CÁC THUẬT TOÁN

Sơ đồ nguyên lý quá trình chụp và tái tạo ảnh CT

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ HÌNH CHIẾU

• Tia X đến vị trí của đầu dò bị hấp thu bởi vật thể ở mỗi điểm tia X đi qua. Vì vậy, cường độ của tia X đến vị trí của đầu dò tỉ lệ với tích phân của phân bố trong suốt 2D của vật thể dọc theo đường đi. Sự tạo ra các hình ảnh mặt cắt bởi máy CT là sự tái tạo các hàm phân bố trong suốt từ tập hợp các hàm 1D thu được bởi các tích phân đường dọc theo các đường có hướng khác nhau. Tích phân này được gọi là hình chiếu của phân bố 2D .

Biến đổi Radon

:

Minh họa biến đổi Radon

• Tích phân đường là tích phân của một thông số nào đó của vật thể dọc theo một đường. Trong chương này chúng ta sẽ xem xét sự suy giảm của các tia X khi chúng truyền qua các mô sinh học. Trong trường hợp này vật thể được mô hình như là phân bố 2D hoặc 3D của các hằng số suy giảm tia X và một tích phân đường thể hiện sự suy giảm toàn phần khi một chùm tia X truyền qua vật thể theo một đường thẳng.

• Xét hệ tọa độ như hình vẽ. Gọi f(x,y) là hàm đặc trưng cho vật thể và g(s,) là hình chiếu của f(x,y) lên trục s có hướng hợp với trục x một góc . Hàm số g(s,) nhận được bằng cách lấy tích phân dọc theo đường mà vector pháp tuyến của nó có hướng . Giá trị g(0,) được định nghĩa là giá trị đạt được bằng cách lấy tích phân dọc theo đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(x,y)

• Do các điểm nằm trên đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng và đi qua gốc tọa độ (x,y) thỏa :

• •• nên : xcos + ysin = 0 (2)

sin

cos)

2tan(

x

y(1)

• Tích phân dọc theo đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng và đi qua gốc tọa độ (x,y) có nghĩa là tích phân của f(x,y) chỉ tại những điểm thỏa mãn phương trình (3.2) mà thôi. g(0,) được biểu diễn theo hàm Dirac như sau :

• (3)

• Tương tự, đường thẳng có vector pháp tuyến theo hướng và cách gốc tọa độ khoảng s thỏa mãn phương trình sau :

• ( x - scos).cos + ( y - ssin ).sin = 0 (4)• xcos + ysin - s = 0

(5)

dxdyyxyxfg )sincos(),(),0(

• Bởi vì đường này nhận được bằng cách di chuyển đường đi qua gốc tọa độ một khoảng scos theo hướng x và ssin theo hướng y. Vì vậy, tương tự như phương trình (3) chúng ta có :

dxdysyxyxfsg )sincos(),(),(

(6)

• Phương trình (6) được gọi là biến đổi Radon của phân bố 2D f(x,y) để cho hình chiếu g(s,). Hình chiếu được hình thành bằng cách kết hợp tập hợp các tích phân đường. Hình chiếu đơn giản nhất là tập hợp tích phân các tia song song g(s,) đối với không đổi.

• Một loại hình chiếu khác có thể thu được khi có một nguồn phát tia X đơn được đặt trong một vị trí cố định tương đối với dãy đầu dò. Hình chiếu này được gọi là hình chiếu chùm quạt bởi vì các tích phân đường được đo dọc theo các quạt.

Hình chiếu chùm quạt

Ray-sum

• Mặc dù biến đổi Radon diễn tả hình chiếu bằng tích phân 2D trong hệ tọa độ (x,y), hình chiếu sẽ được diễn tả một cách tự nhiên hơn bằng tích phân một biến bởi vì đó là một tích phân đường. Chúng ta hãy xem xét viết lại phương trình (6) bằng một tích phân một biến.

• Bởi vì tọa độ (s,u) dọc theo hướng chiếu đạt được bằng cách xoay tọa độ (x,y) một góc , mối quan hệ giữa hai hướng được biểu diễn như sau :

y

x

u

s

cossin

sincos(7)

• Vì vậy, chúng ta nhận được mối liên hệ giữa (s,u) và (x,y) như sau :

cossin

sincos

yxu

yxs

cossin

sincos

usy

usx (9)

(8)

• Thay phương trình (3.9) vào (3.6), ta được

• xcos + ysin - s = (scos - usin ) cos + (ssin + ucos)sin - s

= s(cos2 + sin2) - usincos + ucossin - s

= 0 (10)

• Bởi vì sự chuyển dịch từ tọa độ (x,y) sang tọa độ (s,u) không gây nên bất kỳ sự co hay giãn nào, nên dxdy = dsdu. Vì vậy,từ phương trình (6), ta có :

dsduususfsg )0()cossin,sincos(),(

(11)

• Bởi vì hàm trong phương trình (3.6) là hàm của biến s, nên ta có :

1)0( ds

Như vậy, biến đổi Radon g(s,) trong phương trình (6) được chuyển đổi thành tích phân của một biến u như sau :

duususfsg )cossin,sincos(),(

Phương trình (13) diễn tả tổng của f(x,y) dọc theo đường đi của tia X cách gốc tọa độ một khoảng s và có vector pháp tuyến theo hướng . Tổng g(s,) được gọi là “tổng tia”.

(12)

(13)

3. Định lý lát cắt Fourier :

• Chúng ta suy ra định lý lát cắt Fourier bằng cách lấy biến đổi Fourier 1D của một hình chiếu song song và chú ý rằng phép biến đổi này bằng một lát cắt của phép biến đổi Fourier 2D của vật thể gốc. Từ đó suy ra nếu biết dữ liệu hình chiếu, có thể ước tính vật thể bằng cách thực hiện biến đổi Fourier ngược 2D.

• Phép biến đổi Fourier 1D của biến đổi Radon g(s,) đối với biến s - được gọi là G(w) - và mặt cắt của phép biến đổi Fourier 2D của vật thể f(x,y) bị cắt bởi mặt phẳng hợp với trục fx một góc và vuông góc với mặt phẳng (fx ,fy ) – được gọi là F(fx ,fy) là bằng nhau, nghĩa là :

G(w) = F(wcos, wsin)(14)

Định lý

• Chứng minh

• Thay phương trình (13) vào phương trình (15), ta có :

dswsisgwG )2exp(),()(

dsduwsiususfwG )2exp()cossin,sincos()(

(15)

(16)

Thay thế các biến (x,y) bằng (s,u) và dxdy = dsdu, ta có :

dxdyyxwiyxfwG ))sincos(2exp(),()(

dxdyywxwiyxf }))sin()cos{(2exp(),( =

= F(wcos, wsin) (17)

Minh họa biến đổi Fourier

Định lý Lát cắt Fourier

II. TÁI TẠO HÌNH ẢNH TỪ CÁC HÌNH CHIẾU :

• Có bốn phương pháp chính để tính toán hình ảnh mặt cắt từ tập hợp các hình chiếu của nó. Các phương pháp này được gọi là thuật toán tái tạo cắt lớp.

• 1. Phương pháp thứ nhất hoàn toàn không thực tế, nhưng giúp chúng ta dễ hiểu vấn đề hơn. Phương pháp này dựa trên việc giải nhiều phương trình tuyến tính đồng thời. Một phương trình có thể được viết cho một phép đo. Nghĩa là, một mẫu cụ thể trong một bao hình cụ thể là tổng của một nhóm các pixel cụ thể trong một ảnh. Để tính NxN biến ( là giá trị điểm ảnh ) thì cần phải có NxN phương trình độc lập, và vì vậy cần phải có NxN phép đo. Hầu hết tất cả các máy chụp cắt lớp thu được số mẫu nhiều hơn 50% so với yêu cầu cần cho tính toán. Ví dụ, để tái tạo ảnh 512x512, một hệ thống CT có thể nhận 700 view với 600 mẫu mỗi view. Theo cách này thì ảnh nhận được sau cùng đã được giảm bớt nhiễu. Tuy nhiên, phương pháp này có nhược điểm lớn là thời gian tính toán lâu do phải giải đồng thời hàng trăm ngàn phương trình tuyến tính.

Kỹ thuật lặp

• 2. Phương pháp tái tạo ảnh cắt lớp thứ hai sử dụng các kỹ thuật lặp để tính toán ảnh sau cùng theo từng bước nhỏ. Có nhiều biến thể của phương pháp này:

• Kỹ thuật tái tạo đại số (ART)• Kỹ thuật tái tạo lặp đồng thời (SIRT)• Iterative Least Squares Technique (ILST)• Sự khác biệt giữa các phương pháp này là cách

các hiệu chỉnh liên tiếp được thực hiện : tia – tia, pixel – pixel, hay hiệu chỉnh đồng thời toàn bộ dữ liệu.

Kỹ thuật tái tạo đại số (ART) :

• Phương pháp này giả sử rằng mặt cắt bao gồm một dãy các ẩn số và các phương trình đại số đối với các ẩn số này xét về mặt dữ liệu hình chiếu được đo. Phương pháp này mặc dù đơn giản nhưng độ phân giải kém nên không thể sử dụng cho các ứng dụng đòi hỏi độ phân giải tối thiểu là 1%.

• Tất cả các phương pháp tái tạo đại số đều là kỹ thuật lặp. Nghĩa là, đầu tiên dự đoán giá trị ban đầu của hàm ảnh µ(i, j) đối với mỗi điểm ảnh (i, j) của ảnh tái tạo.

• µ(i, j) = hằng số với i = 1, …., N; j = 1, …., N(18)

• Dữ liệu hình chiếu qua ảnh tái tạo được tính cho góc nào đó như sau

L

tt dljiP ),()(

L: đường đi của tia tớiSo sánh dữ liệu hình chiếu tính toán và dữ liệu hình chiếu đo đạc, ta có:

)()()( ddtt PPP

Hàm ảnh đối với mỗi điểm ảnh sẽ được chỉnh sửa tùy thuộc vào độ lệch P giữa giá trị hình chiếu tính toán và giá trị đo đạc như sau :

)/*( 21 iiikk aPa

trong đó:-k : số lần lặp-ai : diện tích

điểm ảnh thứ i

2ia : tổng diện tích của tất cả các điểm ảnh vuông trên đường đi của tia

Các phương trình (3.18) – (3.20) sẽ được lặp lại cho đến khi nào P nhỏ không đáng kể và có thể bỏ qua được.

Phương pháp chiếu ngược có lọc

•Là phương pháp cơ bản trong các hệ CT hiện nay.

•Phương pháp này là một minh hoạ tốt cho thấy có thể biến đổi căn bản cách thực thi trên máy tính chỉ bằng cách viết lại biểu thức lý thuyết một cách đơn giản

Ý tưởng của phương pháp

• Thuật toán chiếu ngược có lọc có một cơ sở trực giác là mỗi hình chiếu biểu diễn một phép đo gần như độc lập của đối tượng.

• Điều này không hiển nhiên trong miền không gian nhưng nếu thực hiện phép biến đổi Fourier cho hình chiếu ở mỗi góc thì theo định lý Lát cắt mỗi hình chiếu gần như độc lập nhau vì thành phần chung duy nhất giữa biến đổi Fourier của hai hình chiếu ở hai góc khác nhau là thành phần dc.

• Do định lý lát cắt Fourier việc do một hình chiếu có thể coi như là thực hiện một toán tử lọc hai chiều.

• Khảo sát một hình chiếu và biến đổi Fourier của nó. Theo định lý lát cắt Fourier, hình chiếu này cho ta giá trị biến đổii Fourier hai chiều của vật thể dọc theo một đường.

• Nếu giá trị biến đổi Fourier của hình chiếu này được chèn vào đúng chỗ trong miền Fourier của vật thì một phép tái tạo đơn giản (dù rất méo mó) có thể được tạo ra bằng cách lấy biến đổi Fourier 2D ngược.

• Minh hoạ là hình 3.8 và 3.10.

• Fig. 3.8: This figure shows the frequency domain data available from one projection. (a) is the ideal situation. A reconstruction could be formed by simply summing the reconstruction from each angle until the entire frequency domain is filled. What is actually measured is shown in (b). As predicted by the Fourier Slice Theorem, a projection gives information about the Fourier transform of the object along a single line. The filtered backprojection algorithm takes the data in (b) and applies a weighting in the frequency domain so that the data in (c) are an approximation to those in (a).

• Fig. 3.10: The result of backprojecting the projection

(a) Shows the result of backprojecting for a

• single angle, (b) shows the effectof backprojecting over 4

angles,(c) shows 64 angles,

and (d)shows 512 angles.

Lý thuyết• Ký hiệu biến đổi Fourier của f(x,y)là F(fx , fy ). Vì f(x,y)

nhận được bằng biến đổi Fourier ngược, ta có :

• Biến đổi sang hệ tọa độ cực (w,) sử dụng mối quan hệ như trong hình sau

• fx = wcos• fy = wsin• và dfxdfy = wdwd

yxyxyx dfdfyfxfiffFyxf ))(2exp(),(),(

• Ta có :

2

0 0

))sincos(2exp()sin,cos(),( wdwdyxwiwwFyxf

Định lý cho ta :

G(w) = F(wcos,wsin)

Trong đó G(w) là biến đổi Fourier 1D của biến đổi Radon g(s,) phụ thuộc s.

2

0 0

))sincos(2exp()(),( wdwdyxwiwGyxf

• Viết lại khoảng lấy tích phân đối với w thành (-,) và khoảng tích phân đối với thành (0,), và sử dụng tính chất :

• F(w, + ) = F(-w, ) ta có :

0

))sincos(2exp()(),( dwdwyxwiwGyxf

ddwswiwGwyxf

0

))2exp()(),(

s=xcos + ysin Thay

là biến đổi Fourier ngược của hàm .• Định nghĩa :

dwswiwGw ))2exp()(

dwswiwGwyxgsg ))2exp()(),sincos(),(^^

Ta có :

dyxgyxf ),sincos(),(0

^

)(wGw

• Phương trình này có cùng dạng với hình chiếu ngược. Do đó, phương trình này cho thấy vật thể gốc f(x,y) nhận được bằng cách áp dụng bộ lọc nhân với biến đổi Radon và sau đó thực hiện chiếu ngược. Phương pháp này được gọi là phương pháp chiếu ngược có lọc. Phương pháp này thực hiện chiếu ngược sau khi đã áp dụng bộ lọc.

• Phương pháp này không đòi hỏi biến đổi Fourier ngược ảnh bị nhòe bởi vì biến đổi Fourier được áp dụng chỉ đối với các hình chiếu mà thôi. Mặc dù phương pháp này đòi hỏi nội suy giữa tọa độ cực đối với tọa độ Descartes tương tự như phương pháp biến đổi Fourier, nhưng không có nhiễu ảnh trong miền thực bởi vì phương pháp này thực hiện nội suy trong miền thực ngược với phương pháp biến đổi Fourier. Bởi vì lọc có thể được áp dụng cho mỗi góc một cách độc lập, nên lọc đối với một góc có thể được thực hiện song song trước khi sự thu nhận hình chiếu ở một góc khác hoàn tất.

-Đo đạc hình chiếu g(s,).-Biến đổi Fourier để tìm G(w).

-Nhân với hàm trọng số Kw2

-Lấy tổng trên mặt phẳng ảnh các biến đổi Fourier ngược của các hình chiếu đã được lọc.

Tóm lại, phương pháp này là thuật toán đang được sử dụng trong hầu hết các ứng dụng cắt lớp tia thẳng. Phương pháp này gồm các bước sau