Teoria delcalcestruzzo armatocalcestruzzo armato

LIVELLI DI ANALISI

Sono possibili i seguenti livelli di analisi per le strutture in calcestruzzo armato:

I stadio:• comportamento elastico lineare di calcestruzzo e acciaio;

l i• calcestruzzo reagente a trazione.

II stadio:• comportamento elastico lineare di calcestruzzo e acciaio;• calcestruzzo non reagente a trazione.

III stadio:• comportamento non lineare di calcestruzzo e acciaio;• calcestruzzo non reagente a trazione.calcestruzzo non reagente a trazione.

AZIONE ASSIALE

Comportamento al I-II stadio di un elemento in calcestruzzo armato soggetto a sola azione assiale N

Ipotesi per il dimensionamento del pilastro in c.a.:

1. Il calcestruzzo è un materiale omogeneo ed isotropo, con comportamentoelastico e lineare. Il suo modulo di elasticità (o modulo di Young) dipende dallacomposizione e risulta circa EC = 300000 kg/cm2.

2 Il modulo di elasticità dell’acciaio è E =2050000 kg/ cm22. Il modulo di elasticità dell acciaio è ES=2050000 kg/ cm2.

3. I due materiali utilizzati, pur avendo un differente modulo di elasticità, hanno lamedesima deformazione, a causa della perfetta adesione.medesima deformazione, a causa della perfetta adesione.

4. le sezioni trasversali rimangono piane anche dopo essere state deformate.

N

L’azione assiale di compressione N si ripartisce fra acciaio e calcestruzzo:

N = Ns + Nc.s c

Ricordando che: tensione × area = forza:

σ ×A = F,σ A F,

si ottiene che:

(σS⋅AS) + (σC ⋅AC) = N. (equilibrio)

Il pilastro sottoposto ad una forza di compressione N tende a deformarsi

La deformazione ε sarà uguale sia per il calcestruzzo che per l’acciaio.Pertanto:

Il pilastro sottoposto ad una forza di compressione N tende a deformarsi.

Pertanto:

ε = εC = εS = δ/l, (congruenza)

dove δ è lo spostamento e l è la lunghezza iniziale della barradove δ è lo spostamento e l è la lunghezza iniziale della barra.

Ricordando il legame costitutivo:

,ECC

Cσ

=ε

.ESS

Sσ

=ε

Si ottiene:

,SC σ=

σ

.EE

,EE

CS

S

SC

σ⋅=σEC

Il rapporto fra i moduli è il coefficiente di omogeneizzazione e vieneIl rapporto fra i moduli è il coefficiente di omogeneizzazione e vieneindicato con la lettera n.

Quindi sostituendo nella equazione di equilibro alla traslazioneQ q qverticale, si ottiene:

(n σC AS) + (σC AC) = N,

da cui:

.AAn

N

CSC +⋅=σ

Il valore del coefficiente di omogeneizzazione che si assume è n=15.

E’ doveroso chiedersi perché sia stato attribuito questo valore a n;considerando che n è il rapporto tra i moduli di elasticità dei due materiali, ilsuo valore dovrebbe essere:suo valore dovrebbe essere:

72050000En S ≅==

La motivazione è che i moduli di elasticità sono misurati in laboratorio

7300000E

nC

≅

La motivazione è che i moduli di elasticità sono misurati in laboratorioistantaneamente, mentre gli edifici sono caricati con carichi prolungati neltempo. Il comportamento dei due materiali sottoposti a carichi di lunga durataè lt di t l’ i i i d f i i t bili il l tè molto diverso: mentre l’acciaio si deforma e poi si stabilizza, il calcestruzzoevidenzia deformazioni differite.

Questo fenomeno per il calcestruzzo viene denominato viscosità e giustificaQuesto fenomeno per il calcestruzzo viene denominato viscosità e giustificaun valore più elevato del coefficiente n. Per viscosità la deformazione nel clcresce nel tempo a sforzo costante, quindi anche la deformazione dell’acciaiocresce e con essa lo sforzo nell’acciaio; quindi con n=15 colgo la situazionecresce e con essa lo sforzo nell acciaio; quindi con n=15 colgo la situazionedopo lungo tempo.

Esempio: si consideri un pilastro di sezione trasversale quadrata, soggetto acarico concentrato N di compressionecarico concentrato N di compressione.

I dati sono:

• N = 800 kN• N = 800 kN

• Lato pilastro = 35 cm

Si i i i ll l’ ili di f i di di φ 12Si ipotizzi allora l’utilizzo di quattro ferri di diametro φ = 12 mm; se necalcoli l’area totale e si confronti questo risultato con l’area del pilastro:

21 2

⎟⎞

⎜⎛

0037052.4A

cm52.442,14AnA

barre

2barrabarrebarre =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=⋅= π

0037.01225AP

barre ==

La normativa prevede che la superficie delle sezioni trasversali delle barre sia:

0.003Ap < area barre < 0.06Ap

Ora si sostituiscano tutti i valori noti nella formula di verifica: si otterrà così ilvalore dello sforzo cui è sottoposto il calcestruzzovalore dello sforzo cui è sottoposto il calcestruzzo.

Con N = 800 kN, n=15, Abarre= 4.52 cm2, AP= 1225 cm2, si ottiene:

6 2 MPσc = 6.2 MPa.

LA FLESSIONE SEMPLICE

Comportamento al I e II stadio di un elemento in calcestruzzo armato soggetto a solomomento flettente M (caso di flessione retta).

Si consideri una sezione, la cui altezza sia h e larghezza b, i cui ferri d’armatura diarea As (in zona tesa) e (in zona compressa) distino dai bordi superiore ed inferioredi una distanza c.

sA′

bεc

sε′

σc

sσ ′ x

b

sA′ s x

h

s

εt

εs

σ t

σ sAs

t t

Ipotesi di comportamento al primo stadio:

1. Le sezioni possono ruotare, ma rimangono piane (ipotesi di Navier);

2. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio sia in zona compressa che in zona tesa.

3. Il calcestruzzo è omogeneo, isotropo, con comportamento elastico-lineare sia acompressione che a trazione;

4. L’acciaio è omogeneo, isotropo, con comportamento elastico e lineare;

bεc

sε′

σc

n/sσ ′ x

b

s x

h

εt

εs

σt

σs/n

t t

Per le ipotesi 1) e 2) posso scrivere (congruenza):

cssc

xcx

cxxεεεε −

=′→−′

=

cssc

xxch

xchxεεεε −−

=→−−

=

cttc

xxh

xhxεεεε −

=→−

= xxhx

Per le ipotesi 3) e 4) posso scrivere (leg. costitutivo):

⎪⎪⎨

⎧==

tct

ccc

EEεσεσ

⎪⎪⎩

⎨

′=′=

sss

sss

EEεσεσ

Segue che:

cscs

scs

xcxn

xcx

EE

Excx

Eσσσσσσ −

=′→−

=′→−

=′

cscs

scs

ccs

xxchn

xxch

EE

Exxch

E

xxEExE

σσσσσσ −−=→

−−=→

−−=

ctct

ccs

xxh

Exxh

E

xxEExE

σσσσ −=→

−=

cc xExE

Impongo l’equilibrio orizzontale (Nint=0):

022

=−

++′′−− bxhAAbxtssssc σσσσ

Sostituisco quanto trovato prima:

xhxhxchcxx 022

=−−

+−−

+′−

−− bxhx

xhAx

xchnAx

cxnbxcscscc σσσσ

bxhxhxchnAcxAnbx 0=−−

+−−

+−′−−

Da cui:

( ) ( ) ( ) xbxhcxhnAcxAnbx

bxx

nAx

Anb

ss

ss

0

022

22

→=−

+−−+−′−−

++

( ) ( )ss 22NB. La posizione dell’asse neutro è quella tale da annullare rispetto ad essa il momentostatico della sezione omogenizzata (calcestruzzo teso e compresso più area di acciaiostatico della sezione omogenizzata (calcestruzzo teso e compresso più area di acciaiomoltiplicata per il coefficiente n) cioè coincide con il baricentro della sezioneomogenizzata.

( )xhx 22

( ) ( ) ( )

( )

ss

xhx

bxhcxhnAcxAnbx=

−+−−+−′−− 0

22222

( ) ssss hbxbxbhxnAd

chnAcAnxAnbx=−++−−+′+′−− 0

222

2

321

omss

AS

hbnAAn

dnAcAnbh

x =++′

+′+= 2

2

omss AhbnAAn ++

Impongo l’equilibrio alla rotazione orizzontale rispetto all’asse neutro (Mint=M):

⎞⎛ ( ) ( ) ( ) MxhbxhxchAcxAxbxtssssc =−

−+−−+−′′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

32

232

2σσσσ

Sostituisco quanto trovato prima:

( ) ( )xchAx

xchncxAx

cxnxbxscscc +−−

−−+−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32

2σσσ

( ) Mxhbxhx

xhc =−

−−+

32

2σ

Da cui:

( ) ( ) ( )xhx ⎤⎡ 33

( ) ( ) ( ) Mx

J

bxhxchnAcxAnbxssc =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−−+−′+

444444444 3444444444 2133

22σ

Jom

Da cui:M xJM

omc =σ

( )M

Sostituisco in quanto trovato prima:

( )

( )M

cxJMn

oms −=′σ

( )

( )M

xchJMn

oms −−=σ

( )xhJM

omt −=σ

All’aumentare del carico questa soluzione perde di validità in quanto il calcestruzzo,avente scarsa resistenza a trazione si fessura.Il superamento della resistenza a trazione del calcestruzzo NON comporta comunque ilp p qcollasso della sezione.

Ipotesi di comportamento al secondo stadio:

1. Le sezioni possono ruotare, ma rimangono piane (ipotesi di Navier);

2. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio sia in zona compressa che in zona tesa.

3. Il calcestruzzo è omogeneo, isotropo, con comportamento elastico-lineare acompressione mentre non resiste a trazione (σt=0);

4. L’acciaio è omogeneo, isotropo, con comportamento elastico e lineare;

bεc

sε′

σc

sσ ′ x

b

s x

h

εt

εs

σt

σs

t t

Per le ipotesi 1) e 2) posso scrivere (congruenza):

cssc

xcx

cxxεεεε −

=′→−′

=

cssc

xxch

xchxεεεε −−

=→−−

=

Per le ipotesi 3) e 4) posso scrivere (leg. costitutivo):

⎪⎪⎨

⎧==

EE

sss

ccc

εσεσ

⎪⎪⎩

⎨

=

′=′

0E

t

sss

σεσ

⎩

Segue che:Segue che:

cscc

ss

c

c

s

s

xcxn

xcx

EE

Excx

Eσσσσσσ −

=′→−

=′→−

=′

cscc

ss

c

c

s

s

xxchn

xxch

EE

Exxch

Eσσσσσσ −−

=→−−

=→−−

=

Impongo l’equilibrio orizzontale (Nint=0):

02

=+′′−− ssssc AAbx σσσ

Sostituisco quanto trovato prima:

xchcxx 02

=−−

+′−

−− scscc Ax

xchnAx

cxnbx σσσ

xchnAcxAnbx 0=−−

+−′−−

Da cui:

( ) ( ) xcxhnAcxAnbxx

nAx

Anb

ss

ss

0

02

2

→=−−+−′−−

+

( ) ( )ss2

NB. La posizione dell’asse neutro è quella tale da annullare rispetto ad essa il momentop q pstatico della sezione omogenizzata e parzializzata (calcestruzzo compresso più area diacciaio moltiplicata per il coefficiente n)

Impongo l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse neutro (Mint=M):

⎞⎛ ( ) ( ) MxchAcxAxbxssssc =−−+−′′+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σσσ

32

2

Sostituisco quanto trovato prima:

( ) ( ) MxchAxchncxAcxnxbxscscc =−−

−−+−′−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σσσ 2 ( ) ( ) MxchA

xncxA

xnxb scscc ++⎟

⎠⎜⎝

σσσ32

Da cui:

( ) ( )x ⎤⎡ 3

( ) ( ) Mx

J

xchnAcxAnbxssc =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−′+444444 3444444 21

22

3σ

Jom

Da cui:

xJM

omc =σ

Sostituisco in quanto trovato prima:

M ( )

MM

cxJMn

oms −=′σ

( ) ( )xdJMnxch

JMn

omoms −=−−=σ

dove d = h - c è detta altezza utile della sezione

Nella flessione semplice il momento flettente agente viene quindi equilibratocon una coppia interna formata dalla risultante degli sforzi di compressionecon una coppia interna formata dalla risultante degli sforzi di compressioneagenti nel calcestruzzo e nell’armatura compressa e dagli sforzi di trazioneagenti nella sola armatura tesa.

Sezione a T

Sono possibili due casi:1. x<s: l’asse neutro taglia la soletta e la sezione si comporta come

rettangolare con b=b ;rettangolare con b=bs;2. x>s: le ali sono equivalenti ad un’area di acciaio Ase= (bs- b) s/n e c’=s/2;

la sezione si assume rettangolare con base uguale a b.

bsAse

xxc

s

s

d

b

LA (TENSO) - PRESSO-FLESSIONE

Comportamento al II stadio di un elemento in calcestruzzoComportamento al II stadio di un elemento in calcestruzzoarmato soggetto Ad azione assiale combinata con momentoflettente M.

La condizione di sollecitazione più generale che producetensioni normali nei pilastri dei telai è la combinazione di N

azione normale e flessione.Lo stato di sollecitazione viene individuato dalla forza normaleN e dal punto P di coordinate xp yp, detto centro dip p ypsollecitazione, intersezione della retta di azione di N con ilpiano della sezione. In alternativa la stessa sollecitazione puòdescriversi mediante N ed i due momenti baricentrici Mx, Mydescriversi mediante N ed i due momenti baricentrici Mx, Myrelativi agli assi principali di inerzia della sezione.Nel seguito, nella parte dedicata al calcolo elastico, si farà disolito riferimento agli assi principali dell’intera sezione

Mx Mysolito riferimento agli assi principali dell intera sezioneomogenizzata, che sono, quando la sezione è interamentecompressa, gli assi principali della sezione reagente.Generalmente q esti assi coincidono o differiscono di poco

N

Generalmente questi assi coincidono, o differiscono di poco,dagli assi della sezione geometrica.

Piccola Eccentricità

Si considera il caso che l’azione normale sia di compressione; se, conriferimento alla sezione omogenizzata, il centro di sollecitazione è interno alnocciolo centrale di inerzia l’asse neutro è esterno alla sezione che pertantonocciolo centrale di inerzia, l asse neutro è esterno alla sezione che pertantorisulta interamente compressa e dunque reagente. In questo caso lecaratteristiche geometriche della sezione sono note a priori e per calcolare lostato di tensione si possono tili are le rela ioni che si ottengono applicando lastato di tensione si possono utilizzare le relazioni che si ottengono applicando lasovrapposizione degli effetti, ben note dallo studio delle travi. Sempre conriferimento agli assi principali di inerzia, la tensione in un generico punto della

i di di è d d ll’ isezione, di coordinate x, y è data dall’equazione:

NeNNyNxN pp +++

in cui x y sono le coordinate del centro di sollecitazione e I I i momenti

yIA

yI

xIA xomomxom

p

yom

p

omc +=++=σ

in cui xp, yp sono le coordinate del centro di sollecitazione e Ix, Iy i momentid’inerzia della sezione omogenizzata.

Grande eccentricità - Pressoflessione retta

Quando il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo l’asse neutro taglia lasezione che risulta parzializzata e, come nel caso della flessione, la sezionereagente nel II stadio non è a priori determinatareagente nel II stadio non è a priori determinata.Se la sezione ha un asse di simmetria ed il centro di sollecitazione è uno deisuoi punti l’asse neutro è ortogonale a questo asse, e la sua giacitura dunque ènota; q esto come già f isto per la flessione semplifica il problema chenota; questo, come già fu visto per la flessione, semplifica il problema chetuttavia si può trattare in forma analitica solo per sezioni dalla geometriasemplice. Anche qui il caso più elementare e di maggior interesse pratico è

ll d ll i i l iquello delle sezioni rettangolari.Se y è l’asse di simmetria su cui giace il centro di sollecitazione P, si indichicon u la distanza di P dal bordo compresso della sezione, considerata positivaquando P è esterno alla sezione, con yp la distanza (incognita) di P dall’asseneutro e con yc l’altezza (incognita) della zona compressa si ha:

+yp = yc + u

Con riferimento all’asse x perpendicolare ad y e passante per P, la condizione diequilibrio alla rotazione della sezione richiede che:

0=′∫omA

dAyσ

dove y’ indica la distanza di unpunto generico della sezionedall’asse ’ Se è la distan adall’asse x . Se y è la distanzadello stesso punto dall’asseneutro, si avrà ovviamente

y’

y = yp − y’

Tenendo presente che, per lalinearità del diagramma delletensioni, si può porre:, p p

σ = ky=k(yp − y’)

dalla equazione precedente siottiene:

02 =′−′ ∫∫omom AAp dAydAyy

che, sinteticamente, si può scrivere:

yp Sx’− Ix’ = 0

in cui Sx’ e Ix’ sono il momento statico e quello d’inerzia della sezione reagente omogenizzata, riferiti all’asse x’.

Sezione rettangolare

Per una sezione rettangolare l’espressione esplicita di Sx’ e Ix’ è semplice:g p p x x p

( ) ( ) ( )udnAudAnuybS +++′′+= 221 ( ) ( ) ( )udnAudAnuybS sspx ++++−=′ 2

( ) ( ) ( )22331 dAdAbI +++′′+( ) ( ) ( )33

3udnAudAnuybI sspx +++′′+−=′

Sostituendo queste espressioni e riordinando i termini in funzione dell’unica incognita yp che vi compare, si ottiene l’equazione cubica:

( ) ( )[ ] 36 23 −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++′′+ yuudAudAny pssp ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] 026 322 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++′′+

⎥⎦⎢⎣

uudAudAn

yb

y

ss

pssp

che si può scrivere in modo compatto:

( ) ( )[ ] ⎥⎦⎢⎣ b ss

yp3 + ypp − q = 0

d i ffi i ti di d d ll t i d ll i d ll tdove i coefficienti p e q dipendono dalla geometria della sezione, dalle armature e dalla posizione del centro di sollecitazione.La soluzione dell’equazione cubica è nota in forma esplicita:

Specificatamente al caso di sezione con un solo strato di armatura a trazione e a compressione, l’equilibrio alla rotazione attorno al punto P, implica che:

y’ycσ

ky

σ = ky

( ) ( ) 0′′′⎟⎞

⎜⎛ dAdAyby cccσ

}c cs s

yσ σ σ′

( ) ( ) 032

=+−+′′′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + udAudAyuby

ssssccc σσ

-

( ) ( ) ( ) ( )2

02 3

s s

c cc s c s

ky yb u nk y d A u d nk d y A u d⎛ ⎞ ′ ′ ′+ + − + + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6447448 64748

y}

( ) ( ) ( ) ( )2

02 3

c cs s

c cc s c s

y

ky yb u nk y d A u d nk d y A u d

σ σ σ′⎛ ⎞ ′ ′ ′+ + − + + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

6447448 64748-( ) ( ) ( ) ( )

2 3 c s c s⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )[ ]63 23 −+++′′++ yudAudAbnuyy csscc

( ) ( )[ ] 06 =+++′′′+ uddAudAdbn

ss

Da cui ricavare la posizione dell’asse neutro yc

Dal valore di yp si determina quindi l’altezza della zona compressa yc = yp −u Individuata la posizione dell’asse neutro la sezione reagente risulta definitau. Individuata la posizione dell asse neutro la sezione reagente risulta definitae quindi si può procedere al calcolo delle sollecitazioni. Risulta comodoutilizzare l’equazione monomia che si ricava dall’equilibrio alla traslazione:

NkNkSydAkdA →∫∫σ

c cyσ σ σ′

omomAA S

kNkSydAkdAomom

=→=== ∫∫ σ

}

( ) ( )2

2

s s

cc s c s

k y b n k y d A n k d y A N

σ σ

′ ′+ − − − =6447448 6447448

in cui si è fatto uso della relazione lineare σ = ky e si è indicato con Som ilmomento statico della se ione omogeni ata relati amente all’asse ne tromomento statico della sezione omogenizzata relativamente all’asse neutro.

Risolvendo l’equazione rispetto a k e sostituendo la soluzione nella espressione diRisolvendo l equazione rispetto a k e sostituendo la soluzione nella espressione diσ = ky si ha:

N ySN

omc =σ

I valori delle tensioni nell’acciaio si ottengono con una relazione analogaamplificata del fattore n:

( )Nn y dσ ′ ′= ( )

( )

s com

n y dSNn d y

σ

σ

= −

= ( )s com

n d yS

σ = −

u -u