caderno de provas cÁlculo diferencial e integral …

CADERNO DE PROVAS

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

EDITAL Nº 05/2014-REITORIA/IFRN PROFESSOR DO ENSINO BÁSICO, TÉCNICO E

TECNOLÓGICO INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

25 de maio de 2014

INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA

Use apenas caneta esferográfica transparente com tinta nas cores azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado nessa capa. A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as questões do Caderno de Provas e para preencher a Folhas de Respostas. O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas 2 (duas) horas do início da aplicação da prova. Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando se o número de questões contidas está correto e se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura. Confira, com máxima atenção, a Folha de Resposta, observando se seus dados (o nome do candidato, seu número de inscrição, a opção Matéria/Disciplina e o número do seu documento de identificação) estão corretos. Em havendo falhas no Caderno de Provas e/ou na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir:

PROVA ESCRITA NÚMERO DE QUESTÕES TOTAL DE PONTOS

PROVA OBJETIVA 50 100

Para cada questão de múltipla escolha, há apenas 1 (uma) opção de resposta correta. A Folha de Resposta não poderá ser dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese alguma, a Folha de Resposta será substituída. Assine a Folha de Resposta nos espaços apropriados.Preencha a Folha de Resposta somente quando não mais pretender fazer modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos na Folha de Respostas das questões de múltipla escolha. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue a Folha de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poderá ser conduzido definitivamente da sala de provas depois de decorridas duas horas do início das provas.

NOME COMPLETO:

DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO:

P03

CONCURSO PÚBLICO – EDITAL Nº 05/2014-REITORIA/IFRN

FUNCERN

P03 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 2

QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA

AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA.

EDUCAÇÃO PROFISSIONAL 1. Cognição é o processo de conhecimento que envolve atenção, percepção, memória, raciocínio, juízo,

imaginação, pensamento e linguagem. A escola que atua numa abordagem cognitivista de ensino-aprendizagem dever ter como função

A) promover um ambiente desafiador favorável à motivação intrínseca do aluno.

B) criar condições para o desenvolvimento da autonomia do aluno.

C) oferecer condições para que o aluno possa aprender por si próprio.

D) reconhecer a prioridade psicológica da inteligência sobre a aprendizagem.

2. Na abordagem cognitivista do processo de ensino e aprendizagem, o conhecimento é concebido como uma construção contínua e essencialmente ativa em constante evolução. Nessa abordagem, a aquisição do conhecimento se dá por duas fases.

Assinale a opção que contém as duas fases de aquisição do conhecimento na abordagem cognitivista e suas respectivas características.

A) exógena - fase da constatação, da cópia, da repetição; e endógena - fase da compreensão das

relações, das combinações.

B) concreta - fase que dura dos 7 aos 11 anos de idade em média; e abstrata – fase que considera leis gerais e se preocupa com o hipoteticamente possível e também com a realidade.

C) formal - fase do pensamento egocêntrico, intuitivo, mágico; e operacional – fase da capacidade de usar símbolos.

D) acomodação - fase das deduções lógicas com o apoio de objetos concretos; e centralização – fase da incapacidade para se centrar em mais de um aspecto da situação.

3. De acordo com a LDB (Lei nº 9.394/1996), a Educação Profissional Técnica de Nível Médio será

desenvolvida nas formas:

A) profissionalizante e formação inicial e continuada-FIC, em cursos destinados a trabalhadores que estejam cursando o ensino médio.

B) concomitante e interdisciplinar, em cursos destinados a pessoas que tenham concluído o ensino fundamental.

C) pluricurricular, na modalidade presencial; e subsequente, oferecida somente a quem já tenha concluído o ensino fundamental.

D) articulada com o ensino médio; e subsequente, em cursos destinados a quem já tenha concluído o ensino médio.


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4. A Lei 9.394/1996 estabelece que a educação profissional e tecnológica, no cumprimento dos objetivos da educação nacional,

A) integra-se aos diferentes níveis e modalidades de educação e às dimensões do trabalho, da ciência e da tecnologia.

B) organiza-se em centros interescolares de acordo com a demanda exigida do mercado de trabalho em diferentes modalidades de ensino.

C) proporciona ao educando uma habilitação profissional através de aplicação de testes vocacionais com base nas experiências adquiridas.

D) visa o preparo do indivíduo e da sociedade inspirada nos princípios de liberdade com prioridade na formação propedêutica.

5. Em relação às características do PROEJA, analise as assertivas a seguir e assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( ) Programa que integra a Educação Básica à Educação Profissional e destina-se à formação inicial e continuada de trabalhadores que tiveram seus estudos interrompidos na fase própria de escolaridade, conforme determina a legislação educacional brasileira.

( ) Programa que, observando as diretrizes curriculares nacionais e demais atos normativos, articula o ensino médio e a educação de jovens e adultos, cujo objetivo é atender à formação de trabalhadores necessária ao desenvolvimento científico e tecnológico do País.

( ) Programa que implica investigar, entre outros aspectos, as reais necessidades de aprendizagem dos alunos, a forma como produziram seus conhecimentos, suas lógicas, estratégias de resolver situações e enfrentar desafios.

( ) Programa que promove a superação do analfabetismo entre jovens com quinze anos ou mais, adultos e idosos, que visam a universalização do ensino fundamental e a superação das desigualdades sociais no Brasil.

A opção que indica a sequência correta é

A) F, V, F, V.

B) V, F, V, F.

C) V, F, F, V.

D) F, F, V, V.


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CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 6. O número de usuários de um site de relacionamentos tem crescido rapidamente com o tempo. Suponha

que o número N de usuários do site (em milhares de pessoas) possa ser bem descrito como função do

tempo por t

tN

2182

60, em que t é o tempo em meses e t = 0 é o mês atual.

Baseado nesse modelo e pensando em longo prazo, o número de usuários deste site daqui a um tempo bastante longo (em milhares de usuários) será

A) próximo de 30.

B) inferior a 10.

C) próximo de 15.

D) superior a 60. 7. Suponha que o lucro que uma empresa de laticínios obtém com a produção de iogurte seja bem

modelado pela função

800

50032x

xxL

na qual L está em reais e x em litros de iogurte produzidos. A capacidade máxima de produção desta empresa é de 1000 litros de iogurte por semana.

A quantidade de litros de iogurte que a empresa deverá produzir semanalmente para maximizar seu lucro será

A) 800.

B) uma quantidade situada no intervalo (0, 700).

C) o máximo possível, ou seja,1000.

D) 1200.

8. A segunda derivada da função IRIRf

*: dada por y = x∙ln(x) no ponto x = 2 é

A) 1.

B) 0.

C) 0,5.

D) 1,5.

9. A integral 2

0

32 dx 13 xx resulta em

A) 3

52 .

B) 5

12 .

C) 2

29 .

D) 2

35 .


FUNCERN


10. A derivada de 22 xexxf x é dada por

A) xxexf x 212' 2 .

B) xexf x 2' 2 .

C) 12' 2 xexxf .

D) xexxf x 2' 2 .

11. Considere o polinômio 53 xcxbxaxp . Sobre a integral m

mxpI dx , é correto afirmar que

A) I = 2m.

B) I é positivo.

C) I = 0.

D) I é negativo.

12. A dimensão do espaço vetorial formado pelos pontos (x1, x2, x3, x4, x5, x6), sabendo que 01 x e

065 xx , é igual a

A) 2.

B) 4.

C) 3.

D) 5.

13. A dimensão para o subespaço vetorial de IR

4 gerado por (1, 2, 3, -2), (0, 1, -3, 1), (1, 4, -3, 0) é igual a

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

14. Dada a função IRIRf : , definida por pxxxf 24 . O valor de p, de modo que 01' f , é igual a

A) –8.

B) –2.

C) 2.

D) 1.

15. Considerando o ponto x = 0 e as funções a seguir definidas nos reais. A única cujo limite lateral à direita

é diferente do limite lateral à esquerda é a função

A) 2

3

xxf .

B) x

xf2

.

C) xxf 4 .

D) xxf .


FUNCERN


16. Quanto ao gráfico da função IRIRf : , definida por 932 23 xxxf , é correto afirmar que

A) tem concavidade voltada para baixo no intervalo (0, 2)

B) possui um máximo relativo no ponto x = 0.

C) não possui ponto de inflexão.

D) possui um mínimo relativo no ponto x = 0.

17. Dada a série

13

k

k, a mesma converge para o valor

A) 2

1.

B) 3

1.

C) 2

3.

D) 3

2.

18. Considere a função IRIRf 1: , definida por

1 se,log

1 se,1

122

x

xx

xx

xf

. O valor de β, para que f

seja contínua, é igual a

A) 2.

B) 10.

C) 1.

D) 100.

19. Sabendo que3

2

1

56lim

2

2

kx

xx

x

, o valor de k é

A) 6.

B) 4.

C) 9.

D) – 1.

20. Analise o texto a seguir.

As curvas de Lorentz são utilizadas nas estatísticas sobre a distribuição de riqueza de uma sociedade. A desigualdade na distribuição de riqueza é medida pelo índice de Gini (IG), modelado pela expressão

dx 1

0 xLxIG

sendo L(x) a equação de uma curva de Lorentz. Quanto menor o índice IG, mais justa é a distribuição de renda. Quanto maior o índice, mais riqueza está concentrada em poucos indivíduos.

Fonte: HOFFMANN, L.; BRADLEY, G. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. (p. 326-327)

Suponha que determinada classe de comerciantes de uma cidade tenha distribuição de renda expressa

pela curva de Lorentz xxxL7

2

7

3 4 . O índice de Gini dessa classe está mais próximo de

A) 0,3.

B) 0,1.

C) 0,2.

D) 0,4.


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21. O polinômio característico da matriz

230

412

031 é dado por

A) P(λ) = λ3 + 15λ

2 – 2λ.

B) P(λ) = λ3 – 19λ

2 – λ + 24.

C) P(λ) = λ3 – 2λ

2 – 7λ + 2.

D) P(λ) = λ3 + λ

2 – 4λ + 8.

22. Os autovalores associados à matriz

23

42 são iguais a

A) ± 2.

B) 2 e – 4.

C) 4 e – 2.

D) ± 4.

23. O valor de

x

x

x

sensenlim é igual a

A) .

B) 0.

C) –1.

D) –.

24. Observe o gráfico da função polinomial do 2º grau na figura a seguir.

Fonte: Funcern, 2014.

A reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa – 2, tem equação dada por

A) x – y + 4 = 0.

B) 7x + y + 4 = 0.

C) 3x + y – 4 = 0.

D) 5x + y = 0.


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25. Sejam F e G as derivadas das funções reais, de variáveis reais, f e g, respectivamente. Sabe-se que 3f(x) + 10x = g(x) + x

2 + 8, para todo x real, f(3) = 2 e F(–1) = 1. A diferença g(3) – G(–1) é

A) 5.

B) – 2.

C) 4.

D) – 1.

26. A soma dos catetos de um triângulo retângulo é 6 cm. O comprimento mínimo da hipotenusa desse

triângulo mede

A) cm 35 .

B) cm 5 .

C) cm 32 .

D) cm 23 .

27. Seja IRIRf : definida por f(x) = mx2 + n, tal que

1

0 3

7dx xf e

2

1 3

31dx xf . O produto m∙n

é igual a

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

28. A integral

0dx cos73 xx é igual a

A) –6.

B) 2

3.

C) –2.

D) 3

2

29. Considere a série

1 2

12

k

k

k

x , para x real. Garante-se que essa série é convergente quando x

pertencer ao intervalo aberto

A) (–3, –1).

B) (3, 5).

C) (–6, –4).

D) (0, 2).


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30. O raio de convergência da série de potências

0 13

1n n

n

n

x é igual a

A) .

B) 1.

C) 4.

D) 3.

31. Considere a superfície S dada por z = 6 – 2x – 2y e a região R dada por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. O volume

do sólido sob a superfície S e sobre a região R é igual a

A) 5 unidades cúbicas.

B) 2 unidades cúbicas.

C) 6 unidades cúbicas.

D) 3 unidades cúbicas.

32. Com relação ao estudo dos espaços vetoriais, é correto afirmar que

A) o conjunto de todos os pontos (x, y) em IR2, com x ≥ 0 e y ≥ 0, é um subespaço vetorial de IR

2.

B) a dimensão do subespaço vetorial do IR4 gerado pelos vetores 1,2,2,1 , 3,4,0,3 ,

1,1,1,2 , 6,9,3,3 e 6,7,3,9 é 3.

C) o vetor

17

51A é uma combinação linear dos vetores

22

04B ,

32

11C e

41

20D .

D) os polinômios p = (x – 1)(x + 2), q = x(x + 2) e t = x(x – 1) são linearmente dependentes.

33. Seja f uma função real, de variável real, definida por pxxf 3ln . O valor de p que satisfaz 2

11' f

é igual a

A) 5.

B) 3.

C) – 3.

D) – 5.

34. Seja zyxf ,, uma função de variáveis reais, definida por 325,, zxyzyxf . O valor final das

derivadas sucessivas 1,1,0zxyf é igual a

A) 0.

B) 33.

C) 60.

D) 30.

35. O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro 922 yx , pelo plano z = 4 e pelos

planos coordenados é igual a

A) 9 u.v.

B) 10 u.v.

C) 11 u.v.

D) 13 u.v.


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36. Sejam os espaços vetoriais IR3 e IR

2 sobre IR e a transformação linear T: IR

3 IR

2 dada por

zyyxzyxT 4,32,, . É correto afirmar que um vetor pertencente ao núcleo de T é

A) (6, 6, 1).

B) (6, 5, 2).

C) (6, 4, 1).

D) (1, 6, 1).

37. Considere o espaço vetorial IR2 e a transformação linear T: IR

2 IR

2 dada por

yxyxyxT 62,3, . É correto afirmar que um vetor pertencente à imagem de T é

A) (1, – 2).

B) (2, 1).

C) (1, – 4).

D) (2, – 1).

38. Seja V um espaço vetorial IR, com produto interno usual, T: V V um operador linear e A a matriz associada a T. Analise as afirmativas a seguir

I. Seja A =

dc

ba, logo A é diagonalizável numa matriz real se (a – d)

2 + 4bc < 0.

II. Seja λ = 0 um autovalor de T, implica que T não é invertível.

III. Quando V tem dimensão 1, então qualquer T não nulo é sobrejetor.

IV. Toda base de um subespaço vetorial V de IR3 possui exatamente 3 vetores.

Estão corretas as afirmativas

A) I e II.

B) I e IV.

C) II e III.

D) III e IV.

39. Considere a superfície S dada por 22 3231 yxz e o plano dado por y = 2. O valor do

coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície S e o plano no ponto

1,2,3P é igual a

A) – 3.

B) – 2.

C) – 8.

D) – 6.


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40. Considere os vetores 1,10,6,41 v , 9,2,1,22 v , 2,2,3,03 v e

0,1,2,54 v .

De acordo com os dados apresentados é correto afirmar que

A) a norma de 2v é igual a 102 .

B) os vetores 1v e

3v são ortogonais.

C) o produto interno usual entre 2v e

3v é igual a 5.

D) o cosseno do ângulo entre os vetores 1v e

4v é igual a30

2 .

41. Observe a figura a seguir.


Nessa figura, f e g são duas funções definidas por f(x) = 3x

2 – 12x + 12 e g(x) = 4x – x

2. O valor da

área em negrito é igual a

A) 3

19 u.a.

B) 3

16 u.a.

C) 3

15 u.a.

D) 3

17 u.a.


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42. Considere P2 o espaço vetorial dos polinômios com grau menor ou igual a 2 e T: P2 P2 a

transformação linear definida por xcbxcacbxaxT 22 , com a, b, c IR.

De acordo com os dados apresentados, é correto afirmar que

A) {2x, x} é uma base para a imagem de T.

B) {x2 – x} é uma base para o núcleo de T.

C) x2 + x – 1 pertence ao núcleo de T.

D) x2 – x + 2 pertence a imagem de T.

43. Analise as afirmações a seguir.

I. T1: IR3 IR

2 dada por T1(x, y, z) = (x + y, y – z), (x, y, z) IR

3.

II. T2: V IR dada por dx 1

02 xffT , no qual V é o espaço vetorial das funções com valores reais

definidas no intervalo [0, 1].

III. T3: IR3 IR

2 dada por 3

3 ,1

IR

z

y

x

zy

x

z

y

x

T

.

IV. T4: IR IR dada por T4(x) = 3x + 1.

As transformações lineares estão representadas nas afirmações

A) I e II.

B) I e III.

C) II e III.

D) II e IV.

44. Dada a função real, de variável real, 1

872

2

x

xxxf ,

A) a reta 1x é uma assíntota vertical do seu gráfico.

B) a reta 1x é uma assíntota vertical do seu gráfico.

C) a reta 0y é uma assíntota horizontal do seu gráfico.

D) o seu gráfico não possui assíntotas.

45. Um corpo se move em linha reta de modo que sua velocidade, no instante t, é dada pela função

34 ttv com a velocidade expressa em metros por segundo. Sabendo que 21 S e que tS é a

posição do móvel no instante t, a posição do móvel para s3t é de

A) 16 m.

B) 24 m.

C) 18 m.

D) 22 m.


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46. Analise as afirmativas a seguir.

I. Uma matriz é ortogonal se e somente se as linhas (ou as colunas) são vetores ortogonais.

II. Seja V espaço vetorial e T: V V um operador autoadjunto. Então existe uma base ortonormal de autovetores de T.

III. Seja V espaço vetorial e T: V V um operador ortogonal. Se λ1 e λ2 são autovalores distintos de T e

1v e 2v são autovetores associados a λ1 e λ2, respectivamente. Então

1v é perpendicular a 2v .

IV. Toda matriz identidade possui o autovalor λ = 1.

Estão corretas as afirmativas,

A) I e II.

B) I e III.

C) III e IV.

D) II e IV.

47. Seja V o espaço vetorial com produto interno usual e T: V V um operador, é correto afirmar que

A) se T é ortogonal, não preserva a norma, ou seja, vTv .

B) sendo α uma base ortonormal, então, o operador linear T é chamado de ortogonal se T é uma

matriz simétrica.

C) sendo uma base ortonormal, então, o operador linear T é chamado de autoadjunto se T é uma

matriz simétrica.

D) se T preserva produto interno, então, ele é sempre ortonormal.

48. Considere a transformação linear T, de IR

2 em IR

2, definida por yyxyxT 3,32, e o triângulo de

vértices M(0, 3), N(-2, 3) e P(2, 0). Sejam M’, N’ e P’ as imagens de M, N e P pela transformação T. De acordo com os dados apresentados, a área do triângulo M’N’P’ é igual

A) 36 u.a.

B) 12 u.a.

C) 24 u.a.

D) 18 u.a.

49. O limite 1

lim2

1

x

xx

x

tem como resultado

A) .

B) 2.

C) 0

D) – 2.


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50. Na figura a seguir está representado o gráfico da função f, sendo f(x) = x3 – 3x

2.


Considerando as informações dadas, o único intervalo em que a primeira derivada é positiva é dado por

A) (0; 2).

B) (-; 0) (2; ).

C) [3; ].

D) (-; 0) (2; ).


FUNCERN


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