Chapter 7

Optimal Risky Portfolio(Danh mục rủi ro tối ưu)

7.1 Đa dạng hóa và rủi ro danh mục đầu tư

Các loại rủi ro đối với một danh mục đầu tư chỉ có một cổ phiếu:

- Rủi ro đến từ các điều kiện về kinh tế, ví dụ như chu kỳ kinh doanh, lạm phát, lãi

suất và tỷ giá hối đoái. Các yếu tố kinh tế vĩ mô không được dự đoán chắc chắn, và đều

tất cả đến tỉ suất lợi nhuận của Compaq.

- Ngoài ra, còn có những ảnh hưởng cụ thể khác như thành công của Compaq

trong nghiên cứu - phát triển, và thay đổi nhân sự. Các yếu tố này ảnh hưởng đến

Compaq mà không có các ảnh hưởng nào đáng chú ý đến các công ty khác trong nền kinh

tế.

Nếu chúng ta đa dạng hóa thêm nhiều loại chứng khoán, chúng ta có thể phân tán

được các yếu tố ảnh hưởng bởi công ty, và tính biến động của danh mục đầu tư sẽ giảm

xuống. Tuy nhiên, cuối cùng, ngay cả với một số lượng lớn các cổ phiếu chúng ta vẫn

không thể tránh khỏi hoàn toàn các rủi ro, vì hầu như tất cả các chứng khoán đều bị ảnh

hưởng bởi các yếu tố kinh tế vĩ mô. Ví dụ, nếu tất cả các cổ phiếu bị ảnh hưởng bởi chu

kỳ kinh doanh, chúng ta không thể tránh khỏi rủi ro do chu kỳ kinh doanh dù cho chúng

ta có nắm giữ bao nhiêu cổ phiếu.

Khi tất cả rủi ro là do tính đặc thù của công ty, như trong hình 8.1A, đa dạng hóa

có thể làm giảm rủi ro xuống mức rất thấp. Nguyên nhân là do với tất cả các loại rủi ro có

tính độc lập, việc ảnh hưởng tới bất kỳ loại rủi ro nào cũng được giảm không đáng kể.

Việc giảm rủi ro xuống mức rất thấp trong trường hợp các nguồn rủi ro độc lập với nhau

đôi khi được gọi là nguyên tắc bảo hiểm, vì quan điểm cho rằng một công ty bảo hiểm

phụ thuộc vào việc giảm nguy cơ đạt được thông qua việc đa dạng hóa khi nó đưa ra

nhiều chính sách bảo hiểm đối với nhiều loại rủi ro độc lập nhau, mỗi chính sách đang

được một phần nhỏ của toàn bộ danh mục đầu tư của công ty.

Tuy nhiên, khi nguồn chung của các rủi ro ảnh hưởng đến tất cả các công ty, việc

mở rộng đa dạng hóa cũng không thể loại trừ rủi ro. Trong 8.1B hình, độ lệch chuẩn danh

mục đầu tư giảm khi số lượng chứng khoán tăng lên, nhưng nó không thể được giảm

xuống 0. Nguy cơ vẫn còn rủi ro ngay cả sau khi mở rộng đa dạng hóa được gọi là rủi ro

thị trường. Rủi ro thị trường còn được gọi là rủi ro hệ thống, hoặc rủi ro không thể đa

dạng hóa. Ngược lại, rủi ro có thể loại trừ được bởi đa dạng hóa được gọi là rủi ro phi hệ

thống, rủi ro do tính chất đặc thù của công ty, rủi ro có thể đa dạng hóa.

Phân tích này là phát sinh từ các nghiên cứu thực nghiệm. Hình 8.2 cho thấy hiệu

quả của đa dạng hóa danh mục đầu tư, sử dụng dữ liệu trên NYSE stocks.2 Các con số

cho thấy độ lệch chuẩn trung bình của danh mục đầu tư có tỉ trọng bằng nhau được lựa

chọn ngẫu nhiên số lượng cổ phiếu trong danh mục đầu tư. Trung bình, rủi ro danh mục

đầu tư giảm xuống khi đa dạng hóa, nhưng sức mạnh của sự đa dạng hóa để giảm nguy

cơ bị hạn chế bởi hệ thống hoặc nguồn rủi ro thông thường.

Hình 8.1. Portfolio risk as a function of the umber of stocks in the portfolio.

Hình 8.2. Porfolio diversification. The average standard deviation of returns of

porfolios composed of only one stock was 49.2%. The average portfolio risk fell rapidly

σ

n

U

n

i

q

u

e

r

i

s

k

M

a

r

k

e

t

r

i

s

k

Unique risk

Market risk

as the number of stocks included in the portfolio increased. In the limit, portfolio risk

could be reduced to only 19.2%

7.2 Danh mục đầu tư của hai tài sản rủi ro

Giả sử ta có một danh mục gồm hai nhóm tài sản chính:

Nhóm tài sản đầu tư vào trái phiếu dài hạn (chứng khoán nợ dài hạn)

Nhóm đầu tư vào cổ phiếu dài hạn (chứng khoán vốn dài hạn)

Gọi wd là tỷ trọng đầu tư vào trái phiếu, khi đó ta có we = 1 – wd là tỷ trọng đầu tư

vào cổ phiếu.

Tỷ suất lợi nhuận của nhóm trái phiếu là rd và cổ phiếu là re

Ta được tỷ suất lợi nhuận của danh mục là:

rp = wdrd + were

Tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng của danh mục sẽ là :

E(rp) = wdE( d) + weE( e)

a. Nhắc lại một số công thức cũ

Gọi:

σ là độ lệch chuẩn của danh mục

σ2 là phương sai của danh mục

p là hệ số tương quan

Cov(rd,re) là hiệp phương sai

Từ những công thức cũ, chúng ta có thể tính được các số liệu như sau:

Mặt khác ta có :

Ta được:

b. Giả thuyết

Giả sử hệ số tương quan là +1, nghĩa là các tài sản trong danh mục thay đổi cùng

chiều nhau. Khi đó

Suy ra :

Chỉ lúc này, độ lệch chuẩn kỳ vọng của danh mục bằng trung bình các độ lệch

chuẩn thành phần trong danh mục. Ngoài ra trong các trường hợp khác, độ lệch chuẩn

trung bình kỳ vọng của danh mục sẽ thấp hơn bình quân độ lệch chuẩn của các thành

phần trong danh mục.

Đặt trường hợp nếu hệ số tương quan ρ = -1, thì:

σ = giá trị tuyệt đối của (wd d - we e)

Giả sử rằng trường hợp lí tưởng, độ lệch chuẩn = 0

Ta tính được tỷ trọng đầu tư cho trái phiếu và cổ phiếu như sau:

c. Tác động của tỷ trọng đầu tư trong danh mục đến tỷ suất lợi nhuận kỳ

vọng

Khi chỉ đầu tư vào trái phiếu rủi ro thấp , tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng của

danh mục chính là tỷ suất lợi nhuận của trái phiếu thấp, nhưng độ an toàn cao

hơn

Tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng sẽ tăng dần khi chia bớt tỷ trọng đầu tư của

danh mục cho cổ phiếu, cứ dần dần như vậy, tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng sẽ tỷ lệ

thuận với tỷ trọng đầu tư cho cổ phiếu.

d. Mối quan hệ của khối lượng cổ phiếu và độ lệch chuẩn của danh mục

Từ đồ thị trên ta thấy, khi ρ = 1 các tài sản thay đổi cùng chiều nhau

trong danh mục, do đó, không có cách nào tối thiểu hóa rủi ro bằng cách đa

dạng hóa danh mục.

Tương tự, khi ρ = -1, các tài sản tương quan ngược chiều nhau, dẫn đến có

thể tối thiểu hóa rủi ro bằng cách đa dạng hóa danh mục, và khi đó, thậm chí độ

lệch chuẩn có thể giảm xuống 0.

Khi ρ = 0, các tài sản không liên quan đến nhau, thêm hay không thêm tài

sản vào danh mục là phụ thuộc ý nguyện của nhà đầu tư.

Khi ρ = a nào đó, tùy tình hình và tính toán mà nhà đầu tư đưa ra tỷ trọng

của riêng mình.

d. Mối quan hệ giữa tỷ suất lọi nhuận kỳ vọng và độ lệch chuẩn

7.3 Danh mục tối ưu cho tài sản rủi ro:

Một danh mục gồm 2 tài sản , với một hệ số tương quan cho trước nếu kết hợp các

khả năng xảy ra của các tỷ trong danh mục thì ta sẽ được một đường cong hoắc đường

thẳng nếu hệ số tương quan bằng +1.

Sự đa dạng hóa tài sản đầu tư sẽ mang lại hiệu quả là giảm rủi ro danh mục ngoại

trừ trường hợp các tài sản có tương quan cùng chiều hoàn hảo.Với một mức rủi ro cho

trước, nhà đầu tư sẽ chọn danh mục trên đường cong sao cho đạt tỷ suất sinh lời cao nhất.

Do vậy trên đồ thị, vùng đường cong từ E đến G là vùng không đầu tư vì nó đã được thay

thế vùng đường cong từ E đến C có tỷ suất sinh lời cao hơn.

7.4 Đường biên hiệu quả:

Nếu hai tài sản kết hợp với những tỷ trọng khác nhau tạo nên một đường cong (nó

sẽ là đường thẳng tuyến tính nếu hai tài sản này có hệ số tương quan bằng +1). Và trên

mỗi đường cong sẽ có một danh mục rủi ro tối ưu tại đó 2 tài sản này kết hợp với nhau

với tỷ trọng của từng tài sản trong danh mục sao cho mang lại tỷ suất sinh lời cao nhất và

rủi ro thấp nhất.Tập hợp các điểm có danh mục đầu tư tối ưu gọi là đường biên hiệu

quả.

Đường biên hiệu quả đại diện cho tập hợp các danh mục có tỷ suất sinh lời cao

nhất ứng với mỗi mức rủi ro hoặc là các danh mục có rủi ro thấp nhất ứng với mỗi mức

tỷ suất sinh lợi. Mỗi danh mục nằn trên đường biên hiệu quả hoặc là có tỷ suất sinh lời

cao hơn trong so các danh mục có cùng mức rủi ro hoặc là mức rủi ro thấp hơn trong số

các danh mục có cùng tỷ suất sinh lời nằm gần đường biên hiệu quả. Do đó, chúng ta có

thể nói rằng danh mục A trong hình tốt hươn danh mục C vì nó có cùng tỷ suất sinh lợi

nhưng danh mục A có rủi ro thấp hơn.Tương tự như vậy danh mục B tốt hơn danh mục C

vì chúng cùng mức rủi ro nhưng danh mục B có tỷ suất sinh lời cao hơn. Vì lợi ích của

việc đa dạng hóa danh mục đầu tư trong số các tài sản tương quan không hoàn hảo chúng

ta có thể kì vọng đường biên hiệu quả để thành lập danh mục dầu tư hơn là các đầu tư các

chứng khoán riêng biệt.

Một nhà đầu tư họ sẽ chọn một điểm dọc theo đường biên hiệu quả tùy thuộc vào

hàm hữu dụng và múc độ chấp nhận rủi ro của họ.Không có một danh mục nào khác tốt

hơn ngoài các danh mục nằm trên đường biên hiệu quả.Tất cả các danh mục này đều có

mức lợi nhuận và rủi ro khác nhau với tỷ suất sinh lời gia tăng cùng với mức rủi ro.

7.5 Danh mục dầu tư tối ưu gồm tài sản rủi ro và tài sản phi rủi ro_thuyết

Markowitz:

Các giả định của lý thuyết thị trường vốn _thuyết Markowitz:

Vì lí thuyết thị trường vốn được xây dựng trên mô hình danh mục của Markowitz,

vì vậy các giả định cũng tương như giả định của mô hình các danh mục Markowitz kèm

theo một số điều kiện:

1) Tất cả các nhà đầu tư đều là nhà đầu tư hiệu quả markowitz tức là họ muốn đạt

được danh mục tốt nhất trên đường biên hiệu quả. Do vậy, danh mục họ lựa chọn sẽ phụ

thuộc vào hàm hữu dụng lợi nhuận- rủi ro của nhà đầu tư

2) Nhà đầu tư có thể vay và cho vay với cũng mức lãi suất phi rủi ro

3) Rõ ràng có thể cho vay với mức lãi suất phi rủi ro như đầu tuq vào trái phiếu

chính phủ. Tuy nhiên không thể luôn luôn cho vay với mức phi rủi ro, nhưng chúng ta sẽ

thấy rằng, việc giả định vay với lãi suất cao hơn cũng không làm thay đổi kết quả của lý

thuyết

3) Tất cả các nhà đầu tư đều có kì vọng thuần nhất.Tức là họ ước lượng các phân

phối xác xuất như nhau đối với tỷ suất sinh lợi tương lai

4) Tất cả nhà đầu tư đều có chu kỳ đầu tư như nhau như tháng ,quí hoặc năm

5) Tất cả tài sản đầu tư đều có thể phân chia được . Tức là các nhà đầu có thể mua

hoặc bán các phần rất nhỏ các tài sản của danh mục,Giả định này cho phép lựa chọn đâu

tư như một đường cong liên tục.

6) Không có thuế hoặc chi phí giao dịch liên quan đến tài sản

7) Không có bất kì thay đổi nào ,kể cả lạm phát trong lãi suất hoặc lạm phát không

được dự báo trước.

8) Thị trường vốn là cân bằng .Tức là tất cả các tài sản được định giá đúng với

mức độ rủi ro quần chúng.

A. Sự phân bổ tài sản với cổ phiếu, trái phiếu và tín phiếu

* Danh mục rủi ro tối ưu với 2 tài sản rủi ro (trái phiếu và cổ phiếu quỹ) và một tài

sản phi rủi ro (T-Bills với tỷ suất sinh lời 5%)

Bảng 7.1

Debt Equity

E(r) 8% 13%

σ 12% 20%

Cov(rd,re) 72

ρDE 0.3

Xem xét đồ thị sau biểu diễn một tài sản phi rủi ro kết hợp với danh mục rủi ro

trên đường biên hiệu quả Markowitz.

Bằng cách đầu tư một phần y danh mục tài sản rủi ro (p) và phần còn lại (1-y)

danh mục cho tài sản phi rủi ro (tất nhiên là danh mục tài sản rủi ro là tối ưu nên sẽ nằm

trên đường biên hiệu quả).Để được danh mục vừa có tài sản rủi ro và phi rủi ro thì ta nối

đến một điểm nằm trên đường biên tối ưu tạo thành đường thị trường vốn (CAL).

Trên đồ thị, tập hợp các danh mục trên đoạn A tốt hơn hẳn tất cả các danh mục

rủi ro dưới điểm A mặc cho nó có nằm trên đường biên hiệu quả,bởi vì giả dụ chọn một

danh mục dưới điểm A (ngay cả nằm trên đường biên hiệu quả ), ta luôn luôn tìm thấy

một danh mục phía trên điểm đó sao cho hai danh mục này có cùng độ lệch chuẩn nhưng

danh mục nằm trên lại có tỷ suất lợi nhuận cao hơn.

Đường thị trường vốn CAL đia qua B sẽ dốc hơn đường CAL qua A,Vì vậy danh

mục B được đánh giá là tốt hơn danh mục A.Ta thử xét độ dốc của 2 đường này:

Danh mục A (được đầu tư 82% vào trái phiếu và 18% cổ phiếu). Suất sinh lời kỳ

vọng là 8,90%, và độ lệch chuẩn của nó là 11,45%. Với tỷ suất sinh lời của T-Bills là 5%

tỷ số reward-to-variability là độ dốc của CAL kết hợpT-Bills và danh mục phương sai tối

thiểu

Bây giờ , chúng ta xem xét CAL sử dụng danh mục B (đầu tư 70% trong

trái phiếu và 30% vào chứng khoán) suất sinh lời dự kiến là 9,5% và độ lệch chuẩn là

11,70%. Do đó, tỷ lệ reward-to-variability (S) trên CAL

được hỗ trợ bởi B là cao A. Nhưng tại sao dừng lại ở danh mục B? Chúng ta có thể

tiếp tục nâng các CAL trở lên cho đến khi nó đạt điểm tiếp tuyến với đường danh mục

tối ưu. Điều này phải có tỷ suất CAL với tỷ lệ reward-to-variability khả thi nhất. Do

đó, điểm P được xem là danh mục rủi ro tối ưu.và ta cũng có đường thị trường vốn

CAL đi qua P là tốt nhất, có độ dốc cao nhất.E(rP)=11%, σP=14.2%

*CÁCH

XÁC ĐỊNH ĐIỂM P TRÊN ĐƯỜNG BIÊN TỐI ƯU:Cho danh mục với 2 tài sản

rủi ro, E(r) và σ của P là,P nằm trên đường biên tối ưu.Vấn đề là tìm sự kết hợp w d và

we như thế nào để có được điểm P. E(rP) = WDE(rD) + WE(rE) = 8wD+

13wE = [144wD + 400wE +(2x72wD wE)]Khi

chúng ta cực đại SP, chúng ta phải đáp ứng sự bắt buộc là wD+wE=1

Mục tiêu để: Trọng số của danh mục P:

(*)

Thay dữ liệu: wD= 0.4WE =1-0.4=0.6E(rP) = (0.4x8)+(0.6x13)=11%σP=

14.2% Và SP=0.42Chú ý rằng danh mục P là có độ dốc trội hơn bất kỳ những danh

mục khả thi nào khác.Bây giờ chúng ta sử dụng dộ e ngại rủi ro cá nhân (A) để tính

toán tỷ lệ tối ưu của danh mục hoàn thiện để đầu tư trong cấu thành rủi roChẳng hạn,

một nhà đầu tư có A=4 sẽ giữ 1 vị trí trong P của

(**)Do đó nhà đầu tư sẽ đầu tư 74.39% tài sản

vào P và 25.6% vào T-Bills. Trong P gồm 40% trong trái phiếu, do đó % ts trong TP

là yWD=0.4x0.7439=0.2976. tương tự cho cổ phiếu yWE=0.6x0.7439=0.4463* XÂY

DỰNG ĐƯỜNG BIÊN TỐI ƯU (tham khảo)I.1. Tài sản rủi ro: 1, 2, …, N.Tài sản

i có suất sinh lợi kỳ vọng:

Suất sinh lợi của tài sản i có phương sai: ii = i2

Đồng phương sai (tích sai) giữa suất sinh lợi của tài sản i và j: ij

Tỷ lệ đầu tư vào các tài sản: w1, w2, …, wN .

2. Ta có thể biểu diễn các công thức trên dưới dạng ma trận.

E(r)

; ;

Tổng của các trọng số là 100%: = = 1TW = 1

Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục: = = W =

Phương sai của suất sinh lợi của danh mục:

= = WTW =

3. Đối với mỗi suất sinh lợi kỳ vọng nhất định theo yêu cầu, nhà đầu tư muốn xây dựng

một danh mục sao cho phương sai của suất sinh lợi có giá trị nhỏ nhất.

Vậy, nhà đầu tư muốn tối thiểu hóa = WTW trên cơ sở thỏa mãn các ràng buộc:

1TW = 1 (1) và W = (2)

Ta có phương trình Lagrangian sau đây:

L = WTW + (1 – 1TW) + ( – W) (3)

Điều kiện cần của tối thiểu hóa:

Từ (4), ta có các tỷ trọng tài sản tối ưu:

W* = -11 + -1 (7)

Thế (7) vào (5) và (6) ta được hệ phương trình với hai ẩn số là và :

Đặt A = 1T-11 ; B = 1T-1 = T-11; C = T-1 ; và D = AC – B2. Ta có:

và

Phương trình phương sai của suất sinh lợi danh mục đầu tư:

= WTW = WT(-11 + -1 )

= WT1 + WT

= +

4. Phương trình đường tập hợp các cơ hội đầu tư:

= (8)

II. Xây dựng danh mục đầu tư với N tài sản rủi ro và tài sản phi rủi ro

1. Tài sản phi rủi ro có suất sinh lợi rf. Tỷ lệ đầu tư vào tài sản phi rủi ro: w0

Tỷ lệ đầu tư vào các tài sản rủi ro: w1, w2, …, wN

w0 + w1 + w2 + … + wN = 1 hay w0 + 1TW = 1 hay w0 = 1 – 1TW

Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục:

= rf w0 + W = rf(1 – 1TW) + W

= rf + ( – rf 1)TW (9)

2. Đối với mỗi suất sinh lợi kỳ vọng nhất định theo yêu cầu, nhà đầu tư muốn xây dựng

một danh mục sao cho phương sai của suất sinh lợi có giá trị nhỏ nhất.Vậy, nhà đầu tư

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.20 0.24 0.28 0.32 0.36 0.40

Ñoä leäch chuaån

Suaát

sinh lôïi ky

ø voïng

Pr

P

Đường tập

hợp các cơ

hội đầu tư

(IOS)Danh mục có min

D

CrBrA PPP

222

(1/A)1/2

B/A

muốn tối thiểu hóa = WTW trên cơ sở thỏa mãn ràng buộc (9).Phương trình

Lagrangian:

L = WTW + [ – rf – ( – rf 1)TW] (10)

Điều kiện cần của tối thiểu hóa:

(11)

Các tỷ trọng tài sản rủi ro tối ưu:

W* = -1( – rf 1) (12)

Thế (7) vào (9):

= rf + ( – rf 1)T-1( – rf 1)

– rf = [( T-1 ) + (1T-11) – 2( T-11)rf ] = (A – 2Brf + C)

Vậy:

(13)

3. Phương trình phương sai của suất sinh lợi danh mục đầu tư:

= WTW = WT[-1( – rf 1)]

= WT( – rf 1)

= ( – rf ) (14)

4. Đường thị trường vốn:

Thế (13) và (14) rồi rút gọn, ta được:

(15)

Đường thị trường vốn (CML) là một tia đi từ vị trí của tài sản phi rủi ro và tiếp xúc với

đường IOS tại một danh mục có tên gọi là danh mục tiếp xúc T.

5. Xác định danh mục tiếp xúc T

T vừa nằm trên CML vừa nằm trên IOS. T không chứa tài sản phi rủi ro nên ta có:

1TWt = 1 và Wt = -1( – rf 1) [từ phương trình (12)]

1T-1( – rf 1) = 1

(1T-1 – rf 1T-11) =1

= (B – Arf)-1

Vậy,

Wt = (B – Arf)-1-1( – rf 1)

Suất sinh lợi kỳ vọng của danh mục T:

= Wt =

Phương sai của suất sinh lợi của danh mục T:

= Wt =

6. Danh mục tối ưu, P

Nhà đầu tư sẽ chọn danh mục đầu tư tối ưu bằng cách đầu tư một phần tiền vào

danh mục tiếp xúc T và phần còn lại vào tài sản phi rủi ro tùy theo sở thích của mình về

sự đánh đổi giữa suất sinh lợi kỳ vọng và rủi ro.

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

0.19

0.21

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Ñoä leäch chuaån

Suaát

sinh lôïi ky

ø voïng Dan

h

mụ

c

tiếp

xúc

T

r

f

P

U

Đường thị trường vốn

t

ft rr

D

an

h

m

ục

tối

ư

u

tr

t

Pr

P

Đường tập hợp các cơ hội đầu tư