cal culo integral completo

Cálculo integral Unidad 1. Integrales

Calculo integral

Unidad 1. Integrales

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología


Tabla de contenidos

UNIDAD 1. INTEGRALES 3

Presentación de la unidad 3Consideraciones específicas de la unidad 3Propósito de la unidad 4Competencia específica 41.1. Integral definida 5

1.1.1. Área de una región 5Actividad 1. ¿Qué es área? 81.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales 81.1.3. Integral definida 15Actividad 2. Concepto de integral 161.1.4. Suma de Riemann 171.1.5. Evaluación de integrales 19Actividad 3. Sumas de Riemann 211.1.6. Regla del punto medio 221.1.7. Propiedades de la integral definida 22

1.2. Teorema fundamental del cálculo 251.2.1. Teorema fundamental del cálculo 25Actividad 4. Resolución de problemas TFC 291.2.2. Derivación e integración como procesos inversos 29Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo 30

1.3. Integral indefinida 301.3.1. Integral indefinida 311.3.2. Tabla de integrales indefinidas 31Actividad 6. Integral indefinida 32

1.4. Regla de sustitución 331.4.1. Regla de sustitución 34Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución 361.4.2. Integrales definidas 37Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas 381.4.3. Simetría 38

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración 40Fuentes de consulta 41



UNIDAD 1. INTEGRALES

Presentación de la unidad

En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemáticos para construir el cálculo integral. Verás que para calcular el área de una función, partiremos del hecho de sumar las áreas de rectángulos bajo una gráfica y el eje x, situación que nos conducirá al concepto de sumas de Riemann y al concepto de integral definida. Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirán desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral. En esta sección te darás cuenta de que el cálculo integral y diferencial están ligados por un eslabón muy importante: el teorema fundamental del cálculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales de manera muy práctica. Al igual que existen integrales definidas, también existen integrales indefinidas, mostraremos cuál es esa pequeña diferencia. Empezarás a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitución. Por último, revisaremos algunas reglas de simetría que algunas integrales poseen, ya que te permitirán ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.

Consideraciones específicas de la unidad

Para abordar este curso de Cálculo Integral es necesario que tengas conocimiento sobre matemáticas, álgebra y cálculo diferencial.

En esta sección requerimos el siguiente material:

Calculadora.

Tablas de integración. Puedes obtenerlas de algún libro o bien bajarlas de internet. Te aconsejamos que tengas las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y volumétricas comunes.



Propósito de la unidad

En esta unidad desarrollarás tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del cálculo, además de calcular volúmenes y promedios. También, estudiaremos la integral definida y la indefinida.

Competencia específica

Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del cálculo con base en definiciones, modelos y reglas.



1.1. Integral definida

En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situación de tener que calcular el área de alguna región de forma irregular, como ejemplo, calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en función del precio por metro cuadrado.

En esta sección veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos también algunas propiedades, también empezarás a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de Riemann.

1.1.1. Área de una región Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es área. Sabemos que es fácil calcular las áreas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula. Nos viene a la mente que el área limitada por un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado A l l ; de un rectángulo es lado por su altura; de un triángulo es la multiplicación de su base por su altura A bh. Así sucesivamente podemos citar muchas figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas.



Al l

A

Alh

bh

2

El área, entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del círculo.

Ahora nos enfrentamos a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: ¿cuál es el área?

La solución es sencilla: únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triángulo y sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno.



Así que el área total de este terreno es AT A1

A A A2 3 4

Veamos ahora una figura un poco más compleja ¿cómo se hallaría el área para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa una unidad de área. La figura quedaría así.

El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Podríamos ser más precisos, y para ello tendremos que hacer más pequeños nuestros cuadrados.

Nota: Hace aproximadamente 2500 años, los griegos sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos. También hallaron la forma de encontrar el área de una figura



curva; lo que hicieron fue inscribir polígonos en la figura y hacer que el número de lados del polígono aumentara. Usaban el método conocido como de agotamiento o exhaución.

Actividad 1. ¿Qué es área?

Esta actividad está diseñada para que trabajes en conjunto con tus compañeros(as) de grupo. Para ello, se ha diseñado un foro con dos entradas en las que deberás participar puntualmente.

Para comenzar:

Ingresa al forode esta actividad y da clic sobre la entrada “Presentación”, en ella, agrega un nuevo comentario y preséntate con cada uno (una) de los (las) integrantes del grupo, puedes comentar acerca de tus intereses académicos, profesionales o personales, así como responder a las aportes de los (las) demás.

Instrucciones

1. Presentación de cada uno de los integrantes.

2. ¿Qué esperas de la asignatura de Cálculo integral?

3. Discutan el significado de área.

4. ¿Qué es más fácil, obtener el área de una figura geométrica o de una irregular? ¿Por qué?

5. Explica con tus propias palabras qué entiendes por área.

1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales

En este subtema obtendremos el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra en el objeto de arriba. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos. El procedimiento es el siguiente:



2

Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la función y x . Hallaremos el área bajo la curva en la regióncomprendida entre 0 y 1 del eje x.

2

Podemos hallar el área aproximada, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por y x en laregión comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulosinscritos en la región S.

Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectángulo es igual a 1/10. La altura para cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas

2

los rectángulos son los valores de la función f (x) x en los puntos extremos de la derecha.

Considerando de la imagen que, para cada número x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la2

función f (x) x

La altura para el primer rectángulo es f 1

10

1

210

2 2Para el segundo f 2 ,

10 10

3 3Para el tercero f

10

102 ,



De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera:

1 2 2 2 3 2 4 2 5

, , , ,

2 6 2 7 2 8 2 9

, , , , 2 y 12

10 10 10 10 10 10 10 10 10

La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:

Realizamos la suma de todas las fracciones:

R10 77

0.385200

Esta es el área aproximada de la región S; sin embargo, nuestros rectángulos sobresalen por encima de la

gráfica, lo cual quiere decir que el área que hemos calculado es mayor que el área A de la región S.

A<0.385

Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendremos que hacer es considerar un

incremento de rectángulos, y así las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas. Al calcular la

suma total de rectángulos infinitesimales, obtendremos mejores estimaciones para el área de la región S.

Si incrementamos infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos

se hiciera muy pequeño, veremos que la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área A bajo la curva.

nn


De manera similar al desarrollo anterior, R es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho n

de cada rectángulo vale

2

1n

y las alturas las obtenemos al evaluar los puntos 1 2 3, , ,... hasta n en la

n n n n

función f (x) x , entonces, las alturas son: 12,22,32,42,...así sucesivamente hasta n2n n n n n

El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos.

R 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 3 4 n2 n n n n n n n n n n n

1 1Factorizamos

1R

n 2

n1 2 2 2 22 1 2 3 n

n n n

1 2 2 2 2

R 3 n n 1 2 3 n

La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por:

2 2 2 2 nn12n1 1 2 3 n

6

Sustituimos la expresión en nuestro desarrollo anterior.

Rn 1

3

nn1

2n1 n1 2n1 n1 2n1 2 2

n 6 6n 6n

Ahora le aplicamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito n debajo de la

curva.

R limn1 2n1

n n 26n

Reacomodamos algunos términos:



1n1 2n1R lim

nn

6 n n

1 1 1 R lim 1 2

n n 6 n n

1Recordemos que lim

n

1

n

1

0. Evaluamos los límites,

1 R 1020 2

n 6 6 3

Por lo tanto, el área de la región S es:

R n

13

Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S, usando rectángulos inscritos cuyas

alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaríamos al

mismo resultado cuando aplicamos el límite de infinitos rectángulos debajo de la función.

A limL lim R 1

n n nn 3



Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos; ya sea que pongamos rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los límites son iguales.

Ahora estamos preparados para analizar una región más general. Hallemos el área de la curva siguiente. Tomemos la región mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectángulos de anchos iguales.

El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es:

x ba

n

Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son:

x ax, x a2x,x a3x, x anx,

1 2 3 n

Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho x y una altura f (xi), que es el valor de f en los puntos

extremos de la derecha, tiene un área igual a f (x )x . Observa detenidamente la figura de abajo. i

Nota:

Cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”, así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo sobre el eje x.



Entonces, el área bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las áreas de todos los rectángulos.

Rn f(x)x f(x )x f(x )x1 2 3 ) (xn xf

Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a,b]. Te aseguramos que esta aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de rectángulos bajo la curva, es decir, cuando n .

Una vez analizado el caso general para un área aproximada, podemos definir el área A de la región S.

Definición. El área A de una región S que se encuentra debajo de una función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

A lim R limf(x)x f(x) f(x )x f(x )x

n n 1 2 3 nn

Ojo, para que el límite exista se está suponiendo una función f continua.

Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen muchos términos. Por ejemplo,

n

f(x )x f(x1)x f(x2)x f(x3)xi1

Nota:n

En la notación sigma f(xiim

( )xnxf

) x se identifican las siguientes partes.

i=m, indica que debemos comenzar con i=m, n

indica terminar con el elemento n,

y el símbolo indica sumar.

Por lo tanto, la definición anterior la podemos escribir de la siguiente manera:

A limn

n

f (xi )xi1

Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.

A limn

n

f (xi1)xi1



Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo

como el valor de f en cualquier número xi* en el i-ésimo subintervalo [xi-1,xi]. Los números x1*,x2*,…xn* reciben el nombre de puntos muestra.

La figura de abajo muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes a los puntos de los extremos.

La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es:

A limn

1.1.3. Integral definida

n f (xi1)x

i1

n

Anteriormente habíamos obtenido un límite de la forma limn f (xi1)x cuando se calcula un área bajo

i1

una curva. Hablando más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y una notación especial.

Definición de integral definida. Si f es una función continua definida para axb, dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho x (b a) n . Denotamos con x0 (=a), x1,x2,…xn (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y

elegimos los puntos muestra x1*,x2*,…xn en estos subintervalos de modo que xi* se

encuentre en el i-ésimo subintervalos [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b es:

n

b f(x)dx lim f (xi )x

a n i1



Nota:

En una integral se identifican las partes:

b f (x)dxa

El signo se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que una integral

es un límite de sumas.

Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior de la integral.

A f(x) se le llama integrando.

dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qué variable se está integrando, y de cálculo diferencial lo identificamos como un diferencial.

Al procedimiento para calcular una integral se le llama integración.

Nota:

b

La integral definida f (x)dx es un número, no depende de x. Se puede tomar a

cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral.

Ejemplos:

b f (x)dx

ab

f (t)dt a

b b

f (y)dy f()da a

b b

f (r)dr f (s)dsa a

Actividad 2. Concepto de integral Ingresa a la Wiki Concepto de integral, y en colaboración con todos(as) tus compañeros(as) realiza lo que se solicita a continuación:

1. Construye el concepto de integral con base en los temas estudiados hasta el momento. 2. Da ejemplos de integral y sus aplicaciones en la vida cotidiana y profesional.

Se respetuoso con las aportaciones de los(as) demás y proporciona al menos dos ejemplos. La idea es mejorar y enriquecer las definiciones

Instrucciones



1. Construye el concepto de integral con base en los temas vistos. 2. Da ejemplos.

1.1.4. Suma de Riemann A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida:

n

b f(x)dx lim f (xi )x

a n

se le conoce con el nombre de suma de Riemann.

n

i1

f (xi )xi1

Esta sumatoria representa la suma de áreas de los rectángulos de aproximación.

La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función f (x) .

Con este ejemplo podemos ver que la suma de Riemann es:

5

i 1

f(x)x Ai 1 A2 ) (A3) A4 A 5

Si f (x )0 es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de losi

rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con signo negativo son inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en

ese tramo f (x )0

i



De la relación de la definición de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:

b

Si f (x) 0 , la integral definida f (x)dx es el área bajo la curva y f (x) , desde a hasta b. a

b Si f (x) adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida f (x)dx es la

a

diferencia de áreas:

b

f (x)dx A A

R arriba R abajoa

Donde A representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica f (x) ; y R arriba

AR abajo representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica f (x) .

Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo de como hallar el área bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann, aplicando el concepto de integral definida.

http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY

http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related


3


Ejemplo

n 5

Expresa lim xi xisen xi como una integral en el intervalo [0,π].n

Solución

i1

De acuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa

cómo se elijan los puntos muestra x , podemos remplazar x x tomando como puntos muestra los i i

puntos extremos derechos, por lo tanto, el límite lo podemos escribir como:

limn

nb

f(x)x f (x)dx i

ai1

Comparando el límite de la función dada f (x ) en la definición de integral definida f (x) con la integral de i

nuestra función, identificamos que:

f(x) f (x)i

f(x ) x5 xsen

ix cuando x x

i En consideración de lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera.

n 5 5

lim xi xsen xi i x x xsenxdx

n 0i1

1.1.5. Evaluación de integralesAntes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesarioque conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias.

n

i i1

n2

n(n1)2

n(n1)(2n1)

n n

c nc i 1 i1

n n n

n

(ai bi ) i1

n

ai n

b i i1

n

i i1

n

i

6

n(n 1)

cai c a i i1 i1

2

(ai bi ) ai b i i1 i1 i1

i1 2


Cálculo integral Programa desarrollado

Consideremos el siguiente ejemplo.

a) Evaluar la suma de Riemann para f (x) x 2 , en el intervalo [3,5].

5

b) Evalúe 3

Solución.

x2dx

a) x estaba dado por:

x ba

n

Sustituimos a y b,

x 53

n

2

n

Para la i-ésima partición o rectángulo,

x ai

2ix 3 i

n

La suma de Riemann está dada por:

n

f (xi )x,i1

recuerde que la función f (x) es f (x) x 2 , así que sustituimos xi y x .

n n n n n n

f(x )x ( 2)x 2i 2 3 2

2i 2 2 1

4i 2 4i i

i1 xi i1 i1

n

n i1 n n i1

2n n

i1 n n

2

Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoriacorrespondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección.

n n

f (x )x 2i 23 2

n n n 2i2 2 4i 2 4i 1

i1

2

i

n4

i1 n n

2 4

n i1 n n i1 n n(n 1) n 1

2n

i1 n

1

2n

1

n1

i1

2n

i1

i (n) n

2n 2 2

2 n 2 21 22 n n

Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann.

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20


n

f (xi )x i1

22

1

n

b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el área bajo la curva entre los límites 3 y 5 del eje x.

bA

n

f (x)dx lim f (xi )x 1 lim 22 2(20) 4

a n ni1

Actividad 3. Sumas de RiemannInstrucciones

n

Realizar lo que se pide en cada punto.

1. Expresar limn

n

i1

cosx xi i tan xi como una integral en el intervalo [0,π].

n

8 3 42. Expresar lim x i i

xn

i1 3n

1/ 2

como una integral en el intervalo [3,9].

3. Expresar lim x ln x3 como una integral en el intervalo [0,3].n i i

i1 4. Evaluar las siguientes sumas de Riemann:

a) Evaluar la suma de Riemann para f (x) 5x 6 , en el intervalo [2,5]. b) Evalúa

3

55x 6dx

2

53

a) Evaluar la suma de Riemann para f (x) x 7

2

, en el intervalo [3,4]. b) Evalúa

2

x 7dx

12

a) Evaluar la suma de Riemann para f (x) 2x 3x x 2x 3x xdx

, en el intervalo [-2,1]. b) Evalúa 2

5. Calcular la integral definida1

2xdx mediante sumas de Riemann. 2

7 23 2

8. Calcular la integral definida 5x x dx mediante sumas de Riemann. 2

3



21


1.1.6. Regla del punto medio

Anteriormente el punto medio de un rectángulo más pequeño es x , cuyo valor era arbitrario, podía estar i

entre x y x . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, esi1 i

conveniente usar puntos medios denotados por x . Tenemos la regla que dice. i

Regla de punto medio

b n

f (x)dx f (x i )x xba

f (x 1) f (x n ) , donde x a n

i11

Y x (x x ) que es el punto medio de intervalo o la base del rectángulo [ x , x ]i 2 i1 i

Ejemplo

Calcular por aproximación la integral 2

i1 i

1 dx usando la regla del punto medio con n=5.x

1

Solución

Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0.

x 21

5

1

5

1Los puntos medios son x

1 (1.21) 1.1, así sucesivamente para los demás: 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9.

2

La integral aproximada es:

2

1 dxx

x f (1.1) f (1.3) f (1.5) f (1.7) f (1.9) 1

2

1

2

1 dxx

1

15

1

1 1 1 1

x dx 0.692 1

1.1.7. Propiedades de la integral definida En esta sección encontrarás las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar integrales. Considere que las funciones f y g son continuas.

Si a b se cumple

1.

a

f (x)dx

bf (x)dx

b a

1917151311



22


Si a b , x 0

2.

af (x)dx 0

a

Propiedades básicas de las integrales

b3.

a

cdx c(ba) , c es una constante.

La integral de una suma es la suma de las integrales.

b b b

4. f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dxa a a

b b

5. cf (x)dx c f (x)dx , c es una constante.a a

b6. f(x) g(x)dx

b bf (x)dx g(x)dx

a a a



23


Si f (x) 0 y a c b se cumple la propiedad.

7.

cf (x)dx

b

g(x)dx

b

f (x)dx

a c a

Propiedades de orden de la integral

Las siguientes propiedades son válidas para a b

a

8. Si f (x) 0 para a x b , entonces a

f(x)dx 0

b b

9. Si f (x) g(x) para a x b , entonces a f (x)dx a

g(x)dx

b10. Si m f (x) M para a x b , entonces m(b a)

a

f (x)dx M(b a)

Esta última propiedad está ilustrada en la siguiente figura. Afirma que el área bajo la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo de altura m y menor que el área del rectángulo de altura M.

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1.2. Teorema fundamental del cálculo

En esta sección veremos el teorema fundamental del cálculo, así como su importancia en cálculo para integrar y/o derivar.

Recordemos que el teorema fundamental del cálculo establece la conexión entre las dos ramas del cálculo, el diferencial y el integral. En otras palabras, la diferenciación y la integración son procesos inversos. Dan la relación precisa entre la derivada y la integral.

El TFC permite calcular integrales con mucha facilidad sin tener que emplear límites de sumas.

1.2.1. Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo se establece en dos partes. Veamos la primera parte.

Primera parte del teorema fundamental del cálculo

La primera parte del teorema fundamental del cálculo se deriva del siguiente análisis.

Consideremos la siguiente gráfica.

Tenemos una curva en rojo, representada por una función f (t) como lo muestra la gráfica. Por otra parte,

podemos pensar en una función g(x) que describe el área bajo la curva desde a hasta x, representada por:

xg(x) f (t)dt

a




Ahora, supongamos que queremos calcular el área de la franja azul encerrada bajo la gráfica y los intervalos x y x+h (ver la parte derecha). Por lo tanto el área que estamos buscando es simplemente la diferencia de áreas de la región limitada por [a, x+h] menos el área de la región limitada por [a, x].

También existe otra manera de estimar el área de ese pequeño segmento de área limitado entre x y x+h, mediante calcular el área del rectángulo verde cuya área es h por f(x). El área del rectángulo verde es

aproximada al área de la franja azul, es decir:

hf (x) g(x h) g(x)

Esta aproximación es más precisa cuando el ancho del rectángulo verde h tiende a cero. Se convierte enigualdad cuando h tiende a cero como límite.

Ahora, si a la aproximación hf (x) g(x h) g(x) la dividimos por h en ambos lados, se obtiene:

f (x) g(xh) g(x)

h

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada de lafunción y que el miembro izquierdo se queda como ƒ(x).

g(x) limh0

g(xh) g(x)

h f (x)




Se muestra entonces de manera intuitiva que ƒ(x) = g(x) , es decir, que la derivada de la función de área

g(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área g(x) es la antiderivada de la

función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas".

Esto lo podemos enunciar en la primera parte del teorema fundamental del cálculo, que dice.

Primera parte del TFC

Dada una función f continua en [a,b], la función g definida por:

x

g(x) f (t)dt a x ba

Es continua en [a,b] y derivable en (a,b),

y

g(x) f (x)

Con la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir el teorema fundamental del cálculo de lasiguiente manera. Considérese que f es continua.

d x

dx

a

f (t)dt f (x)

Recalquemos que esta ecuación indica que, si primero integramos f y luego derivamos el resultado, obtendremos nuevamente la función original f.

Ejemplo

Determinar la derivada de la función g(x)

Solución

x

1t2dt0

xReconoceremos las partes que describe el teorema fundamental del cálculo. g(x)

2

a

f (t)dt .

Identificamos que f (t) 1t es una función continua según el teorema, por lo que finalmente:

2

g(x) 1x



27


En el siguiente video podemos ver cómo es que integración y diferenciación son procesos inversos.

http://www.youtube.com/watch?v=OwcpLNyfriE&feature=related

Segunda parte del teorema fundamental del cálculo

La segunda parte del teorema fundamental del cálculo ofrece un método más sencillo para evaluar integrales.

Segunda parte del TFC

Dada una función f continua en [a,b], entonces

b

f (x)dx F (b) F(a)a

F es cualquier antiderivada de f, de tal forma que F’=f

Esto quiere decir que si conocemos una antiderivada F, de f, es posible evaluar b f (x)dx con sólo restar a

los valores de F en los extremos del intervalo [a, b].

Nota:

Existen estas otras formas para denotar el teorema fundamental del cálculo.

Ejemplo

dxEvalúa la integral 63 x

Solución

1

bF(x)a F(x)

a F bF(b)F(a)

a

Una antiderivada de f (x) x es F (x) ln x . Dado que los límites de integración se encuentran en [3,6] podemos omitir las barras de valor absoluto.

6

dx3

ln x6 6

ln 6 ln3 ln ln23

x 3




Actividad 4. Resolución de problemas TFC Instrucciones

Ha llegado la hora de resolver algunos problemas que te servirán para comprobar tu aprendizaje sobre el tema. Realiza en un documento de Word lo que se pide en seguida:

Realizar lo que se pide en cada punto.

1. Evalúa la integral exdx5 1

3

2. Calcula el área bajo la curva y x desde 0 a 1.2

3. Calcula 0

2x1dx .

dx4. Halla la integral de 3

1

dx

5. Calcula

2 t 1dt

dx x0 6. Evalúa la función F x

costdt en x=0, 6 , 4 , 3 , 2 0

3 x 7. Halla la derivada de F costdt 2

8.- Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A4_XXYZ.

9.-Envíale tu documento a tu Facilitador(a) para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.

*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos Hemos visto la importancia que tiene el teorema fundamental del cálculo, nos muestra claramente que la integración y la derivación son procesos inversos.

El teorema fundamental queda establecido como a continuación se enuncia. No lo olvides y tenlo siempre presente.

Dada una función f continua en un intervalo cerrado [a, b].

x

1. Si g(x) f (t)dt , entonces g(x) f (x) . a




b2.

a

f (x)dx F(b) (a), donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F’=f.F

Las dos partes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son procesos inversos. Cada una deshace lo que hace la otra.

Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo

Ingresa al foro que lleva el nombre de la actividad, y realiza lo que se te solicita:

1. Responde las siguientes preguntas y compártelas en un nuevo comentario: ¿Qué ventajas proporciona el teorema fundamental del cálculo? ¿Qué consecuencias habría de no existir el teorema fundamental del cálculo?

2. Lee las participaciones de tus compañeros(as),al menos de dos diferentes, y comenta sus aportes. Recuerda ser respetuoso(a) al externar tus opiniones.

3. Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación para apoyar tu proceso de aprendizaje.

Instrucciones

1. ¿Qué ventajas proporciona el teorema fundamental del cálculo?2. ¿Qué consecuencias habría de no existir el teorema fundamental del cálculo?

1.3. Integral indefinidaEn el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la derivación. Esto esuna consecuencia del teorema fundamental del cálculo.

1x2dx x

3

3 C

d

dx

23

3x C

2 x

Cuando quieras conocer una integral sin tener que evaluarla, deberás tener en mente esta imagen, te permitirá hallar de manera más sencilla la integral de una función. Las tablas de integrales resumen estos procesos inversos, te serán de gran ayuda.



30


1.3.1. Integral indefinida De las secciones precedentes habíamos llegado a dos puntos muy importantes del teorema fundamental del cálculo.

1. Si f es continua entonces xf (t)dt es una antiderivada de f. a

b

2. Si a

f (x)dx F (b) F(a) , donde F es una antiderivada de f.

Sin embargo, por practicidad, es precisa una notación para las antiderivadas. Por lo tanto, a la integral

x f (t)dt se le llama integral indefinida. a

Integral indefinida

f (x)dx F(x) F(x) f (x)

Ejemplo

d

2x derivación

C

2x f (x) esta es la derivada

dx 2

2 Antider va x

f (x) 2x

C es cualquier constante.

2xdx 2 C esta es la antiderivada o integral indefinida

El TFC trae como consecuencia que una integral definida es una familia de funciones para cada valor de C.

Nota importante:

La integral definida b

f (x)dx es un número. a

La integral indefinida f (x)dx es una familia de funciones, dado por C, que puede ser cualquier

número.

1.3.2. Tabla de integrales indefinidas A continuación te desplegamos una lista de antiderivadas de funciones, o mejor dicho integrales indefinidas.

Tabla de integrales indefinidas



31


cf(x)dxc f (x)dx

kdx kxC

n1

f(x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx

xndx

x 1C (n 1) dx ln x C

n1 x

exdx ex C

xa

axdx Clna

sen xdx

cosxC

2sec xdx

tanxC

sec tanx dx secxC

1 1

cos xdx

sen xC

2csc xdx

cotx C

csc cot xdx cscx C

1 1

x21

dx tan x C x

dx sen xC2

1

De manera semejante a lo que se hizo en la sección anterior, puedes derivar la función del lado derechopara verificar que se obtiene el integrando. Observa.

Actividad 6. Integral indefinida

1

x

d 1dx ln x C porque ln x C

dx x

1. Calcular las siguientes integrales indefinidas y verificar su resultado por derivación:

a) 452

dx

x 1b)

x

xdx

1c) dx

xsenx

d) cos 2 dx x




e) x

2

3 3 x

x3

1 dx

x

f)

x x 34

dx

x g) 13tt3dt

h) 10dz

i) 7sen cos d

senj) 2 d

1 sen

Instrucciones

2. Guarda tu actividad con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A6_XXYZ.

3. Envíala a tu Facilitador(a) para que la revise y espera su retroalimentación.


1.4. Regla de sustitución

Hemos visto cómo evaluar algunas integrales; sin embargo, si te presentan una integral de la siguiente forma,

1d

de seguro te surgirán las siguientes preguntas:

¿Cómo le hago?

¿Existe algún truco?

¿Hay algún método para evaluarlas que tenga que ver con raíces?

Las respuestas las encontrarás aquí.

El radical aparentemente te la hace complicada, pero veremos una alternativa interesante para calcular

integrales que contengan radicales, veremos que el método de sustitución es ideal para resolver este tipo

de integrales.

Lo esencial de esta regla es transformar una integral complicada en una integral más sencilla, Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a una nueva variable u que es función de x. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología


1.4.1. Regla de sustitución Hemos visto en nuestras tablas la forma de hallar ciertas antiderivadas; sin embargo, no tenemos las herramientas para evaluar integrales donde se vean involucradas radicales o integrales de la forma:

2x 1 x2dx

Para resolverlas implementaremos el siguiente método de sustitución:

Lo que haremos será introducir un cambio de variable de x u .

Designamos por conveniencia a 21 ux :

u1x 2

Calculamos el diferencial du (esto se estudió en cálculo diferencial). Es algo análogo a calcular una derivada.

du 2xdx

Ahora reacomodamos nuestra integral para facilitar la identificación de términos. Y sustituir estos dos últimos resultados en nuestra integral:

2x 1 x2dx

2

1 x

u

xdx udu u1/2du2

du

Nuestra integral ha quedado en términos de la nueva variable u, procedemos a calcular la integral con la

formula: x

xndx n1

C que vimos de la sección de tablas de integración.

n1

/

u du u1

1 11

2 2

uC

1

2 3 3

2 2

u 22

C C u C2 3

2 1 32 2 2

Ahora que hemos calculado la integral en términos de la variable u procedemos a poner nuestro resultadoen la variable anterior, es decir, u x .

Finalmente podemos escribir que:

32 2 2

u 2 C 1 x 2 C3 2 3

1x

32

2x 1 x2dx 3 1x22 C

12



34


Hemos visto que evaluamos de manera sencilla nuestra integral haciendo la introducción de un cambio de variable.

Para comprobar nuestro resultado, simplemente, derivamos

de la cadena, la cual se vio en cálculo diferencial.

2

31 respecto de x usando la regla

El procedimiento anterior lo escribimos con la siguiente regla:

Regla de sustitución

Si tenemos una función u g(x) diferenciable en el intervalo I, y además continua en

ese mismo intervalo, entonces:

g(x)g(x)dx f (u)duf

Así que si u g(x) , entonces du g(x)dx . La clave es pensar en du y dx como diferenciales.

Ejemplo

Encontrar

Solución

x

14x

dx2

2

Proponemos u14x , ahora calculamos el diferencial. du 8xdx

Ahora reescribimos nuestra integral, de modo que se adapte a u y du para hacer el cambio de variable.

Observa que del cociente se identifica al denominador como du y al denominador como u .

du

x dx

2

1 8xdx

214x 8 14x

u

Identificamos a du y u y la integral se reescribe como:



x22C3

35


1 du

8 u

Seguimos reacomodando términos que se pueden sacar de la integral.

1 du

1

du

/

1

2

1 u

1

11

2

1 u 2 /C C u C

1

8 u 8 u 8 2 1 8 82

Ahora colocamos nuestro resultado en términos de la variable inicial.

1

8

du

u

2 1/2 1 2 /

u C 14 C8 4

Finalmente nuestra integral queda expresada de la siguiente manera.

x

14x1

dx 2

4

/2

14 C

Para comprobar, se precede a derivar.

Actividad 7. Integración usando reglas de sustitución Realiza en un documento de Word lo que se pide en cada punto:

1. Resuelve las siguientes integrales usando el método de sustitución:

a) 2x

1dx f)2 2

9t2 2t dt

b)

c) x 1

2x5

cos5xdx

2

dx g)

h)s

ec2y g2

sec1xtg

2

1

xdx

d)

e) 3

u

i)4

u 2duj)

x 1dx

2x 15x

dx e

2. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U1_A7_XXYZ y envíala mediante la sección de Tareas. Tu Facilitador(a) la revisará y posteriormente te retroalimentará.


tydy

12

sen3xcos3xdx

12x

12x

12



36


1.4.2. Integrales definidas

Habíamos mencionado anteriormente en una nota que: la integral definida bf (x)dx es un número y que la

a

indefinida f (x)dx es una familia de funciones, dado por C.

Sin embargo, como nos encontramos sumergidos en el tema de integrales definidas trataremos dos maneras de evaluar una integral definida.

La primera consiste en hallar la integral como en los casos propuestos de la sección anterior para evaluar la integral.

3Supongamos que piden que evaluemos la integral:2x

0

evaluar según los límites superior e inferior.

1 x2dx , se calcula la integral y se procede a

3

0

22x 1 x dx

22

1 x3

3

2

3

0

32 2

22

1 13 3

3 3 32 2

22

102 1 2 3 3

2 1000 1

3

El otro método consiste en cambiar los límites de integración al momento de cambiar la variable. Con ello surge la siguiente regla.

Regla de sustitución para las integrales definidas

Si tenemos una función g(x) continua en el intervalo [a,b] y f también es continua en

la imagen de u g(x) , entonces:

b g(b)

fg(x)g(x)dx f (u)dua g(a)

Analicemos el siguiente ejemplo:

Calculemos la siguiente integral definidae

ln x

dx0

x Antes que nada procedamos a realizar el cambio de variable.

u ln x

Su diferencial es du 1x dx

Identificamos términos y los intercambiamos por la nueva variable, teniendo así:

e ln x ?

0 dx x

?

udu

El signos de interrogación “?”, denota que no sabemos los nuevos límites de integración. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

3 0

37


Ahora los límites de integración quedan definidos por la nueva variable

Cuando x 1 sustituida en u ln x da u ln(1) 0

y cuando x e ; u ln(e) 1

Por tanto los nuevos límites de integración son: 0 y 1, inferior y superior, respectivamente. Quedando así la nueva integral con sus nuevos límites de integración.

1 udu 0

Resolvemos y evaluamos.

1 u udu

2 11

0 2 0 2

Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas

1. Evalúa las siguientes integrales definidas en un documento de texto.

2 2

a) 2x1dx f) t cos t dt0 0 6

b) 2

2xex 3 x3dx g)

2

senxcosxdx

0 2 2

2 3

c) xcosx x2dx h) x x2dx0

4 02

d)

e)

e

e

3

3xdx

2x ln x

5sen d

i)

j)

12

0

x1 2 xdxe6x ln xdx

4

2. Guarda tu archivo con la nomenclatura CIN_U1_A8_XXYZ.

3. Envíala a tu Facilitador(a) y atiende sus comentarios al respecto.

Si consideras que te faltan elementos para realizar los ejercicios, puedes repasar los temas previos o consultar al (a la) Facilitador(a).



38


1.4.3. Simetría En algunas integrales es posible simplificar los cálculos, poniendo atención a sus propiedades. En cálculo diferencial revisaste las propiedades de simetría de una función.

Considera lo siguiente.

Integrales de funciones simétricas

Si tenemos una función f continua en el intervalo [-a, a].

a a

i) Si f es par f (x) f (x), entonces f xdx 2 f(x)dxa 0

a

ii) Si f es impar f (x) f (x), entonces f xdx 0a

Gráficamente representamos los casos.

El caso i) ilustra que f es positiva y par, por lo tanto, el área bajo la curva descrita por f (x) es el doble de

área desde 0 hasta a, debido a que f (x) es simétrica. Lo puedes ver en la siguiente gráfica.

f (x) es par, y se puede hacera a

f xdx 2 f(x)dx

a 0

En el caso ii) tratamos con una función impar. Las áreas se van a cancelar, ya que se trata de una diferencia de áreas.

f (x) es impar, la integral se reduce aa

f xdx 0 a




En el siguiente video puedes verificar las funciones pares e impares:

http://www.youtube.com/watch?v=qcGmhzmHTm8

Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración

Propósito

Calcular el área de un jardín o patio de forma irregular de tu casa o de un vecino.

Instrucciones

1. Busca un jardín o patio de forma irregular.

2. Dibújalo a escala en una hoja cuadriculada.

3. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes inscritos (es preciso que asignes unidades).

4. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que aumentas el número de ellos inscritos en tu jardín o patio.

5. Por último, halla el área de tu jardín o patio irregular haciendo los cuadrados lo más pequeños posibles, al mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro del área.

6. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 3,4 y 5 respecto de las áreas de los cuadrados.

7. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que disminuyes su tamaño?

8. Ahora colocarás los cuadrados de tal manera que cubran las fronteras de tu jardín o patio, es decir, que los cuadrados estén por fuera de la frontera del jardín o patio de forma irregular.

9. Calcula el área del jardín o patio en la hoja mediante cuadrados grandes.

10. Vuelve a calcular el área del jardín o patio disminuyendo el tamaño de los cuadrados a la vez que aumentas el número de ellos.

11. Por último, halla el área de tu jardín irregular haciendo los cuadrados lo más pequeño que puedas, al mismo tiempo que aumentas el número de cuadrados dentro y sobre la frontera del jardín o patio.

12. Anota en una tabla las áreas que obtuviste en los pasos 8, 9 y 10 respecto de las áreas de los cuadrados.

13. ¿Qué conclusión puedes obtener cuándo aumentas el número de cuadrados al mismo tiempo que disminuyes su tamaño?

14. ¿Qué puedes decir de la respuesta de la pregunta 7 y de la 13? ¿A qué conclusión llegas?


40


Cierre de la unidad

Has concluido el estudio de esta unidad y con ello aprendiste los conceptos fundamentales del cálculo de integrales que se realiza por medio de la suma de Riemann y el Teorema fundamental del cálculo, el cual establece una conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, ya que relaciona la integral con la derivada.

También conociste, que el proceso de integración para calcular áreas entre curvas y volúmenes, así como el valor promedio de una función, se realiza aplicando los valores para la integral definida y la integral indefinida.

Si todos los conceptos hasta aquí vistos los has comprendido con claridad, estás listo(a) para cursar la Unidad 2. Aplicaciones de la integración, donde aprenderás a calcular, mediante los métodos de aproximación y de integración, cualquier área delimitada entre curvas. De lo contrario, vuelve a repasar el contenido de esta unidad hasta que consigas dominarlo.

¡Enhorabuena!

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill.

Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.



Cálculo integral Unidad 2. Aplicaciones de la integración

Calculo integral

Unidad 2. Aplicaciones de la integración




Tabla de contenidos

UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN 3

Presentación de la unidad 3Consideraciones específicas de la unidad 3Propósito de la unidad 4Competencia específica 4

2.1. Área entre curvas 52.1.1. Área entre curvas mediante aproximación 52.1.2. Área entre curvas mediante integración 7Actividad 1. Área entre curvas 10

2.2. Volúmenes 112.2.1. Volumen de un sólido 112.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución 15Actividad 2. Sólidos de revolución 17Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria 182.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos 18Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos 20

2.3. Valor promedio de una función 202.3.1. Valor promedio 212.3.2. Teorema del valor medio 22Actividad 5. Valor medio de una función 23

Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen 24Fuentes de consulta 25




UNIDAD 2. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN


En esta unidad trataremos el caso de cómo calcular áreas limitadas por dos funciones, veremos que estos métodos tienen mucho que ver con el primer capítulo, donde analizamos la suma de Riemann para integración de ciertas áreas. De manera análoga utilizaremos el concepto de sumas de Riemann para llegar a la integral definida, útil para calcular el área entre dos curvas de funciones, limitadas al intervalo [a, b].

Veremos también los métodos de integración para calcular volúmenes de sólidos. Para ello revisaremos el concepto de volumen, que nos será de gran utilidad para tener la idea intuitiva de lo que es volumen. Calcularemos volúmenes usando los métodos de sólido de revolución y el método de cálculo de volúmenes mediante cascarones esféricos.

Por otra parte, comprenderemos lo que es un valor medio de una función y el valor promedio de una función.



Calculadora.

Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas de figuras geométricas planas y volumétricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

Álgebra

Geometría analítica

Cálculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.





Al terminar la unidad contarás con las herramientas necesarias para hallar áreas entre curvas o regiones, obtendrás la capacidad necesaria para calcular el volumen de sólidos mediante integración. Incluso, serás capaz de calcular volúmenes mediante cascarones cilíndricos y obtendrás el conocimiento para aplicar la integración para encontrar el valor promedio de una función y valor medio de una función.


Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función mediante el uso de aproximaciones con base en definiciones, métodos y teoremas.




2.1. Área entre curvas

Para hallar el área delimitada entre dos funciones como se muestra en la figura siguiente, usaremos los conocimientos adquiridos en las secciones previas. Usaremos el concepto de sumas de Riemann para calcular áreas.

2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación

En la figura de arriba observamos que tenemos un área S delimitada por dos funciones y f (x) y

yg(x) , delimitadas por las rectas verticales x=a y x=b. En principio estamos considerando que las

funciones son continuas en el intervalo cerrado [a, b].

Nuestra intención es hallar el área S y para ello haremos un procedimiento análogo al que vimos al principio de la unidad uno.




Para calcular el área de la región S consideremos que incrustamos rectángulos cuyas bases son del tamaño

de x y alturas h f (x ) g(x ) . Así que tenemos rectangulitos de área a h x i i i i i

Nota: Recuerda que es indiferente cómo elijamos los puntos muestra, ya que pueden ser los del lado

izquierdo, derecho o central. En este caso, tomaremos los del lado derecho xi x i

Ya hemos definido las dimensiones de nuestros rectangulitos, entonces, así podemos definir nuestra sumade Riemann como:

n n

Aaproximada hi x f(xi )g(xi ) xi1 i1

El área aproximada es la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos entre las dos funciones:

n

Aaproximada f(xi ) g(xi ) xi1

Finalmente, arribamos a que el área S delimitada por las dos funciones está expresada como un límite,

cuando n .

n *

A lim f(xi ) g(xi ) xn

Esta expresión la podemos reescribir como A

i1

limn

n

i1

hi x , representa que vamos a realizar la suma de

todos los rectangulitos pequeños incrustados dentro de la región S. Al mismo tiempo hacemos cada vez más delgados nuestros rectangulitos, de modo que el límite de la suma se aproxima al área real de la región S.



* *

*

* *

* *

*

6


2.1.2. Área entre curvas mediante integración

Ahora que sabemos que el área de la región S es una aproximación de rectángulos inscritos infinitesimalmente delgados o, dicho de otra manera, es el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos infinitamente delgados. Este límite se expresa como:

n * *

A lim f(xi ) g(xi ) xn i1

Teniendo un poco de imaginación, podemos darnos cuenta de que el límite de esta suma es la integral definida de f g .

Por lo tanto, el área A de la región limitada por las gráficas y f (x) , y g(x) y las rectas verticales en x=a y

x=b, considerando que f y g son continuas, además de que f g para cualquier valor de x en el

intervalo [a, b] es:

bA f(x ) g(x ) dx

i ia




Es evidente de la figura que se cumple lo siguiente:

A área debajo área debajo

Ejemplo

2

de f(x) de g(x) b b

f(x)dx g(x)dxa abf(x) g(x) dxa

Hallar el área limitada por y x 2, y por y x, acotada por las rectas verticales x=0 y x=1.


8


Solución

En la figura de arriba se muestra la región limitada por ambas gráficas. Usamos la fórmulab

A f(x) g(x)dx para calcular el área e identificamos los términos.

2f x x( )2; g(x) x ; a=0 y

a

b=1.

El área del triangulo representativo es:

A f (x) g(x)x (x

El área de la región está dada como:

1

´2)

A b ´2f (x) g(x)dx (x 2)(x) dx

a 0

1

0

2

x x2dx x

3 2x

1 1 1 17

2x 2

Finalmente, tenemos que el área encerrada es:

3

A

2 3 2 60

17

6

2) (x x



9


Actividad 1. Área entre curvas Instrucciones

1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.

2. Decide si integrar con respecto a x o y.

3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.

Actividad 1. Área entre curvas

4. Calcula el área de la región de las siguientes funciones:2

2a) y x , y 4x f) y

2

x x

3

9 , y 0 , x 5

b) yx1, y9x , x 1 , x 2 g) y x x, y 3x

2

c) yx, y3x, xy4 y cosx , y sec x , x h)

x

,4

4

1 1d) y , y , x 2 i)

x x2

2 2

y senx, y sen2x, x 0, x

x

2

e) y4x , y x 3

Actividad 1. Área entre curvas

j) y e , y x , x 0 , x 1

5. Guarda tu tarea con la siguiente nomenclatura CIN_U2_A1_XXYZ.

6. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días.




10


2.2. Volúmenes

Posiblemente, alguna vez te hayas hecho preguntas como:

¿Con qué formula cálculo el volumen una botella de refresco, de vino o incluso el de una olla de barro?,

¿Cómo cálculo el volumen de una figura irregular?

Pues, en esta sección, daremos respuesta a estas inquietudes.

En esta sección encontrarás diferentes métodos de integración para calcular volúmenes de ciertos sólidos.

2.2.1. Volumen de un sólido La pregunta inicial en esta sección es ¿sabes qué es volumen?

El volumen lo podemos definir como el espacio encerrado por varias superficies. Por ejemplo, en una caja,

el espacio que está encerrado por las seis superficies planas corresponde al volumen encerrado por dicha

figura. La manera de calcular el volumen es multiplicar el área de la base l por su altura h. Por lo tanto el

volumen es V lh .




Otro ejemplo es cuando se desea calcular el volumen de un tonel de forma cilíndrica para saber su

capacidad. La manera de hacerlo es multiplicar el área de su base2

r 2 por su altura h. El área de la base es

el área de un círculo r

En este caso, el espacio está limitado por dos superficies planas (tapaderas) y una superficie cilíndrica que

es una superficie curva que rodea el espacio geométrico buscado. El volumen es V r2h

Lo anterior lo podemos aplicar de manera muy práctica para figuras geométricas conocidas; sin embargo, para sólidos o cuerpos volumétricos que no tengan formas bien definidas (como los de abajo), lo que haremos es incrustar pequeños cilindros dentro del sólido de cierta anchura. Con lo cual realizamos la suma de Riemann, se aplica el límite y obtendremos una integral definida. De esta manera seremos capaces de hallar volúmenes a sólidos de diferentes formas.



*

*

*

*


Con esto se puede hacer una estimación del volumen del sólido, simplemente realizando la suma de todos los cilindros delgados que estén dentro de la región a calcular. Claro está, si aplicamos el límite cuando el número de cilindros va en aumento, llegaremos al valor exacto del volumen de la región interna del cuerpo S.

Para calcular el volumen de este cuerpo, lo primero que haremos es calcular el área de la sección

transversal A(xi ) de S para multiplicarlos por una anchura x , esto está representado en la figura de

arriba del lado derecho. Obtenemos cilindros pequeños con áreas cuyas bases miden A(xi ) y altura x o,

como dicen, tenemos rebanadas del cuerpo de altura x con bases cuyas áreas miden A(xi )

Realizando la suma de todos los volúmenes de las rebanadas, tendremos el volumen aproximado del sólido. Ahora bien, si aplicamos el límite cuando n , es decir, aumentamos el número de cilindros o

rebanadas dentro del sólido al mismo tiempo que disminuyen su achura, tenemos que V limn

Aplicando el concepto de integral definida tenemos el siguiente enunciado:


A(*

xi )x

13


Definición de volumen

Sea un sólido limitado por x=a y x=b. Si el área de su sección transversal de S se encuentra en el plano Px, que pasa por x y es perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de

S es:

V lim A(xi )x bA(x)dx

n a

Ejemplo

Vamos a demostrar que el volumen de una esfera es V

Solución

4

33

r

Consideremos que la esfera está centrada en el origen. El plano Px secciona a la esfera en un círculo de2 2

radio y r x , es fácil identificar esto por el teorema de Pitágoras. Se tiene entonces que el área de lasección transversal está dada por:

A(x) y

Usando la definición de volumen

2 2 2(r x )




rV

r2 2

A(x)dx (r x )dx r r

r 2 2

2 r 0

2

x dx por ser una funcion parr

3 3x 3 r

2 4

r

3

x

3 0

2r 3

3 r

2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución Los sólidos de revolución son comunes en ingeniería y en todo tipo de objetos de uso cotidiano. Ejemplos de estos son los embudos, ruedas, discos, píldoras, botellas y pistones, entre otros.

Si una región plana se hace girar en torno a una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y a esta recta se le llama eje de revolución o eje de giro.

La fórmula para hallar el volumen de un sólido de revolución es la misma fórmula anterior.

bV A(x)dx

a

Sólo hay que hallar el área de la sección transversal A(x) o A(y).

Si la sección transversal es un disco, primero buscamos el radio del disco en términos de x o y, según el eje

de giro x o y. Así que el área es:

A (radio)2

Si la sección transversal es un anillo o arandela, necesitamos saber el radio interior y el radio exterior como se muestra en la figura siguiente.



15


Para calcular el área de la arandela, restamos el área exterior menos el área interior del disco.

Lo que queda como

A(radioexterior)2 2(radio interior)

Lo anterior lo podemos enunciar de la siguiente manera:

bV 2 2

f(x) g(x) dx a

2 2

Donde f(x) g(x) representa la diferencia de regiones acotadas por el radio exterior f (x) y el radiointerior g(x) .

Ejemplo

2

Calcular el volumen del sólido al girar la región acotada por las gráficas de y x e y x alrededor deleje x.



16


En este caso hay que identificar el radio interno y externo. Los límites son x=0, y x=1

f(x)

g(x) x

x radio exterior

2radio interior

Se sustituye en la fórmula para volumen

V bf1

2 2 2 2 2(x) g(x) dx ( x) (x ) dx

a 0

1

(x x 4)dx

x

2 5x

1

3

0 2 50

10

En este caso, el eje de revolución fue x y se ha integrado con respecto a x. En el caso que el eje de giro sea y hay que integrar con respecto a y.

Actividad 2. Sólidos de revolución Instrucciones

1. Calcula el volumen del sólido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado.

2. Haz un esquema de la región, del sólido y de un disco o anillo típico.






17


Actividad 3. Sólidos de revolución en la vida diaria Instrucciones

Ingresa al foro: Sólidos de revolución en la vida diaria, y realiza lo que se te indica.

1. Comenta qué es un sólido de revolución.

2. ¿Dónde se ven implicados los sólidos de revolución en tu vida diaria?

3. Proporciona ejemplos.

4. Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as).

5. Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos Veremos cómo calcular el volumen cuando se trata de cascarones, tomando de la analogía que una naranja tiene una cáscara. Prácticamente, lo que queremos es hallar el volumen de la cáscara sin considerar el núcleo.

El método de los cascarones cilíndricos que enunciaremos a continuación, surge de la necesidad de resolver problemas que se complican con el método de la sección anterior. Por ejemplo, para calcular el

2 3

volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región que limitan y2x x y y 0 . Laregión limitada es la siguiente.




Si rebanamos perpendicularmente al eje y, obtenemos un anillo o arandela; sin embargo, la situación se complica al tratar de calcular el radio interior y el radio exterior de la arandela, tendríamos que resolver la

2 3

ecuación cúbica y2x x para escribir x en términos de y.

Para calcular el volumen del cuerpo de una figura como la de abajo, se tiene que hacer girar alrededor del eje y la región debajo de la curva y f (x) desde a hasta b:

bV 2xf (x)dx donde 0 a b

a

Ejemplo

En este ejemplo hay que calcular el volumen del sólido que se obtiene girando la región limitada por

y2x 2 3x y y 0 alrededor del eje y.

Solución

Miremos el dibujo siguiente que corresponde a las dos funciones, del diagrama identificamos un cascarón2 3

que tiene radio x, circunferencia y 2x y altura f(x) 2x x

El volumen para este cascarón es:




bV

b2 3

2xf (x)dx 2x(2x x )dx a a

b 3 4

2 a

(2x x )dx2

2 1

4 1 5 x x

2 5

3228

0

16

5

5

Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos Instrucciones

1. En los siguientes ejercicios utiliza el método de los cascarones cilíndricos para hallar el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje y.

a. y 1 x , y 0, x 1, x 2

2

b. y x , y 0, x 1

2

c. y x , y 0, x 1, x 2

2. En los siguientes ejercicios usa el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado por las curvas dadas alrededor del eje x.

2

a. x1y , x 0, y 1, y 2

2

b. x y 3 , x4(y1)

3. Realiza un bosquejo de la región calculada de cada uno de los ejercicios.






20


2.3. Valor promedio de una función

En esta sección veremos cómo calcular el promedio de una cantidad infinita de números, en tales casos se ven involucrados hechos para calcular la temperatura promedio durante el día, si hay una cantidad infinita de medidas del termómetro. Hablando de manera general, veremos cómo calcular el valor promedio de una función, también cómo calcular el valor medio. Finalmente conoceremos el teorema de valor medio.

2.3.1. Valor promedio La definición es muy sencilla, así que no nos extenderemos mucho. Si tienes una función f (x) como la

que muestra la siguiente gráfica, es posible encontrar su valor promedio. Veamos.

El valor promedio de una función f (x) en un intervalo cerrado [a, b] está definido como:

f

Revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

prom

1

ba

b

a

2

f(x)dx

Calculemos el valor promedio de la función f(x) 1x en el intervalo [-1, 2].

Solución

Identificamos el intervalo para el cual se quiere calcular el promedio, a 1y b=2. Los sustituimos en la definición.




fprom

1

b

1

f (x)dx 2

2(1 x )dx

ba1

x

a

3

x

12(1)

2

3 2

31

2

Hemos calculado el valor medio de la función f(x) 1x . El resultado es 2.

2.3.2. Teorema del valor medioAhora quizá te surja la siguiente duda.

¿Hay algún número, c, tal que f sea exactamente igual al valor promedio de una función, f (c) fprom ?

Según el siguiente teorema, resulta que sí:

Teorema del valor medio para las integrales. Si tenemos una función continua en un intervalo cerrado [a,b], existe un número tal que cumple:

b

f (x)dx f (c)(ba)a

La figura de arriba muestra que cuando las funciones son positivas, hay un número c tal que el rectángulo

de base es b a y altura f(c), tiene la misma área que la región bajo la gráfica de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo

2

Como ejemplo consideremos la función f(x) 1x continua en el intervalo [-1, 2].

El teorema de valor medio para las integrales dice que existe un número tal que:

2 2

(1 x )dx f (c)2(1)1

Sabemos que f (c) fprom, y del problema de la sección anterior se tiene que f (c) fprom 2


22


2

Por lo tanto, si despejamos la función 2 f (c) 1c relación f (c) f prom en el intervalo [-1,2].

Actividad 5. Valor medio de una funciónInstrucciones

, se tiene que hay dos números que satisfacen la

Ingresa al foro: Valor medio de una función y realiza lo que se te solicita.

1. Contesta las siguientes preguntas:

¿Qué entiendes por valor medio de una función? Da algunos ejemplos donde se pueda aplicar esta definición de valor medio de una función.

¿Cuál es la diferencia entre valor medio y valor promedio?

2. Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as).

3. Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.




Evidencia de aprendizaje. Aproximación e integración de volumen

Instrucciones

1. Selecciona un recipiente de forma irregular. 2. Usa tres tamaños diferentes de objetos esféricos de los que puedas conocer su volumen (ejemplos:

limones, todos del mismo tamaño, canicas o chícharos).

limones canicas chícharos

3. Halla el volumen aproximado de cada limón. Es suficiente con que calcules el de uno, por eso es necesario que todos sean del mismo tamaño.

4. Halla el volumen aproximado de cada canica. 5. Calcula el volumen aproximado de cada chícharo. 6. Llena tu recipiente con limones. Toma una fotografía. 7. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando el volumen conocido de los limones. 8. Llena tu recipiente con canicas. Toma una fotografía. 9. Calcula el área aproximada de tu recipiente usando las canicas. 10. Llena tu recipiente con los chícharos. Toma una fotografía. 11. Calcula el área aproximada con los guisantes. 12. Responde: ¿qué pasaría si usas arena para calcular el volumen, considerando que cada grano es

esférico y que todos son iguales? 13. Llena con arena tu recipiente escogido. 14. Vierte la arena dentro de un recipiente para que puedas conocer el volumen de la arena. 15. Responde: ¿qué volumen ocupa la arena?, ¿de qué volumen es tu recipiente escogido? ¿qué pasaría si

usaras cada vez objetos más pequeñitos para calcular el volumen de tu recipiente de forma irregular? 16. Escribe tus conclusiones. 17. Elabora tu reporte.




Cierre de la unidad

Has concluido el estudio de esta unidad y pudiste aplicar, de manera sencilla,los métodos de integrales vistos en la Unidad 1 para calcular, por medio de la suma de Riemann y el Teorema fundamental del cálculo el área entre curvas.

También tuviste la oportunidad de encontrar el espacio de una figura mediante los métodos de aproximación e integración, así como el volumen de un sólido de revolución mediante los métodos de:

Cascarones cilíndricos V b

a

2xf (x)dx

1 b

Valor promedio de una función fprom

2

2

ba f(x)dxa

Teorema del valor medio 1

(1 x )dx f (c)2(1)

No olvides que todas las funciones vistas hasta este momento te serán de gran utilidad para comprender el estudio de la Unidad 3. Métodos de integración.De lo contrario, vuelve a repasarlas hasta que consigas dominarlas.

¡Sigue adelante!

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: McGraw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press




Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración

Calculo integral

Unidad 3. Métodos de integración




Tabla de contenidos

UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3

Presentación de la unidad 3Consideraciones específicas de la unidad 3Propósito de la unidad 4Competencia específica 43.1. Integración por partes 5

3.1.1. Integrales por partes 5Actividad 1. Métodos de integración 7Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 73.1.2. Sustitución para racionalizar 8

3.2. Integrales trigonométricas 83.2.1. Integrales trigonométricas 93.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 113.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 14Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 153.2.4. Sustitución trigonométrica 15Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 18

3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 183.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 203.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 223.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 243.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 26Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 29

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 293.4.1. Tablas de fórmulas integrales 30Actividad 6. Formulas de integración 313.4.2. Estrategias para integrar 31Actividad 7. Resolución de integrales 32

3.5. Integrales impropias 323.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 323.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 34

Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 37Fuentes de consulta 37




UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN


En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos diferentes técnicas y métodos para resolver integrales.

Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas, integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo [a, b].



Calculadora.

Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.

Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y volumétricas comunes.

Es necesario que tengas conocimientos sobre:

Álgebra

Geometría analítica

Cálculo diferencial

Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.





Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en resolver integrales mediante diferentes métodos y reglas de integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos apropiados para resolver integrales. Identificarás integrales que requieran el uso de tablas de integrales para su resolución.


Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica.




3.1. Integración por partes

Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas.

3.1.1. Integrales por partes La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones. Supongamos que f y g son funciones derivables.

La regla de derivación de un producto de funciones establece:

d

dx

f(x)g(x) f(x)g(x) g(x)f(x)

Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:

d

dx

f(x)g(x)dx f(x)g(x) g(x)f (x)dx

En el primer término se cancela la integral.

f(x)g(x) f(x)g(x)dx g(x)f (x)dx

Despejamos el primer término de la suma del lado derecho.

f(x)g(x)dx f(x)g(x) g(x)f (x)dx

Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes.

Si renombramos los términos u f (x) y v g(x) y sus respectivos diferenciales du f (x)dx y

dv g(x)dx ; reescribimos la fórmula de integración por partes como:

udvuv vdu

Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más fácil recordarla.



5


Ejemplo

Queremos determinar la integral de la forma xsenx dx .

Solución

Antes de realizar la integral identificamos a u y v .

u dvuv

v du

Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar parapoder aplicar la regla.

u x encontrar: du dx

dv senxdx encontrar: v cos x

Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes.En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En estecaso no es necesario.

x x( cos)u dv u v

( x)dxv du

xcoxx cosxdx

La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales.

xcos x senxC

El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la inicial.



6


Actividad 1. Métodos de integración Instrucciones

En esta primera actividad deberás ingresar al foro y realizar lo que se te pide a continuación.

Instrucciones

1. Investiga por tu cuenta y responde:

¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?

Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as).

Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

Actividad 2. Ejercicios de integración por partes Instrucciones

1. En un documento de Word, integra por partes las siguientes integrales e intégralas:

1. 2 x 2x3dx 6. xln(senx)dxc

os

2

sec d 7. xcos xdx2.

3.

xe2xdx 8.1

3

x2exdx 9.

xlnxdx

5

(ln x)2dx

4. 5. ln xdx 10. exsenxdx

2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en los siguientes días. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.




3.1.2. Sustitución para racionalizar

En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n

n

g(x) , en la cual

efectuaremos una sustitución u g(x) .

Ejemplo

x 4Evaluar la integral

Solución

dxx

nHaremos la sustitución de u g(x) , es decir:

2u

x u

x4 que es lo mismo que u

24; dx 2udu

x4, despejando x y determinando sus diferencias,

Sustituyendo en la integral, llegamos a:

x4 2u u

dx 2udu 2 du x

u

24

2

u

24

u 2 2

du

u 4

Este último término será evaluado usando fracciones parciales.

3.2. Integrales trigonométricas

En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ellos conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas.




3.2.1. Integrales trigonométricas Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas.

La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que permita realizar el proceso de integración de forma práctica.

Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales.

sen2x cos2 x 1 ó sen

1

2 2 2 2x 1cos x ó cos x 1sen x

sen2x 2 1cos 2x

cos2 x 1

21cos 2x

tan2 x

1cotsec2 x1

2x csc 2x

Para evaluar integrales de la forma sen mxcosnx dx, s

en mxsen nx dxó cos mxcosnx dx, puedes usar

las siguientes identidades.

sen Acos B

sen Asen B

1

2

1

2

sen(AB sen (AB)

cos(AB cos(AB)

cosAcos B 1

2cos(AB cos(AB)

Además, podemos usar otras identidades como:

Identidades recíprocas

cscx

secx

1

senx

1

cos x




cot x

tanx

1

tanx

senx

cos x

xcot x c

os

senx

Identidades pitagóricas

sen2x cos2 x 1

2 2

tan x1 sec x

1cot2 2

x csc x

Identidades de paridad

sen(x) senx

cos(x) cos x

tan(x) tanx

Ejemplo3

métodos anteriormente vistos.Solución

. Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los

Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver.

3

Para empezar, cos x lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como:

2

cos3 xcos2 x cos x (1sen x)cosx

Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable u sen x y du cos xdx

Queremos evaluar la integral cosx dx



10


cos

3 2xdx (1sen x) cos xdx

2

(1 u )du 1 3

u 3 u C

Regresamos a la variable inicial x, reemplazando u sen x

cos

3xdx sen x

1

33

sen xC

3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma

sen m n

xcos x dx

Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:

CASO UNO. En el caso que tengamos n 2k 1 una potencia impar, descomponemos el2 2 cos n x en

factores, posteriormente utilizamos la identidad cos x 1sen x con la intención de expresar los factoresrestantes en términos de funciones trigonométricas senos.

Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos.

m 2k1sen xcos x dx

m 2 ksen x(cos x) cos x dx

2 2

Reemplazando nuestra identidad cos x 1sen x

m 2k1 m 2 k

tenemos una integral de la forma,

sen xcos x dx sen x(1sen x) cos x dx

Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable u sen x y al hacer du cos xdx . Al final tendríamos que resolver una integral de la forma:

(1

u2)kumdu

CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, m 2k 1 . Usamos la misma técnica que en el caso uno.

n 2 2Descomponemos sen x en factores, sustituimos la identidad sen x 1cos x



11


sen 2k1 n 2 kxcos x dx (sen x) sen xcos xn dx

2 k

(1 cos x) sen xcos xndx

Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo u cos x , du senxdx . Como en la

expresión no tenemos un sen(x)dx multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión

du sen(x)dx . Finalmente tendrás que calcular esta integral.

(1 u2)kundu

Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver.

CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares, tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades:

sen2x 1

21cos 2x

cos2 x 1

21cos 2x

1cos xsen x

Ejemplo

Determina

5 2

2 sen 2x

cos xdx

Solución

2

Podríamos convertir cos x a 1 sen2x pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sinfactor cos x extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor sen4x restante en

términos de cos x :

sen5xcos 4 2 2x (sen2x) cos xsenx

2 2 2(1cos x) cos xsenx

Sustituyendo u cos x , tenemos du senxdx luego


senx


12


Otro ejemplo

Evaluar

=

=

=

=




3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes

En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma: tan

Tienes dos casos.

n

m nxsec x dx

i) Cuando la potencia n 2k es par: descompondrás sec x en factores, manteniendo en un factor una2 2

potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad sec x 1 tantanx

m 2k m

x

2 k1 2

. Expresarás la integral en términos de

tan xsec x dx tan

x(sec x) sec x dxm 2 k1 2

tan

Hacemos una sustitución

2k

x(1 tan x) sec x dx

y y la integral que evaluarás quedaría así:

tanm xsec x dx 1u21umdu ii) Cuando la potencia m 2k 1 es impar: lo que harás será descomponer

2k1tan x en factores,

2

manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad tan2 x sec x1Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x.

2k1 n 2 k n1 tan xsec x dx

Convertimos

(tan x) sec xsecxtanx dx2 k n1 (sec x1) sec xsecxtanx dx

y y nos queda una forma más sencilla de integral:




Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas

Instrucciones

1. En un documento de Word, calcula las siguientes integrales:

sen3mxdx

2 cscxdx x xdx 2

cos

5xsen4xdx

(1 sen2x) dx


3.2.4. Sustitución trigonométrica

En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma a2 x2dx , siendo a una constante

MAYOR a cero.

Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitución x asen . Emplearemos la identidad

cos 2 2 1 sen con el objetivo de quitar la raíz, observa:

a2 2 2 2 2

x a a sen 2 2 2 2

a (1 sen ) a cos acos

Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo.

A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa.

Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de los términos del radicando.


tansec


15


Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada

1. 2 2

a xx asen

2 2

2 2

cos 1 sen

2. 2 2

a xxatan

2 2

2 2

sec 1 tan

3. 2 2

x axasec 3

0 ó 2 2

tan2 sec2 1

En video puedes ver algunos ejemplos.

http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8

http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related

Ejemplo

Determina la integral

2

1dx

2

x x 4Solución

Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución2

empleada será x 2 tan definida en el intervalo , / 2 / 2 . El diferencial de x es dx 2sec d

Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:

2 2

x 4 4(tan2 1) 4sec 2 sec 2sec

Reemplazamos en nuestra integral original:

2

2

dx 2sec d 1 sec d

2 2 2 2

x x 4 (2 tan )(2sec) 4 tan



16


El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:

sec2

2

1 cos cos

2 2

tan cos sen sen La integral queda:

dx sec cos 2 d

2 2 2

d

x x 4 tan sen Realizando la sustitución u senx y su respectivo diferencial se tiene:

2dx 1 cos 1 du

dx d 2 2 2

x x 4 4 senResolviendo

1 du 1 1

4 u

1 csc4

u2

C C C

4 u 4sen 4

Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión.

csc x2 4

x

2

2dx x 4

C2

x x 4 4x



17


Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas Instrucciones

1. En un documento de Word, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso y dibuja el rectángulo asociado.

2

1dx

2

x

x

x 91

dx2 2

25 x

2

x

x5

2

41

dx 3 2

x x 4dx x

26x 13


3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma:

f x P x

Qx

En donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a f (x) como una suma de fracciones

más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q.

Nota:

Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.

n1

Px a xna x ax an n1 1 0

En donde a 0. El grado del polinomio está denotado por n .n

Por otra parte, debemos considerar que una función propia f (x) es cuando el grado de P(x) es menor

que el grado de Q(x) . Y una impropia es cuando el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x) .

dx


18


Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división

de polinomios P(x) entre Q(x) hasta obtener el residuo. Es decir,

f (x) P(x)

Q(x)

R(x) S(x)

Q(x)

En donde R(x) y S(x) también son polinomios.

Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.

Ejemplo

Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:

x

3 x

dx x 1

Solución

Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del polinomio Q.

Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:

3

x x 2 2

x1 dx x x 2 dx x 1

x3 2

x 2x2ln x 1 C

3 2

El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división.

Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos trabajando con el

cociente

Q(x).

R(x)

Q(x)que pueda tener la forma de una función propia. El grado de R(x) es menor que el grado de

R(x)

Q(x)

Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea

posible para convertir nuestro cociente R(x)

Q(x)en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores

son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.



19


R(x)

Q(x) F

1 F F

2 r

R(x)

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia,

parciales, dependiendo del factor que esté contenido en Q(x) .

A Ax B2

Q(x) como una suma de fracciones

ax bi ó ax bxcj

Esto siempre va a ser posible.

Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador Q(x) de la función propia.

3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) .

R(x)

Q(x) F

1 F F

2 r

Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.

Es decir, puedes representar tu polinomio Q(x) como producto de factores lineales, la potencia de cada

uno de ellos es uno.

Q x axb a xb a b 1 1 2 2 k k

No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:

Rx A A A1 2

Qx a x b a x b

x

a x b

dondeA,

1

1 1 2 2 k k

A ,, A son constantes a encontrar.2 k

Ejemplo

Resuelve la siguiente integral.

2

x 2x 1

2x

3 23x dx

2x




Solución

Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio del numerador.

Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado uno.

2x 3 2 2

3x 2xx 2x 3x 2x2x1 x2

Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno!

Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de

las constantes A, B y C .

x 2 2x 1

A B C

x2x 1 x 2 x 2x1 x 2

Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la expresión por

x2x 1x2

x2

2x1A2x1x2 Bxx2Cx 2x1

Reordenado para conseguir la igualación de literales.

x2 2x1 2AB2Cx2

EA2BCx2A

Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.

12AB2C

2EA 2BC

1 2A

Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar cualquier método que desees para resolverlo.

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores



21


Al resolver el sistema obtenemos: A 1

,2

1 1B y C

5 10

Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales

x 2 2x 1

A B C

x2x 1 x 2 x 2x1 x 2

2

x2

x 2x 1

3 23x 2x

dx

1

21

ln2

1 1 1 1 1 dx

x 5 2x 1 10 x 2

1 1x ln 2x 1 x 2 C

10 10 Recalcando, el denominador Q(x) se escribió como un producto de factores lineales distintosQ x axb a xb ab

1 1 2 2 k k

3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten

Si f (x) P(x)

Q(x)

R(x) S(x) , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de

Q(x) factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Sea el cociente de polinomios

R(x)

Q(x) F1

F F2 r

El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factoreslineales, algunos de los cuales se repiten.

A1

a xb

A

22

a xb

Ar

a xb r

1 1 1 1 1 1

Observa que los factores (a1xb1) se repiten r veces.

Un ejemplo claro es el siguiente:

3x x1

2 3 A B C D E

2 2 3

x x1 x x x1 x1 x1



22


Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite r 2 veces, por lo que se escriben los términos

B C

A y

x

x2 . Y también el factor (x 1) es lineal y se repite r 3, por lo que puedes escribir tres términos ,(x1)

D E

(x1) 2 y(x1)

Analicemos un ejemplo de integración.

Ejemplo

x

Determine la integral

42x4x1

3 2dx

x x x1

Solución

El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista

f (x) P(x)

Q(x)

R(x) S(x)

Q(x)

Dividiendo resulta

x42x4x1

3 2 x1

3

4x2

x x x1 x x x13

El segundo paso es expresar a Q xx x

3

2 x1

2

en factores.

Factorizamos, dado que 1 es solución de x x x1 0 tenemos el primer factor (x 1) , también a(x2 1)lo podemos descomponer en dos factores (x 1) (x 1) . Reescribiendo tenemos:

3x x

2 2

x1 x1x 1 x1x1 x1 x12x1

El factor lineal x 1, aparece dos veces.

Con esto ya podemos trabajar con la parte

4x A B C

R(x)

Q(x)así que este cociente queda expresado como:

x 1 2x 1 x 1

x

2

1

x 1



23


Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo

común denominador x12x1 y obtenemos

2

4x Ax1x1 Bx1Cx1 ACx 2

B 2Cx ABC

Igualamos coeficientes en relación con las literales:

A C 0

B2C 4

A B C 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

A 1,B 2y C 1

Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fraccionesparciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.

x

4 22x 4x 13 2

dx 1 2 1 x 1 2 dx

x x x 1 2

x 1 x 1 x 1

x2

2x2

2 x in x 1 in x 1 C

x 12 x 1

x in Cx 1 x 1

Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos delos cuales se repiten.

A1

a xb

A

22

a xb

Ar

a xb r

1 1 1 1 1 1

3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite

Caso III. Es el caso tal que la descomposición de Qx contiene factores cuadráticos irreducibles, de los2

cuales ninguno se repite. Esto es cuando Qx posee el factor ax R(x)

2 bx c, en donde b 4ac 0 . El

cociente Q(x) tendrá un término de la forma:

ax

Ax B2bxc



24


Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que Qx contenga términos lineales

y no lineales.

Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta sección.

El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.

Ejemplo

La función f xx

manera:

x

2

2x

A

xdescompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente

2

1x 4

Bx C Dx E

x 2x

2 2

1x 4

2 2x2 x 1 x 4

Bx C Dx ELas fracciones parciales

x2 1 y surgen debido a los factores cuadráticos x2 x2 4

A

1 y x2

4

respectivamente; y la fracción x2 es consecuencia del término lineal (x 2) .

Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional.

Ejemplo

2

2x x4Calcule la siguiente integral 3

x 4xSolución

3Procedemos a descomponer Q(x) x

dx

24x x(x 4) y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones,

una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático).

2x

2 x42

A Bx C

2

xx 4 x x 4

Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por

2

2xx 4 para resolver los valores de A, B y C.

2x2 x4 Ax 4 Bx C x ABx2Cx 4A




Resolviendo llegamos a los valores

A 1 B 1,C 1

Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:

2x

2 x4

3dx 1 x1

2 dx

x 4x x x 4

Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma

de dos integrales.

2

2x x 4 1 x1dx

3 dx 2 dx x 4x x x 4

El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partescomo:

x12

dx x

2dx

12

dxx 4 x 4 x 4

La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:

dx 1 1 x

2u x 4 y du 2xdx

x2 2 a

tan Ca a

Identificamos que a 2 . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta entres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas.

2

2x x 4 1 x 1dx

x3 4x dx

x x

2 42

dx x

2 4

1

dx

In x 12

1Inx 4 tan x 2C

2

3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetidoEn este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador Q(x) se puede descomponer en el factor

2axdx cr repetido r veces.

R(x)

Q x( )

se descompone en las fracciones parciales de la forma:



26


Ax B A xB A x B1 1 2

ax

2bxc

2

ax

2 r r

2

bxc axbxcr

Ejemplo

Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente:

3 2x

xx1x

x 12 2

x1x 1 3

Solución

3 2x x 1

2 2 3 A B Cx D

2

Ex F Gx H Ix J

2 22 2

xx1x x1x 1 x x1 x x1 x 1 x 1 x 1 3

El factor x es lineal y tiene potencia r 1, por lo que se escribe el términoA

, el factor (x 1) es lineal y x

tiene potencia r 1, por lo que también se escribe el término

2

B

(x1)

Cx DEl factor (x x 1) es cuadrático y tiene potencia r 1, por lo que se escribe el término

(x

2 3

2 x 1)

Ahora pon mucha atención, como el factor (x 1) escribir tres factores de la forma:

Ex F Gx H Ix J

no es lineal y tiene una potencia r 3 , es posible

,(x2 1) (x

Ejemplo

2 21)

y2 3

(x 1)

2 3

Determinar

1 x2x x2

xx 12 dx

Solución

Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor Q(x) .

El factor x es lineal y tiene potencia r 1, por lo que se escribe el términoA

; sin embargo, el factor xBx C Dx D

(x2 1) no es lineal y tiene potencia r 1, entonces se escribe el término Educa

ción Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

y el término(x2 1) (x

2 21)

27


Entonces tenemos que el cociente

2 3

R(x)

Q(x)es:

1x2x x2 2

A BxC DxE

2 22x1 x x 1 x 1

2

2

Multiplicamos por xx 12 para hacer una igualación de coeficientes:

2 x 3 2 2

2x x1 Ax4

21 BxC xx 1 Dx E x

2 2 Ax 2x 1 Bx4 x

3Cx3 x Dx2Ex

2

AB 4 Cx 2ABDx C ExA

Se tiene:

AB 0 C 1 2A B D 2 C E 1 A 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:

A 1 B 1 C 1 D 1 E 0

Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a:

1

x2x2 x3

2 2dx

1

x12

x dx

2 2 x x 1 x

dx

x 1 x 1 x dx xdx

dx

x x1

2 2 22

1 x 1 x 11

2 1 ln x 2 ln x 1tan x

22x 1C




Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales Instrucciones

1. En un documento de Word, evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de descomposición de fracciones parciales:

2

x 1 2 dx

3

2

x x2

x

2x x4 2

1dx

xx 1

3dx

x2

x

5x 42x 1

2 2

5x2 3x 2 x 1 x 1 dx

3 2

x 2x dx 2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en

los siguientes días. *Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.

3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales

Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en consideración cuando trates de resolver integrales.

Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos las fórmulas básicas de integración.



29


3.4.1. Tablas de fórmulas integrales La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.

Tabla de fórmulas de integración

n1

x1. xndx con (n 1)

11. nsecx tan xs

ecxd l

2. dx In x1

x

12. n cscx cot xc

scxd l

x x3. e dx e 13. t

anxdxIn sec x

x

a4. axdx

14. cotxdxIn senx

5.s

enxdxcosx15. senh x dx cosh x

6.

cosxdxsenx

16.c

oshxdxsenhx

27.

dx 1 1 x 17. tan

x2 a2 a a

8. csc2 x dx cot x

dx 1 x18. sen

2 2

a x a9.

secxtanxdxsecx

dx 1 x a ln

19. 2 2

x a 2a x a10. csc x cot x dx csc x

dx 2 2

20. ln x x a 2 2

x a



secxdxtanx

30


Actividad 6. Formulas de integración

Ingresa al foro y realiza lo que se te pide a continuación.

Instrucciones

1. Investiga por tu cuenta y agrega más fórmulas de integración que puedan ser útiles para integrar.

Compártelas con tus compañeros(as). Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu

Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

2. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.4.2. Estrategias para integrar Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar las integrales.

Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:

1. Simplificar el integrando en lo posible. 2. Detectar si existe una sustitución obvia. 3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de

integración ya sean: a. Integración de funciones trigonométricas b. Integración de funciones racionales c. Integración por partes d. Integración de radicales

4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con lo básico, por sustitución o por partes.

a. Prueba la sustitución b. Intenta integrar por partes c. Intenta integrar modificando el integrando d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es

muy importante. e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método.

Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad.




¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales.

Actividad 7. Resolución de integrales Instrucciones

1. Evalúa las siguientes integrales:

13

dx

x 8x

sen ax dx

1e1e x dx coshx secxdx

ln 1 x2dx


3.5. Integrales impropias

Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].

Estudiemos ambos casos.

3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos

Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 1y .

2

x

La región S está acotada por la función1

y y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical2

x

x 1 en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo,esto no es así.



32


El área de una región acotada por la vertical x 1 y por la recta vertical movible en el eje x t está dada

por:

t 1 t1 1

A t 1

dxx

1x t 1

Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no

rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que A(t) 1.

Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito.

lim A t 1 lim1 1

t t t

El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como:

1

12

xdx

t

lim t

1

1dx 1

2x

Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición siguiente, la cual te expone tres casos:

Definición de una integral impropia de tipo 1

i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma f xdxt para cualquier t

aa

, entonces:

t

f xdx lim f xdx a ta

¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.bii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma f xdx para cualquier

t

tb, entonces:

b b

f xdx lim f xdx t t

¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.

Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas comoconvergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.



33


iii) Si en ambas integrales b

f xdx y f xdx

de los casos anteriores, son

a divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales:

a

f xdx f xdx f xdx

a

Ejemplo

Determina si la integral es divergente o convergente

Solución

x

1 d

x

De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i.

1 t 1 t

1

dx lim x t

1

dx limln x x t

1

limln t ln1 lim lnt t t

El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral impropia diverge.

Si tuvieses una integral impropia de la forma:

1 dx1 xp

Será convergente siempre y cuando p 1 y divergente cuando p 1.

3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos.

Definición de una integral impropia de tipo 2

i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.

b f xdx

lim

t

f xdx

a tb a




34


ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.

bb f xdx lim f xdx

a ta t


Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentessi existe dicho límite y divergentes si no lo hay.

iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son

convergentes las integrales f xdxc y f xdxb , por definición tendrás:a c

b c b

f xdx f xdx f xdxa a c




Ejemplo

Determina la integral

Solución

5

2

1dx

x 2

La gráfica de la función es la siguiente.

Observa y veras que tiene una asíntota vertical en x 2 . La discontinuidad es infinita marcada en x 2 . De la

definición ii) de esta sección, se tiene:

5

dx

lim

5 dx

2 t2x2

tx2

5

lim 2 x2

t2

lim

t

2 3 t 2 t2

2 3

Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región sombreada de la región.




Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral

Instrucciones

1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad.

2. Sean a y b dos constantes definidas por:

a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento.

b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad.

Ejemplo:

23 de junio, implica que:

a=2+3=5

18 años, implica que:

b=1+8=9

3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.

4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.

b

ab (ab)x

2 2x a xb a

senaxcos dx2

bx bax7 secaxtan x

2 1 abxx

5. Escribe tu desarrollo.

3 2b3x (ba)x

2 a2x b abx e xb

6. Escribe en una lista los métodos de integración usados.

1. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U3_XXYZ

2. Envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación correspondiente. Es importante que atiendas las observaciones del (la) Facilitador(a) para mejorar tu evidencia de aprendizaje antes de volverla a enviar.




3. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de aprendizaje.

*Además de enviar tu archivo anterior, debes agregar tu Autorreflexión en el Foro diseñado para tal fin. Ingresa a ésta y genera un comentario a partir de las preguntas proporcionadas por tu Facilitador(a) en ese mismo espacio.

Cierre de la unidad

En esta unidad aprendiste que dentro de los métodos de integración trigonométrica existen algunas técnicas de integración que te servirán para resolver integrales trigonométricas que contienen senos, cosenos, tangentes y secantes; otros más, te ayudarán a realizar sustituciones trigonométricas en el cálculo de integrales, así como en los diferentes casos donde el método se use para integrar funciones racionales mediante fracciones parciales.

Recuerda estudiar de manera constante, ya que el desarrollo de estas habilidades matemáticas son necesarias para la resolución de problemas de cálculo en áreas afines comoTelemática, Desarrollo de Software, Biotecnología, Energías renovables, entre otras.

Ahora es momento de que resuelvas tu Examen final que es parte de la calificación global de la asignatura.

¡Continúa esforzándote!

Fuentes de consulta

Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.

Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.

Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.




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