caderno - lógica
DESCRIPTION
Lógica Matemática - Caderno completo + Exercícios ResolvidosTRANSCRIPT
LÓGICA
Luan Guerra
2º semestre
CADERNOCADERNO
Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação:O objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
SITESUGERIDO
www.colegioweb.com.br/matematica/conectivos-logicos-.html
LIVROSSUGERIDOS
• Alencar Filho, Edgard – Iniciação àLógica Matemática
• Castrucci, Benedito – Introdução àLógica Matemática
CADERNO+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Apresentação
• Argumento 1 – RaciocínioTodo homem é mortalSócrates é mortalLogo, Sócrates é homem
• Argumento 2 – RaciocínioTodo homem é mortalSócrates é homemLogo, Sócrates é mortal
Continuação
• Lei da Não-contradição: a proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo.
O que é uma proposição?
• É TODA FRASE QUE PODE SER CLASSIFICADA COMO VERDADEIRO E FALSO
PREMISSA?
• Está dentro de um argumento, ou seja, toda premissa é uma proposição, mas nem toda proposição é uma premissa
Raciocínio Dedutivo
• ExemploTodo metal é dilatado pelo calor.O ouro é metal.Logo, o ouro é dilatado pelo calor.
Raciocínio Indutivo
• Exemplo:O ferro é um metal e conduz eletricidade.O zinco é um metal e conduz eletricidade.Logo, todo metal conduz eletricidade.
Proposições
• Proposição SimplesÉ toda frase que pode ser classificada em verdadeira e falso.
• Proposição CompostaÉ frases com duas ou mais proposições simples
Continuação
• Valor LógicoA Lua é um satélite da Terra. VL(q) = V
Dante escreveu Os lusíadas. VL(q) = F
Continuação
Negação
Detalhes
• e é somente verdadeiro, quando os “dois”termos são verdadeiros.
• ou quando os “dois” são falsos.
Conjunção• A conjunção de duas
proposições P e Q érepresentada por:
p ^ q
Lê se “p e q”
Exemplos de ‘Conjuntos’
P Q
Disjunção
O operado lógico DISJUNÇÃO caracterizado pelo conectivo OU e representado pelo símbolo V
Continuação
Pode ser o p ou q ou os dois
OU ( V ) Exclusivo
Não podem acontecer ao mesmo tempo.
Símbolo de OU Exclusivo
Exemplos
A: O livro é interessanteB: O livro é caro.
Negação A: O livro não é interessante.+: Não é verdade que o livro é interessante.
A ^ B: O livro é interessante e caro.A V B: O livro é interessante ou caro.
Exemplos
A:Ela é mineira e ele é paraense.Ela não é mineira e ele é paraense.Ela é mineira e ele não é paraense.Ela não é mineira ou ele não é paraense.
B:Ela é mineira ou ele é paraense.Ela não é mineira e ele não é paraense.
Continuação
A:Não é verdade que Galileu esteja certo.
P: Galileu está certo.(~p)
B:A água está líquida.A água está sólida.
Condicional
O operador lógico CONDICIONAL será caracterizado pelo conectivo Se... Então e representado pelo símbolo
Obs:A condicional só será falsa se a primeira for verdadeira e a segunda
foi falsa.A primeira proposição será chamada de ANTECEDENTE e a
segunda será chamada de CONSEQUENTE.
Na condicional teremos a seguinte situação:
Uma condição SUFICIENTE gera um resultado NECESSÁRIO.
Daí se temos:“Pedro é rico então Maria é médica”
Pode ser escrita:“Pedro é rico é CONDIÇÃO SUFICIENTE para que Maria
seja médica.”
“Maria ser médica é CONDIÇÃO NECESSÁRIA para que Pedro seja rico.”
Suficiente/Necessário
Se... Então
Dados
Condicional
• O conectivo se... então... e a condicional
A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:
TABELA
Exemplo
Exemplo
DADOS
Bicondicional
• O conectivo se e somente se e a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q éoutra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.
Bicondicional
Exercícios
Condicional
a)
A B
Dados do Exercício:A = Está CalorB = É verão
e)
NUNCA É VERÃO, QUANDO ESTÁ CALOR
Dados do Exercício:A = Está CalorB = É verão
Extra - Paradoxos
SLIDES
TABELA VERDADE
TABELA VERDADE
RESOLUÇÃO
P (p,q) = ~(p v ~q)
Ordem de Prioridade
1º Fazer a negação (~)
2º Fazer a conjunção (^) e a disjunção (v)
3º Fazer a condicional ( )
4º Fazer a bi-condicional ( )
Exercícios
• P (p, q, r) = (p ^ ~q) (q v ~ r)
Definição
Definição
Tipos de Tabela lógicas
• TAUTOLÓGICASQuando os valores lógicos da proposição são todos verdadeiros
• CONTRADIÇÃOQuando os valores lógicos da proposição são todos falsos
• CONTINGÊNCIAQuando os valores lógicos da proposição são verdadeiros e falsos.
ExemplosTipos de Tabela Lógicas
a) P (p, q) = (p ^ q) (p v q)
ExemplosTipos de Tabela Lógicas
b) P (p) = p ~p
ExemplosTipos de Tabela Lógicas
c) P (p, q) = p (p ^ q)
Implicação Lógica
Sejam P e Q duas proposições, dizemos que implica em P logicamente em Q se e somente se a condicional P Q éumas tautológica.
Resumo
P Q (P implica logicamente)
P Q é uma tautológica
Também podemos verificar se P implica logicamente em Q da seguinte forma:
1º Verificamos quais linhas a proposição´P tem valor lógico verdadeiro;
2º Nessas mesmas linhas verificamos quais são os valores lógicos de Q;
3º Se houver alguma dessas linhas onde Q é falso, não temos implicação lógica. Agora, se não houver linhas onde Q éfalso, temos uma implicação lógica.
Exemplo
• Dados as proposições P(p, q) = p v qe Q(p,q)= p^q, verificamos se:
a) P Q
b) Q P
Perguntas
a) P não implica logicamente em Q, pois P Q não é uma tautológica.
b) Q implica lógica em P, pois Q P éuma tautologia.
Respostas
a) Como na linha 2 ou 2º linha o valor lógico VL [P( p, q)] = V e o VL [Q(p,q)] = F, P não implica logicamente em Q.
b) Como na 1º linha o valor lógico VL [Q(p, q)] = V e VL[P(p,q)] = V Q implica logicamente.
Equivalência Lógica
• Sejam P e Q duas proposições, dizemos que P equivale logicamente em Q se e somente se a bicondicional P Q éuma tautologia.
Resumo
P Q (P equivale logicamente)
P Q é uma tautologia
Também podemos verificar se P equivale logicamente em Q, da seguinte forma:
1º Verificamos quais linhas as proposições P e Q tem o valor lógico verdadeiro
2º Se todas as linhas coincidem temos uma equivalência lógica, caso contrário não temos uma equivalência lógica.
Exemplo
• Dados as proposições P(p,q) = ~p v ~q, Q(p,q) = ~ (p^q) e R(p,q) = ~p ^ ~q, verifique se:
a) P(p,q) Q(p,q)
b) Q(p,q) R(p,q)
Perguntas
a) Como P Q é uma tautologia, temos P Q
b) Como Q R não é uma tautologia, temos que Q não é equivalente a R
Tabela Verdade
decorar.....
Propriedades da Equivalência
1) p ^ q p2) p v p p3) p q q p4) p q (p q) ^ (q p)5) p q; p q; q r6) p ^ q q ^ q 7) p v q q v p
Propriedades da Condicional
p q ~q ~ p
p q ~p v q
Tabela Verdade
3º Exercícios
P = Pedro é pobreQ = Alberto é alto
~(p ^ q)
Propriedades~p v ~q = Pedro não é pobre ou Alberto não
é alto.
Continuação
Transformar as alternativas em conectivos:
a) ~p v ~qb) ~p ^ ~qc) p v ~qd) ~p qe) ~p ~q
Comprovando
4º Exercício
OBS: PEGUE SEMPRE NA AFIRMATIVA E DEPOIS NEGUE.
P = André é artistaQ = Bernardo é engenheiro (Negativa)
Continuação
P v ~ q
~p ~q
q p
Propriedades da Condicional
Resposta
Se Bernardo é engenheiro então André éartista.
5º Exercício
Todos os economistas são médicos.
Como negar?
Diagrama
Médico
Economista
Resultado
p qNegação de todos = pelo menos 1
e
Ou
Economista
Médico
6º Exercício
P = Pedro é pedreiro (Negativa)OuQ = Paulo é paulista.
Resolução
• Conserva o 2º conectivo e troca o valor do 1º :
~ p v q
p q
Resposta
Se Pedro é pedreiro, então Paulo é Paulista
Proposições Afirmativas e Negativas
Tipos
Todo S é PAlguns S são PAlguns S não são PNenhum S é P
Diagrama
• Todo S é P
SP
S c P
UNIVERSAL Afirmativa
Continuação
S
P
S = P
UNIVERSAL Afirmativa
Nenhum S é P
S
PUNIVERSAL Negativa
Algum S são P
S
S
S
SP
P P
P
PARTICULAR Afirmativa
Alguns S não são P
P P
P
SS
S
PARTICULAR Negativa
Equivalência
Nenhum A é B Todo A não é B
Todo A é B Nenhum A não e B
Exemplo
Nenhum médico é louco
Todo médico não é louco.
Toda arte é bela
Nenhuma arte não é bela
Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação
Associativas:
p ^ (q ^ s) (p ^ q) ^ s
p v (q v s) (p v q) v s
Distributivas
p ^ (q ^ s) (p ^ q) v (p ^ s)
• p v (q v s) (p v q) ^ (p v s)
Dupla Negação
~ (~p) p
Casos particulares
S não é P S é P
Todo S não é P Todo S é P
Algum S não é P Algum S é P
Nenhum S não é não P Nenhum S é P
Exemplos
A bola de futebol não é não esférica.
A bola de futebol é esférica.
Todo número inteiro não é não racional.
Todo número inteiro é racional.
Exemplos
Algum número racional não é não natural.
Algum número racional é natural.
Nenhum número negativo não é não natural.
Nenhum número negativo é natural.
Argumentos
Um argumento é um conjunto de proposições que geram uma conseqüência da seguinte forma:
Definição
• As premissas são as proposições consideraremos verdadeiras, para determinar o valor lógico da conclusão.
• Um argumento pode ser válido ou inválido. Dizemos que um argumento éválido quando todas as premissas são verdadeiras a conclusão também éverdadeira.
• Dizemos que um argumento é inválido quando todas premissas forem verdadeiras a conclusão de alguma forma pode ser falsa.
• Exemplo:Verifica se o argumento abaixo é válidos:
Resposta: As premissas para este argumentos são:
Façamos a tabela lógico dessas proposições:
Procuremos as linhas onde todas as premissas são verdadeiras. Isso ocorre na 4º, 6º e 8º linha. Observamos que nessas mesmas linhas o valor lógico da conclusão também é verdadeiro. Logo podemos concluir que o argumento éválido.
Exemplo
Verifique se o argumento é válido
Solução
VL (p v q) = V VL(q) = VVL (~p) = V VL(p) = F
_____________________________VL (q) = V
Argumento Válido
Exemplo
Solução
VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F
VL (~A B) = V VL(B) = V
VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F
Análise
Resultado
VL (A (~B ^ C)) = V VL(A) = F
VL (~A B) = V VL(B) = V
VL (D ^ ~ C) = V VL(D) = V e VL(~C) = VVL(C) = F
____________________________________________
VL ( B ~ D) = F
Argumentos
Diagramas
Exemplo
P1: Todos os homens são pássaros.
P2: Nenhum pássaro é animal.______________________________C: Portanto, nenhum homem é animal.
Diagramas
Pássaro
Homens
Animais
Logo
O conjunto dos homens está no conjunto dos pássaros e o conjunto dos pássaros não tem intenção com o conjunto dos animais, logo o conjunto dos homens não tem intersecção com o conjunto dos animais, ou seja, nenhum homem éanimal.
O argumento é válido.
Exemplo
P1: Todos as crianças gostam de chocolate.
P2: Patrícia não é criança
___________________________________C: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Diagrama
Criança
chocolate
Patrícia
Logo
A primeira afirma que o conjunto das crianças está contido no conjunto das pessoas que gostam de chocolate. A segunda premissa afirma que Patrícia não pertence ao conjunto das crianças, isso possibilita que ela esteja no conjunto das pessoas que gostam de chocolate ou fora deste conjunto, impossibilitando que tenhamos uma conclusão incontestável.
Logo, diremos que o argumento é inválido.
Exemplo
P1: Prestação de contas com ato antieconômico
P2: A prestação de contas de um prefeitura a está irregular
___________________________________C: Logo, as contas desta prefeitura
apresentam atos antieconômicos
Diagrama
Irregular
Ato antieconômico
Prefeitura
Prefeitura
Logo
A primeira premissa no diz que o conjunto de atos antieconômicos está contido no conjunto das contas irregulares.A segunda premissa afirma que a conta da prefeitura pertence ao conjunto das contas irregulares, possibilitando assim que as contas dessa prefeitura pertence ao conjunto de atos antieconômicos ou não. Portanto, não podemos concluir que necessariamente as contas possuem ato antieconômico, ou seja, o
argumento é INVÁLIDO.
Método que parte da negação da conclusão:
Neste método admitimos o valor lógico da conclusão FALSO, obtendo assim os valores lógicos das proposições envolvidos. Se a substituirmos esses valores lógicos nas premissas obtivermos todas verdadeiras, o argumento é INVÁLIDO.Caso gere algum conflito de lógicos o argumento é VÁLIDO.
Exemplo
P1: A (B v C)
P2: B ~ A
P3: D ~ C__________________________________C: A ~ D
Resposta
Admitiremos o valor lógico da conclusão falso:
VL(A ~D) = F
VL(A) = V
VL(~D) = F
VL(D) = V
Resolução
Substituindo esse valores lógicos nas premissas obteremos:
VL(A (B v C) = V VL(A) = FVL(B ~A) = V VL(B) = FVL(D ~C) = V VL(~C) = V VL(C) = F
Logo
Como gerou conflito no valor lógico da proposição A, temos que o argumento éVÁLIDO.
Exercício – nº20
P: Pedro é pintorC: Carlos é cantorM: Mario é médicoS: Silvio é sociólogo
Premissa: P v C ~M ^ ~ S
Negando...
Alternativas
P ^ ~C M v SP ^ ~C M v ~SP ^ C M ^ ~SP ^ C M v S~P v C ~M ^ S
Negando a conclusão:
• Vamos negar as alternativas, ou seja, as conclusões verificar qual é verdadeira:
VL(a)) = F VL(P^~C MvS) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(MvS) = F VL(M) = F e VL(S) = F
Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras, temos:
VL(P v C ~M ^ ~S) = V V F V V
V V
Resp: O argumento é inválido para letra A)
b)
VL(P ^ ~ C M v ~S) = F
VL(P^~C) = V VL(P)= V e VL(~C) = V VL(P) = V e VL(C) = FVL(Mv~S) = F VL(M) = F e VL(~S) = F VL(M) = F e VL(S) = V
Substituindo esses valores lógicos na premissas verdadeiras:
VL(P v ~C ~M ^ ~S) = VV F V F
V F
O argumento válido é a letra b)
Diagramas...
Exercício¹ - DIAGRAMA
Resposta
Da primeira premissa temos:
Contabilidade
OrçamentoJoão
Exercício - DIAGRAMA
Resposta
Da segunda premissa temos:
Contabilidade
OrçamentoJoão
Conclusão
Como João não pertence ao conjunto de contabilidade ele também não pertence ao conjunto de orçamento. Logo, João não sabe lidar com orçamento.
O argumento é VÁLIDO, ou seja, a afirmativa que o orçamento é inválido está ERRADA.
Exercício² - DIAGRAMA
Resposta
Da primeira, segunda premissas, temos:
IMPOSTOS
Honesta
Carlos
Carlos
Conclusões
Conclusão
Da primeira premissa temos que o conjunto de pessoas honestas estácontido no conjunto de pessoas que pagam impostos. Da segunda premissa temos que Carlos pode está no conjunto das pessoas honestas ou fora dele. Logo não podemos concluir que Carlos é uma pessoa honesta, ou seja, a afirmativa que o argumento é válida está ERRADA.
Tornando verdadeiras...
Exercício¹
Resposta
As proposições envolvidas são:P: Lógica é fácil.Q: Sócrates foi mico de circo.
Argumento
1º Premissas: P Q2º Premissas: ~ P_____________________Conclusão: ~ Q
Resposta: Ao admitir, não conseguimos concluir.
Admitindo os valores lógicos das premissas são verdadeiras, temos:
Mudando o método...
NEGANDO...
Negando a conclusão, temos:
VL (~Q) = F VL (Q) = V
Substituindo nas premissas, temos:
VL(P Q) = VVL(~P) = V VL(P) = F
Como não gerou conflito, então o argumento éINVÁLIDO.
F V
8 - Exercício
Todos cachorros tem asas.Todos os animais de asas são aquáticos.Existem gatos que são cachorros.Logo, existem gatos que são aquáticos.
Diagrama
Cachorro
Asas
Aquáticos
Gatos
Observação
NÃO ANILISAR AS PREPOSIÇÕES INDIVIDUALMENTES, TEM QUE
ESTUDAR O ARGUMENTO
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C
Resposta:
A é válido, P e C são falsos.
9 - Exercício
P: Se Soninha sorriQ: Silvia é miss simpatia
ARGUMENTO
P Q~P~Q
Admitir a conclusão falso!
Admitindo o valor lógico da conclusão falso temos:
VL(~q) = F VL(q) = V
Analisando as premissas verdadeiras:
VL(p q) = VVL(~p) = V VL(p) = F
F V
Logo
O argumento é inválido, pois negando a conclusão isso não gerou nenhum conflito.
Observação - Alternativas
Não levar em conta as premissas individualmente, e sim o argumento.
DESCARTAR
Observação
Sempre que o argumento é inválido, a conclusão não é decorrências das premissas.
Exercício 05 a 08Chapeuzinho Vermelho
05
Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir
Lobo Ontem foi um dos meus dias de mentir
Resolução
Resposta
06
Raposa: Eu menti ontem.Eu mentirei daqui a 3 dias.
7
Raposa:
Eu menti ontem.Eu mentirei amanhã.