calc numerico erros ufcg
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Atelier de Computação e Cultura da UFCG Marcelo Alves de Barros, Bruno C. N. Queiroz, J. Antão B. Moura
José Eustáquio R. de Queiroz, Ulrich Schiel, Marcus Salerno
Cálculo Numérico
Erros Em Cálculo Numérico
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
– Absoluto
– Relativo
Quanto menor for o erro, mais preciso
será o resultado da operação
Truncamento
Arredondamento
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
• Erro Absoluto = Valor Exato – Valor Aproximado
EAx = x –
• Erro Relativo = Erro Absoluto / Valor Aproximado
ERx = (x – ) /
Obs.: Erro Porcentualx = ERx x 100
x
xx
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Em geral, não é possível obter EAx, pois não se conhece x.
A solução é obter um limitante superior ou uma
estimativa do erro absoluto. |EAx| = |x - | < limitante superior
EX. 01: Para (3.14 ,3.15)
|EA | = | | < 0.01
x
ππ
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex. 04: Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1
temos x (2112,8, 2113),
Para = 5.3 com |EAx| < 0.1
temos y (5.2,5.4)
Temos mesmos limitantes superiores. Pode-se
afirmar que x e y são representados com a mesma
precisão?
É preciso comparar a ordem de grandeza de x e y.
x
y
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Dependendo da ordem de grandeza o erro
absoluto não é suficiente para descrever a
precisão de um cálculo.
Erro Relativo
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ainda, no Ex. 04:
Para = 2112,9 com |EAx| < 0.1
|ERx| = |x - | / | | = 0.1/2112.9 4.7 x 10-5
Para = 5.3 com |EAx| < 0.1
|ERy| = |y - | / | | = 0.1/5.3 0.02
Mostramos que X é representado com maior precisão que y
x
y
yy
xx
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex. 05: Seja: calcular em uma máquina digital
Não existe uma forma de representar um número
irrracional com um número finito de algarismos.
Portanto, o número apresentado pela
calculadora é uma aproximação do valor real de
= 1,4142136 (ao invés de 1,41421356....). O erro
introduzido é chamado erro de arredondamento
2
2
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex. 06: Seja: calcular o valor de .
Sabemos que a exponencial é uma função que
pode ser representada por uma série infinita,
.....4!
x
3!
x
2!
xx1e
432x
xe
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
na prática, é impossível calcular seu valor
exato. Tem que se fazer uma aproximação, que
levará a um erro no resultado final de ex. O erro
introduzido é chamado erro de truncamento.
.....4!
x
3!
x
2!
xx1e
432x
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos, na base 10.
Erro de truncamento (e=dígitos inteiros):
e
Erro de arredondamento:
e
te
x 10EA 1t
x 10ER
1t
x 102
1ER
te
x 102
1EA
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Demonstração: Erros de Arredondamento e de truncamento
Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos, na base 10,
Seja: x = fx x10e + gx x10e-t onde 0.1fx 1 e 0.1gx1
Ex.:Para t = 4 e x = 234.57, então
x = 0.2345 x 103 + 0.7 x 10-1,
temos fx = 0.2345 e gx = 0.7
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
No truncamento gx x10e-t é desprezado e
Temos:
visto que gx<1
,
pois 0.1 é o menor valor possível para fx
tete
xx 1010gxxEA
e
x 10fx
1t
e
te
e
x
te
xx
x 10100.1
10
10f
10gEAER
x
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
No arredondamento tipo simétrico (forma mais utilizada):
se, (gx é desprezado)
se, (soma “1” ao último
dígito de fx)
tee
x
e
x
1010f
10f
x
2
1g x
2
1g x
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Se , teremos
2
1g x
1t
e
te
e
x
te
xx
x 102
1
100.1
105.0
10f
10gEAER
x
tete
xx 102
110gxxEA
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Erros – Arredondamento
Se
e
2
1g x
tee
x
te
x
e
xx 1010f10g10fxxEA
1t
e
te
e
te
e
x
tex
x 102
1
101.0
102/1
10fx
102/1
1010f
102/1
x
EAER
te
tetete
xx 102
1te101gx1010gEA
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Cenário: sistema de aritmética de ponto flutuante
de 4 dígitos, precisão dupla.
Ex. 07: Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102 .
Calcular x + y.
Geralmente, o resultado exato de uma operação (OP) é normalizado e arredondado ou truncado para t dígitos - (OP)ª
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Alinhar os pontos decimais antes da soma (A
adição aritmética de PF requer o alinhamento dos
pontos decimais dos dois números)
x = 0.937 x 104 e y = 0.001272 x 104,
x+y = 0.938272 x 104
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento : (X+Y)a = 0.9383 x 104
Truncamento: (X+Y)a = 0.9382 x 104
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Arredondamento : (X.Y)a = 0.1192 x106 Truncamento: (X.Y)a = 0.1191 x106
Mesmo que as parcelas ou fatores de uma operação
possam ser representados exatamente no sistema, não
se pode esperar que o resultado armazenado seja
exato. No exemplo, x e y tinham representação exata,
mas o resultado x+y teve representação aproximada
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Propagação
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex. 08: Seja: calcular o valor de - e3
(erro de arredondamento)
e3 (erro de truncamento)
Os erros nos valores de e e3
se propagam para o resultado de - e3
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ao se resolver um problema numericamente, a cada etapa e
a cada operação realizada, devem surgir diferentes tipos de
erros gerados das mais variadas maneiras, e estes erros se
propagam e determinam o erro no resultado final obtido.
Conhecer os efeitos da propagação de erros é muito
importante pois, além de determinar o erro final de uma
operação numérica, pode-se conhecer a sensibilidade de
um determinado problema ou método numérico.
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex.09: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 ,
Calcular: a + b, a – b e a x b
a pode variar de 47 a 53
b pode variar de 20 a 22.
• O menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75.
Logo, a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4, variando de 67 a 75.
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex.09: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 ,
a pode variar de 47 a 53
b pode variar de 20 a 22.
O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o
maior valor da subtração seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 , variando de 25 a 33.
Observe que na subtração, os erros absolutos se somam, pois
sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando
com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex.09: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 ,
a pode variar de 47 a 53
b pode variar de 20 a 22.
O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166.
Logo, a x b = (50 ± 3) x (21 ± 1) 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1) 1050 ± 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163,
ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Análise de Erros nas Operações Aritméticas de
Ponto Flutuante
O erro total em uma operação aritmética é
composto pelo erro das parcelas ou fatores e
pelo erro no resultado da operação.
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Operações Aritméticas em PF – Erros Absolutos
yxyx EAEAyxEAyEAxyx
yyx EAEAyxEAyEAxyx x
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Operações Aritméticas em PF – Erros Absolutos
yxyxyx EAx.EAEAxEA.yy.xEAy.EAxy.x
yxyx EAxEA.yy.xEAy.EAxy.x
muito pequeno
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Operações Aritméticas em PF – Erros Absolutos
y
EA1
1.
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
2
yx
2
x
y
EAyEA.y
y
EAyx
y
EA
y
x
y
x
................y
EA
y
EA
y
EA1
y
EA1
13
y
2
yy
y
(despreza-s os termos de potência >1)
Simplificação:
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Operações Aritméticas em PF – Erros Relativos
Soma:
Subtração:
yx
yER
yx
xER
yx
EAER yx
yx
yx
yx
yER
yx
xER
yx
EAEAER yx
yx
yx
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Operações Aritméticas em PF – Erros Relativos
Multiplicação:
Divisão:
yxy.x ERERER
yxx/y ERERER
![Page 32: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/32.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Cenário: sistema de aritmética de ponto flutuante
de 4 dígitos, precisão dupla.
Ex.10: Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102
Calcular x + y e ER(x+y)sabendo que x, y estão
exatamente representados.
![Page 33: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/33.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Solução:
Alinhar os pontos decimais antes da soma
x = 0.937 x 104 e y = 0.001272 x 104,
x+y = 0.938272 x 104
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento : = 0.9383 x 104
yx
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Cálculo de ER(x+y)
Temos:
Como x e y são representados exatamente, ERx+y se resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no resultado da soma.
RAER
RAyx
EAER
yx
yx
yx
EAx=EAy= 0, Eay+y=0
1t
yx 102
1RAER
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Oficina
Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102
Calcular x - y e ER(x-y)sabendo que x, y e estão
exatamente representados.
![Page 36: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/36.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex.11: Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102
Calcular x . y e ER(x+y)sabendo que x, y e estão exatamente representados.
![Page 37: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/37.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Solução: x.y = (0,937 x 104 )x(0,1272 x 102 ) = 0,1191864 x 106
6100,1192y.x
RARAy.x
EAER
y.x
y.x Temos:
(arredondamento)
1t
yx 102
1RAER
![Page 38: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/38.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Oficina
Seja x = 0.937 x 104 e y = 0.1272 x 102
Calcular x / y e ER(x/y)sabendo que x, y e estão exatamente representados.
![Page 39: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/39.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Oficina:
Seja x = 0,937x104 y = 0,1272x102 e z = 0,231x101
Calcular x + y+z e ER(x+y+z)sabendo que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais
x = 0.937x104 y = 0.001272x104 e z=0,000231
A soma é feita por partes: (X+Y)+Z
![Page 40: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/40.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
No Ex 10 encontramos: x+y = 0.9383 x 104 e Calcular w = x + y+ z? e ER(x+y+z)? Seja s= x+y s+z= 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104 = 0,938531x 104 s+z= 0,9385x 104 (arredondamento)
1t
yx 102
1RAER
x+y+z= 0,9385x 104
![Page 41: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/41.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros Erros – Análise
Temos: EAz=0,
ERz=0
1zs
s
zs
sER
zs
sERER
zs
zER
zs
sERER
szs
szs
szs
RARARA
RA
RAz
1t
zs 102
11
zs
sER
![Page 42: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/42.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
1t
zs 102
11
zs
sER
3
10
2
11
100,9385
100,9383ER
4
4
zs
3
zs 100,9998ER
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Ex.12:
Supondo que x é representado num computador por , que é obtido por arredondamento. Obtenha os limites superiores para os erros relativos de
x
x2.u x x w e
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Solução:
1t
u 10ER
1t
x2.
x2x2.
102
12.ER
RA2.RARARAERERER
Temos:
a) x2.u
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
x x w b)
RAxx
xER
xx
xERER
xxw
RA2.RAxx
xRA2.ER w
1t1t
w 10102
12.RA2.ER
1t
uw 10ERER Então:
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Oficina
II.1- Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos,
sem circuito arredondador, base decimal e com acumulador de precisão
dupla. Dados os números:
X=0,7237x104 y=0,2145x10-3 e z=0,2585x101
Efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado,
supondo que x, u, e z estão exatamente representados.
a)x+y+z b)x-y-z c)x/y
d)(x.y)/z e)x.(y/z) f) (x+y).z
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
II.02- Supondo que x é representado num computador por , onde é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de
x
x3.u x x x w
II.03- Idem para
x.u 4 x x x x w e
e
x
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
II-04: Sejam e as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza expressões de limitante de erro para mostrar que o limitante de erro relativo de
x y
é menor do que o de y. x x x v y. x 3. u
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Etapas de um cálculo numérico envolvendo dois números A e B
representados em sistema de ponto flutuante.
1. A é transferido da memória ou da unidade E/S para uma entrada do acumulador
(ULA).
2. B é transferido da memória ou da unidade E/S para a outra entrada do
acumulador (ULA). .
3. O acumulador normaliza número com expoente menor da base para ambos
ficarem com o mesmo expoente maior de base e realiza a operação. O número
resultante é transferido para a saída do acumulador com a precisão do mesmo
(dupla, tripla, etc).
4. Número resultante é adaptado (truncado ou arredondado) para o limite do
sistema de vírgula flutuante do computador e é transferido para a memória.
5. Se houver uma nova operação, o computador repete os passos 1 a 4.
6. O resultado final do conjunto de operações é transferido para a unidade de E/S
(para o usuário do software de cálculo numérico)
,
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Cálculo Numérico
Estudo de Erros
E/S Memória
ULA
1 2
3
5
4
+ ,
1. A é transferido da memória ou da
unidade E/S para uma entrada do
acumulador (ULA).
2. B é transferido da memória ou da
unidade E/S para a outra entrada do
acumulador (ULA). .
3. O acumulador normaliza número com
expoente menor da base para ambos
ficarem com o mesmo expoente maior
de base e realiza a operação. O número
resultante é transferido para a saída do
acumulador com a precisão do mesmo
(dupla, tripla, etc).
4. Número resultante é adaptado (truncado
ou arredondado) para o limite do sistema de
vírgula flutuante do computador e é
transferido para a memória.
5. Se houver uma nova operação, o
computador repete os passos 1 a 4.
6. O resultado final do conjunto de operações
é transferido para a unidade de E/S (para o
usuários do software de cálculo numérico)
![Page 51: Calc Numerico Erros UFCG](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012311/55cf9022550346703ba32a72/html5/thumbnails/51.jpg)
Cálculo Numérico
Estudo de Erros
Oficina
1. Desenhe um sistema computacional de aritmética de ponto flutuante de
quatro dígitos, sem circuito arredondador, com base decimal e com
acumulador de precisão dupla.
2. Indique no seu projeto arquitetural com um * o local exato da fonte de erros
por restrição física deste sistema e justifique esta fonte.
3. Dados os números:
X=0,7237x104 y=0,2145x10-1 e z=0,2585x101 +- 0,00071
Efetue a seguinte operação e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que
x e y estão exatamente representados.
s = x+y+z+ 2.y