţie ale variaţiei deplasărilor cu timpul trebuie urmate pas cu pas de la condiţiile

iniţiale la cele finale.

Se analizează prin modelul Winkler, contactul de tracţiune cu rostogolire a doi cilindri.

Deplasările elastice ale ambelor suprafeţe sunt combinate în deplasarea ux a stratului, astfel că în

zona de aderenţă (stick) ecuaţiile (3.4.1.23) şi 0s s= =ɺ ɺx y se reduc la:

0u

s V∂+ = =∂

ξ ɺx

x xx

(3.4.5.6.2)

( )1 rV V V≡ −ξ δ δx x – coeficient de pseudoalunecare.

Dacă se substituie ux din (3.4.5.6.1), ( )qu q h K=x x , rezultă o ecuaţie diferenţială simplă

pentru qx care, integrată în condiţiile 0q =x la a= −x , rezultă

( )( )qq K h a= − +ξ xx x (3.4.5.6.3)

În contrast cu soluţie exactă , tracţiunea este finită pe muchia condusă a contactului. Forţa

tangenţială totală se obţine prin integrarea a ecuaţiei (3.4.5.6.3).

2a

aqQ q d K a h

−

= = − ξ∫x x x x (3.4.5.6.4)

Alunecarea va apărea pe muchia codusă, acolo unde presiunea tinde către zero, dar tracţiunea

qx nu este nulă. Se consideră distribuţia parabolică a presiunii – fig. 3.4.5.6.1:

( ) ( )( )2 22p K R h a= −x x şi distribuţia în modelul Winkler ( ) ( ), ,K

p uh

=x y x yz unde K –

modulul elastic al stratului.


81

Fig. 3.4.5.6.1. Distribuţia de presiuni

în

modelul Winkler.

Dar ( ) ( ), pentru,

0 pentruu

− >= ≤

δ δδ

z x y zx yz

z

şi ( )2 2

,2 ' 2 ''R R

= +x yz x y .

Deoarece 0u =z în afara zonei de contact, la limită rezultă semiaxele 2 'a R= δ ,

2 ''b R= δ .

Deci, ( ) ( )2 2 2 2, 1K

p a bh

= − −δx y x y – distribuţie parabolică (în ecuaţiile hertziene –

distribuţia era parabolică de ordinul 2, 21−x ) . Prin integrare, rezultă sarcina totală 2P K ab h= π δ

În cazul axial simetric 2a b R= = δ şi 3

4

K a aP

h R =

π.

În cazul bidimensional al cilindrilor lungi

( )2 2 22 2u R a R= − = −δ x xz

şi 22

3

K a aP

h R = ⋅

.

O regiune de aderenţă de lăţime 2c (fig. 3.4.5.6.2) se extinde până la muchia conducătoare.

Într–un punct unde începe alunecarea ( )2c a= −x ,

( )4

22

q pK Kq c p a c c

h R h= = = −

µξ µx x (3.4.5.6.5)

Se notează

( )2 1 q pc a K R K a≡ − =λ ξ µx (3.4.5.6.6)


82

Fig. 3.4.5.6.2. Condiţiile

formării zonelor de

alunecare.

Forţa de tracţiune, formată din suma tracţiunilor în cele două zone, este dată prin

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

2

2

2 2

3 1 11

2 2 12

c a ap

a c a

q pK KKQ a a d a d

R h h R h

P

−

− −

= − − + + − =

= − − +

ξµ µ

µ λ λ λ

∫ ∫x

x x x x xx

(3.4.5.6.7)

cu 22

3

Ka aP

h R= ⋅ ⋅ .

În fig. 3.4.6.3 se prezintă efectul coeficientului de pseudoalunecare asupra tracţiunii

adimensionale.

Fig. 3.4.5.6.3. Forţa de

tracţiune în modelul

Winkler.

Coeficientul de patinare ξx în modelul Winkler, şi anume când are o variaţie liniară, coincide

cu soluţia semispaţiului elastic, modulul tangenţial al învelişului (fundaţie, strat) 2

3q pK K≅ . Cu

aceasta, se poate face aproximaţia *1,1qK a h E≈ ( *E – modulul de elasticitate redus al celor două

materiale).


83

b) Contactul tridimensional

Se consideră numai patinarea longitudinală, fiecare element de patinare („dezlipire”) este

paralel cu axa x şi se poartă analog cazului bidimensional analizat anterior. Tracţiunea creşte liniar

de la zero pe muchia conducătoare până la valoarea ( pµ ), când încep alunecările. Dacă alunecarea

este prevenită, integrând tracţiunea pe întreaga elipsă de contact (semiaxele a, b), rezultă

8

3qK aab

Qh

=

ξx x

(3.4.5.6.

8)

Comparând cu rezultatul exact (ec. 3.4.5.4.11), 11Q C G ab= ξx x ), modulul tangenţial al

stratului qK este ( )11 11*3 3

18 8

qK aG C E C

h= = − ν , cu valorile lui C11 date în tabelul alăturat

relaţiei (3.4.5.4.11). Analog pentru patinarea laterală (se înlocuieşte C11 cu C22). Pentru spin

(pivotare) ⇒ ( )1 2

23*4

1qK a b

E Ch a

= −

νπ

.

c3.4 genfortafrecare.pdf

Documents