Caiet de lucru. Clasa a VII-aPartea I

Modalităţi de lucru diferenţiate Pregătire suplimentară prin planuri individualizate

Dragoş Petrică Paul-Cosmin Manea Mihai Iulian BurduşaMarius Antonescu Florin Antohe Lucia Popa Agnes Voica

Matematicăalgebră, geometrie

Editura Paralela 45

Soluțiile testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa: http://www.edituraparalela45.ro/wp-content/uploads/2017/07/solutii_teste_de_autoevaluare_consolidare_clasa7_sem1_2018.pdf

EDITURA PARALE

LA 45

Editor: Călin Vlasie

Corectură: Bianca Vişan, Daniel MitranTehnoredactare: Carmen RădulescuPregătire de tipar: Marius BadeaDesign copertă: Ionuț Broştianu

Lucrare elaborată în conformitate cu Programa școlară în vigoare pentru clasa a VII-a, aprobată prin Ordinul Ministrului Educației Naționale nr. 5097/09.09.2009.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Matematică - consolidare : algebră, geometrie : caiet de lucru : clasa a VII-a / Dragoş Petrică, Paul-Cosmin Manea, Mihai Iulian Burduşa, .... – Piteşti : Paralela 45, 2017 2 vol. ISBN 978-973-47-2604-2 Semestrul 1. - 2017. - ISBN 978-973-47-2605-9

I. Petrică, Dragoş II. Manea, Paul-Cosmin III. Burduşa, Mihai Iulian

51

Copyright © Editura Paralela 45, 2017Prezenta lucrare foloseşte denumiri ce constituie mărci înregistrate, iar conţinutul este protejat de legislaţia privind dreptul de proprietate intelectuală.

COMENZI – CARTEA PRIN POŞTĂ

EDITURA PARALELA 45Piteşti, jud. Argeş, cod 110174, str. Fraţii Goleşti 130Tel.: 0248 633 130; 0753 040 444 0721 247 918Tel./fax: 0248 214 533; 0248 631 439; 0248 631 492E-mail: comenzi@edituraparalela45.rosau accesaţi www.edituraparalela45.ro

Tiparul executat la tipografia Editurii Paralela 45E-mail: tipografie@edituraparalela45.ro

EDITURA PARALE

LA 45

3

RECA

PITU

LARE

Modele de teste pentru evaluarea iniţială

Recapitulare

1. a) Află cel mai mare divizor comun al numerelor 18, 60 şi 120. b) Găseşte cel mai mare număr de trei cifre care se împarte exact la 6, 8 şi 10.

2. a) Arată că fracţia 8 55 3nn

++

este ireductibilă, pentru orice n Î N.

b) Arată că fracţia 15 72aaa bbb

n++

este reductibilă, unde a, b Î N*, n Î N.

3. Rezolvă în Z ecuaţiile şi inecuaţiile următoare: a) |x – 2| = 5; b) |x – 5| £ 4; c) x2 £ 25; d) (x – 3)(2y + 1) = 10.

4. Preţul unui obiect creşte cu 20%. Află cu cât trebuie redus noul preţ, pentru a obţine preţul iniţial.

5. 'AOB şi 'AOC sunt unghiuri neadiacente, cu m('AOB) = 80° şi m('BOC) = 30°. Află măsura unghiu-lui format de bisectoarele unghiurilor 'AOC şi 'BOC.

6. Fie (OM bisectoarea unghiului 'XOY, iar ME ^ OX şi MF ^ OY. Demonstrează că OM ^ EF.

1. Află toate numerele de forma 5 9a b divizibile cu 3, dar nedivizibile cu 9.

2. Daca 3x = 5y, calculează 2 3

x yx y

++

.

3. Arată că numărul (x – 2)(x + 8)(x + 15) este divizibil cu 3, pentru orice x Î Z.

4. Un rezervor conţine apă potabilă pentru 60 de zile. Dacă consumul zilnic se micşorează cu 25%, află numărul de zile pentru care ajunge apa din rezervor.

5. În triunghiul ABC, [BF] şi [CE] sunt bisectoarele triunghiului, iar BF Ç CE = {I}. Arată echivalenţa: BI = CI Û DABC este isoscel.

6. În triunghiul ABC, [AD] este bisectoarea triunghiului, iar E este simetricul lui A faţă de D. Paralela prin E la AC taie dreapta AB în punctul P. Demonstrează ca triunghiul PDE este dreptunghic.

TESTUL 1

TESTUL 2

EDITURA PARALE

LA 45

5

MU

LŢIM

EA N

UM

EREL

OR

RAŢI

ON

ALE

Mulţimea numerelor raţionale ; incluziunea Ì Ì . Reprezentarea numerelor raţionale pe axa numerelor

1

Fracţiile *, ( , , , )a c a c b db d

∈ ∈¥ ¥ se numesc echivalente dacă ad = bc. În acest caz scriem a cb d

= .

Dacă a, b, c, d Î ¥*, a c ad bcb d

> ⇔ > .

Transformarea fracţiilor ordinare în fracţii zecimale:

O fracţie ordinară , 1, 2a a bb

≥ ≥ se transformă într-o fracţie zecimală prin împărţirea numărătorului la

numitor. Este recomandat ca, până la efectuarea acestei împărţiri, fracţia să se simplifice până la o fracţie ireductibilă.

Transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare:

· Fracţii zecimale finite: 1 2 1 21 2 1 2

... ...... , ...10

m nm n n

a a a b b ba a a b b b =

· Fracţii zecimale periodice simple:

1 2 1 2 1 21 2 1 2

cifre

... ... ...... , ( ... )99...9

m n mm n

n

a a a b b b a a aa a a b b b −=

· Fracţii zecimale periodice mixte:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

cifre cifre

... ... ... ... ...... , ... ( ... )

99...900...0m n p m n

m n p

p n

a a a b b b c c c a a a b b ba a a b b b c c c

−=

. Mulţimea numerelor raţionale este: , , 0m m n nn

= ∈ ≠

¤ ¢ .

Prin convenţie, orice fracţie se numeşte număr raţional.

{ }0− += ∪ ∪¤ ¤ ¤ , unde ¤– este mulţimea numerelor raţionale negative, iar ¤+ mulţimea numerelor raţionale pozitive.

Exemple de numere din ¤: 19 1100; 1; ; 8,7; ; 15,0(4)4 3

− − etc.

. Cunoaştem deja că ¥ Ì ¢.

Ce ştiu

Ce aflu

Capitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALEALGEBRĂ

Competenţa:Identificarea caracteristicilor numerelor raţionale şi a for-melor de scriere a acestora în contexte variate

EDITURA PARALE

LA 45

6

Oricare ar fi 1xx x∈ ⇒ = ∈ ⇒ ⊂¢ ¤ ¢ ¤ . Avem, aşadar: ¥ Ì ¢ Ì ¤.

Observaţie: Orice număr întreg este număr raţional.

Reciproca este falsă: de exemplu, 12

∈¤ , dar 12

∉¢ .

. Considerăm o axă cu originea în punctul O. Numărului raţional 0 îi corespunde punctul O, iar orică-rui număr raţional pozitiv îi corespunde un punct pe axă situat la dreapta originii, oricărui număr raţional negativ, un punct situat la stânga originii, ţinând cont şi de faptul că, dacă x > y, punctul corespunzător numărului raţional x este situat la dreapta punctului corespunzător numărului raţional y.

C O A B

–2,(6) 10 3,5

1. Stabileşte care dintre propoziţiile următoare sunt adevărate şi care sunt false:a) Numărul 0,(3) este întreg. c

b) Numărul 1,2 scris sub formă de fracţie ordinară ireductibilă este egal cu 65

. cc) Orice număr raţional este număr natural. c

d) Dacă 10,( )3

a = , atunci a = 3. c

2. Completează spaţiile punctate cu răspunsul corect.

a) Numărul 125

scris sub formă de fracţie zecimală este egal cu ..................... .

b) Mulţimea numerelor întregi este inclusă în mulţimea numerelor ............................. .c) A şasea zecimală a numărului 3,(456) este ............ .

d) Dacă 5n

este un număr întreg, atunci n Î {................................................}.

Ce am înţeles

1 Transformă următoarele fracţii ordinare în fracţii zecimale: a) 7725

; b) 2379

; c) 16

.

Soluţie: a) 77 3,0825

= ; b) 237 26,(3)9

= ; c) 1 0,1(6)6

= .

2 Transformă următoarele fracţii zecimale în fracţii ordinare: a) 5,7; b) 5,(31); c) 0,12(5).

Soluţie: a) 575,710

= ; b) 531 5 5265,(31)99 99

−= = ; c) 125 12 1130,12(5)

900 900−

= = .

3 Arată că fracţia 1

nn +

este ireductibilă, oricare ar fi n Î ¥*.

Soluţie: Fie *|

( , 1) | 1 |1 1| 1

nd nd n n d n n d d

d n

∈= + ⇒ ⇒ + − ⇒ ⇒ = +

¥

. Rezultă că fracţia 1

nn +

este ireductibilă,

oricare ar fi n Î ¥*.

Ştiu cum să rezolv

Z N

EDITURA PARALE

LA 45

90

Patrulatere convexe17Competenţe:

• Recunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în confi-guraţii geometrice date• Exprimarea prin reprezentări geometrice a noţiu-nilor legate de patrulatere

Capitolul I. PATRULATEREGEOMETRIE

Poligonul este linia frântă închisă, formată dintr-un număr finit de segmente, numite laturi. Patrulaterul este un poligon cu patru laturi. Patrulaterele pot fi convexe sau concave.

. Un patrulater se numeşte convex dacă, oricare ar fi o latură a sa, celelalte două vârfuri nesituate pe ea se găsesc în acelaşi semiplan faţă de dreapta suport a laturii considerate (figura 1).Patrulaterul concav (neconvex) este un patrulater care nu este convex (figura 2).

Figura 1 Figura 2

BC

A

D

T

Z

Y

X

. Dacă ABCD este un patrulater convex, atunci:– punctele A, B, C, D se numesc vârfurile patrulaterului;– segmentele [AB], [BC], [CD] şi [DA] se numesc laturile patrulaterului;– unghiurile ABC, BCD, CDA şi DAB se numesc unghiurile patrulaterului;– segmentele [AC] şi [BD] se numesc diagonalele patrulaterului.Observaţie: Păstrând notaţiile de mai sus, laturile AB şi BC se numesc laturi consecutive (la fel BC şi CD sau CD şi DA sau DA şi AB). Două laturi care nu sunt consecutive se numesc laturi opuse (exemplu: laturile AB şi CD sau BC şi DA). Analog se definesc unghiurile consecutive şi unghiurile opuse.

. Suma lungimilor laturilor unui patrulater se numeşte perimetrul patrulaterului.Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu 360°.Patrulaterul convex care are diagonalele perpendiculare se numeşte patrulater ortodiagonal.

Ce ştiu

Ce aflu

Ce am înţeles

1. Completează spaţiile punctate pentru a obţine propoziţii adevărate:a) Semisuma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu .................................... .b) Diagonalele patrulaterului convex MNPQ sunt ................. şi .................. (numeşte-le).c) Patrulaterul cu laturile egale cu 5 cm; 7 cm; 9,3 cm şi 10,2 cm are perimetrul egal cu ................... .d) În orice patrulater convex, diagonalele sunt .......................................... .e) În patrulaterul PQRS, latura opusă lui RS este ................................... .

EDITURA PARALE

LA 45

91

PATR

ULA

TERE

2. Încercuieşte răspunsul corect:a) Trei dintre unghiurile unui patrulater convex au măsurile de 32°, 105° şi 70°. Măsura celui de-al patru-lea unghi este egală cu: A. 166° B. 121° C. 151° D. 153°b) Câte patrulatere convexe se pot forma cu ajutorul a cinci puncte distincte necoliniare trei câte trei? A. 3 B. 4 C. 5 D. 10c) Care este numărul maxim de unghiuri ascuţite ale unui patrulater convex? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4d) Perimetrul patrulaterului convex ABCD, având dimensiunile: AB = 4,5 cm, BC = 3 cm, CD = 2 cm şi DA = 5 cm, este egal cu: A. 14,2 cm B. 14,5 cm C. 15,1 cm D. 14,7 cm

1 Notează corect patrulaterul din figura 3. Ce varian-tă de răspuns este corectă?

Figura 3

AB

D

Ca) BCDA; b) DCBA; c) ABDC;d) DCAB; e) ABC.Soluţie:Variantele a), b) sunt corecte.

2 Patrulaterul convex ABCD are două unghiuri drep-te. Află măsurile celorlalte două unghiuri, ştiind că ele sunt proporţionale cu 4 şi 5.Soluţie: Din relaţia m(A) + m(B) + m(C) + + m(D) = 360° şi ipoteză, avem că: m(C) +

+ m(D) = 180°. Pe de altă parte, m( ) m( )4 5

C D= =

m( ) m( )9

C D+=

20°. Obţinem că: m(C) = 80°

şi m(D) = 100°.

Ştiu cum să rezolv

1 Desenează un patrulater convex ABCD:a) cu două laturi opuse congruente;b) cu două unghiuri drepte; c) cu diagonalele perpendiculare;d) cu două laturi alăturate congruente.

2 Desnează un patrulater convex ABCD în care m(A) = 50°, m(B) = 70° şi m(C) = 140°. Care este măsura unghiului D?

3 Află al patrulea unghi al unui patrulater convex, dacă trei dintre măsurile unghiurilor sunt pe rând: 70°, 50° şi 100°.

4 Află măsurile unghiurilor unui patrulater convex, ştiind că ele sunt proporţionale cu numerele 4, 5, 6, 9.

5 Construieşte un patrulater convex ABCD. Care este unghiul opus unghiului BCD? Care sunt unghiurile ală-turate laturii AB? Care sunt unghiurile formate de dia-gonala AC cu laturile patrulaterului?

6 În patrulaterul convex ABCD se dau: m(BAD) = = 50°, m(ABC) = 140°, m(ADB) = 20° şi m(BDC) = = 65°. Calculează măsurile unghiurilor: DBC, ABD şi BCD.

Dificultate redusă (Înţelegere)

ACTIVITĂŢI MATEMATICE DIFERENŢIATEMă antrenez

EDITURA PARALE

LA 45

38

= 2

21 19 2 36

AC AC

1 ,18 ABCD A deci 18 · ANOE = AABCD. 8. Se arată că ∆ALC este echilateral. Apoi arătăm că M şi

S sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BDC şi, respectiv, LAC. Apoi cu reciproca teoremei lui Thales în ∆LOC.

9. Construim DE || AB, E (AC). Se arată că AE = ED. Apoi cu teorema bisectoarei AB BDBC DC

1 3.3

AE AEEC

Obţinem că AE = ED = 3. În ∆AED, AD < AE + ED AD < 6. 10. Fie AC BD = {O}. Aplicăm teorema bisectoarei în

∆ABD şi ∆ABC, deţinem BO ABOD AD

şi .AO ABOC BC

Cum AD = BC, cu reciproca teoremei lui Thales CD || AB

ABCD trapez isoscel. Se arată apoi că triunghiul ABD este dreptunghic cu un unghi de 30° AB = 2 · AD, şi cum AD =

= BC AB = 2 · CD. 11. Aplicăm teorema bisectoarei în ∆ABC de două ori, obţinem: DA BADC BC

şi EA CAEB CB

(1). Cum

AABD = A∆CBD, obţinem că ABCE = A∆BCD d(E, BC) = d(D, BC) DE || BC T.Th. DA EA

DC EB (2). Din (1) şi (2)

BA CABC BC

AB = AC ∆ABC isoscel de bază [BC] şi cum [AI bisectoare BAC AI BC. 12. Fie Q [AB] cu

QD || PM. Cu teorema lui Thales avem 2AQ AQAD

AM AP AB şi 2 .BD BQ BQ

BN BP AB Atunci:

2( )2.

AQ BQAD BDAM BN AB

13. a) Avem ADAB = ACAB AOAD + AOAB = AOBC + AOAB AOAD = AOBC; b) MN || AB T.Th. OM ON

MA NB

2 2

DMO CNO DMO DMA CNO CNB DOA COBDMA CNB

DMA CNB DMA CNB DMA CNB

AD MP BC NQ

A A A A A A A AA A

A A A A A A

.AD NQBC PM

Modele de teze

Teza 1: 1. Opusul lui 174

este 17 17, ,4 4

x [x] = –5, {x} = 0,25. 2. y = –2 . 3. a = 4, atunci A = {–3; –1; 0; 2; 3; 5}.

4. 5 · 2n . 5. a) AABCD = 96 cm2; b) m(BDC) = 45°, m(BCD) = 45°, atunci m(DBC) = 90°, deci BD BC.

6. a) PABCD = 80 cm; b) Fie P mijlocul lui [CD]. Avem R.T.Th1

2PM PNAM NB

MN || AB.

Teza 2: I. 1. ma(x, y) = 3 2, mg(x, y) = 4. 2. 72 km. 3. Aproximarea prin lipsă la ordinul miilor a numărului a este 2,236.

4. card(A) = 10. 5. a) A∆AMN = 20 m2; b) d(M, AB) = 83

m. 6. a) Se arată că [RP] [SQ] şi RP || SQ, de unde PRQS – para-

lelogram; b) PRQS şi BPDQ paralelograme, deci RS şi BD trec prin centrul dreptunghiului O.

Teza 3: 1. a = 4 3 şi b = 4 5, deci b > a. 2. mg(a, b) = 1 .2 3. n = 25. 4. ab {13, 31, 79, 97}. 5. A∆DOM = 54 cm2.

6. OC || BM T.Th. DO DC

OB CM şi cum DC OA DO OA

CM OC OB OC (1). AB || DC

T.Th. OA OBOC OD

(2). Din (1) şi (2) DO OBOB OD

OB = OD (3). Din (2) şi (3) OA = OC. Astfel, ABCD paralelogram.

Teza 4: 1. 4. 2. 4 6. 3. 10. 4. Fie d *, d = (8n + 3, 5n + 2). Se arată că d = 1. 5. Se arată că A∆BMC = 3ABCA

şi A∆ANC =

= 3ABCA

. Atunci A∆BMC = A∆ANC A∆BON + AMONC = A∆AOM + AMONC A∆BON + A∆AOM. 6. Se arată că [EF] [FG]

[GH] [HE] şi, spre exemplu, că m(HEF) = 90° (se arată că AP ND).

Cuprins

RECAPITULAREModele de teste pentru evaluarea iniţială ................................................................................................................3

ALGEBRĂCapitolul I. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE1. Mulţimea numerelor raţionale ¤; incluziunea ¥ ⊂ ¢ ⊂ ¤. Reprezentarea numerelor raţionale pe axa numerelor ..........................................................................................................................................................52. Opusul unui număr raţional. Modulul unui număr raţional. Compararea şi ordonarea numerelor raţionale ...103. Adunarea numerelor raţionale; proprietăţi; scăderea numerelor raţionale ........................................................154. Înmulţirea numerelor raţionale; proprietăţi .......................................................................................................205. Împărţirea numerelor raţionale .........................................................................................................................246. Puterea unui număr raţional; reguli de calcul cu puteri ....................................................................................287. Ordinea efectuării operaţiilor ............................................................................................................................328. Ecuaţii de forma ax + b = 0, cu a ∈ *, b ∈ ................................................................................................369. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor ................................................................................................40Test de autoevaluare..............................................................................................................................................44Recapitulare şi sistematizare prin teste ................................................................................................................45Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri .........................................................................................47

Capitolul II. MULŢIMEA NUMERELOR REALE10. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect. Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate ...............4811. Rădăcina pătrată a unui număr raţional nenegativ ..........................................................................................5212. Modulul unui număr real. Reprezentarea pe axă a numerelor reale. Aproximări şi rotunjiri. Ordonări .........5613. Reguli de calcul cu radicali .............................................................................................................................61Test de autoevaluare..............................................................................................................................................67Recapitulare şi sistematizare prin teste ................................................................................................................6814. Operaţii cu numere reale .................................................................................................................................7015. Raţionalizarea numitorului unei fracţii ...........................................................................................................7616. Media geometrică a două numere reale nenegative ........................................................................................82Test de autoevaluare..............................................................................................................................................86Recapitulare şi sistematizare prin teste ................................................................................................................87Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri .........................................................................................89

GEOMETRIECapitolul I. PATRULATERE17. Patrulatere convexe .........................................................................................................................................9018. Paralelogramul ................................................................................................................................................9419. Dreptunghiul ...................................................................................................................................................9820. Rombul ..........................................................................................................................................................10221. Pătratul ..........................................................................................................................................................10622. Trapezul.........................................................................................................................................................11023. Centrul de simetrie şi axe de simetrie pentru poligoanele studiate ...............................................................114Test de autoevaluare............................................................................................................................................118Recapitulare şi sistematizare prin teste ..............................................................................................................11924. Aria unui triunghi ..........................................................................................................................................12125. Ariile patrulaterelor .......................................................................................................................................125

EDITURA PARALE

LA 45

Test de autoevaluare............................................................................................................................................130Recapitulare şi sistematizare prin teste ..............................................................................................................131Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri .......................................................................................133

Capitolul II. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR26. Segmente proporţionale ................................................................................................................................13427. Teorema lui Thales ........................................................................................................................................13728. Linia mijlocie într-un triunghi.......................................................................................................................14129. Linia mijlocie a trapezului ............................................................................................................................14430. Teorema fundamentală a asemănării .............................................................................................................14731. Criterii de asemănare a două triunghiuri .......................................................................................................151Test de autoevaluare............................................................................................................................................155Recapitulare şi sistematizare prin teste ..............................................................................................................156Probleme pregătitoare pentru olimpiade şi concursuri .......................................................................................158

MODELE DE TEZĂ ........................................................................................................................................159

RĂSPUNSURI ..................................................................................................................................................161

EDITURA PARALE

LA 45