caderno de 6ª série
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Aventure-se a descobrir, ou imaginar, o que ninguém sabe, o que ninguém pensou. E o melhor de tudo: desfrute o prazer de dividir com seus companheiros aquilo que até então era só seu!TRANSCRIPT
Universidade do Estado do Rio de Janeiro Colégio de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira
cap-uerj Projeto MATEMÁTICA VIVA - Edição Revisada
caderno de matemática 6a série
Dora Soraia Kindel
José Antonio Novaes Maria da Conceição Vieira Maria Ignês Rocha David
Monica Rabello de Castro Iniciação Científica: Andreia Lontra
Arthur Kennedy Manhães da Silva Sérgio Roberto Araújo de Toledo
Patrícia Vanessa Alves Fabiano
2002
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Reitora: Nilcéa Freire
Vice-reitor: Celso Pereira de Sá
CENTRO DE EDUCAÇÃO E HUMANIDADES
Diretor: Lincoln Tavares Silva
COLÉGIO DE APLICAÇÃO DA UERJ
Diretor: Aristônio Gonçalves Leite Júnior
Vice-diretor: José Roberto Julianelli
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E DESENHO – DMD
Chefe: José Antônio Novaes
Sub-chefe: Lilian Lisboa Marques
PROJETO MATEMÁTICA VIVA
Coordenação: Monica Rabello de Castro
ÍNDICE POR UNIDADES
Unidade 1 - Transformações no plano
1.1 - Queimada com obstáculo.................................................1
1.2 – Atividades
1.3 – Simetria ( em relação a um eixo)......................................4
1.4 –Homotetias
1.5 - Composição de homotetias de mesmo centro ...............10
1.6 – Mais Atividades..................................................................12
Unidade 2 –Razões e Proporções.......................................................32
2.1 – Comparando preços
2.2 – Desempenho de Jogadores
2.3 – Rendimento Escolar
2.4 – Vestibular e Concursos
2.5 - Aumentando Receitas
2.6 - Densidade Demográfica
2.7 - Densidade de um corpo
2.8 – Velocidade Média
2.9 – Escalar
2.10 – Atividades
2.11 - Outras situações em que aparecem proporções ..........
2.12 - Tabelas................................................................................
2.13 Trabalhando com a calculadora........................................48
Unidade 3 – Números Relativos
3.1 - Banco imobiliário
3.2 – Jogo da estrela
3.3 – Jogo do Rouba montinho
3.4 – Copa do Mundo
3.5 – O estacionamento
3.6 – Atividades
3.7 – Temperatura
3.8 - Um significado para razões negativas.........................86
3.9 – Jogo do descarte
3.10 – Mais Atividades
3.11 – O número negativo.......................................................95
3.12 - Multiplicação de números relativos – significados..100
3.13 - Operações com relativos.............................................107
Unidade 4 – Equações
4.1 -- Cálculo de expressões com números relativos e resolução de equações......................................................................119
4.2 - Potenciação...................................................................123
4.3 - Resolução de problemas: linguagem simbólica.......124
4.4 - Balanças e equações...................................................132
Unidade 5 - Inequações....................................................................137
Unidade 6 – Plano Cartesiano.........................................137
ANEXOS...............................................................................................139
ESTUDAR A MATEMÁTICA É GOSTOSO
Este livro ainda está em sua segunda versão. Ele não é um livro de
escola, tal como você conhece, que você usa para fazer exercícios em casa.
Ele foi escrito para que você tenha situações interessantes para fazer
Matemática na escola. Portanto, ele é mais um caderno de aula do que um livro
texto.
Ele foi pensado para que você escreva um pouco da sua experiência
matemática nestas páginas, para que ele se transforme no seu livro de
Matemática. É uma tentação para que você reflita sobre situações matemáticas
desafiadoras. Não de uma maneira trivial, corriqueira, mas essencialmente
curiosa e gostosa.
Aventure-se a descobrir, ou imaginar, o que ninguém sabe, o que
ninguém pensou. E o melhor de tudo: desfrute o prazer de dividir com seus
companheiros aquilo que até então era só seu!
NA GEOMETRI A AINDA H Á MUITO O QUE F AZER
Este é o segundo ano que você participa do Projeto Matemática Viva. As
suas sugestões são importantes para nós, pois este caderno está sendo
pensado para que você estude Matemática de uma forma diferente. Você vai
notar que, tal como no ano passado, a Geometria é o nosso foco principal.
Neste novo ano que se inicia, esperamos que seus estudos em Geometria
avancem e que você seja também um autor na busca de soluções matemáticas
para problemas os mais variados de sua vida.
Mais uma vez lembramos que a geometria, como as outras
matemáticas, fazem parte da busca do homem, não só do que é útil, mas
sobretudo da beleza.
1
Dupla: _______________ e ___________________
UNIDADE 1 – TRANSFORMAÇÕES NO PLANO
1.1 Queimada com obstáculos
Autora: Ana Maria Kalef
• Jogo em dupla
• Material: uma caneta hidrocor
• Preparação do jogo
a) Divide-se uma folha de papel por meio de um segmento de reta. Cada parte da
folha será o “campo do jogo” de cada jogador.
b) Cada jogador desenha no seu campo três obstáculos (por exemplo: uma pedra,
uma árvore, um canteiro, uma casa, ...) e seis bonecos, sendo que um deles
deve ser desenhado dentro de um círculo: este boneco será o “chefe” do campo.
• Regras do jogo:
1) Objetivo do jogo é “queimar” todos os bonecos do adversário, devendo o “chefe”
ser “queimado” em último lugar.
2) A “bola” é jogada de um campo para outro da seguinte maneira:
3) Marca-se um ponto com caneta hidrocor no campo do atirador;
4) Dobra-se o papel sobre a reta divisória dos campos;
5) Transporta-se o ponto, por decalque, para o campo do adversário. Quando este
ponto transportado atinge um dos bonecos diz-se que este boneco foi
“queimado”.
• Contagem dos pontos:
a) Um ponto ganho para cada boneco “queimado”.
b) Um ponto perdido para cada obstáculo do campo do adversário atingido.
c) Três pontos perdidos quando o círculo do “chefe” for atingido sem que todos os
demais bonecos do adversário estejam “queimados”.
1.2 atividades
• Analisando o jogo “Queimada com obstáculos”
2
Material: Folha de papel sulfite, régua, esquadro e transferidor (opcional).
Chamaremos de PONTOS SIMÉTRICOS em relação a uma reta (de
separação dos campos) ao par de pontos, do campo do atirador e do campo do
adversário, de cada jogada do jogo “Queimada com obstáculos”.
Procedimento:
a) Escolha um par de pontos simétricos e meça a distância entre eles.
b) Meça a distância de cada ponto considerado no item anterior, à reta divisória dos
campos.
c) Por meio de um segmento de reta una este mesmo par de pontos. Meça o ângulo
formado pelo segmento traçado e a reta divisória dos campos.
d) Repita os itens anteriores para alguns outros pontos simétricos.
O que você observa?
e) Você seria capaz de jogar “Queimada com obstáculos” usando somente régua e
esquadro sem dobrar o papel?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_____________________
f) Discuta com seus colegas: como jogar “Queimada com obstáculos” usando
apenas régua e esquadro de modo a não errar nenhuma jogada?
• Ainda analisando o jogo “Queimada com obstáculos”.
Material : Folha de papel quadriculado, régua, esquadro, e transferidor (opcional).
a) Haveria vantagens se as atividades anteriores fossem realizadas sobre papel
quadriculado ou milimetrado?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_____________________
3
Verifique como poderia encontrar pontos simétricos trabalhando no quadriculado.
b) Escolha você uma reta para ser a divisória dos dois campos. Em seguida
desenhe uma figura em um dos campos e encontre a figura formada pelos pontos
simétricos no outro campo.
c) Copie a figura desenhada no quadro pelo professor e em seguida encontre a
figura simétrica.
4
Dupla: _______________ e ___________________
1.3 –Simetria em relação a um eixo
1) Em cada item abaixo desenhe a figura simétrica à figura dada em relação à reta r.
a) b) b) d) e) f)
r
A
B
C
r
A
r
r
r
r
A B
C
5
3) Responda
a) Quando uma figura é simétrica?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
______________
b) O que é eixo de simetria de uma figura simétrica?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
______________
4) Desenhe o(s) eixos de simetria das figuras abaixo:
r
R
S
Q
P r
g)
h)
6
5) No papel quadriculado, copie os desenhos abaixo e o eixo de simetria e.
Depois, desenhe a figura simétrica.
•
6) Trace os eixos de simetria de cada uma das figuras abaixo:
a) b) c)
7) Desenhe em cada caso a figura simétrica em relação a reta destacada:
a) b)
e
e
e
t
r
7
c)
s
8) Uma nova transformação: cada ponto vai para o outro lado da reta, porém com o
dobro da distância inicial. Veja o que acontece com as figuras.
r
J K
M
M L
Z Y
r
Tema da Aula:___________________________________________________
X
D
E
F
8
Grupo de Alunos: _________________________________________________
1.4 Homotetias
A transformação denominada homotetia possui um ponto fixo que também se
chama centro da homotetia e um número pelo qual se multiplica a distância de cada
ponto a esse centro. Esse número é dito razão da homotetia.
Para encontrar a figura transformada, liga-se cada ponto da figura dada ao
ponto fixo e marca-se, a partir desse centro, a nova distância, resultado da
multiplicação da distância inicial pela razão.
OBS: O centro, cada ponto inicial e seu transformado encontram-se sobre uma
mesma reta.
3.1)
a) Desenhe uma bandeirinha e escolha fora dela um ponto que será o centro da
homotetia.
b) Encontre a nova localização dos vértices, multiplicando por dois as distâncias.
c) Desenhe a nova figura.
OBS: Chame de A,B,C,... os pontos da figura inicial e de A‘, B’, C’ os novos pontos.
3.2)
a) Desenhe um triângulo escaleno em que nenhum lado meça menos que 8 cm.
b) Escolha um ponto do interior desse triângulo para centro de uma homotetia de
razão ½ .
c) Encontre os novos pontos. Deixe indicado os cálculos feitos para achar os novos
pontos.
d) Compare as duas figuras. O que você consegue perceber observando as duas
figuras?
e) Determine o perímetro do triângulo inicial e também do transformado. O que você
constata?
3.3) Faça para as figuras abaixo as homotetias pedidas:
a) F � Ponto Fixo / Razão: 43
FA = ________ FA’ = ________
FB = ________ FB’ = ________
FC = ________ FC’ = ________
FD = ________ FD’ = ________
9
A
F
B
D C
b) O � Ponto Fixo/ Razão:35
OA = ________ OA’ = ________
OB = ________ OB’ = ________
OC = ________ OC’ = ________
A
B
C
3.4) Faça para cada figura as homotetias expressas pelos esquemas:
a) AB A B2 → ' '
B
F A
b) CD 1 3/ ' ' → C D
F
10
C D
d) EF 4 5/ → E’F’
F
P E
d) GH 3 2/ → G’H’
H
G
F
e) IJ 4 3/ → I’J’ ̀ J
F I
Grupo de Alunos: _________________________________________________
1.5 Composição de Homotetias de mesmo centro (Ponto Fixo)
Fig. RS Fig. R’S’ Fig. R’’S’’
4.1)
X 2 X 3
........
11
a) Ao segmento orientado RS aplicar a homotetia de razão 2 e em seguida à
transformada R’’S’’ aplicar uma homotetia de razão 3 em relação ao mesmo
centro.
b) Analisar se existe uma razão de homotetia que a partir da figura RS forneça R’’S’’
4.2) A cada figura aplique a composição de homotetias proposta pelo esquema e
encontre a razão da homotetia que leva diretamente a primeira figura á última. Faça
colorido:
a) AB 2 2 → →A B A B' ' ' ' ' '
Razão de AB para A’’B’’ é_________________
B
A
•F
b) CD 2 1 3 → →C D C D' ' ' ' ' '/
Razão de CD para C’’D’’ é_________________
D
•F C
c) EF 3 2 → →E F E F' ' ' ' ' '
Razão de EF para E’’F’’ é_________________
F
•P E
d) GH 1 2 1 3/ /' ' ' ' ' ' → →G H G H
Razão de GH para G’’H’’ é_________________
F
S
R
12
G H
•F
Grupo de Alunos: _________________________________________________
1.6 Mais Atividades
5.1) Figura ABC Figura A’B’C’ Figura A’’B’’C’’
Determine:
FA = _____ FA’ = _____ FA’’ = _____
FB = _____ FB’ = _____ FB’’ = _____
FC = _____ FC’ = _____ FC’’ = _____
5.2) Figura ABCDE Figura A’B’C’D’E’ Figura
A’’B’’C’’D’’E’’
Determine:
FA = _____ FA’ = _____ FA’’ = _____
FB = _____ FB’ = _____ FB’’ = _____
FC = _____ FC’ = _____ FC’’ = _____
•
C
A B
F
R1=1/2
R2=4
R=.......
R1=2 R2=2
R=.......
A
E B
D C
• F
13
FD = _____ FD’ = _____ FD’’ = _____
FE = _____ FE’ = _____ FE’’ = _____
5.3) Figura ABCDEF Figura A’B’C’D’E’F’ Figura
A’’B’’C’’D’’E’’F’’
Determine:
PA = _____ PA’ = _____ PA’’ = _____
PB = _____ PB’ = _____ PB’’ = _____
PC = _____ PC’ = _____ PC’’ = _____
PD = _____ PD’ = _____ PD’’ = _____
PE = _____ PE’ = _____ PE’’ = _____
PF = _____ PF’ = _____ PF’’ = _____
5.4)
Figura ABCD Figura A’B’C’D’ Figura A’’B’’C’’D’’ Figura
A’’’B’’’C’’’D’’’’
FA = _____ FA’ = _____ FA’’ = _____ FA’’’ = _____
FB = _____ FB’ = _____ FB’’ = _____ FB’’’ = _____
FC = _____ FC’ = _____ FC’’ = _____ FC’’’ = _____
R1 = 1/3
R2 = 2
R=............
P•
A B
F C
E D
R=............
R1 = ½ R2 = 3 R3 = 1/6
14
FD = _____ FD’ = _____ FD’’ = _____ FD’’’ = _____
Grupo de
Alunos:________________________________________________________
6.1) Em cada uma das homotetias representadas abaixo descubra qual é a razão:
a) Na figura 1 a homotetia que vai de BA � 'B'A
Razão: ________________ Comentários sobre o item a
b) Na Figura 2 a homotetia que vai de BA � 'B'A
Razão: ___________________ Comentários dos itens b e c
C) Na figura 2 a homotetia que vai de DC � 'D'C
O
A’ A
B
B’
Figura 1
D’
D
B
B’
O
Figura 2
A’ A
C C’’
A B
F• C D
15
Razão: ___________________
d) FE � 'F'E
Razão: ___________________ Comentários sobre os itens d e
e
e) DC � 'D'C
Razão: ___________________
6.2) Faça para as figuras abaixo as homotetias pedidas:
a) F � Ponto Fixo
Razão: 3 (3 para 1)
nt
E’
E
O
F
F’
C’
C’
O
D’
D
Complete: FA= __________ FA’= __________ FB= __________ FB’= __________ FC= __________ FC’= __________ FD= __________ FD’= __________
A
D C
B
F.
16
b) O � Ponto Fixo
Razão: 13
( 1 para 3)
Complete:
OA = __________ OA’= __________
OB = __________ OB’= __________
OC = __________ OC’= __________
OD = __________ OD’= __________
c) F � Ponto Fixo
Razão: 23
( 2 para 3)
Complete:
FA = __________ FA’= __________
FB = __________ FB’= __________
FC = __________ FC’= __________
FD = __________ FD’= __________
d) O� Ponto Fixo
Razão: 32
( 3 para 2)
Complete:
OA = __________ OA’= __________
OB = __________ OB’= __________
OC = __________ OC’= __________
OD = __________ OD’= __________
OE = __________ OE’= __________
6.3) Determine o ponto fixo e a razão
O .
A
B
D
E
F .
A B
C D
A
B
C D
E
.O
17
de cada homotetia D’
C’
a) D A’
C
A
B B’
b) B C
A D
B’ C’
A’ D’
F E F’ E’
A A’
C
C’
d)
’
A
e) A B
A’ B’
C C’
D D’ C
B
B’ A’
A
C’
E D D’ E’
A’
B
18
f) A’
B’
a Aaa
D
6.4) Encontre a figura x, resultado do alongamento da letra A na malha
quadriculada abaixo, em relação ao eixo r.
Área: ______ Área:_______
6.5) Realize as transformações da figura x na seguinte ordem:
1º) Simetria em relação ao eixo a, encontrando a figura A
2º) Simetria da fig. A em relação ao ponto P, encontrando a figura B.
3º) Alongamento da figura B em relação ao eixo b, encontrando a figura C.
C’
B A
Considere um quadrado da malha como sendo uma unidade de área. Registre o valor da área da letra A e da figura K.
(2 x)
19
a P
6.6) Com o auxílio de uma régua, realize as homotetias da figura e registre as
distâncias e o valor da razão R.
FIG. ABCDE FIG. A’B’C’D’E’ FIG. A’’ B’’ C’’ D’’ E’’
FA= ________ FA’= ________ FA’’= ________
FB= ________ FB’= ________ FB’’= ________
FC= ________ FC’= ________ FC’’= ________
FD= ________ FD’= ________ FD’’= ________
FE= ________ FE’= ________ FE’’= ________
6.7) Efetue as transformações abaixo:
a) Translação de 3 cm na vertical, para baixo, com a figura A.
b) Alongamento, com a figura B.
c) Homotetia de razão 2 com a figura C, em relação ao ponto P.
R1= 1/2 R2= 4
A
E
C D
B • F
2x b
20
/
6.8) Determine o centro de homotetia e a razão K entre os pentágonos ABCDE e
A’B’C’D’E’:
6.9) Faça a composição de homotetias, da seguinte forma:
FIG ABCDEF FIG A’B’C’D’E’F’ FIG A’’ B’’ C’’ D’’ E’’ F’’
K = ............
A
C
k2 = 4 k1 = ½
B
r
P
D’
A
D’
B
C
E’ D
C’
A’ B’
21
6.10) Construa o Quadrilátero A’B’C’D’ homotético ao quadrilátero ABCD na razão k
= 5/4, sendo O o centro de homotetia.
6.11) Efetue as transformações abaixo:
a) uma translação de 4 Retângulos na vertical para baixo para a figura A
b) um alongamento, em relação ao eixo 1, para a figura M.
c) uma simetria, em relação ao eixo r, para a figura N.
d) uma simetria, em relação ao ponto S, para a figura X.
e) uma redução de escala 3:4 para a figura Z.
A
E
F
D
B
C�O
B
D
A≡O
C
22
a)b)
d)
e)
c) rt
s
6.12) Com o auxílio de uma régua, realize para a figura ABCDE a composição de
homotetias indicada pelo esquema e ponto fixo F. Registre as distâncias
destacadas e determine a razão R que levaria diretamente a figura inicial à
última figura obtida.
FIG ABCDE FIG A’B’C’D’E’ FIG A’’ B’’ C’’ D’’ E’’
R= ...............
FA= ________ FA’= ________ FA’’= ________
FB= ________ FB’= ________ FB’’= ________
FC= ________ FC’= ________ FC’’= ________
FD= ________ FD’= ________ FD’’= ________
FE= ________ FE’= ________ FE’’= ________
F.
R1 = 2 R2 = 2/3
E B
D C
A
23
3) Em cada caso abaixo descubra qual é a razão das homotetias representadas pelos esquemas: a) Na figura 1 a homotetia que vai de AB � A’B’ Razão: ________________ Comentários sobre o item a b) Na Figura 2’ AB � A’B’ Razão: ___________________ Comentários dos itens b e c C) Na figura 2 a homotetia que vai de CD � C’D’ Razão: ___________________
O A’
A
B
B’
Figura 1
D’
D
B
B’
O
Figura 2
A’
A
C C’’
24
Na figura 3, d) EF � E’F’ Razão: ___________________ Comentários sobre os itens d e e Na figura 4, e) CD � C’D’ Razão: ___________________
E’
E
O
F
F’
C’ O
D’
D
C
C’
Figura 3
Figura 4
25
4) Faça para as figuras abaixo as homotetias pedidas: a) F � Ponto Fixo Razão: 3 (3 para 1) b) O � Ponto Fixo Razão: ( 1 para 3) Complete: OA = __________ OA’= __________ OB = __________ OB’= __________ OC = __________ OC’= __________ OD = __________ OD’= __________ c) F � Ponto Fixo Razão: ( 2 para 3) Complete: FA = __________ FA’= __________ FB = __________ FB’= __________ FC = __________ FC’= __________ FD = __________ FD’= __________
Complete: FA= __________ FA’= __________ FB= __________ FB’= __________ FC= __________ FC’= __________ FD= __________ FD’= __________
D C
B
A F.
O .
A
B
C
D
31
32
26
d) O� Ponto Fixo
Razão:
32 ( 3 para 2)
Complete: OA = __________ OA’= __________ OB = __________ OB’= __________ OC = __________ OC’= __________ OD = __________ OD’= __________ OE = __________ OE’= __________
5) Determine o ponto fixo e a razão de cada homotetia (escolha dois pares de pontos correspondentes para desenvolver a questão).
D’ C’ a) D A’ C A
B B’
A
B
C D
E
.O
F .
A B
D C
B
27
b) B C A D B’ C’ A’ D’ F E F’ E’ c) A A’ C C’ d) ’ e) A B A’ B’ C C’
D D’ C
B
B’ A’
A
C’
E D D’
E’
A’
B
28
6) Encontre a figura x, resultado do alongamento da letra A na malha quadriculada abaixo, em relação ao eixo r.
Área: ______ Área:_______
7) Realize as transformações da figura x na seguinte ordem: 1º) Simetria em relação ao eixo a, encontrando a figura A 2º) Simetria da fig. A em relação ao ponto P, encontrando a figura B. 3º) Alongamento da figura B em relação ao eixo b, encontrando a figura C.
a P
Considere um quadrado da malha como sendo uma unidade de área. Registre o valor da área da letra A e da figura X.
(2 x)
2x b
29
8) Com o auxílio de uma régua, realize a composição de homotetias para a figura ABCDE, registre as distâncias e o valor da razão R.
FIG. ABCDE FIG. A’B’C’D’E’ FIG. A’’ B’’ C’’ D’’ E’’
FA= ________ FA’= ________ FA’’= ________ FB= ________ FB’= ________ FB’’= ________ FC= ________ FC’= ________ FC’’= ________ FD= ________ FD’= ________ FD’’= ________
FE= ________ FE’= ________ FE’’= ________
a. Efetue as transformações abaixo: a) Translação de 3 cm na vertical, para baixo, com a figura A. b) Alongamento da figura B em relação ao eixo r. c) Homotetia de razão 2 com a figura C, em relação ao ponto P.
9) Determine o centro de homotetia e a razão K entre os pentágonos ABCDE e A’B’C’D’E’:
R1= 1/2 R2= 4
A
E
C D
B • F
R=.........
A
C
B
r
P
30
10)Faça a composição de homotetias, da seguinte forma: FIG ABCDEF FIG A’B’C’D’E’F’ FIG A’’ B’’ C’’ D’’ E’’ F’’ K = ............
11) Construa o Quadrilátero A’B’C’D’ homotético ao quadrilátero ABCD na razão k = 5/4, sendo O o centro de homotetia.
k2 = 4 k1 = ½
A
E
F
D
B
C
E
A
D’ E’
A’
C’ B’ B C
D
31
12) Com o auxílio de uma régua, realize para a figura ABCDE a composição de
homotetias indicada pelo esquema e ponto fixo F. Registre as distâncias destacadas e determine a razão R que levaria diretamente a figura inicial à última figura obtida.
FIG ABCDE FIG A’B’C’D’E’ FIG A’’ B’’ C’’ D’’ E’’
R= ............... FA= ________ FA’= ________ FA’’= ________ FB= ________ FB’= ________ FB’’= ________ FC= ________ FC’= ________ FC’’= ________ FD= ________ FD’= ________ FD’’= ________ FE= ________ FE’= ________ FE’’= ________
R1 = 2 R2 = 2/3
E B
D C
A
B
D
A
C
O .
F
32
Grupo de Alunos:________________________________________________________ Unidade 4 : Razões e Proporções
2.1) COMPARANDO PREÇOS Em certas situações do quotidiano, como as que aparecem nas ilustrações abaixo, somos
levados a ter que escolher entre duas ofertas, verificando qual é a mais econômica, considerando que os produtos são de igual qualidade.
Nas ilustrações, vemos claramente que um produto é mais caro que o outro, porém este fato pode não ser suficiente para avaliar qual é a melhor compra.
O que devemos fazer para comparar preços? Tal comparação não pode ser feita diretamente, porque as quantidades são diferentes, como indicam os rótulos das embalagens.
De que maneira podemos resolver a questão? Em cada uma das situações ilustradas, determine a oferta mais econômica,
justificando sua resposta. a)
R$ 0,70 R$ 2,50 b)
R$ 3,00 R$ 4,20
c)
R$ 0,75 R$ 0,90
d)
Manteiga 300 g
Manteiga 1000 g
Sabão em pó 1kg
Sabão em pó 1,5 kg
Biscoito 135 g Biscoito 200 g
Chocolate em pó 400 g
Chocolate em pó 500 g
33
e)
2.2) DESEMPENHO DE JOGADORES
No campeonato interclasses de basquete, Matheus marcou 40 cestas em cinco jogos e Rodolfo marcou 45 cestas em 6 jogos. Qual foi o jogador mais eficiente? ___________
Neste caso, temos que comparar o rendimento de dois jogadores. Entretanto a comparação fica dificultada porque eles não jogaram o mesmo número de partidas. Que procedimento deve ser adotado? ______________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________
2.3) RENDIMENTO ESCOLAR
Marta e Paula estão na 6ª série, mas estudam em turmas diferentes. Na turma de Marta o professor de matemática aplicou uma avaliação com 30 questões e ela acertou 18. Na turma de Paula a avaliação de matemática teve 40 questões e ela acertou 24. Qual das meninas teve o melhor desempenho? Justifique sua resposta.
2.4) VESTIBULARES E CONCURSOS
De acordo com o corrdenador do vestibular para ingresso ao curso de medicina da FACULDADE VIDA BOA, há “23 candidatos por vaga.”
O que significa essa frase? ____________________________________________
A afirmação do coordenador indica que há mais candidatos do que vagas. Ele poderia Ter afirmado que a relação candidato vaga é _________________
Se houvesse 60 candidatos disputando 30 vagas, a frase seria: Há ____ candidatos por vaga. Se houvesse 40 canditatos disputando 40 vagas, o coordenador teria dito: “Há __________ por vaga.
6 por R$ 1,00
Maçãs
4 por R$ 0,75
Maçãs
10 por R$ 1,65
Maçãs
34
Sabe-se que estão inscritos 805 canditatos. Quantas vagas estão sendo oferecidas? Por quê? __________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
2.5) AUMENTANDO RECEITAS
a) Qual a quantidade de ingredientes necessária para fazer 90 balas? _________________ _________________________________________________________________________ b) E 10 balas? ______________________________________________________________ c) E 100 balas? _____________________________________________________________ d) Tenho 4 litros de leite (aproximadamente 16 copos). Os outros ingredientes tenho à vontade. Quantas balas poderei fazer? __________________________________________ e) Quantas balas posso fazer com 12 colheres de sopa de mel? ______________________
2.6) DENSIDADE DEMOGRÁFICA A cidade de São Paulo ocupa aproximadamente uma superfície de 1500 Km2 Qual era sua densidade demográfica em 1996 se nesta ocasião possuía 9850000 habitantes? ___________________________________. Densidade demográfica é a razão entre _____________________ e ___________________
BALAS DE LEITE – 30 UNIDADES
4 COPOS DE LEITE
3 COLHERES DE AÇÚCAR
8 COLHERES (SOPA) DE MEL
½ COLHER (CAFÉ) DE BICARBONATO
Misture bem os ingredientes e leve-os ao forno até tomarem ponto de bala. Despeje sobre o mármore, ligeiramente untado com manteiga. Deixe esfriar e corte.
35
2.7) DENSIDADE DE UM CORPO
Densidade de um corpo é a razão entre sua massa e seu volume. Assim: a) Calcule a densidade de uma bola que tem 28 g de massa e possui volume igual a
112 cm3. b) Uma esfera de chumbo de volume igual a 112 cm3. c) Qual é a densidade da água? Pesquise.
2.8) VELOCIDADE MÉDIA
A velocidade média de um veículo é a razão entre a distância percorrida e o tempo que ele gasta para percorrê-la. Responda:
a) Qual foi a velocidade média de um automóvel que percorreu 156 km em 2 horas? b) O campeão da prova de ciclismo fez os 90 km da corrida a uma velocidade média
de 36 km/h. Em quanto tempo ele fez o percurso da prova?
c) Na corrida de 1 km para tartarugas atletas, a vencedora completou o percurso em apenas 24 horas. Qual foi a velocidade média nesta prova?
2.9) ESCALAS Veja a planta de um escritório:
Para retratar o escritório sem distorções, a planta foi feita cuidadosamente. Neste caso, todos os comprimentos reais foram divididos por 200. Depois, o desempenho foi feito com as medidas obtidas nessas divisões. A informação disso consta da planta , na escala. No caso, a escala é 1:200 (um para 200). Isso significa que cada 1 cm do desneho corresponde a 200 cm, ou 2m do escritório real.
A escala é a razão entre o que se passa no desenho e o que tem na realidade.
Na escala 1:n tem-se: COMPRIMENTO NO DESENHO 1 COMPRIMENTO REAL CORRESPONDENTE n
Escala 1:200
=
36
2.10) Exercícios 1) a) O desenho abaixo está na escala 1:20.Trata-se de um peixe de aquário ou de um
tubarão? Qual o comprimento real desse animal? Qual deveria se a escala para se tratar de um peixe de aquário?
b) Um menino de 1,60 m de altura será desenhado na escala 1:10. No desenho sua
altura será de quantos centímetros? c) A frente de uma casa tem 10 m de comprimento e 3 m de altura. Vou desenhá-la em
uma folha de papel ofício. Se eu usar a escala 1:20, o desenho caberá na folha? Por que? Que escala eu poderia usar?
2) 2 ESTÁ PARA 3! O QUE SIGNIFICA ISSO? Em algumas situações podemos estabelecer a relação entre dois números com frases
deste tipo. Considere as situações abaixo como exemplos, não esquecendo de responder as perguntas. a) João e Maria colhiam amoras na floresta. Encheram um cesto com as amoras. Na hora
de distribuí-las, João foi separando em voz alta: “4 para mim, 3 para você...” e assim até o final, terminando a contagem com a frase “4 para mim, 3 para você...”... acabou.” Se Maria recebeu 60 amoras, quantas couberam a João?
No dia seguinte, João e Maria saíram para colher ameixas. Na hora de distribuir Maria tomou a iniciativa e começou a contar “3 para mim, 2 para você, 3 para mim, 2 para você...”. contou assim até pronunciar a última frase: “3 para mim, 2 para você... pronto”. Desta vez João ficou com 40 ameixas. Quantas ameixas couberam a Maria? b) Uma bruxa que havia assistido à distribuição das amoras e das ameixas comentou com
um sapo que passava por perto: “Espertinha essa Maria!”. Você concorda com a bruxa? JUSTIFIQUE.
c) Carlos e Ana resolveram dar uma caminhada juntos. Enquanto Carlos dá 4 passos, Ana
dá 5. Depois de um certo tempo de caminhada, Carlos, que contava seus passos, exclamou: “Ufa! Estou com sede. Afinal já dei 500 passos.” Quantos passos deu Ana?
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Mis tarde, Ana resmungou: “Pooouxa! Esse danadinho do Carlos não se cansa. Já dei 1000 passos e ele continua aqui a meu lado.” Quantos passos deu Carlos?
d) Duas copiadoras de marcas A e B estão trabalhando. Para cada grupo de 60 cópias que a máquina A produz, a máquina B faz 92 cópias. No final do dia a máquina A produziu 7.200 cópias. Assim:
• Expresse a razão entre o número de cópias feito pela máquina A e o número de cópias
feito pela máquina B. • Quantas cópias a máquina B produziu ao final do mesmo dia? • Quantas cópias faz a máquina A enquanto a máquina B faz 23 cópias? e) Na cidade Botas Perdidas há 2 médicos para cada grupo de 1001 habitantes. Quantos
habitantes tem Botas Perdidas, sabendo que a cidade tem 48 médicos? f) Numa pesquisa sobre a preferência por times de futebol verificou-se que 4 entre cada 10
paulistanos torcem para o Corinthians. Sabendo que nesta ocasião a cidade de São Paulo possuía 12 milhões de habitantes, quanto, aproximadamente, torcem para o “TIMÃO”?
3) Veja os preços de um supermercado com relação a uma marca de refrigerante em diversas embalagens.
Embalagem Preço (RS$) 300 ml 0.40 600 ml 0.70 1 litro 1.10
1,5 litro 1.30 2 litros 1.80
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Qual das embalagens é a mais econômica? _____________ Se o preço da embalagem de 2 litros fosse o preço padrão, quanto deveria custar a de 300 ml?
ATIVIDADE EM GRUPO
Escolha em nossa sala de aula um objeto de forma retangular cujas dimensões sejam maiores que as dimensões desta folha de papel. a- Informe em que objeto você encontrou esta forma. ___________________________________________________ b- Dê as medidas reais dos lados do retângulo escolhido. ___________________________________________________ c- Escolha uma escala que permita desenhar o retângulo nesta folha. Diga qual é esta escala. ___________________________________________________ d- Desenhe o retângulo usando a escala escolhida. Escreva as medidas dos lados desta redução e os cálculos que você fez para obtê-las. Utilize a folha seguinte. e- Calcule (apresentando os cálculos) • As áreas da figura real e da figura reduzida ___________________________________________________ • Os perímetros da figura real e da figura reduzida ___________________________________________________ Cálculos:
39
2.11 - Outras situações em que aparecem proporções 1) Estas duas letras têm o mesmo formato, sendo uma menor do que a outra. A curva AC tem 8 unidades e RT tem 12 unidades.
2) Quero fazer 5 litros de refresco de uva. As instruções de preparo dizem que se deve misturar 1 parte de água para 3 partes iguais de suco concentrado. Quantos litros de água devo usar? Quanto devo colocar de suco concentrado? c) Dê a expressão numérica do item b . 3) Termine o desenho abaixo de modo que mantenha a mesma forma, mas seja maior que este.
a) A curva AB tem 9 unidades. Quanto mede a curva RS?
b) A curva UV tem 18 unidades.
Quanto mede a curva DE?
2 cm 1,5 cm
3 cm
40
4) Você pode ver a altura do Sr. Baixote medida com clips de papel.
Quantos clips de papel são necessários para a altura do sr. Grandão? 5) Há três peixes A, B e C num tanque do Zoológico. Os peixes maiores se alimentam de peixes menores. A quantidade de peixes depende do seu comprimento. a) Se C se alimenta com 2 peixinhos, quantos peixinhos B e A devem comer para se alimentarem na mesma razão de seus comprimentos? b) Se B come 12 peixinhos, quantos peixinhos A deve comer para se alimentar na mesma razão? c) Se A se alimenta de 9 peixinhos, quantos peixinhos B deverá comer para se alimentar na mesma razão?
O Sr. Baixote tem um amigo, o Sr. Grandão. Quando medimos suas alturas com palitos de fósforos, encontramos o seguinte resultado:
Sr. Baixote - 4 palitos Sr. Grandão - 6 palitos
Quantos clips de papel são necessários para a altura do Sr. Grandão?
15 cm de comprimento
A
B 10 cm de comprimento
C 5 cm de comprimento
41
6) Em 2 horas eu consigo andar 10 km. Andando nesse ritmo, eu levei 1 hora e 15 minutos para ir, em linha reta, da minha casa até a praia. Qual a distância da minha casa até a praia? 7) Observe as máquinas que se seguem. Analise cada uma delas, escolhendo a de sua preferência, observando a quantidade de objetos que saem, segundo os que entram.
a) ANÁLISE DAS MÁQUINAS: (diga como elas funcionam) ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ b) O que aconteceria com a primeira máquina se entrassem 12 bolinhas? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ c) O que sairia da segunda máquina se entrassem 15 bolinhas? ________________________________________________________________ 8) Três grandes pássaros A, B e C se alimentam de minhocas, cujo comprimento depende da massa dos pássaros. pássaro A - 2 kg pássaro B - 6 kg pássaro C - 7 kg a) Se A come uma minhoca de 1 cm de comprimento, qual deverá ser o comprimento da minhoca dada a C? b) Se B come uma minhoca de 9 cm, qual deverá ser o comprimento da minhoca dada a C? c) Se C come uma minhoca de 14 cm, qual deverá ser o comprimento das minhocas dadas a A e a B?
42
9) Em uma certa liga de metal há: 1 parte de mercúrio para 5 partes de cobre. 3 partes de estanho para 10 partes de cobre. 8 partes de zinco para 15 partes de cobre. a) Quantas partes de estanho são necessárias para uma parte de mercúrio? b) Quantas partes de zinco são necessárias para quantas partes de estanho? ....... partes de zinco para ...... partes de estanho. 10) Receita da sopa de cebola para 8 pessoas: 8 cebolas 2 litros de água 4 cubos de caldo de galinha 2 colheres de sobremesa de manteiga ½ litro de creme de leite Estou fazendo a sopa de cebola para 4 pessoas. (a) Quanto preciso de água? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (b) De quantos cubos de caldo de galinha preciso? Estou fazendo a sopa de cebola para seis pessoas. (c) Quanto preciso de água? (d) De quantos cubos de caldo de galinha preciso? (e) Quanto preciso de creme de leite? 11) Uma máquina tira 40 cópias por minuto. É possível uma máquina tirar 600 cópias em 15 minutos? Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12) Misturando-se 3 galões de tinta vermelha para cada 4 galões de tinta amarela, obtém-se um tom laranja. Complete a tabela para obter sempre o mesmo tom laranja.
TINTA VERMELHA
6 30
TINTA AMARELA
20 48 100
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13) Carla fez uma salada de frutas com maçãs e laranjas num total de 44 frutas. A razão do nº de maçãs para o nº de laranjas foi de 3 para 8. Calcule o nº de maçãs e o nº de laranjas que ela usou na salada de frutas.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14) Ache os valores x ou y sabendo que: a) Se y = 15, x = _____ b) Se x = 7, y = _____ c) Se se x = 5, y = _____ d) Se y = 30, x = _____ 15) Para se fazer uma panqueca de carne para 6 pessoas, uma receita apresenta as seguintes medidas: 2 copos de farinha de trigo 3 ovos 250 g de carne moída Para adaptar esta receita para 10 pessoas, mantendo a proporção de seus ingredientes qual devem ser as quantidades de cada ingrediente?
23=
xy
44
Grupo de Alunos:________________________________________________________
2.12 Tabelas Você e sua dupla vão analisar as situações abaixo apresentadas em tabelas. Ao final, deverão escrever um relatório sobre as observações feitas.
1) Dona Joselina está fazendo pilhas com livros de uma enciclopédia. Cada livro tem espessura de 5 cm. A partir disso, complete a tabela:
Número de livros Altura da pilha
1 5 cm 2 5 10 15
2) Uma herança de 500 milhões de dólares será igualmente distribuída entre alguns herdeiros. Determine a quantia que cada um receberia em cada caso abaixo:
Número de herdeiros Quantia (milhões de dólares)
1 500 2 4 5 10 11
3) Com 4 kg de farinha de trigo, um padeiro faz 60 pães. Assim complete a tabela:
Quantidade de farinha(kg) Número de pães 4 60 8 10 2 15 1
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4) A tabela abaixo relaciona o consumo de gasolina de um carro com distância que ele percorre. Complete-a:
Consumo de gasolina ( l ) Distância percorrida(km) 2 16 3 4 10 17
5) A tabela a seguir relaciona o número de pintores com tempo necessário para eles pintarem um certo edifício. Complete-a:
Número de pintores Tempo (dias) 10 13 20 5 15 2
6) O Sr. Alcides viaja de carro constantemente de Belo Horizonte a Brasília. Após algumas viagens e fazendo alguns cálculos, ele construiu a tabela abaixo. Complete-a:
Velocidade média (km/h) Tempo gasto (h) 60 12 30 120 90 100
7) Abre-se uma torneira para encher a piscina mostrada na figura. De tempos em tempos, mede-se a altura da água. Sabendo disto complete a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Altura ( cm ) 10 50 20 40 50 80
h
46
8) Uma fábrica de parafusos tem que produzir uma certa quantidade de peças para atender uma encomenda. Sabe-se que 10 máquinas produzem essa quantidade em 15 horas de funcionamento. Considerando este mesmo pedido, complete a tabela:
Número de máquinas Tempo ( h ) 10 15 5 20 15 1 3
9) Seu Joaquim, dono da padaria do meu bairro, fez uma tabela relacionando o número de pães e a quantia a ser paga por eles para facilitar o serviço de seus empregados. Complete-a tabela de Seu Joaquim.
Número de pães Preço ( reais ) 1 1 2 3 4 10 15
10) A quadra de esportes de um colégio vai ser construída. Sabe-se que 4 pedreiros trabalhando intensivamente conseguirão fazer esse serviço em 24 dias. Determine o número de dias necessários para o serviço em cada caso:
Número de pedreiros Tempo ( dias ) 4 24 8 12 2 10
11) Roteiro para o Relatório da Atividade Considerando as questões anteriores, responda: a - Elas são todas do mesmo tipo? Justifique. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b - Como você as agruparia? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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12) Veja abaixo os preços de um supermercado para diversas embalagens de um mesmo produto:
a) Qual das embalagens é a mais barata? ____________________ Por que? ______________________________________________________________________
b) Qual deveria ser o preço de uma embalagem de 130 g de modo que ela fosse tão vantajosa quanto a mais barata das embalagens abaixo? JUSTIFIQUE.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ EMBALAGEM PREÇO (R$) 200 g 1,00 500 g 2,40 1kg 5,20 2 kg 10,00 13) De acordo com o coordenador do concurso para professores de Matemática do
município de Terra Feliz havia 15 candidatos disputando 2 vagas. Quantos candidatos se inscreveram para esse concurso se foram oferecidas 50 vagas? JUSTIFIQUE.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14) Para fazer 40 brigadeiros a receita da minha avó manda utilizar 1 lata de leite condensado. Que quantidade de leite condensado preciso para fazer 100 brigadeiros? JUSTIFIQUE
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15) Meu pai percorreu 300 km a uma velocidade média de 80 km/ h. Em quanto tempo ele fez esse percurso? Por quê?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16) A fachada de um edifício de 20 m de altura será desenhada em uma folha de papel A4 (210 x 297 mm). Que escala poderia ser usada? JUSTIFIQUE.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
48
17) Marcos e Paulo estavam comendo pães de queijo. Enquanto Marcos comia 3, Paulo comia 4. Se Marcos comeu 15 pães ao todo, quantos comeu Paulo? Por que?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 18) Na Escola Gente Feliz verificou-se que 5 entre cada 7 alunos moram no mesmo bairro
da escola. Se há 630 alunos matriculados nesta escola, quantos moram em bairros diferentes do bairro da escola? JUSTIFIQUE.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 19) Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade que as anteriores, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? Por quê? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Mais Atividades 1) Complete as lacunas, justificando sua resposta:
a)
45
12=..... b- .....
3102 =
c-
714 8
= .....
d)
.....24
1545
13
= = e-
8 1015.....
.....
.....= =
2) Em uma festa, a razão entre o número de rapazes e o número de moças era de 5 para 7. Quantas moças foram a essa festa se 65 convidados eram rapazes? R:_____________________________________________ 3) Um mapa está desenhado na escala 1: 800.000. Qual a distância neste mapa entre a cidade A e a cidade B se esta distância real é de 200 Km? R:_____________________________________________
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4) Num restaurante, 7 de cada 10 fregueses tomam um cafezinho após a refeição. Se o restaurante atender 180 pessoas, quantos cafezinhos serão pedidos? R:_____________________________________________ 5) Para ser aprovado em um concurso, o candidato precisava acertar 3 em cada 5 questões. Se a prova possuía 45 questões, quantas questões, no máximo, um candidato poderia errar para ser aprovado? R:_____________________________________________
6) Num determinado dia, dos 45 alunos da turma 613, compareceram à aula apenas 36. Neste dia, na 611 que tem 30 alunos a frequência se deu na mesma razão. Qual o número de alunos que faltou na 611?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7) Em 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas são necessários para fabricar 162.5 kg de farinha?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8) Num acampamento, há 48 pessoas e alimento suficiente para um mês. Retirando-se 16 pessoas para quanto tempo dará a mesma quantidade de alimento?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras encherão em 2 horas?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
50
10) A média de professores fumantes no Colégio de Aplicação é de 3 para 14. Numa
assembléia estavam reunidos 98 professores. Quantos fumantes, devemos esperar, estavam reunidos?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11) Cinco operários fazem o serviço em 16 dias. Se fossem contratados mais 3 operários, em quantos dias o serviço será feito?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 12) Decida se as figuras abaixo são semelhantes e justifique. (considere as dimensões apresentadas)
13) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 h e 24 min. Dispondo de 5 dessas torneiras em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 14) Uma prova de nota máxima 9.0 tinha 16 questões de igual valor. Eu acertei 12 questões. Que nota eu tirei? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6 cm 4,5 cm
4,83 cm 3,62 cm
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15)Um prêmio no valor de R$4.650.00 deve ser dividido entre três funcionários de uma mesma empresa noa razão direta de seus tempos de trabalho. Um trabalha há 4 anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio. Qual o prêmio de cada um? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16)A cada quilômetro rodado, um automóvel gasta 0.12 litros de álcool. O tanque do automóvel tem 45 litros. a) Quantos quilômetros o automóvel pode rodar sem abastecer? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Se esse automóvel gastasse 0.9 litros de álcool por quilômetro, quantos quilômetros poderia rodar sem abastecer? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Dê a expressão numérica do item a deste problema: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 17) Certo fazendeiro tinha ração para alimentar 16 galinhas durante 44 dias. No fim de 8 dias comprou mais 8 galinhas. Quanto tempo existe de provisão se a ração de cada ave não for diminuída? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 18)Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 m3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse 4 m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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19)Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20)Com velocidade de 75 km/ h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 21)Para construir uma cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22) Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1.20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 23)Bolo de chocolate: (dá para 10 pessoas) 100 g de margarina ou manteiga 2 xícaras de açúcar 3 xícaras de trigo 3 ovos 1 dopo grande de leite 1 colher de sopa de fermento em pó 1 cálice de rum. a) Quero dar uma festa para 25 pessoas. Por quanto devo “ multiplicar” a receita? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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b) Qual a quantidade necessária para fazer um bolo para 16 pessoas? (determine para todos os ingredientes)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 24)A velocidade de um móvel é de 30 m/s. Qual será sua velocidade em km/ h? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 25)Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 26)Com uma certa quantidade de arame pode-se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1.20 m largura. Aumentando-se a largura para 1.80, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 27)Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em grama, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? (determine a área da peça quadrada). ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 28)Um corredor de Fórmula I manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3600 seg., qual foi a velocidade desse corredor de m/s? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
54
Mais problemas envolvendo proporcionalidade 1) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quantos minutos 5 dessas torneiras encherão o mesmo tanque? 2) Há um livro que publica os recordes mais curiosos. Por exemplo, em 1985, o recorde mundial de salto em distância era de 12,80 m para .... cangurus! O recorde dos homens era de 8,90 m; o das mulheres era de 7,36; o das rãs era de 6,24m; e das pulgas era de 0,33 m. a) Sabendo que foi usado um comprimento de 8 cm para representar o salto do canguru, qual foi a escala utilizada? b) Escolha outro recorde mundial e descubra que comprimento será usado para representá-lo na mesma escala do ítem anterior. 3) a) Para pintar 8 janelas iguais o pintor disse que precisa de 2 latas de tinta. Quanto ele pretende gastar em uma janela? Indique o cálculo. R:_____________________________________________________________________ b) Para pintar 10 janelas quanto de tinta será necessário? R:_____________________________________________________________________
4) Relatório sobre a resolução dos problemas
Este relatório você vai fazer livremente, isto é, escreva o que você observou sobre estes problemas.
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2.13 Porcentagem Atualmente o uso de porcentagem é muito intenso no comércio. O símbolo % apareceu
pela primeira vez no século XVII, num livro feito por um comerciante inglês que mostrava cálculos efetuados em operações comerciais.
Quando entramos em lojas em liquidação costumamos encontrar anúncios de ofertas de produto com descontos de 10%, 20%, e outros %. Mas o que significa desconto de 10% (dez por cento?)
1) Calcule o desconto dos seguintes produtos em oferta esta semana: a) 10% de desconto na blusa que custa R$25,00 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) 10% de desconto na compra à vista de uma bicicleta aro 16 da marca Monark cujo preço é
de R$ 114,00 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Um Joysticks está sendo oferecido a partir de R$12.99 com desconto de 10% no preço à
vista. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Uma empresa comprou um equipamento por R$120.000.00. Ela deseja vendê-lo com
um lucro de 45%. Por quanto deverá vender o equipamento? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Numa cidade, em 100 alunos matriculados na 5ª série do 1ª série do 1º grau, 70 são
aprovados no final do ano. Numa escola, dessa cidade, que tem 650 alunos na 5ª série, quantos estarão na 6ª série no próximo ano?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4) 35 alunos em 100, isto é, 35%, dos alunos da 6ª série de uma escola ficaram retidos no ano anterior. Se a escola tinha 260 alunos na 6ª série, quantos alunos foram aprovados?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5) Escreva sob a forma mais simples, isto é, transforme em fração decimal depois simplifique:
a) 25% b) 75% c) 80% d) 10% e) 250%
f) 100% g) 50% h) 20% i) 5% j) 15%
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6) Em algumas situações podemos facilmente determinar a percentagem de um número utilizando uma fração equivalente mais simples (50% = ½ ). Desta forma podemos calcular percentagem mentalmente. Vamos ver! Utilizando o ex. 8, determine:
a) 20% de 300 b) 20% de 47 c) 20% de 120 d) 10% de 30 e) 10% de 120 f) 10% de 25
g) 25% de 64 h) 25% de 840 i) 25% de 28 j) 5% de 25 k) 5% de 250 l) 50% de 48
m) 50% de 34 n) 50% de 43 o) 75% de 300 p) 75% de 124
7) Vimos que é possível fazermos cálculo mental para algumas percentagens, só que isto
nem sempre é possível. Você conhece outras formas de resolver? Quais? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8) Existem muitas maneiras de resolver o cálculo percentual. Dentre elas a que transformamos a expressão % em razão percentual. Por exemplo, 15% pode ser entendido como 15/100. Neste caso como se calcula 15% de 300?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) Participando da hipótese de quando dizemos “ o dobro de 30” estamos pensando em “ multiplicar 30 por dois” , assim como “ a metade de 30” , fazemos “ meia vez o 30” . Ou ainda ½ x 30. Então para 15% de 300, você faria que cálculos, ou que multiplicação? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10) Calcule: a) 12% de 300 b) 23% de 800 c) 5% de 1000 d) 10% de 160 e) 22% de 800 f) 15% de 1500
g) 15% de 120 h) 12% de 700 i) 65% de 1000 j) 17% de 340
k) Como você fez para resolver? 11) Para calcularmos 15% de 200 existem várias maneiras. Vou apresentar duas delas:
Uma em que multiplicamos o numerador pelo número dado e depois dividimos por 100 e a outra em que dividimos o número dado por 100 e depois multiplicamos pelo numerador.
a) Calcule 15% de 200 das duas maneiras. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
57
b) O que observou? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) O que estamos calculando quando dividimos o número dado por cem? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12) 8% dos vencimentos de um funcionário eqüivalem a R$330.00. Calcule o total de seus vencimentos.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13) Um corretor de imóveis recebeu R$17.000.00 correspondente a 5% da venda efetuada. Qual o valor do imóvel?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14) Fiz uma compra e obtive um desconto de R$200.00 equivalente a 8%. Qual era o valor da compra?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15) José comprou um terreno e, por Ter pago à vista ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$22.500.00. Qual era o preço do terreno? Quanto pagou?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
16) Rosângela foi promovida e teve um aumento de 20% em seu salário pasando a ganhar mais R$560.00 por mês. Qual era o seu salário?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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17) Célio decidiu comprar uma casa e vai dar como entrada 30% do preço total, na forma de um cheque de R$40.500.00. Qual é o preço da casa?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
18) a) Comprei um carro por R$40.000.00. Quero vendê-lo de maneira a ganhar a importância equivalente a 20% do preço de custo. Qual deve ser o preço de venda?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Qual deve ser o preço de venda deste mesmo carro se eu quiser ganhar 20% do preço de
venda?
19) Um produto custa R$400.00 e é vendido por R$520.00. Qual é a taxa de lucro? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
20) Sobre um ordenado de R$380.00 são descontados 8% para a previdência. Qual é o seu salário líquido?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
21) Quanto por cento das figuras abaixo foram pintadas?
S:............................. S:..........................
22) Em uma partida de basquete Ana acertou 80% dos arremessos. Se ela acertou 80 arremessos, quanto ela errou?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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23) Em 1990 o Brasil tinha 150 milhões de habitantes, dos quais 22% moravam no estado de São Paulo.
a) Quantos habitantes viviam no estado de São Paulo? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ A distribuição da população por regiões era, a seguinte: Norte 7% Centro-0este 6% Sudeste 44% Sul 15% Os restantes viviam no Nordeste. b) Quantos habitantes tinha o Nordeste? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Qual a porcentagem da população correspondente ao Nordeste? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 24) Vimos algumas situações problema onde: • Se conhecia o total, a taxa e deveríamos calcular o percentual do total conhecido. • Se conhecia o total, a taxa era desconhecida e conhecíamos o percentual do total. • total era desconhecido, mas conhecíamos a taxa e o valor percentual. a) Que cálculos devemos fazer em cada caso? 25) Escreva a seqüência dos valores 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90% e 100% de: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40
e) 50 f) 60 g) 70
h) 80 i) 90 j) 100
k) O que observou?
26) Para cada figura, pinte a parte indicada em porcentagem:
4% 25%
60
50% 20%
24% 10% 27) No último exercício, percebeu-se que todas as divisões são feitas em cada 100 quadrados. Basicamente, porcentagem é isto: trabalha-se dividindo uma parte de alguns elementos sobre um total de 100 elementos. Como estas frações possuem denominadores iguais a 100, são chamadas frações centesimais. A porcentagem expressa a razão (divisão) em 100 elementos. 28) Complete a tabela: Porcentagem 5% 6% 50% 60% 150% 160% Forma de Fração Forma Decimal 29)Quanto vale? a) 15% de 60: b) 15% de 90: c) 15% de 140: 30) Uma calça jeans custava R$15.00 e aumentou 30%. Quanto passou a custar? 31) A gasolina que custava R$0.70 por litro, teve um aumento de 20%. Quanto se gastará para encher um tanque de 50 litros? 32) Dona Marta comprou um televisor pagando a vista, ganhou desconto de 15%. Quanto pagou, se o televisor custava R$600.00?
61
33) Um menino colou 182 figurinhas em seu álbum enquanto o outro colou 132. O primeiro menino tinha um álbum com total de 650 figurinhas e o segundo um total de 440. “ Quantos por cento do total cada um colou? 34) Analise e encontre a solução para cada uma das situações abaixo: a) se eu depositar r$60.00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$75.00. qual a
taxa de porcentagem deste rendimento? b) se eu depositar r$75,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$80,00. qual a
taxa de porcentagem deste rendimento? c) se eu depositar r$100,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$120,00. qual
a taxa de porcentagem deste rendimento? d) se eu depositar r$100,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$105,00. qual
a taxa de porcentagem deste rendimento? e) se eu depositar r$ 30,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$38,00. qual a
taxa de porcentagem deste rendimento? f) se eu depositar r$50,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$65,00. qual a
taxa de porcentagem deste rendimento? g) se eu depositar r$100,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$114,00. qual
a taxa de porcentagem deste rendimento? h) se eu depositar r$80,00 numa caderneta de poupança ao final do mês terei r$95,00. qual a
taxa de porcentagem deste rendimento?
2.13 Trabalhando com a calculadora 1) Observe a tabela e faça o que se pede: O Apetite do fast food Da pizza ao hamburguer, o volume milionário da comida rápida
62
Grupo
Faturamento mundial em 1992( em U$$)
Faturamento no Brasil em 1992 (em U$$)
Lojas no mundo
Lojas no Brasil
Refeições dia/Brasil
McDonald’ s 22 bilhões 165 milhões 13000 131 300000 Bob’ s ___ 78 milhões ___ 108 220000 Pizza Hut 5,7 bilhões 25 milhões 9600 26 30000 Burguer King 9 bilhões ___ 8000 ___ ___ KFC 6,7 bilhões ___ 8700 1 1000 Domino’ s 2,5 bilhões ___ 5500 ___ ___ Arby’ s 1,5 bilhões ___ 2500 1 1500 a) Aproximadamente, que porcentagem do total de lojas McDonald’ s correspondem às lojas do Brasil? ________________________________________________________________________ b) A porcentagem que representa o faturamento no Brasil ( 1992 ) em relação ao mundo é a mesma? ________________________________________________________________________ c) Que conclusão você pode tirar daí? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Verifique se acontece o mesmo no grupo Pizza Hut. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Leia e responda
Para cada real de salário pago ao empregado, a empresa gasta mais 1,43 reais na forma de encargos sociais.
Se o Sr. Conrado recebe um salário de R$ 600,00: a) Quanto a empresa gasta, no total para manter o Sr. Conrado empregado? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Então, o Sr. Conrado recebe que porcentagem do que a empresa gasta com ele? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Relatório
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Grupo de alunos:__________________________________________________________
Unidade 3– Números Relativos 3.1 - Banco imobiliário
Início Ganha R$ 50,00
Comprei um livro
Perde R$ 28,00
Fiz um lanche Perde
R$ 5,00
Visitei a vovó Ganha R$ 20,00
Comprei um CD Perde R$ 15,00
Tirei nota alta Ganha R$ 30,00
Fui ao jogo Perde R$ 10,00
Fui assaltado Perde tudo
Fui ao banheiro Perde a vez
Achei dinheiro Ganha R$ 10,00
Dei um Presente Perde R$ 15,00
Animal doente Perde R$ 20,00
Comprei uma revista Perde R$ 4,00
Recebi a mesada Ganha R$ 50,00
Volte 7 Casas
Joguei na loto Ganha R$ 80,00
Fio ao teatro Perde R$ 20,00
Fiz aniversário Ganha R$200,00
Cortei o cabelo Perde R$ 10,00
Fui ao cinema Perde R$ 7,00
Comprei uma camiseta Perde R$ 15,00
Fui à corrida Perde R$80,00
O primeiro jogo deve ser livre no que se refere ao registro. Cada grupo deve escolher seu próprio código. Após esta primeira etapa, de uns trinta minutos, devemos combinar um acordo na turma com o objetivo de escolher um código único para mais uma etapa. Só depois é que devemos adotar o código usado pela sociedade em geral e pela matemática em particular.
Análise dos registros
Escreva aqui como ficou combinado o registro do jogo.
64
1) Numa turma da 6ª série, após algumas rodadas do jogo “ Banco Imobiliário” , os quatro integrantes de um grupo estavam na situação anotada na tabela abaixo:
A B C D Deve 50
Tem 100
Deve 10
Tem 80
Na rodada seguinte, cada um parou na casa:
A B C D
Responda: a) Ao final desta nova rodada, qual o total de cada um ? b) Quem está ganhando agora? c) Dê a classificação de cada um ao final desta rodada. d) Invente uma casa, na qual o aluno B deveria cair na próxima rodada, para ficar com R$100. e) Considere as casas desenhadas acima. Diga como deveria ser a distribuição delas na rodada (uma casa para cada aluno) de modo que a classificação na rodada seguinte à da tabela inicial seja: 1º C 2º B 3º D 4º A 2) Ignês, Monica e José Antonio inventaram o seguinte jogo. Cada uma lança um dado duas vezes; ganham em pontos o resultado do 1º lançamento e perdem o resultado do 2º lançamento.
a) Dê o total de pontos e a classificação de cada um após a rodada abaixo:
1º Lançamento 2º Lançamento Ignez 1 3 Mônica 6 5 José Antonio 2 2
b) Depois eles resolveram mudar a regra: perdem em pontos o dobro do resultado do 1º lançamento e ganham o triplo do resultado do 2º lançamento.
Dê o total de pontos e a classificação de cada um após a rodada abaixo:
1º Lançamento 2º Lançamento Ignês 3 2 Mônica 1 4 José Antonio 5 1
Loteria Ganha 100
Multa de Trânsito
Perde 100
Conta de luz Perde 80
Imposto de renda
Perde50
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3) Conceição tem cheque especial. Com ele ela pode retirar do banco mais dinheiro do que possui em sua conta. No momento, seu saldo é de R$250,00. Considerando isoladamente cada item abaixo, diga qual será seu saldo se ela: A) depositar R$500,00 b) retirar R$300,00 c) retirar R$500,00 e depois depositar R$100,00 d) depositar R$400,00 e depois retirar R$500,00 4) Olhando os registros do jogo Banco Imobiliário feitos por diferentes grupos encontrei: Nelson do grupo X Lilian do grupo Y Eugenie do grupo Z
Ganhos Perdas Total 0) 200 1) 100 100c 2) 10 110c 3) 20 130c 4) 150 20d 5) 5 ........ 6) 0 7) 50d
s 200+ 1ª 10+ 210+ 2ª 70- 140+ 3ª 150- 10- 4ª 40- .. ..... 5ª 70+ ........ 6ª 0
200 -100 +100 +40
+140 -160 -20 -30 -50 +90 .......
Geraldo do grupo W: 200 + 20 - 120 + 40 - 190 + 10 = (200 + 20 + 40 + 10) - (120 + 190) = 40 a) Preencha com atenção as falhas nos registros de Nelson, Lilian e Eugenie, de acordo com o código que cada um criou, considerando todas as informações dadas. b) Escreva o registro do jogo de Lilian, usando o código de Nelson. c) Escreva o registro do jogo de Geraldo, usando o código de Lilian. d) Considere que os resultados apresentados referem-se a um mesmo jogo que os quatro alunos fizeram e que ganha quem tiver melhor situação financeira. Escreva em ordem de classificação no jogo: i) Nomes dos alunos: ii) Resultados obtidos: 5) Num jogo, após algumas rodadas, os quatro participantes estavam na situação anotada na tabela abaixo: A B C D deve 500 tem 1200 deve 100 tem 800
Na rodada seguinte, cada um retirou o cartão correspondente:
A B C D
Loteria Ganha 500
Multa de Trânsito
Perde 500
Conta de luz Perde 80
Imposto de renda
Perde 1500
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Responda: a) Ao final desta nova rodada, qual o total de cada um ? ________________________________________________________________________ b) Quem está ganhando agora? ________________________________________________________________________ c) Dê a classificação de cada um ao final desta rodada. ________________________________________________________________________ d) Invente um cartão que o jogador B deveria tirar na próxima jogada para ficar com R$100,00. e) Considere os cartões desenhados acima. Diga como deveria ser a distribuição deles (um cartão para cada jogador) de modo que a classificação na rodada seguinte à da tabela inicial seja: 1º C 2º B 3º D 4º A 6) Numa região do Canadá aconteceu o seguinte, durante o dia o termômetro marcou 5 graus acima de zero e durante a noite a temperatura caiu. Diga quanto o termômetro marcará se a temperatura: (a) desceu 3 graus (b) desceu 7 graus ( c) desceu 10 graus
3.2) JOGO DA ESTRELA (Mattix)1 1) Número de jogadores: 3 ou 4 alunos. 2) Material: 1 tabuleiro de 36 casas 37 fichas - sendo 1 estrela e as demais números inteiros (positivos: pontos ganhos e negativos: pontos perdidos) 3) Regras do Jogo: a) De início, arrumam-se as fichas numéricas sem se preocupar com a ordem, de maneira aleatória e voltadas para cima. A ficha com a estrela ficará fora do tabuleiro neste momento. b) Sorteia-se a ordem em que cada um irá jogar, ou, quem começa e como se prosseguem os demais jogadores. c) O objetivo do jogo é conseguir totalizar o maior número de pontos ao somar as fichas retiradas. d) O primeiro jogador escolhe para si uma ficha numérica e a retira do tabuleiro, colocando em seu lugar a ficha com estrela. e) O próximo jogador poderá escolher para si uma ficha que esteja na coluna ou na linha da estrela, transportando a ficha com a estrela para o lugar desta ficha retirada. E assim se segue até que o tabuleiro fique vazio.
1 Versão elaborada pelas profª Maria da Conceição Vieira Gomes, Maria Ignez David, Monica Rabello de Castro do CAP/UERJ.
67
f) Se em determinado momento não existirem fichas na linha ou na coluna da estrela, esta deverá ser mudada de lugar, com o menor deslocamento possível, para que o jogo prossiga. g) Ao final , o grupo deverá anotar as fichas que cada um retirou , para saber o vencedor da partida os jogadores devem somar os números destas fichas2.
Registro do Jogo
Análise do jogo
1) Complete as tabelas e apresente seus cálculos:
Tabela A
Nome Ignez Mônica Conceição Soraia Fichas
Total:
Classificação
2 Ao final do livro você encontrará as peças do jogo para recortar.
+ 15
- 8
+ 12
- 9
- 17
- 4
+ 2
+ 4
+ 8
0
- 6
- 2
+ 10
+ 11
+ 5
+ 17
- 13
- 15
- 3
- 1
+ 16
- 10
+ 1 +
14 - 11
+ 7
- 5
+ 1
- 12
+ 6
+ 13
- 14
0
- 7 -
16 + 9
+ 17
+ 7
68
TABELA B
Nome Paulo Pedro Maria Marta Celso
F
I C H A S Total
Classificação
NOME TAÍS MARIANA FERNANDA CÉSAR
F I
C
H A S
TOTAL
0 -5 +3 -1
CLAS.
+ 12
- 8
+4
-2
- 10
+1
0
- 3
- 1
+8
- 12
- 11
+11
+16
0
+9
- 17
- 16
- 9
+7
- 4
+ 17
+3
- 13
- 5
+5
-7
+ 14
+ 10
-15
-3
+ 6
+4
0
- 32
......
+ 26
-1 ......
-5
-23 ....
-9
-4
......
-2
+2
-30
+ 1
+5
0
-6
+ 18
-8
- 12
-7
+ 10
+9
+ 40
+ 11
-43
+7
+ 8
-13
+ 40
+ 42 T
A B E L A
C
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Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.3 - Jogo do Rouba Montinho 1) Neste jogo de “ rouba montinho” há apenas uma regra: “ A carta maior deve roubar qualquer montinho” . Vocês receberam um baralho com 36 cartas. Há no baralho 18 cartas com números vermelhos de 1 a 18, uma carta em branco e 17 cartas com números pretos de 1 a 17. Escolha uma cor para ser “ pontos perdidos” . A outra será “ pontos ganhos” . A carta em branco será aquela que não é nem pontos perdidos nem pontos ganhos. Como a carta maior pega qualquer montinho, vocês devem responder: qual carta vale mais, a) A carta em branco ou uma carta em vermelho? b) A carta em branco ou uma carta em preto? c) Uma carta em preto ou uma carta em vermelho? d) Dentre duas cartas em preto, qual vale mais? A de maior número ou a de menor número? e) Dentre duas cartas em vermelho, qual vale mais? A de maior número ou a de menor número? f) Que carta vale mais: o sete vermelho ou o quatro preto? Após combinar e responder estas perguntas vocês podem começar o jogo. Para isto escolham ou tirem sorte sobre quem começará jogando. Embaralhem as cartas, coloquem quatro sobre a mesa ( com os números voltados para cima) e distribuam as demais entre os jogadores. O primeiro jogador pode pegar uma das quatro cartas, usando uma carta maior. O segundo jogador pode pegar uma das cartas sobre a mesa ou roubar o montinho do primeiro jogador. E assim segue até que nenhum jogador tenha mais cartas nas mãos. Se em determinado momento um jogador não puder roubar qualquer montinho, ele colocará uma carta sobre a mesa.
Para saber o vencedor somem as cartas de cada componente. Qual a quantidade de pontos de cada um? Qual a colocação ?
Jogue um campeonato de cinco partidas e complete o quadro abaixo. Nome 1ª partida 2ª partida 3ª partida 4ª partida 5ª partida Final
Análise do jogo “rouba montinho”
70
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.4 - Copa do Mundo
1) Durante a Copa de 98 tivemos os seguintes países agrupados como na tabela disputando a Copa do Mundo na França. a) A tabela a seguir apresenta a primeira fase do campeonato. Complete a coluna com o
time vencedor ou marque com um x quando houver empate:
GRUPO A PLACAR VENCEDOR EMPATE
Brasil X Escócia 2 X 1 Marrocos X Noruega 2 X 2 Escócia X Noruega 1 X 1 Brasil X Marrocos 3 X 0 Escócia X Marrocos 0 X 3 Brasil X Noruega 1 X 2 GRUPO B Itália X Chile 2 X 2 Camarões X Áustria 1 X 1 Chile X Áustria 1 X 1 Itália X Camarões 3 X 0
Itália X Áustria 2 X 1 Chile X Camarões 1 X 1 GRUPO C A. Saudita X Dinamarca 0 X 1 França X África do Sul 3 X 0
África do Sul X Dinamarca 1 X 1
França X A. Saudita 4 X 0
França X Dinamarca 2 X 1 África do Sul X A. Saudita 2 X 2 GRUPO D Paraguai X Bulgária 0 X 0 Espanha X Nigéria 2 X 3 Nigéria X Bulgária 1 X 0 Espanha X Paraguai 0 X 0 Espanha X Bulgária 6 X 1 Nigéria X Paraguai 1 X 3 GRUPO E Coréia do Sul X México 1 X 3 Holanda X Bélgica 0 X 0 Bélgica X México 2 X 2 Holanda X Coréia do Sul 5 X 0
Holanda X México 2 X 2 Bélgica X Coréia do Sul 1 X 1 GRUPO F Iugoslávia X Irã 1 X 0 Alemanha X EUA 2 X 0
71
Alemanha X Iugoslávia 2 X 2 EUA X Irã 1X 2
Alemanha X Irã 2 X 0 EUA X Iugoslávia 0 X 1 GRUPO G Inglaterra X Tunísia 2 X 0 Romênia x Colômbia 1 X 0 Colômbia X Tunísia 1 X 0 Romênia X Inglaterra 2 X 1
Colômbia X Inglaterra 0 X 2 Romênia X Tunísia 1 X 1
GRUPO H
Argentina X Japão 1 X 0 Jamaica X Croácia 1 X 3 Japão X Croácia 0 X 1 Argentina X Jamaica 5 X 0
Argentina X Croácia 1 X 0
Japão X Jamaica 1 X 2 2) Com o resultado da tabela 1, preencha a tabela 2: País N.º de
jogos N.º de
vitórias N.º de
empates N.º de
derrotas gols a favor
gols que o time levou
Saldo de gols
Saldo de vitórias
Brasil
Escócia
Marrocos Noruega
Itália
Áustria Camarões Chile A. Saudita França África do Sul Dinamarca
Paraguai
Bulgária Espanha Nigéria Coréia do Sul México Holanda Bélgica
72
Iugoslávia
Irã Alemanha EUA Inglaterra Tunísia Romênia
Colômbia
Argentina
Japão Jamaica Croácia 3) Observe a Tabela 2 e responda: a) Quais os países que tiveram maior número de vitórias do que derrotas? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Quais os países que tiveram mais derrotas do que vitórias? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Se você não pudesse usar a tabela para representar o saldo de vitórias, como você faria? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Se você não pudesse usar a tabela para representar o saldo de gols, como você faria? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e) Se o número de vitórias de um time for menor que o número de derrotas, que saldo tem? De quanto? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) Se o número de vitórias for maior do que o número de derrotas deste mesmo time que saldo tem? De quanto? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Os resultados obtidos nas letras “ e” e “ f” são os mesmos? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) Qual o time que tem o maior saldo de gols? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ i) Que time tem o menor saldo de gols? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ j) Existem países em que o número de gol que fez é igual ao número de gol que um outro país levou? Quais? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ l) Em caso afirmativo, como diferenciar estes dois valores?
73
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
m) Terminada a primeira fase os dois vencedores de cada grupo foram para as oitavas de final. Que países foram para as oitavas de final em cada grupo? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Complete a tabela abaixo, com os respectivos países:
OITAVAS DE FINAL PAÍSES PLACAR
Vencedor A X vice de B 4 X 1
Vencedor B X vice de A 1 X 0
Vencedor C X vice de D 1 X 0
Vencedor D X vice de C 1 X 4
Vencedor E X vice de F 2 X 1
Vencedor F X vice de E 2 X 1
Vencedor G X vice de H 0 X 1
Vencedor H X vice de G 2 X 2
Segundo as regras da FIFA depois da primeira fase deve haver um time vencedor.
Desta forma, quando há empate no tempo regulamentar os dois times vão para a prorrogação de dois tempos de 15 min com morte súbita, o primeiro que fizer gol ganha a partida e termina o jogo. Se o jogo continuar empatado os times vão para a disputa de pênaltis. Para as quartas de final foram os seguintes países: Brasil 3 X 2 Dinamarca Itália 0 X 0 França Holanda 2 X 1 Argentina Alemanha 0 X 3 Croácia O jogo entre a França e Itália foi para a prorrogação com vitória de 1 X 0 para a França com o gol de ouro. Quais os países que foram para as quartas de final? Brasil 1 X 1 Holanda e França 2 X 1 Croácia. O jogo entre o Brasil e a Holanda foi para a disputa dos pênaltis onde o Brasil defendeu duas das quatro bolas lançadas enquanto que a Holanda só conseguiu verter dois gols. Lembre-se que na final jogam os mesmos países que disputaram as quartas de final. Os perdedores jogam agora, entre si, disputando o 3º lugar e os vencedores jogam entre si disputando o primeiríssimo lugar. Quais foram os jogos disputados nas finais?
74
a) Quem foi o campeão desta Copa? b) E o vice-campeão? c) No final da Copa podemos novamente verificar o saldo de gol de cada país. Descreva em ordem decrescente os países e o seu saldo.
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.5 - O estacionamento 1) Num estacionamento de automóveis o Sr Antônio, guardador, anota o movimento do estacionamento a cada período de 1 hora. Seu registro consta do número total de carros que entraram e o número total dos carros que saíram naquele período.
Sr. Antônio pegou o serviço às 8 h. De 8 h até às 9 h entraram 8 carros e saíram 3. Ele anotou da seguinte forma: (8,3). De 9 h às 10 h, ele anotou (7,5). a) Neste período, quantos carros entraram no estacionamento?
b) E quantos carros saíram?
c) O que aconteceu com a quantidade de carros do estacionamento, se considerarmos o movimento desde às 8 h?
De 10 h às 11 h, ele anotou (2,9). d) Quantos carros entraram neste período e quantos carros saíram?
e) O que podemos afirmar sobre o número de carros do estacionamento?
f) No período de 11 h às 12 h houve o seguinte movimento: (0,0). O que pode afirmar? g) Se o guardador registrou o movimento (4,4) entre 12 e 13 horas, o que pode afirmar? Após às 13 h entra em serviço um outro guardador do estacionamento, Sr. João, que dispõe de um bloquinho de anotações onde há uma tabela. h) Complete a tabela com os dados anteriores até 13 h. Depois informe o movimento do estacionamento desde às 8 h.
75
HORÁRIO ENTRADAS SAÍDAS RESULTADOS
8h às 9h 9h às 10h 10h às 11h 11h às 12h 12h às 13h 13h às 14h 0 5 14h às 15h 4 1 15h às 16h 3 8 16h às 17h 5 4 17h às 18h 8 0 i) Às 11 horas o estacionamento abrigava mais ou mentos carros do que às 10 h? Quantos? j) Em que momento o estacionamento esteve mais cheio? k) Que símbolo você utilizou para diferenciar o número de carros que ficaram no
estacionamento do número de carros que saíram do estacionamento no final de cada hora? Como foi que completou a última coluna?
l) O dono do estacionamento fica num escritório no centro da cidade e quer ser informado a
cada hora sobe o movimento do estacionamento. As informações são enviadas por computador de maneira bem simples. De que maneira você mandaria a informação?
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.6 - Atividades: 1) Um avião partiu de Curitiba com 340 passageiros em direção a Manaus. Fez quatro
escalas. No quadro abaixo serão representados os passageiros que subiram e os que desceram em cada aeroporto. Os números com sinal positivo representam os passageiros que subiram no avião e os que desceram serão representados com o sinal de menos.
Curitiba São Paulo Natal Fortaleza Manaus
340 -72 -173 -65 ?
+35 +58 +46 a) Como fez para encontrar o número de passageiros que desembarcaram em Manaus?
76
2) Um armazém tinha quatro sacos de milho com 60 kg cada um. Durante a semana os empregados foram pondo e tirando milho dos sacos, nunca esquecendo de anotar quantos quilos eram retirados ou acrescentados em cada saco.
Saco I Saco II Saco III Saco IV -25 -48 +5 +32
Pergunta-se:
a) Quantos quilos de milho tem cada saco?
b) Quantos quilos foram retirados ao todo?
c) Quantos quilos foram acrescentados ao todo?
d) Quantos quilos há no total?
3) Um palácio começou a ser construído no ano 9 A.C. e foi concluído oito anos depois. Em que ano ficou pronto?
4) Um termômetro está marcando menos 3 graus. Se a temperatura subir quatro graus, quantos graus marcará o termômetro?
5) Um submarino submergiu 13 m, depois 30 m, e pouco depois 9 m. Em seguida, subiu 19 m, submergiu 6 m para depois submergir mais 4 m. Por fim, voltou à superfície. Qual foi a maior profundidade atingida pelo submarino?
6)Durante uma repentina onda de frio, a temperatura baixou 3 graus no primeiro dia, no seguinte mais 5 graus, e no terceiro outros 5 graus. No quarto dia, a temperatura baixou 9 graus. Quanto a temperatura baixou?
7)Dois tonéis exibem as anotaçoes: +18 e –36. Transferiram o excesso do vinho do primeiro para o segundo tonel. Qual é a nova anotação do segundo tonel?
8) Um trem parte de uma estação com passageiros. Em seguida parou em três estações onde o movimento de passageiros foi anotado numa tabela:
Partida 1ª parada 2ª parada 3ª parada Chegada
+45 +36 +24
-85 -9 -55
a) Quantos passageiros desembarcaram na última estação?
77
9) Ao terminar o primeiro turno do atual campeonato carioca, a classificação dos clubes era a seguinte:
CL NOME PG J V E D GP GC SG 1º Flamengo 31 11 10 1 0 30 8 2º Vasco 27 11 9 0 2 25 13 3º Fluminense 20 11 6 2 3 20 15 4º Botafogo 19 11 5 4 2 22 16 5º Itaperuna 16 11 4 4 3 12 8 6º Americano 14 11 4 2 5 7 9 7º América 13 11 3 4 4 12 13 8º Bangu 12 11 3 3 5 16 15 9º Volta Redonda 10 11 2 4 5 6 12
10º Barreira 8 11 2 2 7 7 22 11º Madureira 7 11 2 1 8 8 19 12º Olaria 6 11 1 3 7 13 28
Legenda: CL = Classificação; PG = Pontos Ganhos; V = Vitórias; E = Empates; D = Derrotas GP = Gols Pró; GC = Gols Contra; SG = Saldo de Gols a) Complete a coluna do saldo de gols 10) Dê os valores que devem ser colocados no lugar dos literais (Números representados por letras) de modo a tornar verdadeira cada sentença. a) 5-x = 3 b) 10 + x = 7 c) –6 + x = 12 d) 0.3 – x = 1.5 e) 11) João Carlos tomou o elevador no 3º andar. Subiu 4 andares e depois desceu 5. Resolveu
uns probleminhas e voltou a subir 10 andares. Agora ele quer ir para o andar de onde saiu. O que ele deve fazer? Subir ou descer? Quantos andares?
35
32 −=− x
78
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.7 - A Temperatura Temperatura. Que coisa é essa?
“ É possível que você já tenha ouvido algumas pessoas dizerem que ‘temperatura é uma medida de calor do corpo’ . Esta afirmativa, entretanto não é correta. A temperatura é um número usado para traduzir o estado de ‘quente’ e de ‘frio’ de um corpo.
Na superfície terrestre, as temperaturas, registradas muitas vezes em graus Celcius, variam de região para região. No Brasil, que é um país tropical, as temperaturas médias ficam em torno de 25ºC durante o ano. Porém, em algumas regiões do sul do país, no inverno são registradas temperaturas abaixo de 0ºC.
Nas regiões vizinhas aos pólos – Antártica, no hemisfério Sul; Alasca, Groenlândia, norte do Canadá e Sibéria, no hemisfério Norte – as temperaturas registradas chegam a variar entre 30ºC e 50ºC abaixo de zero. A menor temperatura registrada até hoje foi de 88.5ºC abaixo de zero, na Antártica. Dizemos que as temperaturas acima de zero são positivas e as abaixo de zero, negativas. 1)Numa noite de inverno a temperatura em São Paulo chegou a 5º centígrados e em Porto Alegre era de apenas 2º. Se durante a madrugada a temperatura baixasse três graus, qual seria a temperatura nestas capitais? 2) Sabe-se que em algumas cidades dos U.S.A. a temperatura costuma estar abaixo de zero.
Certo dia a temperatura de Nova Yorque chegou a dez graus centígrados abaixo de zero, enquanto que em Nova Jérsei chegou a oito graus abaixo de zero.
a)Como você escreveria numericamente as temperaturas destas duas cidades? Nova Yorque Nova Jérsei b) E qual seria a temperatura destas cidades se fizesse mais frio e a temperatura baixasse: a) 3º b) 5º c) 10º d) 4º e) 1º f) 3º g) 15º h) 2
79
c) Como fez para responder os itens? 3) Durante uma repentina onda de frio, a temperatura baixou dois graus no primeiro dia,
no seguinte, mais 5 graus, e no terceiro dia, outros 6 graus. Quanto baixou a temperatura no final dos três dias?
4) Os físicos e engenheiros trabalham com algumas “ temperaturas notáveis” , uma destas é
a da mistura frigorífica (NaCl + gelo) cuja temperatura é de –21ºC. Como se lê esta temperatura?
5) Um termômetro está marcando –2 graus. Se a temperatura subir cinco graus, quantos
graus marcará o termômetro? 6) Complete a tabela abaixo:
CIDADES MÍNIMA MÁXIMA DIFERENÇA ENTRE AS TEMPERATURAS
Rio de Janeiro 15 40
Salvador 21 28 São Paulo 7 18 Brasília 12 25 Manaus 23 32 Recife 15 40 7) Represente na reta abaixo a temperatura mínima de cada cidade em ordem crescente.
80
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.8 - UM SIGNIFICADO PARA RAZÕES NEGATIVAS 1) Desenhe um triângulo qualquer no centro desta folha, com a base paralela ao rodapé desta folha, e um ponto no prolongamento situado a 2 cm do vértice direito do triângulo. Chame este triângulo de figura 1. a) Efetue uma homotetia de razão 2 sobre a figura 1 encontrando a figura 2. b) Efetue uma homotetia de razão –2 sobre a figura 1, encontrando a figura 3. 2) Desenhe uma figura qualquer. Efetue sobre ela uma simetria axial, uma translação e uma homotetia. Planeje todos os seus passos pois todas as figuras devem ficar dentro deste papel.
81
3) Fazendo sobre a casinha as transformações pedidas, desenhe as novas figuras. a) Fig. A obtida por uma homotetia de razão 3 em relação a P. b) Fig. B por uma homotetia de razão –2 (razão negativa) c) Fig. C por uma simetria em relação ao ponto P. - Calcule as áreas de cada uma das figuras. - Descreva o que aconteceu em cada transformação. - Em cada figura calcule o comprimento da base da “ casinha” .
82
P
•
3
2
5 7
1
83
4) O que seu grupo concluiu sobre o significado das razões negativas para as homotetias? Escrevam aqui um breve relato de suas conclusões. 5)Desenhe a figura A’ B’ C’ , obtida pela homotetia de razão (-2) e ponto fixo F. a) Determine o perímetro da figura ABC. __________________________________________________________________________ b) Determine o perímetro da figura A’ BC’ . __________________________________________________________________________ Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.9 - Jogo do Descarte 1) Número de jogadores: poderá ser jogado por 3 ou 4 participantes. 2) Material: • no caso de 3 participantes, entram em jogo 9 cartas de um baralho comum, escolhidas
aleatoriamente dentre as cartas de 2 a 9, sendo 5 pretas e 4 vermelhas ou 4 pretas e 5 vermelhas.
• no caso de 4 participantes, entrarão em jogo 12 cartas, sendo 6 vermelhas e 6 pretas.
3) Regras: O jogo consta de pelo menos duas partidas. Ganha o participante que primeiro ganhar duas partidas; ou então aquele que totalizar mais pontos nas duas partidas (regra alternativa).
1ª partida:
De início, embaralham-se separadamente as cartas vermelhas (que representam pontos negativos) e as pretas (que representam pontos positivos). Dá-se uma vermelha e uma preta para cada um dos participantes. Mistura-se as cartas restantes e distribui-se uma nova carta a cada jogador. Sorteia-se a ordem em que cada um vai jogar. Na primeira rodada, cada jogador informa seu total de pontos e, em seguida, descarta uma carta vermelha e diz seu novo total de pontos (todos devem conferir mentalmente, para ver se o colega blefou). Na segunda rodada,
A
B C
84
cada aluno descarta uma carta preta e diz seu novo total de pontos, mostrando a carta que restou em sua mão. Ganha a partida quem terminou com o melhor resultado.
2ª partida:
Procede-se como na primeira.
Fichas individuais de registro de cada partida.
Primeira Partida
Nº de Pontos Cálculo Colocação Início da Partida
Após o primeiro Descarte
Após o segundo Descarte
Segunda Partida
Nº de Pontos Cálculo Colocação Início da Partida
Após o primeiro Descarte
Após o segundo Descarte
Resultado geral das duas partidas 1ª ___________________________________ 2ª ___________________________________ 3ª ___________________________________ 4ª ___________________________________
Para Pensar E Trocar Idéias No Grupo:
1) Durante o jogo do descarte Bia anotou no caderno: ( 2 ) - ( 3 ) = ( ...... ) Total inicial Descarte Novo total O que vocês entenderam da anotação? Discutam ! Escrevam qual deve ser o novo total.
2) No mesmo grupo, Ari anotou: ( 5 ) - ( ..... ) = ( 9 ) a) Você é capaz de descobrir a cor da carta descartada que deve completar o cálculo de Ari? b) Complete esse cálculo.
85
3) a) No registro feito abaixo você descobre rápido a cor da carta descartada ? Explique ! b)Complete o registro.
+ + ( 2 ) - ( ..... ) = ( 6 ) Pontos antes do descarte Descarte Novo nº de pontos 4) Complete os cálculos que representam “ descartes” . + - - + a) ( 7 ) - ( 1 ) = b) ( 1 ) - ( 2 ) =
+ + - - c) ( 3 ) - ( 4 ) = d) ( 10) - ( 7 ) =
5) Complete:
- + + + + + a) 5 - .........= 3 b) 6 - ..........= 8 c) 8 - ........ =
6) Sobre o Jogo do Descarte, um grupo de outra turma fez as seguintes anotações:
Júlia Nº de Pontos Cálculo Colocação Início da Partida
(+7)+(-3)+(-4)
Após o 1º Descarte
0 - (-4)
Após o 2º Descarte
Gustavo Nº de Pontos Cálculo Colocação Início da Partida
(-5)+(+2)+(-1)
Após o 1º Descarte
........ - (-5)
Após o 2º Descarte
Sérgio Nº de Pontos Cálculo Colocação
Início da Partida
(-10)+(-1)+(+7)
Após o 1º Descarte
Após o 2º Descarte
86
a) Complete os quadros e escreva o nome do vencedor e o seu total de pontos: ________________________________________________________________________ 7) Um outro grupo iniciou um esquema diferente da tabela para anotar os resultados do jogo. a) Decifrem o esquema e complete adequadamente os espaços vazios: Hugo ⇐ 4 ⇐ -(1) ⇐ ............... ⇐ -(1) ⇐ ................ Ana ⇐ 3 ⇐ -(7) ⇐ ............... ⇐ -(2) ⇐ ................ Rita ⇐ 6 ⇐ -(2) ⇐ .............. ⇐ -(12) ⇐ ................ b) Hugo escreveu os seguintes cálculos: (4) – (1) = ________; (.........) – (1) = ________ c) Escreva os cálculos relacionados com os esquemas de Ana e Rita Ana: _____________________________________________________________________ Rita:______________________________________________________________________ 8) Calculem: a) ( -10 ) + ( +2 ) + ( -5 ) + ( + 11) = _____________ b) 0 - 7 = __________ c) ( -5 ) - ( -1 ) = ___________ d) ( +5 ) - ( -1) = ___________ e) 0 - ( -4 ) = ____________ f) ( -5 ) - ( +1 ) = ____________ g) ( +5 ) - ( +1 ) = ____________ 9) Completem com > , < ou = (-7) - (+2) = (......) ________________ (-7) - (-2) = (......) b) (-1) - (-1) = (......) _________________-2 0 - ( -4) = (.......) __________________ +4 (+5) - (+6) = (......) _________________ (+5) + (+6) = (.......) e) (-2) + (-2) = (.......) _________________ -3
87
3.10 – Mais Atividades Resolva os seguintes problemas observando os dados que se seguem: - saldo bancário: crédito e débito; - localização de andares de um prédio (em relação ao térreo): andares acima do térreo e andares abaixo do térreo; - altitude e profundidade (em relação ao nível do mar); - saldo de gols de uma equipe: saldo de gols a favor e de gols contra. 1) Marcos foi ao banco e verificou que tinha exatamente R$ 500,00 de saldo. Precisou retirar R$ 350,00 para fazer algumas compras. Como se não bastasse, quando chegou em casa lembrou que tinha que pagar uma conta telefônica no valor de R$ 220,00. Como sua conta bancária era especial não se preocupou tanto. Usando as noções de débito e crédito, como ficou a situação bancária de Marcos ? 2) Sr. Castro, um executivo bem sucedido, tinha uma importante reunião de negócios no 25º andar de um prédio de 30 andares em São Paulo, prédio este com pavimentos acima e abaixo do térreo. Chegando na recepção do 25º andar informaram-no que a reunião havia sido transferida para 12 andares abaixo daquele, sendo que o elevador do prédio estava com defeito. Sr. Castro, como era um homem muito bem humorado, não se importou e se dirigiu ao novo andar de destino. Lá chegando, a recepcionista lhe disse que como se tratava de uma reunião sigilosa, resolveram transferí-la para 15 andares abaixo daquele que se encontravam. Sr. Castro, já aparentando um certo ar de cansaço, sem reclamar lá se foi . Quando lá chegou, encontrou outros membros da reunião que já se dirigiam para 8 andares acima daquele, pois o ar condicionado estava com defeito e, com o calor que estava fazendo, resolveram ir para uma sala refrigerada. Depois de tanto “ sobe e desce” em que andar o Sr. Castro foi parar? Considerando os degraus que ele subiu e desceu, por quantos degraus ele passou, sabendo-se que cada andar contém 19 degraus? 3) Uma equipe de futebol participou de um torneio que aconteceu de segunda à sexta de uma semana. Na segunda-feira a equipe marcou 25 gols. Na terça marcou 11. Já na quarta sofreu 19 gols. Como parecia que a sorte não estava do lado da equipe, na quinta sofreu 18 gols. No último dia conseguiram marcar 5 gols. No final do torneio qual foi o saldo de gols da equipe? Escreva a expressão numérica do problema.
88
4) Numa certa região da Europa a temperatura varia muitas vezes durante o dia. Logo pela manhã faziam 15º . Quando já ia se iniciando a tarde a temperatura subiu 22º . Já no final da tarde sofreu uma queda espantosa de 30º . À noite a temperatura caiu mais 10º . Indique a temperatura daquela região nesse instante. 5) Dona Marta, uma professora muito ambiciosa, só pensava em gastar dinheiro. Quando recebia seu pagamento mal conseguia dar aula, imaginando o que iria comprar, onde iria comprar e quantas coisas iria comprar. Como se não bastasse, lecionava Matemática, e até os problemas que propunha aos alunos eram baseados em compras e gastos. Num determinado dia resolveu comprar uma jóia que custava R$ 1.245,00. Verificando seu saldo bancário constatou que havia apenas R$ 220,00 e ainda faltavam 15 dias para receber seu próximo pagamento. Totalmente inconformada lembrou que sua conta era especial e lhe fornecia um limite de R$ 1.100,00. Sabia que se por acaso passasse desse limite, ficaria devendo ao banco e ainda enfrentaria juros. Sem pensar muito, foi a joalheria, passou um cheque e comprou a cobiçada jóia. Saiu da loja satisfeita e realmente saciada, pois mais uma vez não conseguiu conter sua ânsia de gastar. Pergunta-se:
a) Como ficou a situação bancária da professora Marta?
b) Sem considerar os juros bancários, o que deveria ser feito para normalizar sua conta?
6) João Carlos tomou o elevador no 3º andar. Subiu 4 andares e depois desceu 5. Resolveu uns probleminhas e voltou a subir 10 andares. Agora ele quer ir para o andar de onde saiu. O que ele deve fazer? Subir ou descer? Quantos andares? 7) Responda as perguntas:
a) Quem anda mais para chegar ao térreo, uma pessoa que está no 4º andar do sub-solo ou uma pessoa que está no 4º andar de um edifício?
b) Quem sente mais calor, uma pessoa que está em um local onde o termômetro marca 2º C (leia-se: dois graus Célsius) ou uma pessoa que está em um local onde o termômetro marca -2º C?
89
c) Ao meio dia a temperatura na cidade do Rio de Janeiro era de +28º C e às 23h e 30 min do mesmo dia era de +19º C. Qual a variação de temperatura neste intervalo de tempo? d) Complete a tabela abaixo:
Nasceu Morreu Viveu 1934 d.C 1990 d.C.
1134 d.C. 67 anos 34 a.C. 23 d.C. 234 a.C. 188 a.C. 657 a.C. 78 anos 23 D.C. 67 anos
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.11 – O Número Negativo O número negativo só foi aceito a partir do século XV, na época da descoberta da América e do Brasil. Até os gregos que eram grandes pensadores e que deram um desenvolvimento extraordinário à Geometria, não conheciam o número negativo. Alguns matemáticos hindus, no século VII deram regras de sinais para operações com esses números e diferenciava-os escrevendo um pequeno círculo ou um apóstrofo sobre eles. Outros davam-lhes a interpretação de perda ou dívida. Mas, apesar disso tudo os números negativos não eram considerados como número. “ Os pobres coitados eram realmente discriminados, mas não desistiram de lutar pelos seus direitos, afinal de contas queriam ser reconhecidos como cidadãos no mundo dos números” . Depois de tanta luta, Fibonacci (matemático italiano que viveu de 1170 a 1250) escreveu a primeira obra de Álgebra composta por um cristão, naquela época. Nessa obra Fibonacci adotou os números negativos como números e não como absurdo ou ovelha negra do reino dos números. Quando interpretou a resposta negativa de um problema que pedia lucro de um comerciante, Fibonacci afirmou: “ Este problema não tem solução a menos que interpretemos a dívida como sendo um número negativo” . Assim, passo a passo, os números negativos foram sendo aceitos como números, mas somente no século XVI é que eles deixaram de ser um absurdo e hoje ocupam seu devido lugar na MATEMÁTICA.
A RETA NUMÉRICA
1) Represente na reta numérica abaixo os números inteiros dados: -3, -7, +5, -1/2, +2, -1, -5/2
0 1
90
2) Olhe com atenção os números marcados na reta graduada. a) Escreva os números nos quadrinhos correspondentes aos pontos assinalados. b) Marque os pontos que correspondem a : +1/3, +2, -1,5 , +3/2 3) a) Observe o tamanho da unidade usada para graduar a reta abaixo. Represente na reta
abaixo os seguintes números: -1½ ; 1/10 ; -1/5 ; ½ ; 3/2 ; 6/10; 11/10 ; -0,8 ; 1,5 ; 0,1 ; 13/10 b) Escreva em ordem crescente esses números 4) a) Você deve representar na reta graduada os números: 0, -1, +1, 1/6, -1/3, +3/2, -7/6, -1/5 e +2/3 Obs. : Você escolhe o tamanho adequado da unidade para mais facilmente localizar cada n.º na reta. b) Escreva em ordem crescente esses números: _________________________________ __________________________________________________________________________ 5) Na reta numérica a distância entre dois pontos consecutivos é constante.
0 1
0
-2 -1 0 1 2
D C A E B
+1 0
91
• Escreva o n.º racional que cada ponto corresponde na reta. a) A ⇐ b) B ⇐ c) C ⇐ d) D ⇐ e) E ⇐
92
• Escreva uma fração, com denominador 12, equivalente ao número racional representado pelo ponto D do item 1.
6) Represente na reta abaixo: -1/2; +1; -1/3; +1/4; -2/5; +0.75; -0.6 7) Fazendo sobre a casinha as transformações pedidas, desenhe as novas figuras. Fig. A obtida por uma homotetia de razão 3 em relação a P. Fig. B por uma homotetia de razão –2 (razão negativa) Fig. C por uma simetria em relação ao ponto P. Calcule as áreas de cada uma das figuras. Descreva o que aconteceu em cada transformação. Em cada figura calcule o comprimento da base da “ casinha” .
0
93
Grupo de alunos:_________________________________________________________
3.12 – Multiplicação de Números Relativos 1) Faça para a figura abaixo a composição de homotetias expressa pelo esquema abaixo e encontre a razão da homotetia que leva AB diretamente a A” B” :
21
AB A’ B’ A” B” r =
A
B
F
r= r= 4
94
2) Faça a homotetia de razão –½ sobre ABCD. a) Destaque a figura A’ B’ C’ D’ b) Faça a homotetia de razão (-4) a partir de A’ B’ C’ D’ ainda com ponto fixo F. c) Destaque a figura A’ ’ B’ ’ C’ ’ D’ ’ . d) Complete o esquema dado para representar a composição das duas homotetias. Qual é a
razão que permite obter A’ ’ B’ ’ C’ ’ D’ ’ a partir de ABCD? 3) Efetue as composições de homotetias segundo os esquemas abaixo e encontre a razão da composição.
a) 21
IJ I’ J’ I” J” r =
I
J
F
F
A B
D
C
r= r=3
95
b) r = - 2 r=-3 LM L’ M’ L” M” r = c) r = -1 r= -3 NO N’ O’ N” O”
r = d)
M
L F
F . N
O
F . Q
P
r = -2 r = 31
PQ P’ Q’ P” Q” P’ ” Q’ ”
r =
r = 21−
96
4) Elabore uma composição de 4 homotetias na qual r1 e r3 são positivas e r2 e r4 são negativas. Escolha a sua figura inicial (vetor AB) e o ponto fixo. Monte o esquema desta composição, determine as figuras homotéticas e apresente a razão da homotetia que leva diretamente a primeira figura à última. Faça GRANDE, COLORIDO e COM RÉGUA, em uma folha a parte que seu professor distribuirá. Reproduza o esquema da composição aqui. 5) Desenhe os triângulos ABC e PQR e em seguida mostre a composição das duas homotetias nas duas situações: a) Figura (ABC) Figura A’ B’ C‘ Figura (A’ ’ B’ ’ C’ ’ ) b) Figura (PQR) Figura (P’ Q’ R’ ) Figura (P’ ’ Q’ ’ R’ ’ )
c) Escreva a medida do menor lado das três figuras de cada situação.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
d) Complete os esquemas acima com a razão da homotetia composta 6)Escreva o cálculo correspondente a cada composição de homotetias. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
X(-½ )
X(-1/3) X(+½ )
X(-½ )
97
7) Invente você uma nova composição de duas homotetias de razões fracionárias. Desenhe as figuras e escreva o cálculo correspondente. 8) Faça para a figura abaixo a composição de homotetias expressa no esquema dado: AB A’ B’ A’ ’ B’ ’ X (.........) 9)Usando a composição de homotetias de foco no ponto F sobre o ponto S, mostre qual é o resultado da multiplicação (-1/3)x(+1/3)
A
B
F
F S
X(-½) X(-4)
98
10) Faça a composição de homotetias de centro F, descritas pelo esquema a seguir: Fig. ABCDE Fig. A’ B’ C’ D’ E’ Fig. A’ ’ B’ ’ C’ ’ D’ ’ E’ ’ X(......) a) Complete: medida de FE = .............; medida de FE’ = ...........; medida de FE” = ............ b) Complete o esquema acima com a razão da composta e escreva o cálculo que envolve as
razões das três homotetias que aí aparecerem.
D
c) Se você fizer a composição de duas homotetias de razões (-2) e (-1), qual será a razão da
composta? Explique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) O mesmo para as razões (-1) e (+1/2) ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
B
C
C’’
A�B’’
A’’
E’’
D’’
E
A’ C’
B’
D’
E’
X(-1) X(-½ )
99
e) Explique com suas palavras o que entendeu a partir do trabalho com a composição de duas homotetias. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11)Faça uma composição com os quadrados Q, Q1, Q2, Q3, sendo Q1, Q2, Q3 quadrados encontrados pelas homotetias de razões: -2, -1, -½ respectivamente a outros A, B, C respectivamente.
12) Efetue a composição de homotetias de acordo como o esquema abaixo: a) Fig. ABC x (-2) Fig. (A’ B’ C’ )x(-3) Fig. (A” B” C” )
x ( )
C D
A B
C
A B F
100
b) Fig. (RST) x(-1) Fig.(R’ S’ T’ ) x(+4) Fig. (R” S” T” ) X( )
Grupo de alunos:__________________________________________________________
3.13 - Operações com Relativos 1) Escreva o que você entendeu sobre subtração de números relativos. Explique como se faz para efetuar a subtração. Você pode dar exemplos. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Complete cada esquema com os números que faltam nos cálculos. a) b) 3) As letras a, b e c representam números inteiros diferentes entre si. Ache todos os possíveis valores de a, b e c, tal que a–b-c = -12. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+(-3) +2 -7 x 2 5,4 -3
R
S
F
P
101
4) Quantos números inteiros tem módulo menor que 10? ____________ 5) O valor da expressão [2 - (1/3 - ½ )] 2 : [(1/6 - ½ ) x 4/5] é _____________ 6) Determine o inverso de: a) 2/5 b) 0,12 7) Calcule: a) (-1/2) x (-4) = c) (-23) x (-5) x (-1) x (-4) = b) (-2) x (+50) = d) ½ x (-3) = e) (-0,2) x 100 = 8) Qual o quociente entre o menor elemento do conjunto A = {-12,-8,-14,-7,-9} e o simétrico de 6? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) Escreva quatro multiplicações de dois números inteiros relativos onde o resultado seja sempre 10. (Obs: 1ª : 10 = +10. 2ª . Não vale trocar apenas a ordem dos fatores). ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10) Nas séries anteriores você aprendeu a multiplicar dois números naturais, dois números fracionários e também dois números decimais. a) Escreva uma multiplicação para cada um dos três casos citados. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Explique agora o que aparece de novo se tenho que multiplicar um par de números
relativos, sejam eles inteiros, fracionários ou decimais acompanhados de um sinal. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11) Calcule: a) (-6) x (-3) = b) (+2) x (-1/2) = c) (-1/2) x (-1/2) = d) (-3,2) x 3 = e) (-7) – (+3) = f) (-5) – (+8) = 3 g) –6 + 8 – 10 + 4 + 10 = h) –2/7 + 1/7 = i) 10 + 2 x (-5) =
102
12) Complete: (Obs: -x significa << o oposto de x >>)
a) O oposto de –2/3 é ________ b) –(+8) = ________ c) + (±5) = _______
13) Se lhe informam: • a e b representam números; • a>b; • a = b a) Dê três pares possíveis de números que possam substituir a e b. __________________________________________________________________________ 14) Para que a divisão permaneça a inversa da multiplicação complete as frases abaixo: a) Se (-7) x (-10) = +70, então (+70) : (-7) = ______ b) Se (-6) x (+3) = -18, então (_____) : (_____) = ______ c) Se (-15) x (-2) = _______, então ______ : ______ = _______ d) Se (+1/4) x (-2) = _______, então _______ : _______ = ________ 15) Efetue as expressões abaixo. a) 17- {10 - [3+5.(-2)] } = b) –20 – 6 x [(-1) x (100-30-100)-8-10x4] = 16) Calcule: [1/2 x (-3/2)²-(-1/2)³] -² 17) Coloque em ordem crescente todos os nos positivos e negativos de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 0, 1 e 3. Some-os. 18) Calcule: a) (-7) + (-2,4)= ______________ b) 11 + (-18) = ________________ c) –0.75 + 0.8 – 2 – 0.3 = _________________ d) (-2) – (+16) ___________________ e) 4.5 – 10.8 = __________________ f) (-3) – (-7) = ____________________ g) –7/8 + 5/6 = __________________ h) 1/3 x 2/5 – 3 x ½ = ______________
103
19) Apresente uma situação que justifique a regra: “ PARA SOMARMOS OS NÚMEROS INTEIROS DE SINAIS DIFERENTES, SUBTRAÍMOS SEUS MÓDULOS E COLOCAMOS O SINAL DAQUELE QUE POSSUIR MAIOR MÓDULO” (Explique Bem!!). ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Grupo de alunos:_________________________________________________________
Mais Atividades Atividade 1 : mais sobre operações com inteiros 1) Encontre o resultado da adição de todos os números inteiros de –50 até 60. Indique seu
cálculo. 2) Um jogo de buraco teve as seguintes anotações:
Nós Eles -110 200 500 300 100 -200 230 -20 -80 440
a) Calcule a soma dos pontos, para cada dupla.
b) Se o jogo parasse na terceira rodada quem ganharia?
3) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) 3-100+47+1-8-250 =
b) 45- (-4)+38- (+76) –45 =
c) –2+4 x (-7) =
d) 3 x (-5) – (-4) x (-8) =
e) 100 - [-8 x (-3+10)] =
f) - 4 x {40 - [10-(-5 x 3+7)] } =
104
4)Calcule: a) b) 5) Use >, = ou < nas sentenças abaixo: a) -1 ______ -5 c) –3/8 ______ -1/2 e) 1/3 ______ 0,3 b) 2,4 ______ 23/9 d) –6 ______ +3 f) -4 ______ +4 6) Coloque em ordem decrescente: -1; 2.5 1/3; -2/4; 0.6; -21/8; 1.9; -4/5 7) Efetue: a) –2458 – (-1293) = ___________ b) (-63) + 45 + (-11) + (-38) + (+96) + (+81) = _____________ c) 135 – 421 = ___________ d) –3561 – 756 = ____________ e) 85 + 36 + (-61) + (-14) + (-36) + 101 + (+12) = ______________ 8) Numa partida do jogo MATTIX cada elemento do grupo obteve os pontos registrados abaixo. Preencha o quadro com o total de pontos e a classificação de cada um.
JOÃO JOSÉ CARMEM LÚCIA 1ª RODADA -7 0 -1 -3 2ª RODADA +4 +7 -4 +6 3ª RODADA -1 -5 +4 +1 4ª RODADA -2 +3 +1 -7 TOTAL ∧ CLASSIFICAÇÃO Considerando a tabela da questão anterior, responda: a) Na primeira rodada, quantos pontos Carme fez a mais que João? Cálculo: (_______) – (_______) = ________ b) Na Quarta rodada, quantos pontos Lúcia fez a menos que José? Cálculo: (_______) – (_______) = ________
=−
−
34
25,01,0 23
2 5,056
16925,1 ÷���
�
���
���
�
�+−
105
9) Um jogo de cartas bem conhecido é o buraco (se você não conhece, pergunte ao professor). João e Carlos formaram uma dupla e passaram a tarde jogando com os amigos Juan e Ricardo. Eles escreveram os pontos obtidos em cada rodada na tabela abaixo. A partir da tabela responda:
Nós Eles 120 -40 -10 100 240 -70 -210 50 300 400
a) Qual o total de pontos de cada dupla? __________ b) Que dupla venceu? __________ c) Qual foi a vantagem de pontos da dupla vencedora? ____________ d) Escreva a operação que representa a situação da pergunta anterior ____________ 10) Efetue: a) 45- (-4) + 38 –(+76) – 45 = b) 1 - {70 + 35 - [-12 – (-6 + 4)] } = 11) Responda: a) Quais os números inteiros que têm módulo menor que 3? ____________ b) Qual o oposto do oposto de – 10? ___________ c) Quantos números inteiros possuem módulo maior que 6 e menor que 12? __________ d) Qual a distância entre +7 e o oposto de +3 na reta numérica? ____________ e) Qual o valor absoluto de +14? _____________ 12) Calcule: a) -2 + 4 - 7 = _______________ b) -110 = ________________ c) A distância entre o simétrico de 13 e o simétrico de –2 ______________ d) O oposto do oposto de 5 _______________
106
13) Resolva as expressões: a) 0.001 – (0.002 – 0.2) – 0.4 = b) c) 7-(-1/2)x(-10/3)= d) –2:(+4/3)+(+4/25):(-8/15)= e) (-5/4)x(+5)-(-6/5):(-2/25)= f) (3-3/4)x(1/5-5) g) 14) Observe com atenção as operações indicadas e então encontre o resultado a) (-2) x (-10)= b)1/2 x (-2/3)-3/6 x (-4/6)= c) (-10) x 5,36= d)(-120) : (-4)= e) 5 – 3 x (-4)= f) (-8) + (-6) +(-4) +(-2) +0 + 2 + 4 + 6= g) (-5) – (-9)= h) –2/5+1/2=
=−05,0
1,02,0
=−
−
51
232
107
15) Encontre o maior número par entre 100 e 200 que é, ao mesmo tempo, divisível por 3 e 5. Justifique a resposta.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16) Escreva quatro multiplicações de dois números inteiros relativos onde o resultado seja
sempre 10. (obs: 10 = + 10, não vale trocar apenas a ordem dos fatores) ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 17) Nas séries anteriores você aprendeu a multiplicar dois números naturais, dois números
fracionários e também dois números decimais. a) Escreva uma multiplicação para cada um dos três casos citados ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Explique agora o que aparece de novo, se tenho que multiplicar um par de números
relativos, sejam eles inteiros, fracionários ou decimais acompanhados de sinal. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 18) Calcule: a) (-6).(-3)=__________________ b) (-1/2).(-1/2)=___________________ c) (-7)-(+3)= __________________ d) (-6+8-10+4+10)= _________________
e) (+2).(-1/2)= _____________________ f) (-3,2).3= ________________ g) (-5)-(-8)= ________________ h) (-2/7+1/7)= ________________
19) Complete: (Obs: - x significa “ o oposto de x” ) a) O oposto de –2/3 é ______________ b) –(-8)= ________________ c) –(+5)= ________________
108
20) Se lhe informam: a) a >b; b) �a�=�b� Dê três pares possíveis de números que possam substituir a e b ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 21) Escreva o que você entendeu sobre subtração de números relativos. Explique como se faz para efetuar a subtração. Você pode dar exemplos. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22) Calcule: a) 3,02 : (-10)= _____________ b) (-7 + 5 – 10 + 7 - 1) : (-12)= ________________ c) 4/5-9/10= ____________________ d) (-2/5).(-1/2)= _________________ e) (-8)-(-6)= _________________ f) (3 - 0,4) - (-7 + 0,06 : 3)= ___________________ g) –1/2 - 1= __________________ 23) Complete com a operação inversa: a) Se –0,02 x 10 = ______________ então ____________________ b) Se (-8,3) + (-0,7) = _____________ então ___________________ 24) Calcule: a) (-1/2) x (-4) = ________________ b) (-2) x (+50) = _________________ c) (-2) x (-5) x (-1) x (-4) = _________________ d) (-0,02) x 100 = _____________________ e) (-3) x ½ = _______________________ 25) Encontre o resultado para as expressões numéricas abaixo: a) – 4 - 12 + 25 - 10 - 13 = __________________ b) 0,4 – 3/2 +0,3 + 2/5 = ____________________ c) 45 – 260 – 54 – 310 = ____________________
109
26) Calcule: a) (-7) + (-2,4) = _____________ b) 11 + (-18) = ______________ c) – 0,75 + 0,8 – 2 – 0,3 = ___________________ d) ( - 2) – (+16) = ______________________ e) 4,5 – 10,8 = ___________________ f) (-3) – (-7) = __________________ g) –7/8 + 5/6 = ____________________ h) 1/3 x 2/5 – 3 x ½ = ___________________ 27) Complete cada esquema com os números que faltam nos círculos. 28) Virgínia, Isaura e Ignez participam de um jogo com um dado de 20 faces, numerados de 1 a 20. Elas obedecem as seguintes regras: “ Ganham o dobro dos pontos dos lances ímpares e perdem o triplo dos pontos dos lances pares” . Após três rodadas elas tinham formado a seguinte tabela: Lances Nome
1º
2º
3º
4º
Total
Ignez 5 20 13 Isaura 7 18 9 Virgínia 9 12 17 a) Qual a colocação de cada jogadora após o terceiro lance? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Quantos pontos deve obter Isaura no quarto lance para ficar com (+2) pontos? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) É possível Virgínia ficar com “ zero pontos” após o quarto lance? Por quê? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Que valores Ignez deve obter no quarto lance para Ter um total positivo? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
+ (-3) + 2
X 2 -3
2,85
-6
110
e) Encontre um valor, para cada jogador obter no quarto lance, de modo que a classificação final seja:
1º - Ignez 2º - Virgínia 3º - Isaura 29) O “ jogo do descarte” foi jogado por um grupo de 3 alunos: Elisa, João e Lígia. Porém
cada um iniciou o jogo com 5 cartas, obedecendo às seguintes regras: 1º descarte ⇐ carta negativa 2º descarte ⇐ carta positiva 3º descarte ⇐ carta negativa 4º descarte ⇐ carta positiva Elisa iniciou o jogo com as cartas –10, +6, +3, -6, +2. a) Escreva o cálculo feito para obter o total de pontos de Elisa ao iniciar o jogo. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Escreva o cálculo que possa representar o primeiro descarte de Elisa. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) João iniciou o jogo com uma vantagem de 4 pontos em relação a Elisa. Calcule quantos
pontos ele tinha ao iniciar. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Após o primeiro descarte João ficou com um total de +6 pontos. Qual foi a carta que ele
descartou? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 30) Observe com atenção e complete com = ou � a) (-15) + (-28) + (+15) ........... (-15) + (+15) + (+28) b) (+3) – (-5,7) ............ (-5,7) – (+3) c) ξ -7 ξ .............. ξ + 7 ξ d) (-6/10) ............. (+3/5) e) ξ - 4/8 ξ ............ ξ + ½ ξ 31) Complete com o resultado e escreva a adição equivalente a cada subtração: a) ( -1 ) – ( -3) = ............ ∧ .............. + ................ b) ( -6 ) – ( +2) = ............ ∧ .............. + ................ c) ( +2 ) – ( -6) = ............ ∧ .............. + ................
111
32) Calcule: a) 2 – 10 = ............... b) ½ -7/10 = ................ c) (-4,5) + 4 + (-1,62) = .................. d) ¾ - 5/6 = ................. 33) Efetue os cálculos: a) (-4,7) + (+1,7) = ............... b) (-9) + (+12) + (-7) = .................... c) (-38) + (+ 38) = .................... d) (-12,7) + (-0,1) + (-6,28) = ...................... e) (-2) – (-5) = ....................... f) (+3) – (+10) = ..................... g) 0 – (+7) = ................... h) 8 – (-8) = ...................... i) +2 – 5 – 81 + 4 + 17 + 81 – 8 –17 = .................. j) +6 – ( - 4) +6 – 8 – (+12) + 2 – 5 = ................ k) (-4 + 6) x (-8 –2 + 8) – (-5) = ................. 34) Escreva o que você entendeu sobre subtração de números relativos. Explique como se faz
para efetuar a subtração de dois números relativos. Dê exemplos de 4 subtrações. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 35) Escreva uma adição de quatro números diferentes, cuja soma seja (-1) ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 36) Escreva essa mesma adição, usando outra forma de representá-la. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Grupo de alunos:____________________________________________________________
Unidade 4 - Equações
4.1 – CÁLCULO DE EXPRESSÕES COM NÚMEROS RELATIVOS E RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES:
1) Em cada um dos itens abaixo, a letra x representa um número. Descubra este número.
a) x + 9 = - 10 b) 2 . x + 3 = 1
c) 1 / 5 = 1,5 / x d) 10 - x = 15
112
2) Encontre o resultado para os cálculos abaixo:
a) 0,8 - (-0,8) = e) (-30 - 55) × (-20 + 19) : (-2) = b) 0,8 × (-0,8) = c) 1/5 + (-2) × (-1/2) = f) 5,5 : (-5) + 7 × (-3) - 8 = d) (-7) + 5 - 3 - (-10) + 3 + 7 - (-5) =
3) Escreva as operações pedidas e dê o resultado para cada item abaixo.
a) Escreva uma adição de três números negativos e dê o resultado.
b) Escreva uma divisão de dois números negativos e dê o resultado.
c) Escreva uma subtração de dois números negativos, cujo resultado seja positivo.
4) Em cada um dos itens abaixo, a letra x representa um número. Descubra este número.
a) x + 4 = - 6 b) 3 . x + 2 = 2 c) 1 / 10 = x / 2,3
d) 20 - x = 30 e) 0,7 : x = - 1 f) ( - 4 ) . ( x - 2 ) = 20
g) x + 3/5 = 2/3 h) x : ( - 3 ) + 2 = - 1
113
5) Encontre os resultados para os cálculos abaixo:
a) ( - 807,9 ) + ( - 5,06 ) + ( + 807,9 ) = e) 0,9 - ( - 0,9 ) =
b) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++−+− 7
178 4848
f ) ( - 10 ) - ( + 10 ) =
c) -78 - 6,5 + 78 + 130 + 6,5 - 130 = g)
43 .
−��
��
45 =
d) - 4 + 4 . ( )− 14 = h) ( - 409 ) : ( + 409 ) =
6) Complete com = ou ≠ : Justifique sua resposta para os itens d), e), f), g), e h). a) - 6 - 8 ..... ( - 6 ) - ( - 8 ) b) - 6 - 8 ..... ( - 6 ) + ( - 8 ) c) (- 408) x 1 x 1 ..... ( - 408 )
d) ( ) ( )− +2 24 4........
e) ( ) ( )− +10 103 3......... f) (-6 ) - ( +10 ) ......... ( -6 ) + ( - 10 )
g) (- 3 ) : 4 ....... ( -3 ) . 14
h)
56 .
65 ........ - 10 + 10
i) 5 : 10 ...... 1: 2
114
7) Escreva uma multiplicação de três números negativos e dê o resultado. 8) Escreva a adição equivalente a 4 - ( - 2 ) =
9) Para a expressão dada, faça o que se pede: - 60 - ( - 40 + 10 ) + 2 x ( )− 10 2 =
Escreva o nome de todas as operações, na ordem em que aparecem na expressão. 10) Resolva a expressão abaixo. (Deixe indicada a resolução.)
60 - ( - 40 + 10 ) + 2 x ( )− 10 2 =
11) Para fazer 400 enfeites (todos iguais) para um aniversário, D. Flor gastou 30 m de fita e 12 folhas de papel crepom. Calcule quanto ela usa desses dois materiais para fazer 300 enfeites iguais aos que foram citados. OBS: Deixe indicado o que você fez para chegar à resposta. 12) Escreva um problema envolvendo grandezas proporcionais e resolva-o.
115
13) Complete o Quadro:
a b c a + b a + b + c a - b c - b
-5 6 1
+3 -4 2
-1 5 -3
14) Complete esta nova tabela:
a b c a + b a + b + c a - b c - b
-2 4 3
-4 5 3
-2 -6 -3
2 4 3
15) Localize os números na reta numérica:
-3; 2; -3,5; 1,8; 43
; 0,17; 415
; -1; 310−
e –1,1309
Grupo de alunos:__________________________________________________________
4.2 - Potenciação
1) Usando as propriedades da potenciação, transforme a expressão abaixo em uma só potência:
(-2)7 : [ (-1/2)4 x (-2)7 x (-2)5 : (- ½ )-3]2
2) O número (-2)93 é negativo ou positivo? Justifique. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
0 1
116
2) Escreva numa só potência as expressões abaixo: a) [ 5 : (-3)2 ]10 = b) (1/5)-2 x [1/7)2]-3 x (1/5)-4 c)
3) Complete as igualdades, sempre que for possível com potências.
a) 7 x 7 x 7= ................... b) 105 : 102 = ...................... c) 103 x 10 = .....................
Grupo de alunos:__________________________________________________________
4.3 - RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: LINGUAGEM SIMBÓLICA Resolva os problemas (apresente a representação simbólica e seu desenvolvimento). 1) De uma caixa de bombons, foram retirados 13 e ficaram 27. Quantos bombons havia na
caixa? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) Se Malu colocar mais 12 livros na sua estante vai ficar com 7 dezenas de livros. Quantos
licros Malu tem na estante? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Numa caixa havia 62 botões. A costureira retirou alguns e na caixa ficaram 37 botões.
Quantos botões a costureira retirou? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Daqui a 10 anos Carla terá 23 anos. Qual a idade que Carla tem atualmente? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
=××
−−
−
23
34
24327981
117
5) Seu João tem cheque especial e ultimamente tem gasto mais do que vem recebendo. Qual era o seu saldo bancário se ele ficou com R$350.00 depois que depositou R$2500.00 na sua conta corrente?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6) Paulo viajou para os EUA e foi a um cassino tentar a sorte. Repetia o programa 3 vezes.
Em cada caso responda o que aconteceu com Paulo se: a) Chegou com 20 dólares e saiu com 35. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Chegou com 50 dólares e saiu com 2. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Chegou com 30 dólares e saiu devendo 15 anos aos seu amigo. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7) Resolva os problemas abaixo justificando cada uma das suas respostas, explique através
de cálculos, desenhos ou palavras como pensou para chegar na resposta. a) Pensei em um número, somei 5 e encontrei 11. Em que número pensei? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Pensei em um número, somei 5 e encontrei -6. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Pensei em um número, somei -4 e encontrei 13. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Pensei em um número, somei -6 e encontrei -5. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e) Pensei em um número, subtrai 5 e encontrei 8. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
118
f) Pensei em um número, subtrai -4 e encontrei 7. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Pensei em um número, subtrai -9 e encontrei –12. Em que número pensei? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) O dobro de um número é igual a 18. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ i) O dobro de um número é igual a -26. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ j) O dobro de um número é igual a 15. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ k) O dobro de um número é igual a -59. Qual é esse número? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________ l) A metade de um número é igual a –26. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ m) A metade de um número é igual a 17. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ n) O triplo de um número é igual a 42. Qual é esse número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ o) A soma de um número e seu consecutivo é igual a 23. Quem são esses números? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8) Resolva os problemas (apresente a representação simbólica e seu desenvolvimento). a) A professora de Matemática falou: “ Se ao triplo da minha idade adicionarmos 15 anos, encontraremos 120 anos. Qual é a minha idade?” ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
119
b) Paguei um aparelho eletrodoméstico dando RS45.00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais. Se o preço do aparelho foi RS185.00, qual o valor de cada prestação?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Se subtrairmos 16 anos do dobro da atual idade de vovô Gil, encontraremos 110 anos.
Qual é a idade de vovô Gil? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) Um caderno custa R$1.20 a mais do que outro. Paguei pelos dois cadernos R$8.20. Qual o
preço de cada um? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e) O pai de Carina tinha 42 anos quando ela nasceu. Atualmente, a soma de suas idades é 68
anos. Qual é a idade atual de Carina? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) A soma das idades de Marta e Alice é de 36 anos. Atualmente a idade de Alice é o dobro
da idade de Marta. Qual é a idade de Alice? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Numa eleição com dois candidatos, o eleito obteve 328 votos a mais que seu concorrente.
Sabemos que votaram 1500 pessoas das quais 172 votaram em branco ou anularam o voto. Quantos votos obteve cada candidato?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou 100 cm) em dois pedaços. Um dos pedaços
tem um comprimento igual ao triplo do comprimento do outro. Calcular os comprimentos dos dois pedaços.
i) Ana e Lina têm juntas 13 bonecas. Lina tem uma boneca a menos que Ana. Quantas
bonecas tem cada menina? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ j) A soma de dois números inteiros consecutivos é –143. Quais são os números? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
120
9) Elabore problemas para as equações abaixo: a) a + 15= - 10 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) 50 – 4c = 2 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) 3b – 12 = 42 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8) A diferença de dois números é 165. O maior, é o quadrúplo do menor. Qual é o maior
número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) A soma de três números consecutivos é –75. Qual é o maior número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 10) A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do primeiro e o terceiro é o dobro do
primeiro. Quais são os números? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 11) A soma de quatro números ímpares consecutivos é 56. Qual é o menor número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 12) A soma de três números pares consecutivos é 180. Quais são os números? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
121
13) Márcio nasceu quando Arthur tinha dois anos. Hoje a soma das idades de Márcio e de Arthur é 30 anos. Qual a idade de cada um?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 14) Roger e João têm juntos 27 carrinhos. Roger tem mais 9 carrinhos que João. Quantos
carrinhos tem cada menino? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 15) Reparta 281 em duas parcelas de forma que a diferença entre elas seja igual a 31. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 16) Em três cartelas há 64 botões. A Segunda cartela tem o dobro do número de botões da
primeira e da terceira. Quantos botões tem cada cartela? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 17) A diferença entre os comprimentos dos lados de um retângulo é de 38 cm. O perímetro
desse retângulo é 100 cm. Quanto mede cada lado do retângulo? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 18) A diferença de dois números é 165. O maior é o Quádruplo do menor. Qual é o maior
número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 19) A soma de três números consecutivos é –75. Qual é o maior número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 20) A soma de três números é 150. O segundo é o triplo do primeiro e o terceiro é o dobro do
primeiro. Quais são os números? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
122
21) A soma de quatro números ímpares consecutivos é 56. Qual é o menor número? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 22) A soma de 3 números pares consecutivos é 190. Quais são os números? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 23) Numa turma da 6ª série de um colégio o número de meninos supera o nº de meninas em 8. Quantas meninas há nesta turma se: a) Existem ao todo 42 alunos? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) O dobro do n.º de meninas é igual ao n.º de meninos? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 23) Em um terreno retangular, o lado maior tem 10 m a mais que o lado menor. Se o triplo do
lado menor é igual ao dobro do lado maior, qual o perímetro deste terreno? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 24) Paulo tem mais 10 anos que Julinho. Atualmente, a idade de Paulo é o triplo da idade de
Julinho. a) Qual é a idade de Julinho? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Qual é a idade de Paulo? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) Qual será a idade de Paulo daqui a 5 anos? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
123
Grupo de alunos:_________________________________________________________
4.4 - Balanças e Equações
1) Jogo: as balanças
Na primeira balança; três círculos e um triângulo pesam tanto quanto dois quadrados. Na segunda balança; dois círculos e um quadrado pesam tanto quanto um círculo, um quadrado e um triângulo. Baseado nestas informações, você seria capaz de dizer a quantos círculos corresponde um quadrado?
2) a) Quanto pesa o cubo que aparece no prato esquerdo, sabendo que os dois pratos estão em equilíbrio? (Fig. 3) b) Escreva a sentença matemática que representa tal equilíbrio, representando por c o peso do cubo. 3) a) As moedas que aparecem na balança, têm mesmo peso. Descubra qual o peso de uma moeda. (Fig. 4) a) Chamando de m o peso de uma moeda, escreva a equação que representa tal equilíbrio. 4) a) Descubra o peso de uma moeda sabendo que são iguais os pesos nos dois pratos e que as moedas usadas nesta situação têm todas o mesmo peso. (Fig. 5) b) Escreva a igualdade mostrada pelo desenho, representando por x o peso de uma dessas moedas.
2
1
124
5) a) Sabendo que os dados que aparecem no desenho, todos têm o mesmo peso, você consegue tirar alguma conclusão sobre o peso de um dado? (Fig. 6) b) Posso afirmar que o peso de cada dado não é 5 g? Por quê? c) Posso afirmar que tal peso não é 10 g? Por quê? d) Represente por y o peso de um dado e escreva a sentença matemática correspondente a
esta nova situação.
Fig. 5
5g Fig. 3
15g
2g
Fig. 4
20g
1g
Fig. 6 22 g
125
6) Somando 4 ao dobro de minha idade, o resultado dá 100 anos. a) Calcule a minha idade ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) Use uma letra qualquer para representar a minha idade e escreva a sentença matemática
correspondente à questão apresentada. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7) Encontre os números que x, y, z, t e n estão representando, de modo que sejam verdadeiras as igualdades abaixo. a) 3.x = 600 b) y + 10 =1 c) z – 1,3 = 6,42 d) t/2 = -5 e) ( n + 2) : 6 = 0,5 8) Somando 4 ao dobro de minha idade, o resultado dá 100 anos. a) Use uma letra qualquer para representara minha idade e escreva a sentença matemática
correspondente à questão apresentada. Calcule a minha idade. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Mais Atividades Grupo de alunos:_________________________________________________________ Atividade 1 : AS CRIANÇAS E A BALANÇA
O avô de Carlos e Marta é feirante e deu para os netos brincarem uma balança antiga, destas que possuem dois pratos.
As crianças aproveitando peças de outros brinquedos (cubos, potinhos, fichas...) ficaram horas mexendo com a balança. Elas idealizaram o seguinte jogo: • Cada criança criaria uma situação desafio para a outra; • Fichas de plástico iguais seriam adotadas como UNIDADE DE MEDIDA DE MASSA;
126
• Nos pratos da balança colocariam as fichas e o objeto a ser pesado em quantidades diferentes de modo que a balança ficasse equilibrada;
• A criança desafiada deveria manipular as peças de maneira a obter o peso do objeto usando a ficha de plástico como unidade. OU seja, em um dos praptos apenas 1 objeto deveria permanecer e no outro somente fichas, com a balança equiliibrada.
1) Para cada situação abaixo faça o desenho da balança com as peças e escreva passo a passo, como a criança desafiada deveria agir para vencer o desafio.
I)
PRATO 1 1 CUBO E TRÊS FICHAS PRATO 2 12 FICHAS
II)
PRATO 1 2 CUBOS PRATO 2 18 FICHAS
III)
PRATO 1 1 CUBO E 9 FICHAS PRATO 2 2 CUBOS
IV)
PRATO 1 3 CUBOS E 2 FICHAS PRATO 2 1 CUBO E 20 FICHAS
V)
PRATO 1 3 CUBOS E 10 FICHAS PRATO 2 2 CUBOS E 19 FICHAS
2) Responda: a) Que representação simbólica podemos dar às situações de equilíbrio acima? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) A partir desse equilíbrio, antes de encontrar a massa do cubo, que outras equivalências
poderiam ser observadas? Por exemplo: PRATO 1 – 3 CUBOS E 3 FICHAS PRATO 2 - .................................. 3) A diferença de dois números é 238. O maior é o triplo do menor. Quais são os números? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
127
4) A soma de 4 números consecutivos é –206. Qual é o maior número? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Ana e Carla têm juntas R$360.00. Ana tem R$150.00 a mais que Carla. Quantos Reais possui cada menina? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6) Seu Pedro tem 4 filhos. O mais velho tinha 3 anos quando seu primeiro irmão nasceu e
tinha 7 anos quando os outros dois, que são gêmeos, nasceram. Que idade tem cada filho de seu Pedro se a soma de suas idades é igual a 51 anos?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7) Em 3 caixas há 3160 bolas. Duas delas tem a mesma quantidade de bolas e a terceira tem
o dobro desta quantidade. Quantas bolas há em cada caixa? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ATENÇÃO: DETERMINE SEMPRE A EQUAÇÃO QUE REPRESENTA O PROBLEMA E A SOLUÇÃO DA MESMA COM O DESENVOLVIMENTO! Grupo de alunos:_________________________________________________________
Unidade 5 : INEQUAÇÕES 1) Escreva uma equação ou inequação para cada situação abaixo: a) O cubo da idade de Bruno é menor do que 64. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b) O triplo de um número é maior do que 90. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) A Quinta parte do número de figurinhas de um álbum mais 3 é igual a 8. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d) A nota de Marina em Matemática ficou entre 7.5 e 9. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ e) A idade de Paulo mais 5 anos é igual a 30. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
128
2) Complete com > ( maior) ou < (menor): a) –15 ........... –18 b) –15 + 5 ............. –18 + 5 c) –15 – 3 .............. –18 – 3 d) –15 . 2 ............. –18 . 2 e) –15 : 3 ............... –18 : 3 f) (-3) . (-15) .............(-3) . (-18) g) (–15) : -1 ..............(-18) : (-1) 3) Observando a questão anterior, complete as lacunas abaixo de modo que as afirmações
sejam sempre verdadeiras: a) Uma desigualdade conserva o seu sentido se seus membros forem multiplicados ou
divididos por um número ................................. b) Uma desigualdade ......................................... quando somamos ou subtraímos o mesmo
número de seus membros. c) Se a<b, então 2a ............. 2b. d) Se c > d, então –3c .............. –3d. e) Uma desigualdade .................................................... quando seus membros são
multiplicados ou divididos por um número negativo. f) Se x > y, então ax > ay quando a é um número ............................ g) Se x < y, então bx>by quando b é um número ............................... h) Se um número é menor que outro, o oposto do primeiro é ........................ que o oposto do
segundo. 4) Que números do conjunto U = { 1, 2, 3, 4, 5 } são soluções da inequação 2x –1 > 7 ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Verifique se o número 3 é solução das seguintes inequações: a) 3 – x > 4 b) 5(x+1) < -2 c) x / x + 1 < 1
d) x2 – 10 > -5
6) O perímetro de um quadrado é menor que 48 cm. Determine as possíveis medidas de seus
lados, sabendo que estas são números inteiros. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7) O dobro da idade de meu irmão menos 8 anos é menor que 22 anos. O que podemos
afirmar em relação à idade de meu irmão? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
129
8) Resolva as inequações abaixo: a) x + 3 < 3 b) x + 1 > -1 c) 5x < 25 d) x/2 < 7 e) 3x / 5 > -2 f) –x < -11
g) –2x > 5 h) –6 > -3x /11 i) 3y – 1 < 11 j) 4k + 5 > 2k – 9 k) 2z – 7 < 5z + 8
l) 4 (x + 3) – (1 –x) < 4
m)
Unidade 6 : Plano cartesiano NOME:____________________________________________TURMA:___________ ASSUNTO:__________________________________________________________ 1) No esquema abaixo, pinte as casas: em verde: (3 , a ) ; ( c , 3 ) em amarelo: ( b , 2 ) ; ( 2 , d) em vermelho: ( c , 1 ) ; ( b , 4 ) em azul: ( e , 2 ) ; ( 4 , e ) 4 3 2 1 a b c d e 2) Você se encontra na casa (⊕ , ♣), você quer chegar a casa ( ♦ , ∆ ) . Para tanto, você pode atravessar a casa (♥ ,∅ ) , mas você pode também encontrar outros caminhos: saltando de uma casa para a casa vizinha e sendo proibido deslocar-se segundo uma diagonal. Represente 4 caminhos possíveis escrevendo a sequência das casas pelas quais você irá passar.
♣ ∅ ∆ ⊕ ♥ ♦
12
43
2 ≤+−− xx
130
3) a) Desenhe nas casas os símbolos de acordo com as informações abaixo:
1 2 3 1 2 3
( 1 , 1 ) ⊗ ( 2 , 3 ) ⊕ ( 1 , 2 ) ♥ ( 3 , 2 ) ♦ ( 2 , 2 ) θ ( 3 , 3 ) ∅ b) Que casas não foram ocupadas? ( .......,......) , ( .......,........) , ( ..........,........) 4) Juquinha enterrou em um terreno baldio uma moeda antiga de seu bisavô e agora deseja resgatá-la. Como ele é muito sabido, ao enterrá-la , anotou alguns dados. Que registros ele poderia ter feito, sabendo-se que a moeda foi enterrada no ponto P. OBS: 1cm no desenho corresponde a 10m no terreno. ( Utilize a régua )
131
5) Uma forma simples de localizar qualquer ponto de uma superfície plana é imaginar um par de retas perpendiculares e encontrar, para cada ponto, a posição dele em relação a cada uma dessas retas. Assim, dê a localização dos pontos A , B , C, D e E na tabela abaixo: ( Utilize a régua )
A (...... ,......) B (...... , .....) C (..... , ......) D (..... ,.......) E (.... ., ......)
� � � distância ao distância ao localização em relação eixo vertical. eixo horizontal aos dois eixos 6) O diretor do zoológico recebe uma mensagem secreta , anunciando a chegada de um novo animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares ordenados escritos na mensagem , ligue-os na ordem dada e você terá a resposta. mensagem escrita: ( 3, 14) ,( 5 ,10 ) , ( 7 ,14 ) , ( 7 , 16 ) , ( 3 , 18 ) , ( 1 ,16 ) , ( 1 ,12 ) , ( -1 , 8 ) , ( -5 , 8 ) , ( -3 ,6 ) , ( 1 , 8 ) , (3 , 12 ) , ( 2 , 8 ) , ( 3 ,10 ) , ( 5 , 8 ) , ( 5 , 2 ) , ( 7 , 2 ) , ( 9 , 8 ) , (11, 8 ) , ( 13 , 2 ) , (15 , 2 ) , ( 15 ,8 ) , ( 18 , 5 ) , ( 15, 10 ) , ( 13 ,14 ) , ( 7 , 14 ) .
132
133
7 )
a) Escreva na tabela abaixo os pares ordenados correspondentes aos pontos que permitiram
traçar o vaso. b) Para cada par ordenado encontrado, escreva na segunda linha da tabela o par correspondente da seguinte forma : b.1) Mantenha o primeiro elemento do par; b..2) Coloque no lugar do segundo elemento do par o seu simétrico.
Figura dada A (.... , . ..)
B (.... , ....)
C (.... , ....) D (.... , ....)
Nova figura A'(.... , ....)
B'(.... , ....)
C'(.... , ....) D'(.... , ....)
c ) No mesmo sistema de eixos marque os novos vértices ( A’ , B’ ,...) e desenhe a nova figura.
134
8 ) Para cada item, marque em um par de eixos cartesianos os pontos indicados e calcule a área do polígono formado . Para determinar os polígonos ligue os pontos segundo as sequências dadas . a ) A ( 2 , 3 ) ; B ( -1 , 4 ) ; C ( 2 , 8 ) ABCA b ) A ( -1 , 3 ) ; B ( -1 , -2 ) ; C ( 2 , 3 ) ; D ( 2 , -2 ) ABCDA c ) A ( -1 , 4 ) ; B ( -1 , -1 ) ; C ( 2 , 2 ) ; D ( 2 , -3 ) ABCDA d ) A ( -1 , 3 ) ; B ( -1 , -2 ) ; C ( 2 , 2 ) ; D ( 2 , -1 ) ABDCA e ) A ( 0 , 5 ) ; B ( 2 , 3 ) ; C ( 1 , 0 ) ; D ( -6 , 1 ) ; E ( -6 , 3 ) ABCDEA FACILITANDO A LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NUM PLANO EIXOS PERPENDICULARES GRADUADOS ( EIXOS CARTESIANOS ) 5’ )
135
a) Descubra como funciona a localização de pontos quando as duas retas já estãograduadas. Observe com atênção os pares ordenados dados abaixo, que representam os pontos: A, B, C e D.
A ( 2 ; 4 ) B ( 5 ; 2 ) C ( 2 ; - 2 ) D ( - 1 ; 7 ) b) Localize no sistema de eixos os pontos P, R, S e V, dados pelo par de números
correspondente: P ( 4 ; 3 ) R ( 2 ; - 3 ) S ( -4 ; 3 ) V ( 6 ; 0 ) c) Dê os pares ordenados que correspondem aos pontos E, F, G e H. .................................................................................................. 9 ) A figura abaixo representa uma grade quadrada de arame e Aracnilda , a aranha esperta , quer ir do ponto A até o ponto B , andando o mínimo possível . Há várias hipóteses para isto, por exemplo : A → ( 0 , 1 ) → ( 1 , 1 ) → ( 2 , 1 ) → ( 2 , 2 ) → ( 2 , 3 ) → ( 3 , 3 ) → B . A (0,0) ; B (4,3) ; C (8,7) a ) Encontre 3 outros caminhos para Aracnilda ir de A até B . b ) Dê um caminho para ela ir de B até C ? c ) Se Aracnilda se pendurasse em um fio de teia e em linha reta , que distância ela andaria de A até B ? E de B até C.
136
FACILITANDO A LOCALIZAÇÃO DE PONTOS NUM PLANO EIXOS PERPENDICULARES GRADUADOS ( EIXOS CARTESIANOS ) 5’ ) a) As retas OX e OY estão graduadas ( numeradas ), facilitando a localização de pontos. Descubra como funciona a localização de pontos quando as duas retas já estão graduadas. Observe com atenção os pares ordenados dados abaixo, que representam os pontos: A, B, C e D. A ( 2 ; 4 ) B ( 5 ; 2 ) C ( 2 ; - 2 ) D ( - 1 ; 7 ) IMPORTANTE: VOCÊ PODE OBSERVAR: • O PRIMEIRO NÚMERO DO PAR FOI CONSIDERADO SOBRE A RETA OX. • O SEGUNDO NÚMERO DO MESMO PAR FOI CONSIDERADO SOBRE OY. • O PONTO CORRESPONDENTE A CADA PAR DE NÚMEROS, ESTÁ SITUADO NA
INTERSEÇÃO DE UMA PARALELA A OY COM UMA PARALELA A OX. b) Localize no sistema de eixos os pontos P, R, S e V, dados pelo par de números
correspondente: P ( 4 ; 3 ) R ( 2 ; - 3 ) S ( -4 ; 3 ) V ( 6 ; 0 ) c) Dê os pares ordenados que correspondem aos pontos E, F, G e H.
137
ANEXOS
����
-2 -1 0
3 1 2
9 10 11
17
13 14
15 16
12
6 7
138
-7 -4 -9
8 4 5
-10 -8 -6
-12 -14 -13
-11 -3 -5
-16 -15 -17