c7 integrali

7. Integrali

127

INTEGRALI (korigirano)

U ovom poglavlju: Tablica i svojstva integrala Metoda supstitucije Parcijalna integracija Integriranje trigonometrijskih funkcija Integriranje racionalnih funkcija

Integral dane funkcije )(xfy = u oznaci ∫ dxxf )( je jedna nova funkcija )(xFy = čija je

derivacija jednaka zadanoj funkciji )(xfy = , odnosno vrijedi:

Pritom se ∫ dxxf )( još zove antiderivacija ili primitivna funkcija ili neodređeni integral

funkcije )(xfy = , dok danu funkciju )(xfy = , koju integriramo, zovemo još i podintegralna funkcija. Na primjer, primitivna funkcija funkcije xxf =)( je funkcija

221)( xxF = jer je njena derivacija upravo jednaka xxf =)( , što kratko pišemo:

∫ = 221 xxdx .

Opisno rečeno, kao da primitivna funkcija 221)( xxF = živi u “prošlosti” jer tek kad je

deriviramo, dobivamo njenu “sadašnjost”, odnosno funkciju xxf =)( . Primijetimo da se rezultat integriranja ne mijenja ako dobivenom rezultatu dodamo proizvoljnu konstantu C, odnosno vrijedi:

)())(()( C )()( xFdxdCxF

dxdxfxFdxxf =+=⇔+=∫ ,

jer je derivacija od konstante C jednaka nuli. Preciznije, za primitivne funkcije dane funkcije vrijedi sljedeći rezultat:

♣Teorem 14. Neka su )(xFy = i )(xGy = dvije primitivne funkcije dane funkcije)(xfy = . Tada postoji konstanta C takva da vrijedi: CxGxF =− )()( . Opisno rečeno,

sve primitivne funkcije jedne iste funkcije se razlikuju za proizvoljnu konstantu. ♣

Svaka nova vrsta otkrića jest

matematička po obliku, jer ne postoji drugo rukovodstvo

koje možemo imati – C. G. Darwin (1931)

).()( )()( xFdxdxfxFdxxf∫ =⇔=

USER

Korekcija u zadacima: 536, 543 i 563 i 597. Generalna primjedba: u svom zadacima gdje se pojavljuje lnx treba staviti apsolutnu vrijednost u argument: Ivana Gospić, grupa I Ivana Krcivoj, grupa I Igor musulin, grupa H

Mervan Pašić: Matan1 – dodatak predavanjima za grupe GHI

128 Nije lako napamet reći što je to ∫ dxxf )( , kao u sljedećim primjerima:

i) ∫ = xxdx sincos jer je )'(sincos xx = ;

ii) ∫ = xx edxe jer je )'( xx ee = ;

iii) ∫ = xdxx

ln1 jer je )'(ln1 xx= ;

iv) ∫ = xdxx

tgcos

12 jer je )' tg(

cos1

2 xx= .

Naime, dovoljno je samo malo promijeniti podintegralnu funkciju, pri čemu više ne možemo napamet riješiti pripadne integrale, kao u primjerima: ∫ xdx2sin , ∫ dxxex , ∫ xdxln i

sličnim. Štoviše, malom promjenom podintegralne funkcije možemo dobiti integrale koje je ne- moguće eksplicitno riješiti bez upotrebe jačeg analitičkog aparata, kao što su Taylorovi redovi i slično. Na primjer: ∫ dxx2sin ili ∫ dxex2

. U ovakvim situacijama važno je znati da li uopće

postoji integral, o čemu govori sljedeći rezultat. Prema ovome možemo zaključiti da je integriranje znatno zahtjevnije od deriviranja, gdje nije bilo velike razlike u deriviranju među sličnim funkcijama, kao što su, na primjer: xsin ,

x2sin , te 2sin x . Sve se one lako i na sličan način deriviraju, dok se potpuno različito integriraju: prva lako, druga osrednje, dok treća znatno teže. Da bismo olakšali proces integriranja nekih funkcija, možemo koristiti:

1. tablicu integriranja osnovnih funkcija (to je “anti - tablica” tablici deriviranja); 2. svojstva integrala (samo dva svojstva); 3. metode supstitucije i parcijalne integracije (metodama se ne rješava integral nego se

zamjenjuje odgovarajućim jednostavnijim).

7.1 TABLICA I SVOJSTVA INTEGRALA Svojstva integrala su malobrojna te toliko prirodna, da nismo ni svjesni kada ih koristimo:

i) homogenost:

∫ ∫= dxxfcdxxcf )()( ;

ii) linearnost:

∫ ∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( .

♣Teorem 15. Ako je podintegralna funkcija )(xfy = neprekidna na nekom intervalu

(a,b), tada postoji neodređeni integral ∫= dxxfxF )()( na intervalu (a,b). ♣

7. Integrali

129 Prema ovim svojstvima, potrebno je podintegralnu funkciju rastaviti na što više dijelova jer to odgovara integriranju, što nismo morali raditi kod deriviranja. Na primjer:

)1(4)')1(( 222 xxx +=+ , što je metodološki različito u odnosu na

∫ ∫ ∫ ∫ ∫++=++=+ dxxdxxdxdxxxdxx 424222 21)21()1( ,

odnosno za razliku od derivacije, integral “čeka” da se podintegralna funkcija rastavi na što više elementarnih dijelova. Budući da je integral jednak antiderivaciji, tablicu integrala osnovnih funkcija tretiramo kao “anti – tablicu” tablici deriviranja. Naime, u tablici deriviranja smo pisali da je xx cos)'(sin = ,

dok ćemo u tablici integriranja pisati: ∫ = xxdx sincos , i tako redom za ostale funkcije iz

tablice deriviranja, pa dobivamo sljedeću tablicu integriranja: Pročitati sljedeće riješene zadatke pa ih ponovno riješiti samostalno i bez gledanja.

454. ∫ +=++

=+

cxcxdxx413

4133 .

)(xfy = ∫ dxxf )( )(xfy = ∫ dxxf )(

1 , −≠nxn

1

1

+

+

nxn

211x+

xtgarc

x1

||ln x 21

1x+

−

xctgarc

xe

xe 21

1

x−

xsin arc

xsin

xcos− 21

1

x−−

xcosarc

xcos xsin 22

1xa +

ax

a tgarc1

xsh xch 22

1xa +

− ax

a ctg arc1

xch xsh 22

1

xa −

axsin arc

x2cos1

x tg 22

1

xa −−

ax cos arc

x2sin1

−

x ctg 10 , ≠< aa x

aa x

ln


130

455. cx

cxcxdxxdxx

+−

=+−=++−

== −+−

−∫∫ 44

155

5 41

41

151 .

456. cxcxcxdxxdxx +=+=++

==+

∫∫ 3

23

21

1

32

1

23

21

21

.

457. cxcxcxdxxdxx

dxx

+⋅=+=++−

=== ∫ ∫∫+−

− 3

31

32

1

3 23

111 3

132

32

32 .

458. 51

4 4 5443 1 4 4( ) 3 3ln | | 3ln | |5 5

x dx dx x dx x x c x x cx x+ = + = + + = + ⋅ +∫ ∫ ∫ .

459. cxxxdxxdxxdxxdxxxx ++−=+−=+−∫ ∫∫∫ 4 73 834 33 5

74

821

3472)72( 4

335

21

.

460. cxxxdxxdxxdxxdxxxx ++−=+−=+− ∫ ∫ ∫∫ 86575434

81

21

5232)32( .

461. ∫ ∫∫∫∫ =++=++=+ dxxdxxdxdxxxdxx 424222 18122)961(2)31(2

cxxx +++= 53

51842 .

462. ∫ ∫∫∫∫ =+−=+−

=− dx

xdx

xdx

xdx

xxxdx

xx

323

2

3

2 14112194129)23(

2

12 29ln | |x cx x

= + − + .

463. =⋅+⋅=+=+ −− ∫∫∫∫∫ dxxxdxxxdx

x

xdxx

xdxx

xx32

21

32

3 23 23 2

cxxdxxdxx ++=+= ∫∫ − 6 53 4

56

43

61

31

.

464. ∫ ∫∫∫ ∫∫ ++=++

=++

=+ dxxdxxdxxdx

xxxxdx

xxxxxdx

xxx

61

65

23

21

32

34

222)( 23 23223

cxxxcxxx +++=+++= 6 76 115

76

1112

52

76

1112

52

67

611

25

.

Napomena: uvijek nakon određenog broja zadataka treba napraviti pauzu, jer nije toliko važna količina urađenih zadataka, koliko je važna kvaliteta i način na koji se oni rješavaju. To znači, ako vam popusti koncentracija, odmori malo (šetnja oko stola)!

465. cxxdxdxxdxxdxx

xx

xx +++=+−=+− −− ∫∫∫∫ 2ln2

32

21243)243( 6675

75 =

= cx

xx

+++2ln

23

221

66 .

466. ∫∫ ∫ ∫∫ =−+−=−+− xdxdxx

dxx

xdxdxxxx

x sin51413cos2)sin543cos2( 22

32sin 4ln | | 5cosx x x cx

= + + + + .

7. Integrali

131

467. =+−=+− ∫∫∫∫ dxxdxx

dxx

dxxxx

sh 4sin

13cos

12)sh 4sin

3cos

2( 2222

cxxx +++= ch 4 ctg3 tg2 .

468. cdxdxdxxx

xxx

xx

++=+=⋅+⋅

∫∫∫ )5/2ln()5/2(3

)5/3ln()5/3(2)

52(3)

53(2

52332 .

469. ∫ ∫∫∫ ++−⋅=+−+

=+−+

cexxdxexdxx

dxdxexx

xxx 3sh tgarc23ch 1

2)3ch 1

2( 22 .

470. cxxdxxx

dxxx

++=+

+−

=+

+−

∫∫ 2 tgarc

21

3sin arc)

21

3

1()4

1

9

1( 222222.

471. =−

+−

−+

=−

+−+ ∫ ∫∫∫ 222

2

222

22

)3(2

coscos1

)2(3)

3

2tg2

3(x

dxdxx

xx

dxdxx

xx

=+⋅++−= ∫ ∫ cxdxdxx

x3

sin arc2cos

12

tgarc2

32

3 arc tg tg 2arc sin2 2 3

x xx x c= − + + + .

472. cxx

dx

x

dx

x

dx

x

dx+=

−=

−=

−=

−∫∫∫∫ 3

2sin arc21

)(21

21

)(449 22232

492

492

.

473. =+=+

= ∫∫∫∫ dxxx

xdxxx

xxx

dxxxxx

dx22

2

22

2

22

22

22 sincossin

sincoscos

sincos)sin(cos

sincos

cxxx

dxx

dx++−=+= ∫∫ tg ctg

cossin 22 .

♠ZADACI ZA VJEŽBU♠

474. ∫ − dxxx 2)2( . 475. dx

xx∫

−55 . 476. dx

xx

∫−4

2)13( .

477. ∫+ dxx

x8

3

3)1( . 478. dxxxx )

313( 353∫ +− . 479. dx

xxx)

2

12

32(53

+−∫ .

480. dxxxx )( 3−∫ . 481. dxx

xx∫

+4

23 )( . 482. dxx

xx∫

−5 11

53.

483. dxxxx∫ . 484. dxx

x 2)1(∫ + . 485. dxx

x 2

3

3 )1(∫ − .

486. dxxx

x∫ +

+3

2)1( 487. dxxx∫ 82 . 488. dxx

xx

∫+

1052 .

489. 2 2 2

dxb a x−

∫ . 490. dxxx

x∫ 22 sincos

2cos . 491. dxxx

x∫ 3cossin

2sin .


132

492. ∫ xxdx

22 sh ch. 493. dxxx∫ − 2) ctg tg( .

RJEŠENJA

474. .41

342 432 cxxx ++− 475. .

45

31

43 cxx

++− 476. .3139

32 cxxx

+−+−

477. .21

161

51

121

7654 cxxxx

+−−−− 478. .41

76

52 3 475 cxxx ++−

479. .3

1494

3

3 2 cx

xx +−− 480. .116

52 6 115 cxx +−

481. .1712

1924

74 12 1712 194 7 cxxx +++ 482. .11

1315

15 13c

xx++− 483. .

158 8/15 cx +

484. 21 2 ln | | .2

x x x c+ + + 485. .212

41

24 c

xxx +−− 486. ln | | 2 .x arctgx c+ +

487. .16ln

16 cx

+ 488. .2ln

25ln

5 cxx

+−−−−

489. 1 arcsin .ax ca b

+ 490. .ctgxctgx +−−

491. .2 ctgx + 492. .ccthxthx +−− 493. .4 cxctgxtgx +−− 7.2 METODA SUPSTITUCIJE Koristeći razne supstitucije integral može biti zamijenjen odgovarajućim jednostavnijim. Metodom supstitucije se integral ne rješava direktno kao u prethodnoj točki, nego se integriranje olakšava. Postupak supstitucije opisan je u sljedećem rezultatu: Kako vidimo, supstituciju )(tx ϕ= i pripadnu derivaciju dttdx )('ϕ= zapisujemo u zagradi oblika |…..|, čime u potpunosti realiziramo namjeru rješavanja integrala metodom supstitucije. U sljedećim primjerima pročitati te ponovno samostalno riješiti dane integrale.

♣Teorem 16. Neka je RRf →: neprekidna podintegralna funkcija, te neka je željenasupstitucija dana funkcijom )(tx ϕ= isto neprekidna s neprekidnom derivacijom )(' tϕ .Tada vrijedi formula za supstituciju u neodređenom integralu:

∫ ∫==

== dtttf

dttdxtx

dxxf )('))(()(')(

)( ϕϕϕϕ

.♣

7. Integrali

133

494. cxctdttdtdxdtdx

txdxx ++=+==

===+

=+ ∫∫ 998

51

8 )53(451

451

515

53)53( .

495. 9 89 9 8

2 3 1 1 1 13(2 3 ) 3 3 24 24(2 3 )

x tdx dt t dt t c cdx dtx t x

− −− == = − = − = + = +− =− −∫ ∫ ∫ .

496. cxctdttdttdtdx

txdxx +−=+===

==−

=− ∫∫∫ 32/32/1 )4(32

324

4 .

497. cxctdttdttdtdx

txdxx +−=+===

==−

=− ∫∫∫ 3 43/43/133 )14(163

163

41

41

414

14 .

498. cxctdttt

dtdtdx

tx

x

dx++⋅=+===

==+

=+

∫∫∫ − 44/14/34 34 3

422221

21

242

)42(.

499. cxcttdtdtdxtx

xdx +−=+−====

= ∫∫ 10cos101cos

101sin

101

1010

10sin .

500. 2 2

3 1 1 1tg tg 33cos 3 3 cos 3 3

x tdx dt t c x cdx dtx t

== = = + = +

=∫ ∫ .

501. cxcttdtdtdxtx

dxx +−−=+−=−==−=−

=− ∫∫ )52sin(51sin

51cos

51

552

)52cos( .

502. cecedtedtdx

txdxe xttx +=+==

==+

= ++ ∫∫ 4343

31

31

31

343

.

Napomena: svaki se rezultat integriranja može jednostavno provjeriti, tako da dobiveni rezultat deriviramo, budući da znamo da derivacija integrala mora biti jednaka podintegralnoj funkciji!

503. ccdtdtdx

txdx xttx +=+==

==+

= ++ ∫∫ 1212 77ln2

177ln2

1721

212

7 .

504. cx

ctdtttdt

dtxdxdtxdx

txdx

xx

+−

−=+−======−

=−

−−∫∫∫ 2223

3

41

2

32 )12(81

81

41

414

12

)12(.

505. =+−=+−

=−

=−===+

=+ ∫ ∫∫∫ dt

ttdt

tttdt

tt

dttdxdtdxtx

dxx

xx

)44(2442)2(2)2(2

2

)2(

22

21


134 cxxxcttt ++++−+=++−= )2ln(8)2(8)2(ln88 22 .

506. =+−

=−−−

=

−−=−===++

=++ ∫∫∫ + dt

ttttdt

ttt

txdttdx

dtdxtx

dxx

xx

232)1)(1)1((2

1)1()1(2

11

11

232

2

121

=++−=+−= ∫ ∫∫ ctttdttdtdtt 4332462 232

cxxx ++++++−++= )11(4)11(3)11(32 23 .

507. cossintg ln | | ln | cos |

sincosx tx dtxdx dx t c x c

xdx dtx t=

= = = − = − + = − +− =∫ ∫ ∫ .

508. =+−

=−

===

=−

== ∫∫∫∫∫ )1)(1(1cossin

sin1cos

coscos

cos 222 ttdt

tdt

dtxdxtx

dxx

xdxxx

xdx

=+++−−=+

+−

= ∫∫ cttt

dtt

dt |1|ln21|1|ln

21

121

121

cxxc

tt

+−+

=+−+

=sin1sin1ln

21

11ln

21 .

509. cxctdttdtdxtx

dxx

x

x+=+==

==

= ∫∫ 3321

2

ln31

31lnln .

510. cxctdttdtxdx

txxdxx +=+==

==

= ∫∫ 5544 sin51

51

cossin

cossin .

Napomena: zadatke ne treba raditi jedan za drugim mehanički, jer nije jedini cilj rješavanja zadatka dobiti točno rješenje; treba se malo istraživački poigrati, kao na primjer: razmisliti kako određeni tip podintegralne funkcije implicira određeni tip rješenja, ili usporediti težinu integriranja među raznim tipovima podintegralnih funkcija, ili pokušati zapamtiti neke lakše rezultate, kao npr. integrale funkcija xy 3sin= , xey 5= i slično. Time razvijamo mnoge druge osobine, a samo integriranje postaje sporedna aktivnost.

511. =+−=−=−=−=

==+

=+ ∫∫∫∫ cttdttdttdttttx

dtdxtx

dxxx 2/32/52/12/3

34

522)2(

2

22

cxx ++−+= 35 )2(34)2(

52 .

7. Integrali

135

512. cecedtedtdxdtdx

txdx

xe xtt

x

x

x

+=+==

=

==

= ∫∫ 22221

21 .

513. cxctdttdtxdxdtxdxtx

dxxx ++=+=====+

=+ ∫∫ 1221211

21

2

112 )5(241

241

212

5)5( .

514. cxcttdtdtdxxdtdxxtx

dxxx ++−=+−=====+

=+ ∫∫ )42cos(61cos

61sin

616

42)42sin( 3

612

2

3

32 .

515. cxctt

dt

dtxdxdtxdxtx

dxxx

+−=+=====−

=− ∫∫ )4( tg

21 tg

21

cos212

4

)4(cos2

2

21

2

22 .

516. =−=−

=−===+

=+

=+

∫∫ ∫∫∫ − dttdttdtt

t

tedtdxete

dxe

eedxe

e

x

x

x

x

xx

x

x2/12/1

2 )1(

1

1

11

ceectt xx ++−+=+−= )1(2)1(322

32 32/12/3 .

517. 1

ln 2

2 22 2 1 ln 1ln 2(2 2 ) ln(2 2 )2 2 ln 2 ln 2 ln 2

(2 2 )

x xx x

x x x xx x

x x

tdt tdx dx dt c ct

dx dt

−−

− −−

−

+ =−

= − = = = + = + ++

− =∫ ∫ .

518. cxctt

dttt

tdt

txtdtdxtx

xxdx

++=+=+

=+

=−=

==+

=++ ∫∫∫ 1 tgarc2 tgarc2

12

)1(2

12

1

1)2( 222

2

.

Napomena: nije dobro vježbati samo zadatke iste težine, na primjer, samo lakše zadatke; nakon određenog vremena, veoma je dobro prijeći i na teži tip zadataka, pa onda se vratiti na lakšu, i tako dalje. Ukoliko se vježba samo lakša grupa zadataka, tada dolazite u opasnost takozvanog rutinskog rješavanja, što se može pokazati negativnim na pismenom dijelu ispita, ako se pojavi za vas takozvani nepoznati integral. Tada će vas rutina vjerojatno zablokirati!


136 ♠ZADACI ZA VJEŽBU♠ 519. 4 5x dx−∫ . 520. ∫ + dxxx 43 32 . 521. ∫ − 4)1(x

dx .

522. ∫ +dx

xx

42 )7(2 . 523. dx

xx

x∫

+

+3 3

2 13 . 524. dxxx∫ 3cos3sin 3 .

525. ∫ xdxxcossin10 . 526. dxx

x∫

− 2)1( . 527. dxx

x∫ + 2)cos32(

sin .

528. ∫ −+ dxxx 2)1( 2 . 529. dxxex∫ 2/2. 530. dxxx∫ 3

sin3

2 .

531. ∫ xxdxln

. 532. ∫+ )1( 44 3 xx

dx . 533. ∫+1xe

dx .

534. dxeex

x

∫ −1

2

. 535. dxxx∫ − 182 )1( . 536. dxxx

∫ +3 1.

537. ∫ +dx

xx

41. 538. dx

x

x∫

− 6

2

1. 539. ∫ dx

xx

sinln ctg .

540. ∫ +dx

xxx

)ln4(ln

2 .

RJEŠENJA

519. .6

)54( 2/3

cx+

− 520. .)4(32 33 cx ++ 521. .

)1(31

3 cx

+−

− 522. .)7(3

132 c

x+

+−

523. .)(23 3 23 cxx ++ 524. .3cos

121 4 cx +− 525. .sin

111 11 cx + 526. .)1(

32 3 cx +−

527. .cos96

1 cx+

+ 528. .)2(

310)2(

58)2(

72 357 cxxx +−+−+−

529. .2/2cex + 530. .

3cos

3

cx+− 531. .lnln cx + 532. .)1ln(4 4 cx ++

533. .11

11ln ce

ex

x

+++

−+ 534. .)1ln( cee xx ++−

535. 21 20 19( 1) ( 1) ( 1) .

21 10 19x x x c− − −

+ + + 536. .)32()1(103 3/2 cxx +−+ 537. .

21 2 carctgx +

538. 31 arcsin .3

x c+ 539. .sinlnln cx + 540. .ln4ln 2 cx ++

USER

Pogrešno : (3/5)*treći korijen od (x+1) na 5-u - (3/2)treći korijen od (x+1) na 2-u +c. Korekcija: [email protected]

USER

KOrekcija u rješenju!

7. Integrali

137 7.3 PARCIJALNA INTEGRACIJA Kao i kod supstitucije, parcijalnom integracijom dani integral mijenjamo s odgovarajućim jednostavnijim integralom. Često se postavlja pitanje: kada primijeniti parcijalnu integraciju, a ne supstituciju? Ukoliko se u podintegralnoj funkciji nalazi produkt od dvije takozvane raznorodne funkcije (npr. jedna algebarska a druga transcedentna), ili se nalazi jedna ili dvije transcedentne funkcije, tako da niti jedna supstitucija ne daje rezultat, tada obavezno primjenjujemo parcijalnu integraciju. Na primjer, xxxf cos)( = ili xxf tgarc)( = ili

xexf x 3cos)( 2= . Sama ideja parcijalne integracije sastoji se u tome da se produkt dviju funkcija zamijeni s produktom od derivacije prve i integralom druge, ili obratno. To se tehnički izvodi po sljedećem pravilu:

♥Dokaz. Znamo da derivacija produkta funkcija zadovoljava pravilo: '')'( gfgfgf ⋅+⋅=⋅ .

Direktnim integriranjem ove jednakosti, uz korištenje da je ∫ ⋅=⋅ gfdxgf )'( što je

definicija integrala, neposredno slijedi tražena formula parcijalne integracije. ♥ To znači da onu funkciju koju je bolje “poslati” u derivaciju označavamo sa “u” dok onu funkciju koju je bolje “poslati” u integral označavamo sa “dv”. Na primjer, u produktu xxy cos= bolje je “poslati” xy = u derivaciju, a xy cos= u integral, jer produkt derivacije prve i integrala druge funkcije je xy sin1⋅= , što je mnogo jednostavnije za integrirati od produkta xxy cos= ,odnosno:

541. cxxxxdxxxvduuv

xxdxvxdxdv

dxduxu

xdxx ++=−=−=

=====

= ∫∫∫∫

cossinsinsin

sincoscoscos .

♣Teorem 17. Neka su dane dvije “dovoljno glatke” funkcije )(xfy = i )(xgy = . Tadavrijedi formula parcijalne integracije:

∫ ∫−= dxxfxgxgxfdxxgxf )(')()()()(')(

ili, u radnom obliku,

,∫ ∫−= vduuvudv gdje je

)()(')(')(

xgvdxxgdvdxxfdu

xfu

====

. ♣


138 Naravno, mogli smo izabrati onu drugu, nepovoljniju, kombinaciju, odnosno poslati xy = u integral, a xy cos= u derivaciju. Međutim, tada je produkt integrala prve i derivacije druge funkcije jednak funkciji xxy sin2

21−= , što je teže integrirati od zadane funkcije xxy cos= .

Pročitati sve riješene primjere iz parcijalne integracije, pa potom sve zadatke samostalno riješiti, bez gledanja u postupak.

542. =−−=−=

====

−=

=− ∫∫∫

∫ dxeexvduuv

edxevdxedv

dxduxu

dxex xx

xx

xx 44

4414

44

42

41)12(

212

)12(

ceex xx +−−

= 44

81

412 .

543. =−=−=−=

====

= ∫∫∫∫ dxxxxdxxxxxvduuv

xvdxxdvdxduxu

dxxx x 3441

44

41

441

321

3

812ln

81)2(ln

2ln

2ln

4

4ln 2 14 16

x x x c= − + .

544. ==−=−=−

=−

−⋅=−=

==

==

= ∫∫∫ −

dtxdxdtxdxtx

dxx

xxxvduuv

xvdxdv

duxu

xdx xdx

21

2

21 2

1

1)sin arc(

sin arc

sin arc 2

cxxxdttxxt

dtxx +−+⋅=+⋅=+⋅= ∫∫ − 2/122/1 )1(sin arc21sin arc

21sin arc .

Napomena: znamo da u parcijalnoj integraciji postoje najviše dvije mogućnosti za odluku koju od dvije podintegralne funkcije “poslati” u derivaciju a koju u integral; da bismo razvili osjećaj koji je bolji, a koji lošiji izbor za vu i , bilo bi dobro za svaki od ovih integrala, gdje je ponuđena bolja mogućnost, uraditi i onu lošiju. Naravno, ako je samo jedna podintegralna funkcija, tada imao samo jednu mogućnost!

545. ====+

=+

−⋅=−=

==

==

= ∫∫∫ +

dtxdxdtxdxtx

dxx

xxxvduuv

xvdxdv

dxduxu

xdx x

21

2

21

1

21

1 tgarc

tgarc

tgarc 2

cxxxctxxtdtxx ++−⋅=+−⋅=−⋅= ∫ )1ln(

21 tgarcln

21 tgarc

21 tgarc 2 .

546. ∫∫ ∫∫ =+⋅−=+⋅−=−=

−====

= dxxxxxxdxxxvduuv

xvdxdv

dxduxu

dxx

x

xsincos ctg ctg ctg

ctgsin 2sin

12

USER

Bez 2. Korekcija: Katarina Repar, G

USER

Umjesto 8 treba pisati 4.

USER

Umjesto 8 treba pisati 4.

7. Integrali

139

sin

ctg ctg ln ctg ln sincos

x t dtx x x x t c x x x cxdx dt t

== = − ⋅ + = − ⋅ + + = − ⋅ + +

= ∫ .

547. ∫∫∫ =−=−=

====

= xdxexevduuv

xvxdxdvdxedu

eu

xdxe xxx

x

x 2sin232sin

21

2sin2cos

32cos 33

21

3

3

3

=+−−=−−=

−====

= ∫∫ ]2cos232cos

21[

232sin

21][

232sin

21

2cos2sin

3 3333

21

3

3

xdxexexevduuvxe

xvxdxdvdxedu

eu

xxxxx

x

∫−+= xdxexexe xxx 2cos492cos

432sin

21 333 .

To znači da smo dvostrukom primjenom parcijalne integracije istog tipa za početni integral dobili jednakost:

∫∫ −+= xdxexexexdxe xxxx 2cos492cos

432sin

212cos 3333 ,

iz čega, rješavanjem po traženom integralu (nepoznati integral na lijevu stranu a sve ostalo na

desnu stranu), slijedi: xexexdxe xxx 2cos1332sin

1322cos 333 +=∫ .

548. ∫ ∫∫ =

====

=−=−=

====

=

x

xxx

x

xx

evdxedv

dxduxu

dxxeexvduuv

evdxedv

xdxduxu

dxex 22 2

2

2

cexeexdxexeexvduuvex xxxxxxx ++−=−−=−−= ∫∫ 22][2 ][2 222 .

♠ZADACI ZA VJEŽBU♠ 549. ∫ − dxxe x . 550. sinx xdx∫ . 551. ∫ dx

xx

2cos.

552. ∫ xdxcos arc . 553. ∫ xdxex sin . 554. ∫ xdxx ln .

555. ∫ xdxx 2sin2 . 556. ∫ − xdxe x sin . 557. ∫ dxx)cos(ln .

558. ∫ ⋅ xdxx tgarc .

RJEŠENJA

549. .)1( cxe x ++− − 550. .sincos cxxx ++− 551. .cosln cxtgxx ++⋅


140

552. .1arccos 2 cxxx +−− 553. .)cos(sin2

cxxex

+−

554. .)31(ln

34 cxxx +− 555. .2cos

4212sin

2

2

cxxxx+

−+ 556. .)cos(sin

2cxxe x

++−−

557. .)lnsinln(cos2

cxxx++ 558. .

21)1(

21 2 cxarctgxx +−+

7.4 INTEGRALI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Ako želimo uspješno rješavati integrale u kojima se pojavljuje produkt više različitih trigonometrijskih funkcija, potrebno je unaprijed znati razne supstitucije, koje su bazirane na odgovarajućim adicionim formulama. Stoga ćemo prije svakog podtipa u integriranju trigonometrijskih funkcija navesti sve adicione formule koje se koriste. Prvo rješavamo integral tipa ∫ + xdxx nm 12cossin ili ∫ + xdxx nm 12sincos , odnosno, kada je

barem jedna od trigonometrijskih funkcija xsin ili xcos “napadnuta” neparnom potencijom oblika 2n+1 dok druga potencija može biti bilo što. Tada primjenjujemo sljedeći trik:

=== ∫∫∫ + xdxxxxdxxxxdxx nmnmnm cos)(cossincoscossincossin 2212

∫∫ −===

=−= dtttdtxdx

txxdxxx nmnm )1(

cossin

cos)sin1(sin 22 .

To znači da ovakav integral jednostavnom supstitucijom prevodimo u integral po odgovarajućem polinomu, što se pak direktno rješava. Pritom smo koristili adicionu formulu:

.cos1sin sin1cos 1cossin 222222 xxxxxx −=⇔−=⇔=+ Na prethodno opisan način riješit ćemo slijedeće primjere: 559. 2 5 2 4 2 2 2sin cos sin cos cos sin (1 sin ) cosx xdx x x xdx x x xdx= = − =∫ ∫ ∫

2 2 2 2 4 6 3 5 7sin 1 2 1(1 ) ( 2 )cos 3 5 7

x tt t dt t t t dt t t t c

xdx dt=

= = − = − + = − + + == ∫ ∫

3 5 7sin 2sin sin

3 5 7x x x c= − + + .

560. 3 2 2

2 2 2

cossin sin sin (1 cos )sinsincos cos cos

x tx x x x xdx dx dxxdx dtx x x

=−= = = =

− =∫ ∫ ∫

∫ ∫∫ ++=++=+−=−

−= −− cxx

cttdtdttdtt

t coscos

11 122

2

.

7. Integrali

141

561. ===

=−

== ∫∫∫ dtxdxtx

dxx

xxdxx

xxdxxx

cossin

sincos)sin1(

sincoscos

sincos 223

cxxcttdttdttdttt

+−=+−=−=−

= ∫ ∫∫ − 52/52/12/32/12

sin52sin2

522)1( .

Ako rješavamo integral oblika ∫ xdxx nm 22 cossin , gdje su obje funkcije xsin i xcos

“napadnute” s parnim potencijama 2m, odnosno 2n, tada imamo nešto kompliciraniju situaciju od prethodnog slučaja. Jedino što možemo je koristiti adicione formule za snižavanje parne potencije nad xsin i xcos :

)2cos1(21sin 2 xx −= , ).2cos1(

21cos2 xx +=

To znači da na bilo kojem mjestu u integralu možemo iskoristiti ove dvije formule, kao u sljedećim riješenim primjerima:

562. ∫∫∫ =−=+−= dxxdxxxxdxx )2cos1(41)2cos1(

21)2cos1(

21cossin 222

cxxxdxdxdxxxdx +−=−=−== ∫∫∫∫ 324sin

84cos

81

81)4cos1(

21

412sin

41 2 .

563. =+−= ∫∫ dxxxxdxx 22142 )]2cos1()[2cos1(

21cossin

=−−+=++−= ∫∫ dxxxxdxxxx ]2cos2cos2cos1[81)2cos2cos21)(2cos1(

81 322

−+=−−+= ∫∫∫∫ 162sin

82cos

812cos

812cos

81

81 32 xxdxxdxxxdxdx

==

==−−−− ∫∫ dtxdx

txxdxxdxx

2cos22sin

2cos)2sin1(81)4cos1(

161 2

=+−++=−−+−+= ∫∫ 4816644sin

162sin

16)1(

1614cos

161

16162sin

8

32 ttxxxdttdxxxxx

cxxxcxxxxx+++=++−++=

644sin

482sin

16482sin

162sin

644sin

162sin

16

33

.

Na kraju rješavamo tip integrala ∫ xdxx βα cossin ili ∫ xdxx βα sinsin ili ∫ xdxx βα coscos ,

gdje su potencije jednostavne, ali su “frekvencije” α i β različite od 1. U ovom slučaju nam jedino mogu pomoći adicione formule za produkt trigonometrijskih funkcija sa proizvoljnim frekvencijama α i β :

])sin()[sin(cossin 21 xxxx βαβαβα −++=

])cos()[cos(sinsin 21 xxxx βαβαβα +−−=

].)cos()[cos(coscos 21 xxxx βαβαβα −++=

USER

Treba +. Korekcija: Tomislav Puđa, H

USER

Treba -. Korekcija: Tomislav Puđa, H


142

Sada direktnim uvrštavanjem prethodnih formula možemo riješiti pripadne integrale za bilo koje α i β , odnosno dobivamo formule:

,])cos()cos([21cossin cxxxdxx +

−−

+++

−=∫ βαβα

βαβαβα

,])sin()sin([21sinsin cxxxdxx +

++

−−−

=∫ βαβα

βαβαβα

.])sin()sin([21coscos cxxxdxx +

++

+−−

=∫ βαβα

βαβαβα

Primijenimo sada ove formule na dva sljedeća primjera:

564. cxxcxxxdxx ++=+++

+−−

=∫ 84sin

42sin]

13)13sin(

13)13sin([

21cos3cos .

565. cxxcxxxdxx ++−=+−−

+++

−=∫ 84cos

2010cos]

73)73cos(

73)73cos([

217cos3sin .

Naravno, mnogi se integrali s trigonometrijskim funkcijama mogu riješiti uobičajenim supstitucijama kao u točki 9.2. Navodimo nekoliko jednostavnih primjera.

566. cxcttdt

dtxdxtx

dxx

x++−=+−=−=

=−=+

=+ ∫∫ )cos2ln(ln

sincos2

cos2sin .

567. cxctt

dtdtxdx

txdx

xx

+=+=+

===

=+ ∫∫ 2

sin tgarc21

2 tgarc

21

4cossin

sin4cos

22 .

568. =+−=−=−==−=−

=− ∫∫ ctdttdtxdxdtxdxtx

dxxx 65

31

5

181

31

coscos3

sin32)sin32(cos

cx +−−= 6)sin32(181 .

♠ZADACI ZA VJEŽBU♠ 569. ∫ xdxx 32 cossin . 570. ∫ xdxx 34 sincos . 571. ∫ dx

xx

4

3

cossin .

572. ∫ xdx4sin . 573. ∫ xdxx 24 cossin . 574. ∫ dxxx

4

2

sincos .

7. Integrali

143

575. ∫ − xxdx

44 sincos. 576. ∫ xdxxcos5sin . 577. ∫ xdxx 5cossin .

578. ∫ xdxx 3cos7cos . 579. ∫ xdxx 10sin15sin . 580. ∫ xdxxx 3sin2sinsin

581. ∫ xdx3cos . 582. ∫ xdx5sin .

RJEŠENJA

569. .sin51sin

31 53 cxx +− 570. .cos

51cos

71 57 cxx +− 571. .

cos1

cos31

3 cxx+−

572. .4sin3212sin

41

83 cxxx ++− 573. .2sin

4814sin

641

163 cxxx

+−− 574. .31 3 cxctg +−

575. .))4

(ln(21 cxtg +−−

π 576. .84cos

126cos cxx

+−− 577. .84cos

126cos cxx

++−

578. .84sin

2010sin cxx

++ 579. .10

5sin5025sin cxx

++− 580. .82cos

164cos

246cos cxxx

+−−

581. .3

sinsin3

cxx +− 582. .cos3

cos2cos51 3

5 cxxx +−+−

7.5 INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJA Znatan broj racionalnih funkcija može se integrirati primjenom klasičnih supstitucija, kao na početku poglavlja. Na primjer:

583. cxcttdt

dtdxxtxdx

xx

+−−=+−=−==−=−

=− ∫∫ |2|ln

41||ln

41

41

42

24

3

4

4

3

.

584. cx

ctt

dtdtdxxtxdx

xx

++

−=+−====+

=+ ∫∫ 83892

3

93

2

)4(1

2411

241

31

34

)4(.

585. )( tgarc 31 )( tgarc

31

131

313

22

3

6

2

cxctt

dtdtdxx

txdxx

x+=+=

+=

==

=+ ∫∫ .

Međutim, još je veći broj primjera gdje treba primijeniti neke nove “trikove” uz već postojeće supstitucije, kao što su: pretvaranje kvadratnog trinoma u binom, rastavljanje razlomka na proste parcijalne razlomke, dijeljenje brojnika s nazivnikom i slično. Kao prvo, ako je u nazivniku takozvani kvadratni trinom cbxax ++2 , odnosno kvadratna funkcija sa “srednjim” članom “ bx ”, koju ne možemo rastaviti na dva dijela prvog stupnja, tada treba trinom svesti na takozvani kvadratni binom, kao u sljedećem primjeru:

USER

Rješenje je dobro ali se može pojaviti u obliku kada se umjesto obadva minusa pojavljuju plusevi. Primjedba: Ivana Gospić, grupa G Ivana krcivoj, grupa I

USER

Primjedba na rješenje koje je točno!


144

586. ===−

=+−

=+−=+−=+− ∫∫ dtdx

txx

dxxxxxx

dx 21

432

214

32212

2 )()(1

1

cxctt

dt+−=+=

+= ∫ )(

32 tgarc

32

32 tgarc

32

21

432 .

587. =++=++=++=++=++∫ 4)1(2]2)1[(2)32(2642

6422222

2 xxxxxxxx

dx

cxctt

dtdtdx

txx

dx+

+=+=

+=

==+

=++

= ∫∫ 21 tgarc

221

2 tgarc

221

2211

2)1(21

22 .

588. ==−=−

=−−

=−−=−=−

∫∫ dtdxtx

x

dxxxxxx

dx 1

)1(1)1(12

2 2

22

2

cxctt

dt+−=+=

−−= ∫ )1( cos arccos arc

1 2.

Ako ipak možemo kvadratni trinom cbxax ++2 rastaviti na dva dijela prvog stupnja odnosno na “proste” faktore, tada radimo rastav razlomka na takozvane “parcijalne razlomke”, kao u sljedećim primjerima (takozvano abecediranje razlomaka):

589. ∫ ∫∫∫ =+

+−

=+==+−

=− +−+− x

dxBx

dxAxx

dxx

dxx

Bx

Axx 11)1)(1(1 11)1)(1(

12

===⇒=+=−

⇒=+== +−++−

+−+− 2/1 10

)1)(1()()(

11)1)(1(1 BA

BABA

xxBAxBA

xB

xA

xx

cxxcxx

xdx

xdx

+−+

=+++−−=+

+−

= ∫∫ |11|ln

21|1|ln

21|1|ln

21

121

121 .

590. ∫ ∫∫ =+

−+

=+

−+

=++

=++

=++ 2

23

32

23

3)2)(3(6565 22 x

dxxdx

xxxxx

xxxdx

xxx

cxx ++−+= |2|ln2|3|ln3 . Ako se u nazivniku pojavi “prosti “ faktor stupnja jedan, ali s potencijom nad njim većom od jedan (npr. 3x ), tada moramo u rastavu na parcijalne razlomke uzeti onoliko novih razlomaka, kolika je ta potencija. Na primjer:

591. ∫ ∫∫∫∫ +++=+++==−+

=−+

−−+

321)1(1

3

2

34

2

323

2

)1(11

xdxC

xdxB

xdxAdx

xxxdx

xxx

xD

xC

xB

xA

xxx

7. Integrali

145

=

=−=−=−=

⇒

=−=+−=+−=+

⇒=+++==−

+−

−+−++−++−−

+∫2112

101

0

1 )1(

)()()(1)1(

13

23

323

2

DCBA

CCBBA

DA

xdxD

xxCxCBxBAxDA

xD

xC

xB

xA

xxx

cxxx

xxdx

xdx

xdx

xdx

+−+++−=−

+−−−= ∫∫∫∫ |1|ln2211||ln2

122 232 .

592. =+

−+

+=+

++=

+++

∫ 22

2

2

2

)2(21

)2(41

43

)2(33

)2(33

xxxxxxxdx

xxxx

cx

xxx

dxxdx

xdx

++

+++=+

−+

+= ∫ ∫ ∫ 21

21|2|ln

41||ln

43

)2(21

241

43

2 .

Ako je u nazivniku pak “prosti” faktor stupnja dva, a nad njim potencija veća od jedan (npr.

32 )1( +x , tada u rastavu na parcijalne razlomke isto tako uzimamo onoliko novih razlomaka, kolika je ta potencija. Na primjer:

593. ∫ ∫∫ =++

+++

=+==+−

++

++

+− dx

xDCxdx

xBAxdx

xxx

xDCx

xBAx

xxx

222)1(1)1(22

3

)1(1)1( 22222

3

=

=−===

⇒

=+−=+

==

⇒=+==+

+++++

++

++

+−

02

01

01

01

22

23

22222

3

)1()()(

)1(1)1(

DCBA

DBCA

BA

xDBxCABxAx

xDCx

xBAx

xxx

cx

xdxx

xdxx

x+

+++=

+−

+= ∫∫ 1

1)1ln(21

)1(2

1 22

222 .

594. =+

−+

−=+

=+∫ 2222222 )1(1

1)1(

1)1( x

xx

xxxxxx

dx

∫ ∫∫ ++

++−=+

−+

−= cx

xxdxxxdx

xx

xdx

)1(21)1ln(

21||ln

)1(1 22

222 .

Ukoliko je stupanj brojnika veći ili jednak od stupnja nazivnika, tada je prije primjene prethodnih “trikova” potrebno podijeliti brojnik s nazivnikom te dobiti razlomke u kojima je stupanj nazivnika veći od stupnja brojnika. Naravno, detaljni postupak za pripadno dijeljenje se radi na predavanjima i vježbama, a ovdje ćemo koristiti samo krajnji razultat dijeljenja, jer nam to nije cilj, već sredstvo za rješavanje integrala ovakvog tipa. Na primjer:

595. ∫ ∫∫ =++

+−=++

+−=++

=++ dx

xxdxxx

xxxx

xxdx

xx

11)(

11

11

11

23

23

2

5

2

5


146

cxxxxx

dxdxx

xdxxdxx ++++−=+

++

+−= ∫∫∫∫ tgarc)1ln(21

24112

24

223 .

596. ∫ ∫∫ =−−−+

+=−−−+

+=−−

=−−

dxxxxxdx

xxxx

xxxdx

xxx

)4)(1(44

)4)(1(441

)4)(1()4)(1( 2

2

2

2

2

3

2

3

∫ ∫∫ =+

−−

+−

−=+

−−

+−

−=−−++

=23

22

213

12

132

22

11

31

)4)(1(44

2

2

xdx

xdx

xdxx

xxxxxxx

cxxxx ++−−+−−= |2|ln32|2|ln2|1|ln

31 .

597. =+−−

+−++=

+−−+−−−

=+−−

+−−−∫ 44

6741244

1035244

1035223

2

23

234

23

234

xxxxxx

xxxxxxxdx

xxxxxxx

=+−−

+−−−++= ∫∫ dx

xxxxxxxdxx44

10352)12( 23

234

dijeljenje brojnika i nazivnika=

=+

+−

+−−

=+−−

+−−−=

23

22

11

4410352

23

234

xxxxxxxxxx uvrstiti u prethodni integral=

=+

+−

+−

−+= ∫∫∫∫ ∫ 23

22

12

xdx

xdx

xdxdxxdx

.|2|ln3|2|ln2|1|ln2 cxxxxx +++−+−−+=

♠ZADACI ZA VJEŽBU♠

598. dxxx

x∫ −+

+103

322 . 599. dx

xxx

∫ ++ )12)(1(.

600. dxxxxx

∫ −−−−

)4)(1(423

2

2

. 601. dxx

xx∫ −

+−1

22

3

.

602. dxxx

x∫ −

+3

4 1 . 603. dxxx

∫ ++

2)3(2 .

604. ∫ ++ dx

xxx4

2

)1(2 . 605. ∫ + 43 xx

dx .

606. ∫ −+− dxxx

xx2

2

)1)(1(3 . 607. ∫ −14x

dx .

608. ∫ −13xxdx . 609. ∫ +++ 123 xxx

dx .

USER

Ovaj brojnik mora biti kao u prethodnom redu gore. Korekcija: Željko Mikić,

7. Integrali

147

RJEŠENJA

598. .)103ln( 2 cxx +−+ 599. .12

1ln cx

x+

++ 600. .))4)(1ln(( 2 cxx +−−

601. .11ln

2

2

cxxx

++−

+ 602. .1ln2

22

cx

xx+

−+ 603. .)3ln(

31 cx

x+++

+

604. .1

1)1(3

13 c

xx+

+−

+ 605. .

1ln

211

2 cx

xxx

++

+− 606. .)1ln(1

1 cxx

+++−

607. .21

11ln

41 carctgx

xx

+−+− 608. .

312

33

1

1ln31

2cxarctg

xx

x+

++

++

−

609. .21

1)1(ln

41

2

2

carctgxxx

++++

Pojam neodređenog integrala vezan je za dvojicu velikih matematičara: Leibnitza (Lajbnic) i Newtona (Njutn). Stoga smatramo zanimljivim iznijeti neke osnovne povijesne podatke i činjenice o dotičnoj dvojici. Pri tome ćemo o Newtonu govoriti na kraju sljedećeg poglavlja, kad budemo govorili o određenim integralima i površinama ravninskih likova, što je Newton prvi inicirao.

Gottfried Wilhelm von Leibnitz Rođen: 1. lipnja 1646. u Leipzigu, Saxonija (Njemačka) Umro: 14. studenog 1716. u Hannoveru, Hanover (Njemačka)

Leibnitza je povijest označila kao jednog od najvećih univerzalnih genija. Zašto? Kao prvo bio je uspješan diplomata i državnik, što mu je omogućilo da putuje Europom, te razmjenjuje ideje, čita dostignuća drugih i uči od njih, te da prezentira ono što je sam stvorio. Na primjer:


148

- 1672. godine, za diplomatskog posjeta Parizu, počeo je učiti modernu matematiku od Huygensa (Hajgens);

- potom odlazi na tri mjeseca u London, kao izaslanik izbornog kneza, gdje se, osim obaveza u Kraljevskom društvu, sastaje i s engleskim matematičarima, gdje im tumači neke svoje matematičke metode;

- godine 1676. napušta Pariz i putuje je za Hanover da bi ušao u službu vojvode od Brunswick-Luneburga, u ulozi povjesničara;

- tada je, kao povjesničar, u razmaku od 1687.-1690., proputovao cijelu Njemačku, Austriju i Italiju.

Bio je pravnik, povjesničar, logičar, metafizičar, filozof, književnik, a pored svega toga, bio je i matematičar. Čime god da se bavio, bio je izuzetno plodan i moderan u smislu svog vremena. Pamti se da je u ono vrijeme genijalnost njegovih pravnih postulata malo tko mogao i htio razumjeti. Primio je diplomu doktorskog stupnja iz prava u svojoj dvadesetoj godini, 5. studenog 1666. Sam je bio svjestan svoje univerzalnosti, a zapamćena je njegova izreka: Matematikom se intenzivnije bavi od 1672. godine, pod utjecajem Huygensa. Godine 1675. piše rad u kojem otkriva “osnovni teorem diferencijalnog računa”:

dxdfg

dxdgfgf

dxd

⋅+⋅=⋅ )( .

U tom istom radu, po prvi put je uveden pojam neodređenog integrala ∫ dxxf )( . Potom,

1676. godine otkriva familijarni rezultat sa prethodnim: dxnxxdxd nn 1)( −= . Godine 1701.

objavljuje radove o aritmetici binarnog sistema, te o determinantama. Na kraju recimo da je u povijesti ostao nerazjašnjen delikatan odnos između njega i Newtona, s obzirom da su obojica u isto vrijeme otkrivali diferencijalni i integralni račun, ali na različite načine i s različitim ciljem. Isto tako, dosta je diskutabilna neuspješna prepiska koja se vodila među njima.

Imam tako mnogo ideja da one s vremenom mogu biti korisne ako drugi, mnogo prodorniji od mene, jednog dana dublje uđu u njih i pridruže ljepotu svojih misli mojem djelu – G.W. Leibnitz.

c7 integrali

Documents