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Calcolatori Elettronici Lezione 1 Docente: ing. A. Picariello 081 7683826 [email protected] Martedi’ Lezione 1 Introduzione al corso Libri di Testo, materiale didattico Algebra di Boole Definizione Assiomatica Proprietà e Teoremi notevoli

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1

Calcolatori ElettroniciLezione 1

Docente: ing. A. Picariello081 7683826

[email protected]

Lezione 1Introduzione al corsoLibri di Testo, materiale didatticoAlgebra di Boole

Definizione AssiomaticaProprietà e Teoremi notevoli

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2

Materiale didatticoFadini, Esposito “Teoria e Progetto delle Reti Logiche”, Liguori EditoreFadini, Mazzocca “Reti Logiche, Complementi ed esercizi, Liguori EditoreFadini, De Carlini, “Macchine per l’elaborazione dell’informazione”, Liguori Editore, Lucidi sul Motorola 68000Logic Work 4Ntumin opp EspressoAltre info: sito http://cds.unina.it/~picus

Logica… da Aristotele…a G. Boole

“ An Investigation into the Laws of Thougths …”

<K, +, .> K un insieme+,. operatori interni che godono delle seguenti proprietà

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3

Reticolo

A+A.B=AA.(A+B) = A

Assorbimento

A+A = AA.A=A

Idempotenza

A+(B+C)= (A+B)+CAssociativa

A+B = B + AA.B = B.A

Commutativa

Relazione d’Ordinea+b = aa . b = a

Infatti: Prop. Riflessiva: a+a = a (per idempotenza)antisimmetrica: a+b = a; b + a = b; →a=bTransitiva

a+b=a; b+c=b;a+(b+c)=a; (a+b)+c=a; → a+c=a

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Massimo e MinimoMinimo 0Massimo 1∀x∈K,

x.0=0X+1=1

Complemento e DistributivitàComplemento

Proprietà ditributiva(a+b) . c = a . c + b . C(a .b)+c = (a+c) .(b+c)

=⋅=+

∃∈∀

01

:,

xxxx

xKx

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5

… algebra di BooleReticolo distributivo, dotato di massimo, minimo e complementoEsempi di Algebre di Boole

Algebra degli InsiemiAlgebra delle ProposizioniAlgebra dei Circuiti

Dimostrazione sono tutti reticoli distributivi, dotati di massimo, minimo e complemento

Proprietà

A ∪ Ac∩B = A ∪ B

babaaabaababaa

+=++=++=+

))((

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De Morgan

DimostrazioneTabellare (per ogni valore di x,y il primo membro e’ uguale al secondo)algebrica

+=⋅⋅=+yxyxyxyx

)()(

…. Una prima importante conseguenza

yxyxyx

yxyxyx

+=⋅=⋅

⋅=+=+

De MorganDimostrazione algebrica

=+=+=⋅+=+=+++=++

000)(111)(

yxyyxxyxyxyxyyxxyxyx

….. Valgono le proprietà del complemento …..

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GeneralizzazioneTeorema di DM Generalizzato

∏∑ ===

n

i in

i i aa11

Teorema di Shannon

),....,,(),....,,( 2121 nfn xxxxxxf δ=

Implicazionex→y

Se x è vera, y e’ veraSe x è falsa, y è vera opp falsa

111000yx

x+y=y

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8

ovvero

yx

x⊂y

Nei linguaggiIf x then y

Altra definizioneÈ sempre vero che

x falsa, y è vera opp falsax vera, y vero

1 cui da

1)(1

=+

=++⇒=++

xyx

xyyyxxyyxyx

… Semplice il significatoinsiemistico

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9

esempioSillogismo aristotelico

P1: Tutti gli uomini sono mortaliP2: Socrate è un uomoP3: Socrate è mortale

P1∧P2→P3

dimostrazioneU = Insieme degli uominiM = insieme dei mortali, U⊂MS = Socrate

P1: U+M = MP2: S+U = US+U+M=U+M ⇒

S+M=M…. Ovvero Socrate è mortale

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Esercizio a casaDimostrare che(x→y)∧(y→x)→x=y

Lezione 2Altre relazioni notevoliPorte logicheFunzioni Booleane

Livelli di una funzioneForme canoniche

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Relazioni notevoli

EQUIVALENZA(x→y)∧(y→x)→x=y

xyyxyx +=≡OR ESCLUSIVO

yxxyyxyyxyyxxxyxyx

yxyxxyyxxyyxyx

⊕=+=+++=++

=+⋅+=⋅=+=≡

))((

)()(

XORSomma modulo 20 ⊕ 0 = 00 ⊕ 1 = 11 ⊕ 0 = 11 ⊕ 1 = 0

0111100110100100x ⊕yx≡yyx

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Porte Logiche

(vedi Logic Works)

Funzioni BooleaneB={0,1}f: B x Bx …..x B→B

(x1,x2,…,xn) →y∈By=f (x1,x2,…,xn)

Tabella di Verità

111

001

010

100

zyx

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Esempio di funzioniAND

y=x1x2

ORy=x1+x2

NOTxy =

Funzioni di Funzionix1 ⊕ x2=

Funzione di AND, OR, NOT2121 xxxx +

.

+

.

x1

2x

1x

2xLivello 0 Livello 1 Livello 2

Livello 0 =variabili della f.

Livello di una funz.l=max l(yi)+1

y=f(y1,y2)y1=f(x1,x2)y2=f(x1,x2)

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Formalmente …F={f1,f2,…fn} insieme di funzioni

y=fy(y1,y2,…,yn) con fy∈F (1)

Se ogni y è sempre riconducibile alla (1), l’insieme F è detto Funzionalmente Completo

Se F={AND, OR, NOT}, la funzione è detta ALGEBRICA, o RAZIONALE

esempio[ ])()( ytxyzxyqtzxy ++++=

+

+

.

.

+.

+

1 2 3 4 5

12345liv. complementari

zt

xq

ty

xy

z xy

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Forme canoniche (1) ….mettiamo in evidenza ….

[ ] [ ])0,....,0(.......)1,....,1(....

),..,0,0(),..,1,0(),..,0,1(),..,1,1(),..,,0(),..,,1(

),..,,(

2121

221221

2121

21

fxxxfxxxyxfxxfxxxfxxfxx

xxfxxxfxxxxfy

nn

nnnn

nn

n

++=+++

=+==

esempio: 2 variabili

)1,1()0,1()1,0()0,0( 21212121 fxxfxxfxxfxxy +++=

Forme canoniche (2) Esempio due variabili

)11()10()01()00( 21212121 fxxfxxfxxfxxy +++=

011

101

110

000

yx2x1f(10)=f(01)=1f(00)=f(11)=0

2121 xxxxy +=

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Un po’ di definizioni…Litterals

Variabile o il suo negato

ClausolaProdotto di letterali

MintermineClausola di ordine massimo

… esempio

Ove Pi indica un mintermine αi il valore assunto dalla funzione in corrispondenza di quel mintermine

33221100

21212121 )11()10()01()00(αααα PPPPy

fxxfxxfxxfxxy+++=

+++=

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1a forma canonica… generalizzando,

∑ −

==

12

0

n

i iiPy α

Forma canonica del I° tipoSomma di Prodotti (SP) o tipo P

Numero caratteristico

0 α311

1 α201

1 α110

0 α000

yx2x1 La ennupla (α0, α1, ….., αn)

È il numero caratteristico della funzione

#f=(0110)=6

#x1 #x2Notare che dato #x1,#x2, ricavo facilmente#f

…. Provare …..

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Una semplice regolaα0= α1= α3= α5= α6=0α2= α4= α7=1

11110011010110010110101001000000fzyx

P2:(010)

P2:(100)P2:(111)

xyzzyxzyxf ++=

Proprietà dei MinterminiPi ≠Pj ∀i ≠jPi

. Pj = 0Σi Pi=1

xy

zxyz

xyz⊆xyxyz⊆xzxyz⊆yz

Minima intersezione trainsiemi

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MaxterminiSomma di letterali, Si

…se nego f, ottengo una somma di mintermini che hanno valore tabellare 1… riottengo la f negando due volte

ii SP =

∏∏∑−

=

=

=

+=+=12

1

12

1

12

1)()(

nnn

iii

iiii

ii SPP ααα

αi=1αi+ Si=1

αi=0αi+ Si= Si

2a forma canonica

Prodotto di Somme (PS), o tipo SNella forma canonica di tipo S sono presenti tutti e soli i maxtermini per i quali si abbia αi=0

∏−

=

+=12

1

)(n

iii Sy α

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esempioS0:(000)S1:(001)S3:(011)S5:(101)S6:(110)

11110011010110010110101001000000fzyx

)())((

))((

zyxzyxzyx

zyxzyxf

++++++

++++=

Lezione 3Equazioni BooleaneDon’t Care (DC)Implicanti di una funzioneForma minima di una funzione

Mappe di KarnaughMetodo tabellare

Esempi ed Esercizi da fare a casa

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Risoluzione di equazioniPi=1

soluzione )010(1⇒=zyx

ΣiPi=1 )100(),010( :1 soluzionizyxzyx ⇒=+

f (x1,x2,…,xn)=1⇔ ΣiαiPi=1

Ris. equzioniCaso più generalef (x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)

Ma che significa nell’algebra di Boole che f=g?

gfgfgfgf

⋅+⋅=

=⋅+⋅

F detto 1

Ci riconduciamo al caso precedente:F=1

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Funzioni incompletamente specificate

Data la funzione y=f (x1,x2,…,xn), puòaccadere che in corrispondenza di alcune ennuple, il valore dii y non è assegnato

y vale in quei punti indifferentemente 0 opp 1“Don’t Care” DC

Le variabili non sono tra loro indipendentiÈ realmente indifferente ai fini pratici il valore di y in tali punti.

esempioTrascodifica esadecimale/display a 7 seg.

HEXencoder

Dec/enc

input

?

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Esempio ….

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

x4X3X2X1

Punti che specificano la funzione

DON’T CARE

A che sono utili i DC

?

osservazione(x1,x2,…,xn)→ (y1,y2,…,yn)y=f(x)

z=x y⇔zi=xiyi ∀iz=x+y⇔zi=xi+yi ∀iz=α y⇔zi= α yi ∀i

Codop op1 op2

1111 00….0 00…..0

X

YX AND Y

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Implicantif=γ1+ γ2+…+ γm , con γi clausola

Se γi è vero, f è veraγi →f : è un implicante della funzione f

Un implicante di una funzione che non implica a sua volta nessun altro implicante della funzione

… è detto implicante primo

…. Come trovo i p.i.? (2var)

....)(.....

++=++=

aabfbaabf

abbb

a

a

b a

ab b

aba

ba

ba

ab

a

b

a

b

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Mappa di Karnaugh (K-map)

Che rappresento?

111

10

10b

a

Come trovo i p.i.? 3 var

100

000

00

110

111

011001

101

10

0

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… Proiettando sul pianoK-Map

11111

1110

10110100

4 variabiliLa rappresentazione grafica non è immediata

Passeremo direttamente alla Mappa di K

x1x2

10

11

01

00

10110100x3x4

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esempio

1110

111

1101

11100

10110100x3x4

x1x2

42432131 xxxxxxxxf ++=

Concetto di “costo”

dcdcabbaf +++= )(

a bd

c

c d

ba

Costo dei Letterali, Cl=numero di interruttori che occorronoPer costruire il circuito

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28

Concetto di “costo”

dcdcabbaf +++= )(

Costo degli ingressiCi = 12

Costo delle PorteCp=5

Costo Minimo: uno dei tre costi diminuiscedi solito Cp rimane invariato

Come sarà un funzione in forma minima?

f=γ1+ γ2+…+ γm (1)La forma minima sarà una forma a primi implicanti

f=p1+ p2+…+ pn (2)f=γ1+ γ2+…+ γm+p1

∃ γi: γi→p1 …. E si può dunque eliminare …..

Iterando il ragionamento, si ha la (2)

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…. Ma come trovare i PI?Copertura massima di Mappe di KAlgoritmi numerici

Implementati al calcolatoreNTUMIN, ESPRESSO

Vediamo un esempio pratico

esempio

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

v

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

0

u

111

111

011

011

101

101

001

001

110

110

010

010

100

100

000

000

zyx

011010

111011

11101

1000

10110100zvxy

yz

yx

vzx xzv

vyx

vzy

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Implicanti Primi Essenziali Un primo implicante di f è detto “essenziale” se è l’unico ad essere implicato da un mintermine di f

vzyvyxxzvvzxyzyxy +++++=

E’ essenziale per 0100 E’ essenziale per 1110

Come scegliere i PI non essenziali?

Scelgo tra le possibili soluzioni quella che mi “fornisce” un “costo minimo”.

Limiti delle KmapLe mappe non permettono di identificare PI per funzioni con più di 5 variabiliNon forniscono indicazioni utili per identificare il minimo numero di PI non essenziali necessari a coprire tutti i mintermini della funzioneSono complesse – praticamente inapplicabili – per f.booleane a più usciteNon sono un metodo utile per derivare un programma per il calcolo automatico della “copertura” minima

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31

Metodo di Quine-McCluskey1. Riordino dei mintermini della tabella secondo il numero di 1 contenuti nella configurazione

15

14

11

7

9

6

5

4

1

Pi

1

0

1

1

1

0

1

0

1

v

111

111

101

110

001

110

010

010

000

zyx 2. Ogni configurazione in unGruppo viene confrontata conTutte le configurazioni del gruppoSuccessivo• se si trovano configurazioni adiacenti, ciò indica la presenzadi somma di minterminiVanno spuntati!

Consensi …

15

14

11

7

9

6

5

4

1

Pi

1

0

1

1

1

0

1

0

1

v

111

111

101

110

001

110

010

010

000

zyx

Consensi:Consensi:1-5;1-9;4-5;4-65-7;6-7;6-14;9-117-15;11-15;14-15

Es. 1-5: 0001-0101 0-01

Il procedimento si itera, …………

Tutti marcati: nessun PI

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32

iterazione

√14,15-111

D11,1511-1

7,15

9,11

6,14

6,7

5,7

4,6

4,5

1,9

1,5

Pi

C

B

A

1

1

0

-

1

0

-

1

1

v

11-

-01

11-

110

-10

-10

010

00-

0-0

zyx

F6,7/14-15-11-

4,6/5,7

Pi

E-

v

-10

zyx

Ha termine qui la prima faseDell’algoritmo. I PI individuati SonoA,B,C,D,E,F

Fase 2 (Patrick)

Costruzione matrice di copertura•Tante righe quanti sono i mintermini•Tante colonne quanti sono i PI

1

P14

11

P9

1

1

P11

111F1111E

1D

C1B

11A

P15P7P6P5P4P1

P4 è coperto solo da EP14 è coperto solo da F

E ed F sono PI ESSENZIALI!

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33

Fase 2 (Patrick) (cont)

1D

11C11B

1A

P11P9P1Si cancellano E ed F e tuttii mintermini “coperti” da E ed F

•Non esistono più essenzialità•Ogni mintermine è coperto daalmeno due implicanti

Operiamo un confronto tra le righe A e BB contiene tutti gli 1 di A e almeno un ulteriore 1….. B DOMINA A

l’implicante associato a B copre tutti i mintermini dell’implicante A, più almeno 1

…. Scegliere B non porta ad un costo > di scegliere Alo stesso vale per D rispetto C

Fase 2 (Patrick) (cont-2n)

11C11B

P11P9P1

NOTIAMO CHE …B è “pseudo” essenziale per P1C è “pseudo” essenziale per P11Prendo per la copertura B e C

Forma minima: E+F+B+C

vyxvzyyzyxu +++=

Colonna P9 domina P1 e P11• qualunque implicante che copreP1, copre anche P9, ma nonviceversa…. Lo stesso per P9 ….CANCELLO LA COLONNA DOMINANTE

Costo minore…

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OsservazioniNon sempre le riduzioni dovute ad essenzialità e dominanza consentono di giungere ad una soluzione!

1

1

P7

11F11E1D

1C11B

11A

P5P4P3P2P0

Non esistono righe essenziali, né relazioni di dominanzaalgoritmi di Branch&Bound

esamina delle alternative (albero delle scelte)

DefinizioneDefiniamo Nucleo l’insieme degli implicanti primi essenziali per una funzione f.Le forma minima di f sarà data da

f=N+α

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Don’t CareUna funzione booleana con DC può essere descritta da:

On-set (Off-set)DC-set

Che fare dei DC?Posso tralasciare il DC set, senza modificare gli algoritmi precedenti…ma le condizioni di indifferenza possono costituire una opportunità ulteriore per minimizzare ….

…esempio con K-mapScelgo opportuamente sulla mappa 0 o 1 nei punti di DC per avere copertura ottimale

… ovviamente, si tralasciano implicanti costituiti da solo punti di indifferenza ….

1110111101--00

10110100zvxy

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… e Mc Kluskey?

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

v

1

1

1

0

1

1

0

0

-

-

-

1

-

0

0

0

u

111

111

011

011

101

101

001

001

110

110

010

010

100

100

000

000

zyx

√151111

14

13

11

7

10

6

5

3

4

Pi

0

1

1

1

0

0

1

1

0

v

111

011

101

110

101

110

010

100

010

zyx

3,5,6,7 vengono evidenziateNON e’ necessario coprire le condizioni di indifferenza

…non potranno mai esistere implicanti primi costituiti da soli DC …

Esempio … (cont)

√14,15-111

√13,151-11

√11,1511-1

√7,15111-

√10,1401-1

10,11

6,14

6,7

5,13

5,7

3,11

3,7

4,6

4,5

Pi

-

0

-

1

1

1

1

0

-

v

101

11-

110

01-

-10

10-

1-0

-10

010

zyx

A3,5/6,7--10

E10,11/14,15-1-1

D6,7/14,15-11-

C5,7/13,151-1-

3,7/11,15

Pi

B1

v

1--

zyx

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… ovvero

11

11

P15

111E1D

1C1B

1A

P14P13P11P10P4

u = A + E + C

Esercizi da fare a casaData la funzione f(abcde),

comp. specificata:On set={p1,p3,p11,p17,p19,p20,p27,p28}Calcolare la forma minima con il metodo di Quine-McCluskey

Posso usare le K-Map? Come?

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Esercizi da fare a casaData la funzione f(abcde)

incomp. specificata:On set={p4,p6,p14,p15,p24,p25}DC set={p1,p3,p7,p16,p27,p28}

Calcolare la forma minima con il metodo di Quine-McCluskey

Posso usare le K-Map? Come?

Esercizi di fare a casa

1---10-11

11-101-00

10110100zvxy

Trovare la formaMinima della fbooleana

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Lezione 4Forme NAND, NORAltre funzioni di due variabilidisparità

Porte nand e norUna funzione a 2 livelli (SP o PS), ha bisogno di 3 porte diverse

Costo maggiore…. Ciò può essere evitato con l’uso di NAND e NOR

yxyxz ↑=⋅=

yxyxz ↓=+=

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Proprietà notevoli

xxxxxxx =+=⋅=↑1)

xxxx =+=⋅=↑ 0112)

… dualmente per la nor

OsservazioneVale la proprietà associativa?

)()(?

zyxzyx ↑↑=↑↑

101111011010110100

xyz

yx ↑010011111010110100

xyz

zyx ↑↑ )(

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OsservazioneVale la proprietà associativa?

)()(?

zyxzyx ↑↑=↑↑

100111111010110100

xyz

zy ↑011110011010110100

xyz

)( zyx ↑↑

ATTENTI!! NON VALE LA PROPRIETA’ ASSOCIATIVA

Spazi Funz. Completi

Una funzione booleana può essere sempre espressa con soli operatori NAND (o NOR)

Vantaggi economici, pratici

yxyxyxyx ↓=+=⋅=⋅

yxyxyxyx ↑==+=+ .

{NOR}

{NAND}

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Da forma and-or a nand

nnn

n

ff

f

γγγγγγγγγ

γγγ

...............

.....

212121

21

↑↑=⋅⋅=++==

++=

esempio

)()()( fedcbaefcdabefcdabf

↑↑↑↑↑

=↑↑=++=

Che succede se ho un unico letterale k? affinchè tutto funzioni, devo negare k, ovvero porre k↑k

…. ovvero1. Data una funzione f ….

se al primo livello complementare trovo un OR, la funzione si dirà in forma OR, facilmente trasformabile in forma NANDse al primo livello complementare trovo un AND, la funzione si dirà in forma AND, facilmente trasformabile in forma NOR

2. Data una funzione a più livelli in forma OR (AND), ottengo la forma NAND prendendo le variabili che si trovano a livello complementare pari così come sono, e negando quelle a livello complementare dispari …

Stando bene attenti all’ordine ….NON VALE LA PROPRIETA’ ASSOCIATIVA ….

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esempio

( )[ ] kdccaedcbaf +++++=

+k.

.

.+.

+

12345

b

c

d

e

ac

dca

Ovvero …

[ ] kcdcaedcbaf ↑↑↑↑↑↑↑↑↑= )()()(

… dimostriamo algebricamente( )[ ]

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

[ ][ ] kcdcaedcba

kcdcaedcbakcdcaedcba

kcdcaedcbakdccaedcba

kdccaedcbaf

↑↑↑↑↑↑↑↑↑

=↑↑↑↑↑+↑↑↑

=↑↑↑↑↑+↑↑

=↑↑↑↑↑++↑

=↑↑↑++

=+++++=

)()()()()()(

)()(

)()(

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Funzioni di 2 variabili

101010101010101011

tautologia

↑X→y

¬xy→x

¬y≡↓∨⊕y∧¬x

x∧¬y

∧Contradd.

1

1

1

f14

10011001100110001

11100001111000010

11111110000000000

f15f14f12f11f10f9f8f7f6f5f4f3f2f1f0yx

Parità e Disparità

00101011 01101011

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Funzioni di Parità

=

=

pari 1 di numeroun ha se ,0dispari 1 di numeroun ha se ,1

)(

),...,( 21

xx

xd

xxxx n

Es. d(10101101)=1

)()( xdxp =

2 variabili….. Ho 1 nei mintermini 01 e 10 … mintermini con numero di 1 dispari….11

10

10x2

x1

21212121 ),( xxxxxxxxd ⊕=+=

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4 variabili

11 10

1111

1101

100

10110100x3x4

x1x2

1 Costo minimo

2n/2 mint. dispari

Decomposizione funzionale

C=C(d(x1))+C(d(x2))+C(d(x3))

01010111

x

x1

x2

x3

d(x1)=1

d(x2)=0

d(x3)=0

d(x)=d(d(x1), d(x2), d(x3))

722 1 =∝ −nC

6222222 22121313 =++=++∝ −−−C

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Disparità e parità (3 v)… disparità = negato di parità ….

212121 ),( xxxxxxp ≡=⊕=

… e per tre variabili …..

321321321321321321

321321321321321

),,(),,(

),,(

xxxxxxxxxxxxxxxdxxxp

xxxxxxxxxxxxxxxd

+++==

+++=

Relazione Notevole

Numero di variabili pari“disparità dei negati = disparità”

Numero di variabili dispari“disparità dei negati = parità”

),(),(),( 212121212121 xxpxxdxxxxxxxxd ==⊕=+=

),,(),,(

),,(

321321

321321321321321

xxxdxxxp

xxxxxxxxxxxxxxxd

==

=+++=