C6.4 Konzeptionelle Grundlage der Fourier-Entwicklung

Kernaussage: Fourier-Entwicklung ist Basiswechsel im FunktionenraumZur Erinnerung: Eigenschaften einer Basis in

Standardbasis:

Element:

Allgemeine Basis:

Orthonormalität:

Skalarprodukt:

Entwicklung:

Koeffizienten:

Vollständigkeit:

Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt

Basis-Wechsel

Basis-Wechsel

Standardbasis:

Element:

Allgemeine Basis:

Orthonormalität:

Skalarprodukt:

Entwicklung:

Koeffizienten:

Vollständigkeit:

Invariante Größe In Komponenten ausgedrückt

Analoge Strukturen existieren im Funktionenraum:

Basis-Wechsel

Basis-Wechsel

Herleitung von 'Vollständigkeit' (a.8) & (b.8):

Zunächst: Entwickle alte Basisvektoren in neuer Basis:

mit Entwicklungskoeffizienten:(L5.4b.3)

Aus Orthonormalität der alten Basis folgt:

Hänsch-Frequenzkamm (Nobelpreis 2005, Theodor W. Hänsch, LMU)http://nobelprize.org/physics/laureates/2005/hansch-slides.pdf .../info.html

Ziel: Messung v. "optischen Frequenzen"

mit Genauigkeit"Wie zählt man von 0 auf

in einer Sekunde?"

ist zu schnell, um direkt gemessen zu werden(Caesium-Atomuhr) tickt mal langsamer)

Methode: Überlagere Signal mit unbekannter Frequenzmit Referenzsignal mit genau bekannter Frequenz

viel langsamer,

und messe Frequenz der "Schwebungen":

(Dank an Thomas Udem)

messbar mit grosser Genauigkeit,

Idee von Hänsch: lese von einem Frequenzkamm ab!

Schritt 1: Generiere periodische PulsfolgeApplet: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/femto-welt/index.html

Pulsdauer:

Repetitionsrate:

Periode:Pulsdauer:

Trägerfrequenz:

Überlagerung vieler stehender Wellen mit ähnlichen Frequenzen liefert scharfen Puls,der zwischen den Spiegeln hin und her läuft.

Teil der Amplitude jedes Pulses "leckt" durch Spiegel heraus, liefert periodische Kette von kurzen Pulsen.

Pulskette:

Pulsform

Periode der Kette:

langsam, gut messbar, mit Genauigkeit

Messgenauigkeit:

1/(Bandbreite d. überlagerten stehenden Wellen)

(Abstand zwischen Spiegeln)

Trägersignal

Schritt 2: Zerlege Pulsfolge nach FrequenzenFourierspektrum der periodischen Pulsfolge ist ein Frequenzkamm:

Kammbreite: invers proportional zur Dauer eines Pulses:

(Glasfaser verbreitert den Kamm zusätzlich auf )

Frequenzauflösung: invers proportional zur Periode der Pulsfolge:

Anzahl diskreter Frequenzen:

[(C6.1p.4): dort hier]

Begründung: siehe Hausaufgabe

Komplikation: Phasenverschiebung enthälteine sehr langsame Zeitabhängigkeit: Das führt zu einem "Drift" des Frequenzkams

Trägerfrequenz:Pulsfolge ist nicht streng phasenkohärent !

Einhüllendediskrete Peaks, wegen FT einer periodischen PulsfolgeFrequenzspektrum:

(Taylor)

langsam, also im Prinzip gut messbar!

(sehr langsameFluktuationen)

(Hausaufgaben)

Kamm-Frequenzen:

Kamm driftet, wegen (sehr langsam fluktuierender) "offset-Frequenz" :

vernachlässigbar relativ zu

Herleitung von (f.3), (f.4):

Fourier-Reihe fürPeriodische Pulskette

Hausaufgabe

Schritt 3: Bestimmung v. :

Überlagere Signale von und !!

Das liefert Schwebung mit Frequenz:

meßbar, also regelbar

Alle Kammfrequenzen sind jetzt bekannt, d.h. Referenzsignal ist kallibriert !

Nehme breiten Kamm, der

als auch

eine "ganze Oktave" enthält, d.h.

sowohl

("beat")

(siehe wieder Seite )

erste harmonische v.

Prof. Ferenz Krausz (LMU)

Oktober 2005, Schellingstr. 4, LMU, München

Dezember 2005 Stockholm

Radon-Transformation

Eingestrahlte Röntgenstrahlung,Intensität =

Gewebe(menschlicher Schädel);gesucht: die Dichte

des Gewebes

Detektorschirm

Intensität der transmittierten Strahlung,wird gemessen als Funktion von und

Integrationslinie, mit und fest

Annahme: Absorption zwischen Punkten und ist proportional zur Dichte des Gewebes dort:mit

= Mass für Stärke der Absorption der Strahlung durch das Gewebe

Dichte wird entlang Integrationslinie aufintegriert

eingestrahlttransmittiert

Integrationslinie:

Absorptions-integral:

Fourier-Transform:

Dieses Integral (4) entspricht einer 2-dimensionalen Fourier-Transformation! läßt sich somit durch Fourier-Rücktransformation bestimmen:

gemessen, (l.1):gewünschtes Dichteprofil

(C6.3e.4)

(C6.3e.3)

Integral in Polarkoordinaten