cakul bab ii bilangan kompleks

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Khairul Basar

Catatan KuliahFI2101 Fisika Matematik IASemester I 2015-2016

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Bandung

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Bab 2

Bilangan Kompleks

Pada BAB ini dibahas mengenai konsep-konsep bilangan dan variabel kom-pleks serta penggunaannya dalam penyelesaian persoalan fisika.

Bilangan kompleks terdiri dari dua bagian yaitu bagian real dan bagianimajiner. Misalnya bilangan kompleks yang dinyatakan dengan z = 5 + 3imaka angka 5 merupakan bagian real dari z atau dituliskan sebagai <(z)sedangkan angka 3 disebut bagian imajiner dari z dan dituliskan sebagai=(z) dari bilangan kompleks tersebut. Dalam penulisan bilangan kompleksi =

√−1 atau i2 = −1. Perlu diperhatikan bahwa bagian imajiner suatu

bilangan kompleks bukanlah imajiner.Bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai pasangan antara bagian real

dan bagian imajinernya. Jadi misalnya 5 + 3i dapat dituliskan sebagai (5, 3)serta −4− 5i dapat dituliskan menjadi (−4,−5).

2.1 Bidang Kompleks

Karena bilangan kompleks biasa dituliskan dalam bentuk pasangan bilang-an sebagaimana pasangan titik dalam sistem koordinat xy artinya sebuahbilangan kompleks dapat juga digambarkan sebagai titik dalam bidang kom-pleks. Bidang kompleks sering disebut diagram Argand. Sumbu mendatar(sumbu x) menggambarkan bagian real sedangkan sumbu tegak (sumbu y)menggambarkan bagian imajiner sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar2.1. Ini mirip dengan representasi titik dalam sistem koordinat kartesian.

Sebagaimana diketahui bahwa suatu titik dalam bidang xy juga dapatdinyatakan dalam ungkapan polar, maka bilangan kompleks juga dapat di-representasikan dalam bentuk polar yaitu (r, θ). Hubungan antara x dan ydengan r dan θ adalah

x = r cos θ

y = r sin θ

23

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

24 Bilangan Kompleks

Jadi suatu bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam representasi

z = x+ iy = r(cos θ + i sin θ) = reiθ (2.1)

r dinamakan modulus atau nilai mutlak dari z dan θ (dalam radian) disebutsudut dari z. Perhatikan gambar 2.2.

x

y

z = 5 + 3i

z = −4− 5i

<(z)

=(z)

(5, 3)

(−4,−5)

Gambar 2.1 Bidang kompleks.

x

y

z = 5 + 3i

<(z)

=(z)

(5, 3)

θ

r

Gambar 2.2 Representasi polar dalam bidang kompleks

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.2 Aljabar Kompleks 25

2.2 Aljabar Kompleks

Menjadikan bentuk x + iy

Setiap bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk x + iy. Denganbentuk ini, dapat mudah diidentifikasi bagian real dan bagian imajiner darisuatu bilangan kompleks.

Contoh 1

Tentukan bagian real dan bagian imajiner bilangan kompleks (1 + i)2

(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i+ i2 = 1 + 2i− 1 = 2i

Dengan demikian bagian realnya adalah 0 dan bagian imajinernyaadalah 2. Bilangan kompleks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

(1 + i)2 = 2i

Contoh 2

Ubahlah bentuk2 + i

3− imenjadi bentuk x+ iy

2 + i

3− i=

2 + i

3− i3 + i

3 + i=

6 + 5i+ i2

9− i2=

5 + 5i

10=

1

2+

1

2i

Contoh 3

Nyatakan z =1

2(cos 30◦ + i sin 30◦)dalam bentuk x+ iy.

Karena 30◦ = π/6 rad jadi akan diperoleh

z =1

2(cos 30◦ + i sin 30◦)=

1

2(cos π6 + i sin π

6

) =1

2eiπ/6=

1

2e−iπ/6

=1

2(cosπ/6− i sinπ/6) =

(√3

4− i1

4

)

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Konjugat kompleks (Complex conjugate)

Konjugat dari suatu bilangan kompleks z = x + iy dinyatakan dengan z̄ =x− iy. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikanbagian imajinernya dengan −1.

Contoh

Tentukan konjugat kompleks dari z =2− 3i

i+ 4

z =2− 3i

i+ 4=⇒ z̄ =

2 + 3i

−i+ 4

Nilai mutlak

Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan kompleks z = x + iy meng-gambarkan jarak titik yang direpresentasikan dengan (x, y) dengan pusatkoordinat di bidang kompleks. Dengan demikian dinyatakan dalam bentuk

|z| = r =√x2 + y2 =

√zz̄ (2.2)

Persamaan Kompleks

Dua buah bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian real bilangan kom-pleks pertama sama dengan bagian real bilangan kompleks kedua dan bagianimajiner bilangan kompleks pertama sama dengan bagian imajiner bilangankompleks kedua. Misalnya jika x+ iy = 2 + 3i maka berarti x = 2 dan y = 3.

Contoh

Tentukan x dan y jika (x+ iy)2 = 2i

(x+ iy)2 = x2 + i2xy − y2 = 2i

Dengan demikian diperoleh hubungan

x2 − y2 = 0 =⇒ y = ±x2xy = 2

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.3 Deret Kompleks 27

Selanjutnya diperoleh

2x2 = 2 atau − 2x2 = 2

Karena x harus real maka x2 tidak mungkin negatif, dengan demikiandidapat x2 = 1 dan y = x. Sehingga solusi persamaan tersebut adalahx = y = 1 atau x = y = −1.

2.3 Deret Kompleks

Yang dimaksud deret kompleks dalam hal ini adalah deret yang suku-sukunyaadalah bilangan kompleks. Jumlah bagian (partial sum) suatu deret komplekssecara umum tentu saja berupa bilangan kompleks (artinya dapat dinyatak-an Sn = X + iY ). Konvergensi pada deret kompleks didefinisikan denganpengertian yang sama seperti pada deret real. Suatu deret kompleks dikatak-an konvergen jika bagian real dan bagian imajinernya masing-masing adalahderet yang konvergen. Uji konvergensi pada deret real yang telah dipelajaridapat digunakan juga pada deret kompleks.

Contoh

Ujilah konvergensi deret kompleks berikut

1 +1 + i

2+

(1 + i)2

4+

(1 + i)3

8+ . . . =

∞∑n=0

(1 + i)n

2n

Dapat digunakan uji perbandingan (rasio)

ρ = limn→∞

∣∣∣∣ (1 + i)n+1

2n+1÷ (1 + i)n

2n

∣∣∣∣= limn→∞

∣∣∣∣1 + i

2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 + i

2

∣∣∣∣ =

√2

2< 1

yang berarti deret tersebut adalah deret konvergen.

Pada bagian terdahulu telah dibahas tentang deret pangkat dan intervalkonvergensi untuk variabel real. Pengertian yang serupa juga dijumpai dalamderet pangkat dengan variabel berupa bilangan kompleks, yang dinyatakansebagai berikut

∞∑n=0

anzn

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


dengan z = x+ iy dan an adalah bilangan kompleks.Jika pada deret pangkat real himpunan nilai yang membuat deret tersebut

konvergen dinamakan interval konvergensi (interval of convergence), pada de-ret kompleks himpunan nilai z yang membuat suatu deret kompleks bersifatkonvergen membentuk suatu daerah dalam bidang kompleks yang dinamakancakram konvergensi (disk of convergence).

Contoh 1

Tentukan daerah cakram konvergensi deret kompleks berikut

1− z +z2

2− z3

3+z4

4+ . . .

Deret tersebut dapat dinyatakan sebagai

∞∑n=0

(−z)n

nDengan menggu-

nakan uji perbandingan (rasio), maka dapat ditentukan syarat kon-vergensi deret kompleks tersebut

ρ = limn→∞

∣∣∣∣ (−z)n+1

n+ 1÷ (−z)n

n

∣∣∣∣= limn→∞

∣∣∣∣ zn

n+ 1

∣∣∣∣ = |z| limn→∞

∣∣∣∣ n

n+ 1

∣∣∣∣= |z|

Jadi agar deret tersebut konvergen maka |z| < 1. Karena |z| =√x2 + y2, maka artinya deret tersebut konvergen jika

√x2 + y2 < 1.

Dalam bidang kompleks, kondisi ini menggambarkan daerah di dalamlingkaran pada bidang kompleks dengan pusat di titik pusat koordinatdan berjejari 1.

Contoh 2

Tentukanlah daerah cakram konvergensi dari deret kompleks

∞∑n=0

zn

Dengan menggunakan uji rasio, maka konvergensi deret tersebut di-peroleh jika

ρ = limn→∞

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ < 1

yang memberikan kondisi |z| < 1.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.4 Rumus Euler 29

Jadi cakram konvergensinya adalah daerah di dalam lingkaran padabidang kompleks dengan pusat di titik pusat koordinat dan berjejari1.

2.4 Rumus Euler

Karena z = x+ iy berarti fungsi eksponensial dari suatu bilangan kompleksdapat dituliskan dalam bentuk berikut

ez = ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y) (2.3)

Selanjutnya bila menggunakan uraian deret Maclaurin, fungsi eksponensial

ex dapat dinyatakan ex = 1 + x +x2

2!+x3

3!+ . . .. Dengan demikian dapat

diperoleh bahwa

eiθ = 1 + (iθ) +(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+

(iθ)4

4!+ . . .

=

(1− θ2

2!+θ4

4!− . . .

)+ i

(θ − θ3

3!+θ5

5!− . . .

)= cos θ + i sin θ

Maka akan diperoleh bentuk yang mengaitkan representasi eksponensial un-tuk bilangan kompleks dengan bentuk trigonometri yang disebut sebagai ru-mus Euler, yaitu

eiθ = cos θ + i sin θ (2.4)

Dengan menggunakan rumus Euler tersebut dapat juga diperoleh bentuke−iθ, yaitu

e−iθ = cos θ − i sin θ (2.5)

Bila persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 dijumlahkan maka akan diperolehungkapan untuk cos θ, sedangkan bila persamaan 2.4 dikurangi dengan per-samaan 2.5 maka akan dapat diperoleh ungkapan untuk sin θ sebagai berikut

sin θ =eiθ − e−iθ

2i

cos θ =eiθ + e−iθ

2

(2.6)

Persamaan tersebut menunjukkan kaitan antara fungsi trigonometri sinus dancosinus dengan bentuk bilangan kompleks (dalam representasi eksponensial).

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Contoh 1

Tentukanlah nilai bilangan kompleks 2eiπ/6.

Jika bentuk tersebut dibandingkan dengan bentuk polar bilangankompleks yaitu reiθ, maka berarti diperoleh bahwa r = 2 dan θ = π/6.Selanjutnya dengan menggunakan hubungan representasi polar de-ngan bentuk x+ iy, maka akan diperoleh

x = r cos θ = 2 cosπ

6=√

3

y = r sin θ = 2 sinπ

6= 1

Dengan demikian maka dapat dinyatakan

2eiπ/6 =√

3 + i

Contoh 2

Hitunglah(1 + i)2

(1− i)

Operasi perkalian atau pembagian bilangan kompleks umumnya ak-an lebih mudah dilakukan dengan menggunakan bentuk eksponensial.Bila menggunakan bentuk eksponensial, maka

(1 + i)2 = (√

2eiπ/4)2 = 2eiπ/2

(1− i) =√

2e−iπ/4

Maka

(1 + i)2

(1− i)=

2eiπ/2√2e−iπ/4

=√

2ei(π/2+π/4) =√

2ei3π/4

Dan bila ingin dinyatakan dalam bentuk x+ iy diperoleh

x =√

2 cos3π

4= −1

y =√

2 sin3π

4= 1

Sehingga

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.4 Rumus Euler 31

(1 + i)2

(1− i)=√

2ei3π/4 = −1 + i

Tinjau kembali representasi eksponensial dari suatu bilangan kompleksyang dinyatakan dengan rumus Euler, untuk bentuk einθ dapat dinyatakansebagai berikut

einθ = (eiθ)n = (cos θ + i sin θ)n

= cosnθ + i sinnθ (2.7)

Persamaan 2.6 dapat digunakan untuk menghitung pangkat suatu bilangankompleks.

Contoh 1

Hitunglah (1 + i)3.

Bila dinyatakan dalam bentuk eksponensial, maka (1 + i) =√

2eiπ/4.Dengan demikian maka

(1 + i)3 = (√

2eiπ/4)3 =√

8ei3π/4 =√

8

(−√

3

2+ i

√3

2

)

Contoh 2

Hitunglah 3√−8i

Bila bilangan kompleks tersebut dinyatakan dalam bentuk eksponen-sial, maka

−8i = 8eiπ

Namun perlu diingat bahwa bila sudut θ ditambah dengan 2nπ, makauntuk lebih lengkapnya dapat dinyatakan

−8i = 8ei(π+2nπ)

Selanjutnya

3√−8i =

(8ei(π+2nπ)

)1/3= 81/3ei(π+2nπ)/3 = 2

(cos

(π

3+

2nπ

3

)+ i sin

(π

3+

2nπ

3

))dengan nilai n = 0, 1, 2, 3, . . . maka akan diperoleh

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


3√−8i =

{(1 +

i√

3

2

), (−1) ,

(1− i

√3

2

)}

Dengan mengambil bagian real atau bagian imajiner dari einθ, maka persa-maan tersebut dapat di atas digunakan untuk memperoleh ungkapan sin 2θ,cos 2θ, sin 3θ, cos 3θ dan sebagainya. Misalnya, untuk n = 3 maka diperoleh

ei3θ = (cos θ + i sin θ)3

cos 3θ + i sin 3θ = cos3 θ + 3i sin θ cos2 θ − 3 sin2 θ cos θ − i sin3 θ

= cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ + i(3 sin θ cos2 θ − sin3 θ

)yang berarti

sin 3θ = =(ei3θ

)= 3 sin θ cos2 θ − sin3 θ

cos 3θ = <(ei3θ

)= cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ

2.5 Fungsi Hiperbolik

Dengan menggunakan rumusan Euler, maka dapat pula diperoleh ungkapanyang lebih umum untuk bilangan kompleks z, yaitu

sin z =eiz − e−iz

2i

cos z =eiz + e−iz

2

(2.8)

Tinjau suatu bilangan kompleks yang murni imajiner z = iy, maka dapatdinyatakan

sin z = sin iy =ei(iy) − e−i(iy)

2i=e−y − ey

2i= i

ey − e−y

2

cos z = cos iy =ei(iy) + e−i(iy)

2=e−y + ey

2=ey + e−y

2

(2.9)

Terlihat bahwa nilai sinus dari suatu bilangan kompleks iy sama dengan i di-

kalikan suatu fungsi realey − e−y

2sedangkan nilai cosinus dari suatu bilangan

kompleks iy sama dengan suatu fungsi realey + e−y

2. Fungsi real tersebut

akan sering dijumpai dan diberi notasi khusus. Persamaan 2.8 memberikandefinisi tentang fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh),yang secara umum dituliskan dalam bentuk

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.5 Fungsi Hiperbolik 33

sinh z =ez − e−z

2

cosh z =ez + e−z

2

(2.10)

Beberapa fungsi hiperbolik lainnya dapat diperoleh sebagaimana fungsi tri-gonometri biasa, yaitu

tanh z =sinh z

cosh z, coth z =

1

tanh z

sech z =1

cosh z, csch z =

1

sinh z

(2.11)

Dari persamaan 2.8 dapat juga dituliskan bahwa

sin iy = i sinh y

cos iy = cosh y(2.12)

Contoh 1

Tentukanlah bagian real dan imajiner dari cosh(ix)

Karena cosh z =ez + e−z

2maka

cosh(ix) =eix + e−ix

2=

1

2(cos(x) + i sin(x) + cos(x)− i sin(x))

= cos(x)

Dengan demikian<(cosh(ix)) = cosx

=(cosh(ix)) = 0

Contoh 2

Nyatakanlah tanh(1− iπ) dalam bentuk x+ iy

Karena tanh z =sinh z

cosh z, maka

tanh(1− iπ) =e1−iπ − e−1+iπ

e1−iπ + e−1+iπ=e(cosπ − i sinπ)− e−1(cosπ + i sinπ)

e(cosπ − i sinπ) + e−1(cosπ + i sinπ)

=e(−1)− e−1(−1)

e(−1) + e−1(−1)=−e2 + 1

−e2 − 1

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


2.6 Pangkat dan Akar Bilangan Kompleks

Pada bagian terdahulu telah dijelaskan tentang pangkat dan akar dari bi-langan kompleks, yang maksudnya adalah pangkat atau akar real dari suatubilangan kompleks. Bagaimana halnya dengan pangkat atau akar kompleksdari suatu bilangan kompleks? Pada prinsipnya hal ini sama saja dengan yangdilakukan pada bilangan real. Dengan mengingat hubungan ln ab = b ln a danab = eb ln a, maka persoalan ini dapat diselesaikan dengan mudah.

Terlebih dahulu, tinjau logaritma dari bilangan kompleks. Misalkan suatubilangan kompleks z dan w yang hubungannya dinyatakan dengan z = ew

yang berarti w = ln z. Kemudian jika z = reiθ, maka diperoleh

w = ln z = ln(reiθ) = ln r + ln eiθ = ln r + iθ (2.13)

Persamaan tersebut memberikan hubungan antara suatu bilangan kompleksdengan bentuk logaritma.

Contoh 1

Hitunglah nilai ln(2i)

Karena2i = 2ei(π/2+2nπ)

Maka

ln(2i) = ln(2ei(π/2+2nπ)) = ln(2) + ln(ei(π/2+2nπ)) = ln 2 + i(π

2+ 2nπ)

Contoh 2

Hitunglah (2i)1+i

Karena ab = eb ln a, maka dapat dinyatakan bahwa (2i)1+i =e(1+i) ln(2i). Sedangkan telah diperoleh sebelumnya bahwa ln(2i) =ln(2) + i(π2 + 2nπ). Sehingga

e(1+i) ln(2i) =e(1+i)(ln(2)+i(π/2+2nπ)) = e(ln 2−π/2)+i(ln 2+(π/2+2nπ))

=e(ln 2−(π/2+2nπ)) [cos(ln 2 + (π/2 + 2nπ))

+i sin(ln 2 + (π/2 + 2nπ))]

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks 35

Contoh 3

Hitunglah nilai cos(π + i ln 2)

Dapat dituliskan bahwa

cos(π + i ln 2) = cosπ cos(i ln 2)− sin(π) sin(i ln 2)

Sedangkan cos(iy) =ey + e−y

2dan sin(iy) = i

ey − e−y

2, maka

cos(i ln 2) =eln 2 + e− ln 2

2=

2 + 12

2=

5

4

sin(i ln 2) = ieln 2 − e− ln 2

2= i

2− 12

2= i

3

4

Dengan demikian

cos(π + i ln 2) = −5

4− 0 = −5

4

2.7 Beberapa Penggunaan Bilangan Kompleks

Berikut ini diberikan beberapa contoh penggunaan bilangan kompleks dalampersoalan fisika.

Kinematika

Sebagaimana sistem koordinat kartesian dua dimensi, bidang kompleks da-pat digunakan untuk mendeskripsikan gerak suatu benda. Jika z menyatakanposisi suatu benda, maka jika posisinya berubah tiap saat akan dapat dinya-takan bahwa z(t).

Misalkan posisi benda tiap saat dinyatakan dengan z = 5eiωt dengan ωsuatu konstanta. Tentukan laju, besar percepatan dan deskripsi gerak bendatersebut.

Laju gerak benda adalah

v =dz

dt=

d

dt5eiωt = 5iωeiωt = iωz

Percepatan gerak benda adalah

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


a =dv

dt=

d

dt(5iωeiωt) = −5ω2eiωt = −ω2z

Terlihat dari percepatan gerak benda, bahwa percepatan gerak benda samadengan suatu konstanta dikalikan dengan posisi benda dan hal ini menyatak-an suatu gerak harmonik.

Analisa Rangkaian AC

C

L

R

V

VC

VL

VR

Gambar 2.3 Rangkaian RLC seri.

Dalam rangkaian arus bolak-balik dengan komponen R (resistor), L (in-duktor) dan C (kapasitor), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 2.3, mi-salnya arus total yang mengalir pada rangkaian dinyatakan dengan bentukfungsi harmonik I = I0 sinωt. Jika VR adalah beda tegangan pada kaki-kakiresistor R dan I adalah kuat arus yang mengalir pada hambatan tersebut,maka berdasarkan hukum Ohm dapat dinyatakan

VR = IR (2.14)

sedangkan hubungan antara tegangan pada induktor L dengan kuat arusdinyatakan dengan

VL = LdI

dt(2.15)

dan tegangan pada kapasitor dinyatakan dengan

dVCdt

=I

C=⇒ VC =

1

C

∫I dt (2.16)

Bentuk arus setiap saat tersebut bila dinyatakan dengan bilangan kompleksadalah I = I0 sinωt = I0e

iωt, maka

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


VR = RI = RI0eiωt = RI (2.17)

VL = LdI

dt= L

d(I0eiωt)

dt= iωLI0e

iωt = iωLI (2.18)

VC =1

C

∫I0e

iωt dt =1

iωCI0e

iωt =1

iωCI (2.19)

Tegangan total jika ketiga komponen tersusun seri adalah

V = VR + VL + VC = RI + iωLI +1

iωCI

=

[R+ i

(ωL− 1

ωC

)]I

= ZI

(2.20)

dengan Z = R + i

(ωL− 1

ωC

)dinamakan sebagai impedansi (kompleks)

pada rangkaian RLC seri.Hambatan efektif pada komponen induktor dinamakan reaktansi induktif

XL yaitu

XL =VLI

= iωL (2.21)

sedangkan hambatan efektif pada komponen kapasitor dinamakan reaktansikapasitif XC yaitu

XC =VCI

=1

iωC= − i

ωC(2.22)

Pada rangkaianRLC seri, impedansi (kompleks) dapat diperoleh dengan kon-sep yang sama dengan susunan seri tiga hambatan (resistor) yang masing-masing dinyatakan dengan R1 = R, R2 = XL = iωL dan R3 = XC =−i/(ωC) sehingga hambatan total (yaitu impedansi total) diperoleh sebagai-mana telah diungkapkan di atas yaitu

Z = R1 +R2 +R3

= R+XL +XC = R+ iωL− i 1

ωC

= R+ i

(ωL− 1

ωC

)Selanjutnya dapat diperoleh besar impedansi sebagaimana nilai absolut dariZ, yaitu

|Z|seri =√ZZ̄ =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

(2.23)

Suatu kondisi dengan Z sepenuhnya real (berarti bagian imajinernya samadengan nol) dinamakan kondisi resonansi.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Demikian pula halnya jika ketiga komponen (resistor, induktor dan kapasi-tor) disusun paralel, maka impedansi totalnya dapat diperoleh sebagaimanasusunan paralel tiga buah hambatan yaitu R1 = R, R2 = XL = iωL danR3 = XC = −i/(ωC). Hambatan (impedansi) kompleks total pada susunanparalel adalah

1

Z=

1

R1+

1

R2+

1

R3

=1

R+

1

XL+

1

XC=

1

R+

1

iωL+

1

−i/(ωC)

=1

R− i 1

ωL+ iωC =

1

R+ i

(− 1

ωL+ ωC

)Z =

1

1

R+ i

(− 1

ωL+ ωC

)Sehingga diperoleh

|Z|paralel =√ZZ̄ =

√√√√√ 1(1

R

)2

+

(− 1

ωL+ ωC

)2 (2.24)

Contoh

Pada rangkaian yang terdiri dari hambatan R yang tersusun seri de-ngan induktor L kemudian keduanya diparalel dengan kapasitor Csebagaimana ditunjukkan dalam gambar berikut, tentukanlah impe-dansi rangkaian tersebut.

C

R L

Impedansi total rangkaian tersebut adalah

1

Ztotal=

1

Z1+

1

Z2=Z1 + Z2

Z1Z2=⇒ Ztotal =

Z1Z2

Z1 + Z2

dengan Z1 = R+ iωL dan Z2 = − i

ωC. Dengan demikian

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


Ztotal =

(R+ iωL)

(− i

ωC

)R+ i

(ωL− 1

ωC

)

=

− iR

ωC+L

C

R+ i

(ωL− 1

ωC

)R− i

(ωL− 1

ωC

)R− i

(ωL− 1

ωC

)

=

(R

ω2C2

)+ i

(− R

2

ωC− ω2L

C+

L

ωC2

)R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

Optik/ Gelombang

Dalam persoalan optika seringkali gelombang cahaya direpresentasikan dalambentuk fungsi sinus (atau cosinus) dan sebagaimana telah dijelaskan sebelum-nya bahwa fungsi sinus dapat dituliskan dalam bentuk fungsi eksponensialkompleks. Misalnya suatu berkas cahaya dinyatakan dengan fungsi sin t danberkas yang lain memiliki beda fasa sebesar δ dibandingkan berkas sebelum-nya. Dengan kata lain berkas-berkas tersebut dapat dinyatakan sebagai fungsisin t, sin(t+δ), sin(t+2δ), sin(t+3δ), . . . dan seterusnya. Misalkan ingin dipe-roleh superposisi dari seluruh fungsi gelombang tersebut, maka hal ini akanmudah dilakukan dengan menggunakan representasi eksponensial komplekssebagai berikut.

Karena fungsi gelombang tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus,dan fungsi sinus adalah bagian imajiner dari fungsi eksponensial komplekseit, maka artinya superposisi fungsi sinus tersebut dapat diperoleh denganmengambil bagian imajiner dari deret berikut

eit + ei(t+δ) + ei(t+2δ) + ei(t+3δ) + . . .

Deret tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

eit + eiteiδ + eite2iδ + eite3iδ + . . . = eit(1 + eiδ + e2iδ + e3iδ + . . .

)yang berarti deret tersebut adalah berupa deret geometri dengan suku awaleit dan perbandingan antara suku yang berurutan (disebut sebagai rasio) sa-ma dengan eiδ. Telah diketahui sebelumnya (lihat kembali pembahasan padaBAB terdahulu) bahwa deret geometri yang suku awalnya a dan rasionya

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r


r mempunya jumlah bagian SN yang dinyatakan dengan SN =a(1− rN )

(1− r).

Dengan demikian jika terdapat n berkas gelombang maka jumlah bagiannyaadalah

Sn =eit(1− einδ)

1− eiδ

Selanjutnya dapat digunakan penyederhanaan berikut

1− einδ = einδ/2(e−inδ/2 − einδ/2

)= −einδ/2

(2i sin

nδ

2

)1− eiδ = eiδ/2

(e−iδ/2 − eiδ/2

)= −eiδ/2

(2i sin

δ

2

)Jadi diperoleh

Sn = eiteinδ/2

(sin nδ

2

)eiδ/2

(sin δ

2

) =eiteinδ/2

eiδ/2sin(nδ/2)

sin(δ/2)

= ei(t+(n−1)δ/2) sin(nδ/2)

sin(δ/2)

dan selanjutnya bila diambil bagian imajinernya maka akan diperoleh hasilsuperposisi dari fungsi sinus tersebut di atas, yaitu

sin

(t+

n− 1

2δ

) sin

(nδ

2

)sin

(δ

2

)Dari ketiga contoh penggunaan bilangan kompleks tersebut di atas (yaitu

persoalan mekanika, listrik dan optik/gelombang) terlihat bahwa representasibilangan kompleks dari fungsi harmonik (sinus atau cosinus) akan sangatmembantu menyederhanakan berbagai kesulitan matematik dalam operasialjabar fungsi harmonik.

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

Paket Soal Bab 2

1. Nyatakanlah bilangan kompleks berikut dalam bentuk x + iy dan jugabentuk polar reiθ.

a.3 + i

2 + ib. (1− i

√2)2 c. i4

2. Tentukanlah konjugat kompleks dan nilai mutlak masing-masing bilangankompleks berikut

a.2i− 1

i− 2b.

(1 + i

1− i

)5

c.z

z̄, dengan z = x+ iy

3. Selesaikanlah persamaan kompleks berikut untuk mendapatkan semua ni-lai yang mungkin dari variabel x dan y

a. (x+ iy)3 = −1 b.x+ iy

x− iy= −i c. |1− (x+ iy)| = x+ iy

4. Tentukanlah cakram konvergensi deret pangkat kompleks berikut

a. ez = 1 + z +z2

2!+z3

3!+ . . . b.

∞∑n=0

(z2

)n5. Hitunglah semua akar bilangan berikut ini

a. 5√

32 b. 3√−1 c. 3

√2i− 2

d. 5√i e. 8

√−1−i

√3

2f. 5√−1− i

6. Hitunglah nilai bilangan kompleks berikut (nyatakan dalam bentuk x+iy)a. ln(−e) b. i2/3 c. (−1)sin i

d. cos(2i ln i) e.(1−√

2i)i

f. iln i

7. Buktikanlah identitas fungsi hiperbolik berikut

a. sinh 2x = 2 sinhx coshx b. tanh z =tanhx+ i tan y

1 + i tanhx tan y

8. Tentukan impedansi total dari rangkaian arus bolak-balik yang terdiri darisusunan seri antara resistor R dan kapasitor C yang kemudian diparaleldengan induktor L.

41

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

42 Paket Soal Bab 2

9. Tentukan impedansi total dari rangkaian arus bolak-balik yang terdiri darisusunan paralel resistor R, kapasitor C, dan induktor L (rangkaian RLCparalel).

10. . . .

c©khbasar2015

caku

l fi2101

sem

120

15kh

basa

r

cakul bab ii bilangan kompleks

Documents