calcolo con paratie di opere di sostegno · pdf file4 introduzione nei corsi...

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CALCOLO CON PARATIE

DI OPERE DI SOSTEGNO FLESSIBILI

IN ZONA SISMICA

VERSIONE 6.2 -Luglio 2006

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SOMMARIO ��............................................................................................................................. 4

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Introduzione Nei corsi d’aggiornamento professionale tenuti in seguito all’emanazione dell’ormai celeberrima Ordinanza n. 3274 del marzo 2003, molto spazio è stato, giustamente, dedicato ai classici temi dell’Ingegneria Strutturale più intimamente legati al calcolo delle strutture in elevazione: aspetti quali il calcolo allo stato limite ultimo delle strutture in cemento armato e acciaio, la duttilità, la gerarchia delle resistenze, le analisi pushover, le analisi con spettro di risposta e via dicendo, argomenti fortemente legati alle attività di progettazione di un organismo strutturale da intradosso fondazione in su, hanno decisamente occupato la gran parte dei seminari organizzati dagli Ordini professionali o da organismi universitari. Uno degli aspetti, se vogliamo, più rivoluzionari, per l’ingegnere italiano, contenuti nella nuova Normativa sismica ed oggi, 2006, nell’ultima Normativa tecnica, è stato tuttavia poco enfatizzato: l’introduzione dell’approccio agli stati limite nel calcolo geotecnico. Anche gli estensori dell’Ordinanza, attingendo e semplificando dagli Eurocodici, hanno mitigato alquanto proprio quegli aspetti che nell’Eurocodice 8 (quello sismico) rendono molto più evidente la necessità di un calcolo agli stati limite delle opere interagenti con terreno, tramite un raccordo abbastanza chiaro con l’Eurocodice 7 (calcolo geotecnico): questa scelta ha, ovviamente, fatto sì che solo quei lettori già a conoscenza degli Eurocodici avvertissero la nuova impostazione introdotta, anche per il calcolo geotecnico, dall’Ordinanza. Le successive precisazioni ed infine l’emanazione delle Norme tecniche nel settembre del 20051 ha poi chiarito che qualsiasi opera geotecnica debba essere calcolata con riferimento agli stati limite, coerentemente con l’impostazione di base, relativa ad ogni altro settore dell’Ingegneria Strutturale. Nell’adeguare un metodo di calcolo geotecnico, come quello basato su PARATIE, alle recenti normative, occorre quindi agire su due versanti: da un lato è necessario capire come introdurre le azioni sismiche nel calcolo di un’opera di sostegno, ma dall’altro lato, indipendentemente dal sisma, è importante comprendere come vada impostato un calcolo agli stati limite di una parete contro terra. Proprio per questa ragione, la prima parte di questo manuale contiene un’esposizione del metodo di calcolo agli stati limite per opere di sostegno e fa riferimento all’Eurocodice 7, prescindendo per altro dagli effetti sismici, considerati nella seconda parte. Entrambi questi aspetti (il calcolo sismico ed il calcolo agli stati limite) non comporterebbero, di per sé, la necessità adeguare il software di calcolo perché, in sostanza, non solo in PARATIE, ma anche in qualsiasi programma di calcolo geotecnico preesistente alle recenti norme, già esistevano gli strumenti per impostare un calcolo agli stati limite di un’opera in zona sismica, per lo meno secondo metodi approssimati ma largamente accettati. Il Lettore si renderà conto di quanto arbitrio ancora esista nell’impostare un calcolo sismico di una parete di sostegno. Tanto maggiore è l’arbitrio, tanto più grande è la consapevolezza richiesta al progettista che si cimenta in un’attività del genere, consapevolezza che si acquisisce solamente con un aggiornamento culturale ottenuto attingendo alle migliori fonti scientifiche disponibili. Proprio per queste ragioni, nel predisporre la versione attuale di PARATIE, la prima dopo l’emissione della nuova normativa sismica, gli autori hanno ritenuto opportuno proporre questo manuale a supporto delle opzioni strettamente indispensabili per calcolo sismico, incorporate nel programma. Il contenuto di questo documento propone il punto di vista degli autori di PARATIE e non ambisce certamente a rappresentare una trattazione sistematica sull’argomento; inoltre è data per scontata una certa familiarità sia con PARATIE sia con le Norme i cui concetti base e la simbologia non vengono richiamati, tranne dove strettamente necessario. 1 Norme Tecniche per le Costruzioni , D.M. 14/9/2005 nel seguito citate con l’acronimo NTC 2005.

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Il Lettore desideroso di approfondire l’argomento su fonti più autorevoli potrà in ogni caso trovare, in questo manuale, diversi riferimenti bibliografici utili allo scopo, anche se si renderà conto che il grosso del materiale disponibile è riferito a pubblicazioni su riviste internazionali, non sempre di facile reperimento. La Ce.A.S. S.r.l. intende mettere a disposizione degli utenti documentazione aggiuntiva sull’uso del programma e, più in generale, sulle tematiche oggetto di ricerca nell’ambito degli sviluppi in corso su questo tema. Il materiale accessibile è scaricabile dall’area di download della pagina web di PARATIE ,��&-..///��.&�!��0�$"�1&,&.

Già da ora comunque, si segnalano le seguenti pubblicazioni di cui si raccomanda vivamente la consultazione, per il prestigio delle Associazioni che le hanno promossa e per l’autorevolezza degli Autori che hanno contribuito all’estensione:

• A cura dell’Associazione Geotecnica Italiana, Aspetti Geotecnici della Progettazione in Zona Sismica - Linee Guida, attualmente disponibile, nella versione provvisoria del 2005, edita da Pàtron Editore, Bologna2: questo documento costituisce, per quanto di nostra conoscenza, l’unica opera sistematica, in italiano, su questo tema.

• A cura dell’Associazione Nazionale Italiana Di Ingegneria Sismica (ANIDIS) e del Servizio Sismico

Nazionale (SSN), il Commentario al D.M. 16.1.1996 e alla Circ. n.65/AA.GG. del 10.4.1997 del Ministero LL.PP3: questo documento, per altro esteso a tutti gli aspetti dell’Ingegneria Sismica, contiene un’estesa trattazione, corredata anche da esempi applicativi, relativa in particolare al calcolo di fondazioni e di muri di sostegno, con riferimenti particolari all’Eurocodice 8, Parte 5.

Si confida poi che questo manuale venga al più presto superato dalla pubblicazione di veri e propri manuali pratici di progettazione sismica di opere di sostegno, come quello atteso nella collana dei manuali in via di approntamento da parte dell’Eucentre di Pavia.

2 l’acquisto on-line può essere fatto all’indirizzo ,��&-..///��#��$��$��.2��.3 la versione elettronica è scaricabile liberamente da diversi siti web italiani.

L’argomento del capitolo 7, IL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DI PARATIE, costituisce tuttora materia di sviluppo da parte di Ce.A.S. S.r.l., al momento del rilascio della versione 6.2 di PARATIE: le opzioni riferite a tale aspetto, pur essendo qua e là discusse in questo manuale e, di norma riquadrate con una cornice di questo tipo

………………..

non saranno pertanto disponibili nel codice distribuito agli utenti nel luglio del 2006 e potranno subire modifiche anche sostanziali nelle prossime revisioni.

http://www.associazionegeotecnica.it/~agi/

http://www.ceas.it/paratie_index.php

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RINGRAZIAMENTI Questo documento rappresenta una sintesi di esperienze progettuali acquisite negli ultimi anni e di un recentissimo lavoro di consultazione di fonti scientifiche aggiornate. In questa attività, abbiamo avuto il piacere e l’onore di confrontarci con molte persone con le quali abbiamo certamente un debito di riconoscenza che non vogliamo sottacere. Innanzitutto, è doveroso, da parte nostra, ringraziare il prof. Roberto Nova del Politecnico di Milano, per la sua grande amicizia ed estrema disponibilità e per i suoi consigli talvolta davvero decisivi. Un notevole contributo allo sviluppo dei coefficienti di spinta passiva è stato dato dal prof. Abdul-Hamid Soubra dell’Università di Nantes. Importanti chiarimenti su diversi aspetti di questa materia e molti suggerimenti riguardanti la bibliografia da consultare ci sono stati disinteressatamente forniti dal dr. Carlo G. Lai dell’Eucentre di Pavia, dal dr. Brian Simpson di Arup Geotechnics, dal prof. Alberto Castellani del Politecnico di Milano, dal prof. Stefano Aversa dell’Università Parthenope di Napoli e dal prof. Jyant Kumar dell’Indian Institute of Science di Bangalore. Preziose sono state poi le discussioni informali con l’ing. Renato Malli di Metropolitana Milanese, con l’ing. Stefano Utili del Politecnico di Milano e con l’ing. Alessandro Brenna di Harpaceas, che ringraziamo anche per la paziente rilettura critica delle bozze. Siamo grati alla dr. Maria Costi per il sollecito reperimento del materiale bibliografico ed, infine, a tutti gli utilizzatori che hanno voluto partecipare alla fase di test del codice ed a una prima lettura di questo manuale, nonché in generale a tutti gli Utenti di PARATIE la cui fedeltà quasi ventennale costituisce un grande stimolo allo sviluppo del programma.

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SIMBOLI, ABBREVIAZIONI E NOTAZIONI a accelerazione sismica (con vari pedici, a seconda del contesto) ag accelerazione massima del sito al free field, relativa ad un terreno di categoria A c’ coesione apparente cu resistenza a taglio non drenata (indicata talvolta come Su)

d spostamento laterale della parete (con vari pedici, a seconda del contesto) Dr densità relativa e indice dei vuoti = solida parte della volume

vuotidei volumeVV

s

v =

E carico (o condizione di carico) sismico EC7 Eurocodice 7 EC8 Eurocodice 8 fy limite di snervamento dell’acciaio Fd, Sd azione di progetto (o di calcolo) Fk, Sk azione caratteristica g accelerazione di gravità G carico permanente Gs peso specifico dello scheletro solido rapportato al peso specifico dell’acqua k permeabilità del terreno kh accelerazione orizzontale in unità g kv accelerazione verticale in unità g (positiva verso il basso) K0 coefficiente di spinta a riposo Ka coefficiente di spinta attiva (con diversi apici e pedici aggiuntivi, secondo il contesto) Kp coefficiente di spinta passiva (con diversi apici e pedici aggiuntivi, secondo il contesto) M-O metodo di Mononobe e Okabe n porosità = totalevolume

vuotidei volumeVV

t

v =

N numero di cicli di una sollecitazione sismica

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NC normalmente consolidata (riferito ad un’argilla) Nspt numero di colpi necessari per approfondire di 30 cm il camminatore utilizzato nella prova

SPT NTC 2005 Norme Tecniche per le Costruzioni – D. M. 14/9/2005

OC sovraconsolidata (riferito ad un’argilla) OCR grado di sovraconsolidazione P carico o coazione di precompressione q coefficiente di struttura, oppure sovraccarico uniformemente distribuito Q carico accidentale r coefficiente di riduzione dell’accelerazione sismica in funzione della duttilità dell’opera di

sostegno ru rapporto fra pressione in eccesso indotta dal sisma e lo sforzo efficace Rd, Xd resistenza di progetto (o di calcolo) Rk, Xk resistenza caratteristica S coefficiente d’amplificazione sismico legato alla categoria del terreno di fondazione SLS Stato Limite di Servizio SLU Stato Limite Ultimo (sinonimo di ULS, d’uso anglosassone) Su resistenza a taglio non drenata (indicata talvolta come cu)

u pressione dell’acqua ue pressione in eccesso (la differenza fra la reale pressione nei pori e la pressione idrostatica) U risultante delle pressioni interstiziali (con vari pedici, a seconda del contesto) v velocità del moto sismico (con vari pedici, a seconda del contesto)

β angolo d’inclinazione del terrapieno a monte della parete (se β>0 il terreno risale a monte della parete)

γ peso specifico (con vari pedici o apici, a seconda del contesto, di comune accezione: ad

esempio γw= peso specifico dell’acqua) γΙ fattore d’importanza della costruzione γF moltiplicatore dei carichi

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γM, γR coefficienti di sicurezza parziali δ angolo d’attrito terra-muro θ angolo associato all’inclinazione delle forze esterne applicate ad un cuneo di terreno in

condizioni attive o passive

ν coefficiente di Poisson σ sforzo totale σ' sforzo efficace τ sforzo di taglio

Ψ percentuale del carico accidentale

In generale, ma non sempre, il pedice d indica una grandezza di progetto (o di calcolo), cioè un parametro derivato da un valore caratteristico, indicato con pedice k, per mezzo di un opportuno coefficiente di sicurezza parziale: fa eccezione il simbolo γd che indica il peso specifico secco del terreno. In generale, ancora, il pedice h indica una componente orizzontale, mentre il pedice v quella verticale; inoltre l’apice ‘ indica uno sforzo efficace Sono numerate solo le formule o equazioni alle quali occorre far più volte riferimento; la numerazione di una formula include, come per le figure e le tabelle, anche il numero del capitolo in cui l’espressione è definita. Talora la numerazione è attribuita ad un gruppo di formule che definiscono, nel loro insieme, una relazione per calcolare una grandezza.

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PRIMA PARTE

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1 Il calcolo geotecnico agli stati limite di paratie 1.1 Introduzione Considerato un generico elemento strutturale ed individuato, per esso, uno stato limite ultimo (SLU) corrispondente ad una modalità di collasso, in generale si deve verificare che: Rd ≥ SD (secondo la norma RD > SD )Con Rd = resistenza di progetto Sd = azione sollecitante di progetto RD : resistenza di progetto (o di calcolo) È la resistenza caratteristica dell’elemento strutturale, ridotta per un opportuno coefficiente di sicurezza parziale: per esempio, la resistenza di progetto di una barra in acciaio è data dalla resistenza caratteristica (il valore che meglio approssima il valore vero e definito, nel caso di materiali strutturali, da un’elaborazione statistica delle misure sperimentali), divisa per un coeff. γM=1.15 (per la legge italiana, o per gli Eurocodici) fyd = fyk / γMLa normativa italiana, da tempo, indica valori dei coefficienti sicurezza parziali γM per gli elementi in acciaio, cemento armato normale e precompresso, e solo dal 2005 per le resistenze offerte dal terreno in modo simile all’EC7. Sd : azione sollecitante di progetto (o di calcolo) È l’azione sollecitante di calcolo e deriva da un’opportuna combinazione delle sollecitazioni associate ai carichi elementari. Nel caso di combinazione sismica:

Sd = γΙ E + G + P + ψQγΙ E = azione dovuta al sisma , con γΙ = coefficiente d’importanza che varia da 1 a 1.4 G = azione dovuta ai carichi permanenti P = azione dovuta alla precompressione ψQ = azione dovuta ai carichi accidentali (con ψ definito dalla Norma, ma comunque ≤ 1)

Nel caso di combinazione non sismica, ad esempio: Sd = 1.35 G + 1.50 Q (secondo gli Eurocodici) oppure Sd = 1.40 G + 1.50 Q (secondo gli Eurocodici nell’implementazione nazionale) (NAD o DAN)

Quando il carico permanente G ha contemporaneamente un effetto sollecitante ed uno stabilizzante (p.e. in una paratia a mensola) le cose si complicano: per le opere geotecniche occorre fare riferimento in generale all’EC7 o a quanto sommariamente riportato in NTC 2005, che è in accordo con EC7.

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1.2 Il metodo agli stati limite secondo l’Eurocodice 7 EC7 propone un approccio agli stati limite anche per le opere di carattere geotecnico, in completo accordo con le altre parti della normativa europea riferite ad altre problematiche strutturali. L’EC8, nella parte 5, relativa al calcolo sismico di opere geotecniche, si raccorda con EC7 facendo in modo che non si possa più rinunciare all’approccio agli stati limite anche per quest’ambito dell’Ingegneria Civile. La Normativa Italiana, operando in accordo con EC8, rende di fatto imprescindibile il ricorso anche ad EC7 pur non facendone un esplicito riferimento se non attraverso una parziale introduzione di concetti, simbologia ed approcci di calcolo.

E U R O C O D I C E 7versione più recente in Italiano UNI ENV 1997, Aprile 1997 Eurocodice 7- Progettazione Geotecnica, Parte

1: Regole Generali Disponibile presso l’UNI

ultima versione emessa dal CEN (in inglese) EN 1997-1:2003 Eurocode 7 Geotechnical design - Part 1: General rules Attualmente sottoposta ad approvazione

La versione del 2003 cambia in modo significativo la simbologia ed estende la casistica delle situazioni da analizzare. Per le opere di sostegno, la sostanza fra la versione 1997 e la 2003 cambia poco.

1.2.1 Gli stati limite ultimi (SLU) EC7 individua, per una generica opera geotecnica, i seguenti stati limite ultimi: EQU: perdita dell’equilibrio dell’opera, considerata sostanzialmente come un corpo rigido, secondo una

modalità di collasso indipendente dalle resistenze del terreno o della struttura (ad esempio il ribaltamento di un muro);

STR: collasso (o eccessiva deformazione) di un’opera o di un elemento strutturale, secondo meccanismi di

rottura condizionati sostanzialmente dalla resistenza di elementi strutturali (ad esempio il crollo di un muro di sostegno a contrafforti a causa del cedimento strutturale delle sezioni in cemento armato);

GEO: collasso (o eccessiva deformazione) di un’opera o di un elemento strutturale secondo meccanismi di

rottura condizionati prevalentemente dalla resistenza del terreno (ad esempio il raggiungimento dal carico limite di un palo di fondazione);

UPL: perdita di stabilità di un opera a causa di eccessiva sottospinta dell’acqua4, come, ad esempio, nel

caso di una vasca interrata che galleggi nel terreno saturo; HYD: sollevamento, erosione o sifonamento del terreno a causa di gradiente idraulico e conseguenti moti di

filtrazione.

4 UPL è l’abbreviazione di uplift, termine inglese che significa, appunto, sollevamento.

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1.2.2 I valori di calcolo delle azioni o delle resistenze EC7 definisce i tre seguenti insiemi di grandezze di calcolo, che concorrono alla definizione delle resistenze di progetto Rd e delle sollecitazioni espresse in termini dei loro effetti Ed sull’opera5:Le azioni F di progetto

(o i loro effetti E) calcolate incrementando le azioni caratteristiche per moltiplicatori γF:Fd= Fk· γF

• I parametri geotecnici X di progetto calcolati dividendo parametri caratteristici per coefficienti di sicurezza parziali γM: Xd= Xk/ γM

• Le resistenze R di progetto calcolate dividendo le resistenze caratteristiche per coefficienti di sicurezza parziali γR: Rd= Rk/ γR

Sono definiti diversi (sostanzialmente due) gruppi di moltiplicatori delle azioni γF: all’interno di ogni gruppo, indicato con la lettera A ed un numero (A1, A2 ), sono contenuti diversi γF a seconda della natura delle azioni (permanenti o accidentali). I coefficienti di sicurezza parziali γM sui parametri geotecnici (tan(ø’), c’, cu ecc.) sono raggruppati in diversi (due) insiemi di valori M1 ed M2, da considerare a seconda degli “approcci di calcolo” che verranno considerati (vedere in seguito). I coefficienti di sicurezza parziali γR sulle resistenze (portata di una fondazione, resistenza passiva ecc.) sono raggruppati in diversi insiemi di valori R1, R2, R3, a loro volta differenziati a seconda della tipologia di opera. Quanto ai valori caratteristici, cioè quelli ritenuti i più idonei a rappresentare il comportamento reale delle azioni o delle resistenze, EC7 propone una definizione particolarmente attenta per quel che concerne i parametri geotecnici, definendo valori caratteristici quei valori determinati in base ad una valutazione cautelativa dei risultati delle indagini, della completezza delle indagini stesse e dell’opera nel suo complesso. Per una completa discussione su questo tema, assai delicato e per certi versi oggetto di dibattito aperto, si rimanda all’EC7 stesso oppure all’utilissimo commentario di Simpson e Driscoll (1998).

5 Ovviamente, per ognuno degli stati limite previsti, dovrà risultare Rd≥ Ed.

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1.2.3 Gli Approcci progettuali (o di calcolo) Affinché sia garantita la sicurezza rispetto ad ognuno degli stati limite prima elencati, EC7 prescrive che vengano analizzati più scenari, considerando di volta in volta, diversi insiemi (A) di coefficienti delle azioni γF, combinati con diversi coefficienti γM (M) sui parametri geotecnici a loro volta combinati con diversi coefficienti γR (R) sulle resistenze. Talora diverse combinazioni possono dare luogo a scenari ridondanti. Di solito, ma non sempre, le combinazioni fra i diversi coefficienti sono congegnate in modo tale che, quando si adottino coeff. γM>1, i corrispondenti γR siano pari a 1 e viceversa. I coefficienti A, M e R variano a seconda della tipologia dell’opera e sono elencati nell’Annesso A dell’EC7, a cui si rimanda. Comunque, indipendentemente dal tipo di opera ed escludendo in questa sede le verifiche relative agli stati limite UPL e HYD, gli scenari da analizzare si riconducono ai seguenti quattro casi. Tabella 1-1: Gli Approcci progettuali – per la maggior parte dei casi

γF γM γRcomb. 1 A1 M1 R1 Approccio 1 comb. 2

A2 M2 R1

Per pali e tiranti sono richieste altre combinazioni

Approccio 2 unico caso A1 M1 R2

Approccio 3 unico caso A1 azioni strutturali A2 azioni geotecniche

M2 R3

Limitatamente al caso di opere di sostegno flessibili, i valori numerici dei coefficienti parziali sono riassunti nel seguente prospetto.

1111.41.251.2501.5 strutt.1 spinte terr.11.35 strutt.

1 spinte terr.Approccio 3(A1-A2) + M2 + R3

1.41.11.411101.511.35Approccio 2A1 + M1 + R2

CuneopassivoScorrim.

base

Valori da EC7 – Part 1. – 2003 – Annex A , punto A.3 e successivi: coeff. Parziali per verifiche geotecniche (GEO) e strutturali (STR)

1

1

qB

ResistenzeγR(A.3.3.5)

1

1

δ

1.4

1

Cu

Appr. 1 comb 2A2 + M2 + R1


CASO

11.251.2501.311

11101.511.35

Kpc’Tan øFAV.SFAV.FAV.SFAV.

Prop. TerrenoγMvariabiliPermanenti

Azioni - γF

1111.41.251.2501.5 strutt.1 spinte terr.11.35 strutt.

1 spinte terr.Approccio 3(A1-A2) + M2 + R3

1.41.11.411101.511.35Approccio 2A1 + M1 + R2

CuneopassivoScorrim.

base

Valori da EC7 – Part 1. – 2003 – Annex A , punto A.3 e successivi: coeff. Parziali per verifiche geotecniche (GEO) e strutturali (STR)

1

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qB

ResistenzeγR(A.3.3.5)

1

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1.4

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Cu



CASO

11.251.2501.311

11101.511.35

Kpc’Tan øFAV.SFAV.FAV.SFAV.


Azioni - γF

Tabella 1-2: approcci di calcolo e coefficienti parziali per opere di sostegno flessibili, in accordo con EC7

Si precisa che, nel caso si operi in accordo con la Normativa Italiana, il coefficiente γF che moltiplica le azioni permanenti va posto pari 1.40 piuttosto che 1.35. Occorre quindi, in genere, analizzare l’opera secondo quattro scenari, affinché sia garantita la sicurezza nei rispetti degli stati limite EQU, STR e GEO.

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Nel caso di una paratia, l’implementazione di questo metodo può fare sorgere qualche dubbio, che cercheremo di chiarire tramite il seguente esempio, relativo ad una paratia a mensola, priva di sollecitazioni sismiche.

esempio 1-1: progettazione secondo EC7 di una paratia a mensola

Si deve determinare la profondità d’infissione D di una paratia a mensola che sostiene uno scavo alto 4.5m in un terreno omogeneo, sabbioso ed asciutto, caratterizzato dai seguenti parametri caratteristici:

peso specifico γ =19 kN/m³ angolo d’attrito caratteristico φ’k= 33°attrito terra-muro δ/ φ’= 0.5 modulo elastico Evc = 35 MPa modulo elastico Eur = 55 MPa

Non sono assegnati né sovraccarico, né sisma. La parete è un diaframma in calcestruzzo armato spesso 60 cm.

In accordo con EC7, vanno studiati i quattro casi allo stato limite ultimo, a cui si aggiunge un quinto caso (5) nel quale si inseriscono tutte le grandezze con il valore caratteristico (non affette da coeff. di sicurezza): il caso (5) corrisponde ad una soluzione allo stato limite di servizio (SLS) o alle tensioni ammissibili.

AZIONI RESISTENZE (1) Approccio 1 comb. 1 Moltiplicatore carichi

γF = 1.35 φ’d = φ’k =33 ° KA,d = KA (φ’d,δ/φ’ =0.5 ) =0.267 KP,d = KP (φ’d,δ/φ’ =0.5 ) =5.63

(2) Approccio 1 comb. 2 Moltiplicatore carichi γF = 1.

φ’d = arctg(tg(φ’k) / 1.25) =27.45° KA,d = KA (φ’d,δ/φ’ =0.5 ) =0.334 KP,d = KP (φ’d,δ/φ’ =0.5 ) =3.913

(3) Approccio 2 Moltiplicatore carichi γF = 1.35

φ’d = φ’k =33 ° KA,d = KA (φ’d,δ/φ’ =0.5 ) =0.267 KP,d = KP (φ’d,δ/φ’ =0.5 )/1.40=4.02

(4) Approccio 3 Moltiplicatore γF = 1. In mancanza di azioni di natura strutturale, coincide con l’ Approccio 1 comb. 2

(5) Calcolo allo SLS γF = 1. γM = 1.

Quando γF=1.356, sia a monte sia a valle il peso del terreno è posto pari a γ=1.35×19=25.65 kN/m³: non avrebbe senso fisico assumere un peso specifico diverso a valle, anche se il peso del cuneo di valle è un’azione permanente favorevole. EC7 lo fa presente.

I risultati del caso (5), moltiplicati per γF=1.35, possono essere intesi come quelli del caso (1), ottenuti fattorizzando gli effetti delle azioni piuttosto che le azioni (in accordo con EC7).

Osserviamo ancora che, nel caso (2), l’angolo d’attrito di calcolo è ridotto da 33° a 27.45° valore con il quale sono calcolati i coefficienti di spinta attiva KA,d e passiva KP,d; per contro, nel caso (3), l’angolo d’attrito è 6 Nell’esempio adottiamo i coefficienti parziali originali di EC7, piuttosto che quelli della Norma Italiana.

Hscavo= 4.5m

D=?

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16

mantenuto pari al valore caratteristico di 33°, ma il corrispondente coefficiente di resistenza passiva, inteso come parametro caratteristico di resistenza, è ridotto tramite un coefficiente di sicurezza parziale γR =1.40.

Il calcolo è svolto con PARATIE e, per risolvere i 5 casi, si definiscono 5 diversi set di proprietà del terreno, di volta in volta assegnati all’unico strato.

Il calcolo della profondità d’infissione minima D è svolto con la procedura implementata in PARATIE (Zcut): D corrisponde all’infissione nell’ultima fase con soluzione convergente. D è quindi determinata solo in base a condizioni d’equilibrio limite.

Nel seguente prospetto si riassumono i risultati, in termini di approfondimento D necessario all’equilibrio e di massimo momento Mmax nel diaframma, da intendersi come valore allo stato limite ultimo.

RISULTATI (1) Approccio 1 comb. 1 D = 3m

Mmax = 163 kNm/m (quando D=4m) (2) Approccio 1 comb. 2 D = 4m

Mmax = 186 kNm/m (quando D=4m) (3) Approccio 2 D = 3.5m

Mmax = 181 kNm/m (quando D=4m) (4) Approccio 3 D = 4 m

Come caso (2) (5) Calcolo allo SLS D = 3 m

Mmax = 1.35 ·121 = 163 kNm/m (quando D=4m)

Discussione

La profondità d’infissione dimensionante, D=4 m, è fornita dal calcolo (2). Tale comportamento è in accordo con quanto atteso: questo approccio sembra essere in genere quello dimensionante nei riguardi della resistenza offerta dal terreno (GEO), evento dimensionante per questa tipologia di problema. In questo caso molto semplice il calcolo (1) ed il calcolo (5) danno soluzioni identiche: entrambi possono essere visti come diverse implementazioni dell’Approccio 1, comb. 1. Si preferisce in genere agire come nel calcolo (5), anche perché questo calcolo dà anche la soluzione per la verifica agli stati limite di servizio (SLS).

In sostanza, ripetiamo, piuttosto che applicare, nel calcolo, un’azione affetta da coefficiente γF > 1, è più logico condurre un calcolo allo stato limite di servizio e, successivamente, incrementare le sollecitazioni prodotte dall’azione esterna, in ragione del coefficiente γF relativo al caso in esame.

Il calcolo (2) in questo caso fornisce anche il maggior momento flettente. Spesso tuttavia non è così.

Per coerenza con EC7, la profondità d’infissione dovrebbe essere calcolata tenendo conto di un extra-scavo, come descritto nel paragrafo 1.3 di questo manuale.

Se facessimo i conti alle tensioni ammissibili, otterremmo D=3m, valore da incrementare, tuttavia, di un certo fattore di sicurezza. In questo caso, operando con EC7 ed assumendo D=4 m, è come se avessimo incrementato D (alle tensioni ammissibili) di un fattore 1.33 (in effetti dell’ordine di grandezza dei valori consigliati nel caso in cui si operi, tradizionalmente, al di fuori del metodo agli SLU, cfr. ad esempio, Bowles (1996) oppure NAVFAC (1986) ). In questo caso le conclusioni progettuali prodotte con l’approccio agli SLU sono quindi coerenti con quelle fornite da un approccio tradizionale.

Secondo EC7, la profondità D massima non deve più essere aumentata da alcun ulteriore coeff. di sicurezza: ovviamente il valore finale dovrà tenere conto anche della deformabilità: in questo caso, se assumessimo D=4m come valore finale, avremmo uno spostamento laterale a testa parete pari a 49 mm, cioè dell’ordine di grandezza di 1% dell’altezza di scavo (in linea con le attese ed osservazioni sperimentali). Se questa

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deformabilità fosse eccessiva, D dovrebbe essere ulteriormente aumentato: la verifica agli SLS sarebbe, in questo caso, più gravosa rispetto a quella agli SLU

Nella seconda parte del manuale si dimostrerà che la combinazione sismica Sd = γΙ E + G + P + ψQ

può essere assimilata ad un’azione caratteristica con coefficienti moltiplicatori γF corrispondenti all’approccio 1, combinazione 2. L’introduzione delle azioni sismiche non può quindi prescindere da un calcolo complessivo dell’opera secondo l’approccio appena descritto.

1.2.4 Gli stati limite di servizio (SLS) In aggiunta al rischio di collasso della struttura, va ovviamente garantito che le deformazioni siano compatibili con la destinazione d’uso. A tal proposito EC7 propone di calcolare le deformazioni dell’opera adottando coefficienti parziali unitari e confrontare tali valori con i limiti ammissibili; per situazioni semplici. Come mostrato nell’esempio 1-1, uncalcolo agli SLU svolto con PARATIE già contiene naturalmente un calcolo agli SLS. In condizioni per le quali si abbia sufficiente esperienza, EC7 consente di omettere un calcolo esplicito delle deformazioni pur di assicurare che per la stabilità dell’opera sia necessaria una piccola quota parte della resistenza del terreno. Potrebbe essere questo il caso, ad esempio, di una palancola che sostiene uno scavo di modesta altezza, in assenza di manufatti vicini: in una situazione del genere, la pratica progettuale di considerare l’equilibrio limite della parete con un coefficiente di spinta passiva pari ad un terzo del valore di miglior stima garantisce, in genere, che le deformazioni siano più che accettabili.

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18

1.3 Prescrizioni aggiuntive dell’Eurocodice 7 relative ad opere di sostegno

Il capitolo 9 di EC7 è completamente dedicato alle opere di sostegno. In aggiunta alle precisazioni sull’implementazione del metodo di calcolo generale, contiene alcune indicazioni particolari che possono avere un impatto non indifferente sul progetto delle opere di sostegno. Le principali sono brevemente richiamate nei seguito. Incertezze relative all’altezza di scavo EC7 raccomanda di considerare, nel calcolo, la possibilità che lo scavo sia più profondo del previsto e suggerisce di attenersi alle prescrizioni riportate nella Figura 1-1.

Figura 1-1 : incremento dell’altezza di scavo da introdurre nei calcoli di opere i sostegno, secondo EC7 Tali approfondimenti non previsti possono essere ridotti o aumentati in funzione del grado di sorveglianza durante i lavori e/o delle attese incertezze geometriche. EC7 sottolinea il fatto che approfondimenti non previsti del fondo scavo possono determinarsi anche a causa di fenomeni erosivi del piede della parete, specie nel caso di paratie in alvei fluviali o in ambito portuale. In situazioni del genere, vanno previste altezze di scavo addizionali assai più cospicue: NAVFAC (1986), ad esempio, suggerisce di includere almeno 1 m di scavo in più a causa del fatto che il materiale costituente l’alveo è solitamente molto sciolto e facilmente erodibile in superficie. In ogni caso, l’introduzione di questa cautela, talora ignorata, può effettivamente condizionare in maniera non trascurabile il progetto dell’opera, specie nel caso di pareti a mensola o monoancorate, quali la stragrande maggioranza delle palancole. Scelta della distribuzione delle pressioni di calcolo EC7 si rivolge, ovviamente, ad una larga platea di progettisti molti dei quali, ancora oggi, ricorrono a metodi all’equilibrio limite per il calcolo di paratie o palancole.

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19

Per questa ragione, una parte significativa del capitolo 9 di EC7 è dedicata ai criteri di scelta delle pressioni orizzontali da introdurre nel calcolo, in relazione ai movimenti attesi nella parete. L’utente di PARATIE potrà trovare in quella sede una conferma della necessità di abbandonare, per quanto possibile, i metodi all’equilibrio limite e passare ad un approccio quale quello proposto da PARATIE. La lettura di questo capitolo sarà interessante anche perché EC7 propone qualche indicazione speditiva di calcolo che potrà essere utilizzata, anche dall’utente di PARATIE , per utili confronti con i risultati ottenuti con il codice di calcolo.

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20

SECONDA PARTE

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21

2 Metodi di calcolo sismico di un’opera di sostegno 2.1 Indicazioni normative (EC8 e Normativa Italiana) e raccordo con EC7 Le azioni sismiche E vanno combinate con le altre azioni di progetto, in modo da definire una sollecitazione di progetto SD, allo stato limite ultimo, data, in generale, dall’espressione Sd = γΙ E + G + P + ψQ ( 2-1 )

γΙ E = azione dovuta al sisma , con γΙ = coefficiente d’importanza che varia da 1 a 1.4 G = azione dovuta ai carichi permanenti P = azione dovuta alla precompressione ψQ = azione dovuta ai carichi accidentali (con ψ definito dalla Norma, ma comunque ≤ 1)

Si osservi che tale combinazione vale per qualsiasi elemento strutturale, in acciaio, calcestruzzo, legno oppure opera di carattere geotecnico. In realtà il fattore d’importanza γΙ, chiaramente indicato nelle altre parti di EC8, è un po’ dimenticato nell’EC8, parte 5 relativa al calcolo geotecnico7: c’è tuttavia un comune consenso sul fatto che, anche in quest’ambito, vada considerato un fattore d’importanza γΙ, da derivare dalla struttura “principale” a cui l’opera geotecnica compete8.

EDIFICI γΙ

categoria I (strategici) 1,4 categoria II (importanti) 1,2 categoria. III (ordinari) 1,0

PONTI categoria I (d’importanza critica) 1,3 categoria II (ordinari) 1,0

Tabella 2-1: fattori d'importanza in accordo con Eurocodice 8 (oppure Ordinanza 3274) Se confrontiamo ora la ( 2-1 ) con la Tabella 1-2, ci possiamo rendere conto che la ( 2-1 ) corrisponde, di fatto, alla sollecitazione di progetta fornita dai coefficienti γF relativi all’approccio 1, combinazione 2 di EC7

γΙ E + G + P + ψQ

7 Nell’Ordinanza 3274 si ritrova tale coefficiente, esattamente come in EC8 e in accordo con Tabella 2-1, mentre in NTC 2005 il coefficiente d’importanza non è più definito in modo esplicito, anche se è sostanzialmente posta in evidenza la necessità di incrementare l’intensità del sisma in rapporto all’importanza, o classe dell’opera. 8 Ad esempio, nel progetto di una paratia che funge da spalla di un ponte in cat. I, si dovrà γI=1,3

1.4

Cu

1.251.2501.311

c’Tan øFAV.SFAV.FAV.SFAV.


Azioni - γF

1.4

Cu

Appr. 1 comb 2Appr. 1 comb 2 1.251.2501.311

c’Tan øFAV.SFAV.FAV.SFAV.


Azioni - γF

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22

Questa osservazione rende evidente la necessità di adottare i relativi coefficienti parziali di sicurezza relativi ai parametri geotecnici di progetto9.

Riassumendo:

• Nel seguito assumeremo sempre che la quotaparte delle azioni direttamente legata al sisma sia da moltiplicarsi per il coefficiente d’importanza relativo all’opera in esame.

• Anche se non ricordato esplicitamente di volta in volta, si dovrà quindi intendere che le azioni

sull’opera di sostegno sono relative ad uno Stato Limite Ultimo: se le azioni sismiche dipendono dai parametri di resistenza del terreno (come ad esempio nel caso della spinta attiva secondo la teoria di Mononobe e Okabe), questi ultimi vanno introdotti con i valori di progetto Xd , desunti da quelli caratteristici Xk in accordo con i coefficienti parziali γM dell’approccio 1, combinazione 2 di EC7.

• L’intensità delle azioni sismiche dovrà includere il coefficiente d’importanza γΙ. Di volta in volta si

cercherà di suggerire il modo migliore per introdurre questo fattore.

9 Nell’Allegato 4 dell’Ordinanza 3274 non si ritrova tale prescrizione, per altro presente nell’EC8 e poi introdotta in NTC 2005, anche in seguito al dibattito che l’emissione dell’Ordinanza 3274 aveva suscitato.

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23

2.2 I metodi di calcolo d’uso corrente Per calcolare le sollecitazioni indotte da un sisma in un’opera di sostegno, ci si trova di fronte ad una serie di decisioni operative che vanno dalla scelta del grado di approssimazione del metodo di calcolo alla selezione della teoria di calcolo più idonea alla tipologia in esame. La maggiore o minore complessità del metodo di calcolo deve essere coerente sia con la complessità dell’opera, sia con la precisione della caratterizzazione geotecnica disponibile sia con la propria esperienza. In ogni caso, è sempre opportuno stimare, con un metodo semplice ma di pronto uso, l’ordine di grandezza delle variabili in gioco. Il diagramma di flusso in Figura 2-1 riassume l’iter logico da percorrere nel calcolo di un’opera di sostegno in zona sismica. I vari passaggi saranno oggetto di una discussione dettagliata nei paragrafi seguenti; comunque, nella zona retinata sono evidenziate, già da ora, le possibili strade (marcate con linea più spessa) che possono trarre beneficio dall’uso di PARATIE.

MESH FEM O GRIGLIA D.F.

moto impresso al bedrock

cond

izion

ialc

onto

rno

spec

iali

TERRENO

STRUTTURA

terremoto di progetto(zona)

analisi geologico-geotecniche (parametri geotecnici e coefficiente S)

consistenza dell'opera

metodo pseudo-statico

simulazione numerica dinamica 2D o 3D

scelta codice di calcolo

generazione modello, soluzione e analisi

risultati

generazione accelerogrammi

caratterizzazione geotecnica affidabile?

integrazione della campagna geotecnica

Si

No

opera complessa opera ordinaria

tipologia parete

muri rigidi

calcolo sovrappressioni elastiche

Metodo di Wood

calcolo con PARATIE o a mano

completamento del progetto

pareti deformabili

scelta del coefficiente r

metodo di calcolo

Spinte attive

calcolo sovrapressioni attiveMetodo di Mononobe-Okabe modello statico

2D o 3D

modifica del campo gravitazionale includendo le componenti sismiche

soluzione ed analisi dei risultati

Figura 2-1 : quadro sinottico dei metodi di calcolo delle opere di sostegno di zona sismica La grossa discriminante è la consistenza dell’opera, in altre parole la sua rilevanza in termini di complessità e dimensioni. Nel caso di opera complessa (parte sinistra del diagramma di Figura 2-1) occorre avvalersi di tecniche numeriche, a loro volta complesse, che permettono, oggi, di riprodurre in modo sempre più verosimile il reale fenomeno fisico. Allo scopo sono richiesti codici di calcolo che contemplino svariate opzioni, difficilmente presenti in programmi general purpose per l’analisi strutturale ordinaria; inoltre è necessaria una caratterizzazione del moto sismico piuttosto elaborata, oltre che un’affidabile caratterizzazione geomeccanica del sito. Di questi aspetti si discuterà brevemente nel capitolo 4. Se l’opera riveste carattere ordinario (parte destra del diagramma di Figura 2-1), l’analisi sismica può essere ricondotta ad un’analisi statica, più o meno semplificata. In questo caso, come ampiamente discusso nel

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24

capitolo 3, il Progettista, per la verità, è costretto ad introdurre, nel calcolo, molteplici approssimazioni di cui deve essere completamente consapevole. L’utilizzo di PARATIE trova spazio proprio in quest’ambito: pertanto ci si deve rendere conto che l’uso di questo programma, in un calcolo sismico, non migliora significativamente la qualità dei risultati, al contrario di un calcolo puramente statico, rispetto a quelli ottenibili con metodi ancora più sommari. È lo stesso evidente che PARATIE può, se non altro, rendere più spedito il calcolo, motivo per il quale può avere senso soffermarsi sull’uso in quest’ambito particolare.

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25

3 Il metodo pseudo-statico Questo metodo consiste, molto semplicemente, nello schematizzare l’effetto del sisma come un’accelerazione orizzontale ±kh·g e verticale ±kv·g che producono forze d’inerzia proporzionali alla massa del terreno e delle strutture interessate. Tali forze sono applicate staticamente e corrispondono sostanzialmente a considerare un campo gravitazionale, avente componente verticale pari a (1± kv)·g ed orizzontale pari a ±kh·g. Un approccio del genere è tanto più ragionevole quanto più contenute sono le dimensioni dell’opera in esame. Può invece perdere di senso fisico se adottato per il calcolo di un’opera molto estesa in pianta o in altezza. Come si vedrà nel seguito, la teoria di Mononobe e Okabe, usata da molti decenni nel calcolo dei muri di sostegno, non è altro che un’applicazione, la più conosciuta, del metodo pseudo-statico, approccio che tuttavia può essere esteso anche, ad esempio, a calcoli con metodi numerici evoluti. E’ importante osservare che l’EC8, nell’ambito dell’approccio pseudo-statico, non impone esplicitamente il ricorso a metodi di calcolo ben precisi: in effetti il richiamo ai metodi di Mononobe e Okabe piuttosto che alla teoria di Wood è contenuto in un ANNESSO a carattere informativo, avente quindi lo scopo di suggerire, piuttosto che imporre, una possibile soluzione al problema10.

Prima di entrare nel dettaglio di alcuni casi particolari d’applicazione del metodo pseudo-statico, è senz’altro opportuno ricapitolare i criteri di scelta delle componenti sismiche kh e kv, argomento oggetto del prossimo paragrafo.

3.1 Criteri di scelta dell’accelerazione sismica L’accelerazione orizzontale da applicare, staticamente, al sistema terreno+opera di sostegno, è legata principalmente a due fattori:

1. l’intensità del sisma atteso in rapporto alla sismicità del sito;

2. la tipologia dell’opera di sostegno in termini di maggiore o minore capacità di adattamento a deformazioni permanenti.

Le indicazioni di NTC 2005 e, prima, dell’Ordinanza 3274 (sostanzialmente in linea con quanto contenuto nell’EC8) sono espresse in termini sommari, attraverso l’introduzione di coefficienti correttivi dell’accelerazione massima del terremoto di progetto e sono discusse nel seguente punto 3.1.1. Queste indicazioni sottendono considerazioni più complesse, per così dire, rese trasparenti al lettore, basate ad esempio su quanto è brevemente esposto nel successivo punto 3.1.2. All’utente di PARATIE, che dovrà scegliere, di volta, il valore dell’accelerazione di progetto più opportuno in rapporto al proprio calcolo, si raccomanda di utilizzare entrambi i metodi qui proposti, in modo da poter disporre di un confronto fra due metodi, per altro molto sommari.

10 Nell’Allegato 4 dell’Ordinanza 3274, le formule relative ai metodi di M-O e di Wood sono incorporate direttamente nel testo della norma assumendo di fatto, ad una prima lettura, una valenza prescrittiva. Nella stesura di NTC 2005, scompare invece ogni richiamo a qualsiasi formula di calcolo, rimanendo ovviamente il solo richiamo esplicito al metodo pseudo-statico con una descrizione puramente qualitativa di criteri in cui si ritrovano ancora, di fatto, M-O oppure Wood.

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26

3.1.1 Metodi di normativa (Eurocodice 8) In accordo con la simbologia dell’EC8, l’accelerazione orizzontale ah a cui è assoggettato, staticamente, l’ammasso di terreno direttamente interagente con l’opera di sostegno è espressa come ah= ±kh·g , con

r)g/a(Sk g

h⋅

= cioè raSa g

h⋅

= (3-1) Si ricorda che ah determina, con relazione pressoché lineare, l’entità delle spinte sismiche, qualunque sia l’approccio di calcolo delle spinte stesse11.

Il termine S·ag è l’accelerazione al piano campagna (dove si pensa sia posta più o meno l’opera di sostegno) legata all’intensità sismica del sito (ag) ed al coefficiente d’amplificazione S funzione della stratigrafia locale. Il coefficiente r ≥1 è un parametro che permette di scalare l’intensità dell’azione sismica nel calcolo delle azioni di progetto della struttura, in funzione della capacità della struttura stessa di dissipare energia e tollerare deformazioni permanenti indotte dal sisma stesso. Il significato di r è analogo a quello del coefficiente di struttura q che permette di passare dallo spettro di risposta elastico allo spettro di progetto allo stato limite ultimo. Si ricorda che q è tanto maggiore quanto più grande è la duttilità di una struttura (cioè la capacità di sviluppare deformazioni irreversibili, e quindi dissipare energia, prima di collassare); q va posto pari ad 1 nel caso di strutture passibili di collasso fragile come, ad esempio, nel caso di una struttura molto snella in cui la rottura si determini per instabilità euleriana; si pone q=1 anche quando si ritiene opportuno garantire che la struttura rimanga in campo elastico in occasione dell’evento sismico di progetto. Il coefficiente r può assumere valori compresi fra 1 e 2, a seconda della tipologia dell’opera in relazione al comportamento durante il sisma ed al danno permanente tollerabile. Nel caso di opere di sostegno, EC8 propone alcune correlazioni che permettono di legare r all’entità della deformazione accettabile. Allo scopo, è possibile utilizzare l’abaco della Figura 3-1, ricordando tuttavia che, in presenza di terreni incoerenti saturi, si dovrà assumere comunque r=1.

11 per semplicità, in questo paragrafo, si considera la sola componente orizzontale dell’accelerazione sismica: in genere, tuttavia, viene richiesta anche una componente verticale av = ±kv·g con kv=0.5 kh

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27

Figura 3-1: legame tra il coefficiente r e lo spostamento ammissibile (tratta da Simonelli (2004))

esempio 3-1:

consideriamo un suolo di cat. B, con S=1.25

a Milano (zona IV): α · S =0.05·1.25 = 0.0625 g

accettando uno spostamento sismico

dr = 300 α · S = 18.75 mm,

si può assumere, nei calcoli, un coeff. r=2, altrimenti si dovrà assumere r=1

a Bergamo (zona III): α · S =0.15·1.25 = 0.1875 g

per assumere, nei calcoli, un coeff. r=2, si deve accettare uno spostamento sismico

dr = 300 α · S = 56 mm, altrimenti si dovrà calcolare l’opera di sostegno con r=1 NB: nel caso di terreno incoerente saturo, r=1 comunque

Per quanto riguarda le deformazioni ammissibili, ci si deve riferire alla destinazione dell’opera ed all’ambito in cui è inserita. Nel caso di muri di sostegno, è possibile trarre spunto dalla Tabella 3-1, derivata dalle Design Guides Neozelandesi per il progetto di strade ed autostrade. Poiché le deformazioni consigliate sono legate ad azioni sismiche paragonabili alle nostre, è possibile usare tali valori per determinare, in base alle indicazioni di Figura 3-1, valori tipici dei coefficienti r, riportati per comodità nella colonna più a destra della tabella.

Tabella 3-1 : Da Transit New Zealand (2003) – Bridge Manual Destinazione d’uso o ubicazione della parete Tipologia di

parete Massima

deformazione accettabile

Coefficiente r

consigliato Spalla di un ponte qualsiasi minima 1Muro che sostiene un rilevato sul cui gravano, ad una distanza non superiore a due volte l’altezza della parete, fondazioni di altre strutture

qualsiasi minima 1

pareti rigide 100 mm zona I 1.5 zona II 1.5÷2 zona III 2zona IV 2Muri di sostegno di rilevati stradali per strade di grande traffico

pareti flessibili e duttili

150 mm 2

pareti rigide 100 mm zona I 1.5 zona II 1.5÷2 zona III 2zona IV 2Muri di sostegno di rilevati stradali per strade di traffico modesto

pareti flessibili e duttili

200 mm 2

Limitandoci ora alle sole opere di sostegno flessibili, oggetto tipico di un calcolo con PARATIE, si possono dare le seguenti indicazioni:

gag /=α

��

28

Tabella 3-2: valori di r suggeriti per il calcolo di opere di sostegno flessibili Metodo di calcolo

delle spintesismiche

tipologia di parete

All’equilibrio limite (Mononobe-Okabe)

(§3.2)

Spinte su muro rigido (teoria di Wood)

(§3.2.1)

calcolo bidimensionale agli elementi finiti

(§ 3.7 oppure 3.8)

paratie a mensola oppure tirantate oppure puntonate r=1 r=1 diaframmi o palancole in acciaio di modesta altezza, a mensola in argilla o sabbia asciutta

secondo Tabella 3-1, ma in presenza, in presenza di terreni incoerenti saturi, r=1

secondo Tabella 3-1, ma in presenza, in presenza di terreni incoerenti saturi, r=1

diaframmi o palancole in acciaio di modesta altezza, a mensola,con materiale incoerente saturo

r=1 r=1 muri di cantina o pareti di strutture interrate contrastate all’interno da strutture orizzontali rigide

NON APPLICABILE

il metodo presuppone automaticamente r=1

r=1

Nel caso pareti ancorate si può anche fare riferimento alle indicazioni che riporta Kramer (1996), da cui è ricavata la Tabella 3-3 che propone una relazione, elaborata su 75 casi reali, tra il livello di danno subito e la massima deformazione permanente conseguente ad una sollecitazione sismica. Tabella 3-3: da Kramer (1996) – Descrizione qualitativa e quantitativa del livello di danneggiamento osservato su pareti ancorate, dopo eventi sismici.

Livello di Danneggiamento

Descrizione del danno Spostamento laterale permanente in testa alla paratia (cm)

0 Nessun danno apprezzabile < 2 1 Danni trascurabili nella parete in quanto tale, danni

apprezzabili nelle opere interferenti 2-10

2 Danneggiamento apprezzabile nella parete 10-30 3 Danno diffuso e rilevante nella parete che comunque

mantiene la propria configurazione 30-60

4 Crollo >60

Le accelerazioni kh e kv dovranno infine essere moltiplicate per il coefficiente d’importanza γΙ prima di essere introdotte nei calcoli.

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29

3.1.2 Metodi basati sul controllo delle deformazioni In alternativa alle indicazioni sommarie riportate da normative o linee guida progettuali, è possibile calcolare la massima accelerazione di progetto con un metodo analitico, in funzione del massimo spostamento ammesso. Allo scopo si può fare riferimento alla procedura delineata da Kramer (1996) e per altro contenuta anche in Lancellotta (1988), basata sull’uso di correlazioni empiriche o di base numerica, fra l’intensità del sisma ed i massimi spostamenti attesi. In quest’ambito, Richards ed Elms (1979) forniscono una correlazione del tipo:

4y

3max

2max

perm aav087.0d ⋅= (3-2)

con dperm = spostamento irreversibile del muro vmax e amax = rispettivamente velocità ed accelerazione di picco del moto sismico alla base ay = accelerazione che determina condizioni d’equilibrio limite del muro Nell’uso diretto della (3-2), data la geometria del muro e l’intensità del sisma, espressa da vmax e amax, si può operare trovando quel valore ay dell’accelerazione corrispondente a condizioni di equilibrio limite del muro; ciò comporta, usualmente, un calcolo iterativo perché le azioni in gioco sono legate ad ay in parte attraverso relazioni non lineari (ad esempio secondo le equazioni di Mononobe e Okabe). La (3-2 ) può tuttavia essere usata, indirettamente, per determinate il valore dell’accelerazione da usare nel calcolo delle spinte, per garantire che la deformazione del muro non ecceda un valore assegnato, che chiameremo dall: ponendo dperm=dall e risolvendo rispetto ad ay, si ottiene:

41

all

3max

2max

y dav087.0a

⋅= (3-3)

A questo punto, ay potrà essere usato in luogo del valore di ah dato dall’espressione (3-1). Per l’uso di questa relazione, è necessario valutare vmax , mentre amax può essere eguagliata ad S·ag. Poiché le normative, generalmente, non caratterizzano il terremoto di progetto in termini di massime velocità di picco, è possibile avvalersi di correlazioni di letteratura, seguendo ad esempio le indicazioni in proposito riportate ancora da Kramer (1996). Molto sommariamente, per una prima valutazione di vmax, è possibile fare riferimento alla Tabella 3-4. Tabella 3-4: valori orientativi del rapporto vmax/amax Stratigrafia vmax / amax

roccia pressoché affiorante

>0.05 sec

terreno deformabile su substrato rigido

0.10÷0.15 sec

(crescente al crescere della potenza dello strato deformabile)

In alternativa può essere usata la correlazione fornita da NTC 2005:

��

30

vg = 0.16 · S ·Tc· ag (3-4) con vg velocità massima del suolo e Tc [sec] parametro di definizione dello spettro elastico, dipendente, come S, dalla categoria del terreno di fondazione. esempio 3-2

Determiniamo il valore di ay da introdurre nel calcolo di una parete, se vogliamo che il muro, in zona 2, con coefficiente di terreno S=1.25, non subisca deformazioni maggiori di 50 mm.

Supponiamo di poter assumere vmax/amax = 0.15 sec. Si ha:

amax = 1.25×0.25×g = 3.06 m/sec²

vmax = 0.15×3.06 = 0.46 m/sec

Dalla (3-3), 41

05.006.346.0087.0a

32

y

⋅⋅= = 1.8 m/sec²

Ciò corrisponde ad usare la (3-1) con r=3.06/1.80 = 1.70 in accordo con le indicazioni di Figura 3-1. Ripetendo il calcolo con dall=100 mm, dalla (3-3), si ottiene ay=1.51 m/sec² ed r=3.06/1.51=2.02, sostanzialmente in linea con le indicazioni di Tabella 3-1

Sia nel testo di Kramer (1996), sia nelle Linee Guida dell’AGI (2005) è possibile trovare un’ampia discussione sulla validità di questi metodi12, insieme con il riferimento ad altri approcci, qui omessi per brevità, segnalando, tuttavia, l’ampia discussione, corredata da esempi, contenuta nel Commentario ANIDIS-SSN (1998). In ogni caso è molto utile cercare di valutare il medesimo parametro (in questo caso ay) con il maggior numero di metodi possibili, ognuno dei quali, in effetti, contiene un significativo numero di approssimazioni. Anche in questo caso le accelerazioni dovranno essere moltiplicate per il coefficiente d’importanza γΙ prima di essere introdotte nei calcoli.

12 in particolare è opportuno citare il lavoro di Whitman e Liao (1985) che propone correlazioni simili a quella di Richards ed Elms (1979), migliorando alcuni aspetti trascurati dai primi e introducendo un abbozzo di elaborazione statistica per mettere in conto le grandi incertezze insite in questo tipo di calcoli.

��

31

3.2 Il metodo di Mononobe e Okabe In moltissime circostanze pratiche è consuetudine ipotizzare che l’opera di sostegno si deformi sufficientemente per produrre condizioni di equilibrio limite, ovvero per consentire la formazione di un meccanismo di rottura individuato da una o più superficie di scorrimento lungo le quali siano raggiunte condizioni di plasticizzazione del materiale. Una volta calcolata la spinta che il muro deve offrire affinché tali condizioni siano possibili, l’opera di sostegno viene ovviamente progettata per poter assicurare una resistenza adeguatamente maggiore. Nel caso di un rilevato con superficie rettilinea (orizzontale o inclinata) composto da terreno omogeneo, asciutto e puramente granulare, assoggettato ad un’azione sismica con componenti orizzontale e verticale, in aggiunta al peso proprio, la soluzione al problema posto in questi termini è fornita dal metodo di Mononobe e Okabe (Mononobe e Matsuo (1929), Okabe (1926)). Questo metodo consiste in un semplice problema di equilibrio limite la cui soluzione è ottenuta esattamente come nel metodo di Coulomb (risalente alla seconda metà del XVIII secolo), di cui il metodo di Mononobe e Okabe (chiamato nel seguito con la sigla M-O) altro non è che una ovvia estensione13.

Lo schema concettuale è riportato nella Figura 3-3 nel caso attivo e nella Figura 3-4 nel caso passivo: si noti che il metodo assume un terrapieno puramente granulare (cioè privo di coesione), secco e privo di sovraccarico in superficie. Esattamente come il metodo di Coulomb, nel caso statico, questo metodo fornisce poi una traccia generale per poter affrontare situazioni più complesse rispetto a quelle assunte in origine e, per le quali, frequentemente, non si dispone di soluzioni in forma chiusa: questo argomento verrà affrontato nel paragrafo 3.5 di questo manuale. Vanno tuttavia fatte alcune distinzioni importanti, a seconda che si debba determinare la resistenza attiva piuttosto che quella passiva.

αδ φ'

P R

W (1-kv)H

SPINTA ATTIVA Noto H, calcolo P al variare di α e ne prendo il massimo

( ) AA KHP ×= 221 γ

αP AP teoria di Coulomb

(1773) kh=kv=0

H=kh W

Figura 3-3: il metodo di M-O - caso attivo

α

δ φ'

P RW (1-kv)

H

SPINTA PASSIVA Noto H, calcolo P al variare di α e ne prendo il minimo

( ) pA KHP ×= 221 γ

α

P pP

H=kh W

Figura 3-4: il metodo di M-O - caso passivo

3.2.1 Condizioni di spinta attiva Nel caso di spinta attiva, i coefficienti forniti dalla teoria di M-O sono universalmente ritenuti sufficientemente affidabili per valori usuali dei parametri di calcolo, se confrontati con i valori prodotti da metodi più raffinati. Si noti che la medesima osservazione vale, per il caso statico, riferita al metodo di Coulomb. Le formule sono riportate nel paragrafo 3.3 di questo manuale, relativamente al metodo esteso al caso di terrapieno saturo. 13 È interessante leggere le osservazioni fatte da R. Nova nel testo di Castellani et al. (1981), in merito alla curiosa affinità storica fra i due metodi.

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32

3.2.2 Condizioni di spinta passiva Nel caso di spinta passiva, la teoria di M-O è generalmente ritenuta non idonea a fornire valori di coefficienti Kp attendibili, se non quando l’angolo δ d’attrito terra-muro è nullo: i valori di Kp forniti da M-O sono infatti una stima per eccesso dei valori reali e quindi la teoria non è conservativa. Il difetto, esattamente come per la teoria di Coulomb nel caso statico, sta nell’assumere una superficie di rottura piana; nel caso statico, è prassi comune assumere, al posto dei valori Kp di Coulomb, i valori indicati da Caquot e Kerisel (1948) e forniti attraverso apposite tabelle numeriche (Caquot et al. (1973)): questi valori, come è noto, sono stati determinati tramite una soluzione più complessa del problema e sono associati a superficie di scivolamento curvilinee. Nel caso sismico, oggi, non è stata ancora raggiunta una formulazione universalmente accettata come quella di Caquot e Kerisel per il caso statico, tanto è vero che, ad esempio EC8, nella parte 5, ancora suggerisce l’uso della teoria di M-O imponendo contemporaneamente di annullare l’attrito terra-muro. Esistono tuttavia diversi studi, anche piuttosto recenti, ai quali ci si può riferire per stimare dei valori di Kpsismici che tengano conto dell’attrito terra muro in modo più realistico, evitando di penalizzare eccessivamente la resistenza passiva come comporterebbe l’uso del metodo di M-O con δ=0°. Tra gli approcci disponibili, occorre distinguere i metodi basati sull’analisi limite da quelli basati sull’equilibrio limite: i primi forniscono sempre valori più alti (nel caso di approccio cinematico14) o più bassi (nel caso di approccio statico15) rispetto a quelli “esatti”; i metodi all’equilibrio limite invece forniscono valori talora un eccesso, talora in difetto rispetto alla soluzione “esatta”. Di regola quindi appare opportuno scegliere metodi basati sull’analisi limite, perché si può sapere a priori se i parametri di calcolo sono un upper bound piuttosto che un lower bound della soluzione “vera”16.

D’altra parte, come si vedrà in seguito, i metodi basati sull’analisi limite sono generalmente di tipo cinematico e quindi forniscono valori di Kp più alti di quelli “veri”, cosa ovviamente non gradita al Progettista che vorrebbe operare in favore di sicurezza: per questo motivo, può essere opportuno confrontare i valori forniti da un metodo all’analisi limite con i valori dati da un altro metodo meno rigoroso e scegliere, se necessario, il minore fra i valori proposti dai due diversi metodi.

Nell’ambito dell’analisi limite si citano i metodi cinematici di Chen e Liu (1990) ed il lavoro di Soubra (2000): i primi assumono, come superficie di rottura del cuneo passivo, una composizione di superficie piane ed una spirale logaritmica, mentre Soubra considera una composizione di triangoli, come indicato nella Figura 3-5. Ogni meccanismo di collasso è definito da alcuni parametri geometrici (i gradi di libertà del sistema) che ne definiscono la forma e per ogni insieme di essi è possibile determinare, imponendo l’equilibrio complessivo, una spinta limite. La soluzione voluta è ottenuta minimizzando la spinta Pp rispetto a tutte le possibili configurazioni ammissibili. Nel caso del metodo di Soubra,

14 Nell’approccio cinematico, viene ipotizzato un cinematismo congruente con i vincoli ed il carico limite è determinato imponendo condizioni globali di equilibrio ed il rispetto del criterio di rottura soltanto sulle linee di scorrimento ipotizzate. 15 Nell’approccio statico, viene imposto il rispetto dell’equilibrio e della conformità ovunque.16 Questa affermazione non è proprio rigorosa nel caso di analisi limite applicata a materiali geotecnici per i quali, come è noto, non vale la legge di normalità (per una trattazione dell’argomento, si vedano, ad esempio, gli stessi lavori di Chen e Liu (1990) o di Soubra (2000) oppure Nova (2002))

Figura 3-5: meccanismo di rottura in spinta passiva ipotizzato da Soubra (2000)

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33

discretizzando il meccanismo di collasso in 14 spicchi triangolari ed imponendo gli opportuni vincoli, è necessario minimizzare la funzione Pp in uno spazio a 27 variabili indipendenti (αi e βi in Figura 3-5). Nell’ambito dei metodi di questo tipo è da annoverare anche la formulazione proposta da Kumar (2001). In PARATIE, nel caso di ricorso alla procedura automatica (cap. 7), sono utilizzati appunto i valori di Kp in accordo con Soubra (2000). Tali valori, per le situazioni più usuali, sono riportati nelle tabelle in APPENDICE 1.

Fra i metodi all’equilibrio limite va innanzitutto collocato lo stesso metodo di M-O che può tuttavia essere considerato anche un metodo cinematico d’analisi limite. Molto più recentemente sono stati proposti altri schemi all’equilibrio limite che forniscono valori di Kp molto più bassi rispetto a M-O, anche se non è possibile, in linea teorica, sapere da che parte si collochino rispetto alla soluzione esatta. Si cita in proposito il lavoro di Morrison & Ebeling (1995); sembrano interessanti, infine, i valori proposti da Subba Rao e Choudhury (2005) che, secondo le valutazioni proposte agli stessi Autori, appaiono generalmente minori dei più bassi valori forniti dai metodi cinematici d’analisi limite. In conclusione, nel caso in cui il Progettista voglia attenersi strettamente alle indicazioni di EC8, l’attrito terra-muro dovrà essere ignorato nella valutazione di Kp che potrà essere quindi calcolato con le formule di M-O. Se invece si ritiene ragionevole continuare a considerare l’effetto di δ, il metodo di M-O non va utilizzato e, al suo posto, vanno usati i valori forniti da uno degli altri metodi qui citati.

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34

3.3 Estensioni del metodo di M-O: le formule generali di EC8 e la presenza dell’acqua

Nell’ambito del medesimo schema concettuale, sono state proposte estensioni al metodo di M-O in modo da introdurre la presenza di acqua nel terrapieno: attraverso diversi studi, per la maggior parte di ricercatori giapponesi come il lavoro di Matsuzawa et al. (1985), si è giunti all’approccio recepito da EC8 stesso, nell’Annesso F della parte 5. Nel seguito di questo manuale, l’insieme di queste formule saranno ancora richiamate come il metodo di M-O (generalizzato). La spinta complessiva sulla parete di altezza pari ad H, è data da un espressione del tipo

wdws2

E),P(Av*

21

d EEHK)k1(E ++±γ= (3-5) Il primo termine è la spinta attiva (o passiva) dovuta allo scheletro solido, il secondo termine Ews è la risultante delle pressioni idrostatiche ed il terzo Ewd è la risultante delle sovrappressioni interstiziali. I coefficienti di spinta attiva e passiva sono dati dalle seguenti espressioni:

CONDIZIONI DI SPINTA ATTIVA

22

2

EA,

)(sen)(sen)(sen)(sen1)(sensencos

)(senK:

β+ψδ−θ−ψθ−β−φδ+φ+δ−θ−ψψθ

θ−φ+ψ=θ−φ≤β

δ)θψsen(ψθsencosθ)φ(ψsen : 2

2

−−−+=θ−φ>β ��

(3-6)

β

ψ

δ

CONDIZIONI DI SPINTA PASSIVA

22 )sen()sensencos

θψ⋅βψθ−β+φ⋅φ−θ+ψψθ

θφψ

��

��

��

)((EC8 con

δ=0°)17

(3-7)

β

ψ

Operando nell’ambito del metodo agli stati limite, nelle formule precedenti, va introdotto l’angolo d’attrito di calcolo, cioè tan(φd)=tan(φk) / γM.

A seconda della definizione del peso specifico γ∗ del cuneo e dell’angolo θ definito come l’angolo, rispetto alla verticale, fra le azioni esterne orizzontali e quelle verticali agenti sul cuneo di spinta di volume V, l’espressione generale può essere utilizzata per tre diverse condizioni nelle quali può trovarsi il rilevato. Rilevato asciutto

Non c’è alcuna azione dovuta all’acqua: corrisponde alla configurazione originale ipotizzata da M-O. Come peso specifico γ∗ si deve assumere il peso secco γd ; la forza orizzontale Fh è pari alla massa

17 La formula è un caso particolare, corrispondente a δ=0°, della formula generale di M-O che include, anche nel caso passivo, l’effetto dell’attrito terra-muro. Per la formula generale si veda, ad esempio, Kramer (1996), oppure Lancellotta (1988): tuttavia, come più volte ricordato, la formula di M-O non andrebbe usata per valori di δ>0° perché fornirebbe valori spinta passiva eccessivi e quindi non in favore di sicurezza .

��

35

del terreno moltiplicata per l’accelerazione orizzontale mentre la forza verticale Fv è il peso del cuneo incrementato o decrementato dall’accelerazione sismica verticale; quindi: γ∗= γd

k1k

V)k1(Vk

FFtan

v

h

dv

dh

v

h±

=γ⋅⋅±γ⋅⋅

==θ

Εws = Ewd=0 Rilevato saturo a grana fine (dinamicamente impervio: k<5·10-4 m/s)

In sostanza si assume che l’acqua, imprigionata negli interstizi, si muova insieme con il terreno: l’accelerazione sismica agirà quindi sulla massa complessiva (terreno+acqua) del cuneo, pari a V· γsat. Si ammette che le pressioni interstiziali non subiscano variazioni ai fini del calcolo delle azioni sulla parete. In questo caso l’equilibrio limite del cuneo è fatto al netto della risultante delle azioni idrostatiche e quindi, nelle formule generali, si assumerà:

γ∗= γ’

k1k

V)k1(Vk

FFtan

v

h'

sat'

v

sath'

'

v

h

±γγ

=γ⋅⋅±γ⋅⋅

==θ

Alla spinta efficace dovrà essere aggiunta la spinta idrostatica dell’acqua, mentre, per ipotesi, la componente idrodinamica non può svilupparsi. Quindi: Εws = 2

w21 Hγ

Ewd=0

Rilevato saturo a grana grossa (dinamicamente permeabile: k≥≥≥≥5·10-4 m/s)

Si ammette che l’acqua negli interstizi possa muoversi liberamente, indipendentemente dalle deformazioni subite dal terreno: l’accelerazione sismica agirà quindi sulla massa della sola parte solida del cuneo, pari a V· γd. L’equilibrio limite del cuneo è fatto al netto della risultante delle pressioni interstiziali e quindi, nelle formule generali, si assumerà: γ∗= γ’

k1k

V)k1(Vk

FFtan

v

h'd

'v

dh'

'

v

h

±γγ

=γ⋅⋅±γ⋅⋅

==θ

In questo caso dovranno essere aggiunte sia la spinta idrostatica sia la sovraspinta idrodinamica della stessa acqua di falda. Εws = 2

w21 Hγ

Ewd= 2wh12

7 'Hk γ con H’ = altezza della freatica dal piede del muro

��

36

Discussione L’utilizzo delle formule di M-O, limitatamente al caso di muri deformabili con terrapieno asciutto e per la valutazione delle spinte attive, è impiegato da molto tempo nella pratica progettuale ed è tuttora esplicitamente indicato dalla gran parte delle normative, linee guida e raccomandazioni internazionali: in effetti, sono disponibili diverse evidenze sperimentali che dimostrano la bontà del metodo (si veda ad esempio l’interessante discussione fatta da Seed e Whitman (1970) proprio in merito all’applicazione pratica di M-O). Anche studi nei quali si è cercato di introdurre effetti più complessi, quali ad esempio, la velocità di propagazione dell’onda sismica lungo l’altezza del muro, hanno concluso che, sostanzialmente, le variazioni rispetto a quanto prodotto dalla teoria di M-O sono modeste per lo meno riguardo alla risultante, mentre possono aversi delle variazioni per quel che riguarda il punto d’applicazione (cfr. ad esempio Steedman & Zeng (1990)). In pratica, l’attenzione della ricerca si rivolge più che altro alla valutazione dell’accelerazione di calcolo più corretta in rapporto al livello di danneggiamento accettato: in quest’ottica vanno considerati, ad esempio, i metodi citati nel paragrafo 3.1.2 di questo manuale, ad esempio, le indicazioni progettuali contenute in Steedman (1998). In presenza d’acqua, le (3-6) e (3-7), recepite da EC8, sono molto più recenti e, per esse, non sembra essere disponibile un numero molto elevato di raffronti sperimentali che sono difficili perché, in presenza di terrapieno saturo, il dissesto della parete è provocato da un complesso di fattori (liquefazione del rilevato e/o della base, degrado dei parametri di resistenza, spinte e sovraspinte, amplificazione in risonanza) tra i quali, talvolta, non è possibile identificare chiaramente un contributo piuttosto che l’altro. Passando all’analisi delle (3-6) e (3-7), un primo aspetto da sottolineare è la sommaria distinzione fra terreni permeabili (per i quali il comportamento sismico dell’acqua è disaccoppiato da quello dello scheletro solido) e terreni dinamicamente impermeabili (in cui terreno ed acqua si comportano come un tutt’uno, in caso di eccitazione sismica). EC8 individua, come discrimine fra i due comportamenti, il valore di permeabilità pari a k=5·10-4 m/s, valore che corrisponde, di massima, a quello di una ghiaia fine sabbiosa; altri Autori suggeriscono valori leggermente diversi ma sostanzialmente simili: Kramer (1996) indica un valore pari a 1·10-5 m/s. Matsuzawa et al. (1985) consigliano poi delle relazioni più complesse che consentirebbero di passare, con continuità dal caso di terreno impervio a quello di terreno permeabile: in pratica viene introdotto un coefficiente m tramite il quale viene definita la quotaparte di acqua vincolata a muoversi come lo scheletro solido, con conseguente ridefinizione dell’angolo θ e di γ*; per contro le pressioni idrodinamiche Ewd vengono introdotte per una quotaparte (1-m). Si osservi che ponendo m=1 si ricade nel caso di terreno dinamicamente impervio mentre, con m=0, si riproduce il caso di terreno dinamicamente permeabile. Matsuzawa et al. (1985) forniscono indicazioni operative per la valutazione di m. In questa sede dobbiamo tuttavia rimarcare il fatto che la scelta fra un approccio piuttosto che l’altro appare complessa: per questo motivo, secondo noi, è bene condurre il calcolo introducendo entrambe le ipotesi estreme e studiare, come al solito, la sensibilità dei parametri salienti a questo aspetto. Va inoltre osservato che le formule in oggetto, oppure quelle più complesse derivate dal metodo di Matsuzawa et al. (1985), assumono, implicitamente, che le pressioni idrostatiche subiscano variazioni modeste: in sostanza si può osservare che tali formule derivano da un equilibrio limite del cuneo di rottura in termini efficaci, assumendo che:

• ai fini del calcolo della spinta d’Archimede implicita nel calcolo degli sforzi efficaci, la pressione dei pori è incrementata dello stesso fattore (1±kv) per il quale è aumentato il peso del terreno;

• ai fini del calcolo della pressione idrostatica Ews sulla parete, il coefficiente (1±kv) non è considerato

• nel caso di terreno dinamicamente permeabile, la sovraspinta Ewd è applicata alla parete, come forza

esterna, ma non è considerata nell’equilibrio limite complessivo del cuneo di rottura. E’ opportuno sottolineare che le sovrappressioni interstiziali ue indotte dal sisma, e trascurate di fatto nell’approccio appena discusso, come notato ad esempio in Finn et al. (1994), dovrebbero in realtà essere valutate e quindi messe conto. In effetti, anche in prove di carico ciclico su campioni saturi di terreno a grana grossa, è possibile registrare un aumento non irrilevante delle pressioni interstiziali (Nova (2006)): nel caso

��

37

in cui si volesse includere questo aspetto, si dovrebbe operare analizzando l’equilibrio limite in termini di sforzi efficaci, includendo, nel poligono delle forze, le risultanti U ed Ue rispettivamente delle pressioni idrostatiche e delle sovrappressioni indotte dal sisma. Come suggerito in AGI (2005), per la valutazione ue è possibile utilizzare indicazioni di letteratura che forniscono il rapporto ru definito come:

'0

eu

ur σ=

con '0σ = sforzo efficace18 alla profondità in esame: lo stato di liquefazione corrisponde al valore di ru =1.

Senza entrare nel dettaglio di queste correlazioni, ci si limita ad osservare che il parametro ru dipende sostanzialmente dal rapporto fra il numero di cicli di carico N cui è sottoposto il campione di terreno durante l’evento sismico in esame ed il numero di cicli NL che provocherebbero la liquefazione del campione. In Figura 3-6 si riporta, in modo del tutto qualitativo, una correlazione fra quelle disponibili per terreni granulari ed usate nella pratica. Il parametro ru cresce quindi con la durata dell’evento sismico e quanto più il rischio di liquefazione è incombente (cioè quanto più piccolo è NL, parametro a sua volta tanto maggiore quanto maggiore è Dr e la pressione efficace di confinamento).

Figura 3-6: dipendenza di ru dal numero di cicli di carico (da Kramer (1996) e DeAlba et al. (1975))

Quest’ultimo aspetto è discusso con maggiore dettaglio, ad esempio, in AGI (2005) a cui si rimanda ancora anche per una discussione più completa sulle correlazioni di letteratura necessarie alla valutazione delle ue.

Kramer (1996), in accordo con Ebeling e Morrison (1992), delinea brevemente una procedura che modifica le relazioni di M-O, introducendo una correzione che tiene appunto conto di questo aspetto. Si considera un rilevato saturo e, supponendo di conoscere ru, le pressioni in eccesso, da sommarsi a quelle statiche, sono date da: ue(z) = ru γ’ z

in complesso le pressioni interstiziali sono pari a: u(z) + ue(z) = (γw+ru γ’) z il peso sommerso del terreno, che grava sullo scheletro solido, è quindi pari a (1- ru) γ’; con queste variazioni possiamo ancora applicare la (3-5), tenendo presente due cose:

1. nel calcolo di Εws dovremo sostituire γw con (γw+ru γ’) ;

18 '0σ in realtà è definito in vario modo dai diversi Autori: in AGI (2005) è la pressione media efficace, nel testo di Kramer (1996) è lo sforzo di

confinamento, mentre, ad esempio, in Finn et al. (1994) è lo sforzo verticale efficace, come sarà inteso nel seguito.

��

38

2. nel calcolo delle spinte efficaci, dovremo considerare un peso efficace γ’e= (1- ru) γ’, anche nella definizione di θ da introdurre nelle (3-6) o (3-7), cioè, ad esempio nel caso di terreno impermeabile

v

h

u'

sat'

v

sath'

'

k1k

)r1(V)k1(Vk

FFtan

v

h

±−γγ=γ⋅⋅±

γ⋅⋅==θ

A tal proposito, Kramer (1996) sembrerebbe suggerire un valore di ru>0 solo nel caso di terreno dinamicamente impervio: in altre parole, ove si tenga conto della sovraspinta Ewd non si dovrebbe tenere conto della sovrapressione legata ad ru.

Sempre in Kramer (1996), oppure in Ebeling e Morrison (1992), è possibile trovare esempi di calcolo con questo approccio. Qualitativamente, si può osservare che, al crescere di ru, gli sforzi migrano progressivamente dallo scheletro solido all’acqua e la condizione limite di liquefazione (vedi cap. 5) corrisponde ad un peso γ’e nullo, esattamente come avviene, nel caso statico, a causa di sifonamento per eccessivo gradiente idraulico. Ebeling e Morrison (1992), infine, propongono anche un secondo metodo, tramite una modifica dei parametri di resistenza del rilevato in funzione di ru: si rimanda alla fonte per i dettagli ed i confronti fra i due metodi. In PARATIE, questo aspetto è implementato nell’ambito della procedura automatica descritta nel capitolo 7, in modo sommario, richiedendo all’Utente un valore di ru medio. Per ignorare tale effetto, in presenza di terreni particolarmente permeabili, è sufficiente porre ru = 0.

esempio 3-3: calcolo delle spinte di un terrapieno saturo (senza considerare pressioni in eccesso)

Consideriamo un muro verticale (ψ=0°) che sostiene un rilevato piano (β=0°) alto 10 m, con i seguenti parametri:

φk=38° δ/φ=0.30

Gs=2.65 porosità n=0.30

k=10-3 m/sec

kh=0.25 kv= 0.125 (diretto verso l’alto)

γw=10 kN/m³ γM=1.25 (coeff. di sicurezza parziale sulla tangente dell’angolo d’attrito)

ru = 0

Otteniamo i seguenti parametri derivati

γd= γw [Gs (1-n)]= 10 · [2.65 · (1-0.3)] =18.55 kN/m³

γsat= γd + n · γw =18.55+0.3 · 10 =21.55 kN/m³

γ’=γsat- γw=21.55-10 =11.55 kN/m³

tan(φk) = tan(38°)=0.781 da cui tan(φd)=0.781 / 1.25 =0.6248 e quindi φd=32323232°

Applichiamo dapprima la (3-6), relativa al caso con terreno dinamicamente permeabile, perché k=10-3 m/sec è maggiore del valore limite di 5·10-4 m/s.

��

39

Dovremo porre γ* = γ’. Otteniamo

12501250

55115518

k1k

v

hd.

...tan ' −×=−γ

γ=θ =0.4588 da cui θ=24.65°

75430

8159701279306777018159700.90887

991780

)33224.65(90sen

)6542(32sen)332(32sen

1)33224.65sen(90)cos(24.65

)24.65-32(90senK

2

2

2

2

EA,

.

....

.

.

=

×+×

=

=

°−°−°

°−°×°+°+°−°−°×°

°°+°=

Il primo dei tre contributi di Ed nella (3-5) è quindi pari a

( ) mkN163811075430125015511Kk1 2

21

EAv21 ....H)( 2

,* =××−××=±γ

Il secondo dei tre contributi di Ed è la spinta dell’acqua in condizioni idrostatiche, che vale quindi

Ews=0.5×10×10² = 500 kN/m

Infine, il terzo contributo è la sovraspinta idrodinamica

Ewd= =×××=γ 21272

wh127 1010250Hk .' 145.83 kN/m

che corrisponde all’incirca ad un terzo della spinta idrostatica.

Nel sommare i tre contributi, occorre tenere conto che la spinta conferita dallo scheletro solido è inclinata di un angolo δ rispetto alla normale alla parete, mentre le componenti legate alle pressioni interstiziali sono normali alla parete. In definitiva avremo una componente normale alla parete, pari a

Ed,n=381.16 × cos (δ) + 500 + 145.83 = 1020.4 kN/m

Ed,t=381.16 × sen (δ) = 70.55 kN/m

È usuale, specie in una situazione come una banchina portuale, che a valle della parete vi sia un invaso d’acqua libera con freatica più o meno pari a quella di monte.

2,

* H)( EAv21 Kk1±γ

δEwsEws

H=10 m

EwdEwd

0.4 H

Ww·kh

��

40

In queste circostanze, la risultante delle spinte complessive sul manufatto sarà calcolata osservando che il contributo di Ews si elide fra monte e valle, mentre i contributi di Ewd di monte e valle possono, al limite, sommarsi, perché le sovrappressioni dinamiche debbono essere pensate in aumento oppure in diminuzione

rispetto alle componenti idrostatiche. Tale circostanza è ben evidenziata, ad esempio, da USACE (1989) da cui è tratta la Figura 3-7, oppure in Zeng & Steedman (1993).

Non bisogna poi dimenticare di aggiungere la forza d’inerzia data dalla massa della parete per l’accelerazione sismica, pari a Ww·kh dove Ww è il peso totale della parete (ai fini delle verifiche di stabilità, il peso del muro dovrebbe essere poi corretto dal coefficiente (1±kv)).

Il calcolo delle spinte va ripetuto cambiando di segno alla componente verticale kv dell’accelerazione sismica. Nel caso in esame, con kv= 0.125 diretto verso il basso, otterremmo:

tan θ=0.3569, θ=19.64°, KA,E =0.5904

e quindi, in definitiva:

( ) mkN573831059040125015511Kk1 2

21

EAv21 ....H)( 2

,* =××+××=±γ

In pratica, nel caso in esame, otteniamo gli stessi valori di spinta. Spesso tuttavia un caso prevale sull’altro ma non è possibile, a priori, prevedere quale delle due ipotesi su kv sia la più conservativa.

Ripetiamo ora il calcolo assumendo un terrapieno dinamicamente impermeabile. Riguardo alle spinte di monte, le variazioni consistono nel ricalcolare θ , KA,E e nell’annullare Ewd. A valle, invece, Ewd va ancora messa in conto, nel modo più sfavorevole.

Assumendo kv=0.125 diretto verso l’alto (per rendere più agevole il confronto con quanto assunto in precedenza), otteniamo:

12501250

55115521

k1k

v

hsat.

...tan ' −×=−γ

γ=θ =0.5331 da cui θ=28.06°

KA,E =0.9338

e quindi, in definitiva:

( ) mkN874711093380125015511Kk1 2

21

EAv21 ....H)( 2

,* =××−××=±γ

Ews=500 kN/m

Ewd=0 (a monte)

Ewd=145.83 kN/m (a valle)

Ed,n=471.87 × cos (δ) + 500 = 963.7 kN/m (1020.4 kN/m nel caso di terreno permeabile)

Figura 3-7: da USACE (1989) : forze idrodinamiche su una parete di contenimento

��

41

Ed,t=471.87 × sen (δ) = 87.34 kN/m

Nel complesso, sulla parete, dovranno essere considerate le seguenti azioni:

2,

* H)( EAv21 Kk1±γ

δEws=500 kN/mEws

H=10 m

0.4 H

Ww·kh

=471.87 kN/m

Ewd=145.83 kN/m

Quanto ai coefficienti di spinta passiva, nel caso in cui si volessero adottare soluzioni differenti da quella di M-O, dovrebbero essere tenute in conto le seguenti considerazioni. I coefficienti dati dalla formulazione di Soubra (2000), e riportati in APPENDICE 1, non tengono conto dell’eventuale componente verticale kv e non vi è un esplicito parametro che tenga conto della presenza dell’acqua. Tuttavia, è ancora possibile utilizzare tali coefficienti, considerando la sola componente orizzontale apparente, '

hk , data dalle seguenti espressioni, a seconda dei casi:

terreno secco

v

h'k1

kkh ±

=

Rilevato saturo a grana fine (dinamicamente impervio)

v

h'

sat'k1

kkh ±γ

γ=

Rilevato saturo a grana fine (dinamicamente impervio) con presenza di sovrappressioni interstiziali v

h

u'

sat'k1

k)r1(k

h ±−γγ=

Rilevato saturo a grana grossa (dinamicamente permeabile) v

h'd'

k1kk

h ±γγ=

Il coefficiente di spinta passiva andrà poi moltiplicato per ( vk1± ). Lo stesso dicasi per molte altre delle formulazioni citate nel §3.2.2.

��

42

3.4 La teoria di M-O nel caso di terreno stratificato o parzialmente immerso

I coefficienti di spinta attiva e passiva prodotti dalla teoria di M-O generalizzata illustrata nel precedente punto 3.3 derivano da un equilibrio limite complessivo di un cuneo di terreno omogeneo di altezza finita H. Nel caso di terreno disomogeneo, si dovrebbe ripercorrere il procedimento generale applicando, alle varie porzioni di terreno, i relativi parametri di resistenza. Tuttavia, specie in un approccio come quello adottato da PARATIE, è necessario considerare i coefficienti di spinta per calcolare il valori limite puntuali di spinta attiva o passiva. Sotto ipotesi molto restrittive, nel caso statico, si dimostra che i coefficienti di spinta derivati dall’approccio all’equilibrio limite (secondo Coulomb) coincidono con quelli che dovrebbero essere utilizzati considerando le condizioni di conformità puntuali (secondo la teoria di Rankine, (1857)). Sempre rimanendo al caso statico, in tutte quelle situazioni per le quali non sono disponibili soluzioni che forniscano i coefficienti “locali”, è prassi consolidata introdurre, a livello locale, i coefficienti determinati secondo uno schema di equilibrio o di analisi limite globale. In modo del tutto analogo, nel caso sismico, i valori di M-O sono utilizzati, in approcci quali quello implementato in PARATIE, per valutare le condizioni limite locali di un elemento di terreno sottoposto ad un valore i sforzo verticale efficace noto. Pertanto, accettando tale approssimazione, il caso di terreno stratificato è affrontato in modo molto semplice attribuendo alle singole molle i coefficienti KA e KP calcolati, tramite le formule i M-O o attraverso le soluzioni alternative discusse nel paragrafo 3.2.2, in funzione dei parametri geotecnici dello strato di pertinenza. Questo metodo è riconosciuto da vari Autori e linee guida (cfr. ad esempio AGI (2005), oppure Callisto (2006)) ed è esplicitamente delineato anche da Normative Sismiche internazionali, come, ad esempio, la Normativa Turca (NT (1998)); è quindi lo schema adottato anche da PARATIE (vedi il capitolo 7 di questo manuale) . Un aspetto meno frequentemente considerato, ma altrettanto importante soprattutto in relazione alle paratie, è il caso di terrapieno parzialmente immerso in falda. Anche nel caso di terreno omogeneo, nell’ipotesi di

utilizzare i coefficienti di spinta (attiva) forniti dalle formule di M-O generalizzato, si evidenzierebbe una discontinuità nel diagramma delle spinte orizzontali attive sulla parete. Se in prima battuta tal effetto potrebbe essere ritenuto giustificabile, è tuttavia facile rendersi conto che la distribuzione di pressioni così calcolata non è giustificabile dal punto di vista fisico. Consideriamo, in accordo con la Figura 3-8, un terrapieno di materiale puramente granulare caratterizzato da un angolo d’attrito φ’ eparzialmente interessato da una falda in quiete. Come al solito, consideriamo l’equilibrio limite di un cuneo individuato da una linea di scivolamento inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale,

assoggettato alle azioni statiche e sismiche. Ai fini del calcolo dei pesi efficaci, adottiamo le medesime ipotesi discusse nel paragrafo 3.3, alla base della formulazione di Matsuzawa et al. (1985) adottata da EC8: pertanto, nell’equilibrio complessivo, considereremo il peso efficace del cuneo, dato, in questo caso da:

Figura 3-8: calcolo della spinta attiva sismica di un rilevato parzialmente in falda.

��

43

)cot(2h'2

h2h)k1()(F

2w

2w

2

dvV α⋅

⋅γ+

−⋅γ⋅±=α

Se il terreno è dinamicamente permeabile, l’azione orizzontale esterna corrisponde alla forza d’inerzia esercitata sulla sola componente solida ed è data da:

)cot(2hk)(F

2

dhh α⋅

⋅γ⋅=α

A questa forza va aggiunta, sulla parete, oltre alla spinta Ews, l’azione idrodinamica Ewd, che però non viene messa in conto nell’equilibrio del cuneo in termini efficaci. Se invece il terreno è dinamicamente impermeabile, l’azione orizzontale esterna corrisponde alla forza d’inerzia esercitata sulla componente solida per la parte sopra falda e sulla componente solida+acqua vincolata per la parte immersa, quindi:

)cot(2h

2h

2hk)(F

2w

sat

2w

2

dhh α⋅

⋅γ+

−⋅γ⋅=α

In questo caso va aggiunta, sulla parete, la sola spinta Ews.

L’azione Fh può essere espressa, per entrambi i casi, da una sola espressione:

)cot(2h

2h

2hk)(F

2w

**

2w

2

dhh α⋅

⋅γ+

−⋅γ⋅=α

con d** γ=γ nel caso di terreno dinamicamente permeabilesat** γ=γ nel caso di terreno dinamicamente impervio

Introducendo l’angolo )('2 αη=φ+α−=η π , è possibile determinare l’incognita P’, cioè la componente efficace della spinta, che risulta essere data dalla seguente espressione:

)sin()sin()(F)cos()(F)('P hV

η+δη⋅α+η⋅α=α

Il valore di calcolo ai fini del progetto dell’opera di sostegno corrisponde all’angolo α che rende massimo P’. Queste formule sono facilmente programmabili , ad esempio, in un foglio di lavoro Excel, tramite il quale la ricerca del massimo può essere affidata ai risolutore interno. Nell’area di download della pagina web di PARATIE (,��&-..///��.&�!��0�$"�1&,&), è reso disponibile il foglio Matsuzawa.xls (o la versione MathCad® Matsuzawa.mcd) che svolge appunto i calcoli qui illustrati, limitatamente al caso di terrapieno orizzontale, parete verticale e sovraccarico nullo. Si osservi che, ponendo hw=h, oppure hw=0 si riproducono i medesimi valori di spinta calcolabili attraverso le formule di M-O generalizzate. Infine si noti che le l’effetto delle sovrappressioni in eccesso dovute a carico ciclico possono essere introdotte correggendo γ’ e γw tramite ru, come discusso nel §3.3. In Ebeling e Morrison (1992) è delineata una procedura analoga, corredata di esempio applicativi.

http://www.ceas.it/paratie_index.php

��

44

esempio 3-4: calcolo delle spinte di un terrapieno saturo , metodo del Trial Wedge19

Consideriamo il muro dell’esempio 3-3, e risolviamo il caso di rilevato completamente immerso, assumendo terreno dinamicamente permeabile e le seguenti componenti d’accelerazione sismica:

kh=0.25 kv= 0.125 (diretto verso l’alto)

Nel foglio elettronico Matsuzawa.xls compiliamo i campi in giallo, introducendo i parametri del problema. In particolare, nella cella E8, introduciamo l’opzione “Permeabile”. Quindi, dal menu Strumenti, scegliamo l’opzione Risolutore per ottenere il valore minimo di P’ al variare di α. Si noti che nel foglio elettronico kv è positivo se diretto verso il basso: per questo motivo nella cella E6 va introdotto un valore negativo.

Osserviamo che il foglio di calcolo dà gli stessi valori ottenuti analiticamente nell’esempio 3-3. Se ora, nella cella E8, introduciamo l’opzione “Impermeabile” e ripetiamo la procedura di ricerca del minimo, otteniamo la soluzione relativa al caso di rilevato impermeabile.

19 Il termine Trial Wedge (letteralmente “cuneo di tentativo”), ampiamente usato, ad esempio, in Lambe & Whitman (1969) indica il metodo con il quale si ricerca, per tentativi, il minimo o il massimo di un’azione tramite l’equilibrio limite di un insieme di cunei, facendone variare, la configurazione

��

45

Questo strumento, di scarso interesse nel caso di rilevato completamente saturo o completamente asciutto, ci permette di calcolare la risultante delle spinte nel caso parzialmente immerso. Come vedremo, ci permette anche di definire un metodo diretto per calcolare, nel caso intermedio, una distribuzione di sforzi laterali la cui risultante coincide, con ottima approssimazione, con la risultante determinata iterativamente con il metodo di minimizzazione.

Considerando il rilevato parzialmente sommerso, è possibile mostrare che la risultante complessiva efficace è valutabile, con ottima approssimazione, tramite la seguente espressione:

( ) ( ) ( )[ ]2w

'E,Aw2w

2dE,Ad

v hKhhK21k1'P ⋅γ⋅+−⋅γ⋅⋅±= (3-8)

con E,AdK e E,AwK i coefficienti di spinta dati dal metodo di M-O generalizzato, rispettivamente per il caso di terreno secco o sommerso, quest’ultimo diverso a seconda che si assuma o meno terreno dinamicamente permeabile. In base agli esperimenti numerici effettuati, la (3-8) è generalmente in favore di sicurezza e l’errore è piccolo per valori di accelerazioni sismiche usuali. In caso di sisma di forte entità e, contemporaneamente, di terreno con proprietà meccaniche scadenti, le predizioni della (3-8) si discostano dai valori forniti con il metodo del trial wedge (foglio Matsuzawa.xls) anche perché quest’ultimo non è più in grado di determinare una soluzione. Nella Tabella 3-5 sono riportati i confronti tra i due metodi, relativamente a tre casi via via più gravosi in termini di accelerazione sismica e più scadenti come proprietà di resistenza.

��

46

kh 0,1 γd 18 kN/m³ kh 0,25 γd 18,55 kN/m³kv -0,05 γsat 21 kN/m³ kv 0,125 γsat 21,55 kN/m³

γw 10 kN/m³ γw 10 kN/m³γ' 11 kN/m³ γ' 11,55 kN/m³ø' 35 ° ø' 32 °δ 0 ° δ 10,6667 °

Ka,dry 0,3310 Ka,dry 0,4428Ka,submerged 0,3755 (dinamicamente permeabile) Ka,submerged 0,6752 (dinamicamente impermeabile)

h hw hw/h Errore h hw hw/h Erroretrial wedge formula trial wedge formula

10 0 0 283,020 283,020 0,00% 10 0 0 462,023 462,023 0,00%10 1 0,1 282,138 282,151 0,00% 10 1 0,1 461,417 461,789 0,08%10 2 0,2 279,492 279,546 0,02% 10 2 0,2 459,619 461,089 0,32%10 3 0,3 275,087 275,205 0,04% 10 3 0,3 456,697 459,921 0,71%10 4 0,4 268,927 269,126 0,07% 10 4 0,4 452,772 458,286 1,22%10 5 0,5 261,021 261,311 0,11% 10 5 0,5 448,050 456,185 1,82%10 6 0,6 251,383 251,760 0,15% 10 6 0,6 442,863 453,616 2,43%10 7 0,7 240,035 240,471 0,18% 10 7 0,7 437,766 450,580 2,93%10 8 0,8 227,009 227,446 0,19% 10 8 0,8 433,733 447,077 3,08%10 9 0,9 212,360 212,685 0,15% 10 9 0,9 430,554 443,107 2,92%10 10 1 196,186 196,186 0,00% 10 10 1 438,670 438,670 0,00%

kh 0,4 γd 18,55 kN/m³kv -0,2 γsat 21,55 kN/m³

γw 10 kN/m³γ' 11,55 kN/m³ø' 30 °δ 0 °

Ka,dry 0,8900Ka,submerged 1,7755 (dinamicamente impermeabile)

h hw hw/h Erroretrial wedge formula

10 0 0 660,349 660,349 0,00%10 1 0,1 663,068 661,948 -0,17%10 2 0,2 671,962 666,746 -0,78%10 3 0,3 689,868 674,742 -2,19%10 4 0,4 725,289 685,937 -5,43%10 5 0,5 833,145 700,331 -15,94%10 6 0,6 -- 717,923 --10 7 0,7 -- 738,713 --10 8 0,8 -- 762,703 --10 9 0,9 -- 789,891 --10 10 1 -- 820,277 --

CASO 1 CASO 2

CASO 3

P'

P' P'

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

hw/h

Erro

ree

CASO 1

CASO 2

CASO 3

Tabella 3-5: raffronto tra il metodo del Trial Wedge e la formula (3-8) L’errore riportato in tabella è definito come:

'etrial_wedg

'etrial_wedg

'formula

PPPErrore −

=

e quindi è positivo se la (3-8) fornisce un valore maggiore di quello esatto trovato iterativamente. Si può osservare che, per situazioni usuali di accelerazione sismica abbinate ad angoli d’attrito corrispondenti a sabbie mediamente addensate (CASO 1 e CASO 2), l’errore commesso usando la (3-8) è piccolo e comunque in favore di sicurezza. Il CASO 3 si riferisce ad un’eccitazione sismica molto rilevante ed a un terreno piuttosto sciolto. In questo caso, lo schema su cui è basato il metodo iterativo non trova una soluzione se hw/h>0.5; pertanto il confronto con la (3-8), che per bassi rapporti hw/h fornisce valori di poco in difetto rispetto alla presunta soluzione esatta, non è più possibile. Del resto un caso del genere appare poco probabile nella realtà perché in una situazione del genere il collasso del rilevato sarebbe, probabilmente, innescato più che altro da fenomeni di liquefazione (vedi § 5) La (3-8) corrisponde all’avere considerato una particolare distribuzione delle spinte attive: consideriamo per semplicità un terreno granulare, omogeneo, parzialmente in falda, con freatica posta ad una profondità zw dal piano campagna; ad una generica profondità z ad di sopra della falda, la pressione efficace limite corrispondente allo stato attivo è data da:

��

47

( ) ( )zK)k1(z 'VE,Ad

v'A σ⋅±=σ con z≤ zw

Se estendessimo tale relazione alla parte in falda, al posto di E,AdK dovremmo porre E,AwK e scriveremmo:

( ) ( )zK)k1(z 'VE,Aw

v'A σ⋅±=σ con z > zw

Poiché, a parità di parametri geotecnici, E,AwK è maggiore di E,AdK , in corrispondenza della quota della freatica (z = zw) avremmo un “salto” nella distribuzione delle spinte attive. Se poi calcolassimo la risultante della distribuzione delle spinte attive, non ritroveremmo un valore in accordo con quello determinabile per via generale con il metodo iterativo prima delineato. Se invece consideriamo una spinta attiva data dalle seguenti espressione:

( ) ( )zK)k1(z 'VE,Ad

v'A σ⋅±=σ se z≤ zw

( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }w'V

'VE,Aw

w'VE,Ad

v'A zzKzK)k1(z σ−σ⋅+σ⋅±=σ se z > zw

(3-9)

otteniamo una distribuzione continua delle pressioni attive la cui risultante corrisponde, con ottima approssimazione, a quella determinabile secondo l’approccio rigoroso: infatti, nel caso di terreno omogeneo, in assenza di sovraccarico (Figura 3-9) , l’integrale delle (3-9) corrisponde alla (3-8) la cui validità è stata discussa in Tabella 3-5.

Osservando la (3-9) per la parte in falda, possiamo notare che il coefficiente di spinta attiva E,AwKincrementato per tenere conto delle masse effettivamente partecipanti moltiplica il solo incremento delle pressioni verticali efficaci rispetto alla quota della freatica: ciò consente di mettere nel conto, di fatto, la giusta quotaparte di massa di terreno ed acqua che partecipa al moto sismico. Nella seconda parte del foglio di calcolo Matsuzawa.xls viene calcolata la distribuzione delle pressioni attive secondo la (3-9). Benché derivi da semplici considerazioni qualitative e da confronti con soluzioni alternative, la (3-9) può essere ritenuta un’indicazione sufficientemente valida per i casi ordinari. Inoltre permette di calcolare, per situazioni assai distanti da quelle teoriche per le quali sia disponibile una soluzione rigorosa, la distribuzione di spinte attive ragionevole e, soprattutto, priva di ingiustificate discontinuità. Ovviamente si assume che il punto di applicazione della risultante delle spinte sismiche corrisponda, più o meno, a quello della risultante statica, assunzione ritenuta verosimile specie nel caso di pareti libere di ruotare alla base (cfr. EC8). La (3-9) è utilizzata in PARATIE quando si utilizzi l’opzione di calcolo automatico delle spinte sismiche (capitolo 7). Nel caso passivo è utilizzata un’ovvia estensione della (3-9) in cui ai coefficienti di spinta attiva sono sostituiti quelli di spinta passiva.

z

( )z'Aσ

(1±kv)·KdAE·γd

(1±kv)·KwAE·γ’

zw

( )z'Aσ

( )z'Vσ

Figura 3-9 : distribuzione proposta delle pressioni attive, nel caso di terreno omogeneo, parzialmente immerso e privo di sovraccarico

��

48

α

δ φ'P R

WH

αP

Q

P Q

W

H

R

3.5 Altri schemi di calcolo all’equilibrio limite Partendo dall’approccio di M-O e limitandosi al caso di spinta attiva, è possibile valutare, ad esempio, la spinta complessiva trasmessa da un rilevato di forma complessa, quale ad esempio quello nella Figura 3-10: con il metodo del trial wedge possiamo anche studiare casi di cui non sia disponibile una soluzione in forma chiusa.

Indicazioni più generali possono essere reperite nel commentario ANIDIS–SSN (1998), nel capitolo 15 a cura di Ernesto Cascone e Michele Maugeri. Ovviamente queste soluzioni hanno un’utilità immediata nel caso di progetto, ad esempio, di muri di sostegno di rilevati stradali o ferroviari. Volendo restare al tema di questo manuale, nel caso in cui, pur in presenza di un rilevato dalla forma complessa, l’opera di sostegno è una paratia flessibile, e, nell’ipotesi di volere utilizzare PARATIE, è necessario stimare opportunamente dei coefficienti di spinta “equivalenti”: in questo caso, non vi è sostanziale differenza fra i caso statico ed il caso sismico. Quando la geometria è complessa, occorre

abbandonare lo schema monodimensionale e passare, ad esempio, ad un approccio numerico più raffinato. In ogni caso, più che altro in relazione al calcolo di muri di sostegno, piuttosto che paratie flessibili, vale la pena di segnalare il manuale di calcolo predisposto dall’ U.S. Army Corps of Engineers (USACE (1989)):

questa pubblicazione raccoglie moltissimi esempi svolti in modo analitico; contiene inoltre soluzioni in forma chiusa per il calcolo delle spinte in presenza di acqua, di terreno coesivo (con l’eventuale formazione di tension cracks), di terrapieno disomogeneo come le situazioni rappresentate nella Figura 3-11 tratta proprio dal citato manuale. Va tuttavia osservato che il calcolo delle spinte sismiche, con le formule ora ricordate, in termini di parametri efficaci c’ e φ’, appare, nei casi più comuni, per lo meno dubbio: se infatti pensiamo ad un’argilla OC, il comportamento in condizioni sismiche sarà certamente non drenato e quindi le spinte in condizioni limite dovranno essere espresse in termini di resistenza a taglio non drenata Su oppure, se si è in grado di valutare l’incremento delle pressioni in eccesso ue indotto dal sisma, potranno essere usati i parametri efficaci ma, certamente, le spinte non saranno date da semplici formule ricavate come

estensioni della teoria di M-O. In altri termini, in presenza di situazioni nelle quali non valgono le ipotesi classiche del metodo di M-O, non è semplice trovare soluzioni pronte per un uso pratico (si veda, a tal proposito, quando suggerito da AGI (2005)).

Figura 3-10: calcolo della spinta attiva per un caso generico

Figura 3-11: un esempio di calcolo di spinte in condizioni più generali

��

49

3.6 Il metodo di Wood Questo metodo (Wood (1973)) fornisce la sovraspinta sismica del terreno su una parete interrata soggetta a deformazioni molto contenute, tali da potere assumere che il terreno, si trovi in fase elastica20 sia in condizioni statiche sia durante il sisma.

In situazioni del genere, relative a manufatti scatolari interrati, pozzi d’aggottamento, manufatti di stazione di metropolitane, la spinta sismica da assumersi (per una parete di sviluppo unitario, come in Figura 3-12.) è data dall’espressione

EHγSga∆P 2g

d =⋅⋅= (3-10) in cui γ è il peso specifico del terreno. • non dipende dalle proprietà di resistenza del

terreno (che è e rimane elastico) • può essere introdotta come una pressione

uniforme sulla parete • va moltiplicata per γI

∆Pd ha punto di applicazione a metà dell'altezza H del muro, il ché equivale ad applicare una pressione uniforme

Tale distribuzione si sommerà alla spinta statica G delle terre secondo la combinazione alla stato limite ultimo γΙ E + G +P + ψQ

Ha il pregio di fornire delle indicazioni, pur approssimate, tuttavia utili per tipologie di pareti per le quali l’applicazione di M-O non ha alcun senso. La formula, in teoria, vale per terreno omogeneo, in assenza d’acqua di falda e per manufatti di altezza contenuta. Per manufatti molto profondi sarebbe opportuna una valutazione con metodi più rigorosi. Non copre il caso, per altro molto frequente, di manufatto parzialmente in falda. Per questa situazione, di grande rilievo progettuale, crediamo opportuno proporre alcune estensioni che, per lo meno formalmente, sono coerenti con il resto della Norma: se il terreno è dinamicamente permeabile, l’acqua fa da sé e le sovrappressioni alla Westergaard si sommano alle forze d’inerzia dovute alla massa dello scheletro solido (per lo meno è coerente con le indicazioni nel caso di M-O). Nelle figure che seguono si possono trovare alcune situazioni tipiche, riferite ad un terreno dinamicamenteimpermeabile (anche se la Norma non lo dice).

20 Diremo che il terreno è in fase elastica per esprimere il fatto che si trova molto lontano da condizioni di equilibrio limite. Nel caso statico tale fase corrisponderebbe ad una situazione di spinta prossima a quella a riposo.

H∆Pd H

rigido ∆Pd

==

Figura 3-12 : il metodo di Wood

HγSga∆p g

d ⋅⋅=

��

50

Figura 3-13: metodo di Wood (1973), caso classico, terreno omogeneo asciutto

Figura 3-14: estensione del metodo di Wood al caso di terreno parzialmente in falda, dinamicamente impervio Nel caso in cui ci si trovasse di fronte ad uno strato di terreno dinamicamente permeabile (k>5×10-4 m/sec), si dovrebbe aggiungere (a rigor di logica) la sovrappressione dinamica dell’acqua di falda. In questo caso

��

51

però sarebbe lecito uno sconto sul peso specifico (per la parte in falda) da includere nella formula (3-10). La Norma non dà indicazioni

In pratica è ragionevole operare nel seguente modo:

• calcolare le spinte con la formula (3-10) ed includere per la parte immersa il peso saturo γsat; nonaggiungere le sovrappressioni dinamiche dell’acqua.

• calcolare le spinte con la formula (3-10) includendo, per la parte immersa, il peso secco γd;

aggiungere le sovrappressioni dinamiche dell’acqua: la sovraspinta totale sarà:

2wh

2d

gwdd H'γk12

7HγSgaE∆P +⋅⋅=+ con kh = S ag/r e r=1

il primo termine sarà applicato come una distribuzione uniforme sulla parete, il secondo termine secondo la distribuzione qwd(z) - vedere Figura 3-15.

• considerare la più gravosa delle due distribuzioni, e combinarla con la spinta statica, con coefficiente

γΙ.

Figura 3-15: : estensione del metodo di Wood al caso di terreno parzialmente in falda, dinamicamente permeabile

esempio 3-5 : calcolo delle spinte con il metodo di Wood, terrapieno asciutto

Consideriamo un muro controterra, alto 5m, che sostiene un terrapieno di materiale avente peso specifico γ=19 kN/m³ , coefficiente di spinta laterale pari a K0=0.5 e coefficiente di Poisson ν=0.25. In condizioni statiche, inoltre, si consideri un sovraccarico q=15 kPa uniformemente distribuito. Assumiamo infine la zona sismica 2 con coefficiente S pari a 1.35. ed un coefficiente d’importanza γΙ =1.

��

52

5m

γ=19 kN/m³ K0=0.5 ν=0.25

q=15 kPa

1) Distribuzione delle spinte in condizioni statiche coerentemente con il fatto che il muro è considerato praticamente indeformabile, la spinta del terrapieno, da considerare come carico permanente G, è calcolata in condizioni di spinta a riposo:

σh,G(z) = K0 · γ · z , con z= profondità misurata da piano campagna.

Ipotizzando poi che il sovraccarico accidentale q produca effetti assimilabili a quelli indotti da un sovraccarico uniformemente distribuito in un mezzo elastico in condizioni di stato piano di deformazione, la componente accidentale Q della spinta dovuta al sovraccarico può essere calcolata come:

σh,Q(z) = (ν / (1- ν )) · q = 0.33· 15= 5 kPa

2) azione sismica su muro

Applicando la (3-10), si ottiene:

∆Pd = 0.25×1.35×19×5² = 160.3 kN/m, che corrisponde ad applicare al muro una pressione uniforme pari a

σh,E (z)= ∆pd = 32.06 kPa

La somma degli effetti di questa pressione con quelli degli effetti della spinta statica produce delle sollecitazioni da confrontare con la resistenza ultima della parete.

Riassumendo, le tre componenti elementari G, Q ed E della spinta delle terre sono illustrate nello schema seguente

47.5 kPa 5 kPa 32.06 kPa

σh,G(z) = K0 · γ · z

z

σh,Q(z) σh,E(z)

G Q E

3) Combinazioni allo stato limite ultimo

Ipotizziamo che, nel problema in esame, siano trascurabili fenomeni di collasso condizionati dalla resistenza geotecnica (GEO), mentre siano da considerare sostanzialmente solo le problematiche di carattere puramente strutturali (STRU) legate alla resistenza ultima della parete. Pertanto i coefficienti di combinazione γFpotranno essere ricavati dalla Tabella 1-2, assumendo tuttavia γF=1.40 nel caso di azioni permanente, relativamente ai soli casi APPROCCIO 1 COMBINAZIONE 1 e APPROCCIO 1 COMBINAZIONE 2: il primo caso riguarderà le sole azioni statiche, mentre il secondo le azioni statiche più sismiche.

��

53

Quindi

APPROCCIO 1 COMBINAZIONE 1

γF,G=1.40 γF,Q=1.50

da cui

σh, SLU(z)=1.40 σh,G(z) + 1.50 σh,Q(z)

APPROCCIO 1 COMBINAZIONE 2

Il coefficiente γF relativo alle azioni permanenti (la spinta delle terre) va posto pari a 1. Quanto al coefficiente γF,Q, piuttosto che derivare il valore dalla Tabella 1-2 (che porterebbe a dovere considerare sommariamente γF,Q=1.30), occorre considerare i coefficienti γI e Ψ dell’equazione ( 2-1 ). A tal proposito, è necessario fare riferimento alla destinazione d’uso dell’opera e quindi alla sua importanza. Supponiamo che la parete in esame sia parte di un manufatto infrastrutturale le cui azioni siano assimilabili a quelle di ponti.

Nel caso di opera importante, in accordo con la Tabella 2-1, si assumerà γI=1.3 mentre nel caso di ponti si potrà porre Ψ=0.

Riassumendo, si avrà: σh, SLU(z)= σh,G(z) + 1.30 σh,E(z)

Le sezioni di parete dovranno essere progettate per resistere alle sollecitazioni più gravose fra quelle relative alle due combinazioni di carico sopra definite. Le due combinazioni risultanti sono illustrate nella figura seguente.

7.5 kPa

89.18 kPa

41.7 kPa

1.40 σh,G(z) + 1.50 σh,Q(z) σh,G(z) + 1.30 σh,E(z)

APPROCCIO 1 COMB. 1

APPROCCIO 1 COMB. 2

74 kPa

z

Dovranno inoltre essere considerate combinazioni allo stato limite di servizio per le verifiche, ad esempio, di fessurazione.

In conclusione, si può notare che il metodo di Wood, pur essendo estremamente semplice (la formula è banale) ha trovato e continua tuttora a trovare un largo utilizzo pratico, nei casi in cui non sia verosimile la mobilitazione di spinte attive. Solo recentemente sono state proposte nuove soluzioni per il problema in esame, soluzioni che cercano di correggere alcune delle restrizioni insite nel metodo di Wood. Si può citare in proposito Wu e Finn (1999) ed i lavori di Veletsos e Younan (Veletsos & Younan (1994a), (1994b), (1997)), in cui si trovano soluzioni analitiche che consentono di stimare le spinte per diverse condizioni del complesso parete-terreno, senza ricorrere alle ipotesi di M-O. Questi metodi, che pure apportano un contributo significativo alla conoscenza del problema, contengono pur tuttavia notevoli approssimazioni e

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restrizioni la cui rimozione richiede, oggi, il ricorso a simulazioni numeriche più complesse (cfr. per esempio Psarropoulos et al. (2005)), del tipo di quelle brevemente descritte nel capitolo 4 di questo manuale.

3.7 Analisi numeriche pseudo-statiche semplificate di paratie Lo schema concettuale su cui si basa PARATIE non apporta, nel caso della sollecitazione sismica, significativi miglioramenti a quanto è possibile fare con i metodi tradizionali di M-O o di Wood, perché la mancanza di una simulazione per lo meno bidimensionale obbliga a ricondursi, per la modellazione della risposta del terreno, ad uno schema monodimensionale legato a condizioni di spinta attiva o passiva. Ebbene, se nel caso statico è possibile, pur in maniera approssimata, stabilire il grado di mobilitazione delle condizioni limite in funzione degli spostamenti, quando interviene il sisma, anche solo come azione statica orizzontale, è assai difficile calcolare per mezzo di un algoritmo matematico automatico, l’incremento di spinta e, cosa ancora più importante, la variazione di tale incremento in funzione delle deformazioni che esso provoca, in ogni punto lungo la parete. Volendo ricorrere all’approccio proposto da PARATIE, attualmente è preferibile introdurre il sisma sottoforma di azioni esterne addizionali, valutate secondo criteri opportuni e comunque basati ancora sul metodo di M-O oppure di Wood. In alternativa è da valutarsi il criterio sinteticamente esposto nella Figura 3-16: consideriamo un elemento di terreno già in condizioni attive, prima dell’intervento dell’azione sismica (punto A); l’azione sismica può essere introdotta semplicemente ridefinendo il valore limite della spinta attiva: il punto tensione deve ritornare entro i limiti ammissibili (punto A’) il ché produce, di per sé, una perturbazione al sistema precedentemente equilibrato, con conseguente aumento delle sollecitazioni nella parete. Nel caso di punto tensione inizialmente in fase elastica (punto B), la ridefinizione del limite di plasticizzazione potrebbe non provocare di per se stessa, una perturbazione del sistema. In questo caso si può assumere che il terreno si comporti, momentaneamente, in fase elastica riproducibile con un incremento elastico di sollecitazione pari, ad esempio, al valore suggerito da Wood associato a deformazione nulla (punto B’); successivamente, grazie al processo iterativo e alle conseguenti deformazioni incrementali, il punto tensione può rilasciare parte dello sforzo incamerato e portarsi, al limite, nelle condizioni attive sismiche. Il capitolo 7 di questo manuale è interamente dedicato a questo argomento.

Spinta attiva statica

Spinta passiva

∆pd (Wood) Spinta attiva

Sismica (M-O)

∆

σ’h

AB

B’

B”A’

Figura 3-16: la procedura sismica automatica proposta da PARATIE

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3.8 Il metodo pseudo-statico in una modellazione numerica avanzata Talora il calcolo di un’opera di sostegno, specie se piuttosto complessa, si avvale di un metodo numerico evoluto, quale ad esempio, un modello alle differenze o agli elementi finiti, solitamente a due dimensioni, ma talvolta anche tridimensionale. Un modello del genere, se ben costruito e risolto con uno strumento di calcolo idoneo, può fornire un quadro di risultati più ricco di quello possibile con uno strumento ingegneristico come PARATIE. Naturalmente la costruzione del modello geometrico, la soluzione e l’interpretazione dei risultati sono molto più impegnative. Tuttavia l’introduzione delle azioni sismiche secondo l’approccio pseudo-statico può essere, nel caso di un modello a più dimensioni, paradossalmente molto più semplice che non nel caso in cui si operi in ambito monodimensionale, come fa PARATIE.

Figura 3-17: il modello 2d di un’opera di sostegno

Infatti, con un modello bi o tridimensionale non è più necessario scegliere uno schema che fornisca le azioni sismiche sulla parete (la teoria di M-O oppure quella di Wood oppure un altro schema) prima di applicare tali azioni al modello di calcolo della parete. È sufficiente imporre, al modello numerico dell’insieme parete-ammasso di terreno, un campo gravitazionale con una componente orizzontale pari all’accelerazione sismica voluta (±kh·g e ±kv·g). Il modello numerico stesso, poi, stabilirà come il terreno, sottoposto a tale azione, interagirà con la parete. Alla responsabilità del progettista rimane solo la scelta del valore più opportuno dell’accelerazione sismica: a questo proposito, tuttavia, si potranno seguire i medesimi criteri che si adottano per qualunque altro metodo pseudo-statico e ci si può riferire alle indicazioni riportate nel §3.1.

Il metodo pseudo-statico è di per se stesso un approccio assai semplificato, anche se ritenuto generalmente conservativo, indipendentemente dal modello di calcolo nel quale lo si adotti. Per questo motivo è opportuno chiedersi se e quando abbia senso, in questo caso, aumentare la complessità del metodo di calcolo. La risposta è che può avere senso fare un’analisi sismica pseudo-statica con un modello di calcolo sofisticato se e solo se questo modello è stato predisposto anche per altre ragioni: in questo caso l’analisi sismica sarà una pura e semplice estensione dell’analisi statica dell’opera, ma i risultati che essa produrrà non dovranno essere ritenuti assai migliori di quelli che si potrebbero ottenere con metodi più semplici. In altre parole, in genere non ha molto senso allestire un modello complesso solo per fare un’analisi sismica pseudo-statica, perché, comunque, questo metodo è di per se stesso molto approssimato. Nel caso di terreni coesivi, il ricorso ad un modello a due o tre dimensioni può effettivamente migliorare la qualità dei risultati, rispetto ad un calcolo a mano o con PARATIE, perché, in questo caso, non sono disponibili facilmente soluzioni affidabili in forma chiusa per le spinte statiche: quindi la risposta di un modello numerico può apportare informazioni utili al calcolo.

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4 Modellazione dinamica dell’interazione terreno-struttura 4.1 Metodi generali basati su analisi numeriche complesse Dai primi anni ’70, con la diffusione del metodo degli elementi finiti, sono stati predisposti codici di calcolo in grado svolgere simulazioni sismiche di opere interagenti con il terreno, tenendo conto di svariate particolarità che rendono questa categoria di problemi assai complessa e non facilmente affrontabile con i normali mezzi dell’analisi strutturale. Gli aspetti principali della complessità sono (Figura 4-1): • il comportamento non lineare, anche in condizioni

d’esercizio, del terreno; • l’interazione fra acqua e scheletro solido, nel caso

presenza di falda; • le modalità di applicazione del carico, o meglio,

dell’input sismico; • i criteri di simulazione numerica delle condizioni al

contorno; • l’interazione fra elementi strutturali e terreno.

MESH FEM O GRIGLIA D.F.

moto impresso al bedrock

cond

izion

ialc

onto

rno

spec

iali

cond

izion

ialc

onto

rno

spec

iali

TERRENO

STRUTTURA

Figura 4-1: gli elementi principali di una simulazione dinamica completa

Ci si è subito resi conto che tali aspetti difficilmente potevano essere riprodotti, se non con grandi approssimazioni, con i classici codici d’analisi strutturale general purpose.

Il comportamento non lineare del terreno richiede, in linea generale, l’utilizzo di modelli costitutivi ad hoc, di crescente complessità, quali il modello di Mohr Coulomb, il modello di Drucker Prager, i modelli allo stato critico ed altri ancora. Rinunciando alla modellazione del comportamento elasto-plastico, è necessario quantomeno riprodurre il fatto che un terreno non può essere caratterizzato con costanti elastiche fisse ma con moduli elastici variabili legati livello di deformazioni indotte dal sisma. Ciò ha indotto molti ricercatori a proporre modelli, ancorché elastici, ma con modulo elastico variabile, modelli da risolvere in ogni caso in modo iterativo: leggi costitutive del genere sono incorporate in codici di calcolo come SHAKE (Schnabel et al. (1972)), SHAKE91 (Idriss et al. (1992), FLUSH (Lysmer et al. (1975)), ecc., programmi che hanno fatto da battistrada in quest’ambito ingegneristico21. Ovviamente, se si ricorre ad un modello elastoplastico, anche questo dovrebbe incorporare tale fenomeno, anche in fase elastica. L’interazione fra acqua e scheletro solido può, come noto, complicare notevolmente il comportamento di un terreno durante un evento sismico e produrre fenomeni assai gravosi come, ad esempio, la liquefazione nel caso di terreni sabbiosi saturi poco addensati. In presenza di condizioni del genere, il metodo di calcolo dovrebbe poter riprodurre tale fenomeno e ciò richiede ovviamente una particolare complessità del modello costitutivo che deve permettere l’analisi accoppiata fra acqua e scheletro solido e stabilire una legge d’interazione fra le due fasi. Oggi modelli del genere sono possibili con strumenti di calcolo ad hoc non ancora largamente diffusi nella pratica progettuale, o con opzioni addizionali di alcuni codici general purpose di ambito geomeccanico. 21 I codici di calcolo qui elencati, per la gran parte sono reperibili liberamente, nella versione eseguibile e, talora, anche sorgente, in internet, utilizzando i più comuni motori di ricerca.

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Per quanto riguarda le modalità di definizione dell’input sismico, è del tutto evidente che il terremoto di progetto, nel caso di una struttura interrata, non possa essere dato sottoforma di spettro di risposta come invece è pratica comune nel caso di strutture in elevazione. Occorre invece considerare le deformazioni che le onde sismiche inducono nell’ammasso di terreno con le conseguenti distorsioni nelle strutture con esso interagenti. Per far questo, la tecnica più usata consiste nel calcolare il moto di ogni punto dell’ammasso significativo di terreno, attraverso un’integrazione diretta nel tempo delle equazioni del moto prodotte attraverso una discretizzazione ad elementi o differenze finite del problema in esame. In questo caso l’input sismico viene imposto come un accelerogramma noto in punti ben precisi sufficientemente lontani dalla zona in esame, ad esempio al bedrock. Ne consegue, intanto, la necessità di procurarsi uno o più accelerogrammi compatibili con il sito in esame e con i criteri dettati dalla Norma. Occorre poi disporre di uno strumento di calcolo in grado d’integrare nel tempo le equazioni del moto, considerando contemporaneamente gli aspetti di modellazione prima ricordati. Tale programma dovrà poi riprodurre in modo corretto le condizioni al contorno, ad esempio, sui lati che delimitano la zona modellata. È abbastanza intuitivo osservare che sui contorni laterali non possono essere assegnate le medesime condizioni al contorno solitamente imposte in un’analisi statica: se fossero bloccati gli spostamenti laterali, nel caso di analisi sismica, di fatto, si riprodurrebbe la presenza di contorni rigidi in grado solo di riflettere le onde sismiche verso l’interno del modello, mentre è necessario in qualche modo riprodurre la dissipazione di tali onde e la presenza di altro terreno soggetto al medesimo moto (Figura 4-2). Tecniche ad hoc permettono il trattamento corretto delle condizioni al contorno dinamiche e non sempre sono disponibili in tutti i codici di calcolo progettati per simulazioni numeriche statiche. Ad esempio, alcuni programmi dedicati all’interazione sismica terreno-struttura, permettono di mettere in conto, ai lati della zona modellata in dettaglio, l’interazione con un terreno, esteso indefinitamente, in condizioni di campo libero, soggetto al medesimo input sismico assegnato alla zone d’interazione modellata numericamente (free filed boundaries, Figura 4-3).

Figura 4-2: condizioni al contorno dinamiche in un problema d’interazione sismica terreno-struttura

Figura 4-3 - rappresentazione schematica dei free filed boundaries

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Questa brevissima panoramica sulle problematiche insite nella modellazione sismica generale ha il solo scopo di dimostrare che, oggi, queste tecniche numeriche, pur disponibili sul mercato, richiedono un impegno ancora assai rilevante e competenze particolari: per questo motivo il ricorso alle analisi pseudo-statiche, nei casi ordinari, è tuttora pressoché obbligato. Alla stessa conclusione sembrano giungere gli Autori delle Linee Guida dell’A.G.I. (2005), sia con riferimento alle opere di sostegno rigide (muri di sostegno), sia per quel che concerne le pareti flessibili: tali Autori raccomandano l’uso di modelli numerici sofisticati se e solo se si disponga di una caratterizzazione geotecnica affidabile e solo “... come un affinamento di analisi ottenute con metodi semplificati ...”. Le stesse complessità numeriche si ritrovano quando deve essere analizzata, con un approccio agli elementi finiti, l’interazione fra terreno ed una struttura soggetta ad azioni dinamiche (impulsive o armoniche). Anche in questo caso è necessario porre particolare attenzione alle condizioni al contorno della porzione di terreno discretizzata: devono essere impiegati speciali elementi che simulano la risposta di un semispazio indefinito oppure particolari elementi viscosi che reagiscono con una forza proporzionale alla velocità (Figura 4-4). Una presentazione di questa tematica è contenuta, ad esempio, nel testo di Castellani et al.(1981).

ELEMENTO

TERRENO

NODO

SMORZATORI

Figura 4-4 : elementi di contorno di tipo viscoso

Quanto appena detto, tuttavia, non significa che oggi non siano disponibili strumenti di calcolo sofisticati che permettono, anche in un ambito progettuale, analisi numeriche complesse. Tra i programmi proposti sul mercato ed accessibili da tutti, è opportuno citare il modulo dinamico di FLAC (Itasca (2002)) che offre molte delle opzioni sopra delineate, in combinazione con tutte le altre modalità standard previste per la simulazione numerica di problemi geomeccanici. Una presentazione sistematica di queste tecniche è da ritenersi ovviamente al di fuori dello scopo di questo manuale.

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4.2 L’analisi dinamica con uno schema monodimensionale come PARATIE Lo schema monodimensionale, adottato da PARATIE per il calcolo dell’interazione statica terreno-opera di sostegno, è stato utilizzato anche come tentativo di calcolo delle sollecitazioni sismiche, senza ricorrere ai metodi pseudostatici (si veda ad esempio AGI (2005)). L’idea di base consiste nello sfruttare la presenza delle molle per applicare, alla parete, le distorsioni prodotte dal sisma nel terreno in prossimità della parete stessa: questo metodo deriva da uno degli approcci numerici usati per la valutazione delle cosiddette azioni cinematiche prodotte dal sisma in pali di fondazione, cioè le sollecitazioni ai cui il palo è sottoposto, indipendentemente dalle azioni trasmessegli dalla sovrastruttura, a causa delle deformazioni prodotte dal sisma nel terreno circostante. Nel caso di pali di fondazioni, questo metodo consiste in una sorta d’estensione “dinamica” del classico metodo delle curve p-y, ampiamente usato per il calcolo di pali caricati lateralmente (Figura 4-5)

Figura 4-5: il modello concettuale del metodo delle curve p-y applicato al caso sismico (da Boulanger et al. (1999))

In pratica, il metodo consiste nel calcolare la risposta free field del terreno, pensato indefinitamente esteso e privo di ogni inclusione: allo scopo può essere usato un codice di calcolo come SHAKE (Schnabel et al. (1972)) oppure SHAKE91 (Idriss et al. (1992)). Successivamente la risposta del terreno, espressa in termini di storie di spostamenti, velocità ed accelerazioni in più punti lungo la verticale del palo, viene applicata al palo stesso per interposizione di speciali elementi molla + smorzatore, determinando in questo modo le sollecitazioni dinamiche volute. Questo modo di operare è estremamente approssimato ed i risultati ottenuti sono largamente condizionati dalla scelta delle costanti elastiche attribuite agli elementi molla. Esiste tuttavia un numero rilevante di studi che presentano, nel caso di pali, confronti fra questo metodo ed indagini sperimentali o simulazioni numeriche più complesse. Per questo motivo, nel caso di pali di fondazioni, il metodo può essere preso in esame come uno dei possibili approcci di calcolo per casi reali. In proposito si può consultare ad esempio, il lavoro riassuntivo di Finn (2005). Nel caso di opere di sostegno flessibili, dal punto di vista concettuale il fenomeno è molto simile, ma le incertezze insite nella scelta dei parametri di base crescono, a causa dell’interazione anche con altri aspetti legati alle condizioni statiche. Basti ricordare che, rispetto al calcolo di un palo di fondazione soggetto ad azioni orizzontali, la taratura delle costanti elastiche delle molle, nel caso di paratie, è molto più complessa perché la loro rigidezza non dipende solo dalle proprietà del terreno ma anche dalla geometria del problema, variabile a seconda del

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progredire dello scavo. Una complessità del genere non può ovviamente che complicare il calcolo, anche nel caso dinamico. L’introduzione di un calcolo del genere, come opzione dinamica di PARATIE, appare oggi prematura, essendo tuttora argomento di studi che non trovano ancora riscontro nella pratica di calcolo consolidata. È probabile, tra l’altro, che il crescente sviluppo di metodi numerici più generali, insieme con la messa a punto d’interfacce grafiche sempre più potenti, renda, presto o tardi, obsoleto un approccio come quello di sopra descritto. Di conseguenza, l’interesse dei ricercatori alla messa a punto di approcci del genere potrebbe decadere del tutto.

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5 Gli effetti della liquefazione La maggior parte dei grossi dissesti documentati di opere di sostegno è associata all’insorgere di fenomeni di liquefazione dei rilevati, spesso relativi a banchine od altre opere di fronte al mare. In questi casi, infatti, nel

rilevato a monte dell’opera di sostegno, si possono riscontrare le tre seguenti caratteristiche:

• presenza di matrice granulare con abbondante componente sabbiosa, a causa dell’utilizzo di materiale di risulta proveniente da operazioni di dragaggio del fondo alveo;

• completa saturazione grazie alla vicinanza del

mare o comunque di un corpo d’acqua;

• modesto grado di addensamento dovuto, spesso, alla scarsa cura nella procedura di ricostituzione e compattazione del rilevato.

Queste tre condizioni, in presenza di eventi sismici importanti, conducono ad un elevato rischio di liquefazione del terreno, cioè, in parole povere, alla perdita della resistenza a taglio a causa dell’annullamento degli sforzi efficaci per eccesso di pressioni interstiziali ed alla conseguente trasformazione in una sorta di fluido viscoso di peso specifico pari al peso saturo del terreno (γsat)22.

In tali circostanze, le spinte trasmesse all’opera di sostegno variano a seconda che si consideri un istante durante l’evento sismico oppure si analizzi quanto resta al termine dell’evento. Durante l’evento sismico, nell’ipotesi che la liquefazione avvenga nei primissimi cicli di carico, le spinte sull’opera di sostegno, purché questa si mantenga pressoché integra, possono essere suddivise in due componenti:

1. una componente statica ps;2. una componente variabile dinamicamente pd(t).

Dalla Figura 5-2, ad esempio, è possibile osservare che la componente statica (monotonic increase) èrappresentata di massima da un raddoppio della sollecitazione preesistente. Tale sollecitazione permane anche al termine dell’evento sismico, come una sorta di coazione irreversibile In linea di massima, dall’istante in cui il terreno liquefa, la pressione orizzontale statica complessiva ps sulla parete, ad una profondità z dal piano campagna, può essere stimata dalla seguente relazione: ps = K·γsat·z + effetto sovraccarico con K≅1

In sostanza il terreno si comporta come un fluido perfetto. L’effetto del sovraccarico può essere portato in conto come suggerito, ad esempio, da Okamura et al. (2006)). 22 Per una trattazione rigorosa, si veda, ad esempio, Kramer (1996).

Figura 5-1: il dissesto di una banchina portuale per effetto di liquefazione

Figura 5-2: pressioni laterali trasmesse ad una parete rigida da un rilevato soggetto a liquefazione (misurazione con modello in centrifuga, da Okamura et al. (2006))

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Durante l’eccitazione sismica, nel terreno reso fluido, nascono poi sovrappressioni dinamiche pd(t) che si sommano appunto a ps: è interessante notare che tali sollecitazioni possono essere ben rappresentate tramite la nota espressione di Westergaard, ampiamente usata per valutare, ad esempio, le sovrappressioni trasmesse dall’invaso al paramento di monte di una diga. Naturalmente, in questo caso, il peso specifico sarà γsat piuttosto che γw. L’entità di tali sollecitazioni è direttamente proporzionale alla massima accelerazione. Nella Figura 5-3 sono riportati risultati sperimentali che confermano tale assunzione. Nel già citato articolo di Okamura et al. (2006) è possibile trovare indicazioni anche per correggere la distribuzione pd(t) a causa della presenza di un sovraccarico a piano campagna. L’approccio qui brevemente descritto è utilizzato anche da Ebeling e Morrison (1992) nello sviluppo di esempio applicativi di calcolo di opere di massicce a sostegno di rilevati soggetti a liquefazione. Se gli studi sopra citati assumono, di fatto, che l’opera di per se stessa giaccia su uno strato non liquefacibile, più complesso è il caso di opera di sostegno la cui stessa stabilità è condizionata da una porzione di terreno potenzialmente sede di liquefazione: ad esempio Towhata & Islam (1987) considerano una palancola ancorata e studiano il comportamento dinamico dell’insieme paratia + ammasso tirantato con il modello

semplificato di Newmark (1965), scoprendo che, in caso di liquefazione del terreno, che contribuisce alla stabilità del piede e dell’ancoraggio, le deformazioni previste sono dell’ordine di grandezza dei metri (Figura 5-4) e quindi assimilabili al crollo vero e proprio dell’opera. Alle medesime conclusioni pervengono anche studi basati su complesse modellazioni in centrifuga ed analisi numeriche (Zeng & Steedman (1993), Zeng (2005)), grazie ai quali sono messi in luce anche altri aspetti difficilmente prevedibili ed incorporabili in un metodo progettuale, come, ad esempio, effetti d’amplificazione dinamica locale dovuti alle variazioni di rigidezza nel terreno liquefatto. In conclusione, quindi, non sembra possibile, né dal punto di vista tecnico né da quello economico, progettare un’opera di sostegno in grado di fronteggiare il rischio della liquefazione, a meno che non si abbia la certezza che la parete, massiccia,

sia fondata su una base non liquefacibile. Nelle situazioni usuali, pertanto, l’eventualità di liquefazione va prevenuta ricorrendo ad opportuni accorgimenti nella realizzazione del rilevato, come, ad esempio, un’idonea compattazione oppure un trattamento addensante a posteriori con tecniche quali vibroflottazione oppure ancora con tecniche di miglioramento d’altro tipo quale il jetgrouting (alcuni esempi in Figura 5-5).

Figura 5-3: distribuzione delle sovrappressioni dinamiche trasmesse ad una parete rigida da un rilevato soggetto a liquefazione (misurazione con modello in centrifuga, da Okamura et al. (2006))

Figura 5-4: risultati della modellazione semplificata di una palancola ancorata in terreno suscettibile di liquefazione (Towhata & Islam (1987))

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Figura 5-5: rilevati portuali progettati nei confronti della liquefazione (da PHRI (1997))

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TERZA PARTE

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6 Introduzione delle azioni sismiche in un calcolo con PARATIE

6.1 Premessa In questo capitolo discuteremo un primo metodo di introduzione delle sollecitazioni sismiche, attraverso una procedura tutto sommato assai consolidata che si basa sull’applicazione di azioni esterne definite in modo convenzionale. Questo modo di procedere, di per se stesso, non richiede l’implementazione di procedure particolari ma può avvalersi delle sole possibilità offerte, ad esempio, dalle precedenti versioni di PARATIE. Si rimanda al capitolo 7 per l’introduzione ad un approccio originale, implementato in PARATIE, metodo che può, da un lato, agevolare la definizione dei dati di input e, dall’altro, apportare qualche miglioramento alla bontà dei risultati.

6.2 Ricapitolazione dei concetti generali Si è visto, nei capitoli precedenti, che:

1. il calcolo di un’opera di sostegno sottoposta ad azioni sismiche va condotto secondo il metodo agli stati limite;

2. il calcolo agli stati limite implica l’inviluppo dei risultati di più analisi, ognuna delle quali ha

differenti carichi e/o parametri geotecnici;

3. il caso sismico rappresenta solo uno dei casi da considerare e corrisponde ad un caso in cui le azioni (o i loro effetti sull’opera) sono introdotte con coefficiente amplificativo unitario per quanto riguarda le azioni permanenti e coefficiente d’importanza γI≥1 per quanto riguarda le azioni sismiche, mentre i parametri geotecnici sono ridotti da opportuni fattori di sicurezza γM>1;

4. per opere di sostegno ordinarie, le azioni sismiche sono valutate con il metodo pseudo-statico;

5. operando secondo il metodo pseudo-statico, occorre di regola scalare l’accelerazione sismica in modo opportuno in funzione delle deformazioni tollerabili dalla parete: l’azione sismica di calcolo non dipende solo dalla sismicità del sito e dalle condizioni geomorfologiche locali, ma anche dalla tipologia dell’opera di sostegno;

6. una volta scelta l’accelerazione di calcolo, occorre stabilire il metodo di calcolo delle sollecitazioni,

cioè le spinte del terreno, gli sforzi e le deformazioni nella parete ed in tutti gli altri elementi resistenti; questo metodo può essere, in pratica, scelto tra uno dei seguenti approcci:

a. il metodo di Wood, se la parete è molto rigida e poco profonda ed il terreno si trova in

condizioni pressoché elastiche e tale permane, verosimilmente, anche durante il sisma; b. il metodo di Mononobe e Okabe (M-O) o metodi similari, se la parete è sufficientemente

deformabile al punto di mobilitare condizioni di spinta attiva;

c. un metodo d’interazione 2D o 3D se non si desidera fissare a priori lo schema concettuale secondo il quale si pensa agiscano le spinte del terreno, in caso sismico.

Il Progettista che scelga di adottare il metodo c. non dovrà ricorrere quindi né a M-O né a Wood, ma dovrà solamente stimare correttamente l’accelerazione sismica pseudo-statica, operando ad esempio,

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come discusso nel paragrafo 3.1, tramite il ricorso a tecniche al di fuori delle risorse operative di PARATIE. Con le dovute cautele, per quanto riguarda invece PARATIE, si può poi affermare che il metodo delineato nel capitolo 7 di questo manuale può costituire un approccio che permette di individuare, seppure in modo approssimato, una situazione intermedia fra quelle estreme di Wood e M-O;

7. l’utilizzo del metodo di M-O è limitato al caso di terreno granulare, caratterizzabile da un angolo d’attrito (e coesione nulla);

8. nel caso di materiale argilloso, sia NC che OC, è corretto operare in condizioni non drenate

utilizzando come parametro caratteristico la resistenza a taglio non drenata: in questo caso il metodo di M-O non è applicabile direttamente;

9. quando non è possibile applicare direttamente M-O, è tuttavia possibile stimare le forze sismiche con

metodi iterativi basati sull’ equilibrio limite;

10. il metodo di Wood, prescindendo dal comportamento a rottura, può essere applicato a qualsiasi tipo di terreno;

11. in aggiunta alla spinta sismica dovuta alla massa del terreno, in molte situazioni è necessario

aggiungere una spinta sismica provocata da sovrappressioni dinamiche dell’acqua di falda.

6.3 Criteri d’utilizzo del metodo pseudo-statico per opere di sostegno flessibili

Prima di entrare nel dettaglio operativo, è necessario stabilire dei criteri generali per la scelta dei parametri rilevanti che determinano l’entità delle azioni sismiche prodotte dai due metodi pseudo-statici disponibili, richiamati nel §3.1 e schematicamente riassunti nella seguente figura.

muri di cantina paratie o muri con vincoli molto rigidi

muri paratie o palancole a mensola o con vincoli deformabili

terreno in stato attivo o passivo: teoria di Mononobe-Okabe

I) pareti molto deformabili

terreno lontano da condizione limite, in fase elastica: teoria di Wood

II) pareti praticamente rigide

Figura 6-1 – ambiti di validità dei due metodi pseudo-statici proposti da Eurocodice 8

Ad eccezione di quelle a mensola, le paratie non sono né troppo deformabili (caso I) né estremamente rigide (caso II): ecco perché si usano programmi come PARATIE, nel caso statico. Ma nel caso sismico? In teoria dovremmo porci a metà strada…

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Tuttavia, in genere (salvo alcune eccezioni) anche nel caso di paratie multiancorate, a monte dello scavo la spinta del terreno nel suo complesso è molto prossima alla spinta attiva: si può quindi usare il metodo di M-O, con le opportune distinzioni da farsi sul coefficiente r, come discusso nel §3.1: del resto, varie osservazioni effettuate su paratie che hanno subito eventi sismici anche rilevanti, per lo meno nel caso di terreni asciutti, hanno messo in evidenza, in genere, una buona risposta di questa tipologia strutturale (cfr. ad esempio Anastasopoulos et al. (2004)); differente è il caso di opere a sostegno di rilevati saturi, per i quali si sono molto frequentemente registrati collassi, soprattutto per i fenomeni associati alla liquefazione, discussi nel cap. 5. Quando la mobilitazione della spinta attiva non è proprio verosimile, è necessario invece avvalersi del metodo di Wood, senz’altro più oneroso, ma certamente da applicarsi al caso di opere davvero rigide. Quando le condizioni al contorno sono complesse, occorre considerare metodi più evoluti: tuttavia, in pratica, nel caso di paratie, si possono dare le seguenti indicazioni di massima: CASO A. PARATIE A MENSOLA o MONOANCORATE di carattere provvisorio, non direttamente

interferenti con altri manufatti (Figura 6-2): si può adottare il criterio di M-O dopo avere stimato l’entità dell’accelerazione come per un muro di sostegno assai deformabile (ad esempio, seguendo le indicazioni del paragrafo 3.1.1, si potrà adottare, di solito, r=2): può essere questo il caso di pareti di sostegno provvisorio di scavo in un’area di cantiere libera, oppure opere di sostegno di moli o argini fluviali, anche se in questo caso, in presenza di terreni incoerenti saturi, si dovrà assumere r=1.

CASO B. PARATIE SEMPRE ANCORATE TRAMITE TIRANTI ATTIVI: in genere anche nel caso di paratie multiancorate, a monte dello scavo la spinta del terreno nel suo complesso è molto prossima alla spinta attiva. Inoltre, se a lungo termine ci si affida a tiranti attivi, la loro grande deformabilità assicura il perdurare di condizioni attive anche in caso di sisma. Si adotteranno quindi le spinte valutate con il criterio di M-O, ma con un’accelerazione sismica più severa rispetto al caso a mensola: seguendo le indicazioni del paragrafo 3.1.1, risulterà, di solito, r=1. Nel caso di sistemi di tirantatura di grandissima entità (es. in Figura 6-3), necessari ad assicurare deformazioni limitatissime, come, ad esempio, nel caso di pareti interagenti con opere in elevazione di grande rilievo, le spinte a monte possono anche superare le spinte a riposo: in situazioni del genere, devono essere applicate le pressioni secondo Wood, a meno che non si ritenga opportuno effettuare analisi più complesse.

23 Linea TAV Milano-Bologna, banchina fluviale di servizio per la costruzione del ponte strallato d’attraversamento del Po presso Piacenza (progetto Ce.A.S., per Grandi Lavori Fincosit) 24 Casinò di Campione d'Italia - opere di contenimento delle terre con tiranti permanenti: progetto eseguito da Keller, da ,��&-..///3� �!�+�$"�#��$��.�!�� !��,��

Figura 6-2: una palancola flessibile 23

Figura 6-3: muro di contenimento con tiranti permanenti24

http://www.keller-fondazioni.com/Progetti-Soilcrete.htm

http://www.keller-fondazioni.com/Progetti-Soilcrete.htm

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CASO C. PARATIE ANCORATE TRAMITE TIRANTI ATTIVI SOLO IN VIA PROVVISORIA (Figura 6-4): per la verifica nelle fasi transitorie, si potrà operare come nel CASO B; in via definitiva generalmente la parete assume una configurazione molto più rigida e, per questo, è più opportuno valutare le spinte a lungo termine secondo il metodo Wood (in tal caso il coefficiente r perde di significato)

CASO D. PARETI CONTRASTATE DA PUNTONI

PASSIVI: in situazioni del genere (Figura 6-5), è difficile stabilire a priori il grado di mobilitazione della spinta attiva, mentre molto spesso le spinte sono prossime a quelle in condizioni di riposo (specie per scavi di piccola luce) che richiedono, per coerenza, di applicare le sovraspinte secondo il metodo di Wood.

La verifica sismica, con metodi semplici, di un’opera come una paratia è quindi un’operazione con qualche margine di arbitrarietà. D’altra parte possono farsi alcune considerazioni tranquillizzanti, tra l’altro suffragate da osservazioni e studi numerici, sui pochi, per altro, casi storici disponibili (Anastasopoulos et al. (2004)) :

• frequentemente, a fine costruzione, la paratia è contrastata dalle strutture interne “rigide” contrastate da solette disposte con cadenza non eccessiva (solitamente non superiore a 3-4 m). A lungo termine, salvo caso particolari, molto spesso si ricade nel caso in cui vale il metodo di Wood, molto semplice da modellare.

• Spesso, a fine costruzione, la paratia perde in tutto o in parte la propria funzione statica: pensiamo ad

una berlinese o una palancola.

• Nella maggioranza dei casi, il calcolo di una paratia con vincoli cedevoli è quindi relegato a condizioni transitorie di breve durata, per le quali è legittimo chiedersi se sia il caso di prevedere una verifica sismica. A tale proposito né l’Ordinanza 3274, né l’EC8 né NTC 2005 danno indicazioni relative a condizioni di breve o brevissima durata. In linea di massima si potrebbe operare come previsto per i ponti, definendo azioni sismiche per situazioni transitorie, tarate su eventi con periodi di ritorno < 475 anni.

25 realizzazione di un parcheggio a Milano, in piazzale Loreto (progetto Ce.A.S., per Impresa Quadrio Curzio) 26 Linea TAV Milano-Bologna, pozzo per la costruzione delle fondazioni di pile del ponte strallato d’attraversamento del Po presso Piacenza (progetto Ce.A.S., per Grandi Lavori Fincosit)

Figura 6-4: diaframmi con tiranti provvisori 25

Figura 6-5: pozzo di palancole con contrasti interni rigidi 26

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69

6.4 Calcolo di paratie con il metodo di Mononobe e Okabe In breve, si propone la seguente procedura TERRENO A MONTE (RILEVATO SOSTENUTO DALLA PARETE):

1. si calcola la spinta attiva in condizioni statiche (SA,S)

2. si calcola la quota parte efficace di spinta sismica Ed dovuta alla terra:

SA,E= ½ γ* × (1±kv )×KA,sismico ×H² in cui:

γ* = peso del terreno, definito nel §3.3 KA,sismico = coefficiente di spinta attiva (funzione di kh = γΙ×S ag/r , kv=0.5kh, nonché della presenza o meno di acqua di falda, includendo eventualmente δ, come descritto in §3.3)

Nel caso di terreno eterogeneo, la spinta attiva si calcola considerando la variabilità di KA,sismico. Nel caso di terreno, pur omogeneo, ma parzialmente in falda, si suggerisce di adottare la relazione (3-9).

3. si calcola l’incremento di spinta dovuto alla terra in caso di sisma (componente efficace):

∆SA= SA,E - SA,S Come viene distribuita questa spinta? Nel caso di paratie, si potrebbe considerare una distribuzione che abbia una risultante nello stesso punto della risultante delle spinte statiche, tuttavia non è assurdo assumere che tale azione si distribuisca uniformemente sulla parete, il che equivale ad applicare un carico uniformemente distribuito pari a:

q = ∆SA / H

Tale ipotesi può essere piuttosto gravosa, soprattutto per i tiranti superficiali: se le rotazioni della parete sono significative, può essere lecito considerare una distribuzione crescente verso il basso, simile a quella della spinta attiva statica. Per un calcolo di massima della sovrappressione sismica secondo M-O, nel caso di terreno secco, è possibile utilizzare, in prima battuta, le semplicazioni proposte da Seed e Whitman (1970), secondo i quali l’incremento dinamico del coefficiente di spinta attiva è approssimabile dalla seguente espressione KA,sismico= KA,statico + ∆KA,sismico con ∆KA,sismico≅ 0.75 kh (espressione valida per φ'=35°)

4. Se il terreno è dinamicamente permeabile (permeabilità k>5×10-4 m/sec), si calcola l’incremento di spinta dell’acqua per il caso di sisma:

Εwd= 2

wh H'γk127

questa spinta viene distribuita usando la seguente distribuzione (da monte verso valle): qwd(z)= zH'γk8

7wh ⋅±

con z = quota del generico punto rispetto la base della parete- Da moltiplicare per γΙ.

NB: avendo applicato le azioni ∆SA , i coefficienti di spinta attiva non vanno ridefinite a monte TERRENO A VALLE (CUNEO IN SPINTA PASSIVA)

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70

In realtà il cuneo di valle non è quasi mai in condizioni limite. Non ha quindi senso seguire una procedura simile a quella da usare per le spinte a monte. Si può operare come segue:

1. Si valuta il coefficiente di spinta passiva KP,sismico con le formule di M-O, in funzione di kh = γΙ×S

ag/r , kv=0.5kh, nonché della presenza o meno di acqua di falda, ponendo δ=0° ; in alternativa è possibile utilizzare i valori discussi nel §3.2.2

2. si sostituisce KP,sismico a quello statico utilizzato nella simulazione delle fasi statiche. In realtà il coefficiente da introdurre è

KP,sismico× (1±kv)

Risulterà in genere KP,sismico << KP,statico, specie se si decide di adottare il valore di M-O con angolo δnullo.

3. Se il terreno è dinamicamente permeabile (permeabilità k>5×10-4 m/sec), si calcola l’incremento di spinta dell’acqua caso di sisma:

Εwd= 2

wh H'γk127

questa spinta va distribuita usando la seguente distribuzione : qwd(z)= zH'γk8

7wh ⋅±

con z = quota del generico punto rispetto la base della parete: tale distribuzione va applicata nel modo più gravoso, solitamente ancora da monte verso valle - Da moltiplicare per γΙ

OSSERVAZIONI 1. Poiché le condizioni sismiche sono uno stato limite ultimo (SLU), l’angolo d’attrito (e di conseguenza i

coefficienti di spinta) andrà ridotto secondo il criterio:

tg (ø’d) = tg (øk’) / 1.25 avendo assunto un coeff. γM=1.25

Quanto al coefficiente moltiplicativo delle azioni, l’introduzione del coefficiente d’importanza γΙvariabile da 1.0 ad 1.4 è in accordo complessivo con la richiesta di un coeff. moltiplicativo delle azioni temporanee variabili pari a 1.30 richiesto da EC8.

2. Tutte le azioni qui descritte possono essere applicate al modello di PARATIE come carichi esterni.

6.5 Calcolo di paratie con il metodo di Wood Una volta scelta l’accelerazione sismica di calcolo e stabilita la configurazione nella quale considerare la sollecitazione sismica, è sufficiente applicare, da monte verso valle, una distribuzione di pressioni costanti, calcolate secondo i metodi esposte nel §3.6. Si raccomanda soltanto che la fase in cui siano applicate le sollecitazioni sismiche corrisponda all’ultimo passo dell’analisi.

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Si ricorda ancora che la teoria di Wood conduce a sollecitazione assai gravose ed è verosimile solo per paratie di modesta altezza o comunque vincolate lateralmente tramite idonee strutture di contrasto poste ad interassi limitati (ad esempio i solai di un parcheggio multipiano interrato).

6.6 PROCEDURA STEP BY STEP PER IL CALCOLO CONVENZIONALE AGLI SLU DI PARATIE

Riassumendo quanto discusso nei precedenti paragrafi , si può delineare la seguente procedura generale

STEP 1 definire le proprietà di resistenza caratteristiche Xk: nel caso di terreni granulari, caratterizzare la resistenza attraverso l’angolo d’attrito φ'k. In pratica tale valore va inteso come quello indicato dallo specialista nella Relazione Geotecnica. Calcolare i coefficienti di spinta limite Ka (φ'k) e KP (φ'k).

STEP 2 calcolare le resistenze di progetto Xd, cioè, in genere, l’angolo d’attrito φd dalla relazione

tan (φ'd)= tan (φ'k)/1.25

calcolare i coefficienti di spinta limite Ka (φ'd) e KP (φ'd)

STEP 3 eseguire il calcolo della paratia, per fasi successive, , in cui:

- si includono le resistenze caratteristiche Xk ( STEP 1) - non si considera l’azione sismica - si considerano i pesi, i sovraccarichi ecc. con il loro valore caratteristico (non

fattorizzato da alcun coeff. > 1) I risultati di questo calcolo corrispondono ad un usuale calcolo agli SLS. Questo calcolo va utilizzato in particolare per - controllare la deformabilità della parete. - eseguire le verifiche a fessurazione negli elementi resistenti in cemento armato - verificare l’adeguatezza dei tiranti

STEP 4 fattorizzare gli effetti delle azioni del calcolo eseguito allo STEP 3 (azioni interne nelle paratie, nei puntoni e nei tiranti), per i coefficienti γF secondo l’ APPROCCIO 1 , COMBINAZIONE 1 (Tabella 1-1 oppure Tabella 1-2) e comunque in accordo con EC7 oppure NTC 2005: si otterrà in questo modo un primo set di azioni allo SLU.

STEP 5 analizzare le spinte sulla parete a monte, nella configurazione finale (o in tutte le

configurazioni nelle quali si intende procedere alla verifica sismica).

- se a monte della paratia è stata mobilita la spinta attiva, per lo meno in buona percentuale e se i supporti laterali non sono eccessivamente rigidi, calcolare le sovraspinte sismiche secondo in criteri indicati nel paragrafo 6.4, adottando le resistenze del terreno di progetto Xd (determinate allo STEP 2), ed in funzione del coefficiente d’importanza γI assegnato.

- se a monte della paratia non è stata mobilitata in modo significativo la spinta attiva e se

i supporti laterali sono sufficientemente rigidi, calcolare le sovraspinte sismiche secondo in criteri indicati nel paragrafo 6.5, in funzione del coefficiente d’importanza γIassegnato. In questo caso, le sovraspinte non dipendono dalle resistenze del terreno.

STEP 6 eseguire il calcolo della paratia, per fasi successive, secondo lo schema relativo

all’APPROCCIO 1 , COMBINAZIONE 2 (Tabella 1-1 oppure Tabella 1-2) in cui:

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- si includono le resistenze di progetto Xd- si considera l’azione sismica, nella fase (o nelle fasi) più significativa a lungo termine,

che si applica come uno o più carichi distribuiti - si considerano i pesi ed i sovraccarichi permanenti, con il loro valore caratteristico - eventuali sovraccarichi accidentali vanno ridotti (o trascurati) a seconda delle indicazioni

della Normativa - si applicano le eventuali azioni orizzontali sismiche trasmesse da altre strutture alla

parete, compresa l’azione d’inerzia prodotta dalla massa stessa della parete di sostegno

STEP 7 costruire l’inviluppo delle azioni allo S.L.U. negli elementi strutturali (paratie, puntoni, solette, tiranti), includendo il set di azioni calcolate allo STEP 4 ed allo STEP 6.

STEP 8 verificare l’idoneità della configurazione prevista e, se necessario, modificare il progetto: in

questo caso ripercorre i passi dallo STEP 3.

STEP 9 verificare la resistenza allo SLU dei tiranti, secondo le indicazioni di EC7 oppure di di NTC 2005.

Oltre al calcolo sismico agli SLU relativo allo STEP 5, potrebbe essere necessario considerare altre combinazioni, sempre allo SLU, con altri coefficienti: ovviamente la cosa è da valutarsi caso per caso. Diversi passi di questa procedura sono agevolati dall’interfaccia utente di PARATIE, utilizzando, ad esempio, la possibilità di costruire l’inviluppo dei risultati derivanti da analisi differenti.

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73

7 IL METODO DI CALCOLO AUTOMATICO DI PARATIE

7.1 Premessa In alternativa all’introduzione di azioni esterne aggiuntive, PARATIE propone una procedura semiautomatica per il calcolo sismico di opere di sostegno flessibili. La procedura intende avvalersi dello schema logico d’interazione terreno-struttura per istituire una sorta di raccordo fra le due situazioni di spinta estreme (M-O e Wood) indotte da un sisma. La validità della proposta è in corso di valutazione tramite una serie di sperimentazioni, perlopiù numeriche, di confronto con altri metodi più sofisticati come, ad esempio, modellazioni numeriche bidimensionali alle differenze finite con il programma FLAC (Itasca (2002)) Va sottolineato che questa proposta intende migliorare il calcolo delle paratie con un approccio molto semplice, rimanendo nell’ambito del metodo pseudo-statico: proprio per questo motivo, i confronti sono da farsi con calcoli più sofisticati, ma comunque sempre di tipo statico. Ha quindi scarso significato confrontare i risultati di PARATIE con quelli ottenuti tramite analisi dinamiche vere e proprie condotte secondo le tecniche brevemente illustrate nel capitolo 4. Benché il metodo automatico proposto da PARATIE renda di fatto molto semplice il calcolo, riducendo al minimo i calcoli manuali per la preparazione dei dati di input richiesti invece dai metodi basati sull’introduzione di azioni aggiuntive, si raccomanda tuttavia di valutare con estrema cautela i risultati che questo metodo produce, specie nelle prime occasioni del suo utilizzo.

7.2 La procedura automatica passo dopo passo L’idea di base è la seguente. Consideriamo una porzione di terreno dal lato di monte della paratia, in condizioni di equilibrio statico nella configurazione raggiunta al termine dello scavo oppure nella fase intermedia critica in corrispondenza della quale si pensa intervenga l’azione sismica. Nel brevissimo lasso di tempo che intercorre tra l’intervento dell’azione sismica e la risposta dell’insieme terreno-parete, possiamo pensare che le deformazioni incrementali siano trascurabili. Questo breve lasso di tempo, difficilmente valutabile, può essere assimilato, con grande approssimazione, alla prima iterazione del metodo di Newton Raphson in base al quale PARATIE cerca di determinare, la soluzione conforme con la nuova sollecitazione imposta.

L’argomento di questo capitolo costituisce tuttora materia di sviluppo da parte di Ce.A.S. S.r.l., al momento del rilascio della versione 6.2 di PARATIE. Le opzioni qui di seguito discusse non saranno pertanto disponibili nel codice distribuito agli utenti nel luglio del 2006 ma potranno essere inserite, anche con diverse modalità rispetto a quelle qui di seguito delineate, nella prossima versione.

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Ne consegue che, per questo breve periodo transitorio, la sollecitazione sismica può essere assimilata alla spinta che si determinerebbe su un muro rigido, spinta per la quale è disponibile, ad esempio, la soluzione di Wood27.

Il successivo sviluppo di deformazioni addizionali deve tuttavia consentire una diminuzione di questa sollecitazione, fino a che, esattamente come nel caso statico, non si determinino condizioni d’equilibrio limite al di sotto di cui le spinte non possono scendere. Quindi, in estrema sintesi, è pensabile di operare nel seguente modo:

1. relativamente ad ogni molla di monte, congelando momentaneamente le deformazioni, è applicato un incremento di sforzo orizzontale efficace pari a quello fornito dalla teoria di Wood: poiché questo è un incremento di sforzo a deformazione nulla, può essere assimilato ad una coazione anelastica;

2. all’iterazione successiva, è rimosso il vincolo sull’incremento di deformazione e,

contemporaneamente, è ridefinito il limite attivo, portandolo dal valore statico a quello dinamico.

Il processo iterativo farà in modo che la coazione, impressa alla prima iterazione, si sfoghi in modo più o meno rilevante in funzione dell’elasticità del sistema e delle deformazioni incrementali, assicurando tuttavia che la spinta non scenda al di sotto del valore limite attivo sismico di M-O. In Figura 7-1 sono riportati alcuni stress path percorsi da elementi molla a monte di una parete, all’atto dell’applicazione delle sollecitazioni sismiche con il metodo automatico. Percorso A-B-C-D: corrisponde al

caso di un elemento di terreno che, pur soggetto ad un allentamento verso valle (∆<0), prima del sisma è in fase elastica (punto A); l’applicazione della coazione, cioè dell’incremento di sforzo a deformazione nulla, è rappresentata dal segmento A-B; il successivo rilascio elastico è il tratto B-C mentre la deformazione plastica una volta raggiunta la nuova condizione limite attiva sismica è il segmento C-D. Si osservi che, a parità di sforzo verticale efficace, la condizione limite di minima spinta aumenta rispetto al caso statico.

Percorso E-F-G-H: corrisponde al caso di un elemento terreno già in condizioni di spinta attiva statica (punto

E); l’applicazione della coazione è rappresentata dal segmento E-F, che determina un temporaneo ritorno in fase elastica; il successivo rilascio elastico è il tratto F-G mentre la deformazione plastica una volta raggiunta la nuova condizione limite attiva sismica è il segmento G-H.

Percorso I-J-K: corrisponde al caso di un elemento terreno che, pur trovandosi dal lato di monte, ha subito

una compressione (∆>0, punto I); l’applicazione della coazione è rappresentata dal segmento I-J,ed il successivo rilascio elastico è J-K.

Il calcolo delle condizioni limite attive sismiche è fatto in accordo con i criteri esposti nel §3.4, utilizzando in particolare l’espressione (3-9), nella quale tuttavia lo sforzo verticale efficace σ’v tiene conto anche del 27 Si può obiettare che la massima accelerazione applicata staticamente corrisponda al valore di picco che interviene, in genere, dopo qualche secondo dall’inizio del sisma e che quindi la parete, specie se il terreno è granulare e secco, possa deformarsi progressivamente. Tuttavia l’approssimazione introdotta in questo approccio è certamente cautelativa perché massimizza la sollecitazione iniziale.

Spinta attiva statica

Spinta passiva

∆pd

Spinta attiva Sismica (M-O)

∆

σ’h

A

B

CD

E

FG

H

I

J

K∆pd

∆pd = coazione (Wood) alla 1^ iterazione

∆=deformazione della molla, positiva se comprime la molla σ’h

∆

Figura 7-1: alcuni stress path di elementi molla di monte in accordo con la procedura sismica automatica di PARATIE

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sovraccarico e degli eventuali effetti di fondazioni nastriformi valutati secondo la normale procedura implementata nel codice. Nel caso in cui sia prescritto un coefficiente d’incremento dinamico delle pressioni neutre ru inteso come rapporto fra la sovrappressione interstiziale ue e lo sforzo verticale efficace, il valore di ( )z'

Vσ introdotto nelle (3-9), è valutato stimando ue sulla base dello sforzo verticale efficace ( )z'

0,Vσ precedente all’applicazione del sisma e quindi ricalcolando il nuovo valore sulla base delle nuove pressioni interstiziali; in altri termini la procedura è la seguente:

( )

( ) ( ) )z(uzz)z(u)z(u)z(u

zr)z(u

v'V

e0

'0,Vue

−σ=σ+=

σ⋅=

il ché equivale a porre

( ) ( ) ( )u'

0,V'V r1zz −⋅σ=σ

Va osservato che il decremento di sforzo verticale

( ) ( )zrz '0,Vu

'V σ⋅−=σ∆

determina anche un decremento elastico dello sforzo orizzontale efficace, secondo la procedura standard prevista da PARATIE (Ce.A.S, 2006) Non è considerata invece la distribuzione delle sovrappressioni dinamiche alla Westergaard, che deve essere eventualmente aggiunta dall’utente come carico esterno28.

Devono inoltre essere applicate dall’esterno le azioni d’inerzia associate alla massa della parete. Nel caso di modello CLAY, per la simulazione del comportamento di argille in condizione drenate o non drenate, la procedura può essere attivata solo se si assume un comportamento non drenato: in tal caso la coazione di Wood determina un incremento dello sforzo orizzontale totale, a sforzo verticale totale costante; le variazioni di pressioni interstiziali sono, in questo caso, determinate in base al comportamento complessivo del legame costitutivo, esattamente come nel caso statico. La penalizzazione dei limiti attivi o passivi è introdotta ridefinendo i parametri di spinta efficaci (che comunque governano il criterio di rottura anche nel comportamento non drenato) assumendo, per la parte al di sotto dell’eventuale freatica, i valori attivi o passivi relativi al caso di terreno saturo dinamicamente impermeabile. In una situazione del genere non va applicata la sovraspinta dinamica di Westergaard. Riguardo alle molle di valle, sia per terreni granulari che per argille in condizioni non drenate, la procedura implementata prevede 28 Le sovrappressioni alla Westergaard non sono applicate automaticamente da PARATIE perché la scelta dell’altezza del tratto di parate interessato da tale fenomeno potrebbe dare adito a dubbi od assunzioni arbitrarie. Inoltre, in modo convenzionale, tali eventuali sovrappressioni non sono comunque considerate nel calcolo degli sforzi efficaci: anche questa è una regione che suggerisce di lasciare all’utilizzatore l’applicazione di questo effetto tramite una distribuzione di carichi esterni.

RIDEFINIZIONE RESISTENZA PASSIVA

APPLICAZIONE COAZIONI INIZIALI

+

RIDEFINIZIONE LIMITE ATTIVO

Figura 7-2: rappresentazione sintetica della procedura sismica di PARATIE

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la semplice sostituzione dei coefficienti di spinta passiva con i corrispondenti valori sismici, che sono ridefiniti da PARATIE in accordo con i valori discussi nel §3.2.2. Anche in questo caso deve essere eventualmente aggiunta dall’utente, tramite carichi esterni, la distribuzione delle sovrappressioni dinamiche alla Westergaard, in modo tale da assicurare la condizione di carico più gravosa ai fini della stabilità complessiva della parete (vedi la discussione dell’esempio 3-3). La Figura 7-2 riassume la procedura.

È possibile osservare come questo modo di procedere permetta di sollecitare sismicamente tutte le tipologie di parete lasciando all’algoritmo di calcolo la valutazione dell’azione sismica intermedia fra le due ipotesi estreme; nel caso di parete molto flessibile, l’applicazione della spinta di M-O è comunque garantita, in linea, per tutto quanto detto in precedenza, con le ipotesi usuali adottate nella grande maggioranza dei casi pratici. Nel caso di pareti per le quali, precedentemente al sisma, non si erano instaurate condizioni limite, questo algoritmo consente in ogni caso di sollecitare il sistema. La ridistribuzione delle azioni iniziali è condotta utilizzando le rigidezze statiche, il ché è certamente un’approssimazione che rende tuttavia il calcolo coerente con le analisi statiche. Infine, accettando le approssimazioni dell’algoritmo, il metodo permette di studiare anche pareti che sostengono scavi in terreni coesivi, in condizioni non drenate, cosa non possibile con un’applicazione del metodo di M-O.

VALLE : ZONA PASSIVA MONTE: ZONA ATTIVA

β

β

kh

kv,monte

kv,valle

top elev.

top elev. value

bottom elev.

bottom elev. value

COAZIONI INIZIALI δ

δ

−0.50 ≤ β/φ ≤ + 0.50

I dati del preprocessor sono introdotti con i comandi eqk e wood che hanno la forma:

eqk kh kvUh kvDh BetaUH Delta/FIUH BetaDH Delta/FIDH Kflag Ruwood Pbott Ptop Zbott Ztop

↓↓

BetaUH Delta/FIUH BetaDH Delta/FIDH : vedi figura Kflag(0->Impermeabile; 1->Permeabile) Ru = parametro pressione neutra ( 0 < Ru < 1) : default 0 Pbott Ptop Zbott Ztop= vedi figura Figura 7-3: dati di input per l’attivazione della procedura sismica di PARATIE

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Per contro, con questo metodo non è possibile imporre un punto d’applicazione della risultante delle sovrappressioni sismiche, la cui distribuzione dipende, per lo meno nelle condizioni di equilibrio limite, dalla distribuzione degli sforzi verticali efficaci e dall’andamento stratigrafico dei parametri di calcolo. Le istruzioni a PARATIE per attivare la procedura, anche se molto semplici e scarne (vedi Figura 7-3), consentono ampi spazi di manovra da parte dell’utente: ad esempio, le coazioni iniziali, che in questa trattazione sono state identificate con i valori forniti dalla teoria di Wood, possono essere assegnate in modo del tutto arbitrario e pertanto, ove si disponga di diverse valutazione, possono essere introdotti valori differenti29. Se, per esempio, si introducono valori nulli, PARATIE si limiterà a ridefinire i coefficienti di spinta attiva e passiva in accordo con i valori di accelerazione kh e kv forniti: in altre parole, la perturbazione al sistema provocata dal sisma sarà rilevante solo se il terreno di monte è già in condizioni limite attive. Il calcolo con le azioni sismiche è solo una parte delle verifiche da effettuarsi sulla parete, nell’ambito degli stati limite ultimi; nel complesso la procedura da seguire è ancora quella delineata nel §6.6, solo che la decisione circa l’utilizzo del metodo di M-O piuttosto che Wood non è più necessaria: in pratica lo STEP 5 di quella procedura è da considerarsi implicito nell’uso dell’algoritmo automatico.

8 Esempi Esempi di calcolo sismico di paratie svolti utilizzando i metodi qui esposti sono contenuti nel manuale CALCOLO SISMICO DI PARATIE: ESEMPI

29 cfr. ad esempio Psarropoulos et al. (2005) per una discussione sulle spinte di natura elastica e sulle distribuzioni convenzionali diverse dalla teoria di Wood, indicate dalle Raccomandazioni greche Regulatory Guide E39/93 (1998).

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81

APPENDICE 1

COEFFICIENTI DI SPINTA PASSIVA SECONDO SOUBRA (2000)

CUNEO PASSIVO Materiale granulare caratterizzato

da un angolo d’attrito ø

β>0

kh

δ

Notazione Avvertenze:

• i valori sono stati calcolati utilizzando la formulazione di Soubra (2000) che richiede un processo di minimizzazione di una funzione a più variabili; per la maggior parte i valori corrispondono alla soluzione ottenuta attraverso l’effettivo processo di minimizzazione, concluso con successo; tuttavia alcuni valori sono interpolazioni manuali a posteriori corrispondenti a situazioni per le quali l’algoritmo numerico non ha raggiunto la convergenza alla soluzione;

• i valori omessi indicano situazioni per le quali la resistenza passiva è sostanzialmente esaurita, come,

ad esempio, nel caso di basso angolo d’attrito e forte accelerazione sismica. In questo caso l’algoritmo numerico non ha prodotto una soluzione accettabile;

• trattandosi di valori determinati per mezzo di un approccio cinematico nell’ambito dell’analisi limite,

sono da ritenersi stime per eccesso dei valori reali. Per questo motivo si raccomanda una opportuna cautela, specie nella valutazione dei parametri φ e δ ai cui i coefficienti Kp sono associati;

• per ottenere parametri corrispondenti ai valori tabulati, si raccomanda di interpolare linearmente sia

fra i valori tabulati, sia fra i loro logaritmi naturali e quindi assumere come valore di calcoli il minimo tra i due valori derivati ( tale metodo, sperimentato con successo dagli scriventi nel caso dei valori di Soubra (2000), è suggerito anche da Subba Rao e Choudhury (2005) ed è adottato da PARATIE nell’ambito della procedura sismica automatica descritta nel cap. 7).

��

82

β/φ -0.520 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 1.55 1.61 1.67 1.74 1.8 1.87 1.93 2 2.07 2.13 2.2 2.27 2.340.05 1.46 1.52 1.58 1.64 1.71 1.77 1.83 1.9 1.97 2.03 2.1 2.17 2.240.10 1.35 1.41 1.47 1.54 1.6 1.66 1.73 1.79 1.86 1.93 1.99 2.06 2.130.15 1.2 1.27 1.34 1.41 1.48 1.54 1.61 1.68 1.74 1.81 1.88 1.95 2.020.20 -- -- 1.15 1.25 1.33 1.4 1.47 1.55 1.62 1.69 1.75 1.82 1.890.25 -- -- -- -- -- 1.2 1.3 1.38 1.46 1.54 1.61 1.69 1.760.30 -- -- -- -- -- -- -- 1.12 1.26 1.36 1.45 1.53 1.610.35 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.2 1.32 1.420.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.110.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 1.73 1.82 1.92 2.02 2.13 2.25 2.37 2.5 2.64 2.79 2.95 3.12 3.30.05 1.6 1.69 1.79 1.89 2 2.11 2.23 2.35 2.49 2.63 2.78 2.94 3.120.10 1.46 1.55 1.65 1.74 1.85 1.96 2.07 2.19 2.32 2.46 2.6 2.76 2.930.15 1.27 1.37 1.47 1.58 1.68 1.79 1.9 2.02 2.15 2.28 2.42 2.57 2.730.20 -- -- 1.22 1.36 1.48 1.59 1.71 1.83 1.95 2.08 2.22 2.37 2.530.25 -- -- -- -- 0.75 1.32 1.47 1.6 1.73 1.87 2.01 2.15 2.310.30 -- -- -- -- -- -- -- 1.24 1.44 1.6 1.75 1.91 2.060.35 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.4 1.6 1.770.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.310.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 1.83 1.94 2.07 2.2 2.35 2.5 2.67 2.86 3.06 3.28 3.53 3.8 4.10.05 1.69 1.8 1.92 2.04 2.18 2.33 2.49 2.67 2.86 3.07 3.3 3.56 3.850.10 1.53 1.64 1.75 1.87 2.01 2.15 2.3 2.47 2.65 2.85 3.08 3.32 3.590.15 1.31 1.44 1.56 1.68 1.81 1.95 2.1 2.26 2.43 2.63 2.84 3.07 3.330.20 -- -- 1.27 1.43 1.57 1.72 1.87 2.03 2.2 2.38 2.58 2.8 3.050.25 -- -- -- -- -- 1.4 1.58 1.75 1.93 2.11 2.31 2.52 2.760.30 -- -- -- -- -- -- -- 1.33 1.58 1.79 1.99 2.21 2.440.35 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.55 1.82 2.060.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.480.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 1.93 2.07 2.23 2.4 2.59 2.8 3.03 3.29 3.58 3.91 4.29 4.73 5.230.05 1.78 1.91 2.06 2.22 2.4 2.6 2.82 3.06 3.34 3.65 4.01 4.42 4.90.10 1.6 1.73 1.87 2.03 2.2 2.38 2.59 2.82 3.09 3.38 3.72 4.11 4.550.15 1.36 1.51 1.65 1.8 1.97 2.15 2.35 2.57 2.82 3.09 3.41 3.78 4.20.20 -- -- 1.33 1.52 1.69 1.88 2.07 2.28 2.52 2.79 3.09 3.43 3.820.25 -- -- -- -- -- 1.51 1.73 1.95 2.19 2.45 2.73 3.06 3.430.30 -- -- -- -- -- -- -- 1.45 1.76 2.04 2.33 2.64 30.35 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.77 2.13 2.490.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 2.14 2.33 2.56 2.81 3.1 3.43 3.82 4.28 4.82 5.46 6.23 7.17 8.340.05 1.96 2.14 2.35 2.59 2.86 3.18 3.54 3.97 4.48 5.08 5.81 6.69 7.790.10 1.75 1.93 2.13 2.35 2.61 2.9 3.25 3.65 4.12 4.69 5.37 6.19 7.220.15 1.48 1.67 1.86 2.08 2.32 2.6 2.93 3.3 3.74 4.27 4.9 5.68 6.630.20 -- -- -- 1.73 1.98 2.26 2.56 2.92 3.33 3.82 4.41 5.13 6.020.25 -- -- -- -- -- 1.78 2.12 2.47 2.87 3.33 3.88 4.55 5.370.30 -- -- -- -- -- -- -- 1.78 2.27 2.74 3.27 3.89 4.650.35 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.43 3.1 3.830.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.550.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

φ

��

83

β/φ -0.420 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 1.65 1.73 1.81 1.89 1.98 2.07 2.16 2.25 2.35 2.46 2.56 2.67 2.790.05 1.56 1.64 1.72 1.8 1.88 1.97 2.06 2.16 2.26 2.36 2.46 2.57 2.690.10 1.46 1.54 1.62 1.7 1.79 1.87 1.96 2.06 2.15 2.25 2.36 2.47 2.580.15 1.34 1.43 1.51 1.59 1.68 1.76 1.85 1.95 2.04 2.14 2.25 2.35 2.470.20 1.16 1.28 1.37 1.46 1.55 1.64 1.74 1.83 1.93 2.03 2.13 2.24 2.350.25 -- -- 1.15 1.29 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.11 2.220.30 -- -- -- -- -- 1.3 1.43 1.54 1.65 1.76 1.86 1.98 2.090.35 -- -- -- -- -- -- -- 1.32 1.46 1.59 1.71 1.82 1.940.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.35 1.51 1.64 1.770.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.39 1.560.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 1.86 1.98 2.11 2.24 2.39 2.56 2.73 2.92 3.13 3.35 3.6 3.87 4.170.05 1.74 1.86 1.98 2.11 2.26 2.41 2.58 2.77 2.96 3.18 3.42 3.68 3.970.10 1.61 1.72 1.85 1.98 2.11 2.26 2.43 2.6 2.8 3.01 3.23 3.49 3.760.15 1.46 1.57 1.69 1.82 1.96 2.11 2.26 2.43 2.62 2.82 3.04 3.29 3.560.20 1.23 1.38 1.51 1.65 1.78 1.93 2.09 2.25 2.43 2.63 2.84 3.08 3.340.25 -- -- 1.22 1.42 1.57 1.73 1.89 2.05 2.23 2.43 2.63 2.86 3.110.30 -- -- -- -- 1.2 1.46 1.65 1.82 2.01 2.2 2.41 2.63 2.880.35 -- -- -- -- -- -- -- 1.52 1.73 1.94 2.15 2.38 2.620.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.59 1.85 2.09 2.340.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.7 1.990.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 1.98 2.12 2.29 2.46 2.66 2.88 3.12 3.39 3.69 4.03 4.41 4.85 5.350.05 1.84 1.99 2.14 2.31 2.5 2.71 2.94 3.19 3.48 3.81 4.17 4.59 5.070.10 1.7 1.83 1.98 2.15 2.33 2.53 2.75 2.99 3.27 3.58 3.93 4.33 4.790.15 1.52 1.66 1.81 1.97 2.14 2.33 2.55 2.78 3.04 3.34 3.68 4.06 4.50.20 1.27 1.44 1.6 1.76 1.94 2.12 2.33 2.56 2.81 3.09 3.41 3.78 4.20.25 -- -- 1.27 1.5 1.69 1.88 2.09 2.31 2.55 2.83 3.14 3.48 3.880.30 -- -- -- -- -- 1.57 1.8 2.03 2.27 2.54 2.84 3.17 3.550.35 -- -- -- -- -- -- -- 1.66 1.94 2.21 2.51 2.84 3.20.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.78 2.12 2.45 2.820.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.95 2.360.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.1 2.28 2.48 2.7 2.95 3.24 3.56 3.93 4.36 4.86 5.45 6.14 6.960.05 1.95 2.12 2.31 2.53 2.77 3.04 3.35 3.7 4.11 4.59 5.14 5.8 6.590.10 1.79 1.95 2.14 2.34 2.57 2.83 3.12 3.46 3.85 4.3 4.83 5.46 6.20.15 1.6 1.76 1.94 2.14 2.36 2.6 2.89 3.21 3.58 4 4.51 5.1 5.810.20 1.31 1.51 1.7 1.9 2.12 2.36 2.63 2.93 3.29 3.69 4.17 4.73 5.40.25 -- -- 1.33 1.6 1.83 2.07 2.34 2.64 2.97 3.36 3.81 4.35 4.980.30 -- -- -- -- 1.34 1.7 1.99 2.3 2.63 3 3.43 3.94 4.540.35 -- -- -- -- -- -- -- 1.84 2.21 2.59 3.01 3.5 4.070.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.04 2.5 2.99 3.540.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.33 2.920.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 2.33 2.58 2.86 3.18 3.56 4.01 4.54 5.18 5.94 6.87 8.02 9.46 11.290.05 2.16 2.39 2.66 2.97 3.33 3.76 4.26 4.86 5.59 6.47 7.56 8.93 10.670.10 1.97 2.2 2.45 2.74 3.08 3.49 3.96 4.53 5.22 6.05 7.09 8.39 10.030.15 1.75 1.97 2.21 2.49 2.82 3.2 3.65 4.18 4.83 5.62 6.6 7.82 9.380.20 1.42 1.67 1.93 2.2 2.52 2.88 3.31 3.81 4.42 5.17 6.09 7.24 8.710.25 -- -- 0.81 1.83 2.16 2.52 2.93 3.41 3.98 4.69 5.55 6.63 80.30 -- -- -- -- 1.54 2.04 2.47 2.94 3.5 4.16 4.97 5.98 7.270.35 -- -- -- -- -- -- -- 2.33 2.91 3.56 4.33 5.28 6.480.40 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.76 3.56 4.48 5.610.45 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.43 4.580.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

φ

��

84

β/φ -0.320 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 1.74 1.84 1.94 2.05 2.16 2.28 2.4 2.53 2.67 2.81 2.97 3.13 3.310.05 1.66 1.76 1.86 1.96 2.07 2.19 2.31 2.44 2.57 2.72 2.87 3.03 3.20.10 1.57 1.67 1.76 1.87 1.98 2.09 2.21 2.34 2.47 2.61 2.76 2.92 3.090.15 1.47 1.56 1.66 1.77 1.87 1.99 2.11 2.23 2.37 2.51 2.65 2.81 2.980.20 1.34 1.44 1.55 1.65 1.76 1.88 2 2.12 2.25 2.39 2.54 2.7 2.860.25 0.88 1.28 1.4 1.52 1.64 1.75 1.87 2 2.13 2.27 2.42 2.58 2.740.30 -- -- 1.13 1.34 1.48 1.61 1.74 1.87 2 2.14 2.29 2.45 2.610.35 -- -- -- -- 1.22 1.42 1.57 1.72 1.86 2 2.15 2.31 2.480.40 -- -- -- -- -- -- 1.32 1.52 1.68 1.84 2 2.16 2.330.45 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.44 1.64 1.82 1.99 2.170.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.58 1.79 1.980.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.49 1.750.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 1.99 2.14 2.3 2.48 2.67 2.89 3.13 3.39 3.68 4.01 4.38 4.8 5.270.05 1.88 2.02 2.18 2.35 2.54 2.75 2.98 3.23 3.51 3.83 4.19 4.59 --0.10 1.76 1.9 2.05 2.21 2.4 2.6 2.82 3.07 3.34 3.65 3.99 4.38 4.820.15 1.62 1.76 1.91 2.07 2.25 2.44 2.66 2.9 3.16 3.46 3.79 4.17 4.590.20 1.45 1.59 1.75 1.91 2.08 2.27 2.48 2.72 2.97 3.26 3.58 3.95 4.360.25 1.2 1.38 1.55 1.72 1.9 2.09 2.3 2.53 2.78 3.05 3.37 3.72 4.120.30 -- -- 1.21 1.48 1.69 1.88 2.09 2.32 2.56 2.84 3.14 3.48 3.870.35 -- -- -- -- 1.34 1.62 1.85 2.09 2.33 2.6 2.9 3.23 3.610.40 -- -- -- -- -- -- 1.5 1.8 2.07 2.34 2.64 2.97 3.330.45 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.71 2.03 2.35 2.68 3.040.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.86 1.97 2.34 2.710.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.86 2.320.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.12 2.31 2.51 2.74 2.99 3.28 3.61 3.98 4.4 4.89 5.46 6.13 6.920.05 2 2.18 2.37 2.59 2.83 3.11 3.42 3.78 4.19 4.66 5.21 5.86 6.620.10 1.86 2.03 2.22 2.43 2.67 2.93 3.23 3.58 3.97 4.43 4.95 5.57 6.310.15 1.7 1.87 2.06 2.26 2.49 2.74 3.03 3.37 3.74 4.18 4.69 5.28 5.990.20 1.51 1.69 1.87 2.07 2.29 2.54 2.82 3.14 3.51 3.93 4.41 4.99 5.660.25 -- 1.44 1.65 1.86 2.08 2.32 2.6 2.9 3.26 3.66 4.13 4.68 5.330.30 -- -- 1.26 1.58 1.82 2.07 2.34 2.65 2.99 3.38 3.83 4.36 4.980.35 -- -- -- -- 1.42 1.76 2.05 2.36 2.69 3.07 3.51 4.02 4.610.40 -- -- -- -- -- -- 1.63 2 2.36 2.74 3.16 3.66 4.230.45 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.91 2.34 2.77 3.26 3.820.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.29 2.8 3.360.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.17 2.820.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.26 2.48 2.73 3.02 3.34 3.72 4.15 4.66 5.26 5.97 6.83 7.87 9.150.05 2.12 2.34 2.57 2.85 3.16 3.52 3.93 4.42 5 5.68 6.51 7.51 8.740.10 1.97 2.18 2.41 2.67 2.96 3.31 3.71 4.18 4.73 5.38 6.17 7.13 8.310.15 1.8 2 2.22 2.47 2.76 3.09 3.47 3.92 4.45 5.08 5.83 6.75 7.880.20 1.59 1.79 2.01 2.26 2.54 2.85 3.22 3.65 4.15 4.76 5.48 6.35 7.430.25 0.85 1.51 1.76 2.01 2.29 2.6 2.95 3.36 3.85 4.42 5.11 5.95 6.980.30 -- -- 1.32 1.69 1.99 2.3 2.65 3.05 3.52 4.07 4.72 5.52 6.50.35 -- -- -- -- 1.52 1.93 2.3 2.7 3.15 3.68 4.31 5.07 6.010.40 -- -- -- -- -- -- 1.8 2.27 2.74 3.26 3.87 4.6 5.490.45 -- -- -- -- -- -- -- -- 2.18 2.76 3.37 4.07 4.930.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.93 2.74 3.47 4.310.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.63 3.570.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 2.52 2.82 3.17 3.58 4.06 4.64 5.34 6.19 7.24 8.54 10.19 12.3 15.060.05 2.36 2.65 2.98 3.37 3.83 4.38 5.05 5.86 6.87 8.12 9.7 11.72 14.360.10 2.19 2.46 2.78 3.15 3.59 4.11 4.75 5.53 6.48 7.68 9.19 11.13 13.660.15 1.99 2.25 2.55 2.91 3.33 3.83 4.44 5.18 6.09 7.22 8.66 10.51 12.930.20 1.74 2.01 2.3 2.65 3.05 3.53 4.1 4.81 5.67 6.75 8.12 9.88 12.190.25 -- 1.68 2 2.34 2.74 3.2 3.75 4.41 5.24 6.26 7.56 9.23 11.420.30 -- -- -- 1.95 2.36 2.82 3.35 3.99 4.77 5.74 6.97 8.55 10.620.35 -- -- -- -- -- 2.34 2.89 3.51 4.26 5.18 6.35 7.84 9.80.40 -- -- -- -- -- -- 2.22 2.92 3.67 4.56 5.67 7.08 8.920.45 -- -- -- -- -- -- -- -- 2.89 3.82 4.9 6.25 7.980.50 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.94 5.28 6.940.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.94 5.70.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --0.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

φ

��

85

β/φ -0.220 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 1.84 1.96 2.08 2.21 2.35 2.5 2.66 2.83 3.02 3.2 3.43 3.66 3.920.05 1.76 1.88 2 2.13 2.26 2.41 2.57 2.74 2.92 3.12 3.33 3.56 3.810.10 1.68 1.79 1.91 2.04 2.17 2.32 2.47 2.64 2.82 3.01 3.22 3.45 3.70.15 1.58 1.7 1.81 1.94 2.07 2.22 2.37 2.54 2.72 2.91 3.11 3.34 3.580.20 1.47 1.59 1.71 1.84 1.97 2.11 2.27 2.43 2.61 2.8 3 3.22 3.470.25 1.33 1.46 1.59 1.72 1.86 2 2.15 2.32 2.49 2.68 2.88 3.1 3.340.30 -- 1.27 1.44 1.58 1.73 1.88 2.03 2.2 2.37 2.56 2.76 2.98 3.20.35 -- -- -- 1.4 1.57 1.73 1.89 2.06 2.24 2.43 2.63 2.85 3.080.40 -- -- -- -- 1.33 1.55 1.73 1.91 2.1 2.29 2.49 2.71 2.940.45 -- -- -- -- -- -- 1.52 1.73 1.93 2.13 2.34 2.56 2.80.50 -- -- -- -- -- -- -- 1.46 1.73 1.95 2.17 2.4 2.680.55 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.48 1.72 1.97 2.22 2.520.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.36 1.7 2 2.360.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.4 1.68 2.130.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.12 2.3 2.5 2.72 2.97 3.25 3.56 3.92 4.32 4.78 5.31 5.92 6.640.05 2.02 2.19 2.38 2.6 2.84 3.11 3.41 3.76 4.15 4.59 5.11 5.71 6.40.10 1.9 2.07 2.26 2.47 2.7 2.96 3.26 3.59 3.97 4.4 4.9 5.48 6.160.15 1.77 1.94 2.12 2.33 2.55 2.81 3.09 3.42 3.78 4.21 4.69 5.26 5.910.20 1.62 1.79 1.97 2.17 2.4 2.64 2.92 3.24 3.59 4 4.47 5.02 5.660.25 1.43 1.62 1.81 2.01 2.23 2.47 2.74 3.05 3.4 3.79 4.25 4.78 5.40.30 -- 1.37 1.6 1.81 2.04 2.28 2.55 2.85 3.19 3.57 4.02 4.53 5.140.35 -- -- -- 1.56 1.82 2.07 2.34 2.63 2.96 3.34 3.77 4.28 4.860.40 -- -- -- -- 1.49 1.81 2.09 2.39 2.73 3.1 3.52 4.01 4.570.45 -- -- -- -- -- 0.92 1.78 2.12 2.46 2.83 3.25 3.72 4.270.50 -- -- -- -- -- -- -- 1.72 2.14 2.53 2.95 3.42 3.890.55 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.15 2.61 3.09 3.530.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.16 2.7 3.10.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.16 2.570.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.27 2.49 2.74 3.02 3.35 3.72 4.14 4.64 5.22 5.9 6.72 7.7 8.90.05 2.16 2.37 2.61 2.88 3.19 3.55 3.96 4.44 5 5.66 6.45 7.41 8.570.10 2.03 2.23 2.46 2.73 3.03 3.37 3.77 4.23 4.77 5.42 6.18 7.1 8.230.15 1.88 2.08 2.31 2.56 2.85 3.19 3.57 4.02 4.54 5.16 5.9 6.79 7.880.20 1.71 1.91 2.14 2.39 2.67 2.99 3.36 3.8 4.3 4.9 5.62 6.48 7.530.25 1.5 1.72 1.94 2.19 2.47 2.78 3.14 3.56 4.05 4.63 5.32 6.15 7.160.30 -- 1.44 1.71 1.96 2.24 2.55 2.91 3.31 3.79 4.35 5.01 5.81 6.790.35 -- -- -- 1.67 1.98 2.3 2.65 3.05 3.51 4.05 4.69 5.46 6.40.40 -- -- -- -- 1.6 1.98 2.35 2.75 3.2 3.73 4.35 5.1 6.010.45 -- -- -- -- -- 1.52 1.97 2.4 2.86 3.38 3.99 4.71 5.590.50 -- -- -- -- -- -- -- 1.91 2.45 2.99 3.6 4.3 5.070.55 -- -- -- -- -- -- -- -- 0.98 2.51 3.14 3.85 4.520.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.55 3.32 3.920.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.58 3.20.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.57

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.43 2.69 3 3.35 3.75 4.23 4.8 5.47 6.29 7.28 8.49 10.01 11.920.05 2.3 2.55 2.84 3.18 3.57 4.03 4.58 5.23 6.02 6.97 8.15 9.61 11.470.10 2.15 2.4 2.68 3 3.38 3.83 4.35 4.98 5.74 6.66 7.79 9.21 110.15 2 2.23 2.5 2.82 3.18 3.61 4.12 4.72 5.45 6.34 7.43 8.8 10.520.20 1.81 2.05 2.31 2.62 2.97 3.38 3.87 4.45 5.15 6.01 7.06 8.37 10.040.25 1.57 1.83 2.1 2.4 2.74 3.14 3.61 4.17 4.84 5.66 6.67 7.94 9.540.30 -- 1.51 1.83 2.14 2.48 2.87 3.33 3.87 4.52 5.3 6.28 7.49 9.030.35 -- -- -- 1.8 2.18 2.57 3.02 3.54 4.17 4.93 5.86 7.02 8.50.40 -- -- -- -- 1.73 2.2 2.66 3.18 3.79 4.53 5.42 6.54 7.950.45 -- -- -- -- -- -- 2.21 2.76 3.37 4.09 4.95 6.03 7.380.50 -- -- -- -- -- -- -- 2.17 2.87 3.6 4.44 5.48 6.780.55 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.02 2.98 3.86 4.88 6.130.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.09 4.18 5.420.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.2 4.570.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.26

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 2.72 3.07 3.49 3.99 4.59 5.32 6.22 7.33 8.73 10.5 12.8 15.81 19.840.05 2.57 2.91 3.31 3.79 4.36 5.07 5.93 7 8.34 10.05 12.27 15.18 19.070.10 2.4 2.73 3.11 3.57 4.12 4.8 5.63 6.65 7.95 9.59 11.73 14.53 18.290.15 2.22 2.53 2.9 3.34 3.87 4.52 5.31 6.3 7.54 9.12 11.17 13.87 17.490.20 2 2.31 2.67 3.09 3.6 4.22 4.98 5.93 7.12 8.63 10.6 13.19 16.670.25 1.73 2.05 2.41 2.82 3.31 3.9 4.63 5.54 6.67 8.13 10.01 12.5 15.830.30 -- 1.68 2.08 2.5 2.99 3.56 4.26 5.12 6.21 7.6 9.4 11.78 14.970.35 -- -- 1.9 2.09 2.6 3.17 3.85 4.68 5.72 7.04 8.76 11.03 14.090.40 -- -- -- -- -- 2.69 3.38 4.19 5.19 6.45 8.09 10.25 13.160.45 -- -- -- -- -- 1.13 2.77 3.61 4.59 5.81 7.37 9.43 12.20.50 -- -- -- -- -- -- -- 2.79 3.87 5.08 6.59 8.55 11.180.55 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.16 4.18 5.69 7.58 10.080.60 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 4.52 6.46 8.870.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 4.89 7.450.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 5.23

φ

��

86

β/φ -0.120 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 1.94 2.08 2.22 2.38 2.55 2.74 2.94 3.16 3.41 3.67 3.97 4.29 4.650.05 1.86 2 2.14 2.3 2.47 2.65 2.85 3.07 3.31 3.57 3.86 4.18 4.540.10 1.78 1.91 2.06 2.21 2.38 2.56 2.76 2.97 3.23 3.47 3.75 4.07 4.420.15 1.69 1.83 1.97 2.12 2.28 2.46 2.66 2.87 3.11 3.36 3.64 3.96 4.30.20 1.59 1.73 1.87 2.02 2.19 2.36 2.56 2.77 3 3.25 3.53 3.84 4.180.25 1.48 1.62 1.76 1.91 2.08 2.26 2.45 2.66 2.89 3.14 3.41 3.72 4.060.30 1.31 1.48 1.64 1.8 1.96 2.14 2.33 2.54 2.77 3.02 3.29 3.59 3.930.35 -- 1.27 1.48 1.66 1.83 2.02 2.21 2.42 2.65 2.89 3.17 3.47 3.80.40 -- -- -- 1.47 1.68 1.87 2.07 2.29 2.51 2.76 3.03 3.33 3.660.45 -- -- -- -- 1.46 1.7 1.92 2.14 2.37 2.62 2.89 3.19 3.520.50 -- -- -- -- -- 1.43 1.72 1.97 2.21 2.47 2.74 3.04 3.370.55 -- -- -- -- -- -- 0.98 1.75 2.03 2.3 2.58 2.89 3.220.60 -- -- -- -- -- -- -- -- 1.79 2.1 2.4 2.71 3.050.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.84 2.19 2.52 2.870.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 1.9 2.3 2.66

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.26 2.47 2.71 2.98 3.29 3.64 4.04 4.5 5.04 5.67 6.41 7.29 8.340.05 2.16 2.36 2.6 2.86 3.16 3.5 3.89 4.34 4.86 5.47 6.2 7.06 8.090.10 2.04 2.25 2.47 2.73 3.02 3.35 3.73 4.17 4.68 5.28 5.98 6.82 7.830.15 1.92 2.12 2.34 2.59 2.88 3.2 3.57 4 4.5 5.08 5.76 6.58 7.570.20 1.79 1.98 2.2 2.45 2.73 3.04 3.4 3.82 4.3 4.87 5.54 6.34 7.30.25 1.63 1.83 2.05 2.29 2.56 2.87 3.23 3.63 4.1 4.66 5.31 6.09 7.020.30 1.42 1.65 1.87 2.12 2.39 2.69 3.04 3.44 3.9 4.44 5.07 5.83 6.740.35 -- 1.37 1.66 1.92 2.19 2.5 2.84 3.23 3.68 4.21 4.83 5.56 6.470.40 -- -- 0.94 1.66 1.97 2.28 2.62 3.01 3.45 3.96 4.57 5.29 6.160.45 -- -- -- -- 1.66 2.02 2.38 2.76 3.2 3.71 4.3 5 5.850.50 -- -- -- -- -- 1.63 2.08 2.49 2.93 3.43 4.02 4.71 5.530.55 -- -- -- -- -- -- -- 2.15 2.63 3.13 3.71 4.39 5.190.60 -- -- -- -- -- -- -- -- 2.24 2.79 3.38 4.05 4.840.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.35 2.99 3.68 4.460.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.5 3.25 4.05

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.43 2.69 2.98 3.32 3.72 4.18 4.73 5.37 6.15 7.08 8.21 9.62 11.370.05 2.31 2.56 2.85 3.18 3.57 4.02 4.55 5.17 5.92 6.83 7.93 9.3 11.010.10 2.19 2.43 2.71 3.03 3.41 3.84 4.36 4.97 5.69 6.57 7.65 8.98 10.640.15 2.05 2.29 2.56 2.88 3.24 3.66 4.16 4.75 5.46 6.31 7.36 8.65 10.270.20 1.9 2.14 2.4 2.71 3.06 3.47 3.95 4.53 5.21 6.04 7.06 8.32 9.890.25 1.72 1.96 2.23 2.53 2.87 3.27 3.74 4.3 4.96 5.77 6.75 7.97 9.50.30 1.48 1.75 2.02 2.32 2.66 3.06 3.51 4.05 4.7 5.48 6.44 7.62 9.10.35 -- 1.43 1.77 2.09 2.43 2.82 3.27 3.8 4.42 5.18 6.11 7.25 8.70.40 -- -- -- 1.79 2.16 2.56 3 3.52 4.13 4.87 5.77 6.88 8.270.45 -- -- -- -- 1.8 2.25 2.71 3.22 3.82 4.54 5.41 6.49 7.840.50 -- -- -- -- -- 1.78 2.34 2.88 3.48 4.18 5.03 6.08 7.390.55 -- -- -- -- -- -- 1.02 2.46 3.09 3.79 4.63 5.65 6.920.60 -- -- -- -- -- -- -- -- 2.59 3.35 4.19 5.19 6.420.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2.77 3.68 4.68 5.890.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.01 4.1 5.31

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.6 2.91 3.27 3.69 4.19 4.79 5.51 6.39 7.46 8.8 10.47 12.62 15.40.05 2.47 2.77 3.12 3.53 4.02 4.6 5.29 6.14 7.18 8.48 10.11 12.2 14.910.10 2.33 2.62 2.96 3.36 3.83 4.39 5.07 5.89 6.9 8.16 9.74 11.77 14.40.15 2.19 2.47 2.79 3.18 3.63 4.18 4.83 5.63 6.6 7.82 9.36 11.33 13.890.20 2.02 2.29 2.61 2.99 3.43 3.95 4.58 5.35 6.3 7.48 8.97 10.88 13.360.25 1.82 2.1 2.42 2.78 3.21 3.72 4.33 5.07 5.99 7.13 8.57 10.42 12.830.30 1.55 1.86 2.19 2.55 2.97 3.46 4.06 4.78 5.66 6.76 8.16 9.95 12.280.35 -- 1.51 1.91 2.28 2.7 3.19 3.77 4.46 5.32 6.38 7.73 9.46 11.720.40 -- -- -- 1.94 2.39 2.88 3.45 4.13 4.96 5.99 7.29 8.96 11.140.45 -- -- -- -- 1.97 2.52 3.09 3.76 4.57 5.57 6.82 8.43 10.540.50 -- -- -- -- -- 1.96 2.66 3.35 4.15 5.12 6.33 7.89 9.920.55 -- -- -- -- -- -- 1.06 2.83 3.66 4.62 5.81 7.31 9.270.60 -- -- -- -- -- -- -- -- 3.05 4.06 5.23 6.69 8.580.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.33 4.57 6.01 7.850.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 3.7 5.23 7.05

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 2.92 3.33 3.83 4.43 5.16 6.06 7.19 8.61 10.43 12.79 15.92 20.1 25.850.05 2.77 3.17 3.65 4.23 4.93 5.81 6.9 8.27 10.04 12.33 15.36 19.43 25.010.10 2.61 3 3.46 4.02 4.7 5.54 6.59 7.93 9.63 11.85 14.79 18.74 24.160.15 2.44 2.81 3.25 3.79 4.45 5.26 6.28 7.56 9.21 11.36 14.2 18.03 23.30.20 2.24 2.61 3.04 3.56 4.19 4.97 5.95 7.19 8.78 10.86 13.61 17.31 22.420.25 2.02 2.37 2.8 3.3 3.91 4.66 5.61 6.8 8.34 10.34 12.99 16.57 21.510.30 1.7 2.1 2.52 3.01 3.61 4.34 5.24 6.39 7.87 9.8 12.36 15.82 20.590.35 -- -- 2.18 2.69 3.27 3.98 4.86 5.96 7.38 9.24 11.7 15.03 19.640.40 -- -- -- 2.26 2.88 3.58 4.43 5.5 6.87 8.65 11.02 14.22 18.660.45 -- -- -- -- 2.34 3.11 3.96 5 6.32 8.03 10.3 13.38 17.640.50 -- -- -- -- -- -- 3.38 4.43 5.71 7.36 9.54 12.5 16.590.55 -- -- -- -- -- -- 1.53 3.72 5.02 6.63 8.73 11.57 15.490.60 -- -- -- -- -- -- -- 1.26 4.15 5.79 7.84 10.57 14.330.65 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 4.72 6.82 9.47 13.090.70 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 5.49 8.22 11.72

φ

��

87

β/φ 020 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.04 2.2 2.37 2.56 2.77 3 3.25 3.54 3.85 4.2 4.6 5.04 5.550.05 1.97 2.12 2.29 2.48 2.69 2.91 3.16 3.44 3.75 4.1 4.49 4.93 5.430.10 1.89 2.04 2.21 2.39 2.6 2.82 3.06 3.34 3.65 4 4.38 4.82 5.310.15 1.8 1.96 2.12 2.31 2.51 2.73 2.97 3.24 3.55 3.91 4.27 4.7 5.190.20 1.71 1.86 2.03 2.21 2.41 2.63 2.87 3.14 3.44 3.77 4.15 4.58 5.060.25 1.61 1.76 1.93 2.11 2.31 2.53 2.77 3.03 3.33 3.66 4.03 4.46 4.940.30 1.48 1.65 1.82 2 2.2 2.42 2.66 2.92 3.21 3.54 3.91 4.33 4.80.35 1.29 1.5 1.69 1.88 2.08 2.3 2.54 2.8 3.09 3.42 3.79 4.2 4.670.40 -- 1.25 1.53 1.74 1.95 2.17 2.42 2.68 2.97 3.29 3.66 4.07 4.490.45 -- -- 1.32 1.56 1.8 2.03 2.28 2.55 2.84 3.16 3.52 3.93 4.390.50 -- -- -- 1.32 1.59 1.87 2.13 2.4 2.7 3.02 3.38 3.79 4.250.55 -- -- -- -- 1.26 1.64 1.95 2.24 2.54 2.87 3.23 3.64 4.10.61 -- -- -- -- -- 1.28 1.7 2.05 2.37 2.71 3.07 3.46 3.940.65 -- -- -- -- -- -- 1.45 1.78 2.17 2.53 2.9 3.31 3.770.70 -- -- -- -- -- -- -- 1.32 1.89 2.31 2.71 3.13 3.6

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.39 2.64 2.92 3.25 3.62 4.05 4.56 5.15 5.85 6.69 7.7 8.93 10.450.05 2.3 2.54 2.81 3.13 3.49 3.91 4.41 4.99 5.67 6.49 7.48 8.69 10.180.10 2.19 2.43 2.7 3 3.36 3.77 4.25 4.82 5.49 6.29 7.26 8.45 9.910.15 2.08 2.31 2.57 2.87 3.22 3.62 4.09 4.65 5.3 6.09 7.04 8.2 9.640.20 1.95 2.18 2.44 2.73 3.07 3.47 3.93 4.47 5.11 5.88 6.81 7.95 9.350.25 1.81 2.04 2.29 2.59 2.92 3.31 3.76 4.29 4.91 5.67 6.58 7.69 9.070.30 1.64 1.88 2.13 2.43 2.75 3.13 3.58 4.09 4.71 5.44 6.33 7.42 8.770.35 1.39 1.68 1.95 2.25 2.58 2.95 3.38 3.89 4.49 5.21 6.08 7.15 8.470.40 -- 1.4 1.73 2.04 2.38 2.75 3.18 3.68 4.27 4.97 5.83 6.87 8.160.45 -- -- 1.32 1.78 2.15 2.53 2.96 3.45 4.03 4.73 5.56 6.58 7.840.50 -- -- -- 1.32 1.85 2.27 2.71 3.21 3.78 4.46 5.28 6.28 7.520.55 -- -- -- -- 1.36 1.94 2.43 2.94 3.51 4.19 4.99 5.97 7.310.60 -- -- -- -- -- 1.49 2.05 2.62 3.21 3.89 4.68 5.64 6.830.65 -- -- -- -- -- -- 1.57 2.2 2.87 3.56 4.35 5.3 6.460.70 -- -- -- -- -- -- -- 1.66 2.41 3.17 3.98 4.93 6.08

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.58 2.88 3.23 3.64 4.12 4.69 5.37 6.2 7.2 8.44 9.98 11.94 14.450.05 2.47 2.76 3.1 3.5 3.97 4.53 5.19 5.99 6.97 8.18 9.69 11.61 14.070.10 2.35 2.64 2.97 3.36 3.81 4.35 5 5.79 6.74 7.92 9.4 11.27 13.680.15 2.22 2.5 2.83 3.2 3.65 4.18 4.81 5.57 6.5 7.66 9.1 10.93 13.290.20 2.08 2.36 2.67 3.04 3.47 3.99 4.6 5.35 6.26 7.38 8.79 10.58 12.880.25 1.92 2.2 2.51 2.87 3.29 3.79 4.39 5.12 6.01 7.1 8.48 10.22 12.470.30 1.73 2.01 2.33 2.68 3.1 3.59 4.17 4.88 5.74 6.81 8.15 9.86 12.050.35 1.45 1.79 2.12 2.48 2.89 3.37 3.94 4.63 5.47 6.51 7.82 9.48 11.620.40 -- 1.41 1.86 2.24 2.65 3.13 3.69 4.36 5.19 6.2 7.47 9.09 11.110.45 -- -- 1.48 1.93 2.38 2.87 3.42 4.08 4.89 5.88 7.12 8.69 10.730.50 -- -- -- 1.48 2.03 2.56 3.12 3.78 4.57 5.53 6.74 8.28 10.270.55 -- -- -- -- 1.6 2.15 2.78 3.44 4.22 5.17 6.35 7.85 9.790.60 -- -- -- -- -- 1.7 2.31 3.05 3.84 4.78 5.94 7.4 9.290.65 -- -- -- -- -- -- 1.65 2.53 3.4 4.35 5.5 6.93 8.770.70 -- -- -- -- -- -- -- 1.76 2.82 3.86 5.01 6.42 8.22

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.77 3.13 3.55 4.06 4.66 5.4 6.3 7.41 8.8 10.56 12.83 15.79 19.750.05 2.65 2.99 3.41 3.9 4.49 5.2 6.08 7.16 8.52 10.24 12.45 15.35 19.220.10 2.52 2.85 3.25 3.73 4.3 5 5.85 6.91 8.23 9.91 12.07 14.9 18.690.15 2.37 2.7 3.09 3.56 4.11 4.79 5.62 6.64 7.93 9.57 11.68 14.45 18.140.20 2.22 2.54 2.92 3.37 3.91 4.57 5.37 6.37 7.62 9.22 11.28 13.98 17.590.25 2.04 2.36 2.73 3.17 3.7 4.34 5.12 6.09 7.31 8.86 10.86 13.5 17.020.30 1.83 2.16 2.53 2.96 3.47 4.1 4.85 5.8 6.98 8.49 10.44 13 16.440.35 1.52 1.91 2.29 2.72 3.23 3.84 4.57 5.49 6.64 8.11 10 12.5 15.850.40 -- 1.49 2 2.45 2.96 3.56 4.28 5.17 6.28 7.71 9.55 11.98 15.240.45 -- -- 1.6 2.11 2.65 3.24 3.95 4.82 5.91 7.29 9.08 11.44 14.610.50 -- -- -- 1.51 2.24 2.88 3.6 4.45 5.51 6.86 8.6 10.89 13.970.55 -- -- -- -- 1.6 2.41 3.18 4.04 5.08 6.4 8.08 10.31 13.30.60 -- -- -- -- -- 1.6 2.63 3.57 4.61 5.9 7.54 9.7 12.610.65 -- -- -- -- -- -- 1.77 2.93 4.06 5.35 6.96 9.07 11.890.70 -- -- -- -- -- -- -- 1.86 3.34 4.72 6.33 8.39 11.13

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 3.12 3.6 4.18 4.89 5.77 6.86 8.26 10.05 12.38 15.46 19.63 25.34 33.370.05 2.98 3.44 4 4.69 5.54 6.61 7.97 9.71 11.98 14.99 19.05 24.63 32.480.10 2.83 3.27 3.82 4.48 5.31 6.35 7.66 9.36 11.57 14.5 18.46 23.91 31.580.15 2.66 3.09 3.62 4.27 5.07 6.07 7.35 9 11.14 14 17.86 23.17 30.660.20 2.48 2.9 3.41 4.04 4.81 5.79 7.03 8.62 10.71 13.48 17.24 22.42 29.720.25 2.28 2.69 3.19 3.79 4.54 5.49 6.69 8.23 10.26 12.95 16.6 21.64 28.770.30 2.03 2.45 2.94 3.53 4.26 5.17 6.33 7.83 9.79 12.4 15.95 20.85 27.790.35 1.67 2.15 2.65 3.24 3.95 4.83 5.96 7.41 9.3 11.84 15.27 20.04 26.780.40 -- 1.65 2.3 2.9 3.6 4.47 5.56 6.96 8.8 11.25 14.58 19.2 25.750.45 -- -- 1.6 2.47 3.21 4.06 5.13 6.48 8.26 10.63 13.86 18.33 24.690.50 -- -- -- 1.7 2.69 3.59 4.65 5.97 7.69 9.99 13.1 17.44 23.60.55 -- -- -- -- 1.8 2.97 4.09 5.4 7.08 9.3 12.31 16.5 22.470.60 -- -- -- -- -- 2.3 3.35 4.75 6.4 8.56 11.48 15.52 21.290.65 -- -- -- -- -- -- 2.4 3.86 5.62 7.75 10.58 14.49 20.070.70 -- -- -- -- -- -- -- 1.9 4.59 6.82 9.6 13.39 18.77

φ

��

88

β/φ 0.120 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.14 2.32 2.53 2.75 3 3.28 3.6 3.95 4.35 4.81 5.34 5.95 6.650.05 2.07 2.25 2.45 2.67 2.92 3.2 3.51 3.86 4.26 4.71 5.23 5.84 6.540.10 2 2.17 2.37 2.59 2.83 3.11 3.41 3.76 4.16 4.61 5.12 5.72 6.420.15 1.92 2.09 2.29 2.5 2.74 3.01 3.32 3.66 4.05 4.5 5.01 5.6 6.290.20 1.83 2 2.2 2.41 2.65 2.92 3.22 3.56 3.95 4.39 4.89 5.48 6.170.25 1.73 1.91 2.1 2.32 2.55 2.82 3.11 3.45 3.83 4.27 4.78 5.36 6.040.30 1.62 1.8 2 2.21 2.45 2.71 3.01 3.34 3.72 4.15 4.65 5.2 5.90.35 1.49 1.68 1.89 2.1 2.34 2.6 2.9 3.23 3.6 4.03 4.53 5.1 5.770.40 1.25 1.53 1.75 1.98 2.22 2.48 2.78 3.11 3.48 3.91 4.4 4.96 5.630.45 -- 1.27 1.59 1.84 2.09 2.36 2.65 2.98 3.35 3.78 4.26 4.82 5.480.50 -- -- 1.32 1.66 1.94 2.22 2.52 2.85 3.22 3.64 4.13 4.68 5.340.55 -- -- -- 1.32 1.75 2.06 2.37 2.71 3.08 3.5 3.98 4.54 5.190.60 -- -- -- -- 1.4 1.86 2.2 2.55 2.93 3.35 3.83 4.39 5.030.65 -- -- -- -- -- 1.44 1.99 2.37 2.76 3.19 3.68 4.23 4.870.70 -- -- -- -- -- -- 1.64 2.16 2.58 3.02 3.51 4.06 4.7

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.53 2.81 3.14 3.53 3.97 4.5 5.12 5.86 6.76 7.86 9.21 10.9 13.040.05 2.44 2.71 3.04 3.41 3.85 4.36 4.97 5.71 6.59 7.67 9 10.66 12.770.10 2.34 2.61 2.92 3.29 3.72 4.22 4.82 5.54 6.41 7.47 8.78 10.42 12.50.15 2.23 2.5 2.81 3.16 3.58 4.08 4.67 5.37 6.22 7.26 8.55 10.16 12.210.20 2.11 2.37 2.68 3.03 3.44 3.93 4.51 5.2 6.03 7.06 8.32 9.91 11.920.25 1.98 2.24 2.54 2.89 3.3 3.77 4.34 5.01 5.84 6.84 8.08 9.64 11.60.30 1.83 2.1 2.4 2.74 3.14 3.61 4.16 4.83 5.63 6.62 7.84 9.38 11.330.35 1.64 1.93 2.23 2.58 2.97 3.43 3.98 4.63 5.42 6.39 7.59 9.1 11.020.40 1.33 1.72 2.04 2.39 2.79 3.25 3.78 4.43 5.2 6.15 7.33 8.82 10.710.45 -- 0.99 1.81 2.19 2.59 3.05 3.58 4.21 4.98 5.91 7.07 8.52 10.380.50 -- -- 1.02 1.93 2.36 2.82 3.36 3.98 4.74 5.66 6.79 8.22 10.050.55 -- -- -- 1.05 2.07 2.57 3.11 3.74 4.48 5.39 6.51 7.91 9.710.60 -- -- -- -- 1.09 2.26 2.84 3.47 4.21 5.11 6.21 7.59 9.360.65 -- -- -- -- -- 1.12 2.51 3.17 3.92 4.81 5.9 7.26 8.990.70 -- -- -- -- -- -- 1.97 2.82 3.6 4.49 5.57 6.91 8.62

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.73 3.08 3.49 3.97 4.54 5.24 6.08 7.11 8.39 10.01 12.07 14.73 18.250.05 2.63 2.97 3.36 3.83 4.4 5.07 5.9 6.91 8.17 9.75 11.78 14.4 17.860.10 2.52 2.84 3.23 3.69 4.24 4.9 5.71 6.7 7.94 9.49 11.48 14.06 17.470.15 2.39 2.72 3.1 3.55 4.08 4.73 5.52 6.49 7.7 9.23 11.18 13.71 17.060.20 2.26 2.58 2.95 3.39 3.92 4.55 5.32 6.27 7.46 8.95 10.87 13.36 16.650.25 2.12 2.43 2.79 3.23 3.74 4.36 5.11 6.04 7.2 8.67 10.55 12.99 16.230.30 1.95 2.26 2.63 3.05 3.55 4.16 4.9 5.81 6.94 8.38 10.22 12.62 15.80.35 1.74 2.07 2.44 2.86 3.36 3.95 4.67 5.56 6.67 8.08 9.88 12.23 15.360.40 1.39 1.84 2.22 2.65 3.14 3.73 4.44 5.31 6.39 7.77 9.54 11.84 14.90.45 -- -- 1.96 2.41 2.9 3.49 4.18 5.04 6.1 7.45 9.18 11.44 14.440.50 -- -- 1.21 2.11 2.63 3.22 3.91 4.75 5.8 7.11 8.81 11.02 13.970.55 -- -- -- 1.07 2.3 2.92 3.62 4.45 5.47 6.76 8.42 10.59 13.480.60 -- -- -- -- 1.11 2.55 3.28 4.12 5.13 6.4 8.02 10.14 12.970.65 -- -- -- -- -- 1.25 2.88 3.74 4.76 6.01 7.6 9.68 12.450.70 -- -- -- -- -- -- 2.21 3.3 4.34 5.59 7.16 9.2 11.91

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 2.94 3.35 3.84 4.44 5.16 6.05 7.15 8.54 10.31 12.6 15.61 19.64 25.130.05 2.82 3.22 3.7 4.28 4.99 5.86 6.94 8.3 10.03 12.28 15.23 19.19 24.590.10 2.7 3.09 3.56 4.12 4.81 5.66 6.71 8.05 9.74 11.95 14.84 18.73 24.050.15 2.56 2.95 3.4 3.95 4.62 5.45 6.48 7.78 9.45 11.6 14.45 18.26 23.490.20 2.42 2.79 3.24 3.77 4.43 5.24 6.24 7.52 9.14 11.25 14.04 17.78 22.920.25 2.26 2.62 3.06 3.59 4.22 5.01 6 7.24 8.83 10.89 13.62 17.29 22.330.30 2.07 2.44 2.87 3.38 4.01 4.78 5.74 6.95 8.5 10.52 13.19 16.79 21.730.35 1.84 2.23 2.66 3.17 3.78 4.53 5.47 6.65 8.16 10.14 12.75 16.28 21.120.40 1.45 1.96 2.42 2.93 3.53 4.27 5.18 6.33 7.81 9.74 12.3 15.75 20.50.45 -- 1.2 2.11 2.65 3.25 3.98 4.88 6 7.45 9.33 11.83 15.2 19.850.50 -- -- 1.05 2.31 2.94 3.67 4.55 5.65 7.07 8.9 11.34 14.64 19.190.55 -- -- -- 1.09 2.55 3.31 4.2 5.28 6.66 8.46 10.84 14.06 18.510.60 -- -- -- -- 1.14 2.88 3.79 4.88 6.23 7.99 10.31 13.46 17.810.65 -- -- -- -- -- 2 3.31 4.42 5.77 7.49 9.76 12.83 17.090.70 -- -- -- -- -- -- 2.4 3.88 5.25 6.95 9.18 12.18 16.34

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 3.33 3.87 4.54 5.37 6.41 7.73 9.43 11.65 14.59 18.56 24.02 31.68 42.710.05 3.19 3.72 4.37 5.18 6.19 7.48 9.14 11.31 14.19 18.08 23.44 30.96 41.80.10 3.04 3.56 4.19 4.98 5.96 7.22 8.84 10.96 13.78 17.59 22.84 30.22 40.880.15 2.89 3.39 4 4.77 5.73 6.95 8.53 10.61 13.36 17.08 22.23 29.47 39.930.20 2.72 3.2 3.8 4.54 5.48 6.67 8.21 10.23 12.92 16.57 21.6 28.7 38.960.25 2.53 3 3.59 4.31 5.22 6.38 7.88 9.85 12.47 16.03 20.96 27.91 37.970.30 2.31 2.78 3.35 4.06 4.95 6.07 7.53 9.45 12.01 15.48 20.3 27.1 36.960.35 2.05 2.53 3.1 3.79 4.65 5.75 7.17 9.03 11.53 14.91 19.61 26.27 35.930.40 1.59 2.22 2.8 3.49 4.34 5.41 6.79 8.6 11.02 14.33 18.91 25.41 34.870.45 -- -- 2.44 3.15 3.99 5.04 6.38 8.14 10.5 13.72 18.18 24.53 33.780.50 -- -- -- 2.72 3.59 4.63 5.94 7.66 9.95 13.08 17.43 23.63 32.660.55 -- -- -- 1.16 3.1 4.16 5.46 7.14 9.38 12.42 16.65 22.69 31.50.60 -- -- -- -- 2 3.6 4.93 6.58 8.76 11.72 15.84 21.72 30.310.65 -- -- -- -- -- 2.2 4.27 5.95 8.09 10.97 14.98 20.7 29.080.70 -- -- -- -- -- -- 3.1 5.2 7.35 10.17 14.08 19.64 27.8

φ

��

89

β/φ 0.220 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.24 2.45 2.68 2.95 3.24 3.58 3.96 4.4 4.91 5.5 6.19 7.01 7.990.05 2.18 2.38 2.61 2.87 3.16 3.5 3.88 4.31 4.82 5.4 6.09 6.9 7.880.10 2.11 2.31 2.54 2.79 3.08 3.41 3.79 4.22 4.72 5.3 5.99 6.79 7.760.15 2.03 2.23 2.46 2.71 3 3.32 3.7 4.12 4.62 5.2 5.88 6.68 7.640.20 1.94 2.15 2.37 2.62 2.91 3.23 3.6 4.03 4.52 5.09 5.77 6.56 7.520.25 1.86 2.06 2.28 2.53 2.81 3.13 3.5 3.92 4.41 4.98 5.65 6.45 7.390.30 1.76 1.96 2.18 2.43 2.71 3.03 3.4 3.82 4.3 4.87 5.53 6.32 7.270.35 1.64 1.85 2.08 2.33 2.61 2.93 3.29 3.71 4.19 4.75 5.41 6.2 7.130.40 1.49 1.73 1.96 2.21 2.5 2.81 3.17 3.59 4.07 4.63 5.29 6.07 70.45 1.31 1.57 1.83 2.09 2.38 2.69 3.06 3.47 3.95 4.5 5.16 5.93 6.860.50 1.08 1.31 1.66 1.95 2.25 2.57 2.93 3.34 3.82 4.37 5.02 5.79 6.720.55 -- -- 1.37 1.78 2.1 2.43 2.79 3.21 3.68 4.23 4.88 5.65 6.570.60 -- -- 1.1 1.48 1.92 2.27 2.65 3.07 3.54 4.09 4.74 5.5 6.420.65 -- -- -- 1.16 1.65 2.09 2.49 2.91 3.39 3.94 4.59 5.35 6.260.70 -- -- -- -- 1.29 1.84 2.3 2.75 3.23 3.79 4.43 5.19 6.09

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.67 2.99 3.37 3.82 4.34 4.97 5.73 6.66 7.79 9.21 10.99 13.27 16.230.05 2.58 2.9 3.27 3.71 4.22 4.84 5.59 6.5 7.62 9.02 10.78 13.03 15.960.10 2.48 2.79 3.16 3.59 4.1 4.71 5.45 6.34 7.45 8.82 10.56 12.79 15.690.15 2.38 2.69 3.05 3.47 3.97 4.57 5.29 6.18 7.27 8.62 10.34 12.54 15.420.20 2.27 2.57 2.93 3.34 3.83 4.42 5.14 6.01 7.08 8.42 10.11 12.29 15.130.25 2.15 2.45 2.8 3.21 3.69 4.27 4.97 5.83 6.89 8.21 9.88 12.03 14.840.30 2.01 2.31 2.66 3.06 3.54 4.11 4.8 5.65 6.69 7.99 9.64 11.77 14.540.35 1.85 2.16 2.51 2.91 3.38 3.95 4.63 5.46 6.48 7.77 9.4 11.49 14.240.40 1.66 1.99 2.34 2.75 3.21 3.77 4.44 5.26 6.27 7.54 9.14 11.21 13.930.45 1.43 1.77 2.15 2.56 3.03 3.59 4.25 5.05 6.05 7.3 8.88 10.93 13.60.50 -- 1.27 1.91 2.35 2.83 3.38 4.04 4.84 5.82 7.05 8.61 10.63 13.280.55 -- -- 1.06 2.1 2.61 3.17 3.82 4.61 5.58 6.79 8.34 10.32 12.940.60 -- -- -- 1.68 2.33 2.92 3.58 4.37 5.33 6.53 8.05 10.01 12.590.65 -- -- -- 1.23 1.94 2.63 3.32 4.11 5.06 6.25 7.75 9.69 12.240.70 -- -- -- -- 1.51 2.25 3.02 3.82 4.78 5.95 7.44 9.35 11.87

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 2.89 3.28 3.75 4.31 4.99 5.82 6.84 8.12 9.74 11.81 14.52 18.1 22.940.05 2.79 3.17 3.63 4.18 4.85 5.66 6.67 7.93 9.52 11.57 14.23 17.77 22.560.10 2.68 3.06 3.51 4.05 4.7 5.5 6.49 7.73 9.29 11.31 13.94 17.44 22.170.15 2.57 2.93 3.38 3.9 4.54 5.33 6.3 7.52 9.06 11.05 13.64 17.1 21.770.20 2.44 2.8 3.24 3.75 4.38 5.15 6.11 7.3 8.82 10.78 13.34 16.74 21.370.25 2.3 2.66 3.09 3.6 4.21 4.97 5.91 7.08 8.58 10.5 13.02 16.38 20.950.30 2.15 2.51 2.93 3.43 4.04 4.78 5.7 6.85 8.32 10.22 12.7 16.01 20.520.35 1.98 2.34 2.76 3.25 3.85 4.58 5.48 6.61 8.06 9.92 12.37 15.63 20.080.40 1.75 2.14 2.57 3.06 3.65 4.37 5.25 6.37 7.78 9.62 12.02 15.24 19.630.45 1.01 1.9 2.35 2.85 3.43 4.14 5.01 6.11 7.5 9.3 11.67 14.84 19.170.50 -- 1.65 2.08 2.61 3.2 3.9 4.76 5.84 7.2 8.98 11.31 14.43 18.70.55 -- -- 1.07 2.31 2.93 3.64 4.49 5.55 6.9 8.64 10.93 14.01 18.220.60 -- -- -- 1.82 2.61 3.34 4.2 5.25 6.57 8.29 10.54 13.57 17.720.65 -- -- -- 1.23 2.14 3 3.87 4.92 6.23 7.92 10.14 13.12 17.20.70 -- -- -- -- 1.47 2.53 3.5 4.56 5.87 7.53 9.72 12.65 16.67

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 3.11 3.58 4.15 4.84 5.69 6.75 8.09 9.84 12.02 14.95 18.88 24.26 31.770.05 3 3.46 4.01 4.69 5.52 6.56 7.88 9.68 11.75 14.64 18.51 23.82 31.240.10 2.88 3.33 3.87 4.53 5.35 6.37 7.66 9.32 11.47 14.31 18.13 23.37 30.710.15 2.75 3.19 3.72 4.37 5.17 6.17 7.44 9.06 11.18 13.98 17.74 22.91 30.160.20 2.62 3.05 3.56 4.2 4.98 5.96 7.2 8.8 10.88 13.63 17.34 22.44 29.590.25 2.47 2.89 3.4 4.02 4.78 5.74 6.96 8.53 10.57 13.28 16.93 21.95 29.020.30 2.3 2.72 3.22 3.82 4.58 5.52 6.71 8.25 10.25 12.91 16.5 21.46 28.420.35 2.1 2.53 3.02 3.62 4.36 5.28 6.45 7.95 9.92 12.53 16.07 20.94 27.820.40 1.86 2.31 2.81 3.4 4.12 5.03 6.17 7.65 9.58 12.14 15.62 20.42 27.190.45 1.02 2.03 2.56 3.16 3.87 4.76 5.88 7.33 9.22 11.74 15.16 19.88 26.550.50 -- 1.06 2.25 2.88 3.6 4.48 5.58 7 8.85 11.32 14.68 19.32 25.90.55 -- -- 1.09 2.54 3.29 4.16 5.25 6.65 8.47 10.89 14.19 18.75 25.230.60 -- -- -- 1.98 2.92 3.82 4.9 6.27 8.06 10.44 13.67 18.16 24.530.65 -- -- -- -- 2.37 3.41 4.51 5.87 7.63 9.97 13.14 17.55 23.820.70 -- -- -- -- 1.37 2.86 4.07 5.44 7.17 9.47 12.59 16.92 23.08

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 3.53 4.15 4.91 5.87 7.09 8.67 10.72 13.43 17.09 22.13 29.19 39.32 54.250.05 3.4 4 4.75 5.69 6.88 8.42 10.44 13.1 16.71 21.66 28.62 38.62 53.360.10 3.26 3.85 4.58 5.49 6.66 8.17 10.14 12.76 16.3 21.18 28.05 37.89 52.450.15 3.11 3.68 4.4 5.29 6.43 7.91 9.84 12.41 15.89 20.68 27.44 37.15 51.520.20 2.95 3.51 4.2 5.08 6.19 7.64 9.53 12.05 15.47 20.17 26.82 36.39 50.560.25 2.77 3.32 4 4.85 5.94 7.35 9.2 11.67 15.02 19.65 26.19 35.61 49.580.30 2.58 3.12 3.78 4.61 5.68 7.06 8.87 11.28 14.56 19.11 25.53 34.8 48.580.35 2.35 2.89 3.54 4.36 5.4 6.74 8.51 10.88 14.09 18.55 24.86 33.98 47.550.40 2.07 2.63 3.28 4.09 5.1 6.42 8.14 10.46 13.6 17.97 24.16 33.13 46.520.45 1.05 2.3 2.98 3.78 4.78 6.07 7.76 10.01 13.09 17.37 23.44 32.26 45.430.50 -- 1.3 2.61 3.44 4.43 5.69 7.35 9.55 12.56 16.75 22.7 31.36 44.310.55 -- -- 1.16 3.02 4.04 5.29 6.91 9.07 12.01 16.1 21.94 30.44 43.150.60 -- -- -- 2.3 3.56 4.83 6.43 8.55 11.43 15.43 21.14 29.48 41.970.65 -- -- -- 1.1 2.87 4.3 5.91 7.99 10.81 14.73 20.32 28.49 40.760.70 -- -- -- -- 1.6 3.3 5.31 7.38 10.15 13.99 19.46 27.47 39.5

φ

��

90

β/φ 0.320 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.35 2.58 2.85 3.15 3.5 3.89 4.36 4.89 5.53 6.28 7.18 8.27 9.60.05 2.28 2.51 2.78 3.08 3.42 3.82 4.28 4.81 5.44 6.19 7.08 8.17 9.490.10 2.21 2.44 2.71 3 3.34 3.74 4.19 4.72 5.35 6.1 6.99 8.07 9.390.15 2.14 2.37 2.63 2.92 3.26 3.65 4.1 4.63 5.26 6 6.89 7.96 9.280.20 2.06 2.29 2.55 2.84 3.18 3.56 4.01 4.54 5.16 5.9 6.78 7.86 9.170.25 1.98 2.21 2.46 2.75 3.09 3.47 3.92 4.44 5.06 5.79 6.68 7.75 9.060.30 1.89 2.11 2.37 2.66 2.99 3.38 3.82 4.34 4.96 5.69 6.56 7.63 8.940.35 1.78 2.01 2.27 2.56 2.9 3.28 3.72 4.24 4.85 5.58 6.45 7.51 8.850.40 1.66 1.9 2.16 2.46 2.79 3.17 3.61 4.13 4.74 5.46 6.33 7.39 8.750.45 1.5 1.78 2.05 2.34 2.68 3.06 3.5 4.01 4.62 5.34 6.21 7.27 8.570.50 -- 1.61 1.91 2.22 2.56 2.94 3.38 3.9 4.5 5.22 6.09 7.14 8.430.55 -- -- 1.75 2.08 2.43 2.81 3.26 3.77 4.37 5.09 5.96 7.01 8.30.60 -- -- 1.47 1.91 2.28 2.68 3.12 3.64 4.24 4.96 5.82 6.87 8.160.65 -- -- -- 1.67 2.11 2.53 2.98 3.5 4.1 4.82 5.68 6.73 8.060.70 -- -- -- -- 1.89 2.36 2.83 3.35 3.96 4.68 5.54 6.53 7.87

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.81 3.17 3.6 4.12 4.74 5.48 6.4 7.53 8.95 10.74 13.06 16.09 20.120.05 2.72 3.08 3.51 4.01 4.62 5.36 6.26 7.38 8.78 10.56 12.86 15.87 19.880.10 2.63 2.98 3.4 3.9 4.5 5.23 6.12 7.23 8.62 10.38 12.66 15.64 19.630.15 2.53 2.88 3.29 3.79 4.38 5.1 5.98 7.07 8.45 10.19 12.45 15.41 19.380.20 2.43 2.77 3.18 3.66 4.25 4.96 5.83 6.91 8.27 10 12.24 15.18 19.110.25 2.31 2.66 3.06 3.54 4.11 4.81 5.67 6.74 8.08 9.8 12.01 14.93 18.840.30 2.19 2.53 2.93 3.4 3.97 4.66 5.51 6.57 7.89 9.59 11.79 14.68 18.560.35 2.05 2.39 2.79 3.26 3.82 4.5 5.34 6.38 7.7 9.37 11.55 14.42 18.280.40 1.88 2.24 2.64 3.1 3.66 4.34 5.16 6.19 7.49 9.15 11.31 14.16 17.980.45 1.67 2.06 2.47 2.94 3.49 4.16 4.98 6 7.28 8.93 11.06 13.88 17.680.50 -- 1.83 2.28 2.76 3.31 3.98 4.79 5.79 7.06 8.69 10.8 13.6 17.370.55 -- -- 2.04 2.55 3.11 3.78 4.58 5.58 6.84 8.44 10.54 13.31 17.050.60 -- -- 1.65 2.3 2.89 3.56 4.37 5.36 6.6 8.19 10.26 13.01 16.720.65 -- -- -- 1.95 2.63 3.33 4.13 5.12 6.35 7.93 9.98 12.7 16.380.70 -- -- -- -- 2.3 3.06 3.88 4.86 6.09 7.65 9.69 12.38 16.04

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 3.05 3.49 4.02 4.67 5.46 6.44 7.68 9.6 11.25 13.88 17.38 22.11 28.670.05 2.95 3.39 3.91 4.55 5.33 6.29 7.5 9.3 11.04 13.65 17.11 21.81 28.330.10 2.85 3.27 3.79 4.42 5.18 6.14 7.3 8.86 10.83 13.41 16.84 21.51 27.970.15 2.74 3.16 3.66 4.28 5.04 5.98 7.16 8.66 10.61 13.16 16.56 21.19 27.610.20 2.62 3.03 3.53 4.14 4.88 5.81 6.97 8.46 10.38 12.9 16.27 20.86 27.230.25 2.49 2.9 3.39 3.99 4.72 5.63 6.78 8.24 10.14 12.63 15.97 20.52 26.850.30 2.35 2.76 3.24 3.83 4.55 5.45 6.58 8.02 9.9 12.36 15.66 20.17 26.450.35 2.2 2.6 3.08 3.66 4.37 5.26 6.37 7.79 9.64 12.08 15.34 19.81 26.040.40 2.01 2.43 2.91 3.48 4.18 5.05 6.15 7.56 9.38 11.79 15.02 19.44 25.620.45 1.77 2.22 2.71 3.29 3.98 4.84 5.92 7.31 9.11 11.49 14.68 19.06 25.180.50 -- 1.97 2.49 3.07 3.77 4.62 5.69 7.05 8.83 11.17 14.33 18.66 24.730.55 -- 1.5 2.22 2.83 3.53 4.38 5.43 6.78 8.53 10.85 13.97 18.26 24.270.60 -- -- 1.77 2.55 3.27 4.12 5.17 6.5 8.23 10.51 13.6 17.84 23.80.65 -- -- -- 2.14 2.97 3.83 4.88 6.2 7.91 10.17 13.21 17.41 23.310.70 -- -- -- 1.2 2.57 3.51 4.57 5.88 7.57 9.8 12.81 16.97 22.81

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 3.29 3.81 4.46 5.25 6.25 7.5 9.11 11.4 13.9 17.65 22.71 29.79 39.90.05 3.18 3.7 4.33 5.11 6.09 7.32 8.91 11 13.69 17.35 22.37 29.38 39.430.10 3.07 3.57 4.19 4.96 5.92 7.14 8.7 10.73 13.42 17.04 22.01 28.97 38.940.15 2.95 3.44 4.05 4.8 5.75 6.95 8.49 10.49 13.15 16.73 21.64 28.54 38.440.20 2.82 3.3 3.9 4.64 5.57 6.75 8.26 10.24 12.86 16.4 21.26 28.1 37.920.25 2.68 3.15 3.74 4.47 5.38 6.54 8.03 9.98 12.56 16.06 20.87 27.64 37.380.30 2.52 2.99 3.57 4.29 5.18 6.32 7.79 9.71 12.26 15.71 20.47 27.17 36.830.35 2.35 2.82 3.39 4.09 4.97 6.09 7.53 9.42 11.94 15.35 20.05 26.69 36.260.40 2.14 2.62 3.19 3.89 4.75 5.85 7.27 9.13 11.61 14.97 19.62 26.19 35.680.45 1.88 2.4 2.97 3.66 4.52 5.6 7 8.83 11.27 14.59 19.18 25.67 35.070.50 1.6 2.11 2.72 3.42 4.27 5.33 6.71 8.51 10.92 14.19 18.72 25.14 34.450.55 -- 1.45 2.42 3.14 3.99 5.05 6.4 8.18 10.55 13.77 18.25 24.6 33.820.60 -- -- 1.91 2.81 3.69 4.74 6.08 7.83 10.16 13.34 17.76 24.03 33.160.65 -- -- 1.45 2.35 3.33 4.4 5.74 7.46 9.76 12.89 17.25 23.45 32.490.70 -- -- -- 1.69 2.88 4.02 5.36 7.07 9.34 12.43 16.73 22.85 31.79

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 3.74 4.43 5.3 6.4 7.82 9.66 12.11 15.41 19.91 26.22 35.25 48.47 68.40.05 3.62 4.29 5.14 6.23 7.61 9.44 11.85 15.09 19.54 25.78 34.72 47.82 67.60.10 3.48 4.14 4.98 6.04 7.41 9.19 11.57 14.77 19.16 25.33 34.17 47.15 66.780.15 3.34 3.99 4.8 5.84 7.19 8.94 11.28 14.43 18.77 24.86 33.6 46.46 65.920.20 3.19 3.82 4.62 5.64 6.96 8.68 10.98 14.08 18.36 24.37 33.03 45.75 65.040.25 3.02 3.64 4.43 5.42 6.71 8.41 10.66 13.72 17.94 23.87 32.43 45.01 64.130.30 2.84 3.45 4.22 5.2 6.46 8.12 10.34 13.35 17.5 23.35 31.8 44.25 63.190.35 2.64 3.24 4 4.96 6.2 7.83 10 12.96 17.05 22.82 31.16 43.47 62.230.40 2.4 3.01 3.76 4.7 5.92 7.51 9.65 12.55 16.57 22.26 30.49 42.67 61.240.45 2.09 2.74 3.49 4.42 5.62 7.18 9.28 12.13 16.09 21.69 29.81 41.84 60.210.50 -- 2.4 3.19 4.12 5.3 6.84 8.89 11.69 15.58 21.09 29.1 40.98 59.160.55 -- -- 2.81 3.77 4.95 6.46 8.48 11.23 15.05 20.48 28.36 40.1 58.080.60 -- -- 2.19 3.36 4.56 6.06 8.05 10.75 14.5 19.84 27.6 39.19 56.960.65 -- -- -- 1.29 4.1 5.62 7.58 10.23 13.92 19.17 26.82 38.25 55.810.70 -- -- -- -- 3.52 5.11 7.07 9.69 13.31 18.47 26 37.28 54.62

φ

��

91

β/φ 0.420 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.45 2.71 3.01 3.36 3.76 4.23 4.78 5.43 6.21 7.16 8.31 9.74 11.440.05 2.39 2.65 2.95 3.29 3.69 4.16 4.7 5.36 6.13 7.08 8.23 9.66 11.40.10 2.32 2.58 2.88 3.22 3.62 4.08 4.63 5.28 6.05 6.99 8.15 9.57 11.370.15 2.26 2.51 2.81 3.15 3.54 4 4.55 5.19 5.97 6.91 8.06 9.49 11.280.20 2.18 2.44 2.73 3.07 3.46 3.92 4.46 5.11 5.88 6.82 7.97 9.39 11.190.25 2.1 2.36 2.65 2.99 3.38 3.84 4.38 5.02 5.79 6.72 7.87 9.3 11.10.30 2.02 2.27 2.57 2.9 3.29 3.75 4.28 4.92 5.69 6.63 7.77 9.2 110.35 1.92 2.18 2.47 2.81 3.2 3.65 4.19 4.83 5.59 6.53 7.67 9.1 10.90.40 1.81 2.08 2.37 2.71 3.1 3.55 4.09 4.73 5.49 6.42 7.56 9 10.790.45 1.69 1.96 2.27 2.61 3 3.45 3.98 4.62 5.38 6.31 7.46 8.89 10.680.50 1.52 1.83 2.15 2.49 2.89 3.34 3.88 4.51 5.27 6.2 7.34 8.77 10.570.55 1.39 1.67 2.01 2.37 2.77 3.22 3.76 4.39 5.16 6.08 7.22 8.65 10.450.60 1.14 1.47 1.85 2.23 2.64 3.1 3.64 4.27 5.04 5.96 7.1 8.53 10.330.65 -- 1.22 1.61 2.07 2.49 2.97 3.51 4.15 4.91 5.84 6.98 8.4 10.210.70 -- -- 1.24 1.86 2.33 2.82 3.37 4.01 4.78 5.71 6.85 8.27 10.08

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 2.94 3.35 3.84 4.43 5.15 6.03 7.12 8.49 10.23 12.49 15.45 19.42 24.850.05 2.86 3.27 3.75 4.33 5.04 5.91 6.99 8.35 10.09 12.33 15.28 19.24 24.660.10 2.78 3.18 3.65 4.23 4.93 5.79 6.9 8.21 9.94 12.17 15.11 19.06 24.450.15 2.69 3.08 3.55 4.12 4.81 5.66 6.7 8.06 9.78 12 14.92 18.86 24.250.20 2.59 2.98 3.44 4 4.69 5.53 6.58 7.91 9.61 11.82 14.73 18.65 24.030.25 2.48 2.87 3.33 3.88 4.56 5.39 6.44 7.75 9.44 11.64 14.54 18.44 23.80.30 2.36 2.75 3.2 3.75 4.42 5.25 6.28 7.59 9.26 11.44 14.33 18.22 23.570.35 2.24 2.62 3.07 3.62 4.28 5.1 6.12 7.42 9.08 11.25 14.12 17.99 23.330.40 2.09 2.48 2.93 3.48 4.13 4.95 5.96 7.24 8.89 11.04 13.9 17.75 23.070.45 1.92 2.32 2.78 3.32 3.98 4.78 5.79 7.06 8.69 10.83 13.67 17.51 22.810.50 1.69 2.14 2.61 3.16 3.81 4.61 5.6 6.87 8.49 10.61 13.43 17.26 22.540.55 1.4 1.91 2.42 2.98 3.63 4.43 5.41 6.67 8.28 10.38 13.19 17 22.260.60 1.1 1.5 2.19 2.77 3.44 4.23 5.21 6.46 8.06 10.15 12.94 16.72 21.980.65 -- 1.2 1.84 2.54 3.22 4.02 5 6.24 7.83 9.9 12.68 16.45 21.680.70 -- -- 1.4 2.23 2.98 3.79 4.78 6.01 7.59 9.65 12.41 16.16 21.37

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 3.2 3.7 4.3 5.04 5.96 7.11 8.58 10.6 12.94 16.24 20.7 26.89 35.650.05 3.11 3.6 4.19 4.93 5.83 6.97 8.42 10.4 12.75 16.03 20.47 26.64 35.40.10 3.02 3.5 4.08 4.8 5.7 6.82 8.2 10.3 12.56 15.81 20.24 26.38 35.110.15 2.91 3.38 3.96 4.67 5.56 6.67 8.09 10 12.35 15.59 19.99 26.11 34.80.20 2.8 3.27 3.84 4.54 5.41 6.51 7.92 9.74 12.14 15.35 19.73 25.82 34.50.25 2.68 3.14 3.7 4.4 5.26 6.35 7.74 9.54 11.92 15.11 19.46 25.53 34.180.30 2.55 3.01 3.56 4.25 5.1 6.17 7.55 9.34 11.69 14.86 19.19 25.22 33.840.35 2.41 2.86 3.41 4.09 4.93 5.99 7.35 9.12 11.46 14.6 18.9 24.9 33.490.40 2.24 2.7 3.25 3.92 4.75 5.8 7.15 8.9 11.21 14.33 18.6 24.58 33.130.45 2.05 2.53 3.07 3.74 4.56 5.6 6.93 8.66 10.96 14.05 18.29 24.23 32.760.50 1.8 2.32 2.88 3.55 4.36 5.39 6.71 8.42 10.69 13.76 17.97 23.88 32.370.55 1.4 2.06 2.66 3.33 4.15 5.17 6.47 8.17 10.42 13.46 17.64 23.52 31.970.60 -- 1.8 2.39 3.1 3.92 4.93 6.22 7.9 10.13 13.15 17.3 23.14 31.560.65 -- 1.4 1.99 2.82 3.66 4.68 5.96 7.63 9.84 12.82 16.94 22.75 31.130.70 -- -- 1.3 2.46 3.37 4.4 5.68 7.34 9.53 12.49 16.58 22.35 30.68

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 3.47 4.05 4.78 5.69 6.83 8.3 10.21 12.73 16 20.72 27.16 36.36 49.810.05 3.36 3.94 4.66 5.55 6.68 8.14 10.03 12.5 15.9 20.46 26.87 36.03 49.440.10 3.26 3.82 4.53 5.41 6.53 7.96 9.83 12.31 15.6 20.19 26.56 35.68 49.060.15 3.14 3.7 4.39 5.26 6.36 7.78 9.63 12.08 15.38 19.9 26.24 35.32 48.660.20 3.02 3.57 4.25 5.11 6.19 7.59 9.42 11.84 15.11 19.6 25.9 34.94 48.230.25 2.88 3.43 4.1 4.94 6.01 7.4 9.2 11.6 14.84 19.29 25.55 34.54 47.790.30 2.74 3.28 3.94 4.77 5.83 7.19 8.97 11.34 14.55 18.97 25.19 34.13 47.330.35 2.58 3.11 3.77 4.59 5.63 6.97 8.73 11.08 14.25 18.64 24.81 33.7 46.850.40 2.4 2.94 3.58 4.39 5.42 6.75 8.49 10.8 13.95 18.29 24.42 33.26 46.350.45 2.19 2.74 3.39 4.19 5.2 6.51 8.23 10.52 13.63 17.93 24.01 32.8 45.830.50 1.91 2.51 3.17 3.96 4.97 6.26 7.96 10.22 13.3 17.56 23.59 32.33 45.30.55 1.6 2.21 2.92 3.72 4.72 6 7.67 9.91 12.95 17.18 23.16 31.84 44.740.60 1.3 1.8 2.61 3.45 4.45 5.72 7.37 9.58 12.59 16.77 22.71 31.33 44.170.65 -- 1.4 2.16 3.13 4.15 5.42 7.06 9.24 12.22 16.36 22.24 30.8 43.570.70 -- -- 1.6 2.72 3.81 5.09 6.72 8.88 11.83 15.93 21.76 30.26 42.96

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 3.95 4.72 5.7 6.95 8.58 10.73 13.62 17.57 23.07 30.9 42.3 59.36 85.650.05 3.83 4.59 5.55 6.78 8.39 10.52 13.38 17.29 22.74 30.51 41.85 58.83 85.030.10 3.71 4.45 5.39 6.61 8.19 10.29 13.12 17 22.39 30.12 41.37 58.27 84.390.15 3.57 4.3 5.23 6.42 7.99 10.06 12.85 16.69 22.03 29.68 40.87 57.69 83.70.20 3.43 4.14 5.05 6.23 7.77 9.81 12.57 16.36 21.66 29.24 40.36 57.08 82.990.25 3.27 3.97 4.87 6.03 7.54 9.55 12.27 16.02 21.27 28.78 39.82 56.44 82.240.30 3.1 3.79 4.67 5.81 7.3 9.28 11.97 15.66 20.86 28.31 39.26 55.78 81.460.35 2.91 3.6 4.46 5.58 7.05 9 11.65 15.3 20.43 27.81 38.7 55.09 80.650.40 2.7 3.38 4.24 5.34 6.78 8.7 11.32 14.92 19.99 27.3 38.09 54.38 79.80.45 2.46 3.15 4 5.08 6.5 8.39 10.96 14.52 19.54 26.77 37.47 53.64 78.920.50 2.12 2.88 3.73 4.8 6.2 8.07 10.6 14.11 19.06 26.22 36.82 52.88 78.020.55 1.6 2.52 3.42 4.5 5.89 7.72 10.22 13.67 18.57 25.65 36.14 52.08 77.080.60 -- 2 3.05 4.16 5.54 7.36 9.81 13.22 18.05 25.05 35.45 51.26 76.10.65 -- -- 1.26 3.76 5.16 6.96 9.39 12.75 17.52 24.44 34.72 50.42 75.090.70 -- -- -- 3.25 4.73 6.53 8.93 12.25 16.96 23.79 33.97 49.54 74.05

φ

��

92

β/φ 0.520 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44

δ / φ 0 Kh δ −−> 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.00 2.55 2.84 3.18 3.57 4.03 4.58 5.23 6.01 6.97 8.14 9.61 11.46 13.790.05 2.5 2.79 3.12 3.51 3.97 4.52 5.17 5.95 6.9 8.08 9.55 11.41 13.760.10 2.44 2.72 3.06 3.45 3.91 4.45 5.1 5.88 6.83 8.01 9.48 11.35 13.730.15 2.37 2.66 2.99 3.38 3.84 4.38 5.02 5.9 6.76 7.94 9.42 11.29 13.70.20 2.3 2.59 2.92 3.31 3.76 4.3 4.95 5.84 6.68 7.86 9.34 11.22 13.650.25 2.23 2.51 2.84 3.23 3.68 4.22 4.87 5.65 6.6 7.79 9.27 11.15 13.590.30 2.15 2.43 2.76 3.15 3.6 4.14 4.79 5.57 6.52 7.7 9.19 11.07 13.520.35 2.06 2.35 2.68 3.06 3.52 4.05 4.7 5.48 6.43 7.62 9.11 11 13.450.40 1.96 2.25 2.59 2.97 3.43 3.96 4.61 5.39 6.34 7.53 9.02 10.93 13.380.45 1.85 2.15 2.49 2.88 3.33 3.87 4.51 5.29 6.25 7.43 8.93 10.84 13.30.50 1.72 2.03 2.38 2.77 3.23 3.77 4.41 5.19 6.15 7.33 8.83 10.74 13.250.55 1.54 1.9 2.26 2.66 3.12 3.66 4.31 5.09 6.04 7.23 8.73 10.66 13.20.60 1.24 1.74 2.13 2.54 3.01 3.55 4.2 4.98 5.94 7.13 8.63 10.55 13.090.65 -- 1.23 1.97 2.4 2.88 3.43 4.08 4.86 5.82 7.01 8.52 10.45 12.950.70 -- -- 1.75 2.25 2.74 3.3 3.96 4.74 5.71 6.9 8.41 10.34 12.8

δ / φ 0.33 Kh δ −−> 6.67 7.33 8 8.67 9.33 10 10.67 11.33 12 12.67 13.33 14 14.670.00 3.09 3.54 4.09 4.76 5.58 6.6 7.89 9.53 11.66 14.47 18.22 23.36 30.540.05 3.01 3.46 4 4.66 5.48 6.5 7.78 9.42 11.54 14.34 18.1 23.24 30.440.10 2.93 3.37 3.91 4.57 5.38 6.39 7.66 9.3 11.41 14.21 17.96 23.12 30.330.15 2.84 3.28 3.81 4.47 5.27 6.27 7.54 9.1 11.27 14.06 17.82 22.97 30.220.20 2.75 3.18 3.71 4.36 5.15 6.15 7.41 9 11.13 13.91 17.67 22.83 30.070.25 2.65 3.08 3.6 4.24 5.03 6.02 7.27 8.88 10.98 13.76 17.5 22.67 29.930.30 2.54 2.97 3.49 4.12 4.91 5.89 7.13 8.73 10.82 13.59 17.34 22.5 29.770.35 2.42 2.85 3.37 4 4.77 5.75 6.99 8.58 10.66 13.42 17.16 22.32 29.60.40 2.29 2.72 3.24 3.86 4.64 5.6 6.83 8.41 10.49 13.24 16.97 22.13 29.430.45 2.14 2.58 3.1 3.72 4.49 5.45 6.67 8.25 10.31 13.05 16.78 21.94 29.240.50 1.96 2.42 2.95 3.57 4.33 5.29 6.5 8.07 10.12 12.86 16.58 21.74 29.040.55 1.72 2.24 2.78 3.41 4.17 5.12 6.33 7.89 9.93 12.66 16.37 21.52 28.840.60 1.4 2.01 2.59 3.23 3.99 4.94 6.14 7.69 9.73 12.45 16.15 21.3 28.620.65 -- 1.15 2.36 3.03 3.81 4.75 5.95 7.49 9.52 12.23 15.93 21.07 28.40.70 -- -- 2.05 2.8 3.6 4.55 5.75 7.29 9.3 12.01 15.69 20.83 28.16

δ / φ 0.5 Kh δ −−> 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 220.00 3.36 3.91 4.59 5.43 6.48 7.82 9.55 11.81 14.82 18.9 24.54 32.52 44.10.05 3.28 3.82 4.49 5.32 6.36 7.7 9.41 11.66 14.66 18.74 24.38 32.36 43.950.10 3.19 3.72 4.38 5.21 6.24 7.56 9.27 11.5 14.5 18.56 24.2 32.19 43.80.15 3.09 3.62 4.27 5.08 6.11 7.42 9.12 11.3 14.32 18.37 24 31.99 43.630.20 2.98 3.51 4.15 4.96 5.97 7.27 8.96 11 14.14 18.18 23.8 31.79 43.440.25 2.87 3.39 4.03 4.82 5.83 7.12 8.79 10.8 13.94 17.97 23.58 31.57 43.230.30 2.75 3.26 3.89 4.68 5.68 6.96 8.61 10.6 13.74 17.75 23.36 31.34 43.010.35 2.62 3.13 3.75 4.53 5.52 6.79 8.43 10.61 13.53 17.53 23.12 31.1 42.770.40 2.47 2.98 3.6 4.38 5.35 6.61 8.24 10.4 13.31 17.29 22.87 30.84 42.530.45 2.3 2.82 3.44 4.21 5.18 6.42 8.04 10.19 13.08 17.05 22.61 30.57 42.260.50 2.1 2.64 3.27 4.03 4.99 6.23 7.83 9.96 12.84 16.79 22.33 30.29 41.980.55 1.83 2.43 3.07 3.84 4.8 6.02 7.62 9.73 12.59 16.52 22.05 29.99 41.690.60 1.2 2.17 2.85 3.63 4.59 5.81 7.39 9.49 12.33 16.25 21.76 29.69 41.380.65 -- 1.22 2.59 3.4 4.36 5.58 7.15 9.24 12.06 15.96 21.45 29.36 41.060.70 -- -- 2.24 3.14 4.12 5.33 6.9 8.97 11.78 15.66 21.13 29.03 40.72

δ / φ 0.67 Kh δ −−> 13.33 14.67 16 17.33 18.67 20 21.33 22.67 24 25.33 26.67 28 29.330.00 3.64 4.3 5.11 6.14 7.45 9.16 11.4 14.41 18.51 24.21 32.32 44.12 61.780.05 3.55 4.19 4.99 6.01 7.31 9.01 11.24 14.23 18.3 24.01 32.09 43.91 61.60.10 3.45 4.08 4.87 5.88 7.17 8.85 11.06 14.05 18 23.78 31.86 43.68 61.40.15 3.34 3.96 4.75 5.74 7.02 8.68 10.88 13.84 17.7 23.54 31.61 43.43 61.180.20 3.22 3.84 4.61 5.59 6.86 8.51 10.69 13.63 17.66 23.29 31.35 43.16 60.930.25 3.1 3.71 4.47 5.44 6.69 8.32 10.49 13.41 17.41 23.03 31.07 42.87 60.650.30 2.96 3.56 4.32 5.28 6.51 8.13 10.28 13.18 17.16 22.75 30.77 42.56 60.360.35 2.81 3.41 4.16 5.11 6.33 7.93 10.06 12.93 16.9 22.46 30.46 42.24 60.040.40 2.65 3.25 3.99 4.92 6.13 7.72 9.83 12.68 16.62 22.16 30.13 41.89 59.690.45 2.47 3.07 3.8 4.73 5.93 7.5 9.59 12.42 16.33 21.85 29.79 41.53 59.330.50 2.25 2.87 3.6 4.53 5.71 7.27 9.34 12.15 16.03 21.52 29.44 41.15 58.950.55 1.94 2.63 3.38 4.31 5.48 7.02 9.07 11.86 15.72 21.18 29.07 40.76 58.540.60 1.4 2.34 3.14 4.07 5.24 6.76 8.8 11.56 15.4 20.82 28.69 40.35 58.120.65 -- 1.21 2.84 3.8 4.97 6.49 8.51 11.25 15.06 20.46 28.29 39.92 57.670.70 -- -- 1.6 3.5 4.69 6.2 8.2 10.92 14.7 20.07 27.86 39.47 57.21

δ / φ 1 Kh δ −−> 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 440.00 4.16 5.01 6.11 7.52 9.38 11.87 15.26 19.96 26.6 36.21 50.47 72.24 106.520.05 4.05 4.89 5.97 7.36 9.21 11.68 15.04 19.71 26.32 35.9 50.14 71.9 106.230.10 3.93 4.76 5.82 7.2 9.03 11.47 14.81 19.46 26.04 35.58 49.79 71.54 105.90.15 3.8 4.62 5.67 7.03 8.83 11.26 14.58 19.18 25.71 35.25 49.4 71.14 105.520.20 3.67 4.47 5.5 6.85 8.64 11.04 14.32 18.89 25.39 34.86 49 70.7 105.10.25 3.52 4.31 5.33 6.66 8.42 10.79 14.05 18.62 25.04 34.47 48.57 70.24 104.640.30 3.36 4.14 5.14 6.46 8.2 10.54 13.76 18.26 24.69 34.06 48.11 69.75 104.140.35 3.19 3.96 4.95 6.24 7.96 10.28 13.46 17.93 24.31 33.64 47.64 69.23 103.610.40 3 3.76 4.74 6.01 7.71 10 13.15 17.58 23.91 33.19 47.14 68.68 103.030.45 2.78 3.55 4.51 5.77 7.45 9.72 12.84 17.22 23.5 32.73 46.64 68.16 102.430.50 2.52 3.3 4.27 5.52 7.17 9.41 12.49 16.84 23.08 32.25 46.09 67.57 101.780.55 2.17 3.03 4 5.24 6.88 9.09 12.14 16.44 22.63 31.74 45.52 66.93 101.10.60 1.6 2.68 3.7 4.94 6.56 8.75 11.77 16.03 22.16 31.21 44.92 66.2 100.390.65 -- 1.7 3.34 4.61 6.23 8.39 11.38 15.59 21.68 30.67 44.3 65.51 99.640.70 -- -- 2.84 4.23 5.86 8.01 10.97 15.14 21.17 30.09 43.65 64.79 98.85

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